i jω - Automatica

A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova 

Risposta armonica 

• Analisi nel dominio del tempo: caratterizzazione del 

sistema osservando la sua risposta (forzata) ad ingressi 

significativi 

• Ipotesi: 

• il sistema ha f.d.t. G(s)=N(s)/D(s) e la corrispondente 

g(t) e` combinazione lineare di funzioni infinitesime 

per t→∞ 

• U(s)=L[u(t)] e` razionale, U(s)=B(s)/A(s) 

• (N,D), (B,A), (N,A) sono coppie di polinomi coprimi 

1


• Risposta forzata: 

€ 

• Per l’ipotesi su g(t): 


Y(s) = G(s)U(s) = N(s) 

D(s) 

y(t) = y g (t) + y u (t) 

B(s) 

A(s) = Ng (s) 

D(s) + Nu (s) 

A(s) 

€ 

lim y(t) = lim(y 

g (t) + yu (t)) = lim yu (t) 

t→∞ t→∞ t→∞ 

componente di regime permanente (u persistente 

limitato) o asintotica (u persistente non limitato) 

€ 

2


€ 


• Caso particolare di ingresso persistente limitato: sinusoidi 

€ 

u(t) = Asin(ω 0t) ⇒ U(s) = A ω0 s 2 2 

+ ω0 Y(s) = G(s)U(s) = G(s) Aω0 s 2 2 

+ ω0 = G(s) 

Aω 0 

(s + jω 0 )(s − jω 0 ) 

• Antitrasformando (N.B.: D(s) e A(s) necessariamente 

coprimi....) 

€ 

y(t) = yg (t) + α0e jω 0 t ∗ − jω 0 t 

+ α0e 3


• Residui: 


Aω0 α0 = lim (s − jω0 )G(s) 

s→ jω (s + jω0 )(s − jω0 ) 

= Aω 0 G( jω 0 ) 

2 jω 0 

• Poiche’ € G*(s)=G(s*) e definito 

€ 

€ 

€ 

∗ A 

α0 = 

−2 j G(− jω0 ) 

j argG(s) 

= A 

2 j G( jω 0 ) 

G(s) = G(s)e G( jω) = G( jω)e 

G(− jω) = G(( jω) ∗ ) = G ∗ € 

− jφ(ω ) 

( jω) = G( jω)e 

€ 

φ(ω) = argG( jω) 

jφ(ω ) 

4



• Essendo y g (t) infinitesima, per t “grande” 

€ 

y(t) ≅ α0e jω 0 t ∗ − jω 0 t 

+ α0e = A 

2 j G( jω 0 )e j(φ(ω 0 )+ω 0 t) − A 

2 j G( jω 0 )e− j(φ(ω 0 )+ω 0 t) 

= A G( jω 0 ) e j(φ(ω 0 )+ω 0 t) − e − j(φ(ω 0 )+ω 0 t) 

2 j 

= G( jω 0 ) Asin(ω 0 t + φ(ω 0 )) 

5


• In regime permanente: 


u(t) = Asin(ω 0 t + ϕ 0 ) ⇒ 

y(t) = G( jω 0 ) Asin(ω 0 t + ϕ 0 + φ(ω 0 )) 

• y(t) a regime e` ancora una sinusoide con 

€ 

• stessa frequenza ω0 • ampiezza amplificata/attenuata di un fattore |G(jω 0 )| 

• fase aumentata/diminuita di un fattore ϕ(ω 0 ) 

6



• G(jω): funzione di RISPOSTA ARMONICA o RISPOSTA IN 

FREQUENZA 

• Si ottiene valutando la funzione di trasferimento in s=jω 

(muovendosi lungo l’asse immaginario), con ω≥0 

• Legame con la risposta impulsiva g(t): 

€ 

g(t) → L 

s= jω 

G(s) → 

G( jω) 

• Nelle ipotesi fatte, l’ascissa di convergenza e` σ 0



• Quindi G(jω) e` determinabile univocamente da G(s) e 

viceversa 

• Forniscono caratterizzazioni equivalenti del sistema 

• La risposta armonica puo` essere calcolata 

sperimentalmente 

• applico u(t)=Asin(ω 0 t+ϕ) 

