Tensori doppi Autovettori e autovalori di un operatore lineare aV = V ...

TENSORI DI TIPO PARTICOLARE
Tensori doppi
A causa della particolare importanza che i tensori doppi hanno in Meccanica, sseremo ora la nostra
attenzione sui tensori del secondo ordine o operatori lineari: la prima denizione essendo di natura analitica
mentre la seconda di natura sintetica. Entrambi gli enti comunque vengono rappresentati, in una base
assegnata, da una matrice di tipo 33, con la condizione che per cambiamenti di basi la matrice si trasforma,
in accordo con la (3:1:2) per similitudine. Poiche le componenti di un tensore variano al variare della base, si
pone il problema di determinare se esiste una base tale che la matrice che rappresenta il tensore in tale base
sia di tipo piu semplice possibile, cioe di forma diagonale. A tale scopo risultano di fondamentale importanza
le denizioni seguenti.
Autovettori e autovalori di un operatore lineare
Se a e un operatore lineare, in generale, i vettori aV e V con V 6= 0 non sono paralleli; se accade pero
che esiste un vettore non nullo V tale che aV e V risultino paralleli, cioe esiste uno scalare per cui:
aV = V;
diremo che e unautovalore, valore proprio o radice caratteristica dell'operatore a e V vettore
proprio o vettore caratteristico di a corrispondente all'autovalore .
Dalla denizione di autovettore discende che non esiste un solo autovettore V corrispondente
all'autovalore , ma tutti i vettori V con scalare arbitrario diverso da zero sono autovettori.
Infatti:
a(V) =[a(V)] = (V) =(V)
cioe seVcorrisponde all'autovalore ; V ( 6= 0) vi corrisponde pure.
L'equazione (1:1:1) individua quindi solamente una direzione; tale direzione si chiama direzione unita
di a (g. (1.1.1)).
Se fa ij g e la matrice rappresentativa dell'operatore a in una base assegnata, allora gli autovalori di a
sono le radici dell'equazione caratteristica di fa ij g.
Dalla denizione:
aV = V (V 6= 0)
abbiamo
ovvero
cioe
aV = iV
aV iV = 0
(a i)V = 0
ed essendo V 6= 0 deve essere degenere l'operatore a
i cioe
Dallo sviluppo dell'equazione di terzo grado in :
det(a ij ij )=0
3 + I 1 2 I 2 + I 3 =0
con
I 1 = fa 11 + a 22 + a 33 g
I 2 = f(a 22 a 33 a 23 a 32 )+(a 11 a 22 a 12 a 21 )+(a 11 a 33 a 13 a 31 )g
I 3 = fdet j a ij jg
rispettivamente il primo, il secondo e il terzo invariante o traccia dell'operatore a.
Segue che le quantita I 1 ;I 2 eI 3 risultano invarianti in forza del corollario al teorema precedentemente
citato.
1

Gli autovalori dell'operatore a possono essere tutti e tre reali, (eventualmente non distinti) oppure due
complessi coniugati e l'altro reale.
Se l'operatore a ha tre autovettori U 1 ; U 2 ; U 3 unitari ed ortogonali, allora la matrice a ij che rappresenta
a nella base
fU 1 ; U 2 ; U 3 g
e diagonale
con (j) autovalore.
Da:
2
3
(1) 0 0
a ij = 4 0 (2) 0 5
0 0 (3)
aU j = (j) U j
segue:
a ij =(aU j )U i = (j) U j U i = (j) ji
(non si e fatto uso delle norme riguardanti l'uso degli indici ripetuti).
Diagonalizzazione delle dilatazioni ovvero dei tensori doppi simmetrici
In generale non ogni operatore risulta diagonalizzabile, per esempio se ammette autovalori complessi;
pero se esso e rappresentato da una matrice simmetrica, cosa assai frequente in Meccanica Razionale, cioe
l'operatore e una dilatazione, allora l'operatore e diagonalizzabile.
In una dilatazione ad autovalori distinti corrispondono autovettori ortogonali. Infatti se 1 e 2 sono
autovalori diversi della dilatazione e V 1 e V 2 due corrispondenti autovettori si ha:
V 1 = 1 V 1 e V 2 = 2 V 2
Moltiplicando la prima per V 2 e la seconda per V 1 a sinistra, abbiamo:
ovvero, sottraendo membro a membro:
cioe, per denizione di dilatazione,
ed essendo 1 6= 2 ,
V 2 V 1 = 1 V 2 V 1 e V 1 V 2 = 2 V 1 V 2
V 2 V 1 V 1 V 2 = V 1 V 2 ( 1 2 )
V 2 V 1 V 1 V 2 =( 1 2 )V 1 V 2 =0
V 1 V 2 =0
cioe V 1 ? V 2 .
Gli autovalori di una dilatazione sono tutti reali.
Sia un autovalore della dilatazione , allora
U = U
con U 6= 0 e di componenti eventualmente complesse. Se moltiplichiamo la (1:2:1) per U + (vettore le cui
componenti sono le complesse coniugate di U),
U U + = U U +
con U U + numero reale. Quindi e reale se U U + e reale, cioe coincide con il suo coniugato. Facendo il
coniugato di U U + , si ha successivamente:
(U U + ) + = U + U
= U + U
(ereale!)
2

