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FISICA-TECNICA
Trasporto di quantità di moto
Flusso
Materia
Energia
Katia Gallucci
Forze
motrici
Quantità di moto
Gradiente di
velocità
Legge di Newton
Gradiente di
concentrazione
Legge di Fick
Gradiente di
temperatura
Legge di
Fourier
1
3
Fisica-tecnica
Trasporto di quantità di moto: legge di Newton
τ = −µ
dV x
dy
Trasporto di materia: legge di Fick
dcA
J Ay = −D
dy
Trasporto di energia: legge di Fourier
dT
qy = −K
dy
Trasporto di quantità di moto
yz
2
4

Per mantenere in moto uniforme la piastra inferiore è
necessaria una forza F espressa come:
F
A
V
= µ
Y
La costante di proporzionalità µ è detta viscosità del
fluido e 1/µ è detta fluidità.
La relazione scritta è equivalente a:
F 0 −V
dVx
= −µ
⇒ τ yx = −µ
A Y − 0
dy
V x = componente nella direzione x della velocità
vettoriale del fluido
Unità di misura della viscosità:
µ [=] kg/m . s oppure µ [=]g/cm . s= poise
(1cp=0,01poise)
Esempio
Calcolare il flusso di quantità di moto in regime
stazionario, in kg fm -2 , se la velocità della piastra
inferiore vale 0,3 m/s e la viscosità del fluido
vale 0,7 cp
(1kg f=1kg 9,81m/s 2 )
5
7
τ yx = tensione tangenziale esercitata sulla superficie di un
fluido nella direzione x, per un valore costante di y, da
parte di un fluido che si trova in una zona con un minor
valore di y; flusso viscoso della quantità di moto nella
direzione y.
È opposto al gradiente di velocità e cioè va nella
direzione secondo la quale diminuisce la velocità (come
il calore che passa da una zona ad alta temperatura ad
una a più bassa)
Il fluido vicino alle pareti acquista una certa quantità di
moto nella direzione x, e conferisce una parte della sua
quantità di moto agli strati adiacenti del liquido
consentendo ad esso di rimanere in movimento nella
direzione x.
Se si riporta in un grafico τ yx in funzione di –dV x/dy, si
avranno diversi andamenti. Alcuni di tipo lineare:
1-olio lubrificante (castor)
µ=231cp
2-olio di oliva
µ=36,3cp
3-acqua
µ=1cp
miele µ=10000cp
τ yx
–dV x /dy
2
6
1
3
8

L’andamento lineare è stato riscontrato per tutti i gas
e per tutti i liquidi omogenei
Ci sono però alcuni liquidi che non seguono la legge
di Newton e che vengono denominati “non
newtoniani”
La reologia è la scienza che studia il moto e la
deformazione dei gas, liquidi, asfalti e solidi, per cui la
reologia comprende i fluidi newtoniani e i solidi come
casi limite
dV x
τ yz = −µ
dy
F = −kx
Fluidi newtoniani solidi (Legge di Hooke)
(viscosi) (elastici)
Modello di Herschel-Bulkley
La relazione generale per descrivere i fluidi nonnewtoniani
è il modello di Herschel-Bulkley
τ = K
τ
yx
= τ
& γ = −
( γ )
n
& + τ 0
dVx
dy
Fluido K n τ0 Esempi
Herschel-Bulkley >0 00 1 0 Acqua, succo di frutta,
miele, latte, olio vegetale
Pseudoplastico >0 0

Esempi
Dati reologici della cioccolata calda (40°C)
.
γ (s) τ(Pa)
250
0,099 28,6
0,140
0,199
35,7
42,8
200
0,390 52,4
0,790
1,600
61,9
71,4
150
2,400 80,9
3,900
6,400
100
123,8
100
7,900 133,3
11,500 164,2
13,100 178,5
15,900 201,1
17,900 221,3
50
19,900 235,6 0
0 5 10 15 20 25
.
γ (s)
τ
τ (Pa)
Per bassi valori di γ l’acqua ha un effetto lubrificante tra le
particelle di amido per cui il flusso non è ostacolato.
.
.
.
.
53% amido di mais
e l'acqua
All’aumentare di γ aumenta la resistenza per effetto delle
interazioni tra le particelle con conseguente aumento di τ.
Il modello che fitta i dati per i punti dopo 4,5s-1 è:
, 1
τ = 0, 131 & γ
( ) 72
13
15
Se consideriamo i punti compresi tra 1,6 e 19,9 le
costanti sono:
Con il modello di Bingham
( )
0,
5
0,
5
τ &
= 2 , 14 γ + 32,
3
τ = 9 , 8 & γ +
48,
7
É un ottimo esempio di comportamento dilatante .
Se si mescola lentamente il comportamento è come un
normale liquido.
Se invece si mescola velocemente la resistenza
aumenta e il comportamento assomiglia ad un solido con
formazione di fratture e separazioni
0,
5
14
16

