Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 1 di 64 

Corso di Impianti Elettrici Industriali 

Parte 1A 

Richiami di Elettrotecnica 

Questi appunti non hanno la pretesa di costituire o di sostituire un corso di Elettrotecnica, corso che peraltro 

il lettore dovrebbe aver già seguito e averne superato l'esame con successo, ma solo di fornire un 

vademecum utilizzabile quando, nell'affrontare gli argomenti propri del corso di Impianti Elettrici Industriali, ci 

si imbatta in aspetti teorici che forse talvolta necessitano un breve ripasso. 

Il contenuto non è quindi esaustivo - né comunque potrebbe esserlo - della vasta materia di studi che 

abitualmente e convenzionalmente viene chiamata Elettrotecnica. Vengono infatti ripresi solo gli aspetti 

principali - e, forse, qualcuno di quelli che potrebbero essere necessari manca all'appello, nonostante le 

buone intenzioni dell'autore - e di essi si trattano gli aspetti essenziali, cercando un compromesso tra la 

vastità delle implicazioni, delle correlazioni, dei passaggi matematici e logici e la necessità di arrivare ad una 

formulazione fruibile in una materia applicativa qual è lo studio degli Impianti Elettrici. 

Lo studente del corso di Impianti Elettrici Industriali sia però consapevole che senza solide basi di 

Elettrotecnica lo studio degli Impianti Elettrici non può essere svolto proficuamente. Le prove d'esame di tale 

corso potranno quindi contemplare anche domande e problemi riconducibili alla materia di base. 

L'autore si scusa di eventuali incompletezze, inesattezze o errori e resta a disposizione, fin d'ora con 

gratitudine, a chi vorrà segnalargliene, affinché possano essere emendati nelle revisioni successive. 

Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011


Sommario 

1 - Dalla Fisica all'Elettrotecnica................................................................................... 3 

1.1 - Le leggi fondamentali dell'elettromagnetismo ......................................................................................3 

1.2 - La classificazione dei fenomeni elettrici...............................................................................................3 

1.3 - Cenni di Elettrostatica ..........................................................................................................................4 

1.3.1 - Il Condensatore .............................................................................................................................................. 5 

1.4 - Cenni di Elettrodinamica Stazionaria ...................................................................................................6 

1.4.1 - La Resistenza ................................................................................................................................................. 7 

1.4.2 - I principi di Kirchhoff ....................................................................................................................................... 9 

1.5 - Cenni di Elettrodinamica Quasi-Stazionaria ......................................................................................10 

1.5.1 - L'Induttanza .................................................................................................................................................. 10 

2 - Analisi delle Reti Elettriche in Regime Stazionario ............................................. 11 

2.1 - I bipoli ideali - Il resistore....................................................................................................................11 

2.2 - Serie e parallelo .................................................................................................................................12 

2.3 - Metodi per la soluzione di reti elettriche lineari ..................................................................................13 

2.3.1 - Metodo delle correnti di lato.......................................................................................................................... 14 

2.3.2 - Metodo delle tensioni di nodo ....................................................................................................................... 14 

2.3.3 - Metodo delle correnti di maglia ..................................................................................................................... 14 

2.4 - Equivalenti e sovrapposizione degli effetti .........................................................................................15 

2.5 - I teoremi di Thevenin e di Norton .......................................................................................................16 

2.6 - Le conversioni stella-triangolo e triangolo-stella ................................................................................17 

2.7 - Metodi matriciali per l'analisi delle reti elettriche lineari .....................................................................18 

2.8 - Cenni alle reti elettriche non lineari ....................................................................................................21 

2.9 - Potenza elettrica - Effetto Joule .........................................................................................................22 

2.10 - Partitore di corrente e di tensione ......................................................................................................24 

3 - Circuiti Magnetici.................................................................................................... 25 

3.1 - Campo Magnetico e Induzione Magnetica.........................................................................................25 

3.2 - Il circuito magnetico............................................................................................................................26 

3.3 - Analogia tra circuito elettrico e circuito magnetico.............................................................................26 

3.4 - Induzione Elettromagnetica................................................................................................................28 

3.5 - Energia Magnetica .............................................................................................................................32 

3.6 - Azioni Meccaniche .............................................................................................................................34 

3.7 - Materiali Ferromagnetici.....................................................................................................................35 

4 - Analisi delle Reti Elettriche in Regime Variabile.................................................. 39 

4.1 - Limiti di Validità dei Principi di Kirchhoff.............................................................................................39 

4.2 - Bipoli Ideali .........................................................................................................................................40 

4.3 - Leggi di Kirchhoff in Regime Variabile ...............................................................................................41 

4.4 - Regime Transitorio e Regime Permanente - Un esempio .................................................................42 

4.5 - Il Regime Periodico Alternato Sinusoidale (P.A.S.) ...........................................................................44 

4.6 - L'Analisi delle Reti Elettriche con la Notazione Fasoriale ..................................................................48 

4.7 - Potenza Attiva, Reattiva, Apparente ..................................................................................................50 

4.8 - Rifasamento .......................................................................................................................................54 

4.9 - Risonanza ..........................................................................................................................................56 

4.10 - I Transitori Elettrici..............................................................................................................................58 



1 - Dalla Fisica all'Elettrotecnica 

1.1 - Le leggi fondamentali dell'elettromagnetismo 

Negli studi di Fisica l'allievo ha senz'altro incontrato le equazioni di Maxwell, che vengono qui richiamate 

brevemente: 

- legge di Gauss per il campo elettrico: 

∫ 

S 

Q 

ρ 

E ⋅u 

n dS = ; ∇ ⋅ E = 

[1.1] 

ε 

ε 

0 

- legge di Gauss per il campo magnetico: 

∫ 

S 

0 

B ⋅u 

n dS = 0 ; 

∇ ⋅ B = 0 

[1.2] 

- legge di Faraday-Henry: 

d 

∂B 

E ⋅ dl 

= − B u dS 

E 

L dt ∫ ⋅ 

S L 

n ; 

∇ × = − 

( ) 

∂t 

∫ 

- legge di Ampère-Maxwell: 

d 

∂E 

B ⋅ dl 

= μ I 

E u dS B J 

L 

0 + μ0ε 

0 

dt ∫ ⋅ 

S ( L) 

n ; ∇ × = μ0 

+ μ0ε 

[1.4] 

∂t 

∫ 0 

e l'equazione di continuità: 

d 

J ⋅u 

ndS 

= − 

dt 

S V S 

∂ρ 

ρdV 

∇ ⋅ J = − 

( ) ∂t 

∫ ∫ ; [1.5] 

si ricordano i valori di ε0 e di μ0: 

ε0 = 8.854⋅10 -12 ; μ0 = 4π⋅10 -7 = 1.2566⋅10 -6 ; (inoltre: ε0μ0 = c 

validi quando si usano tutte le grandezze del sistema internazione mksA. 

1.2 - La classificazione dei fenomeni elettrici 

1 , velocità della luce nel vuoto) 

Si nota che nelle espressioni appaiono delle derivate (parziali se in forma differenziale o totali se in forma 

integrale) rispetto al tempo. 

I fenomeni elettrici possono allora essere suddivisi in due grandi categorie: fenomeni elettrostatici (derivate 

nulle) e fenomeni elettrodinamici (derivate diverse da 0). 

Nella prima categoria si ha che: la densità volumetrica di carica, punto per punto, non cambia nel tempo; il 

campo elettrico è costante; la densità di corrente è nulla in ogni punto (e di conseguenza è nulla la corrente 

in ogni sezione); l'integrale di circuitazione del campo elettrico è nullo (campo conservativo); non esiste 

campo magnetico. 

In questa situazione ci possono essere solo cariche puntiformi e corpi elettricamente carichi, con 

distribuzione di carica superficiale o volumetrica. 

Perché un fenomeno rientri nella seconda categoria, invece, occorre almeno il presupposto che il vettore 

densità di corrente sia, in generale, non nullo. I fenomeni che rientrano in questa seconda categoria vengono 

a loro volta suddivisi: 

a) fenomeni stazionari: tutte le derivate rispetto al tempo sono nulle; 

b) fenomeni non-stazionari: in generale tutte le derivate rispetto al tempo sono ≠ 0. 

Da un punto di vista ingegneristico, tuttavia, si considera anche una terza situazione, intermedia tra le due, 

che viene definita regime quasi-stazionario. In tale situazione molte delle derivate rispetto al tempo sono 

nulle, o di valore trascurabile ai fini pratici, mentre altre possono essere sensibilmente diverse da 0. La 

discriminazione su quali grandezze possano e quali non possano essere accettate anche come variabili nel 

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[1.3]


tempo per considerare il regime come quasi-stazionario è una discriminazione molto delicata sulla quale si 

entrerà in merito in seguito. 

In particolare la classificazione ora citata si applica ai circuiti elettrici, di cui occorre ora dare una definizione. 

Si è già visto che il vettore densità di corrente presenta la caratteristica di essere solenoidale, fatto salvo 

l'eventuale accumulo di carica (variazione nel tempo della densità volumetrica di carica). Nelle condizioni di 

stazionarietà la solenoidalità è comunque perfetta, pertanto ogni "filetto" di corrente deve richiudersi 

descrivendo un percorso chiuso. Questo "filetto" o tubo di flusso può, durante tale percorso, allargarsi o 

restringersi (e quindi il modulo della densità di corrente diminuisce o aumenta, rispettivamente), ma la 

quantità totale del flusso di J rimane costante. 

Per circuito elettrico si intende allora, nella sua definizione più essenziale, un tubo di flusso del vettore 

densità di corrente. Ed essendo tale flusso una corrente elettrica, si parla di corrente di un circuito elettrico, a 

partire dal presupposto che tale grandezza mantiene lo stesso valore per ogni sezione del circuito stesso. 

1.3 - Cenni di Elettrostatica 

La principale leggi dell'Elettrostatica sono: la legge di Coulomb, che descrive il campo elettrico prodotto da 

una carica puntiforme, e la legge di Gauss per il campo elettrico, che lega flusso e carica (forma integrale) o 

divergenza del flusso e densità di carica (forma differenziale). 

L'utilizzo della legge di Coulomb o della legge di Gauss per il campo elettrico permettono di descrivere il 

campo elettrico generato da distribuzioni di carica superficiale e volumetrica, come è per esempio il caso 

della lastra piana. 

Poiché in elettrostatica non si ha densità di corrente, la densità di carica è costante nel tempo. 

Occorre inoltre effettuare un'importante classificazione dei corpi, in base alla sostanza di cui sono composti. 

Per quanto riguarda il moto delle cariche elettriche, esistono materiali conduttori e materiali non conduttori, 

detti anche isolanti. 

Nei primi le cariche, se sollecitate da un campo elettrico, sono libere di spostarsi, anche se il campo elettrico 

è molto debole. 

Nei secondi la libertà di movimento delle cariche è fortemente limitata, quindi la distribuzione volumetrica di 

carica non subisce variazioni apprezzabili, se non in tempi molto lunghi. 

Se un corpo conduttore viene posto in un campo elettrico, subito le cariche tenderanno a spostarsi 

muovendosi nella direzione del campo: le cariche positive in verso concorde, le negative in verso discorde. 

Si realizza così una separazione di cariche (le positive da una parte e le negativa dall'altra), che genera a 

sua volta un campo elettrico. 

Tale campo all'interno del corpo conduttore sarà uguale e contrario a quello imposto dall'esterno: infatti, solo 

quando i due campi si annulleranno a vicenda il moto delle cariche potrà cessare perché si è raggiunta una 

nuova condizione di equilibrio. Lo studio della fase transitoria in cui si ha movimento di cariche non compete 

all'elettrostatica, mentre ad essa compete la determinazione del nuovo stato di equilibrio, cioè della 

situazione "a regime". 

A tale proposito occorre notare che: 

1) internamente ad un corpo conduttore non può mai presentarsi, a regime, campo elettrico, perché se ci 

fosse si presenterebbe ancora moto di cariche, fino al suo annullamento; 

2) come conseguenza il potenziale è uniforme in tutto il conduttore (equipotenzialità); 

3) le cariche che si sono spostate e separate si posizionano sulla superficie del conduttore, perché se 

esistesse una densità volumetrica di carica si avrebbe campo elettrico e quindi differenze di potenziale, 

e non si avrebbe equipotenzialità 

Ovviamente, se il corpo è invece costituito da materiale isolante, il campo elettrico non può venire annullato 

dallo spostamento di cariche, e pertanto è possibile la presenza di campo elettrico all'interno di tali materiali. 

Se questi corpi presentano una costante dielettrica relativa diversa da quella del vuoto, il valore del campo 

elettrico verrà modificato di conseguenza. 

Un caso interessante si presenta quando il corpo conduttore presenta una cavità al suo interno. Per il 

principio di equipotenzialità, la superficie interna del conduttore si presenta tutta allo stesso potenziale V . 

Poiché nella cavità non esistono cariche, allora non esistono campi elettrici né differenza di potenziale (d'ora 

in poi indicato come d.d.p.), cosicché il valore V è uniforme in tutta la cavità. 



Si è così realizzato uno schermo elettrostatico. Perché lo schermo sia efficace spesso non è necessario 

avere un intero corpo chiuso intorno al volume che si vuole schermare, ma basta un conduttore che circondi 

tale volume anche con delle "finestre", come una rete, purché abbastanza fitta. L'esempio tipico è la gabbia 

di Faraday: una qualunque gabbia di materiale conduttore, purché circondi per intero il volume e sia 

abbastanza fitta, si comporta come uno schermo elettrostatico. 

1.3.1 - Il Condensatore 

Ogni volta che si presentano due conduttori, separati da un isolante (anche l'aria), che possono 

reciprocamente interagire per quanto riguarda i fenomeni elettrici, si ha un condensatore. 

In un condensatore, sia esso naturale o artificiale, in presenza di sollecitazioni esterne si verifica su un 

conduttore il deposito di cariche elettriche di un segno e sull'altro di cariche di segno opposto. Tra i due 

conduttori insorge quindi un campo elettrico e quindi una differenza di potenziale. 

Si definisce allora la capacità come il rapporto tra la carica presente su ogni conduttore e la differenza di 

potenziale: 

Q 

1C 

C = [ F] 

1 F = 

[1.6] 

V 

1V 

La capacità si misura in farad, simbolo F . 

Il caso più semplice di condensatore è il condensatore piano, costituito da due lastre piane reciprocamente 

affacciate. Se le lastre sono abbastanza grandi rispetto alla distanza che le separa, in tutti i punti del 

condensatore, esclusi al più i bordi delle lastre stesse, si può considerare il campo elettrico come se le lastre 

piane fossero di dimensioni infinite. Vale allora: 

σ 

E = 

2ε 

ε 

0 

r 

in direzione perpendicolare alle lastre. Questo è il campo generato da una sola lastra; l'altra genera un 

campo uguale in modulo e direzione, e che all'esterno delle lastre annulla il campo della prima, mentre 

all'interno si somma, raddoppiandolo. 

Definendo: 

d distanza fra le lastre 

A area di ogni lastra 

σ = Q A densità superficiale di carica 

allora vale: 

σ 

V = E ⋅ d = 

ε ε 

0 

r 

Q 

d = 

ε ε 

0 

r 

d 

A 

Q A 

V d 

ε ε = = 0 [1.9] 

C r 

Un altro caso tipico è il condensatore cilindrico, costituito da due conduttori cilindrici coassiali, di raggio R1 

e 

R2 , posti uno dentro l'altro. In questo caso le cariche presenti sul cilindro esterno non danno alcun contributo 

al campo interno; applicando il teorema di Gauss al cilindro interno, e supponendo la distanza tra i due 

cilindri molto più piccola della lunghezza assiale l del condensatore, si ha che ad una distanza R dall'asse il 

campo elettrico, radiale, è pari al flusso diviso per l'area: 

Q 1 

E = 

ε0εr 

2πRl 

Quindi: 

V 

Q 

1 

Q 

1 

R 

[1.7] 

[1.8] 

[1.10] 

R2 

2 

= ∫ dR = ln 

[1.11] 

R1 

ε0εr 

2πRl 

ε0εr 

2πl 

R1 

da cui la capacità: 



Q 2πl 

= = ε ε 

[1.12] 

V ln 

C 0 r 

( R R ) 

2 

1 

La presenza della costante dielettrica del vuoto rende sempre molto piccoli i valori di capacità: tale costante 

presenta infatti un ordine di grandezza di 10 -12 . In realtà quindi non si usa mai il farad ma i suoi sottomultipli 

μF 

, nF, 

pF . 

Un esempio potrebbe essere la capacità della Terra (intesa come pianeta), considerando il secondo 

conduttore come posto a distanza infinita: 

V = 

C = 

∫ 

∞ 

R 

Q 

V 

1 

4πε 

0 

Q 1 

dr = 2 

r 4πε 

Q 

R 

= 4πε 

R = 4⋅ 

π⋅ 

8. 

854⋅10 

0 

0 

−12 

40⋅10 

⋅ 

2π 

6 

= 708 μF 

[1.13] 

Come si vede persino un corpo così grande come la Terra ha una capacità di meno di un millesimo di 1 F; 

questo vuol dire che per depositare sulla Terra una carica (complessiva!) di 1 C occorre una differenza di 

potenziale, rispetto al resto dell'Universo, di più di 1000 V (1412 V). 

Per qualunque condensatore va notato che, essendo: 

dq 

i = 

dt 

[1.14] 

dove q è la carica depositata sulla lastra positiva ed i la corrente entrante in tale lastra, vale: 

dv 

i = C 

dt 

[1.15] 

dove v è la differenza di potenziale tra la lastra positiva e quella negativa; oppure: 

v = v 

C0 

1 t 

+ ∫ i ⋅ dt 

C 0 

[1.16] 

Un paragone molto efficace per il condensatore è quello con la vasca o il lago: un flusso d'acqua entrante 

nella vasca rappresenta la corrente elettrica entrante, il livello dell'acqua indica la tensione elettrica, la 

quantità totale di acqua presente corrisponde alla carica elettrica. Più entra acqua e più il livello cresce; e se 

il livello varia vuol dire che dell'acqua è entrata o è uscita. La capacità è legata alla superficie del bacino: se 

questa è grande, occorre molta acqua per variare il livello, oppure si può dire che il bacino può accumulare 

molta acqua senza alzarsi troppo di livello. 

1.4 - Cenni di Elettrodinamica Stazionaria 

Per definizione è caratterizzata dall'avere presenza di densità di corrente diverse da 0 e derivate rispetto al 

tempo nulle per i campi elettrico e magnetico e per la densità volumetrica di carica. 

In queste condizioni esiste quindi il passaggio di corrente. Si può quindi parlare di circuito elettrico, già 

definito come un tubo di flusso del vettore densità di corrente. Nelle condizioni di stazionarietà la densità di 

corrente è solenoidale, quindi la corrente è la stessa in ogni sezione del circuito. 

Quasi sempre i circuiti elettrici sono costituiti da un supporto materiale, cioè un materiale conduttore, spesso 

di sezione filiforme, entro il quale avviene il passaggio della corrente; tale conduttore è rivestito di materiale 

isolante per evitare la dispersione della corrente in percorsi che, anche se chiusi, non permetterebbero più di 

individuare delle sezioni definite dove la corrente sia sempre la stessa; oppure tali conduttori sono fili tesi tra 

supporti isolanti, di modo che per gran parte della sua lunghezza il conduttore è circondato dall'aria, che è 

pure un materiale isolante. Possono esistere però flussi di corrente anche "liberi", privi di supporto definito, 

come le correnti di dispersione nel terreno oppure come le migrazioni ioniche nei fluidi o nel vuoto. 

Nel linguaggio comune si indica spesso con la stessa parola "circuito" qualcosa di più complesso, che 

potrebbe essere definito come l'unione di più rami di circuiti diversi, formando un'insieme di maglie più o 

meno articolata ma tale che da ogni suo punto se ne può raggiungere qualunque altro. In essa quindi 

ciascun circuito può condividere con altri parti del suo percorso. Il termine corretto per indicare questa 

struttura è pero quello di rete elettrica, anche se nel seguito verranno usati indifferentemente entrambi i 

termini. 



1.4.1 - La Resistenza 

Il moto delle cariche elettriche, anche nei migliori materiali conduttori, non può però avvenire senza una 

opportuna forzante. Una carica elettrica incontrerà comunque una opposizione al suo movimento (così come 

in meccanica non esiste un moto privo di attriti, se non nel vuoto), di modo che dovrà cedere parte della sua 

energia per ogni tratto che percorre. Vedendo le cose da un punto di vista energetico, o integrale, ogni 

carica perderà energia potenziale elettrica per muoversi, e quindi il suo potenziale elettrico nel punto di 

partenza dovrà essere maggiore del potenziale elettrico nel punto di arrivo (se la carica è positiva, viceversa 

se negativa). Vedendo le cose da un punto di vista dinamico, o locale, dovrà esistere un campo elettrico 

(forzante) che applicato alla particella carica produrrà una forza che vincerà l'opposizione al moto offerta dal 

materiale. 

Sperimentalmente si trova che tale opposizione è tanto maggiore quanto più è grande la densità di corrente, 

cioè quanto più sono fitte o veloci le cariche elettriche. 

Si può pertanto scrivere la seguente legge: 

E = ρ J 

[1.17] 

dove la costante che appare prende il nome di resistività del materiale. Per i materiali conduttori vale che la 

resistività non dipende dal valore del campo elettrico o della densità di corrente, entro ampi limiti di tali 

grandezze; varia invece con la temperatura. Su questo si tornerà in seguito; intanto possiamo affermare che, 

per questa proprietà, il fenomeno descritto dall'equazione [1.17] è lineare. 

Occorre però intendersi bene sulle convenzioni: il campo elettrico indicato è il campo elettrico forzante, cioè 

quello che causa il flusso di corrente; da un altro punto di vista si potrebbero vedere le cose con il segno 

opposto, indicando però quello che equivale ad un campo elettrico opponentesi al moto. 

Vedendo le cose dall'esterno, occorre comunque che il potenziale elettrico nel punto di partenza della 

corrente sia maggiore di quello del punto di arrivo. 

Se si considerano due punti A e B, corrispondenti a due distinte sezioni di un circuito tra le quali fluisce una 

corrente I (da A a B), la differenza di potenziale tra i due punti vale: 

A 

A 

A I 

A ρ 

VAB= VA 

−VB 

= ∫ E ⋅ dl 

= J dl 

dl I dl = RAB 

⋅ I 

B ∫ ρ ⋅ = ρ = 

B ∫B 

A( 

l) 

∫B 

A( 

l) 

dove si è definita la nuova grandezza: 

R 

AB 

ρ 

= ∫ 

A 

dl 

B A( 

l) 

[1.18] 

[1.19] 

che prende il nome di resistenza tra il punto A e il punto B (o tra B e A: la resistenza va considerata in 

valore assoluto, e cambiando l'ordine degli estremi tale valore non cambia). 

In particolare per una sezione uniforme lungo tutta la lunghezza del tratto di circuito: 

l 

R = ρ 

[1.20] 

A 

Questa formula particolare [1.20] come pure quella più generale [1.19] esprimono in maniera rigorosa un 

principio intuitivo: la resistenza che una corrente incontra è: a) tanto maggiore quanto maggiore è la 

resistività del materiale; b) tanto maggiore quanto lo è la lunghezza del percorso; c) tanto minore quanto più 

è grande la sezione (perché in tal modo la corrente può meglio distribuirsi, quindi avere una densità minore). 

La resistenza si misura in ohm, simbolo Ω; vale: 

1V 

1 Ω = 

[1.21] 

1A 

Si può quindi enunciare la legge di Ohm, per esempio in questa forma: dato un segmento di circuito di 

resistenza R e di estremi A e B, la corrente I che fluisce da A ad B è pari alla differenza di potenziale tra A 

e B divisa per la resistenza del segmento: 

VA 

−VB 

I A→ 

B = 

[1.22] 

R 

AB 



Si noti che quando si parla di corrente si intende sempre la corrente convenzionalmente positiva: cioè se il 

potenziale di A è maggiore del potenziale di B, fluiscono cariche positive da A verso B, oppure cariche 

negative da B ad A, oppure entrambi i casi; nella realtà, nei metalli e nei conduttori in generale si muovono 

gli elettroni. 

E' però ora importante considerare cosa succede nell'intero circuito, e non solo su un singolo segmento di 

esso. 

In regime stazionario non ci sono variazioni di flusso del flusso magnetico. Per la legge di Faraday-Henry 

non esistono allora nemmeno tensioni indotte, cioè l'integrale di circuitazione del campo elettrico è nullo, il 

campo elettrico è conservativo. 

Se si vuole che circoli corrente nel circuito, il ragionamento appena fatto per un singolo segmento va esteso 

a tutto il circuito, e quindi il punto di partenza e quello di arrivo coincidono; perché scorra corrente 

occorrerebbe una differenza di potenziale tra due punti coincidenti, e questo sarebbe in contraddizione con il 

fatto che il campo elettrico è conservativo. Per poter far scorrere corrente devono quindi esistere delle 

sorgenti di d.d.p. (differenza di potenziale), cioè punti del circuito, oppure segmenti di esso (o l'intero circuito) 

dove esistono sorgenti di una grandezza equivalente al campo elettrico e quindi di d.d.p. 

Tali sorgenti sono indicate come generatori di tensione o di forza elettromotrice (f.e.m.). Il termine forza è 

improprio, visto che si parla di differenza di potenziale, ma viene usato frequentemente. I generatori possono 

essere di varia natura, ma come esempio più significativo citiamo l'origine elettrochimica (pile ed 

accumulatori). 

Indicando con: 

E il campo elettrico di origine elettrostatica, conservativo 

E G il fenomeno equivalente ad un campo elettrico, dovuto ai generatori 

E R il fenomeno equivalente ad un campo elettrico, dovuto alla resistività 

allora si può scrivere che: 

∫ ( + EG 

+ ER 

) ⋅ 

L 

E dl 

= 0 [1.23] 

e poiché: 

∫ 

L 

E ⋅ dl 

= 0 (essendo il campo elettrostatico conservativo) [1.24] 

indicando: 

e = ∫ E ⋅ 

L 

G dl 

(f.e.m.) [1.25] 

vale: 

e + 

∫ 

L 

e = − 

∫ 

E 

L 

R 

E 

⋅ dl 

= 0 

R 

⋅ dl 

= − 

∫ 

L 

− ρJ 

⋅ dl 

= − 

∫ 

L 

− ρ 

I 

A 

() l 

dl = RI 

[1.26] 

dove R è la resistenza dell'intero circuito e il verso di percorrenza della corrente è lo stesso che si è usato 

per l'integrale di circuitazione. Quindi: 

la corrente che circola in un circuito è pari alla f.e.m. totale generata nel circuito stesso divisa per la 

resistenza totale del circuito. 

Tornando a vedere le cose su un singolo tratto, l'integrale tra due punti del campo elettrostatico può essere 

anche diverso da 0; quindi indicando: 

= ∫ ⋅ 

A 

AB e E dl 

(f.e.m. generata sul quel tratto di circuito) [1.27] 

vale: 

A 

B G 

V − V + e = R ⋅ I 

[1.28] 

B 

AB 

AB 

AB 

(la corrente è convenzionalmente positiva se fluisce da A verso B). 



1.4.2 - I principi di Kirchhoff 

Se si considera una rete elettrica, in essa si possono individuare: i nodi, i rami, le maglie. 

Per primi si definiscono i rami: un ramo o lato è un tubo del flusso della densità di carica, nel quale si possa 

ritenere che la corrente sia uguale in ogni sezione. In particolare un singolo circuito può essere considerato 

come composto da un solo ramo. 

Di conseguenza si definiscono i nodi: un nodo è un punto in cui convergono tre o più rami. Come sopra, il 

singolo circuito a rigore non possiede nodi. 

Infine si definiscono le maglie: per maglia si intende qualunque percorso chiuso che, partendo da un nodo, 

ritorni al nodo stesso percorrendo diversi rami della rete, senza però mai percorre un ramo più di una sola 

volta. 

In regime stazionario, si consideri una superficie chiusa che contenga al suo interno uno ed uno solo nodo. 

Vale allora: 

∫ S 

J ⋅ n dS = 0 

[1.29] 

ma il flusso totale della densità di corrente altro non è che la somma delle correnti che dal nodo escono 

attraverso i vari rami che al nodo afferiscono. 

Indicando con K il nodo in questione, vale quindi: 

∑ kj 

j∈K 

i = 0 [1.30] 

dove con il simbolo di appartenenza a K dell'indice di sommatoria si indicano i nodi collegati al nodo K. 

Questa relazione è enunciata dalla: 

legge (o principio) di Kirchhoff ai nodi: In regime stazionario, la somma algebrica delle correnti 

entranti (o uscenti) da un nodo è nulla. 

Se si considera invece una maglia, composta da N rami tra i nodi 1, 2, ..., N, per ogni ramo i tra il nodo I e il 

nodo I+1 può essere scritta la relazione [1.28]: 

V − V +1 + e = R ⋅ I 

[1.31] 

I 

I 

i 

i 

i 

Scrivendo questa relazione per tutti i rami, e tornando al punto si partenza: 

V1 

−V2 

+ e1= 

R1⋅ 

I1 

V2 

−V3 

+ e2= 

R2⋅ 

I2 

K 

VN 

−1 

−VN 

+ eN 

−1= 

RN 

−1⋅ 

I N −1 

[1.32] 

V −V 

+ e = R ⋅ I 

N 

1 

N 

N 

N 

si nota che sommando membro a membro le varie equazioni le varie V i si cancellano a vicenda: si ritrova 

cioè il principio di conservatività del potenziale. Vale allora che: 

∑ i 

i∈maglia 

i∈ 

∑ 

= e Ri 

⋅ Ii 

[1.33] 

maglia 

Questa relazione è enunciata dalla 

legge (o principio) di Kirchhoff alle maglie: In regime stazionario, la somma delle f.e.m. generate in 

una maglia è pari alla somma delle cadute di tensione 

ohmiche sui rami della maglia stessa. 

