Diapositiva 1 - Dipartimento di Matematica e Informatica
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Aspetti e temi della Geometria<br />
I punti essenziali sui quali si basa il metodo<br />
euclideo;<br />
Una riflessione critica: il gioco degli assiomi:<br />
esempi e primi approcci al software Cabri;<br />
Possibile legame tra la Geometria euclidea,<br />
l’algebra e la Geometria analitica: definizioni ed<br />
esercizi guidati in aula.<br />
Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Palermo<br />
Scienze della Formazione Primaria<br />
Fondamenti <strong>di</strong> <strong>Matematica</strong> II, 2007
Gli elementi essenziali sui quali si basa il metodo euclideo si possono<br />
riassumere in 5 punti:<br />
alcuni concetti vengono assunti come primitivi, cioè, senza una<br />
<strong>di</strong>mostrazione;<br />
alcune proposizioni, dette assiomi (o postulati) vengono assunte come<br />
vere, cioè, senza alcuna <strong>di</strong>mostrazione;<br />
ogni nuovo oggetto della teoria viene definito, usando soltanto i concetti<br />
primitivi o altre espressioni <strong>di</strong> cui si conosce il significato;<br />
usando gli assiomi e i concetti primitivi, me<strong>di</strong>ante il ragionamento <strong>di</strong> tipo<br />
deduttivo, si deducono altre proposizioni relative agli oggetti stu<strong>di</strong>ati, dette<br />
teoremi.<br />
l’insieme dei ragionamenti che permette <strong>di</strong> dedurre un teorema si chiama<br />
<strong>di</strong>mostrazione.<br />
Ogni definizione deve contenere dei termini che siano stati definiti prima;<br />
ma anche le definizioni <strong>di</strong> questi termini devono contenere termini già<br />
definiti prima, per cui questa marcia all’in<strong>di</strong>etro non può continuare<br />
indefinitamente, perché necessariamente ci si dovrà fermare assumendo<br />
alcuni enti senza definizione.
Relazioni tra Punti-Rette e Piani<br />
Alcune delle definizioni euclidee sono le seguenti:<br />
1. Punto è ciò che non ha parti;<br />
2. Linea è lunghezza senza larghezza;<br />
3. Estremi <strong>di</strong> una linea sono punti;<br />
4. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su essa;<br />
5. Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza;<br />
I postulati sono proposizioni primitive che si riferiscono agli enti geometrici definiti<br />
prima. Oggi non si <strong>di</strong>stinguono più i postulati dagli assiomi.<br />
Euclide enuncia cinque Postulati:<br />
I. Si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.<br />
II. Una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta.<br />
III. Si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi <strong>di</strong>stanza (raggio).<br />
IV. Tutti gli angoli retti siano uguali fra loro.<br />
V. Se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa<br />
parte minori <strong>di</strong> due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad<br />
incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori <strong>di</strong> due rette.
Assioma <strong>di</strong> appartenenza alla retta:<br />
- ad ogni retta appartengono almeno due punti <strong>di</strong>stinti<br />
-dati due punti <strong>di</strong>stinti esiste una ed una sola retta alla quale appartengono entrambi.<br />
Assioma <strong>di</strong> appartenenza al piano:<br />
Ogni piano contiene almeno tre punti non allineati.<br />
Assiomi d’or<strong>di</strong>ne della retta<br />
Nell’insieme dei punti <strong>di</strong> una retta è possibile introdurre due relazioni d’or<strong>di</strong>ne<br />
totale, con le seguenti proprietà:<br />
- dati due punti <strong>di</strong>stinti A e B, tali che A precede B, esiste sempre un punto C<br />
compreso tra A e B<br />
- Dato un punto P, esistono sempre due punti A e B, tali che A precede P e P<br />
precede B.<br />
Il modello ideale del piano, dove si assumo gli assiomi che abbiamo elencato e<br />
quelli che vedremo meglio in seguito (es. quinto postulato), viene detto “piano<br />
euclideo”.
