Appendice A Analisi dimensionale - Springer

Appendice A 

Analisi dimensionale 

A.1 Un esempio preliminare 

L’idea che sta alla base dell’analisi dimensionale è molto semplice: le leggi 

della Fisica non dipendono dalle unità di misura scelte per misurare le quantità 

coinvolte. Come conseguenza, le relazioni matematiche che esprimono tali 

leggi devono possedere proprietà generali di omogeneità o simmetria. L’analisi 

dimensionale è un metodo per determinare ed analizzare tali relazioni in 

riferimento ad un dato fenomeno, utilizzando solo una conoscenza qualitativa 

dei principi sottostanti, senza necessariamente servirsi di modelli matematici 

concreti come potrebbe essere un’equazione differenziale. Vogliamo dare 

qui i primi rudimenti di questa tecnica, rimandando ai testi specializzati, e 

specialmente [Barenblatt, 2002], per gli approfondimenti. 

Nel Capitolo 2, Paragrafo 2.3.2, abbiamo visto un esempio di utilizzo dell’analisi 

dimensionale per esaminare la propagazione del calore in una sbarra 

infinita da una sorgente istantanea localizzata in un punto. Come ipotesi di 

partenza abbiamo assunto che la temperatura fosse una funzione dello spazio, 

del tempo, dell’energia e del coefficiente di diffusione. L’obiettivo era arrivare 

ad una relazione funzionale fra quantità adimensionali. L’esatta forma di 

questa funzione è stata poi determinata sfruttando il fatto che la temperatura 

fosse soluzione dell’equazione del calore. In generale, se il modello matematico 

non è disponibile occorre procedere usando dati sperimentali. 

Vediamo subito un esempio classico. 

• Periodo nelle oscillazioni di un pendolo. Il classico esempio di uso dell’analisi 

dimensionale è la determinazione del periodo delle piccole oscillazioni di 

un pendolo verticale di lunghezza l. Dall’analisi elementare, sappiamo che l’angolo 

(in radianti) α = α (t), che il pendolo forma con la verticale, è soluzione 

dell’equazione differenziale 

l¨α (t) =−g sin α (t) 

dove g indica l’accelerazione di gravità. Se α è piccolo, sin α ∼ α e l’equazione 

Salsa S: Equazioni a derivate parziali, 2a edizione. 

c○ Springer-Verlag Italia 2010, Milano

586 Appendice A Analisi dimensionale 

differenziale è approssimata da 

che ha soluzione generale 

¨α (t)+ g α (t) =0 

l 

α (t) =A cos ωt + B sin ωt (A, B ∈ R) 

dove ω 2 = g/l. Si trova quindi il periodo 

P = 2π ω =2π √ 

l 

g . 

(A.1) 

Ora, usando l’analisi dimensionale, è possibile ricavare la dipendenza funzionale 

(A.1), tranne l’esatto valore della costante moltiplicativa 2π, senza ricorrere 

ad alcuna equazione differenziale. 

Il ragionamento è il seguente. Da che cosa dipende il periodo P? Dovrebbe 

essere ragionevole che dipenda solo da l, g, dalla massa m del pendolo e 

dall’angolo massimo di oscillazione α 0 . Pertanto ipotizziamo una relazione 

funzionale del tipo 

P = f (l, g, m, α 0 ) 

(A.2) 

che sia valida in ogni sistema di unità di misura. Le quantità l, g, m hanno 

dimensioni (fisiche) indipendenti, in quanto nessuna di essa ha dimensione 

esprimibile in termini delle altre due. L’angolo α 0 è invece adimensionale. 

Cerchiamo una combinazione delle quantità l, m, g che abbia le stesse 

dimensioni fisiche di P. In altri termini, cerchiamo a, b, c tali che 

[P] =[l] a [g] b [m] c . 

Indichiamo con L, M, T le dimensioni di lunghezza, massa e tempo, rispettivamente. 

Essendo [P] = T , [l] = L, [g] = LT −2 , [m] = M deve 

essere 

T = L a+b T −2b M c 

da cui a + b =0, −2b =1e c =0. Dunque, a =1/2,b = −1/2,c =0e 

[P] =[l] 1/2 [g] −1/2 . Questo semplice calcolo indica che la quantità 

Π = 

√ g 

l P 

è adimensionale. Dividendo la (A.2) per l 1/2 g −1/2 otteniamo 

Π = 

√ g 

l P = √ g 

l f (l, g, m, α 0)=F (l, g, m, α 0 ) . 

Essendo Π adimensionale, anche F (l, g, m, α 0 ) deve esserlo. Ma questo implica 

che F non può dipendere da l, g, m perché altrimenti ogni cambiamento 

di unità di misura di queste variabili provocherebbe una variazione

A.2 Dimensioni e leggi fisiche 587 

di F (l, g, m, α 0 ) mentre lascerebbe Π invariato. Pertanto siamo giunti alla 

conclusione che deve essere 

√ g 

l P = F (α 0) 

(A.3) 

ossia che 

P = 

√ 

l 

g F (α 0) . 

Assumiamo ora che le oscillazioni siano piccole, cioè α 0 sia piccolo. Dalla (A.3) 

e dal significato di α 0 ricaviamo che F (α 0 )=F (−α 0 ) sicché, assumendo che 

F sia regolare, possiamo scrivere 

F (α 0 )=F (0) + 1 2 F ′′ (0) α 2 0 + 1 4! F (4) (0) α 4 0 + o ( α 5 0) 

. 

Di conseguenza, al prim’ordine F (α 0 ) ∼ F (0) e 

√ 

l 

P∼F (0) 

g . 

A questo punto, la costante F (0) può essere determinata sperimentalmente. 

Prima di presentare il metodo dell’analisi dimensionale in generale è meglio 

soffermarsi un momento sul concetto di dimensione di una data quantità fisica. 

A.2 Dimensioni e leggi fisiche 

Abbiamo parlato continuamente di dimensioni fisiche di una data quantità. 

Per quanto diremo in seguito, è bene precisare esattamente il concetto di 

dimensione fisica. 

Fissiamo una classe di sistemi di unità di misura: per esempio la classe in 

cui lunghezza, massa e tempo sono le grandezze fondamentali. All’interno di 

una stessa classe, la scelta delle unità di misura per le grandezze fondamentali 

definisce un sistema. Per esempio i due sistemi c, g, s (centimetro, grammo, 

secondo) ed m, kg, s (metro, kilogrammo massa, secondo) appartengono alla 

stessa classe. 

Consideriamo per esempio la densità di un corpo materiale ρ. Se l’unità 

di lunghezza cambia di un fattore L e l’unità di massa cambia di un fattore 

M, i valori numerici della densità cambiano di un fattore L −3 M. Il fattore è 

il medesimo all’interno della stessa classe di sistemi e definisce una funzione 

(L, M, T ) ↦−→ L −3 M 

che prende il nome di funzione dimensione (o semplicemente dimensione) di 

ρ. In generale, la dimensione di una quantità fisica è la funzione che determina


il fattore con cui cambia il valore numerico di quella quantità, quando si passa 

da un sistema di unità misura ad un altro, all’interno di una stessa classe. 

La dimensione di una quantità fisica q si indica col simbolo [q] . Per 

esempio, abbiamo appena visto che [ρ] =L −3 M. 

All’interno di una stessa classe, si dicono adimensionali le quantità i cui 

valori numerici rimangono invariati nel passaggio da un sistema all’altro. Le 

altre quantità si dicono allora dimensionali. 

Abbiamo già avuto modo di constatare l’importanza della procedura 

di adimensionalizzazione di un modello matematico (Paragrafo 2.1.4 

e Sezione 4.9) ed infatti essa costituisce uno degli aspetti dell’analisi 

dimensionale. 

La funzione dimensione non può avere un’espressione analitica qualsiasi. 