Per quanto riguarda le convezioni, occorre fissare un verso di percorrenza della maglia; ciò fatto: nel primo 

membro della [1.33] considerare positive le f.e.m. concordi e negative quelle discordi a tale verso, nel 

secondo membro considerare positive le correnti concordi e negative quelle discordi a tale verso. 

I principi di Kirchhoff permettono, data una rete elettrica, di calcolare le correnti in ogni ramo e le tensioni in 

ogni lato (d.d.p. tra ogni coppia di nodi) una volta note le f.e.m. generate e i valori delle resistenze di ogni 

lato, cioè di risolvere o trovare lo stato della rete. Questo sarà l'argomento del capitolo 3 di queste dispense. 



1.5 - Cenni di Elettrodinamica Quasi-Stazionaria 

Anche questo argomento sarà trattato diffusamente in una successiva parte delle dispense; si forniscono qui 

solo i principi fondamentali. 

Per prima cosa occorre descrivere le conseguenze della legge di Faraday-Henry. 

Per esempio, sia dato un circuito composto da una sola spira. Se l'area sottesa da questa spira è 

attraversata da un campo magnetico variabile nel tempo, vale che: 

∫ 

L 

d 

E ⋅ dl 

= − ∫ B ⋅ u 

S (L) 

n dS 

[1.34] 

dt 

si presenta cioè un campo elettrico non conservativo lungo la spira stessa, o meglio si misura una differenza 

di potenziale tra il punto di partenza e il punto di arrivo della spira, anche se questi coincidono. Si dice che 

esiste una tensione indotta; questo effetto prende anche il nome di induzione elettromagnetica. 

Tale differenza di potenziale può sussistere se la spira è composta da materiale isolante; se invece il 

materiale è conduttore e la spira è chiusa su se stessa subito si verificherebbe l'insorgere di una corrente 

elettrica. Tale corrente in parte farebbe uso del campo elettrico forzante (con la corrente insorgerebbe 

qualcosa di equivalente ad un campo elettrico di origine ohmica che si oppone al primo), in parte 

genererebbe nella spira stessa un flusso che varia nel tempo in maniera opposta al primo, causando così 

una riduzione dell'induzione elettromagnetica. 

1.5.1 - L'Induttanza 

Si consideri (altro esempio) un ramo di una rete elettrica. Se questo ramo ad un certo punto descrive una 

spira, la corrente che fluisce sul ramo stesso genera un campo e quindi un flusso magnetico. Il flusso è 

proporzionale alla corrente. Se la corrente è costante, il flusso non varia nel tempo, e quindi non esiste 

tensione indotta. Se invece la corrente per esempio tende ad aumentare, la variazione di flusso produrrà una 

tensione indotta che si oppone al verso della corrente; se la corrente tende a diminuire, la tensione si 

presenterà concorde alla corrente, tendente quindi a sostenerla. Esiste cioè una costante, detta induttanza 

e solitamente indicata con la lettera L , per cui: 

() t 

di 

v () t = L 

[1.35] 

dt 

Questo dispositivo si chiama induttore ed è il duale del condensatore. 

Un altro fenomeno, invece, è quello dell'accumulo di cariche in certe parti del circuito, per esempio sugli 

elettrodi di un condensatore. Si parla in tal caso di effetto capacitivo. Va però notato che se sulle singole 

lastre si presenta accumulo di carica, il condensatore nel suo insieme rimane neutro; se visto come 

elemento circuitale, vale sempre che la corrente entrante (verso una lastra) è pari a quella uscente (dall'altra 

lastra). 

Se questi fenomeni (l'effetto induttivo e l'effetto capacitivo) sono localizzati in parti definite e limitate del 

circuito, le leggi di Kirchhoff potranno essere riscritte quasi allo stesso modo, alle condizioni che: 

1) nei nodi non si presentino effetti capacitivi 

2) le tensioni generate nei lati tengano conto dell'induzione di campi magnetici esterni 

3) al secondo membro le c.d.t. ohmiche vengano completate con le c.d.t. su altri componenti, 

schematizzabili come induttori e condensatori, per i quali la tensione va calcolata non solo come 

funzione lineare della corrente, ma anche della sua derivata o del suo integrale nel tempo. 

In queste condizioni si può parlare di regime quasi stazionario, ed applicare ancora, con queste modifiche, le 

equazioni di Kirchhoff. 

Se invece per esempio si considera anche il flusso che attraversa l'intera maglia, oppure il fatto che ci 

possono essere dispersioni di corrente per effetto capacitivo attraverso l'isolamento dei conduttori, il regime 

non può essere considerato quasi-stazionario, a meno che non si riesca a modellizzare tali fenomeni 

concentrando i loro effetti in singole parti della rete elettrica. 



2 - Analisi delle Reti Elettriche in Regime Stazionario 

2.1 - I bipoli ideali - Il resistore 

Nel precedente capitolo si è esaminato il fenomeno della conduzione elettrica, definendo la resistenza e le 

leggi che legano il valore della corrente alle tensioni generate in un circuito. 

Per un singolo tratto di circuito si è visto che la corrente che in esso fluisce è pari a: 

V1 

−V2 

+ e12 

I1→ 

2 = 

[2.1] 

R 

12 

che esprime in maniera rigorosa il concetto per cui la corrente fluisce in presenza di differenza di potenziale 

(di origine elettrostatica) e/o di una sorgente di f.e.m., ed è limitata da una resistenza, la cui formula è data 

da: 

∫ () ρ 

2 dl 

R 12 = l 

[2.2] 

1 A(l) 

Naturalmente perché la corrente fluisca occorre che il circuito sia chiuso; se anche solo uno dei due estremi 

del segmento è isolato, non può esserci corrente; quindi succederà semplicemente un fenomeno 

elettrostatico di separazione interna di cariche fino a porsi in equilibrio con i campi forzanti (creando una 

d.d.p. uguale ed opposta). 

Anche se la resistenza è di per sé una grandezza distribuita lungo tutto il tratto di circuito considerato, può 

risultare molto comodo da un punto di vista modellistico "concentrarla" in un unico componente, che prende 

il nome di resistore o, semplicemente, resistenza. Così per rappresentare un tratto di circuito basterà porre 

in serie, cioè uno dopo l'altro, ciascuno con il secondo estremo elettricamente collegato con il primo estremo 

del successivo, due componenti circuitali: uno che rappresenta il fenomeno della generazione della f.e.m., e 

si chiama appunto generatore ideale di tensione; uno che rappresenta la c.d.t. resistiva, e si chiama 

appunto resistenza o resistore. L'ordine con cui vengono posti in serie non ha importanza. 

Una volta che sono state utilizzate le dimensioni del tratto di circuito (area della sezione, lunghezza) per 

calcolare il valore della resistenza, ci si può dimenticare di queste caratteristiche geometriche e ragionare 

unicamente sul componente. 

Questi componenti (resistore, generatore), prendono il nome di bipoli, perché presentano due estremi, detti 

morsetti o poli. Il nome non è superfluo, perché esistono anche componenti con più morsetti, come i 

quadripoli. 

I bipoli si dicono attivi quando in essi è presente una sorgente di f.e.m., passivi in tutti gli altri casi. Si parla 

anche, rispettivamente, di generatori e utilizzatori. 

Nei bipoli esiste la possibilità di passaggio di corrente da un estremo all'altro, e si può presentare una d.d.p. 

tra i due estremi. E' possibile mettere in grafico le due grandezza, tensione e corrente, e tale grafico (o 

comunque la funzione che esprime l'una grandezza al variare dell'altra) prende il nome di caratteristica del 

bipolo; se tale caratteristica è una linea retta, si parla di bipolo lineare. 

In particolare: se per un resistore la corrente entrante è pari a quella uscente e segue la legge: 

V1 

−V2 

I1→ 

2 = 

[2.3] 

R 

12 

con resistenza costante, il bipolo è lineare; in questo caso si usa anche il termine di bipolo ideale. Si noti che 

nella formula non appare più la forzante di f.e.m., perché il fenomeno è stato separato da questo, ed è 

descritto da un componente a sé. 

Si può anche scrivere più in sintesi: 

V = RI 

[2.4] 

dove con V si intenda la d.d.p. tra il morsetto in cui la I è entrante e quello da cui la I è uscente. Questa 

convezione per tensione e corrente prende il nome di convenzione degli utilizzatori. 

In gran parte dei materiali conduttori si ha che: 



- la corrente può fluire indifferentemente dal morsetto A a B o da B ad A (se cambia il verso della 

corrente, dovrà cambiare anche il segno della tensione): si dice allora che il componente è bidirezionale 

ed in particolare che è simmetrico se la resistenza è la stessa in entrambi i casi; 

- la resistenza non dipende dalla tensione o dalla corrente: componente lineare. 

La resistenza dipende invece dalla temperatura, secondo la legge: 

ρ = 

ρ 

0 

R = R 

0 

( 1+ 

α( 

θ − θ0 

) ) 

⋅( 

1+ 

α( 

θ − θ ) ) 

⋅ 

0 

da cui: 

valida per un ampio range di temperature. 

A temperatura costante, la caratteristica di un resistore ideale è quindi una retta passante per l'origine; al 

variare della temperatura cambia il coefficiente angolare (si ha così un fascio di rette avente il centro del 

fascio nell'origine). 

A conclusione del discorso sulla resistività, si noti che le dimensioni di tale grandezza sono tali che: 

[] [] l 

ρ 

[ A] 

= 

m 

m 

[ R] 

⇒[ 

ρ] 

= Ω = Ωm 

ma più frequentemente ai fini pratici si usa: 

[] 

mm 2 

2 

mm 2 

ρ = Ω o anche: [] ρ = Ω 

[2.7] 

m 

km 

(con questa scelta, moltiplicando la resistività per la lunghezza espressa in m o km e la sezione in mm 2 si 

ottiene la resistenza in Ω). 

Per quanto riguarda il generatore, si dice che questo è un generatore ideale se la f.e.m. da esso creata non 

dipende dalla corrente che in esso circola. La sua caratteristica è pertanto una retta parallela all'asse delle 

correnti. 

Oltre al generatore ideale di tensione si utilizza un altro componente attivo, il generatore ideale di corrente. 

Questo dispositivo eroga corrente costante, indipendentemente da quale sia il valore di tensione applicato. 

La sua caratteristica è quindi una retta parallela all'asse delle tensioni. Questo dispositivo non esiste nella 

realtà; è possibile realizzare un dispositivo quasi ideale utilizzando un generatore di tensione con un 

meccanismo di controllo che, sensibile alla corrente, genera la tensione necessaria per avere il valore di 

corrente stabilito. Tuttavia dal punto di vista modellistico il componente ideale risulta molto utile nell'analisi 

delle reti elettriche, come si vedrà in seguito. 

Si usa dire che il generatore di tensione e quello di corrente sono dispositivi duali. 

Per i generatori si usa solitamente la seguente convenzione: la tensione viene misurata come d.d.p. tra il 

morsetto da cui la corrente esce e quello in cui la corrente entra: convenzione dei generatori. 

Una modellizzazione più realistica dei generatori è quella di associare sempre ad una generatore ideale di 

tensione una resistenza serie e a quello di corrente una resistenza parallelo. Queste resistenze rendono 

conto: per il generatore di tensione, della c.d.t. dovuta al fatto che, se nel generatore passa corrente, anche 

questa incontrerà una resistenza, per cui la tensione ai morsetti risulterà inferiore a quella ideale, in misura 

proporzionale alla corrente stessa; dualmente, per il generatore di corrente, del fatto che se il generatore 

eroga internamente la corrente prevista e si presenta una certa d.d.p. ai morsetti, comunque una parte di 

questa corrente verrà drenata internamente, in misura proporzionale alla tensione stessa. Questa 

modellizzazione è molto vicina alla realtà. 

2.2 - Serie e parallelo 

I bipoli possono essere posti in serie o in parallelo. 

In serie significa che ciascun bipolo è posto in successione al precedente, quindi con il primo morsetto 

collegato all'ultimo del precedente e l'ultimo al primo del successivo. Se sono posti tra due nodi A e B, solo il 

primo morsetto del primo bipolo sarà collegato ad A solo l'ultimo dell'ultimo bipolo sarà collegato a B. 

Ne risulta che i bipoli in serie sono attraversati dalla stessa corrente; la tensione risultante è la somma 

algebrica delle tensioni di tutti i bipoli posti in quella serie. 


[2.5] 

[2.6]


In parallelo significa che tutti i bipoli sono collegati alla stessa coppia di morsetti A e B: ogni bipolo ha un 

morsetto collegato ad A e l'altro collegato a B. 

Ne risulta che i bipoli in parallelo sono soggetti alla medesima tensione, mentre la corrente totale (entrante 

da A e uscente da B, o viceversa) è la somma algebrica delle correnti di tutti i bipoli posti in quel parallelo. 

Se si pongono in serie dei generatori di tensione, la tensione totale è la somma algebrica delle tensioni di 

ciascuno. 

Se si pongono in parallelo dei generatori di corrente, la corrente totale è la somma algebrica delle correnti di 

ciascuno. 

Non si devono invece mai porre in parallelo dei generatori ideali di tensione, senza resistenze in serie ad 

essi, o in serie dei generatori di corrente, senza resistenze in parallelo ad essi: nel primo caso si avrebbero 

delle maglie (ogni maglia con due generatori) con una f.e.m. totale diversa da 0, e nessuna resistenza, col 

risultato di far passare una corrente di valore infinito; nel secondo caso si avrebbero dei nodi con somma di 

correnti diversa da 0, col risultato (duale al precedente) di creare dei valori infiniti di tensione. 

Se si pongono in serie delle resistenze: 

V 

= R1 

I + R2I 

+ K+ 

R I = R I 

[2.8] 

AB N ∑ j j 

da cui: 

∑ 

R = R 

[2.9] 

S 

j j 

La resistenza equivalente ad una serie di resistenze è la somma delle resistenze stesse. 

Se invece sono in parallelo: 

V 

I = 

R 

1 

da cui: 

+ 

V 

R 

2 

( ) 1 1 − − 

R 

∑ 

V 1 

+ K + = V ⋅∑ 

[2.10] 

j R R 

N 

j 

R = 

[2.11] 

P 

j j 

La resistenza equivalente ad un parallelo di resistenze è il reciproco della somma dei reciproci delle 

resistenze stesse. 

A tal proposito si introduce un'altra grandezza, la conduttanza, pari al reciproco della resistenza: 

G = 

R 

1 [2.12] 

La conduttanza si misura in siemens, simbolo S, che è pari esattamente al reciproco di un ohm. Vale quindi: 

G 

G 

S 

P 

= 

= 

−1 

( G j ) 

∑ 

∑ 

j 

j 

G 

j 

−1 

Queste formule sono duali a quelle con le resistenze. 

2.3 - Metodi per la soluzione di reti elettriche lineari 

[2.13] 

Come già visto nel capitolo precedente, una rete elettrica è caratterizzata da N nodi e L lati. In essa si hanno 

N −1 

equazioni di Kirchhoff ai nodi indipendenti N −1 

tensioni nodali significative (un nodo va preso come 

riferimento di V ) e L − N + 1 equazioni di Kirchhoff alle maglie indipendenti. 

Ciascun ramo potrà presentare la serie di più resistenze, più generatori di tensione, e al più di un solo 

generatore di corrente. E' allora opportuno, come primo passo, porre in serie tutte le resistenze, ottenendone 

una equivalente, per ciascun ramo; e così pure per i generatori di f.e.m.. In seguito le tensioni sui singoli 

bipoli passivi potranno essere facilmente ricostruite, una volta nota la corrente che scorre nel ramo. 

Così pure può succedere che ad una coppia di nodi afferiscano più rami in parallelo composti da sole 

resistenze. E' allora conveniente ridurre tali rami ad uno solo, con la resistenza equivalente al parallelo delle 



resistenze originali. In seguito le correnti sui singoli bipoli passivi potranno essere facilmente ricostruite, una 

volta nota la d.d.p. tra i due nodi. 

Dopo avere ridotto i rami serie e parallelo (tale riduzione non è obbligatoria, ma permette una 

semplificazione dei conti successivi), per la soluzione si può procedere secondo tre diversi metodi basati 

sulle eq. di Kirchhoff: 

2.3.1 - Metodo delle correnti di lato 

Si scelgono come incognite le correnti nei lati, assegnando liberamente ad ogni lato un verso 

convenzionalmente positivo. 

Si possono quindi scrivere subito le N −1 

eq. di K. ai nodi. 

Si scrivono quindi, in funzione delle incognite, le L − N + 1 eq. di K. alle maglie, effettuando i prodotti delle 

resistenze per le correnti e sommando le f.e.m. dei generatori. 

N = L equazioni, con L incognite. 

Si hanno così ( −1 ) + ( L − N + 1) 

Risolto il sistema, si possono trovare le tensioni in ogni nodo, partendo dal nodo di riferimento e via via agli 

altri, sommando le c.d.t. resistive e le f.e.m. dei lati che congiungono i nodi. 

Il metodo spesso è pesante perché le equazioni sono spesso in numero elevato. 

2.3.2 - Metodo delle tensioni di nodo 

Si scelgono come incognite le tensioni di N −1 

nodi (tutti, escluso il nodo di riferimento). 

In funzione di tali incognite si hanno subito le d.d.p. sui vari lati, e quindi le correnti negli stessi. 

Si possono così scrivere le N −1 

eq. di K. ai nodi. 

Si hanno così N −1 

equazioni con N −1 

incognite. 

Risolto il sistema, dalle d.d.p. si ottengono le correnti nei lati. 

2.3.3 - Metodo delle correnti di maglia 

Si assegna ad ognuna delle L − N + 1 maglie una corrente, per ora incognita, detta corrente di maglia, per la 

quale si fissa anche il verso convenzionalmente positivo. Questa corrente sarà tale che: se un lato 

appartiene ad una sola maglia, la corrente in quel lato coinciderà coincide con la corrente di maglia; se un 

lato è condiviso da più maglie, la corrente in quel lato è la somma algebrica delle correnti di tutte le maglie a 

cui il nodo appartiene (tenere conto del verso convenzionale). 

Si possono così esprimere le correnti di lato in funzione di quelle di maglia, e di conseguenza le tensioni nei 

lati e quindi le L − N + 1 eq. di K. alla maglie. 

Si hanno così L − N + 1 equazioni con L − N + 1 incognite. 

Risolto il sistema, si ricostruiscono le correnti di lato e quindi, come sopra, le tensioni nodali. 

Si possono presentare dei casi particolari: 

1) Un ramo presenta solo un generatore di tensione, senza alcuna resistenza: 

- se si risolve la rete con il metodo delle correnti di lato, non ci sono problemi perché esiste 

direttamente l'espressione di una delle d.d.p. da inserire nelle eq. di K. alle maglie 

- se si risolve la rete con il metodo delle tensioni di nodo, manca l'espressione della corrente di quel 

lato; in compenso però una d.d.p. tra due nodi è già definita; si pone come ulteriore incognita la 

corrente nel generatore, ottenendo una incognita in più, ma anche un'equazione in più, perché la 

d.d.p. tra i due nodi fornisce una semplice equazione contenente due tensioni nodali incognite 

- se si risolve utilizzando il metodo delle correnti di maglia, non ci sono problemi perché esiste 

direttamente l'espressione di una delle d.d.p. da inserire nelle eq. di K. alle maglie 

- un ulteriore metodo sarà fornito alla fine del paragrafo 2.7 - . 



2) Un ramo presenta solo un generatore di corrente, senza alcuna resistenza 

- se si risolve con il metodo delle correnti di lato, manca l'espressione della tensione in quel lato; in 

compenso è già nota una delle correnti; si pone come ulteriore incognita la tensione sul 

generatore, quindi si ha questa incognita in più, ma anche una corrente incognita in meno 

- se si risolve con il metodo dei potenziali di nodo, non ci sono problemi perché esiste direttamente 

l'espressione della corrente in quel lato 

- se si risolve col metodo delle correnti di maglia, manca l'espressione della tensione in quel lato; in 

compenso è già nota una delle correnti di lato; si pone come ulteriore incognita la tensione sul 

generatore, quindi si ha questa incognita in più, ma anche un'equazione in più essendo tale 

corrente la somma algebrica delle correnti di maglia a cui quel lato appartiene 

2.4 - Equivalenti e sovrapposizione degli effetti 

Si consideri un ramo costituito da un generatore ideale di tensione in serie con una resistenza. Vedendo il 

ramo come un unico bipolo, si può esprimere la sua caratteristica: 

V = E − RI 

[2.14] 

dove si è utilizzata la convenzione dei generatori, e la tensione V è stata con lo stesso verso utilizzato per la 

tensione generata E . 

Si consideri invece ora il parallelo di un generatore di corrente e di una resistenza. Vedendo anche questo 

come un unico bipolo, si può esprimere la sua caratteristica: 

( A − I ) = RA 

RI 

V = R ⋅ 

− 

[2.15] 

dove si è utilizzata la stessa convenzione e dove A è la corrente generata. 

In entrambi i casi la caratteristica prevede un termine costante ( E, RA ) e un decremento lineare 

all'aumentare della corrente, con pendenza pari al valore della resistenza. Dal punto di vista esterno i due 

casi sono quindi equivalenti. Questo vuol dire che in una rete elettrica un generatore di tensione E con in 

serie una resistenza R può essere sostituito, ai fini della risoluzione del problema, con un generatore di 

corrente di valore A = E R in parallelo alla stessa resistenza, e viceversa. Questo a volte semplifica le 

cose, o rende più "visibile" e immediata alla persona che affronta il problema la soluzione della rete. 

Si consideri ora un semplice circuito (una sola maglia) costituito dalla serie di due generatori di tensione e 

una resistenza. La corrente che circola vale quindi: 

E E2 

I = [2.16] 

R 

1 + 

Si è già notato come la tensione di un generatore ideale di f.e.m. non dipenda dalla corrente, e come questo 

possa permette il passaggio, in generale, di qualunque corrente. Si supponga allora di disattivare il 

generatore 2, continuando però a permettere il passaggio di qualunque corrente. Si avrà allora solo l'effetto 

del generatore 1: 

I( 

= [2.17] 

1) 

E1 

R 

Riattivando il generatore 2 e ripetendo l'operazione per il generatore 1, si avrà: 

I( 

= [2.18] 

2) 

E2 

R 

Si nota che la corrente ottenuta con entrambi i generatori accesi e la somma di queste due correnti danno lo 

stesso valore. Cioè è possibile considerare la situazione effettiva come la somma, o meglio la 

sovrapposizione dei due effetti, a condizione che in ciascun singolo effetto ogni generatore spento venisse 

considerato come passaggio libero di corrente, cioè un collegamento privo di resistenza, o, come si dice in 

elettrotecnica, un cortocircuito (spesso abbreviato in cto cto). 

Esempio duale: due generatori di corrente in parallelo tra loro e in parallelo con una resistenza. Vale: 

( A A ) 

V = R ⋅ + 

[2.19] 

1 

2 



Il generatore di corrente può prendersi qualunque tensione, ma impone la corrente. Disattivarne uno 

vorrebbe dire permettere qualunque tensione, ma nessuna corrente: quindi un circuito aperto. Disattivando 

prima l'uno e poi l'altro si avranno: 

V 

V 

( 1) 

( 2) 

= RA 

1 

= RA 

2 

[2.20] 

e la somma di queste due tensioni coincide con la tensione presente quando sono entrambi attivati. Anche 

qui si può considerare la situazione effettiva come somma, o meglio sovrapposizione degli effetti, a 

condizione che in ciascun singolo effetto il generatore spento sia sostituito con un circuito aperto. 

Si noti che in entrambi i casi la sovrapposizione è possibile se la rete è lineare e i generatori ideali, cioè 

se il valore della resistenza non dipende dalla corrente in transito o dalla tensione applicata, e così pure le 

tensioni generate non risentano delle correnti in transito e le correnti generate non risentano delle tensioni 

applicate. 

Se la rete elettrica fosse anche più complessa, le cose non cambierebbero. Risolvendo la rete in forma 

simbolica, si noterebbe che ogni tensione nodale e ogni corrente di lato è una funzione lineare delle tensioni 

o delle correnti dei generatori. Quindi si enuncia il principio di sovrapposizione degli effetti: 

In una rete lineare e con generatori ideali è possibile applicare la sovrapposizione degli effetti, vale a 

dire: la tensione in ogni nodo è la somma delle tensioni e la corrente in ogni lato è la somma delle 

correnti che si ottengono attivando volta per volta solo uno o una parte dei generatori, fino a 

considerarli tutti una e una sola volta, e lasciando spenti tutti gli altri, lasciandoli cioè in cortocircuito 

se generatori di tensione e in circuito aperto se generatori di corrente. 

La rete con tutti i generatori posti in queste condizioni può essere definita rete passiva. 

Dal principio di sovrapposizione degli effetti discende che: se in una rete viene acceso un nuovo generatore 

o ne viene spento uno esistente, non occorre risolvere da capo la rete ma basta aggiungere o togliere alla 

soluzione preesistente il nuovo effetto, calcolato sulla rete passiva. 

2.5 - I teoremi di Thevenin e di Norton 

Si considerino ancora gli esempi precedentemente riportati in questo capitolo. Si nota che la caratteristica è 

data dalla somma di due termini: uno costante, e uno lineare. 

Se si considera il generatore di tensione in serie alla resistenza, si nota anche che il termine costante 

corrisponde alla tensione a vuoto, cioè a quella tensione che si presenta ai capi dei morsetti quando questi 

non sono richiusi su nessun altro circuito e quindi non scorre corrente. Il termine lineare invece è pari alla 

caratteristica che si presenta disattivando il generatore, ponendolo cioè in cto cto: è la caratteristica della 

rete passiva, in questo caso molto semplice. 

Se si considera l'altro esempio, riscrivibile in questa forma: 

V 

I = A + = A + GV 

[2.21] 

R 

si nota che il termine costante è pari alla corrente che si avrebbe quando i due morsetti sono posti in cto cto, 

cioè quando questi sono richiusi con un collegamento privo di resistenza: in queste condizioni non c'è 

tensione sui morsetti e quindi neppure corrente nella resistenza. Il termine lineare invece è pari alla 

caratteristica che si presenta disattivando il generatore, cioè trasformandolo in un circuito aperto: è la 

caratteristica della rete passiva, in questo caso molto semplice. 

Si può dimostrare, utilizzando la linearità della rete, l'idealità dei generatori, il principio di sovrapposizione 

degli effetti, che le stesse regole valgono anche quando la rete sia più complessa, presenti anche più 

generatori e una magliatura articolata di resistenze: e cioè che, vedendo le cose da due morsetti della rete e 

considerandola da lì come unico bipolo, la caratteristica di una rete lineare qualunque è sempre data dalla 

somma di un termine costante, pari alla tensione a vuoto che si ottiene lasciando i due morsetti a vuoto, 

oppure pari alla corrente che si ottiene ponendo i due morsetti in cto cto, e un termine lineare, con la stessa 

caratteristica della rete passiva vista dai due morsetti. 

Si enunciano allora: 



Teorema di Thevenin: Una qualunque rete lineare vista da due suoi nodi può essere sostituita con 

una rete equivalente costituita da: un generatore ideale di tensione che eroga 

la tensione a vuoto tra i due nodi, in serie con una resistenza di valore pari alla 

resistenza di tutta la rete in questione, passiva, vista degli stessi due nodi. 

Teorema di Norton Una qualunque rete lineare vista da due suoi nodi può essere sostituita con 

una rete equivalente costituita da: un generatore ideale di corrente che eroga 

la corrente di cto cto tra i due nodi, in parallelo con una conduttanza di valore 

pari alla conduttanza di tutta la rete in questione, passiva, vista degli stessi 

due nodi. 

Per "resistenza (conduttanza) di valore pari alla resistenza (conduttanza) di tutta la rete passiva vista dai due 

nodi" si intende questo: per la rete passiva si può scrivere un'equazione corrispondente alla caratteristica 

vista dai due nodi, cioè alla relazione che lega V ed I nei due nodi. Questa caratteristica passa per 

l'origine, essendo la rete passiva, ed è una retta, essendo la rete lineare. Quindi il coefficiente angolare della 

relazione V − I è pari alla resistenza da porre nell'equivalente di Thevenin e il suo reciproco alla 

conduttanza da porre nell'equivalente di Norton. 

In generale tale equazione caratteristica potrebbe essere trovata in questo modo: si pone una prima 

tensione di tentativo tra i due nodi e si misura la corrente (o si risolve la rete con questa forzante); si pone 

una seconda tensione di tentativo e si misura ancora la corrente (o si risolve ancora). Si sono così ottenuti 

due punti della caratteristica. Ma essendo questa una retta, ecco che con due punti tale retta è definita. 

Meglio ancora poiché è noto a priori che la retta passa per l'origine, basta misurare e risolvere una sola 

volta, perché un punto è sufficiente a determinare la retta. 

