Dispensa I - Università degli Studi di Pavia
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G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 1 <strong>di</strong> 64<br />
Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali<br />
Parte 1A<br />
Richiami <strong>di</strong> Elettrotecnica<br />
Questi appunti non hanno la pretesa <strong>di</strong> costituire o <strong>di</strong> sostituire un corso <strong>di</strong> Elettrotecnica, corso che peraltro<br />
il lettore dovrebbe aver già seguito e averne superato l'esame con successo, ma solo <strong>di</strong> fornire un<br />
vademecum utilizzabile quando, nell'affrontare gli argomenti propri del corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali, ci<br />
si imbatta in aspetti teorici che forse talvolta necessitano un breve ripasso.<br />
Il contenuto non è quin<strong>di</strong> esaustivo - né comunque potrebbe esserlo - della vasta materia <strong>di</strong> stu<strong>di</strong> che<br />
abitualmente e convenzionalmente viene chiamata Elettrotecnica. Vengono infatti ripresi solo gli aspetti<br />
principali - e, forse, qualcuno <strong>di</strong> quelli che potrebbero essere necessari manca all'appello, nonostante le<br />
buone intenzioni dell'autore - e <strong>di</strong> essi si trattano gli aspetti essenziali, cercando un compromesso tra la<br />
vastità delle implicazioni, delle correlazioni, dei passaggi matematici e logici e la necessità <strong>di</strong> arrivare ad una<br />
formulazione fruibile in una materia applicativa qual è lo stu<strong>di</strong>o <strong>degli</strong> Impianti Elettrici.<br />
Lo studente del corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali sia però consapevole che senza solide basi <strong>di</strong><br />
Elettrotecnica lo stu<strong>di</strong>o <strong>degli</strong> Impianti Elettrici non può essere svolto proficuamente. Le prove d'esame <strong>di</strong> tale<br />
corso potranno quin<strong>di</strong> contemplare anche domande e problemi riconducibili alla materia <strong>di</strong> base.<br />
L'autore si scusa <strong>di</strong> eventuali incompletezze, inesattezze o errori e resta a <strong>di</strong>sposizione, fin d'ora con<br />
gratitu<strong>di</strong>ne, a chi vorrà segnalargliene, affinché possano essere emendati nelle revisioni successive.<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 2 <strong>di</strong> 64<br />
Sommario<br />
1 - Dalla Fisica all'Elettrotecnica................................................................................... 3<br />
1.1 - Le leggi fondamentali dell'elettromagnetismo ......................................................................................3<br />
1.2 - La classificazione dei fenomeni elettrici...............................................................................................3<br />
1.3 - Cenni <strong>di</strong> Elettrostatica ..........................................................................................................................4<br />
1.3.1 - Il Condensatore .............................................................................................................................................. 5<br />
1.4 - Cenni <strong>di</strong> Elettro<strong>di</strong>namica Stazionaria ...................................................................................................6<br />
1.4.1 - La Resistenza ................................................................................................................................................. 7<br />
1.4.2 - I principi <strong>di</strong> Kirchhoff ....................................................................................................................................... 9<br />
1.5 - Cenni <strong>di</strong> Elettro<strong>di</strong>namica Quasi-Stazionaria ......................................................................................10<br />
1.5.1 - L'Induttanza .................................................................................................................................................. 10<br />
2 - Analisi delle Reti Elettriche in Regime Stazionario ............................................. 11<br />
2.1 - I bipoli ideali - Il resistore....................................................................................................................11<br />
2.2 - Serie e parallelo .................................................................................................................................12<br />
2.3 - Meto<strong>di</strong> per la soluzione <strong>di</strong> reti elettriche lineari ..................................................................................13<br />
2.3.1 - Metodo delle correnti <strong>di</strong> lato.......................................................................................................................... 14<br />
2.3.2 - Metodo delle tensioni <strong>di</strong> nodo ....................................................................................................................... 14<br />
2.3.3 - Metodo delle correnti <strong>di</strong> maglia ..................................................................................................................... 14<br />
2.4 - Equivalenti e sovrapposizione <strong>degli</strong> effetti .........................................................................................15<br />
2.5 - I teoremi <strong>di</strong> Thevenin e <strong>di</strong> Norton .......................................................................................................16<br />
2.6 - Le conversioni stella-triangolo e triangolo-stella ................................................................................17<br />
2.7 - Meto<strong>di</strong> matriciali per l'analisi delle reti elettriche lineari .....................................................................18<br />
2.8 - Cenni alle reti elettriche non lineari ....................................................................................................21<br />
2.9 - Potenza elettrica - Effetto Joule .........................................................................................................22<br />
2.10 - Partitore <strong>di</strong> corrente e <strong>di</strong> tensione ......................................................................................................24<br />
3 - Circuiti Magnetici.................................................................................................... 25<br />
3.1 - Campo Magnetico e Induzione Magnetica.........................................................................................25<br />
3.2 - Il circuito magnetico............................................................................................................................26<br />
3.3 - Analogia tra circuito elettrico e circuito magnetico.............................................................................26<br />
3.4 - Induzione Elettromagnetica................................................................................................................28<br />
3.5 - Energia Magnetica .............................................................................................................................32<br />
3.6 - Azioni Meccaniche .............................................................................................................................34<br />
3.7 - Materiali Ferromagnetici.....................................................................................................................35<br />
4 - Analisi delle Reti Elettriche in Regime Variabile.................................................. 39<br />
4.1 - Limiti <strong>di</strong> Vali<strong>di</strong>tà dei Principi <strong>di</strong> Kirchhoff.............................................................................................39<br />
4.2 - Bipoli Ideali .........................................................................................................................................40<br />
4.3 - Leggi <strong>di</strong> Kirchhoff in Regime Variabile ...............................................................................................41<br />
4.4 - Regime Transitorio e Regime Permanente - Un esempio .................................................................42<br />
4.5 - Il Regime Perio<strong>di</strong>co Alternato Sinusoidale (P.A.S.) ...........................................................................44<br />
4.6 - L'Analisi delle Reti Elettriche con la Notazione Fasoriale ..................................................................48<br />
4.7 - Potenza Attiva, Reattiva, Apparente ..................................................................................................50<br />
4.8 - Rifasamento .......................................................................................................................................54<br />
4.9 - Risonanza ..........................................................................................................................................56<br />
4.10 - I Transitori Elettrici..............................................................................................................................58<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 3 <strong>di</strong> 64<br />
1 - Dalla Fisica all'Elettrotecnica<br />
1.1 - Le leggi fondamentali dell'elettromagnetismo<br />
Negli stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Fisica l'allievo ha senz'altro incontrato le equazioni <strong>di</strong> Maxwell, che vengono qui richiamate<br />
brevemente:<br />
- legge <strong>di</strong> Gauss per il campo elettrico:<br />
∫<br />
S<br />
Q<br />
ρ<br />
E ⋅u<br />
n dS = ; ∇ ⋅ E =<br />
[1.1]<br />
ε<br />
ε<br />
0<br />
- legge <strong>di</strong> Gauss per il campo magnetico:<br />
∫<br />
S<br />
0<br />
B ⋅u<br />
n dS = 0 ;<br />
∇ ⋅ B = 0<br />
[1.2]<br />
- legge <strong>di</strong> Faraday-Henry:<br />
d<br />
∂B<br />
E ⋅ dl<br />
= − B u dS<br />
E<br />
L dt ∫ ⋅<br />
S L<br />
n ;<br />
∇ × = −<br />
( )<br />
∂t<br />
∫<br />
- legge <strong>di</strong> Ampère-Maxwell:<br />
d<br />
∂E<br />
B ⋅ dl<br />
= μ I<br />
E u dS B J<br />
L<br />
0 + μ0ε<br />
0<br />
dt ∫ ⋅<br />
S ( L)<br />
n ; ∇ × = μ0<br />
+ μ0ε<br />
[1.4]<br />
∂t<br />
∫ 0<br />
e l'equazione <strong>di</strong> continuità:<br />
d<br />
J ⋅u<br />
ndS<br />
= −<br />
dt<br />
S V S<br />
∂ρ<br />
ρdV<br />
∇ ⋅ J = −<br />
( ) ∂t<br />
∫ ∫ ; [1.5]<br />
si ricordano i valori <strong>di</strong> ε0 e <strong>di</strong> μ0:<br />
ε0 = 8.854⋅10 -12 ; μ0 = 4π⋅10 -7 = 1.2566⋅10 -6 ; (inoltre: ε0μ0 = c<br />
vali<strong>di</strong> quando si usano tutte le grandezze del sistema internazione mksA.<br />
1.2 - La classificazione dei fenomeni elettrici<br />
1 , velocità della luce nel vuoto)<br />
Si nota che nelle espressioni appaiono delle derivate (parziali se in forma <strong>di</strong>fferenziale o totali se in forma<br />
integrale) rispetto al tempo.<br />
I fenomeni elettrici possono allora essere sud<strong>di</strong>visi in due gran<strong>di</strong> categorie: fenomeni elettrostatici (derivate<br />
nulle) e fenomeni elettro<strong>di</strong>namici (derivate <strong>di</strong>verse da 0).<br />
Nella prima categoria si ha che: la densità volumetrica <strong>di</strong> carica, punto per punto, non cambia nel tempo; il<br />
campo elettrico è costante; la densità <strong>di</strong> corrente è nulla in ogni punto (e <strong>di</strong> conseguenza è nulla la corrente<br />
in ogni sezione); l'integrale <strong>di</strong> circuitazione del campo elettrico è nullo (campo conservativo); non esiste<br />
campo magnetico.<br />
In questa situazione ci possono essere solo cariche puntiformi e corpi elettricamente carichi, con<br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> carica superficiale o volumetrica.<br />
Perché un fenomeno rientri nella seconda categoria, invece, occorre almeno il presupposto che il vettore<br />
densità <strong>di</strong> corrente sia, in generale, non nullo. I fenomeni che rientrano in questa seconda categoria vengono<br />
a loro volta sud<strong>di</strong>visi:<br />
a) fenomeni stazionari: tutte le derivate rispetto al tempo sono nulle;<br />
b) fenomeni non-stazionari: in generale tutte le derivate rispetto al tempo sono ≠ 0.<br />
Da un punto <strong>di</strong> vista ingegneristico, tuttavia, si considera anche una terza situazione, interme<strong>di</strong>a tra le due,<br />
che viene definita regime quasi-stazionario. In tale situazione molte delle derivate rispetto al tempo sono<br />
nulle, o <strong>di</strong> valore trascurabile ai fini pratici, mentre altre possono essere sensibilmente <strong>di</strong>verse da 0. La<br />
<strong>di</strong>scriminazione su quali grandezze possano e quali non possano essere accettate anche come variabili nel<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011<br />
[1.3]
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 4 <strong>di</strong> 64<br />
tempo per considerare il regime come quasi-stazionario è una <strong>di</strong>scriminazione molto delicata sulla quale si<br />
entrerà in merito in seguito.<br />
In particolare la classificazione ora citata si applica ai circuiti elettrici, <strong>di</strong> cui occorre ora dare una definizione.<br />
Si è già visto che il vettore densità <strong>di</strong> corrente presenta la caratteristica <strong>di</strong> essere solenoidale, fatto salvo<br />
l'eventuale accumulo <strong>di</strong> carica (variazione nel tempo della densità volumetrica <strong>di</strong> carica). Nelle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
stazionarietà la solenoidalità è comunque perfetta, pertanto ogni "filetto" <strong>di</strong> corrente deve richiudersi<br />
descrivendo un percorso chiuso. Questo "filetto" o tubo <strong>di</strong> flusso può, durante tale percorso, allargarsi o<br />
restringersi (e quin<strong>di</strong> il modulo della densità <strong>di</strong> corrente <strong>di</strong>minuisce o aumenta, rispettivamente), ma la<br />
quantità totale del flusso <strong>di</strong> J rimane costante.<br />
Per circuito elettrico si intende allora, nella sua definizione più essenziale, un tubo <strong>di</strong> flusso del vettore<br />
densità <strong>di</strong> corrente. Ed essendo tale flusso una corrente elettrica, si parla <strong>di</strong> corrente <strong>di</strong> un circuito elettrico, a<br />
partire dal presupposto che tale grandezza mantiene lo stesso valore per ogni sezione del circuito stesso.<br />
1.3 - Cenni <strong>di</strong> Elettrostatica<br />
La principale leggi dell'Elettrostatica sono: la legge <strong>di</strong> Coulomb, che descrive il campo elettrico prodotto da<br />
una carica puntiforme, e la legge <strong>di</strong> Gauss per il campo elettrico, che lega flusso e carica (forma integrale) o<br />
<strong>di</strong>vergenza del flusso e densità <strong>di</strong> carica (forma <strong>di</strong>fferenziale).<br />
L'utilizzo della legge <strong>di</strong> Coulomb o della legge <strong>di</strong> Gauss per il campo elettrico permettono <strong>di</strong> descrivere il<br />
campo elettrico generato da <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong> carica superficiale e volumetrica, come è per esempio il caso<br />
della lastra piana.<br />
Poiché in elettrostatica non si ha densità <strong>di</strong> corrente, la densità <strong>di</strong> carica è costante nel tempo.<br />
Occorre inoltre effettuare un'importante classificazione dei corpi, in base alla sostanza <strong>di</strong> cui sono composti.<br />
Per quanto riguarda il moto delle cariche elettriche, esistono materiali conduttori e materiali non conduttori,<br />
detti anche isolanti.<br />
Nei primi le cariche, se sollecitate da un campo elettrico, sono libere <strong>di</strong> spostarsi, anche se il campo elettrico<br />
è molto debole.<br />
Nei secon<strong>di</strong> la libertà <strong>di</strong> movimento delle cariche è fortemente limitata, quin<strong>di</strong> la <strong>di</strong>stribuzione volumetrica <strong>di</strong><br />
carica non subisce variazioni apprezzabili, se non in tempi molto lunghi.<br />
Se un corpo conduttore viene posto in un campo elettrico, subito le cariche tenderanno a spostarsi<br />
muovendosi nella <strong>di</strong>rezione del campo: le cariche positive in verso concorde, le negative in verso <strong>di</strong>scorde.<br />
Si realizza così una separazione <strong>di</strong> cariche (le positive da una parte e le negativa dall'altra), che genera a<br />
sua volta un campo elettrico.<br />
Tale campo all'interno del corpo conduttore sarà uguale e contrario a quello imposto dall'esterno: infatti, solo<br />
quando i due campi si annulleranno a vicenda il moto delle cariche potrà cessare perché si è raggiunta una<br />
nuova con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio. Lo stu<strong>di</strong>o della fase transitoria in cui si ha movimento <strong>di</strong> cariche non compete<br />
all'elettrostatica, mentre ad essa compete la determinazione del nuovo stato <strong>di</strong> equilibrio, cioè della<br />
situazione "a regime".<br />
A tale proposito occorre notare che:<br />
1) internamente ad un corpo conduttore non può mai presentarsi, a regime, campo elettrico, perché se ci<br />
fosse si presenterebbe ancora moto <strong>di</strong> cariche, fino al suo annullamento;<br />
2) come conseguenza il potenziale è uniforme in tutto il conduttore (equipotenzialità);<br />
3) le cariche che si sono spostate e separate si posizionano sulla superficie del conduttore, perché se<br />
esistesse una densità volumetrica <strong>di</strong> carica si avrebbe campo elettrico e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> potenziale,<br />
e non si avrebbe equipotenzialità<br />
Ovviamente, se il corpo è invece costituito da materiale isolante, il campo elettrico non può venire annullato<br />
dallo spostamento <strong>di</strong> cariche, e pertanto è possibile la presenza <strong>di</strong> campo elettrico all'interno <strong>di</strong> tali materiali.<br />
Se questi corpi presentano una costante <strong>di</strong>elettrica relativa <strong>di</strong>versa da quella del vuoto, il valore del campo<br />
elettrico verrà mo<strong>di</strong>ficato <strong>di</strong> conseguenza.<br />
Un caso interessante si presenta quando il corpo conduttore presenta una cavità al suo interno. Per il<br />
principio <strong>di</strong> equipotenzialità, la superficie interna del conduttore si presenta tutta allo stesso potenziale V .<br />
Poiché nella cavità non esistono cariche, allora non esistono campi elettrici né <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale (d'ora<br />
in poi in<strong>di</strong>cato come d.d.p.), cosicché il valore V è uniforme in tutta la cavità.<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 5 <strong>di</strong> 64<br />
Si è così realizzato uno schermo elettrostatico. Perché lo schermo sia efficace spesso non è necessario<br />
avere un intero corpo chiuso intorno al volume che si vuole schermare, ma basta un conduttore che circon<strong>di</strong><br />
tale volume anche con delle "finestre", come una rete, purché abbastanza fitta. L'esempio tipico è la gabbia<br />
<strong>di</strong> Faraday: una qualunque gabbia <strong>di</strong> materiale conduttore, purché circon<strong>di</strong> per intero il volume e sia<br />
abbastanza fitta, si comporta come uno schermo elettrostatico.<br />
1.3.1 - Il Condensatore<br />
Ogni volta che si presentano due conduttori, separati da un isolante (anche l'aria), che possono<br />
reciprocamente interagire per quanto riguarda i fenomeni elettrici, si ha un condensatore.<br />
In un condensatore, sia esso naturale o artificiale, in presenza <strong>di</strong> sollecitazioni esterne si verifica su un<br />
conduttore il deposito <strong>di</strong> cariche elettriche <strong>di</strong> un segno e sull'altro <strong>di</strong> cariche <strong>di</strong> segno opposto. Tra i due<br />
conduttori insorge quin<strong>di</strong> un campo elettrico e quin<strong>di</strong> una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale.<br />
Si definisce allora la capacità come il rapporto tra la carica presente su ogni conduttore e la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong><br />
potenziale:<br />
Q<br />
1C<br />
C = [ F]<br />
1 F =<br />
[1.6]<br />
V<br />
1V<br />
La capacità si misura in farad, simbolo F .<br />
Il caso più semplice <strong>di</strong> condensatore è il condensatore piano, costituito da due lastre piane reciprocamente<br />
affacciate. Se le lastre sono abbastanza gran<strong>di</strong> rispetto alla <strong>di</strong>stanza che le separa, in tutti i punti del<br />
condensatore, esclusi al più i bor<strong>di</strong> delle lastre stesse, si può considerare il campo elettrico come se le lastre<br />
piane fossero <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni infinite. Vale allora:<br />
σ<br />
E =<br />
2ε<br />
ε<br />
0<br />
r<br />
in <strong>di</strong>rezione perpen<strong>di</strong>colare alle lastre. Questo è il campo generato da una sola lastra; l'altra genera un<br />
campo uguale in modulo e <strong>di</strong>rezione, e che all'esterno delle lastre annulla il campo della prima, mentre<br />
all'interno si somma, raddoppiandolo.<br />
Definendo:<br />
d <strong>di</strong>stanza fra le lastre<br />
A area <strong>di</strong> ogni lastra<br />
σ = Q A densità superficiale <strong>di</strong> carica<br />
allora vale:<br />
σ<br />
V = E ⋅ d =<br />
ε ε<br />
0<br />
r<br />
Q<br />
d =<br />
ε ε<br />
0<br />
r<br />
d<br />
A<br />
Q A<br />
V d<br />
ε ε = = 0 [1.9]<br />
C r<br />
Un altro caso tipico è il condensatore cilindrico, costituito da due conduttori cilindrici coassiali, <strong>di</strong> raggio R1<br />
e<br />
R2 , posti uno dentro l'altro. In questo caso le cariche presenti sul cilindro esterno non danno alcun contributo<br />
al campo interno; applicando il teorema <strong>di</strong> Gauss al cilindro interno, e supponendo la <strong>di</strong>stanza tra i due<br />
cilindri molto più piccola della lunghezza assiale l del condensatore, si ha che ad una <strong>di</strong>stanza R dall'asse il<br />
campo elettrico, ra<strong>di</strong>ale, è pari al flusso <strong>di</strong>viso per l'area:<br />
Q 1<br />
E =<br />
ε0εr<br />
2πRl<br />
Quin<strong>di</strong>:<br />
V<br />
Q<br />
1<br />
Q<br />
1<br />
R<br />
[1.7]<br />
[1.8]<br />
[1.10]<br />
R2<br />
2<br />
= ∫ dR = ln<br />
[1.11]<br />
R1<br />
ε0εr<br />
2πRl<br />
ε0εr<br />
2πl<br />
R1<br />
da cui la capacità:<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 6 <strong>di</strong> 64<br />
Q 2πl<br />
= = ε ε<br />
[1.12]<br />
V ln<br />
C 0 r<br />
( R R )<br />
2<br />
1<br />
La presenza della costante <strong>di</strong>elettrica del vuoto rende sempre molto piccoli i valori <strong>di</strong> capacità: tale costante<br />
presenta infatti un or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza <strong>di</strong> 10 -12 . In realtà quin<strong>di</strong> non si usa mai il farad ma i suoi sottomultipli<br />
μF<br />
, nF,<br />
pF .<br />
Un esempio potrebbe essere la capacità della Terra (intesa come pianeta), considerando il secondo<br />
conduttore come posto a <strong>di</strong>stanza infinita:<br />
V =<br />
C =<br />
∫<br />
∞<br />
R<br />
Q<br />
V<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
Q 1<br />
dr = 2<br />
r 4πε<br />
Q<br />
R<br />
= 4πε<br />
R = 4⋅<br />
π⋅<br />
8.<br />
854⋅10<br />
0<br />
0<br />
−12<br />
40⋅10<br />
⋅<br />
2π<br />
6<br />
= 708 μF<br />
[1.13]<br />
Come si vede persino un corpo così grande come la Terra ha una capacità <strong>di</strong> meno <strong>di</strong> un millesimo <strong>di</strong> 1 F;<br />
questo vuol <strong>di</strong>re che per depositare sulla Terra una carica (complessiva!) <strong>di</strong> 1 C occorre una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong><br />
potenziale, rispetto al resto dell'Universo, <strong>di</strong> più <strong>di</strong> 1000 V (1412 V).<br />
Per qualunque condensatore va notato che, essendo:<br />
dq<br />
i =<br />
dt<br />
[1.14]<br />
dove q è la carica depositata sulla lastra positiva ed i la corrente entrante in tale lastra, vale:<br />
dv<br />
i = C<br />
dt<br />
[1.15]<br />
dove v è la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale tra la lastra positiva e quella negativa; oppure:<br />
v = v<br />
C0<br />
1 t<br />
+ ∫ i ⋅ dt<br />
C 0<br />
[1.16]<br />
Un paragone molto efficace per il condensatore è quello con la vasca o il lago: un flusso d'acqua entrante<br />
nella vasca rappresenta la corrente elettrica entrante, il livello dell'acqua in<strong>di</strong>ca la tensione elettrica, la<br />
quantità totale <strong>di</strong> acqua presente corrisponde alla carica elettrica. Più entra acqua e più il livello cresce; e se<br />
il livello varia vuol <strong>di</strong>re che dell'acqua è entrata o è uscita. La capacità è legata alla superficie del bacino: se<br />
questa è grande, occorre molta acqua per variare il livello, oppure si può <strong>di</strong>re che il bacino può accumulare<br />
molta acqua senza alzarsi troppo <strong>di</strong> livello.<br />
1.4 - Cenni <strong>di</strong> Elettro<strong>di</strong>namica Stazionaria<br />
Per definizione è caratterizzata dall'avere presenza <strong>di</strong> densità <strong>di</strong> corrente <strong>di</strong>verse da 0 e derivate rispetto al<br />
tempo nulle per i campi elettrico e magnetico e per la densità volumetrica <strong>di</strong> carica.<br />
In queste con<strong>di</strong>zioni esiste quin<strong>di</strong> il passaggio <strong>di</strong> corrente. Si può quin<strong>di</strong> parlare <strong>di</strong> circuito elettrico, già<br />
definito come un tubo <strong>di</strong> flusso del vettore densità <strong>di</strong> corrente. Nelle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stazionarietà la densità <strong>di</strong><br />
corrente è solenoidale, quin<strong>di</strong> la corrente è la stessa in ogni sezione del circuito.<br />
Quasi sempre i circuiti elettrici sono costituiti da un supporto materiale, cioè un materiale conduttore, spesso<br />
<strong>di</strong> sezione filiforme, entro il quale avviene il passaggio della corrente; tale conduttore è rivestito <strong>di</strong> materiale<br />
isolante per evitare la <strong>di</strong>spersione della corrente in percorsi che, anche se chiusi, non permetterebbero più <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>viduare delle sezioni definite dove la corrente sia sempre la stessa; oppure tali conduttori sono fili tesi tra<br />
supporti isolanti, <strong>di</strong> modo che per gran parte della sua lunghezza il conduttore è circondato dall'aria, che è<br />
pure un materiale isolante. Possono esistere però flussi <strong>di</strong> corrente anche "liberi", privi <strong>di</strong> supporto definito,<br />
come le correnti <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione nel terreno oppure come le migrazioni ioniche nei flui<strong>di</strong> o nel vuoto.<br />
Nel linguaggio comune si in<strong>di</strong>ca spesso con la stessa parola "circuito" qualcosa <strong>di</strong> più complesso, che<br />
potrebbe essere definito come l'unione <strong>di</strong> più rami <strong>di</strong> circuiti <strong>di</strong>versi, formando un'insieme <strong>di</strong> maglie più o<br />
meno articolata ma tale che da ogni suo punto se ne può raggiungere qualunque altro. In essa quin<strong>di</strong><br />
ciascun circuito può con<strong>di</strong>videre con altri parti del suo percorso. Il termine corretto per in<strong>di</strong>care questa<br />
struttura è pero quello <strong>di</strong> rete elettrica, anche se nel seguito verranno usati in<strong>di</strong>fferentemente entrambi i<br />
termini.<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 7 <strong>di</strong> 64<br />
1.4.1 - La Resistenza<br />
Il moto delle cariche elettriche, anche nei migliori materiali conduttori, non può però avvenire senza una<br />
opportuna forzante. Una carica elettrica incontrerà comunque una opposizione al suo movimento (così come<br />
in meccanica non esiste un moto privo <strong>di</strong> attriti, se non nel vuoto), <strong>di</strong> modo che dovrà cedere parte della sua<br />
energia per ogni tratto che percorre. Vedendo le cose da un punto <strong>di</strong> vista energetico, o integrale, ogni<br />
carica perderà energia potenziale elettrica per muoversi, e quin<strong>di</strong> il suo potenziale elettrico nel punto <strong>di</strong><br />
partenza dovrà essere maggiore del potenziale elettrico nel punto <strong>di</strong> arrivo (se la carica è positiva, viceversa<br />
se negativa). Vedendo le cose da un punto <strong>di</strong> vista <strong>di</strong>namico, o locale, dovrà esistere un campo elettrico<br />
(forzante) che applicato alla particella carica produrrà una forza che vincerà l'opposizione al moto offerta dal<br />
materiale.<br />
Sperimentalmente si trova che tale opposizione è tanto maggiore quanto più è grande la densità <strong>di</strong> corrente,<br />
cioè quanto più sono fitte o veloci le cariche elettriche.<br />
Si può pertanto scrivere la seguente legge:<br />
E = ρ J<br />
[1.17]<br />
dove la costante che appare prende il nome <strong>di</strong> resistività del materiale. Per i materiali conduttori vale che la<br />
resistività non <strong>di</strong>pende dal valore del campo elettrico o della densità <strong>di</strong> corrente, entro ampi limiti <strong>di</strong> tali<br />
grandezze; varia invece con la temperatura. Su questo si tornerà in seguito; intanto possiamo affermare che,<br />
per questa proprietà, il fenomeno descritto dall'equazione [1.17] è lineare.<br />
Occorre però intendersi bene sulle convenzioni: il campo elettrico in<strong>di</strong>cato è il campo elettrico forzante, cioè<br />
quello che causa il flusso <strong>di</strong> corrente; da un altro punto <strong>di</strong> vista si potrebbero vedere le cose con il segno<br />
opposto, in<strong>di</strong>cando però quello che equivale ad un campo elettrico opponentesi al moto.<br />
Vedendo le cose dall'esterno, occorre comunque che il potenziale elettrico nel punto <strong>di</strong> partenza della<br />
corrente sia maggiore <strong>di</strong> quello del punto <strong>di</strong> arrivo.<br />
Se si considerano due punti A e B, corrispondenti a due <strong>di</strong>stinte sezioni <strong>di</strong> un circuito tra le quali fluisce una<br />
corrente I (da A a B), la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale tra i due punti vale:<br />
A<br />
A<br />
A I<br />
A ρ<br />
VAB= VA<br />
−VB<br />
= ∫ E ⋅ dl<br />
= J dl<br />
dl I dl = RAB<br />
⋅ I<br />
B ∫ ρ ⋅ = ρ =<br />
B ∫B<br />
A(<br />
l)<br />
∫B<br />
A(<br />
l)<br />
dove si è definita la nuova grandezza:<br />
R<br />
AB<br />
ρ<br />
= ∫<br />
A<br />
dl<br />
B A(<br />
l)<br />
[1.18]<br />
[1.19]<br />
che prende il nome <strong>di</strong> resistenza tra il punto A e il punto B (o tra B e A: la resistenza va considerata in<br />
valore assoluto, e cambiando l'or<strong>di</strong>ne <strong>degli</strong> estremi tale valore non cambia).<br />
In particolare per una sezione uniforme lungo tutta la lunghezza del tratto <strong>di</strong> circuito:<br />
l<br />
R = ρ<br />
[1.20]<br />
A<br />
Questa formula particolare [1.20] come pure quella più generale [1.19] esprimono in maniera rigorosa un<br />
principio intuitivo: la resistenza che una corrente incontra è: a) tanto maggiore quanto maggiore è la<br />
resistività del materiale; b) tanto maggiore quanto lo è la lunghezza del percorso; c) tanto minore quanto più<br />
è grande la sezione (perché in tal modo la corrente può meglio <strong>di</strong>stribuirsi, quin<strong>di</strong> avere una densità minore).<br />
La resistenza si misura in ohm, simbolo Ω; vale:<br />
1V<br />
1 Ω =<br />
[1.21]<br />
1A<br />
Si può quin<strong>di</strong> enunciare la legge <strong>di</strong> Ohm, per esempio in questa forma: dato un segmento <strong>di</strong> circuito <strong>di</strong><br />
resistenza R e <strong>di</strong> estremi A e B, la corrente I che fluisce da A ad B è pari alla <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale tra A<br />
e B <strong>di</strong>visa per la resistenza del segmento:<br />
VA<br />
−VB<br />
I A→<br />
B =<br />
[1.22]<br />
R<br />
AB<br />
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G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 8 <strong>di</strong> 64<br />
Si noti che quando si parla <strong>di</strong> corrente si intende sempre la corrente convenzionalmente positiva: cioè se il<br />
potenziale <strong>di</strong> A è maggiore del potenziale <strong>di</strong> B, fluiscono cariche positive da A verso B, oppure cariche<br />
negative da B ad A, oppure entrambi i casi; nella realtà, nei metalli e nei conduttori in generale si muovono<br />
gli elettroni.<br />
E' però ora importante considerare cosa succede nell'intero circuito, e non solo su un singolo segmento <strong>di</strong><br />
esso.<br />
In regime stazionario non ci sono variazioni <strong>di</strong> flusso del flusso magnetico. Per la legge <strong>di</strong> Faraday-Henry<br />
non esistono allora nemmeno tensioni indotte, cioè l'integrale <strong>di</strong> circuitazione del campo elettrico è nullo, il<br />
campo elettrico è conservativo.<br />
Se si vuole che circoli corrente nel circuito, il ragionamento appena fatto per un singolo segmento va esteso<br />
a tutto il circuito, e quin<strong>di</strong> il punto <strong>di</strong> partenza e quello <strong>di</strong> arrivo coincidono; perché scorra corrente<br />
occorrerebbe una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale tra due punti coincidenti, e questo sarebbe in contrad<strong>di</strong>zione con il<br />
fatto che il campo elettrico è conservativo. Per poter far scorrere corrente devono quin<strong>di</strong> esistere delle<br />
sorgenti <strong>di</strong> d.d.p. (<strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale), cioè punti del circuito, oppure segmenti <strong>di</strong> esso (o l'intero circuito)<br />
dove esistono sorgenti <strong>di</strong> una grandezza equivalente al campo elettrico e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> d.d.p.<br />
Tali sorgenti sono in<strong>di</strong>cate come generatori <strong>di</strong> tensione o <strong>di</strong> forza elettromotrice (f.e.m.). Il termine forza è<br />
improprio, visto che si parla <strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale, ma viene usato frequentemente. I generatori possono<br />
essere <strong>di</strong> varia natura, ma come esempio più significativo citiamo l'origine elettrochimica (pile ed<br />
accumulatori).<br />