• lascio esaurirsi il transitorio 

• misuro y(t)=A’sin(ω 0 t+ϕ’) 

• assumo |G(jω 0 )|=A’/A e ϕ(ω 0 )= ϕ’- ϕ 

• ripeto per altre frequenze 

• costruisco per punti G(jω) 

8



• Significato della funzione di risposta armonica: 

• descrizione frequenziale dei segnali (spettro) 

• sviluppo in serie di Fourier di un segnale u(t) periodico 

di periodo T 

∞ 

u(t) = C0 + ∑Cn 

sin(nΩt + ϕn ) 

n=1 

= 1 

T U ∞ 

n 

n=−∞ 

e jnΩt 

∑ Ω = 2π 

• ogni componente del segnale “transita” indipendentemente 

attraverso il sistema e a regime 

€ 

∞ 

y(t) = C0 G(0) + ∑Cn 

G( jnΩ) sin(nΩt + ϕn + ϕ(nΩ)) 

n=1 

T 

9


2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

€ 


u(t) = sin(t) + 0.2sin(10t) +1.2sin(20t) 

-2.5 

0 5 10 15 20 25 30 

€ 

€ 

€ 

G(s) = 

1 

s 2 + s +1 

1 

G( jω) = 

1−ω 2 + jω 

G( j1) =1 

G( j10) = 0.01 

G( j20) = 0.0025 

10



• Per segnali non periodici: trasformata di Fourier 

€ 

u(t) = 1 

2π U( jω)e jωt +∞ 

∫ dω 

−∞ 

+∞ 

U( jω) = u(t)e − jωt ∫ dt 

−∞ 

• La trasformata di Fourier coincide con la trasformata di 

Laplace valutata € sull’asse immaginario (sotto opportune 

ipotesi) 

• Descrizione del contenuto frequenziale di un segnale 

€ 

1 

T U ∞ 

∑ 

n 

n=−∞ 

e jnΩt 

11


sin(ω 2 t) 


sin(ω 1 t) 

sin(ω 3 t) 

12



• Quando il segnale transita attraverso il sistema 

Y(s) = G(s)U(s) ⇒ Y( jω) = G( jω)U( jω) 

• Il contenuto spettrale del segnale di uscita (ad ogni 

frequenza) € si ottiene “sagomando” lo spettro del segnale 

di ingresso tramite la funzione di risposta armonica del 

sistema 

• Nel dominio del tempo: rappresentazione grafica naturale 

• La funzione di risposta armonica e` una funzione 

complessa di variabile reale (ω) 

• Quali rappresentazioni grafiche? 

13


• Due diagrammi separati: 

€ 

• |G(jω)| in funzione di ω 

• argG(jω) in funzione di ω 


G( jω) = G( jω)e 

• Unica curva nel piano complesso parametrizzata in ω : 

• ImG(jω) in funzione di ReG(jω) 

j argG( jω ) 

Diagrammi di Bode 

Diagramma di Nyquist 

14


€ 


• Si consideri la f.d.t. in forma fattorizzata (di Evans) 

G(s) = K (s − z 1 )(s − z 2 )…(s − z m ) 

(s − p 1 )(s − p 2 )…(s − p n ) 

(1+ τ ′ is) G(s) = K0 ′ µ s 

i 1+ 2 ζ i′ 

+ 

ω ′ ni 

s2 

ν ′ i 

m1 m2 ⎛ 

⎞ 

∏ ∏⎜ 

2 ⎟ 

i=1 

i=1⎝ 

ω ′ ni⎠ 

s h 

(1+ τ is) µ s 

i 1+ 2ζ i + 

ωni s2 

• Con opportune posizioni si ottiene la forma con costanti di 

tempo (forma di Bode) 