Una riflessione critica sugli assiomi<br />
Pensate ad un qualsiasi gioco soggetto a delle regole, come il gioco della dama, il<br />
gioco degli scacchi, il gioco dell’oca …<br />
Gli assiomi corrispondono alle regole del gioco, le parole che compaiono in esse<br />
corrispondono ai termini primitivi.<br />
Nel gioco della dama quin<strong>di</strong> le parole: pe<strong>di</strong>na, casella, mangiare, dama sono<br />
termini primitivi, mentre un assioma è, per esempio “una pe<strong>di</strong>na ne mangia una<br />
avversaria in <strong>di</strong>agonale in avanti”;<br />
una mossa corrisponderà all’applicazione <strong>di</strong> una regola.<br />
Con altri esempi simili, si può comprendere meglio che se le “regole” (gli assiomi)<br />
<strong>di</strong> un “gioco” (una teoria matematica come in questo caso la Geometria) vengono<br />
cambiate, oppure non si considerano tutte, allora si ottengono altri tipi <strong>di</strong> gioco (altre<br />
Geometrie), in cui non sono più permesse alcune regole.<br />
Certi modelli geometrici non sono vali<strong>di</strong> per tutti gli assiomi, solo aggiungendo altri<br />
assiomi spesso si possono trarre più “conseguenze”, cioè più teoremi.
Es.1<br />
Consideriamo l’insieme {A,B,C}. Chiamiamo:<br />
-”piano” l’insieme stesso;<br />
-”punto” ogni elemento dell’insieme;<br />
-”retta” ogni sottoinsieme <strong>di</strong> {A,B,C} avente due elementi.<br />
Quali degli assiomi introdotti sono sod<strong>di</strong>sfatti in questo ambiente?<br />
Sono sod<strong>di</strong>sfatti tutti gli assiomi <strong>di</strong> appartenenza:<br />
-a ogni retta appartengono due punti <strong>di</strong>stinti;<br />
- dati due punti <strong>di</strong>stinti, esiste una ed una sola retta alla<br />
quale appartengono entrambi;<br />
- il piano contiene tre punti non allineati.<br />
Sorgono invece dei problemi per gli assiomi d’or<strong>di</strong>ne. E’ infatti possibile definire<br />
una relazione d’or<strong>di</strong>ne fra i “punti” ma non in modo che, dati due punti sia sempre<br />
possibile trovarne uno tra essi.<br />
Questo ci permette <strong>di</strong> poter escludere che l’ambiente descritto sia un modello della<br />
geometria euclidea che stiamo stu<strong>di</strong>ando.
Es.2<br />
Consideriamo l’insieme {A,B,C, D}. Chiamiamo:<br />
-”piano” l’insieme stesso;<br />
-”punto” ogni elemento dell’insieme;<br />
-”retta” ciascuno dei seguenti sottoinsiemi {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B, C}, {B, D}.<br />
Quali degli assiomi introdotti sono sod<strong>di</strong>sfatti in questo ambiente?<br />
Es.3<br />
Il piano è l’insieme {A,B,C, D}; i punti, gli elementi<br />
dell’insieme e le rette sono i sottoinsiemi {A,B}, {A,D},<br />
{B,C,D}. Sono vali<strong>di</strong> gli assiomi <strong>di</strong> appartenenza?<br />
Es.4<br />
Dati tre punti, quante rette <strong>di</strong>stinte, contenenti ciascuna almeno<br />
due punti dati, si possono condurre?<br />
A<br />
C<br />
B
Es.5<br />
Linee ferroviarie:quante nuove linee ferroviarie devono costruirsi al minimo perché<br />
tutte le città (in<strong>di</strong>cate dai punti A, B, C, D e E) siano raggiungibili dalle restanti<br />
città?<br />
Es.6<br />
Tre rette si incontrano a due a due. In quanti insiemi <strong>di</strong><br />
Punti, privi <strong>di</strong> punti in comune, <strong>di</strong>vidono il piano?<br />
1 2<br />
5<br />
A<br />
C<br />
6<br />
B<br />
4<br />
C<br />
B<br />
A<br />
D<br />
E
Es.7<br />
Un modello geometrico particolare: il modello rappresentato<br />
dalla figura accanto.<br />
In questo caso, i pallini neri rappresentano i punti, le rette sono tutti gli insiemi <strong>di</strong> due punti e il piano risulta<br />
costituito da tre punti e tre rette. Si può verificare che valgono i postulati <strong>di</strong> appartenenza ma non sono presenti le<br />
altre proprietà che siamo abituati ad attribuire agli enti geometrici denominati punto, retta e piano. Infatti, per un<br />
punto non passano, in questo modello, infinite rette, né vale il postulato delle parallele, perché per un punto non<br />
esiste una retta parallela ad una retta che non contiene il punto.<br />