Infatti, supponiamo che all’interno di una data classe di sistemi, L 1 ,L 2 , ..., L N 

rappresentino le dimensioni delle grandezze fondamentali. Come conseguenza 

(non banale) del fatto che nessun sistema all’interno di una classe è privilegiato, 

la funzione dimensione è sempre un prodotto di potenze delle L j , 

j =1, ..., N. 

In altri termini, se q è una qualunque grandezza fisica, avremo 

[q] =L a1 

1 La2 2 ···La N 

con opportuni esponenti numerici a j . Pertanto è impossibile trovare, per 

esempio, dimensioni che contengano esponenziali o logaritmi. 

Fissate le dimensioni delle grandezze fondamentali L 1 ,L 2 , ..., L N , 

consideriamo k quantità p 1 , ..., p k con dimensioni 

[p j ]=L a 1j 

1 L a 2j 

2 ···L a Nj 

N 

j =1, ..., k. 

Diciamo che p 1 , ..., p k hanno dimensioni indipendenti se nessuna delle dimensioni 

[p j ] è esprimibile come prodotto di potenze delle altre dimensioni. In 

termini algebrici, ciò significa che i vettori 

(a 1j ,a 2j ..., a Nj ) j =1, ..., k 

generano un sottospazio di R N di dimensione k. Si noti che, in questo contesto, 

le dimensioni L j delle grandezze fondamentali corrispondono alla base 

canonica in R N . 

A.3 Il teorema Pi di Buckingham 

Possiamo ora descrivere in generale il metodo dell’analisi dimensionale. Supponiamo 

che un dato fenomeno fisico sia caratterizzato da un insieme di quantità 

scalari q 1 , ..., q n e che un’altra quantità q dipenda da quelle attraverso una 

relazione funzionale del tipo 

q = f (q 1 ,q 2 , ..., q n ) . 

(A.4)

A.3 Il teorema Pi di Buckingham 589 

Assumiamo di essere all’interno di una classe di sistemi di unità di misura con 

grandezze fondamentali di dimensioni L 1 , ..., L N e che all’interno di questa 

classe la relazione (A.4) sia la stessa per tutti i sistemi. Si dice allora che la 

relazione è completa. Possiamo scrivere 

[q] =L b1 

1 Lb2 2 ···LbN N 

e 

[q j ]=L a1j 

1 L a2j 

2 ···L a Nj 

N 

j =1, ..., n. 

Il nostro obiettivo è trasformare la (A.4) in una relazione funzionale del tipo 

Π = F (Π 1 , ..., Π n−k ) 

dove le quantità Π, Π 1 , ..., Π n−k siano adimensionali. 

Distinguiamo vari passi. 

Passo 1. Dividiamo l’insieme delle quantità q 1 , ..., q n in due sottoinsiemi 

{p 1 , ..., p k } e {s 1 , ..., s n−k } 

in modo che p 1 , ..., p k , dette quantità primarie, abbiano dimensioni indipendenti 

e che le dimensioni delle s 1 , ..., s n−k , dette quantità secondarie, siano 

esprimibili come prodotti di potenze delle dimensioni delle p j , j =1, ..., k. Si 

abbia cioè: 

[s j ]=[p 1 ] α1j [p 2 ] α2j ···[p k ] α kj 

j =1, ..., n − k. (A.5) 

Questa selezione può essere sempre fatta ed è possibile che sia k = n (le dimensioni 

di tutte le quantità sono indipendenti) oppure k =0(tutte le quantità 

sono adimensionali). Naturalmente, k è il massimo numero di quantità 

indipendenti tra le q 1 , ..., q n . 

Riscriviamo allora la (A.4) nella forma 

q = f (p 1 , ..., p k ; s 1 , ..., s n−k ) . 

(A.6) 

Da questa relazione si deduce che anche la dimensione di q può essere espressa 

in termini delle dimensioni delle quantità primarie: 

[q] =[p 1 ] β 1 

[p 2 ] β2 ···[p k ] β k 

. 

(A.7) 

Se così non fosse, la dimensione di q sarebbe indipendente dalle dimensioni di 

p 1 , ..., p k e quindi, con un opportuno cambio di unità di misura, si potrebbe 

lasciare invariato q e cambiare il valore di f (p 1 , ..., p k ; s 1 , ..., s n−k ) . 

Passo 2. Usando le (A.5), definiamo le quantità ˜s j = p α1j 

1 p α2j 

2 ···p α kj 

k 

ed 

introduciamo le quantità adimensionali 

Π j = s j 

˜s j 

j =1, ..., n − k. (A.8)


Analogamente, usando la (A.7), definiamo ˜q = p β 1 

1 pβ 2 

2 ···pβ k 

k 

ed introduciamo 

la quantità adimensionale 

Π = q˜q . 

(A.9) 

Passo 3. Dividiamo la (A.6) per ˜q e scriviamo, utilizzando le (A.8): 

Π = 1˜q f (p 1, ..., p k ;˜s 1 Π 1 , ..., ˜s n−k Π n−k ) . 

Essendo ˜q ed ˜s j esprimibili in termini di p 1 , ..., p k , questa relazione può essere 

riscritta a sua volta nella forma seguente: 

Π = F (p 1 , ..., p k ; Π 1 , ..., Π n−k ) . 

(A.10) 

A questo punto è chiaro che F non può dipendere dalle quantità primarie 

p 1 , ..., p k . Se così non fosse, cambiando sistema di unità di misura, avremmo 

una variazione nel valore di F (p 1 , ..., p k ; Π 1 , ..., Π n−k ) mentre Π, essendo 

adimensionale, rimarrebbe invariato. Deduciamo dunque la relazione 

Π = F (Π 1 , ..., Π n−k ) 

(A.11) 

nella quale tutte le quantità sono adimensionali. 

Sintetizziamo la conclusione nel seguente risultato. 

Teorema Pi di Buckingham. Sia 

q = f (q 1 ,q 2 , ..., q n ) , 

(A.12) 

una relazione funzionale, completa all’interno di una classe di sistemi di unità 

di misura. Sia k, 0 ≤ k ≤ n, il massimo numero tra le quantità q 1 ,q 2 , ..., q n 

aventi dimensioni indipendenti. 

Allora la (A.12) può essere riscritta come una relazione funzionale del 

tipo (A.11), dove le Π, Π 1 , ..., Π n−k sono combinazioni adimensionali delle 

quantità q, q 1 ,q 2 , ..., q n . 

In termini di quantità primarie e secondarie, la relazione (A.11) si scrive 

esplicitamente nella seguente forma: 

( 

) 

q = p β 1 

1 pβ 2 

2 ···pβ k 

k F s 1 

s n−k 

, ..., 

. 

p α 11 

1 p α 21 

2 ···p α k1 

k 

p α 1(n−k) 

1 p α 2(n−k) 

2 ···p α k(n−k) 

k 

Nel caso del pendolo abbiamo n =4e q 1 = l, q 2 = g, q 3 = m, q 4 = α 0 , mentre 

q = P, il periodo d’oscillazione. Inoltre N = k =3e la scelta per le grandezze 

primarie è obbligata: p 1 = l, p 2 = g, p 3 = m. Qui abbiamo solo 

Π = 

√ g 

l P. 

Nel caso della propagazione del calore da una sorgente istantanea concentrata 

nell’origine abbiamo n =4,q 1 = x, q 2 = t, q 3 = D, q 4 = Q, mentre q = u ∗ .

A.3 Il teorema Pi di Buckingham 591 

Inoltre N = k =3e scegliendo t, D e Q come quantità primarie abbiamo 

trovato 

Π = u√ Dt 

e Π 1 = √ x . 

Q 

Dt 

La relazione Π = F(Π 1 ) non è altro che la (2.39). Discutiamo brevemente 

altri due esempi che illustrano quale tipo di informazioni si possano ricavare 

dall’analisi dimensionale. 

