sistema in retroazione unitaria - Automatica

A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova 

Formulazione delle specifiche 

• Formulazione delle specifiche: 

• sistema in retroazione unitaria (1 grado di liberta`) 

r 

+ e D(s) u 

- 

G(s) 

• caratterizzazione della f.d.t. a catena chiusa 

• si fa in genere riferimento alla risposta di un sistema 

“semplice” (ad es. del secondo ordine) a segnali 

canonici (ad es. gradino, rampa, ...) 

• comportamento nel dominio del tempo 

• comportamento nel dominio delle frequenze 

y 

1



• Tipiche specifiche di progetto sono fornite in termini di: 

• stabilita` (del sistema a catena chiusa, ma anche del 

controllore stesso, o di altre f.d.t. di interesse) 

• errore a regime nella risposta a segnali canonici 

• prontezza del sistema 

• capacita` smorzante 

• insensibilita` alle variazioni parametriche e/o disturbi 

agenti sul sistema 

• Traduzione in termini di valori quantitativi di alcuni 

parametri 

2



• Stabilita` (del sistema in retroazione) ⇒ margini di 

stabilita` PM, GM 

• Regime transitorio: 

• prontezza ⇒ tempo di salita t r 

• capacita` smorzante ⇒ sovraelongazione M p 

• Regime permanente: 

• errore a regime e r (risposta ad ingressi canonici) 

• tipo 

• Caratterizzazione nel dominio del tempo ⇒ 

caratterizzazione nel dominio della frequenza 

3


• Prontezza: 


• sistema “pronto” ⇒ t r “piccolo” ⇒ elevata banda 

passante B del sistema in catena chiusa 

• Capacita` smorzante: 

• sistema “smorzato” (ζ grande) ⇒ M p “piccolo” ⇒ 

massimo di risonanza M r “piccolo” nella risposta in 

frequenza 

• PM elevato 

4



• Errore a regime: legato al valore della funzione di risposta 

armonica per ω ≈0 

• Tipo: numero di poli nell’origine della f.d.t. in catena 

diretta 

• Sensibilita` alle variazioni parametriche ⇒ “sagomatura” 

della risposta in frequenza 

• Progetto del controllore: determinare il tipo di azione da 

effettuare tramite D(s) sul processo da controllare G(s) 

per garantire che a catena chiusa T(s) soddisfi le 

specifiche 

• Azioni elementari di controllo 

5


Sintesi di Bode 

• Sintesi di Bode: e` basata sulla formulazione di alcune 

specifiche del sistema a catena chiusa in termini di 

caratteristiche del termine in catena diretta L(s)=D(s)G(s) 

• E` detta anche sintesi per tentativi (richiede in genere 

diverse iterazioni) 

• Specifiche: 

• errore a regime |e r,k |



• Collegamento con il comportamento a catena chiusa: 

€ 

• errore a regime e precisione nel sistema retroazionato 

dipendono dal tipo e dal guadagno del termine in 

catena diretta: 

tipo 

Gradino Rampa Rampa 

parabolica 

0 1 ∞ ∞ 

1 

1+ L0 (0) 

0 1 ∞ 

2 0 

L0 (0) 

0 € 

1 

L0 (0) 

€ 

€ 

L(s) = L 0 (s) 

L 0 (0) guadagno di posizione 

L(s) = L0 (s) /s 

L 

€ 0 (0) guadagno di velocita` 

€ 

€ 

L(s) = L 0 (s) /s 2 

L 0 (0) guad. di accelerazione 

7



• M p nel sistema retroazionato e PM di G(s) sono legati 

tra loro nel seguente modo: PM cresce ⇔ M p cala 

• Infatti: M p elevata ⇒ il sistema retroazionato ha poli 

vicini all’asse immaginario ⇒ e` “vicino” all’instabilita` 

⇒ ha PM piccolo. 