per denizione di dilatazione.
Ogni dilatazione e equivalente (simile) ad una matrice diagonale.
Il teorema e subito acquisito se gli autovalori dell'operatore sono distinti (teorema (1.1.2)); se poi
gli autovalori non sono distinti il teorema varra lo stesso come si evince dall' esempio che seguira e dall'
interpretazione geometrica che daremo della dilatazione.
Sia
2
4 3
3
0
D ij = 4 3 4 05
0 0 8
la matrice rappresentativa della dilatazione d rispetto alla base
fC 1 ; C 2 ; C 3 g ;
si determinino le direzioni unite di d e si diagonalizzi la matrice D ij .
L'equazione caratteristica di D ij e:
2
3
4 3 0
det 4 3 4 0 5 =0
0 0 8
(8 )[(4 ) 2 9]=0
La (1:2:2) ammette come radici: 1 =8e4
=3 cioe
n 7
2;3 =43=
1
Gli autovettori di d corrispondenti a 1 ; 2 ; 3 sono:
per 12 32
3
4 8 3 0 U 1
4 3 4 8 0 54U 2
5 =0
0 0 8 8 U 3
cioe:
4U1 3U 2 =0
3U 1 4U 2 =0
ovvero
4U1 +3U 2 =0
3U 1 +4U 2 =0
U 1 =0; U 2 =0 e U 3 =h arbitrario
cioe:
U 1 =(0;0;h);
per 2
32
3
4 7 3 0 U 1
4 3 4 7 0 54U 2
5 =0
0 0 8 7 U 3
cioe: (
3U1 3U 2 =0
3U 1 3U 2 =0
U 3 =0
ovvero (
U1 U 2 =0
U 1 U 2 =0
U 3 =0
U 1 = U 2 ; U 2 = k (arbitrario); U 3 =0
3

cioe
U 2 =( k; k; 0) ;
per
2 3 32
3
4 1 3 0 U 1
4 3 4 1 0 54U 2
5 =0
0 0 8 1 U 3
cioe:
ovvero
(
3U1 3U 2 =0
3U 1 3U 2 =0
7U 3 =0
(
U1 U 2 =0
U 1 U 2 =0
U 3 =0
U 1 =U 2 ; U 2 = i (arbitrario); U 3 =0
cioe
U 3 =(i; i; 0) :
Le condizioni di normalizzazione dei vettori U 1 ; U 2 ; U 3 che adesso indichiamo con
J 1 ; J 2 ; J 3
danno:
J 2 1 =02 +0 2 +h 2 =1=)h 2 =1=)h=1
J 2 2 =k2 +k 2 +0 2 =1=)k 2 = 1 2 =)k= p
2
2
quindi:
J 2 3 =i2 +i 2 +0 2 =1=)i 2 = 1 2 =)i= p
2
2
J 1 =(0;0;1); J 2 =
p p !
p p !
2 2
2 2
2 ; 2 ; 0 ; J 3 =
2 ; 2 ; 0 :
La condizione che la terna fJ 1 ; J 2 ; J 3 g deve essere positiva, permette di sciogliere l'ambiguita dei segni.
Scegliendo i segni superiori in J 1 e J 3 e inferiori in J 2 abbiamo:
2
3
p0 p0 1
2 2
0
J 1 ^ J 2 J 3 = 6 2 2
4 p p 7
5 =
2 2
0
22
2
p ! 2 p ! 3
2
2 2
2
=14
+ 5=1
2 2
4 4
+2 = 4 4 =1
In denitiva rispetto alla terna:
J 1 =(0;0;1); J 2 =
p
2
2 ; p
2
2 ; 0 !
J 3 =
p
2
2 ; p
2
2 ; 0 !
4