Esempio A1. Energia rilasciata da un’esplosione nucleare. Questo classico 

esempio è dovuto a Sir G.I. Taylor 1 . In un’esplosione atomica, si verifica un 

rapido rilascio di energia E all’interno di una regione molto piccola. Un’onda 

d’urto sferica si sviluppa intorno al punto in cui avviene la detonazione. Vogliamo 

determinare l’energia rilasciata nella prima fase dell’esplosione. Invece 

di riferirsi direttamente ad E, conviene scegliere il raggio dell’onda d’urto 

r come la quantità q nel Teorema Pi. Ora, r dipende da E, dal tempo t, 

dalla densità iniziale dell’aria ρ e dalla pressione atmosferica. Poiché nei primi 

istanti dell’esplosione la pressione dietro l’onda d’urto è circa 1000 volte 

quella atmosferica, l’influenza di quest’ultima può essere trascurata. Possiamo 

dunque scrivere 

r = f (E,t,ρ) 

e quindi n =3. 

Usiamo il sistema m, kg, s, indicando come al solito con L, M e T , 

rispettivamente, le dimensioni di lunghezza, massa e tempo. Abbiamo 

[E] =ML 2 T −2 , [t] =T , [ρ] =ML −3 . 

Si controlla facilmente che le dimensioni di E,t e ρ sono indipendenti, per cui 

coincidono con le quantità primarie; quindi k =3e n − k =0. Ne segue che 

la funzione F nella (A.11) non ha argomenti e perciò è una costante C. 

Ricaviamo ora la dimensione di r in funzione delle dimensioni di E,t e ρ. 

Dobbiamo cercare β 1 , β 2 e β 3 tali che 

ossia tali che: 

[r] =[E] β 1 

[t] β 2 

[ρ] β 3 

L = M β 1 +β 3 L 

2β 1 −3β 3T −2β 1 +β 2. 

Si trova β 1 =1/5, β 2 =2/5 e β 3 = −1/5 e quindi la quantità 

Π = 

r 

E 1/5 t 2/5 ρ −2/5 

è adimensionale. La (A.11) diventa Π = C, ossia 

r = CE 1/5 t 2/5 ρ −2/5 . 

1 Taylor, G.I., The formation of a blast by a very intense explosion. II. The athomic 

axplosion of 1945. Proc. Roy. Soc. A201, 159-174.


Notiamo espressamente come questa relazione derivi da un puro ragionamento 

dimensionale. Mediante esperimenti con piccole esplosioni, Taylor trovò per la 

costante C un valore molto vicino ad uno. Ne segue che, passando ai logaritmi, 

possiamo scrivere, con buona approssimazione, 

5 

2 log r = 1 2 log E ρ +logt 

che, nelle coordinate logaritmiche x =logt e y = 5 2 

log r diventa la retta: 

y = x + 1 2 log E ρ . 

Misurazioni ottenute da una serie di fotografie di J. Mack durante un test 

nucleare rivelarono un notevole accordo con la predizione teorica. Taylor riuscì 

quindi a determinare l’energia dell’esplosione dalla dipendenza sperimentale 

del raggio in funzione del tempo, che forniva l’intersezione della retta con 

l’asse y. 

Incidentalmente, il valore trovato da Taylor per l’energia nel test era E = 

19, 2 Kilotoni (1 Kilotone =4, 186 × 10 12 Joule). Successivamente è stato 

dimostrato con metodi più moderni che E =21Kilotoni. 

Esempio A2. Il Teorema di Pitagora. Dimostriamo il Teorema di Pitagora 

usando l’analisi dimensionale. L’area A di un triangolo rettangolo T dipende 

dalla lunghezza dell’ipotenusa c e, per esempio, dall’angolo acuto minore ϕ 

(in radianti). Possiamo dunque scrivere 

A = f (c, ϕ) . 

Poiché ϕ è adimensionale, abbiamo k =1e l’analisi dimensionale dà 

ossia 

Π = A c 2 F (ϕ) 

A = c 2 F (ϕ) . 

(A.13) 

Ora, l’altezza divide il triangolo T in due triangoli simili con ipotenusa rispettivamente 

data dai cateti a e b del triangolo e aventi lo stesso angolo acuto 

minore ϕ. Se indichiamo le aree di questi due triangoli con A 1 e A 2 , l’analisi 

dimensionale dà 

A 1 = a 2 F (ϕ) e A 2 = b 2 F (ϕ) , 

dove F è la stessa funzione. Essendo A = A 1 + A 2 otteniamo 

c 2 F (ϕ) =a 2 F (ϕ)+b 2 F (ϕ) 

da cui 

c 2 = a 2 + b 2 .

Appendice B 

Misure e integrali 

Presentiamo una breve introduzione su misura e integrazione. 

B.1 Misura di Lebesgue 

B.1.1 Un problema di ... conteggio 

Due persone, che per ragioni di privacy indichiamo con R ed L, devono calcolare 

il valore totale di un insieme M di monete da un centesimo fino a due 

euro. R decide di suddividere le monete in mucchi, ciascuno, diciamo, di 10 

monete qualsiasi, di calcolare il valore di ciascun mucchio e poi di sommare 

i valori così ottenuti. L, invece, decide di suddividere le monete in mucchi 

omogenei, da un centesimo, da due e così via, contenenti cioè monete dello 

stesso tipo, di calcolare il valore di ogni mucchio e poi di sommarne i valori. 

In termini più analitici, introduciamo la funzione “valore” 

V : M → N 

che associa ad ogni elemento di M (cioè ad ogni moneta) il suo valore in 

euro. R suddivide il dominio di V in sottoinsiemi disgiunti, somma i valori 

di V su tali sottoinsiemi e poi somma il tutto. L considera ogni punto p del 

codominio di V (cioè il valore di ogni singola moneta) corrispondente ad un 

centesimo, due centesimi e così via. Considera la controimmagine V −1 (p) (i 

mucchi omogenei di monete ), calcola il valore corrispondente ed infine somma 

il tutto al variare di p. 

Questi due modi di procedere corrispondono alla “filosofia” sottostante 

la definizione dei due integrali di Riemann e di Lebesgue, rispettivamente. 

Essendo la nostra funzione valore definita su un insieme discreto e a valori 

interi, in entrambi i casi non vi sono problemi nel sommare i suoi valori e la 

scelta di uno o dell’altro metodo è determinata da un criterio di efficienza. Di 

solito, il metodo di L è ritenuto più efficiente. 



594 Appendice B Misure e integrali 

Nel caso di funzioni a valori reali (o complessi) si tratta di “somme sul 

continuo” ed inevitabilmente occorre un passaggio al limite su somme approssimanti. 

La “filosofia” di L risulta allora un pò più laboriosa e richiede lo 

sviluppo di nuovi strumenti. Esaminiamo il caso particolare di una funzione 

positiva, definita e limitata su un intervallo contenuto in R. Sia 

f :[a, b] → [inf f,sup f] . 

Per definire l’integrale di Riemann, si suddivide l’intervallo [a, b] in sottointervalli 

I 1 , ..., I N (i mucchi di R), in ogni intervallo I k si sceglie un valore ξ k 

e si calcola f (ξ k ) l (I k ) (il valore approssimato del mucchio k − esimo), dove 

l(I k ) èlalunghezza di I k . Si sommano i valori f (ξ k ) l(I k ) e si definisce 

(R) 

∫ b 

a 

f = lim 

δ→0 

∑ N 

k=1 f (ξ k) l(I k ) 

dove δ è la massima ampiezza dei sottointervalli della suddivisione. Il limite 

deve esistere finito ed essere indipendente dalla scelta dei punti ξ k . Questo, 

forse, è il punto più delicato della definizione di Riemann. 