• Nella sintesi di Bode si cerca di ottenere una 

sovraelongazione soddisfacente agendo su PM 

• Legame tra ω c (L(s)) e B (T(s)): per sistemi regolari si 

ha che ω c cresce ⇔ B cresce. Assunzione: 0≤PM ≤π/2 

8



• Assunzione: |T(jω)| monotono decrescente nell’intorno di 

2πB 

|T(j0)|/√2 

|T(j0)| 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

10 -1 10 0 10 1 

0 

ω c 

|T(jω c )| 

|T(j2πB)| 

2πB= ω BW 

9


• Per sistemi regolari: 


ω c ≤2πB ω c ≈5B 

• La specifica su ω c corrisponde ad una specifica su B 

Specifiche su T(s) 

• Errore a regime 

• Sovraelongazione 

• Banda passante 

Specifiche su L(s)=D(s)G(s) 

• Tipo+guadagno 

• margine di fase 

• pulsazione di attraversamento 

Calcolo di D(s) 

10



• Step 1: soddisfacimento della specifica sul tipo e la 

precisione 

• La specifica e` formulata come |e r,k |



• Osservazione: se k=0, per K elevato 

1€ 

e r,0 = 

1 

1+ K 

• Poiche` K=K D . KG il valore limite per K D e` dato da 

K D = 

K G e r,k 

• La struttura del regolatore D(s) e` pertanto 

€ 

D(s) = KD s h D 

D 

* (s) 

≈ 1 

K 

dove D*(s) e` una f.d.t. con guadagno unitario e priva di 

poli nell’origine 

€ 

12



• Step 2: soddisfacimento della specifica margine di fase e 

pulsazione di attraversamento 

• Si agisce su D*(s), tramite la quale si deve garantire che 

€ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

L( jωc ) =1 

[ ] + π = PM 

Arg L( jω c ) 

L(s) = D(s)G(s) = D 

€ 

* (s) KD s h G(s) = D 

D 

* (s)G * (s) 

€ 

G * (s) = def K D 

s h D 

G(s) 

• G*(s) ha gia` tipo e guadagno corretti 

13


Azioni di controllo 

• Con riferimento a G*(s), definiamo: 

• ω c 0 : pulsazione di attraversamento effettiva 

• ω c : pulsazione di attraversamento richiesta 

• PM: margine di fase richiesto 

• PM 0 =π+Arg[G*(j ω c )] (margine di fase disponibile in ω c ) 

• Osservazione: PM 0 NON coincide con il margine di fase di 

G*(s) che vale π+Arg[G*(j ω c 0 )] 

• Osservazione: la specifica su PM e` una disuguaglianza 

(come quella su e r,k ), quella su ω c e` una uguaglianza 

• Nei problemi: tutte le specifiche considerate come 

uguaglianze 

14


Phase (deg); Magnitude (dB) 

0 

-20 

-40 

-60 

-80 

-50 

-100 

-150 

-200 

-250 


Bode Diagrams 

ω c 0 ω c 

PM=π+Arg[G*(jω c 0 )] PM 0 =π+Arg[G*(j ω c )] ≠ PM 

10 

Frequency (rad/sec) 

0 10 1 

15


• Possibili situazioni: 

• ω c > ω c 0 , ωc < ω c 0 

• PM > PM 0 , PM < PM 0 


• Si agisce tramite D*(s) per imporre che ω c = ω c 0 , PM = PM 0 

(o PM > PM 0 ) 

• In termini analitici: 

L( jωc ) = D * ( jωc )G * ( jωc ) =1 

Arg[ L( jωc ) ] = Arg D * [ ( jωc ) ] + Arg G * ⎧ ⎪ 

⎨ 

⎩ ⎪ 

[ ( jωc ) ] = mϕ − π 

• Scelta della rete corretrice in base all’azione elementare di 

€ controllo desiderata 

16


• Caso 1: ω c > ω c 0 

0 

-20 

-40 

-60 

-80 

Caso 1: ω c > ω c 0 

ω c 0 ω c 

• Azione amplificatrice alla pulsazione ω c 

• Sul diagramma di Bode dei moduli : traslazione verso 

l’alto 

ΔK 

17

€ 


Caso 1: ω c > ω c 0 

• Determinazione del fattore di amplificazione ΔK: 

