Campo lungo l'asse di un anello carico - Dipartimento di Fisica

Corso di Fisica Generale I – Lauree Triennali in Ing. Gestionale ed Elettronica – A.A. 2012/2013
Campo lungo l’asse di un anello carico
Consideriamo l’anello carico (uniformemente) di raggio R delineato in figura. Se Q è la carica
complessiva sull’anello (e quindi λ = dq/ds = Q/2πR).
Preso un punto P sul suo asse, a distanza z dal suo centro
(vedi figura), il campo in esso determinato da un elementino
ds dell’anello è pari a
dE = 1 dq λ ds
=
4πε0 r2 4πε0 r2. Notando che elementi diametralmente opposti sull’anello
danno campi uguali, ma con componenti trasverse all’asse
uguali ed opposte, si capisce che il campo risultante è diretto
lungo l’asse stesso. Il suo valore si otterrà quindi con il
seguente integrale
E = dEcosθ = λcosθ
4πε0r2
ds = λ2πRcosθ Qcosθ
=
4πε0r2 4πε0r2 con
r 2 = R 2 +z 2
e cosθ = z/r
Infine, esprimendo il cosθ e r in termini delle altre grandezze, si ottiene
Qz
E(z) =
4πε0(R2 +z2 ) 3/2
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Campo sull’asse di un disco carico uniformemente
Ora si abbia un disco (sottile) di raggio R su cui è distribuita uniformemente della carica con
dendità superficiale σ (vedi figura sottostante).
Per il calcolo del campo lungo l’asse del disco, suddividiamo
il disco stesso in tanti anelli concentrici di raggio r e spessore
dr (e quindi con una carica dq = σ2πrdr). Ognuno di essi
determina in un punto P sull’asse del disco (a distanza z dal
suo centro) un campo (come segue da quanto ottenuto nella
slide precedente)
dqz
2πzσrdr
dE =
4πε0(r2 +z2 =
3/2
) 4πε0(r2 +z2 ) 3/2
Conseguentemente, il campo complessivo sarà dato da
E =
dE = σz
2ε0
R
0
rdr
(r 2 +z 2 ) 3/2
= σz
R 1
−√
=
2ε0 r2 +z2 0
σ
z
1− √
2ε0 R2 +z2 È interessante notare che nel caso in cui sia R ≫ z allora la precedente relazione ci dà
E = σ
2ε0
indipendente da z. Tale espressione (che in seguito ricaveremo anche con altri metodi)
corrisponde al campo generato da un piano carico uniformemente.
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Dipolo in un campo elettrostatico
Consideriamo un dipolo elettrico immerso in un campo elettrostatico uniforme.
Osservando la figura a lato è facile capire che sul dipolo agisce una
coppia di forze (uguali ed opposte) con un momento di ampiezza
τ = 2F d
sinθ = qd·Esinθ = pEsinθ
2
Si capisce anche che vettorialmente tale momento è pari a
τττ = ppp× E E E
dato che il suo verso é tale da spingere il dipolo ad allinearsi al
campo E E E.
D’altra parte, se immaginiamo di ruotare il dipolo da θi a θf, il
momento τττ compie un lavoro pari a
τττ ·dθ θf
θ θ = − pEsinθdθ = pE[cosθ]
θi θf θ = −[−pEcosθf −(−pEcosθi)]
i
θf
L =
θi Ma allora, se definiamo la seguente funzione energia potenziale
U(θ) = −pEcosθ = −ppp· E E E
possiamo scrivere
L = −[U(θf)−U(θi)] = −∆U.