la dilatazione e rappresentata dalla matrice diagonale:
2
8 0
3
0
4 0 7 05 :
0 0 1
Sia 2
3
4 0 p0
4 0 p5
3 5
0 3 7
la matrice che rappresenta la dilatazione D nella base fC 1 ; C 2 ; C 3 g. Determinare le direzioni unite e la si
diagonalizzi.
L'equazione caratteristica della matrice e:
2
3
4 0 p0
det 4 0 5 p
3 5 =0
0 3 7
cioe
(4 )[(5 )(7 ) 3]=0
La (1:2:3) ammette come radici =4e35 12 + 2 3 = 0 cioe
2 12 +32=0
=36 32=22
4
n 4
=62=
8
ovvero
1 =8; 2 = 3 =4;
per 12 32
3
4 8 0 p0
U 1
4 0 5 p8
3 54U 2
5 =0
0 3 7 8 U 3
cioe: (
4U1 =0 p
p3U 2 3U3 =0
3U2 U 3 =0
ovvero (
U1 =0
3U 2 + p 3U 3 =0
3U 2 + p 3U 3 =0
U 1 =0; U 2 = k (arbitrario) U 3 = p 3U 2
cioe
U 1 =(0;k;
p
3k);
per 2
2
3 2 3
4 4 0 p0
U 1
4 0 5 p4
3 5 4U 2
5 =0
0 3 7 4 U 3
cioe:
U 2
p
3U3 =0
p
3U2 +3U 3 =0
5

ovvero
cioe
U 2 = p 3U 3 ; U 1 = h (arbitrario)
U 2 =(h;
p
3l; l) :
Analogamente per 3 si ha
Le condizioni di ortonormalizzazione dei vettori
U 3 =( ~ h;
p
3 ~ l; ~ l)
U 1 ; U 2 ; U 3
che adesso indichiamo con
fJ 1 ; J 2 ; J 3 g
danno:
J 2 1 =0+k2 +3k 2 =1)4k 2 =1)k= 1 2
J 2 2 =h2 +3l 2 +l 2 =1)h 2 +4l 2 =1
J 2 3 =~ h 2 +3 ~ l 2 + ~ l 2 =1) ~ h 2 +4 ~ l 2 =1
J 2 J 3 =h ~ h+3l ~ l+l ~ l=h ~ h+4l ~ l=0
ovvero: ( h 2 +4l 2 =1
~ l 2 +4 ~ l 2 =1
h ~ h+4l ~ l=0
cioe un sistema di tre equazioni nelle quattro incognite h, l, ~ l,e ~ h; il sistema risulta pertanto indeterminato
(esistono 1 1 terne unite). Per individuarne una, assegniamo ad arbitrio un valore ad l.
Posto l = 0 abbiamo: ( h 2 =1
cioe: h = 1, ~ h =0e ~ l= 1 2
In denitiva si ha:
~h 2 +4 ~ l 2 =1
h ~ h=0
J 1 = 0; 1 p !
p !
3
3
2 ; ; J 2 =(1;0;0); J 3 = 0;
2
2 ; 1 2
La condizione che la terna fJ 1 ; J 2 ; J 3 g risulti positiva, permette di sciogliere le ambiguita dei segni della
terna. Scegliendo i segni superiori di J 2 e J 3 ed inferiori di J 1 abbiamo:
2 p 3
1 3
0
J 1 ^ J 2 J 3 = 6
2 2
4 1 p0 0 7 1
5 = 1 3 1
4
0
2 2
3
= 4 4 4 =1
In denitiva rispetto alla terna
J 1 = 0;
p !
p !
1 3
3
2 ; ; J 2 =(1;0;0) e J 3 = 0;
2
2 ; 1 2
6