€ 

€ 

L( jω c ) = D * ( jω c )G * ( jω c ) =1 ⇒ M = D * ( jω c ) = 

G * ( jω c ) 1 

1 

ΔKdB = MdB = 

G * ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ 

⎝ ( jωc ) ⎟ 

= −G 

⎠ dB 

* ( jωc ) > 0 

dB 

1 

G * ( jω c ) 

18


• Caso 2: ω c < ω c 0 

0 

-20 

-40 

-60 

-80 

Caso 2: ω c < ω c 0 

ω c 

ω c 0 

• Azione attenuatrice alla pulsazione ω c 

• Sul diagramma di Bode dei moduli : traslazione verso il 

basso 

ΔK 

19

€ 


Caso 2: ω c < ω c 0 

• Determinazione del fattore di attenuazione ΔK: 

€ 

€ 

L( jω c ) = D * ( jω c )G * ( jω c ) =1 ⇒ M = D * ( jω c ) = 

G * ( jω c ) >1 ⇒ D * ( jω c ) = 

1 

G * ( jω c )


Caso 3: PM > PM 0 

• Caso 3: PM > PM 0 (margine di fase insufficiente) 

-50 

-100 

-150 

-200 

-250 

TextEnd 

PM 0 

ω c 

10 0 10 1 

• Azione anticipatrice alla pulsazione ω c 

• Sul diagramma di Bode delle fasi : traslazione verso l’alto 

ϕ 

PM 

21


€ 

Caso 3: PM > PM 0 

• Determinazione del fattore di anticipo ϕ: 

Arg[ L( jωc ) ] + π = PM = Arg D * [ ( jωc ) ] + Arg G * [ ( jωc ) ] + π 

PM 0 

PM = Arg D * [ ( jωc ) ] + PM 0 ⇒ Arg D * [ ( jωc ) ] = ϕ = PM − PM 0 > 0 

€ 

ϕ = PM − PM 0 = PM − Arg G * ( [ ( jωc ) ] + π) 

22


-50 

-100 

-150 

-200 

-250 

TextEnd 

Caso 4: PM < PM 0 

• Caso 4: PM < PM 0 (margine di fase sufficiente) 

PM 

ω c 

10 0 10 1 

PM 0 

• In ω c la G*(s) presenta gia` un margine di fase superiore a 

quello richiesto ⇒ situazione “migliore” di quanto 

richiesto nella specifica ⇒ non si operano correzioni di 

fase 

• ϕ


€ 

Scelta della rete correttrice 

• Le caratteristiche della rete correttrice sono determinate in 

base ai valori di: 

M = C * 1 

( jωc ) = 

G * ( jωc ) 

ϕ = Arg D * [ ( jωc ) ] = PM − PM 0 = PM − Arg G * ⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

( jωc ) 

• Quattro possibili situazioni: 

> < 

M M>1 M0 ϕ


Specifiche su T(s) 

• Errore a regime 

• Sovraelongazione 

• Banda passante 


Specifiche su L(s)=D(s)G(s) 


• margine di fase 

• pulsazione di attraversamento 

Calcolo di D(s) 


• Anticipo/ritardo di fase in ω c 

• Amplificazione/attenuazione in ω c 

25

€ 



• Importante: sia M che ϕ sono determinati in base a G*(s) 

G * (s) = K D 

s h D 

G(s) 

1 

M = € 

G * ( jωc ) = 

( ωc) hD KD G( jωc ) 

ϕ = PM − Arg G * ⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎛ 

( [ ( jωc ) ] + π) 

= PM −⎜ Arg[ G( jωc ) ] − hD ⎩ ⎪ 

⎝ 

π 

2 

⎞ 

+ π⎟ 

⎠ 

26


• Struttura del controllore: 

Il progetto delle reti corretrici 

D(s) = K D 

s h D 

D * (s) 

• Specifica su tipo ed errore a regime ⇒ KD , hD € 

• D*(0)=1, D*(s) priva di poli nell’origine 

• Specifiche su ω c e PM ⇒ M, ϕ ⇔ D*(jω c ) 

• Questa informazione e` sufficiente per determinare 

univocamente per via analitica G*(s) se essa ha struttura 

semplice 

• Analizziamo i quattro casi della tabella (M, ϕ) 