Tuttavia questi tre postulati sono sufficienti per determinare che due rette <strong>di</strong>stinte possono avere in comune un<br />
solo punto; che comunque presi due punti <strong>di</strong>stinti <strong>di</strong> un piano c’è una sola retta alla quale essi appartengono; e<br />
che tre punti <strong>di</strong>stinti determinano un piano.<br />
Come abbiamo detto prima, gli assiomi della geometria servono per modellizzare il mondo reale; tutto ciò<br />
che si apprende in campo matematico può costituire un modello per risolvere problemi legati non solo alla<br />
realtà della vita quoti<strong>di</strong>ana ma anche prettamente matematici.<br />
Così, quando si risolve un problema geometrico relativo ai perimetri e alle aree <strong>di</strong> figure poligonali, esso<br />
può benissimo essere considerato come il modello geometrico <strong>di</strong> un problema reale, così come, l’uso<br />
dell’algebra per la risoluzione <strong>di</strong> un problema rappresenta il modello algebrico <strong>di</strong> quel problema.<br />
Lo scopo principale degli stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> matematica deve essere quello <strong>di</strong> sapere usare, secondo le <strong>di</strong>verse<br />
circostanze, i vari campi del sapere matematico (aritmetica, algebra, geometria, analisi, …) per risolvere<br />
un problema<br />
La conoscenza dei vari campi permetterà <strong>di</strong> utilizzare il modello più adatto per risolvere un problema,<br />
anche se è innegabile una certa <strong>di</strong>fficoltà iniziale della scelta del modello da utilizzare.
Es.8 La geometria della carta<br />
Alla base dell’origami vi sono alcune semplici regole (gli assiomi)<br />
I primi sei <strong>di</strong> questi assiomi dell’origami sono stati enunciati da Huzita nel 1992; il settimo è stato aggiunto da Hatori<br />
nel 2002.<br />
P P2 1 . .<br />
. P1 r<br />
. P 2<br />
. P 1<br />
r 1<br />
P 1<br />
P 2<br />
.<br />
.<br />
. P<br />
2<br />
r 2<br />
Applicando queste regole, che possono essere combinate in una infinita varietà <strong>di</strong><br />
mo<strong>di</strong>, si possono realizzare molte costruzioni geometriche che si eseguono con<br />
riga e compasso creando anche modelli estremamente complicati.<br />
P.<br />
r 1<br />
. P1 r 2<br />
r<br />
r 2<br />
r 1<br />
. P 2
Bisettrice <strong>di</strong> un angolo<br />
O<br />
Infatti, il quadrilatero OAMB, che risulta avere tutti i lati<br />
uguali, è un rombo; per cui la sua <strong>di</strong>agonale OM biseca<br />
l’angolo <strong>di</strong> vertice O.<br />
Si può giungere alla stessa conclusione <strong>di</strong>mostrando la<br />
congruenza dei due triangoli OAM e OBM.<br />
A<br />
B<br />
Con centro in O, si traccia un<br />
arco <strong>di</strong> circonferenza che taglia<br />
in A e B i lati dell’angolo AOB.<br />
Con la stessa apertura si centra<br />
in A e B descrivendo due archi<br />
che si tagliano in M. La<br />
semiretta OM è la bisettrice<br />
cercata.
Es. 9 Il gioco della Dama:<br />
Le regole basilari del gioco sono le seguenti :<br />
1) le pe<strong>di</strong>ne si muovono ad una ad una sulle caselle nere in senso trasversale<br />
passando dall'una all'altra, e <strong>di</strong> un solo tratto per volta, sempre in avanti;<br />
2) quando un pezzo si trova a contatto con un altro avverso che <strong>di</strong>etro <strong>di</strong> se abbia<br />
una casella vuota, lo prende scavalcandolo, e passa nella casella vuota; dopo la presa,<br />
se trova davanti a se ancora un altro pezzo nelle stesse con<strong>di</strong>zioni, lo prende<br />
ugualmente col medesimo tratto, e così <strong>di</strong> seguito;<br />
3) quando la pe<strong>di</strong>na raggiunge le caselle dell' ultima linea <strong>di</strong>venta DAMA, e per<br />
<strong>di</strong>stinguerla le si sovrappone un' altra pe<strong>di</strong>na; il tratto con il quale la pe<strong>di</strong>na <strong>di</strong>venta<br />
dama si intende compiuto, e se trova un pezzo in presa essa potrà prenderlo al tratto<br />
successivo;<br />
4) la dama muove e prende come la pe<strong>di</strong>na, ma può anche retrocedere;<br />
la dama prende dame e pe<strong>di</strong>ne; la pe<strong>di</strong>na prende solo le pe<strong>di</strong>ne.
