ÐÐ¾Ð»Ð½Ð°Ñ Ð²ÐµÑÑÐ¸Ñ - СамаÑÑкий гоÑÑдаÑÑÑвеннÑй аÑÑокоÑмиÑеÑкий ...
ÐÐ¾Ð»Ð½Ð°Ñ Ð²ÐµÑÑÐ¸Ñ - СамаÑÑкий гоÑÑдаÑÑÑвеннÑй аÑÑокоÑмиÑеÑкий ...
ÐÐ¾Ð»Ð½Ð°Ñ Ð²ÐµÑÑÐ¸Ñ - СамаÑÑкий гоÑÑдаÑÑÑвеннÑй аÑÑокоÑмиÑеÑкий ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
ВЕСТНИК<br />
САМАРСКОГО<br />
ГОСУДАРСТВЕННОГО<br />
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО<br />
УНИВЕРСИТЕТА<br />
имени академика С. П. КОРОЛЕВА<br />
№ 1 (12)<br />
2007
УДК 05<br />
ББК Я5<br />
ВЕСТНИК<br />
САМАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО<br />
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА<br />
имени АКАДЕМИКА С. П. КОРОЛЕВА<br />
№ 1 (12)<br />
2007<br />
Главный редактор<br />
В. А. Сойфер<br />
Заместители главного редактора<br />
В. Л. Балакин, С. В. Лукачев, Е. В. Шахматов<br />
Ответственный секретарь<br />
А. Г. Прохоров<br />
Редакционная коллегия:<br />
Г. П. Аншаков, Н. Ф. Банникова, В. А. Барвинок, С. К. Бочкарев,<br />
Ф. В. Гречников, А. И. Ермаков, В. Г. Засканов, Н. Л. Казанский,<br />
Л. И. Калакутский, В. Р. Каргин, В. А. Комаров, Н. Е. Конюхов,<br />
А. Н. Коптев, В. С. Кузьмичев, С. А. Прохоров, В. В. Салмин,<br />
Ю. Л. Тарасов, А. Н. Тихонов, Ю. Ф. Широков, И. Л. Шитарев,<br />
В. П. Шорин<br />
Журнал входит в утвержденный ВАК Минобрнауки РФ Перечень ведущих рецензируемых<br />
научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть<br />
опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени<br />
доктора и кандидата наук, и включен в общероссийский каталог ОАО “Роспечать”.<br />
Подписной индекс 18264<br />
© Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
443086 Самара, Московское шоссе, 34<br />
Тел. (846) 267 48 41<br />
Электронная почта: vest@ssau.ru<br />
Самара<br />
2007
СОДЕРЖАНИЕ<br />
АВИАЦИОННАЯ И РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА<br />
АЛГОРИТМ СРАВНИТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ВАРИАНТОВ<br />
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ<br />
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ<br />
В. М. Антимиров, В. Н. Ачкасов 9<br />
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ГИПЕРЗВУКОВОГО<br />
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА НА ЭТАПЕ РАЗГОНА-НАБОРА ВЫСОТЫ В АТМОСФЕРЕ<br />
А. А. Бебяков 15<br />
МЕТОДИКА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА<br />
ПРИ КОМПЛЕКСИРОВАНИИ МАГНИТОМЕТРИЧЕСКИХ И<br />
РАДИОНАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ<br />
И. В. Белоконов, А. В. Крамлих 22<br />
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА В ЗАДАЧЕ МОДАЛЬНОГО<br />
ФОРМИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ «РАКЕТА –<br />
НОСИТЕЛЬ – АВТОМАТ СТАБИЛИЗАЦИИ»<br />
И. Е. Давыдов 31<br />
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ КОСМИЧЕСКИХ<br />
АППАРАТОВ С ДВИГАТЕЛЯМИ МАЛОЙ ТЯГИ. ЧАСТЬ I<br />
В. В. Салмин, В. В. Васильев, С. А. Ишков, В. А. Романенко,<br />
В. О. Соколов, О. Л. Старинова, В. В. Юрин 37<br />
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МИКРОМЕТЕОРОИДНЫХ И ТЕХНОГЕННЫХ<br />
ЧАСТИЦ С КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ<br />
Н. Д. Семкин, В. Л. Балакин, И. В. Белоконов, К. Е. Воронов 53<br />
СИСТЕМА КОМПЕНСАЦИИ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ МИКРОУСКОРЕНИЙ<br />
МАГНИТНЫМ СПОСОБОМ<br />
Н. Д. Семкин, В. Л. Балакин, К. Е. Воронов 64<br />
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОЦЕНИВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ<br />
АГРЕГАТОВ СИСТЕМЫ ТЕРМОРЕГУЛИРОВАНИЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ<br />
М. И. Соколов 81<br />
УМЕНЬШЕНИЕ РАЗМЕРОВ РАЙОНОВ ПАДЕНИЯ ОТРАБОТАВШИХ БЛОКОВ РАКЕТЫ-<br />
НОСИТЕЛЯ ТИПА “СОЮЗ” ПРИ ПРЕДНАМЕРЕННОМ ЧЛЕНЕНИИ ИХ КОНСТРУКЦИИ<br />
Б. А. Титов, С. А. Рычков 90<br />
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С СИСТЕМОЙ<br />
ОРИЕНТАЦИИ НА БАЗЕ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ ЖИДКОСТНЫХ РАКЕТНЫХ<br />
ДВИГАТЕЛЕЙ МАЛОЙ ТЯГИ<br />
Б. А. Титов, А. Л. Сирант 98<br />
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМ БОРТОВОГО ОБОРУДОВАНИЯ<br />
ВОЗДУШНЫХ СУДОВ НА ОСНОВЕ СТАНДАРТНЫХ МОДУЛЕЙ<br />
А. Н. Тихонов 106<br />
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ КРУГОВЫМИ<br />
ОРБИТАМИ С ДВУХСТУПЕНЧАТЫМ РАЗГОННЫМ БЛОКОМ С ХИМИЧЕСКИМ<br />
И ЭЛЕКТРОРЕАКТИВНЫМ ДВИГАТЕЛЯМИ<br />
П. В. Фадеенков 116<br />
ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ МОЩНОСТИ СОЛНЕЧНЫХ<br />
БАТАРЕЙ АВТОМАТИЧЕСКИХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ<br />
Ю. А. Шиняков 123<br />
3
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ<br />
РАЗРАБОТКА БАЗОВОГО АЛГОРИТМА ПОДСИСТЕМЫ КОРРЕКЦИИ<br />
ПО ГЕОФИЗИЧЕСКИМ ПОЛЯМ<br />
В. М. Антимиров 130<br />
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ<br />
НАПЫЛЯЕМЫХ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕННОМ ГАЗОТЕРМИЧЕСКОМ ПОТОКЕ<br />
В. А. Барвинок, В. И. Богданович, Е. А. Ананьева 138<br />
МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ<br />
ДАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕННОСТИ ИХ ПАРАМЕТРОВ<br />
С. К. Бочкарев, Г. М. Макарьянц, А. Б. Прокофьев, Е. В. Шахматов 148<br />
НЕСИММЕТРИЧНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ГАСИТЕЛИ С АКТИВНЫМИ<br />
ВОЛНОВЫМИ СОПРОТИВЛЕНИЯМИ<br />
А. Н. Головин 156<br />
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАЧАЛЬНОГО ОЧАГА ПРИ ИСКРОВОМ<br />
ЗАЖИГАНИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА АЛЮМИНИЕВО-ВОЗДУШНОЙ СМЕСИ<br />
А. Г. Егоров 162<br />
ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКА В<br />
ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ НЕЛИНЕЙНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ<br />
УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ВОЛН<br />
В. С. Кононенко, А. В. Шацкий 173<br />
АВТОМАТИЧЕСКИЙ СЧЕТЧИК ЧАСТИЦ ЗАГРЯЗНЕНИЙ ЖИДКОСТИ<br />
ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ С ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКОЙ СИГНАЛА<br />
Д. В. Корнилин, И. А. Кудрявцев, Л. М. Логвинов 178<br />
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ И ОЦЕНКА<br />
ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ В МАШИНОСТРОЕНИИ<br />
Е. П. Кочеров 182<br />
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОМЕРНОСТИ ПОДАЧИ ЖИДКОСТИ<br />
ШЕСТЕРЕННЫМ КАЧАЮЩИМ УЗЛОМ<br />
А. Н. Крючков, Л. В. Родионов, М. С. Гаспаров, Е. В. Шахматов 187<br />
ПОВЫШЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ<br />
ЗА СЧЕТ АНАЛИЗА ПАРАМЕТРОВ ЧАСТИЦ ЗАГРЯЗНЕНИЯ РАБОЧЕЙ ЖИДКОСТИ<br />
Л. М. Логвинов, М. А. Ковалев, И. И. Хабло 196<br />
ПОВЫШЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ВЫТЯЖКИ ТОНКОЛИСТОВЫХ<br />
МАТЕРИАЛОВ В ШТАМПЕ С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ (ПРИЖИМОМ)<br />
И. П. Попов, Е. С. Нестеренко 201<br />
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЙ БОКОВЫХ ГРАНИЦ СТРУИ<br />
УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА, ВДУВАЕМОЙ В ПОПЕРЕЧНЫЙ ПОТОК ВОЗДУХА<br />
Н. М. Рогачев 207<br />
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТОЭЛЕКТРОННОГО ЦИФРОВОГО<br />
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В КОД С АВТОКОРРЕКЦИЕЙ ПОГРЕШНОСТИ<br />
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ВЫЗВАННОЙ БИЕНИЯМИ КОДИРУЮЩЕЙ ШКАЛЫ<br />
М. С. Рощупкин, П. Л. Токмак, Г. И. Леонович 211<br />
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ<br />
ОБРАБОТКИ ЛОПАТОК ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ<br />
C УЧЕТОМ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ<br />
Г. В. Смирнов 217<br />
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСЛОВНОГО ПРЕДЕЛА<br />
РЕЛАКСАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ<br />
В. Д. Юшин, Г. З. Бунова, С. В. Воронин 223<br />
4
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ<br />
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ<br />
ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР<br />
И. С. Ахмедьянов 228<br />
КИБЕРНЕТИКА И ИНФОРМАТИКА<br />
ИНФОРМАЦИОННАЯ ПОДДЕРЖКА ЭТАПА ТЕХНИЧЕСКОЙ<br />
ЭКСПЛУАТАЦИИ В ЖИЗНЕННОМ ЦИКЛЕ ИЗДЕЛИЙ АВИАСТРОЕНИЯ<br />
Ю. В. Киселев, В. А. Зрелов, М. Е. Проданов, С. К. Бочкарев, Д. Ю. Киселев 236<br />
АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СПЕЦИФИКАЦИЯ, ВЕРИФИКАЦИЯ И СИНТЕЗ<br />
УПРАВЛЯЮЩИХ ПРОГРАММ НА ОСНОВЕ ЛОГИЧЕСКОГО<br />
И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ПОДХОДОВ<br />
А. А. Тюгашев 247<br />
ОПТИМИЗАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ<br />
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЛЕННЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ МЕТОДОВ<br />
М. А. Федорова 253<br />
5
CONTENTS<br />
AVIATION AND ROCKET-SPACE ENGINEERING<br />
ALGORITHM OF COMPARISON ESTIMATION OF THE RELIABILITY<br />
OF VARIOUS COMPUTATION COMPLEXES FOR SPACE VEHICLE<br />
CONTROL SYSTEMS<br />
V. M. Antimirov, V. N. Atchkasov 9<br />
THE TASK OF HYPERSONIC AIRCRAFT MOTION OPTIMUM CONTROL AT<br />
THE ACCELERATION – CLIMB STAGE IN THE ATMOSPHERE<br />
A. A. Bebyakov 15<br />
SPACE VEHICLE ATTITUDE CONTROL RECOVERY PROCEDURE<br />
COMBINING MAGNETOMETRIC AND PADIONAVIGATION MEASUREMENTS<br />
I. V. Belokonov, A. V. Kramlikh 22<br />
USING RANDOM SEARCH METHOD FOR THE TASK OF MODAL FORMATION<br />
OF DYNAMIC PROPERTIES OF THE «CARRIER ROCKET –<br />
STABILIZATION AUTOMATON» SYSTEM<br />
I. Ye. Davydov 31<br />
APPROXIMATE METHODS OF CALCULATING OPTIMAL FLIGHTS<br />
OF SPACE VEHICLES WITH LOW-THRUST ENGINES. PART I<br />
V. V. Salmin, V. V. Vasilyev, S. A. Ishkov, V. A. Romanenko,<br />
V. O. Sokolov, O. L. Starinova, V. V. Yurin 37<br />
MODELLING THE INTERACTION OF MICROMETEOROID AND TECHNOGENOUS<br />
PARTICLES WITH A SPACE VEHICLE<br />
N. D. Syomkin, V. L. Balakin, I. V. Belokonov, K. Ye. Voronov 53<br />
A SYSTEM OF COMPENSATING ROTARY MICROACCELERATION<br />
BY A MAGNETIC METHOD<br />
N. D. Syomkin, V. L. Balakin, K. Ye. Voronov 64<br />
NON-PARAMETRIC MODELS OF MEASURING SPACE VEHICLE THERMOREGULATION<br />
SYSTEM UNIT EFFICIENCY INDICATORS<br />
M. I. Sokolov 81<br />
DECREASING THE AREA OF FALL OF «SOYUZ» - TYPE CARRIER ROCKET’S USED<br />
BLOCKS WITH THEIR STRUCTURE DELIBERATELY DIVIDED INTO PARTS<br />
B. A. Titov, S. A. Rytchkov 90<br />
INVESTIGATING THE DYNAMICS OF SPACE VEHICLES WITH AN ATTITUDE<br />
CONTROL SYSTEM ON THE BASIS OF TWO-COMPONENT LIQUID PROPELLANT<br />
LOW-THRUST ROCKET ENGINES<br />
B. A. Titov, A. L. Sirant 98<br />
PRESENTATION OF AIRBORNE EQUIPMENT ON THE BASIS<br />
OF STANDARD MODULES<br />
A. N. Tikhonov 106<br />
OPTIMIZATION OF FLIGHTS BETWEEN NON-COPLANAR CIRCULAR ORBITS<br />
WITH A TWO-STAGE BOOSTER WITH CHEMICAL AND ELECTROJET ENGINES<br />
P. V. Fadeyenkov 116<br />
EXTREMAL REGULATION OF AUTOMATIC SPACE VEHICLE<br />
SOLAR BATTERY POWER<br />
Yu. A. Shinyakov 123<br />
6
TECHNICAL SCIENCES<br />
DEVELOPING THE BASIC ALGORITHM OF GEOPHYSICAL<br />
FIELD CORRECTION SUBSYSTEM<br />
V. M. Antimirov 130<br />
MATHEMATICAL MODELLING OF SPRAYED PARTICLE MOTION<br />
DYNAMICS IN PLASMA GAS THERMAL FLOW<br />
V. A. Barvinok, V. I. Bogdanovich, Ye. A. Ananyeva 138<br />
MODELLING CHARACTERISTICS OF PRESSURE OSCILLATION<br />
DAMPERS WITH REGARD FOR DISTRIBUTION OF THEIR PARAMETERS<br />
S. K. Botchkaryov, G. M. Makaryantz, A. B. Prokofiev, Ye. V. Shakhmatov 148<br />
ASYMMETRIC ACOUSTIC DAMPERS WITH ACTIVE WAVE RESISTANCE<br />
A. N. Golovin 156<br />
EXPERIMENTAL ANALYSIS OF THE INITIAL SPARK IGNITION SITE FOR<br />
THE TURBULENT FLOW OF ALUMINIUM-AIR MIXTURE<br />
A. G. Yegorov 162<br />
MEASURING ULTRASOUND ABSORPTION FACTOR FOR LIQUIDS IN CASE<br />
OF NON-LINEAR PROPAGATION OF ULTRASONIC WAVES<br />
V. S. Kononenko, A. V. Shatsky 173<br />
AUTOMATIC COUNTER OF HYDRAULIC EQUIPMENT LIQUID<br />
CONTAMINATION PARTICLES WITH DIGITAL SIGNAL PROCESSING<br />
D. V. Kornilin, I. A. Kudryavtsev, L. M. Logvinov 178<br />
NUMERICAL-AND-ARALYTICAL METHODS OF DEFORMATION CALCULATION AND<br />
EVALUATION OF STRUCTURAL MEMBER STRENGTH IN MECHANICAL ENGINEERING<br />
Ye. P. Kotcherov 182<br />
ANALYSIS OF GEAR PUMP FLUID SUPPLY IRREGULARITY<br />
A. N. Krutchkov, L. V. Rodionov, M. S. Gasparov, Ye. V. Shakhmatov 187<br />
INCREASING THE RELIABILITY OF AIRCRAFT HYDRAULIC SYSTEMS<br />
THROUGH ARALYSING WORKING FLUID CONTAMINATION PARTICLE PARAMETERS<br />
L. M. Logvinov, M. A. Kovalyov, I. I. Khablo 196<br />
INEREASING LIMIT COEFFICIENT OF THIN MATERIAL DRAWING IN A DIE WITH<br />
AN ELASTIC ELEMENT (HOLDER)<br />
I. P. Popov, Ye. S. Nesterenko 201<br />
DEFINING THE POSITIONS OF CARBON DIOXIDE GAS JET SIDE<br />
BOUNDARIES WITH THE GAS INJECTED INTO THE TRANSVERSE AIR FLOW<br />
N. M. Rogatchev 207<br />
MATHEMATICAL MODEL OF AN OPTOELECTRONIC POSITION-TO-DIGITAL<br />
CONVERTER WITH AUTOCORRECTION OF CONVERSION ERROR<br />
CAUSED BY CODING SCALE BEATS<br />
M. S. Roshchupkin, P. L. Tokmak, G. I. Leonovitch 211<br />
DESIGNING A TECHNOLOGY OF FINAL ELECTROCHEMICAL MACHINING<br />
OF GAS TURBINE BLADES WITH REGARD FOR TECHNOLOGICAL HEREDITY<br />
G. V. Smirnov 217<br />
PROCEDURE FOR DEFINING CONDITIONAL LIMIT OF METAL<br />
AND ALLOY STRESS RELIEF<br />
V. D. Yushin, G. Z. Bunova, S. V. Voronin 223<br />
7
PHYSICS AND MATHEMATICS<br />
DESIGNING VARIABLE-THICKNESS REVOLUTION SHELLS FOR THE CASE<br />
OF AXIALLY SYMMETRIC LOADING USING THE QUADRATURE METHOD<br />
I. S. Akhmedyanov 228<br />
CYBERNETICS AND INFORMATION SCIENCE<br />
INFORMATION SUPPORT OF OPERATION STAGE IN THE LIFE CYCLE<br />
OF AIRCRAFT CONSTRUCTION ITEMS<br />
Yu. V. Kiselyov, V. A. Zrelov, M. Ye. Prodanov, S. K. Botchkaryov, D. Yu. Kiselyov 236<br />
COMPUTER-AIDED SPECIFICATION, VERIFICATION AND SYNSHESIS<br />
OF CONTROL PROGRAMMES ON THE BASIS OF LOGICAL<br />
AND ALGEBRAIC APPROACHES<br />
A. A. Tugashev 247<br />
OPTIMIZATION OF A STOCHASTIC TRACKING SYSTEM USING<br />
NUMERICAL AND EVOLUTION METHODS<br />
M. A. Fyodorova 253<br />
8
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
УДК 629.78<br />
АЛГОРИТМ СРАВНИТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ВАРИАНТОВ<br />
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ<br />
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ<br />
© 2007 В. М. Антимиров, В. Н. Ачкасов<br />
Воронежская государственная лесотехническая академия<br />
Рассмотрен алгоритм и проведена сравнительная оценка двух вариантов вычислительных комплексов<br />
для бортовых систем управления космических аппаратов.<br />
В статье приведена сравнительная<br />
оценка двух вариантов вычислительных комплексов<br />
(ВК) для бортовых систем управления<br />
(СУ), включающих пять вычислителей,<br />
из которых два используются только для решения<br />
задач по обработке информации подсистемы<br />
спутниковой навигации (ПСН). Во<br />
втором варианте предусмотрено включение<br />
в ВК четырех вычислителей, которые могут<br />
использоваться для решения всех задач (в том<br />
числе и спутниковой навигации).<br />
Первый ВК (рис. 1) состоит из трех параллельно<br />
соединенных блоков ВМ1, ВМ2,<br />
ВМ3 и двух блоков ПСН1 и ПСН2. Интенсивность<br />
отказов блоков одинаковая и равна<br />
L. Этот ВК отказывает, если отказывают все<br />
блоки ВМ1-ВМ3 до времени Т (момент завершения<br />
основной задачи) или если отказывают<br />
оба блока ПСН1 и ПСН2 до времени<br />
Т С<br />
(момента завершения обработки информации<br />
канала спутниковой навигации).<br />
Во втором варианте построения ВК он<br />
отказывает, если отказывают все 4 блока до<br />
момента времени Т или если отказывают два<br />
блока, решающие основные вычислительные<br />
задачи, и один блок спутниковой навигации<br />
до момента времени Т С<br />
.<br />
Сравнительная оценка надежности систем<br />
проведена с использованием аналитического<br />
расчета и методов имитационного<br />
моделирования на интервале работы систем Т.<br />
Система рассматривается как единое<br />
целое в интервале работы T. Вычисляется вероятность<br />
возникновения отказа в любом из<br />
ее блоков q. Статистически определяется момент<br />
отказа t о<br />
и место отказа. В модели формируется<br />
реакция системы и новые состояния.<br />
Момент отказа t о<br />
вычисляется по формуле<br />
t<br />
o<br />
ln<br />
= −<br />
( nq + ( 1−<br />
q)<br />
)<br />
L<br />
с<br />
, (1)<br />
где n – равномерно распределенное случайное<br />
число в интервале от 0 до 1, L c<br />
– суммар-<br />
−L ная интенсивность отказов,<br />
с T<br />
q = 1 − e .<br />
Вычисляется новый интервал T = T – t о<br />
,<br />
и процесс повторяется. Система обязательно<br />
переводится в нерабочее состояние.<br />
ВМ1<br />
ССН1<br />
ВМ2<br />
ССН2<br />
ВМ3<br />
Рисунок 1 - Структурная схема надежности системы1<br />
Рис. 1. Структурная схема определения надежности ВК<br />
9
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Общая вероятность отказа в рассматриваемом<br />
интервале T определяется по выражению<br />
Q =<br />
n<br />
∏q i<br />
i=<br />
1<br />
. (2)<br />
Составлен алгоритм получения вероятности<br />
отказа, который приведен на рис. 2 для<br />
первого варианта ВК. Аналогично строится<br />
алгоритм для другого ВК.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
L:=0,1<br />
Qc:=1<br />
t:=0<br />
i:=1<br />
5<br />
A[i]:=1<br />
7<br />
i:=i+1<br />
6<br />
i
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Переменные:<br />
L – интенсивность отказов одного блока;<br />
Q c<br />
– вероятность отказа ВК на интервале работы<br />
Т;<br />
t - время последнего отказа системы;<br />
A[1..5] – массив флагов отказа блоков (А[1] –<br />
–ВМ1, А[2] – ВМ2, А[3] – ВМ3, А[4] – ПСН1,<br />
А[5] – ПСН2), 1 - блок исправен, 0 - блок отказал;<br />
q - вероятность возникновения отказа в любом<br />
из блоков;<br />
L c<br />
– суммарная интенсивность отказов;<br />
n – равномерно распределенное случайное<br />
число в интервале от 0 до 1;<br />
m – количество исправных блоков;<br />
Ni – номер отказавшего блока (из исправных).<br />
Операторы 1-7 выполняют начальную<br />
инициализацию переменных.<br />
Операторы 8-12 вычисляют момент отказа<br />
следующего блока. Оператор 8 вычисляет<br />
суммарную интенсивность отказов L c<br />
,<br />
исходя из количества исправных блоков на<br />
данный момент. Оператор 9 вычисляет вероятность<br />
возникновения отказа в любом из<br />
блоков q. Оператор 10 вычисляет промежуточное<br />
значение вероятности отказа системы<br />
Q c<br />
на интервале работы. Оператор 11 вызывает<br />
подпрограмму для получения случайного<br />
числа n. Оператор 12 вычисляет момент<br />
следующего отказа системы t.<br />
Операторы 13-30 определяют, какой<br />
блок отказал. Для определения отказа конкретного<br />
блока интервал от 0 до 1 делим на<br />
одинаковые отрезки по числу исправных блоков.<br />
Каждому блоку ставим в соответствие<br />
свой отрезок. Получаем случайное число и в<br />
зависимости от того, в какой отрезок попало<br />
это число, соответствующий блок считаем<br />
отказавшим.<br />
Операторы 13-21 определяют номер<br />
отказавшего блока среди исправных. Оператор<br />
13 вычисляет количество исправных блоков<br />
m. Оператор 14 вызывает подпрограмму<br />
для получения случайного числа n. Оператор<br />
15 выполняет установку начального значения<br />
счетчика отрезков i. Операторы 18, 20 выполняют<br />
последовательный переход от отрезка<br />
к отрезку. Операторы 16, 17 проверяют попадание<br />
числа n в текущий отрезок. При выполнении<br />
условий этих двух операторов номеру<br />
отказавшего блока Ni присваивается<br />
номер текущего отрезка (оператор 21). После<br />
проверки всех отрезков отказавшим считается<br />
последний блок (оператор 19).<br />
Операторы 22-30 осуществляют установку<br />
флага отказа у отказавшего блока. Операторы<br />
22, 23 выполняют установку начальных<br />
значений счетчиков: i – счетчик блоков,<br />
j – счетчик исправных блоков. Операторы 27,<br />
28 выполняют последовательный переход к<br />
следующему блоку. Оператор 24 проверяет,<br />
исправен ли текущий блок: если нет, то осуществляется<br />
переход к следующему блоку,<br />
если да, то увеличивается на 1 счетчик исправных<br />
блоков j (оператор 25) и проверяется,<br />
равен ли счетчик исправных блоков номеру<br />
отказавшего блока Ni (оператор 26).<br />
Если нет, то осуществляется переход к следующему<br />
блоку, если да, то устанавливается<br />
флаг отказа для соответствующего блока в<br />
массиве флагов отказов (оператор 30). После<br />
проверки всех блоков устанавливается флаг<br />
отказа для последнего блока в массиве флагов<br />
отказов (оператор 29).<br />
Операторы 31-39 проверяют условие<br />
отказа системы. Оператор 31 проверяет, окончила<br />
ли работу ПСН до момента отказа (t >Tc).<br />
Если t ≤ Tc , то проверяется условие отказа<br />
второй части системы (операторы 32, 33 проверяют<br />
наличие флагов отказа у двух блоков<br />
ПСН). При отказе 2 блоков моделирование<br />
оканчивается и вычисляется вероятность отказа<br />
системы Q c<br />
и время отказа системы t<br />
(оператор 39). Если исправен хотя бы один<br />
блок ПСН, то проверяется условие отказа<br />
первой части системы. Если t >Tc, то блоки<br />
ПСН больше не рассматриваются (им присваиваются<br />
флаги отказа операторами 34, 35).<br />
Затем проверяется условие отказа первой части<br />
системы (операторы 36-38). Проверяется<br />
наличие флагов отказа у трех блоков ВМ.<br />
Если хотя бы один исправен, то осуществляется<br />
переход к следующему шагу моделирования<br />
(переход к оператору 8). Если все имеют<br />
флаги отказа, то моделирование оканчивается<br />
и вычисляется вероятность отказа системы<br />
Q c<br />
и время отказа системы t (оператор<br />
39).<br />
Определение статистического значения<br />
математического ожидания m x<br />
* и среднеквад-<br />
11
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ратического отклонения σ x<br />
* осуществляется<br />
по формулам<br />
m<br />
*<br />
x<br />
=<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
N<br />
x<br />
i<br />
; σ<br />
*<br />
x<br />
=<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
N<br />
x<br />
2<br />
i<br />
− ( m<br />
*<br />
x<br />
)<br />
2<br />
,<br />
(3)<br />
где N – количество экспериментов, x i<br />
– результат<br />
i-того эксперимента.<br />
Структурная схема для определения<br />
надежности ВК с пятью ВМ представлена на<br />
рисунке 1.<br />
Время возникновения отказов каждого<br />
блока подчиняется экспоненциальному закону<br />
распределения. Вероятность безотказной<br />
работы P(t):<br />
P( t )<br />
−λt<br />
= e ,<br />
(4)<br />
где λ – интенсивность отказов.<br />
Вероятность отказа Q(t):<br />
−λt<br />
Q(<br />
t)<br />
= 1−<br />
P(<br />
t)<br />
= 1−<br />
e .<br />
(5)<br />
При параллельном соединении элементов<br />
система отказывает при отказе всех элементов:<br />
Q<br />
c<br />
( t)<br />
= ∏Qi<br />
( t).<br />
(6)<br />
i<br />
При последовательном соединении система<br />
отказывает при отказе одного элемента:<br />
P<br />
c<br />
( t)<br />
= ∏ Pi<br />
( t).<br />
(7)<br />
i<br />
Вероятность отказа первой части системы<br />
Q 1<br />
(t) и вероятность безотказной работы<br />
P 1<br />
(t):<br />
3<br />
−λt 3<br />
Q ( t ) = Q( t ) = ( − e ) ,<br />
(8)<br />
1<br />
1<br />
3<br />
−λt<br />
3<br />
P ( t)<br />
= 1−Q<br />
( t)<br />
= 1−Q(<br />
t)<br />
= 1−(1<br />
−e<br />
) . (9)<br />
1<br />
1<br />
Вероятность отказа второй части системы<br />
Q 2<br />
(t) и вероятность безотказной работы<br />
P 2<br />
(t):<br />
2<br />
−λt<br />
2<br />
Q ( t)<br />
= Q(<br />
t)<br />
= (1 −e<br />
) ;<br />
(10)<br />
2<br />
2<br />
−λt<br />
2<br />
P ( t)<br />
= 1−Q<br />
( t)<br />
= 1−Q(<br />
t)<br />
= 1−<br />
(1 − e ) . (11)<br />
2<br />
2<br />
Вероятность безотказной работы всей<br />
системы P c<br />
(t) и вероятность отказа Q c<br />
(t):<br />
P ( t ) = P( t )* P ( t ) = ( 1−<br />
Q ( t ))* ( 1−<br />
Q ( t )) =<br />
c<br />
1<br />
3<br />
2<br />
= ( 1−<br />
Q( t ) )* ( 1−<br />
Q( t ) ) =<br />
= ( 1−<br />
( 1−<br />
e<br />
= 1−(<br />
1−(<br />
1−<br />
e<br />
2<br />
3<br />
) )* ( 1−<br />
( 1−<br />
e<br />
−λt<br />
−λt<br />
Q ( t ) = 1−<br />
P ( t ) = 1−<br />
P( t )* P ( t ) =<br />
c<br />
c<br />
3<br />
) )*( 1−(<br />
1−<br />
e<br />
)<br />
1<br />
).<br />
)<br />
2<br />
);<br />
2<br />
(12)<br />
3<br />
2<br />
= 1−(<br />
1−Q ( t ))*( 1−Q ( t )) = 1−(<br />
1−Q( t ) )*( 1−Q( t ) ) =<br />
1<br />
1<br />
2<br />
−λt<br />
−λt<br />
2<br />
2<br />
(13)<br />
Так как время работы первой части Т, а<br />
второй - Т C<br />
, то получаем<br />
Q ( t ) = 1−<br />
( 1−<br />
( 1−<br />
e<br />
c<br />
3<br />
) )*( 1−<br />
( 1−<br />
e<br />
−λT<br />
−λT<br />
С<br />
)<br />
2<br />
).<br />
(14)<br />
Результаты расчетов приведены в таблице<br />
1.<br />
Для системы с четырьмя ВМ время возникновения<br />
отказов каждого блока подчиняется<br />
экспоненциальному закону распределения.<br />
Вероятность безотказной работы P(t):<br />
P( t )<br />
−λt<br />
= e ,<br />
(15)<br />
где λ – интенсивность отказов.<br />
Таблица 1<br />
Т с L=0,1 L=0,09 L=0,08 L=0,07 L=0,06 L=0,05 L=0,04 L=0,03 L=0,02 L=0,01<br />
0,9 0,00826 0,00669 0,00528 0,00404 0,00296 0,00205 0,00131 0,00074 0,00033 8E-05<br />
0,8 0,00677 0,00546 0,00430 0,00327 0,00239 0,00165 0,00105 0,00059 0,00026 6E-05<br />
0,7 0,00543 0,00436 0,00342 0,00259 0,00189 0,00130 0,00082 0,00046 0,00020 5E-05<br />
0,6 0,00425 0,00340 0,00265 0,00200 0,00145 0,00099 0,00062 0,00034 0,00015 4E-05<br />
0,5 0,00324 0,00257 0,00199 0,00149 0,00107 0,00073 0,00045 0,00025 0,00011 3E-05<br />
12
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Q( t )<br />
Вероятность отказа Q(t):<br />
−λt<br />
= 1 − P( t ) = 1−<br />
e .<br />
(16)<br />
Вероятность безотказной работы системы<br />
равна<br />
4<br />
3<br />
2 2<br />
( T ) = ( P ( T ) + 4P<br />
( T )Q( T ) + 6P<br />
( T )Q ( T ) +<br />
P c 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
3 4<br />
3<br />
2<br />
+ 4 (T )Q (T ))P (T ) + ( P (T ) + P (T )Q(T ) +<br />
P<br />
2 2 C 2<br />
3<br />
2 2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
+ 3P(<br />
T )Q ( T ))( P ( T )Q( T )) + ( P ( T ) +<br />
2 2<br />
4<br />
C C<br />
2<br />
2 2<br />
+ 2P( T )Q(T ))( P ( T )Q ( T )). (17)<br />
2 2<br />
5<br />
Вероятность отказа Q c<br />
(t):<br />
Q ( t ) = 1 − P ( t ).<br />
(18)<br />
c<br />
c<br />
Результаты расчетов приведены в таблице<br />
2.<br />
Результаты имитационного моделирования<br />
для L = 0,1, L = 0,05 и L = 0,02 и 1000000<br />
циклов представлены на рис. 3-5.<br />
C<br />
C<br />
Таблица 2<br />
Т с L=0,1 L=0,09 L=0,08 L=0,07 L=0,06 L=0,05 L=0,04 L=0,03 L=0,02 L=0,01<br />
0,9 0,00858 0,00692 0,00545 0,00416 0,00304 0,00210 0,00134 0,00075 0,00033 8E-05<br />
0,8 0,00676 0,00546 0,00430 0,00328 0,00239 0,00165 0,00105 0,00059 0,00026 6E-05<br />
0,7 0,00518 0,00417 0,00328 0,00250 0,00183 0,00126 0,00080 0,00045 0,00020 5E-05<br />
0,6 0,00381 0,00307 0,00241 0,00184 0,00134 0,00093 0,00059 0,00033 0,00015 4E-05<br />
0,5 0,00267 0,00214 0,00168 0,00128 0,00093 0,00064 0,00041 0,00023 0,00010 3E-05<br />
Qc2/Qc1<br />
1,2<br />
1,1<br />
1<br />
0,9<br />
0,8<br />
0,7<br />
0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
Qс<br />
0,009<br />
0,008<br />
0,007<br />
0,006<br />
0,005<br />
0,004<br />
0,003<br />
0,002<br />
0,001<br />
Qñ2/Qñ1<br />
Ñèñòåì à 2<br />
Ñèñòåì à 1<br />
0,3<br />
0,5<br />
0,6<br />
0,7<br />
0,8<br />
0<br />
0,9<br />
Тс<br />
Рис. 3. Вероятность отказа ВК при L=0,1<br />
Qc1/Qc2<br />
1,04<br />
Qс<br />
0,0025<br />
1<br />
0,002<br />
0,96<br />
0,92<br />
0,0015<br />
0,001<br />
Qñ2/Qñ1<br />
Ñèñòåì à 2<br />
Ñèñòåì à 1<br />
0,88<br />
0,0005<br />
0,84<br />
0,5<br />
0<br />
Тс<br />
0,6<br />
0,7<br />
0,8<br />
0,9<br />
Рис. 4. Вероятность отказа ВК при L=0,05<br />
13
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Qc2/Qc1<br />
1,02<br />
1<br />
0,98<br />
0,96<br />
0,94<br />
0,92<br />
0,9<br />
Qс<br />
0,00035<br />
0,0003<br />
0,00025<br />
0,0002<br />
0,00015<br />
0,0001<br />
0,00005<br />
Qñ2/Qñ1<br />
Ñèñòåì à 2<br />
Ñèñòåì à 1<br />
0,88<br />
0,5<br />
0,6<br />
0,7<br />
0,8<br />
0<br />
0,9<br />
Тс<br />
Рис. 5. Вероятность отказа ВК при L=0,02<br />
По результатам проведенных исследований<br />
можно сделать следующие выводы.<br />
При окончании работы ПСН в пределах<br />
0,7-0,9 от общего времени работы ВК<br />
вероятность отказа всего ВК примерно одинакова<br />
для обоих вариантов ВК. При уменьшении<br />
времени окончания работы ПСН менее<br />
0,7 от общего времени работы вероятность<br />
отказа варианта ВК с четырьмя ВМ<br />
становится меньше.<br />
Соотношение вероятностей отказа ВК<br />
не зависит от интенсивности отказа блоков.<br />
С точки зрения надежности использование<br />
варианта с пятью вычислительными<br />
модулями преимуществ не имеет.<br />
Если учесть длительный этап хранения<br />
и снятия ВК для ремонта в случае возникновения<br />
отказа резервных модулей, то вариант<br />
ВК с пятью вычислительными модулями существенно<br />
проигрывает, так как суммарная<br />
интенсивность отказов вычислителей на хранении<br />
по сравнению с четырехмодульным<br />
вариантом возрастает на 25 %.<br />
Необходимо учесть, что исключение<br />
пятого вычислителя сокращает объемно-массовые<br />
характеристики, энергопотребление и<br />
тепловыделение. При этом существенно сокращается<br />
стоимость аппаратуры и трудоемкость<br />
изготовления.<br />
ALGORITHM OF COMPARISON ESTIMATION OF THE RELIABILITY<br />
OF VARIOUS COMPUTATION COMPLEXES FOR SPACE VEHICLE<br />
CONTROL SYSTEMS<br />
© 2007 V. M. Antimirov, V. N. Atchkasov<br />
Voronezh State Forestry Technological Academy<br />
The paper presents an algorithm and a comparison estimation of two variants of computation complexes for<br />
space vehicle airborne control systems.<br />
14
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
УДК 629.78<br />
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ<br />
ГИПЕРЗВУКОВОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА НА ЭТАПЕ<br />
РАЗГОНА-НАБОРА ВЫСОТЫ В АТМОСФЕРЕ<br />
© 2007 А. А. Бебяков<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Методом принципа максимума решается задача оптимального управления движением центра масс гиперзвукового<br />
летательного аппарата (ГЛА) из условия минимума расхода топлива.<br />
Постановка задачи оптимизаци<br />
Постановка рассматривается в форме<br />
вариационной задачи Майера [1]. За критерий<br />
оптимизации принято количество израсходованного<br />
топлива m<br />
Т<br />
на активном участке<br />
полета, выражаемое функционалом<br />
m<br />
Т<br />
= m t ) − m(<br />
t ),<br />
(1)<br />
(<br />
к н<br />
где m - масса ГЛА; t , t - моменты времени<br />
н<br />
начала и окончания движения, соответственно.<br />
Движение ГЛА моделируется как невозмущенное<br />
движение материальной точки<br />
в вертикальной плоскости с постоянным и<br />
максимальным расходом топлива.<br />
Система дифференциальных уравнений,<br />
описывающих движение центра масс,<br />
имеет вид<br />
m&<br />
= −β<br />
,<br />
( h,M )<br />
I<br />
V&<br />
уд<br />
β<br />
= cosα<br />
− Cxa<br />
m<br />
I ( h,M ) β<br />
θ&<br />
1 ⎛ уд<br />
= ⎜ sinα<br />
+ C<br />
V ⎝ m<br />
V cosθ<br />
+ ,<br />
R + h<br />
h&<br />
= V sinθ<br />
,<br />
к<br />
( α,M<br />
)<br />
ya<br />
( )<br />
ρ h V<br />
2m<br />
( α,M<br />
)<br />
2<br />
( )<br />
ρ h V<br />
2m<br />
S − g sinθ<br />
,<br />
2<br />
⎞<br />
S − g cosθ<br />
⎟ +<br />
⎠<br />
(2)<br />
где V - скорость, θ - угол наклона траектории,<br />
h - высота полета, α - угол атаки, β -<br />
расход топлива, M - число Маха, ρ - плотность<br />
атмосферы, S - характерная площадь,<br />
g - ускорение свободного падения, R - радиус<br />
Земли, I<br />
уд - удельный импульс, C<br />
xa,<br />
Cya<br />
- коэффициенты силы лобового сопротивления<br />
и аэродинамической подъемной силы,<br />
соответственно.<br />
Граничные условия движения записываются<br />
в виде<br />
t = t<br />
н<br />
t = t<br />
где<br />
к<br />
:<br />
:<br />
V = M<br />
н<br />
н<br />
V = M<br />
к<br />
к<br />
⋅ a<br />
⋅ a<br />
н<br />
( hн<br />
),<br />
θ = θн,<br />
h = hн<br />
,<br />
( h ),<br />
θ = θ , h = h ,<br />
к<br />
к<br />
н<br />
к<br />
к<br />
н<br />
к<br />
m = m ;<br />
н<br />
(3)<br />
M , M , θ , θ , h , h , m - заданные числа,<br />
a - скорость звука.<br />
В качестве функции управления принята<br />
зависимость угла атаки от времени с ограничениями<br />
вида<br />
α<br />
( ) ≤ .<br />
≤ α t (4)<br />
min<br />
α max<br />
Физическая постановка: требуется<br />
определить управление углом атаки, обеспечивающее<br />
минимальные затраты топлива при<br />
движении ГЛА на этапе разгона-набора высоты.<br />
Математическая постановка: требуется<br />
определить программу управления α ( t)<br />
с ограничениями (4) для системы уравнений<br />
(2) с граничными условиями (3), доставляющую<br />
минимум функционалу (1).<br />
Постановка краевой задачи<br />
Для решения поставленной задачи применяется<br />
принцип максимума Понтрягина.<br />
Функция Гамильтона H для системы<br />
(2) имеет вид<br />
15
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
2<br />
⎡Iудβ<br />
ρV<br />
⎤<br />
H = ψV<br />
⎢ cosα<br />
−Cxa<br />
S −gsinθ<br />
m<br />
m<br />
⎥ +<br />
⎣<br />
2 ⎦<br />
2<br />
2<br />
ψ I<br />
удβ<br />
θ<br />
⎡<br />
ρV<br />
V cosθ<br />
⎤<br />
+ sinα<br />
Cya<br />
S gcosθ<br />
+<br />
V<br />
⎢ + −<br />
m m<br />
R+<br />
h<br />
⎥ +<br />
⎣<br />
2<br />
⎦<br />
+ ψ V sinθ<br />
−ψ<br />
β,<br />
где<br />
h<br />
V<br />
m<br />
h<br />
m<br />
ψ , ψ<br />
θ<br />
, ψ , ψ - сопряженные переменные,<br />
соответствующие фазовым координатам<br />
системы (2).<br />
Согласно принципу максимума, необходимыми<br />
условиями минимума функционала<br />
(1) являются:<br />
- условие максимума функции H по заданному<br />
управлению на заданном промежутке<br />
времени<br />
H( x , ψ,<br />
α ) = max H , t ∈ [ t , ], (5)<br />
α∈Α<br />
где = { V , θ ,h,m}<br />
н<br />
t к<br />
x - вектор фазовых координат<br />
или вектор состояния ГЛА;<br />
{ ψ , ψ , ψ ψ }<br />
V θ h<br />
,<br />
m<br />
ψ =<br />
- вектор сопряженных переменных;<br />
A - область определения управления,<br />
задаваемая (4);<br />
- условие трансверсальности в начальный<br />
и конечный моменты времени<br />
к<br />
[ δx − δm − Hδt] = 0<br />
ψ . (6)<br />
н<br />
Система дифференциальных уравнений<br />
для сопряженных переменных имеет вид<br />
⎡∂Iуд<br />
β ⎛ ∂Cxa<br />
V<br />
ψ&<br />
V<br />
= −ψ<br />
V ⎢ cosα<br />
− ⎜ + 2C<br />
⎣∂M<br />
ma ⎝ ∂M<br />
a<br />
⎛ I<br />
удa<br />
∂Iуд<br />
⎞ β<br />
+ ψθ<br />
⎜ − ⎟ sinα<br />
−<br />
⎝ V ∂M<br />
⎠Vma<br />
⎞ ρV<br />
⎤<br />
⎟ S<br />
m<br />
⎥<br />
⎠ 2<br />
+<br />
⎦<br />
⎡⎛<br />
∂C<br />
ya V ⎞ ρS<br />
cosθ<br />
⎤<br />
−ψθ<br />
⎢⎜<br />
+ Cya<br />
⎟ + ⎥ −ψ<br />
h<br />
sinθ;<br />
⎣⎝<br />
∂M<br />
a ⎠ 2m<br />
R + h⎦<br />
⎛ V g ⎞<br />
ψ&<br />
θ<br />
= ψV<br />
g cosθ<br />
+ ψθ<br />
⎜ − ⎟ sinθ<br />
−ψ<br />
hV cosθ<br />
;<br />
⎝ R + h V ⎠<br />
2<br />
⎡⎛<br />
∂I<br />
уд<br />
∂I<br />
уд ∂a<br />
V ⎞ β ⎛ ∂Cxa<br />
∂a<br />
V ∂ρ<br />
⎞V<br />
S ⎤<br />
ψ&<br />
h<br />
= −ψ<br />
V ⎢⎜<br />
− ⎟ cosα<br />
+ ⎜ ρ − Cxa<br />
⎟ ⎥ −<br />
2<br />
2<br />
⎣⎝<br />
∂h<br />
∂M<br />
∂h<br />
a ⎠ m ⎝ ∂M<br />
∂h<br />
a ∂h<br />
⎠ 2m<br />
⎦<br />
⎡⎛<br />
∂Iуд<br />
∂I<br />
уд ∂a<br />
V ⎞ β ⎛ ∂Cya<br />
∂a<br />
V ∂ρ<br />
⎞ VS V cosθ<br />
⎤<br />
−ψθ<br />
⎢⎜<br />
− ⎟ sinα<br />
− ⎜ ρ − Cya<br />
⎟ − ⎥;<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎣⎝<br />
∂h<br />
∂M<br />
∂h<br />
a ⎠Vm<br />
⎝ ∂h<br />
∂h<br />
a ∂h<br />
⎠ 2m<br />
( R + h)<br />
⎦<br />
ψV<br />
⎛<br />
ψ&<br />
m<br />
= ⎜ I<br />
удβ<br />
cosα<br />
− C<br />
2<br />
xa<br />
m ⎝<br />
xa<br />
2<br />
ρV<br />
⎞ ψθ<br />
⎛<br />
S⎟ + ⎜ I<br />
удβ<br />
sinα<br />
+ C<br />
2<br />
ya<br />
2 ⎠ m V ⎝<br />
2<br />
ρV<br />
⎞<br />
S⎟.<br />
2 ⎠<br />
(7)<br />
Условие трансверсальности (6) в начальный<br />
момент времени выполняется автоматически,<br />
так как начальные значения фазовых<br />
координат и момент времени t n<br />
заданы.<br />
Для конечного момента времени t к<br />
из (6)<br />
с учетом (3) определяются:<br />
граничное условие для системы (7)<br />
ψ<br />
mк<br />
= 1,<br />
(8)<br />
а также значение функции Гамильтона в конце<br />
траектории<br />
H к<br />
= 0.<br />
(9)<br />
Область определения управления по<br />
каналу угла атаки<br />
0<br />
0<br />
− 2 ≤ α ≤ 10 .<br />
В этом случае (вследствие малых углов<br />
атаки) при расчетах используются приближения<br />
2<br />
sinα<br />
≈ α , cosα<br />
≈ 1−α<br />
2.<br />
(10)<br />
Необходимое условие экстремума функции<br />
Н по управлению α с учетом (9) имеет<br />
вид<br />
∂H<br />
= −ψ<br />
∂α<br />
V<br />
ψ ⎡ Iудβ<br />
θ<br />
+<br />
V<br />
⎢<br />
⎣ m<br />
⎡ Iудβ<br />
∂C<br />
⎢ α +<br />
⎣ m ∂α<br />
∂C<br />
+<br />
∂α<br />
ya<br />
xa<br />
2<br />
ρV<br />
⎤<br />
S +<br />
2m<br />
⎥<br />
⎦<br />
2<br />
ρV<br />
⎤<br />
S = 0.<br />
2m<br />
⎥<br />
⎦<br />
(11)<br />
Аналитические зависимости аэродинамических<br />
коэффициентов от угла атаки записываются<br />
в виде<br />
C<br />
C<br />
xa<br />
ya<br />
( α ,M ) = Cxa0( M ) + Cxa1( M ) α + Cxa2( M )<br />
( α ,M ) = C ( M ) + C ( M ) α.<br />
ya0<br />
ya1<br />
Тогда с учетом (12) из (11) имеем<br />
2<br />
[ 2I<br />
удβmax<br />
+ C<br />
ya1ρV<br />
S]<br />
−ψVCxa1<br />
2<br />
2ψ<br />
V [ I β + C ρV<br />
S]<br />
V<br />
уд<br />
max<br />
xa2<br />
α<br />
2<br />
;<br />
(12)<br />
3<br />
ψ<br />
θ<br />
ρV<br />
S<br />
α = .<br />
(13)<br />
16
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Программа управления углом атаки (13)<br />
является оптимальной только в случае, когда<br />
соответствующее значение функции управления<br />
доставляет максимум функции H. Достаточное<br />
условие максимума H по управлению<br />
имеет вид<br />
2<br />
∂ H<br />
2<br />
∂α<br />
= −ψ<br />
V<br />
2<br />
( I β + C ρV<br />
S) < 0<br />
уд<br />
xa2<br />
. (14)<br />
Так как коэффициент C<br />
xa2<br />
положителен,<br />
как старший коэффициент параболы,<br />
описывающей зависимость коэффициента<br />
лобового сопротивления C<br />
xa<br />
от угла атаки,<br />
то выражение в скобках в (14) всегда положительно.<br />
Поэтому достаточное условие принимает<br />
вид<br />
ψ > 0 . (15)<br />
V<br />
Система уравнений (2), описывающих<br />
движение, вместе с сопряженной системой<br />
(7) образуют совокупную систему уравнений.<br />
Пусть угол атаки в совокупной системе<br />
определяется согласно (13). Тогда система<br />
становится замкнутой относительно векторов<br />
x и ψ и вместе с граничными условиями (3),<br />
(8) приводит к краевой задаче для системы<br />
нелинейных дифференциальных уравнений<br />
первой степени.<br />
Таким образом, рассматриваемая задача<br />
оптимального управления сводится к следующей<br />
четырехпараметрической краевой<br />
задаче: требуется найти решение совокупной<br />
системы уравнений (2), (7), замкнутой соотношением<br />
(13), которое удовлетворяет граничным<br />
условиям (3), (8).<br />
Параметрами краевой задачи являются<br />
значения сопряженных переменных в начальный<br />
момент времени: ψ , ψθ , ψ ψ .<br />
Vн н hн<br />
,<br />
Определение начальных приближений<br />
сопряженных переменных<br />
Так как в любой точке временного отрезка,<br />
на котором функция H достигает максимума,<br />
существует первый интеграл совокупной<br />
системы H = const, то для начального<br />
момента времени, согласно (9), можно получить<br />
следующее выражение:<br />
mн<br />
ψ<br />
hн<br />
ψ<br />
= −<br />
Vн<br />
V & н<br />
+ ψ & + θнθн<br />
ψ<br />
h&<br />
mн<br />
m&<br />
н<br />
. (16)<br />
Предположим, что в начальный момент<br />
времени известно значение оптимального<br />
угла атаки. Тогда функция H достигает своего<br />
максимального значения и выполняется необходимое<br />
условие экстремума. Используя<br />
(13), получим<br />
2<br />
[ 2I<br />
βα + ( C + 2C<br />
α ) ρV<br />
S]<br />
уд н xa1<br />
xa2<br />
н н<br />
ψ θ н<br />
= ψVн<br />
2 . (17)<br />
2I<br />
β + C ρV<br />
S<br />
уд<br />
ya1<br />
Таким образом, неизвестными остаются<br />
три параметра: α<br />
н<br />
, ψ<br />
mн<br />
, ψVн<br />
. Значения параметра<br />
α<br />
н<br />
выбираются из области определения<br />
управления.<br />
Для определения отрезка числовой оси,<br />
в котором находится значение ψ<br />
mн<br />
, примем<br />
следующее допущение: масса топлива, затрачиваемого<br />
на рассматриваемом участке,<br />
при движении по произвольной траектории<br />
составляет 10 % от стартовой массы ГЛА.<br />
Следовательно, для определения параметра<br />
ψ<br />
mн<br />
можно воспользоваться линейным<br />
приближением решения соответствующего<br />
дифференциального уравнения сопряженной<br />
системы (7):<br />
ψ<br />
mн<br />
mк<br />
m<br />
( t − t )<br />
= ψ − ψ& . (18)<br />
к<br />
н<br />
Применяя приближенную формулу для<br />
коэффициента лобового сопротивления<br />
C = C + AC , можно показать, что<br />
xa<br />
2<br />
xa0 ya<br />
ψθ ≈ ψVVα<br />
. (19)<br />
Поэтому из последнего уравнения сопряженной<br />
системы с учетом (18), (19) и граничного<br />
условия в конечный момент времени:<br />
ψ<br />
mк<br />
= 1 в качестве начального приближения<br />
ψ<br />