27


• Caso M>1, ϕ1, ϕ ω c 0 (richiesta amplificazione alla pulsazione ωc ) 

• Compensatore (amplificatore) statico: 

• Osservazione: D*(0)≠1 

D * ΔK 

(s) = M =10 20 >1 

• si migliora la € precisione a regime 

28


|L| 

Arg[L] 

-π 

PM 0 

Caso M>1, ϕ


• Caso M>1, ϕ>0 : 

Caso M>1, ϕ>0 

• PM > PM 0 (margine di fase insufficiente) 

• ω c > ω c 0 (richiesta amplificazione alla pulsazione ωc ) 

• Azione amplificatrice per aumentare ω c 

• Azione anticipatrice per “guadagnare” PM 

• Rete anticipatrice (amplificatrice) (lead) 

D * (s) = 

1+ Ts 

, T > 0, 0 < α


Magnitude [dB] 

Phase [deg] 

0 

80 

60 

40 

20 

0 

Frequency [rad/s] 

1/T 1/(αT) 

φ max 


ω max 


€ 

x o 

1/T 

1/(αT) 

ω >> 1 

αT : 

D * ( jω) dB ≅ 20log 1 

α 

φ max < π 

2 

31


ω max 

φ max 

1 1/α 


€ 

€ 

€ 

Centro della cfr.: 

1+ 1 

α 1+ α 

= 

2 2α 

log 1 

T 

+ log 1 

αT 

2 

⇒ ω max = 1 

T α 

φ max = arctan 1−α 

2 α 

= 1 1 

log 

2 T 2 ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ α⎠ 

⎛ 1 ⎞ 

= log⎜ 

⎟ 

⎝ T α ⎠ 

32


• Problema di sintesi: dati 


• ω c , M > 1, ϕ > 0 

determinare i parametri α e T di una rete anticipatrice D*(s) 

tali che 

• |D*(jω c )| = M 

• Arg[D*(jω c )]= ϕ 

• D*(s) e` completamente specificata dai due parametri α e T 

e il problema richiede il soddisfacimento di due 

condizioni 

• Si possono impostare due equazioni (una dalla condizione 

sul modulo, una dalla condizione di fase) nei due 

parametri α e T 

• Condizioni per l’esistenza di una soluzione 

33



• Soluzione: il punto Me jϕ deve appartenere al diagramma di 

Nyquist di D* quando ω=ω c 

Msinϕ 

Me jϕ 

ϕ 

0 1 1/α 

Mcosϕ 

Mcosϕ-1: Msinϕ= Msinϕ:1/α- Mcosϕ 

34



• Si ottiene un’equazione da risolvere in α 

M 2 sin 2 ϕ = ( M cosϕ −1) 

1 ⎛ ⎞ 

⎜ − M cosϕ⎟ 

⎝ α ⎠ 

€ 

€ 

α = 

M cosϕ −1 

M M − cosϕ 

( ) 

• Si impone poi che |D*(jω c )| 2 =M 2 

€ 

T = 1 

ω c 

1+ T 2 2 

ωc 2 

1+ α 2 T 2 ω c 

1− M 2 

α 2 M 2 −1 

= M 2 

= M − cosϕ 

ω c sinϕ 

35

€ 



• Condizione per l’esistenza di una rete anticipatrice che 

risolve il problema: dato che M>1, α > 0 implica che 

α = 

M cosϕ −1 

M M − cosϕ 

( ) 

> 0 ⇒ M cosϕ −1> 0 ⇒ 

cosϕ > 1 

M 

• La condizione e` stringente: se non € e` soddisfatta, non 

esiste una D*(s) della forma assegnata che risolve il 

problema 

• Poiche’ M>1, ϕ 0 

36



• Si puo` anche determinare α come l’unica soluzione 

positiva dell’equazione 

c q 2 ( c + c −1)α 

2 + 2q 2 cα + q 2 ( +1− c) 

= 0 

q = tanϕ c = M 2 >1 c > q 2 +1 

• Effetti positivi dell’azione anticipatrice: 