In<strong>di</strong>cando con:<br />
E il campo elettrico <strong>di</strong> origine elettrostatica, conservativo<br />
E G il fenomeno equivalente ad un campo elettrico, dovuto ai generatori<br />
E R il fenomeno equivalente ad un campo elettrico, dovuto alla resistività<br />
allora si può scrivere che:<br />
∫ ( + EG<br />
+ ER<br />
) ⋅<br />
L<br />
E dl<br />
= 0 [1.23]<br />
e poiché:<br />
∫<br />
L<br />
E ⋅ dl<br />
= 0 (essendo il campo elettrostatico conservativo) [1.24]<br />
in<strong>di</strong>cando:<br />
e = ∫ E ⋅<br />
L<br />
G dl<br />
(f.e.m.) [1.25]<br />
vale:<br />
e +<br />
∫<br />
L<br />
e = −<br />
∫<br />
E<br />
L<br />
R<br />
E<br />
⋅ dl<br />
= 0<br />
R<br />
⋅ dl<br />
= −<br />
∫<br />
L<br />
− ρJ<br />
⋅ dl<br />
= −<br />
∫<br />
L<br />
− ρ<br />
I<br />
A<br />
() l<br />
dl = RI<br />
[1.26]<br />
dove R è la resistenza dell'intero circuito e il verso <strong>di</strong> percorrenza della corrente è lo stesso che si è usato<br />
per l'integrale <strong>di</strong> circuitazione. Quin<strong>di</strong>:<br />
la corrente che circola in un circuito è pari alla f.e.m. totale generata nel circuito stesso <strong>di</strong>visa per la<br />
resistenza totale del circuito.<br />
Tornando a vedere le cose su un singolo tratto, l'integrale tra due punti del campo elettrostatico può essere<br />
anche <strong>di</strong>verso da 0; quin<strong>di</strong> in<strong>di</strong>cando:<br />
= ∫ ⋅<br />
A<br />
AB e E dl<br />
(f.e.m. generata sul quel tratto <strong>di</strong> circuito) [1.27]<br />
vale:<br />
A<br />
B G<br />
V − V + e = R ⋅ I<br />
[1.28]<br />
B<br />
AB<br />
AB<br />
AB<br />
(la corrente è convenzionalmente positiva se fluisce da A verso B).<br />
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1.4.2 - I principi <strong>di</strong> Kirchhoff<br />
Se si considera una rete elettrica, in essa si possono in<strong>di</strong>viduare: i no<strong>di</strong>, i rami, le maglie.<br />
Per primi si definiscono i rami: un ramo o lato è un tubo del flusso della densità <strong>di</strong> carica, nel quale si possa<br />
ritenere che la corrente sia uguale in ogni sezione. In particolare un singolo circuito può essere considerato<br />
come composto da un solo ramo.<br />
Di conseguenza si definiscono i no<strong>di</strong>: un nodo è un punto in cui convergono tre o più rami. Come sopra, il<br />
singolo circuito a rigore non possiede no<strong>di</strong>.<br />
Infine si definiscono le maglie: per maglia si intende qualunque percorso chiuso che, partendo da un nodo,<br />
ritorni al nodo stesso percorrendo <strong>di</strong>versi rami della rete, senza però mai percorre un ramo più <strong>di</strong> una sola<br />
volta.<br />
In regime stazionario, si consideri una superficie chiusa che contenga al suo interno uno ed uno solo nodo.<br />
Vale allora:<br />
∫ S<br />
J ⋅ n dS = 0<br />
[1.29]<br />
ma il flusso totale della densità <strong>di</strong> corrente altro non è che la somma delle correnti che dal nodo escono<br />
attraverso i vari rami che al nodo afferiscono.<br />
In<strong>di</strong>cando con K il nodo in questione, vale quin<strong>di</strong>:<br />
∑ kj<br />
j∈K<br />
i = 0 [1.30]<br />
dove con il simbolo <strong>di</strong> appartenenza a K dell'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> sommatoria si in<strong>di</strong>cano i no<strong>di</strong> collegati al nodo K.<br />
Questa relazione è enunciata dalla:<br />
legge (o principio) <strong>di</strong> Kirchhoff ai no<strong>di</strong>: In regime stazionario, la somma algebrica delle correnti<br />
entranti (o uscenti) da un nodo è nulla.<br />
Se si considera invece una maglia, composta da N rami tra i no<strong>di</strong> 1, 2, ..., N, per ogni ramo i tra il nodo I e il<br />
nodo I+1 può essere scritta la relazione [1.28]:<br />
V − V +1 + e = R ⋅ I<br />
[1.31]<br />
I<br />
I<br />
i<br />
i<br />
i<br />
Scrivendo questa relazione per tutti i rami, e tornando al punto si partenza:<br />
V1<br />
−V2<br />
+ e1=<br />
R1⋅<br />
I1<br />
V2<br />
−V3<br />
+ e2=<br />
R2⋅<br />
I2<br />
K<br />
VN<br />
−1<br />
−VN<br />
+ eN<br />
−1=<br />
RN<br />
−1⋅<br />
I N −1<br />
[1.32]<br />
V −V<br />
+ e = R ⋅ I<br />
N<br />
1<br />
N<br />
N<br />
N<br />
si nota che sommando membro a membro le varie equazioni le varie V i si cancellano a vicenda: si ritrova<br />
cioè il principio <strong>di</strong> conservatività del potenziale. Vale allora che:<br />
∑ i<br />
i∈maglia<br />
i∈<br />
∑<br />
= e Ri<br />
⋅ Ii<br />
[1.33]<br />
maglia<br />
Questa relazione è enunciata dalla<br />
legge (o principio) <strong>di</strong> Kirchhoff alle maglie: In regime stazionario, la somma delle f.e.m. generate in<br />
una maglia è pari alla somma delle cadute <strong>di</strong> tensione<br />
ohmiche sui rami della maglia stessa.<br />
Per quanto riguarda le convezioni, occorre fissare un verso <strong>di</strong> percorrenza della maglia; ciò fatto: nel primo<br />
membro della [1.33] considerare positive le f.e.m. concor<strong>di</strong> e negative quelle <strong>di</strong>scor<strong>di</strong> a tale verso, nel<br />
secondo membro considerare positive le correnti concor<strong>di</strong> e negative quelle <strong>di</strong>scor<strong>di</strong> a tale verso.<br />
I principi <strong>di</strong> Kirchhoff permettono, data una rete elettrica, <strong>di</strong> calcolare le correnti in ogni ramo e le tensioni in<br />
ogni lato (d.d.p. tra ogni coppia <strong>di</strong> no<strong>di</strong>) una volta note le f.e.m. generate e i valori delle resistenze <strong>di</strong> ogni<br />
lato, cioè <strong>di</strong> risolvere o trovare lo stato della rete. Questo sarà l'argomento del capitolo 3 <strong>di</strong> queste <strong>di</strong>spense.<br />
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1.5 - Cenni <strong>di</strong> Elettro<strong>di</strong>namica Quasi-Stazionaria<br />
Anche questo argomento sarà trattato <strong>di</strong>ffusamente in una successiva parte delle <strong>di</strong>spense; si forniscono qui<br />
solo i principi fondamentali.<br />
Per prima cosa occorre descrivere le conseguenze della legge <strong>di</strong> Faraday-Henry.<br />
Per esempio, sia dato un circuito composto da una sola spira. Se l'area sottesa da questa spira è<br />
attraversata da un campo magnetico variabile nel tempo, vale che:<br />
∫<br />
L<br />
d<br />
E ⋅ dl<br />
= − ∫ B ⋅ u<br />
S (L)<br />
n dS<br />
[1.34]<br />
dt<br />
si presenta cioè un campo elettrico non conservativo lungo la spira stessa, o meglio si misura una <strong>di</strong>fferenza<br />
<strong>di</strong> potenziale tra il punto <strong>di</strong> partenza e il punto <strong>di</strong> arrivo della spira, anche se questi coincidono. Si <strong>di</strong>ce che<br />
esiste una tensione indotta; questo effetto prende anche il nome <strong>di</strong> induzione elettromagnetica.<br />
Tale <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale può sussistere se la spira è composta da materiale isolante; se invece il<br />
materiale è conduttore e la spira è chiusa su se stessa subito si verificherebbe l'insorgere <strong>di</strong> una corrente<br />
elettrica. Tale corrente in parte farebbe uso del campo elettrico forzante (con la corrente insorgerebbe<br />
qualcosa <strong>di</strong> equivalente ad un campo elettrico <strong>di</strong> origine ohmica che si oppone al primo), in parte<br />
genererebbe nella spira stessa un flusso che varia nel tempo in maniera opposta al primo, causando così<br />
una riduzione dell'induzione elettromagnetica.<br />
1.5.1 - L'Induttanza<br />
Si consideri (altro esempio) un ramo <strong>di</strong> una rete elettrica. Se questo ramo ad un certo punto descrive una<br />
spira, la corrente che fluisce sul ramo stesso genera un campo e quin<strong>di</strong> un flusso magnetico. Il flusso è<br />
proporzionale alla corrente. Se la corrente è costante, il flusso non varia nel tempo, e quin<strong>di</strong> non esiste<br />
tensione indotta. Se invece la corrente per esempio tende ad aumentare, la variazione <strong>di</strong> flusso produrrà una<br />
tensione indotta che si oppone al verso della corrente; se la corrente tende a <strong>di</strong>minuire, la tensione si<br />
presenterà concorde alla corrente, tendente quin<strong>di</strong> a sostenerla. Esiste cioè una costante, detta induttanza<br />
e solitamente in<strong>di</strong>cata con la lettera L , per cui:<br />
() t<br />
<strong>di</strong><br />
v () t = L<br />
[1.35]<br />
dt<br />
Questo <strong>di</strong>spositivo si chiama induttore ed è il duale del condensatore.<br />
Un altro fenomeno, invece, è quello dell'accumulo <strong>di</strong> cariche in certe parti del circuito, per esempio sugli<br />
elettro<strong>di</strong> <strong>di</strong> un condensatore. Si parla in tal caso <strong>di</strong> effetto capacitivo. Va però notato che se sulle singole<br />
lastre si presenta accumulo <strong>di</strong> carica, il condensatore nel suo insieme rimane neutro; se visto come<br />
elemento circuitale, vale sempre che la corrente entrante (verso una lastra) è pari a quella uscente (dall'altra<br />
lastra).<br />
Se questi fenomeni (l'effetto induttivo e l'effetto capacitivo) sono localizzati in parti definite e limitate del<br />
circuito, le leggi <strong>di</strong> Kirchhoff potranno essere riscritte quasi allo stesso modo, alle con<strong>di</strong>zioni che:<br />
1) nei no<strong>di</strong> non si presentino effetti capacitivi<br />
2) le tensioni generate nei lati tengano conto dell'induzione <strong>di</strong> campi magnetici esterni<br />
3) al secondo membro le c.d.t. ohmiche vengano completate con le c.d.t. su altri componenti,<br />
schematizzabili come induttori e condensatori, per i quali la tensione va calcolata non solo come<br />
funzione lineare della corrente, ma anche della sua derivata o del suo integrale nel tempo.<br />
In queste con<strong>di</strong>zioni si può parlare <strong>di</strong> regime quasi stazionario, ed applicare ancora, con queste mo<strong>di</strong>fiche, le<br />
equazioni <strong>di</strong> Kirchhoff.<br />
Se invece per esempio si considera anche il flusso che attraversa l'intera maglia, oppure il fatto che ci<br />
possono essere <strong>di</strong>spersioni <strong>di</strong> corrente per effetto capacitivo attraverso l'isolamento dei conduttori, il regime<br />
non può essere considerato quasi-stazionario, a meno che non si riesca a modellizzare tali fenomeni<br />
concentrando i loro effetti in singole parti della rete elettrica.<br />
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2 - Analisi delle Reti Elettriche in Regime Stazionario<br />
2.1 - I bipoli ideali - Il resistore<br />
Nel precedente capitolo si è esaminato il fenomeno della conduzione elettrica, definendo la resistenza e le<br />
leggi che legano il valore della corrente alle tensioni generate in un circuito.<br />
Per un singolo tratto <strong>di</strong> circuito si è visto che la corrente che in esso fluisce è pari a:<br />
V1<br />
−V2<br />
+ e12<br />
I1→<br />
2 =<br />
[2.1]<br />
R<br />
12<br />
che esprime in maniera rigorosa il concetto per cui la corrente fluisce in presenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale<br />
(<strong>di</strong> origine elettrostatica) e/o <strong>di</strong> una sorgente <strong>di</strong> f.e.m., ed è limitata da una resistenza, la cui formula è data<br />
da:<br />
∫ () ρ<br />
2 dl<br />
R 12 = l<br />
[2.2]<br />
1 A(l)<br />
Naturalmente perché la corrente fluisca occorre che il circuito sia chiuso; se anche solo uno dei due estremi<br />
del segmento è isolato, non può esserci corrente; quin<strong>di</strong> succederà semplicemente un fenomeno<br />
elettrostatico <strong>di</strong> separazione interna <strong>di</strong> cariche fino a porsi in equilibrio con i campi forzanti (creando una<br />
d.d.p. uguale ed opposta).<br />
Anche se la resistenza è <strong>di</strong> per sé una grandezza <strong>di</strong>stribuita lungo tutto il tratto <strong>di</strong> circuito considerato, può<br />
risultare molto comodo da un punto <strong>di</strong> vista modellistico "concentrarla" in un unico componente, che prende<br />
il nome <strong>di</strong> resistore o, semplicemente, resistenza. Così per rappresentare un tratto <strong>di</strong> circuito basterà porre<br />
in serie, cioè uno dopo l'altro, ciascuno con il secondo estremo elettricamente collegato con il primo estremo<br />
del successivo, due componenti circuitali: uno che rappresenta il fenomeno della generazione della f.e.m., e<br />
si chiama appunto generatore ideale <strong>di</strong> tensione; uno che rappresenta la c.d.t. resistiva, e si chiama<br />
appunto resistenza o resistore. L'or<strong>di</strong>ne con cui vengono posti in serie non ha importanza.<br />
Una volta che sono state utilizzate le <strong>di</strong>mensioni del tratto <strong>di</strong> circuito (area della sezione, lunghezza) per<br />
calcolare il valore della resistenza, ci si può <strong>di</strong>menticare <strong>di</strong> queste caratteristiche geometriche e ragionare<br />
unicamente sul componente.<br />
Questi componenti (resistore, generatore), prendono il nome <strong>di</strong> bipoli, perché presentano due estremi, detti<br />
morsetti o poli. Il nome non è superfluo, perché esistono anche componenti con più morsetti, come i<br />
quadripoli.<br />
I bipoli si <strong>di</strong>cono attivi quando in essi è presente una sorgente <strong>di</strong> f.e.m., passivi in tutti gli altri casi. Si parla<br />
anche, rispettivamente, <strong>di</strong> generatori e utilizzatori.<br />
Nei bipoli esiste la possibilità <strong>di</strong> passaggio <strong>di</strong> corrente da un estremo all'altro, e si può presentare una d.d.p.<br />
tra i due estremi. E' possibile mettere in grafico le due grandezza, tensione e corrente, e tale grafico (o<br />
comunque la funzione che esprime l'una grandezza al variare dell'altra) prende il nome <strong>di</strong> caratteristica del<br />
bipolo; se tale caratteristica è una linea retta, si parla <strong>di</strong> bipolo lineare.<br />
In particolare: se per un resistore la corrente entrante è pari a quella uscente e segue la legge:<br />
V1<br />
−V2<br />
I1→<br />
2 =<br />
[2.3]<br />
R<br />
12<br />
con resistenza costante, il bipolo è lineare; in questo caso si usa anche il termine <strong>di</strong> bipolo ideale. Si noti che<br />
nella formula non appare più la forzante <strong>di</strong> f.e.m., perché il fenomeno è stato separato da questo, ed è<br />
descritto da un componente a sé.<br />
Si può anche scrivere più in sintesi:<br />
V = RI<br />
[2.4]<br />
dove con V si intenda la d.d.p. tra il morsetto in cui la I è entrante e quello da cui la I è uscente. Questa<br />
convezione per tensione e corrente prende il nome <strong>di</strong> convenzione <strong>degli</strong> utilizzatori.<br />
In gran parte dei materiali conduttori si ha che:<br />
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- la corrente può fluire in<strong>di</strong>fferentemente dal morsetto A a B o da B ad A (se cambia il verso della<br />
corrente, dovrà cambiare anche il segno della tensione): si <strong>di</strong>ce allora che il componente è bi<strong>di</strong>rezionale<br />
ed in particolare che è simmetrico se la resistenza è la stessa in entrambi i casi;<br />
- la resistenza non <strong>di</strong>pende dalla tensione o dalla corrente: componente lineare.<br />
La resistenza <strong>di</strong>pende invece dalla temperatura, secondo la legge:<br />
ρ =<br />
ρ<br />
0<br />
R = R<br />
0<br />
( 1+<br />
α(<br />
θ − θ0<br />
) )<br />
⋅(<br />
1+<br />
α(<br />
θ − θ ) )<br />
⋅<br />
0<br />
da cui:<br />
valida per un ampio range <strong>di</strong> temperature.<br />
A temperatura costante, la caratteristica <strong>di</strong> un resistore ideale è quin<strong>di</strong> una retta passante per l'origine; al<br />
variare della temperatura cambia il coefficiente angolare (si ha così un fascio <strong>di</strong> rette avente il centro del<br />
fascio nell'origine).<br />
A conclusione del <strong>di</strong>scorso sulla resistività, si noti che le <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong> tale grandezza sono tali che:<br />
[] [] l<br />
ρ<br />
[ A]<br />
=<br />
m<br />
m<br />
[ R]<br />
⇒[<br />
ρ]<br />
= Ω = Ωm<br />
ma più frequentemente ai fini pratici si usa:<br />
[]<br />
mm 2<br />
2<br />
mm 2<br />
ρ = Ω o anche: [] ρ = Ω<br />
[2.7]<br />
m<br />
km<br />
(con questa scelta, moltiplicando la resistività per la lunghezza espressa in m o km e la sezione in mm 2 si<br />
ottiene la resistenza in Ω).<br />
Per quanto riguarda il generatore, si <strong>di</strong>ce che questo è un generatore ideale se la f.e.m. da esso creata non<br />
<strong>di</strong>pende dalla corrente che in esso circola. La sua caratteristica è pertanto una retta parallela all'asse delle<br />
correnti.<br />
Oltre al generatore ideale <strong>di</strong> tensione si utilizza un altro componente attivo, il generatore ideale <strong>di</strong> corrente.<br />
Questo <strong>di</strong>spositivo eroga corrente costante, in<strong>di</strong>pendentemente da quale sia il valore <strong>di</strong> tensione applicato.<br />
La sua caratteristica è quin<strong>di</strong> una retta parallela all'asse delle tensioni. Questo <strong>di</strong>spositivo non esiste nella<br />
realtà; è possibile realizzare un <strong>di</strong>spositivo quasi ideale utilizzando un generatore <strong>di</strong> tensione con un<br />
meccanismo <strong>di</strong> controllo che, sensibile alla corrente, genera la tensione necessaria per avere il valore <strong>di</strong><br />
corrente stabilito. Tuttavia dal punto <strong>di</strong> vista modellistico il componente ideale risulta molto utile nell'analisi<br />
delle reti elettriche, come si vedrà in seguito.<br />
Si usa <strong>di</strong>re che il generatore <strong>di</strong> tensione e quello <strong>di</strong> corrente sono <strong>di</strong>spositivi duali.<br />
Per i generatori si usa solitamente la seguente convenzione: la tensione viene misurata come d.d.p. tra il<br />
morsetto da cui la corrente esce e quello in cui la corrente entra: convenzione dei generatori.<br />
Una modellizzazione più realistica dei generatori è quella <strong>di</strong> associare sempre ad una generatore ideale <strong>di</strong><br />
tensione una resistenza serie e a quello <strong>di</strong> corrente una resistenza parallelo. Queste resistenze rendono<br />
conto: per il generatore <strong>di</strong> tensione, della c.d.t. dovuta al fatto che, se nel generatore passa corrente, anche<br />
questa incontrerà una resistenza, per cui la tensione ai morsetti risulterà inferiore a quella ideale, in misura<br />
proporzionale alla corrente stessa; dualmente, per il generatore <strong>di</strong> corrente, del fatto che se il generatore<br />
eroga internamente la corrente prevista e si presenta una certa d.d.p. ai morsetti, comunque una parte <strong>di</strong><br />
questa corrente verrà drenata internamente, in misura proporzionale alla tensione stessa. Questa<br />
modellizzazione è molto vicina alla realtà.<br />
2.2 - Serie e parallelo<br />
I bipoli possono essere posti in serie o in parallelo.<br />
In serie significa che ciascun bipolo è posto in successione al precedente, quin<strong>di</strong> con il primo morsetto<br />
collegato all'ultimo del precedente e l'ultimo al primo del successivo. Se sono posti tra due no<strong>di</strong> A e B, solo il<br />
primo morsetto del primo bipolo sarà collegato ad A solo l'ultimo dell'ultimo bipolo sarà collegato a B.<br />
Ne risulta che i bipoli in serie sono attraversati dalla stessa corrente; la tensione risultante è la somma<br />
algebrica delle tensioni <strong>di</strong> tutti i bipoli posti in quella serie.<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011<br />
[2.5]<br />
[2.6]
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 13 <strong>di</strong> 64<br />
In parallelo significa che tutti i bipoli sono collegati alla stessa coppia <strong>di</strong> morsetti A e B: ogni bipolo ha un<br />
morsetto collegato ad A e l'altro collegato a B.<br />
Ne risulta che i bipoli in parallelo sono soggetti alla medesima tensione, mentre la corrente totale (entrante<br />
da A e uscente da B, o viceversa) è la somma algebrica delle correnti <strong>di</strong> tutti i bipoli posti in quel parallelo.<br />
Se si pongono in serie dei generatori <strong>di</strong> tensione, la tensione totale è la somma algebrica delle tensioni <strong>di</strong><br />
ciascuno.<br />
Se si pongono in parallelo dei generatori <strong>di</strong> corrente, la corrente totale è la somma algebrica delle correnti <strong>di</strong><br />
ciascuno.<br />
Non si devono invece mai porre in parallelo dei generatori ideali <strong>di</strong> tensione, senza resistenze in serie ad<br />
essi, o in serie dei generatori <strong>di</strong> corrente, senza resistenze in parallelo ad essi: nel primo caso si avrebbero<br />
delle maglie (ogni maglia con due generatori) con una f.e.m. totale <strong>di</strong>versa da 0, e nessuna resistenza, col<br />
risultato <strong>di</strong> far passare una corrente <strong>di</strong> valore infinito; nel secondo caso si avrebbero dei no<strong>di</strong> con somma <strong>di</strong><br />
correnti <strong>di</strong>versa da 0, col risultato (duale al precedente) <strong>di</strong> creare dei valori infiniti <strong>di</strong> tensione.<br />
Se si pongono in serie delle resistenze:<br />
V<br />
= R1<br />
I + R2I<br />
+ K+<br />
R I = R I<br />
[2.8]<br />
AB N ∑ j j<br />
da cui:<br />
∑<br />
R = R<br />
[2.9]<br />
S<br />
j j<br />
La resistenza equivalente ad una serie <strong>di</strong> resistenze è la somma delle resistenze stesse.<br />
Se invece sono in parallelo:<br />
V<br />
I =<br />
R<br />
1<br />
da cui:<br />
+<br />
V<br />
R<br />
2<br />
( ) 1 1 − −<br />
R<br />
∑<br />
V 1<br />
+ K + = V ⋅∑<br />
[2.10]<br />
j R R<br />
N<br />
j<br />
R =<br />
[2.11]<br />
P<br />
j j<br />
La resistenza equivalente ad un parallelo <strong>di</strong> resistenze è il reciproco della somma dei reciproci delle<br />
resistenze stesse.<br />
A tal proposito si introduce un'altra grandezza, la conduttanza, pari al reciproco della resistenza:<br />
G =<br />
R<br />
1 [2.12]<br />
La conduttanza si misura in siemens, simbolo S, che è pari esattamente al reciproco <strong>di</strong> un ohm. Vale quin<strong>di</strong>:<br />
G<br />
G<br />
S<br />
P<br />
=<br />
=<br />
−1<br />
( G j )<br />
∑<br />
∑<br />
j<br />
j<br />
G<br />
j<br />
−1<br />
Queste formule sono duali a quelle con le resistenze.<br />
2.3 - Meto<strong>di</strong> per la soluzione <strong>di</strong> reti elettriche lineari<br />
[2.13]<br />
Come già visto nel capitolo precedente, una rete elettrica è caratterizzata da N no<strong>di</strong> e L lati. In essa si hanno<br />
N −1<br />
equazioni <strong>di</strong> Kirchhoff ai no<strong>di</strong> in<strong>di</strong>pendenti N −1<br />
tensioni nodali significative (un nodo va preso come<br />
riferimento <strong>di</strong> V ) e L − N + 1 equazioni <strong>di</strong> Kirchhoff alle maglie in<strong>di</strong>pendenti.<br />
Ciascun ramo potrà presentare la serie <strong>di</strong> più resistenze, più generatori <strong>di</strong> tensione, e al più <strong>di</strong> un solo<br />
generatore <strong>di</strong> corrente. E' allora opportuno, come primo passo, porre in serie tutte le resistenze, ottenendone<br />
una equivalente, per ciascun ramo; e così pure per i generatori <strong>di</strong> f.e.m.. In seguito le tensioni sui singoli<br />
bipoli passivi potranno essere facilmente ricostruite, una volta nota la corrente che scorre nel ramo.<br />
Così pure può succedere che ad una coppia <strong>di</strong> no<strong>di</strong> afferiscano più rami in parallelo composti da sole<br />
resistenze. E' allora conveniente ridurre tali rami ad uno solo, con la resistenza equivalente al parallelo delle<br />
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resistenze originali. In seguito le correnti sui singoli bipoli passivi potranno essere facilmente ricostruite, una<br />
volta nota la d.d.p. tra i due no<strong>di</strong>.<br />
Dopo avere ridotto i rami serie e parallelo (tale riduzione non è obbligatoria, ma permette una<br />
semplificazione dei conti successivi), per la soluzione si può procedere secondo tre <strong>di</strong>versi meto<strong>di</strong> basati<br />
sulle eq. <strong>di</strong> Kirchhoff:<br />
2.3.1 - Metodo delle correnti <strong>di</strong> lato<br />
Si scelgono come incognite le correnti nei lati, assegnando liberamente ad ogni lato un verso<br />
convenzionalmente positivo.<br />
Si possono quin<strong>di</strong> scrivere subito le N −1<br />
eq. <strong>di</strong> K. ai no<strong>di</strong>.<br />
Si scrivono quin<strong>di</strong>, in funzione delle incognite, le L − N + 1 eq. <strong>di</strong> K. alle maglie, effettuando i prodotti delle<br />
resistenze per le correnti e sommando le f.e.m. dei generatori.<br />
N = L equazioni, con L incognite.<br />
Si hanno così ( −1 ) + ( L − N + 1)<br />
Risolto il sistema, si possono trovare le tensioni in ogni nodo, partendo dal nodo <strong>di</strong> riferimento e via via agli<br />
altri, sommando le c.d.t. resistive e le f.e.m. dei lati che congiungono i no<strong>di</strong>.<br />
Il metodo spesso è pesante perché le equazioni sono spesso in numero elevato.<br />
2.3.2 - Metodo delle tensioni <strong>di</strong> nodo<br />
Si scelgono come incognite le tensioni <strong>di</strong> N −1<br />
no<strong>di</strong> (tutti, escluso il nodo <strong>di</strong> riferimento).<br />
In funzione <strong>di</strong> tali incognite si hanno subito le d.d.p. sui vari lati, e quin<strong>di</strong> le correnti negli stessi.<br />
Si possono così scrivere le N −1<br />
eq. <strong>di</strong> K. ai no<strong>di</strong>.<br />
Si hanno così N −1<br />
equazioni con N −1<br />
incognite.<br />
Risolto il sistema, dalle d.d.p. si ottengono le correnti nei lati.<br />
2.3.3 - Metodo delle correnti <strong>di</strong> maglia<br />
Si assegna ad ognuna delle L − N + 1 maglie una corrente, per ora incognita, detta corrente <strong>di</strong> maglia, per la<br />
quale si fissa anche il verso convenzionalmente positivo. Questa corrente sarà tale che: se un lato<br />
appartiene ad una sola maglia, la corrente in quel lato coinciderà coincide con la corrente <strong>di</strong> maglia; se un<br />
lato è con<strong>di</strong>viso da più maglie, la corrente in quel lato è la somma algebrica delle correnti <strong>di</strong> tutte le maglie a<br />
cui il nodo appartiene (tenere conto del verso convenzionale).<br />
Si possono così esprimere le correnti <strong>di</strong> lato in funzione <strong>di</strong> quelle <strong>di</strong> maglia, e <strong>di</strong> conseguenza le tensioni nei<br />
lati e quin<strong>di</strong> le L − N + 1 eq. <strong>di</strong> K. alla maglie.<br />
Si hanno così L − N + 1 equazioni con L − N + 1 incognite.<br />
Risolto il sistema, si ricostruiscono le correnti <strong>di</strong> lato e quin<strong>di</strong>, come sopra, le tensioni nodali.<br />
Si possono presentare dei casi particolari:<br />
1) Un ramo presenta solo un generatore <strong>di</strong> tensione, senza alcuna resistenza:<br />
- se si risolve la rete con il metodo delle correnti <strong>di</strong> lato, non ci sono problemi perché esiste<br />
<strong>di</strong>rettamente l'espressione <strong>di</strong> una delle d.d.p. da inserire nelle eq. <strong>di</strong> K. alle maglie<br />
- se si risolve la rete con il metodo delle tensioni <strong>di</strong> nodo, manca l'espressione della corrente <strong>di</strong> quel<br />
lato; in compenso però una d.d.p. tra due no<strong>di</strong> è già definita; si pone come ulteriore incognita la<br />
corrente nel generatore, ottenendo una incognita in più, ma anche un'equazione in più, perché la<br />
d.d.p. tra i due no<strong>di</strong> fornisce una semplice equazione contenente due tensioni nodali incognite<br />
- se si risolve utilizzando il metodo delle correnti <strong>di</strong> maglia, non ci sono problemi perché esiste<br />
<strong>di</strong>rettamente l'espressione <strong>di</strong> una delle d.d.p. da inserire nelle eq. <strong>di</strong> K. alle maglie<br />
- un ulteriore metodo sarà fornito alla fine del paragrafo 2.7 - .<br />
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2) Un ramo presenta solo un generatore <strong>di</strong> corrente, senza alcuna resistenza<br />
- se si risolve con il metodo delle correnti <strong>di</strong> lato, manca l'espressione della tensione in quel lato; in<br />
compenso è già nota una delle correnti; si pone come ulteriore incognita la tensione sul<br />
generatore, quin<strong>di</strong> si ha questa incognita in più, ma anche una corrente incognita in meno<br />
- se si risolve con il metodo dei potenziali <strong>di</strong> nodo, non ci sono problemi perché esiste <strong>di</strong>rettamente<br />
l'espressione della corrente in quel lato<br />
- se si risolve col metodo delle correnti <strong>di</strong> maglia, manca l'espressione della tensione in quel lato; in<br />
compenso è già nota una delle correnti <strong>di</strong> lato; si pone come ulteriore incognita la tensione sul<br />
generatore, quin<strong>di</strong> si ha questa incognita in più, ma anche un'equazione in più essendo tale<br />
corrente la somma algebrica delle correnti <strong>di</strong> maglia a cui quel lato appartiene<br />
2.4 - Equivalenti e sovrapposizione <strong>degli</strong> effetti<br />
Si consideri un ramo costituito da un generatore ideale <strong>di</strong> tensione in serie con una resistenza. Vedendo il<br />
ramo come un unico bipolo, si può esprimere la sua caratteristica:<br />
V = E − RI<br />
[2.14]<br />
dove si è utilizzata la convenzione dei generatori, e la tensione V è stata con lo stesso verso utilizzato per la<br />
tensione generata E .<br />
Si consideri invece ora il parallelo <strong>di</strong> un generatore <strong>di</strong> corrente e <strong>di</strong> una resistenza. Vedendo anche questo<br />
come un unico bipolo, si può esprimere la sua caratteristica:<br />
( A − I ) = RA<br />
RI<br />
V = R ⋅<br />
−<br />
[2.15]<br />
dove si è utilizzata la stessa convenzione e dove A è la corrente generata.<br />
In entrambi i casi la caratteristica prevede un termine costante ( E, RA ) e un decremento lineare<br />
all'aumentare della corrente, con pendenza pari al valore della resistenza. Dal punto <strong>di</strong> vista esterno i due<br />
casi sono quin<strong>di</strong> equivalenti. Questo vuol <strong>di</strong>re che in una rete elettrica un generatore <strong>di</strong> tensione E con in<br />
serie una resistenza R può essere sostituito, ai fini della risoluzione del problema, con un generatore <strong>di</strong><br />
corrente <strong>di</strong> valore A = E R in parallelo alla stessa resistenza, e viceversa. Questo a volte semplifica le<br />
cose, o rende più "visibile" e imme<strong>di</strong>ata alla persona che affronta il problema la soluzione della rete.<br />
Si consideri ora un semplice circuito (una sola maglia) costituito dalla serie <strong>di</strong> due generatori <strong>di</strong> tensione e<br />
una resistenza. La corrente che circola vale quin<strong>di</strong>:<br />
E E2<br />
I = [2.16]<br />
R<br />
1 +<br />
Si è già notato come la tensione <strong>di</strong> un generatore ideale <strong>di</strong> f.e.m. non <strong>di</strong>penda dalla corrente, e come questo<br />
possa permette il passaggio, in generale, <strong>di</strong> qualunque corrente. Si supponga allora <strong>di</strong> <strong>di</strong>sattivare il<br />
generatore 2, continuando però a permettere il passaggio <strong>di</strong> qualunque corrente. Si avrà allora solo l'effetto<br />
del generatore 1:<br />
I(<br />
= [2.17]<br />
1)<br />
E1<br />
R<br />
Riattivando il generatore 2 e ripetendo l'operazione per il generatore 1, si avrà:<br />
I(<br />
= [2.18]<br />
2)<br />
E2<br />
R<br />
Si nota che la corrente ottenuta con entrambi i generatori accesi e la somma <strong>di</strong> queste due correnti danno lo<br />
stesso valore. Cioè è possibile considerare la situazione effettiva come la somma, o meglio la<br />
sovrapposizione dei due effetti, a con<strong>di</strong>zione che in ciascun singolo effetto ogni generatore spento venisse<br />
considerato come passaggio libero <strong>di</strong> corrente, cioè un collegamento privo <strong>di</strong> resistenza, o, come si <strong>di</strong>ce in<br />
elettrotecnica, un cortocircuito (spesso abbreviato in cto cto).<br />
Esempio duale: due generatori <strong>di</strong> corrente in parallelo tra loro e in parallelo con una resistenza. Vale:<br />
( A A )<br />
V = R ⋅ +<br />
[2.19]<br />
1<br />
2<br />
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Il generatore <strong>di</strong> corrente può prendersi qualunque tensione, ma impone la corrente. Disattivarne uno<br />
vorrebbe <strong>di</strong>re permettere qualunque tensione, ma nessuna corrente: quin<strong>di</strong> un circuito aperto. Disattivando<br />
prima l'uno e poi l'altro si avranno:<br />
V<br />
V<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
= RA<br />
1<br />
= RA<br />
2<br />
[2.20]<br />
e la somma <strong>di</strong> queste due tensioni coincide con la tensione presente quando sono entrambi attivati. Anche<br />
qui si può considerare la situazione effettiva come somma, o meglio sovrapposizione <strong>degli</strong> effetti, a<br />
con<strong>di</strong>zione che in ciascun singolo effetto il generatore spento sia sostituito con un circuito aperto.<br />
Si noti che in entrambi i casi la sovrapposizione è possibile se la rete è lineare e i generatori ideali, cioè<br />
se il valore della resistenza non <strong>di</strong>pende dalla corrente in transito o dalla tensione applicata, e così pure le<br />
tensioni generate non risentano delle correnti in transito e le correnti generate non risentano delle tensioni<br />
applicate.<br />
Se la rete elettrica fosse anche più complessa, le cose non cambierebbero. Risolvendo la rete in forma<br />
simbolica, si noterebbe che ogni tensione nodale e ogni corrente <strong>di</strong> lato è una funzione lineare delle tensioni<br />
o delle correnti dei generatori. Quin<strong>di</strong> si enuncia il principio <strong>di</strong> sovrapposizione <strong>degli</strong> effetti:<br />
In una rete lineare e con generatori ideali è possibile applicare la sovrapposizione <strong>degli</strong> effetti, vale a<br />
<strong>di</strong>re: la tensione in ogni nodo è la somma delle tensioni e la corrente in ogni lato è la somma delle<br />
correnti che si ottengono attivando volta per volta solo uno o una parte dei generatori, fino a<br />
