LA TRASFORMATA DI FOURIER, PROPRIETA' ED ESEMPI (2)

LA TRASFORMATA DI FOURIER,
PROPRIETA’ ED ESEMPI (2)
12 Fondamenti Segnali e Trasmissione

Proprieta’ della TDF (5)
Moltiplicazione nelle frequenze: la TDF inversa del prodotto delle TDF di due
segnali e’ uguale all’integrale di convoluzione dei segnali nei tempi. L’integrale di
convoluzione e’ un operatore utilizzato, per esempio, per descrivere come
vengono modificati i segnali quando passano attraverso sistemi lineari tempoinvarianti.
∞
x ( t)
∗ h(
t)
= x(
τ ) h(
t −τ
) dτ
−∞
TDF
Moltiplicazione nei tempi: la TDF del prodotto di due segnali e’ uguale
all’integrale di convoluzione delle due TDF (nelle frequenze).
x(t )y(t) TDF
X(f)H(f)
13 Fondamenti Segnali e Trasmissione
∞
−∞
X (
ξ ) Y ( f −ξ ) dξ

X ( f
X ( f
)
)
2
2
infinitesimo df.
X ( f
)
2
Proprieta’ della TDF (6)
Relazione di Parseval: l’energia di un segnale e’ uguale all’integrale del modulo
quadrato della sua TDF
∞
−∞
x(
t)
2
dt
integrata su tutto l’asse delle frequenze fornisce l’energia del segnale.
df rappresenta l’energia del segnale in ogni intervallo di frequenze
viene detta DENSITA’ SPETTRALE DI ENERGIA
=
14 Fondamenti Segnali e Trasmissione
∞
−∞
X (
f )
2
df

La trasformata di Fourier dell’impulso
Un impulso di area unitaria ha come TDF una costante unitaria nei tempi:
∞
−∞
δ ( t ) exp π
{ − j2
ft}
dt = 1
δ (t ) 1
TDF
Quindi, per dualità, la TDF di una costante unitaria é un impulso nelle frequenze.
1 TDF δ (f )
Inoltre, per le proprietà legate alla traslazione nei tempi e nelle frequenze:
δ (t - t 0) e -j2π f t 0
TDF
e j2π f 0 t δ (f - f 0 )
TDF
15 Fondamenti Segnali e Trasmissione

( 2πat
)
πt
Esempi di trasformata di Fourier (il sinc)
x(t)
t
x ( t ) = A sinc ⇔ X ( f ) =
T
A
-T T
Osservazione per la prossima slide:
sin
TDF
rect(
fT )
16 Fondamenti Segnali e Trasmissione
t
AT
AT
f
= 2a
sinc
2
2a
a→+∞
X(f)
-1/2T 1/2T
( 2at)
⇔ rect → 1 2a
sinc(
at)
→ δ ( t)
a→+∞
f

Trasformata inversa di Fourier (traccia di dimostrazione)
Calcolata la trasformata di Fourier X(f) del segnale x(t)
∞
X ( f ) = x(
t)
exp( − j2π
ft)
dt = x(
τ ) exp( − j2π
fτ
) dτ
−∞
(dove si preferisce la variabile d’integrazione per non confonderla poi con t) si
antitrasformi integrando nell’intervallo (–a,+a), che si fara’ poi tendere all’infinito:
a
−a
=
X ( f ) exp( j2π
ft)
df
∞
−∞
x(
τ ) dτ
a
−a
sin 2π
at
= x(
t)
∗
π t
→
a→+∞
=
x(
t)
a
−a
df
∞
−∞
17 Fondamenti Segnali e Trasmissione
∞
−∞
exp( j2π
f ( t −τ
)) df =
τ
x(
τ ) exp( j2π
f ( t −τ
)) dτ
=
∞
−∞
sin 2π
a(
t −τ
)
x(
τ )
dτ
=
π ( t −τ
)
sin
2π
at
in quanto → δ ( t)
π t
a→+∞

La trasformata di Fourier del seno e del coseno
La trasformata di Fourier del seno si ricava da quella della costante utilizzando le
proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:
j
{ − j2π
f t}
exp{
j π f t}
j
x( t ) = sin( 2π fot
) = exp
o − 2 o
2
2
TDF
j
j
X ( f ) = δ o δ −
2
2
( f + f ) − ( f f )
La trasformata di Fourier del coseno di conseguenza:
1
{ j2π
f t}
+ exp{
j π f t}
1
x( t ) = cos( 2π fot
) = exp o − 2 o
2
2
TDF
1
1
X ( f ) = δ o δ +
2 2
( f − f ) + ( f f )
o
o
Im[X(f)]
18 Fondamenti Segnali e Trasmissione
-f 0
-f 0
1/2
1/2
-1/2
f 0
Re[X(f)]
-f 0
1/2
f
f

Esempi di trasformata di Fourier (il triangolo)
x(t)
A
x(
-T T
t ) =
⇔
A
tri
X (
t
T
f
=
) =
F
A
T
T
2 2
( T sinc(
fT ) ) = AT sinc ( fT )
19 Fondamenti Segnali e Trasmissione
A
rect
t
T
∗ rect
X(f)
t
T
AT
⇔
-1/T 1/T f