• miglioramento € 

del margine di stabilita` 

• aumento di ωc ⇒ aumento di B a catena chiusa⇒ 

diminuzione di tr ⇒ sistema piu` pronto 

• Effetti negativi: 

• peggiora la possibilita` di “filtrare” rumore 

sovrapposto al segnale utile 

37


• Esempio: 


P(s) = 

• tipo h=1, |er,1 |1, ϕ>0 

25 

s(s + 5)(s +10) 

• PM=45 o 

• Step 1: specifica su tipo ed errore a regime 

• G(s) e` gia` di tipo 1 ⇒ h D =0 

• K v =(guadagno di velocita`)=0.5 

K D = 1 

K v ε = 

1 

= 20 

0.5⋅ 0.1 

38

€ 


€ 


• Step 2: specifiche su ω c e PM 

G * (s) = K D 

s h D 

• Determinazione di M e ϕ: 

€ 

G * ( jωc ) = G * ( j8) = 0.51e 

G(s) = 20G(s) = 

1 

M = 

G * ≅ 2 >1 

( j8) 

ϕ = PM − π + Arg G * ⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

( j8) 

• Rete anticipatrice 

− j186.56 

500 

s(s + 5)(s +10) 

PM 0 =-6 o 

[ [ ] ] ≅ 45 −[180 −186 ] = 51 > 0 

39

€ 

€ 


• Condizione di esistenza: 

M € cosϕ −1 

α = 

M M − cosϕ 

( ) 


cosϕ = 0.63 > 1 

M 

• Determinazione della rete: 

D * (s) = 

= 0.078 

1+ Ts 1+ 0.21s 

= 

1+ αTs 1+ 0.016s 

€ 

€ 

= 0.51 

T = 

M − cosϕ 

= 0.21 

ωa sinϕ 

1+ 0.21s 

D(s) = 20 

1+ 0.016s 

40



40 

20 

0 

-20 

-40 

-60 

-80 

-100 

-150 

-200 

-250 


10 0 10 1 


41



20 

15 

10 

5 

0 

60 

50 

40 

30 

20 

10 


Diagrammi di Bode della rete anticipatrice 

TextEnd 

si “lavora” in prossimita` di ω max 

10 0 10 1 10 2 10 3 


42



0 

-50 

-100 

-100 

-150 

-200 

-250 


Margini del guadagno di anello 

Gm=16.845 dB (at 24.974 rad/sec), Pm=45 deg. (at 8 rad/sec) 

10 0 10 1 10 2 


43



Phase [deg] 

10 

0 

-10 

-20 

-30 

-40 


10 0 10 1 10 2 

-50 

13 


0 

-50 

-100 

-150 

-200 

10 0 10 1 10 2 

-250 


2πB≈13 ⇒ B ≈2 ⇒ ω c =8 ≈5B ≈ 10 

44


• Caso M



Phase [deg] 

0 

0 

-20 

-40 

-60 

-80 

1/T 1/(αT) 

ω min 

φ min 


Caso M 1 

αT : 

D * ( jω) dB ≅ 20logα 

φ min > − π 

2 

46


α 



Caso M



• ω c , M < 1, ϕ < 0 

determinare i parametri α e T di una rete attenuatrice D*(s) 

tali che 

• |D*(jω c )| = M 


Caso M


€ 

• Si ottiene: 

α = 

( ) 

M cosϕ − M 

1− M cosϕ 

Caso M


• Si puo` anche determinare α come l’unica soluzione 

positiva dell’equazione 

• Effetti positivi dell’azione anticipatrice: 

€ 

• diminuzione di B a catena chiusa ⇒ aumenta l’effetto 

“filtrante” 

• Effetti negativi: 

Caso M


• Esempio: 


G(s) = 

• tipo h=1, |er,1 |

€ 


€ 

Caso M

€ 




α = 

€ 

M cosϕ − M 

1− M cosϕ 

G * (s) = 

( ) 

1+ αTs 1+1.27s 

= 

1+ Ts 1+ 6.14s 

Caso M



40 

20 

0 

-20 

-40 

-60 

-80 

-100 

-150 

-200 

-250 

Caso M



0 

-5 

-10 

-10 

-20 

-30 

-40 

Caso M



50 

0 

-50 

-100 

-150 

-200 

-250 

Caso M



0 

-5 

-10 

-15 

-20 

0 

-50 

-100 

-150 

-200 

Caso M


• Caso M0 : 