€ 

ν i 

n1 n 2 ⎛ 

⎞ 

∏ ∏⎜ 

2 ⎟ 

i=1 

i=1⎝ 

ω ni⎠ 

K0 = K τ 2 2 

1τ 2…ω ′ n1ω 

′ n 2… 

τ 1 ′ ′ 2 2 

ω … 

τ 2…ω n1 n 2 

guadagno di Bode 

15



• Ponendo s=jω, si ottiene la funzione di risposta armonica 

G( jω) = K 0 

m 1 

∏ 

i=1 

( jω) h 

(1+ j ′ 

τ iω) ′ 

µ m 2 

2⎛ 

jω ω ⎞ 

i ∏⎜ 

1+ 2 ζ i′ 

− 

ω ′ 2 ⎟ 

i=1⎝ 

ni ω ′ ni⎠ 

n 2 

2 ⎛ jω ω ⎞ 

∏⎜ 

− 

2 ⎟ 

i=1⎝ 

ωni ω ni⎠ 

(1+ jτ iω) µ n1 i ∏ 

1+ 2ζ i 

i=1 

• Quando h=0, K0 rappresenta il guadagno statico (G(0)= K0 € ⇒ K0 e` il valore a cui tende la risposta al gradino) 

• Quando h=1, K0 e` la costante di velocita` 

• Quando h=2, K0 e` la costante di accelerazione 

ν ′ i 

ν i 

16



• Diagrammi logaritmici e semilogaritmici 

• necessita` di rappresentare compattamente un ampio 

intervallo di pulsazioni ω (alte e basse frequenze, 

segnali “lenti” e segnali “veloci”) 

• operare facilmente su prodotti di termini (forma 

fattorizzata di G(s), calcolo della risposta 

Y(s)= G(s)U(s), ...) 

• descrivere variazioni relative ad un valore di riferimento 

(amplificazione, attenuazione) 

• Diagramma dei moduli: ascissa logω, ordinata 20log 10 |G(jω)| 

[dB] 

• Diagramma delle fasi: ascissa logω, 

[deg,rad] 

ordinata argG(jω) 

17


€ 

G( jω) = G( jω)e 


j argG( jω ) 

lnG( jω) = ln(G( jω)e j argG( jω ) ) 

= lnG( jω) + lne j argG( jω ) = lnG( jω) + j argG( jω) 

€ 

• La raffigurazione di ln(|G(jω)|) e di argG(jω) corrisponde 

alla rappresentazione della parte reale ed immaginaria di 

lnG(jω) 

• Il passaggio dal logaritmo naturale al logaritmo in base 10 

comporta solo l’introduzione di un fattore di scala 

18

€ 

€ 

€ 


A = A e 

log( € A B ) = log( A ) + log B 


j argA 

log A ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ = log( A ) − log B 

⎝ B ⎠ 

( ) 

( ) 

B = B e 

j argB 

arg(AB) = arg A e j argA ( 

j argB 

B e ) = arg e j(argA+argB) 

( ) = arg A + argB 

arg A ⎛ 

⎜ 

⎝ B 

⎞ ⎛ j argA 

A e ⎞ 

⎟ = arg⎜ j argB ⎟ = arg e 

⎠ ⎝ B e ⎠ 

j(argA−argB) 

( ) = arg A − argB 

log=log 10 

19


€ 


• Riferendosi alla risposta armonica: 

20logG( jω) = 20logK 0 + 20 ∑µ ′ i log(1+ j τ ′ iω) 

i 

⎛ 

2 


+20 ∑ν ′ i log⎜ 1+ 2 ζ i′ 

− 

i 

ω ′ 2 ⎟ − 20hlogω 

⎝ 


−20 µ ′ i 

∑ log(1+ jτ iω) 

i 

−20 ν i 

i 

⎛ 

∑ log⎜ 1+ 2ζ i 

⎝ 

2 


− 

2 ⎟ 

ωni ω ni⎠ 

20


€ 


argG( jω) = argK B + ∑µ ′ i arg(1+ j τ ′ iω) 

i 

⎛ 

2 


+ ∑ν i′ 

arg⎜ 1+ 2 ζ i′ 

− 

i 

ω ′ 2 ⎟ − 20harg( jω) 