considerarli tutti una e una sola volta, e lasciando spenti tutti gli altri, lasciandoli cioè in cortocircuito<br />
se generatori <strong>di</strong> tensione e in circuito aperto se generatori <strong>di</strong> corrente.<br />
La rete con tutti i generatori posti in queste con<strong>di</strong>zioni può essere definita rete passiva.<br />
Dal principio <strong>di</strong> sovrapposizione <strong>degli</strong> effetti <strong>di</strong>scende che: se in una rete viene acceso un nuovo generatore<br />
o ne viene spento uno esistente, non occorre risolvere da capo la rete ma basta aggiungere o togliere alla<br />
soluzione preesistente il nuovo effetto, calcolato sulla rete passiva.<br />
2.5 - I teoremi <strong>di</strong> Thevenin e <strong>di</strong> Norton<br />
Si considerino ancora gli esempi precedentemente riportati in questo capitolo. Si nota che la caratteristica è<br />
data dalla somma <strong>di</strong> due termini: uno costante, e uno lineare.<br />
Se si considera il generatore <strong>di</strong> tensione in serie alla resistenza, si nota anche che il termine costante<br />
corrisponde alla tensione a vuoto, cioè a quella tensione che si presenta ai capi dei morsetti quando questi<br />
non sono richiusi su nessun altro circuito e quin<strong>di</strong> non scorre corrente. Il termine lineare invece è pari alla<br />
caratteristica che si presenta <strong>di</strong>sattivando il generatore, ponendolo cioè in cto cto: è la caratteristica della<br />
rete passiva, in questo caso molto semplice.<br />
Se si considera l'altro esempio, riscrivibile in questa forma:<br />
V<br />
I = A + = A + GV<br />
[2.21]<br />
R<br />
si nota che il termine costante è pari alla corrente che si avrebbe quando i due morsetti sono posti in cto cto,<br />
cioè quando questi sono richiusi con un collegamento privo <strong>di</strong> resistenza: in queste con<strong>di</strong>zioni non c'è<br />
tensione sui morsetti e quin<strong>di</strong> neppure corrente nella resistenza. Il termine lineare invece è pari alla<br />
caratteristica che si presenta <strong>di</strong>sattivando il generatore, cioè trasformandolo in un circuito aperto: è la<br />
caratteristica della rete passiva, in questo caso molto semplice.<br />
Si può <strong>di</strong>mostrare, utilizzando la linearità della rete, l'idealità dei generatori, il principio <strong>di</strong> sovrapposizione<br />
<strong>degli</strong> effetti, che le stesse regole valgono anche quando la rete sia più complessa, presenti anche più<br />
generatori e una magliatura articolata <strong>di</strong> resistenze: e cioè che, vedendo le cose da due morsetti della rete e<br />
considerandola da lì come unico bipolo, la caratteristica <strong>di</strong> una rete lineare qualunque è sempre data dalla<br />
somma <strong>di</strong> un termine costante, pari alla tensione a vuoto che si ottiene lasciando i due morsetti a vuoto,<br />
oppure pari alla corrente che si ottiene ponendo i due morsetti in cto cto, e un termine lineare, con la stessa<br />
caratteristica della rete passiva vista dai due morsetti.<br />
Si enunciano allora:<br />
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Teorema <strong>di</strong> Thevenin: Una qualunque rete lineare vista da due suoi no<strong>di</strong> può essere sostituita con<br />
una rete equivalente costituita da: un generatore ideale <strong>di</strong> tensione che eroga<br />
la tensione a vuoto tra i due no<strong>di</strong>, in serie con una resistenza <strong>di</strong> valore pari alla<br />
resistenza <strong>di</strong> tutta la rete in questione, passiva, vista <strong>degli</strong> stessi due no<strong>di</strong>.<br />
Teorema <strong>di</strong> Norton Una qualunque rete lineare vista da due suoi no<strong>di</strong> può essere sostituita con<br />
una rete equivalente costituita da: un generatore ideale <strong>di</strong> corrente che eroga<br />
la corrente <strong>di</strong> cto cto tra i due no<strong>di</strong>, in parallelo con una conduttanza <strong>di</strong> valore<br />
pari alla conduttanza <strong>di</strong> tutta la rete in questione, passiva, vista <strong>degli</strong> stessi<br />
due no<strong>di</strong>.<br />
Per "resistenza (conduttanza) <strong>di</strong> valore pari alla resistenza (conduttanza) <strong>di</strong> tutta la rete passiva vista dai due<br />
no<strong>di</strong>" si intende questo: per la rete passiva si può scrivere un'equazione corrispondente alla caratteristica<br />
vista dai due no<strong>di</strong>, cioè alla relazione che lega V ed I nei due no<strong>di</strong>. Questa caratteristica passa per<br />
l'origine, essendo la rete passiva, ed è una retta, essendo la rete lineare. Quin<strong>di</strong> il coefficiente angolare della<br />
relazione V − I è pari alla resistenza da porre nell'equivalente <strong>di</strong> Thevenin e il suo reciproco alla<br />
conduttanza da porre nell'equivalente <strong>di</strong> Norton.<br />
In generale tale equazione caratteristica potrebbe essere trovata in questo modo: si pone una prima<br />
tensione <strong>di</strong> tentativo tra i due no<strong>di</strong> e si misura la corrente (o si risolve la rete con questa forzante); si pone<br />
una seconda tensione <strong>di</strong> tentativo e si misura ancora la corrente (o si risolve ancora). Si sono così ottenuti<br />
due punti della caratteristica. Ma essendo questa una retta, ecco che con due punti tale retta è definita.<br />
Meglio ancora poiché è noto a priori che la retta passa per l'origine, basta misurare e risolvere una sola<br />
volta, perché un punto è sufficiente a determinare la retta.<br />
Solitamente però il problema può essere risolto in maniera più <strong>di</strong>retta: spesso le reti passive sono riducibili<br />
gradualmente, attraverso riduzioni successive tipo serie o parallelo: dapprima tutti i gruppi <strong>di</strong> resistenze in<br />
serie vengono sostituiti con le rispettive resistenze equivalenti serie e tutti i gruppi <strong>di</strong> resistenze in parallelo<br />
vengono sostituiti con le rispettive resistenze equivalenti parallelo; la nuova rete così ridotta può ancora<br />
presentare altre serie o altri paralleli, che vengono ancora ridotti, e così via.<br />
2.6 - Le conversioni stella-triangolo e triangolo-stella<br />
Nella riduzione <strong>di</strong> una rete si possono incontrare delle configurazioni <strong>di</strong> questo tipo:<br />
A<br />
figura 2.1<br />
che non sono riducibili me<strong>di</strong>anti normali riduzioni tipo serie o tipo parallelo.<br />
B<br />
Esistono cioè due configurazioni particolari, che si presentano fra tre no<strong>di</strong>, con un eventuale quarto nodo in<br />
posizione centrale. Queste configurazioni sono: la configurazione a stella e quella a triangolo.<br />
In<strong>di</strong>cando con A, B, C i tre no<strong>di</strong> e con H il quarto:<br />
- la configurazione a stella si ha quando ciascuno nodo A, B, C è collegato al nodo H, detto centro-stella;<br />
- la configurazione a triangolo si ha quando (non esiste H) si hanno i collegamenti A-B, B-C, C-A, come i<br />
lati <strong>di</strong> un triangolo.<br />
Una configurazione a stella può essere trasformata in una equivalente a triangolo, e viceversa.<br />
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Si in<strong>di</strong>chino:<br />
R X la resistenza a stella con X e H, con X (maiuscola) = A,B,C<br />
R x la resistenza a triangolo tra y e z, con x,y,z (minuscole) = A,B,C, a rotazione<br />
Valgono allora le seguenti relazioni:<br />
R<br />
R<br />
A<br />
a<br />
RbRc<br />
=<br />
R + R + R<br />
R<br />
=<br />
a<br />
A<br />
R<br />
B<br />
b<br />
c<br />
+ RAR<br />
R<br />
A<br />
C<br />
+ R<br />
B<br />
R<br />
C<br />
per le altre resistenze (in<strong>di</strong>ci B, C, b, c) basta ruotare <strong>di</strong> conseguenza gli in<strong>di</strong>ci al secondo membro.<br />
[2.22]<br />
In particolare, se le tre resistenze a stella sono uguali, lo sono anche quelle a triangolo, e viceversa; in tal<br />
caso le resistenze a triangolo sono 3 volte maggiori <strong>di</strong> quelle a stella.<br />
2.7 - Meto<strong>di</strong> matriciali per l'analisi delle reti elettriche lineari<br />
I meto<strong>di</strong> fin qui in<strong>di</strong>cati sono vali<strong>di</strong> per reti lineari <strong>di</strong> qualunque <strong>di</strong>mensione.<br />
Risulta però comodo automatizzare il calcolo della soluzione, facendo uso <strong>di</strong> mezzi <strong>di</strong> calcolo elettronici, e<br />
questo può essere effettuato utilizzando modelli e strumenti <strong>di</strong> analisi delle reti che fanno uso delle matrici.<br />
Si consideri una rete che presenti N no<strong>di</strong> e L lati.<br />
Va premesso che a volte può interessare, soprattutto con questi meto<strong>di</strong> automatici, ottenere <strong>di</strong>rettamente<br />
dalla soluzione del sistema la tensione in un punto interme<strong>di</strong>o <strong>di</strong> un ramo, per esempio il punto <strong>di</strong><br />
separazione tra due resistenze in serie o tra una resistenza e un generatore. Tale punto separa due tronconi<br />
<strong>di</strong> ramo, e quin<strong>di</strong> non potrebbe essere considerato come nodo, secondo la definizione precedente, che<br />
prevedeva il nodo come punto <strong>di</strong> incontro tra almeno tre rami. Tuttavia anche per questo punto sono<br />
applicabili i principi <strong>di</strong> Kirchhoff, quin<strong>di</strong> la definizione <strong>di</strong> nodo potrebbe essere estesa. In fase <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>o della<br />
rete si devono quin<strong>di</strong> considerare come no<strong>di</strong> i punti che separano almeno tre rami e si possono, a libera<br />
scelta, considerare come no<strong>di</strong> anche i punti che separano due tronconi <strong>di</strong> lato, che quin<strong>di</strong> verranno<br />
considerati come lati <strong>di</strong>stinti.<br />
Fatte queste scelte preliminari, si assegni ad ogni nodo un numero progressivo, da 1 ad N , e lo stesso si<br />
faccia per ogni lato, da 1 ad L ; ad ogni lato inoltre si assegni un verso convenzionalmente positivo, in modo<br />
che i suoi due estremi siano considerati uno come estremo entrante e l'altro come estremo uscente per la<br />
corrente.<br />
E' possibile allora definire la matrice <strong>di</strong> incidenza nodo-lato (o semplicemente matrice <strong>di</strong> incidenza),<br />
come quella matrice [ C′ <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni ( N × L ), tale che:<br />
[ C ] = [ c′<br />
]<br />
con:<br />
ik<br />
]<br />
′ [2.23]<br />
c = + 1<br />
se il lato k afferisce al nodo i , e questo è il nodo entrante del lato k<br />
′ik<br />
c = −1<br />
se il lato k afferisce al nodo i , e questo è il nodo uscente del lato k<br />
′ik<br />
c = 0<br />
se il lato k non afferisce al nodo i<br />
′ik<br />
Si noti che questa matrice presenta:<br />
- su ogni riga i tanti elementi <strong>di</strong>versi da zero quanti sono i collegamenti <strong>di</strong> quel nodo i -esimo<br />
- su ogni colonna k (lato k -esimo) solo 2 elementi <strong>di</strong>versi da zero, <strong>di</strong> valore +1 e -1.<br />
Ma più comunemente si usa la matrice <strong>di</strong> incidenza ridotta [ C ] , definita come la precedente, ma con la<br />
<strong>di</strong>fferenza che si utilizzano N −1<br />
no<strong>di</strong> anziché N perché un nodo è stato scelto come nodo <strong>di</strong> riferimento.<br />
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Si definiscono poi la matrice delle resistenze <strong>di</strong> lato [ R l ] e la matrice delle conduttanze <strong>di</strong> lato [ G l ] , <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>mensioni ( L × L ), che presentano elementi <strong>di</strong>versi da zero solo sui termini <strong>di</strong>agonali; ciascun termine<br />
<strong>di</strong>agonale presenta il valore rispettivamente della resistenza e della conduttanza del lato corrispondente.<br />
]<br />
Si noti che, in<strong>di</strong>cando con [ Il<br />
il vettore colonna che contiene, per ogni elemento, il valore della corrente <strong>di</strong><br />
lato misurata con il verso stabilito come positivo per il lato in cui fluisce, si ha che:<br />
[] I [ C][<br />
⋅ I ]<br />
= [2.24]<br />
l<br />
[] I è un vettore colonna che contiene, per ogni elemento i , il valore della corrente che dal nodo i-esimo<br />
fluisce verso tutti i no<strong>di</strong> a questo collegati, attraverso i rami che partono dal nodo i stesso. Questa corrente,<br />
per il principio <strong>di</strong> Kirchhoff ai no<strong>di</strong>, è nulla, a meno che non si presenti nel nodo un ulteriore elemento, non<br />
considerato nella matrice <strong>di</strong> incidenza, che dall'esterno inietti corrente nella rete, in modo che la somma delle<br />
correnti che fluiscono dal nodo verso i lati è pari alla corrente iniettata dall'esterno nel nodo (il principio <strong>di</strong> K.<br />
viene così ancora rispettato). Questo elemento potrebbe essere un generatore ideale <strong>di</strong> corrente, collegato<br />
con il suo secondo estremo a terra (o, che è lo stesso, al nodo <strong>di</strong> riferimento).<br />
Si nota allora come questa formulazione matriciale potrebbe aiutare a scrivere le equazioni <strong>di</strong> Kirchhoff ai<br />
no<strong>di</strong> in maniera sistematica. Si noti pure che, utilizzando la matrice <strong>di</strong> incidenza ridotta, si avranno le<br />
equazioni per tutti i no<strong>di</strong> meno uno, quello scelto come riferimento; ma questa per<strong>di</strong>ta non è grave, anzi è<br />
opportuna, perché questa equazione è linearmente <strong>di</strong>pendente dalle altre.<br />
Si noti anche che, considerando il vettore colonna delle tensioni nodali, [ V ] , si ha che:<br />
t [ C ] [ V ] = [ V ]<br />
con<br />
⋅ [2.25]<br />
[ ] [ v ]<br />
V l l,<br />
k<br />
l<br />
= dove: vl, k = Vi<br />
−V<br />
j<br />
[2.26]<br />
]<br />
il vettore colonna [ Vl così ottenuto presenta, per ogni elemento k -esimo, la tensione applicata al lato k ,<br />
pari cioè alla d.d.p. tra il nodo i (estremo entrante <strong>di</strong> k ) e il nodo j (estremo uscente <strong>di</strong> k ). Si noti che se<br />
uno dei due estremi <strong>di</strong> un lato fosse il nodo <strong>di</strong> riferimento, la matrice <strong>di</strong> incidenza non riporterebbe nulla<br />
(manca la riga corrispondente), ma questo va bene perché in quel nodo la tensione è nulla per definizione.<br />
Poiché per ogni lato k tra i no<strong>di</strong> i e j vale:<br />
k<br />
ij<br />
k<br />
( V −V<br />
E )<br />
I = I = G ⋅ +<br />
[2.27]<br />
i<br />
j<br />
k<br />
allora, definendo [ E l ] come il vettore colonna delle tensioni generate <strong>di</strong> lato, vale che:<br />
( )<br />
t<br />
[ I ] [ G ] ⋅ [ C]<br />
⋅[<br />
V ] + [ E ]<br />
l<br />
= [2.28]<br />
l<br />
l<br />
e quin<strong>di</strong>, combinando questa equazione con la [2.24]:<br />
( )<br />
t<br />
[] I [ C][<br />
⋅ I ] = [ C][<br />
⋅ G ] ⋅ [ C]<br />
⋅[<br />
V ] + [ E ]<br />
= [2.29]<br />
l<br />
l<br />
l<br />
Questa scrittura ci porta verso una formulazione abbastanza compatta del metodo dei potenziali <strong>di</strong> nodo. La<br />
formula [2.29] presenta però il termine dovuto alle tensioni dei generatori che complica un po' le cose.<br />
Conviene allora procedere in questo modo. Prima <strong>di</strong> applicare il metodo, si considerano tutti i lati dove sono<br />
presenti dei generatori <strong>di</strong> tensione. Questi saranno, in generale, in serie con delle resistenze. E' allora<br />
possibile trasformare questi lati negli equivalenti che presentano un generatore <strong>di</strong> corrente, posto in parallelo<br />
allo stesso valore <strong>di</strong> resistenza posto in serie al generatore <strong>di</strong> tensione originale, ed erogante una corrente<br />
A pari a:<br />
A = E R<br />
[2.30]<br />
in questo modo la rete presenterà solo bipoli passivi e <strong>degli</strong> iniettori <strong>di</strong> corrente in ogni nodo che sia estremo<br />
<strong>di</strong> un lato ove era presente un generatore <strong>di</strong> tensione.<br />
Questa procedura rende ancora più frequente la possibilità <strong>di</strong> considerare come no<strong>di</strong> anche i punti tra due<br />
tronconi <strong>di</strong> lato: spesso è proprio in tali punti che viene posizionata l'iniezione <strong>di</strong> corrente. Si consideri infatti<br />
un lato che presenti in serie una resistenza e un generatore reale <strong>di</strong> f.e.m.: il generatore reale è composto<br />
dalla serie <strong>di</strong> un generatore ideale e <strong>di</strong> una resistenza. Si può allora procedere in due mo<strong>di</strong>: a) conglobare la<br />
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resistenza del generatore a quella dell'altro troncone <strong>di</strong> ramo, ponendole in serie, ed effettuare l'equivalente<br />
dell'unico lato così ottenuto; b) effettuare l'equivalente del solo troncone contenente il generatore e la sua<br />
resistenza, ottenendo così due rami passivi in serie e una iniezione <strong>di</strong> corrente nel punto <strong>di</strong> separazione.<br />
Vanno infine considerati i lati in antenna: un lato si <strong>di</strong>ce in antenna se ha un estremo collegato alla rete,<br />
mentre l'altro è libero, non presenta altri collegamenti: si parla allora <strong>di</strong> nodo in antenna. In con<strong>di</strong>zioni normali<br />
non si ha corrente nel lato e la tensione del nodo in antenna è quin<strong>di</strong> la stessa dell'altro estremo; qualora<br />
però si presentasse una iniezione <strong>di</strong> corrente nel nodo in antenna, ci sarebbe corrente e le tensioni ai due<br />
estremi sarebbero <strong>di</strong>verse. Si estende allora ulteriormente la definizione <strong>di</strong> nodo anche a questo caso, che<br />
prevede per il nodo anche un solo collegamento, anziché i tre della definizione originale o i due<br />
dell'estensione ammessa in questo capitolo.<br />
Tornando comunque all'equivalente <strong>di</strong> corrente, se i no<strong>di</strong> i e j sono appunto due estremi <strong>di</strong> un lato <strong>di</strong> cui è<br />
stato fatto l'equivalente, la stessa corrente Ak<br />
verrà iniettata in essi, ma poiché il generatore <strong>di</strong> tensione<br />
eliminato ha verso convenzionalmente positivo se la freccia va dal nodo entrante a quello uscente, allora nel<br />
nodo convenzionalmente entrante (poniamo sia i ) la corrente del generatore verrà iniettata con verso<br />
negativo ( − Ak<br />
), nell'altro, convenzionalmente uscente, ( j ) con verso positivo ( + Ak<br />
).<br />
Il generatore può allora essere sostituito, per maggiore chiarezza del modello, con due generatori <strong>di</strong><br />
corrente, uno tra il nodo i e il nodo <strong>di</strong> riferimento, con corrente generata − Ak<br />
, l'altro tra il nodo j e il nodo<br />
<strong>di</strong> riferimento, con corrente generata + Ak<br />
. Per il nodo <strong>di</strong> riferimento l'iniezione globale non cambia perché<br />
sono state aggiunte due iniezioni uguali e contrarie.<br />
In questo modo l'equazione [2.29] <strong>di</strong>venta:<br />
t<br />
[ A]<br />
[ C]<br />
⋅[<br />
Gl<br />
] ⋅[<br />
C]<br />
⋅[<br />
V ]<br />
A]<br />
= [2.31]<br />
dove con [ si in<strong>di</strong>ca quin<strong>di</strong> il vettore colonna delle iniezioni nodali <strong>di</strong> corrente, positive se entranti nei no<strong>di</strong>.<br />
( N ) ( 1)<br />
Si definisce allora la matrice delle conduttanze (nodali), <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione (<br />
quadrata:<br />
−1 × N − ) e quin<strong>di</strong><br />
[ ] [ ] [ ] [ ] t<br />
C G C G ⋅ ⋅<br />
= [2.32]<br />
l<br />
e quin<strong>di</strong> l'espressione precedente assume la forma compatta:<br />
[ G ] [ V ] = [ A]<br />
⋅ [2.32]<br />
La soluzione del sistema sarà data da:<br />
−1 [ V ] = [ G]<br />
⋅[<br />
A]<br />
= [ R]<br />
⋅[<br />
A]<br />
]<br />
[2.33]<br />
dove è stata introdotta la matrice [ R , inversa della matrice delle conduttanze, che prende il nome <strong>di</strong> matrice<br />
delle resistenze (nodali).<br />
Per quanto riguarda la matrice delle conduttanze, va notato che la sua costruzione può essere svolta in<br />
modo molto più semplice rispetto a quella del prodotto matriciale in<strong>di</strong>cato dall'eq. [2.32]. Se si svolge questo<br />
prodotto, infatti, si nota che la matrice delle conduttanze è così composta:<br />
[ ] [ G ]<br />
G = [2.34]<br />
dove:<br />
∑<br />
ij<br />
G = g somma delle conduttanze dei lati che afferiscono al nodo i<br />
ii<br />
j ij<br />
Gij = G ji = −gij<br />
conduttanza tra il nodo i e il nodo j , cambiata <strong>di</strong> segno; (uguale a 0 se non ci sono<br />
collegamenti tra i e j )<br />
questi valori possono essere facilmente ottenuti per ispezione della rete stessa.<br />
Va notato che la matrice delle conduttanze, per reti <strong>di</strong> me<strong>di</strong>e e gran<strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni, è una matrice fortemente<br />
sparsa: contiene cioè un numero <strong>di</strong> elementi <strong>di</strong>versi da zero solitamente molto piccolo rispetto al numero<br />
totale <strong>di</strong> elementi. Infatti ogni riga i -esima presenta elementi <strong>di</strong>versi da zero, oltre che sulla <strong>di</strong>agonale, solo<br />
in corrispondenza dei no<strong>di</strong> collegati al nodo i stesso; un nodo presenta normalmente da 1 a 5 collegamenti,<br />
raramente <strong>di</strong> più (per le reti elettriche nazionali la me<strong>di</strong>a è tra 1.5 e 2.5 collegamenti). Allora per esempio per<br />
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una rete <strong>di</strong> 100 no<strong>di</strong> si avrebbe un in<strong>di</strong>ce si sparsità, cioè una percentuale <strong>di</strong> elementi non nulli rispetto al<br />
totale, dell'or<strong>di</strong>ne del 2-3%.<br />
L'implementazione <strong>di</strong> questi meto<strong>di</strong> su computer andrà quin<strong>di</strong> gestita in maniera particolare, in modo da<br />
memorizzare solo gli elementi <strong>di</strong>versi da zero ed effettuare solo <strong>di</strong> questi le operazioni matematiche<br />
necessarie alla soluzione del sistema. I meto<strong>di</strong> e gli algoritmi utilizzati per gestire tale situazione sono detti<br />
"tecniche <strong>di</strong> sparsità" e permettono la soluzione in tempi rapi<strong>di</strong> anche <strong>di</strong> sistemi con migliaia <strong>di</strong> no<strong>di</strong>.<br />
La matrice delle resistenze, inversa della matrice delle conduttanze, non potrà invece essere costruita per<br />
ispezione, e risulterà in generale piena, e non sparsa. Nelle tecniche <strong>di</strong> sparsità si evita <strong>di</strong> calcolare tale<br />
matrice, molto ingombrante, ma si risolve il sistema con altri meto<strong>di</strong> meno <strong>di</strong>spen<strong>di</strong>osi.<br />
Il metodo ora descritto si applica a qualunque rete lineare.<br />
Quando si presentino rami con un generatore <strong>di</strong> corrente già inserito: sia che questo presenti una resistenza<br />
in parallelo sia che sia puramente ideale, non ci sono problemi: va trattato come ogni altra iniezione nodale,<br />
elevando al rango <strong>di</strong> no<strong>di</strong> i suoi due estremi, qualora non lo fossero già; se è ideale, senza resistenze in<br />
parallelo, i due no<strong>di</strong> vanno considerati privi <strong>di</strong> collegamento <strong>di</strong>retto nella rete passiva (conduttanza nulla).<br />
I problemi sorgono quando si presenti tra due no<strong>di</strong> un generatore ideale <strong>di</strong> tensione. Se uno dei due estremi<br />
è collegato ad un solo altro lato, il problema è facilmente risolto considerando come unico lato la serie dei<br />
due. In ogni altro caso, occorre ricorrere ad altri meto<strong>di</strong>. La strada suggerita nel paragrafo 3.3 (porre come<br />
ulteriore incognita la corrente del lato-generatore e come ulteriore equazione l'espressione della d.d.p. tra i<br />
due estremi) si presenta come non praticabile con como<strong>di</strong>tà nell'ottica della facile scrittura del sistema con la<br />
matrice delle conduttanze. Occorre seguire un'altra strada, che è la seguente.<br />
Si supponga che il generatore ideale sia posto tra i no<strong>di</strong> A e B, orientato da B ad A. Siano C, D, E i no<strong>di</strong><br />
collegati ad A ed F, G i no<strong>di</strong> collegati a B. Si procede allora nel seguente modo:<br />
a) si elimina il generatore tra A e B, ponendo quin<strong>di</strong> i due no<strong>di</strong> in cto cto tra loro<br />
b) si inseriscono generatori identici nei rami collegati ad uno dei due estremi, per esempio ad A: A-C, A-D,<br />
A-E; tali generatori saranno orientati ognuno da A verso l'altro estremo; si nominano allora i punti C', D',<br />
E', secon<strong>di</strong> estremi dei vari generatori (si poteva fare analogamente con i collegamenti <strong>di</strong> B, anzi era più<br />
comodo perché sono solo 2 anziché 3; i generatori andavano quin<strong>di</strong> orientati da F', G' verso B)<br />
c) si noti che il lato A-B è così scomparso e i due no<strong>di</strong> A e B sono <strong>di</strong>ventati un nodo solo<br />
Il circuito così ottenuto è del tutto equivalente a quello <strong>di</strong> partenza. Per esempio si nota che tutti i componenti<br />
contenuti nell'ex-ramo A-C sono ora nel troncone C'-C, e il potenziale <strong>di</strong> C' (rispetto a B, per esempio) è lo<br />
stesso che in precedenza possedeva A.<br />
In questo circuito si possono fare gli equivalenti <strong>di</strong> corrente dei generatori perché ora sono posti in serie con<br />
rami non privi <strong>di</strong> resistenze, e quin<strong>di</strong> tornare al metodo descritto.<br />
In sintesi, il metodo automatico qui descritto può essere schematizzato nei seguenti passaggi:<br />
1) numerazione <strong>di</strong> tutti i no<strong>di</strong>, meno uno, con scelta libera <strong>di</strong> considerare no<strong>di</strong> anche i punti tra due soli lati<br />
o gli estremi in antenna; numerazione e orientamento dei lati<br />
2) "riproduzione" dei generatori <strong>di</strong> tensione posti in lati privi <strong>di</strong> resistenza serie nei lati collegati, come<br />
descritto poco sopra<br />
3) trasformazione dei rami E-R (generatori <strong>di</strong> tensione in serie con resistenze) in componenti A-G<br />
(generatori <strong>di</strong> corrente con in parallelo una conduttanza)<br />
4) calcolo delle iniezioni nodali, somma delle iniezione dei componenti A-G<br />
5) costruzione, per ispezione, dalla matrice delle conduttanze<br />
6) soluzione del sistema [ G ] ⋅[<br />
V ] = [ A]<br />
, (manualmente o col computer)<br />
7) calcolo delle correnti nei lati, ricostruzione dei circuiti originali, etc. (con le tensioni nodali calcolate tutto<br />
è a portata <strong>di</strong> mano)<br />
2.8 - Cenni alle reti elettriche non lineari<br />
Una rete elettrica viene considerata non più lineare quando non è più lineare almeno uno dei suoi<br />
componenti, sia esso attivo oppure passivo.<br />
Per esempio certe resistenze presentano una caratteristica del tipo:<br />
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( I )<br />
V = K ⋅exp<br />
I<br />
[2.35]<br />
0<br />
o altre funzioni più o meno complesse.<br />
Per queste reti, ovviamente, si applicano comunque i principi <strong>di</strong> Kirchhoff, con la <strong>di</strong>fferenza che si otterrà un<br />
sistema <strong>di</strong> equazioni non lineari, che dovrà essere risolto con meto<strong>di</strong> numerici.<br />
Nel caso la rete presenti un solo componente non lineare, o pochissimi componenti localizzati in lati tra loro<br />
vicini, mentre il resto della rete è lineare, la soluzione può essere ottenuta più agevolmente ricorrendo ai th.<br />
<strong>di</strong> Thevenin e/o <strong>di</strong> Norton.<br />
Un esempio chiarirà come procedere.<br />
Si supponga <strong>di</strong> avere una rete tutta lineare, fatta eccezione per un bipolo, per il quale vale:<br />
( I )<br />
V = f con f non lineare<br />
Siano A e B i due no<strong>di</strong> ai quali il bipolo è collegato. Si immagini allora <strong>di</strong> togliere temporaneamente il bipolo<br />
non lineare della rete, e <strong>di</strong> effettuare l'equivalente della rete dai due no<strong>di</strong> A e B, per esempio con il th. <strong>di</strong><br />
Thevenin. Si otterrà così solo un generatore equivalente in serie con una resistenza equivalente. A questo<br />
punto si reinserisca il bipolo tra i due no<strong>di</strong>. Il circuito risultante è semplicissimo: una sola maglia, con il<br />
generatore in serie alla resistenza e al componente. L'equazione <strong>di</strong> funzionamento:<br />
ETh Th<br />
( I )<br />
= R ⋅ I + f<br />
[2.36]<br />
Anziché un intero sistema non lineare si è trovata una sola equazione non lineare, che può essere risolta<br />
graficamente oppure numericamente per tentativi, per esempio con meto<strong>di</strong> tipo Newton o con il metodo delle<br />
secanti.<br />
Anche scrivendo il sistema (per esempio con il metodo dei potenziali <strong>di</strong> nodo) si sarebbe ottenuta una sola<br />
equazione non lineare, ma inserita in un sistema <strong>di</strong> molte altre lineari; l'applicazione dell'equivalente <strong>di</strong><br />
Thevenin (o <strong>di</strong> Norton) equivale al proce<strong>di</strong>mento matematico che avrebbe permesso <strong>di</strong> isolare l'equazione<br />
lineare dall'intero sistema.<br />
2.9 - Potenza elettrica - Effetto Joule<br />
In tutte i <strong>di</strong>scorsi fatti finora non si è ancora affrontato il problema della potenza. Ogni applicazione elettrica<br />
<strong>di</strong> fatto scambia o trasmette energia, e quin<strong>di</strong> ad essa è associata una potenza.<br />
Si consideri una carica elettrica Q che venga portata dal potenziale V1 al potenziale V2<br />
. Ad essa è quin<strong>di</strong><br />
stata fornita energia, per la definizione stessa <strong>di</strong> potenziale, nella misura <strong>di</strong>:<br />
E el<br />
( V −V<br />
) = Q ⋅ ΔV<br />
= Q ⋅ 2 1<br />
[2.37]<br />
Si ricorda che il potenziale, e quin<strong>di</strong> la d.d.p., oppure la tensione, si misurano in volt e che 1 V = 1J<br />
1C<br />
. La<br />
grandezza così ottenuta ha quin<strong>di</strong> proprio la <strong>di</strong>mensione dei joule.<br />
Nel caso una corrente elettrica fluisca in un generatore, questa formula vale per ogni carica. E poiché in<br />
caso <strong>di</strong> corrente si ha il passaggio <strong>di</strong> un certo numero <strong>di</strong> cariche per ogni unità <strong>di</strong> tempo, si ha la fornitura <strong>di</strong><br />
una certa quantità <strong>di</strong> energia per ogni unità <strong>di</strong> tempo: si ha cioè una potenza fornita dal generatore alle<br />
cariche:<br />
dEel<br />
dQ<br />
P = = ⋅ ΔV<br />
= I ⋅ ΔV<br />
[2.38]<br />
dt<br />
dt<br />
o, più semplicemente:<br />
P = V ⋅ I<br />
[2.39]<br />
dove con V si intende una d.d.p. o una f.e.m..<br />
La potenza elettrica si manifesta quin<strong>di</strong> quando esiste passaggio <strong>di</strong> corrente in presenza <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale, ed è pari al prodotto della tensione per la corrente.<br />
Quando in un generatore si ha corrente uscente dal morsetto a potenziale maggiore, si ha quin<strong>di</strong> potenza<br />
elettrica erogata dal generatore verso il resto del circuito. Con la convenzione dei generatori, allora, la<br />
potenza è erogata dal bipolo se tensione e corrente sono entrambi positivi o entrambi negativi.<br />
La potenza (in generale qualunque potenza, ed in particolare quella elettrica) si misura in watt, simbolo W :<br />
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1J<br />
1 W = 1V<br />
⋅1A<br />
=<br />
[2.40]<br />
1s<br />
Ciascuna carica, muovendosi nel circuito, trasporta l'energia potenziale elettrica che ha con sé. Incontrando<br />
una resistenza elettrica, esse devono però cedere almeno parte <strong>di</strong> questa energia, e si ha quin<strong>di</strong> una<br />
potenza elettrica assorbita dal resistore. La potenza assorbita sarà ancora pari al prodotto <strong>di</strong> tensione per<br />
corrente; la convenzione <strong>degli</strong> utilizzatori prevede per la corrente (o per la tensione) un verso positivo<br />
opposto a quello della convenzione dei generatori; quin<strong>di</strong> con la convenzione <strong>degli</strong> utilizzatori, allora, la<br />
potenza è assorbita dal bipolo se tensione e corrente sono entrambi positivi o entrambi negativi.<br />
Poiché per il resistore vale:<br />
V = R ⋅ I<br />
[2.41]<br />
allora la potenza assorbita vale:<br />
2<br />
2 V<br />
P = I ⋅V<br />
= I ⋅ RI = R ⋅ I =<br />
[2.42]<br />
R<br />
La potenza assorbita è proporzionale alla resistenza e al quadrato della corrente.<br />
Tale potenza, nel resistore, viene completamente trasformata in calore, <strong>di</strong> modo che un resistore percorso<br />
da corrente <strong>di</strong>ssipa verso l'esterno un certo numero <strong>di</strong> calorie per ogni secondo. Questo fenomeno prende il<br />
nome <strong>di</strong> effetto Joule.<br />
Vedendo le cose da un punto <strong>di</strong> vista locale, e ricordando che:<br />
E = ρ J<br />
[2.43]<br />
vale che:<br />
2<br />
P = ∫ ρ J dVol<br />
[2.44]<br />
Vol(<br />
R)<br />
(integrale <strong>di</strong> volume esteso al volume della resistenza).<br />
Infatti per il caso semplice <strong>di</strong> una resistenza cilindrica:<br />
2<br />
( ρ⋅<br />
J ⋅l<br />
) ⋅(<br />
A⋅<br />
J ) = V I<br />
P = l ⋅ A⋅<br />
ρ⋅<br />
J =<br />
⋅<br />
oppure<br />
[2.45]<br />
2 l<br />
2 2<br />
P = l ⋅ A⋅<br />
ρ⋅<br />
J = ρ ⋅(<br />
A⋅<br />
J ) = R ⋅ I<br />
[2.46]<br />
A<br />
L'effetto Joule è molto importante.<br />
Poiché le resistenze si scaldano, con correnti troppo elevate si possono danneggiare o, più facilmente,<br />
danneggiare gli isolanti <strong>di</strong> cui sono rivestite. Per questo le correnti troppo elevate sono pericolose.<br />
Inoltre, il riscaldamento conseguente al passaggio <strong>di</strong> corrente comporta un aumento della resistività (che<br />
cresce linearmente con la temperatura), e quin<strong>di</strong> della resistenza; pertanto i parametri circuitali vengono<br />
mo<strong>di</strong>ficati dal passaggio <strong>di</strong> corrente. In questo senso si potrebbe <strong>di</strong>re che i resistori non sono in realtà bipoli<br />
lineari, perché la R cresce proporzionalmente al quadrato della corrente. Va però notato che nelle<br />