m<br />
принимается<br />
ψ<br />
mн<br />
= 1−<br />
sign V<br />
≈ 1−<br />
0.<br />
01⋅<br />
n ⋅<br />
( &<br />
н<br />
) mТ<br />
mн<br />
≈<br />
sign( V&<br />
) ⋅ m m .<br />
н<br />
н<br />
н<br />
н<br />
17
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Поскольку в начальный момент времени<br />
ГЛА должен разгоняться ( V & > 0), то отсюда<br />
следует, что параметр краевой задачи<br />
mн ∈<br />
[ 0 . 9,<br />
1]<br />
ψ .<br />
Для определения параметра ψ<br />
Vн<br />
используется<br />
первый интеграл совокупной системы<br />
вида<br />
( ,L) const,<br />
H = (20)<br />
∂H<br />
где L= ⋅m;<br />
(,)<br />
- скобки Пуассона.<br />
∂ α<br />
Подстановка в (20) соотношения (17)<br />
после преобразований дает<br />
⎡df<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
1<br />
( x,<br />
α) df ( x,<br />
α)<br />
dt<br />
+<br />
2<br />
dt<br />
2I<br />
уд<br />
2I<br />
βα +<br />
уд<br />
β +<br />
∂Cxa<br />
∂α<br />
∂C<br />
ya<br />
∂α<br />
н<br />
2<br />
ρV<br />
S ⎤<br />
V ⎥ψ<br />
2<br />
ρV<br />
S ⎥⎦<br />
⎡<br />
x ⎢ уд<br />
,<br />
⎣ ∂α<br />
2<br />
2<br />
∂Cxa<br />
ρV<br />
⎤<br />
где f ( , α) = I βα + S⎥ ⎦<br />
f<br />
1<br />
⎡ ∂Cya 1<br />
x ⎢<br />
.<br />
⎣ ∂α<br />
2 V<br />
2<br />
ρV<br />
⎤<br />
2( , α ) = − Iудβ<br />
+ S⎥ ⎦<br />
Пусть сопряженная переменная<br />
V<br />
= const,<br />
(21)<br />
ψ<br />
V<br />
в<br />
момент времени t<br />
j<br />
определяется по методу<br />
Эйлера:<br />
ψ = ψ + ψ& ∆t<br />
, (22)<br />
Vj<br />
где<br />
j<br />
Vн<br />
j<br />
Vн<br />
∆ t = t − t .<br />
⎡df1<br />
F = ⎢<br />
⎢⎣<br />
dt<br />
н<br />
Введем обозначение<br />
( x,<br />
α) df ( x,<br />
α)<br />
+<br />
j<br />
2<br />
dt<br />
2I<br />
уд<br />
2I<br />
βα +<br />
уд<br />
β +<br />
∂Cxa<br />
∂α<br />
∂C<br />
ya<br />
∂α<br />
2<br />
ρV<br />
S ⎤<br />
V ⎥<br />
2 .<br />
ρV<br />
S ⎥⎦<br />
(23)<br />
Тогда, согласно (21) и (22), параметр ψ<br />
Vн<br />
определяется<br />
как<br />
F<br />
ψ & ∆t<br />
. (24)<br />
j<br />
Vн<br />
= ψVн<br />
Fн<br />
− Fj<br />
j<br />
С учетом уравнения сопряженной системы<br />
для ψ&<br />
V<br />
(24) запишется в виде<br />
ψ<br />
β<br />
F ∆t<br />
mн<br />
j j<br />
ψ<br />
Vн<br />
= −<br />
, (25)<br />
Vн<br />
F н<br />
− F j<br />
( 1+<br />
G н<br />
∆t<br />
j<br />
)<br />
где<br />
⎡∂I<br />
уд β ⎛ ∂Cxa<br />
G = −⎢<br />
cosα<br />
− ⎜<br />
⎣ ∂M<br />
ma ⎝ ∂M<br />
⎧⎛<br />
I<br />
удa<br />
∂I<br />
уд ⎞ β<br />
+ ⎨⎜<br />
− ⎟ sinα<br />
−<br />
⎩⎝<br />
V ∂M<br />
⎠Vma<br />
⎡⎛<br />
∂C<br />
− ⎢⎜<br />
⎣⎝<br />
∂M<br />
ya<br />
V<br />
a<br />
+ C<br />
ya<br />
⎡ 2I<br />
уд<br />
+<br />
+ ⎢V&<br />
βα<br />
+ θ&<br />
⎢⎣<br />
2I<br />
удβ<br />
+<br />
V<br />
a<br />
⎞ ρS<br />
cosθ<br />
⎤⎪⎫<br />
2I<br />
удβα<br />
+<br />
⎟ + ⎥⎬<br />
⎠ 2m<br />
R + h⎦⎪⎭<br />
2I<br />
удβ<br />
+<br />
∂Cxa<br />
∂α<br />
∂C<br />
ya<br />
∂α<br />
2<br />
ρV<br />
S ⎤ 1<br />
.<br />
2<br />
⎥<br />
ρV<br />
S ⎥⎦<br />
V<br />
+ 2C<br />
xa<br />
⎞ ρV<br />
⎤<br />
⎟ S<br />
2m<br />
⎥<br />
⎠ ⎦<br />
+<br />
∂Cxa<br />
∂α<br />
∂C<br />
ya<br />
∂α<br />
2<br />
ρV<br />
S<br />
+<br />
2<br />
ρV<br />
S<br />
Расчет по формуле (25) проводится следующим<br />
образом:<br />
- при t = t н<br />
задаются значения вектора<br />
состояния x из граничных условий движения<br />
ГЛА, начальное приближение угла атаки<br />
α<br />
н<br />
из области ограничений на управление и<br />
начальное значение сопряженной координаты<br />
ψ<br />
m<br />
;<br />
- из решения задачи Коши для системы,<br />
описывающей движение ГЛА, определяется<br />
значение вектора x в момент времени<br />
t = t + 1 н<br />
h , где h - шаг интегрирования;<br />
- задается значение производной угла<br />
атаки в начальный момент времени α&<br />
н<br />
;<br />
- определяется значение угла атаки<br />
α в момент времени t по формуле<br />
1<br />
α<br />
= α + α&<br />
⋅h<br />
1 н н ;<br />
- методом секущих определяется значение<br />
сопряженной переменной ψ<br />
V в момент<br />
времени t = t : н<br />
1) величины x<br />
н<br />
, x ,<br />
1<br />
α<br />
н<br />
, α ,<br />
1<br />
ψ<br />
mн<br />
под-<br />
ставляются в формулу (25), причем j = 1,<br />
∆ t j<br />
= h ;<br />
18
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
2) по (16) и (17) определяются сопряженные<br />
переменные ψ<br />
hн<br />
, ψ<br />
θн<br />
, и на отрезке<br />
времени t [ t ]<br />
∈<br />
н<br />
,t 1<br />
решается задача Коши для<br />
совокупной системы;<br />
3) из решения определяется оптимальный<br />
угол атаки в момент времени t - 1<br />
α ,<br />
1<br />
удовлетворяющий условию максимума фун-<br />
k<br />
кции H, α<br />
1<br />
= α1<br />
;<br />
4) определяется значение производной<br />
угла атаки в начальный момент времени по<br />
& ;<br />
k k<br />
формуле: α ( α −α<br />
) h<br />
н<br />
= 1<br />
н<br />
5) проверяется условие окончания итерационного<br />
процесса<br />
k<br />
α& −α&<br />
≤ ε , (26)<br />
н<br />
н<br />
где ε - малая положительная константа;<br />
6) если (26) не выполняется, то по формуле<br />
секущих определяется значение угла<br />
k+ 1<br />
1<br />
атаки α<br />
1 , α<br />
1<br />
= α<br />
k+<br />
1<br />
, k=k+1, и процесс повторяется<br />
с пункта 1.<br />
В результате параметрами краевой задачи<br />
являются значения угла атаки α , производной<br />
угла атаки по времени α& и сопряженной<br />
переменной ψ<br />
m<br />
в начальный момент<br />
времени, лежащие в отрезках числовой оси:<br />
⎧α<br />
min<br />
≤ α<br />
⎪<br />
⎨α&<br />
min<br />
≤ α&<br />
⎪<br />
⎩0.<br />
9 ≤ψ<br />
н<br />
н<br />
mн<br />
≤ α<br />
≤ α&<br />
≤ 1.<br />
max<br />
max<br />
,<br />
,<br />
Границы α&<br />
min<br />
и α&<br />
max<br />
определяются<br />
аэродинамическими характеристиками ГЛА.<br />
Расчет оптимальных траекторий<br />
и программы управления<br />
В качестве объекта управления рассматривается<br />
ГЛА со стартовой массой 300000 кг,<br />
выполненный по схеме «бесхвостка» с крылом<br />
двойной стреловидности [2] с ракетнотурбинным<br />
пароводородным двигателем<br />
(РТДп) и стартовой тяговооруженностью<br />
µ<br />
0<br />
= 1 [3].<br />
Рис. 1. Скриншот результатов работы программы ОПТРАНАВТ при выборе начальных<br />
приближений краевой задачи в интерактивном режиме<br />
19
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 2. Скриншот результатов работы программы ОПТРАНАВТ при реализации метода Ньютона<br />
Рис. 3. Скриншот результатов работы программы ОПТРАНАВТ при расчете оптимальных<br />
траекторий и программы управления ГЛА<br />
20
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
В начальный момент времени принимается<br />
положение ГЛА на типовой траектории<br />
[2] со следующими граничными условиями<br />
(3) для t = t : н<br />
M<br />
н<br />
= 2, θ<br />
н<br />
= 15 град, h<br />
н<br />
=<br />
= 11000 м, m<br />
н<br />
= 290000 кг.<br />
В конечный момент времени граничные<br />
условия движения задаются на границе гиперзвукового<br />
участка для<br />
t = t :<br />
к<br />
M = 5,<br />
к<br />
θ =<br />
к<br />
= 0, h<br />
к = 30000 м.<br />
Для расчета оптимальных траекторий<br />
и программ управления углом атаки реализована<br />
программа «Оптимальный разгон-набор<br />
высоты» (ОПТРАНАВТ) средствами среды<br />
программирования Borland C++ Builder<br />
6.0. На рис. 1-3 в качестве примера приведены<br />
начальные приближения краевой задачи,<br />
выбираемые в интерактивном режиме, решение<br />
краевой задачи методом Ньютона и результаты<br />
расчетов.<br />
Список литературы<br />
1. Летов А. М. Динамика полета и управление.<br />
- М.: Наука, 1969.<br />
2. Нечаев Ю. Н. Силовые установки гиперзвуковых<br />
и воздушно – космических летательных<br />
аппаратов. - М.: Издание Академии<br />
Космонавтики им. К. Э. Циолковского,<br />
1996.<br />
3. Нечаев Ю. Н., Полев А. С., Никулин<br />
А. В. Моделирование условий работы пароводородного<br />
РТД в составе силовой установки<br />
гиперзвукового летательного аппарата<br />
/ Вестник академии космонавтики: направление<br />
фундаментальных и прикладных проблем<br />
космонавтики, - материалы научных<br />
докладов на заседаниях направления в 1996-<br />
1997 гг. - М.: Издание Академии Космонавтики<br />
им. К. Э. Циолковского, 1998. - С. 159-<br />
191.<br />
THE TASK OF HYPERSONIC AIRCRAFT MOTION OPTIMUM CONTROL AT<br />
THE ACCELERATION – CLIMB STAGE IN THE ATMOSPHERE<br />
© 2007 A. A. Bebyakov<br />
Samara State Aerospace University<br />
The task of optimum control of the hypersonic aircraft centre of mass on the condition of minimum fuel<br />
consumption is dealt with using the maximal principle method.<br />
21
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 629.78<br />
МЕТОДИКА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО<br />
АППАРАТА ПРИ КОМПЛЕКСИРОВАНИИ МАГНИТОМЕТРИЧЕСКИХ И<br />
РАДИОНАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ<br />
© 2007 И. В. Белоконов, А. В. Крамлих<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Рассматривается методика восстановления ориентации космического аппарата при комплексировании<br />
магнитометрических и радионавигационных измерений. Эффективность методики подтверждена на модельной<br />
задаче.<br />
Введение<br />
Методы решения задачи определения<br />
ориентации космических аппаратов (КА) по<br />
магнитометрическим измерениям изложены<br />
в работах [1-4]. Основным недостатком этих<br />
методов является использование модели движения<br />
КА, что, в свою очередь, затрудняет<br />
использование этих методов для определения<br />
ориентации в темпе поступления информации.<br />
В работах [5-8] описаны методы, базирующиеся<br />
на согласовании векторов в двух<br />
системах координат (СК), при этом минимальное<br />
количество векторов равно двум [7].<br />
В качестве системы векторов наиболее часто<br />
используются векторы напряженности магнитного<br />
поля Земли (МПЗ), направления на<br />
звезды и Солнце [6, 8]. Компоненты этих векторов,<br />
заданные в удобной для КА системе<br />
координат (например, в орбитальной СК),<br />
определяются, исходя из имеющейся априорной<br />
информации. В частности, вектор напряженности<br />
МПЗ отыскивается с использованием<br />
модели МПЗ, а векторы направлений<br />
на звезды и Солнце находятся по каталогам<br />
и данным об эфемеридах. Компоненты векторов<br />
в связанной с КА системе координат<br />
измеряются с помощью трехкомпонентного<br />
магнитометра и специальной аппаратуры,<br />
определяющей направления на звезды и Солнце.<br />
При определении ориентации КА на<br />
основе согласования векторов в двух СК необходимо<br />
знание орбиты движения КА, что<br />
требует наличия на нем навигационного приемника<br />
(НП) или радиоконтроля орбиты.<br />
В работе предлагается методика определения<br />
ориентации и динамики движения<br />
КА с использованием минимального состава<br />
измерительной аппаратуры, в качестве которой<br />
используется многоканальный НП,<br />
принимающий сигналы от спутниковых радионавигационных<br />
систем (СРНС) ГЛО-<br />
НАСС и GPS, и магнитометр.<br />
Постановка задачи определения<br />
ориентации КА<br />
При постановке и решении задачи определения<br />
ориентации КА использованы правые<br />
ортогональные СК с центром, расположенным<br />
в центре масс:<br />
- связанная СК (ССК) OX<br />
1Y1<br />
Z (ось<br />
1<br />
OX – продольная ось);<br />
1<br />
- орбитальная СК (ОСК) OX<br />
2Y2<br />
Z (ось<br />
2<br />
OZ направлена по радиусу-вектору КА, ось<br />
2<br />
OY направлена по вектору кинетического<br />
2<br />
момента орбитального движения КА, ось<br />
OX дополняет систему до правой).<br />
2<br />
Положение СК OX<br />
1Y<br />
1Z1<br />
относительно<br />
СК OX<br />
2Y2Z<br />
2 задается с помощью кватерниона<br />
v = ( v ,v ,v , )<br />
0 1 2<br />
v3<br />
, имеющего единичную<br />
0 1 2 3<br />
=<br />
2 2 2 2<br />
норму: v + v + v + v 1. Матрицу перехода<br />
от OX<br />
2Y2Z<br />
2<br />
к OX<br />
1Y<br />
1Z1<br />
обозначим M . X 1 X 2<br />
Элементы этой матрицы выражаются через<br />
компоненты кватерниона v с помощью формул:<br />
22
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
m<br />
m<br />
m<br />
m<br />
m<br />
m<br />
m<br />
m<br />
m<br />
11<br />
12<br />
13<br />
21<br />
22<br />
23<br />
31<br />
32<br />
33<br />
= v<br />
2<br />
0<br />
= 2 ⋅<br />
= 2 ⋅<br />
= 2 ⋅<br />
= v<br />
= v<br />
2<br />
0<br />
= 2 ⋅<br />
= 2 ⋅<br />
= 2 ⋅<br />
2<br />
0<br />
+ v<br />
( v1v2<br />
+ v0v3)<br />
( v1v3<br />
− v0v2<br />
)<br />
( v v − v v )<br />
1<br />
− v<br />
( v0v1<br />
+ v2v3)<br />
;<br />
( v1v3<br />
+ v0v2<br />
);<br />
( v v − v v );<br />
2<br />
2<br />
1<br />
− v<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
− v<br />
3<br />
2<br />
2<br />
+ v<br />
− v<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
− v<br />
3<br />
;<br />
;<br />
;<br />
− v<br />
2<br />
2<br />
3<br />
+ v<br />
2<br />
3<br />
;<br />
2<br />
3<br />
;<br />
.<br />
(1)<br />
Задача определения ориентации КА<br />
рассматривается как задача нахождения кватерниона<br />
v.<br />
При разработке алгоритмов решения<br />
задачи определения ориентации широко применяется<br />
подход, основанный на согласовании<br />
измерений различных векторов в двух<br />
СК, взаимная ориентации которых подлежит<br />
определению [7-9]. При решении задачи определения<br />
ориентации в качестве первого<br />
вектора<br />
1<br />
U будет взят вектор напряженнос-<br />
2<br />
ти МПЗ, а в качестве второго вектора U –<br />
вектор положения антенны НП. Определение<br />
2<br />
вектора U принципиально возможно по анализу<br />
пространственного расположения видимых<br />
и невидимых навигационных спутников<br />
(НС).<br />
Для отыскания кватерниона используется<br />
метод, описанный в [8]. Суть метода заключается<br />
в минимизации критерия, представляющего<br />
собой взвешенную с весами α<br />
i<br />
сумму<br />
квадратов разностей между значениями<br />
двух векторов, заданных в двух СК [9]:<br />
2<br />
i<br />
i T i<br />
i<br />
( M<br />
X<br />
) = ∑ (<br />
1<br />
− ⋅<br />
2)( 1<br />
− ⋅<br />
2)<br />
1X2<br />
i<br />
U M<br />
X1X<br />
U U M<br />
2<br />
X1X<br />
U<br />
2<br />
J α ,<br />
i=<br />
1<br />
(2)<br />
где M – матрица, описывающая связь<br />
X 1 X 2<br />
ОСК и ССК, параметризованная с помощью<br />
i i<br />
кватернионов; U 1<br />
, U 2<br />
– векторы в ССК и<br />
ОСК, соответственно (i = 1,2).<br />
После отыскания кватерниона v проекции<br />
абсолютной угловой скорости ω СК<br />
OX на ее собственные оси находятся с<br />
1Y1<br />
Z1<br />
помощью численного дифференцирования<br />
найденного кватерниона и кинематических<br />
уравнений<br />
ω = 2<br />
ω<br />
ω<br />
1<br />
2<br />
3<br />
( v v&<br />
0 1<br />
− v v&<br />
1 0<br />
+ v v&<br />
3 2<br />
− v v&<br />
2 3)<br />
,<br />
( v v&<br />
− v v&<br />
+ v v&<br />
− v v&<br />
),<br />
= 2<br />
0 2 3 0 1 3 3 1<br />
= 2( v v&<br />
− v v&<br />
+ v v&<br />
− v v&<br />
).<br />
0<br />
3<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
(3)<br />
Решение задачи определения<br />
ориентации КА<br />
Решение задачи определения ориентации<br />
КА разбивается на два этапа.<br />
На первом этапе отыскивается вектор<br />
положения антенны НП в ОСК, и с этой целью<br />
анализируется пространственное положение<br />
НС систем ГЛОНАСС и GPS. Все НС<br />
разделяются на видимые и невидимые, которые,<br />
в свою очередь, разделяются на невидимые<br />
из-за затенения Землей и затененные<br />
конструкцией КА.<br />
Для определения вектора положения<br />
антенны НП в ОСК предполагается, что заданы<br />
следующие исходные данные:<br />
1. Координаты антенны в ССК (для определенности<br />
будем считать, что антенна размещена<br />
на продольной оси КА) и конус ее<br />
затенения со стороны конструкции КА.<br />
2. Навигационные данные, формируемые<br />
НП (массив номеров всех навигационных<br />
спутников, массив номеров видимых НС,<br />
массив номеров невидимых НС, геоцентрические<br />
координаты всех НС в СРНС, представленные<br />
в виде матрицы размером N НС<br />
×3).<br />
3. Параметры движения центра масс<br />
(ПДЦМ) КА, получаемые от НП.<br />
По имеющимся исходным данным в<br />
ОСК вычисляются единичные векторы, коллинеарные<br />
векторам дальностей до видимых<br />
(В) и невидимых (НВ) НС, и из них формируются<br />
соответствующие матрицы<br />
Н раз-<br />
В<br />
мером N<br />
НВ<br />
× 3 и Н размером<br />
НВ<br />
N<br />
ННВ<br />
× 3 (при<br />
этом исключаются из рассмотрения те НС,<br />
видимость которых отсутствует из-за затенения<br />
Землей).<br />
Введем обозначения:<br />
Н<br />
Н<br />
Т<br />
В<br />
Т<br />
НВ<br />
=<br />
T<br />
[ grad<br />
В1<br />
grad<br />
В2<br />
Kgrad<br />
В<br />
] ,<br />
NВ<br />
T<br />
[ grad grad Kgrad<br />
] ,<br />
=<br />
HВ1<br />
HВ2<br />
HВNВ<br />
23
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
где { x , y , z }<br />
grad i 2 i 2 i 2 i<br />
= - единичный вектор<br />
дальности до i-го НС в проекциях на оси<br />
ОСК.<br />
Исходя из того, что ширина диаграммы<br />
направленности антенны составляет 180°,<br />
для видимых и невидимых НС выполняем<br />
следующие соотношения:<br />
⎪<br />
⎧cos<br />
⎨<br />
⎪⎩<br />
cos<br />
2<br />
( U1<br />
,grad<br />
В<br />
) ≥ 0,<br />
( i = 1,N<br />
);<br />
i<br />
В<br />
2<br />
( U ,grad ) < 0,<br />
( j = 1,N<br />
)<br />
1<br />
НВ<br />
2<br />
где { x , y , }<br />
j<br />
U<br />
1<br />
= 2 2<br />
z 2 - единичный вектор антенны,<br />
записанный в проекциях на оси ОСК.<br />
1<br />
=<br />
2<br />
Так как U 1 и grad = 1, то, пред-<br />
ставляя косинусы углов через скалярные произведения,<br />
можно записать<br />
⎪⎧<br />
x<br />
⎨<br />
⎪⎩ x<br />
2i<br />
2 j<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
+ y<br />
2i<br />
+ y<br />
y<br />
2 j<br />
2<br />
y<br />
+ z<br />
2<br />
+ z<br />
z<br />
2i<br />
2<br />
z<br />
2 j 2<br />
≥ 0,<br />
< 0,<br />
i<br />
HВ<br />
( i = 1,N<br />
В<br />
);<br />
( j = 1,N<br />
).<br />
,<br />
HВ<br />
(4)<br />
Используя соотношения (4), описывающие<br />
геометрические связи между видимыми<br />
и невидимыми НС и вектором антенны, можно<br />
записать функционал вида:<br />
B<br />
( , y ,z ) = ( x x + y y + z z −1)<br />
Ф x<br />
+<br />
2<br />
N HB<br />
2<br />
∑( x2<br />
jx2<br />
+ y2<br />
j<br />
y2<br />
+ z2<br />
jz2<br />
+ 1) ,<br />
j=<br />
1<br />
2<br />
2<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
2i<br />
2<br />
2i<br />
2<br />
2i<br />
2<br />
2<br />
(5)<br />
который в дальнейшем используется для поиска<br />
координат антенны в ОСК.<br />
Первое слагаемое функционала описы-<br />
2<br />
вает связь проекции вектора антенны U<br />
1 с<br />
проекциями единичных векторов видимых<br />
НС grad<br />
В i<br />
на оси ОСК, второе слагаемое<br />
описывает аналогичную связь вектора антенны<br />
с векторами невидимых НС.<br />
Решается задача отыскания минимума<br />
функционала (5) по координатам x<br />
2<br />
, y2<br />
, z2<br />
с<br />
учетом условия нормировки для координат<br />
2 2 2<br />
антенны: x + y + z 1 .<br />
2 2 2<br />
=<br />
На втором этапе непосредственно решается<br />
задача определения ориентации и динамики<br />
КА.<br />
Искомый кватернион отыскивается из<br />
условия минимума критерия (2) с учетом<br />
единственного дополнительного уравнения,<br />
обеспечивающего условие нормировки для<br />
2 2 2 2<br />
элементов кватерниона: v<br />
0<br />
+ v1<br />
+ v2<br />
+ v3<br />
= 1.<br />
В работе [8] показано, что минимизация критерия<br />
(2) при условии нормировки для элементов<br />
кватерниона сводится к нахождению<br />
минимального собственного числа четырехмерной<br />
матрицы:<br />
B =<br />
2<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
1 ⎡ S<br />
⎢ T<br />
αi<br />
⎣Z<br />
Z⎤<br />
t<br />
⎥<br />
, (6)<br />
⎦<br />
i i T<br />
( ) ( ) U1<br />
( U2<br />
) ;<br />
i T i i i T<br />
где S = I ( U1 ) U2<br />
−U2<br />
U1<br />
−<br />
i i<br />
i T i<br />
Z = −( U × U );<br />
t = ( U ) U .<br />
1 2<br />
−<br />
При этом искомый кватернион представляет<br />
собой собственный вектор, соответствующий<br />
наименьшему собственному числу<br />
матрицы (6).<br />
Кватернион v<br />
k<br />
, в момент времени t k<br />
задающий<br />
ориентацию КА, определяется с точностью<br />
до знака. Знаки элементов кватерниона<br />
v<br />
k<br />
выбираются из условия<br />
3<br />
( k )<br />
( k−1<br />
) ( k )<br />
v0 > 0,<br />
∑vi<br />
vi<br />
> 0 =<br />
i=<br />
0<br />
1<br />
2<br />
( k 1,N<br />
)<br />
После уточнения знака кватерниона<br />
определяются проекции абсолютной угловой<br />
скорости ω СК OX<br />
1Y<br />
1Z1<br />
на ее собственные<br />
оси по соотношениям (3).<br />
Описание модельной задачи<br />
Моделирование задачи определения<br />
ориентации КА проводилось при следующих<br />
положениях:<br />
1) орбита КА круговая, высота (h) 300<br />
км и 1000 км, наклонение 63°;<br />
2) количество НС равно 48, что соответствует<br />
общему количеству НС в СРНС<br />
ГЛОНАСС (при ее полном развертывании) и<br />
GPS;<br />
.<br />
24
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
3) антенна НП расположена по оси<br />
OX<br />
1;<br />
4) вектор напряженности МПЗ считается<br />
точно измеренным;<br />
5) положение КА на орбите задается<br />
случайным образом по равновероятному закону<br />
(от 0° до 360°);<br />
6) массив углов ориентации КА формируется<br />
случайным образом по равновероятному<br />
закону, углы ориентации изменяются от<br />
0° до 360°.<br />
Моделирование задачи определения<br />
ориентации и динамики движения КА проводилось<br />
в три этапа.<br />
Этап 1. Моделирование СРНС ГЛО-<br />
НАСС и GPS (для простоты моделирования<br />
предполагалось, что в каждый момент времени<br />
положения ГЛОНАСС/GPS спутников<br />
«заморожено»). Моделирование движения<br />
КА и магнитометрических измерений. Моделирование<br />
магнитометрических измерений<br />
проводилось следующим образом. В ОСК по<br />
модели МПЗ в виде модели прямого диполя<br />
[10] рассчитывался вектор напряженности<br />
1<br />
МПЗ ( U ), а затем с использованием извест-<br />
2<br />
ной матрицы перехода M в ССК рассчитывался<br />
«измеренный» вектор X 1 X 2<br />
напряженно-<br />
1<br />
2<br />
сти МПЗ ( U ). Вектор антенны НП (<br />
1<br />
U ) в<br />
1<br />
ССК согласно допущениям задавался вектором<br />
с координатами { 1 0,<br />
0}<br />
, . Исключались НС,<br />
невидимые из-за затенения Землей.<br />
Этап 2. Непосредственное отыскание<br />
вектора антенны НП в ОСК, основанное на<br />
отыскании минимума функционала (5) по<br />
координатам x<br />
2,<br />
y2,<br />
z2<br />
с учетом условия<br />
нормировки для координат антенны:<br />
2 2 2<br />
x<br />
2<br />
+ y2<br />
+ z2<br />
= 1.<br />
Этап 3. Определение ориентации КА по<br />
комплексированию магнитометрических и<br />
радионавигационных измерений.<br />
Исследование эффективности<br />
на модельной задаче<br />
Для исследования эффективности решения<br />
задачи определения ориентации КА<br />
при комплексировании магнитометрических<br />
и радионавигационных измерений была<br />
сформирована выборка решений объемом<br />
100000 реализаций.<br />
Для высот 300 и 1000 км построена<br />
плотность распределения ошибки положения<br />
антенны P( δ<br />
a<br />
) (рис. 1 и 2). В качестве погрешности<br />
определения вектора положения<br />
антенны взят пространственный угол ( δ a<br />
)<br />
между истинным и найденным вектором положения<br />
антенны НП.<br />
Математическое ожидание ошибки определения<br />
антенны M<br />
a<br />
для h =300 км равно<br />
Рис. 1. Плотность распределения ошибки антенны P( δ<br />
a<br />
) при h=300 км<br />
25
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 2. Плотность распределения ошибки антенны P( δ<br />
a<br />
) при h=1000 км<br />
9,6°, для h =1000 км равно 7,8°. Повышение<br />
точности с увеличением высоты объясняется<br />
уменьшением числа НС, затененных Землей.<br />
Для удобства представления результатов<br />
была использована тройка углов ориентации<br />
( θ ψ , ϕ )<br />
, , задающая ориентацию СК<br />
OX<br />
2Y2Z<br />
2 относительно СК OX<br />
1Y<br />
1Z1<br />
. Система<br />
координат OX<br />
2Y2<br />
Z может быть переве-<br />
2<br />
дена в систему координат OX<br />
1Y<br />
1Z<br />
тремя последовательными<br />
поворотами: 1) на угол<br />
1<br />
ψ<br />
вокруг оси O Z 2 2<br />
; 2) на угол θ вокруг оси<br />
O Y 2<br />
′; 3) на угол ϕ вокруг оси O X<br />
2<br />
′′ , совпадающей<br />
с осью OX .<br />
1<br />
Связь углов ориентации ( θ ψ , ϕ )<br />
, с найденным<br />
кватернионом v задается соотношениями<br />
[11]:<br />
ψ θ ϕ ψ θ ϕ<br />
v0<br />
= cos( )cos( )cos( ) + sin( )sin( )sin( );<br />
2 2 2 2 2 2<br />
ψ θ ϕ ψ θ ϕ<br />
v1<br />
= cos( )cos( )sin( ) − sin( )sin( )cos( );<br />
2 2 2 2 2 2<br />
ψ θ ϕ ψ θ ϕ<br />
v2<br />
= cos( )sin( )cos( ) + sin( )cos( )sin( );<br />
2 2 2 2 2 2<br />
ψ θ ϕ ψ θ ϕ<br />
v0<br />
= sin( )cos( )cos( ) − cos( )sin( )sin( ).<br />
2 2 2 2 2 2<br />
В рамках модельной задачи был подобран<br />
коэффициент σ, характеризующий отношение<br />
коэффициентов в выражении (2)<br />
при векторе напряженности МПЗ и векторе<br />
антенны НП, при котором достигается минимальная<br />
погрешность определения ориентации<br />
КА. Влияние коэффициента σ на погрешность<br />
определения ориентации показано<br />
на рис. 3, 4 на примере математического<br />
ожидания ошибки угла θ . Коэффициент σ<br />
предлагается брать равным 10 для различных<br />
высот полета КА.<br />
Изменение математических ожиданий<br />
ошибок углов ( ϕ )<br />
ψ , в зависимости от коэффициента<br />
σ не превышает 0,3°.<br />
Плотности распределения ошибок углов<br />
( θ ψ , ϕ )<br />
, , найденных по разработанному<br />
алгоритму, представлены на рис. 5-10.<br />
Математические ожидания углов<br />
( θ ψ , ϕ )<br />
M<br />
, при h=300 км<br />
[ δ ] 2,8 ° , M[ δ ] = 5,8°<br />
, M[ δ ] = 4,0;<br />
θ<br />
=<br />
ψ<br />
ϕ<br />
при h =1000 км<br />
[ δ ] = ° , M[ δ ] = 5,1°<br />
, M[ δ ] = 3,6 .<br />
M<br />
θ<br />
1,5<br />
ψ<br />
ϕ<br />
°<br />
26
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Рис. 3. Изменение математического ожидания ошибки δ<br />
θ<br />
угла θ от коэффициента σ (h=300 км)<br />
Рис. 4. Изменение математического ожидания ошибки δ<br />
θ<br />
угла θ от коэффициента σ (h=1000 км)<br />
Рис. 5. Плотность распределения P ( δ θ<br />
) ошибки угла θ при h=300 км<br />
27
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 6. Плотность распределения P ( δ ψ<br />
) ошибки угла ψ при h=300 км<br />
Рис. 7. Плотность распределения P ( δ ϕ<br />
) ошибки угла ϕ при h=300 км<br />
Рис. 8. Плотность распределения P ( δ θ<br />
) ошибки угла θ при h=1000 км<br />
28
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Рис. 9. Плотность распределения P ( δ ψ<br />
) ошибки угла ψ при h=1000 км<br />
Рис. 10. Плотность распределения P ( δ ϕ<br />
) ошибки угла ϕ при h=1000 км<br />
Выводы<br />
По результатам решения модельной задачи<br />
можно сделать следующие выводы.<br />
1. Наибольший вклад в ошибку определения<br />
ориентации вносит ошибка определения<br />
вектора положения антенны в орбитальной<br />
системе координат. Снижение вклада<br />
данной ошибки возможно путем подбора<br />
коэффициента σ.<br />
2. С увеличением высоты полета погрешность<br />
определения ориентации КА<br />
уменьшается. Это объясняется уменьшением<br />
погрешности определения вектора положе-<br />
ния антенны навигационного приемника в<br />
орбитальной системе координат, обусловленным<br />
уменьшением числа навигационных<br />
спутников, затененных Землей.<br />
Погрешность определения углов ориентации<br />
космического аппарата по предложенному<br />
алгоритму с вероятностью 90 % не превышает<br />
5°.<br />
Работа выполнена при финансовой поддержке<br />
Российского фонда фундаментальных<br />
исследований (грант РФФИ № 060-08-<br />
00244а).<br />
29
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Список литературы<br />
1. Сидоров И. М., Прохоренко В. И.<br />
Определение углового положения искусственного<br />
спутника Земли с помощью датчиков<br />
магнитного поля // Космические исследования.<br />
1968. - Т. VI. - Вып. 2. - С. 175–185.<br />
2. Титов А. М., Антоненко В. В., Щукин<br />
В. П. Определение углового положения<br />
неориентированных ИСЗ по данным магнитометрических<br />
измерений // Космические<br />
исследования. - 1971. - Т. IX. - Вып. 3. -<br />
С. 397–407.<br />
3. Хацкевич И. Г. Определение ориентации<br />
ИСЗ по магнитометрическим измерениям<br />
//Космические исследования. - 1972. -<br />
Т. X. - Вып. 1. - С. 3–12.<br />
4. Абрашкин В. И. и д.р. Определение<br />
вращательного движения спутника «Фотон-<br />
М2» по данным бортовых измерений магнитного<br />
поля Земли (Препринт Института прикладной<br />
математики им. М.в. Келдыша РАН,<br />
2005, № 96).<br />
5. Голубков В. В. Определение локальной<br />
ориентации космических аппаратов //<br />
Космические исследования. - 1970. - Т. VIII. -<br />
Вып. 6. - С. 811–822.<br />
6. Титов А. М., Шукин В. П. Определение<br />
ориентации по двухвекторной системе<br />
измерений //Космические исследования. -<br />
1978. - Т. XVI. - Вып. 1. - С. 3–9.<br />
7. Липтон А. Выставка инерциальных<br />
систем на подвижном основании. – М.: Наука,<br />
1971.<br />
8. Wertz J.R (Editor). Spacecraft Attitude<br />
Determination and Control. Dordrecht, The<br />
Netherlands. – 1978.<br />
9. Wahba G. A Least Squares Estimate of<br />
Spacecraft Attitude //SIAM Review. – 1965.,<br />
Vol.7, №3. – p. 409.<br />
10. Коваленко А. П. Магнитные системы<br />
управления космическими летательными<br />
аппаратами. – М.: Машиностроение, 1976.<br />
11. Бренец В. Н., Шмыглевский И. П.<br />
Применение кватернионов в задачах ориентации<br />
твердого тела. – М.: Наука, 1973.<br />
SPACE VEHICLE ATTITUDE CONTROL RECOVERY PROCEDURE COMBINING<br />
MAGNETOMETRIC AND PADIONAVIGATION MEASUREMENTS<br />
© 2007 I. V. Belokonov, A. V. Kramlikh<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper discusses a procedure of space vehicle attitude control recovery combining magnetometric and<br />
radionavigation measurements. The efficiency of the procedure is confirmed on a model task.<br />
30
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
УДК 629.76<br />
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА В ЗАДАЧЕ МОДАЛЬНОГО<br />
ФОРМИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ «РАКЕТА –<br />
НОСИТЕЛЬ – АВТОМАТ СТАБИЛИЗАЦИИ»<br />
© 2007 И. Е. Давыдов<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Рассмотрен алгоритм работы модифицированного метода случайного поиска. Приведен численный пример.<br />
В задачах модального формирования<br />
динамических свойств системы «ракета –<br />
носитель – автомат стабилизации» («РН –<br />
АС») на первое место выходит проблема решения<br />
экстремальных задач. При этом структура<br />
оптимизируемой функции такова, что<br />
допускает наличие локальных экстремумов,<br />
которые существенно усложняют процедуру<br />
поиска глобального экстремума. Это связано<br />
с тем, что задача исследования динамической<br />
совместимости АС с РН рассматривается<br />
как задача выбора областей в пространстве<br />
проектных параметров, соответствующих<br />
устойчивости системы и заданному качеству<br />
переходных процессов в каналах управления<br />
[1].<br />
Так для системы «РН - АС», уравнения<br />
которой для фазовых координат записаны в<br />
векторно-матричной форме [1]:<br />
X & ( t ) =<br />
Y ( t ) = CX ( t ),<br />
X ( 0 ) =<br />
AX ( t ) + BU ( t ),<br />
X<br />
0<br />
,<br />
(1)<br />
в качестве параметров, обеспечивающих динамическую<br />
совместимость системы, выступают<br />
коэффициенты усиления автомата стабилизации<br />
, i = 0, 4 ; геометрические (аэ-<br />
a i<br />
родинамические), инерционно - массовые,<br />
жесткостные и диссипативные характеристики<br />
системы.<br />
Множество допустимых проектных параметров<br />
задается совокупностью неравенств<br />
вида<br />
p<br />
j min<br />
≤ p ≤ p , (2)<br />
j<br />
j max<br />
где постоянные p<br />
j<br />
, p ,<br />
min j max<br />
j = 1,<br />
k определяют<br />
заданные пределы изменения параметров.<br />
Алгоритм модального формирования<br />
динамических свойств системы «РН-АС» (1)<br />
сводится к следующему.<br />
При выборе областей в пространстве<br />
проектных параметров на множестве возможных<br />
значений проектных параметров системы<br />
«РН - АС» требуется найти такую область:<br />
DP ⊂ P f , для которой<br />
Spec<br />
S<br />
( A − BP)<br />
j = 1, k,<br />
k > 1,<br />
∈ D<br />
S<br />
,<br />
∀p<br />
j<br />
∈ D<br />
P<br />
⊂ P<br />
f<br />
⊂ Р,<br />
(3)<br />
где D s<br />
- область расположения на плоскости<br />
комплексной переменной S спектров совокупности<br />
подсистем, обладающих свойством<br />
устойчивости по Ляпунову невозмущенного<br />
движения и заданным качеством переходных<br />
процессов по каналам управления; p j<br />
– элементы<br />
k - вектора проектных (формируемых)<br />
параметров системы; P f<br />
– множество допустимых<br />
проектных параметров; P - множество<br />
проектных параметров системы [1, 2]<br />
(рис. 1).<br />
В силу сложности конфигурации множества<br />
D s<br />
, что вызывает определенные трудности<br />
при получении функционала, определяющего<br />
принадлежность спектра полюсов<br />
данной области, ставится задача преобразования<br />
множества D s<br />
комплексной переменной<br />
s в некоторое другое множество D q<br />
комплексной<br />
переменной q:<br />
Spec B ∈ D ,<br />
q<br />
j = 1, k;<br />
q<br />
k > 1,<br />
∀p<br />
j<br />
∈ D<br />
P<br />
⊂<br />
P<br />
f<br />
⊂ Р,<br />
(4)<br />
31
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 1. Область гарантированного качества на плоскости проектных параметров D p<br />
и комплексной плоскости D s<br />
где B = L( A ) - функционально – преобразованная<br />
посредством оператора L матрица.<br />
Процедура получения функционально – преобразованной<br />
(ФП) матрицы подробно изложена<br />
в [2].<br />
В соответствии с отмеченным ранее<br />
алгоритмом определения динамических<br />
свойств системы «РН – АС» в качестве функционала,<br />
определяющего принадлежность<br />
Spec B ∈ D , выбирается спектральный<br />
q<br />
радиус матрицы B :<br />
q<br />
J = R = max q , i = 1 n , (5)<br />
q i<br />
,<br />
i<br />
где q<br />
i<br />
- собственные числа ФП-матрицы .<br />
Расчет внутренней точки области D p<br />
допустимых значений проектных параметров<br />
в выбранном сечении сводится к решению<br />
задачи нелинейного программирования для<br />
функционала (5) с учетом ограничений (2).<br />
Исследование зависимости функционала (5)<br />
от проектных параметров, выполненное на<br />
модельных задачах малой размерности, показало,<br />
что эта зависимость является существенно<br />
нелинейной. Для задач высокой размерности<br />
(при n > 4) такой анализ вообще<br />
затруднителен. Соответственно задача модального<br />
формирования динамических<br />
свойств системы «РН – АС» относится к классу<br />
многопараметрических, многоэкстремальных<br />
задач. Наличие локальных экстремумов<br />
обусловлено неоднозначным влиянием множества<br />
допустимых проектных параметров<br />
на качество динамических свойств системы<br />
«РН – АС» (быстродействие, колебательность,<br />
затухание) [1].<br />
Отметим, что глобальный экстремум<br />
определяет минимально возможный спектральный<br />
радиус на плоскости комплексной<br />
переменной q ФП – матрицы для заданного<br />
гиперпространства допустимых проектных<br />
параметров k, т. е. задает минимально возможный<br />
для данных допустимых проектных<br />
параметров функционал. Следовательно, глобальный<br />
экстремум определяет максимально<br />
возможный запас относительно границы области<br />
D q<br />
на комплексной плоскости q расположения<br />
спектра собственных значений матрицы<br />
замкнутой системы «РН – АС».<br />
Для отыскания глобального экстремума<br />
(5) применяется метод случайного поиска<br />
с направляющим конусом [3]. Метод применим<br />
как для случая многоэкстремальных задач,<br />
так и для случая, когда функционал (5)<br />
не всюду дифференцируем, особенно в точке<br />
экстремума. Он может быть также применен<br />
для определения экстремума (5) на границе<br />
области D p<br />
.<br />
Ниже приведен алгоритм модифицированного<br />
метода случайного поиска с направляющим<br />
конусом с уточнением значения глобального<br />
экстремума методом Ньютона.<br />
Пусть в пространстве допустимых проектных<br />
параметров<br />
p<br />
j<br />
∈ p<br />
f<br />
, j = 1,<br />
k , находя-<br />
32
щихся в диапазонах<br />
p<br />
j min<br />
≤ p<br />
j<br />
≤ p<br />
j max<br />
, определен<br />
гиперконус с параметрами λ и γ (λ -<br />
длина вектора поиска, γ - угол при вершине<br />
конуса поиска) (рис. 2). Кроме того, задано<br />
число итераций поиска ζ, количество проб на<br />
данной итерации m и начальные значения<br />
проектных параметров<br />
p<br />
j min<br />
≤ p<br />
j<br />
≤ p<br />
j max<br />
нач<br />
p<br />
j из области<br />
. Потребуем, чтобы ось при<br />
вершине данного конуса совпадала с направлением<br />
так называемого “вектора памяти”.<br />
Направление “вектора памяти” на нулевой<br />
итерации задается следующим образом. Из<br />
начальной точки<br />
p нач ,<br />
j = , k в случайно<br />
j<br />
1<br />
выбранных направлениях проводятся m сканирующих<br />
сечений радиусом λ с последующим<br />
расчетом функционала<br />
( p , p ,..., p ),l<br />
, m<br />
J<br />
l 1 2 k<br />
= 1 . Из данных сечений<br />
выбирается то, которому соответствует минимальное<br />
значение функционала<br />
min J<br />
l<br />
l<br />
( p , p ,..., p )<br />
1 2 k . Данное сечение определяет<br />
направление “вектора памяти”.<br />
Далее вокруг вершины конуса проводится<br />
гиперсфера радиуса λ. Конус отсечет<br />
от этой сферы часть гиперповерхности, на которой<br />
случайным образом выбирается m<br />
пробных точек. По значениям функций качества<br />
в этих точках J<br />
l(<br />
p1 , p2<br />
,..., pk<br />
),l = 1,<br />
m<br />
определяется точка, соответствующая минимальному<br />
значению функционала (5) на данной<br />
итерации по алгоритму<br />
J<br />
min<br />
( p , p ,..., p ) =<br />
= min J ( p , p ,..., p<br />
l<br />
1<br />
l<br />
2<br />
1<br />
2<br />
k<br />
k<br />
).<br />
(6)<br />
Данная точка задает направление “вектора<br />
памяти” для следующей итерации. В<br />
этом направлении и производится рабочий<br />
шаг. Направление поиска, таким образом,<br />
целиком и полностью определяется указанным<br />
конусом, т. е. случайные пробы выбираются<br />
внутри него. Поэтому естественно назвать<br />
этот конус направляющим. Направление<br />
“вектора памяти” при этом следует определять<br />
наилучшей пробой предыдущего<br />
этапа (6).<br />
По мере накопления информации о поведении<br />
функционала (5) “вектор памяти”<br />
33<br />
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
стремится развернуться в направлении, обратном<br />
градиенту (рис. 2). Правильный выбор<br />
сочетания λ и γ позволяет сравнительно<br />
легко переходить от одного экстремума к другому,<br />
обходить “овраги”. После определения<br />
локальной области глобального экстремума<br />
функционала при заданном числе итераций<br />
ζ производится его уточнение до заданной<br />
точности ε с использованием метода Ньютона<br />
[4].<br />
Одним из нюансов в задаче поиска глобального<br />
экстремума является правильное<br />
задание λ и γ . Оптимальный вариант, полученный<br />
в результате многократных расчетов,<br />
соответствует<br />
p<br />
0<br />
j max<br />
− p<br />
j min<br />
γ = ( 40 ÷ 60 ) , λ =<br />
. (7)<br />
20 ÷ 50<br />
Для проведения поиска экстремума производится<br />
масштабирование заданного диапазона<br />
≤ p ≤ p таким образом, чтобы<br />
p<br />
p<br />
j min<br />
j<br />
j max<br />
− p = 1,<br />
j , k .<br />
j max j min<br />
= 1<br />
Это связано с тем, что истинные значения<br />
допустимых проектных параметров отличаются<br />
друг от друга в рассматриваемом<br />
диапазоне на несколько порядков. Например,<br />
значения коэффициентов АС лежат<br />
в диапазонах:<br />
a<br />
0<br />
= 0 ÷ 50,<br />
a1<br />
= ( 0 ÷ 50 ) с,<br />
2<br />
c<br />
a4 = ( −0 . 01 ÷ 0.<br />
01 ) , а диапазон диаметра го-<br />
м<br />
ловного блока (ГБ) составляет ∅ = ( 1÷10 ) м .<br />
Соответственно отношение<br />
∅<br />
a<br />
ГБ<br />
ГБ<br />
max<br />
4<br />
2 3<br />
= 10 ÷10<br />
Поэтому общий радиус λ (шаг поиска) в гиперпространстве<br />
данных параметров задать<br />
не представляется возможным. Для диапазонов<br />
некоторых проектных параметров (например,<br />
a<br />
4 ) выбранный радиус λ будет<br />
соизмерим с диапазоном этих параметров<br />
( λ ≈ p − p )<br />
j max<br />
j max<br />
, что вызовет нечувствительность<br />
метода к данным проектным параметрам<br />
(шаг поиска экстремума в любом<br />
направлении будет соответствовать выходу из<br />
заданного диапазона). В то же время для других<br />
проектных параметров данный радиус<br />
λ (шаг поиска) будет слишком мал<br />
.