⎝ 


⎛ 

2 


− ∑µ i′ 

arg(1+ jτ iω) − ∑ν i arg⎜ 1+ 2ζ i − 

2 ⎟ 

i 

i ⎝ ωni ω ni⎠ 

• A partire da una forma fattorizzata della funzione di risposta 

armonica, posso ottenere i diagrammi di modulo e fase 

come “somma” dei grafici delle componenti elementari 

21



• decibel: unita` logaritmica convenzionale 

• Tradizionalmente usata in radiotecnica per caratterizzare il 

guadagno di amplificatori, potenze,... 

v i 

A 

v u 

v u =Av i 

A dB =20log 10 |A| 

• grandezza adimensionale (se indica il rapporto tra 

grandezze della stessa natura) o dimensionale (nel qual 

caso vanno specificate le unita` di misura) 

22


€ 

G( jω 1 ) =10G( jω 2 ) 

€ 


20log G( jω 1 ) 

G( jω 2 ) 

= 20log10 = 20 

20logG( jω1 ) − 20logG( jω2 ) = G( jω1 ) − G( jω dB 2 ) = 20 dB dB 

€ 

€ 

⇒ G( jω 1 ) 

G( jω 2 ) =10 

⇒ G( jω 1 ) dB = G( jω 2 ) dB + 20 dB 

23



• Qualsiasi grandezza si puo` pensare rapportata ad 1: 

€ 

€ 

€ 

G( jω) =10 =10⋅1 ⇒ 

20log 


1 


1 

= 20log10 = 20 

=10 

20logG( jω) − 20log1= G( jω 1 ) dB − 0 dB = 20 dB 

G( jω) dB = 20 dB 

24



• |A|=r . 10 n , 1≤r



• Rappresentazione logaritmica delle pulsazioni ω 

• Tipicamente si usa la scala in logω (meno usati ln, log 2 ) 

• Si riportano pero` i valori effettivi di ω (la spaziatura e` 

logaritmica) 

2 

1.8 

1.6 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

decade 

1 2 3 10 

0 0.3 0.5 1 

log3≈0.5 ⇒ a meta` decade 

(tra log1=0 e log10=1) 

[ω] 

[x=logω] 

26



• Esempio di diagramma dei moduli 

|G(0)|=15=23 dB 

Magnitude [dB] 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

10 -1 10 0 10 1 10 2 

-20 

Frequency [rad/s] 

15 rad/s 

27



• Esempio di diagramma delle fasi 

Phase [deg] 

0 

-10 

-20 

-30 

-40 

-50 

-60 

-70 

-80 

10 -1 10 0 10 1 10 2 

-90 


28



• Regole per il tracciamento dei diagrammi di Bode dei 

termini elementari: 

€ 

K 0 

( jω) ±1 

(1+ jτω) ±1 

1+ 2ζ jω ⎛ 

2 

ω ⎞ 

⎜ − 

2 ⎟ 

⎝ ωn ω n ⎠ 

±1 

costante 

zero (polo) nell’origine 

zero (polo) reale 

coppia di zeri (poli) 

complessi coniugati 

29


• Fattore costante K 0 : 

Fattore costante 

• diagramma dei moduli: retta parallela all’asse delle 

ascisse di altezza |K 0 | dB con 

• |K 0 |>1 |K 0 | dB >0 

• |K 0 |=1 |K 0 | dB =0 

• |K 0 |


Phase (deg); Magnitude (dB) 

21 

20.5 

20 

19.5 

19 

150 

100 

50 

Fattore costante 

TextEnd 

Bode Diagrams 

10 -1 10 0 10 1 10 2 

0 

Frequency (rad/sec) 

K 0 0 

31


• Fattore (jω) ±1 : 

€ 

€ 

Zero (polo) nell’origine 

jω dB = 20log jω = 20logω , ω > 0 

arg( jω) = π 

2 , ω > 0 

1 

jω dB 

arg( 1 

) = −π 

jω 2 

= 20log 1 

= −20logω , ω > 0 

jω 

, ω > 0 

32



20 

10 

0 

-10 

-20 

50 

0 

-50 

Zero (polo) nell’origine 

TextEnd 

Bode Diagrams 

1/jω jω 

10 -1 10 0 10 1 



1/jω 

34


€ 

Zero (polo) reale 

• Fattore (1+jωτ) (zero reale): diagramma dei moduli 

€ 

1+ jωτ dB = 20log1+ jωτ 

= 20log 1+ ω 2 τ 2 =10log 1+ ω 2 τ 2 

( ) 