Il modello che interpola i dati è:
È un fluido pseudoplastico.
Carragenina in soluzione
acquosa all1%
τ = 0, 66 & γ
( ) 60 , 0
Kraft French Salad Dressing (salsa per insalata a base
di olio aromi, ecc).
Il modello che interpola i dati è:
τ = 7, 64 & γ
( ) 303 , 0
17
19
Viscosità apparente
Per fluidi newtoniani
Per fluidi non-newtoniani
τ = 23, 3 & γ
( ) 29 , 0
τ
η =
& γ
η = µ
K
η =
pasta di soia
( & γ )
+ τ 0 n−1
τ 0
= K(
& γ ) +
& γ
& γ
Un fluido viscoelastico si comporta
contemporaneamente come un fluido (viscoso) e un
solido (elastico).
Il comportamento elastico crea notevoli difficoltà nei
processi di trasformazione in particolare per le paste
contenenti elevate quantità di proteine
n
18
20

Tomato Ketchup fresco appena preparato ha un
comportamento pseudo-plastico, ma con il tempo diventa
come un gel che un comportamento tixotropico.
Il fluidi tixotropi diminuiscono la loro viscosità quando
sottoposti a sforzi di taglio.
Nel caso del ketchup per renderlo fluido (meno viscoso) si
agita il recipiente che lo contiene
Esercizio
Determinare le costanti K T , E a ed n per un succo di
arancia concentrato che ha le seguenti caratteristiche
reologiche.
T=-18,8 °C
.
τ(Pa) γ (s)
T=-5,4°C
.
τ(Pa) γ (s)
T=9,5°C
.
τ(Pa) γ (s)
T=29,2°C
τ(Pa) γ
.
(s)
14,4 0,5 4,3 0,6 2,6 1,1 3,6 8
24,3 1 6,5 1 10,3 8 7,6 20
141,9 10 38,4 10 17,1 15 13,1 40
240,4 20 65,4 20 29,5 30 17,5 80
327,2 30 88,7 30 50,3 60 31,2 160
408,0 40 111,1 40 69,4 90 54,5 240
483,9 50 131,9 50 103,3 150 94,4 480
555,9 60 151,7 60 153,8 250 141,7 800
653,2 70 171,3 70 199,8 350 170,0 1000
692,5 80 189,4 80 242,8 450 183,2 1100
21
23
Variazione della viscosità con la
temperatura
Per calcolare la viscosità ad una temperatura diversa si
può utilizzare una correlazione del tipo Arrhenius:
⎛ E
µ = f ( t)
= Aexp⎜
⎝ RT
Per fluidi non-newtoniani il modello reologico è simile. Ad
esempio per succhi di arancia concentrati che seguono
la legge delle potenze si può scrivere
⎞
⎟
⎠
⎛ E ⎞
τ = & exp ⎟ &
⎝ RT ⎠
( ) n
a
f ( t,
γ ) = KT
⎜ γ
Nel grafico riportiamo ogni singola temperatura e
passiamo ai logaritmi:
τ = ( & γ )
ln τ
7
6
5
4
3
2
1
K n
lnτ = ln K + n ⋅ ln
( & γ )
0
-2 0 2 4 6 8
.
ln γ
∆x
∆y
T=-18,8 °C
T=-5,4 °C
T=9,5 °C
T=29,2 °C
22
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Il rapporto ∆y/∆x=n viene calcolato per ogni curva,
mentre lnK è dato dalle rispettive intercette
T=-18,8 °C T=-5,4°C T=9,5°C T=29,2°C
n=0,764 n=0,772 n=0,762 n=0,773
lnK=3,2 lnK=1,9 lnK=0,81 lnK=-0,37
K=24,3 K=6,7 K=2,25 K=0,69
n =
0,
764
T °C T K K n
-18,8 254,35 24,3 0,764
-5,4 267,75 6,7 0,772
9,5 282,65 2,25 0,762
29,2 302,35 0,69 0,773
+
0,
772
E a /R=3,3/0,58E-3=5690
+ 0,
762 + 0,
773
=
4
0,
77
La retta passa per il punto di coordinate (0,00331;-
0,371)
y-y 0 =m(x-x 0 )
lnK+0,371=5690(1/T-0,00331)
lnK=5690/T-18,834-0,371
lnK=-19,205+5690/T
lnK T
K T =exp (-19,205)=4,565 . 10 -9
La relazione completa sarà:
⎛ Ea
⎞
5690
τ exp &
⎛ ⎞
= K ⎜ ⎟
⎜ ⎟ &
T
γ
⎝ RT ⎠
⎝ T ⎠
( ) ( ) 77 , 0
9
n
−
γ = 4,
565 ⋅10
exp
25
27
lnK
4
3
2
1
0
0,00331; -0,371
0,00354; 0,811
⎛ Ea
⎞
K = KT
exp⎜
⎟
⎝ RT ⎠
Ea
ln K = ln KT
+
RT
-1
3,00E-03 3,20E-03 3,40E-03 3,60E-03 3,80E-03 4,00E-03
1/T
0,58E-3
Comportamento viscoelastico
(effetto di Weissenberg)
3,3
http://www.youtube.com/watch?v=nX6GxoiCneY
26
28