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
⎛ p<br />
⎜ j<br />
p<br />
⎜<br />
⎝<br />
λ<br />
max<br />
−<br />
j max 3<br />
≥ 10<br />
⎞<br />
⎟ , что приведет к “зацик-<br />
⎟<br />
⎠<br />
ливанию” метода случайного поиска либо на<br />
первом же локальном экстремуме, либо на<br />
“овраге” (без возможности выхода из него).<br />
Поэтому на время поиска глобального<br />
экстремума все диапазоны допустимых проектных<br />
параметров приводятся к единому<br />
значению (например к единице) для обеспечения<br />
условия (7) для всех k проектных параметров.<br />
После определения по (6) глобального<br />
экстремума (функционала) все проектные<br />
параметры (и соответствующие им диапазоны)<br />
приводятся к своим истинным значениям.<br />
Направление рабочего вектора можно<br />
определить либо с помощью направляющих<br />
косинусов относительно выбранных осей,<br />
либо с помощью любых чисел, пропорциональных<br />
данным косинусам:<br />
Cosϕ<br />
Cosβ<br />
j<br />
j<br />
=<br />
=<br />
λ + λ<br />
h<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
+ h<br />
λ<br />
2<br />
2<br />
h<br />
2<br />
2<br />
j<br />
+ ... + λ<br />
j<br />
2<br />
k<br />
+ ... + h<br />
2<br />
k<br />
,<br />
.<br />
(8)<br />
Направляющие косинусы Cos ϕ<br />
j<br />
, Cos β<br />
являются координатами единичных векторов,<br />
совпадающих по направлениям с “вектором<br />
памяти” и рабочим вектором, соответственно.<br />
Числа λ1 , λ2<br />
,..., λk<br />
являются проекциями<br />
“вектора памяти” (рис. 2) на соответствующие<br />
оси проектных параметров системы<br />
«РН–АС», а числа<br />
h1 ,h2<br />
,...,hk<br />
- проекциями<br />
рабочего вектора на те же оси. В данном методе<br />
Cosϕ<br />
j<br />
“вектора памяти” соответствует<br />
Cosβ<br />
j рабочего вектора, определяемого наилучшей<br />
пробой предыдущего шага по (6).<br />
Связь между проектными параметрами<br />
p<br />
1<br />
, p2<br />
,..., p k<br />
и координатами рабочего вектора<br />
h<br />
1<br />
,h2<br />
,...,hk<br />
осуществляется через выражение<br />
p<br />
нач<br />
= p + h , j = ,k . (9)<br />
j j j<br />
1<br />
Угол φ между двумя векторами (не должен<br />
превышать половины угла направляющего<br />
конуса при вершине в гиперпространстве<br />
проектных параметров) определяется из условия:<br />
j<br />
Рис. 2. Метод случайного поиска с направляющим конусом<br />
34
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Cosφ<br />
= Cosϕ<br />
Cosβ<br />
Cosφ<br />
=<br />
Cosφ<br />
=<br />
λ<br />
2<br />
1<br />
k<br />
∑<br />
j=<br />
1<br />
λ h + ... + λ h<br />
+ ... + λ<br />
k<br />
1<br />
∑<br />
j=<br />
1<br />
λ<br />
λ h<br />
2<br />
j<br />
1<br />
j<br />
1<br />
j<br />
k<br />
1<br />
∑<br />
j=<br />
1<br />
+ ... + Cosϕ<br />
Cosβ<br />
2<br />
n<br />
h<br />
2<br />
j<br />
.<br />
2<br />
1<br />
k<br />
k<br />
k<br />
λ + ... + λ<br />
2<br />
n<br />
,<br />
k<br />
;<br />
(10)<br />
Если учесть, что высота направляющего<br />
конуса (длина шага поиска) равна<br />
λ =<br />
λ =<br />
λ + ... + λ<br />
2<br />
1<br />
k<br />
∑<br />
j=<br />
1<br />
λ<br />
2<br />
i<br />
=<br />
2<br />
k<br />
k<br />
=<br />
∑<br />
j=<br />
1<br />
h<br />
2<br />
j<br />
h<br />
,<br />
2<br />
1<br />
то в результате получим<br />
+ .. + h<br />
2<br />
k<br />
;<br />
(11)<br />
λ<br />
jh<br />
j=<br />
1<br />
Cosφ<br />
=<br />
2<br />
λ<br />
Cosγ<br />
Cosφ<br />
≤ .<br />
2<br />
k<br />
∑<br />
j<br />
,<br />
(12)<br />
Задача заключается в выборе m различных<br />
сочетаний проектных параметров, удовлетворяющих<br />
условиям (11), (12).<br />
Данный алгоритм реализован в подпрограмме<br />
Model.exe, которая позволяет находить<br />
глобальный экстремум в гиперпространстве<br />
проектных параметров системы. На<br />
рисунке 3 показана работа разработанной<br />
программы с функцией, имеющей множество<br />
“оврагов” и локальных экстремумов.<br />
Рис. 3. Определение глобального экстремума методом случайного поиска с направляющим конусом<br />
Список литературы<br />
1. Формирование динамических<br />
свойств упругих космических аппаратов /<br />
Б. А. Титов, В. А. Вьюжанин, В. В. Дмитриев.<br />
– М.: Машиностроение, 1995.<br />
2. Анализ и оптимальный синтез на<br />
ЭВМ систем управления / Под ред. А. А Воронова<br />
и И. А. Орурка. – М.: Наука. Главная<br />
редакция физико-математической литературы,<br />
1984.<br />
3. Растригин Л. А. Системы экстремального<br />
управления. - М.:Наука, 1974.<br />
4. Амосов А. А, Дубинский Ю. А., Копченова<br />
Н. В. Вычислительные методы для<br />
инженеров: Учеб. пособие. - М.: Высш.шк.,<br />
1994.<br />
35
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
USING RANDOM SEARCH METHOD FOR THE TASK OF MODAL<br />
FORMATION OF DYNAMIC PROPERTIES OF THE «CARRIER ROCKET –<br />
STABILIZATION AUTOMATON» SYSTEM<br />
© 2007 I. Yе. Davydov<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper presents an algorithm of the random search modified method functioning. A numerical example is<br />
provided.<br />
36
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
УДК 629.785<br />
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ<br />
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С ДВИГАТЕЛЯМИ МАЛОЙ ТЯГИ. ЧАСТЬ I<br />
© 2007 В. В. Салмин, В. В. Васильев, С. А. Ишков, В. А. Романенко,<br />
В. О. Соколов, О. Л. Старинова, В. В. Юрин<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
В первой части статьи приводятся математические постановки задач оптимизации перелетов космических<br />
аппаратов с двигателями малой тяги и методы их решения. Рассматриваются особенности используемых<br />
математических моделей движения для оптимизации управления в рамках различных задач.<br />
Введение<br />
Механика полета с малой тягой (МТ)<br />
выделилась в настоящее время в новый раздел<br />
механики космического полета, рассматривающий<br />
в совокупности проблемы оптимизации<br />
траекторий и законов управления<br />
движением, а также выбора оптимальных<br />
проектных параметров космического аппарата<br />
(КА) и его энергодвигательной установки<br />
[1, 2].<br />
К настоящему времени в России (а ранее<br />
в СССР) и ряде других стран – США, Германии,<br />
Франции, Англии, Японии – созданы<br />
и испытаны серийные образцы электроракетных<br />
двигателей (ЭРД), которые активно используются<br />
в космическом пространстве для<br />
решения целого ряда практических задач космонавтики.<br />
В основном ЭРД использовались<br />
в околоземном космосе. Однако уже имеются<br />
примеры успешной реализации космических<br />
перелетов с малой тягой в дальнем космосе,<br />
например, проекты NASA и ESA<br />
Deep Space 1 в 1999-2001 гг., SMART 1 в<br />
2003 -2006 гг. (рис. 1.1) и продолжающаяся<br />
миссия JAXA Hayabusa 2003 г.<br />
Главным направлением теоретических<br />
исследований в течение многих лет в области<br />
оптимизации космических перелетов с МТ<br />
является развитие аналитических и численных<br />
методов решения задач расчета оптимальных<br />
траекторий. В последнее время<br />
большее значение приобретают вопросы, связанные<br />
с учетом дополнительных факторов<br />
в математических моделях движения, использованием<br />
более полных проектных моделей<br />
КА и дополнительных ограничений на возможности<br />
управления двигательной установкой<br />
(ДУ).<br />
Поэтому вопрос выбора математической<br />
модели (или последовательности моделей)<br />
для решения вариационных задач приобретает<br />
первостепенную важность. Соответственно,<br />
проблема оптимизации маневра с<br />
МТ не сводится лишь к поиску оптимальных<br />
траекторий, а формулируется как проблема<br />
совместной оптимизации проектных параметров,<br />
траекторий и законов управления<br />
движением КА.<br />
В настоящей статье, имеющей две части,<br />
представлены в сжатом виде результаты,<br />
полученные авторами в ходе многолетних<br />
исследований. Более подробное изложение<br />
описанных методов и задач содержится<br />
в монографиях [16, 25], а также в статьях<br />
[6 15, 17 24].<br />
Рис. 1.1. Экспериментальный аппарат NASA<br />
Deep Spase 1 с ЭРД<br />
37
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
1. Методы и модели оптимизации<br />
космических перелетов с малой тягой<br />
1.1. Математические постановки<br />
задач оптимизации<br />
Сформулируем проблему совместной<br />
оптимизации баллистических параметров и<br />
траекторий динамического маневра и проектных<br />
параметров КА с двигателем МТ. Под<br />
динамическим маневром z из множества<br />
маневров Z понимается переход КА из начального<br />
состояния x( t ) ∈ X в конечное<br />
0 0<br />
x( t K<br />
) ∈ X K<br />
. Вектор баллистических параметров<br />
маневра b включает начальное X<br />
0<br />
и конечное<br />
X многообразия в пространстве<br />
K<br />
состояний, внешние условия и ограничения<br />
и определяет схему и продолжительность<br />
маневра:<br />
z = ( z , z<br />
X<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2<br />
,......, z<br />
= X ( z),<br />
t<br />
m<br />
0<br />
)<br />
T<br />
∈ Z ⊂ E<br />
= t ( z),<br />
0<br />
m<br />
,<br />
X<br />
K<br />
= X<br />
K<br />
( z),<br />
t<br />
K<br />
= t<br />
K<br />
( z).<br />
(1.1)<br />
Обозначим символом p вектор проект-<br />
T<br />
ных параметров p = ( p1 , p2,...,<br />
pl<br />
) ∈ P , соответствующих<br />
принятой конструктивнокомпоновочной<br />
схеме КА. Здесь P – множество<br />
допустимых проектных параметров.<br />
Динамику движения КА будем описывать<br />
системой обыкновенных дифференциальных<br />
уравнений:<br />
dx<br />
x&<br />
= = f ( t,<br />
x,<br />
u,<br />
p,<br />
υ),<br />
x(<br />
t0)<br />
∈ X 0(<br />
z),<br />
x(<br />
tк)<br />
∈ X<br />
dt<br />
u = u(<br />
t,<br />
x)<br />
∈U(<br />
p),<br />
p∈P,<br />
z∈Z,<br />
υ ∈Ω( z).<br />
к<br />
( z),<br />
(1.2)<br />
T<br />
Здесь x = ( x1 , x2,...,<br />
xn<br />
) ∈ X - вектор состояния<br />
(фазовых координат) системы;<br />
1<br />
- вектор функ-<br />
T<br />
u( t,x) = ( u ,u2<br />
,.....,ur<br />
) ∈U<br />
( p)<br />
ций управления; ( p)<br />
U - множество допустимых<br />
управлений; u∈Ω(z) - вектор случайных<br />
и неопределенных параметров, учитывающий<br />
неполноту информации об условиях реализации<br />
отдельных маневров; множество<br />
Ω(z) задает априори границы, в которых заключены<br />
неопределенности.<br />
Общей задачей совместной оптимизации<br />
будем называть задачу отыскания проектных<br />
параметров p ∈ P и совокупности функций<br />
( utxz (, , ), xtz (, ))<br />
из множества допустимых<br />
D, обеспечивающих реализацию диапазона<br />
динамических маневров Z при минимальном<br />
(максимальном) значении заданного<br />
критерия эффективности µ . Сложность<br />
этой задачи состоит в том, что траектории<br />
существенно зависят от проектных параметров,<br />
и наоборот, параметры КА во многом<br />
определяются выбранными траекториями и<br />
режимами управления.<br />
Введем интегро-терминальный критерий<br />
(функционал) I, зависящий от траектории<br />
x(t), управления u(t, x), баллистических<br />
параметров маневра b и проектных параметров<br />
p, а также неопределенных факторов υ :<br />
I<br />
[ z, p,<br />
x() t , u( t,<br />
x)<br />
, ] = F[ x( t<br />
0<br />
),<br />
x( t<br />
К)<br />
] + ∫f<br />
0<br />
( t,<br />
x,<br />
u,<br />
υ )<br />
υ dt.<br />
t K<br />
t0<br />
(1.3)<br />
Задачу отыскания экстремума функционала<br />
[ z, p,<br />
x( t) , u( t,<br />
x)<br />
,υ]<br />
I при заданных параметрах<br />
Z и p назовем динамической задачей<br />
оптимизации. Пусть существует траектория<br />
x ( t) и управление u( t, x) , доставляющие<br />
минимум функционалу<br />
[ z, p,<br />
x( t) , u( t,<br />
x)<br />
,υ]<br />
I при фиксированных векторах<br />
Z и p для некоторой принятой модели<br />
неопределенностей υ ~ ∈ Ω :<br />
( x(<br />
t),<br />
u(<br />
t,<br />
x))<br />
= argmin I[<br />
z,<br />
p,<br />
x(<br />
t)<br />
u(<br />
t,<br />
x),<br />
υ<br />
~<br />
] .<br />
x(<br />
t)<br />
∈X<br />
,<br />
u(<br />
t,<br />
x)<br />
∈U<br />
( p)<br />
(1.4)<br />
Минимальное значение функционала I,<br />
соответствующее этой траектории, будем называть<br />
динамической характеристикой<br />
маневра S(z, p, υ ~ ).<br />
Сформулируем различные постановки<br />
задачи оптимизации.<br />
1. Основной задачей оптимизации КА,<br />
предназначенного для выполнения единичного<br />
маневра с полной информацией<br />
z ∈ Z , назовем задачу отыскания вектора<br />
проектных параметров p∈ P и вектор функ-<br />
38
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
ций ( u( t,<br />
x,<br />
z),<br />
x(<br />
t,<br />
z)<br />
) ∈D<br />
, доставляющих<br />
максимум критерию µ :<br />
( xu , , p) = argmax µ ( z, pxt , (), utx (, )) .(1.5)<br />
( xu , ) ∈D( p),<br />
p∈P<br />
2. Вектор параметров p ∈ P оптимален<br />
для диапазона динамических маневров<br />
Z, если КА с параметрами p может выполнить<br />
любой маневр из заданного диапазона<br />
Z и максимальная степень неоптимальности<br />
ρ( zp , ) на множестве Z достигает<br />
минимального значения при p = p :<br />
p = argminmax ρ(, z p)<br />
.<br />
p∈P<br />
z∈Z<br />
Под степенью неоптимальности ρ ( z, p ) понимается<br />
мера проигрыша в критерии эффективности<br />
µ ( z,<br />
p)<br />
при отклонении вектора<br />
проектных параметров pz ( ) от оптимального<br />
значения p( z ). Вектор p назовем вектором<br />
универсальных для множества Z проектных<br />
параметров.<br />
3. Задачу о максимуме критерия оптимальности<br />
µ ( z,<br />
p,<br />
x,<br />
u)<br />
назовем разделяющейся<br />
на динамическую и параметрическую,<br />
если в критерии µ удается выделить критерий<br />
низшего уровня - функционал I, зависящий<br />
только от траекторий и управления и не<br />
зависящий от проектных параметров. Минимум<br />
I для каждого фиксированного маневра<br />
достигается на паре ( x(<br />
t),<br />
u ( t,<br />
x))<br />
∈ D и обеспечивает<br />
локальный максимум критерия µ<br />
при любом выборе вектора параметров p∈ P:<br />
µ = µ ( z,<br />
p,<br />
I[<br />
z,<br />
x,<br />
u])<br />
. Если в соответствии со<br />
сказанным выше<br />
min Izxt [, (), utx (, )] ≡ Sz ( ) ∀ p∈ P,<br />
D<br />
тогда<br />
µ ( z, p, x,u ) ≡ µ ( z, p,S( z )).<br />
∂µ<br />
Очевидно, если < 0, то решение задачи<br />
оптимизации реализуется в форме<br />
∂S<br />
двух<br />
выполняемых независимо друг от друга операций:<br />
1) ( x,<br />
u ) = arg min I[<br />
z,<br />
x,<br />
u]<br />
, I ( z,<br />
x,<br />
u ) = S(<br />
z)<br />
,<br />
( x,<br />
u)<br />
∈D<br />
(1.6)<br />
2) p = arg max µ ( z,<br />
p,<br />
S(<br />
z))<br />
. (1.7)<br />
p∈P<br />
4. Задачу о максимуме критерия<br />
µ ( z,<br />
p,<br />
x,<br />
u)<br />
будем называть условно разделяющейся<br />
на динамическую и параметрическую<br />
части, если минимум функционала<br />
I ( z,<br />
p,<br />
x,<br />
u)<br />
обеспечивает локальный максимум<br />
критерия µ. Отыскание глобального максимума<br />
µ реализуется в форме двух последовательных<br />
операций:<br />
1) ( x,<br />
u ) = arg min I[<br />
z,<br />
p,<br />
x,<br />
u]<br />
,<br />
( x,<br />
u)<br />
∈D<br />
I ( z,<br />
p,<br />
x,<br />
u)<br />
= S(<br />
z,<br />
p)<br />
, (1.8)<br />
2) p( z) argmax µ ( z, pSz , (, p))<br />
= . (1.9)<br />
p∈P<br />
Решение этой задачи связано с необходимостью<br />
иметь зависимость S(z,p), определенную<br />
на множестве P во всем диапазоне<br />
маневров Z.<br />
1.2. Методы решения задач<br />
оптимального управления<br />
В задачах оптимального управления<br />
элементами класса допустимых D являются<br />
управляемые процессы, точнее их математические<br />
модели. Рассмотрим систему, которая<br />
в каждый момент времени характеризуется<br />
вектором состояния<br />
( 1 2<br />
x = x , x ,..., ) , являющимся<br />
элементом некоторого множества X,<br />
называемого пространством состояний. Изменение<br />
состояния x во времени называется<br />
процессом. Управляемые процессы принято<br />
описывать путем указания закономерности<br />
перехода от предыдущего состояния к последующему<br />
в зависимости от управляющего<br />
воздействия, которое характеризуется вектором<br />
управлений ( , ,..., )<br />
u u1 u2<br />
u r<br />
x n<br />
= , являющимся<br />
элементом некоторого множества U<br />
(множества управлений).<br />
T<br />
T<br />
39
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Математическая модель управляемого<br />
процесса представляет собой, как правило,<br />
уравнение, связывающее последующее состояние<br />
с предыдущим состоянием и управлением.<br />
Следует подчеркнуть, однако, формальный<br />
смысл понятий состояния и управления,<br />
связанный с принятой формой математической<br />
модели, которая для реального объекта<br />
может быть не единственной. Например, в<br />
задачах оптимизации космических траекторий<br />
в качестве состояния принято рассматривать<br />
положение и скорость центра масс КА,<br />
а в качестве управления – направление вектора<br />
тяги. Изменение направления вектора<br />
тяги часто достигается путем его поворота с<br />
помощью устройств, создающих моменты<br />
относительно центра масс (ЦМ), что заставляет<br />
учитывать и динамику вращательного<br />
движения КА. Это несоответствие отражает<br />
тот факт, что математическая модель зависит<br />
от тех задач, которые должны решаться с ее<br />
помощью.<br />
Пусть на отрезке [ t<br />
0<br />
,t к<br />
] задается множество<br />
D как множество кусочно-непрерывных<br />
функций и (t)<br />
и кусочно-дифференцируемых<br />
x (t)<br />
, удовлетворяющих условиям (1.2)<br />
и минимизирующих функционал (1.3). Общий<br />
подход к решению задачи оптимизации<br />
в постановке (1.2, 1.3) основан на использовании<br />
принципа расширения и достаточных<br />
условий оптимальности В.Ф. Кротова [3, 4].<br />
Как правило, во многих задачах оптимизации<br />
множество допустимых D задается<br />
посредством некоторых условий, выделяющих<br />
его из более широкого множества E.<br />
Принцип расширения множества допустимых<br />
состояний и управлений состоит в том,<br />
что функционал доопределяется на более<br />
широкое множество E′ , но так, что наименьшее<br />
значение он принимает в D. Для того,<br />
чтобы функционал (1.3) достигал абсолютного<br />
минимума на ( х,<br />
u)<br />
∈ D , достаточно существования<br />
такой непрерывной и дифференцируемой<br />
функции ϕ ( t,<br />
x)<br />
, чтобы<br />
1. R( x,<br />
u,<br />
t)<br />
( )<br />
= max R x,<br />
u,<br />
t ,<br />
( x, u ) ∈E<br />
() t<br />
2. G( x( t ) x( t ))<br />
где<br />
G(<br />
0 , k<br />
0<br />
n ∂ϕ<br />
R = ∑<br />
i = 1 ∂ xi<br />
( ( ) ( ))<br />
= min G x t , x tk<br />
,<br />
x<br />
t0 ) ∈Ex<br />
( t0<br />
)<br />
x( t ) ∈ E ( t )<br />
f<br />
i<br />
k<br />
x<br />
∂ϕ<br />
+ ,<br />
∂t<br />
k<br />
(1.10)<br />
x0 ,xk ) = F( ⋅)<br />
+ ϕ( tk<br />
,xk<br />
) − ϕ( t0<br />
,x0<br />
). (1.11)<br />
Необходимо задать синтезирующую<br />
функцию ϕ(t, x), которая доопределяет функционал<br />
I на E⊃D так, чтобы минимум I принадлежал<br />
D. Один из способов (формализмов)<br />
приводит к процедуре принципа максимума<br />
Понтрягина, другой – к процедуре динамического<br />
программирования, а третий<br />
(метод кратных максимумов) пригоден для<br />
решения так называемых вырожденных задач.<br />
1.3. Метод усреднения в задачах<br />
оптимального управления<br />
При решении некоторых видов динамических<br />
задач оптимизации в механике полета<br />
с МТ используются методы асимптотического<br />
разделения параметров движения на<br />
быстрые и медленные компоненты [2]. Это<br />
обусловливается, во-первых, наличием в явном<br />
виде малого параметра - реактивного<br />
ускорения от тяги, которое меньше гравитационного<br />
на несколько порядков; во вторых,<br />
присутствием циклической переменной - угловой<br />
координаты.<br />
Запишем уравнения движения в общем<br />
виде, придерживаясь общепринятых в задачах<br />
такого рода обозначений:<br />
( , ϕ,<br />
( ))<br />
x& = a⋅X x u t ,<br />
( )<br />
( x, ) aY x, , u( t)<br />
ϕ& = ω ϕ + ⋅ ϕ , (1.12)<br />
где x - вектор «медленных» переменных размерности<br />
n; а - малый параметр; ϕ - быстрая<br />
скалярная переменная (фаза); ( t)<br />
u ∈ U -<br />
вектор управлений размерности r.<br />
В общем случае в управление могут<br />
входить как быстрые, так и медленные составляющие.<br />
Поэтому задачу выбора оптимального<br />
управления удобно разделить на<br />
две: определение управления как функции<br />
40
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
быстрой переменной (выбор структуры управления<br />
на витке) и определение законов<br />
изменения параметров этой программы от<br />
витка к витку.<br />
Критерий оптимальности представим в<br />
следующем виде:<br />
T<br />
0<br />
0<br />
( , )<br />
I = a∫ F xu dt . (1.13)<br />
Перейдем в системе (1.12) от времени t<br />
к быстрой переменной ϕ :<br />
dx<br />
dϕ<br />
dτ<br />
dϕ<br />
= aXx<br />
= a⋅ω<br />
−1<br />
( , ϕ,<br />
u()<br />
t) ⋅ω<br />
( x,<br />
ϕ)<br />
−1<br />
( x,<br />
ϕ).<br />
,<br />
(1.14)<br />
Здесь τ - так называемое «медленное» время,<br />
τ = a⋅ t. В соответствии с принципом<br />
максимума Понтрягина введем вектор сопряженных<br />
переменных Ψ и запишем Гамильтониан<br />
системы (1.14):<br />
H = ψ<br />
+ ψ<br />
Г<br />
T<br />
⋅aω<br />
−1<br />
( aω<br />
( x, ϕ ) ⋅ X( x, ϕ ,u( t)<br />
))<br />
+<br />
−1<br />
−1<br />
( x, ϕ ) − aω<br />
( x, ϕ ) ⋅ F ( x, ϕ ,u) =<br />
( x, ϕ,<br />
ψ u)<br />
= aF , . (1.15)<br />
Определим локально-оптимальное управление<br />
u% из условия максимума Гамильтониана<br />
на отрезке ϕ∈<br />
[ 0,2π]<br />
0<br />
. Проведем затем<br />
процедуру усреднения исходной и сопряженной<br />
систем по быстро меняющейся переменной<br />
ϕ. Усредненная система уравнений<br />
будет иметь вид<br />
∧<br />
2π<br />
dx<br />
a<br />
∧ ∧ ∧<br />
−1<br />
⎛<br />
⎞<br />
= ω ( , ϕ)<br />
⋅ , ϕ, ⎛<br />
x, ψϕ ,<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ dϕ,<br />
dϕ<br />
2π<br />
∫ x X⎜x u%<br />
⎟<br />
⎝ ⎝ ⎠⎠<br />
∧<br />
dψ<br />
dϕ<br />
dτ<br />
dϕ<br />
0<br />
2π<br />
∧ ∧ ∧<br />
a ⎛<br />
⎞<br />
= Fx<br />
, yu ,<br />
⎛<br />
x, ψϕ ,<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ dϕ,<br />
2π<br />
∫ ⎜x<br />
% ⎟<br />
⎝ ⎝ ⎠⎠<br />
0<br />
2π<br />
a<br />
∧<br />
−1<br />
= ω<br />
⎛<br />
x, ϕ<br />
⎞<br />
⎜ ⎟dϕ,<br />
2π<br />
∫<br />
⎝ ⎠<br />
0<br />
а усредненный критерий оптимальности<br />
(1.16)<br />
T 2π<br />
a<br />
∧ ∧ ∧<br />
⎛<br />
=<br />
0<br />
,<br />
⎛<br />
, ψϕ ,<br />
⎞<br />
2π<br />
⎜ ⎜ ⎟<br />
0 0 ⎝ ⎝ ⎠<br />
J ∫∫ F xu% ⎞<br />
x ⎟dϕ<br />
dt<br />
⎠<br />
. (1.17)<br />
Интегралы в правых частях системы<br />
(1.16) образуют совокупность так называемых<br />
«усредняющих интегралов»:<br />
2π<br />
0<br />
()<br />
∫ , ( ) T<br />
j<br />
Φ= ⋅ dϕ<br />
Φ= Φ , j = 1,2n+ 1. (1.18)<br />
После усреднения правые части системы<br />
(1.16) не содержат циклической переменной<br />
ϕ. Поэтому модель «медленной» эволюции<br />
вектора состояния и вектора сопряженных<br />
переменных может быть представлена в<br />
виде системы интегро-дифференциальных<br />
уравнений с «медленным» временем в качестве<br />
независимой переменной:<br />
∧<br />
dq<br />
dτ<br />
j<br />
=<br />
Φ<br />
∧<br />
Φ<br />
j⎜z<br />
⎟<br />
2n+<br />
1<br />
j = 1,2n+ 1,<br />
⎛ ⎞<br />
∧ ∧ ∧<br />
T<br />
⎝ ⎠<br />
∧<br />
, где q =<br />
⎛<br />
xψ ,<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎛<br />
z<br />
⎞ ⎝ ⎠ ,<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2π<br />
∧<br />
−1<br />
⎛<br />
2n 1<br />
x,<br />
⎞<br />
+<br />
d<br />
0 ⎝ ⎠<br />
Φ = ∫ ω ⎜ ϕ⎟<br />
ϕ . (1.19)<br />
Исходная оптимизационная задача сводится,<br />
таким образом, к решению краевой<br />
задачи для системы (1.16, 1.17). Однако вычисление<br />
усредняющих интегралов (1.18)<br />
представляет самостоятельную проблему и<br />
требует разработки специальных процедур.<br />
1.4. Приближенный метод решения<br />
динамической задачи (метод разбиения)<br />
Пусть движение КА описывается системой<br />
дифференциальных уравнений (1.2).<br />
Откажемся от получения универсального решения<br />
для всего пространства переменных<br />
и поставим цель определить ряд упрощенных<br />
решений для каждой отдельной выделенной<br />
области X пространства состояний. Разобьем<br />
допустимую область фазового пространства<br />
переменных на т подобластей таких, что<br />
X<br />
⊆ X1 ∪ X<br />
2<br />
∪ X<br />
3<br />
∪ ... ∪ X m<br />
. Заменим исходную<br />
двухточечную краевую задачу на многоэтапную<br />
последовательность переходов:<br />
x<br />
0<br />
→ x → x<br />
1<br />
2<br />
→ ... → x<br />
m−1<br />
→ x<br />
К<br />
,<br />
41
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
где { x ,x ,..., x }<br />
x - граничные условия<br />
R<br />
= 1 2 m −1<br />
промежуточных (нефиксированных) состояний:<br />
x ∈ X<br />
1<br />
x ∈ X<br />
2<br />
1<br />
2<br />
∩ X<br />
…………<br />
2<br />
∩ X<br />
,<br />
3,<br />
(1.20)<br />
xm<br />
−1 ∈ X<br />
m −1<br />
∩ X<br />
m.<br />
Таким образом, сложный динамический<br />
маневр представим в виде последовательности<br />
маневров с параметрами<br />
z<br />
z<br />
1<br />
2<br />
=<br />
=<br />
T<br />
{ x0,x1}<br />
,<br />
T<br />
{ x ,x } ,<br />
1<br />
2<br />
……………..<br />
z<br />
=<br />
T<br />
{ x ,x } .<br />
m m−1<br />
К<br />
(1.21)<br />
Функция управления для единичного<br />
маневра z<br />
i<br />
определяется из условия минимума<br />
функционала<br />
u ~<br />
i = arg min J ( z x ,u ),<br />
i i ,<br />
(1.22)<br />
( u ,x ) ∈ D i<br />
где D i<br />
⊆U ∪X - допустимая область управлений<br />
и состояний.<br />
В результате получается динамическая<br />
характеристика единичного маневра<br />
Si<br />
= min J ( z ,x,u ).<br />
(1.23)<br />
i i<br />
( u,x ) ∈ D<br />
i<br />
Для получения аналитических решений<br />
данной задачи по участкам в зависимости от<br />
вида выделенной области<br />
X<br />
i<br />
возможны различные<br />
подходы.<br />
1.5. Метод последовательных<br />
расширений<br />
Метод последовательных расширений<br />
предполагает поэтапную редукцию математической<br />
модели задачи оптимизации (временное<br />
отбрасывание связей и ограничений;<br />
усреднение движений, носящих циклический<br />
характер; линеаризацию движения в окрестности<br />
опорной орбиты и т. д.); получение последовательности<br />
моделей различного уровня<br />
сложности, сохраняющих, однако, все важнейшие<br />
особенности исходной модели. Затем<br />
определяется структура оптимального управления<br />
в рамках упрощенной модели, а также<br />
приближенных аналитических зависимостей<br />
критерия оптимальности (функционала) вариационной<br />
задачи от граничных условий<br />
динамического маневра; синтезирующая<br />
функция и ее частные производные по компонентам<br />
вектора состояния в аналитическом<br />
виде; проводится построение оценочной функции<br />
режимов управления.<br />
В первом приближении выбор проектных<br />
и баллистических параметров, а также<br />
траекторий и управлений осуществляется с<br />
использованием простейших проектных и<br />
динамических моделей, например, представляющих<br />
КА точкой переменной массы с «бесплатным»<br />
управлением. Последующие приближения<br />
используют более сложные модели,<br />
учитывающие, например, динамику углового<br />
движения КА, возмущающие ускорения<br />
от гравитационных, аэродинамических и<br />
иных сил.<br />
В результате реализуется схема, основанная<br />
на использовании последовательности<br />
усложняющихся моделей управляемого<br />
движения: в качестве первого приближения<br />
используются приближенно оптимальные<br />
решения для упрощенных моделей, приближенный<br />
синтез управления; затем модель<br />
динамической задачи последовательно усложняется,<br />
а решение, полученное на предыдущей<br />
итерации, используется для оценок и<br />
сравнения различных режимов управления.<br />
1.6. Итерационная процедура<br />
поэтапной оптимизации<br />
Поскольку проектные параметры КА<br />
влияют на динамическую характеристику<br />
маневра, и наоборот, баллистическая схема<br />
и траектории перелета существенным образом<br />
влияют на выбор проектных параметров,<br />
процесс оптимизации параметров КА и семейства<br />
оптимальных траекторий необходимо<br />
вести совместно.<br />
Ключевая идея предлагаемого подхода<br />
состоит в условном разделении общей проблемы<br />
оптимизации на динамическую и параметрическую<br />
части с последующим их<br />
объединением через динамическую характеристику<br />
маневра, являющуюся мерой затрат<br />
42
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
на его реализацию, зависящую от граничных<br />
условий, проектных параметров и неопределенных<br />
факторов, и уточняемую по мере перехода<br />
от простых моделей динамической<br />
задачи к более сложным.<br />
Зададим последовательность математических<br />
моделей { M<br />
S }<br />
, s=1, 2,… динамической<br />
задачи для конкретного маневра z из подмножества<br />
Z. В рамках каждой из моделей<br />
M s определим критерий оптимальности динамической<br />
задачи – функционал J(z,p,x,u,v),<br />
а также множество допустимых траекторий<br />
и управлений D s<br />
и получим динамическую ха-<br />
(<br />
рактеристику маневра S s )<br />
( z, p, υ<br />
*<br />
). Пусть в<br />
результате решения совокупности динамических<br />
задач с применением моделей { M<br />
S }<br />
получена последовательность значений<br />
глобального критерия оптимальности µ:<br />
( ) ( ) ( )<br />
{ µ s } = { µ<br />
s z, p,S<br />
s ( z, p, υ ))}, s=1,2,… и<br />
(<br />
*<br />
определен вектор оптимальных проектных<br />
параметров согласно выражению<br />
( s )<br />
p<br />
*<br />
p∈P<br />
s<br />
( )<br />
= arg max µ ( z, p,S<br />
s ( z, p, υ )) .<br />
Процесс оптимального синтеза назовем<br />
устойчивым, если сколь угодно малым приращениям<br />
вектора проектных параметров<br />
соответствуют малые изменения критерия µ.<br />
Процесс заканчивается, когда применение<br />
модели более высокого уровня не приводит<br />
к заметному изменению критерия оптимальности<br />
µ и вектора проектных параметров p .<br />
В качестве первого приближения используются<br />
приближенно оптимальные решения<br />
для упрощенных моделей, строится<br />
приближенный синтез управления. Затем<br />
модель динамической задачи последовательно<br />
усложняется.<br />
Влияние неконтролируемых факторов<br />
приводит к неопределенности динамической<br />
характеристики маневра в пределах нижних<br />
и верхних границ ее изменения S ,<br />
H<br />
S , которые<br />
в свою очередь определяются разме-<br />
B<br />
рами области неопределенности Ω . Сначала<br />
анализируются пределы изменения динамической<br />
характеристики<br />
S ( z, p )<br />
н<br />
≤ S( z, p, υ ) ≤<br />
S ( z, p )<br />
в<br />
и выбираются проектные решения i-го приближения<br />
( i )<br />
p 2<br />
p 1<br />
,<br />
( i )<br />
, соответствующие предельным<br />
оценкам S ,<br />
H<br />
S :<br />
B<br />
p i )<br />
1<br />
p<br />
2<br />
( µ<br />
( i )<br />
= arg max<br />
p ∈ P<br />
(<br />
= arg max µ (<br />
p ∈ P<br />
z, p,S ( z, p ))<br />
H<br />
z, p,S ( z, p ))<br />
B<br />
,<br />
. (1.24)<br />
Соответственно, будем иметь критерии<br />
оптимальности для двух вариантов решений:<br />
µ ( i )<br />
= ( i )<br />
( z , p ) , µ ( i )<br />
= ( i )<br />
( z , p ) .<br />
1<br />
µ<br />
( i )<br />
1<br />
2<br />
µ<br />
Сравнение компонентов векторов<br />
( i )<br />
2<br />
(1.25)<br />
( i )<br />
p 1 ,<br />
p 2<br />
и критериев µ<br />
1<br />
,<br />
( i )<br />
µ позволяет установить<br />
влияние неопределенности на облик<br />
1<br />
проектируемого КА и показатель его эффективности.<br />
На следующих итерациях уточнение<br />
проектных параметров приводит к необходимости<br />
повторного расчета семейства оптимальных<br />
траекторий и режимов управления,<br />
а также баллистических параметров.<br />
1.7. Проектная модель космического<br />
аппарата с электрореактивной<br />
двигательной установкой малой тяги<br />
Для выбора оптимальных проектных<br />
параметров КА представим его стартовую<br />
массу как сумму масс отдельных систем. Анализ<br />
работ в области оптимизации КА с ЭРД<br />
малой тяги позволяет выделить следующие<br />
элементы: 1) энергоустановку, состоящую из<br />
источника и преобразователя энергии; 2) ДУ,<br />
включающую маршевые и управляющие двигатели<br />
вместе с исполнительными органами<br />
(кардановым подвесом); 3) рабочее тело, необходимое<br />
для осуществления перелета с<br />
учетом затрат на управление; 4) систему подачи<br />
и хранения рабочего тела (баки, трубопроводы<br />
и др.); 5) полезный груз; 6) корпус и<br />
прочие элементы конструкции.<br />
Уравнение баланса масс на начальной<br />
орбите имеет вид<br />
0 ПГ Э Д СПХ T К<br />
M M M M M M M<br />
= + + + + + ,<br />
(1.26)<br />
43
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
где M<br />
0<br />
- начальная масса,<br />
M - масса по-<br />
ПГ<br />
лезного груза, M<br />
Э<br />
- масса источника и преобразователя<br />
энергии, M<br />
Д - масса ДУ, M<br />
СПХ<br />
-<br />
масса системы подачи и хранения рабочего<br />
тела, M - масса рабочего тела,<br />
Т<br />
M - масса<br />
К<br />
корпуса, прочих элементов и систем.<br />
Определим вектор параметров КА:<br />
( , , , , , )<br />
p = PP N r r I , (1.27)<br />
УПР УПР M<br />
где Р - тяга маршевых двигателей, P<br />
УПР<br />
- тяга<br />
управляющих двигателей, N – мощность<br />
энергоустановки, r УПР<br />
и r M<br />
- векторы, характеризующие<br />
расположение относительно<br />
центра масс точек крепления управляющих<br />
и маршевых двигателей, I<br />
0<br />
- тензор инерции.<br />
Компонентами этого вектора р являются параметры,<br />
наиболее полно характеризующие<br />
КА, его схему управления, массу, компоновку,<br />
энергетическую и двигательную установки<br />
и пр.<br />
Массы отдельных компонентов КА зависят<br />
от проектных параметров. Обычно применяются<br />
следующие зависимости.<br />
M<br />
M<br />
Э<br />
где<br />
ЭУ<br />
0<br />
= α N , M = γ ( P+ kP ) , (1.28)<br />
СПХ СПХ Т<br />
α<br />
ЭУ<br />
Д ДУ УПР<br />
= γ M , MK = γ′ KP+ γ′′<br />
KN,<br />
, γ<br />
ДУ<br />
, γ<br />
СПХ<br />
, γ ′<br />
К<br />
, γ ′′<br />
К<br />
- соответствую-<br />
щие удельные массовые характеристики.<br />
Мощность энергоустановки зависит от тяги<br />
двигателей и скорости истечения рабочего<br />
тела<br />
Pc 1+<br />
χ<br />
N = , (1.29)<br />
ηη<br />
где<br />
2<br />
T ПЭ<br />
P<br />
χ = УПР<br />
характеризует относительный<br />
P<br />
расход массы управляющих двигателей, η<br />
T<br />
-<br />
тяговый коэффициент полезного действия,<br />
η<br />
ПЭ<br />
- КПД преобразователя энергии.<br />
Введем в рассмотрение вектор управлений:<br />
u { e ,e , δ , M } Т<br />
=<br />
УПР УПР УПР , где e и<br />
УПР<br />
e -<br />
направления маршевого и управляющего вектора<br />
тяги, δ<br />
УПР<br />
и M<br />
УПР<br />
- функция включения-выключения<br />
и величина управляющего<br />
момента, соответственно. При жестком креплении<br />
двигателей u { ,M } ∈U<br />
= δ .<br />
УПР<br />
УПР<br />
Основная задача оптимизации формулируется<br />
следующим образом: определить<br />
из допустимого множества Р вектор проектных<br />
параметров p и вектор функций управления<br />
( t)<br />
u ∈ U , доставляющие при заданной<br />
массе полезного груза и заданном времени<br />
перелета T минимум начальной массе КА при<br />
выполнении граничных условий переходов:<br />
() t<br />
( p,u( t)<br />
,T ,M )<br />
M<br />
0<br />
= min M<br />
0<br />
ПГ . (1.30)<br />
p∈Ρ<br />
,u ∈U<br />
Для выделения динамической задачи<br />
оптимизации введем в рассмотрение «приведенную»<br />
характеристическую скорость —<br />
меру энергетических затрат на управление<br />
движением – динамическую характеристику<br />
маневра:<br />
t<br />
P ⎛ qУПР<br />
⎞<br />
VX ∫ ⎜1 + δ<br />
УПР<br />
⎟ dt , (1.31)<br />
M ⎝ q ⎠<br />
=<br />
0<br />
где q, q<br />
УПР<br />
- соответственно секундные расходы<br />
рабочего тела маршевых и управляющих<br />
двигателей.<br />
Проблема оптимизации разделяется на<br />
две независимые:<br />
1) динамическую - нахождение оптимальных<br />
программ управления:<br />
( t, p) arg minV ( u , p,x , x )<br />
uopt1<br />
XK1<br />
0<br />
u∈U<br />
= ,<br />
( t, p) arg minV ( u , p,x , x )<br />
uopt<br />
2<br />
XK 2 0<br />
u∈U<br />
= (1.32)<br />
и получение динамической характеристики<br />
перелета:<br />
( u ( t)<br />
, p,x ,x ) V ( p,x , x )<br />
VХК<br />
opt 0 K<br />
=<br />
XK 0 К ; (1.33)<br />
2) параметрическую - нахождение оптимальных<br />
проектных параметров КА:<br />
popt<br />
arg min M<br />
0 XK 0<br />
p∈Ρ<br />
[ V ( p,x ,x ),<br />
p,T , M ]<br />
= .<br />
K<br />
K<br />
K<br />
Т<br />
ПГ<br />
(1.34)<br />
44
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
1.8. Оценки перелетов с малой тягой на<br />
расширенном множестве допустимых<br />
траекторий и управлений<br />
Рассмотрим задачу перехода КА с двигателем<br />
МТ из одной точки пространства<br />
( r,<br />
V ) в другую точку ( , )<br />
0 0<br />
r V за заданное<br />
время T = tK<br />
− t0<br />
. Пусть требуется обеспечить<br />
минимум некоторого функционала I. Полагаем,<br />
что уравнения движения заданы в форме<br />
векторных дифференциальных уравнений,<br />
описывающих движение ЦМ и угловое движение<br />
КА, причем граничные условия для<br />
ориентации КА и для угловой скорости не<br />
заданы.<br />
Нетрудно проследить связь данной постановки<br />
задачи с другими, которые уже рассматривались<br />
в литературе. Исключив из системы,<br />
описывающей движение КА, уравнения,<br />
описывающие его угловое движение,<br />
получим расширение множества допустимых<br />
траекторий и управлений D до некоторого<br />
множества E (поскольку исключены некоторые<br />
связи). Очевидно, что minI<br />
≤ min I .<br />
Однако ясно, что случай, когда направление<br />
тяги является независимым управлением,<br />
а не фазовой координатой, соответствует<br />
традиционной постановке задач оптимизации<br />
траекторий в механике полета, когда<br />
не учитывается угловое движение КА, а вектор<br />
тяги может произвольно менять свою<br />
ориентацию в пространстве.<br />
Таким образом, данное соотношение<br />
служит априорной оценкой функционала на<br />
расширенном множестве допустимых траекторий<br />
и управлений E. Такая оценка может<br />
оказаться полезной и содержательной в случае,<br />
когда на управляющий момент не накладывается<br />
слишком жестких ограничений. В<br />
противном случае степень неоптимальности<br />
управляемого движения может оказаться завышенной.<br />
Однако отыскание min I требует<br />
E<br />
точного решения задачи оптимального управления<br />
движением ЦМ, которая сама по себе<br />
является достаточно сложной.<br />
При отсутствии ограничений на направление<br />
вектора тяги e( t ) в связанной системе<br />
K<br />
E<br />
K<br />
D<br />
координат (СК) ориентация вектора тяги в<br />
пространстве не зависит от углового положения<br />
КА, и управление траекторией осуществляется<br />
независимо от его движения относительно<br />
ЦМ.<br />
Если направление тяги фиксировано в<br />
связанной СК (двигатель жестко закреплен<br />
относительно корпуса КА), то<br />
⎛de<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ≡ 0 .<br />
⎝ dt ⎠<br />
В этом случае изменение направления вектора<br />
тяги в пространстве осуществляется<br />
только за счет разворота корпуса КА. В этом<br />
случае удобно считать, что тяга направлена<br />
вдоль одной из связанных осей, например,<br />
OX ( )<br />
1<br />
e ≡ i 1 . Тогда de = ω × e .<br />
dt<br />
Если вектор тяги сохраняет неизменное<br />
положение в неподвижной СК, получим вы-<br />
⎛de<br />
⎞<br />
ражение ⎜ ⎟<br />
⎝ dt ⎠<br />
СВ<br />
СВ<br />
=− ω × e , определяющее кинематику<br />
программного разворота тяги относительно<br />
корпуса.<br />
1.9. Математическая модель для<br />
оптимизации совместного управления<br />
траекторным и угловым движением<br />
Общей тенденцией развития перспективных<br />
КА с ЭРД является увеличение их<br />
масс и моментов инерции, что, в свою очередь,<br />
создает ряд проблем управления движением.<br />
Конструктивные схемы тяжелых КА,<br />