Solitamente però il problema può essere risolto in maniera più diretta: spesso le reti passive sono riducibili 

gradualmente, attraverso riduzioni successive tipo serie o parallelo: dapprima tutti i gruppi di resistenze in 

serie vengono sostituiti con le rispettive resistenze equivalenti serie e tutti i gruppi di resistenze in parallelo 

vengono sostituiti con le rispettive resistenze equivalenti parallelo; la nuova rete così ridotta può ancora 

presentare altre serie o altri paralleli, che vengono ancora ridotti, e così via. 

2.6 - Le conversioni stella-triangolo e triangolo-stella 

Nella riduzione di una rete si possono incontrare delle configurazioni di questo tipo: 

A 

figura 2.1 

che non sono riducibili medianti normali riduzioni tipo serie o tipo parallelo. 

B 

Esistono cioè due configurazioni particolari, che si presentano fra tre nodi, con un eventuale quarto nodo in 

posizione centrale. Queste configurazioni sono: la configurazione a stella e quella a triangolo. 

Indicando con A, B, C i tre nodi e con H il quarto: 

- la configurazione a stella si ha quando ciascuno nodo A, B, C è collegato al nodo H, detto centro-stella; 

- la configurazione a triangolo si ha quando (non esiste H) si hanno i collegamenti A-B, B-C, C-A, come i 

lati di un triangolo. 

Una configurazione a stella può essere trasformata in una equivalente a triangolo, e viceversa. 



Si indichino: 

R X la resistenza a stella con X e H, con X (maiuscola) = A,B,C 

R x la resistenza a triangolo tra y e z, con x,y,z (minuscole) = A,B,C, a rotazione 

Valgono allora le seguenti relazioni: 

R 

R 

A 

a 

RbRc 

= 

R + R + R 

R 

= 

a 

A 

R 

B 

b 

c 

+ RAR 

R 

A 

C 

+ R 

B 

R 

C 

per le altre resistenze (indici B, C, b, c) basta ruotare di conseguenza gli indici al secondo membro. 

[2.22] 

In particolare, se le tre resistenze a stella sono uguali, lo sono anche quelle a triangolo, e viceversa; in tal 

caso le resistenze a triangolo sono 3 volte maggiori di quelle a stella. 

2.7 - Metodi matriciali per l'analisi delle reti elettriche lineari 

I metodi fin qui indicati sono validi per reti lineari di qualunque dimensione. 

Risulta però comodo automatizzare il calcolo della soluzione, facendo uso di mezzi di calcolo elettronici, e 

questo può essere effettuato utilizzando modelli e strumenti di analisi delle reti che fanno uso delle matrici. 

Si consideri una rete che presenti N nodi e L lati. 

Va premesso che a volte può interessare, soprattutto con questi metodi automatici, ottenere direttamente 

dalla soluzione del sistema la tensione in un punto intermedio di un ramo, per esempio il punto di 

separazione tra due resistenze in serie o tra una resistenza e un generatore. Tale punto separa due tronconi 

di ramo, e quindi non potrebbe essere considerato come nodo, secondo la definizione precedente, che 

prevedeva il nodo come punto di incontro tra almeno tre rami. Tuttavia anche per questo punto sono 

applicabili i principi di Kirchhoff, quindi la definizione di nodo potrebbe essere estesa. In fase di studio della 

rete si devono quindi considerare come nodi i punti che separano almeno tre rami e si possono, a libera 

scelta, considerare come nodi anche i punti che separano due tronconi di lato, che quindi verranno 

considerati come lati distinti. 

Fatte queste scelte preliminari, si assegni ad ogni nodo un numero progressivo, da 1 ad N , e lo stesso si 

faccia per ogni lato, da 1 ad L ; ad ogni lato inoltre si assegni un verso convenzionalmente positivo, in modo 

che i suoi due estremi siano considerati uno come estremo entrante e l'altro come estremo uscente per la 

corrente. 

E' possibile allora definire la matrice di incidenza nodo-lato (o semplicemente matrice di incidenza), 

come quella matrice [ C′ di dimensioni ( N × L ), tale che: 

[ C ] = [ c′ 

] 

con: 

ik 

] 

′ [2.23] 

c = + 1 

se il lato k afferisce al nodo i , e questo è il nodo entrante del lato k 

′ik 

c = −1 

se il lato k afferisce al nodo i , e questo è il nodo uscente del lato k 

′ik 

c = 0 

se il lato k non afferisce al nodo i 

′ik 

Si noti che questa matrice presenta: 

- su ogni riga i tanti elementi diversi da zero quanti sono i collegamenti di quel nodo i -esimo 

- su ogni colonna k (lato k -esimo) solo 2 elementi diversi da zero, di valore +1 e -1. 

Ma più comunemente si usa la matrice di incidenza ridotta [ C ] , definita come la precedente, ma con la 

differenza che si utilizzano N −1 

nodi anziché N perché un nodo è stato scelto come nodo di riferimento. 



Si definiscono poi la matrice delle resistenze di lato [ R l ] e la matrice delle conduttanze di lato [ G l ] , di 

dimensioni ( L × L ), che presentano elementi diversi da zero solo sui termini diagonali; ciascun termine 

diagonale presenta il valore rispettivamente della resistenza e della conduttanza del lato corrispondente. 

] 

Si noti che, indicando con [ Il 

il vettore colonna che contiene, per ogni elemento, il valore della corrente di 

lato misurata con il verso stabilito come positivo per il lato in cui fluisce, si ha che: 

[] I [ C][ 

⋅ I ] 

= [2.24] 

l 

[] I è un vettore colonna che contiene, per ogni elemento i , il valore della corrente che dal nodo i-esimo 

fluisce verso tutti i nodi a questo collegati, attraverso i rami che partono dal nodo i stesso. Questa corrente, 

per il principio di Kirchhoff ai nodi, è nulla, a meno che non si presenti nel nodo un ulteriore elemento, non 

considerato nella matrice di incidenza, che dall'esterno inietti corrente nella rete, in modo che la somma delle 

correnti che fluiscono dal nodo verso i lati è pari alla corrente iniettata dall'esterno nel nodo (il principio di K. 

viene così ancora rispettato). Questo elemento potrebbe essere un generatore ideale di corrente, collegato 

con il suo secondo estremo a terra (o, che è lo stesso, al nodo di riferimento). 

Si nota allora come questa formulazione matriciale potrebbe aiutare a scrivere le equazioni di Kirchhoff ai 

nodi in maniera sistematica. Si noti pure che, utilizzando la matrice di incidenza ridotta, si avranno le 

equazioni per tutti i nodi meno uno, quello scelto come riferimento; ma questa perdita non è grave, anzi è 

opportuna, perché questa equazione è linearmente dipendente dalle altre. 

Si noti anche che, considerando il vettore colonna delle tensioni nodali, [ V ] , si ha che: 

t [ C ] [ V ] = [ V ] 

con 

⋅ [2.25] 

[ ] [ v ] 

V l l, 

k 

l 

= dove: vl, k = Vi 

−V 

j 

[2.26] 

] 

il vettore colonna [ Vl così ottenuto presenta, per ogni elemento k -esimo, la tensione applicata al lato k , 

pari cioè alla d.d.p. tra il nodo i (estremo entrante di k ) e il nodo j (estremo uscente di k ). Si noti che se 

uno dei due estremi di un lato fosse il nodo di riferimento, la matrice di incidenza non riporterebbe nulla 

(manca la riga corrispondente), ma questo va bene perché in quel nodo la tensione è nulla per definizione. 

Poiché per ogni lato k tra i nodi i e j vale: 

k 

ij 

k 

( V −V 

E ) 

I = I = G ⋅ + 

[2.27] 

i 

j 

k 

allora, definendo [ E l ] come il vettore colonna delle tensioni generate di lato, vale che: 

( ) 

t 

[ I ] [ G ] ⋅ [ C] 

⋅[ 

V ] + [ E ] 

l 

= [2.28] 

l 

l 

e quindi, combinando questa equazione con la [2.24]: 

( ) 

t 

[] I [ C][ 

⋅ I ] = [ C][ 

⋅ G ] ⋅ [ C] 

⋅[ 

V ] + [ E ] 

= [2.29] 

l 

l 

l 

Questa scrittura ci porta verso una formulazione abbastanza compatta del metodo dei potenziali di nodo. La 

formula [2.29] presenta però il termine dovuto alle tensioni dei generatori che complica un po' le cose. 

Conviene allora procedere in questo modo. Prima di applicare il metodo, si considerano tutti i lati dove sono 

presenti dei generatori di tensione. Questi saranno, in generale, in serie con delle resistenze. E' allora 

possibile trasformare questi lati negli equivalenti che presentano un generatore di corrente, posto in parallelo 

allo stesso valore di resistenza posto in serie al generatore di tensione originale, ed erogante una corrente 

A pari a: 

A = E R 

[2.30] 

in questo modo la rete presenterà solo bipoli passivi e degli iniettori di corrente in ogni nodo che sia estremo 

di un lato ove era presente un generatore di tensione. 

Questa procedura rende ancora più frequente la possibilità di considerare come nodi anche i punti tra due 

tronconi di lato: spesso è proprio in tali punti che viene posizionata l'iniezione di corrente. Si consideri infatti 

un lato che presenti in serie una resistenza e un generatore reale di f.e.m.: il generatore reale è composto 

dalla serie di un generatore ideale e di una resistenza. Si può allora procedere in due modi: a) conglobare la 



resistenza del generatore a quella dell'altro troncone di ramo, ponendole in serie, ed effettuare l'equivalente 

dell'unico lato così ottenuto; b) effettuare l'equivalente del solo troncone contenente il generatore e la sua 

resistenza, ottenendo così due rami passivi in serie e una iniezione di corrente nel punto di separazione. 

Vanno infine considerati i lati in antenna: un lato si dice in antenna se ha un estremo collegato alla rete, 

mentre l'altro è libero, non presenta altri collegamenti: si parla allora di nodo in antenna. In condizioni normali 

non si ha corrente nel lato e la tensione del nodo in antenna è quindi la stessa dell'altro estremo; qualora 

però si presentasse una iniezione di corrente nel nodo in antenna, ci sarebbe corrente e le tensioni ai due 

estremi sarebbero diverse. Si estende allora ulteriormente la definizione di nodo anche a questo caso, che 

prevede per il nodo anche un solo collegamento, anziché i tre della definizione originale o i due 

dell'estensione ammessa in questo capitolo. 

Tornando comunque all'equivalente di corrente, se i nodi i e j sono appunto due estremi di un lato di cui è 

stato fatto l'equivalente, la stessa corrente Ak 

verrà iniettata in essi, ma poiché il generatore di tensione 

eliminato ha verso convenzionalmente positivo se la freccia va dal nodo entrante a quello uscente, allora nel 

nodo convenzionalmente entrante (poniamo sia i ) la corrente del generatore verrà iniettata con verso 

negativo ( − Ak 

), nell'altro, convenzionalmente uscente, ( j ) con verso positivo ( + Ak 

). 

Il generatore può allora essere sostituito, per maggiore chiarezza del modello, con due generatori di 

corrente, uno tra il nodo i e il nodo di riferimento, con corrente generata − Ak 

, l'altro tra il nodo j e il nodo 

di riferimento, con corrente generata + Ak 

. Per il nodo di riferimento l'iniezione globale non cambia perché 

sono state aggiunte due iniezioni uguali e contrarie. 

In questo modo l'equazione [2.29] diventa: 

t 

[ A] 

[ C] 

⋅[ 

Gl 

] ⋅[ 

C] 

⋅[ 

V ] 

A] 

= [2.31] 

dove con [ si indica quindi il vettore colonna delle iniezioni nodali di corrente, positive se entranti nei nodi. 

( N ) ( 1) 

Si definisce allora la matrice delle conduttanze (nodali), di dimensione ( 

quadrata: 

−1 × N − ) e quindi 

[ ] [ ] [ ] [ ] t 

C G C G ⋅ ⋅ 

= [2.32] 

l 

e quindi l'espressione precedente assume la forma compatta: 

[ G ] [ V ] = [ A] 

⋅ [2.32] 

La soluzione del sistema sarà data da: 

−1 [ V ] = [ G] 

⋅[ 

A] 

= [ R] 

⋅[ 

A] 

] 

[2.33] 

dove è stata introdotta la matrice [ R , inversa della matrice delle conduttanze, che prende il nome di matrice 

delle resistenze (nodali). 

Per quanto riguarda la matrice delle conduttanze, va notato che la sua costruzione può essere svolta in 

modo molto più semplice rispetto a quella del prodotto matriciale indicato dall'eq. [2.32]. Se si svolge questo 

prodotto, infatti, si nota che la matrice delle conduttanze è così composta: 

[ ] [ G ] 

G = [2.34] 

dove: 

∑ 

ij 

G = g somma delle conduttanze dei lati che afferiscono al nodo i 

ii 

j ij 

Gij = G ji = −gij 

conduttanza tra il nodo i e il nodo j , cambiata di segno; (uguale a 0 se non ci sono 

collegamenti tra i e j ) 

questi valori possono essere facilmente ottenuti per ispezione della rete stessa. 

Va notato che la matrice delle conduttanze, per reti di medie e grandi dimensioni, è una matrice fortemente 

sparsa: contiene cioè un numero di elementi diversi da zero solitamente molto piccolo rispetto al numero 

totale di elementi. Infatti ogni riga i -esima presenta elementi diversi da zero, oltre che sulla diagonale, solo 

in corrispondenza dei nodi collegati al nodo i stesso; un nodo presenta normalmente da 1 a 5 collegamenti, 

raramente di più (per le reti elettriche nazionali la media è tra 1.5 e 2.5 collegamenti). Allora per esempio per 



una rete di 100 nodi si avrebbe un indice si sparsità, cioè una percentuale di elementi non nulli rispetto al 

totale, dell'ordine del 2-3%. 

L'implementazione di questi metodi su computer andrà quindi gestita in maniera particolare, in modo da 

memorizzare solo gli elementi diversi da zero ed effettuare solo di questi le operazioni matematiche 

necessarie alla soluzione del sistema. I metodi e gli algoritmi utilizzati per gestire tale situazione sono detti 

"tecniche di sparsità" e permettono la soluzione in tempi rapidi anche di sistemi con migliaia di nodi. 

La matrice delle resistenze, inversa della matrice delle conduttanze, non potrà invece essere costruita per 

ispezione, e risulterà in generale piena, e non sparsa. Nelle tecniche di sparsità si evita di calcolare tale 

matrice, molto ingombrante, ma si risolve il sistema con altri metodi meno dispendiosi. 

Il metodo ora descritto si applica a qualunque rete lineare. 

Quando si presentino rami con un generatore di corrente già inserito: sia che questo presenti una resistenza 

in parallelo sia che sia puramente ideale, non ci sono problemi: va trattato come ogni altra iniezione nodale, 

elevando al rango di nodi i suoi due estremi, qualora non lo fossero già; se è ideale, senza resistenze in 

parallelo, i due nodi vanno considerati privi di collegamento diretto nella rete passiva (conduttanza nulla). 

I problemi sorgono quando si presenti tra due nodi un generatore ideale di tensione. Se uno dei due estremi 

è collegato ad un solo altro lato, il problema è facilmente risolto considerando come unico lato la serie dei 

due. In ogni altro caso, occorre ricorrere ad altri metodi. La strada suggerita nel paragrafo 3.3 (porre come 

ulteriore incognita la corrente del lato-generatore e come ulteriore equazione l'espressione della d.d.p. tra i 

due estremi) si presenta come non praticabile con comodità nell'ottica della facile scrittura del sistema con la 

matrice delle conduttanze. Occorre seguire un'altra strada, che è la seguente. 

Si supponga che il generatore ideale sia posto tra i nodi A e B, orientato da B ad A. Siano C, D, E i nodi 

collegati ad A ed F, G i nodi collegati a B. Si procede allora nel seguente modo: 

a) si elimina il generatore tra A e B, ponendo quindi i due nodi in cto cto tra loro 

b) si inseriscono generatori identici nei rami collegati ad uno dei due estremi, per esempio ad A: A-C, A-D, 

A-E; tali generatori saranno orientati ognuno da A verso l'altro estremo; si nominano allora i punti C', D', 

E', secondi estremi dei vari generatori (si poteva fare analogamente con i collegamenti di B, anzi era più 

comodo perché sono solo 2 anziché 3; i generatori andavano quindi orientati da F', G' verso B) 

c) si noti che il lato A-B è così scomparso e i due nodi A e B sono diventati un nodo solo 

Il circuito così ottenuto è del tutto equivalente a quello di partenza. Per esempio si nota che tutti i componenti 

contenuti nell'ex-ramo A-C sono ora nel troncone C'-C, e il potenziale di C' (rispetto a B, per esempio) è lo 

stesso che in precedenza possedeva A. 

In questo circuito si possono fare gli equivalenti di corrente dei generatori perché ora sono posti in serie con 

rami non privi di resistenze, e quindi tornare al metodo descritto. 

In sintesi, il metodo automatico qui descritto può essere schematizzato nei seguenti passaggi: 

1) numerazione di tutti i nodi, meno uno, con scelta libera di considerare nodi anche i punti tra due soli lati 

o gli estremi in antenna; numerazione e orientamento dei lati 

2) "riproduzione" dei generatori di tensione posti in lati privi di resistenza serie nei lati collegati, come 

descritto poco sopra 

3) trasformazione dei rami E-R (generatori di tensione in serie con resistenze) in componenti A-G 

(generatori di corrente con in parallelo una conduttanza) 

4) calcolo delle iniezioni nodali, somma delle iniezione dei componenti A-G 

5) costruzione, per ispezione, dalla matrice delle conduttanze 

6) soluzione del sistema [ G ] ⋅[ 

V ] = [ A] 

, (manualmente o col computer) 

7) calcolo delle correnti nei lati, ricostruzione dei circuiti originali, etc. (con le tensioni nodali calcolate tutto 

è a portata di mano) 

2.8 - Cenni alle reti elettriche non lineari 

Una rete elettrica viene considerata non più lineare quando non è più lineare almeno uno dei suoi 

componenti, sia esso attivo oppure passivo. 

Per esempio certe resistenze presentano una caratteristica del tipo: 



( I ) 

V = K ⋅exp 

I 

[2.35] 

0 

o altre funzioni più o meno complesse. 

Per queste reti, ovviamente, si applicano comunque i principi di Kirchhoff, con la differenza che si otterrà un 

sistema di equazioni non lineari, che dovrà essere risolto con metodi numerici. 

Nel caso la rete presenti un solo componente non lineare, o pochissimi componenti localizzati in lati tra loro 

vicini, mentre il resto della rete è lineare, la soluzione può essere ottenuta più agevolmente ricorrendo ai th. 

di Thevenin e/o di Norton. 

Un esempio chiarirà come procedere. 

Si supponga di avere una rete tutta lineare, fatta eccezione per un bipolo, per il quale vale: 

( I ) 

V = f con f non lineare 

Siano A e B i due nodi ai quali il bipolo è collegato. Si immagini allora di togliere temporaneamente il bipolo 

non lineare della rete, e di effettuare l'equivalente della rete dai due nodi A e B, per esempio con il th. di 

Thevenin. Si otterrà così solo un generatore equivalente in serie con una resistenza equivalente. A questo 

punto si reinserisca il bipolo tra i due nodi. Il circuito risultante è semplicissimo: una sola maglia, con il 

generatore in serie alla resistenza e al componente. L'equazione di funzionamento: 

ETh Th 

( I ) 

= R ⋅ I + f 

[2.36] 

Anziché un intero sistema non lineare si è trovata una sola equazione non lineare, che può essere risolta 

graficamente oppure numericamente per tentativi, per esempio con metodi tipo Newton o con il metodo delle 

secanti. 

Anche scrivendo il sistema (per esempio con il metodo dei potenziali di nodo) si sarebbe ottenuta una sola 

equazione non lineare, ma inserita in un sistema di molte altre lineari; l'applicazione dell'equivalente di 

Thevenin (o di Norton) equivale al procedimento matematico che avrebbe permesso di isolare l'equazione 

lineare dall'intero sistema. 

2.9 - Potenza elettrica - Effetto Joule 

In tutte i discorsi fatti finora non si è ancora affrontato il problema della potenza. Ogni applicazione elettrica 

di fatto scambia o trasmette energia, e quindi ad essa è associata una potenza. 

Si consideri una carica elettrica Q che venga portata dal potenziale V1 al potenziale V2 

. Ad essa è quindi 

stata fornita energia, per la definizione stessa di potenziale, nella misura di: 

E el 

( V −V 

) = Q ⋅ ΔV 

= Q ⋅ 2 1 

[2.37] 

Si ricorda che il potenziale, e quindi la d.d.p., oppure la tensione, si misurano in volt e che 1 V = 1J 

1C 

. La 

grandezza così ottenuta ha quindi proprio la dimensione dei joule. 

Nel caso una corrente elettrica fluisca in un generatore, questa formula vale per ogni carica. E poiché in 

caso di corrente si ha il passaggio di un certo numero di cariche per ogni unità di tempo, si ha la fornitura di 

una certa quantità di energia per ogni unità di tempo: si ha cioè una potenza fornita dal generatore alle 

cariche: 

dEel 

dQ 

P = = ⋅ ΔV 

= I ⋅ ΔV 

[2.38] 

dt 

dt 

o, più semplicemente: 

P = V ⋅ I 

[2.39] 

dove con V si intende una d.d.p. o una f.e.m.. 

La potenza elettrica si manifesta quindi quando esiste passaggio di corrente in presenza di 

differenza di potenziale, ed è pari al prodotto della tensione per la corrente. 

Quando in un generatore si ha corrente uscente dal morsetto a potenziale maggiore, si ha quindi potenza 

elettrica erogata dal generatore verso il resto del circuito. Con la convenzione dei generatori, allora, la 

potenza è erogata dal bipolo se tensione e corrente sono entrambi positivi o entrambi negativi. 

La potenza (in generale qualunque potenza, ed in particolare quella elettrica) si misura in watt, simbolo W : 



1J 

1 W = 1V 

⋅1A 

= 

[2.40] 

1s 

Ciascuna carica, muovendosi nel circuito, trasporta l'energia potenziale elettrica che ha con sé. Incontrando 

una resistenza elettrica, esse devono però cedere almeno parte di questa energia, e si ha quindi una 

potenza elettrica assorbita dal resistore. La potenza assorbita sarà ancora pari al prodotto di tensione per 

corrente; la convenzione degli utilizzatori prevede per la corrente (o per la tensione) un verso positivo 

opposto a quello della convenzione dei generatori; quindi con la convenzione degli utilizzatori, allora, la 

potenza è assorbita dal bipolo se tensione e corrente sono entrambi positivi o entrambi negativi. 

Poiché per il resistore vale: 

V = R ⋅ I 

[2.41] 

allora la potenza assorbita vale: 

2 

2 V 

P = I ⋅V 

= I ⋅ RI = R ⋅ I = 

[2.42] 

R 

La potenza assorbita è proporzionale alla resistenza e al quadrato della corrente. 

Tale potenza, nel resistore, viene completamente trasformata in calore, di modo che un resistore percorso 

da corrente dissipa verso l'esterno un certo numero di calorie per ogni secondo. Questo fenomeno prende il 

nome di effetto Joule. 

Vedendo le cose da un punto di vista locale, e ricordando che: 

E = ρ J 

[2.43] 

vale che: 

2 

P = ∫ ρ J dVol 

[2.44] 

Vol( 

R) 

(integrale di volume esteso al volume della resistenza). 

Infatti per il caso semplice di una resistenza cilindrica: 

2 

( ρ⋅ 

J ⋅l 

) ⋅( 

A⋅ 

J ) = V I 

P = l ⋅ A⋅ 

ρ⋅ 

J = 

⋅ 

oppure 

[2.45] 

2 l 

2 2 

P = l ⋅ A⋅ 

ρ⋅ 

J = ρ ⋅( 

A⋅ 

J ) = R ⋅ I 

[2.46] 

A 

L'effetto Joule è molto importante. 

Poiché le resistenze si scaldano, con correnti troppo elevate si possono danneggiare o, più facilmente, 

danneggiare gli isolanti di cui sono rivestite. Per questo le correnti troppo elevate sono pericolose. 

Inoltre, il riscaldamento conseguente al passaggio di corrente comporta un aumento della resistività (che 

cresce linearmente con la temperatura), e quindi della resistenza; pertanto i parametri circuitali vengono 

modificati dal passaggio di corrente. In questo senso si potrebbe dire che i resistori non sono in realtà bipoli 

lineari, perché la R cresce proporzionalmente al quadrato della corrente. Va però notato che nelle 

applicazioni normali, con conduttori dimensionati correttamente e correnti contenute entro i limiti indicati dal 

progettista, la variazione è abbastanza piccola, e comunque perché la temperatura aumenti occorre che il 

calore si accumuli, e questo richiede un certo periodo di tempo (transitorio termico). 

In una rete elettrica la somma delle potenze generate è pari alla somma delle potenze dissipate nelle 

resistenze per effetto Joule. 

Questa affermazione è comprensibile intuitivamente, se si ricorda che l'energia non si può distruggere, ma 

solo trasformare: quindi la potenza introdotta nella rete dai generatori non potrà che prendere la forma di 

calore, disperso verso l'esterno o accumulato nei materiali durante la fase di riscaldamento, ma comunque 

tutto prodotto per effetto Joule. L'affermazione è però anche dimostrabile in modo rigoroso. 

Non va però pensato che tutta la potenza dei generatori sia potenza positiva erogata: ci sono generatori che 

possono funzionare anche con erogazione negativa, cioè con assorbimento di potenza da parte del 

generatore. Questo si verifica quando in un generatore di tensione la corrente, anziché essere uscente dal 

morsetto a potenziale maggiore è entrante in questo questo morsetto. In tali condizioni la trasformazione di 



energia all'interno del generatore avviene in senso inverso: se per esempio si tratta di un generatore di tipo 

elettrochimico, anziché avere energia chimica trasformata in energia elettrica per ogni unità di tempo, si avrà 

energia elettrica trasformata in energia chimica (accumulatore); se si tratta di un generatore di tipo 

elettromeccanico, anziché avere potenza meccanica trasformata in elettrica, si avrà potenza elettrica 

trasformata in meccanica (motore elettrico). In realtà non tutti i generatori sono reversibili; se non lo sono, 

quando la grandezza (corrente o tensione) viene invertita reagiscono bloccando il passaggio della corrente e 

comportandosi come circuiti aperti. 

Quando invece sono reversibili, di fatto si è attuato il trasporto dell'energia elettrica dal generatore erogante 

al bipolo (motore, accumulatore, etc.) che lo utilizza o la accumula 

Le relazioni viste finora mostrano come non sia possibile trasportare potenza elettrica da un punto all'altro 

senza dissiparne almeno una frazione per effetto Joule. Infatti, nella relazione [2.46] si nota che il termine 

dissipativo (2° membro), essendo una funzione quadratica della corrente, è sempre positivo (al più nullo, se 

non passa corrente). Nelle moderne reti elettriche la potenza dissipata è tuttavia molto piccola, al più 

dell'ordine di qualche percento del totale per circuiti molto lunghi. Esistono materiali detti superconduttori, per 

i quali la resistività è nulla; tuttavia tale caratteristica si presenta solo a temperature eccezionalmente basse 

e quindi non vengono utilizzati se non per applicazioni molto particolari. 

2.10 - Partitore di corrente e di tensione 

Spesso è conveniente, nel risolvere dei circuiti elettrici, operare delle riduzioni sulla rete riunendo in un unico 

bipolo più resistenze in serie, oppure più resistenze in parallelo. Giunti a soluzione, occorre tornare alla 

configurazione iniziale, esplicitando quindi i valori di tensione e di corrente sui bipoli originari. 

Nel caso che più resistenze in serie siano state condensate in un'unica resistenza, vale: 

I 

V 

k 

k 

= I = 

V 

R 

= R ⋅ I = 

k 

∑ 

k k 

∑ 

Rk 

R 

k k 

V 

[2.47] 

vale a dire: tutte le resistenze presentano il passaggio della medesima corrente, mentre la tensione totale 

viene ripartita sui vari elementi in serie in proporzione alla resistenza di ciascuno. 

Nel caso che più resistenze in parallelo siano state condensate in un'unica resistenza, vale: 

V 

I 

k 

k 

= V = 

I 

G 

= G ⋅V 

= 

k 

∑ 

k k 

∑ 

Gk 

G 

k k 

I 

[2.48] 

vale a dire: tutte le resistenze sono sottoposte alla medesima tensione, mentre la corrente totale viene 

ripartita sui vari elementi in parallelo in proporzione alla conduttanza di ciascuno. 

Le situazioni così descritte prendono il nome rispettivamente di partitore di tensione e di partitore di 

corrente. 

Se le resistenze sono in serie, la tensione viene ripartita in misura proporzionale alla resistenza di ciascun 

elemento; se sono in parallelo, la corrente viene ripartita in misura inversamente proporzionale alla 

resistenza di ciascun elemento. 



3 - Circuiti Magnetici 

3.1 - Campo Magnetico e Induzione Magnetica 

Nel Cap. 1 sono state richiamate le leggi dell'elettromagnetismo e la definizione di campo e di induzione 

magnetica. 

Per il campo magnetico la legge di Gauss prevede che: 

∫ 

S 

B ⋅un 

dS = 0 ; ∇ ⋅ B = 0 

[3.1] 

mentre la legge di Ampere-Maxwell: 

d 

∂E 

B ⋅ dl 

= μ I 

E u dS B J 

L 

0 + μ0ε 

0 

dt ∫ ⋅ 

S L 

n ; ∇ × = μ0 

+ μ0ε 

[3.2] 

( ) 

∂t 

∫ 0 

Queste relazioni sono valide nel vuoto, e come si vede utilizzano il vettore induzione piuttosto che il vettore 

campo magnetico. 