Esempi di trasformata di Fourier (la gaussiana)
x(t)
2
2
( − π t ) ⇔ X ( f ) == exp(
− f )
x( t ) = exp
π
Gaussiana di area normalizzata:
1/ 2πσ
2
1
2πσ
20 Fondamenti Segnali e Trasmissione
t
2
F
2
2 2 2
{ − 2π
f }
t
⋅ exp − ⇔ exp σ
2
2σ
σ2 cioè la varianza della Gaussiana, ne gestisce la “larghezza”: all’aumentare di
σ2 si allarga x( t ) (σ2 a denominatore dell’esponente) e si stringe X( f ) ( σ2 a
numeratore dell’esponente)
X(f)
1
f

Banda di un segnale
Viene definita banda (B) del segnale x(t) l’intervallo di frequenze (misurato sul
semiasse positivo) all’interno del quale X(f) assume valori diversi da 0.
Operativamente, nella definizione di banda, si considerano due classi di segnali:
Segnali di tipo passa-basso
X(f) concentrata intorno a f=0
|X(f)|
B
f
Segnali di tipo passa-banda
X(f) concentrata intorno a f=±f 0
|X(f)|
21 Fondamenti Segnali e Trasmissione
-f 0
B 3dB
Molto spesso X(f) è a rigore diversa da 0 da - ∞ a + ∞. In questo caso la banda
corrisponde all’intervallo di frequenza in cui X(f) è “significativamente” diversa da 0,
per esempio |X(f)| 2 >|X| 2 max /2 (Banda a 3 dB) oppure |X(f)|2 >|X| 2 max /10 (Banda a 10 dB)
-f 0
B
f

Risposta in frequenza del filtro passa-basso ideale
- f T
1
La La risposta all’impulso e’ e’ un un seno seno cardinale con con gli gli zeri zeri posizionati a tempi tempi multipli multipli
interi interi di di 1/ 1/ 2f 2fT T
h(
t)
=
2 f
T
sinc
22 Fondamenti Segnali e Trasmissione
H(f)
f T
( 2 f t)
⇔ H ( f ) =
T
rect
f
2 f
T
f

Risposta in frequenza del filtro passa-alto ideale
- f T
1
La La risposta all’impulso e’ e’ data data da da un un impulso di di area area unitaria unitaria δ(t) meno meno un un seno seno
cardinale con con gli gli zeri zeri posizionati a tempi tempi multipli multipli interi interi di di 1/ 1/ 2f 2fT T
h(
t)
= δ
23 Fondamenti Segnali e Trasmissione
H(f)
( t)
− 2 f sinc(
2 f t)
⇔ H ( f ) = 1−
T
T
f T
rect
f
2 f
T
f

Risposta in frequenza del filtro passa-banda ideale
- f o - f T - f o
- f o + f T
1
H(f)
f o - f T f o
f o + f T
La La risposta all’impulso e’ e’ quindi quindi data data da da un un seno seno cardinale con con gli gli zeri zeri posizionati a
tempi tempi multipli multipli interi interi di di 1/ 1/ 2f 2fT moltiplicato
T moltiplicato per per 2cos( 2 0 ) . . t f π
h(
t)
=
4 f
T
cos
( 2πf
t)
sinc(
2 f t)
⇔ H ( f )
0
T
+ rect
24 Fondamenti Segnali e Trasmissione
=
rect
f − f
2 f
T
0
f
f +
2 f
T
f
0

1. Sapendo che
Esercizi su TDF e LTI (1)
e sfruttando le proprietà della TDF, calcolare le TDF dei seguenti segnali e
disegnarne i grafici:
x t = rect t / 2 x t = 5 sinc t / 4
2.Siano
1
( t ) sinc(
f )
rect ⇔
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
( t)
= sin(
10π
t)
, s ( t)
= cos(
10π
t)
+ sin(
20 t)
s π
1
2 2
Esiste un sistema LTI che a ingresso s 1 (t) risponde con uscita s 2 (t)?
Esiste un sistema LTI che a ingresso s 2 (t) risponde con uscita s 1 (t)?
Per entrambi i casi, se esiste, fornire un esempio di H(f) e h(t).
3. Calcolare l’uscita y(t) di un sistema LTI con risposta all’impulso h(t) e ingresso
x(t) pari a:
( t)
=
δ ( t)
+ δ ( t − 2T ) x(
t)
= sin(
t /( 2T
) )
h π
calcolare prima l’integrale di convoluzione tra x e h, e verificare poi il risultato
tramite la risposta in frequenza del sistema.
25 Fondamenti Segnali e Trasmissione

Esercizi su TDF e LTI (2)
5. Determinare l’uscita y(t) di un sistema LTI con risposta in frequenza H(f) e ingresso x(t):
H ( f ) =
1
6
1+
j2πfT
x(
t)
= cos
t
T
6. Un sistema LTI ha risposta all’impulso h(t) e ingresso x(t) pari a:
h
calcolare l’uscita y(t) la sua densità spettrale di energia, l’energia e l’energia di x(t).
7. Disegnare le TDF di
( )
( t ) = rect
x(
t )
( t)
= 0.
001sinc(
t)
cos(
2000 t)
x π
8. E’ dato un sistema LTI con risposta all’impulso
1
2
1
( t)
= sinc(
1000t)
∗rect(
t)
x 250
2
t − T / 2
T
= rect
t − T / 2
2
e ingresso x(t) pari a x( t)
=
2 sen ( πt
/ T ) . Si può scrivere x(t) come somma di segnali
sinusoidali? Determinare l’uscita y(t) e la sua potenza Py .
26 Fondamenti Segnali e Trasmissione
h
( t)
=
A tri
T
t −T
T
cos
2πt
T