как правило, предусматривают жесткое закрепление<br />
связки двигателей относительно<br />
корпуса. Изменение направления тяги реализуется<br />
при этом путем разворота корпуса КА<br />
в пространстве с помощью управляющего<br />
момента, величина которого ограничена.<br />
Если момент создается самими маршевыми<br />
двигателями, то расход рабочего тела<br />
на управление отсутствует. Назовем такую<br />
схему управления траекторным и угловым<br />
движением совместной.<br />
Раздельной схемой управления будем<br />
называть такую схему, которая предполагает<br />
использование специальных двигателей, создающих<br />
только момент относительно центра<br />
масс. Это связано с дополнительными затратами<br />
рабочего тела.<br />
45
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Для задач совместного управления траекторным<br />
и угловым движением КА используем<br />
модель, учитывающую динамику движения<br />
относительно центра масс, ограничения<br />
на ориентацию вектора тяги, зависимость<br />
тяги двигателя от расстояния КА до Солнца<br />
и от ориентации солнечных батарей, влияние<br />
несферичности Земли и сопротивления верхних<br />
слоев атмосферы, влияние гравитационных<br />
полей Солнца и планет и другие факторы:<br />
d r<br />
dt<br />
dω<br />
dt<br />
dV<br />
P<br />
= V ; = a + g + f = δ ⋅ e + g + f ;<br />
dt<br />
m<br />
( M − ω × ω )<br />
= I<br />
− ;<br />
1<br />
0 0<br />
I0<br />
di1 dj1 dk1 = ω × i1<br />
; = ω × j1<br />
; = ω × k1<br />
; (1.35)<br />
dt dt dt<br />
dm<br />
P<br />
( q qупр)<br />
⎛ qупр упр<br />
dt c δ δ ⎞<br />
=− + =− ⎜ + ⎟<br />
⎝ ⎠ ,<br />
где r - вектор положения ЦМ; a , g , f - век-<br />
торы реактивного, гравитационного и возмущающих<br />
ускорений; P = c⋅ q - тяга маршевого<br />
двигателя; e - единичный вектор направления<br />
тяги; δ - функция включения-выключения<br />
и реверса тяги маршевого двигателя;<br />
q<br />
упр и δ<br />
упр - секундный расход и функция<br />
включения-выключения управляющего<br />
двигателя; ω - вектор угловой скорости;<br />
( , j , )<br />
1 1<br />
k1<br />
i - единичные векторы вдоль связанных<br />
осей; I [ m( t)<br />
] I ( t)<br />
I0 0<br />
=<br />
0<br />
= - матрица<br />
тензора инерции. Главный момент внешних<br />
сил M<br />
0<br />
представлен в виде суммы:<br />
M0 = MУПР<br />
+ H ,<br />
где M<br />
УПР<br />
- вектор управляющего момента,<br />
H - вектор момента от гравитационных, аэродинамических<br />
и иных внешних сил.<br />
Необходимые условия реализации программных<br />
разворотов КА записываются в<br />
виде<br />
dω<br />
MУПР<br />
≥ I0<br />
− H + ω× Iω. (1.36)<br />
dt<br />
1.10. Математическая модель для<br />
совместной оптимизации траекторий<br />
и ориентации солнечных батарей<br />
Электрическая мощность, вырабатываемая<br />
солнечными батареями (СБ) на освещенных<br />
участках траектории, зависит oт угла β<br />
между направлением на Солнце и нормалью<br />
к поверхности батарей: N = N max<br />
cosβ. Задачей<br />
управления ориентацией СБ является<br />
обеспечение максимального значения соsβ.<br />
Положение СБ относительно корпуса<br />
КА будем характеризовать двумя углами<br />
(рис. 1.2): γ<br />
СБ<br />
- угол крена оси батареи, который<br />
составлен осью вращения батареи OZ CБ<br />
и поперечной осью КА OZ 1<br />
; ϕ<br />
СБ<br />
- угол собственного<br />
вращения батареи, характеризующий<br />
поворот нормали OУ СБ<br />
к плоскости батареи<br />
вокруг ее собственной оси ОZ СБ<br />
. Очевидно,<br />
с помощью последовательных поворотов<br />
на углы γ и ϕ СБ<br />
можно добиться постоянного<br />
направления нормали Y СБ<br />
СБ<br />
на Солнце.<br />
При этом следует учитывать, что КА одновременно<br />
осуществляет программу разворота<br />
по углу ψ.<br />
Запишем выражения для проекций единичного<br />
вектора ОY СБ<br />
нормали к плоскости<br />
СБ на оси орбитальной СК OXYZ:<br />
n<br />
n<br />
n<br />
X<br />
Y<br />
= cosϕ<br />
cosψ<br />
− sinγ<br />
sinϕ<br />
sinψ<br />
,<br />
СБ<br />
= cosγ<br />
sinϕ<br />
, (1.37)<br />
СБ<br />
СБ<br />
= cosϕ<br />
sinψ<br />
sinγ<br />
sinϕ<br />
cosψ<br />
.<br />
Z СБ<br />
+<br />
Будем считать, что в каждый момент<br />
известны компоненты единичного вектора<br />
S<br />
( r , r , r )<br />
r = направления на Солнце<br />
SX<br />
SY<br />
SZ<br />
в орбитальной СК. Максимальная мощность<br />
реализуется при cosβ = n·r S<br />
= 1. Для этого<br />
случая выражения для программных углов<br />
ориентации солнечных батарей имеют вид:<br />
СБ<br />
СБ<br />
СБ<br />
СБ<br />
( r sinψ<br />
r cosψ<br />
)<br />
ϕСБ = arccos<br />
SX<br />
+<br />
SZ<br />
,<br />
arccos r<br />
γ<br />
SX<br />
СБ<br />
= . (1.38)<br />
sinϕСБ<br />
Однако двухканальное управление ориентацией<br />
солнечных батарей в сочетании со<br />
46
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Рис. 1.2. Параметры углового положения КА и солнечных батарей<br />
сложной программой изменения положения<br />
корпуса КА в пространстве может оказаться<br />
трудным для реализации. В этом случае рассматриваются<br />
альтернативные варианты одноканального<br />
управления: 1) батареи вращаются<br />
только вокруг оси ОZ СБ<br />
, постоянно совпадающей<br />
с поперечной осью 0Z 1<br />
(γ<br />
CB<br />
= 0);<br />
в этом случае угол ϕ СБ<br />
обозначим через ϕ I<br />
;<br />
2) ось вращения батарей совпадает с направлением<br />
связанной оси ОУ 1<br />
, а значит, и оси<br />
OY; γ<br />
СБ<br />
≡ π 2 ; в этом случае угол собственного<br />
вращения обозначим через ϕ II<br />
. Очевидно,<br />
для этих двух вариантов cos β < 1.<br />
I ,II<br />
Получим выражение для cos β и для<br />
I<br />
этого в (1.38) положим γ<br />
CБ<br />
= 0. Для обеспечения<br />
максимума<br />
значение ϕ I<br />
:<br />
ϕ<br />
Iopt<br />
cos β найдем оптимальное<br />
I<br />
rSY<br />
= arctg<br />
r cosψ<br />
+ r sinψ<br />
. (1.39)<br />
При этом<br />
cos β<br />
SX<br />
SZ<br />
( r cosψ<br />
r sin ) 2<br />
r<br />
2 ψ<br />
Im ax SY<br />
+<br />
SX<br />
+<br />
SZ<br />
= .<br />
(1.40)<br />
Для второй схемы управления cos β<br />
II<br />
не<br />
зависит от углового положения КА. Положим<br />
γ ≡ π<br />
СБ<br />
2 , и тогда<br />
rSZ<br />
ϕII<br />
= arctg −ψ ,<br />
r<br />
SX<br />
cos β = r + r .(1.41)<br />
II<br />
2<br />
SX<br />
2<br />
SY<br />
С учетом возможности выключения<br />
двигателя при попадании аппарата в тень<br />
Земли целесообразно анализировать поведение<br />
среднего за виток косинуса угла β. Освещенность<br />
КА зависит от взаимного положения<br />
Солнца и оскулирующей плоскости орбиты.<br />
Поскольку оно меняется в процессе<br />
полета, на отдельных этапах перелета может<br />
оказаться более выгодной первая схема одноканального<br />
управления СБ, а на других -<br />
вторая. Поскольку целью управления СБ является<br />
обеспечение максимальной мощности,<br />
можно рассмотреть также комбинированную<br />
схему, при которой возможны развороты<br />
аппарата по крену на ±90° при смене знака<br />
разности ( cos cos β )<br />
β − .<br />
I<br />
1.11. Математическая модель для<br />
оптимального управления<br />
околоземными орбитами<br />
на больших интервалах времени<br />
Характерной особенностью задач управления<br />
движением КА на низкой околоземной<br />
орбите является наличие возмущающих<br />
ускорений, обусловленных нецентральностью<br />
гравитационного поля Земли и сопротивлением<br />
верхних слоев атмосферы, сравнимых<br />
с величиной реактивного ускорения.<br />
Модель задачи оптимизации становится при<br />
этом достаточно сложной, а эллиптичность<br />
орбиты требует аккуратного описания «медленной»<br />
эволюции орбиты на больших интервалах<br />
времени. В этих задачах на первый<br />
план выходит стратегия гарантированного<br />
результата как при выборе законов управле-<br />
II<br />
47
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ния, так и при оптимизации параметров корректирующей<br />
ДУ.<br />
Для задачи совместного управления<br />
оскулирующими элементами орбиты (A, e, ω,<br />
Ω, i), а также относительным угловым положением<br />
∆u КА, обеспечивающего минимум<br />
характеристической скорости, с использованием<br />
метода усреднения была получена<br />
структура оптимального управления на отдельном<br />
витке орбиты, показанная на рис.1.3.<br />
Здесь η - эксцентрическая аномалия центра<br />
разгонного участка ( a > 0), ξ - половина<br />
ширины разгонного участка для трансверсальной<br />
тяги, α - ширина одного пассивного<br />
участка трансверсальной тяги; ζ - аргумент<br />
широты центра участка с a > 0 , ϕ - половина<br />
ширины рабочего участка с a z > 0 , β - ширина<br />
одного пассивного участка для бинормальной<br />
составляющей тяги.<br />
Рис. 1.3. Полученная структура оптимального<br />
управления на витке<br />
Для этой структуры управления получена<br />
математическая модель эволюции орбиты<br />
в поле земного сфероида с учетом возмущающего<br />
влияния атмосферы и малой тяги с<br />
оптимальной структурой управления:<br />
x<br />
z<br />
dA 4a<br />
=<br />
dt π<br />
de a1<br />
=<br />
dt π<br />
−<br />
e<br />
sin<br />
2<br />
2<br />
1<br />
dω<br />
a1<br />
=<br />
dt πe<br />
e<br />
− sin 2<br />
2<br />
3<br />
A<br />
µ<br />
A<br />
[ − 3e<br />
µ<br />
α−π<br />
( ξ + )<br />
− 2σρ<br />
µ A,<br />
α −π<br />
α<br />
( ξ + ) + 4sin( ξ + )<br />
cos<br />
µ<br />
A<br />
α<br />
( ξ + ) cosα<br />
cos2η<br />
] − 2eσρ<br />
,<br />
2<br />
A<br />
[ 4 sin<br />
µ<br />
2<br />
2<br />
α<br />
( ξ + )<br />
ср<br />
cos<br />
2<br />
ср<br />
sinη<br />
−<br />
α<br />
2<br />
cosη<br />
−<br />
2<br />
ε(<br />
5cos<br />
i −1)<br />
0, 5 3,<br />
5<br />
2µ<br />
A<br />
α<br />
( ξ + ) cosα<br />
sin 2η<br />
] +<br />
,<br />
d ,<br />
2<br />
2<br />
∆u<br />
−1, 5 −1<br />
5<br />
= µ ( A − AK<br />
), (1.42)<br />
dt<br />
di a3<br />
=<br />
dt π<br />
3 ⎛ β ⎞<br />
− sin2⎜ϕ<br />
+ ⎟cos<br />
β ⋅<br />
2 ⎝ 2 ⎠<br />
dΩ<br />
a3<br />
=<br />
dt π sini<br />
A ⎡ ⎛ β ⎞ β ⎛ β π ⎞<br />
2 sin ϕ cos cosζ<br />
3λ1<br />
ϕ<br />
µ<br />
⎢ ⎜ + ⎟ − ⎜ + − ⎟ −<br />
⎣ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠<br />
3 ⎛ β ⎞<br />
− sin2⎜ϕ<br />
+ ⎟cos<br />
β ⋅<br />
2 ⎝ 2 ⎠<br />
α<br />
2<br />
( λ cos2ζ<br />
+ λ sin2ζ<br />
)<br />
1<br />
⎤<br />
⎥,<br />
⎦<br />
A ⎡ ⎛ β ⎞ β ⎛ β π ⎞<br />
2 sin ϕ cos sinζ<br />
3λ2<br />
ϕ<br />
µ<br />
⎢ ⎜ + ⎟ − ⎜ + − ⎟ −<br />
⎣ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠<br />
⎤ ε cosi −1<br />
⎥ 0, 5 3,<br />
5<br />
⎦<br />
− µ A<br />
( λ cos2ζ<br />
+ λ sin2ζ<br />
) ,<br />
2<br />
где a<br />
1, a<br />
3<br />
- составляющие ускорения, направленные<br />
по трансверсали и бинормали, соответственно.<br />
1.12. Математическая модель для<br />
оптимизации управления<br />
относительным движением КА<br />
В качестве основной будем рассматривать<br />
схему управления относительным движением<br />
двух КА. Один из них считается пассивным<br />
(КАI), а другой активным (КАII),<br />
снабженным ЭРД.<br />
Рассмотрим возмущенное движение КА<br />
в цилиндрической системе координат ruz, где<br />
r - расстояние от центра Земли до проекции<br />
КА на плоскость невозмущенной круговой<br />
орбиты, u - угол, отсчитываемый в плоскости<br />
невозмущенной орбиты от некоторой начальной<br />
оси по направлению полета спутника,<br />
z - расстояние от плоскости невозмущенной<br />
орбиты до КА. Считая, что величина r<br />
z<br />
мала, запишем уравнения движения в виде:<br />
2<br />
1<br />
48
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
dr = V r<br />
dt<br />
,<br />
dV<br />
dt<br />
Vu<br />
r<br />
du<br />
dt<br />
µ<br />
−<br />
r<br />
2<br />
r<br />
= +<br />
2<br />
dV µ z = − z + W<br />
3 .<br />
dt r<br />
Vu<br />
= , dz = Vz<br />
r dt<br />
,<br />
dVu VrVu<br />
S , = − + T , (1.43)<br />
dt r<br />
Здесь S, T, W - проекции возмущающих и управляющих<br />
ускорений на оси орбитальной<br />
СК, V - радиальная скорость, V<br />
r<br />
u<br />
- трансверсальная<br />
скорость, V - нормальная скорость<br />
z<br />
(проекция скорости на перпендикуляр к плоскости<br />
невозмущенной орбиты), µ - гравитационный<br />
параметр, t - текущее время.<br />
В большинстве практических задач эксцентриситет<br />
опорной орбиты невелик, и<br />
поэтому уравнения относительного движения<br />
записываются в следующем виде:<br />
∆ • r = ∆Vr<br />
,<br />
∆ • L = ∆Vu − λ∆r,<br />
∆ V<br />
• 2<br />
= 2λ ∆V<br />
− λ ∆r<br />
S,<br />
(1.44)<br />
r u<br />
+<br />
∆ V<br />
• u<br />
= −λ∆Vr<br />
+ T ,<br />
∆ • z = ∆Vz<br />
,<br />
∆ • 2<br />
= −λ ∆z<br />
W .<br />
V . z<br />
+<br />
Здесь<br />
2<br />
( 1− e )<br />
λ = µ<br />
3 - средняя угловая ско-<br />
p<br />
рость движения КАI по опорной орбите;<br />
∆ L = ∆u<br />
⋅ r - проекция расстояния между КА<br />
на дугу опорной орбиты.<br />
1.13. Математическая модель для<br />
оптимизации перелетов между<br />
орбитами с большими<br />
эксцентриситетами<br />
Для задач оптимизации перелетов между<br />
орбитами с большими эксцентриситетами<br />
можно рассматривать два варианта ориентации<br />
вектора тяги: свободная ориентация<br />
и ориентация по трансверсали.<br />
Изменение оскулирующих элементов<br />
кеплеровской орбиты описывалось с использованием<br />
усредненных уравнений, полученных<br />
на основе стандартной процедуры усреднения<br />
уравнений в оскулирующих элементах<br />
для плоского движения КА:<br />
dA<br />
dV<br />
×<br />
x<br />
de 1<br />
=<br />
dV 2π<br />
2<br />
( e⋅<br />
J1<br />
+ 1−<br />
e ⋅ J<br />
2<br />
)<br />
x<br />
2<br />
[ 1−<br />
e ⋅ J1<br />
+ 2J<br />
3<br />
− e ⋅( J<br />
4<br />
− J<br />
2<br />
)]<br />
dω<br />
dV<br />
x<br />
1<br />
=<br />
π<br />
⎧<br />
× ⎨−<br />
J<br />
⎩<br />
1<br />
=<br />
2πA<br />
5<br />
2π<br />
0<br />
A<br />
+ eJ<br />
A µ<br />
6<br />
3<br />
J<br />
j<br />
= ∫Ф<br />
j<br />
Θ<br />
A µ<br />
+<br />
µ<br />
1−<br />
e<br />
2<br />
1−<br />
e<br />
2<br />
×<br />
×<br />
2 ⎛ 1 ⎞<br />
1−<br />
e ⎜1+<br />
⎟J7<br />
−<br />
2<br />
⎝ 1−<br />
e ⎠<br />
( ,E) dE, j = 1,8<br />
,<br />
,<br />
e<br />
1−<br />
e<br />
2<br />
⎫<br />
J8⎬<br />
,<br />
⎭<br />
. (1.45)<br />
Здесь µ - гравитационный параметр Земли,<br />
θ - угол, характеризующий ориентацию тяги<br />
в плоскости орбиты относительно трансверсали,<br />
Е - эксцентрическая аномалия,<br />
J<br />
1,...,<br />
J 8<br />
- усредняющие интегралы - функции<br />
параметров управления.<br />
1.14. Модели для оптимизации<br />
межпланетных перелетов с малой тягой<br />
Граничные условия межпланетного перелета<br />
определяются его целью и относительными<br />
положениями планет старта, финиша<br />
и КА. Обычно траектория движения разбивается<br />
на участки движения в сферах действия<br />
планет и Солнца и оптимальное движение<br />
рассчитывается по участкам. На границах<br />
участков необходимо осуществлять<br />
стыковку траектории по фазовым координатам<br />
и массе КА.<br />
Особенностью оптимизации замкнутых<br />
межпланетных перелетов (с возвращением<br />
КА на планету старта) является дополнительное<br />
условие равенства угловых перемещений<br />
аппарата и планеты старта в конечный момент<br />
времени:<br />
( T + T ) ⋅ω − ( ϕ + ϕ ) + T ( ω −ω<br />
) = 2π<br />
⋅n<br />
2 4 З 2 4 3 З М<br />
.<br />
(1.46)<br />
49
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Здесь ϕ и<br />
2<br />
ϕ - угловые дальности прямого и<br />
4<br />
обратного гелиоцентрических перелетов, ωЗ<br />
и ω - средние угловые скорости движения<br />
M<br />
Земли и Марса, n - произвольное целое число.<br />
Появляется неоднозначность решения целевой<br />
задачи в зависимости от τ = T2 / T -<br />
4<br />
соотношения длительностей прямого и обратного<br />
перелетов и D<br />
0<br />
- даты старта. Это<br />
приводит к необходимости введения и последующей<br />
оптимизации дополнительных параметров,<br />
описывающих баллистическую<br />
схему перелета { } T<br />
b = D , τ .<br />
Задача проектно-баллистической оптимизации<br />
межпланетного перелета формулируется<br />
следующим образом. Требуется<br />
определить вектор проектных параметров<br />
{ P , c} Т ∈ P<br />
0<br />
p = 0<br />
, вектор баллистических па-<br />
b = D ,<br />
T 0<br />
τ ∈ и вектор функций<br />
раметров { } B<br />
управления u( t) { e( t) , ( t)<br />
} Т ∈U<br />
= δ , доставляющие<br />
при заданных массе полезного груза<br />
M и длительности перелета T<br />
ПГ<br />
Σ<br />
минимум<br />
стартовой массе КА и обеспечивающие<br />
выполнение целевой задачи, описываемой<br />
множеством допустимых фазовых координат<br />
аппарата X:<br />
M<br />
( ( )<br />
)<br />
0<br />
= Min M0<br />
p, b, u t MПГ<br />
= fixe, TΣ<br />
= fixe,x ∈X<br />
.<br />
p∈Ρ<br />
,u () t ∈U,b<br />
∈B<br />
(1.47)<br />
Задачи оптимизации пилотируемых<br />
экспедиций наиболее сложны, так как множество<br />
допустимых фазовых координат кроме<br />
граничных условий прямого и обратного<br />
перелетов содержат специфические ограничения,<br />
связанные с обеспечением безопасности<br />
экипажа (ограничения на суммарную длительность<br />
экспедиции TΣ<br />
≤ TПРЕД<br />
, минимально-допустимое<br />
расстояние от КА до Солнца<br />
R ≥<br />
R ПРЕД<br />
, длительность нахождения в радиационных<br />
поясах Земли и др).<br />
Для разделения задачи оптимизации на<br />
параметрическую и динамическую части вводится<br />
промежуточный критерий оптимизации<br />
– приведенное моторное время:<br />
T<br />
∫ Σ<br />
( R)<br />
∗<br />
Tµ = χ ⋅δ<br />
dt , (1.48)<br />
0<br />
где ( R)<br />
χ - коэффициент, учитывающий падение<br />
мощности энергоустановки, а следовательно,<br />
тяги двигателей и расхода рабочего<br />
тела в зависимости от расстояния от КА до<br />
Солнца. Для КА с ядерными источниками<br />
энергии χ ( R) ≡ 1<br />
, для КА с солнечной энергоустановкой<br />
( R) N( R)<br />
0<br />
P<br />
1<br />
χ ( R)<br />
= = ≈<br />
1.<br />
7<br />
. (1.49)<br />
P N R<br />
0<br />
Этот критерий непосредственно определяет<br />
суммарные затраты рабочего тела<br />
P ∗<br />
M Т<br />
( p) = 0 ⋅Tµ<br />
( p)<br />
c<br />
на перелет и, следовательно,<br />
является динамической характеристикой<br />
маневра.<br />
Баллистическая часть задачи оптимизации<br />
состоит в определении вектора функций<br />
управления u( t) { e( t) , δ ( t)<br />
} Т<br />
= и вектора<br />
баллистических параметров { } T<br />
b =<br />
(для замкнутых перелетов), обеспечивающих<br />
выполнение целевой задачи с минимальными<br />
затратами рабочего тела при фиксированных<br />
проектных параметрах КА, и построении<br />
зависимости<br />
T<br />
( p)<br />
∗<br />
∗<br />
µ<br />
= Min Tµ<br />
b, u t p = fixe, TΣ<br />
= fixe, x∈<br />
X .<br />
p()<br />
t ∈Ρ ,b∈B<br />
D<br />
( ( )<br />
)<br />
Проектная часть задачи оптимизации<br />
состоит в выборе вектора проектных<br />
параметров { } Т<br />
p<br />
0<br />
= P , c , обеспечивающих<br />
минимум стартовой массе КА с учетом полученной<br />
зависимости.<br />
Баллистическая часть задачи оптимизации<br />
решается в соответствии с разработанным<br />
подходом, связанным с использованием<br />
последовательности усложняющихся моделей.<br />
Модель А описывает движение аппарата<br />
в рамках теории сфер действия в центральном<br />
поле притяжения Солнца и планет<br />
без учета возмущений от других притягива-<br />
0<br />
,<br />
τ<br />
50
ющих центров в плоской полярной СК. Орбиты<br />
планет считаются круговыми и компланарными.<br />
Стыковка плането- и гелиоцентрических<br />
участков осуществляется только по<br />
массе КА.<br />
В рамках модели Б движение КА разделяется,<br />
в соответствии с теорией сфер действия,<br />
на гелио- и планетоцентрические участки,<br />
и при этом на границах сфер действия<br />
проводится точная стыковка траекторий движения<br />
по координатам, скорости и массе КА.<br />
Орбиты планет считаются эллиптическими<br />
и некомпланарными. При расчете движения<br />
в сферах действия планет учитываются участки<br />
затенения, гравитационные возмущения<br />
от других небесных тел и нецентральности<br />
гравитационного поля планеты.<br />
Модель В использует уравнения движения<br />
в поле притяжения нескольких тел (Солнце<br />
и планеты солнечной системы), учитывается<br />
эллиптичность и некомпланарность<br />
орбит планет, деградация СБ и другие факторы.<br />
При решении динамической части задачи<br />
учитываются ограничения на проектные<br />
и баллистические параметры и вектор управления,<br />
траектория рассматривается как непрерывная<br />
с оптимальной стыковкой участков.<br />
51<br />
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Список литературы<br />
1. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев<br />
В. В. Механика космического полета<br />
(проблемы оптимизации). - М.: Наука, 1975.<br />
2. Лебедев В. Н. Расчет движения космического<br />
аппарата с малой тягой.- М.: ВЦ<br />
АН СССР, 1968.<br />
3. Гурман В. И. Принцип расширения в<br />
задачах управления. - М.: Наука, 1985.<br />
4. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и<br />
задачи оптимального управления. - М.: Наука,<br />
1973.<br />
5. Гурман В. М., Попов Ю. Б., Салмин<br />
В. В. О возможности реализации траекторий<br />
аппаратов с малой тягой с учетом их движения<br />
вокруг центра масс //Космические исследования.<br />
– 1970. Т.8, № 5. - С. 684-692.<br />
6. Салмин В. В. Оптимизация режимов<br />
разгона вращающегося космического аппарата<br />
с двигателем малой тяги //Космические<br />
исследования. – 1973. Т. 11, № 8. - С. 842 – 853.<br />
7. Брусов В. С., Салмин В. В. Комбинированная<br />
двигательная система, универсальная<br />
для диапазона маневров //Космические<br />
исследования. – 1974. Т. 12, № 3. - С. 368 – 373.<br />
8. Васильев В. В., Салмин В. В. Оптимальный<br />
разгон космического аппарата с<br />
электрореактивным двигателем при ограниченной<br />
скорости поворота вектора тяги //Космические<br />
исследования. – 1976. Т. 14, № 3. -<br />
С. 336 – 342.<br />
9. Салмин В. В. Многошаговые алгоритмы<br />
управления движением космических аппаратов<br />
//Космические исследования. – 1979.<br />
Т. 17, № 6. - С. 835 – 845.<br />
10. Салмин В. В. Аналитическая оценка<br />
оптимальности многошаговых адаптивных<br />
алгоритмов управления //Космические<br />
исследования. – 1980. Т. 18, № 3. - С. 332 – 342.<br />
11. Васильев В. В. Оптимальное управление<br />
эллиптической орбитой спутника Земли<br />
с двигателем малой тяги //Космические<br />
исследования. - 1980. Т. 18, №5. - С. 707 – 714.<br />
12. Юрин В. В. Оптимальная коррекция<br />
параметров орбиты космического аппарата с<br />
двигателем малой тяги //Космические исследования.<br />
- 1983. Т. 21, №5. – С. 666 - 674.<br />
13. Васильев В. В., Салмин В. В. Многошаговые<br />
алгоритмы коррекции орбиты<br />
спутника Земли двигателем малой тяги //Космические<br />
исследования. – 1984. Т.22, № 4. -<br />
С. 507 – 519.<br />
14. Салмин В. В., Ишков С. А. Оптимальные<br />
программы управления в задаче межорбитального<br />
перелета с непрерывной тягой<br />
//Космические исследования. - 1984. Т. 22,<br />
№ 5. – С. 702 – 711.<br />
15. Васильев В. В., Салмин В. В. Выбор<br />
универсальных параметров двигателя малой<br />
тяги, предназначенного для поддержания<br />
орбиты спутника Земли//Космические исследования.<br />
– 1984. Т.22, № 6. – С. 858 – 866.<br />
16. Салмин В. В. Оптимизация космических<br />
перелетов с малой тягой: Проблемы<br />
совместного управления траекторным и угловым<br />
движением.- М.: Машиностроение,<br />
1987.<br />
17. Ишков С. А., Салмин В. В. Оптимизация<br />
траекторий и параметров межорбитальных<br />
транспортных аппаратов с двигателями<br />
малой тяги //Космические исследования. –<br />
1989. Т.27, №1. - С. 42-53.<br />
18. Салмин В. В., Соколов В. О. Приближенный<br />
расчет маневров формирования
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
орбиты спутника Земли с двигателем малой<br />
тяги //Космические исследования. – 1991.<br />
Т. 29, № 6. - С. 872-888.<br />
19. Ишков С. А. Сближение космических<br />
аппаратов с малой тягой на околокруговых<br />
орбитах //Космические исследования. –<br />
1992. Т.30, № 2. - С. 165 – 179.<br />
20. Ишков С. А., Милокумова О. Л.,<br />
Салмин В. В. Оптимизация замкнутых межпланетных<br />
перелетов Земля-Марс-Земля с<br />
малой тягой //Космические исследования. -<br />
1995. Т.33, №2, - С. 210 - 218.<br />
21. Ишков С. А. Расчет оптимальных<br />
межорбитальных перелетов с малой трансверсальной<br />
тягой на эллиптическую орбиту<br />
//Космические исследования. – 1997. Т.35,<br />
№ 2. - С. 178 - 188.<br />
22. Ишков С. А., Романенко В. А. Формирование<br />
и коррекция высокоэллиптической<br />
орбиты спутника Земли с двигателем<br />
малой тяги //Космические исследования. –<br />
1997. Т.35, № 2. - С. 11 - 20.<br />
23. Салмин В. В., Старинова О. Л. Оптимизация<br />
межпланетных перелетов КА с<br />
двигателями малой тяги с учетом эллиптичности<br />
и некомпланарности орбит планет<br />
//Космические исследования. - 2001. Т.39,<br />
№ 1. - С. 51 - 59.<br />
24. Храмов А. А., Ишков С. А. Расчет<br />
маневров коррекции слабоэллиптических и<br />
круговых орбит с двигателем малой и конечной<br />
тяги // Известия Самарского научного<br />
центра РАН. – 2002. Т.4, №1. - С. 144-152.<br />
25. Салмин В. В., Ишков С. А., Старинова<br />
О. Л. Методы решения вариационных<br />
задач механики космического полета с малой<br />
тягой. – Самара: Издательство Самарского<br />
научного центра РАН, 2006.<br />
APPROXIMATE METHODS OF CALCULATING OPTIMAL FLIGHTS OF SPACE<br />
VEHICLES WITH LOW-THRUST ENGINES. PART I<br />
© 2007 V. V. Salmin, V. V. Vasilyev, S. A. Ishkov, V. A. Romanenko,<br />
V. O. Sokolov, O. L. Starinova, V. V. Yurin<br />
Samara State Aerospace University<br />
The first part of the paper presents mathematical formulations of the tasks of optimizing flights of space vehicles<br />
with low-thrust engines and methods of their solution. The peculiarities of mathematical motion models used for control<br />
optimization within the frames of different tasks are discussed.<br />
52
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
УДК 629.78<br />
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МИКРОМЕТЕОРОИДНЫХ И<br />
ТЕХНОГЕННЫХ ЧАСТИЦ С КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ<br />
© 2007 Н. Д. Семкин, В. Л. Балакин, И. В. Белоконов, К. Е. Воронов<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
На основе модели метеорного и техногенного окружения проведен расчет числа соударений частиц с<br />
космическим аппаратом (КА), выполняющим функцию их детектора и выполненным в виде надувной пленочной<br />
конструкции сферической формы. Сделаны оценки прогноза числа соударений на период 2004 – 2012 гг. и<br />
получены зависимости числа частиц, соударяющихся с поверхностью КА, как функции параметров его размеров<br />
и параметров орбиты.<br />
Введение<br />
Наиболее совершенным средством регистрации<br />
микрометеороидных и техногенных<br />
частиц является преобразователь [1, 2]<br />
на основе пленочной МДМ – структуры (металл<br />
– диэлектрик - металл), выполненный в<br />
виде двух концентрических оболочек (рис. 1),<br />
внешняя из которых служит чувствительной<br />
поверхностью, а внутренняя – приемником<br />
ионов [3, 4]. Такой преобразователь может<br />
быть изготовлен на больших рабочих площадях<br />
(100 – 300 м 2 ).<br />
1. Оценка числа соударений метеорных<br />
частиц с преобразователем<br />
В рассматриваемой модели метеорного<br />
окружения принимаются следующие допущения.<br />
1. Все метеорные частицы, находящиеся<br />
в сфере действия крупного небесного тела,<br />
движутся по кеплеровым орбитам.<br />
2. Все метеорные частицы делятся на<br />
две группы:<br />
а) поточные метеорные частицы;<br />
б) спорадические метеорные частицы.<br />
Рис. 1. Схема КА как преобразователя параметров частиц 1, 6 – пленочные солнечные батареи,<br />
2 – внешняя общая пленочная оболочка, 3 – конденсаторные секции, 4 – приемник ионов,<br />
5 – пленочная антенна, 7 – контейнер с научной аппаратурой<br />
53
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
3. Задано распределение спорадических<br />
метеорных частиц по массе.<br />
Рассчитанное в рамках данной модели<br />
общее число частиц (спорадических и поточных)<br />
с массой, большей m и попавших на<br />
i-ую площадку, площадь которой U<br />
i<br />
за время<br />
T = T к<br />
− Tн<br />
, где T<br />
н<br />
- начало полета, T -<br />
к<br />
время, соответствующее окончанию полета,<br />
определяется равенством<br />
N<br />
i<br />
T<br />
к −S<br />
к<br />
c<br />
j<br />
= U ( ξ a m dt + ξ a m dt ) .<br />
i<br />
∫<br />
T<br />
н<br />
i<br />
к<br />
∑∫<br />
j∈J<br />
Здесь t – время экспонирования, с;<br />
T<br />
T<br />
н<br />
ij<br />
j<br />
−S<br />
i<br />
ij<br />
(1)<br />
ξ , ξ –<br />
поправочные коэффициенты для спорадических<br />
и поточных метеорных частиц, соответственно;<br />
a , a , S , S – статистические коэф-<br />
i<br />
j<br />
i<br />
j<br />
фициенты.<br />
Выражение (1) может быть упрощено<br />
[5]:<br />
N<br />
M<br />
i i i 0<br />
= fU ξ TN ( m ), (2)<br />
где f – коэффициент безопасности, принимаемый<br />
равным 5; U<br />
i<br />
– площадь i-го элемента,<br />
м 2 ; Т – время полета, сут; ξ<br />
i<br />
– обобщенный<br />
поправочный коэффициент:<br />
T<br />
1<br />
ср<br />
ξ<br />
i<br />
= KэсKдс<br />
K<br />
ргdt<br />
= KэсKдсK<br />
рг<br />
T<br />
∫<br />
; (3)<br />
0<br />
N 0<br />
( m ) – коэффициент, зависящий от массы<br />
частицы:<br />
N ( m ) = αm<br />
−β<br />
0<br />
.<br />
(4)<br />
Здесь α, β - статистические коэффициенты<br />
распределения:<br />
−6<br />
⎧−<br />
7.<br />
5 при m < 10 г,<br />
lgα<br />
= ⎨<br />
−6<br />
⎩−<br />
9 при m ≥ 10 г,<br />
⎧0.<br />
0167 при m < 10<br />
β = ⎨<br />
−<br />
⎩1.<br />
1167 при m ≥ 10<br />
−6<br />
6<br />
г,<br />
г.<br />
(5)<br />
Задача определения числа соударений<br />
спорадических и поточных метеорных частиц<br />
с элементами поверхности КА сводится<br />
в основном к определению коэффициента ξ<br />
i<br />
.<br />
ср<br />
Входящий в (3) коэффициент K<br />
pг зависит<br />
от положения орбиты КА и долготы Солнца,<br />
т.е. от положения Земли на гелиоцентрической<br />
орбите:<br />
K<br />
где<br />
ср<br />
рг<br />
рг<br />
1<br />
=<br />
N<br />
N L<br />
∑<br />
L ν = 1<br />
K<br />
рг<br />
ν , (6)<br />
N – число расчетных орбит (1≤ v ≤ N<br />
L<br />
v<br />
).<br />
Величина K<br />
ргv<br />
определяется как<br />
K ν = 0.<br />
9+<br />
0.<br />
26sinλ<br />
+<br />
⎛<br />
λΘ<br />
+ ⎜0.<br />
06−0.<br />
075sin<br />
⋅sin<br />
⎝<br />
4<br />
Θ<br />
( 2i<br />
−180°−<br />
422 . sin( λ −135)<br />
−Ω ) ,<br />
КА<br />
360<br />
0<br />
где λ<br />
Θ<br />
= Сy<br />
− 80 - долгота Солнца, град;<br />
365<br />
C<br />
у – время, прошедшее с начала года, сут;<br />
i – наклонение орбиты КА, град;<br />
КА<br />
Ω –<br />
КА<br />
долгота восходящего угла орбиты КА, град.<br />
Коэффициент<br />
K<br />
дс<br />
Θ<br />
КА<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
, учитывающий движение<br />
КА по орбите или неравномерность<br />
числа соударений на его лобовую и тыльную<br />
стороны, определяется как<br />
K<br />
= 1 v cosγ , (7)<br />
дс<br />
+<br />
к<br />
vн<br />
где vк<br />
= ≈ 0. 4 , ν<br />
v<br />
к<br />
– скорость КА (8 км/с),<br />
м<br />
ν м<br />
– скорость метеорной частицы (20 км/с), g<br />
γ - угол между нормалью к поверхности КА<br />
и вектором скорости.<br />
Коэффициент K<br />
эс<br />
, учитывающий положение<br />
экспонируемой площадки относительно<br />
вертикали, проходящей через эту площадку,<br />
и расстояние этой площадки от центра<br />
Земли, определяется по соотношению:<br />
K<br />
эс<br />
0<br />
⎧1,еслиϕi<br />
≤ ( 90 −φ<br />
);<br />
⎪<br />
0<br />
( 1−<br />
cosφ<br />
) φ − 90 + ϕi<br />
= ⎨1<br />
−<br />
,если ( 90<br />
⎪ 2 φ<br />
⎪<br />
0<br />
0<br />
⎩cosφ,если ( 90 + φ ) ≤ ϕi<br />
≤ 180 .<br />
0<br />
−φ<br />
) < ϕ < ( 90<br />
i<br />
0<br />
+ φ );<br />
(8)<br />
54
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Здесь ϕ<br />
i<br />
– угол между нормалью к поверхности<br />
элемента КА и зенитом,<br />
Rз<br />
ϕ = arcsin( ),<br />
R + Н<br />
з<br />
R<br />
з<br />
– радиус сферической Земли,<br />
H – высота орбиты.<br />
Для оценки числа соударений метеорных<br />
частиц с преобразователем его сфера с<br />
радиусом R разбивается на элементарные<br />
участки площадью dU i<br />
(рис. 2):<br />
dU i<br />
=dxdy, (9)<br />
где<br />
dx=Rdα,<br />
dy=rdβ,<br />
r=Rsinα.<br />
Тогда<br />
dU i<br />
= R 2 sinαdαdβ. (10)<br />
Число частиц, попадающих на элементарную<br />
площадку за время t:<br />
dN<br />
M<br />
i<br />
2<br />
= fξiN<br />
o(<br />
m )dU<br />
it<br />
= fξiNo(<br />
m )tR sinαdαdβ<br />
.<br />
(11)<br />
Число частиц, попадающих на всю сферу<br />
преобразователя:<br />
N<br />
M<br />
π 2π<br />
∫∫<br />
2<br />
= fR N ( m )t ξ(<br />
α,<br />
β)sinαdαdβ,<br />
(12)<br />
ср<br />
где ξ i<br />
(α) = K K K ;<br />
K<br />
эс<br />
0<br />
эс<br />
дс<br />
0<br />
⎧1,еслиαi<br />
≤ ( 90 −φ<br />
);<br />
⎪<br />
0<br />
( 1−<br />
cosφ<br />
) φ − 90 + αi<br />
= ⎨1<br />
−<br />
,если ( 90<br />
⎪ 2 φ<br />
⎪<br />
0<br />
0<br />
⎩cosφ,если ( 90 + φ ) ≤ αi<br />
≤ 180 ,<br />
0<br />
0<br />
рг<br />
i<br />
0<br />
−φ<br />
) < α < ( 90<br />
i<br />
0<br />
+ φ );<br />
(13)<br />
α<br />
i<br />
– угол между нормалью к поверхности элемента<br />
КА и зенитом.<br />
Тогда (12) примет вид:<br />
N<br />
M<br />
π 2π<br />
π<br />
)<br />
2<br />
ср<br />
= fR N0(<br />
m )t∫∫ KЭС(<br />
α)КдсК<br />
dαdβ<br />
= K<br />
рг<br />
0 0<br />
)<br />
2<br />
ср<br />
где K = 2πfR<br />
N ( m )tК К .<br />
0<br />
дс<br />
рг<br />
∫<br />
0<br />
K<br />
ЭС<br />
( α)dα,<br />
(14)<br />
Используя свойства интеграла, выражение<br />
(14) после преобразований можно записать<br />
следующим образом:<br />
N<br />
M<br />
ср<br />
рг<br />
2 2<br />
= fπ R N ( m )K K ( 1+<br />
cosφ<br />
)t.<br />
0<br />
дс<br />
(15)<br />
Таким образом, число соударений с преобразователем<br />
метеорных частиц с массой<br />
более m определяется в развернутом виде<br />
выражением<br />
N<br />
M<br />
или<br />
π 2π<br />
=∫∫<br />
0<br />
0<br />
2<br />
fξi(<br />
α,<br />
β)N0(<br />
m )tR sinαdαdβ<br />
N<br />
M<br />
× sin(2i<br />
2 2<br />
= fπ<br />
R αm<br />
КА<br />
−β<br />
1<br />
(1 + vк<br />
)<br />
N<br />
0<br />
−180<br />
−42.4sin(<br />
λ<br />
NL<br />
L ν = 1<br />
Θ<br />
∑<br />
(0.9 + 0.26sinλ<br />
0<br />
−135<br />
) −Ω )))(1 + cosφ)<br />
t.<br />
A<br />
Θ<br />
λΘ<br />
+ (0.06−0.075sin<br />
×<br />
4<br />
(16)<br />
z<br />
(зенит)<br />
r<br />
α<br />
dx<br />
dβ<br />
dy<br />
dU i<br />
Рис. 2. Пленочный сферический преобразователь<br />
55
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
2. Определение критической<br />
массы частиц<br />
Встреча КА с метеорными и техногенными<br />
частицами является случайным событием.<br />
Поэтому, используя вероятностную<br />
модель метеорного окружения, можно определить<br />
и вероятность встречи поверхности<br />
преобразователя хотя бы с одной частицей,<br />
масса которой больше m:<br />
P встр<br />
=1 – e -N , (17)<br />
где N – число соударений со всей поверхностью<br />
КА.<br />
Не каждое соударение сопровождается<br />
пробоем оболочки преобразователя. Плотность<br />
частиц, скорость соударения и направление<br />
удара – также случайные параметры.<br />
В соответствии с рекомендациями COSPAR<br />
принято, что соударения происходят по нормали<br />
со скоростью v = 20 км/с и что плотность<br />
частицы ρ = 2,5 г/см 3 . В этом случае<br />
при заданной конструкции оболочки преобразователя<br />
расчетным или экспериментальным<br />
путем можно определить критическую<br />
массу частицы m кр<br />
, превышение которой приведет<br />
к появлению пробоины в оболочке.<br />
Для определения m кр<br />
можно использовать<br />
зависимость глубины проникновения<br />
частицы в материал оболочки от параметров<br />
ее движения и характеристик ударника (частицы)<br />
и мишени (оболочки) [6]:<br />
P<br />
d<br />
p<br />
1 3 1<br />
ρ<br />
p<br />
ρ<br />
3 pv<br />
3<br />
= 1 . 5(<br />
) ( ) , (18)<br />
ρ 2S<br />
t<br />
t<br />
где P – глубина проникновения, м; d p<br />
– диаметр<br />
ударника, м; v – скорость ударника, м/с;<br />
S t<br />
– константа деформационной прочности<br />
мишени, 1/кгм; ρ p<br />
, ρ t<br />
– соответственно плотность<br />
ударника и мишени, кг/м 3 .<br />
Отсюда<br />
d<br />
p<br />
t t<br />
2 2<br />
p<br />
v<br />
1<br />
3<br />
P 2ρ<br />
S<br />
= ( ) . (19)<br />
1.<br />
5 ρ<br />
Минимальный диаметр частицы, способной<br />
пробить оболочку, равен<br />
d<br />
ркр<br />
t t<br />
2 2<br />
p<br />
v<br />
1<br />
3<br />
dдиэл<br />
2ρ<br />
S<br />
= ( ) , (20)<br />
1.<br />
5 ρ<br />
где d диэл<br />
– толщина оболочки преобразователя,<br />
м.<br />
Минимальный объем проникающих<br />
частиц в предположении сферической формы<br />
частицы равен:<br />
V<br />
4<br />
3<br />
d<br />
ркр 3<br />
кр<br />
= π(<br />
) . (21)<br />
2<br />
Следовательно, критическая масса части<br />
равна:<br />
m<br />
ρ S<br />
t t 3<br />
кр<br />
= ρ<br />
рVкр<br />
= 0.<br />
01π<br />
d<br />
2<br />
диэл . (22)<br />
ρ<br />
pV<br />
При ρ t<br />
= 2.0 г/cм 3 и d диэл<br />
= 20 мкм критическая<br />
масса частицы равна 6,5*10 -3 кг.<br />
3. Определение числа частиц,<br />
пробивающих оболочку преобразователя<br />
Выше определено количество соударений<br />
с преобразователем частиц, масса которых<br />
более m, за интервал времени t.<br />
Число частиц, пробивающих оболочку<br />
преобразователя за время экспонирования t,<br />
определим, подставив в (4) выражение для<br />
критической массы m кр<br />
. Число метеорных<br />
частиц, пробивающих оболочку, равно:<br />
N<br />
М<br />
кр<br />
2 2<br />
ср<br />
= fπ R N m ) К К (1 + cosφ)<br />
t .<br />
0 (<br />
кр<br />
дс<br />
рг<br />
(23)<br />
Число техногенных частиц, пробивших<br />
оболочку, равно:<br />
T<br />
N = 0.<br />
08πF<br />
орб( i,ha<br />
,hp<br />
,e, Ω,T , ω ) γ ×<br />
)<br />
−Θ<br />
3<br />
3<br />
× m (( d + d ) − ( d + d ) )vt.<br />
кр<br />
0<br />
max<br />
0<br />
(24)<br />
Суммарное число частиц, пробивающих оболочку<br />
за время t, равно:<br />
N крΣ<br />
=N крМ<br />
+N крТ<br />
. (25)<br />
Зная N кр<br />
М<br />
и N крТ<br />
, можно оценить количество<br />
соударений частиц с преобразовате-<br />
56
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
лем, при которых не нарушается целостность<br />
его оболочки:<br />
N нпрΣ<br />
=N нпрМ<br />
+N нпрТ<br />
=(N M (m min<br />
) - N M (m кр<br />
))+<br />
+ (N Т (m min<br />
) - N Т (m кр<br />
)), (26)<br />
где N нпр<br />
М<br />
и N нпр<br />
Т<br />
– соответственно число соударений<br />
метеорных и техногенных частиц,<br />
не приводящих к пробиванию оболочки;<br />
m min<br />
– минимальная регистрируемая масса.<br />
4. Результаты моделирования<br />
Моделирование проводилось с целью<br />
определения числа соударений метеорных и<br />
техногенных частиц с преобразователем при<br />
следующих исходных данных:<br />
вид орбиты – эллиптическая с наклонением<br />
i = 51°; долготой восходящего узла<br />
Ω= 150°; высотой апогея h a<br />
= 3.6*10 4 км; высотой<br />
перигея h p<br />
= 5.0*10 2 м; эксцентриситетом<br />
e = 0.73;<br />
относительная скорость КА v к<br />
=0.4;<br />
скорость частиц v m<br />
= 25 км/с, максимальный<br />
размер техногенных объектов<br />
d max<br />
=1.0 м.<br />
По результатам моделирования получены<br />
следующие значения искомых величин:<br />
N кр<br />
М<br />
=108.2; N крТ<br />
=96.4; N крΣ<br />
=204.6.<br />
Особый интерес представляет зависимость<br />
величин N М (m) и N Т (m) от орбиты КА<br />
(рис. 3).<br />
На рисунках 4 - 7 показаны зависимости<br />
числа соударений от массы частиц (в граммах)<br />
для различных диаметров КА и параметров<br />
его орбиты.<br />
Существует сложная зависимость числа<br />
соударений техногенных частиц N T от параметров<br />
орбиты КА.<br />
Так, например,<br />
N T (i = 40°) > N T (51°) > N T (30°).<br />
5. Прогноз взаимодействия метеорных<br />
потоков с КА на 2004 – 2012 гг.<br />
Потоки метеорного вещества являются<br />
результатом захвата гравитационным полем<br />
Земли вещества метеорных роев, возникающих<br />