Ma passiamo all’integrale secondo Lebesgue. Stavolta si suddivide 

l’intervallo [inf f,sup f] in sottointervalli [y k−1 ,y k ] (i valori in euro) con 

inf f = y 0

B.1 Misura di Lebesgue 595 

integrabile secondo Riemann è sempre integrabile anche secondo Lebesgue (e 

il valore dei due integrali coincide), ma non è vero il viceversa; inoltre non 

c’è bisogno di distinzione tra insiemi limitati e non, tra funzioni limitate e 

non. Un aspetto più rilevante è che le operazioni di passaggio al limite e di 

derivazione sotto il segno di integrale, nonchè di integrazione per serie, sono 

significativamente semplificate. Inoltre, gli spazi di funzioni sommabili secondo 

Lebesgue costituiscono gli ambienti funzionali più comunemente usati in un 

grande numero di questioni teoriche ed applicate. 

Infine, la costruzione della misura e dell’integrale di Lebesgue può essere 

notevolmente generalizzata, come accenneremo nel Paragrafo B.1.5. 

Per le dimostrazioni dei teoremi enunciati in questa Appendice, il lettore 

interessato può consultare, per esempio, Rudin, 1964 e 1974, Royden, 1988, 

Pagani e Salsa, vol II, 1991 o Zygmund e Weeden, 1977. 

B.1.2 Misure e funzioni misurabili 

Che cosa vuol dire introdurre una misura in un insieme Ω? Una misura è 

da considerarsi una funzione d’insieme, nel senso che è definita su una particolare 

classe di sottoinsiemi, detti misurabili, e che deve “comportarsi bene” 

rispetto alle operazioni insiemistiche fondamentali: unione, intersezione e 

complementare. 

Cominciamo introducendo le classi di sottoinsiemi più adatte allo scopo: 

le σ−algebre. 

Definizione B.1. Una famiglia F di sottoinsiemi di Ω si chiama σ-algebra 

se: 

i) ∅, Ω∈F, 

ii) A ∈F implica Ω\A ∈F, 

iii) se {A k } k∈N 

⊂F allora anche ∪A k e ∩A k appartengono a F. 

Esempio B.1. Se Ω = R n , la più piccola σ−algebra B che contiene tutti 

i sottoinsiemi aperti di R n si chiama σ−algebra di Borel. I suoi elementi sono 

detti insiemi di Borel o boreliani e tipicamente si ottengono da unioni e/o 

intersezioni di un’infinità al più numerabile di aperti. 

Definizione B.2. Data una σ−algebra F in un insieme Ω, una misura su 

F è una funzione 

μ : F→R 

tale che: 

i) μ (A) ≥ 0 per ogni A ∈F, 

ii) se A 1 ,A 2 , ...sono insiemi a due a due disgiunti in F, allora 

μ (∪ k≥1 A k )= ∑ k≥1 μ (A k) 

(σ − additività). 

Gli elementi di F si chiamano insiemi F−misurabili.


Il seguente teorema stabilisce l’esistenza in R n di una σ−algebra M, che 

contiene B, e di una misura su M, tale che la misura degli insiemi che conosciamo 

fin dall’infanzia corrisponda a quella abituale: alla lunghezza per 

gli intervalli contenuti in R, all’area per le figure piane standard, al volume 

per i ... solidi noti in R 3 . 

Teorema B.1. In R n esiste una σ−algebra M e una misura 

con le seguenti proprietà: 

|·| n 

: M→[0, +∞] 

1. ogni insieme aperto, e quindi ogni insieme chiuso, appartiene a M, 

2. se A ∈Med A ha misura nulla, ogni sottoinsieme di A appartiene a M 

e ha misura nulla, 

3. se 

A = {x ∈R n : a j

B.2 Integrale di Lebesgue 597 

Sono per esempio misurabili: le funzioni continue; somme e prodotti di 

funzioni misurabili; la composizione g ◦ f se f è continua e g misurabile; limiti 

puntuali di successioni di funzioni misurabili. 

Per una funzione f : A → R, misurabile, possiamo definire il suo estremo 

superiore essenziale: 

ess sup f = inf {K : f ≤ K q.o. in A} . 

Si noti che, se f = χ Q , la funzione caratteristica dei razionali, si ha sup f =1, 

ma esssup f =0, essendo |Q| =0. 

Ogni funzione misurabile può essere approssimata da funzioni semplici. 

Una funzione s: A ⊆ R n → R si dice semplice se assume un numero finito di 

valori s 1 , ..., s N , in corrispondenza a insiemi misurabili A 1 , ..., A N , contenuti 

in A. Introducendo le funzioni caratteristiche χ Aj 

, si può scrivere una funzione 

semplice nella forma 

s = ∑ N 

s jχ Aj 

. 

j=1 

Vale il seguente 

Teorema B.2. Sia f : A → R, misurabile. Esiste una successione {s k } di 

funzioni semplici convergente ad f in ogni punto di A. Se inoltre f≥ 0, sipuò 

scegliere {s k } monotona non decrescente. 

B.2 Integrale di Lebesgue 

Possiamo ora definire l’integrale di Lebesgue di una funzione misurabile su un 

insieme A misurabile. Per una funzione semplice s = ∑ N 

j=1 s jχ Aj 

definiamo 

∫ 

A 

s = 

N∑ 

s j |A j | 

j=1 

con la convenzione che se s j =0e |A j | =+∞, s j |A j | =0. 

Se f ≥ 0 è misurabile, definiamo 

∫ ∫ 

f =sup s 

A 

dove l’estremo superiore è calcolato al variare di s tra tutte le funzioni semplici 

s tali che s ≤ f in A. 

In generale, se f è misurabile, scriviamo f = f + − f − , dove f + = 

max {f,0} e f − = max{−f,0} sono le parti positiva e negativa di f, 

rispettivamente. Definiamo poi 

∫ ∫ ∫ 

f = f + − f − 

A A A 

A


a condizione che almeno uno dei due integrali a secondo membro 

sia finito. 

Se entrambi gli integrali sono finiti, la funzione f si dice integrabile o 

sommabile in A. Dalla definizione, segue subito che una funzione misurabile 

f è integrabile se e solo se |f| è integrabile. 

Tutte le funzioni Riemann integrabili su un insieme A sono anche Legesgue 

integrabili. Un esempio interessante di funzione non integrabile in (0, +∞) è 

h (x) =sinx/x. Infatti si può provare che 2 

∫ +∞ 

0 

|sin x| 

dx =+∞. 

x 

Osserviamo che, viceversa, l’integrale di Riemann generalizzato di h esiste 

finito e infatti si può provare che 

∫ N 

sin x 

lim 

N→+∞ 0 x dx = π 2 . 

L’insieme delle funzioni integrabili in A si indica con L 1 (A). Se identifichiamo 

due funzioni quando sono uguali q.o. in A, L 1 (A) diventa uno spazio di Banach 

con la norma 

∫ 

‖f‖ L 1 (A) = |f| . 

Indichiamo con L 1 loc 

(A) l’insieme delle funzioni localmente sommabili, cioè 

sommabili in ogni sottoinsieme compatto di A. 

A 

Alcuni teoremi fondamentali 

I seguenti teoremi sono tra i più importanti e utili nella teoria dell’integrazione. 

Teorema B.3 (della convergenza dominata). Sia {f k } una successione di 

funzioni integrabili in A tali che: 

i) f k → f q.o. in A, 

ii) esiste una funzione g ≥ 0, integrabile in A e tale che |f k |≤g q.o. in A. 

Allora f ∈ L 1 (A) e f k converge ad f in L 1 (A), cioè 

‖f k − f‖ L 1 (A) → 0 

per k → +∞. 

In particolare 

∫ ∫ 

lim f k = f. 

k→∞ A A 

2 Si può scrivere 

∫ +∞ 

0 

|sin x| 

x 

∞ dx = ∑ 

∫ kπ 

k=1 

(k−1)π 

|sin x| 

∞ 

x 

dx ≥ ∑ 

k=1 

∫ 

1 kπ 

∞∑ 2 

|sin x| dx = 

kπ (k−1)π 

kπ =+∞. 

k=1

B.2 Integrale di Lebesgue 599 

Se f k converge ad f in L 1 (A) non è detto che f k converga puntualmente q.o. 

ad f, tuttavia ciò è vero per almeno una sottosuccessione. Infatti, si ha: 

Teorema B.4. Sia {f k } una successione di funzioni integrabili in A tali 

che ‖f k − f‖ L1 (A) → 0 per k → +∞. Allora esiste una sottosuccessione { } 

f kj 

tale che f kj → f q.o. per j → +∞. 