Riscrivendo la legge di Ampere-Maxwell per un qualunque mezzo materiale, vale che: 

d 

∂E 

H ⋅ dl 

= I + E u dS 

H J 

L 

r 

dt ∫ ε ε 

S L 

r ⋅ n ∇ × = + ε ε 

( ) 

0 ; [3.3] 

∂t 

∫ 0 

e il legame tra campo magnetico e induzione magnetica: 

B r 

H μ μ = 0 [3.4] 

E' importante capire cosa succede ad una linea di forza del campo magnetico se questa attraversa la 

superficie di separazione tra due materiali aventi permeabilità magnetica relativa differente. In questo caso, 

dei due vettori campo e induzione, quello che conserva lo stesso valore nel passaggio è il vettore induzione. 

Se per esempio il passaggio avviene nel punto l di una linea di forza, vale: 

0 

+ − ( l0 

) = B( 

l0 

) 

+ 

− 

μr 

2H 

( l0 

) = μ0μr1H 

( l ) 

+ μr1 

− 

( l ) H ( l ) 

B quindi: 

μ0 0 

H 

0 

= 0 

μr 

2 

La legge di Gauss, che esprime la solenoidalità dell'induzione magnetica, va quindi presentata nella sua 

forma con il vettore induzione (come sopra). 

Il modulo del vettore campo presenta quindi una discontinuità nel passaggio (a meno che non si abbiano 

uguali permeabilità). In particolare, va notato che se la permeabilità magnetica aumenta, il campo 

diminuisce. 

Per quanto riguarda il secondo membro delle equazioni di Ampere-Maxwell, il termine contenente la derivata 

del campo elettrico rispetto al tempo in realtà rende conto dell'eventuale variazione della carica accumulata 

per unità di volume: 

∇⋅ E = 

ρ 

εε 

0 

r 

In condizioni stazionarie la variazione della densità di carica è nulla (densità costante); in condizioni quasistazionarie 

la variazione, se esiste, è localizzata (condensatori) e avrà una eventuale influenza locale, 

trascurabile (perché lì il campo magnetico è ininfluente) oppure, se rilevante, se ne terrà conto in maniera 

opportuna. Si consideri comunque di poter trascurare tale termine. 

Quindi valgono le seguenti leggi: 

- l'integrale di circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa è pari alla corrente che 

attraversa la superficie delimitata da tale linea 


[3.5] 

[3.6]


- il flusso dell'induzione magnetica uscente da una superficie chiusa è nullo, quindi le linee di 

forza del vettore induzione magnetica si richiudono sempre su se stesse. 

Si ricorda infine che un singolo tratto di conduttore di lunghezza infinitesima percorso da corrente produce in 

ogni punto dello spazio intorno a sé un campo magnetico: 

μ0 

ui 

× r 

dB = i ⋅ dz 3 

4π 

r 

3.2 - Il circuito magnetico 

Si consideri una superficie S , di forma qualunque, e su di essa un'area A attraversata da campo 

magnetico; si consideri quindi in particolare il tubo di flusso del vettore induzione magnetica che interessa 

questa area. Per la solenoidalità del vettore induzione, tale tubo di flusso descriverà nello spazio una tragitto 

più o meno lungo, ma prima o poi dovrà richiudersi su se stesso, tornando alla superficie di partenza, filetto 

per filetto negli stessi punti di incidenza. Questo tubo di flusso chiuso prende il nome di circuito magnetico. 

Perché un circuito magnetico esista (con valori di campo e induzione diversi da zero), occorre che la 

superficie delimitata dalla linea chiusa che esso percorre sia percorsa da corrente elettrica. 

In ogni punto del circuito, i vettori campo e induzione saranno sempre coincidenti per quanto riguarda 

direzione e verso, ma differenti per quanto riguarda il modulo. In tutto il percorso il valore del flusso del 

vettore induzione sarà costante. Lungo il circuito la sezione potrà restringersi e allargarsi, e di conseguenza 

l'induzione sarà rispettivamente più grande o più piccola. Si consideri, per ogni posizione l del circuito, 

l'area della superficie normale, punto per punto, al campo magnetico, e la permeabilità magnetica relativa 

del materiale attraversato: 

B 

() l 

e quindi: 

H 

() l 

B 

A 

Φ 

= [3.8] 

() l 

B 

= 

μ μ 

0 

() l ΦB 

= 

() l μ μ () l A() 

l 

r 

0 

r 

l'integrale di circuitazione (campo e induzione sono espressi in modulo perché già considerati paralleli alla 

linea di circuitazione) è pari alla corrente che attraversa il circuito: 

I = 

L 

Φ 

B 

∫ H () l ⋅ dl = ∫ dl = Φ 

L 

B 

μ μ () l A() 

l ∫Lμμ() A() 

l 

0 

r 

0 

dl 

l 

r 

[3.7] 

[3.9] 

[3.10] 

L'integrale al secondo membro è alquanto simile all'integrale che esprime la resistenza di un circuito 

elettrico, con la differenza che al posto della resistività appare il reciproco della permeabilità. Il valore di tale 

integrale esprime l'opposizione che il circuito magnetico oppone al passaggio del flusso; il suo valore è 

quindi pari al rapporto tra corrente e flusso stesso. Allora per analogia con quanto si fa per i circuiti elettrici 

dove tale integrale prende il nome di resistenza, qui tale integrale prende il nome di riluttanza, e può essere 

calcolato anche per un solo tratto del circuito magnetico: 

= ∫ μ μ 

B dl 

R AB 

[3.11] 

A 

0 

Vale quindi: 

r 

() l A() 

l 

I = R Φ B 

[3.12] 

indicando la riluttanza dell'intero circuito. Queste ultime due relazioni possono essere sintetizzate nella legge 

di Hopkinson, che prevede che "in un mezzo lineare il flusso dell'induzione magnetica è proporzionale 

alla corrente concatenata dal circuito stesso, secondo una costante di proporzionalità che dipende 

dalla permeabilità magnetica del mezzo e dalla sua geometria". 

3.3 - Analogia tra circuito elettrico e circuito magnetico 

Come fatto per i circuiti elettrici, si possono definire allo stesso modo i concetti di ramo (porzione di circuito 

percorsa dallo stesso flusso), nodo (punto di convergenza tra più rami), maglia (successione di rami a 

formare un percorso chiuso). 



Si possono quindi stabilire queste corrispondenze: 

Circuito Elettrico Circuito Magnetico 

corrente I flusso magnetico Φ B 

densità di corrente J vettore induzione magnetica B 

resistenza R riluttanza R 

f.e.m. E f.m.m. M 

dove si è introdotto, per analogia, il concetto di forza magnetomotrice, f.m.m., indicata con M . Essa è pari 

alla corrente totale I che attraversa la superficie delimitata dalla linea di circuitazione. Spesso lo stesso 

conduttore attraversa più di una volta la superficie, percorrendo delle spire; quindi la forza magnetomotrice è 

pari alla corrente per il numero di attraversamenti, cioè per il numero si spire N : 

M = N I 

[3.13] 

Essendo il vettore induzione solenoidale come la densità di corrente, vale anche per i circuiti magnetici il 

principio di Kirchhoff ai nodi; a partire dalla legge di Ampere-Maxwell, anziché da quella di Faraday-Henry, si 

dimostra anche la validità del principio di Kirchhoff alle maglie. 

Vale quindi: 

∑ 

j∈i 

∑ 

k 

Φ 

R 

Bji 

k 

Φ 

= 0 

Bk 

= M = 

NI 

Si possono allora utilizzare anche per i circuiti magnetici i metodi di soluzione visti per i circuiti elettrici. 

Esiste però una differenza, non irrilevante in termini pratici. 

[3.14] 

Nei circuiti elettrici, di fatto, i singoli rami sono generalmente ben definiti, perché sono appositamente 

costruiti con materiale conduttore, generalmente di sezione regolare; esternamente ai conduttori in pratica 

non esiste corrente, perché i rivestimenti e l'aria sono isolanti. 

In ambito magnetico, invece, non esistono materiali "conduttori", cioè fortemente permeabili, e materiali 

"isolanti", cioè pochissimo permeabili: per quasi tutti i materiali la permeabilità relativa è pressoché unitaria. 

Quindi il flusso magnetico non ha percorsi obbligati, ma solitamente si diffonde in un'ampia regione di spazio 

circostante la sua sorgente di f.m.m., rendendo impossibile la modellizzazione circuitale. 

L'unica eccezione a questo comportamento si presenta in presenza di corpi materiali composti di ferro. Il 

ferro è l'unico materiale ad elevata permeabilità magnetica, con un valore relativo pari ad alcune centinaia o 

anche migliaia. In presenza di un percorso in ferro, il flusso magnetico sceglie preferibilmente questa strada, 

che può quindi essere considerata un circuito magnetico vero e proprio. Se si considera lo stesso percorso 

appena fuori dal ferro, il valore dell'induzione si presenterà centinaia o migliaia di volte inferiore, perché il 

campo non viene "amplificato" dall'elevata permeabilità dell'aria o del mezzo che circonda il ferro; tuttavia le 

linee di forza esterne al ferro possono allargarsi su sezioni molto ampie, avendo tutto lo spazio circostante a 

disposizione, così accade che il flusso esterno non è del tutto trascurabile rispetto a quello nel ferro. In 

pratica i due percorsi corrispondono (analogia con i circuiti elettrici) a due riluttanze (resistenze) poste in 

parallelo, sotto la stessa f.m.m. (f.e.m.): la prima di sezione limitata ma con elevata permeabilità (bassa 

resistività), la seconda con scarsa permeabilità (grande resistività) ma sezione molto grande. Insomma, un 

circuito magnetico presenta sempre dei flussi parassiti, detti flussi dispersi, che rendono meno agevole un 

calcolo corretto. 

Nei circuiti in ferro possono presentarsi dei brevi tratti in aria (o altro materiale con permeabilità relativa 

unitaria). Per esempio, il circuito può non essere tutto in un unico blocco, quindi nelle giunzione esistono 

brevi interstizi; oppure volutamente è stato costruito con delle distanze in aria. Ciascuno di questi tratti in aria 

si chiama traferro, e può presentare una riluttanza non indifferente, spesso paragonabile se non superiore a 

quella del tratto in ferro. Se per esempio la permeabilità relativa del ferro è pari a 1000, un tratto in aria di un 

millimetro ha la stessa riluttanza di un tratto in ferro lungo un metro. Infatti, per rami di forma regolare, vale: 

1 l 

R = 

[3.15] 

μ μ A 

0 

r 



quindi la lunghezza mille volte maggiore del tratto in ferro è compensata dal valore mille volte maggiore della 

permeabilità relativa. 

Un circuito magnetico ben definibile anche senza parti in ferro è quello generato da un solenoide percorso 

da corrente. Un solenoide è una sequenza di spire di conduttore, disposto quindi in forma di elica che si 

avvolge lungo un asse. 

Se la lunghezza del solenoide è sufficientemente grande rispetto al suo diametro, il campo magnetico può 

all'interno del solenoide può essere considerato come costituito da linee di forza parallele all'asse dell'elica; 

ad una estremità le linee di forza usciranno, allargandosi a loro piacimento, per poi tornare a restringersi per 

rientrare dall'altra estremità. Si può allora considerare il circuito magnetico come composto da due riluttanze 

in serie: la prima corrispondente al tratto interno, di forma regolare: la seconda per il tratto esterno. 

Quest'ultima viene considerata trascurabile perché la sua sezione, benché non uniforme, sarà molto grande. 

Allora: 

N I 

= 

R 

N I A 

= μ μ 

l 

Φ B = μ0μ 

r 

0 

dove: 

r 

AnI 

[3.16] 

N 

n = numero di spire per unità di lunghezza [3.17] 

l 


Φ B B = = μ0μ 

r nI 

A 

B 

H = = nI 

μ μ 

0 

r 

[3.18] 

il valore del campo e dell'induzione sono proporzionali solo alla corrente e al numero di spire per unità di 

lunghezza. 

3.4 - Induzione Elettromagnetica 

La variazione nel tempo dell'induzione magnetica e del suo flusso provoca l'insorgere di tensione elettrica. 

Infatti in presenza di tali variazioni il campo elettrico non è più rotazionale e quindi il suo integrale di 

circuitazione lungo una linea chiusa risulta diverso da zero. La legge di Faraday-Henry descrive in maniera 

rigorosa questo fenomeno: 

d 

dΦB 

∂B 

E ⋅ dl 

= − B u dS 

E 

L dt ∫∫ ⋅ 

S L 

n = − ; ∇ × = − 

( ) 

dt 

∂t 

∫ 

[3.19] 

Si consideri allora una spira di conduttore, avvolta intorno ad un ramo di un circuito magnetico, dal suo 

estremo iniziale A al suo estremo finale B, in modo da descrivere un giro completo. Si supponga che 

l'avvolgimento vada da A ad B nel verso di rotazione di una vite destrorsa che avanzi nello stesso verso in 

cui il flusso magnetico è considerato positivo in quel ramo. Allora, in caso di variazione di flusso, la tensione 

che si crea ai capi A-B della spira vale: 

v 

BA 

A 

dΦ 

B 

= ∫ E ⋅ dl 

= E ⋅ dl 

= − 

B ∫ 

[3.20] 

L dt 

Utilizzando per la spira la convenzione degli utilizzatori, interessa conoscere la tensione tra il morsetto in cui 

la corrente entra e quello da cui esce: 

v 

AB 

dΦ 

B 

= −vBA 

= + 

[3.21] 

dt 

In particolare, si consideri un circuito magnetico composto da una sola maglia magnetica, e dove l'unica 

f.m.m. sia data dalla spira stessa. Per le convenzioni stabilite, una corrente positiva produce un flusso 

positivo: 

iAB 

Φ B = 

[3.22] 

R 



dove si è utilizzata la riluttanza dell'intero circuito magnetico. Quindi: 

1 diAB 

vAB 

= [3.23] 

R dt 

Si noti che anche se la spira fosse avvolta nel verso opposto, e quindi la corrente da A a B circolasse in 

senso antiorario, si sarebbe ottenuta la stessa equazione, perché tale situazione sarebbe perfettamente 

simmetrica: infatti una corrente positiva con tali convenzioni genera un flusso orientato nel verso opposto 

rispetto al caso precedente; basta quindi cambiare il verso convenzionalmente positivo per il flusso, e il 

verso di rotazione torna ad essere quello orario, quindi si può ripetere il ragionamento identicamente. 

Notiamo allora che il bipolo elettrico di estremi A e B, che interagisce con un circuito magnetico, presenta 

una caratteristica particolare: nel caso la corrente tenda ad aumentare, il bipolo "reagisce" opponendo 

tensione all'ingresso della corrente (tensione positiva utilizzando la convenzione degli utilizzatori); nel caso la 

corrente tenda a diminuire, il bipolo "reagisce" presentando una tensione concorde alla corrente (tensione 

negativa). Si può quindi dire che tale bipolo tende a conservare il valore di corrente sull'ultimo valore che gli 

è stato imposto. 

Tale bipolo prende il nome di induttore, o auto induttore, dato che il circuito magnetico induce tensione sullo 

stesso circuito elettrico che ha generato la forza magnetomotrice. Attraverso i circuiti magnetici è possibile 

indurre tensione anche su circuiti elettrici diversi da quelli che generano la f.m.m.: basta che anche questi 

siano avvolti intorno a tronchi in cui scorre tutto o una parte del flusso magnetico generato: si parla in tal 

caso di mutuo induttore. 

Quello visto in questo esempio è il caso più semplice di auto induttore. Una maggiore complessità può 

essere introdotta considerando il caso in cui vi siano più spire (in serie). Allora il flusso aumenta in 

proporzione al numero di spire: 

M Ni 

AB 

Φ B = = 

[3.24] 

R R 

ed indicando semplicemente con I la corrente da A e B e con e la tensione su una singola spira: 

dΦ 

B N di 

e = = 

[3.25] 

dt R dt 

ed infine la tensione totale v tra A e B: 

2 

N di 

v = Ne = 

[3.26] 

R dt 

Come si può notare, la tensione è aumentata secondo il quadrato del numero di spire. 

Spesso, in presenza di spire, si parla anche di flusso concatenato, pari al flusso di ogni spira moltiplicato per 

il numero totale di spire: 

Ψ = NΦ 

[3.27] 

B 

B 

Il termine L tale che: 


v = L 

[3.28] 

dt 


L Ψ 

i j ≠ i 

i = quando j = 0 per ogni [3.29] 

ii 

e che in questo vale: 

2 

N 

L = [3.30] 

R 

prende il nome di induttanza in generale, auto induttanza in particolare in questo caso, dove la tensione è 

indotta sullo stesso avvolgimento elettrico dove scorre la corrente che genera il flusso magnetico. 

L'unità di misura dell'induttanza è l'henry, simbolo H. Dall'analisi dimensionale dell'espressione [3.28]: 



[ V ] [ H ] ⋅[ 

A s] 

⇒ 1H = 1Ω 

⋅1s 

= [3.31] 

Va notato che la d.d.p. che si presenta ai capi di un induttore reale non dipenderà solo dall'induttanza, ma 

esisterà comunque un termine resistivo, di modo che: 


v = Ri + L 

[3.32] 

dt 

tuttavia in Elettrotecnica spesso si preferisce vedere separatamente i due effetti modellizzando l'induttore 

reale come la serie di due bipoli ideali, uno puramente resistivo (solo R ) e uno puramente induttivo (solo 

L ). Ovviamente il punto di separazione tra i due bipoli è un punto virtuale, nel senso che nel componente 

reale effetto resistivo ed effetto induttivo si presentano nella stessa proporzione in ciascun tratto infinitesimo 

del circuito. 

Frequentemente, comunque, il termine resistivo è trascurabile in molti tipi di analisi. 

Si consideri invece un circuito magnetico intorno al quale siano presenti due avvolgimenti, che verranno 

indicati come 1 e 2 rispettivamente. I due avvolgimenti possono essere posti sullo stesso ramo o su due rami 

distinti del circuito magnetico. Si avrà allora che il flusso che concatena l'avvolgimento 1 non sarà generato 

solo dalla corrente nell'avvolgimento stesso, ma in generale anche dalla corrente nell'avvolgimento 2, perché 

il flusso da questa prodotto circolerà almeno in parte in ogni ramo del circuito magnetico, quindi anche nel 

ramo intorno a cui è posto l'avvolgimento 1. Così pure il flusso nell'avvolgimento 2 dipenderà dalle correnti 

negli avvolgimenti 1 e 2. Il discorso può essere generalizzato a un numero generico di avvolgimenti. 

Questo è l'effetto di mutua induzione; il parametro che lo descrive è la mutua induttanza: 

Ψi 

= quando ii 

= 0, 

i = 0 per ogni k ≠ i, 

j 

[3.33] 

i 

M ij 

k 

j 

che si misura in Henry, come le auto induttanze. 

Quindi in generale per un sistema con più avvolgimenti vale: 

di1 


v1 

= R1i1 

+ L1 

+ M12 

+ K + M1N 

dt dt 

diN 

dt 



v2 

= R2i2 

+ M 21 + L2 

+ K + M 2N 

dt dt 

L 


dt 



vN 

= RNiN 

+ M N1 

+ M N 2 + K + LN 

dt dt 


dt 

[3.34] 

Per chiarire meglio la situazione si consideri il seguente esempio di cui sono dati i parametri geometrici e 

magnetici e i numeri di spire: 

1 

2 

4 

5 

3 

6 

7 

2 

A = 0. 

25m 

; 

1 

A = A = 0. 

20m 

; 

A = A = 0. 

25m 

; 

A = A = 0. 

25m 

; 

2 

2 

2 

4 

2 

6 

5 7 

l1 

= l2 

= l3 

= 1. 

0m; 

l = l = l = l = 0. 

5m; 

4 

5 

6 

figura 3.1 

7 

3 

N1 

= ; N 

δ = 1mm; 

μ = 1000 

r 

50 2 


= 

60;


Gli avvolgimenti elettrici sono posti sui rami 1 e 2, con versi di avvolgimento e di ingresso della corrente tali 

da produrre, con correnti positive, f.m.m. orientate come da figura. 

Si possono calcolare le riluttanze dei singoli rami, e quindi modellizzare il circuito magnetico mediante un 

equivalente elettrico, secondo l'analogia introdotta nel par. 4.3: 

M 

1 

R 

1 

D E 

F 

R 

4 

M 2 

R 

R 

2 

d 

A 

R 

B 

R 

C 

5 

7 

4 

5 6 7 

figura 3.2 

R 

R1 

= R3 

= 4000; 

R2 

= 3200; 

Rδ 

= 3200; 

R = R = R = R = 1600 

6 

R 

3 

si trascurano eventuali flussi di dispersione (in aria) e le relative riluttanze si suppongono quindi di valore ∞. 

Come si può notare la rete presenta in realtà due soli nodi, indicati come B ed E , tra i quali vi sono tre rami 

in parallelo: 

E 

M 1 

R a R b R c 

R 

R 

R 

a 

b 

c 

M 1 

= R 

= R 

= R 

4 

2 

B 

+ R1 

+ R5 

= 7200 

+ Rδ 

= 6400 

+ R + R = 7200 

6 1 

figura 3.3 

7 

Con tali valori si calcola facilmente, che il generatore di f.m.m. 1, sul ramo a , "vede" tutta la rete come una 

riluttanza pari a: 

7200 ⋅ 6400 

R ( a) 

= Ra 

+ Rb 

|| Rc 

= 7200 + 

≅ 10600 

7200 + 6400 

e così pure il generatore di f.m.m. 2 , sul ramo b , "vede" tutta la rete come: 

7200 ⋅ 7200 

R ( b) 

= Rb 

+ Ra 

|| Rc 

= 6400 + 

= 10000 

7200 + 7200 



Si possono quindi indicare subito i valori delle auto induttanze per i due avvolgimenti, considerando per 

ciascuna che sia "acceso" il proprio generatore di f.m.m. e "spento" (in cto cto) l'altro: 

L 

L 

11 

22 

= N 

2 

1 

= N 

1 

R( 

a) 

2500 

= 

10600 

1 

R( 

b) 

3600 

= 

10000 

2 

2 

= 0. 

236H 

= 0. 

360H 

Oltre all'effetto auto induttivo, va considerato che il flusso generato da ogni avvolgimento concatena almeno 

in parte anche l'altro; quindi, se tale flusso è variabile nel tempo, genererà tensione nell'altro avvolgimento. 

In questo caso il flusso generato dal generatore di f.m.m. 1 (con il generatore 2 spento) si ripartirà nei due 

rami b e c in proporzione al reciproco delle rispettive riluttanze, in maniera tale da presentare la stessa 

caduta di tensione (analogia elettrica per i circuiti magnetici) sui due rami. Si tratta quindi di un partitore di 

flusso, l'analogo magnetico di un partitore di corrente: 

Φ1 

= −Φb1 

− Φc1 

Φ ⋅R 

= Φ ⋅R 

b1 

b 

c1 

c 

dove si utilizza il segno negativo perché se il flusso generato è positivo nel ramo a , sarà orientato 

negativamente nei rami b e c . Quindi vale: 

Φ 

b1 

= − 

e poiché: 

Rc 

R + R 

b 

N1 

⋅i1 

Φ 1 = 

R( 

a) 

si ha: 

M 

21 

c 

Φ 

1 

Rc 

1 7200 1 

= − N2N1 

= − ⋅50⋅ 

60⋅ 

= −0. 

150H 

Rb 

+ Rc 

R( 

a) 

13600 10600 

Mentre le auto induttanze sono sempre positive, le mutue induttanze sono positive o negative a seconda dei 

reciproci orientamenti degli avvolgimenti coinvolti. 

In questo caso, percorrendo una maglia che comprendesse entrambi i rami con avvolgimenti elettrici, i due 

avvolgimenti presentavano versi discordi, da cui il segno negativo. 

Il procedimento ora seguito va ripetuto per calcolare la mutua induttanza M12 

, che esprime il rapporto tra 

valore del flusso concatenato dall'avvolgimento 1 e la corrente che lo genera, nell'avvolgimento 1. Si trova 

quindi: 

M 

12 

R c 1 7200 1 

= − N1N 

2 = − ⋅60⋅ 

50⋅ 

= −0. 

150H 

R a + R c R ( b) 

14400 10000 

Si nota che: 

M = M 

12 

21 

Non si tratta di una coincidenza numerica: si dimostra che le mutue induttanze sono sempre 

simmetriche. 

3.5 - Energia Magnetica 

Ogni campo magnetico comporta sempre la presenza di energia, che prende appunto il nome di energia 

magnetica. E' necessario compiere lavoro per creare un campo magnetico: tale lavoro non viene dissipato 

(per effetto Joule o in altro modo), ma viene accumulato dal campo magnetico stesso, che potrà restituirlo 

quando i valori di campo e di induzione torneranno a zero. L'energia è localizzata in ogni punto dello spazio 

dove si presenti un valore non nullo di campo, secondo questa formula: 



dE 

B 

= 

1 1 2 1 B 

BHdV = μ0μr 

H dV = 

2 2 

2 μ μ 

0 

2 

r 

dV 

Quindi integrando sull'intero volume in cui è presente il campo si ottiene l'energia magnetica totale: 

E 

B 

1 

= 

2 

1 

2 

∫ BHdV = ∫ μ μ = 

V 

V 

0 rH 

dV 

2 

2 ∫V 

μ μ 

1 

B 

0 

2 

r 

dV 

[3.35] 

[3.36] 

Se si considera per esempio un semplice circuito magnetico, costituito da una sola maglia, di sezione 

regolare A e di lunghezza totale l , di materiale con caratteristiche magnetiche omogenee, si può facilmente 

calcolare l'energia magnetica totale in esso presente, dato che in esso il campo sarà uniforme. 

E 

B 

= 

0 

2 

1 B 

2 μ μ 

r 

Al 

[3.37] 

Il campo magnetico sarà generato dalla corrente che scorre in una serie di spire avvolte nel campo 

magnetico stesso. Tale corrente vale I , con la condizione: 

NI NI 

B B 

A 

μ μ = = ⇒ = ⋅ 

R R 

A r 

= Φ 0 

NI 

l 

Si supponga di essere arrivati a tale valore facendo crescere la corrente linearmente da zero: 

[3.38] 

t 

i () t = I 

[3.39] 

T 

dove T è il tempo totale impiegato. Allora ai morsetti dell'avvolgimento si presenta, per effetto induttivo, una 

tensione: 

v 

() t 

() t 

2 

di I N I 

= L = L = 

[3.40] 

dt T R T 

con la scelta fatta per la funzione i t la tensione è costante. 

Istante per istante la potenza vale: 

() 

I t 2 t 

p () t = v() 

t ⋅ i() 

t = L I = LI 

[3.41] 

2 

T T T 

L'energia fornita dal circuito elettrico a quello magnetico vale allora: 

T 

2 t 1 2 

EE 

→ B = ∫ LI dt = LI 

[3.42] 

0 2 

T 2 

Si ottiene questo stesso risultato qualunque sia l'andamento della corrente nel tempo, purché inizi da 0 e 

arrivi ad I . 

Si nota inoltre che: 

1 

2 

2 

2 1 N 2 1 

LI I = μ0μr 

= 

2 R 

2 

A 

N 

l 

Combinando la [3.38] e la [3.42]: 

2 

I 

2 

2 ( μ μ NI l) 

1 A 2 2 1 2 

2 

1 B 1 0 r 

EB Al = 

Al = μ0μr 

2 μ0μr 

2 μ0μr 

2 

[3.43] 

= N I = LI 

[3.44] 

l 2 

Come si vede quest'ultimo valore di energia (calcolato a partire dalla [3.36] e [3.38]) e il lavoro elettrico 

espresso dalla [3.42] coincidono, a conferma della validità delle leggi utilizzate. 



3.6 - Azioni Meccaniche 

La forza di Lorentz indica l'esistenza di interazioni di tipo meccanico in presenza di campi magnetici e 

correnti. 

Un altro tipico effetto meccanico è la forza di attrazione o di repulsione tra le varie parti di un circuito 

magnetico, e in particolare in prossimità dei traferri. Se si ha un circuito magnetico con diverse parti in ferro, 

non unite saldamente le une alle altre o a un altro vincolo, le forze che si creano fra queste parti provocherà 

il loro spostamento. Un metodo rigoroso ma al tempo stesso semplice per calcolare queste forze si basa su 

un principio energetico. Se le distanze variano, anche di un termine infinitesimo (o, se si preferisce un 

approccio Lagrangiano, di uno spostamento virtuale), cambiano i valori delle riluttanze, e quindi delle 

induttanze, e di conseguenza dell'energia accumulata dal campo magnetico. In assenza di altre sorgenti di 

potenza (si supponga per esempio che il flusso non cambi, e quindi non si creino tensioni, in modo che i 

circuiti elettrici non scambino energia con quelli magnetici), la variazione di energia accumulata sarà pari al 

lavoro infinitesimo, o virtuale, svolto dalla forza esterna per effettuare lo spostamento. La forza di origine 

magnetica tra le varie parti del circuito è quindi uguale e contraria a tale forza esterna. 

Un caso molto semplice è quello del circuito magnetico composto di una sola maglia, la quale però non è 

composta di un blocco unico in ferro, ma di due parti separate da due uguali traferri. 