при гравитационном воздействии планеты<br />
Юпитер на пролетающие мимо ядра<br />
комет.<br />
Скорость метеоров лежит в пределах<br />
30-70 км/с. Плотность потока метеоров различна.<br />
На рисунке 8 показана схема метеорного<br />
роя.<br />
Как видно из рис. 8, в зависимости от<br />
периода вращения метеорного роя возможны<br />
различные ситуации: от однократного<br />
прохождения Земли сквозь метеорный рой за<br />
один период его обращения вокруг Солнца<br />
до многократного прохождения при больших<br />
периодах обращения.<br />
В последнем случае количество попадания<br />
метеорного вещества будет меняться<br />
Рис. 3. Зависимость N М (m) и N Т (m) от параметров орбиты КА<br />
LEO – низкая околоземная орбита, GEO – геоцентрическая орбита<br />
57
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
lgN Т<br />
-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 lgm<br />
Рис. 4. Зависимость числа соударений техногенных частиц от диаметра КА (круговая орбита)<br />
lgN M<br />
-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 lgm<br />
Рис. 5. Зависимость числа соударений микрометеороидных частиц от диаметра КА (круговая орбита)<br />
58
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Рис. 6. Зависимость числа соударений метеороидных и техногенных частиц<br />
от параметров эллиптической орбиты<br />
59
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 7. Зависимость числа соударений метеороидных и техногенных частиц<br />
от параметров круговой орбиты<br />
Метеорный<br />
рой<br />
Орбита<br />
Земли<br />
Область<br />
метеорного<br />
дождя<br />
Рис. 8. Схема метеорного роя<br />
60
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
от года к году вплоть до его исчезновения на<br />
длительное время. Так, например, метеорный<br />
рой Драконид, бывший очень обильным в<br />
1946 году, далее долгое время практически<br />
не наблюдался вплоть до 1998 года.<br />
Поэтому расчет плотности метеорного<br />
вещества проводился в несколько этапов. На<br />
первом этапе в приближении задачи трех тел<br />
рассчитывается прохождение кометы вблизи<br />
Юпитера, и при этом в точках Лагранжа L1 и<br />
L2 возникают метеорные рои. Положение<br />
метеорных роев находится из решения системы<br />
уравнений:<br />
m x<br />
2<br />
− n x<br />
2<br />
− n x<br />
m<br />
0<br />
0<br />
y<br />
0<br />
0<br />
2<br />
− n y<br />
2<br />
− n y<br />
+ m x<br />
1<br />
2<br />
+<br />
+<br />
+ m y<br />
1<br />
2<br />
+<br />
+<br />
1<br />
fm<br />
fm<br />
1<br />
1<br />
1<br />
fm<br />
fm<br />
+ m x<br />
0<br />
0<br />
x1<br />
− x<br />
3<br />
∆<br />
x2<br />
− x<br />
3<br />
∆<br />
+ m y<br />
0<br />
0<br />
2<br />
01<br />
2<br />
12<br />
y1<br />
− y<br />
3<br />
∆<br />
01<br />
2<br />
y2<br />
− y<br />
3<br />
∆<br />
12<br />
0<br />
2<br />
= 0,<br />
1<br />
0<br />
+<br />
+<br />
= 0,<br />
1<br />
+<br />
+<br />
fm<br />
fm<br />
2<br />
fm<br />
0<br />
fm<br />
2<br />
0<br />
x1<br />
− x<br />
3<br />
∆<br />
12<br />
x2<br />
− x<br />
3<br />
∆<br />
02<br />
y1<br />
− y<br />
3<br />
∆<br />
12<br />
y2<br />
− y<br />
3<br />
∆<br />
02<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
= 0,<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
= 0,<br />
⎪<br />
⎭<br />
(27)<br />
где ∆ ij<br />
взаимные расстояния между точками<br />
P i<br />
и P j<br />
(P 0<br />
- Юпитер, P 1<br />
- ядро кометы, P 2<br />
-<br />
метеорный рой); m i<br />
– масса, x i<br />
, y i<br />
- координаты<br />
точки i в системе координат, связанной с<br />
барицентром системы, причем ось абсцисс<br />
проходит через точки P 0<br />
, P i<br />
; f - постоянная<br />
тяготения; n - среднее движение.<br />
Поскольку данная система 6 уравнений<br />
содержит 8 неизвестных: n, m 2<br />
,<br />
x<br />
1<br />
, y1<br />
,x2,<br />
y2,x3,<br />
y3<br />
, то для ее решения привлекают<br />
дополнительные условия коллинеарности:<br />
y = yi = y 0 .<br />
0 2<br />
=<br />
На втором этапе рассчитываются орбиты<br />
метеорных роев, что позволяет определить<br />
период их прохождения через плоскость орбиты<br />
Земли. Поскольку период метеорного<br />
роя, как правило, не кратен периоду обращения<br />
Земли вокруг Солнца, то будет иметь<br />
место периодическое усиление и ослабление<br />
интенсивности метеорного потока.<br />
Вычисляется период биений, который<br />
является одной из основных величин, использующихся<br />
при построении прогноза [7]. Кроме<br />
того, при прогнозировании используются<br />
эмпирические данные о максимальных значениях<br />
плотности потока вещества для метеорного<br />
роя и значениях предыдущих интенсивностей<br />
выпадения метеорного вещества,<br />
которые определяются конфигурацией метеорного<br />
роя.<br />
При прогнозе расчет, опирающийся на<br />
гравитационное воздействие Юпитера, проводился<br />
приближенно с точностью до недели,<br />
поскольку большая точность требует значительного<br />
увеличения затрат времени. По<br />
результатам расчета плотности метеорных<br />
потоков на период 2004-2012 гг. (таблица 1)<br />
можно сделать вывод о том, что наиболее<br />
значимы в отношении метеорной опасности<br />
2008 г. и 2012 г., а наиболее «спокойная» обстановка<br />
соответствует 2005-2006 гг.<br />
Заключение<br />
Результаты моделирования взаимодействия<br />
микрометеороидных и техногенных<br />
частиц с КА сферической пленочной конструкции<br />
позволяют оценить его предельные<br />
возможности и преимущества по сравнению<br />
с известными способами детектирования<br />
микрочастиц, к которым следует отнести:<br />
1. Возможность определения физических<br />
параметров частиц (скорость, размер,<br />
плотность) на больших площадях чувствительной<br />
поверхности КА как преобразователя<br />
при независимости измеряемых параметров<br />
от вектора скорости частиц.<br />
2. Возможность получения большего<br />
объема информации при небольшом времени<br />
экспонирования КА.<br />
3. Возможность получения информации<br />
на различных околоземных орбитах КА в<br />
широком диапазоне масс и скоростей частиц.<br />
61
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Таблица 1<br />
Название<br />
потока<br />
Дата<br />
максимального<br />
потока<br />
Интервал<br />
времени<br />
прохождения<br />
потока у<br />
Земли<br />
Скорость<br />
потока,<br />
км/с<br />
2004<br />
год<br />
2005<br />
год<br />
2006<br />
год<br />
2007<br />
год<br />
Плотность потока, шт/час<br />
Лириды 3.01 2-4.01 47 15 10 5 0...5 0...5<br />
Δ-Аквариды 30.07 29.07-14.08 41 5 5 5 5 5<br />
Дракониды 10.10 10.10 24,60 8 8 8 8 8<br />
Ориониды 21.10 17-24.10 66 5 5 5 5 5<br />
Тауриды 4.11 20.10-25.11 30 7 8 7 6 5<br />
Леониды 16.11 14-19.11 72 6 5 5 5 5<br />
Андромедиды 20.11 15.11-6.12 20 1000 10 10 1000 7000<br />
Β-Таурииды 30.06 23.06-7.07 31 - - 20 - -<br />
Название<br />
потока<br />
Дата<br />
максимального<br />
потока<br />
Интервал<br />
времени<br />
прохождения<br />
потока у<br />
Земли<br />
Скорость<br />
потока,<br />
км/с<br />
2009<br />
год<br />
2010<br />
год<br />
2011<br />
год<br />
2012<br />
год<br />
Плотность потока, шт/час<br />
Лириды 3.01 2-4.01 47 0...5 0...5 0...5 0...5<br />
Δ-Аквариды 30.07 29.07-14.08 41 5 5 5 5<br />
Дракониды 10.10 10.10 24,60 8 8 8 8<br />
Ориониды 21.10 . 17-24.10 66 5 5 5 5<br />
Тауриды 4.11 20.10-25.11 30 5 5 5 5<br />
Леониды 16.11 14-19.11 72 5 5 5 5<br />
Андромедиды 20.11 15.11-6.12 20 1000 10 1000 7000<br />
β-Тауриды 30.06 23.06-7.07 31 - - - -<br />
Геминиды 13.12 8-15.12 36 - - 50 -<br />
Урсиды 22.12 19-23.12 36 - - 12 -<br />
2008<br />
год<br />
Список литературы<br />
1. Патент №205008 (Россия). Детектор<br />
микрометеороидных частиц. //Семкин Н. Д.<br />
Опубликован 10.12.95, БИ №34, с. 32.<br />
2. N. D. Semkin, L. S. Novikov,<br />
K. E. Voronov et al. Detector of micrometeoroid<br />
and artifical space debris particles. Space Debris<br />
2, 273-293, 2000.<br />
3. Патент №2134435 (Россия). Детектор<br />
космического мусора. //Семкин Н. Д. Опубликован<br />
10.08.1999, БИ №24, с.57.<br />
4. Семкин Н. Д., Воронов К. Е., Ротов<br />
С. В. Детектор микрометеороидных и техногенных<br />
частиц //Измерительная техника. –<br />
1999. - №8. - С.3-6.<br />
5. Chobotov V. A. Classification of Orbits<br />
wich Regard to collision hazard in Space //Jurnal<br />
of Spacecraft and Rockets, №20, 1983, pp. 135-<br />
142.<br />
6. Леонтьев Л. В., Тарасов А. В., Терешкин<br />
И. А. Некоторые особенности формы<br />
кратеров, образованных высокоскоростными<br />
частицами в полубесконечной преграде //Космические<br />
исследования. – 1971. - №9. – Т. 5.<br />
- С. 796-801.<br />
7. Маркелова Е. С., Семкин Н. Д. Прогноз<br />
метеорной активности для космических<br />
аппаратов, находящихся на орбитах Земли //<br />
Вестник СГАУ. Серия “Актуальные проблемы<br />
радиоэлектроники” вып.1. - Самара, 1999.<br />
- С. 36-40.<br />
62
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
MODELLING THE INTERACTION OF MICROMETEOROID AND<br />
TECHNOGENOUS PARTICLES WITH A SPACE VEHICLE<br />
© 2007 N. D. Syomkin, V. L. Balakin, I. V. Belokonov, K. Ye. Voronov<br />
Samara State Aerospace University<br />
The number of particle collisions with a space vehicle (SV) is calculated on the basis of meteoric and technogenous<br />
environment. The space vehicle serves as a particle detector and is made in the form of a spherical inflatable filmy<br />
construction. The forecast of the number of collisions for the period of 2004-2012 is estimated. Dependences of the<br />
number of particles colliding with the SV are obtained as functions of its dimensions’ parameters and orbit parameters.<br />
63
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 629.78<br />
СИСТЕМА КОМПЕНСАЦИИ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ<br />
МИКРОУСКОРЕНИЙ МАГНИТНЫМ СПОСОБОМ<br />
© 2007 Н. Д. Семкин, В. Л. Балакин, К. Е. Воронов<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Рассматривается система, использующая магнитный способ компенсации микроускорений и не требующая<br />
изменения конструкции космического аппарата (КА). Приведены результаты моделирования движения<br />
относительно центра масс для различных типов КА.<br />
1. Анализ источников микроускорений<br />
и методы их уменьшения<br />
Микроускорения вызываются действием<br />
на КА возмущающих сил, которые определяются<br />
внешними гравитационными и другими<br />
возмущениями, обусловленными космической<br />
средой, и внутренними возмущениями,<br />
связанными с функционированием<br />
систем КА.<br />
Микроускорения, вызываемые внешними<br />
возмущениями, зависят главным образом<br />
от параметров орбиты и в меньшей степени<br />
от конструкции КА. Поэтому, задавая определенные<br />
параметры орбиты, можно уменьшить<br />
влияние внешних возмущений и, следовательно,<br />
уровень данных микроускорений.<br />
Внутренние источники возмущений<br />
определяются конструкцией КА, и поэтому<br />
уменьшение уровня соответствующих микроускорений<br />
может быть обеспечено за счет<br />
специальных конструктивных решений при<br />
проектирования и КА.<br />
Возможно и применение различных<br />
систем компенсации с малыми ориентирующими<br />
моментами.<br />
В настоящее время для проведения технологических<br />
экспериментов используются<br />
КА “Фотон” и “Бион”, преимуществом которых<br />
является низкий уровень микроускорений,<br />
что обеспечивается специальной конструкцией.<br />
Однако используемая конструкция<br />
не исключает влияния аэродинамического и<br />
гравитационного моментов, что было выявлено<br />
в ходе обработки данных измерений<br />
аппаратуры “Мираж”, осуществлявшей мониторинг<br />
магнитного поля Земли на борту КА<br />
«Фотон-12» [1, 2]. В результате проведенного<br />
эксперимента было установлено, что КА<br />
вращался с постоянно увеличивающейся угловой<br />
скоростью. К концу полета вращательное<br />
движение КА было близко к регулярной<br />
прецессии Эйлера с угловой скоростью порядка<br />
1 град/с [2], что привело к появлению<br />
недопустимо высокого уровня центростремительного<br />
ускорения.<br />
В статье рассматривается система, которая<br />
использует магнитный способ компенсации<br />
вращательных микроускорений и не<br />
требует установки сколько-нибудь значительного<br />
по массе и энергопотреблению дополнительного<br />
оборудования, а также изменения<br />
конструкции КА.<br />
2. Моделирование движения КА<br />
при внешних воздействиях<br />
Будем рассматривать движение КА как<br />
твердого тела по геоцентрической эллиптической<br />
орбите. В уравнениях движения КА<br />
относительно центра масс будем учитывать<br />
гравитационный и аэродинамический моменты.<br />
Гравитационный момент определяется<br />
выражением<br />
r<br />
M<br />
g<br />
3µ r r<br />
= er<br />
× Jer<br />
R 3 ,<br />
где µ - гравитационный параметр; R-расстояние<br />
между центрами масс КА и Земли; e r<br />
-<br />
орт радиус-вектора r; J - матрица моментов<br />
инерции:<br />
J =<br />
J<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
J<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
J<br />
3<br />
.<br />
64
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Аэродинамический момент определяется<br />
формулой<br />
r<br />
M a<br />
r r<br />
= c ρ V (V × P ) / 2 ,<br />
где с - коэффициент силы лобового сопротивления;<br />
ρ - плотность атмосферы; V - скорость<br />
КА; Р - первый момент геометрической фигуры,<br />
являющейся проекцией внешней оболочки<br />
КА на плоскость, перпендикулярную<br />
набегающему потоку.<br />
Плотность атмосферы представим в<br />
виде [3]:<br />
ρ = k<br />
ρ<br />
n<br />
1<br />
k<br />
2<br />
k<br />
3<br />
k<br />
= exp (a<br />
1<br />
4<br />
ρ<br />
n<br />
,<br />
− a<br />
2<br />
h − a<br />
где ρ n<br />
- ночной вертикальный профиль плотности<br />
атмосферы; коэффициент k 1<br />
учитывает<br />
изменение плотности в зависимости от<br />
солнечного излучения (в расчетах принят<br />
индекс активности Солнца F 10,7<br />
= 100*10 22 Вт/<br />
/(м 2 • Гс)); коэффициент k 2<br />
учитывает суточный<br />
эффект в распределении плотности; k 3<br />
-<br />
поправка на полугодовой эффект; коэффициент<br />
k 4<br />
учитывает корреляцию изменений<br />
плотности атмосферы и геомагнитных возмущений;<br />
а 1<br />
, а 2<br />
, а 3<br />
– некоторые коэффициенты;<br />
h- высота полета КА.<br />
Движение твердого тела вокруг центра<br />
масс под действием моментов внешних сил<br />
описывается динамическими уравнениями<br />
Эйлера:<br />
J ω&<br />
J<br />
J<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
ω&<br />
ω&<br />
2<br />
3<br />
+ ( J<br />
2<br />
+ ( J<br />
+ ( J<br />
3<br />
1<br />
− J<br />
− J<br />
− J<br />
3<br />
1<br />
2<br />
) ω ω<br />
2<br />
3<br />
) ω ω<br />
1<br />
3<br />
) ω ω<br />
1<br />
2<br />
= M<br />
= M<br />
= M<br />
1<br />
2<br />
3<br />
3<br />
),<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬ ,<br />
⎪<br />
⎭<br />
где J i<br />
– главные центральные моменты инерции<br />
КА; М i<br />
, ω i<br />
– проекции внешнего момента<br />
и угловой скорости на оси связанной системы<br />
координат.<br />
Внешний момент имеет управляющую<br />
составляющую М упр,<br />
создаваемую исполнительными<br />
органами, и возмущающую составляющую<br />
М возмi<br />
:<br />
М i<br />
= М упрi<br />
+М возмi<br />
.<br />
Представим КА в виде эллипсоида вращения<br />
с большой полуосью длиной 3 м и<br />
малой полуосью длиной 1 м, в виде сферы с<br />
радиусом 2 м и в виде цилиндра длиной 3 м<br />
и радиусом 1 м. Соответственно моменты<br />
инерции аппарата равны для эллипсоида и<br />
2<br />
2<br />
цилиндра: J 1<br />
=2400 кг ⋅ м , J 2<br />
=10800 кг ⋅ м ,<br />
2<br />
2<br />
J 3<br />
=10800 кг ⋅ м ; для сферы: J 1<br />
=J 2<br />
=200 кг ⋅ м ,<br />
2<br />
J 3<br />
=400 кг ⋅ м . Для учета влияния аэродинамического<br />
момента зададим смещение ∆ центра<br />
давления от центра масс. При расчетах<br />
для эллипсоида, сферы и цилиндра соответственно<br />
принималось: ∆ 1<br />
= 0,5 м, ∆ 2<br />
= 0,15 м<br />
и ∆ 3<br />
= 0 м. Начальное взаимное положение<br />
связанной и орбитальной систем координат<br />
задается углом крена ϕ 2<br />
= 30°. Параметры орбиты:<br />
эксцентриситет е = 0,0126, большая<br />
полуось орбиты а = 6688 км, наклонение I =<br />
= 62,8°.<br />
На рисунках 1-3 приведены зависимости<br />
составляющих угловой скорости вращения<br />
КА в результате действия гравитационного<br />
и аэродинамического моментов на протяжении<br />
первых восьми суток полета. По оси абсцисс<br />
показано число витков.<br />
Из представленных графиков видно,<br />
что КА вращается с постоянно увеличивающейся<br />
скоростью. Следует отметить, что скорость<br />
вращения не достигает того уровня,<br />
который был зарегистрирован на практике<br />
[4], что можно объяснить упрощенным описанием<br />
формы КА.<br />
3. Система компенсации<br />
Предлагается подход, основанный на<br />
взаимодействии исполнительных органов<br />
системы компенсации с магнитным полем<br />
Земли [5]. Исполнительными органами системы<br />
являются токонесущие контуры, расположенные<br />
на внешней поверхности КА<br />
(рис. 4). При подаче тока в контуры создаются<br />
управляющие моменты, которые гасят угловые<br />
ускорения и тем самым демпфируют<br />
угловую скорость вращения.<br />
Управляющий магнитный момент, действующий<br />
на контур в магнитном поле, равен<br />
[5]:<br />
M r упр = Lr × B r , (1)<br />
65
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ω 1 , рад/c<br />
0.2<br />
-<br />
ω 2, рад/c<br />
n<br />
n<br />
ω 3, рад/c<br />
n<br />
Рис. 1. КА в виде эллипсоида вращения<br />
66
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
ω 1 , рад/c<br />
n<br />
ω 2, рад/c<br />
n<br />
ω 3, рад/c<br />
n<br />
Рис. 2. КА в виде сферы<br />
67
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ω 1 , рад/c<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
-0.1<br />
ω 2, рад/c<br />
-0.15<br />
0 50 100 150 200<br />
n<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
-0.1<br />
-0.15<br />
ω 3, рад/c<br />
0.15<br />
0.1<br />
0 50 100 150 200<br />
n<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
-0.1<br />
-0.15<br />
0 50 100 150 200<br />
n<br />
Рис. 3. КА в виде цилиндра<br />
68
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
где B r - вектор индукции магнитного поля<br />
Земли; L r =IS n r - вектор дипольного магнитного<br />
момента; S - площадь контура; I - ток,<br />
протекающий по контуру; n r - нормаль контура,<br />
направление которой связано с направлением<br />
тока правилом правого винта.<br />
Примем, что управляющий момент<br />
формируется по пропорциональному закону<br />
M r упр = -кωr , (2)<br />
где к - коэффициент пропорциональности.<br />
Тогда решение уравнения (1) будет<br />
иметь вид:<br />
r<br />
r<br />
r<br />
×<br />
L = к<br />
ω . (3)<br />
B<br />
B<br />
2<br />
Вектор B r измеряется с помощью трехкомпонентного<br />
феррозондового датчика. Вектор<br />
угловой скорости КА можно определить,<br />
измеряя величину магнитного поля [2].<br />
Вектор угловой скорости можно записать<br />
ω r =ω r || +ωr ⊥ , (4)<br />
где ω r , ωr - соответственно составляющие<br />
|| ⊥<br />
ω r вдоль вектора B r и перпендикулярны ему.<br />
Производную B &r разложим на составляющие<br />
B &r 0<br />
за счет относительного движения системы<br />
координат OХ 1<br />
Х 2<br />
Х 3<br />
, связанной с КА, и<br />
векторы B r и B &r м<br />
B r во времени (рис. 5).Тогда ωr ⊥<br />
можно пред-<br />
ставить в функции B &r [4]:<br />
r<br />
ω ⊥<br />
&r<br />
0<br />
B<br />
= r ⋅<br />
B<br />
&r &r<br />
( B − B<br />
=<br />
B<br />
м<br />
2<br />
&r<br />
B<br />
&r<br />
B<br />
0<br />
0<br />
r<br />
) × B<br />
=<br />
за счет изменения модуля<br />
r &r r<br />
0<br />
× B B × B<br />
r = =<br />
2<br />
× B B<br />
&r r<br />
B×<br />
B<br />
.<br />
2<br />
B<br />
(5)<br />
Из (5) следует, что по измерениям магнитного<br />
поля можно найти и, следовательно,<br />
демпфировать только составляющую ω r ⊥ , поскольку<br />
ω r × Br = 0. Здесь проявляется известный<br />
недостаток магнитных систем управле-<br />
||<br />
ния, который следует из (1): нельзя создать<br />
магнитный момент вокруг оси, совпадающей<br />
с направлением вектора магнитного поля. Однако<br />
поскольку наклонение орбиты КА “Фотон”<br />
большое, то магнитное поле во время<br />
полета меняется по направлению, и поэтому<br />
можно компенсировать вращение относительно<br />
любой оси.<br />
Токонесущие контуры<br />
x 3<br />
O<br />
x 1<br />
x 2<br />
Рис. 4. Размещение контуров на КА «Фотон»<br />
69
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Используя (4) и (5), перепишем выражение<br />
(1) в виде<br />
r<br />
⎛ B B ⎞<br />
⎜ r<br />
&r<br />
× r<br />
ω ⎟<br />
||<br />
+ × B<br />
2<br />
r ⎜ B ⎟<br />
L = к<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
2<br />
B<br />
= к<br />
&r r r r<br />
( B B) B к ⎛ &r r<br />
× × B( B B) ⎞<br />
⎜ ⋅ &r<br />
B⎟.<br />
B<br />
2<br />
⋅ B<br />
2<br />
=<br />
B<br />
2<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
B<br />
2<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
(6)<br />
Таким образом, по данным, поступающим<br />
с феррозондовых датчиков, можно из (6)<br />
найти вектор дипольного момента, необходимый<br />
для уменьшения угловой скорости<br />
вращения, и, следовательно, необходимые<br />
для этого токи:<br />
L1<br />
L2<br />
L<br />
= , I2<br />
= , I3<br />
,<br />
(7)<br />
S S S<br />
3<br />
I1 =<br />
где I 1<br />
, I 2<br />
, I 3<br />
– токи в контурах, охватывающих<br />
оси OХ 1<br />
, OХ 2<br />
, OХ 3<br />
связанной системы координат,<br />
соответственно. От знака в правой части<br />
равенства зависит направление тока в<br />
контуре по правилу правого винта.<br />
Реальный закон изменения токов в контурах<br />
имеет вид:<br />
⎧ Li<br />
Li<br />
⎪ при < Imax<br />
S S<br />
I<br />
i<br />
= ⎨<br />
(8)<br />
⎪ Li<br />
Li<br />
Imax<br />
при ≥ Imax<br />
,<br />
⎪⎩<br />
Li<br />
S<br />
х 1<br />
х 3<br />
O<br />
r<br />
B &<br />
м<br />
B r<br />
r<br />
B &<br />
0<br />
ω r<br />
||<br />
ω r<br />
ω r<br />
Рис. 5. Векторная диаграмма<br />
⊥<br />
r<br />
B &<br />
x 2<br />
где i = x1<br />
, y1<br />
, z1;<br />
I max<br />
– максимальное значение<br />
тока.<br />
Для получения законов управления воспользуемся<br />
выражением (3), упростив его.<br />
Согласно (3) требуемый магнитный момент<br />
L зависит от величины В 2 , которая меняется<br />
во время полета. С увеличением угла наклонения<br />
орбиты увеличивается и диапазон изменения<br />
В 2 . Например, по данным измерений<br />
на КА «Фотон-12», величина В изменялась<br />
от 20 до 60 мкТл. Присутствие в (3) члена<br />
В 2 соответствует использованию переменного<br />
коэффициента усиления, который<br />
обеспечивает постоянство магнитного момента.<br />
Исключение этого члена из (3) с помощью<br />
замены<br />
2<br />
B ср<br />
k ~ = k / позволяет существенно<br />
упростить блок формирования сигнала<br />
управления.<br />
Кроме того, можно получить большое<br />
разнообразие законов управления, если использовать<br />
в (3) различные комбинации релейных<br />
функций от ω , L, B . Запишем выра-<br />
r r r<br />
жение (3) в проекциях на оси координат:<br />
L = k ~ ( ω b<br />
L<br />
1<br />
2<br />
= k ~ ( ω b<br />
L = k ~ ( ω b<br />
3<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
2<br />
− ω ⎫<br />
3b2<br />
)<br />
⎪<br />
− ω1b<br />
3<br />
) ⎬<br />
, (9)<br />
⎪<br />
− ω2b1<br />
)<br />
⎭<br />
где b i<br />
, ω i<br />
– компоненты векторов магнитной<br />
индукции и угловой скорости КА в системе<br />
координат OX<br />
1X<br />
2<br />
X<br />
3<br />
.<br />
Закон (9) формирует оптимальный по<br />
направлению вектор магнитного момента.<br />
При его использовании управляющий момент<br />
строго противоположен направлению составляющей<br />
ω r ⊥ , перпендикулярной вектору br .<br />
Такое положения вектора момента обеспечивает<br />
максимальную скорость разгрузки кинетического<br />
момента при заданной величине L.<br />
Любое упрощение, вводимое в закон (9), приводит<br />
к изменению направления вектора L r .<br />
Это приводит к неполному использованию<br />
имеющихся возможностей и снижению эффективности<br />
разгрузки, поскольку часть<br />
энергии будет уходить на демпфирование составляющей<br />
ω ||<br />
. А как уже отмечалось выше,<br />
70
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
основным недостатком магнитных систем является<br />
невозможность согласно (1) создания<br />
момента вокруг оси, параллельной вектору<br />
B r .<br />
На рисунке 6 представлена блок-схема<br />
системы управления (СУ) с непрерывным<br />
функционированием и линейным законом (9)<br />
на выходе.<br />
Электрические сигналы с феррозондовых<br />
датчиков (ФД) поступают на блок преобразования<br />
(БП). На его выходе появляются<br />
сигналы, несущие информацию о компонентах<br />
магнитной индукции и затем поступающие<br />
на дифференциаторы. Информация<br />
о компонентах векторов магнитной индукции<br />
и их производных по времени поступает на<br />
блок формирования сигналов управления<br />
(БФСУ), где вычисляются компоненты угловой<br />
скорости КА, производится перемножение<br />
проекций ω i<br />
и B j<br />
и суммирование результатов.<br />
На выходе БФСУ имеется сигнал рассогласования:<br />
δ i<br />
=ω j<br />
B k<br />
-ω k<br />
B j<br />
. Блок усилителей<br />
мощности (БУМ) усиливает сигнал БФСУ и<br />
своими управляющими сигналами возбуждает<br />
МИО (магнитные исполнительные органы).<br />
Такая система обладает наибольшей<br />
эффективностью, но достаточно сложна в<br />
исполнении.<br />
На практике создать такую СУ не представляется<br />
возможным, поскольку магнитный<br />
момент, вычисленный согласно (2), может<br />
оказаться слишком большим, и МИО не<br />
смогут его создать. Поэтому на выходе БФСУ<br />
необходимо ввести ограничитель сигнала<br />
(рис. 7), имеющий функцию:<br />
⎧δ<br />
i<br />
при δi<br />
≤ δmax<br />
δ<br />
i<br />
= ⎨<br />
⎩δ<br />
maxsign(<br />
δi<br />
) при δi<br />
> δ<br />
. (10)<br />
max<br />
Другим вариантом является СУ с непрерывным<br />
функционированием и релейным<br />
законом на выходе, блок-схема которой представлена<br />
на рисунке 8.<br />
Отличие этой СУ от предыдущей состоит<br />
в том, что МИО включаются только в случае<br />
достижения управляющим сигналом<br />
БФСУ некоторого порогового значения δ * .<br />
ФД<br />
d<br />
dt<br />
B&<br />
1<br />
БП<br />
B 1<br />
БФСУ БУМ<br />
Динамика КА<br />
d<br />
dt<br />
2<br />
B 3<br />
B&<br />
3<br />
d<br />
dt<br />
B&<br />
I 1,2,3<br />
МИО 1<br />
МИО 2<br />
МПЗ<br />
МИО 3<br />
Рис. 6. Блок – схема СУ с непрерывным функционированием и линейным законом<br />
БФСУ<br />
БУM<br />
Рис. 7. Блок – схема ограничителя сигнала<br />
71
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ФД<br />
B 1<br />
d<br />
dt<br />
B&<br />
1<br />
Динамика КА<br />
БП<br />
B 2<br />
d<br />
dt<br />
d<br />
dt<br />
B&<br />
2<br />
B 3<br />
B&<br />
3<br />
БФСУ<br />
I 1,2,3<br />
МИО 1<br />
МИО 2<br />
МПЗ<br />
МИО 3<br />
Рис. 8. Блок – схема СУ с непрерывным функционированием и релейным законом<br />
Для этого сигнал пропускается через схему с<br />
характеристикой, изображенной на рис. 9,а,<br />
и при этом график магнитного момента будет<br />
иметь вид, показанный на рис. 9,б.<br />
На рис. 9,б видно, что после снятия сигнала<br />
с МИО они продолжают создавать остаточный<br />
момент k r<br />
L 0<br />
. Этот момент характерен<br />
для электромагнитных МИО. Частный<br />
случай k r<br />
=0 характерен либо для катушечных<br />
МИО, либо для электромагнитных, к которым<br />
предъявляются требования минимизации<br />
остаточного магнитного момента.<br />
Достоинством данной СУ является отсутствие<br />
БУМ, поскольку сигналы БФСУ<br />
используются только для включения-выключения<br />
МИО, а не для их питания. Это обеспечивает<br />
определенную экономию массы и<br />
энергопотребления системы компенсации.<br />
Однако она имеет худшие динамические показатели.<br />
Следующим вариантом является СУ с<br />
непрерывным функционированием, блоксхема<br />
которой приведена на рис. 10.<br />
Особенность этой СУ состоит в том, что<br />
формирование сигналов управления и функционирование<br />
МИО начинаются, если микроускорения<br />
превышают заданную величину.<br />
Поэтому в схему введены блок вычислений<br />
(БВ), определяющий уровень микроускорений<br />
на основании показаний ФД; релейный<br />
элемент, реагирующий на превышение величиной<br />
ускорения некоторого заданного уровня,<br />
и элемент запрета, закрывающий доступ<br />
к информации о величине компонент В и B &<br />
в БФСУ, когда ускорение не достигает заданной<br />
величины. СУ может иметь как линейную,<br />
так и релейную зависимости моментов<br />
МИО от управляющего сигнала. Система<br />
компенсации имеет пониженное энергопот-<br />
F(δ)<br />
+<br />
-δ * 1<br />
-1<br />
δ *<br />
δ<br />
L<br />
L 0<br />
k r L<br />
δ *<br />
a) б)<br />
-L 0<br />
δ<br />
Рис. 9. Схема пропускания сигнала<br />
72
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
ФД<br />
БП<br />
B i<br />
d<br />
dt<br />
B&<br />
i<br />
БВ<br />
|a|<br />
БУM<br />
Динамика КА<br />
I 1,2,3<br />
МИО i<br />
&<br />
БФСУ<br />
МПЗ<br />
Рис. 10. Блок – схема с линейным функционированием<br />
d<br />
dt<br />
1<br />
Рис. 11. Блок – схема логического суммирования сигналов<br />
ребление, поскольку СУ можно организовать<br />
так, что при микроускорениях, не превышающих<br />
заданного порогового значения, к сети<br />
остается подключенной только та часть схемы,<br />
которая обведена на рис. 10 штрихпунктирной<br />
линией.<br />
Для повышения надежности и обеспечения<br />
большей простоты схемы из нее можно<br />
исключить блок вычислений, формируя<br />
сигнал разрешения работы МИО на основании<br />
данных о величине B & для каждого из каналов<br />
(пороговое значение B & для каждого из<br />
каналов может быть разным) и добавив в схему<br />
блок логического суммирования сигналов<br />
разрешения (рис. 11).<br />
Качество управления в первом и втором<br />
вариантах СУ такое же, как и в первом и втором<br />
вариантах СУ с непрерывным функционированием.<br />
Еще более простой является СУ с логическим<br />
законом и непрерывным формированием<br />
сигналов управления. Поясним это.<br />
Построение СУ, основанных на законе<br />
(2), требует выполнения операции перемножения<br />
проекций векторов ω r и B r . Сделать<br />
это без привлечения цифровых вычислителей<br />
довольно сложно. Но этой операции можно<br />
избежать, если в (2) использовать релейные<br />
функции от ω<br />
i<br />
. В этом случае величины<br />
ω<br />
i<br />
принимают значения 0, ±1, и формирование<br />
законов (9) сводится к алгебраическому<br />
суммированию проекций В i<br />
. Закон управления<br />
в этом случае может быть записан в виде<br />
L = k ~ ⎫<br />
1<br />
( F −<br />
⎪<br />
= k ~ 2(<br />
ω2<br />
)b3<br />
F<br />
3(<br />
ω3<br />
)b2<br />
)<br />
L2<br />
( F ( )b − F ( )b ) ⎬<br />
⎪<br />
L = k ~ 3<br />
ω3<br />
1 1<br />
ω1<br />
3<br />
. (11)<br />
3<br />
( F<br />
1(<br />
ω1<br />
)b2<br />
− F<br />
2(<br />
ω2<br />
)b1<br />
)<br />
⎭<br />
Функции F i<br />
(і = 1, 2, 3) являются релейными<br />
функциями (рис 9,а).<br />
Блок-схема данной СУ показана на<br />
рис. 12. БФСУ выполняет лишь простейшую<br />
операцию алгебраического суммирования<br />
сигналов отдельных каналов магнитометра,<br />
что приводит к простой схемной реализации<br />
и повышению надежности. Однако система<br />
имеет худшее качество управления по сравнению<br />
с предыдущими СУ, использующими<br />
линейные законы.<br />
Если на борту установлены датчики угловых<br />
скоростей (ДУС), то в СУ можно использовать<br />
их информацию. В этом случае<br />
можно отказаться от блока вычислений, что<br />
еще больше упростит схему (рис. 13).<br />
73
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ФД<br />
БП<br />
B i<br />
d<br />
dt<br />
B&<br />
i<br />
ω i<br />
БВ<br />
0, ±1 Динамика КА<br />
БУM<br />
I 1,2,3<br />
МИО i<br />
БФСУ<br />
МПЗ<br />
Рис. 12. Блок – схема суммирования каналов магнитометра<br />
ФД<br />
БП<br />
B i<br />
0, ±1<br />
БФСУ<br />
ω i от ДУСов<br />
БУM<br />
Рис.13. Блок – схема упрощенной системы<br />
СУ с логическим законом может быть<br />
также организована в виде системы с прерывным<br />
формированием сигналов управления<br />
(рис. 14). Из всех рассмотренных вариантов<br />
СУ данная система с релейным выходом обладает<br />
максимальной надежностью и наилучшими<br />
массовыми показателями, но имеет<br />
наихудшую эффективность управления [5].<br />
Приведем результаты моделирования<br />
работы систем управления разных схем с<br />
параметрами, указанными в таблицах 1 и 2.<br />
Сопротивление проводников принималось<br />
равным 0,044 Ом (алюминиевые проводники<br />
диаметром 2,2 мм, образующие контур<br />
радиусом 1 м).<br />
ω i<br />
от ДУСов<br />
1<br />
Динамика КА<br />
ФД<br />
БП<br />
B i<br />
&<br />
БФСУ<br />
БУM<br />
I 1,2,3<br />
МИО i<br />
МПЗ<br />
Рис. 14. Блок – схема СУ с непрерывным формированием сигналов управления<br />
74
Таблица 1<br />
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
№ 1 2 3 4<br />
Функционирование непрерывное непрерывное непрерывное непрерывное<br />
Закон формирования<br />
сигнала управления<br />
линейный линейный линейный логический<br />
Выход<br />
линейный<br />
линейный с<br />
ограничением<br />
релейный релейный<br />
k 0,1 0,1 0,1 0,0002<br />
Дополнительные<br />
параметры<br />
I max = 2 A I max = 2 A I= 2 A<br />
I= 2 A,<br />
ω * =0,001 рад/с<br />
Р ср 0,23553 0,16557 0,07726 0,06275<br />
Таблица 2<br />
№ 1 2 3 4<br />
k 0,1 0,15 0,25 0,00055<br />
Дополнительные<br />
параметры<br />
I max =2 A I max =2 A I=2 A<br />
I=2 A,<br />
ω * =0,001 рад/с<br />
Р ср 0,23553 0,24198 0,24845 0,25725<br />
На рис. 15 приведены графики разгрузки<br />
кинетического момента (1 соответствует<br />
СУ с непрерывным функционированием и<br />
линейным выходом, 2 – СУ с непрерывным<br />
функционированием и ограничителем на<br />
выходе, 3 – СУ с непрерывным функционированием<br />
и релейным выходом, 4 – СУ с непрерывным<br />
функционированием и логическим<br />
законом формирования сигнала управления).<br />
Рис. 15 подтверждает, что упрощение<br />
СУ приводит к ухудшению динамических<br />
показателей. Хотя при упрощении СУ снижается<br />
средняя рассеиваемая в контурах мощность,<br />
но отношение «эффективность управления/рассеиваемая<br />
мощность» уменьшается<br />
(рис. 16 и табл. 2).<br />
Решение об использовании в системе<br />
компенсации той или иной схемы СУ зависит<br />
от ее требуемой массы, энергопотребления,<br />
надежности, условий работы и др. По-<br />
ω,<br />
рад/c<br />
0.022<br />
0.021<br />
4 3<br />
2 1<br />
0.02<br />
0.019<br />
0.018<br />
0 100 200 300 400<br />
t, c<br />
Рис. 15. График разгрузки кинетического момента<br />
75
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ω,<br />
рад/c<br />
0.022<br />
0.021<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0.02<br />
0.019<br />
0.018<br />
0 100 200 300 400<br />
t, c<br />
Рис. 16. График разгрузки кинетического момента<br />
этому оно должно приниматься на основании<br />
результатов детального анализа схемных решений<br />
построения СУ и характеристик КА.<br />
4. Моделирование движения КА «Фотон»<br />
Моделирование проводилось для КА,<br />
представленного в виде эллипсоида вращения,<br />
с характеристиками и параметрами орбиты,<br />
указанными в 1, для СУ с непрерывным<br />
формированием сигнала управления и<br />
релейным выходом (рис. 8), исполнительные<br />
органы которой имеют 1 виток. Коэффициент<br />
пропорциональности k = 0,1, максимальный<br />
ток I max<br />
= 3 A.<br />
Зависимость модуля угловой скорости<br />
от времени приведена на рис. 17.<br />
Как следует из рис. 17, использование<br />
предлагаемой магнитной системы компенсации<br />
обеспечивает существенное снижение<br />
угловой скорости вращения КА.<br />
5. Моделирование движения<br />
спутника-датчика<br />
Рассмотрено движение КА в виде сферы<br />
диаметром 5 м с моментами инерции: J 1<br />
=<br />
=J<br />
2 = J 3 = 15,3 и смещениями: ∆ 1 = 0, ∆ 2 = 0,<br />
∆ 3<br />
= -2 м. Начальное взаимное положение связанной<br />
и орбитальной систем координат задается<br />
углом крена ϕ 2<br />
= 30°. Параметры орбиты:<br />
эксцентриситет е = 0,074, большая полуось<br />
орбиты а = 7232 км, наклонение i = 73°.<br />
Для первых суток полета зависимости<br />
составляющих угловой скорости приведены<br />
на рис. 18, а модуль угловой скорости - на<br />
рис. 19.<br />
ω, рад/с<br />
t, час<br />
Рис. 17. Зависимость модуля угловой скорости от времени<br />
76
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
ω, рад/c<br />
t, час<br />
Рис. 18. Зависимость составляющих угловой скорости от времени<br />
ω, рад/с<br />
t, час<br />
Рис. 19. Зависимость модуля угловой скорости от времени<br />
Из рис. 19 видно, что угловая скорость<br />
вращения КА возрастает, т. е. происходит его<br />
закрутка вокруг оси ОХ 3<br />
.<br />
Проведены расчеты для СУ с непрерывным<br />
формированием сигнала управления и<br />
релейным выходом (рис. 8), исполнительные<br />
органы которой содержат один виток.<br />
Способность системы компенсации<br />
выполнять свои функции при заданных внешних<br />
условиях зависит от коэффициента<br />
пропорциональности k и максимально возможного<br />
тока I max<br />
. Для k = 0,l приняты три<br />
варианта I max<br />
: 3 А, 0,5 А и 0,1 А. Зависимость<br />
модуля угловой скорости от времени для этих<br />
вариантов представлены на рисунках 20, 21<br />
и 22, соответственно.<br />
Из рис. 20-22 следует, что с уменьшением<br />
I max<br />
у системы компенсации ухудшается<br />
способность удерживать угловую скорость<br />
КА в заданных пределах. Для I max<br />
, меньшего<br />
0,1 А, система не выполняет поставленной<br />
задачи, а при дальнейшем уменьшении I max<br />
минимально достижимое значение угловой<br />
скорости к концу полета возрастает. При<br />
I max<br />
>0,5 A скорость вращения КА гарантированно<br />
удерживается в необходимых пределах.<br />
Однако, чем больше I max<br />
, тем выше энергопотребление<br />
системы. Для анализа влияния<br />
коэффициента k рассмотрены два варианта:<br />
k=0,5 и k=0,9 при I max<br />
=0,1 А. Результаты расчетов<br />
приведены на рис. 23 и 24.<br />
77
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ω, рад/c<br />
t, час<br />
Рис. 20. Зависимость модуля угловой скорости от времени, I max<br />
= 3 А<br />
ω, рад/с<br />
t, час<br />
Рис. 21. Зависимость модуля угловой скорости от времени, I max<br />
= 0,5 А<br />
ω, рад/c<br />
Рис. 22. Зависимость модуля угловой скорости от времени, I max<br />
=0,1 А<br />
78<br />
t, час
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
ω, рад/c<br />
t, час<br />
Рис. 23. Зависимость модуля угловой скорости от времени, к = 0,5<br />
ω, рад/с<br />
Рис. 24. Зависимость модуля угловой скорости от времени, к = 0,9<br />
t, час<br />
Как и следовало ожидать, с ростом коэффициента<br />
пропорциональности k эффективность<br />
СУ увеличивается – угловая скорость<br />
вращения КА уменьшается.<br />
Таким образом, результаты моделирования<br />
движения КА относительно центра<br />
масс под действием внешних гравитационного<br />
и аэродинамического моментов показывают<br />
эффективность использования системы<br />
компенсации микроускорений, реализующих<br />
магнитный способ.<br />
Список литературы<br />
1. Абрашкин В. И., Балакин В. Л., Белоконов<br />
И. В, Воронов К. Е., Иванов В. В.,<br />
79<br />
Зайцев А. С., Казакова А. Е., Сазонов В. В.,<br />
Семкин Н. Д. Неуправляемое вращательное<br />
движение спутника “Фотон-12” и квазистатические<br />
микроускорения на его борту // Космические<br />
исследования. – 2003. - №1. - Т. 41.<br />
- С. 45-51.<br />
2. Абрашкин В. И., Балакин В. Л., Белоконов<br />
И. В, Воронов К. Е., Иванов В. В.,<br />
Зайцев А. С., Казакова А. Е., Сазонов В. В.,<br />
Семкин Н. Д. Определение вращательного<br />
движения спутника «Фотон-12» по данным<br />
бортовых измерений магнитного поля Земли.<br />
- 2000 г. - № 60. (Препринт Института<br />
прикладной математики им. М. В. Келдыша<br />
РАН).
