APP200- Onde piane e onde sferiche
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PROPAGAZIONE DEL SUONO PER ONDE PIANE E ONDE SFERICHE NEI GAS [♦]<br />
<strong>APP200</strong><br />
Le diverse soluzioni dell’equazione d’onda, fisicamente rappresentano dei “modi” possibili di<br />
propagazione dell’onda sonora. Di seguito sono riportate le due più importanti nel caso particolare<br />
di propagazione in gas.<br />
Ricordiamo che la forma generale dell’equazione d’onda è:<br />
∂<br />
∂t<br />
2<br />
ps 2 2<br />
= c ∇ p<br />
2<br />
s<br />
Onda piana progressiva<br />
Questo è il caso più semplice: si suppone che l’onda si propaghi lungo una ben definita direzione,<br />
diciamo x , come mostrato in figura.<br />
In questo caso si ha:<br />
( x y,<br />
z,<br />
t)<br />
p ( x,<br />
t)<br />
ps s<br />
∂t<br />
, ⇒ e quindi l’equazione d’onda si riduce a:<br />
2<br />
∂ ps 2 s = c 2<br />
∂p<br />
∂x<br />
Una soluzione generica di questa equazione può essere scritta come:<br />
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞<br />
ps ( x,<br />
t)<br />
= f ⎜t<br />
− ⎟ + g⎜<br />
t + ⎟<br />
⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠<br />
dove f e g sono due funzioni arbitrarie che descrivono la distribuzione spaziale della pressione<br />
sonora nel tempo lungo la direzione x :<br />
f : rappresenta un’onda che si propaga con velocità c nella direzione x (onda progressiva)<br />
g : rappresenta un’onda che si propaga con velocità c nella direzione − x (onda regressiva)<br />
Spesso si considera un’onda che si propaga in una direzione sola, ed in particolare lungo + x :<br />
questo significa porre g = 0 .<br />
Un esempio tipico di onda piana è quello di un’onda generata da un pistone che si muove<br />
all’estremità di un lungo condotto a pareti rigide (figura).<br />
[♦] Questi appunti sono tratti in maggior parte dal testo “Manuale di acustica applicata, R. Spagnolo, UTET Ed.” e sono<br />
da considerarsi come supporto agli argomenti trattati nel Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria per la Sostenibilità<br />
dell’Ambiente, della Facoltà di Ingegneria di Modena<br />
S. Teggi - Facoltà di Ingegneria - 21Maggio 2006 1
<strong>APP200</strong><br />
Se si immagina di fare compiere al pistone uno spostamento verso destra per poi arrestarne la corsa<br />
il risultato sarà di un singolo impulso di pressione durata temporale finita che si propaga lungo il<br />
condotto con velocità c . Se invece il pistone è connesso ad un disco ruotante a velocità angolare<br />
costante ω = 2πf<br />
( f è la frequenza) all’interno del condotto si genera un’onda piana progressiva la<br />
cui pressione sonora è data dalla:<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎛ x ⎞<br />
−<br />
⎝ c ⎠<br />
( x,<br />
t)<br />
= p cos ω t + ϕ = p cos(<br />
ωt<br />
− kx + ϕ )<br />
ps s ⎜ ⎟ 0 s<br />
dove<br />
p : ampiezza dell’onda<br />
s<br />
ϕ : costante di fase<br />
0<br />
k ω c<br />
−1<br />
= : numero d’onda [ m ]<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
E’ immediato verificare che il valore efficace dell’onda piana è dato dalla:<br />
p ˆ =<br />
s<br />
p<br />
s<br />
2<br />
Una delle relazioni di base per i moti ondulatori è quella che lega la lunghezza d’onda ( λ ) e la<br />