Caso M0 

• PM > PM 0 (margine di fase insufficiente) 

• ω c < ω c 0 (richiesta attenuazione alla pulsazione ωc ) 

• Azione attenuatrice per diminuire ω c ed anticipatrice per 

“guadagnare” in PM 

• Rete piu` complessa (due poli e due zeri) 

• Rete a sella (attenuatrice-anticipatrice) (lead-lag) 

D * (s) = 1+ αT 1 s 

1+ T 1 s 

1+ T 2 s 

1+ αT 2 s T 1 > T 2 

> 0, 0 < α


Gain dB 

Phase deg 

0 

90 

60 

30 

0 

-30 

-60 

-90 


Caso M0 

1/T1 1/(αT1 ) 1/T2 1/(αT2 ) 

€ 

1/(T 1 ) 

x o o x 

1/αT 2 

1/(T 2 ) 

1/αT 1 

media ω poli =media ω zeri 

φ = 0 : ω m = 

− π 

2 < φ min < φ < φ max 

1 

αT 1 T 2 

< π 

2 

59


0 

ω max 

ω m 

m 


φ max 


Caso M0 

€ 

1 

Centro della cfr.: (1+m)/2 

m = D * ( jω m ) = 

k = T 1 

T 2 

1+ αk 

α + k 

>1; 0 < m



Caso M0 

• ω c , M < 1, ϕ > 0 

determinare i parametri α e T 1 , T 2 di una rete a sella D*(s) 

tali che 

• |D*(jω c )| = M 


• Come nei casi precedenti, si possono impostare due 

equazioni (una dalla condizione sul modulo, una dalla 

condizione di fase) che non consentono di determinare 

univocamente α e T 1 , T 2 

• Si determina una famiglia di soluzioni 

• Condizioni per l’esistenza di soluzioni 

61


Caso M0 

• Primo approccio: si determina una famiglia di soluzioni in 

funzione del parametro k = T 1 /T 2 

• Passi della procedura: 

• imponendo il passaggio del diagramma di Nyquist per 

il punto Me jϕ si determina m 

• si fissa k 

• noti m e k, si calcola 

α = 

km −1 

k − m 

• imponendo la condizione di modulo |C*(jωa )|=M si 

determina T2 € 

• si calcola T 1 =k T 2 

• Per ogni scelta di k si ottiene una rete 

62

€ 

€ 


€ 

Caso M0 

• Le formule che si ottengono sono le seguenti (applicando 

nell’ordine i passi della procedura): 

α = 

m = 

M(cosϕ − M) 

1− M cosϕ 

km −1 

k − m 

x = C + C 2 − 4α 2 k 2 

2α 2 k 2 

T 2 = x 

ω a 

M < cosϕ 

k arbitrario purche’ 

T 1 = kT 2 

C = M 2 α 2 + k 2 

( ) −1−α 2 k 2 

€ 

condizione stringente 

di esistenza 

k > 1 

m 

1− M 2 

63


• Esempio: 


G(s) = 

Caso M0 

• tipo h=1, |er,1 |

€ 


€ 

Caso M0 

• Step 2: specifiche su ω c e PM 

G * (s) = K D 

s h D 

• Determinazione di M e ϕ: 

€ 

G * ( jωc ) = G * ( j5) =12.65e 

G(s) = 200G(s) = 

1 

M = 

G * ≅ 0.08 0 

65

€ 




m = 

€ 

M(cosϕ − M) 