DEFINIZIONE DEGLI ELEMENTI COSTITUTIVI:<br />
A= {12 pe<strong>di</strong>ne bianche nelle rispettive posizioni <strong>di</strong> partenza: Ai,j}<br />
A* = {dame bianche: A*i,j}<br />
B= {12 pe<strong>di</strong>ne nere nelle rispettive posizioni <strong>di</strong> partenza: Bi,j}<br />
B* = {dame nere: B*i,j}<br />
U= {1,2,3,4,5,6,7,8 } x {1,2,3,4,5,6,7,8} Universo<br />
C= {C1,1, C1,2, …………….., C8,8}<br />
Ci,j = 0 casella vuota<br />
Ci,j = 1 casella occupata<br />
MOVIMENTO PEDINE:<br />
Ai-1,j+1 per i ≠ 1, j ≠ 8, Ci-1,j+1 = 0<br />
m(Ai,j ) =<br />
Ai+1,j+1 per i ≠ 8, j ≠ 8, Ci+1,j+1 = 0<br />
Bi-1,j-1 per i ≠ 1, j ≠ 1, Ci-1,j-1 = 0<br />
m(Bi,j ) =<br />
Bi+1,j-1 per i ≠ 8, j ≠ 1, Ci+1,j-1= 0
MOVIMENTO DAMA:<br />
m(A*i,j ) = A*i+1,j+1 per i ≠ 8, j ≠ 8, Ci+1,j+1 = 0<br />
A*i+1,j-1 per i ≠ 8, j ≠ 1, Ci+1,j-1 = 0<br />
A*i-1,j+1 per i ≠ 1, j ≠ 8, Ci+1,j+1 = 0<br />
A*i-1,j-1 per i ≠ 1, j ≠ 1, Ci-1,j-1 = 0<br />
m(B*i,j ) = B*i+1,j+1 per i ≠ 8, j ≠ 8, Ci+1,j+1 = 0<br />
B*i+1,j-1 per i ≠ 8, j ≠ 1, Ci+1,j-1 = 0<br />
B*i-1,j+1 per i ≠ 1, j ≠ 8, Ci+1,j+1 = 0<br />
B*i-1,j-1 per i ≠ 1, j ≠ 1, Ci-1,j-1 = 0<br />
REGOLE DELLA PRESA:<br />
P(Ai,j , Bi+1,j+1) = Ai+2,j+2 e Ci+1,j+1 = 0 per i ≠ 7, j ≠ 7, Ci+2,j+2 = 0<br />
P(Ai,j , Bi-1,j+1) = Ai-2,j+2 e Ci-1,j+1 = 0 per i ≠ 2, j ≠ 7, Ci-2,j+2 = 0<br />
P(Bi,j , Ai+1,j-1) = Bi+2,j-2 e Ci+1,j-1= 0 per i ≠ 7, j ≠ 2, Ci+2,j-2 = 0<br />
P(Bi,j , Ai-1,j-1) = Bi-2,j-2 e Ci-1,j-1 = 0 per i ≠ 2, j ≠ 2, Ci-2,j-2 = 0<br />
P(A*i,j , Bi+1,j+1) = A*i+2,j+2 e Ci+1,j+1 = 0 per i ≠ 7, j ≠ 7, Ci+2,j+2 = 0<br />
P(A*i,j , Bi-1,j+1) = A*i-2,j+2 e Ci-1,j+1 = 0 per i ≠ 2, j ≠ 7, Ci-2,j+2 = 0<br />
P(A*i,j , B*i+1,j+1) = A*i+2,j+2 e Ci+1,j+1 = 0 per i ≠ 7, j ≠ 7, Ci+2,j+2 = 0<br />
P(A*i,j , B*i-1,j+1) = A*i-2,j+2 e Ci-1,j+1 = 0 per i ≠ 2, j ≠ 7, Ci-2,j+2 = 0<br />
P(B*i,j , Ai+1,j-1) = B*i+2,j-2 e Ci+1,j-1= 0 per i ≠ 7, j ≠ 2, Ci+2,j-2 = 0<br />
P(B*i,j , Ai-1,j-1) = B*i-2,j-2 e Ci-1,j-1 = 0 per i ≠ 2, j ≠ 2, Ci-2,j-2 = 0<br />
P(B*i,j , A*i+1,j-1) = B*i+2,j-2 e Ci+1,j-1= 0 per i ≠ 7, j ≠ 2, Ci+2,j-2 = 0<br />
P(B*i,j , A*i-1,j-1) = B*i-2,j-2 e Ci-1,j-1 = 0 per i ≠ 2, j ≠ 2, Ci-2,j-2 = 0
REGOLE DI INTERAZIONE (per A e B, in questo caso, si intende i due schieramenti opposti,<br />
<strong>di</strong> conseguenza sia pe<strong>di</strong>ne che dame):<br />
Da m(A) segue m(B)<br />
P(B)<br />
D(A)<br />
Da P(A) segue m(B)<br />
P(A)<br />
P((B)<br />
D(A)<br />
Da D(A) segue m(B)<br />
P(B)<br />
Le regole <strong>di</strong> interazione sono perfettamente identiche nel caso <strong>di</strong> B.<br />