applicazioni normali, con conduttori <strong>di</strong>mensionati correttamente e correnti contenute entro i limiti in<strong>di</strong>cati dal<br />
progettista, la variazione è abbastanza piccola, e comunque perché la temperatura aumenti occorre che il<br />
calore si accumuli, e questo richiede un certo periodo <strong>di</strong> tempo (transitorio termico).<br />
In una rete elettrica la somma delle potenze generate è pari alla somma delle potenze <strong>di</strong>ssipate nelle<br />
resistenze per effetto Joule.<br />
Questa affermazione è comprensibile intuitivamente, se si ricorda che l'energia non si può <strong>di</strong>struggere, ma<br />
solo trasformare: quin<strong>di</strong> la potenza introdotta nella rete dai generatori non potrà che prendere la forma <strong>di</strong><br />
calore, <strong>di</strong>sperso verso l'esterno o accumulato nei materiali durante la fase <strong>di</strong> riscaldamento, ma comunque<br />
tutto prodotto per effetto Joule. L'affermazione è però anche <strong>di</strong>mostrabile in modo rigoroso.<br />
Non va però pensato che tutta la potenza dei generatori sia potenza positiva erogata: ci sono generatori che<br />
possono funzionare anche con erogazione negativa, cioè con assorbimento <strong>di</strong> potenza da parte del<br />
generatore. Questo si verifica quando in un generatore <strong>di</strong> tensione la corrente, anziché essere uscente dal<br />
morsetto a potenziale maggiore è entrante in questo questo morsetto. In tali con<strong>di</strong>zioni la trasformazione <strong>di</strong><br />
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energia all'interno del generatore avviene in senso inverso: se per esempio si tratta <strong>di</strong> un generatore <strong>di</strong> tipo<br />
elettrochimico, anziché avere energia chimica trasformata in energia elettrica per ogni unità <strong>di</strong> tempo, si avrà<br />
energia elettrica trasformata in energia chimica (accumulatore); se si tratta <strong>di</strong> un generatore <strong>di</strong> tipo<br />
elettromeccanico, anziché avere potenza meccanica trasformata in elettrica, si avrà potenza elettrica<br />
trasformata in meccanica (motore elettrico). In realtà non tutti i generatori sono reversibili; se non lo sono,<br />
quando la grandezza (corrente o tensione) viene invertita reagiscono bloccando il passaggio della corrente e<br />
comportandosi come circuiti aperti.<br />
Quando invece sono reversibili, <strong>di</strong> fatto si è attuato il trasporto dell'energia elettrica dal generatore erogante<br />
al bipolo (motore, accumulatore, etc.) che lo utilizza o la accumula<br />
Le relazioni viste finora mostrano come non sia possibile trasportare potenza elettrica da un punto all'altro<br />
senza <strong>di</strong>ssiparne almeno una frazione per effetto Joule. Infatti, nella relazione [2.46] si nota che il termine<br />
<strong>di</strong>ssipativo (2° membro), essendo una funzione quadratica della corrente, è sempre positivo (al più nullo, se<br />
non passa corrente). Nelle moderne reti elettriche la potenza <strong>di</strong>ssipata è tuttavia molto piccola, al più<br />
dell'or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> qualche percento del totale per circuiti molto lunghi. Esistono materiali detti superconduttori, per<br />
i quali la resistività è nulla; tuttavia tale caratteristica si presenta solo a temperature eccezionalmente basse<br />
e quin<strong>di</strong> non vengono utilizzati se non per applicazioni molto particolari.<br />
2.10 - Partitore <strong>di</strong> corrente e <strong>di</strong> tensione<br />
Spesso è conveniente, nel risolvere dei circuiti elettrici, operare delle riduzioni sulla rete riunendo in un unico<br />
bipolo più resistenze in serie, oppure più resistenze in parallelo. Giunti a soluzione, occorre tornare alla<br />
configurazione iniziale, esplicitando quin<strong>di</strong> i valori <strong>di</strong> tensione e <strong>di</strong> corrente sui bipoli originari.<br />
Nel caso che più resistenze in serie siano state condensate in un'unica resistenza, vale:<br />
I<br />
V<br />
k<br />
k<br />
= I =<br />
V<br />
R<br />
= R ⋅ I =<br />
k<br />
∑<br />
k k<br />
∑<br />
Rk<br />
R<br />
k k<br />
V<br />
[2.47]<br />
vale a <strong>di</strong>re: tutte le resistenze presentano il passaggio della medesima corrente, mentre la tensione totale<br />
viene ripartita sui vari elementi in serie in proporzione alla resistenza <strong>di</strong> ciascuno.<br />
Nel caso che più resistenze in parallelo siano state condensate in un'unica resistenza, vale:<br />
V<br />
I<br />
k<br />
k<br />
= V =<br />
I<br />
G<br />
= G ⋅V<br />
=<br />
k<br />
∑<br />
k k<br />
∑<br />
Gk<br />
G<br />
k k<br />
I<br />
[2.48]<br />
vale a <strong>di</strong>re: tutte le resistenze sono sottoposte alla medesima tensione, mentre la corrente totale viene<br />
ripartita sui vari elementi in parallelo in proporzione alla conduttanza <strong>di</strong> ciascuno.<br />
Le situazioni così descritte prendono il nome rispettivamente <strong>di</strong> partitore <strong>di</strong> tensione e <strong>di</strong> partitore <strong>di</strong><br />
corrente.<br />
Se le resistenze sono in serie, la tensione viene ripartita in misura proporzionale alla resistenza <strong>di</strong> ciascun<br />
elemento; se sono in parallelo, la corrente viene ripartita in misura inversamente proporzionale alla<br />
resistenza <strong>di</strong> ciascun elemento.<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 25 <strong>di</strong> 64<br />
3 - Circuiti Magnetici<br />
3.1 - Campo Magnetico e Induzione Magnetica<br />
Nel Cap. 1 sono state richiamate le leggi dell'elettromagnetismo e la definizione <strong>di</strong> campo e <strong>di</strong> induzione<br />
magnetica.<br />
Per il campo magnetico la legge <strong>di</strong> Gauss prevede che:<br />
∫<br />
S<br />
B ⋅un<br />
dS = 0 ; ∇ ⋅ B = 0<br />
[3.1]<br />
mentre la legge <strong>di</strong> Ampere-Maxwell:<br />
d<br />
∂E<br />
B ⋅ dl<br />
= μ I<br />
E u dS B J<br />
L<br />
0 + μ0ε<br />
0<br />
dt ∫ ⋅<br />
S L<br />
n ; ∇ × = μ0<br />
+ μ0ε<br />
[3.2]<br />
( )<br />
∂t<br />
∫ 0<br />
Queste relazioni sono valide nel vuoto, e come si vede utilizzano il vettore induzione piuttosto che il vettore<br />
campo magnetico.<br />
Riscrivendo la legge <strong>di</strong> Ampere-Maxwell per un qualunque mezzo materiale, vale che:<br />
d<br />
∂E<br />
H ⋅ dl<br />
= I + E u dS<br />
H J<br />
L<br />
r<br />
dt ∫ ε ε<br />
S L<br />
r ⋅ n ∇ × = + ε ε<br />
( )<br />
0 ; [3.3]<br />
∂t<br />
∫ 0<br />
e il legame tra campo magnetico e induzione magnetica:<br />
B r<br />
H μ μ = 0 [3.4]<br />
E' importante capire cosa succede ad una linea <strong>di</strong> forza del campo magnetico se questa attraversa la<br />
superficie <strong>di</strong> separazione tra due materiali aventi permeabilità magnetica relativa <strong>di</strong>fferente. In questo caso,<br />
dei due vettori campo e induzione, quello che conserva lo stesso valore nel passaggio è il vettore induzione.<br />
Se per esempio il passaggio avviene nel punto l <strong>di</strong> una linea <strong>di</strong> forza, vale:<br />
0<br />
+ − ( l0<br />
) = B(<br />
l0<br />
)<br />
+<br />
−<br />
μr<br />
2H<br />
( l0<br />
) = μ0μr1H<br />
( l )<br />
+ μr1<br />
−<br />
( l ) H ( l )<br />
B quin<strong>di</strong>:<br />
μ0 0<br />
H<br />
0<br />
= 0<br />
μr<br />
2<br />
La legge <strong>di</strong> Gauss, che esprime la solenoidalità dell'induzione magnetica, va quin<strong>di</strong> presentata nella sua<br />
forma con il vettore induzione (come sopra).<br />
Il modulo del vettore campo presenta quin<strong>di</strong> una <strong>di</strong>scontinuità nel passaggio (a meno che non si abbiano<br />
uguali permeabilità). In particolare, va notato che se la permeabilità magnetica aumenta, il campo<br />
<strong>di</strong>minuisce.<br />
Per quanto riguarda il secondo membro delle equazioni <strong>di</strong> Ampere-Maxwell, il termine contenente la derivata<br />
del campo elettrico rispetto al tempo in realtà rende conto dell'eventuale variazione della carica accumulata<br />
per unità <strong>di</strong> volume:<br />
∇⋅ E =<br />
ρ<br />
εε<br />
0<br />
r<br />
In con<strong>di</strong>zioni stazionarie la variazione della densità <strong>di</strong> carica è nulla (densità costante); in con<strong>di</strong>zioni quasistazionarie<br />
la variazione, se esiste, è localizzata (condensatori) e avrà una eventuale influenza locale,<br />
trascurabile (perché lì il campo magnetico è ininfluente) oppure, se rilevante, se ne terrà conto in maniera<br />
opportuna. Si consideri comunque <strong>di</strong> poter trascurare tale termine.<br />
Quin<strong>di</strong> valgono le seguenti leggi:<br />
- l'integrale <strong>di</strong> circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa è pari alla corrente che<br />
attraversa la superficie delimitata da tale linea<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011<br />
[3.5]<br />
[3.6]
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 26 <strong>di</strong> 64<br />
- il flusso dell'induzione magnetica uscente da una superficie chiusa è nullo, quin<strong>di</strong> le linee <strong>di</strong><br />
forza del vettore induzione magnetica si richiudono sempre su se stesse.<br />
Si ricorda infine che un singolo tratto <strong>di</strong> conduttore <strong>di</strong> lunghezza infinitesima percorso da corrente produce in<br />
ogni punto dello spazio intorno a sé un campo magnetico:<br />
μ0<br />
ui<br />
× r<br />
dB = i ⋅ dz 3<br />
4π<br />
r<br />
3.2 - Il circuito magnetico<br />
Si consideri una superficie S , <strong>di</strong> forma qualunque, e su <strong>di</strong> essa un'area A attraversata da campo<br />
magnetico; si consideri quin<strong>di</strong> in particolare il tubo <strong>di</strong> flusso del vettore induzione magnetica che interessa<br />
questa area. Per la solenoidalità del vettore induzione, tale tubo <strong>di</strong> flusso descriverà nello spazio una tragitto<br />
più o meno lungo, ma prima o poi dovrà richiudersi su se stesso, tornando alla superficie <strong>di</strong> partenza, filetto<br />
per filetto negli stessi punti <strong>di</strong> incidenza. Questo tubo <strong>di</strong> flusso chiuso prende il nome <strong>di</strong> circuito magnetico.<br />
Perché un circuito magnetico esista (con valori <strong>di</strong> campo e induzione <strong>di</strong>versi da zero), occorre che la<br />
superficie delimitata dalla linea chiusa che esso percorre sia percorsa da corrente elettrica.<br />
In ogni punto del circuito, i vettori campo e induzione saranno sempre coincidenti per quanto riguarda<br />
<strong>di</strong>rezione e verso, ma <strong>di</strong>fferenti per quanto riguarda il modulo. In tutto il percorso il valore del flusso del<br />
vettore induzione sarà costante. Lungo il circuito la sezione potrà restringersi e allargarsi, e <strong>di</strong> conseguenza<br />
l'induzione sarà rispettivamente più grande o più piccola. Si consideri, per ogni posizione l del circuito,<br />
l'area della superficie normale, punto per punto, al campo magnetico, e la permeabilità magnetica relativa<br />
del materiale attraversato:<br />
B<br />
() l<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
H<br />
() l<br />
B<br />
A<br />
Φ<br />
= [3.8]<br />
() l<br />
B<br />
=<br />
μ μ<br />
0<br />
() l ΦB<br />
=<br />
() l μ μ () l A()<br />
l<br />
r<br />
0<br />
r<br />
l'integrale <strong>di</strong> circuitazione (campo e induzione sono espressi in modulo perché già considerati paralleli alla<br />
linea <strong>di</strong> circuitazione) è pari alla corrente che attraversa il circuito:<br />
I =<br />
L<br />
Φ<br />
B<br />
∫ H () l ⋅ dl = ∫ dl = Φ<br />
L<br />
B<br />
μ μ () l A()<br />
l ∫Lμμ() A()<br />
l<br />
0<br />
r<br />
0<br />
dl<br />
l<br />
r<br />
[3.7]<br />
[3.9]<br />
[3.10]<br />
L'integrale al secondo membro è alquanto simile all'integrale che esprime la resistenza <strong>di</strong> un circuito<br />
elettrico, con la <strong>di</strong>fferenza che al posto della resistività appare il reciproco della permeabilità. Il valore <strong>di</strong> tale<br />
integrale esprime l'opposizione che il circuito magnetico oppone al passaggio del flusso; il suo valore è<br />
quin<strong>di</strong> pari al rapporto tra corrente e flusso stesso. Allora per analogia con quanto si fa per i circuiti elettrici<br />
dove tale integrale prende il nome <strong>di</strong> resistenza, qui tale integrale prende il nome <strong>di</strong> riluttanza, e può essere<br />
calcolato anche per un solo tratto del circuito magnetico:<br />
= ∫ μ μ<br />
B dl<br />
R AB<br />
[3.11]<br />
A<br />
0<br />
Vale quin<strong>di</strong>:<br />
r<br />
() l A()<br />
l<br />
I = R Φ B<br />
[3.12]<br />
in<strong>di</strong>cando la riluttanza dell'intero circuito. Queste ultime due relazioni possono essere sintetizzate nella legge<br />
<strong>di</strong> Hopkinson, che prevede che "in un mezzo lineare il flusso dell'induzione magnetica è proporzionale<br />
alla corrente concatenata dal circuito stesso, secondo una costante <strong>di</strong> proporzionalità che <strong>di</strong>pende<br />
dalla permeabilità magnetica del mezzo e dalla sua geometria".<br />
3.3 - Analogia tra circuito elettrico e circuito magnetico<br />
Come fatto per i circuiti elettrici, si possono definire allo stesso modo i concetti <strong>di</strong> ramo (porzione <strong>di</strong> circuito<br />
percorsa dallo stesso flusso), nodo (punto <strong>di</strong> convergenza tra più rami), maglia (successione <strong>di</strong> rami a<br />
formare un percorso chiuso).<br />
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G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 27 <strong>di</strong> 64<br />
Si possono quin<strong>di</strong> stabilire queste corrispondenze:<br />
Circuito Elettrico Circuito Magnetico<br />
corrente I flusso magnetico Φ B<br />
densità <strong>di</strong> corrente J vettore induzione magnetica B<br />
resistenza R riluttanza R<br />
f.e.m. E f.m.m. M<br />
dove si è introdotto, per analogia, il concetto <strong>di</strong> forza magnetomotrice, f.m.m., in<strong>di</strong>cata con M . Essa è pari<br />
alla corrente totale I che attraversa la superficie delimitata dalla linea <strong>di</strong> circuitazione. Spesso lo stesso<br />
conduttore attraversa più <strong>di</strong> una volta la superficie, percorrendo delle spire; quin<strong>di</strong> la forza magnetomotrice è<br />
pari alla corrente per il numero <strong>di</strong> attraversamenti, cioè per il numero si spire N :<br />
M = N I<br />
[3.13]<br />
Essendo il vettore induzione solenoidale come la densità <strong>di</strong> corrente, vale anche per i circuiti magnetici il<br />
principio <strong>di</strong> Kirchhoff ai no<strong>di</strong>; a partire dalla legge <strong>di</strong> Ampere-Maxwell, anziché da quella <strong>di</strong> Faraday-Henry, si<br />
<strong>di</strong>mostra anche la vali<strong>di</strong>tà del principio <strong>di</strong> Kirchhoff alle maglie.<br />
Vale quin<strong>di</strong>:<br />
∑<br />
j∈i<br />
∑<br />
k<br />
Φ<br />
R<br />
Bji<br />
k<br />
Φ<br />
= 0<br />
Bk<br />
= M =<br />
NI<br />
Si possono allora utilizzare anche per i circuiti magnetici i meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> soluzione visti per i circuiti elettrici.<br />
Esiste però una <strong>di</strong>fferenza, non irrilevante in termini pratici.<br />
[3.14]<br />
Nei circuiti elettrici, <strong>di</strong> fatto, i singoli rami sono generalmente ben definiti, perché sono appositamente<br />
costruiti con materiale conduttore, generalmente <strong>di</strong> sezione regolare; esternamente ai conduttori in pratica<br />
non esiste corrente, perché i rivestimenti e l'aria sono isolanti.<br />
In ambito magnetico, invece, non esistono materiali "conduttori", cioè fortemente permeabili, e materiali<br />
"isolanti", cioè pochissimo permeabili: per quasi tutti i materiali la permeabilità relativa è pressoché unitaria.<br />
Quin<strong>di</strong> il flusso magnetico non ha percorsi obbligati, ma solitamente si <strong>di</strong>ffonde in un'ampia regione <strong>di</strong> spazio<br />
circostante la sua sorgente <strong>di</strong> f.m.m., rendendo impossibile la modellizzazione circuitale.<br />
L'unica eccezione a questo comportamento si presenta in presenza <strong>di</strong> corpi materiali composti <strong>di</strong> ferro. Il<br />
ferro è l'unico materiale ad elevata permeabilità magnetica, con un valore relativo pari ad alcune centinaia o<br />
anche migliaia. In presenza <strong>di</strong> un percorso in ferro, il flusso magnetico sceglie preferibilmente questa strada,<br />
che può quin<strong>di</strong> essere considerata un circuito magnetico vero e proprio. Se si considera lo stesso percorso<br />
appena fuori dal ferro, il valore dell'induzione si presenterà centinaia o migliaia <strong>di</strong> volte inferiore, perché il<br />
campo non viene "amplificato" dall'elevata permeabilità dell'aria o del mezzo che circonda il ferro; tuttavia le<br />
linee <strong>di</strong> forza esterne al ferro possono allargarsi su sezioni molto ampie, avendo tutto lo spazio circostante a<br />
<strong>di</strong>sposizione, così accade che il flusso esterno non è del tutto trascurabile rispetto a quello nel ferro. In<br />
pratica i due percorsi corrispondono (analogia con i circuiti elettrici) a due riluttanze (resistenze) poste in<br />
parallelo, sotto la stessa f.m.m. (f.e.m.): la prima <strong>di</strong> sezione limitata ma con elevata permeabilità (bassa<br />
resistività), la seconda con scarsa permeabilità (grande resistività) ma sezione molto grande. Insomma, un<br />
circuito magnetico presenta sempre dei flussi parassiti, detti flussi <strong>di</strong>spersi, che rendono meno agevole un<br />
calcolo corretto.<br />
Nei circuiti in ferro possono presentarsi dei brevi tratti in aria (o altro materiale con permeabilità relativa<br />
unitaria). Per esempio, il circuito può non essere tutto in un unico blocco, quin<strong>di</strong> nelle giunzione esistono<br />
brevi interstizi; oppure volutamente è stato costruito con delle <strong>di</strong>stanze in aria. Ciascuno <strong>di</strong> questi tratti in aria<br />
si chiama traferro, e può presentare una riluttanza non in<strong>di</strong>fferente, spesso paragonabile se non superiore a<br />
quella del tratto in ferro. Se per esempio la permeabilità relativa del ferro è pari a 1000, un tratto in aria <strong>di</strong> un<br />
millimetro ha la stessa riluttanza <strong>di</strong> un tratto in ferro lungo un metro. Infatti, per rami <strong>di</strong> forma regolare, vale:<br />
1 l<br />
R =<br />
[3.15]<br />
μ μ A<br />
0<br />
r<br />
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quin<strong>di</strong> la lunghezza mille volte maggiore del tratto in ferro è compensata dal valore mille volte maggiore della<br />
permeabilità relativa.<br />
Un circuito magnetico ben definibile anche senza parti in ferro è quello generato da un solenoide percorso<br />
da corrente. Un solenoide è una sequenza <strong>di</strong> spire <strong>di</strong> conduttore, <strong>di</strong>sposto quin<strong>di</strong> in forma <strong>di</strong> elica che si<br />
avvolge lungo un asse.<br />
Se la lunghezza del solenoide è sufficientemente grande rispetto al suo <strong>di</strong>ametro, il campo magnetico può<br />
all'interno del solenoide può essere considerato come costituito da linee <strong>di</strong> forza parallele all'asse dell'elica;<br />
ad una estremità le linee <strong>di</strong> forza usciranno, allargandosi a loro piacimento, per poi tornare a restringersi per<br />
rientrare dall'altra estremità. Si può allora considerare il circuito magnetico come composto da due riluttanze<br />
in serie: la prima corrispondente al tratto interno, <strong>di</strong> forma regolare: la seconda per il tratto esterno.<br />
Quest'ultima viene considerata trascurabile perché la sua sezione, benché non uniforme, sarà molto grande.<br />
Allora:<br />
N I<br />
=<br />
R<br />
N I A<br />
= μ μ<br />
l<br />
Φ B = μ0μ<br />
r<br />
0<br />
dove:<br />
r<br />
AnI<br />
[3.16]<br />
N<br />
n = numero <strong>di</strong> spire per unità <strong>di</strong> lunghezza [3.17]<br />
l<br />
Quin<strong>di</strong>:<br />
Φ B B = = μ0μ<br />
r nI<br />
A<br />
B<br />
H = = nI<br />
μ μ<br />
0<br />
r<br />
[3.18]<br />
il valore del campo e dell'induzione sono proporzionali solo alla corrente e al numero <strong>di</strong> spire per unità <strong>di</strong><br />
lunghezza.<br />
3.4 - Induzione Elettromagnetica<br />
La variazione nel tempo dell'induzione magnetica e del suo flusso provoca l'insorgere <strong>di</strong> tensione elettrica.<br />
Infatti in presenza <strong>di</strong> tali variazioni il campo elettrico non è più rotazionale e quin<strong>di</strong> il suo integrale <strong>di</strong><br />
circuitazione lungo una linea chiusa risulta <strong>di</strong>verso da zero. La legge <strong>di</strong> Faraday-Henry descrive in maniera<br />
rigorosa questo fenomeno:<br />
d<br />
dΦB<br />
∂B<br />
E ⋅ dl<br />
= − B u dS<br />
E<br />
L dt ∫∫ ⋅<br />
S L<br />
n = − ; ∇ × = −<br />
( )<br />
dt<br />
∂t<br />
∫<br />
[3.19]<br />
Si consideri allora una spira <strong>di</strong> conduttore, avvolta intorno ad un ramo <strong>di</strong> un circuito magnetico, dal suo<br />
estremo iniziale A al suo estremo finale B, in modo da descrivere un giro completo. Si supponga che<br />
l'avvolgimento vada da A ad B nel verso <strong>di</strong> rotazione <strong>di</strong> una vite destrorsa che avanzi nello stesso verso in<br />
cui il flusso magnetico è considerato positivo in quel ramo. Allora, in caso <strong>di</strong> variazione <strong>di</strong> flusso, la tensione<br />
che si crea ai capi A-B della spira vale:<br />
v<br />
BA<br />
A<br />
dΦ<br />
B<br />
= ∫ E ⋅ dl<br />
= E ⋅ dl<br />
= −<br />
B ∫<br />
[3.20]<br />
L dt<br />
Utilizzando per la spira la convenzione <strong>degli</strong> utilizzatori, interessa conoscere la tensione tra il morsetto in cui<br />
la corrente entra e quello da cui esce:<br />
v<br />
AB<br />
dΦ<br />
B<br />
= −vBA<br />
= +<br />
[3.21]<br />
dt<br />
In particolare, si consideri un circuito magnetico composto da una sola maglia magnetica, e dove l'unica<br />
f.m.m. sia data dalla spira stessa. Per le convenzioni stabilite, una corrente positiva produce un flusso<br />
positivo:<br />
iAB<br />
Φ B =<br />
[3.22]<br />
R<br />
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dove si è utilizzata la riluttanza dell'intero circuito magnetico. Quin<strong>di</strong>:<br />
1 <strong>di</strong>AB<br />
vAB<br />
= [3.23]<br />
R dt<br />
Si noti che anche se la spira fosse avvolta nel verso opposto, e quin<strong>di</strong> la corrente da A a B circolasse in<br />
senso antiorario, si sarebbe ottenuta la stessa equazione, perché tale situazione sarebbe perfettamente<br />
simmetrica: infatti una corrente positiva con tali convenzioni genera un flusso orientato nel verso opposto<br />
rispetto al caso precedente; basta quin<strong>di</strong> cambiare il verso convenzionalmente positivo per il flusso, e il<br />
verso <strong>di</strong> rotazione torna ad essere quello orario, quin<strong>di</strong> si può ripetere il ragionamento identicamente.<br />
Notiamo allora che il bipolo elettrico <strong>di</strong> estremi A e B, che interagisce con un circuito magnetico, presenta<br />
una caratteristica particolare: nel caso la corrente tenda ad aumentare, il bipolo "reagisce" opponendo<br />
tensione all'ingresso della corrente (tensione positiva utilizzando la convenzione <strong>degli</strong> utilizzatori); nel caso la<br />
corrente tenda a <strong>di</strong>minuire, il bipolo "reagisce" presentando una tensione concorde alla corrente (tensione<br />
negativa). Si può quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>re che tale bipolo tende a conservare il valore <strong>di</strong> corrente sull'ultimo valore che gli<br />
è stato imposto.<br />
Tale bipolo prende il nome <strong>di</strong> induttore, o auto induttore, dato che il circuito magnetico induce tensione sullo<br />
stesso circuito elettrico che ha generato la forza magnetomotrice. Attraverso i circuiti magnetici è possibile<br />
indurre tensione anche su circuiti elettrici <strong>di</strong>versi da quelli che generano la f.m.m.: basta che anche questi<br />
siano avvolti intorno a tronchi in cui scorre tutto o una parte del flusso magnetico generato: si parla in tal<br />
caso <strong>di</strong> mutuo induttore.<br />
Quello visto in questo esempio è il caso più semplice <strong>di</strong> auto induttore. Una maggiore complessità può<br />
essere introdotta considerando il caso in cui vi siano più spire (in serie). Allora il flusso aumenta in<br />
proporzione al numero <strong>di</strong> spire:<br />
M Ni<br />
AB<br />
Φ B = =<br />
[3.24]<br />
R R<br />
ed in<strong>di</strong>cando semplicemente con I la corrente da A e B e con e la tensione su una singola spira:<br />
dΦ<br />
B N <strong>di</strong><br />
e = =<br />
[3.25]<br />
dt R dt<br />
ed infine la tensione totale v tra A e B:<br />
2<br />
N <strong>di</strong><br />
v = Ne =<br />
[3.26]<br />
R dt<br />
Come si può notare, la tensione è aumentata secondo il quadrato del numero <strong>di</strong> spire.<br />
Spesso, in presenza <strong>di</strong> spire, si parla anche <strong>di</strong> flusso concatenato, pari al flusso <strong>di</strong> ogni spira moltiplicato per<br />
il numero totale <strong>di</strong> spire:<br />
Ψ = NΦ<br />
[3.27]<br />
B<br />
B<br />
Il termine L tale che:<br />
<strong>di</strong><br />
v = L<br />
[3.28]<br />
dt<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
L Ψ<br />
i j ≠ i<br />
i = quando j = 0 per ogni [3.29]<br />
ii<br />
e che in questo vale:<br />
2<br />
N<br />
L = [3.30]<br />
R<br />
prende il nome <strong>di</strong> induttanza in generale, auto induttanza in particolare in questo caso, dove la tensione è<br />
indotta sullo stesso avvolgimento elettrico dove scorre la corrente che genera il flusso magnetico.<br />
L'unità <strong>di</strong> misura dell'induttanza è l'henry, simbolo H. Dall'analisi <strong>di</strong>mensionale dell'espressione [3.28]:<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 30 <strong>di</strong> 64<br />
[ V ] [ H ] ⋅[<br />
A s]<br />
⇒ 1H = 1Ω<br />
⋅1s<br />
= [3.31]<br />
Va notato che la d.d.p. che si presenta ai capi <strong>di</strong> un induttore reale non <strong>di</strong>penderà solo dall'induttanza, ma<br />
esisterà comunque un termine resistivo, <strong>di</strong> modo che:<br />
<strong>di</strong><br />
v = Ri + L<br />
[3.32]<br />
dt<br />
tuttavia in Elettrotecnica spesso si preferisce vedere separatamente i due effetti modellizzando l'induttore<br />
reale come la serie <strong>di</strong> due bipoli ideali, uno puramente resistivo (solo R ) e uno puramente induttivo (solo<br />
L ). Ovviamente il punto <strong>di</strong> separazione tra i due bipoli è un punto virtuale, nel senso che nel componente<br />
reale effetto resistivo ed effetto induttivo si presentano nella stessa proporzione in ciascun tratto infinitesimo<br />
del circuito.<br />
Frequentemente, comunque, il termine resistivo è trascurabile in molti tipi <strong>di</strong> analisi.<br />
Si consideri invece un circuito magnetico intorno al quale siano presenti due avvolgimenti, che verranno<br />
in<strong>di</strong>cati come 1 e 2 rispettivamente. I due avvolgimenti possono essere posti sullo stesso ramo o su due rami<br />
<strong>di</strong>stinti del circuito magnetico. Si avrà allora che il flusso che concatena l'avvolgimento 1 non sarà generato<br />
solo dalla corrente nell'avvolgimento stesso, ma in generale anche dalla corrente nell'avvolgimento 2, perché<br />
il flusso da questa prodotto circolerà almeno in parte in ogni ramo del circuito magnetico, quin<strong>di</strong> anche nel<br />
ramo intorno a cui è posto l'avvolgimento 1. Così pure il flusso nell'avvolgimento 2 <strong>di</strong>penderà dalle correnti<br />
negli avvolgimenti 1 e 2. Il <strong>di</strong>scorso può essere generalizzato a un numero generico <strong>di</strong> avvolgimenti.<br />
Questo è l'effetto <strong>di</strong> mutua induzione; il parametro che lo descrive è la mutua induttanza:<br />
Ψi<br />
= quando ii<br />
= 0,<br />
i = 0 per ogni k ≠ i,<br />
j<br />
[3.33]<br />
i<br />
M ij<br />
k<br />
j<br />
che si misura in Henry, come le auto induttanze.<br />
Quin<strong>di</strong> in generale per un sistema con più avvolgimenti vale:<br />
<strong>di</strong>1<br />
<strong>di</strong>2<br />
v1<br />
= R1i1<br />
+ L1<br />
+ M12<br />
+ K + M1N<br />
dt dt<br />
<strong>di</strong>N<br />
dt<br />
<strong>di</strong>1<br />
<strong>di</strong>2<br />
v2<br />
= R2i2<br />
+ M 21 + L2<br />
+ K + M 2N<br />
dt dt<br />
L<br />
<strong>di</strong>N<br />
dt<br />
<strong>di</strong>1<br />
<strong>di</strong>2<br />
vN<br />
= RNiN<br />
+ M N1<br />
+ M N 2 + K + LN<br />
dt dt<br />
<strong>di</strong>N<br />
dt<br />
[3.34]<br />
Per chiarire meglio la situazione si consideri il seguente esempio <strong>di</strong> cui sono dati i parametri geometrici e<br />
magnetici e i numeri <strong>di</strong> spire:<br />
1<br />
2<br />
4<br />
5<br />
3<br />
6<br />
7<br />
2<br />
A = 0.<br />
25m<br />
;<br />
1<br />
A = A = 0.<br />
20m<br />
;<br />
A = A = 0.<br />
25m<br />
;<br />
A = A = 0.<br />
25m<br />
;<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
6<br />
5 7<br />
l1<br />
= l2<br />
= l3<br />
= 1.<br />
0m;<br />
l = l = l = l = 0.<br />
5m;<br />
4<br />
5<br />
6<br />
figura 3.1<br />
7<br />
3<br />
N1<br />
= ; N<br />
δ = 1mm;<br />
μ = 1000<br />
r<br />
50 2<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011<br />
=<br />
60;
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 31 <strong>di</strong> 64<br />
Gli avvolgimenti elettrici sono posti sui rami 1 e 2, con versi <strong>di</strong> avvolgimento e <strong>di</strong> ingresso della corrente tali<br />
da produrre, con correnti positive, f.m.m. orientate come da figura.<br />
Si possono calcolare le riluttanze dei singoli rami, e quin<strong>di</strong> modellizzare il circuito magnetico me<strong>di</strong>ante un<br />
equivalente elettrico, secondo l'analogia introdotta nel par. 4.3:<br />
M<br />
1<br />
R<br />
1<br />
D E<br />
F<br />
R<br />
4<br />
M 2<br />
R<br />
R<br />
2<br />
d<br />
A<br />
R<br />
B<br />
R<br />
C<br />
5<br />
7<br />
4<br />
5 6 7<br />
figura 3.2<br />
R<br />
R1<br />
= R3<br />
= 4000;<br />
R2<br />
= 3200;<br />
Rδ<br />
= 3200;<br />
R = R = R = R = 1600<br />
6<br />
R<br />
3<br />
si trascurano eventuali flussi <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione (in aria) e le relative riluttanze si suppongono quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> valore ∞.<br />
Come si può notare la rete presenta in realtà due soli no<strong>di</strong>, in<strong>di</strong>cati come B ed E , tra i quali vi sono tre rami<br />
in parallelo:<br />
E<br />
M 1<br />
R a R b R c<br />
R<br />
R<br />
R<br />
a<br />
b<br />
c<br />
M 1<br />
= R<br />
= R<br />
= R<br />
4<br />
2<br />
B<br />
+ R1<br />
+ R5<br />
= 7200<br />
+ Rδ<br />
= 6400<br />
+ R + R = 7200<br />
6 1<br />
figura 3.3<br />
7<br />
Con tali valori si calcola facilmente, che il generatore <strong>di</strong> f.m.m. 1, sul ramo a , "vede" tutta la rete come una<br />
riluttanza pari a:<br />
7200 ⋅ 6400<br />
R ( a)<br />
= Ra<br />
+ Rb<br />
|| Rc<br />
= 7200 +<br />
≅ 10600<br />
7200 + 6400<br />
e così pure il generatore <strong>di</strong> f.m.m. 2 , sul ramo b , "vede" tutta la rete come:<br />
7200 ⋅ 7200<br />
R ( b)<br />
= Rb<br />
+ Ra<br />
|| Rc<br />
= 6400 +<br />
= 10000<br />
7200 + 7200<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 32 <strong>di</strong> 64<br />
Si possono quin<strong>di</strong> in<strong>di</strong>care subito i valori delle auto induttanze per i due avvolgimenti, considerando per<br />
ciascuna che sia "acceso" il proprio generatore <strong>di</strong> f.m.m. e "spento" (in cto cto) l'altro:<br />
L<br />
L<br />
11<br />
22<br />
= N<br />
2<br />
1<br />
= N<br />
1<br />
R(<br />
a)<br />
2500<br />
=<br />
10600<br />
1<br />
R(<br />
b)<br />
3600<br />
=<br />
10000<br />
2<br />
2<br />
= 0.<br />
236H<br />
= 0.<br />
360H<br />
Oltre all'effetto auto induttivo, va considerato che il flusso generato da ogni avvolgimento concatena almeno<br />
in parte anche l'altro; quin<strong>di</strong>, se tale flusso è variabile nel tempo, genererà tensione nell'altro avvolgimento.<br />
In questo caso il flusso generato dal generatore <strong>di</strong> f.m.m. 1 (con il generatore 2 spento) si ripartirà nei due<br />
rami b e c in proporzione al reciproco delle rispettive riluttanze, in maniera tale da presentare la stessa<br />
caduta <strong>di</strong> tensione (analogia elettrica per i circuiti magnetici) sui due rami. Si tratta quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> un partitore <strong>di</strong><br />
flusso, l'analogo magnetico <strong>di</strong> un partitore <strong>di</strong> corrente:<br />
Φ1<br />
= −Φb1<br />
− Φc1<br />
Φ ⋅R<br />
= Φ ⋅R<br />
b1<br />
b<br />
c1<br />
c<br />
dove si utilizza il segno negativo perché se il flusso generato è positivo nel ramo a , sarà orientato<br />
negativamente nei rami b e c . Quin<strong>di</strong> vale:<br />
Φ<br />
b1<br />
= −<br />
e poiché:<br />
Rc<br />
R + R<br />
b<br />
N1<br />
⋅i1<br />
Φ 1 =<br />
R(<br />
a)<br />
si ha:<br />
M<br />
21<br />
c<br />
Φ<br />
1<br />
Rc<br />
1 7200 1<br />
= − N2N1<br />
= − ⋅50⋅<br />
60⋅<br />
= −0.<br />
150H<br />
Rb<br />
+ Rc<br />
R(<br />
a)<br />
13600 10600<br />
Mentre le auto induttanze sono sempre positive, le mutue induttanze sono positive o negative a seconda dei<br />
reciproci orientamenti <strong>degli</strong> avvolgimenti coinvolti.<br />
In questo caso, percorrendo una maglia che comprendesse entrambi i rami con avvolgimenti elettrici, i due<br />
avvolgimenti presentavano versi <strong>di</strong>scor<strong>di</strong>, da cui il segno negativo.<br />
Il proce<strong>di</strong>mento ora seguito va ripetuto per calcolare la mutua induttanza M12<br />
, che esprime il rapporto tra<br />
valore del flusso concatenato dall'avvolgimento 1 e la corrente che lo genera, nell'avvolgimento 1. Si trova<br />
quin<strong>di</strong>:<br />
M<br />
12<br />
R c 1 7200 1<br />
= − N1N<br />
2 = − ⋅60⋅<br />
50⋅<br />
= −0.<br />
150H<br />
R a + R c R ( b)<br />
14400 10000<br />
Si nota che:<br />
M = M<br />
12<br />
21<br />
Non si tratta <strong>di</strong> una coincidenza numerica: si <strong>di</strong>mostra che le mutue induttanze sono sempre<br />
simmetriche.<br />
3.5 - Energia Magnetica<br />