= 0.053 

1− M cosϕ 

D * (s) = 1+ αT 1 s 

1+ T 1 s 

Caso M0 

cosϕ = 0.7125 > M = 0.08 

1+ T 2 s 

1+ αT 2 s 

k = 20 > 1 

m =18.94 

1+ 0.003⋅ 79.82s 1+ 3.99s 

= € 

1+ 79.82s 1+ 0.003⋅ 3.99s 

66



50 

0 

-50 

-100 

-150 

-200 

-250 

Caso M0 

Bode Diagrams 

10 -1 10 0 10 1 10 2 


67



0 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

60 

40 

20 

0 

-20 

-40 

-60 

Caso M0 

Bode Diagrams 

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 


68



100 

50 

0 

-50 

-100 

-100 

-150 

-200 

-250 

Caso M0 

TextEnd 

Bode Diagrams 

Gm=24.003 dB (at 29.269 rad/sec), Pm=60 deg. (at 5 rad/sec) 

10 -2 10 0 10 2 


69



0 

-20 

-40 

-60 

-80 

-100 

0 

-50 

-100 

-150 

-200 

-250 

Caso M0 

Bode Diagrams 

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 


2πB≈8.5 ⇒ B ≈1.35 ⇒ ω c =5 ≈5B ≈ 6.78 

70



0 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

60 

40 

20 

0 

-20 

-40 

-60 

Caso M0 

Bode Diagrams 

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 


71



100 

50 

0 

-50 

-100 

-120 

-140 

-160 

-180 

-200 

-220 

Caso M0 

Bode Diagrams 

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 


72



0 

-20 

-40 

-60 

-80 

-100 

0 

-50 

-100 

-150 

-200 

-250 

Caso M0 

Bode Diagrams 

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 


73


Caso M0 

• Secondo approccio: si scompone il problema di sintesi in 

due sottoproblemi. 

• sintesi della parte attenuatrice-ritardatrice D* r (s) e sintesi 

della parte anticipatrice D* a (s) 

• D*(s)= D* r (s) D* a (s) 

• Si decide a priori il contributo di fase negativa (ritardo) φ r 

introdotto in ω c da D* r (s) 

• La pulsazione ω c si deve collocare dove φ r e` piccolo (in 

genere -6 o < φ r


Caso M0 

• Parte attenuatrice-ritardatrice D* r (s): 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

* 

Dr ( jωc ) = 

dB 1+ jωcαT1 1+ jω c T 1 dB 

Arg[ * 

Dr ( jωc ) ] = φr ≅ 20logα 

MdB = D 

€ 

• Parte anticipatrice C* a (s): 

€ 

* * * 

( jωc ) = D 

dB 

r ( jωc ) + D 

dB 

a( 

jωc ) 

dB 

* * 

Da( jωc ) = 20log M − 20logα ⇒ D 

dB 

a( 

jωc ) = M 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

α 

* 

⎩ 

⎪ 

Arg[ Da( jωc ) ] = ϕ − φr • Si risolve per α e T 2 con la tecnica vista per le reti anticip. 

75


Caso M0 

• Condizione per l’esistenza della soluzione D* a (s): 

M 2 < 1 

1+ q 2 

q = tan(ϕ − φ r ) 

• Parte anticipatrice D* r (s): rimane da determinare T1 € 

Arg[ * 

Cr ( jωc ) ] = φr = Arg 1+ jω ⎡ 

cαT ⎤ 

1 

⎢ ⎥ = arctan 

⎣ 1+ jωcT1 ⎦ 

ωcT ⎡ 

1 (α −1) ⎤ 

⎢ 2 2 ⎥ 

⎣ 1+ αωcT1 ⎦ 

€ 

€ 

tanφ r = ωcT1 (α −1) 

2 2 

1+ αωcT1 2 

T ( 

2 

) 1 αωc tanφr + (1−α)ω cT1 + tanφ r = 0 

Condizione: 

deve esistere 

T 1 > T 2 >0 

76



0 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

60 

40 

20 

0 

-20 

-40 

-60 

Caso M0 

Diagrammi di Bode delle reti a sella 

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 


77


• Osservazioni generali: 

Conclusioni 

• una volta determinato D(s), e` necessario verificare che 

il sistema in catena chiusa sia stabile 

• talvolta non si riesce a soddisfare le specifiche 

utilizzando una sola rete correttrice ⇒ cascata di piu` 

reti 

• possono essere necessari, a posteriori, piccoli 

aggiustamenti dei parametri per soddisfare le 

specifiche di progetto 

78

sistema in retroazione unitaria - Automatica

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