Una situazione che si incontra spesso in questo libro è la seguente. Sia 

f ∈ L 1 (A) e, per ε>0, poniamo A ε = {x ∈ A: |f (x)| >ε}. Allora abbiamo 

∫ ∫ 

f → f per ε → 0. 

A ε A 

Questo segue dal Teorema B.3 poiché, per ogni successione ε k → 0, abbiamo 

|f k | = |f| χ Aεk 

≤|f| e f k → f in ogni punto di A. Pertanto 

∫ ∫ 

f = 

A εk 

fχ Aεk 

A 

∫ 

→ 

A 

f per ε → 0. 

Teorema B.5 (della convergenza monotona). Sia {f k } una successione di 

funzioni misurabili e non negative in A tali che 

Allora 

f 1 ≤ f 2 ≤ ... ≤ f k ≤ f k+1 ≤ ... . 

∫ ∫ 

lim f k = 

k→∞ A 

A 

lim f k. 

k→∞ 

Sia C 0 (A) l’insieme delle funzioni continue in A, a supporto compatto. Un 

fatto molto importante è che ogni funzione sommabile può essere approssimata 

in norma L 1 (A) da una funzione in C 0 (A). 

Teorema B.6 (di densità). Sia f ∈ L 1 (A). Allora, per ogni δ>0, esiste 

una funzione g ∈ C 0 (A) tale che 

‖f − g‖ L1 (A)


Lo scambio dell’ordine di integrazione può essere effettuato sotto la semplice 

ipotesi di integrabilità. Siano 

I 1 = {x ∈R n : −∞ ≤ a i

Infine, se f = f + − f − , definiamo 

∫ ∫ 

fdμ= 

A 

B.3 Integrali rispetto a una misura qualunque 601 

A 

∫ 

f + dμ − f − dμ 

A 

posto che almeno uno degli inegrali a secondo membro sia finito. 

Misure di notevole importanza sono le misure di probabilità. In questo 

contesto le funzioni misurabili sono le variabili aleatorie. 

Una misura di probabilità P su F è una misura nel senso delle Definizione 

B.2, tale che P (Ω) =1e 

P : F→[0, 1] . 

La terna (Ω,F, P ) prende il nome di spazio di probabilità. Gli elementi ω di Ω 

si interpretano come eventi elementari, mente gli insiemi A ∈Frappresentano 

gli eventi e P (A) è la probabilità che A si verifichi. 

Un esempio tipico è la terna 

Ω =[0, 1] , F = M∩[0, 1] , P (A) =|A| 

che modella la scelta a caso (cioè uniforme) di un punto in [0, 1]. 

Una variabile aleatoria uni-dimensionale in (Ω,F, P ) è una funzione 

F-misurable. 

X : Ω → R 

Per esempio, il numero k di passi a destra dopo N passi nella passeggiata 

aleatoria della Sezione 2.4 è una variabile aleatoria. Qui Ω è l’insieme dei 

cammini di N passi. 

Se 

l’integrale 

∫ 

Ω 

|X| dP < ∞, 

∫ 

E (X) =〈X〉 = 

Ω 

XdP 

è detto valore atteso (expectation) diX, mentre 

∫ 

Var (X) = (X − E (X)) 2 dP 

èlavarianza di X. 

Per variabili aleatorie n−dimensionali, 

Ω 

X : Ω → R n , 

lavorando componente per componente, si possono dare definizioni analoghe.

Appendice C 

Identità e formule 

Raggruppiamo alcune formule e identità di uso frequente. 

C.1 Gradiente, divergenza, rotore, Laplaciano 

Siano F un campo vettoriale e f uno scalare, regolari in R 3 . 

Coordinate cartesiane ortogonali 

1. gradiente: 

2. divergenza: 

3. Laplaciano: 

4. rotore: 

∇f = ∂f 

∂x i + ∂f 

∂y j + ∂f 

∂z k, 

∇·F = ∂ 

∂x F x + ∂ ∂y F y + ∂ ∂z F z, 

Δf = ∂2 f 

∂x 2 + ∂2 f 

∂y 2 + ∂2 f 

∂z 2 , 

∣ i j k ∣∣∣∣∣ 

∇×F = 

∂ x ∂ y ∂ z . 

∣ F x F y F z 

Coordinate cilindriche 

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z (r >0, 0 ≤ θ ≤ 2π) 

e r =cosθi +sinθj, e θ = − sin θi +cosθj, e z = k. 



604 Appendice C Identità e formule 

1. gradiente: 

∇f = ∂f 

∂r e r + 1 ∂f 

r ∂θ e θ + ∂f 

∂z e z, 

2. divergenza (F = F r e r + F θ e θ + F z k): 

∇·F = 1 r 

∂ 

∂r (rF r)+ 1 ∂ 

r ∂θ F θ + ∂ ∂z F z, 


Δf = ∂2 f 

∂r 2 + 1 ∂f 

r ∂r + 1 ∂ 2 f 

r 2 ∂θ 2 + ∂2 f 

∂z 2 = 1 ( 

∂ 

r ∂f ) 

+ 1 ∂ 2 f 

r ∂r ∂r r 2 ∂θ 2 + ∂2 f 

∂z 2 , 

4. rotore: 

Coordinate sferiche 

1. gradiente: 

∣ 

∇×F = 1 e r re θ e z ∣∣∣∣∣ r 

∂ r ∂ θ ∂ z . 

∣ F r rF θ F z 

x = r cos θ sin ψ, y = r sin θ sin ψ, z = r cos ψ 

(r >0, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ψ ≤ π) 

e r =cosθ sin ψi +sinθ sin ψj +cosψk 

e θ = − sin θi +cosθj 

e z =cosθ cos ψi +sinθ cos ψj − sin ψk. 

∇f = ∂f 

∂r e r + 1 ∂f 

r sin ψ ∂θ e θ + 1 ∂f 

r ∂ψ e ψ, 

2. divergenza (F = F r e r + F θ e θ + F ψ e ψ ): 

∇·F = ∂ ∂r F r + 2 r F r + 1 [ 1 ∂F θ 

} {{ } 

r sin ψ ∂θ + ∂F ] 

ψ 

∂ψ +cotψF ψ , 

} {{ } 

parte radiale 

parte sferica 


Δf = ∂2 f 

∂r 2 + 2 ∂f 

+ 1 { 

1 ∂ 2 } 

f 

} {{ 

r ∂r 

} 

r 2 (sin ψ) 2 ∂θ 2 + ∂2 f ∂f 

2 

+cotψ , 

∂ψ ∂ψ 

} {{ } 

parte radiale 

parte sferica (operatore di Laplace-Beltrami) 

4. rotore: 

∇×F = 

1 

r 2 sin ψ 

∣ e r re ψ r sin ψe θ ∣∣∣∣∣ ∂ r ∂ ψ ∂ θ . 

∣ F r rF ψ r sin ψF z

C.2 Identità e formule 605 

C.2 Identità e formule 

C.2.1 Formule di Gauss 

Siano, in R n , n ≥ 2: 

• Ω dominio limitato con frontiera regolare ∂Ω e normale esterna ν, 

• u, v campi vettoriali regolari fino alla frontiera di Ω, 

• ϕ, ψ campi scalari regolari fino alla frontiera di Ω, 

• dσ l’elemento di superficie su ∂Ω. 