Ogni campo magnetico comporta sempre la presenza <strong>di</strong> energia, che prende appunto il nome <strong>di</strong> energia<br />
magnetica. E' necessario compiere lavoro per creare un campo magnetico: tale lavoro non viene <strong>di</strong>ssipato<br />
(per effetto Joule o in altro modo), ma viene accumulato dal campo magnetico stesso, che potrà restituirlo<br />
quando i valori <strong>di</strong> campo e <strong>di</strong> induzione torneranno a zero. L'energia è localizzata in ogni punto dello spazio<br />
dove si presenti un valore non nullo <strong>di</strong> campo, secondo questa formula:<br />
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G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 33 <strong>di</strong> 64<br />
dE<br />
B<br />
=<br />
1 1 2 1 B<br />
BHdV = μ0μr<br />
H dV =<br />
2 2<br />
2 μ μ<br />
0<br />
2<br />
r<br />
dV<br />
Quin<strong>di</strong> integrando sull'intero volume in cui è presente il campo si ottiene l'energia magnetica totale:<br />
E<br />
B<br />
1<br />
=<br />
2<br />
1<br />
2<br />
∫ BHdV = ∫ μ μ =<br />
V<br />
V<br />
0 rH<br />
dV<br />
2<br />
2 ∫V<br />
μ μ<br />
1<br />
B<br />
0<br />
2<br />
r<br />
dV<br />
[3.35]<br />
[3.36]<br />
Se si considera per esempio un semplice circuito magnetico, costituito da una sola maglia, <strong>di</strong> sezione<br />
regolare A e <strong>di</strong> lunghezza totale l , <strong>di</strong> materiale con caratteristiche magnetiche omogenee, si può facilmente<br />
calcolare l'energia magnetica totale in esso presente, dato che in esso il campo sarà uniforme.<br />
E<br />
B<br />
=<br />
0<br />
2<br />
1 B<br />
2 μ μ<br />
r<br />
Al<br />
[3.37]<br />
Il campo magnetico sarà generato dalla corrente che scorre in una serie <strong>di</strong> spire avvolte nel campo<br />
magnetico stesso. Tale corrente vale I , con la con<strong>di</strong>zione:<br />
NI NI<br />
B B<br />
A<br />
μ μ = = ⇒ = ⋅<br />
R R<br />
A r<br />
= Φ 0<br />
NI<br />
l<br />
Si supponga <strong>di</strong> essere arrivati a tale valore facendo crescere la corrente linearmente da zero:<br />
[3.38]<br />
t<br />
i () t = I<br />
[3.39]<br />
T<br />
dove T è il tempo totale impiegato. Allora ai morsetti dell'avvolgimento si presenta, per effetto induttivo, una<br />
tensione:<br />
v<br />
() t<br />
() t<br />
2<br />
<strong>di</strong> I N I<br />
= L = L =<br />
[3.40]<br />
dt T R T<br />
con la scelta fatta per la funzione i t la tensione è costante.<br />
Istante per istante la potenza vale:<br />
()<br />
I t 2 t<br />
p () t = v()<br />
t ⋅ i()<br />
t = L I = LI<br />
[3.41]<br />
2<br />
T T T<br />
L'energia fornita dal circuito elettrico a quello magnetico vale allora:<br />
T<br />
2 t 1 2<br />
EE<br />
→ B = ∫ LI dt = LI<br />
[3.42]<br />
0 2<br />
T 2<br />
Si ottiene questo stesso risultato qualunque sia l'andamento della corrente nel tempo, purché inizi da 0 e<br />
arrivi ad I .<br />
Si nota inoltre che:<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2 1 N 2 1<br />
LI I = μ0μr<br />
=<br />
2 R<br />
2<br />
A<br />
N<br />
l<br />
Combinando la [3.38] e la [3.42]:<br />
2<br />
I<br />
2<br />
2 ( μ μ NI l)<br />
1 A 2 2 1 2<br />
2<br />
1 B 1 0 r<br />
EB Al =<br />
Al = μ0μr<br />
2 μ0μr<br />
2 μ0μr<br />
2<br />
[3.43]<br />
= N I = LI<br />
[3.44]<br />
l 2<br />
Come si vede quest'ultimo valore <strong>di</strong> energia (calcolato a partire dalla [3.36] e [3.38]) e il lavoro elettrico<br />
espresso dalla [3.42] coincidono, a conferma della vali<strong>di</strong>tà delle leggi utilizzate.<br />
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G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 34 <strong>di</strong> 64<br />
3.6 - Azioni Meccaniche<br />
La forza <strong>di</strong> Lorentz in<strong>di</strong>ca l'esistenza <strong>di</strong> interazioni <strong>di</strong> tipo meccanico in presenza <strong>di</strong> campi magnetici e<br />
correnti.<br />
Un altro tipico effetto meccanico è la forza <strong>di</strong> attrazione o <strong>di</strong> repulsione tra le varie parti <strong>di</strong> un circuito<br />
magnetico, e in particolare in prossimità dei traferri. Se si ha un circuito magnetico con <strong>di</strong>verse parti in ferro,<br />
non unite saldamente le une alle altre o a un altro vincolo, le forze che si creano fra queste parti provocherà<br />
il loro spostamento. Un metodo rigoroso ma al tempo stesso semplice per calcolare queste forze si basa su<br />
un principio energetico. Se le <strong>di</strong>stanze variano, anche <strong>di</strong> un termine infinitesimo (o, se si preferisce un<br />
approccio Lagrangiano, <strong>di</strong> uno spostamento virtuale), cambiano i valori delle riluttanze, e quin<strong>di</strong> delle<br />
induttanze, e <strong>di</strong> conseguenza dell'energia accumulata dal campo magnetico. In assenza <strong>di</strong> altre sorgenti <strong>di</strong><br />
potenza (si supponga per esempio che il flusso non cambi, e quin<strong>di</strong> non si creino tensioni, in modo che i<br />
circuiti elettrici non scambino energia con quelli magnetici), la variazione <strong>di</strong> energia accumulata sarà pari al<br />
lavoro infinitesimo, o virtuale, svolto dalla forza esterna per effettuare lo spostamento. La forza <strong>di</strong> origine<br />
magnetica tra le varie parti del circuito è quin<strong>di</strong> uguale e contraria a tale forza esterna.<br />
Un caso molto semplice è quello del circuito magnetico composto <strong>di</strong> una sola maglia, la quale però non è<br />
composta <strong>di</strong> un blocco unico in ferro, ma <strong>di</strong> due parti separate da due uguali traferri.<br />
I traferri sono <strong>di</strong> lunghezza variabile. E' proprio in corrispondenza <strong>di</strong> essi che si svilupperà un forza (che si<br />
vedrà essere attrattiva) tra le due parti in ferro.<br />
Si supponga <strong>di</strong> poter considerare uguali le aree nel ferro e in aria (nell'ipotesi che i traferri siano piccoli, il<br />
flusso nei passaggi in aria non si allarga in maniera significativa).<br />
L'energia magnetica può essere calcolata con l'integrale <strong>di</strong> volume:<br />
1 B 1 B<br />
EB = A⋅l<br />
Fe + A⋅2l<br />
aria<br />
[3.45]<br />
2 μ μ 2 μ<br />
0<br />
2<br />
Fe<br />
2<br />
0<br />
Un allontanamento del traferro, a parità <strong>di</strong> flusso e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> induzione, comporta una variazione <strong>di</strong> energia:<br />
1 B<br />
δEB = A ⋅ 2δl<br />
2 μ<br />
2<br />
0<br />
aria<br />
quin<strong>di</strong> la forza agente deve valere:<br />
2<br />
[3.46]<br />
δEB<br />
1 B<br />
Fa<br />
= = A⋅<br />
2<br />
[3.47]<br />
δl<br />
2 μ<br />
aria<br />
0<br />
l'espressione è positiva, quin<strong>di</strong> questa forza, che è quella che dall'esterno compie il lavoro (virtuale), è<br />
orientata come lo spostamento: deve quin<strong>di</strong> essere <strong>di</strong>retta ad allontanare le due parti. Questa forza si<br />
oppone alla forza <strong>di</strong> attrazione <strong>di</strong> origine magnetica. Tale forza magnetica sarà ripartita in parti uguali sui due<br />
traferri; quin<strong>di</strong> su ciascun traferro vale:<br />
F<br />
B<br />
2<br />
Fa<br />
1 B<br />
= − = − A<br />
[3.48]<br />
2 2 μ<br />
0<br />
il segno negativo in<strong>di</strong>ca che è attrattiva. Si noti che è la forza è in<strong>di</strong>pendente dal segno (cioè<br />
dall'orientamento) dell'induzione, dato che questa appare elevata al quadrato.<br />
Il principio così descritto è quello su cui si basano gli elettromagneti, <strong>di</strong>ffusi in svariate applicazioni, con<br />
portate <strong>di</strong> ogni or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza: per esempio potentissimi nelle industrie, dove sono usati sui carri-ponte<br />
per sollevare rottami ferrosi (anche parecchie tonnellate), oppure <strong>di</strong> me<strong>di</strong>e potenze negli interruttori<br />
automatici (a seconda delle <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong> questi) e nei relè, oppure agenti con forze minime nelle piccole<br />
suonerie domestiche. Si noti che il termine <strong>di</strong> permettività del vuoto al denominatore rende notevole il valore<br />
della forza anche con induzioni e superfici abbastanza piccole. Tuttavia, all’aumentare dello spessore del<br />
traferro le linee <strong>di</strong> forza dell’induzione non saranno più tra loro parallele, e perpen<strong>di</strong>colari alla superficie, ma<br />
tenderanno ad allargarsi. A parità <strong>di</strong> flusso, l’induzione <strong>di</strong>minuisce e con essa <strong>di</strong>minuisce la forza espressa<br />
dalla [3.48].<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 35 <strong>di</strong> 64<br />
3.7 - Materiali Ferromagnetici<br />
Come si è già accennato più volte, il ferro ed alcune sua leghe sono gli unici materiali che presentano un<br />
elevato valore <strong>di</strong> permeabilità relativa. Non entriamo nel problema <strong>di</strong> capire il perché <strong>di</strong> tale comportamento,<br />
in quanto questo richiede la conoscenza <strong>di</strong> nozioni avanzate <strong>di</strong> Fisica. Consideriamo piuttosto alcune<br />
particolarità del fenomeno, rilevanti ai fini pratici.<br />
Una prima, rilevante particolarità è il problema della non linearità del comportamento magnetico: vale a <strong>di</strong>re,<br />
il valore <strong>di</strong> permeabilità relativa non è in<strong>di</strong>pendente dal valore del campo, o dell'induzione.<br />
La funzione che esprime il valore dell'induzione in funzione del valore del campo prende il nome <strong>di</strong><br />
caratteristica <strong>di</strong> magnetizzazione. Tale caratteristica presenta generalmente un andamento simmetrico<br />
rispetto all'origine, il che significa che non esiste un verso privilegiato per il flusso magnetico.<br />
La caratteristica presenta un andamento con buona approssimazione rettilineo solo nell'intorno dell'origine,<br />
fino ad un dato valore (positivo o negativo, la curva è simmetrica) <strong>di</strong> induzione. Oltre tale punto (spesso<br />
in<strong>di</strong>cato come "ginocchio" della caratteristica), allontanandosi dall'origine, la caratteristica inizia a piegare,<br />
<strong>di</strong>minuendo la sua inclinazione. Il fenomeno evidenziato da tale andamento prende il nome <strong>di</strong> saturazione<br />
magnetica e il punto dove inizia (il ginocchio) prende il nome <strong>di</strong> punto <strong>di</strong> saturazione. In realtà il fenomeno<br />
non inizia bruscamente, ma con gradualità. Valori tipici <strong>di</strong> inizio della saturazione sono intorno a 1.0÷1.5<br />
tesla, a seconda del materiale.<br />
Ponendo in grafico invece il valore della permeabilità relativa, si ottiene fino al punto <strong>di</strong> saturazione un valore<br />
pressoché costante (segmento <strong>di</strong> retta parallela all'asse delle ascisse), e poi valori via via decrescenti, ma<br />
sempre con continuità. Per valori molto elevati <strong>di</strong> campo si arriva fino ad un valore limite <strong>di</strong> permeabilità<br />
relativa unitario: sono completamente scomparsi gli effetti ferromagnetici, e il materiale si comporta come<br />
l'aria o il vuoto. La caratteristica <strong>di</strong> magnetizzazione da lì in poi torna ad avere un andamento rettilineo, ma il<br />
coefficiente angolare è molto più piccolo <strong>di</strong> quello del tratto iniziale, non saturo (1000÷2000 inferiore).<br />
In realtà nemmeno il primo tratto della caratteristica è perfettamente lineare, ma solitamente presenta un<br />
andamento leggermente meno ripido all'inizio, per poi arrivare alla massima pendenza, e quin<strong>di</strong> decadere<br />
nel tratto saturo. Il valore della permeabilità presenta quin<strong>di</strong> un dato valore in corrispondenza <strong>di</strong> campo nullo,<br />
detto permeabilità iniziale, che poi cresce sensibilmente (anche raddoppiando) ma nell'arco <strong>di</strong> una<br />
variazione limitata <strong>di</strong> induzione (0.1÷0.3 tesla), rimane abbastanza costante fino a circa 1 tesla, e infine<br />
quin<strong>di</strong> scende oltre tali valori. La non-linearità del tratto iniziale è comunque, nella maggior parte delle<br />
applicazioni pratiche, poco rilevante o trascurabile.<br />
Il fenomeno della saturazione ha invece conseguenze molto rilevanti. Non va infatti <strong>di</strong>menticato che il valore<br />
del campo, H , è rigorosamente proporzionale al valore della f.m.m., cioè della corrente che circola negli<br />
avvolgimenti; mentre il valore della tensione indotta è rigorosamente proporzionale alla derivata del flusso e<br />
quin<strong>di</strong> dell'induzione magnetica B . La saturazione pertanto produce, nell'andamento nel tempo della<br />
tensione o della corrente, delle <strong>di</strong>storsioni rispetto al comportamento lineare. Nelle maggior parte delle<br />
applicazioni pratiche si utilizzano tensione e correnti con andamento nel tempo <strong>di</strong> tipo sinusoidale. infatti<br />
occorrono funzioni variabili nel tempo per ottenere variazioni <strong>di</strong> flusso e quin<strong>di</strong> tensioni indotte, e le funzioni<br />
seno e coseno sono: perio<strong>di</strong>che (si torna sempre al valore <strong>di</strong> partenza), molto regolari (sono continue e<br />
derivabili infinite volte) e la derivata <strong>di</strong> una funzione sinusoidale è ancora una funzione sinusoidale, sfasata<br />
<strong>di</strong> 90 deg.<br />
Si consideri per esempio un semplice circuito magnetico, composto <strong>di</strong> una solo percorso magnetico <strong>di</strong><br />
lunghezza l e sezione costante A . Intorno ad esso si abbia un avvolgimento con N spire percorse da una<br />
corrente I , ai cui morsetti si misuri una tensione e . Essendo costante la sezione lungo tutto il percorso, a<br />
parità <strong>di</strong> corrente si presenterà lo stesso valore <strong>di</strong> campo in ogni punto del circuito magnetico:<br />
Ni<br />
H = [3.49]<br />
l<br />
mentre la tensione ai morsetti vale:<br />
dB <strong>di</strong><br />
v = NA = L<br />
[3.50]<br />
dt dt<br />
Si supponga <strong>di</strong> alimentare il circuito elettrico con un generatore ideale <strong>di</strong> corrente, che imponga una corrente<br />
sinusoidale:<br />
() t I ⋅ ( t)<br />
i = M sin ω<br />
[3.51]<br />
Si ha quin<strong>di</strong>:<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 36 <strong>di</strong> 64<br />
H<br />
N<br />
l<br />
M<br />
B(<br />
t)<br />
= μ μ ⋅ H<br />
() t = I ⋅sin(<br />
ωt)<br />
= H ⋅sin(<br />
ωt)<br />
0<br />
r<br />
() t = μ μ ⋅ H ⋅sin(<br />
ωt)<br />
0<br />
r<br />
M<br />
M<br />
[3.52]<br />
in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> linearità, anche l'induzione sarebbe perfettamente sinusoidale. Ma per effetto della<br />
saturazione la permeabilità relativa non è costante, ma decresce al crescere <strong>di</strong> H e <strong>di</strong> B , cosicché i valori<br />
più elevati (positivi o negativi) della sinusoide vengono ridotti, ottenendo una sinusoide appiattita nelle<br />
sommità. La derivazione <strong>di</strong> siffatta funzione, anziché portare a:<br />
dB<br />
dt<br />
() t = NA = NAB ω⋅<br />
( ωt)<br />
= ωLI<br />
⋅ cos(<br />
ωt)<br />
= V ⋅ cos(<br />
ωt)<br />
v M<br />
M<br />
M<br />
cos [3.53]<br />
che sarebbe una funzione perfettamente sinusoidale, porta ad una funzione sicuramente deformata. In<br />
particolare:<br />
- i valori massimi <strong>di</strong> tensione corrispondono alle derivate del flusso in prossimità del passaggio per lo<br />
zero, dove quin<strong>di</strong> B è piccolo, quin<strong>di</strong> non si ha saturazione; i valori massimi <strong>di</strong> tensione non sono<br />
quin<strong>di</strong> influenzati dalla saturazione;<br />
- i valori <strong>di</strong> flusso in corrispondenza della zona deformata sono valori appiattiti, quin<strong>di</strong> con derivata ridotta<br />
rispetto alla con<strong>di</strong>zione normale; pertanto, dopo i massimi e una prima <strong>di</strong>scesa regolare, le tensioni si<br />
avvicinano allo zero più rapidamente, e più lentamente riprendono a salire.<br />
Si supponga invece <strong>di</strong> alimentare il circuito elettrico con un generatore ideale <strong>di</strong> tensione, che eroghi una<br />
tensione con andamento sinusoidale del tipo:<br />
() t E ⋅ ( t)<br />
e = M cos ω<br />
[3.54]<br />
Nel circuito dovrà allora passare una corrente tale da generare un flusso che per induzione produca una<br />
tensione ai morsetti pari alla f.e.m. applicata. Pertanto dovrà essere:<br />
H<br />
() t<br />
Φ() t :<br />
dΦ<br />
N<br />
dt<br />
= v<br />
1<br />
N ∫<br />
B<br />
V<br />
M () t = sin(<br />
ωt)<br />
ωNA<br />
B<br />
()<br />
() t 1<br />
t = =<br />
μ μ<br />
0<br />
r<br />
μ μ<br />
0<br />
M<br />
() t ⇒ Φ()<br />
t = v()<br />
t dt = sin(<br />
ωt)<br />
r<br />
VM<br />
sin<br />
ωNA<br />
( ωt)<br />
V<br />
ωN<br />
[3.55]<br />
In con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> linearità anche il campo sarebbe una sinusoide perfetta. Ma il valore della permeabilità<br />
relativa non è costante, bensì decresce al crescere <strong>di</strong> H e <strong>di</strong> B , cosicché in corrispondenza dei massimi<br />
della sinusoide <strong>di</strong> H i suoi valori vengono amplificati. La situazione è invece quella prevista nelle zone della<br />
sinusoide dove i valori <strong>di</strong> H sono piccoli. La corrente segue lo stesso andamento, in modo da presentare un<br />
massimo più grande (anche <strong>di</strong> molte volte se la saturazione è rilevante) <strong>di</strong> quello che si otterrebbe in<br />
con<strong>di</strong>zioni lineari. Insomma, poiché la permeabilità è <strong>di</strong>minuita, occorre molta più corrente per ottenere lo<br />
stesso flusso <strong>di</strong> induzione. Quest'ultimo fenomeno è molto più pericoloso del precedente, perché una<br />
deformazione che riduca i valori produce solo minore potenza, mentre una deformazione che amplifica le<br />
correnti causa maggiori per<strong>di</strong>te per effetto Joule, in proporzione al quadrato della corrente, con rischi <strong>di</strong><br />
surriscaldamenti pericolosi, come pure causa azioni elettromeccaniche tra i conduttori agenti con maggior<br />
forza (anche queste in proporzione quadratica).<br />
Si noti infine che non linearità, cioè permeabilità relativa non costante, significa anche induttanze non<br />
costanti:<br />
2<br />
N<br />
L =<br />
R<br />
= N<br />
2<br />
dl<br />
∫ μ μ<br />
L<br />
0<br />
r A<br />
per esempio per un semplice oggetto cilindrico:<br />
L 0 r<br />
[3.56]<br />
A 2<br />
N<br />
l<br />
μ μ = [3.57]<br />
l'induttanza <strong>di</strong>pende dall'induzione e decresce al crescere <strong>di</strong> questa.<br />
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Una seconda particolarità dei materiali ferromagnetici è il fenomeno dell'isteresi.<br />
Si supponga <strong>di</strong> aver portato il materiale ad un certo valore <strong>di</strong> induzione, per esempio positivo (se fosse<br />
negativo il fenomeno sarebbe lo stesso, solo con i segni opposti), percorrendo la curva <strong>di</strong> magnetizzazione.<br />
A questo punto <strong>di</strong>minuendo il valore del campo magnetico anche l'induzione <strong>di</strong>minuisce, ma seguendo una<br />
strada <strong>di</strong>fferente da quella della caratteristica <strong>di</strong> magnetizzazione. In particolare si nota che quando il campo<br />
è tornato al valore zero, l'induzione conserva ancora un valore che prende il nome <strong>di</strong> magnetizzazione<br />
residua, dello stesso segno dell'induzione iniziale. Per far tornare a zero il valore dell'induzione, occorre<br />
quin<strong>di</strong> raggiungere valore negativi <strong>di</strong> campo. La strada percorsa può essere rappresentata come una curva<br />
molto simile alla caratteristica <strong>di</strong> magnetizzazione, ma che partendo dallo stesso punto torna in<strong>di</strong>etro<br />
rimanendo un poco sopra (come valori <strong>di</strong> induzione) alla caratteristica originaria.<br />
Se si scende ad un valore negativo <strong>di</strong> induzione, pari in modulo a quello positivo <strong>di</strong> partenza, e poi si vuole<br />
tornare in<strong>di</strong>etro, stavolta il percorso sarà sotto alla caratteristica passante per l'origine, evidenziando quin<strong>di</strong><br />
un valore residuo <strong>di</strong> magnetizzazione <strong>di</strong> valore uguale e contrario a quello rimasto provenendo da un valore<br />
<strong>di</strong> induzione positiva.<br />
Tornando fino al punto positivo <strong>di</strong> partenza si è descritto allora un intero ciclo, detto appunto ciclo <strong>di</strong> isteresi,<br />
composto da due percorsi simmetrici rispetto all'origine. La figura così ottenuta delimita quin<strong>di</strong> un'area la cui<br />
superficie è con buona approssimazione proporzionale al quadrato dell'induzione massima. I due vertici della<br />
figura si trovano sulla caratteristica <strong>di</strong> magnetizzazione originaria, detta caratteristica <strong>di</strong> prima<br />
magnetizzazione, perché il materiale segue tale curva solo la prima volta che viene magnetizzato, o quando<br />
viene magnetizzato a partire da una con<strong>di</strong>zione priva <strong>di</strong> magnetizzazioni residue.<br />
L'isteresi è un fenomeno <strong>di</strong>ssipativo. Si ricorda che l'energia associata al campo magnetico per unità <strong>di</strong><br />
volume vale:<br />
e<br />
B<br />
dEB<br />
1<br />
= = HB<br />
[3.58]<br />
dV 2<br />
Una variazione del campo e dell'induzione produce una variazione dell'energia:<br />
de B<br />
ma:<br />
1<br />
=<br />
2<br />
1<br />
2<br />
( H + dH )( B + dB)<br />
− HB = ( HdB + BdH<br />
BdH = HdB<br />
1<br />
2<br />
) [3.59]<br />
quin<strong>di</strong>: deB = HdB<br />
[3.60]<br />
la potenza (per unità <strong>di</strong> volume) necessaria per variare il campo magnetico:<br />
p<br />
B<br />
deB<br />
dB<br />
= = H<br />
[3.61]<br />
dt dt<br />
Questa formulazione è ben raccordabile con l'espressione della potenza elettrica:<br />
p E<br />
= i ⋅v<br />
[3.62]<br />
il campo magnetico infatti è strettamente proporzionale alla corrente e la variazione dell'induzione è<br />
strettamente proporzionale alla tensione. Integrando la [3.61] su un intero volume infatti si introdurrà un'area<br />
(induzione per area=flusso) e una lunghezza (campo per lunghezza=f.m.m.=corrente).<br />
Considerando allora la figura del ciclo <strong>di</strong> isteresi, la si può ri<strong>di</strong>segnare scambiando tra loro gli assi cartesiani.<br />
Allora si nota che l'area della figura è data proprio dall'integrale, non <strong>di</strong> volume ma lungo un intero ciclo, della<br />
[3.61]. Quin<strong>di</strong> l'area della figura (utilizzando come unità <strong>di</strong> misura i tesla e le Asp/m) è pari esattamente<br />
all'energia per unità <strong>di</strong> volume necessaria a compiere un intero ciclo <strong>di</strong> isteresi.<br />
Se allora in un circuito ferromagnetico si creano campo e induzione alimentando <strong>degli</strong> avvolgimenti elettrici<br />
con correnti o tensioni alternate, si ha per ogni istante <strong>di</strong> tempo una energia fornita al materiale (e da questo<br />
<strong>di</strong>ssipata in calore) proporzionale:<br />
- al numero <strong>di</strong> cicli in quell'unità <strong>di</strong> tempo<br />
- al quadrato dell'induzione massima<br />
- al volume del materiale.<br />
Generalmente si preferisce ragionare in base al peso G e non al volume (le due grandezze sono<br />
proporzionali) per cui la potenza <strong>di</strong>ssipata per isteresi vale:<br />
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P<strong>di</strong> = ki<br />
⋅ BM<br />
⋅ f ⋅G<br />
2<br />
[3.63]<br />
dove f è la frequenza (in Hz) dei cicli e la costante, che è <strong>di</strong>versa per ogni materiale ferromagnetico, è<br />
detta cifra <strong>di</strong> per<strong>di</strong>ta per isteresi.<br />
La terza particolarità dei materiali ferromagnetici è il fenomeno delle correnti parassite. Tale fenomeno si<br />
presenta solo in presenza <strong>di</strong> flusso variabile nel tempo.<br />
Se si considera nel materiale una qualunque sezione (un piano perpen<strong>di</strong>colare all'induzione) e su <strong>di</strong> essa<br />
qualunque linea chiusa, si sa che l'integrale <strong>di</strong> circuitazione del campo elettrico è pari alla variazione del<br />
flusso nell'area racchiusa da quella linea. Si presentano cioè delle tensioni indotte non solo sugli<br />
avvolgimenti esterni, ma anche in ogni circuito "virtuale" che si consideri internamente. Il concetto può<br />
lasciare perplessi perché non esistono circuiti ben definiti. Qui la trattazione si farebbe complessa, per cui<br />
non entriamo in ulteriori dettagli. Di fatto il fenomeno si esplica me<strong>di</strong>ante la circolazione <strong>di</strong> correnti parassite<br />
all'interno del ferro, <strong>di</strong>ffuse in tutto il corpo metallico, secondo percorsi <strong>di</strong> tipo circolare. Il flusso generato da<br />
queste correnti è pure variabile e la sua variazione tende ad opporsi alla variazione del flusso principale, <strong>di</strong><br />
modo che un avvolgimento esterno percepisce una variazione <strong>di</strong> flusso in qualche misura minore <strong>di</strong> quella<br />
teoricamente prevista. Generalmente tali correnti parassite sono limitate dalla resistività del materiale, quin<strong>di</strong><br />
abbastanza piccole. Inoltre, con andamenti sinusoidali del flusso, essendo tali correnti limitate resistivamente<br />
ed essendo proporzionali, istante per istante, alla variazione del flusso, sono in fase con la variazione, quin<strong>di</strong><br />
in quadratura (sfasate <strong>di</strong> 90°) con il flusso; il contro-flusso che esse generano è quin<strong>di</strong> piccolo e in<br />
quadratura rispetto al flusso principale, che quin<strong>di</strong> non subisce mo<strong>di</strong>ficazione troppo sensibili.<br />
Rimane invece sensibile il problema della potenza <strong>di</strong>ssipata per effetto Joule, fenomeno sempre presente<br />
quando circolano correnti. Queste correnti sono dovute alla tensione creata dalla variazione <strong>di</strong> flusso, quin<strong>di</strong>,<br />
ragionando in termini <strong>di</strong> proporzionalità (il simbolo ∝ significa: "è proporzionale a"):<br />
v<br />
i ∝<br />
r<br />
v ∝ ω⋅<br />
Φ ∝ f ⋅ B<br />
p ∝ ri<br />
2<br />
v<br />
∝ r<br />
r<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
f B<br />
∝<br />
r<br />
[3.64]<br />
Cioè: la potenza <strong>di</strong>ssipata per unità <strong>di</strong> volume, o <strong>di</strong> peso è proporzionale al quadrato del valore massimo<br />
dell'induzione, al quadrato della frequenza, ed in inversamente proporzionale alla resistenza-resistività del<br />
materiale, perché questa limita le correnti parassite. Per sfruttare questo fenomeno si introducono nelle<br />
leghe ferromagnetiche percentuali <strong>di</strong> materiali che siano cattivi conduttori elettrici.<br />
Inoltre si utilizzano i materiali non sotto forma <strong>di</strong> corpi massicci, ma <strong>di</strong> lamierini, con le superfici laterali<br />
parallele alla <strong>di</strong>rezione del flusso. Tra un lamierino e l'altro (spessore 0.5÷1.0 mm) un sottile strato <strong>di</strong> vernice<br />
funge da isolante, "tagliando" i circuiti elettrici e costringendo le correnti a tragitti molto brevi, su anelli molto<br />
piccoli. La vernice riduce un poco l'area utile del ferro, quin<strong>di</strong> occorrerà tenere presente questo fatto nel<br />
calcolo <strong>di</strong> riluttanze e induttanze me<strong>di</strong>ante un coefficiente <strong>di</strong> riduzione dell'area della sezione.<br />
La potenza <strong>di</strong>ssipata per correnti parassite vale allora:<br />
Pdcp = kcp<br />
⋅ BM<br />
⋅ f<br />
2<br />
2<br />
⋅G<br />
dove la costante, detta cifra <strong>di</strong> per<strong>di</strong>ta per correnti parassite, <strong>di</strong>pende dal materiale.<br />
In totale le per<strong>di</strong>te nei materiali ferromagnetici:<br />
2<br />
( k ⋅ f + k ⋅ f )<br />
2<br />
2 2 2<br />
Pd P<strong>di</strong><br />
+ Pdcp<br />
= ki<br />
⋅ BM<br />
⋅ f ⋅G<br />
+ kcp<br />
⋅ BM<br />
⋅ f ⋅G<br />
= BM<br />
⋅G<br />
⋅ i cp<br />
[3.65]<br />
= [3.66]<br />
Spesso si usa una formulazione sintetica, approssimata ma valida nelle applicazioni pratiche per una<br />
gamma ristretta <strong>di</strong> frequenze:<br />
α ( f f ) 1.<br />
2 < α < 1.<br />
8<br />
2<br />
P d = k ⋅G<br />
⋅ BM<br />
⋅ n<br />
[3.67]<br />
dove la costante prende il nome generico <strong>di</strong> cifra <strong>di</strong> per<strong>di</strong>ta, e <strong>di</strong>pende, come l'esponente α, dal materiale.<br />
La frequenza <strong>di</strong> riferimento è solitamente <strong>di</strong> 50 o <strong>di</strong> 60 Hz (frequenza nominale).<br />
In pratica la cifra <strong>di</strong> per<strong>di</strong>ta esprime la potenza <strong>di</strong>ssipata con una induzione <strong>di</strong> 1 tesla, alla frequenza<br />
nominale, per ogni kg <strong>di</strong> materiale.<br />
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4 - Analisi delle Reti Elettriche in Regime Variabile<br />
4.1 - Limiti <strong>di</strong> Vali<strong>di</strong>tà dei Principi <strong>di</strong> Kirchhoff<br />
Nel Cap. 1 è stata presentata una classificazione dei fenomeni elettrici. Si riepilogano ora le considerazioni<br />
già fatte al termine <strong>di</strong> tale capitolo.<br />
I fenomeni elettrici sono classificabili in elettrostatici ed elettro<strong>di</strong>namici, sud<strong>di</strong>videndo ulteriormente questi<br />
ultimi in stazionari, quasi stazionari, non stazionari. Sono quin<strong>di</strong> state introdotte, per il solo regime<br />
stazionario, le leggi <strong>di</strong> Kirchhoff ai no<strong>di</strong> e alle maglie, <strong>di</strong>rette conseguenze rispettivamente del principio <strong>di</strong><br />
conservazione della carica e della irrotazionalità del campo elettrico (legge <strong>di</strong> Faraday-Henry) in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
stazionarietà, cioè in assenza <strong>di</strong> variazione nel tempo della densità volumetrica <strong>di</strong> carica e in assenza <strong>di</strong><br />
variazione nel tempo del campo magnetico e quin<strong>di</strong> delle correnti che lo generano.<br />
In con<strong>di</strong>zioni non stazionarie questi ultimi fenomeni non sono invece assenti, ma esistono con conseguenze<br />
rilevanti. Possono venire in<strong>di</strong>cati in sintesi come:<br />
effetto capacitivo: in alcune parti del circuito si ha accumulazione <strong>di</strong> carica, o meglio separazione <strong>di</strong> carica<br />
in modo che una parte presenti eccesso <strong>di</strong> carica positiva e l'altra eccesso <strong>di</strong> carica<br />
negativa, con l'insorgere <strong>di</strong> una d.d.p. tra le due parti; il valore della carica accumulata e<br />
della tensione in generale possono variare, anche se restano sempre in <strong>di</strong>retta<br />
proporzionalità secondo un coefficiente detto appunto capacità; su ciascuna delle due<br />
parti interessate non può più allora applicarsi il principio <strong>di</strong> Kirchhoff ai no<strong>di</strong> perché<br />
parte delle correnti entranti può andare ad accumularsi;<br />
effetto induttivo: il flusso dell'induzione magnetica in una maglia, in una spira o in una serie <strong>di</strong> spire può<br />
essere in generale variabile, e quin<strong>di</strong> si presenta una tensione indotta, per cui il campo<br />
elettrico non è più irrotazionale; su maglie con questi fenomeni non può allora applicarsi<br />
il principio <strong>di</strong> Kirchhoff alle maglie perché la circuitazione del campo elettrico non dà<br />
valore nullo.<br />
Tuttavia, se questi fenomeni (l'effetto induttivo e l'effetto capacitivo) sono localizzati in parti definite e limitate<br />
del circuito, le leggi <strong>di</strong> Kirchhoff potranno essere riscritte quasi allo stesso modo, alle con<strong>di</strong>zioni che:<br />
1) nei no<strong>di</strong> non si presentino effetti capacitivi;<br />
2) le tensioni generate nei lati tengano conto dell'induzione <strong>di</strong> campi magnetici esterni;<br />
3) al secondo membro le c.d.t. ohmiche vengano completate con le c.d.t. su altri componenti,<br />
schematizzabili come induttori e condensatori, per i quali la tensione va calcolata non solo come<br />
funzione lineare della corrente, ma anche della sua derivata o del suo integrale nel tempo.<br />
Se invece per esempio si considera anche il flusso che attraversa l'intera maglia, oppure il fatto che ci<br />
possono essere <strong>di</strong>spersioni <strong>di</strong> corrente per effetto capacitivo attraverso l'isolamento dei conduttori, il regime<br />
non può essere considerato quasi-stazionario, a meno che non si riesca a modellizzare tali fenomeni<br />
concentrando i loro effetti in singole parti della rete elettrica.<br />
Una formulazione matematica <strong>di</strong> quanto detto richiede in sintesi che:<br />
∂B<br />
≠ 0<br />
∂t<br />
∂B<br />
∂t<br />
∂ρ<br />
∂t<br />
∂ρ<br />
∂t<br />
= 0<br />
≠ 0<br />
= 0<br />
nei circuiti magnetici con effetti rilevanti sui circuiti elettrici [4.1]<br />
in ogni altra parte della rete elettrica [4.2]<br />
nelle armature dei condensatori [4.3]<br />
in ogni altra parte della rete elettrica [4.4]<br />
In queste con<strong>di</strong>zioni si può parlare <strong>di</strong> regime quasi-stazionario, ed applicare ancora, con le opportune<br />
mo<strong>di</strong>fiche, le equazioni <strong>di</strong> Kirchhoff.<br />
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G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 40 <strong>di</strong> 64<br />
4.2 - Bipoli Ideali<br />
Occorre quin<strong>di</strong> completare l'elenco dei bipoli ideali, introducendo anche quelli che si presentano in regime<br />
variabile. Spesso nel seguito il regime stazionario, che verrà citato per confronto, verrà anche in<strong>di</strong>cato con il<br />
termine <strong>di</strong> regime in corrente continua (c.c. o d.c. o DC).<br />
In regime variabile si hanno quin<strong>di</strong> nuovi bipoli, oltre naturalmente al resistore, per il quale la legge <strong>di</strong><br />
funzionamento può essere riscritta allo stesso modo, ma con tensione e corrente variabili:<br />
- generatore ideale <strong>di</strong> tensione: come il generatore ideale <strong>di</strong> tensione in c.c. eroga una f.e.m.<br />