I traferri sono di lunghezza variabile. E' proprio in corrispondenza di essi che si svilupperà un forza (che si 

vedrà essere attrattiva) tra le due parti in ferro. 

Si supponga di poter considerare uguali le aree nel ferro e in aria (nell'ipotesi che i traferri siano piccoli, il 

flusso nei passaggi in aria non si allarga in maniera significativa). 

L'energia magnetica può essere calcolata con l'integrale di volume: 

1 B 1 B 

EB = A⋅l 

Fe + A⋅2l 

aria 

[3.45] 

2 μ μ 2 μ 

0 

2 

Fe 

2 

0 

Un allontanamento del traferro, a parità di flusso e quindi di induzione, comporta una variazione di energia: 

1 B 

δEB = A ⋅ 2δl 

2 μ 

2 

0 

aria 

quindi la forza agente deve valere: 

2 

[3.46] 

δEB 

1 B 

Fa 

= = A⋅ 

2 

[3.47] 

δl 

2 μ 

aria 

0 

l'espressione è positiva, quindi questa forza, che è quella che dall'esterno compie il lavoro (virtuale), è 

orientata come lo spostamento: deve quindi essere diretta ad allontanare le due parti. Questa forza si 

oppone alla forza di attrazione di origine magnetica. Tale forza magnetica sarà ripartita in parti uguali sui due 

traferri; quindi su ciascun traferro vale: 

F 

B 

2 

Fa 

1 B 

= − = − A 

[3.48] 

2 2 μ 

0 

il segno negativo indica che è attrattiva. Si noti che è la forza è indipendente dal segno (cioè 

dall'orientamento) dell'induzione, dato che questa appare elevata al quadrato. 

Il principio così descritto è quello su cui si basano gli elettromagneti, diffusi in svariate applicazioni, con 

portate di ogni ordine di grandezza: per esempio potentissimi nelle industrie, dove sono usati sui carri-ponte 

per sollevare rottami ferrosi (anche parecchie tonnellate), oppure di medie potenze negli interruttori 

automatici (a seconda delle dimensioni di questi) e nei relè, oppure agenti con forze minime nelle piccole 

suonerie domestiche. Si noti che il termine di permettività del vuoto al denominatore rende notevole il valore 

della forza anche con induzioni e superfici abbastanza piccole. Tuttavia, all’aumentare dello spessore del 

traferro le linee di forza dell’induzione non saranno più tra loro parallele, e perpendicolari alla superficie, ma 

tenderanno ad allargarsi. A parità di flusso, l’induzione diminuisce e con essa diminuisce la forza espressa 

dalla [3.48]. 



3.7 - Materiali Ferromagnetici 

Come si è già accennato più volte, il ferro ed alcune sua leghe sono gli unici materiali che presentano un 

elevato valore di permeabilità relativa. Non entriamo nel problema di capire il perché di tale comportamento, 

in quanto questo richiede la conoscenza di nozioni avanzate di Fisica. Consideriamo piuttosto alcune 

particolarità del fenomeno, rilevanti ai fini pratici. 

Una prima, rilevante particolarità è il problema della non linearità del comportamento magnetico: vale a dire, 

il valore di permeabilità relativa non è indipendente dal valore del campo, o dell'induzione. 

La funzione che esprime il valore dell'induzione in funzione del valore del campo prende il nome di 

caratteristica di magnetizzazione. Tale caratteristica presenta generalmente un andamento simmetrico 

rispetto all'origine, il che significa che non esiste un verso privilegiato per il flusso magnetico. 

La caratteristica presenta un andamento con buona approssimazione rettilineo solo nell'intorno dell'origine, 

fino ad un dato valore (positivo o negativo, la curva è simmetrica) di induzione. Oltre tale punto (spesso 

indicato come "ginocchio" della caratteristica), allontanandosi dall'origine, la caratteristica inizia a piegare, 

diminuendo la sua inclinazione. Il fenomeno evidenziato da tale andamento prende il nome di saturazione 

magnetica e il punto dove inizia (il ginocchio) prende il nome di punto di saturazione. In realtà il fenomeno 

non inizia bruscamente, ma con gradualità. Valori tipici di inizio della saturazione sono intorno a 1.0÷1.5 

tesla, a seconda del materiale. 

Ponendo in grafico invece il valore della permeabilità relativa, si ottiene fino al punto di saturazione un valore 

pressoché costante (segmento di retta parallela all'asse delle ascisse), e poi valori via via decrescenti, ma 

sempre con continuità. Per valori molto elevati di campo si arriva fino ad un valore limite di permeabilità 

relativa unitario: sono completamente scomparsi gli effetti ferromagnetici, e il materiale si comporta come 

l'aria o il vuoto. La caratteristica di magnetizzazione da lì in poi torna ad avere un andamento rettilineo, ma il 

coefficiente angolare è molto più piccolo di quello del tratto iniziale, non saturo (1000÷2000 inferiore). 

In realtà nemmeno il primo tratto della caratteristica è perfettamente lineare, ma solitamente presenta un 

andamento leggermente meno ripido all'inizio, per poi arrivare alla massima pendenza, e quindi decadere 

nel tratto saturo. Il valore della permeabilità presenta quindi un dato valore in corrispondenza di campo nullo, 

detto permeabilità iniziale, che poi cresce sensibilmente (anche raddoppiando) ma nell'arco di una 

variazione limitata di induzione (0.1÷0.3 tesla), rimane abbastanza costante fino a circa 1 tesla, e infine 

quindi scende oltre tali valori. La non-linearità del tratto iniziale è comunque, nella maggior parte delle 

applicazioni pratiche, poco rilevante o trascurabile. 

Il fenomeno della saturazione ha invece conseguenze molto rilevanti. Non va infatti dimenticato che il valore 

del campo, H , è rigorosamente proporzionale al valore della f.m.m., cioè della corrente che circola negli 

avvolgimenti; mentre il valore della tensione indotta è rigorosamente proporzionale alla derivata del flusso e 

quindi dell'induzione magnetica B . La saturazione pertanto produce, nell'andamento nel tempo della 

tensione o della corrente, delle distorsioni rispetto al comportamento lineare. Nelle maggior parte delle 

applicazioni pratiche si utilizzano tensione e correnti con andamento nel tempo di tipo sinusoidale. infatti 

occorrono funzioni variabili nel tempo per ottenere variazioni di flusso e quindi tensioni indotte, e le funzioni 

seno e coseno sono: periodiche (si torna sempre al valore di partenza), molto regolari (sono continue e 

derivabili infinite volte) e la derivata di una funzione sinusoidale è ancora una funzione sinusoidale, sfasata 

di 90 deg. 

Si consideri per esempio un semplice circuito magnetico, composto di una solo percorso magnetico di 

lunghezza l e sezione costante A . Intorno ad esso si abbia un avvolgimento con N spire percorse da una 

corrente I , ai cui morsetti si misuri una tensione e . Essendo costante la sezione lungo tutto il percorso, a 

parità di corrente si presenterà lo stesso valore di campo in ogni punto del circuito magnetico: 

Ni 

H = [3.49] 

l 

mentre la tensione ai morsetti vale: 

dB di 

v = NA = L 

[3.50] 

dt dt 

Si supponga di alimentare il circuito elettrico con un generatore ideale di corrente, che imponga una corrente 

sinusoidale: 

() t I ⋅ ( t) 

i = M sin ω 

[3.51] 

Si ha quindi: 



H 

N 

l 

M 

B( 

t) 

= μ μ ⋅ H 

() t = I ⋅sin( 

ωt) 

= H ⋅sin( 

ωt) 

0 

r 

() t = μ μ ⋅ H ⋅sin( 

ωt) 

0 

r 

M 

M 

[3.52] 

in condizioni di linearità, anche l'induzione sarebbe perfettamente sinusoidale. Ma per effetto della 

saturazione la permeabilità relativa non è costante, ma decresce al crescere di H e di B , cosicché i valori 

più elevati (positivi o negativi) della sinusoide vengono ridotti, ottenendo una sinusoide appiattita nelle 

sommità. La derivazione di siffatta funzione, anziché portare a: 

dB 

dt 

() t = NA = NAB ω⋅ 

( ωt) 

= ωLI 

⋅ cos( 

ωt) 

= V ⋅ cos( 

ωt) 

v M 

M 

M 

cos [3.53] 

che sarebbe una funzione perfettamente sinusoidale, porta ad una funzione sicuramente deformata. In 

particolare: 

- i valori massimi di tensione corrispondono alle derivate del flusso in prossimità del passaggio per lo 

zero, dove quindi B è piccolo, quindi non si ha saturazione; i valori massimi di tensione non sono 

quindi influenzati dalla saturazione; 

- i valori di flusso in corrispondenza della zona deformata sono valori appiattiti, quindi con derivata ridotta 

rispetto alla condizione normale; pertanto, dopo i massimi e una prima discesa regolare, le tensioni si 

avvicinano allo zero più rapidamente, e più lentamente riprendono a salire. 

Si supponga invece di alimentare il circuito elettrico con un generatore ideale di tensione, che eroghi una 

tensione con andamento sinusoidale del tipo: 

() t E ⋅ ( t) 

e = M cos ω 

[3.54] 

Nel circuito dovrà allora passare una corrente tale da generare un flusso che per induzione produca una 

tensione ai morsetti pari alla f.e.m. applicata. Pertanto dovrà essere: 

H 

() t 

Φ() t : 

dΦ 

N 

dt 

= v 

1 

N ∫ 

B 

V 

M () t = sin( 

ωt) 

ωNA 

B 

() 

() t 1 

t = = 

μ μ 

0 

r 

μ μ 

0 

M 

() t ⇒ Φ() 

t = v() 

t dt = sin( 

ωt) 

r 

VM 

sin 

ωNA 

( ωt) 

V 

ωN 

[3.55] 

In condizioni di linearità anche il campo sarebbe una sinusoide perfetta. Ma il valore della permeabilità 

relativa non è costante, bensì decresce al crescere di H e di B , cosicché in corrispondenza dei massimi 

della sinusoide di H i suoi valori vengono amplificati. La situazione è invece quella prevista nelle zone della 

sinusoide dove i valori di H sono piccoli. La corrente segue lo stesso andamento, in modo da presentare un 

massimo più grande (anche di molte volte se la saturazione è rilevante) di quello che si otterrebbe in 

condizioni lineari. Insomma, poiché la permeabilità è diminuita, occorre molta più corrente per ottenere lo 

stesso flusso di induzione. Quest'ultimo fenomeno è molto più pericoloso del precedente, perché una 

deformazione che riduca i valori produce solo minore potenza, mentre una deformazione che amplifica le 

correnti causa maggiori perdite per effetto Joule, in proporzione al quadrato della corrente, con rischi di 

surriscaldamenti pericolosi, come pure causa azioni elettromeccaniche tra i conduttori agenti con maggior 

forza (anche queste in proporzione quadratica). 

Si noti infine che non linearità, cioè permeabilità relativa non costante, significa anche induttanze non 

costanti: 

2 

N 

L = 

R 

= N 

2 

dl 

∫ μ μ 

L 

0 

r A 

per esempio per un semplice oggetto cilindrico: 

L 0 r 

[3.56] 

A 2 

N 

l 

μ μ = [3.57] 

l'induttanza dipende dall'induzione e decresce al crescere di questa. 



Una seconda particolarità dei materiali ferromagnetici è il fenomeno dell'isteresi. 

Si supponga di aver portato il materiale ad un certo valore di induzione, per esempio positivo (se fosse 

negativo il fenomeno sarebbe lo stesso, solo con i segni opposti), percorrendo la curva di magnetizzazione. 

A questo punto diminuendo il valore del campo magnetico anche l'induzione diminuisce, ma seguendo una 

strada differente da quella della caratteristica di magnetizzazione. In particolare si nota che quando il campo 

è tornato al valore zero, l'induzione conserva ancora un valore che prende il nome di magnetizzazione 

residua, dello stesso segno dell'induzione iniziale. Per far tornare a zero il valore dell'induzione, occorre 

quindi raggiungere valore negativi di campo. La strada percorsa può essere rappresentata come una curva 

molto simile alla caratteristica di magnetizzazione, ma che partendo dallo stesso punto torna indietro 

rimanendo un poco sopra (come valori di induzione) alla caratteristica originaria. 

Se si scende ad un valore negativo di induzione, pari in modulo a quello positivo di partenza, e poi si vuole 

tornare indietro, stavolta il percorso sarà sotto alla caratteristica passante per l'origine, evidenziando quindi 

un valore residuo di magnetizzazione di valore uguale e contrario a quello rimasto provenendo da un valore 

di induzione positiva. 

Tornando fino al punto positivo di partenza si è descritto allora un intero ciclo, detto appunto ciclo di isteresi, 

composto da due percorsi simmetrici rispetto all'origine. La figura così ottenuta delimita quindi un'area la cui 

superficie è con buona approssimazione proporzionale al quadrato dell'induzione massima. I due vertici della 

figura si trovano sulla caratteristica di magnetizzazione originaria, detta caratteristica di prima 

magnetizzazione, perché il materiale segue tale curva solo la prima volta che viene magnetizzato, o quando 

viene magnetizzato a partire da una condizione priva di magnetizzazioni residue. 

L'isteresi è un fenomeno dissipativo. Si ricorda che l'energia associata al campo magnetico per unità di 

volume vale: 

e 

B 

dEB 

1 

= = HB 

[3.58] 

dV 2 

Una variazione del campo e dell'induzione produce una variazione dell'energia: 

de B 

ma: 

1 

= 

2 

1 

2 

( H + dH )( B + dB) 

− HB = ( HdB + BdH 

BdH = HdB 

1 

2 

) [3.59] 

quindi: deB = HdB 

[3.60] 

la potenza (per unità di volume) necessaria per variare il campo magnetico: 

p 

B 

deB 

dB 

= = H 

[3.61] 

dt dt 

Questa formulazione è ben raccordabile con l'espressione della potenza elettrica: 

p E 

= i ⋅v 

[3.62] 

il campo magnetico infatti è strettamente proporzionale alla corrente e la variazione dell'induzione è 

strettamente proporzionale alla tensione. Integrando la [3.61] su un intero volume infatti si introdurrà un'area 

(induzione per area=flusso) e una lunghezza (campo per lunghezza=f.m.m.=corrente). 

Considerando allora la figura del ciclo di isteresi, la si può ridisegnare scambiando tra loro gli assi cartesiani. 

Allora si nota che l'area della figura è data proprio dall'integrale, non di volume ma lungo un intero ciclo, della 

[3.61]. Quindi l'area della figura (utilizzando come unità di misura i tesla e le Asp/m) è pari esattamente 

all'energia per unità di volume necessaria a compiere un intero ciclo di isteresi. 

Se allora in un circuito ferromagnetico si creano campo e induzione alimentando degli avvolgimenti elettrici 

con correnti o tensioni alternate, si ha per ogni istante di tempo una energia fornita al materiale (e da questo 

dissipata in calore) proporzionale: 

- al numero di cicli in quell'unità di tempo 

- al quadrato dell'induzione massima 

- al volume del materiale. 

Generalmente si preferisce ragionare in base al peso G e non al volume (le due grandezze sono 

proporzionali) per cui la potenza dissipata per isteresi vale: 



Pdi = ki 

⋅ BM 

⋅ f ⋅G 

2 

[3.63] 

dove f è la frequenza (in Hz) dei cicli e la costante, che è diversa per ogni materiale ferromagnetico, è 

detta cifra di perdita per isteresi. 

La terza particolarità dei materiali ferromagnetici è il fenomeno delle correnti parassite. Tale fenomeno si 

presenta solo in presenza di flusso variabile nel tempo. 

Se si considera nel materiale una qualunque sezione (un piano perpendicolare all'induzione) e su di essa 

qualunque linea chiusa, si sa che l'integrale di circuitazione del campo elettrico è pari alla variazione del 

flusso nell'area racchiusa da quella linea. Si presentano cioè delle tensioni indotte non solo sugli 

avvolgimenti esterni, ma anche in ogni circuito "virtuale" che si consideri internamente. Il concetto può 

lasciare perplessi perché non esistono circuiti ben definiti. Qui la trattazione si farebbe complessa, per cui 

non entriamo in ulteriori dettagli. Di fatto il fenomeno si esplica mediante la circolazione di correnti parassite 

all'interno del ferro, diffuse in tutto il corpo metallico, secondo percorsi di tipo circolare. Il flusso generato da 

queste correnti è pure variabile e la sua variazione tende ad opporsi alla variazione del flusso principale, di 

modo che un avvolgimento esterno percepisce una variazione di flusso in qualche misura minore di quella 

teoricamente prevista. Generalmente tali correnti parassite sono limitate dalla resistività del materiale, quindi 

abbastanza piccole. Inoltre, con andamenti sinusoidali del flusso, essendo tali correnti limitate resistivamente 

ed essendo proporzionali, istante per istante, alla variazione del flusso, sono in fase con la variazione, quindi 

in quadratura (sfasate di 90°) con il flusso; il contro-flusso che esse generano è quindi piccolo e in 

quadratura rispetto al flusso principale, che quindi non subisce modificazione troppo sensibili. 

Rimane invece sensibile il problema della potenza dissipata per effetto Joule, fenomeno sempre presente 

quando circolano correnti. Queste correnti sono dovute alla tensione creata dalla variazione di flusso, quindi, 

ragionando in termini di proporzionalità (il simbolo ∝ significa: "è proporzionale a"): 

v 

i ∝ 

r 

v ∝ ω⋅ 

Φ ∝ f ⋅ B 

p ∝ ri 

2 

v 

∝ r 

r 

2 

2 

2 

2 

f B 

∝ 

r 

[3.64] 

Cioè: la potenza dissipata per unità di volume, o di peso è proporzionale al quadrato del valore massimo 

dell'induzione, al quadrato della frequenza, ed in inversamente proporzionale alla resistenza-resistività del 

materiale, perché questa limita le correnti parassite. Per sfruttare questo fenomeno si introducono nelle 

leghe ferromagnetiche percentuali di materiali che siano cattivi conduttori elettrici. 

Inoltre si utilizzano i materiali non sotto forma di corpi massicci, ma di lamierini, con le superfici laterali 

parallele alla direzione del flusso. Tra un lamierino e l'altro (spessore 0.5÷1.0 mm) un sottile strato di vernice 

funge da isolante, "tagliando" i circuiti elettrici e costringendo le correnti a tragitti molto brevi, su anelli molto 

piccoli. La vernice riduce un poco l'area utile del ferro, quindi occorrerà tenere presente questo fatto nel 

calcolo di riluttanze e induttanze mediante un coefficiente di riduzione dell'area della sezione. 

La potenza dissipata per correnti parassite vale allora: 

Pdcp = kcp 

⋅ BM 

⋅ f 

2 

2 

⋅G 

dove la costante, detta cifra di perdita per correnti parassite, dipende dal materiale. 

In totale le perdite nei materiali ferromagnetici: 

2 

( k ⋅ f + k ⋅ f ) 

2 

2 2 2 

Pd Pdi 

+ Pdcp 

= ki 

⋅ BM 

⋅ f ⋅G 

+ kcp 

⋅ BM 

⋅ f ⋅G 

= BM 

⋅G 

⋅ i cp 

[3.65] 

= [3.66] 

Spesso si usa una formulazione sintetica, approssimata ma valida nelle applicazioni pratiche per una 

gamma ristretta di frequenze: 

α ( f f ) 1. 

2 < α < 1. 

8 

2 

P d = k ⋅G 

⋅ BM 

⋅ n 

[3.67] 

dove la costante prende il nome generico di cifra di perdita, e dipende, come l'esponente α, dal materiale. 

La frequenza di riferimento è solitamente di 50 o di 60 Hz (frequenza nominale). 

In pratica la cifra di perdita esprime la potenza dissipata con una induzione di 1 tesla, alla frequenza 

nominale, per ogni kg di materiale. 



4 - Analisi delle Reti Elettriche in Regime Variabile 

4.1 - Limiti di Validità dei Principi di Kirchhoff 

Nel Cap. 1 è stata presentata una classificazione dei fenomeni elettrici. Si riepilogano ora le considerazioni 

già fatte al termine di tale capitolo. 

I fenomeni elettrici sono classificabili in elettrostatici ed elettrodinamici, suddividendo ulteriormente questi 

ultimi in stazionari, quasi stazionari, non stazionari. Sono quindi state introdotte, per il solo regime 

stazionario, le leggi di Kirchhoff ai nodi e alle maglie, dirette conseguenze rispettivamente del principio di 

conservazione della carica e della irrotazionalità del campo elettrico (legge di Faraday-Henry) in condizioni di 

stazionarietà, cioè in assenza di variazione nel tempo della densità volumetrica di carica e in assenza di 

variazione nel tempo del campo magnetico e quindi delle correnti che lo generano. 

In condizioni non stazionarie questi ultimi fenomeni non sono invece assenti, ma esistono con conseguenze 

rilevanti. Possono venire indicati in sintesi come: 

effetto capacitivo: in alcune parti del circuito si ha accumulazione di carica, o meglio separazione di carica 

in modo che una parte presenti eccesso di carica positiva e l'altra eccesso di carica 

negativa, con l'insorgere di una d.d.p. tra le due parti; il valore della carica accumulata e 

della tensione in generale possono variare, anche se restano sempre in diretta 

proporzionalità secondo un coefficiente detto appunto capacità; su ciascuna delle due 

parti interessate non può più allora applicarsi il principio di Kirchhoff ai nodi perché 

parte delle correnti entranti può andare ad accumularsi; 

effetto induttivo: il flusso dell'induzione magnetica in una maglia, in una spira o in una serie di spire può 

essere in generale variabile, e quindi si presenta una tensione indotta, per cui il campo 

elettrico non è più irrotazionale; su maglie con questi fenomeni non può allora applicarsi 

il principio di Kirchhoff alle maglie perché la circuitazione del campo elettrico non dà 

valore nullo. 

Tuttavia, se questi fenomeni (l'effetto induttivo e l'effetto capacitivo) sono localizzati in parti definite e limitate 

del circuito, le leggi di Kirchhoff potranno essere riscritte quasi allo stesso modo, alle condizioni che: 

1) nei nodi non si presentino effetti capacitivi; 

2) le tensioni generate nei lati tengano conto dell'induzione di campi magnetici esterni; 

3) al secondo membro le c.d.t. ohmiche vengano completate con le c.d.t. su altri componenti, 

schematizzabili come induttori e condensatori, per i quali la tensione va calcolata non solo come 

funzione lineare della corrente, ma anche della sua derivata o del suo integrale nel tempo. 

Se invece per esempio si considera anche il flusso che attraversa l'intera maglia, oppure il fatto che ci 

possono essere dispersioni di corrente per effetto capacitivo attraverso l'isolamento dei conduttori, il regime 

non può essere considerato quasi-stazionario, a meno che non si riesca a modellizzare tali fenomeni 

concentrando i loro effetti in singole parti della rete elettrica. 

Una formulazione matematica di quanto detto richiede in sintesi che: 

∂B 

≠ 0 

∂t 

∂B 

∂t 

∂ρ 

∂t 

∂ρ 

∂t 

= 0 

≠ 0 

= 0 

nei circuiti magnetici con effetti rilevanti sui circuiti elettrici [4.1] 

in ogni altra parte della rete elettrica [4.2] 

nelle armature dei condensatori [4.3] 

in ogni altra parte della rete elettrica [4.4] 

In queste condizioni si può parlare di regime quasi-stazionario, ed applicare ancora, con le opportune 

modifiche, le equazioni di Kirchhoff. 



4.2 - Bipoli Ideali 

Occorre quindi completare l'elenco dei bipoli ideali, introducendo anche quelli che si presentano in regime 

variabile. Spesso nel seguito il regime stazionario, che verrà citato per confronto, verrà anche indicato con il 

termine di regime in corrente continua (c.c. o d.c. o DC). 

In regime variabile si hanno quindi nuovi bipoli, oltre naturalmente al resistore, per il quale la legge di 

funzionamento può essere riscritta allo stesso modo, ma con tensione e corrente variabili: 

- generatore ideale di tensione: come il generatore ideale di tensione in c.c. eroga una f.e.m. 

indipendente dalla corrente; la tensione erogata presenta un determinato andamento nel tempo: 

e = e() 

t 

[4.5] 

- generatore ideale di corrente: come il generatore ideale di c.c. eroga una corrente indipendente dalla 

tensione, la corrente erogata presenta un determinato andamento nel tempo: 

a = a() 

t 

[4.6] 

per questo dispositivo valgono le stesse considerazioni fatte per l'analogo in c.c. (non esiste in realtà, 

ma solo come generatore di f.e.m. retroazionato in modo da erogare una corrente prestabilita, o come 

modello equivalente); nei modelli circuitali si usa raramente, quasi sempre come equivalente; 

- condensatore: per questo dispositivo valgono le leggi: 

() t 

dv 

1 t 

i () t = C ⇔ v() 

t = i() 

τ dτ 

+ V 

0 

C0 

dt 

C ∫ [4.7] 

dove la costante V C0 che appare nell'espressione con l'integrale è una costante che indica il valore di 

tensione del condensatore nell'istante 0 in cui si inizia ad integrare. Il condensatore è un bipolo passivo 

e le leggi suddette sono scritte utilizzando la convenzione degli utilizzatori; 

- resistore: valgono semplicemente: 

1 

v = 

R 

() t = Ri() 

t ⇔ i() 

t = v() 

t Gv() 

t 

Il resistore è un bipolo passivo e le leggi suddette sono scritte utilizzando la convenzione degli 

utilizzatori; 

- induttore: per questo dispositivo valgono le leggi: 

() t 


1 t 

v () t = L ⇔ i() 

t = v() 

τ dτ 

+ I 

0 

L0 

dt 

L ∫ [4.9] 

dove la corrente I L0 

che appare nell'espressione con l'integrale è una costante che indica il valore di 

corrente nell'induttore nell'istante 0 in cui si inizia ad integrare. 

L'induttore è un bipolo passivo e le leggi suddette sono scritte utilizzando la convenzione degli 

utilizzatori. 

Nel caso si presentino mutue induzioni: 

() t di j () t 

+ ∑ M ij 

dii 

v i() 

t = Li 

[4.10] 

dt 

dt 

j 

La formulazione integrale di questa equazione richiede un sistema di equazioni con tutte le auto e 

mutue induttanze, le tensioni e le correnti dei vari componenti coinvolti. 

Tutti i componenti attivi sono stati qui descritti come ideali. Una rappresentazione più realistica prevede che il 

generatore di tensione sia composto dalla serie di un generatore ideale, di una resistenza e di una 

induttanza: i due bipoli passivi rendono conto della c.d.t. nel circuito interno del generatore a fronte di 

passaggio di corrente; per il generatore di corrente i rami passivi vanno posti in parallelo. 

Tutti i componenti passivi sono stati qui descritti come lineari. Questa è una approssimazione accettabile 

entro ampi limiti di validità, fatto salvo forse per il resistore che col passaggio della corrente si riscalda e 

quindi il valore di resistenza aumenta; a temperatura costante anche questo componente può essere 

considerato lineare. 


[4.8]


L'induttore è lineare se il campo magnetico circola in aria o in materiali che non comportino saturazione 

magnetica. 

Va sempre considerato che non esiste mai un induttore completamente privo di resistenza, per cui ogni 

induttore andrebbe sempre rappresentato come la serie di una induttanza e di una resistenza; così pure non 

esiste condensatore per il quale sia del tutto nullo il passaggio di corrente nel dielettrico, cioè nel materiale 

isolante tra le due lastre, per cui ogni condensatore andrebbe rappresentato come il parallelo di una capacità 

e di una conduttanza; tuttavia questi fenomeni sono spesso trascurabili: se si volesse continuare su questa 

strada di dettaglio così fine occorrerebbe allora anche aggiungere che nessuna resistenza è del tutto priva di 

effetti induttivi (in serie) e capacitivi (in derivazione verso terra o gli altri lati). Tutti questi effetti secondari, 

spesso detti parassiti, verranno associati ai componenti quando i loro valori saranno rilevanti ai fini pratici. 

Occorre inoltre notare che il comportamento dei componenti passivi in c.c. è tale che: 

- l'induttore in c.c. si presenta come un corto circuito, perché se la corrente è costante non c'è 

variazione di flusso e quindi non si presenta tensione indotta; 

- il condensatore in c.c. si presenta come un circuito aperto, perché se la tensione è costante non 

c'è variazione di carica e quindi si presenta corrente. 

Inoltre va notato che, anche in regime variabile: 

- in un induttore non è possibile variare istantaneamente il valore della corrente, perché questo 

richiederebbe l'applicazione di una tensione di valore infinito (funzione δ, Delta di Dirac) 

- in un condensatore non è possibile variare istantaneamente il valore della tensione, perché 

questo richiederebbe l'applicazione di una corrente di valore infinito (funzione δ, Delta di Dirac). 

Questi componenti impongono quindi la continuità di corrente e tensione rispettivamente. Queste proprietà si 

rivelano molto utili nel momento in cui, per trovare la soluzione della rete, che sarà descritta da equazioni 

algebrico-differenziali, occorre determinare le condizioni iniziali, cioè i valori di corrente e di tensione nei vari 

lati all'istante iniziale. 