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
3. Модель верхней атмосферы для баллистических<br />
расчетов. ГОСТ 22721-77. -М.:<br />
Изд-во стандартов, 1978.<br />
4. Сазонов В. В., Чебуков С. Ю., Абрашкин<br />
В. И., Казакова А. Е., Зайцев А. С. Анализ<br />
низкочастотных микроускорений на борту<br />
ИСЗ «Фотон-11». – 1999. - № 33. (Препринт<br />
Института прикладной математики им.<br />
М. В. Келдыша РАН).<br />
5. Коваленко А.П. Магнитные системы<br />
управления космическими летательными аппаратами.<br />
- М.: Машиностроение, 1975.<br />
A SYSTEM OF COMPENSATING ROTARY MICROACCELERATION<br />
BY A MAGNETIC METHOD<br />
© 2007 N. D. Syomkin, V. L. Balakin, K. Ye. Voronov<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper deals with a system that uses a magnetic method of compensating microaccelerations and does not<br />
require changing the design of a space vehicle (SV). The results of modelling the motion relative to the centre of mass<br />
for different types of SV are given.<br />
80
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
УДК 629.78<br />
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОЦЕНИВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ<br />
ЭФФЕКТИВНОСТИ АГРЕГАТОВ СИСТЕМЫ<br />
ТЕРМОРЕГУЛИРОВАНИЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ<br />
© 2007 М. И. Соколов<br />
Филиал Красноярского государственного технического университета, г. Железногорск<br />
Исследуются взаимосвязи показателей эффективности малорасходных вентиляторов и электронасосных<br />
агрегатов космических аппаратов, их зависимость от конструктивных параметров элементов и технологических<br />
условий эксплуатации. Особенности исследуемых систем предполагают использование непараметрических<br />
методов обработки информации. Анализируются результаты вычислительных элементов с целью определения<br />
эффективных режимов эксплуатации агрегатов.<br />
Введение<br />
С развитием науки и техники человечество<br />
шагнуло в эру космических технологий.<br />
За рубежом развитие космической техники<br />
пошло по пути создания дорогостоящей<br />
бортовой аппаратуры, работающей в открытом<br />
космосе и не требующей искусственного<br />
конвективного теплообмена. Однако для<br />
долговременных орбитальных станций и<br />
продолжительных пилотируемых полетов<br />
необходимо иметь на борту малорасходные<br />
вентиляторы на длительный ресурс непрерывной<br />
работы в экстремальных условиях<br />
микрогравитаций, температурных и механических<br />
воздействий, а также космических<br />
излучений.<br />
В данной работе разрабатываются и<br />
исследуются непараметрические модели<br />
оценки показателей эффективности малорасходных<br />
вентиляторов и электронасосных агрегатов<br />
спутников связи, включая их зависимость<br />
от конструктивных параметров рабочих<br />
элементов и технологических условий<br />
эксплуатации. Полученные результаты вычислительного<br />
эксперимента и программные<br />
средства могут быть использованы в качестве<br />
рекомендаций для принятия решений при<br />
выборе технических узлов спутников связи.<br />
Постановка задачи<br />
Объектом исследования являются конструктивные<br />
особенности малорасходных<br />
вентиляторов спутников связи. Изучаются<br />
взаимосвязи между параметрами: коэффициентом<br />
П в<br />
, темпераментом σ, отношением динамического<br />
давления к статическому<br />
P дин<br />
Pст<br />
, коэффициентом полезного действия<br />
(КПД) η, расходом рабочего тепла Vр,<br />
скоростью вращения электродвигателя s, потребляемым<br />
током I, весом аппарата р. В качестве<br />
выходной переменной у может выступать<br />
любой из переменных признаков.<br />
Безразмерный коэффициент П в<br />
представляет<br />
собой удельную полезную мощность<br />
на ометаемую площадь и массу подаваемого<br />
рабочего тела при конкретной частоте вращения<br />
вала. Темперамент вентилятора σ –<br />
безразмерный параметр, определяющий соотношение<br />
кинетической энергии потока рабочего<br />
газа к его потенциальной энергии.<br />
В результате экспериментальных работ<br />
получена статистическая выборка независимых<br />
наблюдений параметров вентилятора. В<br />
общем случае статистическая модель изучаемой<br />
системы представляется нелинейной<br />
стохастической зависимостью<br />
y<br />
k<br />
= ϕ ( x ) ∀ x ∈ R , (1)<br />
где вид однозначного преобразования ϕ( x )<br />
и плотностей вероятности p (x)<br />
, p ( x,<br />
y)<br />
неизвестен.<br />
Вторая часть исследований направлена<br />
на изучение влияния модификаций профиля<br />
лопаток рабочего колеса на коэффициент<br />
полезного действия электронасосных агрегатов<br />
спутника связи. Рассматриваются следующие<br />
профили лопаток рабочего колеса: кри-<br />
81
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
волинейные с углом наклона на выходе 90°<br />
(штатные), углом наклона 30° и прямые.<br />
Априорная неопределенность изучаемой<br />
стохастической зависимости и малый<br />
объем экспериментальных данных требуют<br />
применения адекватных математических<br />
средств оценивания показателей эффективности<br />
объекта исследования. Предлагается<br />
использовать непараметрические модели коллективного<br />
типа для описания взаимосвязи<br />
показателя эффективности электронасосного<br />
агрегата от конструктивных параметров<br />
рабочих колес и технологических условий его<br />
эксплуатации. Преимущество предлагаемых<br />
моделей заключается в максимальном учете<br />
информации исходных обучающих выборок.<br />
При этом входными параметрами<br />
( x<br />
ν<br />
, ν = 1,5)<br />
являются: напряжение питания<br />
(U пит<br />
), температура рабочей жидкости (Т рж<br />
),<br />
перепады давления от минимального до максимально<br />
возможных (∆Р), частота фазного<br />
сигнала (f) и скорость вращения (s). Выходной<br />
переменной у изучаемой системы является<br />
КПД:<br />
∆P<br />
⋅Q<br />
η =<br />
U I<br />
,<br />
пит ⋅<br />
где I – ток потребления; Q– объемный расход<br />
теплоносителя.<br />
Пусть в результате экспериментальных<br />
работ получена выборка<br />
i i<br />
V = ( xν<br />
, y ,i = 1 ,n, ν = 1,k<br />
)<br />
независимых наблюдений параметров электоронасосного<br />
агрегата. В общем случае статистическая<br />
модель изучаемой системы представляется<br />
нелинейной стохастической зависимостью<br />
(1).<br />
В связи с малым объемом выборки и<br />
большим количеством признаков адекватным<br />
методом восстановления зависимостей (1)<br />
являются использование метода группового<br />
учета аргументов (МГУА) 1] и непараметрических<br />
моделей коллективного типа [2].<br />
Непараметрические методы<br />
обработки информации<br />
Метод группового учета аргументов.<br />
Рассматриваемый метод предназначен для<br />
восстановления стохастических зависимостей<br />
в условиях малых выборок, когда отношение<br />
n/k соизмеримо с единицей. Его идея<br />
состоит в формировании процедуры последовательной<br />
аппроксимации путем управляемого<br />
расширения пространства аргументов.<br />
Рассмотрим этапы формирования моделей.<br />
1. На основе обучающей выборки<br />
i i<br />
V = ( xν , y , ν =1 ,k,i =1,n)<br />
построить модель<br />
y = ( x ,x ) искомой зависимости<br />
1<br />
ϕ 1<br />
0<br />
d<br />
y = ϕ(<br />
x1,...,xk<br />
) как функцию двух компонент<br />
x 0<br />
,xd<br />
, дающих наилучшее приближение.<br />
Для построения модели y1 = ϕ 1<br />
( x0<br />
,xd<br />
)<br />
используем непараметрическую регрессию<br />
[2]<br />
n<br />
i<br />
i<br />
i ⎛ x ⎞ ⎛ ⎞<br />
0<br />
− x0<br />
−<br />
∑<br />
Φ xd<br />
xd<br />
y Φ<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
i=<br />
1 ⎝ σ<br />
0c<br />
⎠ ⎝ σ<br />
dc<br />
ϕ =<br />
⎠<br />
1(<br />
x0<br />
,xd<br />
)<br />
n<br />
i<br />
i<br />
,(2)<br />
⎛ x − ⎞ ⎛ − ⎞<br />
0<br />
x0<br />
∑Φ<br />
⎜<br />
⎟ Φ xd<br />
xd<br />
⎜<br />
⎟<br />
i=<br />
1 ⎝ σ<br />
0c<br />
⎠ ⎝ σ<br />
dc<br />
⎠<br />
где<br />
σ 0<br />
,σ<br />
d<br />
– оценки среднеквадратических<br />
отклонений признаков<br />
i=<br />
1<br />
x 0<br />
, x :<br />
1 n<br />
i<br />
σ<br />
ν<br />
= ∑(<br />
xν<br />
− xν<br />
) , ν = 0, d ;<br />
n −1<br />
i<br />
xν – среднее значение x<br />
ν<br />
. В качестве ядерной<br />
функции выбираем ядро Епанечникова,<br />
оптимальное в смысле среднеквадратического<br />
критерия.<br />
2. На i-й интеграции синтеза модели по<br />
i<br />
t t 1<br />
= 1<br />
i<br />
выборке V = ( y<br />
−<br />
, xν ,i ,n ) построить модель<br />
y<br />
t<br />
= ϕ<br />
t(<br />
yt−<br />
1,<br />
xν<br />
) , где x<br />
ν<br />
– ранее не используемый<br />
компонент вектора x , обеспечивающий<br />
в паре с y<br />
t −1<br />
наилучшее приближение<br />
восстанавливаемой зависимости. На этом<br />
этапе непараметрическая модель y , x )<br />
принимает вид<br />
2<br />
d<br />
ϕt( t−1<br />
ν<br />
82
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
ϕ(<br />
y<br />
t−1<br />
,x<br />
n<br />
∑<br />
i= 1 ν<br />
t−1<br />
ν<br />
) =<br />
i .<br />
n<br />
i<br />
⎛ x − x ⎞ ⎛ y ⎞<br />
ν ν t−1<br />
− yt−<br />
1<br />
∑<br />
i ⎛ xν<br />
− x<br />
y Φ<br />
⎜<br />
⎝ σ c<br />
Φ<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
c<br />
i<br />
ν<br />
⎞ ⎛<br />
⎜<br />
Φ y<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎟ Φ<br />
⎠<br />
⎜<br />
⎝<br />
− y<br />
σ c<br />
t−1<br />
σ<br />
i= 1 ν<br />
t−1<br />
c<br />
i<br />
t−1<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
(3)<br />
Процесс формирования модели (реализация<br />
этапа 2) продолжается до тех пор, пока<br />
не будет достигнута приемлемая для исследователя<br />
точность аппроксимации.<br />
Оптимизация непараметрических моделей<br />
(2), (3) ( yt , t = 1,T<br />
) по параметру размытости<br />
осуществляется из условия минимума,<br />
например, средней относительной ошибки<br />
аппроксимации<br />
W( c )<br />
n j<br />
1 y −ϕt(<br />
x<br />
= ∑<br />
n<br />
y<br />
j=<br />
1<br />
j<br />
j<br />
, y<br />
j<br />
t−1<br />
, c )<br />
. (4)<br />
Непараметрические модели коллективного<br />
типа. Идея рассматриваемого подхода<br />
состоит в построении системы упрощенных<br />
параметрических моделей зависимости (1)<br />
относительно некоторого набора точек из<br />
обучающей выборки с последующей их организацией<br />
в коллективе на основе методов<br />
непараметрической статистики.<br />
Поставим в соответствие некоторой<br />
i i<br />
точке ( x , y ) обучающей выборки V аппроксимацию<br />
ϕ ( x, α ) зависимости (1), парамет-<br />
i<br />
ры α которой удовлетворяют условиям:<br />
y<br />
i<br />
i i<br />
= ϕ ( x , α ) ,<br />
i<br />
i 1 n j j<br />
α = arg min ∑ ( y −ϕ<br />
( x , α ))<br />
2<br />
, i=<br />
1,N<br />
n−<br />
i<br />
.<br />
i 1<br />
α j=<br />
1<br />
j≠1<br />
(5)<br />
i<br />
Упрощенные аппроксимации ϕ i<br />
( x , α )<br />
проходят через опорные точки<br />
i<br />
i<br />
( x , y , i = 1, N)<br />
и близки в среднеквадратическом<br />
к остальным элементам обучающей<br />
выборки V .<br />
Для линейных упрощенных аппроксимаций<br />
k<br />
∑<br />
i i<br />
ϕ<br />
i(<br />
x, α ) = α ν<br />
xν<br />
+ β . (6)<br />
ν = 1<br />
Параметр<br />
β<br />
i<br />
= y<br />
i<br />
−<br />
k<br />
i<br />
∑α ν<br />
ν = 1<br />
x<br />
i<br />
ν<br />
, а коэффи-<br />
i<br />
циенты α ν<br />
, ν = 1,<br />
k находятся из условия минимума<br />
критерия<br />
n<br />
∑<br />
⎡<br />
⎢(<br />
y<br />
⎣<br />
j<br />
− y<br />
) −<br />
∑<br />
j= 1 ν = 1<br />
j≠i<br />
i<br />
k<br />
2<br />
i j i ⎤<br />
α<br />
ν<br />
( xν<br />
− xν<br />
) ⎥ , (7)<br />
⎦<br />
В качестве статистической модели зависимости<br />
(1) примем процедуру условного<br />
усреднения<br />
N<br />
∑<br />
i<br />
y = ϕ ( x ) = ϕ ( x, α ) λ ( x , (8)<br />
t=<br />
1<br />
i<br />
i<br />
)<br />
где положительная, ограниченная значением<br />
единица функция λ i ( x ) определяет «вес»<br />
i<br />
правила ϕ ( x, α ) при формировании решения<br />
в ситуации x:<br />
i<br />
k<br />
i<br />
⎛ x ⎞<br />
ν<br />
− xν<br />
∏Φ<br />
⎜<br />
⎟<br />
i<br />
ν=<br />
1 ⎝ cν<br />
λ ( x) =<br />
⎠<br />
N k<br />
i<br />
. (9)<br />
⎛ x − x ⎞<br />
ν ν<br />
∑∏Φ<br />
⎜<br />
⎟<br />
i= 1 ν=<br />
1 ⎝ cν<br />
⎠<br />
Непараметрическая модель коллективного<br />
типа (5) допускает представление<br />
y = ϕ ~ ( x ) + z( x ) , (10)<br />
где первое слагаемое ~ϕ ( x ) является непараметрической<br />
регрессией, построенной по<br />
опорным точкам, а второе z ( x ) играет роль<br />
поправочного члена и отражает условную<br />
взаимосвязь между точками обучающей выборки,<br />
значения которого снижаются по мере<br />
83
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
роста объема исходной информации. Наличие<br />
поправочного члена делает коллектив (5)<br />
схожим с гибридными моделями, а слабая<br />
зависимость его свойств от вида опорных<br />
функций – с непараметрической регрессией.<br />
Результаты вычислительного<br />
эксперимента<br />
Применение непараметрических коллективов<br />
позволяет использовать не только<br />
информацию о локальном поведении восстанавливаемой<br />
зависимости, но и вскрывать ее<br />
относительные интегральные свойства, содержащиеся<br />
в обучающей выборке.<br />
Исследование взаимосвязи между параметрами<br />
малорасходных вентиляторов.<br />
Объем экспериментальных данных составлял<br />
10 наблюдений, причем каждое соответствовало<br />
конкретному вентилятору, характеризующемуся<br />
семью показателями эффективности.<br />
В ходе вычислительного эксперимента<br />
в качестве значений функции выбирался один<br />
из семи показателей, остальные составляли<br />
набор ее аргументов. При моделировании<br />
взаимосвязи между входными и выходными<br />
переменными изучаемого объекта было установлено,<br />
что некоторые признаки давали<br />
большую ошибку аппроксимации, и поэтому<br />
при повторном эксперименте такие признаки<br />
для данной выходной переменной не учитывались.<br />
Результаты вычислительного эксперимента<br />
представлены на рис. 1–13.<br />
Рис. 1. Зависимость коэффициента П в<br />
от<br />
отношения Р дин<br />
/Р ст<br />
: кривая 1 получена при<br />
показателе «темперамент» σ = 142 и скорости<br />
вращения электродвигателя s = 4000 об/мин;<br />
кривая 2 при σ = 100 и s =3000 об/мин;<br />
кривая 3 при σ=65 и s =2500 об/мин<br />
Рис. 2. Зависимость коэффициента П в<br />
от скорости<br />
вращения электродвигателя s: кривая 1<br />
соответствует σ=100 и V р<br />
= 0,12; кривая 2 –<br />
σ=100 и V р<br />
= 0,09; кривая 3 – σ =60 и V р<br />
= 0,1<br />
Рис. 3. Зависимость показателя «темперамент»<br />
от КПД: кривая 1 – П в<br />
= 300, Р дин<br />
/ Р ст<br />
= 0,7 и<br />
V р<br />
= 0,1; кривая 2 – П в<br />
= 300, Р дин<br />
/ Р ст<br />
= 1,5 и<br />
V р<br />
= 0,08; кривая 3 – П в<br />
= 150, Р дин<br />
/ Р ст<br />
= 0,4 и<br />
V р<br />
= 0,05<br />
Рис. 4. Зависимость показателя<br />
«темперамент» от КПД:<br />
кривая 1 – П в<br />
= 500, Р дин<br />
/ Р ст<br />
= 0,5 и V р<br />
= 0,05;<br />
кривая 2 – П в<br />
= 500, Р дин<br />
/ Р ст<br />
= 1 и V р<br />
= 0,05<br />
84
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Рис. 5. Зависимость коэффициента полезного<br />
действия от отношения Р дин<br />
/ Р ст<br />
:<br />
кривая 1 соответствует значениям П в<br />
= 300,<br />
σ = 140 и V р<br />
=0,06;<br />
кривая 2 – значениям П в<br />
= 500, σ = 140 и V р<br />
=0,06;<br />
кривая 3 – значениям П в<br />
= 300, σ = 75 и V р<br />
=0,06;<br />
кривая 4 – значениям П в<br />
= 300, σ = 140 и V р<br />
=0,1<br />
Рис. 6. Зависимость коэффициента П в<br />
при массе аппарата р = 3 кг, V р<br />
= 0,09;<br />
Р дин<br />
/ Р ст<br />
= 0,3 и σ = 100<br />
Рис. 7. Зависимость коэффициента полезного<br />
действия от отношения Р дин<br />
/ Р ст<br />
:<br />
кривая 1 соответствует значениям<br />
р = 2,5 кг, V р<br />
= 0,09;<br />
кривая 2 - р = 1,5 кг, V р<br />
= 0,06;<br />
кривая 3 – р = 2,5 кг, V р<br />
= 0,05<br />
Рис. 8. Зависимость веса аппарата<br />
от отношения Р дин<br />
/ Р ст<br />
:<br />
кривая 1 соответствует значениям П в<br />
= 300,<br />
σ = 140 и скорости вращения электродвигателя<br />
s = 3000 об/мин;<br />
кривая 2 - П в<br />
= 300, σ = 170 и s = 4000 об/мин;<br />
кривая 3 - П в<br />
= 200, σ = 60 и s = 5000 об/мин<br />
Рис. 9. Зависимость массы аппарата от<br />
скорости вращения электродвигателя s:<br />
кривая 1 соответствует значениям П в<br />
= 300,<br />
σ = 140; кривая 2 - П в<br />
= 500, σ = 140;<br />
кривая 3 - П в<br />
= 300, σ = 60<br />
Рис. 10. Зависимость массы аппарата от КПД:<br />
кривая 1 соответствует значениям П в<br />
= 300,<br />
σ = 60; кривая 2 - П в<br />
= 300, σ = 140;<br />
кривая 3 - П в<br />
= 500, σ = 140<br />
85
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 11. Зависимость отношения Р дин<br />
/ Р ст<br />
от массы аппарата: кривая 1 соответствует<br />
значениям П в<br />
= 300, σ = 100; кривая 2 - П в<br />
= 400,<br />
σ = 100; кривая 3 - П в<br />
= 300, σ = 60<br />
Рис. 12. Зависимость массы аппарата<br />
от скорости вращения электродвигателя s при<br />
σ = 100, Р дин<br />
/ Р ст<br />
= 0,74 и КПД = 0,3<br />
Рис. 13. Зависимость КПД от скорости вращения электродвигателя s:<br />
кривая 1 соответствует значениям П в<br />
= 300, V р<br />
= 0,09; кривая 2 - П в<br />
= 300, V р<br />
= 0,11;<br />
кривая 3 - П в<br />
= 300, V р<br />
= 0,05<br />
Исследование показателей эффективности<br />
рабочих колес злектронасосных агрегатов.<br />
Объем экспериментальных данных<br />
для штатной крыльчатки составлял n = 67,<br />
ошибка восстановления искомой зависимости<br />
находилась в пределах 4,8 % от значения<br />
восстанавливаемой функции. Объем данных<br />
для криволинейной крыльчатки n = 71 при<br />
ошибке восстановления 6,1 %. Для прямой<br />
крыльчатки объем экспериментальных дан-<br />
ных составил 72 наблюдения, а ошибка восстановления<br />
– 13 %.<br />
Эффективность восстановления зависимости<br />
(1) непараметрическими моделями<br />
коллективного типа (5) определялась средней<br />
относительной ошибкой аппроксимации.<br />
Кривые на рисунках 14–22 соответствуют<br />
штатной крыльчатке (1), и крыльчаткам с<br />
криволинейными (2) и прямыми (3) лопатками,<br />
КПД приведен в %.<br />
86
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Рис. 14. Зависимость КПД от температуры<br />
рабочей жидкости при скорости вращения<br />
s = 5800 об/мин, U<br />
пит<br />
= 27 В, ∆ P = 61 кПа<br />
Рис. 15. Зависимость КПД от температуры<br />
рабочей жидкости при s = 5750 об/мин,<br />
U = 27 В, ∆ P = 50 кПа<br />
пит<br />
Рис. 16. Зависимость КПД от температуры<br />
рабочей жидкости при s = 5600 об/мин,<br />
U = 27 В, ∆ P = 45 кПа<br />
пит<br />
Рис. 17. Зависимость КПД<br />
от перепада давления при s = 5800 об/мин,<br />
U<br />
пит<br />
= 27 В, T<br />
рж = 20 °С<br />
Рис. 18. Зависимость КПД от перепада давления<br />
при s = 5800 об/мин, U пит<br />
= 23 В, Т рж<br />
= 20 °С<br />
Рис. 19. Зависимость КПД от перепада давления<br />
при s = 5800 об/мин, U пит<br />
= 34 В, Т рж<br />
= 20 °С<br />
87
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
КПД<br />
29<br />
КПД<br />
30<br />
27,5<br />
26<br />
24,5<br />
23<br />
3<br />
1<br />
2<br />
28,5<br />
27<br />
25,5<br />
2<br />
1<br />
3<br />
21,5<br />
U пит<br />
23 25,2 27,4 29,6 31,8 34<br />
24<br />
U пит<br />
23 25,2 27,4 29,6 31,8 34<br />
Рис. 20. Зависимость КПД от напряжения питания<br />
при s = 5800 об/мин, Т рж<br />
= 20 °С, ∆ P = 61 кПа<br />
Рис. 21. Зависимость КПД от напряжения питания<br />
при s = 5800 об/мин, Т рж<br />
= –50°С, ∆ P = 61 кПа<br />
КПД<br />
27,5<br />
26<br />
24,5<br />
23<br />
1<br />
3<br />
2<br />
21,5<br />
23 25,2 27,4 29,6 31,8 34<br />
U пит<br />
Рис. 22. Зависимость КПД от напряжения питания<br />
при s = 5800 об/мин, Т рж<br />
= 50 °С, ∆ P = 61 кПа<br />
Заключение<br />
Восстанавливаемые многомерные зависимости<br />
для малорасходных вентиляторов<br />
космических аппаратов позволяют спроектировать<br />
осевой вентилятор минимальной массы<br />
(рис. 11) с КПД близким к максимальному<br />
(рис. 10). Из условия максимума КПД найдены<br />
оптимальные параметры: П в<br />
= 63,<br />
Р дин<br />
/ Р ст<br />
=1,3 (рис. 6, 7). Зависимость темперамента<br />
от КПД (рис. 4, 5) показывает, что<br />
необходимых высоких КПД можно достичь<br />
или за счет увеличения массы (при Р дин<br />
/ Р ст<br />
=<br />
= 0,5) или за счет увеличения скорости вращения<br />
(при Р дин<br />
/ Р ст<br />
= 1). При Р дин<br />
/ Р ст ≥ 1,8<br />
коэффициент П в<br />
не зависит от скорости вращения<br />
и темперамента, причем происходит<br />
резкое снижение КПД, что необходимо учитывать<br />
в процессе проектирования вентиляторов.<br />
Анализ результатов вычислительного<br />
эксперимента показывает, что наибольшая<br />
эффективность электронасосного агрегата<br />
достигается при использовании рабочего ко-<br />
леса с прямыми лопатками. При этом максимальный<br />
КПД соответствует следующим техническим<br />
параметрам: скорость вращения<br />
s = 5750 об/мин, напряжение питания<br />
U пит<br />
=27 В, перепад давления ∆Р = 50 кПа.<br />
Соблюдение данного технологического режима<br />
обеспечивает слабую зависимость КПД от<br />
температуры рабочей жидкости. Криволинейный<br />
профиль крыльчатки с углом наклона лопатки<br />
на выходе 30° имеет преимущества в<br />
области пониженных скорости вращения рабочего<br />
колеса и перепадов давления при<br />
меньших значениях КПД электронасоса по<br />
сравнению с оптимальным технологическим<br />
режимом. В этих условиях также наблюдается<br />
слабая зависимость КПД от температуры<br />
рабочей жидкости.<br />
Имеется экстремальная зависимость<br />
(рис. 17–19) коэффициента полезного действия<br />
электронасоса от перепадов давления.<br />
Существуют технологические режимы, когда<br />
эффективность электронасоса не зависит от<br />
профиля лопаток рабочего колеса (рис. 18–19).<br />
88
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
При положительных температурах рабочей<br />
жидкости и значениях перепада давления<br />
в пределах 61 кПа с увеличением напряжения<br />
питания до 28 В КПД электронасоса<br />
с прямым профилем лопатки рабочего<br />
колеса превышает показатели других исследуемых<br />
модификаций. Дальнейшее увеличение<br />
напряжения питания благоприятствует<br />
использованию рабочих колес с криволинейным<br />
профилем крыльчатки (рис. 20, 22).<br />
В условиях отрицательных температур<br />
независимо от напряжения питания преимущество<br />
имеет электронасос с прямым профилем<br />
лопатки рабочего колеса (рис. 21).<br />
При этом штатная крыльчатка (угол наклона<br />
лопатки при выходе 90°) более эффективна,<br />
чем ее модификация с углом наклона<br />
лопатки при выходе 30°.<br />
Таким образом, с помощью статистического<br />
анализа в условиях малого объема<br />
экспериментальных данных получены конкретные<br />
рекомендации для разработки и эксплуатации<br />
агрегатов системы терморегулирования<br />
космических аппаратов.<br />
Список литературы<br />
1. А. Г. Ивахненко, И. К. Тимченко,<br />
Д. А. Ивахненко Непараметрические модели<br />
МГУА Ч.4 // Автоматика. - 1990. № 1. –С. 20-<br />
31.<br />
2. А. В. Лапко, В. А. Лапко, М. И. Соколов,<br />
С. В. Ченцов. Непараметрические модели<br />
коллективного типа. - Новосибирск: Наука,<br />
2000.<br />
NON-PARAMETRIC MODELS OF MEASURING SPACE VEHICLE<br />
THERMOREGULATION SYSTEM UNIT EFFICIENCY INDICATORS<br />
© 2007 M. I. Sokolov<br />
Zhelesnogorsk Branch of Krasnoyarsk State Technical University<br />
The paper investigates the interrelations between the efficiency indices of low-consumption fans and electric<br />
pump units of space vehicles, their dependence on design parameters of the elements and technological conditions of<br />
use. The peculiarities of the systems under investigation presuppose using non-parametric methods of information<br />
processing. The results of computational elements with a view to defining efficient modes of the use of units.<br />
89
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 629.76<br />
УМЕНЬШЕНИЕ РАЗМЕРОВ РАЙОНОВ ПАДЕНИЯ ОТРАБОТАВШИХ<br />
БЛОКОВ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ ТИПА “СОЮЗ”<br />
ПРИ ПРЕДНАМЕРЕННОМ ЧЛЕНЕНИИ ИХ КОНСТРУКЦИИ<br />
© 2007 Б. А. Титов, С. А. Рычков<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Для уменьшения районов падения отработавших блоков ракеты-носителя предлагается преднамеренное<br />
членение конструкции отработавших блоков в процессе их свободного падения. Приводится баллистический<br />
расчет процесса выведения полезной нагрузки на целевую орбиту и расчет падения отработавшего блока с<br />
учетом членения конструкции. Установлена зависимость массы выводимой полезной нагрузки от размера района<br />
падения отработавших блоков ракеты-носителя. Дана общая оценка эффекта от применения преднамеренного<br />
членения конструкции отработавших блоков.<br />
Рассмотрим влияние на размеры районов<br />
падения отработавших блоков при преднамеренном<br />
членении их конструкции на<br />
примере центрального блока (ЦБ) ракетыносителя<br />
(РН) типа «Союз». Для качественной<br />
оценки преднамеренного членения установим<br />
зависимость между размерами района<br />
падения ЦБ и массой полезной нагрузки<br />
(ПН), выводимой на целевую геопереходную<br />
орбиту (ГПО) с высотой перигея<br />
o<br />
H π ГПО<br />
= 5500 км и наклонением i<br />
ГПО<br />
= 25 .<br />
Трехступенчатая РН выводит на круговую<br />
опорную орбиту высотой<br />
H = 200 км ПН<br />
с разгонным блоком (РБ), а затем РБ осуществляет<br />
перевод ПН с опорной орбиты на<br />
ГПО. Будем полагать, что членение ЦБ осуществляется<br />
по сечениям, показанным на<br />
рисунке 1.<br />
Рассмотрим процесс расчета массы ПН,<br />
выводимой на целевую орбиту без применения<br />
членения ЦБ. Программа угла тангажа ϕ<br />
орб<br />
на этапе работы первой ступени (рис. 2) определяется<br />
зависимостью [1]<br />
ϕ ( t ) = Θ( t ) + α( t ),<br />
(1)<br />
где Θ – угол наклона траектории; α – угол<br />
атаки; t – время.<br />
На стартовом вертикальном участке<br />
“0-1” от t = 0 до t 1 : a(t) = 0, Θ (t) = π 2 , и поэтому<br />
из (1) следует, что ϕ ( t ) = π 2.<br />
На участке “1-2” начального разворота<br />
от t 1<br />
до t 2<br />
угол атаки α изменяется согласно<br />
зависимости [1] (рис. 3):<br />
α<br />
a ( t t<br />
( t) k( k );<br />
k e<br />
) инт − 1<br />
= α ⋅ − 2 = 2 ⋅ ,<br />
max<br />
где α max<br />
– максимальное значение угла атаки,<br />
рад; а инт<br />
– коэффициент, определяющий интенсивность<br />
“создания” и “снятия” угла атаки.<br />
Угол тангажа на участке “1-2” определяется<br />
согласно (1). Для получения зависи-<br />
1 2<br />
3 4<br />
1 2 3 4<br />
бак окислителя бак горючего двигательная установка<br />
Рис. 1. Центральный блок РН типа “Союз”<br />
90
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
y с<br />
X r<br />
a<br />
V r 2<br />
P r<br />
α < 0<br />
ϕ<br />
Θ<br />
X r<br />
a<br />
G r<br />
г<br />
P r<br />
V r<br />
ϕ = Θ<br />
К1<br />
h к1<br />
V r к1<br />
Θ к1<br />
1<br />
0<br />
G r<br />
г<br />
x с<br />
Рис. 2. Основные участки траектории первой ступени РН<br />
мости Θ(t) необходимо проинтегрировать<br />
систему уравнений движения РН в скоростной<br />
системе координат (СК) [1]. На участке<br />
“2-К1” гравитационного разворота движение<br />
происходит при α(t) = 0, и поэтому программа<br />
угла тангажа имеет вид: ϕ( t ) = Θ( t ).<br />
Краевым условием для первой ступени<br />
РН является равенство<br />
q<br />
= max<br />
к1 qк1<br />
,<br />
где q<br />
к1<br />
– величина скоростного напора в момент<br />
времени t = t к 1<br />
, Н/м 2 max<br />
; qк<br />
1 – максимально<br />
допустимая величина скоростного напора<br />
в момент окончания работы первой ступени,<br />
Н/м 2 .<br />
При выборе программы угла тангажа<br />
для верхних ступеней РН необходимо обеспечить<br />
в конце активного участка при полном<br />
выгорании топлива максимально возможную<br />
конечную скорость. Для случая движения<br />
вне атмосферы в плоскопараллельном<br />
поле сил тяжести программа угла тангажа<br />
получена в виде [3]:<br />
tgϕ tgϕ<br />
+ B ⋅ t,<br />
(2)<br />
=<br />
0<br />
где ϕ<br />
0<br />
– начальное значение угла тангажа,<br />
рад; В – скорость изменения тангенса угла<br />
−1<br />
тангажа, c .<br />
В работе [3] было установлено, что в<br />
условиях практического отсутствия атмосферы<br />
оптимальная программа угла тангажа<br />
весьма близка к линейной зависимости от<br />
времени:<br />
ϕ = ϕ + ϕ&<br />
0<br />
⋅ t,<br />
(3)<br />
−1<br />
где ϕ& – угловая скорость по тангажу, c .<br />
Краевым условием для второй ступени<br />
РН является равенство<br />
L = зад<br />
цб<br />
Lцб<br />
,<br />
(4)<br />
где L<br />
цб<br />
– линейная дальность падения ЦБ от<br />
зад<br />
точки старта, м; L<br />
цб – заданная линейная<br />
дальность падения ЦБ от точки старта, м.<br />
Параметры движения в момент окончания<br />
работы второй ступени можно получить,<br />
проинтегрировав систему уравнений движения<br />
в стартовой СК [4]. Известно, что<br />
энергетически выгодной программой угла<br />
тангажа верхних ступеней РН является<br />
ϕ = const [1]. Но для удовлетворения краево-<br />
α<br />
t 1<br />
t m t 2<br />
0<br />
t<br />
-α max<br />
Рис. 3. Программа изменения угла атаки<br />
на участке работы первой ступени РН<br />
91
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
го условия (4) на этапе работы второй ступени<br />
РН приходится выбирать программу угла<br />
тангажа вида (3). Для уменьшения энергетических<br />
потерь из-за отклонения программы<br />
угла тангажа от оптимальной разобьем ее на<br />
два линейных участка. Поэтому программа<br />
изменения угла тангажа на этапе работы второй<br />
ступени РН будет задана кусочно-линейной<br />
зависимостью:<br />
ϕ( t ) = ϕ<br />
ϕ( t ) = ϕ<br />
02<br />
02<br />
± ϕ&<br />
max<br />
+ ∆ϕ<br />
2<br />
( t − tк1<br />
) при tк1<br />
≤ t ≤ t∆2;<br />
+ ϕ&<br />
( t − t ) при t < t ≤ t<br />
2<br />
∆2<br />
∆2<br />
к2<br />
где ϕ 02<br />
– начальное значение угла тангажа в<br />
момент начала работы второй ступени, принимаемое<br />
равным значению угла тангажа в<br />
момент времени t = t к<br />
: ϕ<br />
1 02<br />
= ϕк1; ϕ&<br />
max<br />
– максимально<br />
допустимая скорость изменения<br />
−1<br />
угла тангажа, c ; ϕ& – скорость изменения<br />
2<br />
−1<br />
угла тангажа на интервале [ t∆ 2;tк2<br />
] , c ;<br />
∆ϕ 2<br />
– приращение угла тангажа на интервале<br />
[ t к1 ;t ∆ 2<br />
] .<br />
Оптимальную программу угла тангажа<br />
для участка работы третьей ступени также<br />
выбираем из семейства линейных программ<br />
(3). Краевым условием для этого участка является<br />
h<br />
= H ; Θ ,<br />
(5)<br />
к3 орб к3<br />
= 0<br />
где h<br />
к3<br />
– высота в момент окончания работы<br />
,<br />
третьей ступени, м; Θ<br />
к3<br />
– угол наклона траектории<br />
в момент окончания работы третьей<br />
ступени.<br />
Для решения данной двухпараметрической<br />
задачи будем использовать методику,<br />
изложенную в [4] и рассчитанную на закон<br />
изменения угла тангажа вида (2). Однако полученное<br />
при этом оптимальное начальное<br />
значение угла тангажа ϕ<br />
03, как правило, оказывается<br />
больше значения ϕ (рис. 4, а).<br />
к2<br />
Поэтому введем дополнительный линейный<br />
участок (рис. 4, б) и закон изменения угла<br />
тангажа будем выбирать в виде зависимости:<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
( t) = ϕк2<br />
± ϕ&<br />
max( t − tк2<br />
) при tк2<br />
≤ t < t∆3;<br />
() t = arctg[ tgϕ<br />
+ B ( t − t )] при t ≤ t ≤ t ,<br />
03<br />
3<br />
∆3<br />
∆3<br />
где ϕ – значение угла тангажа в момент<br />
к2<br />
окончания работы второй ступени; B<br />
3<br />
– темп<br />
изменения тангенса угла тангажа на интервале<br />
t ;t ]<br />
[<br />
∆ 3 к3<br />
.<br />
Тогда для решения краевой задачи на<br />
этапе работы третьей ступени, кроме условий<br />
(5), необходимо выполнение еще одного<br />
равенства:<br />
ϕ =<br />
,<br />
к 2<br />
+ ∆ϕ3<br />
ϕ03 где ∆ϕ 3<br />
– приращение угла тангажа на интервале<br />
t ;t ]<br />
[ к2 ∆ 3<br />
.<br />
Далее рассмотрим трехимпульсный перелет,<br />
совершаемый РБ для перевода ПН с<br />
к3<br />
ϕ<br />
ϕ 03<br />
ϕ<br />
ϕ 03<br />
ϕ к2<br />
t к2<br />
t к3<br />
t<br />
ϕ к2<br />
t к2<br />
t ∆3<br />
∆ϕ 3<br />
t к3<br />
t<br />
ϕ к3<br />
а<br />
ϕ к3<br />
б<br />
Рис. 4. К решению краевой задачи для третьей ступени РН<br />
92
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
опорной орбиты на ГПО (рис. 5). Первый<br />
импульс ∆V 1<br />
обеспечивает выход РБ на круговую<br />
опорную орбиту после отделения третьей<br />
ступени. Второй импульс ∆V 2<br />
обеспечивает<br />
переход на промежуточную компланарную<br />
эллиптическую орбиту. Третий импульс<br />
∆V 3<br />
обеспечивает переход с промежуточной<br />
эллиптической орбиты на ГПО. Величины<br />
необходимых приращений скорости определяются<br />
следующими выражениями [5]:<br />
∆ V = V V ; ∆V<br />
= V −V<br />
;<br />
1 орб<br />
−<br />
и0<br />
2<br />
2 2<br />
∆V3 = Vα<br />
гпо<br />
+ Vα<br />
− 2 ⋅Vα<br />
гпо<br />
⋅Vα<br />
⋅ cos( iорб−iгпо<br />
);<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
орб<br />
π<br />
α<br />
=<br />
= V<br />
= V<br />
α гпо<br />
орб<br />
гсо<br />
= V<br />
µ<br />
R + H<br />
гсо<br />
( R<br />
( R<br />
орб<br />
;<br />
2 ⋅(<br />
R + Hгсо<br />
)<br />
+ H ) + ( R + H<br />
+ H<br />
орб<br />
2⋅(<br />
R + H<br />
орб<br />
π<br />
орб<br />
)<br />
) + ( R + H<br />
орб<br />
гсо<br />
гсо<br />
;<br />
)<br />
;<br />
)<br />
2 ⋅(<br />
R + Hπ<br />
гпо<br />
)<br />
( R + H ) + ( R + H<br />
π гпо<br />
гсо<br />
,<br />
)<br />
где V орб<br />
– круговая скорость на высоте Н орб<br />
,<br />
м/с; V и 0<br />
– абсолютная скорость после отделения<br />
третьей ступени, м/с; V α<br />
– скорость в<br />
апогее промежуточной эллиптической орбиты,<br />
м/с; V π<br />
– скорость в перигее промежуточной<br />
эллиптической орбиты, м/с; V α гпо<br />
– скорость<br />
в апогее геопереходной орбиты, м/с;<br />
i орб<br />
– наклонение опорной орбиты<br />
относительно плоскости экватора;<br />
µ = 3,98602⋅10 5 км 3 /с 2 – гравитационный параметр<br />
Земли; Н гсо<br />
= 35 786 км – высота геостационарной<br />
орбиты; V гсо<br />
– круговая скорость<br />
на высоте Н гсо<br />
, м/с.<br />
Будем пренебрегать потерями скорости<br />
из-за действия силы притяжения Земли и возможной<br />
некомпланарности векторов силы<br />
тяги и скорости. Поэтому суммарная характеристическая<br />
скорость маневра ∆VХ<br />
определяется как сумма трех импульсов:<br />
V Х 1 2<br />
∆ 3<br />
∆ = ∆V<br />
+ ∆V<br />
+ V . Зная характеристическую<br />
скорость перелета, можно рассчитать<br />
необходимый запас топлива РБ, используя<br />
формулу Циолковского [5]:<br />
m<br />
РБ<br />
т<br />
где<br />
= m<br />
ГБ<br />
0<br />
( −∆ )<br />
[ 1<br />
V Х P уд РБ<br />
− e ],<br />
ГБ<br />
m 0<br />
– начальная масса головного блока,<br />
кг; P уд РБ<br />
– удельная тяга двигателя РБ, м/с.<br />
Тогда максимальная масса выводимой ПН<br />
составит:<br />
промежуточная орбита<br />
r<br />
V<br />
π<br />
r<br />
= V<br />
орб<br />
r<br />
+ ∆<br />
V 2<br />
опорная круговая орбита<br />
V r α гпо<br />
r<br />
V<br />
орб<br />
r<br />
= V<br />
r<br />
+ ∆<br />
и0 V 1<br />
V r α<br />
∆ V r<br />
3<br />
геопереходная орбита<br />
Рис. 5. Схема трехимпульсного перелета на ГПО<br />
93
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
m<br />
max<br />
пн<br />
= m 0<br />
ГБ<br />
− m<br />
РБ<br />
к<br />
− m<br />
РБ<br />
т<br />
РБ<br />
где m – масса конструкции РБ, включая<br />
к<br />
остатки топлива, кг.<br />
В случае применения принудительного<br />
членения конструкции ЦБ схема расчета массы<br />
ПН, выводимой на ГПО, будет отличаться<br />
от изложенной выше только краевым условием<br />
для второй ступени РН, которое запишется<br />
в виде<br />
зад<br />
Lц ф<br />
= Lцб<br />
,<br />
(6)<br />
где L<br />
цф<br />
– линейная дальность падения “центра<br />
фрагментов”, т. е. средняя арифметическая<br />
дальность падения частей ЦБ, м.<br />
,<br />
max<br />
Проведена серия расчетов m<br />
пн<br />
и линейного<br />
разброса ∆L частей ЦБ в плоскости<br />
стрельбы при различных вариантах программы<br />
угла тангажа при членении конструкции<br />
ЦБ согласно принятой схеме (рис. 1). При<br />
этом предполагалось, что членение осуществляется<br />
на высоте 90 км и дальнейшего разрушения<br />
конструкции не происходит. Была определена<br />
m max<br />
пн<br />
, соответствующая выбору программы<br />
угла тангажа без применения членения.<br />
В этом случае в качестве района падения<br />
ЦБ принимается эллипс с полуосями<br />
60 км и 20 км, учитывающий самопроизвольное<br />
разрушение конструкции ЦБ во время<br />
падения. Исходные данные для расчета приведены<br />
в таблице 1. Полученные результаты<br />
представлены в таблице 2 (нулевая строка<br />
соответствует расчету без применения членения<br />
ЦБ). На основании полученных резуль-<br />
max<br />
татов построен график зависимости m<br />
пн<br />
от<br />
∆L (рис. 6). Программа угла тангажа без членения<br />
и некоторые наиболее характерные варианты<br />
программы угла тангажа при членении<br />
конструкции ЦБ представлены на рисунках<br />
7 и 8, соответственно.<br />
На рисунке 8 различные варианты программ<br />
угла тангажа обусловлены выбором<br />
различных значений угла ϕ . Вариант № 1<br />
к2<br />
соответствует оптимальной программе угла<br />
тангажа, которая обеспечивает наибольшую<br />
начальную орбитальную скорость V и0<br />
, наименьшую<br />
характеристическую скорость пе-<br />
Таблица 1. Исходные данные для расчета<br />
Наименование<br />
Обозначение<br />
Масса ускорителей, включая остатки<br />
m<br />
у1 = 4 × 5070, m<br />
у2<br />
,<br />
топлива, кг<br />
= 8440 m = у3<br />
2790<br />
Масса рабочего топлива, кг m<br />
т1 = 4 × 38512,<br />
m<br />
т2<br />
= 91247,<br />
m<br />
т3<br />
= 22440<br />
Секундный массовый расход, кг/с µ = 4 326 37,<br />
µ 316 83,<br />
µ 93 5<br />
94<br />
сек 1<br />
× .<br />
1<br />
4 1021.<br />
сек 2<br />
= .<br />
сек 3<br />
= .<br />
2<br />
990.<br />
2 P = п3<br />
Номинальная тяга в пустоте, кН P п<br />
= × 3,<br />
P п<br />
= , 298<br />
Степень высотности сопла λ<br />
соп<br />
= 1. 15<br />
Площадь миделя, м 2 S м<br />
= 25. 86<br />
Масса конструкции РБ, включая остатки<br />
топлива, кг<br />
РБ<br />
m<br />
к<br />
= 900<br />
Удельная тяга двигателя РБ, м/с P = уд РР<br />
3162<br />
ГБ<br />
Масса ГБ, кг m 7070<br />
0<br />
=<br />
o<br />
Широта точки старта ϕ = 45 59<br />
′<br />
0<br />
o<br />
0<br />
= 63 3 ′<br />
Долгота точки старта λ 3<br />
o<br />
Азимут стрельбы A = 64 42′<br />
6′<br />
o<br />
Максимальное значение угла атаки α<br />
max<br />
= 3<br />
Предельное значение скоростного напора,<br />
Н/м 2 max<br />
q<br />
к1 = 2900<br />
Максимальная скорость изменения угла<br />
ϕ&<br />
max<br />
= 1.0<br />
тангажа, град/с<br />
Заданная дальность падения центрального зад<br />
L<br />
цб<br />
= 1600<br />
блока, км
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Таблица 2. Результаты расчета<br />
max<br />
№ п/п j<br />
к2,<br />
град Vк2<br />
, м/с DL,<br />
км Vк3,<br />
м/с Vи0<br />
, м/с DV Х<br />
, м/с m , кг<br />
0 11.0 4139.52 60.00 7040.41 7341.58 3834.78 1202.42<br />
1 12.0 4131.09 46.82 7183.03 7484.22 3692.76 1299.00<br />
2 6.0 4136.05 45.82 7155.03 7456.20 3720.14 1280.04<br />
3 0.0 4126.17 44.11 7113.96 7415.15 3762.19 1251.24<br />
4 -6.0 4101.04 41.97 7062.76 7363.92 3811.93 1217.67<br />
5 -12.0 4060.95 39.55 6997.09 7298.27 3878.23 1173.73<br />
6 -18.0 4005.09 36.92 6935.87 7237.06 3938.79 1134.39<br />
7 -24.0 3933.21 34.20 6877.47 7178.65 3996.14 1097.82<br />
8 -30.0 3842.66 31.30 6836.60 7137.80 4036.40 1072.55<br />
9 -36.0 3731.42 28.34 6811.93 7113.15 4060.14 1057.80<br />
пн<br />
релета<br />
∆ V и, как следствие, наибольшую<br />
Х<br />
m<br />
пн<br />
. Уменьшение значения<br />
к2<br />
ϕ до 0° (вариант<br />
№ 3) приводит к дополнительным энергетическим<br />
потерям и к уменьшению массы<br />
ПН, но при этом уменьшается разброс частей<br />
ЦБ.<br />
При дальнейшем уменьшении значения<br />
ϕ с целью обеспечения выполнения крае-<br />
к2<br />
вого условия (6) приходится вводить дополнительный<br />
линейный участок для увеличения<br />
угла тангажа с максимальной скоростью<br />
ϕ&<br />
max<br />
. Это приводит к дополнительным потерям<br />
в энергетике и, соответственно, к еще<br />
большему уменьшению m<br />
пн<br />
, но также позволяет<br />
значительно уменьшить разброс<br />
частей ЦБ (варианты № 5 и № 7). Значение<br />
1400<br />
1350<br />
1300<br />
1250<br />
m max<br />
пн<br />
,кг<br />
1200<br />
1150<br />
1100<br />
1050<br />
1000<br />
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65<br />
Рис. 6. Зависимость максимальной массы ПН, выводимой на ГПО,<br />
от линейного разброса частей ЦБ в плоскости стрельбы<br />
× - вариант расчета без членения конструкции центрального блока<br />
95<br />
∆ L,км
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
∆ ϕ 3<br />
ϕ ,град<br />
20<br />
∆ ϕ 2<br />
0<br />
20<br />
40<br />
60<br />
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550<br />
t<br />
к1<br />
t t<br />
к2<br />
к3<br />
t , c<br />
Рис. 7. Программа угла тангажа без членения конструкции ЦБ<br />
100<br />
80<br />
60<br />
9<br />
7<br />
40<br />
5<br />
ϕ ,град<br />
20<br />
0<br />
1<br />
20<br />
3<br />
40<br />
60<br />
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550<br />
t , c<br />
Рис. 8. Программы угла тангажа при членении конструкции ЦБ<br />
Номер позиции соответствует номеру п/п в таблице 2<br />
96
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
o<br />
ϕ<br />
к2 = −36 (вариант № 9) является минимально<br />
допустимым, поскольку при дальнейшем<br />
уменьшении значения ϕ потребная величи-<br />
к2<br />
на ϕ& на интервале<br />
2<br />
[ t∆ 2;tк2<br />
] будет превышать<br />
максимальную величину угловой скорости,<br />
т. е. ϕ& 2<br />
> ϕ&<br />
max .<br />
Анализ полученных результатов позволяет<br />
сделать следующие выводы:<br />
1) применение членения конструкции<br />
ЦБ увеличивает массу выводимой ПН на 8 %<br />
(до 1300 кг), при этом линейный разброс в<br />
плоскости стрельбы частей ЦБ составляет<br />
46,82 км (рис. 6);<br />
2) при одной и той же массе выводимой<br />
ПН (1200 кг) применение членения конструкции<br />
ЦБ позволяет уменьшить разброс<br />
частей до 41,1 км (рис. 6).<br />
Список литературы<br />
1. Аппазов Р. Ф., Сытин О. Г. Методы<br />
проектирования траекторий носителей и<br />
спутников Земли. – М.: Наука, 1987.<br />
2. Аэродинамика ракет / Н. Ф. Краснов,<br />
В. Н. Кошевой, А. Н. Данилов и др. – М.:<br />
Высш. шк., 1968.<br />
3. Охоцимский Д. Е., Энеев Т. М. Некоторые<br />
вариационные задачи, связанные с запуском<br />
искусственного спутника Земли //<br />
Успехи физических наук. – 1957. – Т. 63,<br />
вып. 1а. - С. 4-32.<br />
4. Основы теории полета космических<br />
аппаратов / Под ред. Г. С. Нариманова и<br />
М. К. Тихонравова. – М.: Машиностроение,<br />
1972.<br />
5. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г.<br />
Основы механики космического полета:<br />
Учебное пособие. – М.: Наука, 1990.<br />
DECREASING THE AREA OF FALL OF «SOYUZ» - TYPE CARRIER<br />
ROCKET’S USED BLOCKS WITH THEIR STRUCTURE DELIBERATELY<br />
DIVIDED INTO PARTS<br />
© 2007 B. A. Titov, S. A. Rytchkov<br />
Samara State Aerospace University<br />
Deliberate division of used blocks’ structure in the process of their free falling is proposed in order to decrease<br />
the area of fall of the carrier rocket’s used blocks. Ballistic calculation of the process of placing payloads in the target<br />
orbit and the calculation of the used block’s fall with regard to the structure being divided into parts are presented.<br />
Dependence of the payload mass on the area of fall of the carrier rocket’s used blocks is established. The effect of<br />
deliberate division of the used blocks’ structure into parts is estimated in general.<br />
97
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 629.78+621.453<br />
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА<br />
С СИСТЕМОЙ ОРИЕНТАЦИИ НА БАЗЕ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ<br />
ЖИДКОСТНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ МАЛОЙ ТЯГИ<br />
© 2007 Б. А. Титов, А. Л. Сирант<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Приведены результаты исследования динамики космического аппарата в движении относительно центра<br />
масс с нелинейной системой ориентации с двухкомпонентными жидкостными ракетными двигателями малой<br />
тяги в качестве исполнительных органов. Рассмотрен режим поддержания заданной ориентации в предельном<br />
цикле.<br />
При построении адаптивных систем<br />
управления объектами ракетно-космической<br />
техники с двухкомпонентными жидкостными<br />
ракетными двигателями малой тяги (ЖРД<br />
МТ) в контуре управления возникает проблема,<br />
связанная с неидеальностями импульсных<br />
режимов включения. С точки зрения динамики<br />
движения космического аппарата (КА),<br />
подлежат изучению и учету следующие неидеальности<br />
тягового импульса двигателей:<br />
- временные запаздывания при запуске<br />
и останове двигателя;<br />
- наличие импульса выхода на режим<br />
установившейся тяги;<br />
- наличие импульса последствия тяги;<br />
- тепловое и массовое взаимодействие<br />
импульсов тяги двигателя на высоких частотах<br />
включения.<br />
1. Основные предположения о характере<br />
процессов в системе ориентации<br />
Для моделирования процесса функционирования<br />
ЖРД МТ в системе ориентации<br />
(СО) и выявления влияния особенностей его<br />
тягового импульса на динамику КА достаточно<br />
рассмотреть одноканальную систему. В<br />
этом случае дифференциальное уравнение<br />
угловых движений КА запишется в виде<br />
2<br />
d ϕ( t)<br />
= −m у<br />
+ m<br />
2<br />
в<br />
,<br />
dt<br />
(1)<br />
где m y<br />
= M y<br />
/J х<br />
; т в<br />
= M в<br />
/J х<br />
;<br />
М в<br />
- возмущающий внешний момент;<br />
М у<br />
= R ⋅ l - управляющий момент; R - тяга; l -<br />
плечо; J х<br />
- момент инерции относительно связанной<br />
оси х.<br />
Предположим, что СО снабжена датчиками<br />
угла и угловой скорости, которые имеют<br />
характеристики, приведенные в [3, 4].<br />
Уравнение датчика угла имеет вид:<br />
при<br />
при<br />
при<br />
ϕ( t ) ≤ ϕ<br />
ϕ( t ) > ϕ<br />
max<br />
ϕ( t ) < −ϕ<br />
max<br />
max<br />
⇒ U<br />
⇒ U<br />
ϕ<br />
ϕ max<br />
⇒ −U<br />
= k<br />
;<br />
ϕ<br />
ϕ max<br />
⋅ϕ(<br />
t ); ⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
. ⎪<br />
⎭<br />
(2)<br />
Здесь k<br />
ϕ - коэффициент усиления датчика<br />
угла, U ϕ<br />
- выходной сигнал датчика угла,<br />
ϕ тах<br />
- координата диапазона линейности датчика.<br />
Таким образом, выходная характеристика<br />
U ϕ<br />
(ϕ) представляет собой нелинейную<br />
функцию с диапазоном линейности и насыщением.<br />
Уравнения датчика угловой скорости<br />
имеют вид:<br />
при<br />
при<br />
при<br />
при<br />
при<br />
ϕ& ( t ) ≤ ϕ&<br />
⇒ U = 0;<br />
ϕ&<br />
з.н.<br />
−ϕ&<br />
< ϕ&<br />
( t ) < ϕ&<br />
max<br />
ϕ&<br />
( t ) ≥ ϕ&<br />
з.н.<br />
ϕ&<br />
( t ) ≤ −ϕ&<br />
< ϕ&<br />
( t ) < −ϕ&<br />
max<br />
max<br />
max<br />
⇒U<br />
ϕ&<br />
ϕ&<br />
⇒ U<br />
⇒ U<br />
з.н.<br />
= U<br />
ϕ&<br />
ϕ&<br />
⇒ U<br />
ϕ&<br />
max<br />
= −U<br />
= k ( ϕ&<br />
( t ) −ϕ&<br />
ϕ&<br />
;<br />
ϕ&<br />
ϕ&<br />
max<br />
= k ( ϕ&<br />
( t ) + ϕ&<br />
.<br />
ϕ&<br />
з.н.<br />
);<br />
з.н.<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
); ⎬<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎭<br />
(3)<br />
Здесь 2 ϕ& з.н .<br />
- ширина зоны нечувствительности<br />
датчика; k<br />
ϕ& - крутизна характеристики<br />
датчика;<br />
98
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
если ϕ(t<br />
) ≥ϕ<br />
⎫<br />
max,<br />
то<br />
⎪<br />
при ϕ&<br />
(t ) ≤ϕ&<br />
⎪<br />
з.н.<br />
⇒iy(t<br />
) = Uϕ<br />
max;<br />
⎪<br />
⎪<br />
при ϕ&<br />
з.н.<br />
< ϕ&<br />
( t ) < ϕ&<br />
max<br />
⇒ ⎪<br />
⎬<br />
⇒iy( t ) = U<br />
max<br />
+ a ( ϕ&<br />
( t ) −ϕ&<br />
ϕ 1<br />
з.н.<br />
); ⎪<br />
⎪<br />
при −ϕ&<br />
max<br />
< ϕ&<br />
( t ) < −ϕ&<br />
з.н.<br />
⇒ ⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⇒iy( t ) = −U<br />
ϕ max<br />
+ a ( ϕ&<br />
( t ) + ϕ&<br />
1<br />
з.н.<br />
); ⎪⎭<br />
(4)<br />
U ϕ&<br />
- максимальное значение сигнала с датчика;<br />
ϕ&<br />
max<br />
max<br />