• Analizzando il comportamento per ω→0, ω→∞: 

1+ jωτ dB ≅ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

1 dB = 0 ω → 0 + 

(logω → −∞) 

jωτ dB = 20logωτ ω → +∞ (logω → +∞) 

• Approssimazione con una spezzata (diagramma asintotico 

dei moduli) 

35



• (a) retta y=0 (coincide con l’asse delle ascisse) 

• (b) retta y=20log(ωτ)=20logω+20log|τ|=20x+ 20log|τ| 

(pendenza 20 dB per decade) 

• le rette (a) e (b) si intersecano nel punto 

€ 

x = −20logτ = 20log 1 

τ 

ω = 1 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ τ 

punto di spezzamento 

36



25 

20 

15 

10 

5 

0 


|1/τ| 10|1/τ| [ω] 

log|1/τ| log|1/τ|+1 [x=logω] 

37


• Errore di approssimazione: 

€ 

€ 

€ 

ω = ω = 1 

τ : 

ω = 2ω = 2 

τ : 

ω = ω 

2 

= 1 

2τ : 


⎧ 1+ jω τ = 20log1± j = 20log 2 ≅ 3 dB dB 

⎨ 

⎩ 

0dB ⎧ 1+ j2ω τ = 20log1± 2 j = 20log 5 ≅ 7 dB dB 

⎨ 

⎩ j2ω τ = 20log±2 j = 20log2 ≅ 6 dB dB 

⎧ 

⎪ 

ω τ 

1+ j 

⎨ 2 dB 

⎩ ⎪ 

= 20log1± j 

2 

0dB = 20log 5 

2 ≅1 dB 

38



25 

20 

15 

10 

5 

0 


|1/2τ| 

1 dB 

3 dB 

1 dB 

|1/τ| 10|1/τ| [ω] 

2|1/τ| 

39



• Fattore (1+jωτ) (zero reale): diagramma delle fasi 

€ 

arg(1+ jωτ) = arctan(ωτ) 


arctan(ωτ) ≅ 

0 ω → 0 + 

⎧ 

⎪ 

(logω → −∞) 

⎪ π 1 

⎨ ω = ω = 

⎪ 4 τ 

⎪ π 

ω → +∞ (logω → +∞) 

⎩ 2 

• Approssimazione con una spezzata (diagramma asintotico 

delle fasi) 

€ 

40


Phase [deg] 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

1/(10|τ|) 


|1/τ| 10|1/τ| 

[ω] 

41



• Fattore 1/(1+jωτ) (polo reale): 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 1+ jωτ ⎠ 

dB 

= −20log1+ jωτ = −1+ jωτ dB 

⎛ 1 ⎞ 

arg⎜ 

⎟ = −arg(1+ jωτ) 

⎝ 1+ jωτ ⎠ 

• I diagrammi € si ottengono per simmetria rispetto all’asse 

delle ascisse da quelli relativi allo zero 

42



0 

-5 

-10 

-15 

-20 

0 

-20 

-40 

-60 

-80 

TextEnd 


Bode Diagrams 

10 -1 10 0 10 1 10 2 


43



• Osservazione: zeri e poli possono anche trovarsi nel 

semipiano destro ⇒ costanti di tempo negative 

σ =-1/|τ| 

C 

σ =1/|τ| 

s+p s-p 

1+s|τ| 1-s|τ| 

1+s|τ| 1+s(-|τ|) 

• Nel caso di costanti di tempo negative, non cambiano i 

diagrammi dei moduli, mentre cambiano quelli delle fasi 

arg(1− jω τ ) = −arctan(ω τ ) 

• Si ottengono ancora per simmetria rispetto all’asse reale 

dai corrispondenti diagrammi per τ>0 

€ 

44



0 

-5 

-10 

-15 

-20 

50 

0 

-50 

TextEnd 

Bode Diagrams 



10 0 10 1 10 2 

1/(1+sτ) 

τ>0 

τ


€ 

Coppia di zeri (poli) complessi coniugati 

1+ 2ζ jω 

• Fattore 

⎛ 

2 

ω ⎞ 

⎜ − 

2 ⎟ 

⎝ ωn ω n ⎠ 

(coppia di zeri comp. con.) 