4.3 - Leggi di Kirchhoff in Regime Variabile 

Con questi componenti si potranno quindi scrivere le leggi di Kirchhoff: 

∑ 

ji 

j∈I 

∑ 

i 

e 

l 

l∈M 

() t 

= 0 

⎛ 

() () () 

() () 

∑⎜ 1 t 

dil 

t di j t 

t = VC 

0l 

+ ∫ il 

τ dτ 

+ Ril 

t + L + ∑Mlj 

⎜ 

⎝ 

C 

0 

l∈Mj dt 

dt 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

[4.11] 

Va notato che le correnti nodali devono ovviamente considerare anche eventuali correnti capacitive verso 

terra e le iniezioni dei generatori di corrente afferenti nel nodo. 

Poiché sotto le condizione suddette valgono ancora le leggi di Kirchhoff, per la soluzione di una qualunque 

rete elettrica lineare si possono ancora applicare gli stessi metodi utilizzati per le reti in regime stazionario: 

metodo delle correnti di lato, dei potenziali di nodo, delle correnti di maglia, sovrapposizione degli effetti. 

L'unica differenza rispetto al regime stazionario sta quindi nel fatto che il sistema risolvente non sarà più un 

semplice sistema algebrico, ma in esso appariranno equazioni algebriche ed equazioni differenziali o 

integrali (queste ultime possono essere ridotte a equazioni differenziali per derivazione). Per questo motivo 

risulta invece più problematica l'applicazione dei metodi sistematici, perché per la presenza di derivate e 

integrali non si riesce a definire l'analogo della matrice delle conduttanze nodali. Per la stessa ragione non 

potranno essere utilizzati gli equivalenti di Thevenin e Norton. Si possono usare strumenti matematici come 

la trasformata di Laplace, ma anche in questo modo il metodo non è di pratica applicazione. Si vedrà in 

seguito come invece può risultare molto ben praticabile in condizioni particolari. 



4.4 - Regime Transitorio e Regime Permanente - Un esempio 

Si consideri il seguente semplice esempio: 

iR1 

R1 

i i 

R2 L 

e R2L figura 5.1 

Il circuito può essere risolto, per esempio, con il metodo delle correnti di lato. Si consideri come nodo 

indipendente il nodo A e come maglie indipendenti la maglia e-R1 e la maglia R2-L. Le equazioni sono: 

⎧ 

⎪iR1 

− iR2 

− iL 

= 0 

⎪ 

⎨e 

− R1iR1 

− R2iR 

2 = 0 

⎪ 

⎪ diL 

R2iR 

2 − L = 0 

⎪⎩ 

dt 

[4.12] 

per semplicità grafica si è omesso di indicare esplicitamente, dandola per sottintesa, la dipendenza dal 

tempo delle correnti e della f.e.m.. Non esistono effetti mutuo induttivi. 

Ogni sistema di equazioni differenziali richiede, per poter essere risolto, delle condizioni al contorno, o 

meglio, dato che il dominio qui è il tempo, delle condizioni iniziali. Visto che qui si ha una equazione 

differenziale del primo ordine, globalmente il problema è di tale ordine, quindi occorre una condizione 

iniziale: questa riguarda il valore iniziale della corrente nell'induttore. 

Il sistema potrebbe essere riscritto ponendo le forzanti, cioè le generazioni (in questo caso è una sola) al 

secondo membro: 

⎧ 

⎪iR1 

− iR2 

− iL 

= 0 

⎪ 

⎨R1i 

R1 

+ R2iR2 

= e 

⎪ 

⎪ diL 

R2iR2 

− L = 0 

⎪⎩ 

dt 

[4.13] 

Ora si può procedere per sostituzione, a partire dalla terza equazione e risalendo alla prima e infine alla 

seconda: 

⎧ L diL 

⎪iR2 

= 

⎪ R2 

dt 

⎪ 

L diL 

⎨iR1 

= iR2 

+ iL 

= + iL 

⎪ 

R2 

dt 

⎪ ⎛ L di ⎞ L di 

⎪R 

+ = 

⎪ 

⎜ L + i ⎟ 

L 

1 

L R2 

e 

⎩ ⎝ R2 

dt ⎠ R2 

dt 

ottenendo un'unica equazione differenziale lineare, a coefficienti costanti, del 1° ordine: 

( R ) Li′ 

+ R R i = R e 

R1 2 L 1 2 L 2 

[4.14] 

+ [4.15] 

che dovrà essere accompagnata dalla condizione iniziale: 

L 

( 0) I L0 

i = [4.16] 



Si consideri ora l'equazione omogenea associata: cioè la stessa, ma priva delle forzanti; la soluzione di tale 

equazione verrà indicata come i T : 

( R ) Li′ 

+ R R i = 0 

R [4.17] 

1 + 2 L 1 2 L 

L'integrale generale è dato dalla somma di un numero di termini esponenziali pari all'ordine dell'equazione; 

in questo caso un solo termine: 

() t I ⋅ ( t) 

iT 1 exp α1 

= [4.18] 

il coefficiente dell'esponenziale è la soluzione dell'equazione algebrica associata all'equazione differenziale 

omogenea, detta equazione caratteristica dell'equazione differenziale: 

( R ) Lλ 

+ R R i = 0 

R [4.19] 

1 + 2 1 2 L 

da cui: 

− R R 

1 2 λ = 

[4.20] 

L( 

R1 

+ R2 

) 

In caso di equazioni differenziali di ordine superiore si ha una corrispondente equazione algebrica di pari 

grado, le cui radici possono essere tutte reali o parte reali e parte complesse coniugate. 

Deve poi valere: 

T 

( 0) IL 

0 ⇒ I1 

IL 

0 

i = = 

[4.21] 

Con le condizioni iniziali l'integrale generale dell'equazione omogenea associata è univocamente 

determinato. 

Si nota che in tutti i casi si presenta uno smorzamento esponenziale. In qualunque rete elettrica lineare 

(ove siano presenti resistenze; e sono sempre presenti nei sistemi reali), le soluzioni dell'equazione 

caratteristica presentano sempre parti reali negative, qualunque sia l'ordine del sistema. Questo 

potrebbe essere dimostrato anche matematicamente, ma è più semplice una considerazione energetica: se 

il sistema è privo di forzanti, questo significa che i generatori sono spenti; le correnti possono circolare solo 

perché induttori e condensatori cedono o scambiano tutta o parte della energia in essi accumulata. Queste 

correnti tuttavia sono dissipative per effetto Joule. Quindi l'energia totale accumulata nei condensatori e 

negli induttori non può che diminuire, quindi le correnti sono destinate a smorzarsi. Per questo motivo 

la soluzione del sistema omogeneo associato viene chiamata componente transitoria della soluzione 

complessiva. La presenza delle forzanti determina la presenza di un'altra componente, che può essere 

chiamata componente permanente o di regime. Per una data forzante, la componente permanente è 

unica, cioè univocamente determinata. Infatti, se ne esistessero due, per la linearità della rete la loro 

differenza sarebbe una soluzione dell'omogenea associata, cioè una componente transitoria, destinata a 

scomparire. 

Riepilogando: ogni corrente di lato (ma anche ogni tensione di nodo) di una rete elettrica lineare con forzanti 

è data dalla somma di una componente transitoria e una permanente: 

() t i () t + i () t 

i T P 

= [4.22] 

La soluzione transitoria è una somma di termini esponenziali reali o complessi (esponenziali moltiplicati per 

sinusoidi); ha questo nome (transitoria) perché tutti i coefficienti degli esponenziali sono negativi, cioè gli 

esponenziali sono tutti smorzanti e tendono a zero. Per determinare i coefficienti moltiplicativi dei vari termini 

esponenziali o oscillatori smorzati vanno utilizzate le condizioni iniziali. Il numero dei termini esponenziali o 

oscillanti smorzati e il numero delle condizioni iniziali sono pari all'ordine del sistema differenziale. La 

soluzione permanente è univocamente determinata in base alle forzanti. 

Si nota inoltre che, poiché tutte le condizioni iniziali sono state utilizzate per determinare i coefficienti della 

componente transitoria, la componente permanente non dipende dalle condizioni iniziali. Questo significa 

che il transitorio permette al circuito di "dimenticare" la sua condizione iniziale, arrivando a 

comportarsi solo come le forzanti gli impongono, indipendentemente dal punto di partenza. 



4.5 - Il Regime Periodico Alternato Sinusoidale (P.A.S.) 

Il problema del transitorio dei circuiti elettrici, di cui si sono fornite alcune nozioni, sarà trattato diffusamente 

nei successivi paragrafi. In questo paragrafo si studierà invece il regime permanente dovuto ad un 

particolare tipo di forzanti: le forzanti di tipo periodico alternato sinusoidale (P.A.S.). 

Una grandezza si definisce di tipo P.A.S. se il suo andamento nel tempo è del tipo: 

() t = F ⋅ ( ω⋅ 

t + ϕ) 

f M cos [4.23] 

Dove il valore massimo F M viene spesso anche indicato come modulo e l'angolo iniziale ϕ come fase 

iniziale o semplicemente fase. Una funzione P.A.S. è univocamente definita quando di essa siano dati 

modulo e fase, oltre, naturalmente, alla frequenza. 

Si noti che una grandezza di questo tipo: 

1) è periodica, con periodo T = 2π 

ω 

2) presenta valor medio nullo se considerata su un periodo o su un intervallo di tempo multiplo di un 

periodo 

Si noti anche che: 

f 

f 

′ () t = −ωFM 

⋅sin( 

ω⋅ 

t + ϕ) 

= ωFM 

⋅cos( 

ω⋅ 

t + ϕ + π 2) 

2 ′ 

() t = −ω 

F 

2 

⋅cos( 

ω⋅ 

t + ϕ) 

= ω F 

2 

⋅cos( 

ω⋅ 

t + ϕ + π) 

= −ω 

f () t 

M 

M 

[4.24] 

le derivate di una funzione P.A.S. sono ancora funzioni P.A.S. sfasate di 90° (derivata prima), 180° (derivata 

seconda), etc. in anticipo rispetto alla funzione di partenza. 

Pertanto anche le soluzione permanenti dei sistemi di equazioni algebrico-differenziali che descrivono le reti 

elettriche lineari dovranno essere funzioni P.A.S. se sono P.A.S. le forzanti. 

Si consideri di nuovo l'esempio del par. 5.4 e l'equazione differenziale: 

( R ) Li′ 

+ R R i = R e 

R1 2 L 1 2 L 2 

+ [4.25] 

e si supponga che la forzante sia P.A.S.: 

() t = E ⋅ ( ω⋅ 

t + δ) 

e M cos [4.26] 

Si supponga che anche la componente permanente della corrente sia una funzione P.A.S.: 

() t = I ⋅ ( ω⋅ 

t + ϕ) 

i M 

LP cos [4.27] 

nel seguito verrà indicata semplicemente come i , senza pedici. Per ora il modulo e la fase iniziale di tale 

corrente sono indeterminati. 

Possiamo vedere tali funzioni come somme di seni e coseni senza fase iniziale: 

() t = E ⋅( 

δ⋅ 

cosωt 

− sin δ⋅ 

sin t) 

( t) 

= I ⋅ ( cos ϕ⋅ 

cos ωt 

− sin ϕ⋅ 

sin t) 

e M cos ω 

[4.28] 

i M ω 

Introducendo nell'equazione [4.25] questa espressione di corrente e le sue derivate: 

( R1 

+ R2 

) L ⋅ ω⋅ 

I M ⋅ ( − cosϕ 

⋅sin 

ωt 

− sin ϕ⋅ 

cosωt 

) + R1R2 

⋅ I M ⋅( 

cosϕ 

⋅ cosωt 

− sin ϕ⋅ 

sin ωt) 

= R ⋅ E ⋅ ( cosδ 

⋅ cosωt 

− sin δ ⋅sin 

ωt) 

2 

M 

In questa equazione si proceda a raggruppare i termini "coseno" e i termini "seno": 

( − ωL( 

R1 

+ R2 

) ⋅sin 

ϕ + R1R2 

⋅ cosϕ) 

( − ωL( 

R + R ) ⋅ cosϕ 

− R R ⋅sin 

ϕ 

= R ⋅ E 

2 

1 

M 

2 

⋅ cosδ 

⋅ cosωt 

− R ⋅ E 

1 

2 

2 

M 

= 

[4.29] 

⋅ I M ⋅cosωt 

+ 

) ⋅ I M ⋅sin 

ωt 

+ 

[4.30] 

⋅sin 

δ ⋅sin 

ωt 

Poiché l'uguaglianza deve essere verificata istante per istante, allora deve valere: 

( − ωL( 

R1 

+ R2 

) ⋅sin 

ϕ + R1R2 

⋅ cos ϕ) 

⋅ I M = + R2 

⋅ EM 

⋅ cos δ 

( − ωL( 

R + R ) ⋅ cosϕ 

− R R ⋅sin 

ϕ) 

⋅ I = −R 

⋅ E ⋅sin 

δ 

1 

2 

1 

2 

M 

2 

M 


[4.31]


Queste espressioni possono essere riscritte come: 

( A⋅ 

sen ϕ + B ⋅ cosϕ) 

⋅ I M = + R2 

⋅ EM 

⋅ cosδ 

( A⋅ 

cosϕ 

− B ⋅ sen ϕ) 

⋅ I = −R 

⋅ E ⋅ sen δ 

dove: 

M 

( R1 

+ R2 

) ; B R1R2 

2 

M 

[4.32] 

A = −ωL 

= 

[4.33] 

Elevando al quadrato ciascun membro di ciascuna equazione della [4.32] e sommando membro a membro: 

= R 

2 2 

2 2 2 2 

2 2 

( A cos ϕ + 2ABcosϕ 

⋅sin 

ϕ + B sin ϕ + A sin ϕ − 2AB 

cosϕ 

⋅sin 

ϕ + B cos ϕ) 

2 2 2 

E ⋅ ( cos δ + sin δ) 

2 

M ⋅ 

2 

2 M 

I 


2 

M 

2 2 2 2 

( A + B ) R E 

2 

M 

= 

[4.34] 

I ⋅ = 

[4.35] 

da cui si trova il valore del modulo. Per quanto riguarda la fase, si procede sommando o sottraendo membro 

a membro le due equazioni [4.32] moltiplicate per A o B: 

I 

I 

M 

M 

2 2 ( A + B ) ⋅ cos ϕ = R E ⋅ ( Acos 

δ + B sin δ) 

⋅ 

⋅ 2AB 

⋅sin 

ϕ = R E 

da cui: 

2AB 

B cosδ 

− Asin 

δ 

tan ϕ = 

2 2 

A + B Acosδ 

+ Bsin 

δ 

2 

M 

2 

M 

⋅ ( B cos δ − Asin 

δ 

Dalle due espressioni [4.36] e [4.37] si evince tra l'altro che: 

) 

- il modulo della corrente dipende dal modulo della forzante, ma non dalla sua fase; 

- la fase della corrente dipende dalla fase della forzante, ma non dal suo modulo. 

[4.36] 

[4.37] 

L'espressione [4.27] con i valori espressi dalle [4.36] e [4.37] è quindi proprio una soluzione permanente 

dell'equazione differenziale [4.25]; e poiché la soluzione permanente è unica, quella trovata è la soluzione 

permanente della [4.25]. 

Il risultato può essere generalizzato: per reti elettriche di qualunque dimensione, con bipoli lineari e 

forzanti P.A.S.: una volta a regime, cioè quando il transitorio si è esaurito, le funzioni che 

costituiscono la soluzione - sia le tensioni nodali sia le correnti e le tensioni di lato - sono sempre 

funzioni di tipo P.A.S.. 

Ovviamente, se sono presenti forzanti P.A.S. a frequenze diverse, in generale ogni corrente e ogni tensione 

nodale sarà la somma di più componenti P.A.S., una per ogni frequenza di forzante. Questo discende dalla 

linearità della rete, che permette la sovrapposizione degli effetti: ogni componente di frequenza sarà la 

soluzione dovuta all'effetto delle sole forzanti che a tale frequenza lavorano. 

Benché questa situazione sia possibile e il metodo della sovrapposizione degli effetti permetta di analizzarla 

abbastanza agevolmente, in quanto segue ci si limiterà a studiare casi in cui le forzanti siano tutte ad una 

stessa frequenza, che potrà essere così considerata la frequenza dell'intera rete. 

Potrebbe essere conveniente a questo punto utilizzare una notazione esponenziale. Ricordando la formula 

di Eulero: 

( ωt+ 

ϕ) 

= ( ωt 

+ ϕ) 

+ j ( ωt 

+ ϕ 

j 

e cos sin ) [4.38] 

per una grandezza P.A.S. basta considerare la sola parte reale: 

f () t = Re F 

j( 

ωt 

+ ϕ) 

⋅ e 

[4.39] 

( ) 

M 

La notazione esponenziale rende più semplici le operazioni di derivazione: 

f ′ () t = real jω⋅ 

F 

j( 

ωt 

+ ϕ) 

⋅ e 

[4.40] 

( ) 

M 

e anche di integrazione (si considera la primitiva senza alcun termine costante, perché questo scompare 

dopo il transitorio): 



∫ 

⎛ 1 j( 

ωt 

+ ϕ) 

⎞ 

f () τ dτ 

= Re ⎜ FM 

e ⎟ [4.41] 

⎝ jω 

⎠ 

Si possono quindi riscrivere le leggi per i bipoli: 

( ) 

( 

) 

j( 

ωt 

+ ϕ) 

v() 

t = L ⋅ Re jω⋅ 

IM 

⋅e 

j( 

ωt 

+ δ) 

i() 

t = C ⋅ Re jω⋅V 

⋅e 

M 

[4.42] 

A questo punto, solo come formalismo matematico, si potrebbero considerare le variabili tensione e corrente 

come composte non solo dalla parte reale, ma anche da quella immaginaria: considerarli cioè dei numeri 

complessi. Naturalmente la componente immaginaria non esiste e non ha nessun significato fisico, ma dal 

punto di vista matematico, essendo anch'essa sinusoidale, soddisfa le equazioni algebrico-differenziali; 

viene introdotta solo per agevolare la scrittura delle variabili. Infatti: 

j( 

ωt 

+ ϕ) 

f () t = FM 

⋅e 

[4.43] 

j ωt 

+ ϕ 

f ′ t = jω⋅ 

F ⋅e 

= jω⋅ 

f t 

() ( ) () 

M 

Per trovare la soluzione della rete, basta associare ad ogni forzante anche la componente immaginaria, cioè 

e( t) 

= EM 

⋅( 

cos ( ωt 

+ ϕ) 

+ j sin( 

ωt 

+ ϕ)) 

[4.44] 

quindi tutti i calcoli vengono svolti con funzioni tensione e corrente complesse; le equazioni di funzionamento 

dei bipoli sono molto semplici: 

v 

i 

() t = jω⋅ 

L ⋅ i () t 

() t = jω⋅ 

C ⋅ v() 

t 

[4.45] 

Una volta trovata la soluzione, per avere i valori effettivi delle tensioni e delle correnti basta tornare a 

considerare la sola parte reale delle funzioni calcolate. 

L'esempio precedente può allora essere riscritto in maniera molto più sintetica: 

( R + R ) i () t + R R i ( t) 

= R e() 

t 

jω L 1 2 L 1 2 L 2 

[4.46] 

da cui: 

i 

L 

() t 

( R + R ) 

() t 

θ 

R2 

e 

= ⋅ e() 

t = j 

jωL 

+ R R Z ⋅ e 

1 

2 

1 

2 

[4.47] 

Nell'ultimo passaggio il denominatore è stato riscritto dalla forma cartesiana alla forma esponenziale o polare 

(euleriana), evidenziandone quindi un modulo e una fase. Il modulo sarà quindi pari al rapporto tra il modulo 

della tensione e quello della corrente, e la fase alla differenza tra le fasi. La praticità di questa notazione è 

evidente: tutte le operazioni di derivazione o di integrazione sono state sostituite rispettivamente da 

moltiplicazioni o da divisioni per il fattore jω. 

Si sarebbe potuto facilmente affrontare il problema non già dall'equazione differenziale del secondo ordine, 

ma direttamente dal sistema originale di 3 equazioni, di cui 1 algebrica e 2 differenziali, ottenendo, con 

questa notazione, un sistema composto solo da equazioni algebriche con funzioni incognite 

complesse anziché reali. 

Ma è possibile fare un ulteriore passo in avanti sulla strada della praticità. Si noti che, essendo: 

j( 

ωt 

+ ϕ) 

iL() 

t = IM 

⋅e 

j( 

ωt 

+ δ) 

e() 

t = E ⋅e 

M 

allora: 

e 

() 

() t 

iL 

t = jθ 

Z ⋅ e 

⇒ 

j( 

ωt+ 

δ) 

j( 

ωt+ 

ϕ) 

EM 

⋅e 

I M ⋅e 

= 

jθ 

Z ⋅e 

Appare in entrambi i membri l'esponenziale della frequenza angolare moltiplicata per il tempo: 

[4.48] 

[4.49] 

jωt 

e [4.50] 



Questo termine serve a calcolare il valore delle varie grandezze istante per istante, ma di fatto non introduce 

alcuna informazione significativa: per una data frequenza, una grandezza P.A.S. è univocamente definita 

quando di essa sono dati modulo e fase. Il termine può essere semplificato, dividendo per esso entrambi i 

membri della [4.49]: 

i 

L 

() t 

() t 

jδ 

e 

jϕ 

EM 

⋅e 

= ⇒ I ⋅ = 

jθ 

M e 

jθ 

Z ⋅e 

Z ⋅e 

[4.51] 

Questa espressione fornisce tutte le informazioni necessarie e sufficienti: noti i valori della tensione i modulo 

e fase, noto il valore dei termini al denominatore, si ottengono immediatamente modulo e fase della corrente. 

Per conoscere il valore istantaneo della corrente, basta utilizzare la [4.23] con tali modulo e fase. 

Si potrebbe allora visualizzare ogni grandezza tipo tensione o corrente come un vettore nel piano 

complesso, avente un estremo nell'origine, lunghezza pari al modulo, e ruotante nel piano complesso, 

intorno all'origine, con velocità angolare ω; all'istante 0 si trova inclinato, rispetto all'asse reale, di angolo pari 

alla fase. Il valore istantaneo della grandezza è dato dalla proiezione del vettore sull'asse reale. La sua 

derivata è un vettore sfasato di 90° in anticipo, e amplificato di un valore pari alla frequenza angolare. 

Con un rete elettrica si avrebbe un intero sistema di vettori rotanti, tutti tra loro isofrequenziali. Si potrebbe 

allora "fotografare" il sistema dei vettori in un dato istante, per esempio in t=0: si evidenzierebbero le fasi di 

ogni vettore, e quindi le differenze di fase tra di essi. Essendo il sistema isofrequenziale, "fotografandolo" di 

nuovo in altro istante qualunque, esso apparirebbe tutto quanto ruotato, ma gli angoli relativi tra i vari vettori 

sarebbero invariati. 

Allora la rappresentazione più sintetica di un sistema di grandezza P.A.S. consiste proprio nella "fotografia" 

del sistema in un dato istante, per esempio l'istante t=0. Ogni grandezza verrebbe rappresentata con un 

vettore fisso: il valore istantaneo viene ottenuto ruotando tale vettore del valore in radianti pari ad ωt, oppure 

calcolando il coseno di tale angolo più la fase iniziale. I vettori così "fissati" prendono il nome di fasori, 

proprio perché indicano la fase, oltre al modulo, della grandezza in questione; su molti testi vengono ancora 

chiamati genericamente vettori. 

Ogni grandezza P.A.S. si indica quindi con il numero complesso, in forma cartesiana o polare, 

corrispondente al suo fasore; si usano solitamente le lettere maiuscole: 

V = V ⋅e 

I = I ⋅e 

jδ 

jϕ 

= V 

= I 

Re 

Re 

+ jV 

+ jI 

Im 

Im 

[4.52] 

Per quanto riguarda il modulo, generalmente, anziché il valore massimo, si usa generalmente un altro 

valore, detto valore efficace: 

FM F = [4.53] 

2 

il motivo di questa scelta sarà chiaro in seguito, quando si parlerà delle potenze. 

Il fasore della derivata o dell'integrale di una grandezza, per quando detto sopra, è ancora un fasore, sfasato 

di 90° rispettivamente in anticipo o in ritardo rispetto alla grandezza originaria, e di modulo pari al modulo 

della grandezza originaria rispettivamente moltiplicato o diviso per la frequenza. Si noti che sfasare di 90° un 

fasore significa semplicemente moltiplicarlo o dividerlo per l'unità immaginaria j . 

Riepilogando: 

fasore: 

jϕ 

F = F ⋅e 

[4.54] 

derivata: jω F 

[4.55] 

integrale: 

F 

jω 

= − 

F 

j 

ω 

valore istantaneo: () t = ⋅ F ⋅ ( ωt 

+ ϕ 

[4.56] 

f 2 cos ) [4.57] 



4.6 - L'Analisi delle Reti Elettriche con la Notazione Fasoriale 

Utilizzando la notazione fasoriale, si hanno quindi le equazioni di funzionamento dei bipoli passivi nella 

semplice forma: 

V = jωLI 

⇔ 

1 

I = V 

jωL 

[4.58] 

1 

V = RI 

⇔ I = V 

[4.59] 

R 

V = I ⇔ I = jωCV 

jωC 

1 

[4.60] 

E' scomparsa ogni traccia di operatori del tipo derivata o integrale. Ai vari bipoli si può quindi associare un 

semplice termine moltiplicativo, di significato e funzione analoghi alla resistenza o alla conduttanza nel 

regime stazionario, con la differenza che tali valori sono numeri complessi. Per un bipolo generico si può 

allora scrivere: 

V = ZI 

⇔ 

con : 

1 

Y = 

Z 

I = YV 

[4.61] 

le due grandezza si chiamano rispettivamente impedenza (corrispondente alla resistenza) e ammettenza 

(corrispondente alla conduttanza). Le unità di misura sono ancora l'ohm e il siemens. 

Per i vari bipoli: 

induttore: 

resistore: 

1 

Z = jωL; 

Y = 

[4.62] 

jωL 

1 

Z = R; 

Y = 

[4.63] 

R 

1 

condensatore: Z = ; Y = jωC 

jωC 

[4.64] 

Occorre tenere presente che, anche se questi valori sono numeri complessi, essi non vanno 

considerati come fasori, in quanto i fasori rappresentano solo grandezze P.A.S., variabili nel tempo. Si 

preferisce chiamarli operatori. 

Con la notazione fasoriale per le grandezze P.A.S. e complessa per i parametri circuitali, si può definire una 

completa analogia tra il regime stazionario e il regime P.A.S.. In questa analogia: 

- alle tensioni e correnti in c.c. corrispondono i fasori delle tensioni e correnti P.A.S.; 

- alle resistenze e alle conduttanze corrispondono le impedenze e le ammettenze. 

Valgono allora, in questo formalismo matematico, le stesse regole e le stesse proprietà viste per le reti in 

regime stazionario: 

- le equazioni di Kirchhoff ai nodi e alle maglie 

- le regole per la serie e il parallelo di bipoli 

- i metodi delle correnti di lato, delle tensioni di nodo, delle correnti di maglia 

- il principio di sovrapposizione degli effetti 

inoltre valgono: 

- i teoremi di Thevenin e di Norton 

- le trasformazioni stella-triangolo e triangolo-stella 

- i metodi matriciali per la soluzione delle reti 

per questo ultimo punto si fa presente che la matrice da utilizzarsi è detta, coerentemente con l'analogia, 

matrice delle ammettenze, e si costruisce con le stesse regole. 



Se si riprende l'esempio del par. 4.4 - , esso può ora essere rapidamente risolto: 

⎧I 

R1 

− I R2 

+ I L = 0 

⎪ 

⎨E 

− R1I 

R1 

− R2I 

R2 

= 0 

⎪ 

⎩ 

R1I 

R1 

+ jωLI 

L = 0 

da cui: 

( R1 

+ ( R2 

|| jωL) 

) I1 

[4.65] 

E = ⋅ 

[4.66] 

I 

1 

1 

2 

( R + jωL) 

2 

1 

( R2 

+ jωL) 

( R + jωL) 

+ 

2 

2 

1 

( R2 

+ jωL) 

⋅ E 

+ jωL( 

R + R ) 

E 

⋅ E 

= = 

= 

[4.67] 

R + jωLR 

R 

jωLR 

R R 

e quindi si ricavano facilmente le altre correnti (per esempio mediante partitori di corrente e di tensione). 

Occorre fare alcune osservazioni sulle impedenze e le ammettenze. In generale: 

Z = R + jX 

Y = G + jB 

2 

1 

2 

[4.68] 

La parte reale dell'impedenza si chiama sempre resistenza, mentre la parte immaginaria prende il nome di 

reattanza. 

La parte reale dell'ammettenza si chiama sempre conduttanza, mentre la parte immaginaria prende il nome 

di suscettanza. 

Per i bipoli visti finora, si ha soltanto o la parte reale o la parte immaginaria. Ci possono però essere bipoli 

che contengono, in serie o parallelo, più bipoli elementari, in modo che appaiono entrambi i termini. Si noti 

che se: 

1 

G + jB = 

R + jX 

allora in generale: 

[4.69] 

1 1 

G ≠ ; B ≠ 

[4.70] 

R X 

infatti: 

⎛ 1 ⎞ ⎛ R − jX ⎞ R 1 1 

G = Re ⎜ Re 2 2 

2 2 

2 2 

R jX 

⎟ = ⎜ ⎟ = + = ⋅ 

[4.71] 

⎝ + ⎠ ⎝ R + X ⎠ R + X R 1+ 

X R 

⎛ 1 ⎞ ⎛ R − jX ⎞ − X 1 1 

B = Im ⎜ Im 

= − ⋅ 

2 2 2 2 

2 2 

R jX ⎟ = ⎜ ⎟ = 

[4.72] 

⎝ + ⎠ ⎝ R + X ⎠ R + X X 1+ 

R X 

Si noti inoltre che: 

per un induttore: 

1 

per un condensatore: X = − ; B = ωC 

ωC 

1 

X = ωL; 

B = − 

[4.73] 

ωL 

[4.74] 

Un induttore presenta quindi reattanza positiva; in generale, quando la reattanza di una impedenza è 

positiva, si dice che l'impedenza è induttiva; se la parte resistiva è presente, si dice che l'impedenza è 

ohmico-induttiva. Spesso l'induttore viene anche detto reattore. 

