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36 Capitolo 2. Ricostruzione 3D su immagini IPM 2.1 Inverse Perspective Mapping Per introdurre la trasformata di Inverse Perspective Mapping è opportuno partire dalla funzione in forma esplicita della proiezione della pin-hole camera: ⎛ ⎞ r 1 (X − X 0 ) + r 2 (Y −Y 0 ) + r 3 (Z − Z 0 ) k u F pm (X,Y,Z) = ⎜ r 7 (X − X 0 ) + r 8 (Y −Y 0 ) + r 9 (Z − Z 0 ) + u 0 ⎟ ⎝ r 4 (X − X 0 ) + r 5 (Y −Y 0 ) + r 6 (Z − Z 0 ) k v r 7 (X − X 0 ) + r 8 (Y −Y 0 ) + r 9 (Z − Z 0 ) + v ⎠ (2.1) 0 dove (X,Y,Z) T è un generico punto in coordinate mondo, (u 0 ,v 0 ) è il principal point e (k u ,k v ) la distanza focale in pixel. Tale funzione proietta punti da uno spazio di R 3 in uno spazio R 2 e per questo motivo non è direttamente invertibile. Se tuttavia viene fissata una delle 3 componenti (X,Y,Z) la funzione diventa di R 2 e risulta invertibile. Si definisce l’immagine IPM come l’immagine rappresentante per ogni suo punto (X,Y ) la rispettiva coordinata mondo e a cui è associata a tutta l’immagine una coordinata Z costante. Vista dall’alto Vista prospettica Vista IPM Figura 2.1: La generazione dell’immagine IPM. L’immagine IPM è il risultato di due trasformazioni prospettiche: una diretta e l’altra inversa, come rappresentato in figura 2.1. Siano A = (X,Y,0) T e B = (X,Y,Z) T , con Z ≠ 0, due punti del mondo. Essi vengono proiettati su una immagine bidimensionale attraverso la funzione prospettica 2.1 nei punti in coordinate immagine a e b. I due punti immagine non sono coincidenti in quando derivano da punti mondo differenti. I punti, dopo la proiezione, perdono l’informazione su una coordinata spaziale,
2.1. Inverse Perspective Mapping 37 l’altezza dal suolo, che non può essere usata per l’ulteriore trasformata nel dominio IPM. Tale funzione ipotizza che tutti i punti dell’immagine si trovano all’altezza del terreno Z = 0: quindi il punto A viene riproiettato nella posizione corretta A ′ , il punto B, invece, nella posizione B ′ ≠ B. Ora si analizzerà la relazione che intercorre tra due punti riproiettati A ′ e B ′ e l’altezza dal suolo Z. Nei passaggi seguenti i punti del mondo (X,Y,Z) e quelli dell’IPM (X ′ ,Y ′ ) saranno espressi nella stessa unità di misura, cioè in metri. Nella realtà le coordinate dell’IPM, trattandosi di un immagine, dovranno poi essere convertite da metri a pixel tramite un opportuno fattore di scala e di offset. Senza perdita di generalità è possibile sottintendere i parametri intrinseci k u , k v , u 0 e v 0 , perché si elidono nel passaggio tra le due trasformate opposte, e imporre (X 0 ,Y 0 ,Z 0 ) T = (0,0,h) T , dove h è l’altezza della camera dal suolo. Sotto queste semplificazioni il punto (X,Y,Z) viene proiettato nel punto (u,v) secondo l’equazione: u = r 1X + r 2 Y + r 3 (Z − h) r 7 X + r 8 Y + r 9 (Z − h) v = r 4X + r 5 Y + r 6 (Z − h) r 7 X + r 8 Y + r 9 (Z − h) (2.2) Invertendo questa relazione e imponendo Z = 0, si ottiene l’equazione dell’Inverse Perspective Mapping: X ′ = − r 1u + r 4 v + r 7 r 3 u + r 6 v + r 9 h Y ′ = − r 2u + r 5 v + r 8 r 3 u + r 6 v + r 9 h (2.3) Essa rappresenta la relazione tra punti immagine e punti IPM. Per ricavare la relazione tra quest’ultimi e i punti del mondo è necessario unire le equazioni 2.2 e 2.3: X ′ = −h X(r 1r 1 + r 4 r 4 + r 7 r 7 ) +Y (r 1 r 2 + r 4 r 5 + r 7 r 8 ) + (Z − h)(r 1 r 3 + r 4 r 6 + r 7 r 9 ) X(r 1 r 3 + r 4 r 6 + r 7 r 9 ) +Y (r 2 r 3 + r 5 r 6 + r 8 r 9 ) + (Z − h)(r 3 r 3 + r 6 r 6 + r 9 r 9 ) Y ′ = −h X(r 1r 2 + r 4 r 5 + r 7 r 8 ) +Y (r 2 r 2 + r 5 r 5 + r 8 r 8 ) + (Z − h)(r 2 r 3 + r 5 r 6 + r 8 r 9 ) X(r 1 r 3 + r 4 r 6 + r 7 r 9 ) +Y (r 2 r 3 + r 5 r 6 + r 8 r 9 ) + (Z − h)(r 3 r 3 + r 6 r 6 + r 9 r 9 )
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