Valgono le seguenti formule: 

1. ∫ Ω ∇·u dx = ∫ u · ν dσ (formula della divergenza), 

∂Ω 

2. ∫ Ω ∇ϕdx = ∫ ϕν dσ, 

∂Ω 

3. ∫ Ω Δϕ dx = ∫ ∂Ω ∇ϕ · ν dσ = ∫ ∂Ω ∂ ν ϕdσ, 

4. ∫ Ω ψ ∇·F dx = ∫ ∂Ω ψF · ν dσ − ∫ ∇ψ · F dσ (integrazione per parti), 

Ω 

5. ∫ Ω ψΔϕ dx = ∫ ∂Ω ψ∂ νϕdσ− ∫ ∇ϕ ·∇ψdx 

Ω 

(identità di Green I), 

6. ∫ Ω (ψΔϕ − ϕΔψ) dx = ∫ ∂Ω (ψ∂ ν ϕ −ϕ∂ ν ψ) dσ (identità di Green II), 

7. ∫ Ω ∇×u dx = − ∫ ∂Ω u × ν dσ, 

8. ∫ Ω u · (∇×v) dx = ∫ Ω v · (∇×u) dx− ∫ (u × v) · ν dσ. 

∂Ω 

C.2.2 Formule di Stokes 

Consideriamo in R 3 : 

• S una superficie regolare, il cui bordo è una linea regolare C, 

• ν versore normale a S, t versore tangente a C, tali che C sia orientata 

positivamente rispetto a S (avanzando in direzione e verso di ν e ruotando 

nella direzione e verso di t si simula il movimento di una vite destrorsa), 

• ds l’elemento di lunghezza su C, 

• dσ l’elemento di superficie su S. 

Valgono le seguenti formule: 

1. ∫ S ∇×u · ν dσ = ∫ u · t ds (formula del rotore), 

C 

2. ∫ S ∇ϕ × ν dσ = − ∫ ϕt ds, 

C 

3. ∫ C ϕ∇ψ · t ds = ∫ ψ∇ϕ · t ds. 

C

606 Appendice C Identità e formule 

C.2.3 Identità vettoriali 

1. ∇·(∇×u) =0, 

2. ∇×∇ϕ = 0, 

3. ∇·(ϕu) =ϕ ∇·u + ∇ϕ · u, 

4. ∇×(ϕu) =ϕ ∇×u + ∇ϕ × u, 

5. ∇×(u × v) =(v·∇) u − (u·∇) v +(∇·v) u − (∇·u) v, 

6. ∇·(u × v) =(∇×u) · v − (∇×v) · u, 

7. ∇ (u · v) =u×(∇×v)+v× (∇×u)+(u·∇) v+(v·∇) u, 

8. (u·∇) u =(∇×u) × u + 1 2 ∇|u|2 , 

9. ∇×∇×u = ∇(∇·u) − Δu (rot rot = grad div− Laplaciano).

Bibliografia 

Equazioni a derivate parziali 

L. C. Evans. Partial Differential Equations. A.M.S., Graduate Studies in 

Mathematics, 1998. 

R. Dautray, J. L. Lions. Mathematical Analysis and Numerical Methods for 

Science and Technology. Vol. 1-5. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1985. 

E. DiBenedetto, Partial Differential Equations. Birkhäuser, Boston, 1995. 

A. Friedman. Partial Differential Equations of parabolic Type. Prentice-Hall, 

Englewood Cliffs, 1964. 

D. Gilbarg, N. Trudinger. Elliptic Partial Differential Equations of Second 

Order. II ed., Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1998. 

F. John. Partial Differential Equations. IV ed., Springer-Verlag, New York, 

1982. 

O. Kellog. Foundations of Potential Theory. Springer-Verlag, New York, 1967. 

G. M. Lieberman. Second Order Parabolic Partial Differential Equations. 

World Scientific, Singapore, 1996. 

J. L. Lions, E. Magenes. Non-homogeneous Boundary Value Problems and 

Applications. Springer-Verlag, New York, 1972. 

R. Mc Owen. Partial Differential Equations: Methods and Applications. 

Prentice-Hall, New Jersey, 1996. 

M. Protter, H. Weinberger. Maximum Principles in Differential Equations. 

Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1984. 

J. Rauch. Partial Differential Equations. Springer-Verlag, Heidelberg, 1992. 

M. Renardy, R. C. Rogers. An Introduction to Partial Differential Equations. 

Springer-Verlag, New York, 1993. 

J. Smoller. Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations. Springer-Verlag, 

New York, 1983. 

W. Strauss. Partial Differential Equation: An Introduction. Wiley, New York, 

1992. 

D. V. Widder. The Heat Equation. Academic Press, New York, 1975. 



608 Bibliografia 

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A. J. Acheson. Elementary Fluid Dynamics. Clarendon Press, Oxford, 1990. 

G. I. Barenblatt. Scaling, Self-similarity, and intermediate asymptotics, 

Cambridge University Press, 2002. 

J. Billingham, A. C. King. Wave Motion. Cambridge University Press, 

Cambridge, 2000. 

R. Courant, D. Hilbert. Methods of Mathematical Phisics. Vol. 1 e 2. Wiley, 



Science and Technology. Vol. 1-5. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1985. 

C. C. Lin, L. A. Segel. Mathematics Applied to Deterministic Problems in the 

Natural Sciences. SIAM Classics in Applied Mathematics, IV ed., 1995. 

J. D. Murray. Mathematical Biology (Vol I e II). Springer-Verlag, Berlin 

Heidelberg, 2001. 

L. A. Segel. Mathematics Applied to Continuum Mechanics. Dover Publications, 

Inc., New York, 1987. 

A. B. Tayler. Mathematical Models in Applied Mathematics. Clarendon Press, 

Oxford, 2001. 

G. B. Whitham. Linear and Nonlinear Waves. Wiley-Interscience, 1974. 

Equazioni stocastiche e Finanza Matematica 

L. Arnold. Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. Wiley, 


M. Baxter, A. Rennie. Financial Calculus: An Introduction to Derivative 

Pricing. Cambridge University Press, Cambridge, 1996. 

L. C. Evans, An Introduction to Stochastic Differential Equations. Lecture 

Notes, http://math.berkeley.edu/ ∼ evans/ 

B. K. Øksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction with 

Applications. IV ed., Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1995. 

P. Wilmott, S. Howison, J. Dewinne. The Mathematics of Financial Derivatives. 

A Student Introduction. Cambridge University Press, Cambridge, 

1996. 

Analisi e Analisi Funzionale 

R. Adams. Sobolev Spaces. Academic Press, New York, 1975. 

H. Brezis. Analisi Funzionale. Liguori Editore, Napoli, 1986. 

L. C. Evans and R. F. Gariepy. Measure Theory and Fine properties of 

Functions. CRC Press, 1992. 

V. G. Maz’ya. Sobolev Spaces. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1985. 

C. Pagani e S. Salsa. Analisi Matematica. volumi I e II. Zanichelli, Bologna, 

1991.

Bibliografia 609 

W. Rudin. Real and Complex Analysis (2th ed). McGraw-Hill, New York, 

1974. 

L. Schwartz. Théorie des Distributions. Hermann, Paris, 1966. 

K. Yoshida. Functional Analysis. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1965. 

Analisi Numerica 


Science and Technology. Vol. 4 e 6. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 

1985. 

A. Quarteroni. Modellistica Numerica per Problemi Differenziali. 4 ed., 

Springer-Verlag Italia, Milano, 2008. 

A. Quarteroni, A. Valli. Numerical Approximation of Partial Differential 

Equations. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1994.