la dilatazione e rappresentata dalla matrice diagonale:
2
8 0
3
0
4 0 4 05 = RDR 1
0 0 4
con R matrice delle componenti degli autovettori ortonormali della dilatazione D:
2 p 3
1 3 2 3
0
R = 6
2 2
J 1
4 1 p0 0 7
5 = 4J 2
5
3 1 J
0
3
2 2
Quadrica indicatrice di una dilatazione
Sia D una dilatazione ed O un punto sso dello spazio; il luogo dei punti L
Q 0 (D) =fLjOL D(OL) = cost g
e una quadrica con centro in O.
Il punto O e il centro di Q 0 (D). Infatti assieme all'estremo di OL alla supercie appartiene pure L ,
estremo del vettore OL = OL.
Se D ij sono le componenti della dilatazione e x i le coordinate correnti del punto L, la(2:1) corrisponde alla
forma quadrata D ij x i x j = cost, la quale rappresenta una supercie del secondo ordine, cioe una quadrica
con centro O per quanto detto prima. In ogni caso, per la realta della quadrica, penseremo di scegliere la
costante in maniera tale che le componenti del vettore OL siano reali.
L'immagine D(OL) del vettore OL e ortogonale al piano tangente alla quadrica in L.
Dalla
OL D(OL) = cost
per dierenziazione rispetto ad L, si ha successivamente:
dove sia O che D vanno considerati costanti, ovvero
dOL D(OL)+OL d[D(OL)]=0
dL D(OL)+OL D(dL) =0;
2dL D(OL) =0;
per la proprieta della dilatazione, e quindi D(OL) ? dL (g. (2.1)).
La quadrica Q O (D) essendo completamente individuata dalla dilatazione e, viceversa, la quadrica individuando
completamente il comportamento della dilatazione, risulta atta a fungere, cos come il segmento
orientato per il vettore libero, da rappresentante geometrico del tensore doppio simmetrico D ij .
Poiche i piani tangenti ai vertici della quadrica sono ortogonali agli assi della quadrica, siatti assi
costituiscono le direzioni unite della dilatazione.
Con questa osservazione resta dimostrata l'esistenza di almeno una terna (innite se la quadrica e di
rivoluzione) di direzioni unite per una dilatazione e quindi risulta completamente dimostrato il teorema
(1:2:3).
Se D ij sono le componenti di un'assegnata dilatazione e n i le componenti di un versore variabile, allora,
la forma quadratica
= D ij n i n j
assume valori stazionari in corrispondenza delle sue direzioni unite.
Si tratta di determinare i valori stazionari della funzione = D ij n i n j soggetta al vincolo ij n i n j 1=0.
Introdotto il moltiplicatore di Lagrange e la funzione
= D ij n i n j ( ij n i n j 1);
7

si ha:
e
ovvero
con n i non tutti nulli, cioe
@
@n j
= D ij n i ij n i =0
@
@ = n in i 1=0
(D ij ij )n i =0
det(D ij ij )=0;
che e sostanzialmente quanto dovevasi dimostrare.
Se
A A
0
A 0
B
sono le componenti di una dilatazione del piano 2 , dimostrare che gli assi della conica indicatrice sono inclinati
rispetto all'asse x 1 di un angolo ' dato da:
tg 2' =
A
2A0
Determinare le direzioni unite della dilatazione di componenti:
2
A A 0 3
0
4 A 0 B 0 5
0 0 C
Stesso esercizio per la dilatazione di componenti
2
3
A A 0 B 0
4 A 0 B C 0 5
B 0 C 0 C
Suggerimento:
fare uso del teorema (2:3) ed esprimere le componenti di
B
bn = [cos ' sin ; sin ' sin ; cos ]:
Rotori
Come gia abbiamo osservato lo studio della struttura dei rotori risulta di paricolare importanza in
Cinematica dei moti rigidi; qui, pero, ci limitiamo a riportare i seguenti teoremi fondamentali.
Gli autovalori di un rotore hanno modulo eguale ad 1.
Sia R un rotore e un autovalore,
RV = V :
Moltiplicando scalarmente la (3:1) per se stessa, si ha:
ma, per le proprieta degli operatori ortogonali,
(RV ) (RV )= 2 V 2 ;
(RV ) (RV )=V 2 ;
quindi j j= 1.
(di Eulero) Ogni rotore, che non si riduca all'identita, ammette l'autovalore 1 con moltiplicita semplice.
8

Siano 1 ; 2 e 3 i tre autovalori del rotore; di questi uno ( 3 )e reale e gli altri due ( 1 e 2 = + 1 )
complessi coniugati (eventualmente reali coincidenti). Ora
1 2 3 =j 1 j 2 3 =1
quindi 3 =1.
Il teorema di Eulero, qualora si interpreta il rotore passivamente, ha un semplice e notevole signicato
geometrico.
Supposto il rotore R diverso dall'identita, sia C 3 la direzione unita corrispondente all'unico autovalore uguale
a1eC 1 eC 2 altri due versori tali che fC 1 ; C 2 ; C 3 g formi una base levogira. In questa base il rotore ha
componenti:
2
3
R 11 R 12 0
R = 4 R 21 R 22 0 5
0 0 1
con 8
< R11 2 + R2 12 =1
R21 2 :
+ R2 22 =1
R 11 R 21 + R 12 R 22 =0
la prima delle (3:2) suggerisce di porre: R 11 = cos ' ed R 12 = sin '; sicche siha: R 22 = cos ' ed R 21 =
sin '.
Quindi:
2
3
cos ' sin ' 0
R = 4 sin ' cos ' 0 5
0 0 1
cioe: ogni rotore che non si riduca all'identita, e una rotazione di un angolo ' attorno alla sua unica direzione
unita.
Dimostrare che le rette isotrope sono le direzioni unite di ogni rotazione che non si riduca all'identita.
Dimostrare che l'angolo di rotazione ' di un generico rotore R e dato da:
cos ' = 1
I(R) :
2
9