• Diagramma dei moduli: sia 0≤ζ ≤1 e ωn >0 


ω n 

− 

ω 2 

2 

ω n dB 

⎛ 2 

ω ⎞ 

= 20log⎜ 1− 

2 ⎟ + 2 jζ 

⎝ ω n ⎠ 

ω 

ωn ⎛ 2 

ω ⎞ 

= 20log ⎜ 1− 

2 ⎟ 

⎝ ω n ⎠ 

⎛ ⎛ 2 

ω ⎞ 

=10log ⎜ ⎜ 1− 

2 ⎟ 

⎝ ⎝ ω n ⎠ 

2 

2 

+ 4ζ 2 ω 2 

2 

ωn + 4ζ 2 ω 2 ⎞ 

⎟ 

2 

ω ⎟ 

n ⎠ 

46

€ 





ω → 0 

1 = 0 

2 

dB 

ω 

− ≅ 

2 ωn ω n dB 

+ 

⎧ 

⎪ 

(logω → −∞) 

⎨ 2 

⎪ ω ω → +∞ 

− = 40logω − 40logω n 

⎩ ⎪ 

(logω → +∞) 

2 

ω n dB 

• Approssimazione con spezzata (diagramma asintotico) 

• (a) retta y=0 (coincide con l’asse delle ascisse) 

• (b) retta y=40log(ω)- 40log(ω n )=40x- 40log(ω n ) 

(pendenza 40 dB per decade) 

• le rette (a) e (b) si intersecano nel punto di 

spezzamento 

⎧ x = logω n 

⎨ 

⎩ 

ω = ωn 47



45 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

-5 

ω n 10ω n [ω] 

48



• Il diagramma asintotico dipende solo da ω n . L’errore di 

approssimazione dipende da ζ. Nel punto di spezzamento 

1+ 2ζ jω n 

ω n 

ω 

− n2 

2 

n 

ω dB 

= 20log2ζ ≅ 

6dB ζ =1 

3dB ζ = 1 

2 

0dB ζ = 1 

⎧ 

⎪ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎪ 2 

⎩ −∞ ζ = 0 

• L’errore di approssimazione aumenta per ζ →0 

€ 

• Per cercare il massimo scostamento, si determina il punto 

di minimo della curva 

49


€ 


⎛ 

d ⎛ 2 

ω ⎞ 

⎜ ⎜ 1− 

2 dω ⎜ ⎟ 

⎝ ⎝ ω n ⎠ 

2 

+ 4ζ 2 ω 2 ⎞ ⎛ 2 

⎟ 

ω ⎞ 

2 

ω ⎟ 

= 2⎜ 1− 

2 ⎟ −2 

n ⎠ ⎝ ω n ⎠ 

ω ⎛ ⎞ 

⎜ 2 ⎟ + 8ζ 

⎝ ωn ⎠ 

2 ω 

= 0 

2 

ω n 

• Si ha un minimo solo per ζ < √2/2 

€ 

• Valore del minimo: 


ω n 

− 

2 

ω 

ω = ω n 1− 2ζ 2 

2 

ω n 

dB 

= 20 log2ζ 1−ζ 2 

( ) 

= 6 + 20logζ +10log 1−ζ 2 

( ) 

50



• Per ζ =0 (coppia di zeri puramente immaginari) si ha un 

asintoto a -∞ per ω →ω n 

• Per 1/√2 < ζ


€ 



2 

ω ⎞ 

• Fattore ⎜ − 

2 ⎟ (coppia di zeri comp. con.) 