in<strong>di</strong>pendente dalla corrente; la tensione erogata presenta un determinato andamento nel tempo:<br />
e = e()<br />
t<br />
[4.5]<br />
- generatore ideale <strong>di</strong> corrente: come il generatore ideale <strong>di</strong> c.c. eroga una corrente in<strong>di</strong>pendente dalla<br />
tensione, la corrente erogata presenta un determinato andamento nel tempo:<br />
a = a()<br />
t<br />
[4.6]<br />
per questo <strong>di</strong>spositivo valgono le stesse considerazioni fatte per l'analogo in c.c. (non esiste in realtà,<br />
ma solo come generatore <strong>di</strong> f.e.m. retroazionato in modo da erogare una corrente prestabilita, o come<br />
modello equivalente); nei modelli circuitali si usa raramente, quasi sempre come equivalente;<br />
- condensatore: per questo <strong>di</strong>spositivo valgono le leggi:<br />
() t<br />
dv<br />
1 t<br />
i () t = C ⇔ v()<br />
t = i()<br />
τ dτ<br />
+ V<br />
0<br />
C0<br />
dt<br />
C ∫ [4.7]<br />
dove la costante V C0 che appare nell'espressione con l'integrale è una costante che in<strong>di</strong>ca il valore <strong>di</strong><br />
tensione del condensatore nell'istante 0 in cui si inizia ad integrare. Il condensatore è un bipolo passivo<br />
e le leggi suddette sono scritte utilizzando la convenzione <strong>degli</strong> utilizzatori;<br />
- resistore: valgono semplicemente:<br />
1<br />
v =<br />
R<br />
() t = Ri()<br />
t ⇔ i()<br />
t = v()<br />
t Gv()<br />
t<br />
Il resistore è un bipolo passivo e le leggi suddette sono scritte utilizzando la convenzione <strong>degli</strong><br />
utilizzatori;<br />
- induttore: per questo <strong>di</strong>spositivo valgono le leggi:<br />
() t<br />
<strong>di</strong><br />
1 t<br />
v () t = L ⇔ i()<br />
t = v()<br />
τ dτ<br />
+ I<br />
0<br />
L0<br />
dt<br />
L ∫ [4.9]<br />
dove la corrente I L0<br />
che appare nell'espressione con l'integrale è una costante che in<strong>di</strong>ca il valore <strong>di</strong><br />
corrente nell'induttore nell'istante 0 in cui si inizia ad integrare.<br />
L'induttore è un bipolo passivo e le leggi suddette sono scritte utilizzando la convenzione <strong>degli</strong><br />
utilizzatori.<br />
Nel caso si presentino mutue induzioni:<br />
() t <strong>di</strong> j () t<br />
+ ∑ M ij<br />
<strong>di</strong>i<br />
v i()<br />
t = Li<br />
[4.10]<br />
dt<br />
dt<br />
j<br />
La formulazione integrale <strong>di</strong> questa equazione richiede un sistema <strong>di</strong> equazioni con tutte le auto e<br />
mutue induttanze, le tensioni e le correnti dei vari componenti coinvolti.<br />
Tutti i componenti attivi sono stati qui descritti come ideali. Una rappresentazione più realistica prevede che il<br />
generatore <strong>di</strong> tensione sia composto dalla serie <strong>di</strong> un generatore ideale, <strong>di</strong> una resistenza e <strong>di</strong> una<br />
induttanza: i due bipoli passivi rendono conto della c.d.t. nel circuito interno del generatore a fronte <strong>di</strong><br />
passaggio <strong>di</strong> corrente; per il generatore <strong>di</strong> corrente i rami passivi vanno posti in parallelo.<br />
Tutti i componenti passivi sono stati qui descritti come lineari. Questa è una approssimazione accettabile<br />
entro ampi limiti <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà, fatto salvo forse per il resistore che col passaggio della corrente si riscalda e<br />
quin<strong>di</strong> il valore <strong>di</strong> resistenza aumenta; a temperatura costante anche questo componente può essere<br />
considerato lineare.<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011<br />
[4.8]
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 41 <strong>di</strong> 64<br />
L'induttore è lineare se il campo magnetico circola in aria o in materiali che non comportino saturazione<br />
magnetica.<br />
Va sempre considerato che non esiste mai un induttore completamente privo <strong>di</strong> resistenza, per cui ogni<br />
induttore andrebbe sempre rappresentato come la serie <strong>di</strong> una induttanza e <strong>di</strong> una resistenza; così pure non<br />
esiste condensatore per il quale sia del tutto nullo il passaggio <strong>di</strong> corrente nel <strong>di</strong>elettrico, cioè nel materiale<br />
isolante tra le due lastre, per cui ogni condensatore andrebbe rappresentato come il parallelo <strong>di</strong> una capacità<br />
e <strong>di</strong> una conduttanza; tuttavia questi fenomeni sono spesso trascurabili: se si volesse continuare su questa<br />
strada <strong>di</strong> dettaglio così fine occorrerebbe allora anche aggiungere che nessuna resistenza è del tutto priva <strong>di</strong><br />
effetti induttivi (in serie) e capacitivi (in derivazione verso terra o gli altri lati). Tutti questi effetti secondari,<br />
spesso detti parassiti, verranno associati ai componenti quando i loro valori saranno rilevanti ai fini pratici.<br />
Occorre inoltre notare che il comportamento dei componenti passivi in c.c. è tale che:<br />
- l'induttore in c.c. si presenta come un corto circuito, perché se la corrente è costante non c'è<br />
variazione <strong>di</strong> flusso e quin<strong>di</strong> non si presenta tensione indotta;<br />
- il condensatore in c.c. si presenta come un circuito aperto, perché se la tensione è costante non<br />
c'è variazione <strong>di</strong> carica e quin<strong>di</strong> si presenta corrente.<br />
Inoltre va notato che, anche in regime variabile:<br />
- in un induttore non è possibile variare istantaneamente il valore della corrente, perché questo<br />
richiederebbe l'applicazione <strong>di</strong> una tensione <strong>di</strong> valore infinito (funzione δ, Delta <strong>di</strong> Dirac)<br />
- in un condensatore non è possibile variare istantaneamente il valore della tensione, perché<br />
questo richiederebbe l'applicazione <strong>di</strong> una corrente <strong>di</strong> valore infinito (funzione δ, Delta <strong>di</strong> Dirac).<br />
Questi componenti impongono quin<strong>di</strong> la continuità <strong>di</strong> corrente e tensione rispettivamente. Queste proprietà si<br />
rivelano molto utili nel momento in cui, per trovare la soluzione della rete, che sarà descritta da equazioni<br />
algebrico-<strong>di</strong>fferenziali, occorre determinare le con<strong>di</strong>zioni iniziali, cioè i valori <strong>di</strong> corrente e <strong>di</strong> tensione nei vari<br />
lati all'istante iniziale.<br />
4.3 - Leggi <strong>di</strong> Kirchhoff in Regime Variabile<br />
Con questi componenti si potranno quin<strong>di</strong> scrivere le leggi <strong>di</strong> Kirchhoff:<br />
∑<br />
ji<br />
j∈I<br />
∑<br />
i<br />
e<br />
l<br />
l∈M<br />
() t<br />
= 0<br />
⎛<br />
() () ()<br />
() ()<br />
∑⎜ 1 t<br />
<strong>di</strong>l<br />
t <strong>di</strong> j t<br />
t = VC<br />
0l<br />
+ ∫ il<br />
τ dτ<br />
+ Ril<br />
t + L + ∑Mlj<br />
⎜<br />
⎝<br />
C<br />
0<br />
l∈Mj dt<br />
dt<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
[4.11]<br />
Va notato che le correnti nodali devono ovviamente considerare anche eventuali correnti capacitive verso<br />
terra e le iniezioni dei generatori <strong>di</strong> corrente afferenti nel nodo.<br />
Poiché sotto le con<strong>di</strong>zione suddette valgono ancora le leggi <strong>di</strong> Kirchhoff, per la soluzione <strong>di</strong> una qualunque<br />
rete elettrica lineare si possono ancora applicare gli stessi meto<strong>di</strong> utilizzati per le reti in regime stazionario:<br />
metodo delle correnti <strong>di</strong> lato, dei potenziali <strong>di</strong> nodo, delle correnti <strong>di</strong> maglia, sovrapposizione <strong>degli</strong> effetti.<br />
L'unica <strong>di</strong>fferenza rispetto al regime stazionario sta quin<strong>di</strong> nel fatto che il sistema risolvente non sarà più un<br />
semplice sistema algebrico, ma in esso appariranno equazioni algebriche ed equazioni <strong>di</strong>fferenziali o<br />
integrali (queste ultime possono essere ridotte a equazioni <strong>di</strong>fferenziali per derivazione). Per questo motivo<br />
risulta invece più problematica l'applicazione dei meto<strong>di</strong> sistematici, perché per la presenza <strong>di</strong> derivate e<br />
integrali non si riesce a definire l'analogo della matrice delle conduttanze nodali. Per la stessa ragione non<br />
potranno essere utilizzati gli equivalenti <strong>di</strong> Thevenin e Norton. Si possono usare strumenti matematici come<br />
la trasformata <strong>di</strong> Laplace, ma anche in questo modo il metodo non è <strong>di</strong> pratica applicazione. Si vedrà in<br />
seguito come invece può risultare molto ben praticabile in con<strong>di</strong>zioni particolari.<br />
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4.4 - Regime Transitorio e Regime Permanente - Un esempio<br />
Si consideri il seguente semplice esempio:<br />
iR1<br />
R1<br />
i i<br />
R2 L<br />
e R2L figura 5.1<br />
Il circuito può essere risolto, per esempio, con il metodo delle correnti <strong>di</strong> lato. Si consideri come nodo<br />
in<strong>di</strong>pendente il nodo A e come maglie in<strong>di</strong>pendenti la maglia e-R1 e la maglia R2-L. Le equazioni sono:<br />
⎧<br />
⎪iR1<br />
− iR2<br />
− iL<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎨e<br />
− R1iR1<br />
− R2iR<br />
2 = 0<br />
⎪<br />
⎪ <strong>di</strong>L<br />
R2iR<br />
2 − L = 0<br />
⎪⎩<br />
dt<br />
[4.12]<br />
per semplicità grafica si è omesso <strong>di</strong> in<strong>di</strong>care esplicitamente, dandola per sottintesa, la <strong>di</strong>pendenza dal<br />
tempo delle correnti e della f.e.m.. Non esistono effetti mutuo induttivi.<br />
Ogni sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali richiede, per poter essere risolto, delle con<strong>di</strong>zioni al contorno, o<br />
meglio, dato che il dominio qui è il tempo, delle con<strong>di</strong>zioni iniziali. Visto che qui si ha una equazione<br />
<strong>di</strong>fferenziale del primo or<strong>di</strong>ne, globalmente il problema è <strong>di</strong> tale or<strong>di</strong>ne, quin<strong>di</strong> occorre una con<strong>di</strong>zione<br />
iniziale: questa riguarda il valore iniziale della corrente nell'induttore.<br />
Il sistema potrebbe essere riscritto ponendo le forzanti, cioè le generazioni (in questo caso è una sola) al<br />
secondo membro:<br />
⎧<br />
⎪iR1<br />
− iR2<br />
− iL<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎨R1i<br />
R1<br />
+ R2iR2<br />
= e<br />
⎪<br />
⎪ <strong>di</strong>L<br />
R2iR2<br />
− L = 0<br />
⎪⎩<br />
dt<br />
[4.13]<br />
Ora si può procedere per sostituzione, a partire dalla terza equazione e risalendo alla prima e infine alla<br />
seconda:<br />
⎧ L <strong>di</strong>L<br />
⎪iR2<br />
=<br />
⎪ R2<br />
dt<br />
⎪<br />
L <strong>di</strong>L<br />
⎨iR1<br />
= iR2<br />
+ iL<br />
= + iL<br />
⎪<br />
R2<br />
dt<br />
⎪ ⎛ L <strong>di</strong> ⎞ L <strong>di</strong><br />
⎪R<br />
+ =<br />
⎪<br />
⎜ L + i ⎟<br />
L<br />
1<br />
L R2<br />
e<br />
⎩ ⎝ R2<br />
dt ⎠ R2<br />
dt<br />
ottenendo un'unica equazione <strong>di</strong>fferenziale lineare, a coefficienti costanti, del 1° or<strong>di</strong>ne:<br />
( R ) Li′<br />
+ R R i = R e<br />
R1 2 L 1 2 L 2<br />
[4.14]<br />
+ [4.15]<br />
che dovrà essere accompagnata dalla con<strong>di</strong>zione iniziale:<br />
L<br />
( 0) I L0<br />
i = [4.16]<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 43 <strong>di</strong> 64<br />
Si consideri ora l'equazione omogenea associata: cioè la stessa, ma priva delle forzanti; la soluzione <strong>di</strong> tale<br />
equazione verrà in<strong>di</strong>cata come i T :<br />
( R ) Li′<br />
+ R R i = 0<br />
R [4.17]<br />
1 + 2 L 1 2 L<br />
L'integrale generale è dato dalla somma <strong>di</strong> un numero <strong>di</strong> termini esponenziali pari all'or<strong>di</strong>ne dell'equazione;<br />
in questo caso un solo termine:<br />
() t I ⋅ ( t)<br />
iT 1 exp α1<br />
= [4.18]<br />
il coefficiente dell'esponenziale è la soluzione dell'equazione algebrica associata all'equazione <strong>di</strong>fferenziale<br />
omogenea, detta equazione caratteristica dell'equazione <strong>di</strong>fferenziale:<br />
( R ) Lλ<br />
+ R R i = 0<br />
R [4.19]<br />
1 + 2 1 2 L<br />
da cui:<br />
− R R<br />
1 2 λ =<br />
[4.20]<br />
L(<br />
R1<br />
+ R2<br />
)<br />
In caso <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore si ha una corrispondente equazione algebrica <strong>di</strong> pari<br />
grado, le cui ra<strong>di</strong>ci possono essere tutte reali o parte reali e parte complesse coniugate.<br />
Deve poi valere:<br />
T<br />
( 0) IL<br />
0 ⇒ I1<br />
IL<br />
0<br />
i = =<br />
[4.21]<br />
Con le con<strong>di</strong>zioni iniziali l'integrale generale dell'equazione omogenea associata è univocamente<br />
determinato.<br />
Si nota che in tutti i casi si presenta uno smorzamento esponenziale. In qualunque rete elettrica lineare<br />
(ove siano presenti resistenze; e sono sempre presenti nei sistemi reali), le soluzioni dell'equazione<br />
caratteristica presentano sempre parti reali negative, qualunque sia l'or<strong>di</strong>ne del sistema. Questo<br />
potrebbe essere <strong>di</strong>mostrato anche matematicamente, ma è più semplice una considerazione energetica: se<br />
il sistema è privo <strong>di</strong> forzanti, questo significa che i generatori sono spenti; le correnti possono circolare solo<br />
perché induttori e condensatori cedono o scambiano tutta o parte della energia in essi accumulata. Queste<br />
correnti tuttavia sono <strong>di</strong>ssipative per effetto Joule. Quin<strong>di</strong> l'energia totale accumulata nei condensatori e<br />
negli induttori non può che <strong>di</strong>minuire, quin<strong>di</strong> le correnti sono destinate a smorzarsi. Per questo motivo<br />
la soluzione del sistema omogeneo associato viene chiamata componente transitoria della soluzione<br />
complessiva. La presenza delle forzanti determina la presenza <strong>di</strong> un'altra componente, che può essere<br />
chiamata componente permanente o <strong>di</strong> regime. Per una data forzante, la componente permanente è<br />
unica, cioè univocamente determinata. Infatti, se ne esistessero due, per la linearità della rete la loro<br />
<strong>di</strong>fferenza sarebbe una soluzione dell'omogenea associata, cioè una componente transitoria, destinata a<br />
scomparire.<br />
Riepilogando: ogni corrente <strong>di</strong> lato (ma anche ogni tensione <strong>di</strong> nodo) <strong>di</strong> una rete elettrica lineare con forzanti<br />
è data dalla somma <strong>di</strong> una componente transitoria e una permanente:<br />
() t i () t + i () t<br />
i T P<br />
= [4.22]<br />
La soluzione transitoria è una somma <strong>di</strong> termini esponenziali reali o complessi (esponenziali moltiplicati per<br />
sinusoi<strong>di</strong>); ha questo nome (transitoria) perché tutti i coefficienti <strong>degli</strong> esponenziali sono negativi, cioè gli<br />
esponenziali sono tutti smorzanti e tendono a zero. Per determinare i coefficienti moltiplicativi dei vari termini<br />
esponenziali o oscillatori smorzati vanno utilizzate le con<strong>di</strong>zioni iniziali. Il numero dei termini esponenziali o<br />
oscillanti smorzati e il numero delle con<strong>di</strong>zioni iniziali sono pari all'or<strong>di</strong>ne del sistema <strong>di</strong>fferenziale. La<br />
soluzione permanente è univocamente determinata in base alle forzanti.<br />
Si nota inoltre che, poiché tutte le con<strong>di</strong>zioni iniziali sono state utilizzate per determinare i coefficienti della<br />
componente transitoria, la componente permanente non <strong>di</strong>pende dalle con<strong>di</strong>zioni iniziali. Questo significa<br />
che il transitorio permette al circuito <strong>di</strong> "<strong>di</strong>menticare" la sua con<strong>di</strong>zione iniziale, arrivando a<br />
comportarsi solo come le forzanti gli impongono, in<strong>di</strong>pendentemente dal punto <strong>di</strong> partenza.<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 44 <strong>di</strong> 64<br />
4.5 - Il Regime Perio<strong>di</strong>co Alternato Sinusoidale (P.A.S.)<br />
Il problema del transitorio dei circuiti elettrici, <strong>di</strong> cui si sono fornite alcune nozioni, sarà trattato <strong>di</strong>ffusamente<br />
nei successivi paragrafi. In questo paragrafo si stu<strong>di</strong>erà invece il regime permanente dovuto ad un<br />
particolare tipo <strong>di</strong> forzanti: le forzanti <strong>di</strong> tipo perio<strong>di</strong>co alternato sinusoidale (P.A.S.).<br />
Una grandezza si definisce <strong>di</strong> tipo P.A.S. se il suo andamento nel tempo è del tipo:<br />
() t = F ⋅ ( ω⋅<br />
t + ϕ)<br />
f M cos [4.23]<br />
Dove il valore massimo F M viene spesso anche in<strong>di</strong>cato come modulo e l'angolo iniziale ϕ come fase<br />
iniziale o semplicemente fase. Una funzione P.A.S. è univocamente definita quando <strong>di</strong> essa siano dati<br />
modulo e fase, oltre, naturalmente, alla frequenza.<br />
Si noti che una grandezza <strong>di</strong> questo tipo:<br />
1) è perio<strong>di</strong>ca, con periodo T = 2π<br />
ω<br />
2) presenta valor me<strong>di</strong>o nullo se considerata su un periodo o su un intervallo <strong>di</strong> tempo multiplo <strong>di</strong> un<br />
periodo<br />
Si noti anche che:<br />
f<br />
f<br />
′ () t = −ωFM<br />
⋅sin(<br />
ω⋅<br />
t + ϕ)<br />
= ωFM<br />
⋅cos(<br />
ω⋅<br />
t + ϕ + π 2)<br />
2 ′<br />
() t = −ω<br />
F<br />
2<br />
⋅cos(<br />
ω⋅<br />
t + ϕ)<br />
= ω F<br />
2<br />
⋅cos(<br />
ω⋅<br />
t + ϕ + π)<br />
= −ω<br />
f () t<br />
M<br />
M<br />
[4.24]<br />
le derivate <strong>di</strong> una funzione P.A.S. sono ancora funzioni P.A.S. sfasate <strong>di</strong> 90° (derivata prima), 180° (derivata<br />
seconda), etc. in anticipo rispetto alla funzione <strong>di</strong> partenza.<br />
Pertanto anche le soluzione permanenti dei sistemi <strong>di</strong> equazioni algebrico-<strong>di</strong>fferenziali che descrivono le reti<br />
elettriche lineari dovranno essere funzioni P.A.S. se sono P.A.S. le forzanti.<br />
Si consideri <strong>di</strong> nuovo l'esempio del par. 5.4 e l'equazione <strong>di</strong>fferenziale:<br />
( R ) Li′<br />
+ R R i = R e<br />
R1 2 L 1 2 L 2<br />
+ [4.25]<br />
e si supponga che la forzante sia P.A.S.:<br />
() t = E ⋅ ( ω⋅<br />
t + δ)<br />
e M cos [4.26]<br />
Si supponga che anche la componente permanente della corrente sia una funzione P.A.S.:<br />
() t = I ⋅ ( ω⋅<br />
t + ϕ)<br />
i M<br />
LP cos [4.27]<br />
nel seguito verrà in<strong>di</strong>cata semplicemente come i , senza pe<strong>di</strong>ci. Per ora il modulo e la fase iniziale <strong>di</strong> tale<br />
corrente sono indeterminati.<br />
Possiamo vedere tali funzioni come somme <strong>di</strong> seni e coseni senza fase iniziale:<br />
() t = E ⋅(<br />
δ⋅<br />
cosωt<br />
− sin δ⋅<br />
sin t)<br />
( t)<br />
= I ⋅ ( cos ϕ⋅<br />
cos ωt<br />
− sin ϕ⋅<br />
sin t)<br />
e M cos ω<br />
[4.28]<br />
i M ω<br />
Introducendo nell'equazione [4.25] questa espressione <strong>di</strong> corrente e le sue derivate:<br />
( R1<br />
+ R2<br />
) L ⋅ ω⋅<br />
I M ⋅ ( − cosϕ<br />
⋅sin<br />
ωt<br />
− sin ϕ⋅<br />
cosωt<br />
) + R1R2<br />
⋅ I M ⋅(<br />
cosϕ<br />
⋅ cosωt<br />
− sin ϕ⋅<br />
sin ωt)<br />
= R ⋅ E ⋅ ( cosδ<br />
⋅ cosωt<br />
− sin δ ⋅sin<br />
ωt)<br />
2<br />
M<br />
In questa equazione si proceda a raggruppare i termini "coseno" e i termini "seno":<br />
( − ωL(<br />
R1<br />
+ R2<br />
) ⋅sin<br />
ϕ + R1R2<br />
⋅ cosϕ)<br />
( − ωL(<br />
R + R ) ⋅ cosϕ<br />
− R R ⋅sin<br />
ϕ<br />
= R ⋅ E<br />
2<br />
1<br />
M<br />
2<br />
⋅ cosδ<br />
⋅ cosωt<br />
− R ⋅ E<br />
1<br />
2<br />
2<br />
M<br />
=<br />
[4.29]<br />
⋅ I M ⋅cosωt<br />
+<br />
) ⋅ I M ⋅sin<br />
ωt<br />
+<br />
[4.30]<br />
⋅sin<br />
δ ⋅sin<br />
ωt<br />
Poiché l'uguaglianza deve essere verificata istante per istante, allora deve valere:<br />
( − ωL(<br />
R1<br />
+ R2<br />
) ⋅sin<br />
ϕ + R1R2<br />
⋅ cos ϕ)<br />
⋅ I M = + R2<br />
⋅ EM<br />
⋅ cos δ<br />
( − ωL(<br />
R + R ) ⋅ cosϕ<br />
− R R ⋅sin<br />
ϕ)<br />
⋅ I = −R<br />
⋅ E ⋅sin<br />
δ<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
M<br />
2<br />
M<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011<br />
[4.31]
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 45 <strong>di</strong> 64<br />
Queste espressioni possono essere riscritte come:<br />
( A⋅<br />
sen ϕ + B ⋅ cosϕ)<br />
⋅ I M = + R2<br />
⋅ EM<br />
⋅ cosδ<br />
( A⋅<br />
cosϕ<br />
− B ⋅ sen ϕ)<br />
⋅ I = −R<br />
⋅ E ⋅ sen δ<br />
dove:<br />
M<br />
( R1<br />
+ R2<br />
) ; B R1R2<br />
2<br />
M<br />
[4.32]<br />
A = −ωL<br />
=<br />
[4.33]<br />
Elevando al quadrato ciascun membro <strong>di</strong> ciascuna equazione della [4.32] e sommando membro a membro:<br />
= R<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
( A cos ϕ + 2ABcosϕ<br />
⋅sin<br />
ϕ + B sin ϕ + A sin ϕ − 2AB<br />
cosϕ<br />
⋅sin<br />
ϕ + B cos ϕ)<br />
2 2 2<br />
E ⋅ ( cos δ + sin δ)<br />
2<br />
M ⋅<br />
2<br />
2 M<br />
I<br />
quin<strong>di</strong>:<br />
2<br />
M<br />
2 2 2 2<br />
( A + B ) R E<br />
2<br />
M<br />
=<br />
[4.34]<br />
I ⋅ =<br />
[4.35]<br />
da cui si trova il valore del modulo. Per quanto riguarda la fase, si procede sommando o sottraendo membro<br />
a membro le due equazioni [4.32] moltiplicate per A o B:<br />
I<br />
I<br />
M<br />
M<br />
2 2 ( A + B ) ⋅ cos ϕ = R E ⋅ ( Acos<br />
δ + B sin δ)<br />
⋅<br />
⋅ 2AB<br />
⋅sin<br />
ϕ = R E<br />
da cui:<br />
2AB<br />
B cosδ<br />
− Asin<br />
δ<br />
tan ϕ =<br />
2 2<br />
A + B Acosδ<br />
+ Bsin<br />
δ<br />
2<br />
M<br />
2<br />
M<br />
⋅ ( B cos δ − Asin<br />
δ<br />
Dalle due espressioni [4.36] e [4.37] si evince tra l'altro che:<br />
)<br />
- il modulo della corrente <strong>di</strong>pende dal modulo della forzante, ma non dalla sua fase;<br />
- la fase della corrente <strong>di</strong>pende dalla fase della forzante, ma non dal suo modulo.<br />
[4.36]<br />
[4.37]<br />
L'espressione [4.27] con i valori espressi dalle [4.36] e [4.37] è quin<strong>di</strong> proprio una soluzione permanente<br />
dell'equazione <strong>di</strong>fferenziale [4.25]; e poiché la soluzione permanente è unica, quella trovata è la soluzione<br />
permanente della [4.25].<br />
Il risultato può essere generalizzato: per reti elettriche <strong>di</strong> qualunque <strong>di</strong>mensione, con bipoli lineari e<br />
forzanti P.A.S.: una volta a regime, cioè quando il transitorio si è esaurito, le funzioni che<br />
costituiscono la soluzione - sia le tensioni nodali sia le correnti e le tensioni <strong>di</strong> lato - sono sempre<br />
funzioni <strong>di</strong> tipo P.A.S..<br />
Ovviamente, se sono presenti forzanti P.A.S. a frequenze <strong>di</strong>verse, in generale ogni corrente e ogni tensione<br />
nodale sarà la somma <strong>di</strong> più componenti P.A.S., una per ogni frequenza <strong>di</strong> forzante. Questo <strong>di</strong>scende dalla<br />
linearità della rete, che permette la sovrapposizione <strong>degli</strong> effetti: ogni componente <strong>di</strong> frequenza sarà la<br />
soluzione dovuta all'effetto delle sole forzanti che a tale frequenza lavorano.<br />
Benché questa situazione sia possibile e il metodo della sovrapposizione <strong>degli</strong> effetti permetta <strong>di</strong> analizzarla<br />
abbastanza agevolmente, in quanto segue ci si limiterà a stu<strong>di</strong>are casi in cui le forzanti siano tutte ad una<br />
stessa frequenza, che potrà essere così considerata la frequenza dell'intera rete.<br />
Potrebbe essere conveniente a questo punto utilizzare una notazione esponenziale. Ricordando la formula<br />
<strong>di</strong> Eulero:<br />
( ωt+<br />
ϕ)<br />
= ( ωt<br />
+ ϕ)<br />
+ j ( ωt<br />
+ ϕ<br />
j<br />
e cos sin ) [4.38]<br />
per una grandezza P.A.S. basta considerare la sola parte reale:<br />
f () t = Re F<br />
j(<br />
ωt<br />
+ ϕ)<br />
⋅ e<br />
[4.39]<br />
( )<br />
M<br />
La notazione esponenziale rende più semplici le operazioni <strong>di</strong> derivazione:<br />
f ′ () t = real jω⋅<br />
F<br />
j(<br />
ωt<br />
+ ϕ)<br />
⋅ e<br />
[4.40]<br />
( )<br />
M<br />
e anche <strong>di</strong> integrazione (si considera la primitiva senza alcun termine costante, perché questo scompare<br />
dopo il transitorio):<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 46 <strong>di</strong> 64<br />
∫<br />
⎛ 1 j(<br />
ωt<br />
+ ϕ)<br />
⎞<br />
f () τ dτ<br />
= Re ⎜ FM<br />
e ⎟ [4.41]<br />
⎝ jω<br />
⎠<br />
Si possono quin<strong>di</strong> riscrivere le leggi per i bipoli:<br />
( )<br />
(<br />
)<br />
j(<br />
ωt<br />
+ ϕ)<br />
v()<br />
t = L ⋅ Re jω⋅<br />
IM<br />
⋅e<br />
j(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
i()<br />
t = C ⋅ Re jω⋅V<br />
⋅e<br />
M<br />
[4.42]<br />
A questo punto, solo come formalismo matematico, si potrebbero considerare le variabili tensione e corrente<br />
come composte non solo dalla parte reale, ma anche da quella immaginaria: considerarli cioè dei numeri<br />
complessi. Naturalmente la componente immaginaria non esiste e non ha nessun significato fisico, ma dal<br />
punto <strong>di</strong> vista matematico, essendo anch'essa sinusoidale, sod<strong>di</strong>sfa le equazioni algebrico-<strong>di</strong>fferenziali;<br />
viene introdotta solo per agevolare la scrittura delle variabili. Infatti:<br />
j(<br />
ωt<br />
+ ϕ)<br />
f () t = FM<br />
⋅e<br />
[4.43]<br />
j ωt<br />
+ ϕ<br />
f ′ t = jω⋅<br />
F ⋅e<br />
= jω⋅<br />
f t<br />
() ( ) ()<br />
M<br />
Per trovare la soluzione della rete, basta associare ad ogni forzante anche la componente immaginaria, cioè<br />
e( t)<br />
= EM<br />
⋅(<br />
cos ( ωt<br />
+ ϕ)<br />
+ j sin(<br />
ωt<br />
+ ϕ))<br />
[4.44]<br />
quin<strong>di</strong> tutti i calcoli vengono svolti con funzioni tensione e corrente complesse; le equazioni <strong>di</strong> funzionamento<br />
dei bipoli sono molto semplici:<br />
v<br />
i<br />
() t = jω⋅<br />
L ⋅ i () t<br />
() t = jω⋅<br />
C ⋅ v()<br />
t<br />
[4.45]<br />
Una volta trovata la soluzione, per avere i valori effettivi delle tensioni e delle correnti basta tornare a<br />
considerare la sola parte reale delle funzioni calcolate.<br />
L'esempio precedente può allora essere riscritto in maniera molto più sintetica:<br />
( R + R ) i () t + R R i ( t)<br />
= R e()<br />
t<br />
jω L 1 2 L 1 2 L 2<br />
[4.46]<br />
da cui:<br />
i<br />
L<br />
() t<br />
( R + R )<br />
() t<br />
θ<br />
R2<br />
e<br />
= ⋅ e()<br />
t = j<br />
jωL<br />
+ R R Z ⋅ e<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
[4.47]<br />
Nell'ultimo passaggio il denominatore è stato riscritto dalla forma cartesiana alla forma esponenziale o polare<br />
(euleriana), evidenziandone quin<strong>di</strong> un modulo e una fase. Il modulo sarà quin<strong>di</strong> pari al rapporto tra il modulo<br />
della tensione e quello della corrente, e la fase alla <strong>di</strong>fferenza tra le fasi. La praticità <strong>di</strong> questa notazione è<br />
evidente: tutte le operazioni <strong>di</strong> derivazione o <strong>di</strong> integrazione sono state sostituite rispettivamente da<br />
moltiplicazioni o da <strong>di</strong>visioni per il fattore jω.<br />
Si sarebbe potuto facilmente affrontare il problema non già dall'equazione <strong>di</strong>fferenziale del secondo or<strong>di</strong>ne,<br />
ma <strong>di</strong>rettamente dal sistema originale <strong>di</strong> 3 equazioni, <strong>di</strong> cui 1 algebrica e 2 <strong>di</strong>fferenziali, ottenendo, con<br />
questa notazione, un sistema composto solo da equazioni algebriche con funzioni incognite<br />
complesse anziché reali.<br />
Ma è possibile fare un ulteriore passo in avanti sulla strada della praticità. Si noti che, essendo:<br />
j(<br />
ωt<br />
+ ϕ)<br />
iL()<br />
t = IM<br />
⋅e<br />
j(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
e()<br />
t = E ⋅e<br />
M<br />
allora:<br />
e<br />
()<br />
() t<br />
iL<br />
t = jθ<br />
Z ⋅ e<br />
⇒<br />
j(<br />
ωt+<br />
δ)<br />
j(<br />
ωt+<br />
ϕ)<br />
EM<br />
⋅e<br />
I M ⋅e<br />
=<br />
jθ<br />
Z ⋅e<br />
Appare in entrambi i membri l'esponenziale della frequenza angolare moltiplicata per il tempo:<br />
[4.48]<br />
[4.49]<br />
jωt<br />
e [4.50]<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 47 <strong>di</strong> 64<br />
Questo termine serve a calcolare il valore delle varie grandezze istante per istante, ma <strong>di</strong> fatto non introduce<br />
alcuna informazione significativa: per una data frequenza, una grandezza P.A.S. è univocamente definita<br />
quando <strong>di</strong> essa sono dati modulo e fase. Il termine può essere semplificato, <strong>di</strong>videndo per esso entrambi i<br />
membri della [4.49]:<br />
i<br />
L<br />
() t<br />
() t<br />
jδ<br />
e<br />
jϕ<br />
EM<br />
⋅e<br />
= ⇒ I ⋅ =<br />
jθ<br />
M e<br />
jθ<br />
Z ⋅e<br />
Z ⋅e<br />
[4.51]<br />
Questa espressione fornisce tutte le informazioni necessarie e sufficienti: noti i valori della tensione i modulo<br />
e fase, noto il valore dei termini al denominatore, si ottengono imme<strong>di</strong>atamente modulo e fase della corrente.<br />
Per conoscere il valore istantaneo della corrente, basta utilizzare la [4.23] con tali modulo e fase.<br />
Si potrebbe allora visualizzare ogni grandezza tipo tensione o corrente come un vettore nel piano<br />
complesso, avente un estremo nell'origine, lunghezza pari al modulo, e ruotante nel piano complesso,<br />
intorno all'origine, con velocità angolare ω; all'istante 0 si trova inclinato, rispetto all'asse reale, <strong>di</strong> angolo pari<br />
alla fase. Il valore istantaneo della grandezza è dato dalla proiezione del vettore sull'asse reale. La sua<br />
derivata è un vettore sfasato <strong>di</strong> 90° in anticipo, e amplificato <strong>di</strong> un valore pari alla frequenza angolare.<br />
Con un rete elettrica si avrebbe un intero sistema <strong>di</strong> vettori rotanti, tutti tra loro isofrequenziali. Si potrebbe<br />
allora "fotografare" il sistema dei vettori in un dato istante, per esempio in t=0: si evidenzierebbero le fasi <strong>di</strong><br />
ogni vettore, e quin<strong>di</strong> le <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> fase tra <strong>di</strong> essi. Essendo il sistema isofrequenziale, "fotografandolo" <strong>di</strong><br />
nuovo in altro istante qualunque, esso apparirebbe tutto quanto ruotato, ma gli angoli relativi tra i vari vettori<br />
sarebbero invariati.<br />
Allora la rappresentazione più sintetica <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> grandezza P.A.S. consiste proprio nella "fotografia"<br />
del sistema in un dato istante, per esempio l'istante t=0. Ogni grandezza verrebbe rappresentata con un<br />
vettore fisso: il valore istantaneo viene ottenuto ruotando tale vettore del valore in ra<strong>di</strong>anti pari ad ωt, oppure<br />
calcolando il coseno <strong>di</strong> tale angolo più la fase iniziale. I vettori così "fissati" prendono il nome <strong>di</strong> fasori,<br />
proprio perché in<strong>di</strong>cano la fase, oltre al modulo, della grandezza in questione; su molti testi vengono ancora<br />
chiamati genericamente vettori.<br />
Ogni grandezza P.A.S. si in<strong>di</strong>ca quin<strong>di</strong> con il numero complesso, in forma cartesiana o polare,<br />
corrispondente al suo fasore; si usano solitamente le lettere maiuscole:<br />
V = V ⋅e<br />
I = I ⋅e<br />
jδ<br />
jϕ<br />
= V<br />
= I<br />
Re<br />
Re<br />
+ jV<br />
+ jI<br />
Im<br />
Im<br />
[4.52]<br />
Per quanto riguarda il modulo, generalmente, anziché il valore massimo, si usa generalmente un altro<br />
valore, detto valore efficace:<br />
FM F = [4.53]<br />
2<br />
il motivo <strong>di</strong> questa scelta sarà chiaro in seguito, quando si parlerà delle potenze.<br />
Il fasore della derivata o dell'integrale <strong>di</strong> una grandezza, per quando detto sopra, è ancora un fasore, sfasato<br />
<strong>di</strong> 90° rispettivamente in anticipo o in ritardo rispetto alla grandezza originaria, e <strong>di</strong> modulo pari al modulo<br />
della grandezza originaria rispettivamente moltiplicato o <strong>di</strong>viso per la frequenza. Si noti che sfasare <strong>di</strong> 90° un<br />
fasore significa semplicemente moltiplicarlo o <strong>di</strong>viderlo per l'unità immaginaria j .<br />
Riepilogando:<br />
fasore:<br />
jϕ<br />
F = F ⋅e<br />
[4.54]<br />
derivata: jω F<br />
[4.55]<br />
integrale:<br />
F<br />
jω<br />
= −<br />
F<br />
j<br />
ω<br />
valore istantaneo: () t = ⋅ F ⋅ ( ωt<br />
+ ϕ<br />
[4.56]<br />
f 2 cos ) [4.57]<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 48 <strong>di</strong> 64<br />
4.6 - L'Analisi delle Reti Elettriche con la Notazione Fasoriale<br />
Utilizzando la notazione fasoriale, si hanno quin<strong>di</strong> le equazioni <strong>di</strong> funzionamento dei bipoli passivi nella<br />
semplice forma:<br />
V = jωLI<br />
⇔<br />
1<br />
I = V<br />
jωL<br />
[4.58]<br />
1<br />
V = RI<br />
⇔ I = V<br />
[4.59]<br />
R<br />
V = I ⇔ I = jωCV<br />
jωC<br />
1<br />
[4.60]<br />
E' scomparsa ogni traccia <strong>di</strong> operatori del tipo derivata o integrale. Ai vari bipoli si può quin<strong>di</strong> associare un<br />
semplice termine moltiplicativo, <strong>di</strong> significato e funzione analoghi alla resistenza o alla conduttanza nel<br />
regime stazionario, con la <strong>di</strong>fferenza che tali valori sono numeri complessi. Per un bipolo generico si può<br />
allora scrivere:<br />
V = ZI<br />
⇔<br />
con :<br />
1<br />
Y =<br />
Z<br />
I = YV<br />
[4.61]<br />
le due grandezza si chiamano rispettivamente impedenza (corrispondente alla resistenza) e ammettenza<br />
(corrispondente alla conduttanza). Le unità <strong>di</strong> misura sono ancora l'ohm e il siemens.<br />
Per i vari bipoli:<br />
induttore:<br />
resistore:<br />
1<br />
Z = jωL;<br />
Y =<br />
[4.62]<br />
jωL<br />
1<br />
Z = R;<br />
Y =<br />
[4.63]<br />
R<br />
1<br />
condensatore: Z = ; Y = jωC<br />
jωC<br />
[4.64]<br />
Occorre tenere presente che, anche se questi valori sono numeri complessi, essi non vanno<br />
considerati come fasori, in quanto i fasori rappresentano solo grandezze P.A.S., variabili nel tempo. Si<br />
preferisce chiamarli operatori.<br />
Con la notazione fasoriale per le grandezze P.A.S. e complessa per i parametri circuitali, si può definire una<br />