Una possibile semplificazione del sistema assiomatico, potrebbe, ad esempio, portare ad<br />
un nuovo modello interpretativo come potrebbe essere un nuovo gioco:<br />
La dama lineare. Il gioco della dama lineare si gioca fra due giocatori (Bianco e Nero) su<br />
una "scacchiera” <strong>di</strong> 12 caselle <strong>di</strong>sposte in linea. Ogni giocatore ha inizialmente 4<br />
pe<strong>di</strong>ne del proprio colore, (B per il Bianco e N per il Nero).<br />
Il carattere "S" rappresenta (nella scrittura formale) le caselle vuote. All'inizio della partita,<br />
le quattro pe<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> ogni giocatore occupano un estremo della scacchiera, e ci sono<br />
quattro caselle vuote fra i due giocatori. La configurazione iniziale è quin<strong>di</strong>:<br />
BBBBSSSSNNNN<br />
Un altro possibile esempio potrebbe essere la Quadrama.
Nel momento in cui è necessario modellizzare le esperienze motorie, <strong>di</strong><br />
localizzazione, <strong>di</strong> posizionamento, non ci si può riferire più alla geometria<br />
euclidea, in quanto i punti, le rette, i segmenti, … vengono stu<strong>di</strong>ati in essa senza<br />
fare riferimento alla loro posizione sul piano relativa ad altri enti <strong>di</strong> riferimento.<br />
È quin<strong>di</strong> necessario strutturare il piano euclideo in modo da potere in<strong>di</strong>viduare la<br />
posizione degli oggetti geometrici e identificarli univocamente.<br />
Con l’introduzione delle coor<strong>di</strong>nate si crea un legame tra la geometria euclidea e<br />
l’algebra, e questa nuova geometria prende il nome <strong>di</strong> geometria analitica, che<br />
rappresenta un “nuovo mondo”, perché raccorda le conoscenze geometriche<br />
anteriori con un modo <strong>di</strong>verso <strong>di</strong> rappresentarle.<br />
-Metodo delle coor<strong>di</strong>nate per la traccia dei punti;<br />
-definizione e rappresentazione della retta;<br />
-posizione reciproca <strong>di</strong> due rette (perpen<strong>di</strong>colarità e parallelismo);<br />
-possibilità <strong>di</strong> definire in un’unica equazione TUTTE le possibili rette con una<br />
determinata caratteristica;<br />
-posizione <strong>di</strong> un punto da una retta;<br />
ESERCIZI GUIDATI IN AULA<br />
…
Bibliografi essenziale<br />
Di Paola B., Manno G., Scimone A., Sortino C., La Geometria. Una guida ai suoi<br />
contenuti e alla sua <strong>di</strong>dattica, Palumbo E<strong>di</strong>ore, 2007