Leggi di Kirchhoff - ingbeninato

Capitolo 1
Leggi di Kirchhoff
Esercizio 1.1
Si consideri il circuito di Fig. 1.1, ove sono indicati i valori che alcune tensioni
e correnti assumono ad un istante t0. Sfruttando le leggi di Kirchhoff delle
tensioni e delle correnti, si determinino i valori delle altre tensioni e correnti
al medesimo istante t0. Siano dati v4 = 7 V , v5 = 9 V , v6 = 8 V , i3 = 6 A,
i5 = 8 A ed i6 = 7 A.
Soluzione
✻ v2
✛ v1
❄i4
v4
❄
i1 ✛
✛v5 ✲
v3
✲i5 ✛
i3
C
B
D
✲i2 ✲i6
A
Figura 1.1: Circuito dell’esercizio 1.1
Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni rispettivamente alla maglia
di sinistra, alla maglia di destra ed alla maglia esterna si ottiene
3
v6
❄

4 CAPITOLO 1. LEGGI DI KIRCHHOFF
v2 = v5 − v4 = 9 V − 7 V = 2 V
v3 = v4 − v6 = 7 V − 8 V = − 1 V
v1 = v2 + v6 = 2 V + 8 V = 10 V
Applicando la legge Kirchhoff delle correnti rispettivamente ai nodi B, C e
D si ottiene
i4 = i5 + i3 = 8 A + 6 A = 14 A
Esercizio 1.2
i1 = i6 − i3 = 7 A − 6 A = 1 A
i2 = i1 − i5 = 1 A − 8 A = − 7 A
Con riferimento al circuito di Fig. 1.2 e facendo uso della legge di Kirchhoff
delle correnti, si calcolino le correnti incognite. Siano dati ia = 8 A, ib =
−2 A, ic = 5 A, id = −6 A, ie = 8 A, ed if = 10 A.
Soluzione
ie ✻id
✲
i1 i2
❄ia
A ✛ B ✛ C ✛
ib
ic ❄
✲ if
Figura 1.2: Circuito dell’esercizio 1.2
Applicando la legge Kirchhoff delle correnti rispettivamente ai nodi C e B
si ottiene
i2 = ia + ib − ic = 8 A − 2 A − 5 A = 1 A
i1 = i2 − id + ie + if = 1 A − (−6) A + 8 A + 10 A = 25 A

Esercizio 1.3
Con riferimento al circuito di Fig. 1.3 e facendo uso della legge di Kirchhoff
delle correnti, si calcolino le correnti incognite. Siano dati ia = 4 A, ib =
−3 A, ic = 2 A, id = 5 A ed ie = −6 A.
Soluzione
✲i1 ✻i2 ✻ia
✲ ✛
id ic
ib
✻ ❄
ie A
B
Figura 1.3: Circuito dell’esercizio 1.3
Applicando la legge Kirchhoff delle correnti rispettivamente ai nodi A e B
si ottiene
i1 = ia − ib + ic = 4 A − (−3) A + 2 A = 9 A
Esercizio 1.4
i2 = id + ie − i1 = 5 A + (−6) A − 9 A = −10 A
Con riferimento al circuito di Fig. 1.4 e facendo uso della legge di Kirchhoff
delle correnti, si calcolino le correnti incognite. Siano dati ia = −3 A, ib =
5 A, ic = 1 A ed id = −5 A.
Soluzione
Applicando la legge Kirchhoff delle correnti rispettivamente ai nodi A, B,
D e C si ottiene
i1 = ia + ic = −3 A + 1 A = −2 A
i2 = i1 + ib = −2 A + 5 A = 3 A
i3 = i2 + id = 3 A − 5 A = −2 A
i4 = i3 − ic = −2 A − 1 A = −3 A
5

6 CAPITOLO 1. LEGGI DI KIRCHHOFF
Esercizio 1.5
A
✻ia
i1 ✛
✻ib
❄ic
B
✲i3 i2
C
✻
D
✻i4 id ❄
Figura 1.4: Circuito dell’esercizio 1.4
Dato il circuito di Figura calcolare le tensioni v1, v2 e v3. Siano dati va = 8 V ,
vb = −11 V , vc = 10 V , vd = 14 V e ve = 15 V .
Soluzione
✛vb ✛v3 vd✲
✻ va
vc✲
B
A v2
❄
C
✛ ve
Figura 1.5: Circuito dell’esercizio 1.5
Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni rispettivamente alle maglie
B, A e C si ottiene:
v3 = vd − vc = 14 V − 10 V = 4 V
v2 = v3 + vb − va = 4 V − 11 V − 8 V = −15 V
✻ v1
v1 = vd − ve − v2 = 14 V − 15 V + 15 V = 14 V