completa analogia tra il regime stazionario e il regime P.A.S.. In questa analogia:<br />
- alle tensioni e correnti in c.c. corrispondono i fasori delle tensioni e correnti P.A.S.;<br />
- alle resistenze e alle conduttanze corrispondono le impedenze e le ammettenze.<br />
Valgono allora, in questo formalismo matematico, le stesse regole e le stesse proprietà viste per le reti in<br />
regime stazionario:<br />
- le equazioni <strong>di</strong> Kirchhoff ai no<strong>di</strong> e alle maglie<br />
- le regole per la serie e il parallelo <strong>di</strong> bipoli<br />
- i meto<strong>di</strong> delle correnti <strong>di</strong> lato, delle tensioni <strong>di</strong> nodo, delle correnti <strong>di</strong> maglia<br />
- il principio <strong>di</strong> sovrapposizione <strong>degli</strong> effetti<br />
inoltre valgono:<br />
- i teoremi <strong>di</strong> Thevenin e <strong>di</strong> Norton<br />
- le trasformazioni stella-triangolo e triangolo-stella<br />
- i meto<strong>di</strong> matriciali per la soluzione delle reti<br />
per questo ultimo punto si fa presente che la matrice da utilizzarsi è detta, coerentemente con l'analogia,<br />
matrice delle ammettenze, e si costruisce con le stesse regole.<br />
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G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 49 <strong>di</strong> 64<br />
Se si riprende l'esempio del par. 4.4 - , esso può ora essere rapidamente risolto:<br />
⎧I<br />
R1<br />
− I R2<br />
+ I L = 0<br />
⎪<br />
⎨E<br />
− R1I<br />
R1<br />
− R2I<br />
R2<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎩<br />
R1I<br />
R1<br />
+ jωLI<br />
L = 0<br />
da cui:<br />
( R1<br />
+ ( R2<br />
|| jωL)<br />
) I1<br />
[4.65]<br />
E = ⋅<br />
[4.66]<br />
I<br />
1<br />
1<br />
2<br />
( R + jωL)<br />
2<br />
1<br />
( R2<br />
+ jωL)<br />
( R + jωL)<br />
+<br />
2<br />
2<br />
1<br />
( R2<br />
+ jωL)<br />
⋅ E<br />
+ jωL(<br />
R + R )<br />
E<br />
⋅ E<br />
= =<br />
=<br />
[4.67]<br />
R + jωLR<br />
R<br />
jωLR<br />
R R<br />
e quin<strong>di</strong> si ricavano facilmente le altre correnti (per esempio me<strong>di</strong>ante partitori <strong>di</strong> corrente e <strong>di</strong> tensione).<br />
Occorre fare alcune osservazioni sulle impedenze e le ammettenze. In generale:<br />
Z = R + jX<br />
Y = G + jB<br />
2<br />
1<br />
2<br />
[4.68]<br />
La parte reale dell'impedenza si chiama sempre resistenza, mentre la parte immaginaria prende il nome <strong>di</strong><br />
reattanza.<br />
La parte reale dell'ammettenza si chiama sempre conduttanza, mentre la parte immaginaria prende il nome<br />
<strong>di</strong> suscettanza.<br />
Per i bipoli visti finora, si ha soltanto o la parte reale o la parte immaginaria. Ci possono però essere bipoli<br />
che contengono, in serie o parallelo, più bipoli elementari, in modo che appaiono entrambi i termini. Si noti<br />
che se:<br />
1<br />
G + jB =<br />
R + jX<br />
allora in generale:<br />
[4.69]<br />
1 1<br />
G ≠ ; B ≠<br />
[4.70]<br />
R X<br />
infatti:<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ R − jX ⎞ R 1 1<br />
G = Re ⎜ Re 2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
R jX<br />
⎟ = ⎜ ⎟ = + = ⋅<br />
[4.71]<br />
⎝ + ⎠ ⎝ R + X ⎠ R + X R 1+<br />
X R<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ R − jX ⎞ − X 1 1<br />
B = Im ⎜ Im<br />
= − ⋅<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
R jX ⎟ = ⎜ ⎟ =<br />
[4.72]<br />
⎝ + ⎠ ⎝ R + X ⎠ R + X X 1+<br />
R X<br />
Si noti inoltre che:<br />
per un induttore:<br />
1<br />
per un condensatore: X = − ; B = ωC<br />
ωC<br />
1<br />
X = ωL;<br />
B = −<br />
[4.73]<br />
ωL<br />
[4.74]<br />
Un induttore presenta quin<strong>di</strong> reattanza positiva; in generale, quando la reattanza <strong>di</strong> una impedenza è<br />
positiva, si <strong>di</strong>ce che l'impedenza è induttiva; se la parte resistiva è presente, si <strong>di</strong>ce che l'impedenza è<br />
ohmico-induttiva. Spesso l'induttore viene anche detto reattore.<br />
Un condensatore presenta invece reattanza negativa; in generale, quando la reattanza <strong>di</strong> una impedenza è<br />
negativa, si <strong>di</strong>ce che l'impedenza è capacitiva; se la parte resistiva è presente, si <strong>di</strong>ce che l'impedenza è<br />
ohmico-capacitiva.<br />
Si nota ancora che al crescere della frequenza, le reattanze aumentano e <strong>di</strong>minuiscono le suscettanze;<br />
viceversa al decrescere della frequenza.<br />
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G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 50 <strong>di</strong> 64<br />
Questo significa che un induttore si presenta con impedenza elevata alle alte frequenze e con<br />
impedenza ridotta alle basse frequenze; al limite, a frequenza nulla, l'induttore non ha impedenza (corto<br />
circuito).<br />
Dualmente, un condensatore si presenta con impedenza ridotta alle alte frequenze e con impedenza<br />
elevata alle basse frequenze; al limite, a frequenza nulla, il condensatore ha impedenza infinita (non passa<br />
corrente, circuito aperto)<br />
4.7 - Potenza Attiva, Reattiva, Apparente<br />
In c.c. la potenza è definita come:<br />
P = V ⋅ I<br />
[4.75]<br />
che è al tempo stesso una potenza me<strong>di</strong>a e una potenza istantanea, in quanto il regime è stazionario.<br />
In regime qualunque la potenza istantanea vale:<br />
() t = v()<br />
t i()<br />
t<br />
p ⋅<br />
In entrambi in casi, la corrente e la tensione in<strong>di</strong>cate sono quelle che si misurano ai morsetti del bipolo. Se si<br />
utilizza la convenzione <strong>degli</strong> utilizzatori, la potenza così definita è potenza entrante, cioè assorbita dal bipolo;<br />
se si utilizza la convenzione dei generatori, è potenza uscente, cioè generata dal bipolo.<br />
Si consideri allora il regime P.A.S.. In particolare si consideri un bipolo passivo puramente resistivo. In tale<br />
bipolo tensione e corrente sono perfettamente in fase tra loro.<br />
p<br />
=<br />
2<br />
( t)<br />
= VM<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
⋅ IM<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
= VM<br />
⋅ IM<br />
⋅ cos ( ωt<br />
+ δ)<br />
=<br />
1+<br />
cos(<br />
2(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
) VM<br />
⋅ IM<br />
VM<br />
⋅ IM<br />
V ⋅ I<br />
= + cos(<br />
2(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
)<br />
M<br />
M<br />
2<br />
2<br />
2<br />
[4.76]<br />
Quin<strong>di</strong> la potenza istantanea può essere vista come la somma <strong>di</strong> due componenti: una costante, e una<br />
P.A.S. con frequenza doppia rispetto alla frequenza della tensione e della corrente. Tale termine ha valor<br />
me<strong>di</strong>o nullo (anche solo su un semiperiodo), quin<strong>di</strong> si può definire una potenza me<strong>di</strong>a:<br />
M M<br />
2<br />
I V ⋅<br />
P = [4.77]<br />
Per rendere questa formula congruente con la [4.75], si è introdotto il concetto, già visto nei paragrafi<br />
precedenti, <strong>di</strong> valore efficace:<br />
VM<br />
I M<br />
V = ; I =<br />
[4.78]<br />
2 2<br />
utilizzando il valore efficace:<br />
P = V ⋅ I<br />
[4.79]<br />
Essendo il bipolo resistivo:<br />
v = R ⋅i<br />
⇒ V = R ⋅ I<br />
[4.80]<br />
quin<strong>di</strong>:<br />
2<br />
2 V<br />
P = R ⋅ I =<br />
[4.81]<br />
R<br />
Il termine me<strong>di</strong>o:<br />
P = V I<br />
[4.82]<br />
viene denominato in elettrotecnica con il nome <strong>di</strong> potenza attiva. Il valore è costante, in quanto in<strong>di</strong>ca un<br />
valor me<strong>di</strong>o e non un valore istantaneo.<br />
Si consideri invece ora un bipolo puramente induttivo:<br />
V<br />
I =<br />
jωL<br />
⇒<br />
V V<br />
I = − j = − j e<br />
ωL<br />
ωL<br />
jδ<br />
V<br />
= e<br />
ωL<br />
j(<br />
δ−<br />
π 2<br />
) [4.83]<br />
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vale a <strong>di</strong>re:<br />
() t = 2V<br />
⋅ cos(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
() t = 2 I ⋅ cos(<br />
ωt<br />
+ δ − π 2)<br />
= 2 I ⋅sin(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
v<br />
i<br />
quin<strong>di</strong>:<br />
() t = VI ⋅ cos(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
⋅sin(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
= VI ⋅sin(<br />
( ωt<br />
+ δ)<br />
)<br />
[4.84]<br />
p 2 2<br />
[4.85]<br />
Analogamente per un bipolo puramente capacitivo:<br />
jδ<br />
j(<br />
δ+<br />
π 2)<br />
I = jωCV<br />
⇒ I = + jωCV<br />
= + jωCV<br />
e = CV e<br />
[4.86]<br />
() t = 2V<br />
⋅ cos(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
() t = 2 I ⋅ cos(<br />
ωt<br />
+ δ + π 2)<br />
= − 2 I ⋅sin(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
v<br />
i<br />
quin<strong>di</strong>:<br />
( t)<br />
= − V I ⋅ cos(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
⋅sin(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
= −V<br />
I ⋅sin(<br />
( ωt<br />
+ δ)<br />
)<br />
[4.87]<br />
p 2 2<br />
[4.88]<br />
Si presenta, in entrambi i casi, una potenza <strong>di</strong> tipo P.A.S. e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> valor me<strong>di</strong>o nullo, con frequenza doppia<br />
rispetto a quella della corrente e della tensione. Si noti che le due potenze (quella per l'induttore e quella per<br />
il condensatore), a parità <strong>di</strong> tensione e del valore efficace della corrente, sono uguali e contrarie. Nei due<br />
componenti suddetti, infatti, la corrente si presenta in quadratura rispetto alla tensione: per l'induttore si<br />
presenta in ritardo <strong>di</strong> 90°, per il condensatore in anticipo <strong>di</strong> 90°. Quin<strong>di</strong> se i due bipoli sono alimentati in<br />
parallelo, le due correnti sono <strong>di</strong> segno opposto, e possono essere uguali e contrarie se il valore assoluto<br />
delle due reattanze è lo stesso, cioè se:<br />
1<br />
ωL<br />
=<br />
[4.89]<br />
ωC<br />
Questa potenza istantanea "oscillante" ha però un significato fisico <strong>di</strong>verso rispetto alla componente<br />
"oscillante" della potenza assorbita dal bipolo resistivo.<br />
Infatti, per il resistore tale potenza viene assorbita ed effettivamente <strong>di</strong>ssipata per effetto Joule; il termine<br />
oscillante, sommato a quello me<strong>di</strong>o, fa sì che la potenza <strong>di</strong>ssipata raggiunga un massimo quando la corrente<br />
raggiunge il massimo positivo o negativo, mentre assume il valore zero quando le correnti passano per lo<br />
zero.<br />
Nell'induttore o nel condensatore (ideali) invece non esiste alcuna <strong>di</strong>ssipazione <strong>di</strong> potenza: negli istanti in cui<br />
la potenza in<strong>di</strong>cata dalle [4.85] e [4.88] è positiva, cioè assorbita, significa che il <strong>di</strong>spositivo sta accumulando<br />
energia sotto forma magnetica (induttore) o elettrostatica (condensatore); negli istanti in cui tale potenza è<br />
negativa, significa che il <strong>di</strong>spositivo la sta restituendo. Si tratta quin<strong>di</strong> solo <strong>di</strong> un continuo scambio <strong>di</strong> energia,<br />
bi<strong>di</strong>rezionale. Il valor me<strong>di</strong>o è nullo, perché dopo ogni semiperiodo l'energia accumulata nel bipolo è tornata<br />
al valore <strong>di</strong> partenza. Non<strong>di</strong>meno, questa analisi del fenomeno mostra come debba esistere, da parte dei<br />
generatori o <strong>di</strong> altri componenti del circuito, la <strong>di</strong>sponibilità a questo scambio, con la possibilità <strong>di</strong><br />
raggiungere valori <strong>di</strong> picco della potenza istantanea anche elevati.<br />
In Elettrotecnica allora il termine:<br />
Q = ± V I<br />
[4.90]<br />
pari al modulo delle espressioni [4.85] o [4.88], cioè relativo ai soli bipoli non <strong>di</strong>ssipativi, con associato il<br />
segno, prende il nome <strong>di</strong> potenza reattiva. Non si tratta <strong>di</strong> potenza continuativa, come la potenza attiva: si<br />
tratta <strong>di</strong> un concetto ben <strong>di</strong>verso, proprio perché è solo un in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> un fenomeno <strong>di</strong> scambio <strong>di</strong> energia, con<br />
valor me<strong>di</strong>o della potenza nullo; per fornire potenza reattiva ad un bipolo non occorre quin<strong>di</strong> avere una<br />
sorgente permanente <strong>di</strong> potenza, ma solo un bipolo in grado <strong>di</strong> scambiare con altri bipoli, in modo oscillatorio<br />
una certa quantità <strong>di</strong> energia. La potenza reattiva è definita solo per il regime P.A.S..<br />
La potenza reattiva viene definita (la definizione è puramente convenzionale) come positiva assorbita se il<br />
bipolo utilizzatore è <strong>di</strong> tipo induttivo [4.85] e negativa assorbita se il bipolo utilizzatore è <strong>di</strong> tipo capacitivo; si<br />
<strong>di</strong>ce quin<strong>di</strong> anche che l'induttore assorbe potenza reattiva (o semplicemente: assorbe reattivo) e il<br />
condensatore eroga potenza reattiva (eroga reattivo).<br />
Si consideri infine il caso in cui si presenti la serie o il parallelo <strong>di</strong> due o più bipoli passivi. Per esempio un<br />
resistore in serie con un induttore. Utilizzando la notazione fasoriale:<br />
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G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 52 <strong>di</strong> 64<br />
jϕ<br />
Z = R + jωL<br />
= Z ⋅ e [4.91]<br />
Si ricorda che:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Z = R + ω L e ϕ = arctan ( ωL<br />
R)<br />
[4.92]<br />
j<br />
Considerando che la corrente nella serie valga: I = I ⋅e α si ha:<br />
j(<br />
α+<br />
ϕ)<br />
j(<br />
α+<br />
ϕ)<br />
jδ<br />
V = Z ⋅ I = ZI<br />
⋅e<br />
= V ⋅e<br />
= V ⋅e<br />
[4.93]<br />
in valori istantanei:<br />
() t = 2V<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ δ)<br />
= 2V<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ α + ϕ)<br />
= 2V<br />
( cosϕ<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
− sin ϕsin(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
)<br />
() t = 2I<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
v<br />
i<br />
e quin<strong>di</strong> la potenza istantanea vale:<br />
p<br />
=<br />
=<br />
() t = 2V<br />
( cos ϕcos(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
− sin ϕsin(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
) ⋅ 2I<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
2VI<br />
( cosϕ<br />
cos ( ωt<br />
+ α)<br />
sin ϕcos(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
sin(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
=<br />
VI(<br />
cosϕ(<br />
1+<br />
cos(<br />
2(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
) ) − sin ϕsin(<br />
2(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
) )<br />
=<br />
[4.94]<br />
2 ) [4.95]<br />
Si possono notare due termini: il primo, moltiplicato per il coseno dell'angolo dell'impedenza, contiene un<br />
valor me<strong>di</strong>o non nullo e una componente oscillante con frequenza doppia; il secondo, moltiplicato per il seno<br />
dell'angolo dell'impedenza, contiene solo una componente oscillante con frequenza doppia. Si è in questo<br />
modo evidenziata la presenza <strong>di</strong> potenza attiva e <strong>di</strong> potenza reattiva:<br />
P = VI cos ϕ<br />
[4.96]<br />
Q = VI sin ϕ<br />
I due termini corrispondono rispettivamente alla potenza attiva assorbita dal resistore e alla potenza reattiva<br />
assorbita dall'induttore. Volendo si può esaminare cosa succede sui singoli bipoli. Per fare questo, occorre<br />
considerare la serie dei due elementi come un partitore <strong>di</strong> corrente:<br />
V V V = +<br />
[4.97]<br />
R<br />
I<br />
questo va trattato come in c.c., ma utilizzando le impedenze invece delle sole resistenze e, ovviamente, la<br />
notazione fasoriale (si ricorda che: Z = R + jX = Z cos θ + jZ sin θ ):<br />
V<br />
V<br />
R<br />
I<br />
R R j(<br />
δ−ϕ)<br />
Z cos ϕ j(<br />
δ−ϕ)<br />
jα<br />
= V = V ⋅ e = V ⋅ e = V cos ϕ⋅<br />
e<br />
Z Z<br />
Z<br />
jωL<br />
ωL<br />
j(<br />
δ+<br />
π 2−ϕ)<br />
Z sin ϕ j(<br />
δ+<br />
π 2−ϕ)<br />
j(<br />
α+<br />
π 2)<br />
= V = V ⋅ e = V ⋅ e = V sin ϕ⋅<br />
e<br />
Z Z<br />
Z<br />
Quin<strong>di</strong>:<br />
= VI<br />
() t = 2V<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
⋅<br />
2<br />
2I<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
= 2V<br />
cosϕ<br />
⋅ I cos ( ωt<br />
+ α)<br />
cosϕ(<br />
1+<br />
cos(<br />
2(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
) )<br />
pR R<br />
=<br />
() t = 2V<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ α + π 2)<br />
⋅ 2I<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
= −2V<br />
sin ϕsin(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
⋅ I cos(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
−VI<br />
sin ϕsin(<br />
2(<br />
ωt<br />
+ α)<br />
)<br />
pI I<br />
=<br />
=<br />
[4.98]<br />
[4.99]<br />
[4.100]<br />
Il segno "-" in quest'ultima espressione e nella [4.95] per il termine che attiene al reattivo non deve far<br />
pensare che tale potenza sia negativa. Essendo oscillante, il termine cambia <strong>di</strong> segno 2 volte per ogni<br />
periodo. Per valutare se tale potenza reattiva sia positiva o negativa si possono scegliere due strade.<br />
La prima, che è la più semplice, è quella <strong>di</strong> considerare che, se si tratta <strong>di</strong> un induttore, la potenza reattiva va<br />
considerata comunque positiva assorbita (negativa assorbita se si tratta <strong>di</strong> un condensatore)<br />
La seconda strada, più complessa, richiede <strong>di</strong> confrontare tale termine con la tensione e la corrente sul<br />
singolo elemento: poiché tale termine è pari al prodotto delle due grandezze. La corrente è in quadratura con<br />
la tensione, in anticipo se si tratta <strong>di</strong> un induttore e in ritardo se si tratta <strong>di</strong> un condensatore. Allora:<br />
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G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 53 <strong>di</strong> 64<br />
- quando la tensione è massima positiva occorre che la potenza istantanea sia nulla e, se si tratta <strong>di</strong> un<br />
induttore, stia per <strong>di</strong>ventare negativa, se si tratta <strong>di</strong> un condensatore, stia per <strong>di</strong>ventare positiva; oppure:<br />
- quando la corrente è massima positiva occorre che la potenza istantanea sia nulla e, se si tratta <strong>di</strong> un<br />
induttore, stia per <strong>di</strong>ventare positiva, se si tratta <strong>di</strong> un condensatore, stia per <strong>di</strong>ventare negativa.<br />
In questo caso la tensione sull'induttore:<br />
() t = 2V cosϕ<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ α + π 2<br />
v I ) [4.101]<br />
è massima per ωt = − π 2 − α ; in tale istante il termine <strong>di</strong> potenza istantanea vale:<br />
() t = −VI<br />
sin ϕsin(<br />
2(<br />
ωt<br />
+ α + π 2)<br />
) = −VI<br />
sin ϕsin(<br />
2(<br />
− α − π 2 + α + π 2)<br />
) = −VI<br />
sin ϕsin<br />
0<br />
p I [4.102]<br />
e quin<strong>di</strong> evolverà verso valori negativi: quin<strong>di</strong> si tratta proprio <strong>di</strong> potenza reattiva induttiva.<br />
Si noti che, in<strong>di</strong>cando con l'asterisco i valori complessi coniugati:<br />
per una resistenza:<br />
I =<br />
V<br />
R<br />
=<br />
V<br />
R<br />
⋅ e<br />
jδ<br />
= I ⋅ e<br />
per una induttanza:<br />
V V j<br />
I = = − j ⋅e<br />
jωL<br />
ωL<br />
per una capacità:<br />
jδ<br />
I = jωCV<br />
= jωCV<br />
⋅ e<br />
δ<br />
;<br />
V ⋅ I<br />
= − jI ⋅ e<br />
jδ<br />
*<br />
jδ<br />
= + jI ⋅ e<br />
= V ⋅ e<br />
;<br />
jδ<br />
;<br />
jδ<br />
V ⋅ I<br />
V ⋅ I<br />
⋅ I ⋅ e<br />
*<br />
*<br />
− jδ<br />
= V ⋅e<br />
= V ⋅ e<br />
= VI = P<br />
jδ<br />
jδ<br />
⋅<br />
⋅ j ⋅ I ⋅ e<br />
− jδ<br />
= jVI = jQ<br />
− jδ<br />
( − j ⋅ I ⋅ e ) = − jVI = jQ<br />
[4.103]<br />
[4.104]<br />
[4.105]<br />
in quest'ultimo caso il valore <strong>di</strong> Q è negativo (e quin<strong>di</strong> il segno "-" scompare perché inglobato all'interno <strong>di</strong> Q)<br />
perché un condensatore assorbe potenza reattiva negativa.<br />
Infine, nel caso più generale <strong>di</strong> più elementi in serie (si potrebbe fare analogamente anche con il parallelo):<br />
V V j(<br />
δ−ϕ)<br />
j(<br />
δ−ϕ)<br />
I = = e = I ⋅ e<br />
Z Z<br />
* j(<br />
δ−δ+<br />
ϕ)<br />
jϕ<br />
V ⋅ I = VI ⋅ e = VI ⋅e<br />
= VI ⋅ ( cosϕ<br />
+ j sin ϕ)<br />
= P + jQ<br />
[4.106]<br />
Quanto visto in questi semplici esempi ha vali<strong>di</strong>tà generale: il prodotto del fasore della tensione per il<br />
complesso coniugato del fasore della corrente fornisce un numero complesso in cui il coefficiente<br />
della parte reale è la potenza attiva e il coefficiente della parte immaginaria è la potenza reattiva.<br />
Si definisce tale numero complesso:<br />
*<br />
A = V ⋅ I = P + jQ<br />
[4.107]<br />
con il nome potenza apparente. Più comunemente con il termine <strong>di</strong> potenza apparente si intende<br />
semplicemente il modulo <strong>di</strong> tale valore, pari al prodotto dei valori efficaci:<br />
A = V I<br />
[4.108]<br />
Si noti anche che:<br />
*<br />
*<br />
2<br />
2<br />
( cos ϕ + j ϕ)<br />
A = P + jQ = V ⋅ I = Z ⋅ I ⋅ I = Z ⋅ I = Z ⋅ I ⋅ sin<br />
[4.109]<br />
*<br />
2<br />
* V V<br />
A = P + jQ = V ⋅ I = V ⋅ = ⋅ ( cos ϕ + j sin ϕ)<br />
[4.110]<br />
*<br />
Z Z<br />
*<br />
*<br />
*<br />
*<br />
2<br />
2<br />
( cosβ<br />
− j β)<br />
A = P + jQ = V ⋅ I = V ⋅Y<br />
⋅V<br />
= Y ⋅V<br />
= Y ⋅V<br />
⋅ sin<br />
[4.111]<br />
2<br />
* I * I<br />
A = P + jQ = V ⋅ I = I = ⋅ ( cosβ<br />
− j sin β)<br />
[4.112]<br />
Y Y<br />
e ricordando che:<br />
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Y<br />
1<br />
= ⇒ β= −ϕ<br />
[4.113]<br />
Z<br />
si vede come le quattro espressioni siano equivalenti.<br />
Il valore cosϕ prende il nome <strong>di</strong> fattore <strong>di</strong> potenza.<br />
Per un bipolo puramente resistivo l'angolo dell'impedenza è zero, quin<strong>di</strong> il valore del fattore <strong>di</strong> potenza è<br />
unitario: questo significa che tutta la potenza apparente è potenza attiva.<br />
Per un bipolo puramente induttivo o capacitivo, il valore del fattore <strong>di</strong> potenza è zero: questo significa che<br />
non c'è potenza attiva, e tutta la potenza apparente è reattiva. Il valore del fattore <strong>di</strong> potenza non fornisce<br />
alcuna informazione sul segno della potenza reattiva.<br />
Per il regime stazionario si è <strong>di</strong>mostrato che in una rete la somma delle potenza <strong>di</strong>ssipate per effetto Joule è<br />
pari alla somma delle potenze erogate dai generatori <strong>di</strong> tensione e <strong>di</strong> corrente. Il risultato si può estendere al<br />
regime P.A.S.:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( R ⋅ I + jωL<br />
⋅ I − jωC<br />
⋅V<br />
)<br />
L<br />
∑<br />
G<br />
G′<br />
*<br />
*<br />
= ∑ Eg<br />
⋅ I g + ∑ Vg′<br />
⋅ Ag<br />
′<br />
[4.114]<br />
l = 1 g = 1<br />
g′<br />
= 1<br />
in una rete elettrica la somma delle potenze <strong>di</strong>ssipate per effetto Joule è pari alla somma delle<br />
potenze attive erogate dai generatori e la somma della potenza reattive assorbite dagli induttori<br />
meno le potenze reattive erogate dai condensatori è pari alla somma delle potenze reattive erogate<br />
dai generatori.<br />
4.8 - Rifasamento<br />
La potenza reattiva non è una potenza nel senso tra<strong>di</strong>zionale del termine, ed in particolare non è <strong>di</strong>ssipativa.<br />
Si potrebbe quin<strong>di</strong> pensare che essa non sia rilevante. In realtà la presenza <strong>di</strong> potenza reattiva non è, in<br />
generale, un fatto vantaggioso.<br />
Si consideri il seguente esempio: sia dato un carico ohmico-induttivo, cioè un bipolo serie R − L (per<br />
esempio una stufa elettrica), alimentato da un generatore remoto a cui è collegato con una linea elettrica (un<br />
conduttore <strong>di</strong> andata e uno <strong>di</strong> ritorno). Le linea presenterà ovviamente un certo valore resistivo (e anche<br />
induttivo), tanto maggiore quanto più essa è lunga: presenterà quin<strong>di</strong> una <strong>di</strong>ssipazione <strong>di</strong> potenza per effetto<br />
Joule.<br />
Si supponga che i parametri del carico e la tensione ai suoi morsetti siano i seguenti:<br />
R = 8Ω<br />
X = ωL<br />
= 6Ω<br />
V = 100V<br />
con questi valori si ottiene:<br />
V 100<br />
I = = =<br />
e<br />
Z 8 + j6<br />
quin<strong>di</strong> la potenza vale:<br />
A = V ⋅ I = 100 ⋅<br />
P = 800 W<br />
Q = 600 var<br />
*<br />
− jϕ<br />
( 8 − j6)<br />
A = 10⋅<br />
A<br />
( 8 + j6)<br />
= 800 + j600<br />
Si noti che per ottenere la stessa potenza attiva, a parità <strong>di</strong> tensione, basterebbe una corrente:<br />
I<br />
0<br />
V ⋅ I<br />
= 8A<br />
*<br />
0<br />
= 100⋅<br />
8 = 800<br />
purché tale corrente sia perfettamente in fase con la tensione. In questo caso non si avrebbe potenza<br />
reattiva; il carico dovrebbe però presentare parametri <strong>di</strong>versi.<br />
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Si noti che il valore <strong>di</strong> tale corrente altro non è se non il valore, nella corrente originale, della componente in<br />
fase con la tensione stessa. La componente in quadratura, (-j6 A), si rivela ovviamente superflua ai fini della<br />
potenza attiva.<br />
Considerando le <strong>di</strong>ssipazioni sulla linea <strong>di</strong> trasmissione del generatore remoto al carico, utilizzando la<br />
resistenza totale della linea (conduttore <strong>di</strong> andata + conduttore <strong>di</strong> ritorno), nei due casi si avrebbe:<br />
P<br />
d<br />
d 0<br />
L<br />
= R<br />
L<br />
2<br />
P = R ⋅ I = R ⋅100<br />
⋅ I<br />
2<br />
0<br />
L<br />
= R<br />
L<br />
⋅64<br />
Come si vede, nel caso <strong>di</strong> corrente in fase con la tensione le per<strong>di</strong>te in linea sono decisamente inferiori.<br />
Inoltre, se si considera la c.d.t. dal generatore al carico, tanto maggiore sarà la corrente tanto maggiore sarà<br />
tale c.d.t.. Quin<strong>di</strong>, se si desidera avere la stessa tensione <strong>di</strong> 100 V sul carico, nel primo caso il generatore<br />
dovrà erogare una tensione maggiore rispetto al secondo caso, perché maggiore sarà la c.d.t..<br />
Tutto questo evidenzia come la potenza reattiva, pur essendo <strong>di</strong> per sé non <strong>di</strong>ssipativa, crea una serie <strong>di</strong><br />
effetti secondari generalmente fasti<strong>di</strong>osi.<br />
Si deve quin<strong>di</strong> cercare <strong>di</strong> avere il più possibile le correnti dei carichi in fase con le tensioni. Le società <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>stribuzione, per ridurre gli effetti <strong>di</strong> cui sopra (per<strong>di</strong>te e c.d.t. sulle linee), impongono ai loro utenti (industrie<br />
e attività artigianali) che i carichi abbiano un cosϕ non inferiore a 0.9. Fissare il valore minimo del fattore <strong>di</strong><br />
potenza significa fissare il valore massimo del rapporto tra potenza reattiva e potenza attiva:<br />
P = + Acosϕ<br />
Q = ± Asin<br />
ϕ<br />
Q P = ± tan ϕ<br />
[4.115]<br />
Nel caso che il valore del fattore <strong>di</strong> potenza sia inferiore a 0.9, l'utente è tenuto a pagare una penale per ogni<br />
kvarh (analogo del kWh) <strong>di</strong> reattivo consumato in più.<br />
Per molti tipi <strong>di</strong> carichi elettrici (in particolare per i motori elettrici) il valore del fattore <strong>di</strong> potenza non può<br />
essere deciso liberamente dall'utente o dal costruttore del <strong>di</strong>spositivo: spesso si presentano fenomeni <strong>di</strong> tipo<br />
induttivo non eliminabili, che comportano un elevato consumo <strong>di</strong> reattivo. Nell'esempio <strong>di</strong> cui sopra la<br />
reattanza induttiva non era voluta: era comunque associata alla resistenza, non eliminabile. Più rari, ma<br />
comunque possibili, specie alle frequenze elevate, i casi in cui siano preponderanti gli effetti capacitivi, con<br />
un cosϕ comunque inferiore al limite previsto.<br />
In tutti questi casi, in cui il reattivo supera i valori previsti, occorre allora mo<strong>di</strong>ficare il carico, inserendovi altri<br />
elementi circuitali che compensino l'eccesso <strong>di</strong> assorbimento o <strong>di</strong> erogazione <strong>di</strong> reattivo, e cioè portino la<br />
corrente ad essere in fase con la tensione, o almeno ad avere una componente in quadratura più ridotta.<br />
Questa operazione prende il nome <strong>di</strong> rifasamento. Nel caso in cui il carico sia prevalentemente induttivo,<br />
occorrerà porre, in serie o in parallelo, dei condensatori; nel caso il carico sia prevalentemente capacitivo,<br />
occorrerà porre, in serie o in parallelo, <strong>degli</strong> induttori. Considereremo solo il primo caso, perché è il più<br />
comune; per l'altro valgono comunque gli stessi <strong>di</strong>scorsi e delle formule duali.<br />
Solitamente i condensatori vengono posti in parallelo sui morsetti del carico. E' possibile anche porli in serie<br />
(come si fa a volte negli Stati Uniti, sulle linee <strong>di</strong> trasmissione in alta e altissima tensione), ma questo può<br />
creare altri problemi che saranno più chiari in seguito (ve<strong>di</strong> risonanza); inoltre in parallelo non mo<strong>di</strong>ficano la<br />
tensione sul carico (se non per il fatto che viene limitata la c.d.t. sulla linea <strong>di</strong> trasporto), mentre in serie<br />
avrebbero un pesante effetto in tal senso.<br />
La potenza reattiva assorbita da un bipolo capacitivo in parallelo vale allora:<br />
Q C<br />
2<br />
= −ωCV<br />
[4.116]<br />
(in realtà è una potenza reattiva erogata) e prende il nome <strong>di</strong> potenza <strong>di</strong> rifasamento.<br />
Se il carico presenta un assorbimento <strong>di</strong> potenza:<br />
A = P + jQ<br />
[4.117]<br />
L<br />
L<br />
L<br />
si può allora scegliere <strong>di</strong> arrivare ad un rifasamento completo:<br />
Q<br />
Q<br />
L<br />
L<br />
+ Q<br />
C<br />
= 0<br />
− ωCV<br />
2 =<br />
0<br />
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[4.118]
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QL<br />
C = [4.119]<br />
2<br />
ωV<br />
oppure <strong>di</strong> arrivare ad un dato cosϕ , che possiamo in<strong>di</strong>care come cos ϕM<br />
(0.9 o altro valore):<br />
QL<br />
+ Q<br />
P<br />
L<br />
LMax<br />
C<br />
= tan ϕ ≤ tan ϕ<br />
da cui:<br />
( rif . )<br />
QL<br />
= QL<br />
+ QC<br />
≤ PL<br />
tan ϕ<br />
( rif . )<br />
Q = P tan ϕ<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
Q<br />
Q<br />
L<br />
C<br />
+ Q<br />
C<br />
L<br />
( rif . )<br />
≤ Q<br />
( rif . )<br />
≤ Q − Q<br />
LMax<br />
LMax<br />
L<br />
M<br />
2 ( rif . )<br />
− ωCV<br />
≤ Q − Q<br />
LMax<br />
1 ( rif . ) ( )<br />
2 L LMax<br />
Q Q C ≥ −<br />
ωV<br />
L<br />
M<br />
M<br />
⇔<br />
2<br />
L<br />
P<br />
+<br />
P<br />
L<br />
( Q + Q )<br />
L<br />
C<br />
2<br />
= cosϕ<br />
≥ cosϕ<br />
M<br />
[4.120]<br />
[4.121]<br />
[4.122]<br />
[4.123]<br />
I condensatori da usare per il rifasamento hanno, ovviamente, un costo. Si nota che, a parità <strong>di</strong> potenza <strong>di</strong><br />
rifasamento, la capacità necessaria <strong>di</strong>minuisce con il quadrato della tensione <strong>di</strong> funzionamento. Tuttavia, se<br />
a tensione maggiore basta una minore capacità (e quin<strong>di</strong> sembrerebbe <strong>di</strong> poter risparmiare), va considerato<br />
che i condensatori dovranno essere in grado <strong>di</strong> sopportare una tensione più grande (e quin<strong>di</strong> avranno un<br />
costo unitario maggiore). In pratica succede che il costo è circa proporzionale alla potenza <strong>di</strong> rifasamento,<br />
quasi in<strong>di</strong>pendentemente dalla tensione.<br />
L'impiantista deve quin<strong>di</strong> valutare quale potenza <strong>di</strong> rifasamento installare.<br />
Se è la società <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione a provvedere al rifasamento, dovrà confrontare il risparmio delle per<strong>di</strong>te in<br />
linea e il costo dei condensatori, e trovare una potenza <strong>di</strong> rifasamento economicamente ottimale (che in<br />
generale non sarà la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> rifasamento totale).<br />
Se invece si tratta <strong>di</strong> un utente, dovrà confrontare il costo delle penali per eccesso <strong>di</strong> consumo <strong>di</strong> reattivo e il<br />
costo dei condensatori; per esempio, se i picchi <strong>di</strong> consumo <strong>di</strong> reattivo si verificano solo raramente e per<br />
brevi perio<strong>di</strong>, potrebbe essere conveniente non rifasare; in altri casi conviene rifasare a cosϕ anche minori<br />
del prescritto 0.9.<br />
4.9 - Risonanza<br />
Si consideri un bipolo composto da una capacità e una induttanza in serie. L'impedenza del bipolo vale:<br />
1 ⎛ 1 ⎞<br />
Z = jωL<br />
+ = j⎜ωL<br />
− ⎟<br />
jωC<br />
⎝ ωC<br />
⎠<br />
[4.124]<br />
L'impedenza è una funzione della frequenza. In particolare è data dalla somma <strong>di</strong> un termine positivo e uno<br />
negativo; pertanto, per opportuni valori della frequenza, i due termini possono essere uguali e contrari, <strong>di</strong><br />
modo che l'impedenza assuma valore nullo. Per:<br />
1<br />
ω =<br />
[4.125]<br />
LC<br />
si trova che:<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜<br />
LC<br />
⎟ ⎜<br />
L L<br />
Z = j L − = j − ⎟ = 0<br />
[4.126]<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ LC C ⎠ ⎝ C C ⎠<br />
Se non esistono nel bipolo effetti <strong>di</strong> tipo resistivo, il bipolo presenta impedenza nulla, ovvero ammettenza<br />
infinita. Questo significa che, in presenza <strong>di</strong> un valore anche minimo <strong>di</strong> tensione applicata ai morsetti, il<br />
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bipolo è percorso da corrente infinita. In realtà un effetto resistivo esiste sempre, anche minimo, e questa<br />
limita la corrente, che assume valori finiti ma molto gran<strong>di</strong>.<br />
Se il valore della frequenza non è esattamente quello in<strong>di</strong>cato dalla [4.125], ma è molto vicino ad esso, il<br />
valore dell'impedenza (trascurando gli effetti resistivi) non è nullo, ma è comunque molto grande. In un<br />