- координата диапазона линейности<br />
датчика.<br />
Уравнения (3) соответствуют нелинейной<br />
характеристике Uϕ<br />
&(<br />
ϕ&<br />
) с зоной нечувствительности,<br />
диапазоном линейности и<br />
зоной насыщения.<br />
Далее в СО сигналы датчика угла и датчика<br />
угловой скорости суммируются и поступают<br />
на электронный усилитель, обладающий<br />
также зоной линейности и зоной насыщения.<br />
Поэтому на основании (2) и (3) выражения<br />
для управляющего сигнала в СО будут<br />
иметь вид:<br />
если ϕ( t ) < ϕ<br />
⎫<br />
max,<br />
то<br />
⎪<br />
при ϕ&<br />
( t ) ≤ϕ&<br />
⎪<br />
з.н.<br />
⇒iy( t ) = a0ϕ( t );<br />
⎪<br />
⎪<br />
при ϕ&<br />
з.н.<br />
< ϕ&<br />
( t ) < ϕ&<br />
max<br />
⇒<br />
⎪<br />
⎬<br />
⇒ iy( t ) = a ϕ( t ) + a ( ϕ&<br />
( t ) −ϕ&<br />
0<br />
1<br />
з.н.<br />
); ⎪<br />
⎪<br />
при −ϕ&<br />
< ( t ) < − ⇒ ⎪<br />
max<br />
ϕ&<br />
ϕ&<br />
з.н.<br />
⎪<br />
⎪<br />
⇒ iy( t ) = a ϕ( t ) + a ( ϕ&<br />
( t ) + ϕ&<br />
0<br />
1<br />
з.н.<br />
); ⎪⎭<br />
(5)<br />
если ϕ( t ) ≥ ϕ<br />
⎫<br />
max<br />
, то<br />
⎪<br />
при ϕ&<br />
( t ) ≤ ϕ&<br />
⎪<br />
з.н.<br />
⇒ iy( t ) = Uϕ<br />
max<br />
;<br />
⎪<br />
⎪<br />
при ϕ&<br />
з.н.<br />
< ϕ&<br />
( t ) < ϕ&<br />
max<br />
⇒ ⎪<br />
⎬<br />
⇒ iy(<br />
t ) = U<br />
max<br />
+ a ( ϕ&<br />
( t ) −ϕ&<br />
ϕ 1<br />
з.н.<br />
); ⎪<br />
⎪<br />
при −ϕ&<br />
< ( t ) < − ⇒ ⎪<br />
max<br />
ϕ&<br />
ϕ&<br />
з.н.<br />
⎪<br />
⎪<br />
⇒ iy(<br />
t ) = −U<br />
ϕ max<br />
+ a ( ϕ&<br />
( t ) + ϕ&<br />
1<br />
з.н.<br />
); ⎪<br />
⎭<br />
(6)<br />
где а о<br />
=k ϕ<br />
⋅ k у<br />
, а х<br />
= k ϕ<br />
⋅ k у<br />
, k у<br />
– коэффициент<br />
усиления электронного усилителя.<br />
Управляющий момент в СО формируется<br />
в результате срабатывания трехпозиционного<br />
поляризованного реле, обладающего<br />
нелинейной характеристикой с пространственным<br />
запаздыванием (рис. 1). На основе<br />
этой характеристики можно записать выражения<br />
для управляющего момента m (i y<br />
), прикладываемого<br />
к КА относительно оси x, в<br />
функции управляющего сигнала i y<br />
(t):<br />
если<br />
при<br />
при<br />
при<br />
diy(<br />
t )<br />
⎫<br />
> 0,<br />
то<br />
dt<br />
⎪<br />
⎪<br />
iy( t ) > iср<br />
⇒ my<br />
= + m<br />
0;<br />
⎪<br />
⎬<br />
− λi<br />
< i ( t ) < i ⇒ m = ; ⎪<br />
ср y ср y<br />
0<br />
⎪<br />
i ( t ) < − i ⇒ m = −m<br />
, ⎪<br />
y<br />
λ<br />
ср y 0<br />
⎭<br />
(7)<br />
i<br />
где λ = отп<br />
i<br />
- отношение тока отпирания к<br />
ср<br />
току срабатывания - коэффициент возврата<br />
поляризованного реле;<br />
Рис. 1. Зависимость управляющего момента<br />
от управляющего сигнала<br />
99
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
если<br />
при<br />
при<br />
при<br />
diy(<br />
t )<br />
< 0,<br />
то<br />
dt<br />
i ( t ) < −i<br />
y<br />
− i<br />
< i (<br />
i ( t ) > λi<br />
y<br />
ср<br />
y<br />
ср<br />
t )<br />
ср<br />
⇒ m<br />
< λi<br />
ср<br />
⇒ m<br />
y<br />
y<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
= −m 0;<br />
⎪<br />
⎬<br />
⇒ m = ⎪<br />
y<br />
0;<br />
⎪<br />
= + m . ⎪<br />
0<br />
⎭<br />
(8)<br />
В выражениях (7) и (8) величина момента<br />
соответствует номинальному значению<br />
управляющего момента в идеальной П-образной<br />
модели импульса тяги реактивного микродвигателя<br />
[1, 2] без временного запаздывания.<br />
Можно построить структурную схему<br />
СО (рис. 2), которая будет использована как<br />
основной инструмент при моделировании<br />
динамики ЖРД МТ и влияния тяговой характеристики<br />
на движение КА относительно<br />
центра масс.<br />
2. Учет нелинейных свойств<br />
тяговой характеристики<br />
В соответствии с переходной характеристикой<br />
апериодического звена первого порядка<br />
изменение тяги по времени в реальном<br />
импульсе ЖРДМТ на участках импульса выхода<br />
на режим (ИВР) и импульса последействия<br />
тяги (ИПТ) с достаточной для практики<br />
точностью можно описать с помощью следующих<br />
соотношений:<br />
R<br />
R<br />
ИВР<br />
ИПТ<br />
= R<br />
= R<br />
НОМ<br />
НОМ<br />
[ 1−<br />
exp( −T t )]<br />
exp( −T t ).<br />
2<br />
1<br />
; ⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
(9)<br />
Здесь t - текущее время нарастания или спада<br />
тяги с момента начала изменения тяги,<br />
Т 1<br />
- постоянная времени двигателя при пуске<br />
(постоянная времени импульса выхода на<br />
режим), Т 2<br />
- постоянная времени двигателя<br />
при останове (постоянная времени импульса<br />
последействия тяги), R HOМ<br />
- номинальное значения<br />
тяги на «площадке» импульса.<br />
Необходимо отметить, что величина<br />
R HOМ<br />
в данной модели остается фиксированной,<br />
хотя в реальных условиях она в значительной<br />
степени зависит от температуры таким<br />
образом, что для первого включения двигателя<br />
R HOМ<br />
всегда меньше по модулю, нежели<br />
для последующих импульсов тяги, когда<br />
камера сгорания прогревается, и двигатель<br />
выходит на установившееся значение тяги<br />
[1, 2].<br />
Величины Т 1<br />
и Т 2<br />
определяются проекциями<br />
касательных к кривой изменения тяги<br />
на линию установившегося значения тяги<br />
R HOМ<br />
. Имея экспериментальные кривые изменения<br />
тяги R(t) или давления в камере сгорания<br />
p(t), можно определить величины Т 1<br />
и Т 2<br />
графически (рис. 3).<br />
Постоянные времени характеризуют<br />
нарастание тяги в ИВР и спад тяги в ИПТ.<br />
Их величины, как известно, зависят от зак-<br />
Рис. 2. Структурная схема системы ориентации КА по каналу крена с идеальной П-образной моделью<br />
тягового импульса управляющих ЖРД МТ и временным запаздыванием при запуске и останове<br />
100
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Длительность τ 1<br />
соответствует времени<br />
с момента подачи электрической команды на<br />
включение двигателя до момента трогания<br />
якоря и определяется из уравнения изменения<br />
тока в обмотке электромагнитного привода<br />
клапана. Используя основные соотношения<br />
из [1], можно получить выражения для<br />
длительностей запаздывания τ 1<br />
и τ 2<br />
, определенные<br />
через электрические и гидродинамические<br />
параметры двигательной системы:<br />
Рис. 3. Командный сигнал и импульс тяги<br />
ЖРД МТ: а) U = U(t); б) R = R(t); R 1<br />
= 0,95R HOM<br />
;<br />
R<br />
2 = 0,05R HOM<br />
τ<br />
τ<br />
1<br />
1<br />
=<br />
=<br />
L0<br />
ln<br />
R0<br />
R0<br />
1−<br />
U<br />
LK<br />
R + R<br />
0<br />
Ш<br />
ln<br />
0<br />
2δ<br />
L<br />
2δ<br />
L<br />
0<br />
K<br />
0<br />
K<br />
1<br />
⎛ πd<br />
⎜ F0<br />
+<br />
⎝ 4<br />
;<br />
⎞<br />
P0<br />
⎟<br />
⎠<br />
[ F + c( σ −σ<br />
)]<br />
0<br />
U<br />
R<br />
0<br />
0<br />
2<br />
кл<br />
0<br />
K<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
. ⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎭<br />
(10)<br />
лапанного объема и площади критического<br />
сечения сопла двигателя.<br />
Длительность самих участков ИВР и<br />
ИПТ определяется из соотношения [2]:<br />
τ<br />
перех<br />
≅ 3T , что на основании (9) для R ИВТ<br />
и<br />
R ИПТ<br />
соответствует при пуске выходу на режим<br />
номинальной тяги, а при останове -<br />
уменьшению тяги до 5 % от номинала, что<br />
отвечает практическому завершению импульса<br />
последействия тяги, обусловленного выгоранием<br />
компонентов топлива из заклапанных<br />
объемов. Эти значения тяг можно использовать<br />
как границы для определения неуправляемых<br />
участков импульса при данной<br />
его схематизации.<br />
Как следует из рис. 3, реальный импульс<br />
тяги сдвинут по отношению к командному<br />
сигналу, снимаемому с трехпозиционного<br />
поляризованного реле. При этом длительности<br />
3Т 1<br />
и 3Т 2<br />
характеризуют неуправляемые<br />
участки импульса, которые оказывают негативное<br />
влияние на процессы ориентации и<br />
стабилизации КА. Времена τ 1<br />
и τ 2<br />
, характеризующие<br />
указанный сдвиг, являются временем<br />
чистого запаздывания клапана соответственно<br />
при его открытии и закрытии.<br />
Здесь<br />
L<br />
0<br />
R<br />
0<br />
= T<br />
K<br />
- постоянная катушки электромагнита;<br />
R 0<br />
- номинальное сопротивление<br />
обмотки катушки электромагнита; U 0<br />
- установившееся<br />
значение напряжения питания;<br />
σ 0<br />
- номинальное значение зазора между якорем<br />
и ограничителем хода электромагнита;<br />
L 0<br />
- начальное значение индуктивности катушки<br />
электромагнита; F 0<br />
- начальное усилие<br />
возвратной пружины клапана; d кл<br />
— диаметр<br />
клапана; Р 0<br />
- статическое давление в вытеснительной<br />
системе топливоподачи; L K<br />
-<br />
индуктивность катушки при полностью открытом<br />
клапане; R Ш<br />
- шунтирующее сопротивление,<br />
включенное параллельно катушке<br />
электромагнита; σ к<br />
- значение зазора между<br />
якорем и ограничителем хода при полностью<br />
открытом клапане; с - жесткость возвратной<br />
пружины клапана.<br />
Очевидно, что для повышения динамических<br />
качеств электромагнитного привода<br />
клапана длительности чистого запаздывания<br />
τ 1<br />
и τ 2<br />
должны быть минимальными и стабильными.<br />
Время τ 1<br />
зависит от соотношения<br />
усилий электромагнита и механизма возвратной<br />
пружины. Оно пропорционально противодействующей<br />
силе, начальному зазору меж-<br />
101
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ду упором и ограничителем хода якоря электромагнита<br />
и обратно пропорционально подводимой<br />
электрической мощности [1]. Время<br />
τ 2<br />
зависит от величины зазора при притянутом<br />
якоре и от натяжения возвратной пружины.<br />
Подбором этих величин можно минимизировать<br />
величину τ 2<br />
.<br />
Длительности запаздывания τ 1<br />
и τ 2<br />
связаны<br />
между собой таким образом, что при<br />
увеличении усилия возвратной пружины время<br />
отпускания уменьшается, а время трогания<br />
якоря увеличивается. Таким образом,<br />
приближенно можно считать, что τ 1<br />
+ τ 2<br />
=<br />
=const.<br />
Кроме перечисленных факторов на τ 1<br />
и<br />
τ 2<br />
влияют масса и количество подвижных<br />
элементов конструкции электромагнитного<br />
привода клапана, сопротивление и емкость<br />
электрических кабелей от источника питания<br />
до электромагнитного привода, а также условия<br />
коммутации, в зависимости от которых<br />
меняются электрические параметры сети.<br />
Быстродействие двигателя или импульс<br />
выхода на режим обычно определяется временем<br />
τ 0,95<br />
набора тяги, равной 95 % от номинальной,<br />
с момента подачи командного<br />
сигнала на электромагнитный клапан. Время<br />
спада тяги или импульс последействия<br />
тяги определяется временем τ 0,05<br />
спада тяги<br />
от номинального значения до 5 % номинальной<br />
величины с момента снятия командного<br />
сигнала с электромагнитного клапана<br />
(рис. 3). При этом под номинальной тягой<br />
R HOМ<br />
понимается тяга двигателя в установившемся<br />
температурном режиме работы. Между<br />
величинами τ 1<br />
, τ 0,95<br />
, T 1<br />
и τ 2<br />
, τ 0,05<br />
, Т 2<br />
существуют<br />
следующие соотношения:<br />
τ<br />
τ<br />
0,<br />
095<br />
0,<br />
005<br />
= τ<br />
= τ<br />
1<br />
2<br />
+ 3T 1;<br />
⎫<br />
⎬<br />
+ 3T2<br />
. ⎭<br />
(11)<br />
В системах ориентации КА реактивные<br />
двигатели обычно работают в импульсных<br />
режимах, характеризующихся частотой<br />
f = 1<br />
T<br />
и скважностью υ = τ , где τ<br />
c<br />
T с<br />
-<br />
c<br />
длительность импульса в серии импульсов;<br />
Т с<br />
- период, равный сумме τ с<br />
и τ и<br />
- времени<br />
паузы между двумя срабатываниями двигателя.<br />
Тогда единичный импульс тяги двигателя<br />
можно определить как<br />
J<br />
ед<br />
=<br />
τ<br />
u<br />
∫<br />
0<br />
R( t )dt.<br />
(12)<br />
При этом часть тягового импульса в<br />
пределах можно определить как ИВР:<br />
J<br />
ИВР<br />
=<br />
3T<br />
∫<br />
0<br />
1<br />
R( t )dt,<br />
(13)<br />
где R(t) определяется первым соотношением<br />
(9). Аналогично можно определить и ИПТ<br />
как часть тягового импульса двигателя:<br />
J<br />
ИПТ<br />
=<br />
3T<br />
∫<br />
0<br />
2<br />
R( t )dt.<br />
(14)<br />
В некоторых источниках, например в<br />
[1, 2], импульс последействия тяги двигателя<br />
определяется так называемым временем<br />
последействия, исчисляемым с момента выключения<br />
двигателя до достижения нулевого<br />
или некоторого достаточно малого уровня<br />
тяги.<br />
Поскольку реактивные двигатели систем<br />
ориентации КА работают в основном в<br />
импульсных режимах, то необходим как можно<br />
более точный прогноз эффективности использования<br />
топлива. В режимах поддержания<br />
заданной ориентации обычно требуются<br />
десятки тысяч включений двигателей.<br />
Поэтому из-за многократных пусков и остановов<br />
двигателя и, прежде всего, на режимах<br />
минимальных единичных импульсов топливо<br />
расходуется неэкономично. Последний<br />
факт требует увеличения бортовых запасов<br />
топлива, что в конечном итоге выливается в<br />
увеличение массы всей реактивной двигательной<br />
системы.<br />
Исследования показывают [5], что особенно<br />
отрицательное влияние на экономичность<br />
реактивной двигательной системы оказывает<br />
ИПТ. В этой связи необходимо точно<br />
определять его величину и разброс, вызванный<br />
совокупностью физических и эксплуатационных<br />
факторов.<br />
102
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
ИПТ является в основном функцией<br />
конструктивных характеристик двигателя, к<br />
которым следует отнести: быстродействие<br />
клапанов; величины заклапанных объемов<br />
двигателя, заполненных топливом; количество<br />
непрореагировавших компонентов топлива<br />
и продуктов реакции окисления в камере<br />
сгорания на момент подачи командного<br />
сигнала на включение двигателя.<br />
Разброс ИПТ зависит как от указанных<br />
выше факторов, так и от рассогласования<br />
времени закрытия клапанов горючего и окислителя<br />
после подачи командного сигнала на<br />
выключение двигателя.<br />
Поскольку ИПТ является составной частью<br />
единичного (минимального) импульса,<br />
то все сказанное выше также относится и к<br />
единичному импульсу тяги.<br />
Требования высокого быстродействия,<br />
получения минимальных значений единичного<br />
импульса тяги и ИПТ необходимы также<br />
для обеспечения малых угловых скоростей<br />
движения КА. Для реализации достаточно<br />
малых единичных импульсов тяги приходится<br />
задавать двигателям малую тягу. Однако<br />
величина этой малой тяги лимитируется<br />
требуемой эффективностью управляющих<br />
органов. Поэтому для того, чтобы, с одной<br />
стороны, обеспечивалась заданная эффективность<br />
управляющих органов, а, с другой, -<br />
требуемая точность управления, необходимо<br />
обеспечивать максимально возможную частоту<br />
включения двигателей и минимальные<br />
значения τ 0,95<br />
, τ 0,05<br />
, τ c<br />
, J , J , a, кроме того,<br />
ед ИПТ<br />
необходимо обеспечивать стабильность значений<br />
этих величин.<br />
3. Электронная модель<br />
системы ориентации<br />
Электронная модель СО позволяет исследовать<br />
влияние различных факторов, связанных<br />
с неидеальностью тяговой характеристики<br />
двигателя, на динамику КА. При<br />
создании электронной модели использовалась<br />
моделирующая среда MVTU («Моделирование<br />
в технических устройствах»), которая<br />
позволяет в автоматическом режиме определять<br />
все основные параметры предельных<br />
циклов, их амплитуды по углу A<br />
ϕ и по<br />
угловой скорости A<br />
ϕ& , а также различные временные<br />
интервалы.<br />
Полная электронная модель СО с учетом<br />
блоков ИВР и ИПТ представлена на<br />
рис. 4. В среде MVTU эта схема преобразу-<br />
Рис. 4. Электронная модель системы ориентации КА по одному каналу управления с учетом ИВР и ИПТ<br />
реального тягового импульса двигателей и с учетом временного запаздывания при запуске и останове<br />
103
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ется в соответствующую систему блоков, заданных<br />
передаточными функциями. Блок<br />
hev(t), генерирующий единичную ступенчатую<br />
функцию Хевисайда, используется как<br />
запускающий схему блок при проведении<br />
численного интегрирования и получении переходных<br />
процессов и фазовых портретов.<br />
На рис. 5…8 приведены примеры результатов<br />
моделирования режима поддержания<br />
заданной ориентации КА по одному каналу<br />
управления. На рис. 5 представлен фазовый<br />
портрет идеальной модели импульса<br />
тяги двигателя без временных запаздываний<br />
при запуске и останове (τ = τ ≡ 0), а на<br />
1 2<br />
рис. 6 – фазовый портрет экспоненциальной<br />
модели импульса тяги двигателя с временными<br />
запаздываниями: τ =0,0333 с; τ =0,1 с<br />
1 2<br />
(3Т 1<br />
=0,1; 3Т 2<br />
=0,3).<br />
Рис. 6. Фазовый портрет предельного цикла –<br />
экспоненциальная модель импульса двигателя<br />
3Т 1<br />
=0,1; 3Т 2<br />
=0,3 (τ 1<br />
=0,0333 с;τ 2<br />
=0,1 с)<br />
На рис. 7, 8 представлены соответствующие<br />
переходные процессы по углу ϕ ( t ) и<br />
по угловой скорости ϕ& ( t ) на интервале времени<br />
от 50 до 100 секунд.<br />
Анализ результатов показал, что неидеальности<br />
тягового импульса двигателей во<br />
всех рассмотренных случаях существенно<br />
влияют на динамику процесса поддержания<br />
заданной ориентации, деформируют конфигурацию<br />
предельного цикла, в общем случае<br />
увеличивая амплитуды цикла по углу и угловой<br />
скорости. Указанная деформация предельного<br />
цикла в конечном итоге приводит к<br />
Рис. 5. Фазовый портрет предельного цикла -<br />
идеальная модель импульса двигателя (τ<br />
1 = τ 2 ≡ 0)<br />
Начальные условия движения:<br />
ϕ = ; ϕ& = 0 5 рад/с . Процесс перехода на<br />
0<br />
0<br />
0<br />
,<br />
предельный цикл требует однократного<br />
включения двигателей, создающих управляющие<br />
моменты разного знака. Далее режим<br />
поддержания заданной ориентации становится<br />
автоколебательным с переменным включением<br />
двигателей ориентации. При этом<br />
моделируется П-образный тяговый импульс<br />
двигателя.<br />
Рис. 7. Процесс автоколебаний в системе<br />
ориентации с идеальной моделью импульса<br />
двигателя (τ<br />
1 = τ 2 ≡ 0)<br />
104
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
увеличению длительности включения двигателей<br />
в импульсном режиме, что ухудшает в<br />
целом экономичность системы, увеличивая<br />
такую важную характеристику цикла, как<br />
средневременной расход рабочего тела в цикле.<br />
В дальнейшем целесообразно рассмотреть<br />
другие имеющиеся алгоритмы поддержания<br />
заданной ориентации, например, использующие<br />
не аналоговую, а цифровую обработку<br />
измеренной информации и цифровое<br />
управляющее устройство. При этом необходимо<br />
рассмотрение таких режимов<br />
включения управляющих двигателей, которые<br />
были бы реализованы на минимально<br />
допустимых импульсах или на близких к<br />
минимально допустимым. В этом случае следует<br />
ожидать минимальных значений амплитуд<br />
колебаний предельного цикла по углу и<br />
по угловой скорости.<br />
Рис. 8. Процесс автоколебаний в системе<br />
ориентации с экспоненциальной моделью импульса<br />
двигателя 3Т 1<br />
=0,1; 3Т 2<br />
=0,3 (τ 1<br />
=0,0333 с;τ 2<br />
=0,1 с)<br />
Список литературы<br />
1. Беляев Н. М., Уваров Е. И. Расчет и<br />
проектирование реактивных систем управления<br />
космических летательных аппаратов. –<br />
М.: Машиностроение, 1974.<br />
2. Основы теории автоматического управления<br />
ракетными двигательными установками<br />
/А. И. Бабкин, С. В. Белов и др. – М.:<br />
Машиностроение, 1978.<br />
3. Раушенбах Б. В., Токарь Е. Н. Управление<br />
ориентацией космических аппаратов.<br />
– М.: Наука, 1974.<br />
4. Титов Б. А. Исследование автоколебаний<br />
космического аппарата с учетом специфики<br />
исполнительных органов // Труды<br />
XI Научных чтений, посвященных разработке<br />
научного наследия и развитию идей<br />
К. Э. Циолковского. Секция «Проблемы ракетной<br />
техники». – М.: Изд-во ИИЕТ АН<br />
СССР, 1980. – С. 11-21.<br />
INVESTIGATING THE DYNAMICS OF SPACE VEHICLES WITH AN ATTITUDE<br />
CONTROL SYSTEM ON THE BASIS OF TWO-COMPONENT LIQUID<br />
PROPELLANT LOW-THRUST ROCKET ENGINES<br />
© 2007 B. A. Titov, A. L. Sirant<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper presents the results of investigating the dynamics of a space vehicle moving relative to the centre of<br />
mass with a non-linear attitude control system using two-component liquid-propellant low-thrust rocket engines as<br />
actuators. A mode of maintaining prescribed attitude control in the limit cycle is discussed.<br />
105
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 629.7+519.8<br />
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМ БОРТОВОГО ОБОРУДОВАНИЯ<br />
ВОЗДУШНЫХ СУДОВ НА ОСНОВЕ СТАНДАРТНЫХ МОДУЛЕЙ<br />
© 2007 А. Н. Тихонов<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Рассмотрено построение математических моделей на базе множества стандартных модулей исходных<br />
высказываний. На основе введенных правил строятся высказывания или функции, отображающие различные<br />
стороны бортовых комплексов оборудования воздушных судов (БКО ВС).<br />
Широкое внедрение авиационной техники<br />
(АТ) в различные отрасли мировой экономики<br />
требует особого внимания к вопросам<br />
обеспечения эффективности и надежности<br />
ее эксплуатации. Повсеместно распространенные<br />
авиационные технологии по перевозкам<br />
пассажиров и грузов позволяют связывать<br />
или объединять корпоративные и производственные<br />
коммуникации, что дает возможность<br />
авиакомпаниям и службам технического<br />
обслуживания и ремонта (ТОиР)<br />
устранить разрыв между корпоративными и<br />
критически важными промышленными системами,<br />
производителями уникального оборудования<br />
и другой продукции для авиационной<br />
техники. Эффективность использования<br />
АТ в этих условиях повышения надежности<br />
ее функционирования является основной<br />
областью применения технической диагностики.<br />
Теория, методы и средства повышения<br />
надежности ВС как основного элемента<br />
транспортной системы используются при<br />
разработке и технической реализации диагностических<br />
устройств обеспечения ТОиР и<br />
создании на их основе диагностических систем<br />
управления техническим состоянием ВС<br />
[1, 2].<br />
Таким образом, техническую диагностику<br />
(теории, методы и средства) как основу<br />
повышения надежности и эффективности<br />
эксплуатации ВС, можно определить как совокупность<br />
идей, связанных с организацией<br />
оптимальных процедур контроля, диагностирования<br />
и оценки технического состояния<br />
систем ВС и включающих постановку проблем<br />
и задач, методов и средств их, а также<br />
методы и средства технической реализации<br />
контроля и диагностирования для оценки<br />
текущего состояния и трендов параметров<br />
этой оценки.<br />
Основным предметом исследований<br />
технической диагностики являются системы<br />
проверки технического состояния и диагностические<br />
системы управления (рисунок 1).<br />
Анализ этих направлений показывает,<br />
что для создания комплексных систем ТОиР<br />
требуются исследования всех составляющих<br />
классификации.<br />
Работ по диагностическим системам<br />
управления cравнительно мало, и поэтому<br />
проводить их классификацию преждевременно.<br />
Работы по системам контроля технического<br />
состояния удобно разделить на четыре<br />
группы: исследование объектов контроля и<br />
диагностики; теория, методы и алгоритмы<br />
построения программ контроля и диагностики;<br />
способы и средства контроля и диагностики;<br />
исследование свойств и характеристик<br />
систем в целом. Эти группы охватывают основные<br />
задачи технической диагностики,<br />
возникающие в связи с организацией процессов<br />
оценки технического состояния сложных<br />
систем ВС и, прежде всего, требуют разработки<br />
теории для представления этих систем<br />
как объектов контроля и диагностирования,<br />
на основе реализации которых формируются<br />
параметры этой оценки.<br />
Исследование систем ВС как объектов<br />
контроля и диагностики охватывает изучение<br />
свойств и характеристик реальных физических<br />
объектов и методы построения их математических<br />
моделей, которые составляют<br />
основу формальных методов построения про-<br />
106
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Техническая диагностика систем ВС<br />
Системы контроля<br />
диагностики технического<br />
состояния<br />
Диагностические системы<br />
управления<br />
Объекты<br />
контроля и<br />
диагностики<br />
Программы<br />
контроля и<br />
диагностики<br />
Способы и<br />
средства<br />
контроля и<br />
диагностики<br />
Свойства и<br />
характеристики<br />
систем<br />
Рис. 1. Классификация направлений исследования<br />
грамм контроля технического состояния<br />
объектов для оценки их состояния. Выделим<br />
следующие группы задач, которые должны<br />
решаться в процессе разработки и исследования<br />
математических моделей объектов контроля<br />
и диагностики: классификация моделей,<br />
разработка математических моделей неисправностей,<br />
разработка методов и алгоритмов<br />
анализа моделей, разработка методов и<br />
алгоритмов синтеза структур объектов контроля<br />
и диагностики с учетом требований технической<br />
диагностики.<br />
Недостаточно исследованными являются<br />
задачи построения моделей, учитывающих<br />
способ действия дискретного объекта (синхронный<br />
или асинхронный), переходные процессы<br />
во время изменения значений входных,<br />
внутренних и выходных переменных, а<br />
также моделей блочного типа, в которых блоки<br />
являются конструктивными или функциональными<br />
компонентами объекта, что характерно<br />
для систем БКО ВС.<br />
Для построения математической модели<br />
систем ВС в качестве исходного положения<br />
примем, что для представления конкретных<br />
систем будем использовать модули – исходные<br />
высказывания (высказывания, не разложимые<br />
в рамках рассматриваемой с определенных<br />
позиций системы на другие более<br />
простые высказывания). Таким образом, модели<br />
систем ВС строятся из множества стандартных<br />
блоков – модулей этой системы.<br />
В зависимости от типа и детализации<br />
модели могут быть использованы модули –<br />
высказывания или абстрактные символы<br />
А, В, С, …, переменными значениями которых<br />
являются истинность или ложность, из<br />
которых с помощью операции соединения на<br />
основе введенных определенных правил<br />
строятся более сложные высказывания или<br />
функции. Все модули делятся на абстрактные<br />
или конкретные. В целом множество всех модулей<br />
А состоит из непересекающихся классов<br />
модулей А α , А α ⊂ А, где α – общий индекс,<br />
индекс класса модулей<br />
А = U А α , (1)<br />
А α – непересекающиеся классы.<br />
Интерпретация этого разбиения состоит<br />
в том, что модули, сходные качественно,<br />
будут относиться к одному классу, а их свойства<br />
выражаются через признаки и связи. В<br />
первом случае модулю ставится в соответствие<br />
признак m = m(a), причем в качестве<br />
значений признака могут выступать целые,<br />
действительные числа, векторы и т. д. Одной<br />
из составляющих признака служит индекс<br />
класса модуля α и другие составляющие,<br />
представляющие более специфическую информацию.<br />
107
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Второй тип свойств охватывает связи.<br />
Определенному модулю а соответствует число<br />
связей l (а), которое в конкретном случае<br />
является неотрицательным числом, равным<br />
числу соединений, представляющих сумму<br />
входных и выходных связей.<br />
При решении большинства прикладных<br />
задач технической диагностики, как правило,<br />
используются отображения множества<br />
модулей А в себя, которые не будут существенно<br />
влиять на информацию, содержащуюся<br />
в модулях. При этом множество K отображений<br />
k : А → А образует множество преобразований<br />
подобия.<br />
Одновременно, считая модули неделимыми<br />
объектами, предполагается их разбиение<br />
на более мелкие единицы. Будем определять<br />
модули, как правило, в некоторой среде<br />
– носителе информации. В этом случае модуль<br />
имеет конкретную интерпретацию.<br />
Иногда для простейшего случая задание модуля<br />
может быть осуществлено в абстрактном<br />
виде без учета среды, т. е. модуль обозначается<br />
абстрактным символом. В качестве<br />
общего многомерного аналога модуля введем<br />
универсальные операторы, где всякий модуль<br />
есть оператор с ν (переменными) входами<br />
х 1<br />
, х 2<br />
, …, х ν<br />
и µ (переменными) выходами<br />
у 1<br />
, у 2<br />
, …, у µ<br />
.<br />
Область значений всякого х i<br />
есть некоторое<br />
пространство X i<br />
, область значений всякого<br />
y i<br />
– некоторое пространство Y i<br />
. В частности,<br />
существует оператор назначения, не<br />
имеющий входов. Преобразования подобия<br />
воздействуют только на операторы назначения,<br />
оставляя все остальные модули без изменения.<br />
Предложенный теоретический подход<br />
для моделирования систем ВС предусматривает<br />
структурное объединение стандартных<br />
блоков – модулей в модели конкретных систем<br />
ВС.<br />
Модели конкретных систем (МКС) определяются<br />
составом модулей с и структурой<br />
их соединений, представляющих множество<br />
соединений σ.<br />
Для построения допустимых моделей<br />
вводится набор заданных правил и ограничений.<br />
Систему правил и ограничений, которая<br />
определяет регулярность модели, обозначим<br />
через Р. Множество регулярных моделей,<br />
получаемых в рамках Р, обозначим через<br />
b n<br />
(P), где n – число модулей модели.<br />
Используя введенные понятия и определения,<br />
множество регулярных моделей запишем<br />
в виде набора из четырех элементов:<br />
b(P) = (А, K, Σ, ρ), (2)<br />
где А – множество модулей конкретной системы,<br />
K – множество отображений в модулях,<br />
Σ – множество всех допустимых множеств,<br />
σ – тип соединения, ρ – отношение<br />
согласования или отношение связи.<br />
Объединив Σ-структуру и отношение<br />
связи ρ в правило<br />
Р = (Σ, ρ), (3)<br />
получаем набор из трех элементов<br />
b(P) = (А, K, Р). (4)<br />
Поскольку в дальнейшем рассматриваются<br />
только регулярные модели заданной<br />
мощности n, то<br />
b n<br />
(P) ⊂ b(P). (5)<br />
В дальнейших построениях тип соединения<br />
Σ представляет собой объединение<br />
множеств Σ n<br />
, где всякое множество Σ n<br />
есть<br />
множество графов, заданных на n-вершинах.<br />
Таким образом, структура модели системы<br />
ВС представляет собой множество σ<br />
соединений между всеми или некоторыми<br />
связями модулей, входящих в ее состав.<br />
Для решения задач оценки технического<br />
состояния систем ВС в работе использованы<br />
модели с линейным типом соединения<br />
и соединением типа дерева.<br />
Линейный тип соединения S состоит<br />
из линейных упорядочений, так что регулярная<br />
модель, включающая n модулей, является<br />
последовательностью арифметических<br />
операторов, состоящих из двух классов.<br />
А (1) состоит из операторов назначения, у которых<br />
отсутствуют входные связи l<br />
вх<br />
(а) = 0<br />
и имеется одна выходная связь l′<br />
вых<br />
(а) = 1.<br />
Признаком такого оператора служит действительное<br />
число, присваиваемое им. А (2) состоит<br />
из набора арифметических операторов, обладающих<br />
одной входной и одной выходной<br />
108
связями ( l вх<br />
(а)= l<br />
вых<br />
(а) = 1), которые являются<br />
подмножествами целых чисел, представляющими<br />
области определения и значений<br />
оператора соответственно. Отношение<br />
согласования ρ должно иметь вид включения.<br />
Так как многие задачи идентификации<br />
(распознавания состояния системы ВС) и их<br />
решения можно выразить в терминах регулярных<br />
выражений и конечных автоматов, то<br />
в рамках рассматриваемого подхода представлений<br />
систем ВС для целей оценки их<br />
технического состояния используются специальные<br />
виды линейного типа соединений.<br />
Для цепочки, порожденной конечными<br />
автоматами, модули принадлежат множеству<br />
А объектов (рис. 2).<br />
Для них l<br />
вх<br />
j<br />
Идентификатор<br />
х<br />
i<br />
Рис. 2. Модули цепочки, порождаемой<br />
конечным автоматом<br />
109<br />
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
(а)= l<br />
вых<br />
(а) = 1, а показатели<br />
связи i и j обозначают состояния. Признаком<br />
модуля а является х – терминальный символ.<br />
Интерпретацией а служит переход из<br />
состояния i в состояние j при записи символа<br />
х.<br />
Для подцепочки языков конечных автоматов<br />
модули те же, что и в предыдущем случае,<br />
– отношение согласования ρ – «равенство»,<br />
а Σ – соединение типа линейный порядок.<br />
Группа преобразований подобия K задается<br />
с помощью группы подстановок и ее<br />
расширения на множество А.<br />
При таком определении b(P) превращается<br />
в множество подцепочек, имеющих корректные<br />
переходы между состояниями, свойственные<br />
некоторому конечно-автоматному<br />
языку.<br />
Соединения типа дерева. Описание<br />
функционирования систем ВС связано с построением<br />
выражений в исчислении высказываний,<br />
которые реализуются как модели с<br />
соединениями древовидного типа. Основными<br />
понятиями для построения таких моделей<br />
являются:<br />
множество V терминальных символов,<br />
T<br />
словарь или лексикон;<br />
множество V<br />
N<br />
синтаксических<br />
переменных или нетерминальных<br />
символов, включающее, в частности,<br />
начальный символ σ ;<br />
множество R правил подстановки,<br />
* *<br />
каждое из которых имеет вид V → V .<br />
Обозначение A * означает совокупность<br />
всех конечных цепочек, образованных из элементов<br />
любого множества А. Кроме того, вводится<br />
обозначение V<br />
= V T<br />
UV<br />
.<br />
В лингвистике множества V и R всегда<br />
предполагаются конечными, с тем чтобы добиться<br />
бесконечного конечными средствами.<br />
В рассматриваемых задачах конечность имеет<br />
второстепенное значение, однако она должна<br />
предполагаться.<br />
Введем следующее применение правил.<br />
Для двух цепочек а и b, принадлежащих V * ,<br />
можно записать а → b, если существуют цепочки<br />
α, β, х, у, такие, что а = х, α, у и<br />
b = х, β, у и отношение a → b принадлежит<br />
множеству правил R. Дальнейшее ее расширение<br />
отношения «→» позволяет утверждать,<br />
что а → b, если а = b или если существует<br />
некоторое n и цепочки z 0<br />
, z 1<br />
, z 2<br />
, …, z n<br />
, такие,<br />
что z 0<br />
= а, z n<br />
= b и z i<br />
→z i+1<br />
при i=0, 1, 2, …, n–1.<br />
Последовательность z 0<br />
, z 1<br />
, …, z n<br />
называется<br />
выводом b.<br />
Цепочками, порождаемыми граммати-<br />
∗<br />
кой, являются входящие в V<br />
T цепочки, которые<br />
выводимы из начального символа. Важным<br />
классом грамматик непосредственных<br />
составляющих являются множества бесконтекстных<br />
грамматик. Этот класс предполагает,<br />
что все правила, входящие в R, имеют вид<br />
а → b, причем а ∈V N<br />
.<br />
N<br />
N<br />
(6)
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Наиболее общей моделью реализации<br />
является автомат с магазинной памятью, который<br />
определяется:<br />
множеством К состояний,<br />
начальным состоянием k0<br />
и подмножеством F заключительных<br />
состояний;<br />
множеством входов V ;<br />
T<br />
множеством Г символов и начальным<br />
символом γ<br />
0<br />
;<br />
отображением δ : K × ( VT U{ ε}<br />
) × Г →<br />
*<br />
→ конечные подмножества К × Г .<br />
Множества K, V T<br />
и Г предполагаются<br />
конечными и непустыми, ε обозначает пустой<br />
вектор. Автомат с магазинной памятью<br />
действует следующим образом. Рассмотрим<br />
тройку (р, w, α), где p∈K – состояние автомата,<br />
w∈V ∗ – входная цепочка и α∈Г * находится<br />
на ленте магазина.<br />
Т<br />
Посредством сдвига (р, xw, αz) →<br />
∗<br />
→ (q, w, αγ), где х ∈VT U { ε} , q ∈ K; z, γ ∈ Г ,<br />
осуществляется операция перехода в состояние<br />
q, замена z на γ и обработка входного символа<br />
х. Эти операции осуществимы, если<br />
δ (p, xw, z) cодержит (q, γ). Входная цепочка<br />
допускается автоматом, если, находясь в начальном<br />
состоянии k 0<br />
и имея на ленте магазина<br />
γ 0<br />
, автомат может за конечное число<br />
шагов перейти в состояние F.<br />
Подмножества бесконтекстных грамматик<br />
образуют правосторонние линейные<br />
грамматики, у которых все правила, входящие<br />
в R, имеют вид х→а или х→ау, где а∈V T<br />
и у∈V N<br />
.<br />
Правосторонние линейные грамматики<br />
эквивалентны конечным автоматам. Поэтому<br />
в данном случае можно употреблять также<br />
понятия автоматных грамматик и соответствующих<br />
языков. Конечный автомат задается:<br />
множеством К состояний<br />
и множеством К<br />
0<br />
начальных состояний;<br />
множеством V входов и множеством<br />
T<br />
F заключительных состояний;<br />
отображением δ из K ×VT<br />
в подмножества множества К.<br />
(7)<br />
(8)<br />
Автомат этого типа работает следующим<br />
образом. Входная цепочка w допускается<br />
в том случае, если она является пустым<br />
словом или в множестве K существует последовательность<br />
k 0<br />
, k 1<br />
, …, k n<br />
и w = x 1<br />
x 2<br />
… x n<br />
,<br />
x k<br />
∈V T<br />
, такие, что<br />
k ∈ K ,<br />
k ∈ δ(k<br />
k<br />
0<br />
n<br />
0<br />
∈ F.<br />
х<br />
i i−1,<br />
i<br />
⎫<br />
⎪<br />
), ⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
(9)<br />
При решении задач диагностики систем<br />
ВС приходится иметь дело более чем с одной<br />
моделью, построенной в заданном пространстве<br />
модулей, и поэтому необходимо<br />
изучать возможные между ними отображения.<br />
При этом используются два вида отображений:<br />
гомоморфизмы моделей и аннигиляции<br />
модулей.<br />
Рассмотрено два пространства конфигураций<br />
b(R) и b ′ (R):<br />
b(Р) = 〈А, K, Σ, ρ〉, b ′ (Р) = 〈А′, K, Σ, ρ〉, (10)<br />
где отображение h: А → А′ задано как инвариант<br />
связи. Оно индуцирует отображение Н<br />
из b(Р) в b ′ (Р) посредством задания Н: с′ =<br />
= (а 1<br />
, а 2<br />
, …, а n<br />
), а i<br />
= h (а i<br />
) и структура (с) =<br />
= структура (с′). Отметим, что последнее утверждение<br />
имеет смысл, поскольку h<br />
cохраняет структуру связей образующих неизменной.<br />
Индуцированное отображение Н<br />
представляет собой гомоморфизм моделей.<br />
Это отображение индуцирует гомоморфизм<br />
из исходных моделей на новые, которые отображают<br />
различные виды неисправностей в<br />
отдельных модулях систем ВС.<br />
Для исключения определенных модулей<br />
модели ВС при диагностике введем оператор<br />
аннигиляции v, который, будучи применен<br />
в некоторой модели с∈b(P), исключает<br />
в ней все модули, принадлежащие классу<br />
индекса α заданного множества V 0<br />
.<br />
Поскольку полученное в результате V(c)<br />
обладает корректным типом соединения в<br />
силу монотонности Σ и поскольку теперь новые<br />
соединения установлены, а все старые<br />
остаются истинными в смысле отношения<br />
связи ρ, то V(c) = ( ai<br />
, a ,..., )<br />
1 i<br />
ai<br />
, причем a<br />
2 m<br />
i<br />
входит в V(c), если ее индекс класса α(a i<br />
)∉V 0<br />
.<br />
110
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Структура V(c) получается из структуры с<br />
удалением всех соединений со связями образующих,<br />
аннигилированных при помощи w.<br />
Очевидно, что V(kc) = k V(c), и если с 1<br />
,<br />
с 2<br />
, с 1<br />
σ l 2<br />
∈b(P), то<br />
V(с 1<br />
σ с 2<br />
) = V(с 1<br />
)σ′ V(c 2<br />
), (11)<br />
где σ′ – оператор соединений, полученный<br />
из σ устранением всех соединений, входящих<br />
и выходящих из модулей, принадлежащих K α ,<br />
α∈V.<br />
Для целей контроля и диагностики состояния<br />
системы ВС введем понятие различимости.<br />
В зависимости от средств, применяемых,<br />
например, к диагностируемой системе,<br />
представленной моделями с и с′ и b(Р),<br />
они не обязательно будут восприняты как<br />
различные. Здесь с – модель исправной системы,<br />
а с′ – модель, отображающая неисправности.<br />
Последнее может зависеть или не<br />
зависеть от способа получения информации<br />
о моделях исследователем и от способа обработки<br />
этой информации. Это обстоятельство<br />
формализуем посредством правила идентификации<br />
R. Записываем с ≡ с′ (mod R)<br />
или сR с′ , если с и с′ идентифицируются<br />
при помощи этого правила, указывающего,<br />
каким образом исследователь может различать<br />
модели. Для того, чтобы некоторое отношение<br />
было правилом идентификации,<br />
должно выполняться следующее.<br />
Определение 1. Отношение R между<br />
моделями из b(Р) называется правилом идентификации,<br />
если:<br />
1. R является отношением эквивалентности.<br />
2. Если сR с′, то с и с′ имеют одни и те<br />
же внешние и внутренние показатели связей.<br />
3. Если сR с′, то (kc)R(kс′) для любого<br />
k∈K.<br />
4. Если с = с 1<br />
σс 2<br />
и с′ = с′ 1<br />
σ с′ 2<br />
регулярны<br />
и с 1<br />
R с′ 1<br />
, с 2<br />
R с′ 2<br />
, то имеем сR с′.<br />
Классы эквивалентности b(Р) называются<br />
представлениями конкретных систем<br />
(ПКС). В общем случае они обозначаются<br />
через I, а множество всех ПКС – через Т:<br />
Т = b(Р)/ R = 〈А, K, Σ, ρ〉 / R. (12)<br />
Более детально будем называть элементы<br />
из Т идеальными ПКС в противоположность<br />
деформированным, т. е. с введенными<br />
неиcправностями. Класс эквивалентности I,<br />
содержащий данную модель с, будем обозначать<br />
через I(с).<br />
На множестве Т задается алгебраическая<br />
структура.<br />
Множество Т вместе с преобразованиями<br />
подобия и комбинациями посредством σ<br />
называется алгеброй изображений, обозначается<br />
также через Т и может быть представлено<br />
пятеркой<br />
Т = 〈 b(Р), R 〉 = 〈G, Κ, Σ, ρ, R〉. (13)<br />
Вероятностная мера Р на b(R) индуцирует<br />
вероятностную меру на Г при помощи<br />
соотношения<br />
P (Е) = Р{c⎜∈ b(R), I (c)∈E } (14)<br />
при Е⊂Т. Для упрощения обозначения используем<br />
тот же символ Р для индуцированной<br />
меры.<br />
На практике используются различные<br />
правила идентификации. Упомянем некоторые<br />
простые правила.<br />
Тривиальное правило задается при помощи<br />
равенства между моделями, а именно<br />
сR с′ тогда и только тогда, когда с= с′. Конечно,<br />
в этом случае имеем Т = b(Р).<br />
Другое правило R появляется тогда, когда<br />
регулярные модели имеют нулевую связность.<br />
Полагаем сR с′ тогда и только тогда,<br />
когда состав (с) равен составу (с′), так называемая<br />
идентификация по составу.<br />
Рассмотрена алгебра ПКС с многоатомным<br />
типом соединения. Для любых двух модулей<br />
а 1<br />
и а 2<br />
соответствующие конфигурации<br />
с 1<br />
={а 1<br />
} и с 2<br />
= {а 2<br />
} регулярны. Может случиться,<br />
что существует модель а такая, что<br />
а ≡ (с 1<br />
σс 2<br />
) (mod R). Если, кроме того, R разделяет<br />
модули, то а определена однозначно<br />
и можно записать<br />
а = а 1<br />
σа 2<br />
. (15)<br />
Таким способом пары модулей могут<br />
стягиваться в один модуль, и эту процедуру<br />
можно повторять. В качестве следствия имеем<br />
следующее. Если а 1<br />
и а 2<br />
соединены в модели<br />
с посредством σ и а 1<br />
σа 2<br />
= а , то с является<br />
R –эквивалентом модели с′, полученной<br />
с заменой моделей модулей а 1<br />
σа 2<br />
на а.<br />
111
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Таким образом, создается возможность<br />
приведения моделей к виду, который позволяет<br />
диагностировать состояния узлов и агрегатов,<br />
состоящих из множества модулей.<br />
Введенные выше модули и модели, создаваемые<br />
из них, являются статическими<br />
представлениями состояний конкретных систем<br />
(ПСКС) и описывают по существу их<br />
статику. Однако для контроля и диагностирования<br />
сложных систем ВС необходим важный<br />
класс ПСКП, связанный с динамикой<br />
состояний, т. е. с пространственно-временными<br />
состояниями.<br />
В этом случае опорное пространство<br />
контроля и диагностирования систем ВС<br />
имеет вид: Х = R 3 × R 1 , где R 1 – пространство<br />
времени. Эти состояния играют особую роль<br />
при контроле и диагностировании. Для моделирования<br />
пространственно-временных<br />
состояний необходимо ввести модули и их<br />
отношения с модулями в моделях ПСКС, которые<br />
описывают динамику контролируемой<br />
или диагностируемой системы.<br />
Модули, используемые при построении<br />
моделей динамики, будут иметь следующие<br />
свойства. Как число входящих, так и число<br />
исходящих связей модулей не ограничено, и<br />
показатели всех внутренних связей конкретного<br />
модуля равны некоторому действительному<br />
числу h. Аналогично все показатели<br />
внешних связей равны некоторому действительному<br />
числу -h вых<br />
≥ h вх<br />
. Роль индекса α<br />
модуля заключается в разделении динамических<br />
состояний на различные типы. G будем<br />
называть репертуаром этих состояний. Если<br />
два пространства модулей построены одинаково,<br />
за исключением того, что одно из них<br />
исходит из множества модулей G, а другое –<br />
из G ′ , то будем говорить, что второе пространство<br />
обладает большей общностью. Второе<br />
пространство моделей будет иметь и более<br />
сложную структуру.<br />
Преобразования подобия будут включать<br />
в себя сдвиги по времени h → h + t . Воздействия<br />
на показатели связей модулей будет<br />
сводиться к тому, что они примут значения<br />
h вх<br />
+ t, h вых<br />
+ t. Иногда будут использоваться<br />
также некоторые пространственные<br />
преобразования, но они не повлияют на показатели<br />
связей. Как правило, классы образующих<br />
G α должны быть S-инвариантными.<br />
112<br />
Когда элементарные состояния комбинируются<br />
вместе (программа контроля), то<br />
необходимо проследить, чтобы они выполнялись<br />
в правильном порядке. Это приводит<br />
к типу соединения Σ – «частичный порядок»,<br />
и все стрелки в σ должны иметь единое направление.<br />
По той же причине будем считать, что<br />
отношение связей β вых<br />
ρβ вх<br />
истинно тогда и<br />
только тогда, когда h вх<br />
≤ h вых<br />
. Стрелка направлена<br />
от β вых<br />
к β вх<br />
: прежде чем перейти к следующему,<br />
необходимо закончить предыдущее.<br />
Отметим, что такое отношение связей<br />
S-инвариантно.<br />
Тем самым определяется R = 〈Σ, ρ〉, и<br />
вместе с G и S задается множество регулярных<br />
моделей b(P).<br />
Чтобы получить алгебру ПСКС, необходимо<br />
выбрать правило идентификации R,<br />
и в данном случае располагаем большей свободой<br />
выбора.<br />
Рассмотрены три правила.<br />
Если с и с′ – две регулярные пространственно-временные<br />
модели, то каждая из них<br />
определяет полное состояние: система R 3 переводится<br />
из одного состояния в другое. Отметим,<br />
что с ≡ с′ (mod R 1<br />
), если с и с′ имеют<br />
одни и те же внешние связи и индуцируют<br />
одно и то же полное состояние среды. Это не<br />
означает, что два таких состояния идентичны,<br />
а только означает то, что их полные результаты<br />
одинаковы.<br />
С другой стороны, если с и с′ имеют<br />
одинаковые внешние связи и показатели связей<br />
представляют повсюду одно и то же состояние,<br />
то будем говорить что с ≡ с′ (mod R 2<br />
).<br />
Наконец, если с = с′ , то запишем с ≡ с′<br />
(mod R 3<br />
); R 3<br />
– тривиальное правило идентификации<br />
по равенству моделей. Эти правила<br />
удовлетворяют определению 1 и задают три<br />
алгебры ПСКС: T k<br />
= b(P)/R k<br />
, k= 1, 2, 3. Очевидно,<br />
что R 1<br />
> R 2<br />
> R 3<br />
и имеют место соответствующие<br />
гомоморфизмы.<br />
Для изучения более сложных и часто<br />
встречающихся пространственно-временных<br />
моделей удобно ввести макрообразующие.<br />
При этом исходим из определенного<br />
репертуара состояний, комбинируем их и<br />
выявляем реакцию среды, объединяющей<br />
модули системы контроля и модули контролируемой<br />
и диагностируемой системы ВС.
