APP200- Onde piane e onde sferiche

PROPAGAZIONE DEL SUONO PER ONDE PIANE E ONDE SFERICHE NEI GAS [♦]
APP200
Le diverse soluzioni dell’equazione d’onda, fisicamente rappresentano dei “modi” possibili di
propagazione dell’onda sonora. Di seguito sono riportate le due più importanti nel caso particolare
di propagazione in gas.
Ricordiamo che la forma generale dell’equazione d’onda è:
∂
∂t
2
ps 2 2
= c ∇ p
2
s
Onda piana progressiva
Questo è il caso più semplice: si suppone che l’onda si propaghi lungo una ben definita direzione,
diciamo x , come mostrato in figura.
In questo caso si ha:
( x y,
z,
t)
p ( x,
t)
ps s
∂t
, ⇒ e quindi l’equazione d’onda si riduce a:
2
∂ ps 2 s = c 2
∂p
∂x
Una soluzione generica di questa equazione può essere scritta come:
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞
ps ( x,
t)
= f ⎜t
− ⎟ + g⎜
t + ⎟
⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠
dove f e g sono due funzioni arbitrarie che descrivono la distribuzione spaziale della pressione
sonora nel tempo lungo la direzione x :
f : rappresenta un’onda che si propaga con velocità c nella direzione x (onda progressiva)
g : rappresenta un’onda che si propaga con velocità c nella direzione − x (onda regressiva)
Spesso si considera un’onda che si propaga in una direzione sola, ed in particolare lungo + x :
questo significa porre g = 0 .
Un esempio tipico di onda piana è quello di un’onda generata da un pistone che si muove
all’estremità di un lungo condotto a pareti rigide (figura).
[♦] Questi appunti sono tratti in maggior parte dal testo “Manuale di acustica applicata, R. Spagnolo, UTET Ed.” e sono
da considerarsi come supporto agli argomenti trattati nel Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria per la Sostenibilità
dell’Ambiente, della Facoltà di Ingegneria di Modena
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APP200
Se si immagina di fare compiere al pistone uno spostamento verso destra per poi arrestarne la corsa
il risultato sarà di un singolo impulso di pressione durata temporale finita che si propaga lungo il
condotto con velocità c . Se invece il pistone è connesso ad un disco ruotante a velocità angolare
costante ω = 2πf
( f è la frequenza) all’interno del condotto si genera un’onda piana progressiva la
cui pressione sonora è data dalla:
⎡
⎢
⎣
⎛ x ⎞
−
⎝ c ⎠
( x,
t)
= p cos ω t + ϕ = p cos(
ωt
− kx + ϕ )
ps s ⎜ ⎟ 0 s
dove
p : ampiezza dell’onda
s
ϕ : costante di fase
0
k ω c
−1
= : numero d’onda [ m ]
⎤
⎥
⎦
E’ immediato verificare che il valore efficace dell’onda piana è dato dalla:
p ˆ =
s
p
s
2
Una delle relazioni di base per i moti ondulatori è quella che lega la lunghezza d’onda ( λ ) e la
frequenza:
λ ⋅ f = c
ω
schematizzata anche nella figure sottostanti.
0
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Onda sferica
Una seconda tipologia di onde, di fondamentale
importanza, è quella costituita dalle onde sferiche,
cioè onde nelle quali tutti i punti in fase fra di loro
giacciono su una sfera (figura); al variare della fase
si ottiene una famiglia di sfere concentriche. Queste
onde si propagano con simmetria radiale da una
sorgente puntiforme in uno spazio omogeneo
illimitato.
In questo caso, data la simmetria del problema,
anziché utilizzare le coordinate ( x , y,
z)
è meglio
utilizzare la coordinata radiale (distanza dalla
sorgente) r :
( x,
y,
z,
t)
p ( r,
t)
ps ⇒ s
APP200
Per fare questo però occorre utilizzare l’operatore Laplaciano in coordinate sferiche, che, sempre
nel caso di simmetria sferica, diventa:
∇
2
( r ⋅ f )
2
1 ∂
f =
2
r ∂r
2
∂ f 2 ∂f
= + 2
∂r
r ∂r
che applicato all’equazione d’onda precedentemente trovata si ha:
∂
∂t
∂
r ∂r
2
2
ps 2 1 rps
= c 2
2
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APP200
ricordiamo che r è la generica coordinata radiale e quindi è indipendente dal tempo (non è la
posizione del fronte dell’onda o di un osservatore in movimento) quindi si ha:
∂
∂t
2
2
rps 2 ∂ rps
= c 2
2
∂r
se consideriamo la variabile ( )
s
rp anziché p s otteniamo la stessa forma vista per le onde piane, e
quindi soluzione generale dell’equazione può essere espressa nel modo già visto, cioè come
sommatoria di un’onda sferica che diverge dalla sorgente e di una che converge sulla sorgente:
rp s
⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞
( r,
t)
= f ⎜t
− ⎟ + g⎜t
+ ⎟
⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠
e quindi
p s
1 ⎛ r ⎞ 1 ⎛ r ⎞
( r,
t)
= f ⎜t
− ⎟ + g⎜t
+ ⎟
r ⎝ c ⎠ r ⎝ c ⎠
se anche in questo caso consideriamo solo il termine divergente si ha:
p s
1 ⎛ r ⎞
( r,
t)
= f ⎜t
− ⎟
r ⎝ c ⎠
la cui soluzione più semplice e utilizzata è l’onda armonica sferica:
p
s
p
r
⎡
⎢
⎣
⎛ r ⎞
⎜ − ⎟
⎝ c ⎠
s
s
( r,
t)
= cos ω t + ϕ = cos(
ωt
− kr + ϕ )
Il cui valore efficace vale:
pˆ
s
ps
=
r 2
0
⎤
⎥
⎦
p
r
rispetto al caso dell’onda armonica piana è rilevante notare che l’ampiezza dell’onda non è una
costante ma diminuisce come 1 r .
0
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