⎝ ωn ω n ⎠ 

• Diagramma delle fasi: sia 0≤ ζ ≤1 e ω n >0 

€ 

⎛ 2 

ω ⎞ 

arg ⎜ 1− 

2 ⎟ + 2 jζ 

⎝ ω n ⎠ 

ω 

⎛ 

⎞ 

ζ 

⎜ 

⎟ = arctan 

⎝ 

ωn ⎠ 

ω ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ ωn ⎟ 

⎜ ⎛ 2 

ω ⎞ ⎟ 

⎜ ⎜ 1− 

2 ⎟ ⎟ 

⎝ ⎝ ω n ⎠ ⎠ 


⎛ 2 

ω ⎞ 

arg ⎜ 1− 

2 ⎟ + 2 jζ 

⎝ ω n ⎠ 

ω 

0 ω → 0 

⎛ 

⎞ 

⎜ 

⎟ = 

⎝ 

ωn ⎠ 

+ 

π 

2 ω = ω ⎧ 

⎪ 

⎨ 

n , ζ ≠ 0 

⎪ 

⎩ π ω → +∞ 

52



• Il diagramma asintotico e` una spezzata e dipende solo da 

ω n 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

ω n 

[ω] 

53



• L’errore dipende da ζ. Per ζ →0 il diagramma vero tende 

all’asintotico 

Phase [deg] 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

10 -1 10 0 10 1 

0 


54



−1 


2 

ω ⎞ 

• Fattore ⎜ − 

2 ⎟ (coppia di poli comp. con.) 

⎝ ωn ω n ⎠ 

• Anche 

€ 

in questo caso i diagrammi si ottengono per 

simmetria rispetto all’asse delle ascisse dai 

corrispondenti derivati per la coppia di zeri. 

• Quando ζ =0 (coppia di poli immaginari puri), in ω n il 

diagramma dei moduli presenta un asintoto a +∞. 

55




0 

-10 

-20 

-30 

-40 

-50 

-100 

-150 

TextEnd 

Bode Diagrams 

10 -1 10 0 10 1 


56



• In tal caso si puo` scrivere il fattore trinomio come 

1− 2ζ jω ⎛ 

2 

ω ⎞ 

⎜ − 

2 ⎟ 

⎝ ωn ω n ⎠ 

±1 

⎛ 2 

ω ⎞ 

= ⎜ 1− 

2 ⎟ − 2ζ 

⎝ ω n ⎠ 


⎛ 

⎞ 

⎜ 

⎟ 

⎝ 

ωn ⎠ 

• Non cambia pertanto il diagramma dei moduli, mentre per 

la fase: 

€ 

arg 1− 2ζ jω ⎛ 

2 

ω ⎞ 

⎜ − 

2 ⎟ 

⎝ ωn ω n ⎠ 

±1 

• Si ottengono ancora per simmetria rispetto all’asse reale 

dai corrispondenti diagrammi per ζ>0 

€ 

±1 

⎛ 2 

ω ⎞ 

= −arg ⎜ 1− 

2 ⎟ + 2ζ 

⎝ ω n ⎠ 


⎛ 

⎞ 

⎜ 

⎟ 

⎝ 

ωn ⎠ 

±1 

58



0 

-10 

-20 

-30 

-40 

150 

100 

50 

0 

-50 

-100 

-150 


TextEnd 

Bode Diagrams 

10 -1 10 0 10 1 


ζ 0 

40 

30 

20 

10 

0 

150 

100 

50 

0 

-50 

-100 

-150 

TextEnd 

Bode Diagrams 

10 -1 10 0 10 1 


ζ >0 

ζ


Regole per il tracciamento dei diagrammi 

• Per la generica G(s) i diagrammi di Bode si ottengono per 

sovrapposizione (somma) dei diagrammi elementari 

• Regole pratiche per il tracciamento 

G( jω) = K 0 

m 1 

∏ 

i=1 

( jω) h 

(1+ j ′ 

τ iω) ′ 

µ m 2 

2⎛ 


i ∏⎜ 

1+ 2 ζ i′ 

− 

ω ′ 2 ⎟ 

i=1⎝ 


n 2 

2 ⎛ jω ω ⎞ 

∏⎜ 

− 

2 ⎟ 

i=1⎝ 

ωni ω ni⎠ 

(1+ jτ iω) µ n1 i ∏ 

1+ 2ζ i 

i=1 

• Si individuano i punti di spezzamento 

€ 1 

τ 

1 

τ ′ 

ωn ω ′ n 

log 1 ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ log 

⎝ τ ⎠ 

1 

⎛ 

⎛ ⎞ 

⎜ 

⎜ ⎟ logω n 

⎝ 

⎝ τ ′ ⎠ 

⎞ 

log ω ′ n ⎟ 

⎠ 

ν ′ i 

ν i 

60



• Per il diagramma dei moduli: 