frequenza:<br />
λ ⋅ f = c<br />
ω<br />
schematizzata anche nella figure sottostanti.<br />
0<br />
S. Teggi - Facoltà di Ingegneria - 21Maggio 2006 2
Onda sferica<br />
Una seconda tipologia di <strong>onde</strong>, di fondamentale<br />
importanza, è quella costituita dalle <strong>onde</strong> <strong>sferiche</strong>,<br />
cioè <strong>onde</strong> nelle quali tutti i punti in fase fra di loro<br />
giacciono su una sfera (figura); al variare della fase<br />
si ottiene una famiglia di sfere concentriche. Queste<br />
<strong>onde</strong> si propagano con simmetria radiale da una<br />
sorgente puntiforme in uno spazio omogeneo<br />
illimitato.<br />
In questo caso, data la simmetria del problema,<br />
anziché utilizzare le coordinate ( x , y,<br />
z)<br />
è meglio<br />
utilizzare la coordinata radiale (distanza dalla<br />
sorgente) r :<br />
( x,<br />
y,<br />
z,<br />
t)<br />
p ( r,<br />
t)<br />
ps ⇒ s<br />
<strong>APP200</strong><br />
Per fare questo però occorre utilizzare l’operatore Laplaciano in coordinate <strong>sferiche</strong>, che, sempre<br />
nel caso di simmetria sferica, diventa:<br />
∇<br />
2<br />
( r ⋅ f )<br />
2<br />
1 ∂<br />
f =<br />
2<br />
r ∂r<br />
2<br />
∂ f 2 ∂f<br />
= + 2<br />
∂r<br />
r ∂r<br />
che applicato all’equazione d’onda precedentemente trovata si ha:<br />
∂<br />
∂t<br />
∂<br />
r ∂r<br />
2<br />
2<br />
ps 2 1 rps<br />
= c 2<br />
2<br />
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<strong>APP200</strong><br />
ricordiamo che r è la generica coordinata radiale e quindi è indipendente dal tempo (non è la<br />
posizione del fronte dell’onda o di un osservatore in movimento) quindi si ha:<br />
∂<br />
∂t<br />
2<br />
2<br />
rps 2 ∂ rps<br />
= c 2<br />
2<br />
∂r<br />
se consideriamo la variabile ( )<br />
s<br />
rp anziché p s otteniamo la stessa forma vista per le <strong>onde</strong> <strong>piane</strong>, e<br />
quindi soluzione generale dell’equazione può essere espressa nel modo già visto, cioè come<br />
sommatoria di un’onda sferica che diverge dalla sorgente e di una che converge sulla sorgente:<br />
rp s<br />
⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞<br />
( r,<br />
t)<br />
= f ⎜t<br />
− ⎟ + g⎜t<br />
+ ⎟<br />
⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠<br />
e quindi<br />
p s<br />
1 ⎛ r ⎞ 1 ⎛ r ⎞<br />
( r,<br />
t)<br />
= f ⎜t<br />
− ⎟ + g⎜t<br />
+ ⎟<br />
r ⎝ c ⎠ r ⎝ c ⎠<br />
se anche in questo caso consideriamo solo il termine divergente si ha:<br />
p s<br />
1 ⎛ r ⎞<br />
( r,<br />
t)<br />
= f ⎜t<br />
− ⎟<br />
r ⎝ c ⎠<br />
la cui soluzione più semplice e utilizzata è l’onda armonica sferica:<br />
p<br />
s<br />
p<br />
r<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎛ r ⎞<br />
⎜ − ⎟<br />
⎝ c ⎠<br />
s<br />
s<br />
( r,<br />
t)<br />
= cos ω t + ϕ = cos(<br />
ωt<br />
− kr + ϕ )<br />
Il cui valore efficace vale:<br />
pˆ<br />
s<br />
ps<br />
=<br />
r 2<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
p<br />
r<br />
rispetto al caso dell’onda armonica piana è rilevante notare che l’ampiezza dell’onda non è una<br />
costante ma diminuisce come 1 r .<br />
0<br />
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