Esercizio 1.6
Dato il circuito di Fig. 1.6, calcolare le correnti i1, i2 ed i3. Siano dati
ia = 12 mA, ib = 8 mA ed ic = 9 mA.
Soluzione
A
ib ✻
✲ ia
✻i2
C
❄i1
B
✛
ic
❄i3
D
Figura 1.6: Circuito dell’esercizio 1.6
Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti rispettivamente ai nodi A, C
e D si ottiene:
i1 = ib − ia = 8 mA − 12 mA = −4 mA
i2 = ic − ib = 9 mA − 8 mA = 1 mA
i3 = ic − ia = 9 mA − 12 mA = −3 mA
Volendo si può scrivere un’ulteriore equazione come verifica dei calcoli appena
svolti: la somma delle correnti entranti nel nodo B deve essere uguale
a zero
Esercizio 1.7
i1 + i2 − i3 = −4 mA + 1 mA − (−3 mA) = 0
Dato il circuito di Fig. 1.7, calcolare le correnti i1, i2 ed i3. Siano dati
ia = 1 A, ib = 2 A, ic = 10 A ed id = 3 A.
7

8 CAPITOLO 1. LEGGI DI KIRCHHOFF
Soluzione
ia ✛
✲ib A B
❄ic ✻i1 ❄i2 ✻id
C i3 ✛ D
Figura 1.7: Circuito dell’esercizio 1.7
Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti rispettivamente ai nodi A, B
e C si ottiene:
i1 = ib + ic − ia = 2 A + 10 A − 1 A = 11 A
i2 = ib + id − ia = 2 A + 3 A − 1 A = 4 A
i3 = i1 − ic = 11 A − 10 A = 1 A
Volendo si può scrivere un’ulteriore equazione come verifica dei calcoli appena
svolti: la somma delle correnti entranti nel nodo D deve essere uguale
a zero
Esercizio 1.8
i2 − i3 − id = 4 A − 1 A − 3 A = 0
Dato il circuito di Fig. 1.8, calcolare le tensioni v1, v2 e v3. Siano dati
va = 20 V , vb = 25 V , vc = 10 V e vd = 15 V .

Soluzione
✻ va
✛ vd
B
vb✲ ✛vc ✛v2
v1
✻
A C
Figura 1.8: Circuito dell’esercizio 1.8
Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni rispettivamente alle maglie
A, B e C si ottiene:
Esercizio 1.9
✻ v3
v1 = va + vb − vc = 20 V + 25 V − 10 V = 35 V
v2 = vd − vc = 15 V − 10 V = 5 V
v3 = v1 − v2 = 35 V − 5 V = 30 V
Dato il circuito di Fig. 1.9, calcolare le tensioni v1, v2 e v3. Siano dati
e1 = 10 V , e2 = 12 V e e3 = 10 V .
✛
♣
+
v1
. . . . . . .
.
.
..
. .
............
.
...
e1
♣
v2
❄
♣
. . . . . . .
.
.
..
. .
............
.
... +
e2
✻ v3
+
. . . . . . .
.
.
..
. .
............
.
...
Figura 1.9: Circuito dell’esercizio 1.9
e3
9

10 CAPITOLO 1. LEGGI DI KIRCHHOFF
Soluzione
Osservando la maglia di destra si vede subito che
v3 = e3 = 10 V
Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni rispettivamente alla maglia
esterna ed alla maglia di sinistra si ottiene
v1 = e1 − e2 − e3 = 24 V − 12 V − 10 V = 2 V
v2 = v1 − e1 = 2 V − 24 V = −22 V
Come verifica dei calcoli appena svolti si può scrivere l’equazione delle
tensioni alla maglia centrale
v3 = −e2 − v2 = −12 V − (−22 V ) = 10 V
che è lo stesso valore ottenuto in precedenza.