Un condensatore presenta invece reattanza negativa; in generale, quando la reattanza di una impedenza è 

negativa, si dice che l'impedenza è capacitiva; se la parte resistiva è presente, si dice che l'impedenza è 

ohmico-capacitiva. 

Si nota ancora che al crescere della frequenza, le reattanze aumentano e diminuiscono le suscettanze; 

viceversa al decrescere della frequenza. 



Questo significa che un induttore si presenta con impedenza elevata alle alte frequenze e con 

impedenza ridotta alle basse frequenze; al limite, a frequenza nulla, l'induttore non ha impedenza (corto 

circuito). 

Dualmente, un condensatore si presenta con impedenza ridotta alle alte frequenze e con impedenza 

elevata alle basse frequenze; al limite, a frequenza nulla, il condensatore ha impedenza infinita (non passa 

corrente, circuito aperto) 

4.7 - Potenza Attiva, Reattiva, Apparente 

In c.c. la potenza è definita come: 

P = V ⋅ I 

[4.75] 

che è al tempo stesso una potenza media e una potenza istantanea, in quanto il regime è stazionario. 

In regime qualunque la potenza istantanea vale: 

() t = v() 

t i() 

t 

p ⋅ 

In entrambi in casi, la corrente e la tensione indicate sono quelle che si misurano ai morsetti del bipolo. Se si 

utilizza la convenzione degli utilizzatori, la potenza così definita è potenza entrante, cioè assorbita dal bipolo; 

se si utilizza la convenzione dei generatori, è potenza uscente, cioè generata dal bipolo. 

Si consideri allora il regime P.A.S.. In particolare si consideri un bipolo passivo puramente resistivo. In tale 

bipolo tensione e corrente sono perfettamente in fase tra loro. 

p 

= 

2 

( t) 

= VM 

cos( 

ωt 

+ δ) 

⋅ IM 

cos( 

ωt 

+ δ) 

= VM 

⋅ IM 

⋅ cos ( ωt 

+ δ) 

= 

1+ 

cos( 

2( 

ωt 

+ δ) 

) VM 

⋅ IM 

VM 

⋅ IM 

V ⋅ I 

= + cos( 

2( 

ωt 

+ δ) 

) 

M 

M 

2 

2 

2 

[4.76] 

Quindi la potenza istantanea può essere vista come la somma di due componenti: una costante, e una 

P.A.S. con frequenza doppia rispetto alla frequenza della tensione e della corrente. Tale termine ha valor 

medio nullo (anche solo su un semiperiodo), quindi si può definire una potenza media: 

M M 

2 

I V ⋅ 

P = [4.77] 

Per rendere questa formula congruente con la [4.75], si è introdotto il concetto, già visto nei paragrafi 

precedenti, di valore efficace: 

VM 

I M 

V = ; I = 

[4.78] 

2 2 

utilizzando il valore efficace: 

P = V ⋅ I 

[4.79] 

Essendo il bipolo resistivo: 

v = R ⋅i 

⇒ V = R ⋅ I 

[4.80] 


2 

2 V 

P = R ⋅ I = 

[4.81] 

R 

Il termine medio: 

P = V I 

[4.82] 

viene denominato in elettrotecnica con il nome di potenza attiva. Il valore è costante, in quanto indica un 

valor medio e non un valore istantaneo. 

Si consideri invece ora un bipolo puramente induttivo: 

V 

I = 

jωL 

⇒ 

V V 

I = − j = − j e 

ωL 

ωL 

jδ 

V 

= e 

ωL 

j( 

δ− 

π 2 

) [4.83] 



vale a dire: 

() t = 2V 

⋅ cos( 

ωt 

+ δ) 

() t = 2 I ⋅ cos( 

ωt 

+ δ − π 2) 

= 2 I ⋅sin( 

ωt 

+ δ) 

v 

i 


() t = VI ⋅ cos( 

ωt 

+ δ) 

⋅sin( 

ωt 

+ δ) 

= VI ⋅sin( 

( ωt 

+ δ) 

) 

[4.84] 

p 2 2 

[4.85] 

Analogamente per un bipolo puramente capacitivo: 

jδ 

j( 

δ+ 

π 2) 

I = jωCV 

⇒ I = + jωCV 

= + jωCV 

e = CV e 

[4.86] 

() t = 2V 

⋅ cos( 

ωt 

+ δ) 

() t = 2 I ⋅ cos( 

ωt 

+ δ + π 2) 

= − 2 I ⋅sin( 

ωt 

+ δ) 

v 

i 


( t) 

= − V I ⋅ cos( 

ωt 

+ δ) 

⋅sin( 

ωt 

+ δ) 

= −V 

I ⋅sin( 

( ωt 

+ δ) 

) 

[4.87] 

p 2 2 

[4.88] 

Si presenta, in entrambi i casi, una potenza di tipo P.A.S. e quindi di valor medio nullo, con frequenza doppia 

rispetto a quella della corrente e della tensione. Si noti che le due potenze (quella per l'induttore e quella per 

il condensatore), a parità di tensione e del valore efficace della corrente, sono uguali e contrarie. Nei due 

componenti suddetti, infatti, la corrente si presenta in quadratura rispetto alla tensione: per l'induttore si 

presenta in ritardo di 90°, per il condensatore in anticipo di 90°. Quindi se i due bipoli sono alimentati in 

parallelo, le due correnti sono di segno opposto, e possono essere uguali e contrarie se il valore assoluto 

delle due reattanze è lo stesso, cioè se: 

1 

ωL 

= 

[4.89] 

ωC 

Questa potenza istantanea "oscillante" ha però un significato fisico diverso rispetto alla componente 

"oscillante" della potenza assorbita dal bipolo resistivo. 

Infatti, per il resistore tale potenza viene assorbita ed effettivamente dissipata per effetto Joule; il termine 

oscillante, sommato a quello medio, fa sì che la potenza dissipata raggiunga un massimo quando la corrente 

raggiunge il massimo positivo o negativo, mentre assume il valore zero quando le correnti passano per lo 

zero. 

Nell'induttore o nel condensatore (ideali) invece non esiste alcuna dissipazione di potenza: negli istanti in cui 

la potenza indicata dalle [4.85] e [4.88] è positiva, cioè assorbita, significa che il dispositivo sta accumulando 

energia sotto forma magnetica (induttore) o elettrostatica (condensatore); negli istanti in cui tale potenza è 

negativa, significa che il dispositivo la sta restituendo. Si tratta quindi solo di un continuo scambio di energia, 

bidirezionale. Il valor medio è nullo, perché dopo ogni semiperiodo l'energia accumulata nel bipolo è tornata 

al valore di partenza. Nondimeno, questa analisi del fenomeno mostra come debba esistere, da parte dei 

generatori o di altri componenti del circuito, la disponibilità a questo scambio, con la possibilità di 

raggiungere valori di picco della potenza istantanea anche elevati. 

In Elettrotecnica allora il termine: 

Q = ± V I 

[4.90] 

pari al modulo delle espressioni [4.85] o [4.88], cioè relativo ai soli bipoli non dissipativi, con associato il 

segno, prende il nome di potenza reattiva. Non si tratta di potenza continuativa, come la potenza attiva: si 

tratta di un concetto ben diverso, proprio perché è solo un indice di un fenomeno di scambio di energia, con 

valor medio della potenza nullo; per fornire potenza reattiva ad un bipolo non occorre quindi avere una 

sorgente permanente di potenza, ma solo un bipolo in grado di scambiare con altri bipoli, in modo oscillatorio 

una certa quantità di energia. La potenza reattiva è definita solo per il regime P.A.S.. 

La potenza reattiva viene definita (la definizione è puramente convenzionale) come positiva assorbita se il 

bipolo utilizzatore è di tipo induttivo [4.85] e negativa assorbita se il bipolo utilizzatore è di tipo capacitivo; si 

dice quindi anche che l'induttore assorbe potenza reattiva (o semplicemente: assorbe reattivo) e il 

condensatore eroga potenza reattiva (eroga reattivo). 

Si consideri infine il caso in cui si presenti la serie o il parallelo di due o più bipoli passivi. Per esempio un 

resistore in serie con un induttore. Utilizzando la notazione fasoriale: 



jϕ 

Z = R + jωL 

= Z ⋅ e [4.91] 

Si ricorda che: 

2 

2 

2 

Z = R + ω L e ϕ = arctan ( ωL 

R) 

[4.92] 

j 

Considerando che la corrente nella serie valga: I = I ⋅e α si ha: 

j( 

α+ 

ϕ) 

j( 

α+ 

ϕ) 

jδ 

V = Z ⋅ I = ZI 

⋅e 

= V ⋅e 

= V ⋅e 

[4.93] 

in valori istantanei: 

() t = 2V 

cos( 

ωt 

+ δ) 

= 2V 

cos( 

ωt 

+ α + ϕ) 

= 2V 

( cosϕ 

cos( 

ωt 

+ α) 

− sin ϕsin( 

ωt 

+ α) 

) 

() t = 2I 

cos( 

ωt 

+ α) 

v 

i 

e quindi la potenza istantanea vale: 

p 

= 

= 

() t = 2V 

( cos ϕcos( 

ωt 

+ α) 

− sin ϕsin( 

ωt 

+ α) 

) ⋅ 2I 

cos( 

ωt 

+ α) 

2VI 

( cosϕ 

cos ( ωt 

+ α) 

sin ϕcos( 

ωt 

+ α) 

sin( 

ωt 

+ α) 

= 

VI( 

cosϕ( 

1+ 

cos( 

2( 

ωt 

+ α) 

) ) − sin ϕsin( 

2( 

ωt 

+ α) 

) ) 

= 

[4.94] 

2 ) [4.95] 

Si possono notare due termini: il primo, moltiplicato per il coseno dell'angolo dell'impedenza, contiene un 

valor medio non nullo e una componente oscillante con frequenza doppia; il secondo, moltiplicato per il seno 

dell'angolo dell'impedenza, contiene solo una componente oscillante con frequenza doppia. Si è in questo 

modo evidenziata la presenza di potenza attiva e di potenza reattiva: 

P = VI cos ϕ 

[4.96] 

Q = VI sin ϕ 

I due termini corrispondono rispettivamente alla potenza attiva assorbita dal resistore e alla potenza reattiva 

assorbita dall'induttore. Volendo si può esaminare cosa succede sui singoli bipoli. Per fare questo, occorre 

considerare la serie dei due elementi come un partitore di corrente: 

V V V = + 

[4.97] 

R 

I 

questo va trattato come in c.c., ma utilizzando le impedenze invece delle sole resistenze e, ovviamente, la 

notazione fasoriale (si ricorda che: Z = R + jX = Z cos θ + jZ sin θ ): 

V 

V 

R 

I 

R R j( 

δ−ϕ) 

Z cos ϕ j( 

δ−ϕ) 

jα 

= V = V ⋅ e = V ⋅ e = V cos ϕ⋅ 

e 

Z Z 

Z 

jωL 

ωL 

j( 

δ+ 

π 2−ϕ) 

Z sin ϕ j( 

δ+ 

π 2−ϕ) 

j( 

α+ 

π 2) 

= V = V ⋅ e = V ⋅ e = V sin ϕ⋅ 

e 

Z Z 

Z 


= VI 

() t = 2V 

cos( 

ωt 

+ α) 

⋅ 

2 

2I 

cos( 

ωt 

+ α) 

= 2V 

cosϕ 

⋅ I cos ( ωt 

+ α) 

cosϕ( 

1+ 

cos( 

2( 

ωt 

+ α) 

) ) 

pR R 

= 

() t = 2V 

cos( 

ωt 

+ α + π 2) 

⋅ 2I 

cos( 

ωt 

+ α) 

= −2V 

sin ϕsin( 

ωt 

+ α) 

⋅ I cos( 

ωt 

+ α) 

−VI 

sin ϕsin( 

2( 

ωt 

+ α) 

) 

pI I 

= 

= 

[4.98] 

[4.99] 

[4.100] 

Il segno "-" in quest'ultima espressione e nella [4.95] per il termine che attiene al reattivo non deve far 

pensare che tale potenza sia negativa. Essendo oscillante, il termine cambia di segno 2 volte per ogni 

periodo. Per valutare se tale potenza reattiva sia positiva o negativa si possono scegliere due strade. 

La prima, che è la più semplice, è quella di considerare che, se si tratta di un induttore, la potenza reattiva va 

considerata comunque positiva assorbita (negativa assorbita se si tratta di un condensatore) 

La seconda strada, più complessa, richiede di confrontare tale termine con la tensione e la corrente sul 

singolo elemento: poiché tale termine è pari al prodotto delle due grandezze. La corrente è in quadratura con 

la tensione, in anticipo se si tratta di un induttore e in ritardo se si tratta di un condensatore. Allora: 



- quando la tensione è massima positiva occorre che la potenza istantanea sia nulla e, se si tratta di un 

induttore, stia per diventare negativa, se si tratta di un condensatore, stia per diventare positiva; oppure: 

- quando la corrente è massima positiva occorre che la potenza istantanea sia nulla e, se si tratta di un 

induttore, stia per diventare positiva, se si tratta di un condensatore, stia per diventare negativa. 

In questo caso la tensione sull'induttore: 

() t = 2V cosϕ 

cos( 

ωt 

+ α + π 2 

v I ) [4.101] 

è massima per ωt = − π 2 − α ; in tale istante il termine di potenza istantanea vale: 

() t = −VI 

sin ϕsin( 

2( 

ωt 

+ α + π 2) 

) = −VI 

sin ϕsin( 

2( 

− α − π 2 + α + π 2) 

) = −VI 

sin ϕsin 

0 

p I [4.102] 

e quindi evolverà verso valori negativi: quindi si tratta proprio di potenza reattiva induttiva. 

Si noti che, indicando con l'asterisco i valori complessi coniugati: 

per una resistenza: 

I = 

V 

R 

= 

V 

R 

⋅ e 

jδ 

= I ⋅ e 

per una induttanza: 

V V j 

I = = − j ⋅e 

jωL 

ωL 

per una capacità: 

jδ 

I = jωCV 

= jωCV 

⋅ e 

δ 

; 

V ⋅ I 

= − jI ⋅ e 

jδ 

* 

jδ 

= + jI ⋅ e 

= V ⋅ e 

; 

jδ 

; 

jδ 

V ⋅ I 

V ⋅ I 

⋅ I ⋅ e 

* 

* 

− jδ 

= V ⋅e 

= V ⋅ e 

= VI = P 

jδ 

jδ 

⋅ 

⋅ j ⋅ I ⋅ e 

− jδ 

= jVI = jQ 

− jδ 

( − j ⋅ I ⋅ e ) = − jVI = jQ 

[4.103] 

[4.104] 

[4.105] 

in quest'ultimo caso il valore di Q è negativo (e quindi il segno "-" scompare perché inglobato all'interno di Q) 

perché un condensatore assorbe potenza reattiva negativa. 

Infine, nel caso più generale di più elementi in serie (si potrebbe fare analogamente anche con il parallelo): 

V V j( 

δ−ϕ) 

j( 

δ−ϕ) 

I = = e = I ⋅ e 

Z Z 

* j( 

δ−δ+ 

ϕ) 

jϕ 

V ⋅ I = VI ⋅ e = VI ⋅e 

= VI ⋅ ( cosϕ 

+ j sin ϕ) 

= P + jQ 

[4.106] 

Quanto visto in questi semplici esempi ha validità generale: il prodotto del fasore della tensione per il 

complesso coniugato del fasore della corrente fornisce un numero complesso in cui il coefficiente 

della parte reale è la potenza attiva e il coefficiente della parte immaginaria è la potenza reattiva. 

Si definisce tale numero complesso: 

* 

A = V ⋅ I = P + jQ 

[4.107] 

con il nome potenza apparente. Più comunemente con il termine di potenza apparente si intende 

semplicemente il modulo di tale valore, pari al prodotto dei valori efficaci: 

A = V I 

[4.108] 

Si noti anche che: 

* 

* 

2 

2 

( cos ϕ + j ϕ) 

A = P + jQ = V ⋅ I = Z ⋅ I ⋅ I = Z ⋅ I = Z ⋅ I ⋅ sin 

[4.109] 

* 

2 

* V V 

A = P + jQ = V ⋅ I = V ⋅ = ⋅ ( cos ϕ + j sin ϕ) 

[4.110] 

* 

Z Z 

* 

* 

* 

* 

2 

2 

( cosβ 

− j β) 

A = P + jQ = V ⋅ I = V ⋅Y 

⋅V 

= Y ⋅V 

= Y ⋅V 

⋅ sin 

[4.111] 

2 

* I * I 

A = P + jQ = V ⋅ I = I = ⋅ ( cosβ 

− j sin β) 

[4.112] 

Y Y 

e ricordando che: 



Y 

1 

= ⇒ β= −ϕ 

[4.113] 

Z 

si vede come le quattro espressioni siano equivalenti. 

Il valore cosϕ prende il nome di fattore di potenza. 

Per un bipolo puramente resistivo l'angolo dell'impedenza è zero, quindi il valore del fattore di potenza è 

unitario: questo significa che tutta la potenza apparente è potenza attiva. 

Per un bipolo puramente induttivo o capacitivo, il valore del fattore di potenza è zero: questo significa che 

non c'è potenza attiva, e tutta la potenza apparente è reattiva. Il valore del fattore di potenza non fornisce 

alcuna informazione sul segno della potenza reattiva. 

Per il regime stazionario si è dimostrato che in una rete la somma delle potenza dissipate per effetto Joule è 

pari alla somma delle potenze erogate dai generatori di tensione e di corrente. Il risultato si può estendere al 

regime P.A.S.: 

2 

2 

2 

( R ⋅ I + jωL 

⋅ I − jωC 

⋅V 

) 

L 

∑ 

G 

G′ 

* 

* 

= ∑ Eg 

⋅ I g + ∑ Vg′ 

⋅ Ag 

′ 

[4.114] 

l = 1 g = 1 

g′ 

= 1 

in una rete elettrica la somma delle potenze dissipate per effetto Joule è pari alla somma delle 

potenze attive erogate dai generatori e la somma della potenza reattive assorbite dagli induttori 

meno le potenze reattive erogate dai condensatori è pari alla somma delle potenze reattive erogate 

dai generatori. 

4.8 - Rifasamento 

La potenza reattiva non è una potenza nel senso tradizionale del termine, ed in particolare non è dissipativa. 

Si potrebbe quindi pensare che essa non sia rilevante. In realtà la presenza di potenza reattiva non è, in 

generale, un fatto vantaggioso. 

Si consideri il seguente esempio: sia dato un carico ohmico-induttivo, cioè un bipolo serie R − L (per 

esempio una stufa elettrica), alimentato da un generatore remoto a cui è collegato con una linea elettrica (un 

conduttore di andata e uno di ritorno). Le linea presenterà ovviamente un certo valore resistivo (e anche 

induttivo), tanto maggiore quanto più essa è lunga: presenterà quindi una dissipazione di potenza per effetto 

Joule. 

Si supponga che i parametri del carico e la tensione ai suoi morsetti siano i seguenti: 

R = 8Ω 

X = ωL 

= 6Ω 

V = 100V 

con questi valori si ottiene: 

V 100 

I = = = 

e 

Z 8 + j6 

quindi la potenza vale: 

A = V ⋅ I = 100 ⋅ 

P = 800 W 

Q = 600 var 

* 

− jϕ 

( 8 − j6) 

A = 10⋅ 

A 

( 8 + j6) 

= 800 + j600 

Si noti che per ottenere la stessa potenza attiva, a parità di tensione, basterebbe una corrente: 

I 

0 

V ⋅ I 

= 8A 

* 

0 

= 100⋅ 

8 = 800 

purché tale corrente sia perfettamente in fase con la tensione. In questo caso non si avrebbe potenza 

reattiva; il carico dovrebbe però presentare parametri diversi. 



Si noti che il valore di tale corrente altro non è se non il valore, nella corrente originale, della componente in 

fase con la tensione stessa. La componente in quadratura, (-j6 A), si rivela ovviamente superflua ai fini della 

potenza attiva. 

Considerando le dissipazioni sulla linea di trasmissione del generatore remoto al carico, utilizzando la 

resistenza totale della linea (conduttore di andata + conduttore di ritorno), nei due casi si avrebbe: 

P 

d 

d 0 

L 

= R 

L 

2 

P = R ⋅ I = R ⋅100 

⋅ I 

2 

0 

L 

= R 

L 

⋅64 

Come si vede, nel caso di corrente in fase con la tensione le perdite in linea sono decisamente inferiori. 

Inoltre, se si considera la c.d.t. dal generatore al carico, tanto maggiore sarà la corrente tanto maggiore sarà 

tale c.d.t.. Quindi, se si desidera avere la stessa tensione di 100 V sul carico, nel primo caso il generatore 

dovrà erogare una tensione maggiore rispetto al secondo caso, perché maggiore sarà la c.d.t.. 

Tutto questo evidenzia come la potenza reattiva, pur essendo di per sé non dissipativa, crea una serie di 

effetti secondari generalmente fastidiosi. 

Si deve quindi cercare di avere il più possibile le correnti dei carichi in fase con le tensioni. Le società di 

distribuzione, per ridurre gli effetti di cui sopra (perdite e c.d.t. sulle linee), impongono ai loro utenti (industrie 

e attività artigianali) che i carichi abbiano un cosϕ non inferiore a 0.9. Fissare il valore minimo del fattore di 

potenza significa fissare il valore massimo del rapporto tra potenza reattiva e potenza attiva: 

P = + Acosϕ 

Q = ± Asin 

ϕ 

Q P = ± tan ϕ 

[4.115] 

Nel caso che il valore del fattore di potenza sia inferiore a 0.9, l'utente è tenuto a pagare una penale per ogni 

kvarh (analogo del kWh) di reattivo consumato in più. 

Per molti tipi di carichi elettrici (in particolare per i motori elettrici) il valore del fattore di potenza non può 

essere deciso liberamente dall'utente o dal costruttore del dispositivo: spesso si presentano fenomeni di tipo 

induttivo non eliminabili, che comportano un elevato consumo di reattivo. Nell'esempio di cui sopra la 

reattanza induttiva non era voluta: era comunque associata alla resistenza, non eliminabile. Più rari, ma 

comunque possibili, specie alle frequenze elevate, i casi in cui siano preponderanti gli effetti capacitivi, con 

un cosϕ comunque inferiore al limite previsto. 

In tutti questi casi, in cui il reattivo supera i valori previsti, occorre allora modificare il carico, inserendovi altri 

elementi circuitali che compensino l'eccesso di assorbimento o di erogazione di reattivo, e cioè portino la 

corrente ad essere in fase con la tensione, o almeno ad avere una componente in quadratura più ridotta. 

Questa operazione prende il nome di rifasamento. Nel caso in cui il carico sia prevalentemente induttivo, 

occorrerà porre, in serie o in parallelo, dei condensatori; nel caso il carico sia prevalentemente capacitivo, 

occorrerà porre, in serie o in parallelo, degli induttori. Considereremo solo il primo caso, perché è il più 

comune; per l'altro valgono comunque gli stessi discorsi e delle formule duali. 

Solitamente i condensatori vengono posti in parallelo sui morsetti del carico. E' possibile anche porli in serie 

(come si fa a volte negli Stati Uniti, sulle linee di trasmissione in alta e altissima tensione), ma questo può 

creare altri problemi che saranno più chiari in seguito (vedi risonanza); inoltre in parallelo non modificano la 

tensione sul carico (se non per il fatto che viene limitata la c.d.t. sulla linea di trasporto), mentre in serie 

avrebbero un pesante effetto in tal senso. 

La potenza reattiva assorbita da un bipolo capacitivo in parallelo vale allora: 

Q C 

2 

= −ωCV 

[4.116] 

(in realtà è una potenza reattiva erogata) e prende il nome di potenza di rifasamento. 

Se il carico presenta un assorbimento di potenza: 

A = P + jQ 

[4.117] 

L 

L 

L 

si può allora scegliere di arrivare ad un rifasamento completo: 

Q 

Q 

L 

L 

+ Q 

C 

= 0 

− ωCV 

2 = 

0 


[4.118]


QL 

C = [4.119] 

2 

ωV 

oppure di arrivare ad un dato cosϕ , che possiamo indicare come cos ϕM 

(0.9 o altro valore): 

QL 

+ Q 

P 

L 

LMax 

C 

= tan ϕ ≤ tan ϕ 

da cui: 

( rif . ) 

QL 

= QL 

+ QC 

≤ PL 

tan ϕ 

( rif . ) 

Q = P tan ϕ 


Q 

Q 

L 

C 

+ Q 

C 

L 

( rif . ) 

≤ Q 

( rif . ) 

≤ Q − Q 

LMax 

LMax 

L 

M 

2 ( rif . ) 

− ωCV 

≤ Q − Q 

LMax 

1 ( rif . ) ( ) 

2 L LMax 

Q Q C ≥ − 

ωV 

L 

M 

M 

⇔ 

2 

L 

P 

+ 

P 

L 

( Q + Q ) 

L 

C 

2 

= cosϕ 

≥ cosϕ 

M 

[4.120] 

[4.121] 

[4.122] 

[4.123] 

I condensatori da usare per il rifasamento hanno, ovviamente, un costo. Si nota che, a parità di potenza di 

rifasamento, la capacità necessaria diminuisce con il quadrato della tensione di funzionamento. Tuttavia, se 

a tensione maggiore basta una minore capacità (e quindi sembrerebbe di poter risparmiare), va considerato 

che i condensatori dovranno essere in grado di sopportare una tensione più grande (e quindi avranno un 

costo unitario maggiore). In pratica succede che il costo è circa proporzionale alla potenza di rifasamento, 

quasi indipendentemente dalla tensione. 

L'impiantista deve quindi valutare quale potenza di rifasamento installare. 

Se è la società di distribuzione a provvedere al rifasamento, dovrà confrontare il risparmio delle perdite in 

linea e il costo dei condensatori, e trovare una potenza di rifasamento economicamente ottimale (che in 

generale non sarà la condizione di rifasamento totale). 

Se invece si tratta di un utente, dovrà confrontare il costo delle penali per eccesso di consumo di reattivo e il 

costo dei condensatori; per esempio, se i picchi di consumo di reattivo si verificano solo raramente e per 

brevi periodi, potrebbe essere conveniente non rifasare; in altri casi conviene rifasare a cosϕ anche minori 

del prescritto 0.9. 

4.9 - Risonanza 

Si consideri un bipolo composto da una capacità e una induttanza in serie. L'impedenza del bipolo vale: 

1 ⎛ 1 ⎞ 

Z = jωL 

+ = j⎜ωL 

− ⎟ 

jωC 

⎝ ωC 

⎠ 

[4.124] 

L'impedenza è una funzione della frequenza. In particolare è data dalla somma di un termine positivo e uno 

negativo; pertanto, per opportuni valori della frequenza, i due termini possono essere uguali e contrari, di 

modo che l'impedenza assuma valore nullo. Per: 

1 

ω = 

[4.125] 

LC 

si trova che: 

⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ 

LC 

⎟ ⎜ 

L L 

Z = j L − = j − ⎟ = 0 

[4.126] 

⎜ 

⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ LC C ⎠ ⎝ C C ⎠ 

Se non esistono nel bipolo effetti di tipo resistivo, il bipolo presenta impedenza nulla, ovvero ammettenza 

infinita. Questo significa che, in presenza di un valore anche minimo di tensione applicata ai morsetti, il 



bipolo è percorso da corrente infinita. In realtà un effetto resistivo esiste sempre, anche minimo, e questa 

limita la corrente, che assume valori finiti ma molto grandi. 

Se il valore della frequenza non è esattamente quello indicato dalla [4.125], ma è molto vicino ad esso, il 

valore dell'impedenza (trascurando gli effetti resistivi) non è nullo, ma è comunque molto grande. In un 

diagramma ω − Z si presenta un asintoto in corrispondenza del valore di frequenza indicato dalla [4.125]. 

Si supponga ora di considerare un circuito composto da una sola maglia, con un generatore di tensione, un 

condensatore e una impedenza. Ad un dato istante, che possiamo indicare come istante 0 , il generatore 

viene spento. In quell'istante il condensatore presenterà un certo valore di tensione e l'induttanza un certo 

valore di corrente. Si potrà allora scrivere l'equazione differenziale che descrive il transitorio, con le 

condizioni iniziali: 

⎧ 1 t 


⎪ ∫ i() 

τ dτ 

+ V + = 

0 

C0 

L 0 

C dt 

⎨ 

[4.127]. 