• pendenza iniziale: retta a h . (-20 dB /decade) che interseca 

l’asse delle ordinate nel punto |K 0 | dB 

• partendo dal punto di spezzamento piu` a sx, ad ogni 

punto di spezzamento si varia la pendenza di 

• µ’ . (20 dB /decade) zero reale, molteplicita` µ’ 

• µ . (-20 dB /decade) polo reale , molteplicita µ 

• ν’ . (40 dB /decade) zeri comp.conj., moltep. ν’ 

• ν . (-40 dB /decade) poli comp.conj., moltep. ν 

61



• Per il diagramma delle fasi: 

• inizialmente, retta orizzontale a -h . π/2 piu` un contributo 

di -π se K 0 0 

−µ’ . π/2 zero reale, molteplicita` µ’ τ’0 

µ . π/2 polo reale, molteplicita` µ τ0 

−ν’ . π zeri comp. conj. moltep. ν’ ζ’0 

ν . π poli comp. conj. moltep. ν ζ



• Il diagramma vero si puo` ottenere a partire dall’asintotico 

sommando dei termini di correzione 


50 

0 

-50 

-100 

-100 

-150 

-200 

-250 

-300 

TextEnd 

Bode Diagrams 

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 


63



• Determinazione delle costanti di posizione e velocita`: a 

basse frequenze (ω≈0) 

KG( jω) ≈ K 0 

1 

( jω) 

n 

• se n=0: l’asintoto per ω≈0 e` una retta orizzontale di 

ordinata K0 =Kp € 

• se n=1: Kv =K0 ed avendo l’asintoto equazione 

A(ω) = K 0 

ω 

leggo il valore di K0 determinando il valore dell’asintoto 

per ω=1 

€ 

64



Magnitude (db) 

30 

20 

10 

0 

-10 

-20 

10 -1 10 0 10 1 10 2 

-30 


K p =20db=10 

65


Magnitude (dB) 


80 

60 

40 

20 

0 

-20 

-40 

-60 

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 

-80 


K v =40db=100 

66


Specifiche nel dominio della frequenza 

• Caratterizzazione della risposta al gradino nel dominio del 

tempo 

• Permette di formulare delle specifiche di controllo in 

termini di M p , t r ,t s 

• Caratterizzazione della risposta armonica: si suppone che 

il sistema abbia comportamento simile a quello di un 

sistema del secondo ordine 

• Pulsazione di risonanza ω r : pulsazione in cui si ha max 

|G(jω)| 

• Picco di risonanza M r :|G(jω r )|-|G(j0)| 

• Banda passante ω BW =2πB: pulsazione in cui |G(jω)| e` 

diminuito di 3 dB rispetto a |G(j0)| 

67


|G(j0)| dB 

|G(j0)| dB -3 dB 


40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

10 -1 10 0 10 1 

0 

ω r 

M r 

2πB= ω f 

68



• Correlazione tra specifiche nel dominio del tempo e 

specifiche nel dominio della frequenza 

• Relazioni approssimate 

• t r piccolo ⇒ sistema “pronto” ⇒ “passano” frequenze 

elevate ⇒ B elevata 

t r B ≈ 0.4 

• Sistema poco smorzato (ζ piccolo) ⇒ M p grande ⇒ M r 

grande 

M p ≈ (M r /|G(0)|)-1 

69



40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

10 -1 

30 

25 

20 

15 

10 

10 -1 

10 0 

10 0 

10 1 

10 1 

Amplitude 

Amplitude 

30 

20 

TextEnd 

10 

Step Response 

0 

0 5 10 15 

25 

20 

15 

10TextEnd 

5 

Time (sec.) 

Step Response 

0 

0 1.4 2.8 4.2 5.6 7 

Time (sec.) 

70

i jω - Automatica

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