Riassumendo: ad un dipolo in un campo elettrostatico compete un energia potenziale pari a
U = −ppp· E E E
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Flusso del campo elettrostatico
Il concetto di flusso di un campo vettoriale (o di un vettore) attraverso una superficie è legato
a come il vettore è orientato e distribuito nei punti della superficie. Ad esempio si consideri
il campo delle velocità di un fluido all’interno di un tubo (vedi figura sottostante).
flusso di aria
o di acqua
A
vvv
A
θ
ˆnˆnˆn
A seconda che la velocità sia perpendicolare
o no alla superficie considerata
il flusso Φ del vettorevvv è definito
come segue
Φv vvv
= (vcosθ)A = vAcosθ = (vvv·ˆnˆnˆn)A
dove A è l’area della superficie e ˆnˆnˆn corrisponde al versore della sua normale. Si noti anche
che, con questa definizione, Φv corrisponde alla portata volumica del fluido.
Per una superficie di forma qualsiasi e (o) un vettore vvv che cambia da punto a punto, il suo
flusso corrisponderà a
Φv = vvv · ˆnˆnˆndA.
A
Proviamo a calcolare il flusso del campo elettrostatico prodotto da una carica puntiforme q
attraverso una superficie sferica di raggio r con centro sulla carica stessa (vedi la figura
sottostante). In tal caso, la normale ˆnˆnˆn si intenderà diretta verso
l’esterno. Essendo il campo dato da E q
E E =
4πε0r2 ûûûr, è facile
rendersi conto che in tal caso avremo
E
S
EE
q
· ˆnˆnˆndA = E dA =
S 4πε0r2 ·4πr2 = q
ε0
Il flusso di E E E non dipende dal raggio della superficie!
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Flusso di E E E attraverso una superficie qualsiasi
Il risultato appena ottenuto é particolarmente interessante e richiede un approfondimento.
Considerando sempre il campo prodotto da una carica puntiforme q, calcoliamo il flusso di tale
campo attraverso una generica areola elementare dA come indicata nella figura sottostante.
Tale flusso sarà pari a
dΦE = E EE · ˆnˆnˆndA = EdAcosθ = EdA ′
dove dA ′ è l’area della proiezione di dA sulla sfera con
centro in q e raggio r. Introducendo l’angolo solido
dΩ sotteso dal vertice del cono avente per base dA ′ ,
possiamo scrivere dA ′ = r2dΩ e quindi si ricava
dΦE = Er 2 dΩ = q
dΩ
4πε0
Ma allora, per una superficie S chiusa che contiene la carica q, il flusso di E EE attraverso di
essa è pari a
ΦE = q
dΩ =
4πε0 S
q
·4π =
4πε0
q
ε0
dato che l’angolo solido sotteso da tutta la superficie è pari a 4π.
Al contrario, se la carica è esterna alla superficie i contributi
al flusso di superfici elementari opposte si annullano (come
mostra anche la figura a lato). Conseguentemente, il flusso
del campo della carica q attraverso una tale superficie è
nullo! Cioè
ΦE = 0
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Il Teorema di Gauss per il campo elettrostatico
I risultati della slide precedente ci permettono di enunciare il Teorema di Gauss:
il flusso del campo elettrostatico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è pari
alla carica elettrostatica interna alla superficie divisa per la costante dielettrica
del vuoto. E cioè
ΦE =
SG
E EE · ˆnˆnˆndA = qint
D’ora in poi le superfici chiuse utilizzate nell’applicazione
del teorema di Gauss saranno dette superfici gaussiane
(SG). Inoltre il versore della normale alla superficie ˆnˆnˆn sarà
sempre, per convenzione, orientato verso l’esterno.
La proprietà espressa dal teorema di Gauss deve essere
vista come una caratteristica fondamentale del
campo elettrostatico.
In effetti tale proprietà è costituisce l’altra faccia della legge di Coulomb. Infatti, come di
può vedere dai calcoli della slide precedente, l’espressione che abbiamo ottenuto per il flusso
di E E E attraverso una superficie elementare è determinata in maniera esclusiva dal fatto che il
campo di una carica puntiforme è inversamente proporzionale all’inverso del quadrato della
distanza (che dipende esclusivamente da Coulomb!).
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ε0