⎪i( 

0) 

= I L0 

⎩ 

Per procedere occorre derivare. Derivando si perde l'informazione sulla tensione iniziale del condensatore, 

che va recuperata per imporre una seconda condizione iniziale. Ricordando che comunque deve valere che 

la somma delle tensioni sul condensatore e sull'induttore deve dare valore zero, anche nell'istante iniziale, e 

che nell'istante iniziale la tensione sul condensatore è data proprio da tale valore iniziale mentre la tensione 

sull'induttore è data dal prodotto dell'induttanza per la derivata della corrente, si ottiene una seconda 

equazione per le condizioni iniziali. Pertanto, derivando: 

2 ⎧ i d i 

⎪ + L = 0 2 ⎪C 

dt 

⎨ 

⎪ 

i( 

0) 

= IC 

0 

⎪⎩ 

Li′ 

( 0) 

= −VC 

0 

L'equazione caratteristica sarà pertanto: 

α 

2 

1 

+ = 0 

LC 

da cui: 

[4.128] 

[4.129] 

1 

α = m j 

[4.130] 

LC 

quindi le soluzioni dell'equazione differenziale sono di tipo oscillatorio, non smorzate per la mancanza di 

termini resistivi (che nella realtà esistono), e con frequenza angolare: 

1 

ω 0 = Im α = 

[4.131] 

LC 

Questo valore si chiama frequenza propria del sistema, o frequenza di oscillazione libera. Come si vede 

essa coincide con il valore della [4.125]. Questa frequenza angolare prende allora anche il nome di 

frequenza di risonanza: 

fornendo ad un circuito LC una tensione di frequenza pari alla frequenza libera di oscillazione, il 

sistema entra in risonanza: presenta cioè valore di impedenza nulla, se non per gli effetti resistivi. 

Il fenomeno non è tipico solo dei circuiti elettrici, ma di molte altre situazioni fisiche: ovunque esista un 

sistema che abbia una sua frequenza propria di oscillazione, si può presentare il fenomeno della risonanza. 

Per esempio è un fenomeno di risonanza la vibrazione rumorosa dei vetri delle finestre quando in strada c'è 

un motore diesel al minimo: la lastra di vetro viene eccitata dal diesel alla sua frequenza di risonanza; 

oppure il diapason che suona, senza essere toccato, se vicino viene suonata una nota alla frequenza propria 

del diapason. 

In condizioni prossime alla risonanza la tensione sul bipolo L − C è molto piccola, ed è nulla in caso di 

perfetta risonanza senza resistenze. Tuttavia è molto importante notare che, sebbene la tensione 

complessiva sia molto piccola o nulla, la tensione sui singoli componenti è invece molto grande, al limite 

infinita. Infatti: 



- le tensioni sui singoli componenti sono proporzionali alla corrente; 

- le tensioni sui due componenti sono in opposizione: presentano cioè fase opposta, e valori in modulo 

molto vicini; in condizioni di risonanza sono perfettamente uguali e contrarie. 

Pertanto, poiché in risonanza la corrente diventa molto grande o infinita, le tensioni sui singoli componenti 

sono altrettanto grandi o infinite. Questo significa che la condizione di risonanza è estremamente 

pericolosa per i componenti circuitali: essa presenta sovracorrenti e sovratensioni interne, cioè valori di 

corrente e valori interni di tensione molto più grandi di quelli che i componenti possono tollerare. 

Anche in altre situazioni fisiche la risonanza può essere pericolosa: per esempio, i cristalli che vanno in 

frantumi di fronte alle voce dei cantanti lirici; per lo stesso motivo i reparti di soldati in marcia "rompono il 

passo", cioè non vanno più a passo di marcia, ma a passo libero, quando transitano sui ponti, per evitare 

che il ponte entri in risonanza e crolli. 

Una situazione duale si verifica quando invece i due componenti, L e C, sono in parallelo anziché in serie. In 

tal caso si sommano le loro ammettenze; alla frequenza di risonanza si ha così ammettenza totale nulla, 

impedenza infinita. Questo significa che, qualunque sia la tensione applicata, non si ha globalmente 

passaggio di corrente. Questo però non significa che sui singoli componenti non ci sia corrente: si 

presentano correnti uguali e contrarie. La condizione è anche detta condizione di antirisonanza. 

In sintesi: 

- a tensione imposta, il circuito serie in risonanza si trova in condizioni molto pericolose, perché permette 

il passaggio di una corrente molto grande o al limite infinita, con tensioni molto grandi o al limite infinite 

sui singoli componenti; 

- a corrente imposta, il circuito parallelo in (anti)risonanza si trova in condizioni molto pericolose, perché 

permette l'insorgere di una tensione molto grande o al limite infinita, con correnti molto grandi o al limite 

infinite sui singoli componenti. 

Il circuito serie a corrente imposta o il parallelo a tensione imposta non si trovano invece in condizioni 

pericolose. 

Per le ragioni suddette il rifasamento serie può risultare pericoloso. Anche se le frequenza di risonanza è 

molto lontana dalla frequenza di rete (50÷60 Hz), occorre però considerare che sono sempre presenti, oltre 

alla forma d'onda principali, anche altre componenti sinusoidali, dette componenti armoniche, a frequenza 

multiple della fondamentale, perché le forme d'onda non sono mai perfettamente regolari e quindi possono 

essere viste come la somma di più forme d'onda a frequenze diverse, di modulo decrescente al crescere 

della frequenza. Tra queste componenti armoniche ce ne può essere una di frequenza prossima alla 

risonanza, che può quindi provocare disastri. 

4.10 - I Transitori Elettrici 

Dopo aver acquisito gli strumenti per l'analisi dei circuiti elettrici in regime P.A.S., si può completare il 

discorso sui transitori elettrici, già introdotto nel par. 4.4 - . 

Si ricorda pertanto che il regime transitorio è quel regime che corrisponde alla soluzione del sistema di 

equazioni differenziali omogeneo, privo cioè delle forzanti; prende il nome di transitorio per la semplice 

ragione che nei circuiti elettrici sono sempre presenti elementi resistivi che provocano il decadimento 

esponenziale delle grandezze tensione e corrente, che quindi tendono a zero nell'arco di un certo intervallo 

di tempo. 

Il problema dei transitori elettrici non è altrettanto facilmente schematizzabile come il regime permanente, 

per il quale esistono metodi risolutivi standard relativamente semplici. E' possibile anche per i transitori 

utilizzare metodi sistematici, ma questi sono molto complessi e, in generale, non vantaggiosi rispetto ad un 

approccio più semplice ma che richiede un po' più di intuizione: è possibile indicare alcune semplici regole e 

alcune "tecniche" che costituiscono una base necessaria per la soluzione del problema. 

L'analisi del transitorio può dirsi composta delle seguenti fasi: 

1) identificazione del modello e valutazione dei parametri; 

2) scrittura del sistema di equazioni algebrico-differenziali; 

3) riduzione del sistema in modo da eliminare le variabili solo algebriche, con eventuale riduzione del 

sistema di equazioni differenziale ad un unica equazione differenziale avente per ordine l'ordine del 

sistema; 

4) individuazione delle condizioni iniziali; 



5) soluzione del sistema o dell'unica equazione differenziale con le condizioni iniziali; 

6) ricostruzione del valore delle variabili algebriche. 

La fase 1) è come per il regime P.A.S.: occorre "guardare" il circuito e riportare i valori dei parametri 

e delle tensioni o correnti dei generatori. 

L , R, 

C 

La fase 2) utilizza i principi di Kirchhoff per scrivere le equazioni che conterranno, ovviamente, dei termini 

integrali o differenziali; può utilizzare, volendo, gli stessi metodi del regime permanente (tensioni di nodo, 

correnti di lato, correnti di maglia) anche se, come si vedrà in seguito, sarà spesso opportuno utilizzare 

metodi "misti", cioè non avere come variabili di stato solo le tensioni o solo le correnti, ma un mix di queste: 

ciò richiederà di iniziare a procede in modo intuitivo. 

La fase 3) serve ad ottenere un sistema che sia solo di tipo differenziale. Delle equazioni scritte nella fase 

precedente, alcune saranno solo algebriche, altre invece integrali e/o differenziali. Le equazioni integrali 

vanno derivate, in modo da non avere più termini integrali ma solo differenziali. Le equazioni algebriche 

vanno utilizzate in modo da far scomparire, nelle equazioni differenziali, alcune variabili (solitamente quelle 

di cui non si presenta alcuna derivata nelle equazioni differenziali originali), in modo che la parte differenziale 

del sistema consideri un numero di variabili pari al numero di equazioni disponibili. Il valore delle altre 

variabili, dette algebriche, potrà essere ricostruito dal valore trovato per le variabili differenziali, grazie alle 

stesse equazioni algebriche usate in questa fase. Questa fase richiede ancora una volta una certa dose di 

intuizione. 

Con ulteriori processi di riduzione è possibile trasformare un sistema di m equazioni differenziali in m 

funzioni incognite in un'unica equazione differenziale, in una sola incognita, di ordine m . 

La fase 4) è fondamentale per la soluzione vera e propria. Ogni sistema di equazioni differenziali richiede, 

per poter essere risolto completamente, delle condizioni al contorno; in questo caso, visto che il dominio è il 

− 

tempo, si parla di condizioni iniziali. Queste sono date, solitamente, dallo stato della rete all'istante 0 , vale 

+ 

a dire all'istante immediatamente precedente l'inizio del transitorio. Nell'istante 0 , non appena si è 

instaurata la nuova condizione della rete, che evolve in maniera transitoria verso un nuovo regime, le 

− 

correnti negli induttori e le tensioni sui condensatori dovranno conservare gli stessi valori dell'istante 0 . 

Queste informazioni andranno però a volte rielaborate, utilizzando le equazioni algebriche, perché non 

sempre tali grandezze sono le variabili di stato scelte per il sistema differenziale o per l'unica equazione, 

oppure perché derivando le funzioni integrali queste informazioni non sono più immediatamente utilizzabili. 

Questa fase richiede parecchio intuito. 

La fase 5) può invece dirsi molto "standard" perché i metodi risolutivi, una volta che equazioni differenziali e 

condizioni iniziali sono state poste correttamente, non richiede difficoltà concettuali, ma solo, eventualmente, 

un po' di pazienza e di attenzione nei calcoli. 

La fase 6) ripercorre all'indietro le operazioni di riduzione della fase 3) e calcola, in funzione delle soluzioni 

trovate nella fase 5), i valori delle altre funzioni. Anche questa fase richiede solo attenzione nei calcoli. 

Quanto detto potrà essere meglio chiarito con esempi, nel corso dei quali verranno introdotte le regole e le 

tecniche necessarie. 

Esempio - Circuito RLC serie, spegnimento 

Si consideri un circuito composto di una sola maglia, costituita dalla serie di un generatore di tensione, una 

induttanza, una resistenza. I parametri sono quindi: 

E = E (fase nulla) 

L 

R 

C 

[4.132] 

All'istante t0 

il generatore viene spento (rimane quindi in corto circuito) e di conseguenza inizia un transitorio 

che porterà allo spegnersi delle correnti. Si può scegliere come variabile di stato anche solo la corrente 

dell'unica maglia, i . Si potrà allora scrivere un'unica equazione integrale-differenziale: 

di 1 

L + Ri + 

dt C 

∫ 

t 

0 

() τ 

i 

dτ 

+ V 

C0 

= 0 


[4.133]


Nell'equazione [4.133] la variabile tempo, t , è stata ri-inizializzata in modo da avere il valore zero in 

corrispondenza dell'inizio del transitorio. Inoltre appare la tensione VC 

0 , che è la tensione presente sul 

condensatore all'istante in cui inizia il transitorio; su di essa si ragionerà fra poco. 

Occorre ridurre l'equazione dalla formulazione integrale-differenziale ad una solo differenziale. Questo si 

ottiene facilmente derivando: 

1 

L i′ 

′ + Ri′ 

+ i = 0 

[4.134] 

C 

Come si vede si ottiene un'equazione del 2° ordine. Nel circuito infatti sono presenti due elementi che 

comportano ciascuno 1 ordine del sistema (o dell'equazione): un induttore e un condensatore. Questa è una 

regola generale: 

l'ordine del sistema di equazioni differenziali (o dell'unica equazione ad esso corrispondente) è pari 

al numero di induttori e di condensatori coinvolti nel transitorio; non vanno considerati induttori e 

condensatori in parti del circuito non interessate ai fenomeni transitori; gli induttori serie o i 

condensatori in parallelo vanno considerati come un unico elemento. 

Occorre ora porre le condizioni iniziali. Anche qui vale una regola strettamente legata alla precedente: 

il numero delle condizioni iniziali è pari all'ordine del sistema differenziale e quindi al numero degli 

induttori e dei condensatori da considerarsi (vedi regola precedente); si ha una condizione iniziale 

sulla tensione di ogni condensatore e sulla corrente di ogni induttore; tali condizioni iniziali 

potrebbero richiedere di essere rielaborate o utilizzate in equazioni algebriche per fornirle nella 

forma necessaria al sistema di equazioni. 

Questo vale perché la corrente negli induttori non può cambiare bruscamente, a scalino: questo 

comporterebbe derivata di valore infinito e quindi tensione ai morsetti di valore infinito; analogamente la 

tensione sui condensatori non può variare bruscamente, a scalino, perché questo comporterebbe derivata di 

valore infinito e quindi valore infinito di corrente. 

In questo caso le condizioni iniziali sono: la corrente sull'induttanza e la tensione sul condensatore. Saranno 

fornite dal regime P.A.S. preesistente. Si noti che la condizione sulla tensione era già presente nella [4.133] 

ed è scomparsa derivando; andrà quindi opportunamente recuperata. L'equazione [4.134] richiede una 

condizioni iniziale sulla corrente e una sulla derivata della corrente. La condizione sulla corrente sarà 

anch'essa fornita dal regime preesistente, e può essere indicata come I L0 

; per quanto riguarda la 

condizione sulla derivata si noti che la tensione sull'induttanza vale: 


vL = L 

[4.135] 

dt 

dove appare la derivata della corrente; deve valere inoltre che la somma delle tensioni su tre componenti, 

anche nel primo istante del transitorio, deve dare somma nulla: 

v L + vR 

+ vC 

= 0 

[4.136] 

Ora: 

v 

v 

v 

L 

c 

( 0) 

= Li′ 

( 0) 

( 0) 

= Ri( 

0) 

( 0) 

= VC 

0 

R 

Pertanto: 

= RI 

L0 

[4.137] 

−VC 

0 − RIL 

0 

I L′ 

0 = i′ 

( 0) 

= 

[4.138] 

L 

Si è utilizzata l'equazione di Kirchhoff alle maglie per arrivare a questo risultato. In altri casi poteva essere 

più vantaggioso utilizzare l'equazione di Kirchhoff ai nodi. Questa è una delle "tecniche" che si possono 

comunque usare: si possono sempre utilizzare le equazioni di Kirchhoff ai nodi e alle maglie per 

ottenere, da alcune condizioni iniziali in una certa forma, le condizioni iniziali in altra forma, più 

opportuna per il sistema o per l'equazione differenziale utilizzati. 



Per il calcolo dei valori VC0, 

I L0 

, il regime P.A.S. preesistente forniva: 

I = 

V 

C 

E 

Z 

E 

= 

= 

jωL 

+ R − j ωC 

R + j 

I I 

= − j = e 

ωC 

ωC 

da cui: 

− jϕ− 

jπ 

2 

= V 

() t = 2I 

cos( 

ωt 

− ϕ) 

() t = 2V 

cos( 

ωt 

− ϕ − π 2) 

i 

v 

C 

C 

C 

e 

E 

( ωL 

−1 

ωC) 

− jϕ− 

jπ 

2 

= 

E 

Z 

e 

− jϕ 

= I e 

dove si usa la vecchia origine dei tempi. Nell'istante in cui avviene il guasto allora: 

I 

V 

L0 

C0 

= 

= 

i( 

t0 

) = 2I 

cos( 

ωt0 

− ϕ) 

v ( t ) = 2V 

cos( 

ωt 

− ϕ − π 2) 

C 

0 

C 

0 

− jϕ 

[4.139] 

[4.140] 

[4.141] 

Si può allora scrivere, finalmente, l'equazione differenziale con le sue condizioni iniziali, cioè nella forma del 

problema di Cauchy: 

⎧ 1 

⎪Li′ 

′ + Ri′ 

+ i = 0 

C 

⎪ 

⎨i( 

0) 

= I L0 

⎪ 

⎪ −V 

− RI 

′ 

C0 

L 

( ) ⎪ 

i 0 = 

⎩ L 

0 

[4.142] 

La soluzione del problema di Cauchy per equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti di 

ordine N in generale è data da: 

N 

i() 

t = ∑ Ik 

k = 1 

α t 

k ⋅e 

[4.143] 

dove i coefficienti dell'esponenziale sono in generale complessi e così pure i coefficienti moltiplicativi I k . La 

somma deve però fornire una soluzione reale, priva di parte immaginaria. Si vedrà in seguito, e si è 

comunque già visto nel par. 4.4 - , come affrontare il problema. 

Per trovare i coefficienti dell'esponenziale si passa all'equazione caratteristica: 

2 1 

Lα 

+ Rα 

+ = 0 

C 

2 R 1 

α + α + = 0 

L LC 

che fornisce come soluzione: 

2 

[4.144] 

− R 1 ⎛ R ⎞ 4 

α1, 2 = m ⎜ ⎟ − 

[4.145] 

2L 

2 ⎝ L ⎠ LC 

Si presentano 3 possibilità: determinante positivo, nullo, negativo. 

Nel caso di determinante positivo: 

α 

1, 

2 

− R R 4L 

R ⎛ 

⎞ 

⎜ 

4L 

= m 1− 

= −1 

m 1− 

⎟ 

[4.146] 

2 

L L R C L ⎜ 

2 

2 2 

2 

⎟ 

⎝ R C ⎠ 

le radici sono entrambe reali, e negative; saranno reali anche i coefficienti moltiplicativi dei due termini 

esponenziali. Quindi: 



() t 

′ () t 

i 

i 

= I ⋅e 

1 

α1t 

= α I ⋅e 

1 1 

+ I 

α1t 

2 

⋅e 

+ α 

α 2t 

2 

I 

2 

⋅e 

α 2t 

Confrontando i valori di queste funzioni nell'istante zero con le condizioni iniziali, si ha: 

I + I = I 

1 

α I 

1 1 

2 

+ α 

2 

L0 

I 

2 

−V 

= 

C0 

− RI 

L 

L0 

che è un semplice sistema di 2 equazioni in 2 incognite, di immediata soluzione. 

Nel caso di determinante nullo: 

[4.147] 

[4.148] 

R 

α1 

= α2 

= − = α 

[4.149] 

2L 

le radici sono coincidenti negative; la soluzione ha una forma particolare: 

αt 

αt 

() t = I1 

⋅ e + I2 

⋅ t ⋅ e 

′ () t = αI 

αt 

⋅ e + I 

αt 

⋅ ( αt 

+ 1) 

⋅ e 

i 

i 

1 

2 

N.B.: Nel caso di un sistema di ordine maggiore, se si presentano più soluzioni coincidenti: 

α1 = α2 

= K = αm 

= α [4.151] 

la componente della soluzione dovuta a tali radici vale: 

αt 

2 

m−1 

() t = e ⋅( 

I + I t + I t + I t ) 

1 

2 

3 

m 

[4.150] 

i K [4.152] 

Tornando invece a questo sistema di ordine 2, i coefficienti sono determinati da: 

I = I 

1 

L0 

−V 

αI 

+ I = 

1 

2 

C0 

− RI 

L 

L0 

che è sempre un sistema banale di soluzione immediata. 

Nel caso di determinante negativo: 

2 

[4.153] 

2 

− R j 4 ⎛ R ⎞ R 1 ⎛ R C ⎞ 

α1, 2 = m − ⎜ ⎟ = − m j ⎜1 

⎟ = −σ 

ω0 

2 2 

2 ⎜ 

− 

⎝ ⎠ 

4 ⎟ 

m j 

[4.154] 

L LC L L LC ⎝ L ⎠ 

Come si vede le radici sono complesse coniugate. Questo vale in generale, per un sistema di qualunque 

ordine: le radici complesse non si presentano mai sole, ma sempre a due a due complesse 

coniugate. 

I coefficienti moltiplicativi I 1 , I 2 saranno complessi coniugati. Questo farebbe pensare a 4 incognite da 

determinare (2 per ogni coefficiente complesso) con solo 2 condizioni iniziali. In realtà i due coefficienti 

complessi dovranno essere complessi coniugati, perché solo così la soluzione assumerà istante per 

istante valori reali. Pertanto le incognite da determinare rimangono sempre 2. 

Allora la soluzione sarà: 

( −k 

− jω0 

) t * ( −k 

+ jω0 

) t 

i() 

t = I1 

⋅ e + I1 

⋅ e = 

−kt 

= e ⋅ I + jI ⋅ cos ω t − j sin ω t 

= e 

−kt 

⋅ 

[ ( Re Im ) ( 0 

0 ) + ( IRe 

− jIIm 

) ⋅ ( cos ω0t 

+ j sin ω0t 

] 

[ ( 2I 

cos ω t + 2I 

−kt 

sin ω t) 

+ j0] 

= e ⋅ ( I cos ω t + I sin ω t) 

Re 

0 

Im 

0 

c 

0 

s 

0 

) = 

[4.155] 

si preferisce usare la forma mista tutta reale esponenziale-trigonometrica piuttosto che la forma 

esponenziale complessa. Quindi: 

−kt 

() t = e ⋅ ( Ic 

cosω0t 

+ I s sin ω0t) 

−kt 

′ () t = e ⋅ ( ( − kI + ω I ) cosω 

t + ( − kI − I ω ) sin ω t) 

i 

i 

c 

0 

s 

0 

s 

c 

0 


0 

[4.156]


I coefficienti sono determinati dalle condizioni iniziali: 

I 

C 

− kI 

= I 

C 

L0 

+ ω I 

0 

S 

−V 

= 

C0 

− RI 

L 

L0 

che come sempre è un banale sistema di soluzione immediata. 

[4.157] 

Esistono comunque altre strade per calcolare il transitorio. Una forse più standard della precedente consiste 

nel prendere non una sola variabile di stato, ma due, vale a dire la corrente sull'induttore e la tensione sul 

condensatore. Si avrebbe quindi: 

⎧LiL′ 

+ RiR 

+ vC 

= 0 

⎪ 

iC 

= CvC′ 

⎨ 

⎪iR 

= iL 

⎪ 

⎩iC 

= iL 

[4.158] 

che è un sistema di 2 equazioni differenziali e 2 equazioni algebriche, in due incognite. La corrente sulla 

resistenza e quella sul condensatore sono variabili algebriche, nel senso che non appare nessuna loro 

derivata. Si può quindi operare algebricamente perché tali variabili siano eliminate dalle equazioni 

differenziali, ottenendo due sistemi distinti. 

⎧⎧LiL′ 

+ RiL 

+ vC 

= 0 

⎪⎨ 

⎪⎩CvC′ 

= iL 

⎨ 

⎪⎧iR 

= iL 

⎪ 

⎨ 

⎩⎩iC 

= iL 

[4.159] 

Il sistema algebrico si presenta come un sistema dove i termini noti sono le soluzioni del sistema 

differenziale (in questo caso il sistema algebrico è banale). 

Il sistema differenziale può essere visto in forma matriciale: 

⎡iL′ 

⎤ ⎡− 

R L 

⎢ ⎥ = ⎢ 

⎣v′ 

L ⎦ ⎣ + 1 C 

−1 

L⎤ 

⎡iL 

⎤ 

⎥ ⋅ ⎢ ⎥ 

0 ⎦ ⎣vC 

⎦ 

[4.160] 

Tutte le variabili di stato che appaiono nel sistema saranno governate dalle stesse costanti di tempo di 

smorzamento e dalle stesse frequenze di oscillazione, e queste saranno date dagli autovalori della matrice: 

− R L − α 

−1 

C 

−1 

L 

= 0 

− α 

( − R L − α) 

⋅ ( − α) 

− ( −1 

L) 

⋅ ( + 1 C) 

α 

2 

+ 

R 1 

α + = 0 

L LC 

= 0 

Si ritrova quindi la stessa equazione caratteristica. 

[4.161] 

[4.162] 

Le cose possono essere viste anche in questo modo: poiché i coefficienti degli esponenziali sono gli stessi 

per tutte le variabili di stato, allora queste avranno la forma: 

i 

L 

v 

() t 

() t 

C 

= I 

L1 

= V 

⋅e 

C1 

α1t 

⋅e 

α1t 

+ I 

L2 

+ V 

⋅e 

C 2 

α2t 

⋅e 

α2t 

Derivando queste espressioni e considerando la [4.161], dovrà essere: 

⎡α1I 

⎢ 

⎣α1V 

L1 

C1 

⋅e 

⋅e 

α1t 

α1t 

+ α I 

2 L2 

+ α V 

2 C 2 

⋅e 

⋅e 

α2t 

α2t 

⎤ ⎡− 

R L 

⎥ = ⎢ 

⎦ ⎣ + 1 C 

−1 

L⎤ 

⎡I 

⎥ ⋅ ⎢ 

0 ⎦ ⎣V 

L1 

C1 

⋅e 

⋅e 

α1t 

α1t 

+ I 

L2 

+ V 

C 2 

⋅e 

⋅e 

α2t 

α2t 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

[4.163] 

[4.164] 

L'uguaglianza deve valere istante per istante e, poiché ciascuna componente esponenziale evolve 

indipendentemente dalle altre, l'uguaglianza deve valere per ogni componente esponenziale; 

pertanto: 



⎡αk 

I 

⎢ 

⎣αkV 

Lk 

Ck 


⎡− 

⎢ 

⎣ 

+ 1 C 

⎤ ⎡− 

R L 

⎥ = ⎢ 

⎦ ⎣ + 1 C 

R L − α 

k 

−1 

L⎤ 

⎡I 

⎥ ⋅ ⎢ 

− αk 

⎦ ⎣V 

−1 

L⎤ 

⎡I 

⋅ ⎢ 

0 

⎥ 

⎦ ⎣V 

Lk 

Ck 

Lk 

Ck 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ ⎡0⎤ 

⎥ = ⎢ ⎥ 

⎦ ⎣0⎦ 

da cui l'equazione caratteristica [4.161]. 

k = 1, 

2 

[4.165] 

[4.166] 

Per quanto riguarda il calcolo dei coefficienti vanno utilizzate le condizioni iniziali e va utilizzato il sistema 

[4.165] ovvero [4.166] per trovare altre relazioni tra i coefficienti delle varie funzioni. Per prima cosa vanno 

trovati gli autovalori, cioè le soluzioni dell'equazione caratteristica. Per ogni valore di k ( k = 1, 

2) 

, quindi per 

ogni autovalore, si ha un sistema di due equazioni in due incognite; in realtà, essendo il determinante del 

sistema nullo, le due equazioni non sono indipendenti, per cui una sola fornisce tutte le informazioni. Così si 

potrà scrivere: 

⎧I 

⎪ 

V 

⎨ 

⎪ 

⎪ 

⎩ 

L1 

C1 

+ I 

L2 

+ V 

C 2 

= I 

= V 

( − R L − α1) 

I L1 

+ ⋅( 

−1 

L) 

⋅ 

( − R L − α ) ⋅ I + ( −1 

L) 

2 

L0 

C0 

L2 

V 

C1 

⋅V 

= 0 

C 2 

= 0 

[4.167] 

Le prime due equazioni del sistema utilizzano le condizioni iniziali, la terza e la quarta utilizzano il sistema 

[4.166]. Al posto di queste ultime due si sarebbero anche potute usare le altre equazioni del sistema [4.166], 

che sono perfettamente equivalenti essendo tali equazioni linearmente dipendenti: 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

( + 1 C) 

( + 1 C) 

⋅ 

⋅ I 

I 

L1 

L2 

+ α ⋅V 

1 

+ α 

2 

⋅V 

C1 

C 2 

= 0 

= 0 

[4.168] 

Tornando alla [4.163], si noti che con questo metodo si sarebbe potuto scrivere il sistema considerando non 

solo le equazioni e le variabili differenziali, ma anche quelle algebriche. Riprendendo la [4.159] e 

procedendo con lo stesso metodo si può infatti scrivere: 

⎡αk 

L 

⎢ 

⎢ 

0 

⎢ −1 

⎢ 

⎣ −1 

R 

0 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

1 C ⎤ ⎡I 

⎢ 

− α 

⎥ 

kC 

⎥ ⋅ ⎢I 

0 ⎥ ⎢I 

⎥ ⎢ 

0 ⎦ ⎢⎣ 

V 

Lk 

Rk 

Ck 

Ck 

⎤ ⎡0⎤ 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎥ ⎢ 

0 

= ⎥ 

⎥ ⎢0⎥ 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎥⎦ 

⎣0⎦ 

Il determinante di questa matrice è ancora la solita equazione caratteristica [4.162]. 

[4.169] 

Tale determinante prende il nome di determinante di rete. Il metodo del determinante di rete è un po' più 

"standard" di quanto visto in precedenza. In questo modo si evita di eliminare le funzioni algebriche dalle 

equazioni differenziali; tuttavia la matrice risulta di ordine maggiore e il calcolo del determinante di rete, in cui 

appare l'incognita α , può risultare oneroso; così pure il sistema algebrico per determinare le condizioni 

iniziali [4.167] risulterebbe decisamente più pesante. 

Inoltre il metodo del determinante di rete, sia considerando tutte le equazioni, siano esse algebriche o 

differenziali [4.169], sia procedendo prima a ridurre e considerando il determinante ridotto del solo sistema 

differenziale [4.165] / [4.166], prevede di utilizzare tutti i coefficienti nella forma complessa. Il che può non 

rendere le cose più agevoli in un calcolo "a mano". 

* * *

Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

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