<strong>di</strong>agramma ω − Z si presenta un asintoto in corrispondenza del valore <strong>di</strong> frequenza in<strong>di</strong>cato dalla [4.125].<br />
Si supponga ora <strong>di</strong> considerare un circuito composto da una sola maglia, con un generatore <strong>di</strong> tensione, un<br />
condensatore e una impedenza. Ad un dato istante, che possiamo in<strong>di</strong>care come istante 0 , il generatore<br />
viene spento. In quell'istante il condensatore presenterà un certo valore <strong>di</strong> tensione e l'induttanza un certo<br />
valore <strong>di</strong> corrente. Si potrà allora scrivere l'equazione <strong>di</strong>fferenziale che descrive il transitorio, con le<br />
con<strong>di</strong>zioni iniziali:<br />
⎧ 1 t<br />
<strong>di</strong><br />
⎪ ∫ i()<br />
τ dτ<br />
+ V + =<br />
0<br />
C0<br />
L 0<br />
C dt<br />
⎨<br />
[4.127].<br />
⎪i(<br />
0)<br />
= I L0<br />
⎩<br />
Per procedere occorre derivare. Derivando si perde l'informazione sulla tensione iniziale del condensatore,<br />
che va recuperata per imporre una seconda con<strong>di</strong>zione iniziale. Ricordando che comunque deve valere che<br />
la somma delle tensioni sul condensatore e sull'induttore deve dare valore zero, anche nell'istante iniziale, e<br />
che nell'istante iniziale la tensione sul condensatore è data proprio da tale valore iniziale mentre la tensione<br />
sull'induttore è data dal prodotto dell'induttanza per la derivata della corrente, si ottiene una seconda<br />
equazione per le con<strong>di</strong>zioni iniziali. Pertanto, derivando:<br />
2 ⎧ i d i<br />
⎪ + L = 0 2 ⎪C<br />
dt<br />
⎨<br />
⎪<br />
i(<br />
0)<br />
= IC<br />
0<br />
⎪⎩<br />
Li′<br />
( 0)<br />
= −VC<br />
0<br />
L'equazione caratteristica sarà pertanto:<br />
α<br />
2<br />
1<br />
+ = 0<br />
LC<br />
da cui:<br />
[4.128]<br />
[4.129]<br />
1<br />
α = m j<br />
[4.130]<br />
LC<br />
quin<strong>di</strong> le soluzioni dell'equazione <strong>di</strong>fferenziale sono <strong>di</strong> tipo oscillatorio, non smorzate per la mancanza <strong>di</strong><br />
termini resistivi (che nella realtà esistono), e con frequenza angolare:<br />
1<br />
ω 0 = Im α =<br />
[4.131]<br />
LC<br />
Questo valore si chiama frequenza propria del sistema, o frequenza <strong>di</strong> oscillazione libera. Come si vede<br />
essa coincide con il valore della [4.125]. Questa frequenza angolare prende allora anche il nome <strong>di</strong><br />
frequenza <strong>di</strong> risonanza:<br />
fornendo ad un circuito LC una tensione <strong>di</strong> frequenza pari alla frequenza libera <strong>di</strong> oscillazione, il<br />
sistema entra in risonanza: presenta cioè valore <strong>di</strong> impedenza nulla, se non per gli effetti resistivi.<br />
Il fenomeno non è tipico solo dei circuiti elettrici, ma <strong>di</strong> molte altre situazioni fisiche: ovunque esista un<br />
sistema che abbia una sua frequenza propria <strong>di</strong> oscillazione, si può presentare il fenomeno della risonanza.<br />
Per esempio è un fenomeno <strong>di</strong> risonanza la vibrazione rumorosa dei vetri delle finestre quando in strada c'è<br />
un motore <strong>di</strong>esel al minimo: la lastra <strong>di</strong> vetro viene eccitata dal <strong>di</strong>esel alla sua frequenza <strong>di</strong> risonanza;<br />
oppure il <strong>di</strong>apason che suona, senza essere toccato, se vicino viene suonata una nota alla frequenza propria<br />
del <strong>di</strong>apason.<br />
In con<strong>di</strong>zioni prossime alla risonanza la tensione sul bipolo L − C è molto piccola, ed è nulla in caso <strong>di</strong><br />
perfetta risonanza senza resistenze. Tuttavia è molto importante notare che, sebbene la tensione<br />
complessiva sia molto piccola o nulla, la tensione sui singoli componenti è invece molto grande, al limite<br />
infinita. Infatti:<br />
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- le tensioni sui singoli componenti sono proporzionali alla corrente;<br />
- le tensioni sui due componenti sono in opposizione: presentano cioè fase opposta, e valori in modulo<br />
molto vicini; in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> risonanza sono perfettamente uguali e contrarie.<br />
Pertanto, poiché in risonanza la corrente <strong>di</strong>venta molto grande o infinita, le tensioni sui singoli componenti<br />
sono altrettanto gran<strong>di</strong> o infinite. Questo significa che la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> risonanza è estremamente<br />
pericolosa per i componenti circuitali: essa presenta sovracorrenti e sovratensioni interne, cioè valori <strong>di</strong><br />
corrente e valori interni <strong>di</strong> tensione molto più gran<strong>di</strong> <strong>di</strong> quelli che i componenti possono tollerare.<br />
Anche in altre situazioni fisiche la risonanza può essere pericolosa: per esempio, i cristalli che vanno in<br />
frantumi <strong>di</strong> fronte alle voce dei cantanti lirici; per lo stesso motivo i reparti <strong>di</strong> soldati in marcia "rompono il<br />
passo", cioè non vanno più a passo <strong>di</strong> marcia, ma a passo libero, quando transitano sui ponti, per evitare<br />
che il ponte entri in risonanza e crolli.<br />
Una situazione duale si verifica quando invece i due componenti, L e C, sono in parallelo anziché in serie. In<br />
tal caso si sommano le loro ammettenze; alla frequenza <strong>di</strong> risonanza si ha così ammettenza totale nulla,<br />
impedenza infinita. Questo significa che, qualunque sia la tensione applicata, non si ha globalmente<br />
passaggio <strong>di</strong> corrente. Questo però non significa che sui singoli componenti non ci sia corrente: si<br />
presentano correnti uguali e contrarie. La con<strong>di</strong>zione è anche detta con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> antirisonanza.<br />
In sintesi:<br />
- a tensione imposta, il circuito serie in risonanza si trova in con<strong>di</strong>zioni molto pericolose, perché permette<br />
il passaggio <strong>di</strong> una corrente molto grande o al limite infinita, con tensioni molto gran<strong>di</strong> o al limite infinite<br />
sui singoli componenti;<br />
- a corrente imposta, il circuito parallelo in (anti)risonanza si trova in con<strong>di</strong>zioni molto pericolose, perché<br />
permette l'insorgere <strong>di</strong> una tensione molto grande o al limite infinita, con correnti molto gran<strong>di</strong> o al limite<br />
infinite sui singoli componenti.<br />
Il circuito serie a corrente imposta o il parallelo a tensione imposta non si trovano invece in con<strong>di</strong>zioni<br />
pericolose.<br />
Per le ragioni suddette il rifasamento serie può risultare pericoloso. Anche se le frequenza <strong>di</strong> risonanza è<br />
molto lontana dalla frequenza <strong>di</strong> rete (50÷60 Hz), occorre però considerare che sono sempre presenti, oltre<br />
alla forma d'onda principali, anche altre componenti sinusoidali, dette componenti armoniche, a frequenza<br />
multiple della fondamentale, perché le forme d'onda non sono mai perfettamente regolari e quin<strong>di</strong> possono<br />
essere viste come la somma <strong>di</strong> più forme d'onda a frequenze <strong>di</strong>verse, <strong>di</strong> modulo decrescente al crescere<br />
della frequenza. Tra queste componenti armoniche ce ne può essere una <strong>di</strong> frequenza prossima alla<br />
risonanza, che può quin<strong>di</strong> provocare <strong>di</strong>sastri.<br />
4.10 - I Transitori Elettrici<br />
Dopo aver acquisito gli strumenti per l'analisi dei circuiti elettrici in regime P.A.S., si può completare il<br />
<strong>di</strong>scorso sui transitori elettrici, già introdotto nel par. 4.4 - .<br />
Si ricorda pertanto che il regime transitorio è quel regime che corrisponde alla soluzione del sistema <strong>di</strong><br />
equazioni <strong>di</strong>fferenziali omogeneo, privo cioè delle forzanti; prende il nome <strong>di</strong> transitorio per la semplice<br />
ragione che nei circuiti elettrici sono sempre presenti elementi resistivi che provocano il deca<strong>di</strong>mento<br />
esponenziale delle grandezze tensione e corrente, che quin<strong>di</strong> tendono a zero nell'arco <strong>di</strong> un certo intervallo<br />
<strong>di</strong> tempo.<br />
Il problema dei transitori elettrici non è altrettanto facilmente schematizzabile come il regime permanente,<br />
per il quale esistono meto<strong>di</strong> risolutivi standard relativamente semplici. E' possibile anche per i transitori<br />
utilizzare meto<strong>di</strong> sistematici, ma questi sono molto complessi e, in generale, non vantaggiosi rispetto ad un<br />
approccio più semplice ma che richiede un po' più <strong>di</strong> intuizione: è possibile in<strong>di</strong>care alcune semplici regole e<br />
alcune "tecniche" che costituiscono una base necessaria per la soluzione del problema.<br />
L'analisi del transitorio può <strong>di</strong>rsi composta delle seguenti fasi:<br />
1) identificazione del modello e valutazione dei parametri;<br />
2) scrittura del sistema <strong>di</strong> equazioni algebrico-<strong>di</strong>fferenziali;<br />
3) riduzione del sistema in modo da eliminare le variabili solo algebriche, con eventuale riduzione del<br />
sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziale ad un unica equazione <strong>di</strong>fferenziale avente per or<strong>di</strong>ne l'or<strong>di</strong>ne del<br />
sistema;<br />
4) in<strong>di</strong>viduazione delle con<strong>di</strong>zioni iniziali;<br />
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G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 59 <strong>di</strong> 64<br />
5) soluzione del sistema o dell'unica equazione <strong>di</strong>fferenziale con le con<strong>di</strong>zioni iniziali;<br />
6) ricostruzione del valore delle variabili algebriche.<br />
La fase 1) è come per il regime P.A.S.: occorre "guardare" il circuito e riportare i valori dei parametri<br />
e delle tensioni o correnti dei generatori.<br />
L , R,<br />
C<br />
La fase 2) utilizza i principi <strong>di</strong> Kirchhoff per scrivere le equazioni che conterranno, ovviamente, dei termini<br />
integrali o <strong>di</strong>fferenziali; può utilizzare, volendo, gli stessi meto<strong>di</strong> del regime permanente (tensioni <strong>di</strong> nodo,<br />
correnti <strong>di</strong> lato, correnti <strong>di</strong> maglia) anche se, come si vedrà in seguito, sarà spesso opportuno utilizzare<br />
meto<strong>di</strong> "misti", cioè non avere come variabili <strong>di</strong> stato solo le tensioni o solo le correnti, ma un mix <strong>di</strong> queste:<br />
ciò richiederà <strong>di</strong> iniziare a procede in modo intuitivo.<br />
La fase 3) serve ad ottenere un sistema che sia solo <strong>di</strong> tipo <strong>di</strong>fferenziale. Delle equazioni scritte nella fase<br />
precedente, alcune saranno solo algebriche, altre invece integrali e/o <strong>di</strong>fferenziali. Le equazioni integrali<br />
vanno derivate, in modo da non avere più termini integrali ma solo <strong>di</strong>fferenziali. Le equazioni algebriche<br />
vanno utilizzate in modo da far scomparire, nelle equazioni <strong>di</strong>fferenziali, alcune variabili (solitamente quelle<br />
<strong>di</strong> cui non si presenta alcuna derivata nelle equazioni <strong>di</strong>fferenziali originali), in modo che la parte <strong>di</strong>fferenziale<br />
del sistema consideri un numero <strong>di</strong> variabili pari al numero <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>sponibili. Il valore delle altre<br />
variabili, dette algebriche, potrà essere ricostruito dal valore trovato per le variabili <strong>di</strong>fferenziali, grazie alle<br />
stesse equazioni algebriche usate in questa fase. Questa fase richiede ancora una volta una certa dose <strong>di</strong><br />
intuizione.<br />
Con ulteriori processi <strong>di</strong> riduzione è possibile trasformare un sistema <strong>di</strong> m equazioni <strong>di</strong>fferenziali in m<br />
funzioni incognite in un'unica equazione <strong>di</strong>fferenziale, in una sola incognita, <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne m .<br />
La fase 4) è fondamentale per la soluzione vera e propria. Ogni sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali richiede,<br />
per poter essere risolto completamente, delle con<strong>di</strong>zioni al contorno; in questo caso, visto che il dominio è il<br />
−<br />
tempo, si parla <strong>di</strong> con<strong>di</strong>zioni iniziali. Queste sono date, solitamente, dallo stato della rete all'istante 0 , vale<br />
+<br />
a <strong>di</strong>re all'istante imme<strong>di</strong>atamente precedente l'inizio del transitorio. Nell'istante 0 , non appena si è<br />
instaurata la nuova con<strong>di</strong>zione della rete, che evolve in maniera transitoria verso un nuovo regime, le<br />
−<br />
correnti negli induttori e le tensioni sui condensatori dovranno conservare gli stessi valori dell'istante 0 .<br />
Queste informazioni andranno però a volte rielaborate, utilizzando le equazioni algebriche, perché non<br />
sempre tali grandezze sono le variabili <strong>di</strong> stato scelte per il sistema <strong>di</strong>fferenziale o per l'unica equazione,<br />
oppure perché derivando le funzioni integrali queste informazioni non sono più imme<strong>di</strong>atamente utilizzabili.<br />
Questa fase richiede parecchio intuito.<br />
La fase 5) può invece <strong>di</strong>rsi molto "standard" perché i meto<strong>di</strong> risolutivi, una volta che equazioni <strong>di</strong>fferenziali e<br />
con<strong>di</strong>zioni iniziali sono state poste correttamente, non richiede <strong>di</strong>fficoltà concettuali, ma solo, eventualmente,<br />
un po' <strong>di</strong> pazienza e <strong>di</strong> attenzione nei calcoli.<br />
La fase 6) ripercorre all'in<strong>di</strong>etro le operazioni <strong>di</strong> riduzione della fase 3) e calcola, in funzione delle soluzioni<br />
trovate nella fase 5), i valori delle altre funzioni. Anche questa fase richiede solo attenzione nei calcoli.<br />
Quanto detto potrà essere meglio chiarito con esempi, nel corso dei quali verranno introdotte le regole e le<br />
tecniche necessarie.<br />
Esempio - Circuito RLC serie, spegnimento<br />
Si consideri un circuito composto <strong>di</strong> una sola maglia, costituita dalla serie <strong>di</strong> un generatore <strong>di</strong> tensione, una<br />
induttanza, una resistenza. I parametri sono quin<strong>di</strong>:<br />
E = E (fase nulla)<br />
L<br />
R<br />
C<br />
[4.132]<br />
All'istante t0<br />
il generatore viene spento (rimane quin<strong>di</strong> in corto circuito) e <strong>di</strong> conseguenza inizia un transitorio<br />
che porterà allo spegnersi delle correnti. Si può scegliere come variabile <strong>di</strong> stato anche solo la corrente<br />
dell'unica maglia, i . Si potrà allora scrivere un'unica equazione integrale-<strong>di</strong>fferenziale:<br />
<strong>di</strong> 1<br />
L + Ri +<br />
dt C<br />
∫<br />
t<br />
0<br />
() τ<br />
i<br />
dτ<br />
+ V<br />
C0<br />
= 0<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011<br />
[4.133]
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 60 <strong>di</strong> 64<br />
Nell'equazione [4.133] la variabile tempo, t , è stata ri-inizializzata in modo da avere il valore zero in<br />
corrispondenza dell'inizio del transitorio. Inoltre appare la tensione VC<br />
0 , che è la tensione presente sul<br />
condensatore all'istante in cui inizia il transitorio; su <strong>di</strong> essa si ragionerà fra poco.<br />
Occorre ridurre l'equazione dalla formulazione integrale-<strong>di</strong>fferenziale ad una solo <strong>di</strong>fferenziale. Questo si<br />
ottiene facilmente derivando:<br />
1<br />
L i′<br />
′ + Ri′<br />
+ i = 0<br />
[4.134]<br />
C<br />
Come si vede si ottiene un'equazione del 2° or<strong>di</strong>ne. Nel circuito infatti sono presenti due elementi che<br />
comportano ciascuno 1 or<strong>di</strong>ne del sistema (o dell'equazione): un induttore e un condensatore. Questa è una<br />
regola generale:<br />
l'or<strong>di</strong>ne del sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali (o dell'unica equazione ad esso corrispondente) è pari<br />
al numero <strong>di</strong> induttori e <strong>di</strong> condensatori coinvolti nel transitorio; non vanno considerati induttori e<br />
condensatori in parti del circuito non interessate ai fenomeni transitori; gli induttori serie o i<br />
condensatori in parallelo vanno considerati come un unico elemento.<br />
Occorre ora porre le con<strong>di</strong>zioni iniziali. Anche qui vale una regola strettamente legata alla precedente:<br />
il numero delle con<strong>di</strong>zioni iniziali è pari all'or<strong>di</strong>ne del sistema <strong>di</strong>fferenziale e quin<strong>di</strong> al numero <strong>degli</strong><br />
induttori e dei condensatori da considerarsi (ve<strong>di</strong> regola precedente); si ha una con<strong>di</strong>zione iniziale<br />
sulla tensione <strong>di</strong> ogni condensatore e sulla corrente <strong>di</strong> ogni induttore; tali con<strong>di</strong>zioni iniziali<br />
potrebbero richiedere <strong>di</strong> essere rielaborate o utilizzate in equazioni algebriche per fornirle nella<br />
forma necessaria al sistema <strong>di</strong> equazioni.<br />
Questo vale perché la corrente negli induttori non può cambiare bruscamente, a scalino: questo<br />
comporterebbe derivata <strong>di</strong> valore infinito e quin<strong>di</strong> tensione ai morsetti <strong>di</strong> valore infinito; analogamente la<br />
tensione sui condensatori non può variare bruscamente, a scalino, perché questo comporterebbe derivata <strong>di</strong><br />
valore infinito e quin<strong>di</strong> valore infinito <strong>di</strong> corrente.<br />
In questo caso le con<strong>di</strong>zioni iniziali sono: la corrente sull'induttanza e la tensione sul condensatore. Saranno<br />
fornite dal regime P.A.S. preesistente. Si noti che la con<strong>di</strong>zione sulla tensione era già presente nella [4.133]<br />
ed è scomparsa derivando; andrà quin<strong>di</strong> opportunamente recuperata. L'equazione [4.134] richiede una<br />
con<strong>di</strong>zioni iniziale sulla corrente e una sulla derivata della corrente. La con<strong>di</strong>zione sulla corrente sarà<br />
anch'essa fornita dal regime preesistente, e può essere in<strong>di</strong>cata come I L0<br />
; per quanto riguarda la<br />
con<strong>di</strong>zione sulla derivata si noti che la tensione sull'induttanza vale:<br />
<strong>di</strong><br />
vL = L<br />
[4.135]<br />
dt<br />
dove appare la derivata della corrente; deve valere inoltre che la somma delle tensioni su tre componenti,<br />
anche nel primo istante del transitorio, deve dare somma nulla:<br />
v L + vR<br />
+ vC<br />
= 0<br />
[4.136]<br />
Ora:<br />
v<br />
v<br />
v<br />
L<br />
c<br />
( 0)<br />
= Li′<br />
( 0)<br />
( 0)<br />
= Ri(<br />
0)<br />
( 0)<br />
= VC<br />
0<br />
R<br />
Pertanto:<br />
= RI<br />
L0<br />
[4.137]<br />
−VC<br />
0 − RIL<br />
0<br />
I L′<br />
0 = i′<br />
( 0)<br />
=<br />
[4.138]<br />
L<br />
Si è utilizzata l'equazione <strong>di</strong> Kirchhoff alle maglie per arrivare a questo risultato. In altri casi poteva essere<br />
più vantaggioso utilizzare l'equazione <strong>di</strong> Kirchhoff ai no<strong>di</strong>. Questa è una delle "tecniche" che si possono<br />
comunque usare: si possono sempre utilizzare le equazioni <strong>di</strong> Kirchhoff ai no<strong>di</strong> e alle maglie per<br />
ottenere, da alcune con<strong>di</strong>zioni iniziali in una certa forma, le con<strong>di</strong>zioni iniziali in altra forma, più<br />
opportuna per il sistema o per l'equazione <strong>di</strong>fferenziale utilizzati.<br />
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Per il calcolo dei valori VC0,<br />
I L0<br />
, il regime P.A.S. preesistente forniva:<br />
I =<br />
V<br />
C<br />
E<br />
Z<br />
E<br />
=<br />
=<br />
jωL<br />
+ R − j ωC<br />
R + j<br />
I I<br />
= − j = e<br />
ωC<br />
ωC<br />
da cui:<br />
− jϕ−<br />
jπ<br />
2<br />
= V<br />
() t = 2I<br />
cos(<br />
ωt<br />
− ϕ)<br />
() t = 2V<br />
cos(<br />
ωt<br />
− ϕ − π 2)<br />
i<br />
v<br />
C<br />
C<br />
C<br />
e<br />
E<br />
( ωL<br />
−1<br />
ωC)<br />
− jϕ−<br />
jπ<br />
2<br />
=<br />
E<br />
Z<br />
e<br />
− jϕ<br />
= I e<br />
dove si usa la vecchia origine dei tempi. Nell'istante in cui avviene il guasto allora:<br />
I<br />
V<br />
L0<br />
C0<br />
=<br />
=<br />
i(<br />
t0<br />
) = 2I<br />
cos(<br />
ωt0<br />
− ϕ)<br />
v ( t ) = 2V<br />
cos(<br />
ωt<br />
− ϕ − π 2)<br />
C<br />
0<br />
C<br />
0<br />
− jϕ<br />
[4.139]<br />
[4.140]<br />
[4.141]<br />
Si può allora scrivere, finalmente, l'equazione <strong>di</strong>fferenziale con le sue con<strong>di</strong>zioni iniziali, cioè nella forma del<br />
problema <strong>di</strong> Cauchy:<br />
⎧ 1<br />
⎪Li′<br />
′ + Ri′<br />
+ i = 0<br />
C<br />
⎪<br />
⎨i(<br />
0)<br />
= I L0<br />
⎪<br />
⎪ −V<br />
− RI<br />
′<br />
C0<br />
L<br />
( ) ⎪<br />
i 0 =<br />
⎩ L<br />
0<br />
[4.142]<br />
La soluzione del problema <strong>di</strong> Cauchy per equazioni <strong>di</strong>fferenziali lineari omogenee a coefficienti costanti <strong>di</strong><br />
or<strong>di</strong>ne N in generale è data da:<br />
N<br />
i()<br />
t = ∑ Ik<br />
k = 1<br />
α t<br />
k ⋅e<br />
[4.143]<br />
dove i coefficienti dell'esponenziale sono in generale complessi e così pure i coefficienti moltiplicativi I k . La<br />
somma deve però fornire una soluzione reale, priva <strong>di</strong> parte immaginaria. Si vedrà in seguito, e si è<br />
comunque già visto nel par. 4.4 - , come affrontare il problema.<br />
Per trovare i coefficienti dell'esponenziale si passa all'equazione caratteristica:<br />
2 1<br />
Lα<br />
+ Rα<br />
+ = 0<br />
C<br />
2 R 1<br />
α + α + = 0<br />
L LC<br />
che fornisce come soluzione:<br />
2<br />
[4.144]<br />
− R 1 ⎛ R ⎞ 4<br />
α1, 2 = m ⎜ ⎟ −<br />
[4.145]<br />
2L<br />
2 ⎝ L ⎠ LC<br />
Si presentano 3 possibilità: determinante positivo, nullo, negativo.<br />
Nel caso <strong>di</strong> determinante positivo:<br />
α<br />
1,<br />
2<br />
− R R 4L<br />
R ⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
4L<br />
= m 1−<br />
= −1<br />
m 1−<br />
⎟<br />
[4.146]<br />
2<br />
L L R C L ⎜<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
⎟<br />
⎝ R C ⎠<br />
le ra<strong>di</strong>ci sono entrambe reali, e negative; saranno reali anche i coefficienti moltiplicativi dei due termini<br />
esponenziali. Quin<strong>di</strong>:<br />
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() t<br />
′ () t<br />
i<br />
i<br />
= I ⋅e<br />
1<br />
α1t<br />
= α I ⋅e<br />
1 1<br />
+ I<br />
α1t<br />
2<br />
⋅e<br />
+ α<br />
α 2t<br />
2<br />
I<br />
2<br />
⋅e<br />
α 2t<br />
Confrontando i valori <strong>di</strong> queste funzioni nell'istante zero con le con<strong>di</strong>zioni iniziali, si ha:<br />
I + I = I<br />
1<br />
α I<br />
1 1<br />
2<br />
+ α<br />
2<br />
L0<br />
I<br />
2<br />
−V<br />
=<br />
C0<br />
− RI<br />
L<br />
L0<br />
che è un semplice sistema <strong>di</strong> 2 equazioni in 2 incognite, <strong>di</strong> imme<strong>di</strong>ata soluzione.<br />
Nel caso <strong>di</strong> determinante nullo:<br />
[4.147]<br />
[4.148]<br />
R<br />
α1<br />
= α2<br />
= − = α<br />
[4.149]<br />
2L<br />
le ra<strong>di</strong>ci sono coincidenti negative; la soluzione ha una forma particolare:<br />
αt<br />
αt<br />
() t = I1<br />
⋅ e + I2<br />
⋅ t ⋅ e<br />
′ () t = αI<br />
αt<br />
⋅ e + I<br />
αt<br />
⋅ ( αt<br />
+ 1)<br />
⋅ e<br />
i<br />
i<br />
1<br />
2<br />
N.B.: Nel caso <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne maggiore, se si presentano più soluzioni coincidenti:<br />
α1 = α2<br />
= K = αm<br />
= α [4.151]<br />
la componente della soluzione dovuta a tali ra<strong>di</strong>ci vale:<br />
αt<br />
2<br />
m−1<br />
() t = e ⋅(<br />
I + I t + I t + I t )<br />
1<br />
2<br />
3<br />
m<br />
[4.150]<br />
i K [4.152]<br />
Tornando invece a questo sistema <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 2, i coefficienti sono determinati da:<br />
I = I<br />
1<br />
L0<br />
−V<br />
αI<br />
+ I =<br />
1<br />
2<br />
C0<br />
− RI<br />
L<br />
L0<br />
che è sempre un sistema banale <strong>di</strong> soluzione imme<strong>di</strong>ata.<br />
Nel caso <strong>di</strong> determinante negativo:<br />
2<br />
[4.153]<br />
2<br />
− R j 4 ⎛ R ⎞ R 1 ⎛ R C ⎞<br />
α1, 2 = m − ⎜ ⎟ = − m j ⎜1<br />
⎟ = −σ<br />
ω0<br />
2 2<br />
2 ⎜<br />
−<br />
⎝ ⎠<br />
4 ⎟<br />
m j<br />
[4.154]<br />
L LC L L LC ⎝ L ⎠<br />
Come si vede le ra<strong>di</strong>ci sono complesse coniugate. Questo vale in generale, per un sistema <strong>di</strong> qualunque<br />
or<strong>di</strong>ne: le ra<strong>di</strong>ci complesse non si presentano mai sole, ma sempre a due a due complesse<br />
coniugate.<br />
I coefficienti moltiplicativi I 1 , I 2 saranno complessi coniugati. Questo farebbe pensare a 4 incognite da<br />
determinare (2 per ogni coefficiente complesso) con solo 2 con<strong>di</strong>zioni iniziali. In realtà i due coefficienti<br />
complessi dovranno essere complessi coniugati, perché solo così la soluzione assumerà istante per<br />
istante valori reali. Pertanto le incognite da determinare rimangono sempre 2.<br />
Allora la soluzione sarà:<br />
( −k<br />
− jω0<br />
) t * ( −k<br />
+ jω0<br />
) t<br />
i()<br />
t = I1<br />
⋅ e + I1<br />
⋅ e =<br />
−kt<br />
= e ⋅ I + jI ⋅ cos ω t − j sin ω t<br />
= e<br />
−kt<br />
⋅<br />
[ ( Re Im ) ( 0<br />
0 ) + ( IRe<br />
− jIIm<br />
) ⋅ ( cos ω0t<br />
+ j sin ω0t<br />
]<br />
[ ( 2I<br />
cos ω t + 2I<br />
−kt<br />
sin ω t)<br />
+ j0]<br />
= e ⋅ ( I cos ω t + I sin ω t)<br />
Re<br />
0<br />
Im<br />
0<br />
c<br />
0<br />
s<br />
0<br />
) =<br />
[4.155]<br />
si preferisce usare la forma mista tutta reale esponenziale-trigonometrica piuttosto che la forma<br />
esponenziale complessa. Quin<strong>di</strong>:<br />
−kt<br />
() t = e ⋅ ( Ic<br />
cosω0t<br />
+ I s sin ω0t)<br />
−kt<br />
′ () t = e ⋅ ( ( − kI + ω I ) cosω<br />
t + ( − kI − I ω ) sin ω t)<br />
i<br />
i<br />
c<br />
0<br />
s<br />
0<br />
s<br />
c<br />
0<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011<br />
0<br />
[4.156]
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 63 <strong>di</strong> 64<br />
I coefficienti sono determinati dalle con<strong>di</strong>zioni iniziali:<br />
I<br />
C<br />
− kI<br />
= I<br />
C<br />
L0<br />
+ ω I<br />
0<br />
S<br />
−V<br />
=<br />
C0<br />
− RI<br />
L<br />
L0<br />
che come sempre è un banale sistema <strong>di</strong> soluzione imme<strong>di</strong>ata.<br />
[4.157]<br />
Esistono comunque altre strade per calcolare il transitorio. Una forse più standard della precedente consiste<br />
nel prendere non una sola variabile <strong>di</strong> stato, ma due, vale a <strong>di</strong>re la corrente sull'induttore e la tensione sul<br />
condensatore. Si avrebbe quin<strong>di</strong>:<br />
⎧LiL′<br />
+ RiR<br />
+ vC<br />
= 0<br />
⎪<br />
iC<br />
= CvC′<br />
⎨<br />
⎪iR<br />
= iL<br />
⎪<br />
⎩iC<br />
= iL<br />
[4.158]<br />
che è un sistema <strong>di</strong> 2 equazioni <strong>di</strong>fferenziali e 2 equazioni algebriche, in due incognite. La corrente sulla<br />
resistenza e quella sul condensatore sono variabili algebriche, nel senso che non appare nessuna loro<br />
derivata. Si può quin<strong>di</strong> operare algebricamente perché tali variabili siano eliminate dalle equazioni<br />
<strong>di</strong>fferenziali, ottenendo due sistemi <strong>di</strong>stinti.<br />
⎧⎧LiL′<br />
+ RiL<br />
+ vC<br />
= 0<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩CvC′<br />
= iL<br />
⎨<br />
⎪⎧iR<br />
= iL<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎩⎩iC<br />
= iL<br />
[4.159]<br />
Il sistema algebrico si presenta come un sistema dove i termini noti sono le soluzioni del sistema<br />
<strong>di</strong>fferenziale (in questo caso il sistema algebrico è banale).<br />
Il sistema <strong>di</strong>fferenziale può essere visto in forma matriciale:<br />
⎡iL′<br />
⎤ ⎡−<br />
R L<br />
⎢ ⎥ = ⎢<br />
⎣v′<br />
L ⎦ ⎣ + 1 C<br />
−1<br />
L⎤<br />
⎡iL<br />
⎤<br />
⎥ ⋅ ⎢ ⎥<br />
0 ⎦ ⎣vC<br />
⎦<br />
[4.160]<br />
Tutte le variabili <strong>di</strong> stato che appaiono nel sistema saranno governate dalle stesse costanti <strong>di</strong> tempo <strong>di</strong><br />
smorzamento e dalle stesse frequenze <strong>di</strong> oscillazione, e queste saranno date dagli autovalori della matrice:<br />
− R L − α<br />
−1<br />
C<br />
−1<br />
L<br />
= 0<br />
− α<br />
( − R L − α)<br />
⋅ ( − α)<br />
− ( −1<br />
L)<br />
⋅ ( + 1 C)<br />
α<br />
2<br />
+<br />
R 1<br />
α + = 0<br />
L LC<br />
= 0<br />
Si ritrova quin<strong>di</strong> la stessa equazione caratteristica.<br />
[4.161]<br />
[4.162]<br />
Le cose possono essere viste anche in questo modo: poiché i coefficienti <strong>degli</strong> esponenziali sono gli stessi<br />
per tutte le variabili <strong>di</strong> stato, allora queste avranno la forma:<br />
i<br />
L<br />
v<br />
() t<br />
() t<br />
C<br />
= I<br />
L1<br />
= V<br />
⋅e<br />
C1<br />
α1t<br />
⋅e<br />
α1t<br />
+ I<br />
L2<br />
+ V<br />
⋅e<br />
C 2<br />
α2t<br />
⋅e<br />
α2t<br />
Derivando queste espressioni e considerando la [4.161], dovrà essere:<br />
⎡α1I<br />
⎢<br />
⎣α1V<br />
L1<br />
C1<br />
⋅e<br />
⋅e<br />
α1t<br />
α1t<br />
+ α I<br />
2 L2<br />
+ α V<br />
2 C 2<br />
⋅e<br />
⋅e<br />
α2t<br />
α2t<br />
⎤ ⎡−<br />
R L<br />
⎥ = ⎢<br />
⎦ ⎣ + 1 C<br />
−1<br />
L⎤<br />
⎡I<br />
⎥ ⋅ ⎢<br />
0 ⎦ ⎣V<br />
L1<br />
C1<br />
⋅e<br />
⋅e<br />
α1t<br />
α1t<br />
+ I<br />
L2<br />
+ V<br />
C 2<br />
⋅e<br />
⋅e<br />
α2t<br />
α2t<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
[4.163]<br />
[4.164]<br />
L'uguaglianza deve valere istante per istante e, poiché ciascuna componente esponenziale evolve<br />
in<strong>di</strong>pendentemente dalle altre, l'uguaglianza deve valere per ogni componente esponenziale;<br />
pertanto:<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 64 <strong>di</strong> 64<br />
⎡αk<br />
I<br />
⎢<br />
⎣αkV<br />
Lk<br />
Ck<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
⎡−<br />
⎢<br />
⎣<br />
+ 1 C<br />
⎤ ⎡−<br />
R L<br />
⎥ = ⎢<br />
⎦ ⎣ + 1 C<br />
R L − α<br />
k<br />
−1<br />
L⎤<br />
⎡I<br />
⎥ ⋅ ⎢<br />
− αk<br />
⎦ ⎣V<br />
−1<br />
L⎤<br />
⎡I<br />
⋅ ⎢<br />
0<br />
⎥<br />
⎦ ⎣V<br />
Lk<br />
Ck<br />
Lk<br />
Ck<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤ ⎡0⎤<br />
⎥ = ⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣0⎦<br />
da cui l'equazione caratteristica [4.161].<br />
k = 1,<br />
2<br />
[4.165]<br />
[4.166]<br />
Per quanto riguarda il calcolo dei coefficienti vanno utilizzate le con<strong>di</strong>zioni iniziali e va utilizzato il sistema<br />
[4.165] ovvero [4.166] per trovare altre relazioni tra i coefficienti delle varie funzioni. Per prima cosa vanno<br />
trovati gli autovalori, cioè le soluzioni dell'equazione caratteristica. Per ogni valore <strong>di</strong> k ( k = 1,<br />
2)<br />
, quin<strong>di</strong> per<br />
ogni autovalore, si ha un sistema <strong>di</strong> due equazioni in due incognite; in realtà, essendo il determinante del<br />
sistema nullo, le due equazioni non sono in<strong>di</strong>pendenti, per cui una sola fornisce tutte le informazioni. Così si<br />
potrà scrivere:<br />
⎧I<br />
⎪<br />
V<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎩<br />
L1<br />
C1<br />
+ I<br />
L2<br />
+ V<br />
C 2<br />
= I<br />
= V<br />
( − R L − α1)<br />
I L1<br />
+ ⋅(<br />
−1<br />
L)<br />
⋅<br />
( − R L − α ) ⋅ I + ( −1<br />
L)<br />
2<br />
L0<br />
C0<br />
L2<br />
V<br />
C1<br />
⋅V<br />
= 0<br />
C 2<br />
= 0<br />
[4.167]<br />
Le prime due equazioni del sistema utilizzano le con<strong>di</strong>zioni iniziali, la terza e la quarta utilizzano il sistema<br />
[4.166]. Al posto <strong>di</strong> queste ultime due si sarebbero anche potute usare le altre equazioni del sistema [4.166],<br />
che sono perfettamente equivalenti essendo tali equazioni linearmente <strong>di</strong>pendenti:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
( + 1 C)<br />
( + 1 C)<br />
⋅<br />
⋅ I<br />
I<br />
L1<br />
L2<br />
+ α ⋅V<br />
1<br />
+ α<br />
2<br />
⋅V<br />
C1<br />
C 2<br />
= 0<br />
= 0<br />
[4.168]<br />
Tornando alla [4.163], si noti che con questo metodo si sarebbe potuto scrivere il sistema considerando non<br />
solo le equazioni e le variabili <strong>di</strong>fferenziali, ma anche quelle algebriche. Riprendendo la [4.159] e<br />
procedendo con lo stesso metodo si può infatti scrivere:<br />
⎡αk<br />
L<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢ −1<br />
⎢<br />
⎣ −1<br />
R<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1 C ⎤ ⎡I<br />
⎢<br />
− α<br />
⎥<br />
kC<br />
⎥ ⋅ ⎢I<br />
0 ⎥ ⎢I<br />
⎥ ⎢<br />
0 ⎦ ⎢⎣<br />
V<br />
Lk<br />
Rk<br />
Ck<br />
Ck<br />
⎤ ⎡0⎤<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
= ⎥<br />
⎥ ⎢0⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥⎦<br />
⎣0⎦<br />
Il determinante <strong>di</strong> questa matrice è ancora la solita equazione caratteristica [4.162].<br />
[4.169]<br />
Tale determinante prende il nome <strong>di</strong> determinante <strong>di</strong> rete. Il metodo del determinante <strong>di</strong> rete è un po' più<br />
"standard" <strong>di</strong> quanto visto in precedenza. In questo modo si evita <strong>di</strong> eliminare le funzioni algebriche dalle<br />
equazioni <strong>di</strong>fferenziali; tuttavia la matrice risulta <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne maggiore e il calcolo del determinante <strong>di</strong> rete, in cui<br />
appare l'incognita α , può risultare oneroso; così pure il sistema algebrico per determinare le con<strong>di</strong>zioni<br />
iniziali [4.167] risulterebbe decisamente più pesante.<br />
Inoltre il metodo del determinante <strong>di</strong> rete, sia considerando tutte le equazioni, siano esse algebriche o<br />
<strong>di</strong>fferenziali [4.169], sia procedendo prima a ridurre e considerando il determinante ridotto del solo sistema<br />
<strong>di</strong>fferenziale [4.165] / [4.166], prevede <strong>di</strong> utilizzare tutti i coefficienti nella forma complessa. Il che può non<br />
rendere le cose più agevoli in un calcolo "a mano".<br />
* * *<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011