Indice analitico 

Arbitraggio, 91 

Autofunzioni 

– di Dirichlet, 489 

– di Neumann, 491 

Autovalori, 357 

Barriera 

– inferiore, 517 

– superiore, 517 

Barriere 

– assorbenti, 110 

– riflettenti, 110 

Breaking time, 198 

Caratteristiche, 179, 217, 283 

– Inflow/outflow, 183 

Carta locale, 15 

Chiusura, 8, 341 

Classe di Tychonov, 85 

Coefficiente di diffusione, 56 

Coefficienti di Fourier, 12, 356 

Compatto 

– operatore, 386 

Condizione 

– cinematica, 315 

– di compatibilità, 120 

– di entropia, 206 

– di Sommerfeld, 175 

Condizioni al bordo 

– Dirichlet, 24, 35 

– Mixed, 36 

– Neumann, 24, 35 

– Robin, 35 

Cono 

– di luce, 236 

– forward, 305 

– retrogrado, 292 

Conservazione della massa, 64 

Controllo ottimo, 526 

Convergenza 

– debole, 383 

– uniforme, 11 

Convezione, 65 

Convoluzione, 414, 430 

Copertura aperta, 456 

Crescita logistica, 104 

Debolmente coerciva, 391, 404, 498, 

501, 554 

Densità normale, 45 

Derivata 

– conormale, 500 

– nel senso delle distribuzioni, 421 

Derivazione per serie, 11 

Diffusione, 19 

Dilatazioni paraboliche, 21 

Dimensione fisica, 587 

Distribuzione 

– lognormale, 91 

– temperata, 434 

Disuguaglianza 

– di Poincaré, 467 

– di traccia, 465 

– di Schwarz, 348 

Domini 

– Lipschitziani, 16

612 Indice analitico 

– esterni, 158 

Dominio, 8 

– di influenza, 305 

– regolare, 15 

Drift, 88 

Ellitticità uniforme, 493, 559 

Energia 

– cinetica, 253 

– potenziale, 254 

Equazione 

– a derivate parziali, 2 

– backward, 93 

– Bessel, 74, 360 

– biarmonica, 522 

– di Bernoulli, 314 

– di Black-Scholes, 93 

– di Bukley-Leverett, 229 

– di Eulero, 376 

– di Fisher, 567 

– di Fisher stazionaria, 517 

– di Helmoltz, 175 

– di Klein-Gordon, 274 

– di Navier-Stokes, 148, 520 

– di Poisson semilineare, 515 

– differenziale stocastica, 89 

– diffusione, 19 

– eikonale, 236 

– ellittica, 276, 479 

– iperbolica, 276, 573 

– mezzi porosi, 102 

– parabolica, 276 

– parametrica di Bessel (di ordine p), 

360 

Equazioni 

– di Sturm-Liouville, 357 

– paraboliche, 541 

Esponente coniugato, 11 

Estremo 

– inferiore, 9 

– superiore, 9 

Expiry date, 87 

Final payoff, 93 

Forma bilineare 

– coerciva, 370, 371 

– continua, 371 

– debolmente coerciva, 391, 554, 560 

Forma canonica, 280–282 

– sesquilineare, 347 

Formula 

– di Bessel, 13 

– di d’Alembert, 262 

– di Ito, 89 

– di Parseval, 13 

– di Poisson, 132 

– di Rodrigues, 358, 359 

– di scomposizione di Helmholtz, 145 

Formulazione debole 

– equazione delle onde, 575 

– per equazioni paraboliche, 561 

– problema di Cauchy-Dirichlet, 544 

– problema di Cauchy-Neumann, 555 

Formulazione variazionale 

– equazione biarmonica, 520 

– problema di Dirichlet, 484 

– problema di Neumann, 487, 500 

– problema misto, 504 

– sistema di Stokes, 523 

Funzionale costo, 526 

Funzione 

– a supporto compatto, 10 

– armonica, 20, 117 

– caratteristica, 10 

– continua, 10 

– di Bessel, 288, 360 

– di Green, 151 

– di Neumann, 157 

– di transizione, 70 

– flusso, 177 

– test, 51, 413 

– valore, 88 

Funzioni 

– integrabili, 598 

– misurabili, 596 

– semplici, 597 

Gram-Schmidt (procedimento di), 356 

Identità 

– di Green, 17 

– di Parseval debole, 436 

– di Parseval forte, 439 

Immagine, 361 

Impulso unitario, 47 

Inflow/outflow boundary, 225 

Insieme 

– compatto, 8

Indice analitico 613 

– compatto, precompatto, 380 

– convesso, 8 

– denso, 8 

– limitato, 8 

Insiemi di Borel, 595 

Integrale primo, 224 

Integrazione 

– per parti, 17 

– per serie, 11 

Lagrange multiplier, 525 

Legge 

– del parallelogramma, 347 

– di Darcy, 101 

– di Fick, 65 

– di Fourier, 23 

– di Gauss, 59 

Massa critica, 76 

Matrice di rigidezza, 378 

Media quadratica, 31 

Metodo, 26 

– della discesa, 308 

– della fase stazionaria, 249 

– delle caratteristiche, 187 

– delle immagini, 152 

– di Duhamel, 82 

– di Faedo-Galerkin, 561, 576 

– di Galerkin, 377 

– di linearizzazione, 569 

– di riflessione, 456 

– di separazione delle variabili, 26, 28, 

256, 295, 397 

– di viscosità, 209 

Misura 

– armonica, 138 

– di Lebesgue, 596 

– di probabilità, 601 

Moto Browniano, 57 

Norma integrale di ordine p, 345 

Nucleo, 361 

– di Poisson, 155 

Numero 

– di Bond, 317 

– di Froude, 317 

– di Mach, 299 

– di Reynolds, 521 

– d’onde, 246 

o piccolo, 10 

Onda 

– di rarefazione, 192 

– progressiva, 179, 188 

– stazionaria, 257 

Onde 

– armoniche, 246 

– cilindriche, 288 

– di capillarità, 321 

– di gravità, 321 

– piane, 247, 287 

– progressive, 209, 245 

– sferiche, 247, 288 

Operatore 

– aggiunto, 368 

– autoaggiunto, 369 

– di estensione, 455 

– di Laplace discreto, 121 

– di media, 121 

– lineare, 361 

– lineare limitato, 362 

Opzioni Europee, 87 

Oscillatore armonico, 408 

Pacchetto d’onde, 248 

Parallelogramma caratteristico, 264 

Partizione dell’unità, 456 

Passeggiata aleatoria con deriva, 61 

Polinomi 

– di Chebyshev, 358 

– di Hermite, 359 

– di Legendre, 358 

Portafoglio auto-finanziante, 91, 99 

Potenziale, 117 

– di doppio strato, 161 

– di strato semplice, 166 

– logaritmico, 144 

– Newtoniano, 142 

Principio 

– di Hopf, 173 

– di Huygens forte, 305, 308 

– di massimo, 37, 85, 122 

– di massimo forte, 39 

– di riflessione di Schwarz, 172 

– di sovrapposizione, 20, 78, 372 

Probabilità 

– di fuga, 137 

– di transizione, 59

614 Indice analitico 

Problema 

– aggiunto, 529 

– agli autovalori, 29 

– di Cauchy globale, 25, 77 

– di controllo, 526 

– di Dirichlet esterno, 158 

– di Riemann, 207 

– esterno di Neumann/Robin, 160 

– esterno di Robin, 175 

Processo stocastico, 57 

Prodotto interno, 346 

Proprietà 

– di Markov, 59, 70 

– di media, 125 

Punto, 8 

– di frontiera, 8 

– interno, 8 

– limite, 8 

Put-call parity, 97 

Reazione, 67 

Regione di transizione, 211 

Relazione di dispersione, 248, 274, 319 

Reticolo, 120 

Risolvente, 396, 398 

Serie di Fourier, 30 

– convergenza in media quadratica, 13 

– convergenza puntuale, 13 

– convergenza uniforme, 14 

Serie di Fourier-Bessel, 75, 361 

Sigma algebra, 595 

Sistema 

– caratteristico di Stokes, 232 

Soluzione, 28 

– classica, 482 