Moto laminare e turbolento:
numero di Reynolds
Moto laminare
Moto turbolento
29
31
Nel moto laminare gli strati di un liquido che scorrono
entro una tubazione si dispongono parallelamente tra di
loro e paralleli all’asse della tubazione stessa; ogni strato
mantiene lungo la tubazione la sua individualità senza
mescolarsi agli altri
Nel moto turbolento si verificano invece rimescolamenti
di masse di liquido, attraverso la formazione di vortici
Lo spessore delle strato limite è stato definito come
quella distanza dalla parete alla quale il valore di velocità
raggiunge il 99% della velocità massima v max
30
32

Il moto laminare si verifica specialmente nel moto di liquidi
molto viscosi, entro tubazioni di piccolo diametro
Il moto turbolento è più frequente per il gas e liquidi poco
viscosi, entro tubazioni di grande diametro
dove ρ = densità del fluido
ρ ⋅ v ⋅ D
Re =
µ
µ = viscosità del fluido
D = diametro del tubo
v = velocità media del fluido (portata vol/sezione [m 3 /s/m 2 ])
Il regime laminare si verifica per valori del numero di Reynolds
< 2000; il regime di transizione nell’intervallo da 2100 a 4000
Coefficiente di attrito
33
35
Esercizi
Calcolare il numero di Reynolds sapendo che v=2480
m/h; ρ = 900 g/litro; µ = 5,4 kg/(m . h) e D = 30 cm
Calcolare il numero di Reynolds sapendo che v=1,5m/s;
ρ = 0,8 g/cm 3 ; µ = 1,1 cp e D = 20 mm
Consideriamo i due sistemi:
1. Fluido che scorre in un condotto
L
2. Fluido che scorre intorno ad un oggetto sommerso
R
34
36

In entrambi i casi, il fluido eserciterà una forza sulle
superfici solide che si chiama forza di attrito e che può
essere espressa come:
F k =Akf
A = superficie bagnata nel sistema 1; area perpendicolare
alla direzione del fluido nel sistema 2
v
2
2
⋅
= ρ
k
f = coefficiente di attrito
37
Sistema 1: fluido che scorre in un tubo
A=2πRL
F k =2πRL(1/2)ρv 2. f
Talvolta f prende il nome di coefficiente di attrito di
Fanning
f=16/Re per Re

Misura della viscosità mediante caduta
libera di una sfera
Consideriamo una sfera di raggio R e di densità ρ s
lasciata cadere in un liquido di densità ρ l .
Sulla sfera agiscono tre forze: la forza peso F p , la forza
di galleggiamento o spinta di Archimede F A e la forza di
attrito F k
F k
Legge di Stokes
La forza di attrito 6πµ πµRV πµ πµ t . Questa legge è valida per
valori del numero di Reynolds minori di 0,1
ρ l = densità del liquido
µ = viscosità del liquido
D = diametro della sfera
V t = velocità terminale
F A
F p
ρl ⋅ Vt
⋅ D
Re =
µ
41
43
La sfera aumenta la sua velocità fino a raggiungere un
valore costante (velocità terminale). Da questo momento
la somma delle tre forze agenti sulla sfera è nulla
(equilibrio delle forze)
La forza di gravità F p agisce verso il basso, nella
direzione della caduta, mentre quella di galleggiamento
F A e quella d’attrito F k verso l’alto, nella direzione
opposta a F p
Esercizio
F
p
= F + F ⇒
A
4 3 4 3
πR
ρs
g = πR
ρl
g + 6πRµ
Vt
3 3
4 3
⇒ πR
( ρs
− ρl
) g = 6πRµ
Vt
3
2
2 R
⇒ µ = g(
ρs
− ρl
)
9 V
t
Calcolare la viscosità del miele alla
temperatura di 20°C sapendo che una sfera
avente diametro di 7,92 mm e densità
7900kg/m 3 percorre 20 cm attraverso il miele
in 9 secondi. La densità del miele è 1400
kg/m 3
k
42
44

Esercizio
Una sfera piena di acciaio, del diametro di 5
mmcon una massa 0,5g viene lasciata
cadere in una colonna di liquido nel quale
raggiunge una velocità terminale di 0,5 cm/s.
La densità del liquido è 0,98g/cm 3
Calcolare la viscosità del fluido
Calcolare il coefficiente di attrito
Calcolare la forza d’attrito
45