– debole o variazionale, 482 

– di autosimilarità, 44, 102 

– di Barenblatt, 102 

– distribuzionale, 482 

– fondamentale, 46, 50, 142, 303 

– forte, 482 

– stazionaria, 28 

– unit source, 49 

Somma diretta, 352 

Sotto o sopra soluzioni deboli, 506, 507, 

565 

Spazio 

– metrico, 340 

– normato, 340 

– pre-hilbertiano, 346 

– topologico, 340 

Spettro 

– di una matrice, 396 

Stabilità, stabilità asintotica 

– equazione delle onde, 569 

Stato ottimo, 526 

Stazionaria, 247 

Steepest descent, 531 

Strike price, 87 

Striscia caratteristica, 232 

Successione di Cauchy, 341 

Superficie integrale, 216 

Supporto, 10 

– di una distribuzione, 420 

– essenziale, 413 

Tempo 

– d’arresto, 60, 135 

– di prima uscita, 135 

Teorema 

– della convergenza dominata, 598 

– della convergenza monotona, 599 

– di Approssimazione di Weierstrass, 80 

– di Buckingham, 590 

– di differenziazione, 599 

– di Fubini, 600 

– Pi di Buckingham, 43 

Terna Hilbertiana, 391 

Test di Weierstrass, 11 

Topologia indotta, 9 

Traccia, 458 

Traffico in un tunnel, 241 

Traiettoria Browniana, 57 

Trasformata di Fourier, 436, 452 

Trasformazione di Hopf-Cole, 214 

Valore atteso, 601 

Variabile aleatoria, 57 

– della convergenza dominata, 601 

Varianza, 601 

Variazione prima, 376 

Velocità 

– di fase, 246 

– di gruppo, 248 

– locale dell’onda, 188 

Volatilità, 89 

Weierstrass test, 31

Collana Unitext - La Matematica per il 3+2 

a cura di 

A. Quarteroni (Editor-in-Chief) 

P. Biscari 

C. Ciliberto 

G. Rinaldi 

W.J. Runggaldier 

Volumi pubblicati. A partire dal 2004, i volumi della serie sono contrassegnati 

da un numero di identificazione. I volumi indicati in grigio si 

riferiscono a edizioni non più in commercio. 

A. Bernasconi, B. Codenotti 

Introduzione alla complessità computazionale 

1998, X+260 pp, ISBN 88-470-0020-3 

A. Bernasconi, B. Codenotti, G. Resta 

Metodi matematici in complessità computazionale 

1999, X+364 pp, ISBN 88-470-0060-2 

E. Salinelli, F. Tomarelli 

Modelli dinamici discreti 

2002, XII+354 pp, ISBN 88-470-0187-0 

S. Bosch 

Algebra 

2003,VIII+380 pp, ISBN 88-470-0221-4 

S. Graffi, M. Degli Esposti 

Fisica matematica discreta 

2003, X+248 pp, ISBN 88-470-0212-5 

S. Margarita, E. Salinelli 

MultiMath - Matematica Multimediale per l’Università 

2004, XX+270 pp, ISBN 88-470-0228-1

A. Quarteroni, R. Sacco, F.Saleri 

Matematica numerica (2a Ed.) 

2000, XIV+448 pp, ISBN 88-470-0077-7 

2002, 2004 ristampa riveduta e corretta 

(1a edizione 1998, ISBN 88-470-0010-6) 

13. A. Quarteroni, F. Saleri 

Introduzione al Calcolo Scientifico (2a Ed.) 

2004, X+262 pp, ISBN 88-470-0256-7 


14. S. Salsa 

Equazioni a derivate parziali - Metodi, modelli e applicazioni 

2004, XII+426 pp, ISBN 88-470-0259-1 

15. G. Riccardi 

Calcolo differenziale ed integrale 

2004, XII+314 pp, ISBN 88-470-0285-0 

16. M. Impedovo 

Matematica generale con il calcolatore 

2005, X+526 pp, ISBN 88-470-0258-3 

17. L. Formaggia, F. Saleri, A.Veneziani 

Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica 

per problemi differenziali 

2005,VIII+396 pp, ISBN 88-470-0257-5 

18. S. Salsa, G.Verzini 

Equazioni a derivate parziali -Complementi ed esercizi 

2005,VIII+406 pp, ISBN 88-470-0260-5 

2007, ristampa con modifiche 

19. C. Canuto, A. Tabacco 

Analisi Matematica I (2a Ed.) 

2005, XII+448 pp, ISBN 88-470-0337-7 

(1a edizione, 2003, XII+376 pp, ISBN 88-470-0220-6) 

20. F. Biagini, M. Campanino 

Elementi di Probabilità e Statistica 

2006, XII+236 pp, ISBN 88-470-0330-X

21. S. Leonesi, C. Toffalori 

Numeri e Crittografia 

2006,VIII+178 pp, ISBN 88-470-0331-8 


Introduzione al Calcolo Scientifico (3a Ed.) 

2006, X+306 pp, ISBN 88-470-0480-2 

23. S. Leonesi, C. Toffalori 

Un invito all’Algebra 

2006, XVII+432 pp, ISBN 88-470-0313-X 

24. W.M. Baldoni, C. Ciliberto, G.M. Piacentini Cattaneo 

Aritmetica, Crittografia e Codici 

2006, XVI+518 pp, ISBN 88-470-0455-1 

25. A. Quarteroni 

Modellistica numerica per problemi differenziali (3a Ed.) 

2006, XIV+452 pp, ISBN 88-470-0493-4 



26. M. Abate, F. Tovena 

Curve e superfici 

2006, XIV+394 pp, ISBN 88-470-0535-3 

27. L. Giuzzi 

Codici correttori 

2006, XVI+402 pp, ISBN 88-470-0539-6 

28. L. Robbiano 

Algebra lineare 

2007, XVI+210 pp, ISBN 88-470-0446-2 

29. E. Rosazza Gianin, C. Sgarra 

Esercizi di finanza matematica 

2007, X+184 pp,ISBN 978-88-470-0610-2 

30. A. Machì 

Gruppi - Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi 

2007, XII+349 pp, ISBN 978-88-470-0622-5

31 Y. Biollay, A. Chaabouni, J. Stubbe 

Matematica si parte! 

A cura di A. Quarteroni 

2007, XII+196 pp, ISBN 978-88-470-0675-1 

32. M. Manetti 

Topologia 

2008, XII+298 pp, ISBN 978-88-470-0756-7 

33. A. Pascucci 

Calcolo stocastico per la finanza 

2008, XVI+518 pp, ISBN 978-88-470-0600-3 

34. A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri 

Matematica numerica (3a Ed.) 

2008, XVI+510 pp, ISBN 978-88-470-0782-6 

35. P. Cannarsa, T. D’Aprile 

Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale 

2008, XII+268 pp, ISBN 978-88-470-0701-7 


Calcolo scientifico (4a Ed.) 

2008, XIV+358 pp, ISBN 978-88-470-0837-3 


Analisi Matematica I (3a Ed.) 

2008, XIV+452 pp, ISBN 978-88-470-0871-3 

38. S. Gabelli 

Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois 

2008, XVI+410 pp, ISBN 978-88-470-0618-8 

39. A. Quarteroni 

Modellistica numerica per problemi differenziali (4a Ed.) 

2008, XVI+560 pp, ISBN 978-88-470-0841-0 


Analisi Matematica II 

2008, XVI+536 pp, ISBN 978-88-470-0873-1

41. E. Salinelli, F. Tomarelli 

Modelli Dinamici Discreti 

2009, XIV+382 pp, ISBN 978-88-470-1075-8 

42. S. Salsa, F.M.G.Vegni, A. Zaretti, P. Zunino 

Invito alle equazioni a derivate parziali 

2009, XIV+440 pp, ISBN 978-88-470-1179-3 

43. S. Dulli, S. Furini, E. Peron 

Data mining 

2009, XIV+178 pp, ISBN 978-88-470-1162-5 

44. A. Pascucci, W.J. Runggaldier 

Finanza Matematica 

2009, X+264 pp, ISBN 978-88-470-1441-1 

45. S. Salsa 

Equazioni a derivate parziali – Metodi, modelli e applicazioni (2a Ed.) 

2010, XVI+614 pp, ISBN 978-88-470-1645-3

Appendice A Analisi dimensionale - Springer

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