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Практика оценки результатов контроля<br />
и диагностирования связана с рассмотрением<br />
двух случаев ПСКС: либо точное соответствие<br />
модели этого представления, либо искаженные<br />
(деформированные) варианты этой<br />
модели, отражающей неисправное состояние<br />
конкретной системы в рамках предложенной<br />
формализации.<br />
В результате имеем дело с фундаментальной<br />
проблемой – каким образом возникают<br />
подобные деформации. Полный синтез<br />
модели с неисправностями требует определения<br />
механизма деформации, что необходимо<br />
на стадии анализа результатов контроля и<br />
диагностирования.<br />
Для этих целей предложен вариант формализации<br />
на основе предложенных представлений.<br />
Обозначим через d отображение алгебры<br />
ПСКС Т на множество T D ПСКС, которые<br />
могут наблюдаться.<br />
Элементы<br />
I D ∈T D (16)<br />
будем называть деформированными ПСКС.<br />
Обычно число преобразований d велико<br />
и заранее неизвестно, какое именно будет<br />
действовать. Символ D используется для обозначения<br />
множества всех преобразований.<br />
Рассмотрим природу возникновения<br />
деформированных ПСКС. Простейшим является<br />
случай T D ⊂Т, т. е. когда модели относятся<br />
к тому же типу, что и идеальные модели<br />
алгебры ПСКС. В этом случае будем говорить<br />
об автоморфных деформациях, а d отображает<br />
алгебру ПСКС в самое себя.<br />
В противном случае при гетероморфных<br />
деформациях множество T D может включать<br />
целый ряд различных типов. Может оказаться,<br />
что T D также обладает структурой<br />
алгебры ПСКС, хотя и отличной от I. Следует<br />
подчеркнуть, что даже и в таком случае<br />
структуры эти могут резко отличаться и, следовательно,<br />
между I и I D существует принципиальное<br />
различие. Довольно часто на практике<br />
имеет место случай Т ⊂ T D , при котором<br />
идеальные (недеформированные) ПСКС являются<br />
частными случаями деформированных.<br />
Как правило, d разрушает структуру, и<br />
поэтому T D будет менее структурированной,<br />
чем T.<br />
В случае, когда T D ⊂Т, область определения<br />
d часто будет расширяться от Т до T D ,<br />
причем область значений будет оставаться<br />
равной T D . Можно многократно применять<br />
последовательность d и обобщить D до полугруппы<br />
преобразований.<br />
Во многих случаях можно расширять<br />
область определения преобразований k c T до<br />
T D . Все сказанное можно объединить в виде<br />
условия, которое в большинстве случаев будет<br />
выполняться. Будем предполагать, что k<br />
образует группу.<br />
Всегда при контроле и диагностике в<br />
основе деформации (нарушения функций<br />
исследуемой системы) лежит некий физический<br />
механизм, реализуемый в условиях эксплуатации<br />
ВС.<br />
При определении вида деформации<br />
исследователь сталкивается с большими<br />
трудностями, чем те, которые связаны с теоретическими<br />
аспектами. При этом необходимо,<br />
используя доступные сведения из соответствующей<br />
предметной области, обеспечить<br />
компромисс: модель должна обеспечить<br />
достаточно точную аппроксимацию изучаемых<br />
явлений и одновременно допускать возможность<br />
аналитического или численного<br />
решения.<br />
Сформулируем несколько общих принципов,<br />
которые могут оказаться полезными<br />
при построении модели деформаций.<br />
Следует попытаться разложить D, которое<br />
может быть довольно сложным пространством,<br />
на простые факторы D = D 1<br />
×<br />
× D 2<br />
× … Произведение может быть конечным,<br />
счетным или несчетным. Иногда такое<br />
разбиение задается непосредственно, как например<br />
в случае, когда деформации сводятся<br />
к топологическому преобразованию опорного<br />
пространства, за которым следует деформация<br />
маски. Некоторую пользу можно извлечь<br />
также из того способа, при помощи<br />
которого алгебры ПКС построены из элементарных<br />
объектов. Если рассматриваются<br />
ПКС, модели которых включают n модулей и<br />
все они идентифицируемы, то можно воспользоваться<br />
представлением<br />
I D = dI = (d 1<br />
a 1<br />
, d 2 a 2 , …, d n a n ),<br />
I = (a 1<br />
, a , …, a ), (17)<br />
2 n<br />
113
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
предполагая, что свойства факторов d v<br />
окажутся<br />
достаточно удобными. Этот метод можно<br />
использовать только в том случае, когда<br />
модули однозначно определяются ПКС. Поэтому<br />
можно воспользоваться соответствующим<br />
разбиением в применении к каноническим<br />
моделям, модули которых определены в<br />
рассматриваемой алгебре ПКС.<br />
После разделения D на достаточно простые<br />
факторы необходимо решить, какую<br />
вероятностную меру, связанную с различными<br />
видами неисправностей, следует ввести<br />
на D. При этом существенным моментом является<br />
выбор такого способа факторизации<br />
деформаций, при котором отдельные факторы<br />
d оказываются независимыми друг от друга.<br />
Невозможно полностью задать Р, не располагая<br />
эмпирической информацией. Поэтому<br />
для того, чтобы получить оценки с удовлетворительной<br />
точностью, аксиоматическая<br />
модель должна быть в достаточной степени<br />
структурирована. Это является критическим<br />
моментом для определения Р, и поэтому требуется<br />
такое понимание механизма деформации,<br />
которое исключит неадекватное представление<br />
данных при последующем анализе.<br />
Если действительно удается провести разбиение<br />
таким образом, что факторы в вероятностном<br />
смысле независимы, остается еще<br />
решить задачу определения на них безусловных<br />
распределений.<br />
В качестве примера рассмотрены идеальные<br />
образующие, порождаемые механизмом<br />
типа L o<br />
x = 0, где можно рассматривать<br />
L o<br />
как разностный оператор, а деформированные<br />
образующие определяются выражением<br />
L o<br />
x = ε. Первое, что следует предположить<br />
– это независимость значений ε (при<br />
различных аргументах). Если это не может<br />
быть принято в качестве адекватной аппроксимации,<br />
то необходимо попытаться устранить<br />
зависимость посредством работы не с<br />
х, а с некоторым ее преобразованием (например,<br />
линейным). Другими словами, можно<br />
выбирать модель таким образом, чтобы деформации<br />
принимали простую вероятностную<br />
форму. Отметим в качестве еще одного<br />
примера, что при работе с образами-соответствиями<br />
и дискретным опорным пространством<br />
Х можно промоделировать Р, исходя из<br />
предположения о том, что различные точки<br />
Х отображаются на опорное пространство T D<br />
независимо и что соответствующие распределения<br />
различны.<br />
Для того, чтобы сузить выбор безусловных<br />
распределений, рассмотрим роль преобразований<br />
подобия. Если D выбрано удачно,<br />
то можно рассчитывать, что Р будет обладать<br />
соответствующей инвариантностью. Итак,<br />
если I и I′ – подобные идеальные ПСКС и I′=<br />
= kI, то в первую очередь следует выяснить,<br />
не обладают ли dI и dI′ = dkI одним и тем же<br />
распределением вероятностей. Можно также<br />
использовать другой подход: рассмотреть<br />
модель, регулирующую равенство распределений<br />
kdI и dkI, что приведет к ковариантности<br />
по вероятности.<br />
С помощью этих методов можно определить<br />
аналитическую форму Р, а оценки свободных<br />
параметров получить эмпирически.<br />
Механизмы деформации классифицируем<br />
на основе двух критериев: уровня и<br />
типа.<br />
Под уровнем механизма деформации<br />
будем подразумевать этап синтеза образов<br />
ПСКС, на котором определяется D. Высший<br />
уровень ПСКС соответствует случаю, когда<br />
D задается непосредственно для каждого I<br />
независимо от того, каким способом идеальное<br />
ПСКС синтезировано из моделей, правил,<br />
ограничений, модулей и признаков. Низший<br />
уровень соответствует случаю, когда D<br />
задается на языке модулей, из которых строится<br />
модель в I. Промежуточный уровень соответствует<br />
случаю задания D на b(P).<br />
Предложенный подход дает теоретическую<br />
основу моделирования сложных взаимосвязей<br />
компонентов бортовых комплексов<br />
оборудования воздушных судов.<br />
Список литературы<br />
1. Александровская Д. Н., Круглов В. И.<br />
и др. Теоретические основы испытаний и<br />
экспериментальная отработка сложных технических<br />
систем. – М.: ЛОГОС, 2003.<br />
2. Климов В., Борисов В. Функциональные<br />
системы летательных аппаратов. – М.:<br />
Московский рабочий, 2003.<br />
114
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
PRESENTATION OF AIRBORNE EQUIPMENT ON THE BASIS<br />
OF STANDARD MODULES<br />
© 2007 A. N. Tikhonov<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper presents the construction of mathematical models on the basis of a set of standard modules of initial<br />
sentences. On the basis of the rules introduced sentences or functions are constructed which represent different sides of<br />
airborne equipment complexes.<br />
115
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 629.78<br />
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ<br />
КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ С ДВУХСТУПЕНЧАТЫМ РАЗГОННЫМ БЛОКОМ<br />
С ХИМИЧЕСКИМ И ЭЛЕКТРОРЕАКТИВНЫМ ДВИГАТЕЛЯМИ<br />
© 2007 П. В. Фадеенков<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Рассматривается перелет между начальной низкой и целевой высокой некомпланарными круговыми околоземными<br />
орбитами. Разгонные блоки, доставляющие полезную нагрузку на целевую орбиту, имеют следующие<br />
схемы: одноступенчатую и двухступенчатую с химическим ракетным двигателем, одноступенчатую с электроракетным<br />
двигателем, комбинированную двухступенчатую с химическим и электроракетным двигателями.<br />
На основе процедур усреднения и принципа максимума для частного случая совместного расположения<br />
орбит и размещения активного участка на витке получен оптимальный закон изменения угла отклонения вектора<br />
тяги от плоскости орбиты. Использование этого закона и аналитических выражений позволяет свести сложную<br />
оптимизационную задачу о максимуме полезной нагрузки к более простой задаче поиска условного экстремума<br />
функции пяти переменных.<br />
Проведен сравнительный анализ разгонных блоков различных схем по времени перелета и по массе<br />
полезной нагрузки. Определены преимущества комбинированного разгонного блока.<br />
Среди целевых высоких круговых орбит<br />
спутников Земли можно выделить геостационарную<br />
орбиту и орбиты спутников<br />
системы радионавигации. С одной стороны,<br />
миниатюризация современных спутников<br />
позволяет отказаться от использования мощных<br />
ракет-носителей и обратить внимание на<br />
баллистические ракеты, которые можно отнести<br />
к ракетам среднего и малого класса, а<br />
с другой стороны, существующими ракетами-носителями<br />
можно выводить группы<br />
спутников. В обоих случаях требуется провести<br />
исследования энергетических возможностей<br />
разгонных блоков (РБ) космических<br />
аппаратов (КА), под которыми будем понимать<br />
полезную нагрузку (ПН) и РБ.<br />
Рассмотрим РБ, состоящий из двух ступеней.<br />
Первая ступень представляет уменьшенный<br />
вариант одного из существующих РБ<br />
(«Фрегат», «Бриз» и т.п.), в котором двигательная<br />
установка (ДУ) с химическим ракетным<br />
двигателем (ХРД) остается без изменений,<br />
а изменения вносятся в систему хранения<br />
топлива:<br />
1) уменьшается размер баков и объем<br />
топлива, что требует конструктивных изменений;<br />
2) РБ заправляется меньшим количеством<br />
топлива без конструктивных изменений.<br />
Первая ступень выполняет перелет с<br />
начальной низкой круговой орбиты на промежуточную<br />
эллиптическую орбиту и после<br />
выполнения маневра отделяется от РБ.<br />
Вторая ступень состоит из блока с электроракетным<br />
двигателем (ЭРД) малой тяги<br />
(МТ), системы подачи и хранения топлива и<br />
энергетической установки (ЭУ). В качестве<br />
ЭУ рассматривается ядерный источник энергии<br />
как стабильно работающий на продолжительных<br />
интервалах времени. Вторая ступень<br />
выполняет перелет с промежуточной<br />
орбиты на конечную и после выполнения<br />
своей задачи остается в составе КА, что позволяет<br />
использовать ЭУ для работы целевой<br />
аппаратуры, а двигатели - для коррекции целевой<br />
орбиты.<br />
Наличие ЭУ делает возможным использование<br />
на первой ступени ДУ с подогревом<br />
топлива, которая характеризуется средними<br />
значениями скорости истечения рабочего<br />
тела (РТ) по сравнению с ХРД и ЭРД.<br />
В качестве критерия оптимальности<br />
перелета между начальной и целевой некомпланарными<br />
соосными круговыми орбитами<br />
выберем массу ПН при фиксированной массе<br />
КА и заданном времени перелета.<br />
Запишем уравнение масс:<br />
2<br />
Д Б РТ<br />
0<br />
= М<br />
ПН<br />
+ ∑(<br />
М<br />
i<br />
+ М<br />
i<br />
+ М<br />
i<br />
) М<br />
ЭУ ,(1)<br />
i=<br />
1<br />
М +<br />
116
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
где М 0<br />
– масса КА на начальной орбите; М ПН<br />
Д Б РТ<br />
– масса ПН; М , М , М - соответственно<br />
i<br />
i<br />
массы двигателя, баков и рабочего тела i-го<br />
РБ; М ЭУ<br />
– масса ЭУ.<br />
Выразим массы, входящие в (1), через<br />
проектные и баллистические параметры с<br />
помощью удельных массовых характеристик,<br />
используя соотношения [1]:<br />
М<br />
М<br />
М<br />
М<br />
М<br />
ПГ<br />
Д<br />
i<br />
Б<br />
i<br />
РТ<br />
i<br />
ЭУ<br />
= µ ⋅ ,<br />
Д<br />
i<br />
ПН<br />
М 0<br />
= γ ⋅ Р ,<br />
Б<br />
i<br />
m<br />
i<br />
= γ ⋅ М , (2)<br />
=<br />
РТ<br />
tкi<br />
∫δ i<br />
qi<br />
dt ,<br />
t0i<br />
= γ ⋅ .<br />
ЭУ<br />
N max<br />
m<br />
Здесь µ - относительная масса ПН;<br />
ПН<br />
Р<br />
i<br />
-<br />
максимальное значение тяги двигателей;<br />
Д<br />
i<br />
Б<br />
i<br />
ЭУ<br />
γ , γ , γ - соответственно удельные массовые<br />
характеристики двигателей, баков и<br />
ЭУ; { 0, 1}<br />
i<br />
=<br />
i<br />
δ - функция включения маршевых<br />
двигателей; q<br />
i<br />
- секундный расход РТ;<br />
t<br />
0 i,<br />
t кi<br />
- соответственно время начала и окончания<br />
работы; N max<br />
– максимальная полезная<br />
мощность ЭУ; индекс i обозначает номер ступени<br />
РБ.<br />
Массу рабочего тела можно выразить<br />
через формулу Циолковского, если функция<br />
включения слабо зависит от конструктивных<br />
характеристик:<br />
М<br />
РТ<br />
i<br />
Ci<br />
= M ⋅(1<br />
− e ) , (3)<br />
0i<br />
Vxi<br />
−<br />
где V xi<br />
, С i<br />
– соответственно затраты характеристической<br />
скорости на перелет и скорость<br />
истечения РТ i-й ступени РБ.<br />
Для случая, когда первая ступень РБ<br />
заправляется меньшим количеством топлива,<br />
массу баков и двигателя можно считать постоянной:<br />
Д Б<br />
М1 + М1<br />
= const . (4)<br />
Сравним проигрыш по М ПН<br />
данного варианта<br />
с вариантом, когда размер баков<br />
уменьшается. Подставив (3) и (4) в (1), получим<br />
зависимости массы ПН от затрат характеристической<br />
скорости для ракеты-носителя<br />
«Союз» и РБ «Фрегат» (рис. 1). Из рис. 1<br />
следует, что для перелета с низкой орбиты на<br />
геостационарную (Vx = 4,212 км/с) проигрыш<br />
по массе достигает 100 кг.<br />
Мпн, кг<br />
7000<br />
6000<br />
5000<br />
4000<br />
3000<br />
2000<br />
1000<br />
0<br />
0 2 4 6 8<br />
Vx, км /с<br />
Рис. 1. Зависимость массы ПН от затрат характеристической скорости на перелет<br />
М ПН<br />
для изменяемых баков, М ПН<br />
для неизменяемых баков, разница в М ПН<br />
117
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Поэтому в дальнейшем будем рассматривать<br />
вариант с конструктивными изменениями<br />
первой ступени РБ с ХРД.<br />
Для второй ступени с ЭРД масса ДУ<br />
может варьироваться в широких пределах без<br />
существенных конструктивных изменений.<br />
Будем считать, что максимальное значение<br />
тяги двигателей<br />
m<br />
Р , скорость истечения РТ<br />
и максимальная полезная мощность N max<br />
постоянны.<br />
Используя формулу (3) и соотношения,<br />
приведенные в [1], можно выразить тягу<br />
и мощность через скорость истечения РТ,<br />
моторное время и затраты характеристической<br />
скорости.<br />
Таким образом, разделив левую и правую<br />
части (1) на М 0<br />
, получим выражение для<br />
относительной массы ПН, универсальное для<br />
стартовой массы КА на начальной орбите:<br />
µ<br />
ПН<br />
⎧<br />
⎪<br />
= ⎨1<br />
− γ<br />
⎪⎩<br />
⎧<br />
⎪<br />
× ⎨1<br />
− ( 1−<br />
е<br />
⎪⎩<br />
Здесь<br />
Д<br />
ХРД<br />
х<br />
VЭРД<br />
−<br />
СЭРД<br />
− ( 1−<br />
е<br />
) ⋅(<br />
1+<br />
γ<br />
х<br />
VХРД<br />
−<br />
СХРД<br />
Б<br />
ЭРД<br />
) ⋅(<br />
1+<br />
γ<br />
С<br />
+<br />
Т<br />
ЭРД<br />
м<br />
⋅<br />
Б<br />
ХРД<br />
⎫<br />
⎪<br />
) ⎬ ×<br />
⎪⎭<br />
Д<br />
⎪<br />
[ γ + С ⋅γ<br />
])<br />
.<br />
ЭРД<br />
ЭРД<br />
ЭУ<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪⎭<br />
(5)<br />
µ - масса ПН, отнесенная к массе<br />
ПН<br />
КА на начальной орбите;<br />
Б х<br />
γ Д , γ ,V , C - соответственно<br />
удельные массы двигателя и<br />
баков, затраты характеристической скорости,<br />
скорость истечения РТ; нижний индекс обозначает<br />
тип двигателя - ХРД и ЭРД, соответственно;<br />
γ<br />
ЭУ<br />
- удельная масса ЭУ; Т м<br />
– моторное<br />
время работы двигателей ЭРД.<br />
Удельные массовые характеристики и<br />
х<br />
С ХРД<br />
заданы. V<br />
ХРД для перелета с начальной<br />
низкой круговой орбиты на промежуточную<br />
высокую эллиптическую орбиту с изменением<br />
наклонения определим по формулам им-<br />
х<br />
пульсной теории [2]. V<br />
ЭРД для перелета с промежуточной<br />
орбиты на конечную высокую<br />
круговую орбиту рассчитаем по выражениям,<br />
приведенным в [3, 4, 5].<br />
Получим расчетные формулы для случая<br />
многовиткового перелета с активным участком<br />
на витке, симметрично расположенным<br />
относительно одной из апсидальных точек,<br />
при ориентации вектора тяги по трансверсали.<br />
Особенность исследуемой задачи состоит<br />
в продолжительном активном участке при<br />
управлении, приводящем к совместному изменению<br />
большой полуоси, эксцентриситета<br />
и наклонения.<br />
Примем, что возмущения от несферичности<br />
Земли, атмосферы и других факторов<br />
отсутствуют. Тогда система уравнений движения<br />
имеет вид [2]:<br />
dA<br />
= 2<br />
dt<br />
de<br />
=<br />
dt<br />
di<br />
dt<br />
=<br />
dΩ<br />
=<br />
dt<br />
dω<br />
=<br />
dt<br />
dϑ<br />
=<br />
dt<br />
A<br />
A<br />
dVx<br />
= a =<br />
dt<br />
3<br />
A<br />
( )<br />
( )<br />
[ ax<br />
1+<br />
ecosϑ<br />
+ aye sinϑ]<br />
,<br />
2<br />
µ 1−<br />
e<br />
2<br />
( 1−<br />
e ) ⎧ ⎡⎛<br />
1<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
A<br />
A<br />
A<br />
µ<br />
µ<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
µ<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
µ<br />
⎞ e ⎤⎫<br />
⎨ay<br />
sinϑ<br />
+ ax<br />
⎢⎜1+<br />
⎟cosϑ<br />
+ ⎬,<br />
⎩<br />
ecos<br />
ecos<br />
⎥<br />
⎣⎝<br />
1+<br />
ϑ ⎠ 1+<br />
ϑ ⎦⎭<br />
az<br />
⋅cosu<br />
,<br />
1+<br />
ecosϑ<br />
az<br />
⋅ sinu<br />
,<br />
( 1+<br />
ecosϑ<br />
) ⋅ sini<br />
⎡ cosϑ<br />
ax<br />
⎛ 1 ⎞<br />
sinu ⋅ctgi⎤<br />
⎢−<br />
ay<br />
+ ⎜1+<br />
⎟ sinϑ<br />
− az<br />
⋅e<br />
⋅ ,<br />
e e ecos<br />
ecos<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎝ 1+<br />
ϑ ⎠<br />
1+<br />
ϑ ⎦<br />
2<br />
2<br />
( 1−<br />
e ) ⎡µ<br />
( 1+<br />
ecosϑ)<br />
⎢<br />
2 2 2<br />
µ ⎢ A ( 1−<br />
e )<br />
cosϑ<br />
ax<br />
⎛ 1 ⎞ ⎤<br />
+ ay<br />
− ⎜1+<br />
⎟ sinϑ⎥,<br />
⎣<br />
e e ⎝ 1+<br />
ecosϑ<br />
⎠ ⎥⎦<br />
2 2 2 ⎛Vx<br />
⎞<br />
ax<br />
+ ay<br />
+ az<br />
= a0<br />
exp⎜<br />
⎟,<br />
⎝ C ⎠<br />
(6)<br />
где А, e, i, Ω, ω, υ, u- элементы орбиты;<br />
V x<br />
– характеристическая скорость; а 0<br />
– начальное<br />
ускорение; С – скорость истечения<br />
рабочего тела; µ - гравитационная постоянная;<br />
a ,a , a - составляющие реактивного ус-<br />
x<br />
y<br />
z<br />
корения в связанной системе координат.<br />
Для заданного управления и принятых<br />
допущениях получим:<br />
a<br />
a<br />
a<br />
x<br />
y<br />
z<br />
= a cosθ<br />
,<br />
= a sinθ<br />
,<br />
= 0.<br />
(7)<br />
Здесь θ - угол отклонения вектора тяги ДУ<br />
от плоскости орбиты; δ - функция включения<br />
двигателей:<br />
- центр активного участка в перигее<br />
⎧1,<br />
−α<br />
≤ u ≤ α ,<br />
δ = ⎨<br />
⎩0,<br />
α ≤ u ≤ 2π<br />
− α ,<br />
(8)<br />
118
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
- центр активного участка в апогее<br />
E пер<br />
2<br />
= arccos( e ) = arcsin 1−<br />
e . (14)<br />
δ<br />
⎧1,<br />
π − α ≤ u ≤ π + α ,<br />
= ⎨<br />
⎩0,<br />
α −π<br />
≤ u ≤ π −α<br />
,<br />
(9)<br />
Проведем процедуру усреднения и получим<br />
где α - половина ширины разгонного участка.<br />
Согласно (7) в моменты u = p/2 направление<br />
тяги меняется на симметричное относительно<br />
плоскости орбиты.<br />
Примем, что оси апсид промежуточной<br />
и конечной орбит совпадают с линиями узлов<br />
и лежат в плоскости экватора:<br />
ω = 0 , (10)<br />
0<br />
где ω<br />
0<br />
- аргумент перигея в начальный момент<br />
времени.<br />
Перейдем к новой независимой переменной<br />
– эксцентрической аномалии Е, приняв,<br />
что использование МТ не приводит к<br />
существенному уходу оси апсид:<br />
dE µ<br />
1<br />
3<br />
dt А<br />
1 −<br />
=<br />
( − e ⋅ cos E) .<br />
(11)<br />
Общая формула процедуры усреднения<br />
имеет вид<br />
dx ~<br />
=<br />
dE<br />
1<br />
2π<br />
2π<br />
∫<br />
0<br />
dx<br />
dE<br />
dE<br />
, (12)<br />
где х - фазовая переменная, x ~ - усредненная<br />
фазовая переменная.<br />
Подставим в (12) угол α, который будем<br />
отсчитывать по эксцентрической аномалии<br />
и считать постоянным. Тогда формула<br />
процедуры усреднения в зависимости от положения<br />
центра активного участка преобразуется:<br />
dx ~<br />
dE<br />
dx ~<br />
dE<br />
1<br />
=<br />
2π<br />
1<br />
=<br />
2π<br />
α<br />
∫<br />
−α<br />
π + α<br />
∫<br />
π −α<br />
dx<br />
dE<br />
dx<br />
dE<br />
dE − для перигея,<br />
dE − для апогея.<br />
(13)<br />
Момент изменения тяги на симметричное<br />
направление относительно плоскости<br />
орбиты определяется соотношением<br />
119<br />
3<br />
dA 2 A<br />
= a ⋅ cosθ<br />
dE 2π<br />
µ<br />
de<br />
dE<br />
di<br />
dE<br />
2<br />
1 A<br />
= a ⋅ cosθ<br />
2π<br />
µ<br />
1<br />
= a ⋅ sinθ<br />
2π<br />
µ<br />
dΩ<br />
= 0,<br />
dE<br />
dω<br />
= 0,<br />
dE<br />
dVx<br />
1<br />
= a ⋅<br />
dE 2π<br />
A<br />
2<br />
1−<br />
e ⋅ 2α<br />
,<br />
2 ⎛<br />
e ⋅ sin 2α<br />
⎞<br />
1−<br />
e ⎜±<br />
4 sinα<br />
− 3eα<br />
− ⎟,<br />
⎝<br />
2 ⎠<br />
2<br />
1−<br />
e<br />
f ( e, α ),<br />
3<br />
A<br />
( 2α<br />
+ 2e sinα<br />
),<br />
µ<br />
2<br />
1<br />
(15)<br />
где “+” перигей, “–” апогей.<br />
Для уравнения, описывающего изменение<br />
наклонения i в (15), имеются следующие<br />
соотношения:<br />
- импульсы прикладываются в перигее:<br />
⎧ 1 ⎛ V ⎞<br />
⎪ <<br />
⋅ ⎜ −<br />
x<br />
α Eпер<br />
, a0<br />
exp ⎟ ⋅ sinθ<br />
×<br />
2π<br />
⎪<br />
⎝ C ⎠<br />
2<br />
⎪ A ⎛<br />
2 ⎛ sin 2α<br />
⎞⎞<br />
⎪ ⎜2<br />
sinα(<br />
1+<br />
e ) − e ⋅⎜3α<br />
+ ⎟⎟,<br />
2<br />
⎪ µ 1−<br />
e ⎝<br />
⎝ 2 ⎠ ⎠ f1(<br />
e, α ) = ⎨ 1 ⎛ V ⎞<br />
> ⋅<br />
×<br />
⎪<br />
⎜ −<br />
x<br />
α Eпер<br />
, a0<br />
exp ⎟ ⋅ sinθ<br />
2π<br />
⎝ C ⎠<br />
⎪<br />
⎪ ⎛<br />
2 ⎛ sin 2α<br />
⎞ ⎞<br />
2<br />
⎪ A ⎜2<br />
sinα(<br />
1+<br />
e ) − e ⋅⎜3α<br />
+ ⎟ − ⎟<br />
⎪<br />
⎜<br />
⎝ 2 ⎠ ⎟;<br />
2<br />
⎪<br />
µ 1−<br />
e ⎜<br />
2<br />
2<br />
⎟<br />
⎩ ⎝2<br />
⋅ 1−<br />
e ⋅(<br />
2 + e ) + 6⋅<br />
e ⋅ arccos( e ) ⎠<br />
(16)<br />
- импульсы прикладываются в апогее:<br />
⎧<br />
1 ⎛ V ⎞<br />
⎪ < −<br />
⋅ ⎜ −<br />
x<br />
α π Eпер<br />
, a0<br />
exp ⎟ ⋅ sinθ<br />
×<br />
2π<br />
⎪<br />
⎝ C ⎠<br />
2<br />
⎪ A ⎛<br />
2 ⎛ sin 2α<br />
⎞⎞<br />
⎪ ⋅ ⎜ − 2 sinα(<br />
1+<br />
e ) − e ⋅ ⎜3α<br />
+ ⎟⎟,<br />
2<br />
⎪ µ 1−<br />
e ⎝<br />
⎝ 2 ⎠ ⎠<br />
⎪<br />
1 ⎛ V ⎞<br />
⎪ > −<br />
⋅ ⎜ −<br />
x<br />
α π Eпер<br />
, a0<br />
exp ⎟ ⋅ sinθ<br />
×<br />
f ( e, α ) = ⎨<br />
2π<br />
⎝ C ⎠<br />
1<br />
⎪ ⎛<br />
2 ⎛ sin 2α<br />
⎞ ⎞<br />
⎪ ⎜ − 2 sinα(<br />
1+<br />
e ) − e ⋅ ⎜3α<br />
+ ⎟ + ⎟<br />
⎪ ⎜<br />
⎝ 2 ⎠ ⎟<br />
2<br />
⎪ A ⎜<br />
2<br />
2<br />
⎟<br />
⎪<br />
⋅ ⎜2<br />
⋅ 1−<br />
e ⋅(<br />
2 + e ) − 6⋅<br />
e ⋅ arccos( e ) + ⎟.<br />
2<br />
µ 1−<br />
e<br />
⎪ ⎜ + 6 ⋅ e ⋅π<br />
⎟<br />
⎪ ⎜<br />
⎟<br />
⎪<br />
⎩ ⎝<br />
⎠<br />
(17)
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Первые два уравнения в (15) могут быть<br />
проинтегрированы:<br />
A⋅<br />
(sinα<br />
± e ⋅ k<br />
k<br />
1<br />
)<br />
3 sin 2α<br />
= α + ,<br />
4 8<br />
1<br />
α<br />
k1<br />
= const,<br />
(18)<br />
где “+” апогей, “–” перигей.<br />
Для импульсных перелетов формула<br />
(18) преобразуется к полученной ранее в [6]:<br />
A ⋅ ( 1±<br />
e)<br />
= const,<br />
(19)<br />
что означает постоянство радиуса орбиты в<br />
апсидальной точке, которая соответствует<br />
центру активного участка.<br />
Определим оптимальную программу<br />
изменения угла |θ|.<br />
Система (15) может быть сокращена на<br />
три уравнения, поскольку эксцентрическая<br />
аномалия, отсутствуя в уравнениях и не влияя<br />
на управление, может быть исключена. Перейдем<br />
к новой независимой переменной V x<br />
:<br />
dA<br />
dV<br />
x<br />
di<br />
dV<br />
x<br />
= 2 ⋅ cosθ<br />
⋅<br />
= sinθ<br />
⋅<br />
µ ⋅<br />
A<br />
µ<br />
3<br />
A<br />
⋅<br />
2<br />
( 1 − e )<br />
2 α<br />
1 − e ⋅<br />
,<br />
α + e ⋅ sin α<br />
(20)<br />
⋅ f ( e, α ).<br />
В соответствии с принципом максимума<br />
Понтрягина составим гамильтониан системы<br />
H<br />
где<br />
dA<br />
dV<br />
= ΨA<br />
+ Ψi<br />
− ΨV x , (21)<br />
x<br />
e i<br />
,<br />
V<br />
x<br />
di<br />
dV<br />
x<br />
Ψ , Ψ Ψ - сопряженные множители.<br />
Уравнения для сопряженных множителей<br />
имеют вид<br />
ψ&<br />
i<br />
ψ&<br />
ψ&<br />
Vx<br />
A<br />
∂H<br />
= − = 0,<br />
∂i<br />
∂H<br />
= − = 0,<br />
∂V<br />
x<br />
∂H<br />
= − .<br />
∂A<br />
1<br />
(22)<br />
Из (22) следует, что два сопряженных<br />
множителя постоянны на всей оптимальной<br />
траектории, а уравнение для третьего множителя<br />
представляется сложной зависимостью.<br />
Управление определится в явном виде<br />
∂H<br />
из условия = 0 :<br />
∂θ<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
2 ⋅ A⋅<br />
⋅α<br />
⋅ ΨA<br />
ctgθ<br />
=<br />
. (23)<br />
( α + e ⋅ sinα<br />
) ⋅ f ( e, α ) ⋅ Ψ<br />
Подставив (20) и (23) в (21), учитывая,<br />
что из (22) следует Ψ<br />
i<br />
= const , получим выражение<br />
относительно синуса угла:<br />
1<br />
⋅<br />
sinθ<br />
µ ⋅<br />
A<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
1<br />
⋅ f ( e, α ) = const . (24)<br />
1<br />
Как следует из (24), управление зависит<br />
только от фазовых переменных е и А, и<br />
поэтому после подстановки (24) в (15) исходная<br />
система может быть проинтегрирована.<br />
Перелет по предлагаемой схеме по сравнению<br />
с перелетом при раздельном изменении<br />
параметров орбиты осуществляется с<br />
меньшими затратами рабочего тела [7].<br />
Таким образом, задавая параметры промежуточной<br />
орбиты, на которой происходит<br />
отделение первой ступени РБ и начинается<br />
работа второй ступени, можно рассчитать<br />
затраты характеристической скорости для<br />
каждой из ступеней РБ.<br />
Если ширина активного участка остается<br />
постоянной во время выполнения маневра,<br />
то моторное время Т м<br />
связано с временем<br />
перелета Т соотношением<br />
T м<br />
i<br />
α<br />
= ⋅Т<br />
. Для π<br />
случая непрерывной работы двигателей второй<br />
ступени РБ времена Т м<br />
и Т совпадают.<br />
Будем считать, что время перелета с начальной<br />
орбиты на промежуточную существенно<br />
меньше, чем время на многовитковый перелет<br />
с промежуточной орбиты на конечную.<br />
Таким образом, выражение (5) зависит<br />
от параметров промежуточной орбиты A, e,<br />
i, ширины активного участка α и времени на<br />
перелет Т, и исходная задача поиска максимальной<br />
массы полезного груза сводится к<br />
120
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
задаче поиска максимума (5) в общем случае<br />
по пяти переменным. Такая задача может<br />
быть решена только численно.<br />
Проведено моделирование перелета с<br />
низкой круговой орбиты высотой 200 км на<br />
геостационарную орбиту высотой 36000 км<br />
с разницей наклонения 51,7°, с заданным временем<br />
перелета в интервале от 40 до 160 суток<br />
с шагом в одни сутки. Зависимости относительной<br />
массы ПН для различных РБ приведены<br />
на рис. 2:<br />
1) перелет с одноступенчатым РБ с ХРД<br />
(традиционная схема);<br />
2) перелет с двухступенчатым РБ с ХРД<br />
на каждой ступени;<br />
3) перелет с одноступенчатым РБ с ЭРД;<br />
4) перелет с двухступенчатым комбинированным<br />
РБ с ХРД и ЭРД.<br />
Анализ результатов, приведенных на<br />
рис. 2, позволяет сделать следующие выводы:<br />
1) комбинированный РБ предпочтительнее<br />
использовать при времени перелета<br />
от 46 суток по сравнению с РБ традиционной<br />
схемы (точка пересечения графиков 1 и<br />
4) или от 62 суток по сравнению с возможной<br />
двухступенчатой схемой РБ с ХРД (точка<br />
пересечения графиков 2 и 4) и до 146 суток<br />
по сравнению с одноступенчатым РБ с<br />
ЭРД (точка пересечения графиков 3 и 4);<br />
2) одноступенчатый РБ с ЭРД предпочтительнее<br />
использовать при времени перелета,<br />
превышающим 128 суток по сравнению с<br />
одноступенчатым РБ с ХРД (точка пересечения<br />
графиков 1 и 3) и 135 суток по сравнению<br />
с двухступенчатым РБ с ХРД (точка пересечения<br />
графиков 2 и 3);<br />
3) максимальный выигрыш в массе ПН<br />
при использовании комбинированного РБ с<br />
ХРД и ЭРД составляет 29 % по сравнению с<br />
одноступенчатым РБ с ХРД, 13 % по сравнению<br />
с двухступенчатым РБ с ХРД и более чем<br />
в два раза по сравнению с одноступенчатым<br />
РБ с ЭРД.<br />
÷ ПН<br />
Т,<br />
0,24<br />
0,22<br />
0,2<br />
2<br />
4<br />
0,18<br />
1<br />
0,16<br />
3<br />
0,14<br />
0,12<br />
0,1<br />
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160<br />
Рис. 2. Графики зависимостей относительной массы полезного груза от времени перелета<br />
для различных РБ<br />
сут.<br />
Список литературы<br />
1. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев<br />
В. В. Механика космического полета.<br />
Проблемы оптимизации. - М.: Наука, 1975.<br />
121<br />
2. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю. Г.<br />
Основы механики космического полета. – М.:<br />
Наука, 1990.
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
3. Лебедев В. Н. Расчет движения космического<br />
аппарата с малой тягой // Математические<br />
методы в динамике космических<br />
аппаратов. - М. – 1968. - Вып.5.<br />
4. Ишков С. А., Романенко В. А. Формирование<br />
и коррекция высокоэллиптической<br />
орбиты спутника Земли с двигателем<br />
малой тяги // Космические исследования. -<br />
1997. Т.XXXVI. - Вып.2. – С. 11-20.<br />
5. Ишков С. А. Расчет оптимальных<br />
межорбитальных перелетов с малой тягой<br />
между круговой и эллиптической орбитами //<br />
Космические исследования. - 1997. Т.XXXVI.<br />
- Вып.2. – С. 1-10.<br />
6. Фадеенков П. В., Ишков С. А. Баллистическое<br />
обоснование применения двигателей<br />
ограниченной тяги для формирования<br />
энергоемких орбит // Сб. тр. IX Всерос. научно-техн.<br />
семинара по управлению движением<br />
и навигации летательных аппаратов:<br />
Ч. 1/Самарский филиал Российской Академии<br />
космонавтики. - Самара, 1999. – С. 144-<br />
148.<br />
7. Фадеенков П. В. Оптимизация перелетов<br />
между некомпланарными эллиптическими<br />
орбитами с двигателями малой тяги //<br />
Сб. тр. XIII Всерос. научно-техн. семинара по<br />
управлению движением и навигации летательных<br />
аппаратов: Ч. 1/ Самарский филиал<br />
Российской академии космонавтики. - Самара,<br />
2007. – С. 193-197.<br />
OPTIMIZATION OF FLIGHTS BETWEEN NON-COPLANAR CIRCULAR<br />
ORBITS WITH A TWO-STAGE BOOSTER WITH CHEMICAL AND<br />
ELECTROJET ENGINES<br />
© 2007 P. V. Fadeyenkov<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper deals with a flight between the non-coplanar circular near-earth orbits – the initial low orbit and the<br />
target high one. Boosters delivering payload to the target orbit are: one-stage and two-stage with a chemical rocket<br />
engine, one-stage with an electrorocket engine or combined two-stage with a chemical and an electrrocket.<br />
The optimal law of changing the angle of thrust vector deviation from the orbit plane is obtained on the basis of<br />
averaging procedures and maximal principle for a particular case of the orbits’ relative position and location of the<br />
active site on the loop. The use of this law and analytical expressions makes it possible to reduce the complicated<br />
optimization task of payload maximum to a simpler task of searching five-variable function conditional extremum.<br />
Comparative analysis of various kinds of boosters according to the time of flight and the mass of payload is<br />
given. The advantages of a combined booster are defined.<br />
122
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
УДК 629.78<br />
ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ МОЩНОСТИ СОЛНЕЧНЫХ<br />
БАТАРЕЙ АВТОМАТИЧЕСКИХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ<br />
© 2007 Ю. А. Шиняков<br />
Томский университет систем управления и радиоэлектроники<br />
Рассмотрены структурно-функциональные схемы систем электроснабжения автоматических космических<br />
аппаратов с цифровыми и аналого-цифровыми экстремальными регуляторами мощности солнечных батарей.<br />
Предложена методика определения параметров систем автоматической оптимизации шагового типа.<br />
Одной из основных проблем создания<br />
перспективных автоматических космических<br />
аппаратов (КА) является повышение энергетической<br />
эффективности систем электроснабжения<br />
(СЭС). При этом наиболее действенным<br />
способом является реализация режима<br />
непрерывного регулирования мощности<br />
солнечной батареи (СБ) в оптимальной<br />
рабочей точке, который предполагает введение<br />
в состав бортовой аппаратуры экстремального<br />
регулятора (ЭР), действие которого<br />
должно быть направлено на поиск оптимального<br />
напряжения СБ и выдачу на энергопреобразующие<br />
устройства (ЭПУ) такого<br />
задающего воздействия, при котором напряжение<br />
СБ регулируется на уровне, близком к<br />
экстремальному значению [1].<br />
В СЭС автоматических КА широко используется<br />
шаговый метод поиска экстремума<br />
мощности СБ, так как согласование ЭР с<br />
зарядным устройством (ЗУ) и последовательным<br />
регулятором (РН), осуществляющим<br />
передачу энергии от СБ в нагрузку, реализуется<br />
достаточно просто путем дискретной<br />
перестройки цепи обратной связи в канале<br />
стабилизации напряжения СБ [2].<br />
На начальном этапе развития и освоения<br />
систем экстремального регулирования<br />
мощности (ЭРМ) СБ использовалась наиболее<br />
простая схема с реализацией функции<br />
регулирования СБ в оптимальном режиме<br />
только зарядным устройством. Данная система<br />
ЭРМ СБ шагового типа впервые в мировой<br />
практике была испытана в 1988 году<br />
на КА «Фобос-2» во время перелета к Марсу.<br />
Испытания показали увеличение энергетической<br />
эффективности СЭС более чем на 20%<br />
(пропорционально увеличению напряжения<br />
оптимальной рабочей точки СБ).<br />
В дальнейшем был предложен ряд схемных<br />
технических решений, направленных на<br />
реализацию режима ЭРМ СБ не только зарядным<br />
устройством, но и устройством РН.<br />
На рис. 1 представлена усовершенствованная<br />
структурно-функциональная схема СЭС с<br />
поисковой системой шагового типа, реализующая<br />
экстремальное регулирование мощности<br />
СБ устройствами ЗУ и РН с использованием<br />
принципа смещения поддиапазона регулирования<br />
РН до уровня поддиапазона регулирования<br />
разрядного устройства РУ [3, 4].<br />
Входящий в состав ЭРМ датчик мощности<br />
ДМ, обрабатывая информацию о напряжении<br />
и токе СБ в рабочей точке, формирует<br />
на выходе напряжение, пропорциональное<br />
текущему значению мощности, вырабатываемой<br />
СБ. По сигналу от синхронизирующего<br />
генератора Г это значение мощности<br />
запоминается в устройстве выборки и хранения<br />
УВХ, после чего по следующему сигналу<br />
генератора рабочая точка на вольтамперной<br />
характеристике (ВАХ) СБ смещается<br />
вследствие воздействия, осуществляемого<br />
корректирующим устройством КУ на усилитель<br />
ошибки УСО ШИМ ЗУ. Затем вновь измеренное<br />
значение мощности СБ сравнивается<br />
с предыдущим значением с помощью<br />
устройства сравнения УС.<br />
Выходной сигнал УС воздействует на<br />
КУ, определяя направление последующего<br />
смещения рабочей точки на ВАХ СБ. При<br />
уменьшении мощности, генерируемой СБ,<br />
КУ изменяет направление поиска экстремума<br />
на противоположное. Одновременно УВХ<br />
123
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 1. Структурно-функциональная схема СЭС с ЭРМ шагового типа<br />
запоминает новое текущее значение мощности<br />
СБ. В дальнейшем процесс повторяется.<br />
Таким образом обеспечивается работа<br />
в режиме максимальной мощности СБ, при<br />
этом осуществляются непрерывные пробные<br />
(поисковые) колебания напряжения СБ вокруг<br />
оптимальной точки.<br />
В режиме заряда АБ смещение рабочей<br />
точки на ВАХ СБ происходит из-за изменения<br />
длительности открытого состояния силовых<br />
ключей ЗУ. При превышении мощностью<br />
нагрузки мощности СБ (Р Н<br />
> Р СБ<br />
) ЗУ<br />
закрывается. В работу включается РУ, стабилизируя<br />
напряжение на выходе СЭС. При<br />
этом напряжение на СБ понижается, напряжение<br />
на выходе УСО ШИМ ЗУ принимает<br />
отрицательное значение и, воздействуя на<br />
компаратор К ШИМ РН через диод VD1, смещает<br />
поддиапазон регулирования выходного<br />
напряжения РН до уровня поддиапазона регулирования<br />
разрядного устройства (РУ).<br />
При проектировании СЭС автоматических<br />
КА с ЭРМ СБ необходимо знать зависимость<br />
точности регулирования экстремума от<br />
шагового изменения напряжения стабилизации<br />
СБ (∆U ст<br />
) и требуемое значение быстродействия<br />
ЭР, гарантирующего устойчивость<br />
системы при максимальной скорости дрейфа<br />
ВАХ.<br />
В связи с существенной сложностью<br />
выражения, описывающего ВАХ реальной<br />
СБ, при определении и расчете характеристик<br />
системы экстремального регулирования<br />
целесообразно воспользоваться достаточно<br />
простой математической моделью СБ, где<br />
ВАХ задана тремя характерными точками:<br />
напряжением холостого хода U хх<br />
, током короткого<br />
замыкания I кз<br />
, оптимальными значениями<br />
тока I опт<br />
и напряжения U опт<br />
[5]. Уравнение<br />
ВАХ СБ при заданной температуре и<br />
освещенности имеет вид:<br />
I<br />
=<br />
I<br />
⎡<br />
⎢1<br />
− (<br />
⎢<br />
⎣<br />
кз<br />
1<br />
−<br />
I<br />
I<br />
o<br />
кз<br />
)<br />
U −U<br />
хх<br />
U o −U<br />
хх<br />
⎤<br />
⎥ . (1)<br />
⎥<br />
⎦<br />
Вольтамперная (ВАХ) и вольтваттная<br />
(ВВХ) характеристики реальной солнечной<br />
батареи низкоорбитального КА с параметрами:<br />
U хх<br />
=42,2 В, U опт<br />
=31 В, I опт<br />
=50 А, I кз<br />
=60 А,<br />
построенные по приведенной выше формуле<br />
1, представлены на рис. 2.<br />
В системе автоматической оптимизации<br />
шагового типа возможное минимальное количество<br />
шагов два или три. Двухшаговый<br />
режим поиска экстремума мощности осуществляется,<br />
когда рабочая точка на ВАХ при<br />
очередном шаговом изменении U СБ<br />
совпада-<br />
124
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
ет с оптимальной (Р СБмакс<br />
), а трехшаговый –<br />
когда занимает симметричное положение относительно<br />
Р СБмакс<br />
. На рис. 3 и в табл. 1 приведены<br />
зависимости мощности потерь Р п<br />
от<br />
значения шагового изменения U СБ<br />
(∆U ст<br />
), из<br />
анализа которых следует, что при пошаговом<br />
изменении U СБ<br />
, не превышающем 2 В, гарантируется<br />
отбор экстремальной мощности от<br />
СБ с точностью не менее 98 % (Р п<br />
< 2 % Р макс<br />
).<br />
Характеристики СБ (ВАХ, ВВХ) большинства<br />
объектов с течением времени изменяются<br />
со значительными скоростями. Поэтому<br />
для обеспечения работоспособности<br />
экстремального регулятора необходимо выполнение<br />
условия: ∆U ст<br />
/∆t > ∆U СБопт<br />
/∆t, т. е.<br />
скорость изменения напряжения СБ экстремальным<br />
регулятором должна быть выше<br />
скорости дрейфа напряжения оптимальной<br />
точки СБ. Опыт эксплуатации КА показывает,<br />
что наивысшая скорость дрейфа ВАХ наблюдается<br />
при выходе панелей СБ из тени.<br />
Причем скорость дрейфа, ввиду линейности<br />
изменения температуры панелей, в начальное<br />
время прогрева практически постоянная. Требуемое<br />
быстродействие экстремального регулятора<br />
в зависимости от значения шага ∆U ст<br />
находится из выражения: ∆t=1/f эшр<br />
≤ ∆U ст<br />
/V СБ<br />
,<br />
где V СБ<br />
– скорость изменения напряжения СБ.<br />
Однако это условие является достаточным<br />
лишь для случаев горизонтального дрейфа<br />
ВВХ СБ, т. е. при Р СБмакс<br />
(t)=const. Так как<br />
дрейф ВВХ сопровождается уменьшением<br />
экстремального значения мощности при прогреве<br />
панелей СБ, то возможен реверс систе-<br />
Рис. 2. Вольтамперная и вольтваттная<br />
характеристики СБ<br />
Рис. 3. Зависимость потерь энергии СБ<br />
на поиск от величины шага<br />
Таблица 1<br />
Параметр<br />
Двухшаговый режим<br />
Трехшаговый режим<br />
∆U СБ =2∆U ст<br />
∆U СБ =3∆U ст<br />
∆U ст , В 1 2 3 4 1 2 3<br />
Р п , Вт<br />
(Р макс =1553 Вт)<br />
3 12 25,5 43 4 22 48<br />
Р п /Р макс , % 0,2 0,77 1,6 2,8 0,26 1,4 3,1<br />
125
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
мы вследствие уменьшения мощности СБ<br />
даже при движении рабочей точки в сторону<br />
экстремума мощности (рис. 4). Поэтому для<br />
обеспечения устойчивости необходимо выполнение<br />
дополнительного условия: ∆Р СБ<br />
≥0,<br />
т. е. увеличение мощности, вызванное шаговым<br />
изменением U СБ<br />
, должно компенсировать<br />
ее уменьшение, обусловленное дрейфом<br />
характеристики.<br />
Рассмотрим влияние дрейфа характеристик<br />
СБ (ВАХ, ВВХ) на поиск экстремума.<br />
Уравнение дрейфующей ВВХ, аппроксимированной<br />
квадратичной параболой, имеет<br />
вид:<br />
2<br />
[ − U ( t )] Р ( t ),<br />
РСБ (U<br />
СБ<br />
;t ) = a( t ) U<br />
СБ СБ опт<br />
+<br />
где<br />
Р<br />
U<br />
СБ макс<br />
СБ опт<br />
( t ) = Р<br />
( t ) = U<br />
СБ макс<br />
СБ опт<br />
( t − ∆t<br />
) + ∆Р<br />
( t − ∆t<br />
) + ∆U<br />
а( t ) = a( t − ∆t<br />
) + ∆a(<br />
∆t<br />
).<br />
СБ макс<br />
СБ опт<br />
СБ макс<br />
( ∆t<br />
);<br />
( ∆t<br />
);<br />
(2)<br />
На основании приведенного уравнения<br />
параболы определяется выражение для приращения<br />
выходного сигнала при допущении,<br />
что характеристика дрейфует с малым искажением<br />
формы, т.е. а(t)>>∆a(t):<br />
∆ Р СБ<br />
=Р СБ<br />
(U СБ<br />
;t)- Р СБ<br />
(U СБ<br />
-∆U СБ<br />
; t-∆t),<br />
или<br />
Требуемое значение шага ∆U ст<br />
, обеспечивающее<br />
устойчивую работу системы, зависит<br />
от положения рабочей точки на исходной<br />
характеристике (рис. 4). Так, например, изза<br />
нелинейности ВВХ вблизи экстремума при<br />
шаге ∆ U′<br />
ст<br />
изменение мощности равно нулю,<br />
если рабочая точка находилась в точке А, и<br />
принимает отрицательное значение, если рабочая<br />
точка находилась в точке Б. Следовательно,<br />
для выполнения условия: ∆Р СБ<br />
≥0<br />
независимо от положения рабочей точки на<br />
исходной ВВХ должно быть:<br />
∆ U ≥ U .<br />
Если рабочая точка при очередном шаговом<br />
изменении попадает в точку экстремума,<br />
то<br />
ст<br />
ББ"<br />
[ ∆U<br />
− ∆U<br />
( t ] 2<br />
∆ РСБ = ∆РСБ макс(<br />
∆t<br />
) − a( t )<br />
ст СБ опт<br />
) .<br />
(5)<br />
Принимая ∆Р СБ<br />
=0, получаем уравнение,<br />
определяющее зависимость ∆U ст<br />
от длительности<br />
шага системы ∆t и параметра а(t), характеризующего<br />
форму ВВХ:<br />
a( t ) ∆U<br />
+ a( t )V<br />
2<br />
ст<br />
2<br />
U СБ<br />
− 2a( t )V<br />
∆t<br />
2<br />
−V<br />
U CБ<br />
Р СБ<br />
∆t∆U<br />
∆t<br />
= 0,<br />
ст<br />
+<br />
(6)<br />
где V U СБ<br />
и V Р СБ<br />
– соответственно скорости<br />
изменения оптимального напряжения и максимальной<br />
мощности СБ при дрейфе ВАХ,<br />
ВВХ.<br />
∆ РСБ = 2a(t)<br />
∆U<br />
ст[ UСБ<br />
−UСБ<br />
опт(t<br />
)]−<br />
− 2а(t)<br />
∆U<br />
( ∆t )U [ −U<br />
(t)]−<br />
−a(t )<br />
СБопт<br />
СБ<br />
СБопт<br />
2<br />
[ ∆U<br />
−∆U<br />
( ∆t )] +∆Р<br />
( ∆t<br />
).<br />
(3)<br />
ст СБопт<br />
СБмакс<br />
При заданных условиях дрейфа<br />
(∆U СБопт<br />
(∆t); ∆Р СБмакс<br />
(∆t)) можно определить<br />
соотношение длительностей шагов и значений<br />
единичного изменения ∆U ст<br />
, обеспечивающее<br />
устойчивую работу шаговой экстремальной<br />
системы. Диапазон возможных значений<br />
параметра а(t) находится при условии:<br />
Р СБ<br />
(U СБ<br />
, t)=0 и изменении U СБ<br />
от U хх<br />
до<br />
2U СБ опт<br />
:<br />
a( t )<br />
СБ макс<br />
= . (4)<br />
[ U −U<br />
( t )] 2<br />
СБ<br />
Р<br />
( t )<br />
СБ опт<br />
Рис. 4. Диаграммы дрейфа ВВХ СБ<br />
126
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Данное уравнение имеет два решения,<br />
которые соответствуют положительному и<br />
отрицательному шаговому изменению U СБ<br />
(отрезки Б ′ , Б′<br />
и Б′<br />
, Б на рис. 4). На рис. 5<br />
приведены зависимости ∆U ст<br />
=f(a) для различных<br />
значений ∆t. При анализе использовались<br />
максимальные параметры дрейфа реальных<br />
СБ низкоорбитальных КА (V U СБ<br />
≈0,12 В/с;<br />
V Р СБ<br />
≈6 Вт/с). Из анализа зависимости<br />
∆U ст<br />
=f(a) при различных ∆t следует, что частота<br />
ЭШР реальной СЭС с шагом ∆U ст<br />
=2 В,<br />
имеющей малые потери энергии на поиск<br />
экстремума (Р п<br />
< 2 % ∆Р СБ макс<br />
), должна быть<br />
не менее 1 Гц.<br />
Рис. 5. Зависимости изменения ∆U ст<br />
от параметра<br />
∆t для различной длительности шага системы<br />
Таким образом, предлагается следующая<br />
методика определения характеристик<br />
систем автоматической оптимизации мощности<br />
СБ шагового типа:<br />
а) определение значения шагового изменения<br />
напряжения СБ ∆U ст<br />
, обеспечиваю-<br />
щего требуемую точность при статической<br />
ВВХ;<br />
б) вычисление требуемого быстродействия<br />
(времени шагового изменения U СБ<br />
), гарантирующего<br />
устойчивость системы при<br />
реальных параметрах дрейфующей ВВХ;<br />
в) определение минимального изменения<br />
Р СБ мин<br />
при статической ВВХ и расчет параметров<br />
шагового экстремального регулятора,<br />
обеспечивающего устойчивый поиск максимума<br />
мощности СБ.<br />
Известны и нашли широкое применение<br />
в СЭС российских автоматических КА<br />
цифровые и аналого-цифровые экстремальные<br />
шаговые регуляторы.<br />
На рис. 6 приведена структурно-функциональная<br />
схема ЭРМ в аналого-цифровом<br />
исполнении, впервые примененная и испытанная<br />
в СЭС КА «Фобос-2» [4].<br />
Датчик мощности выполнен на операционных<br />
усилителях. Масштабные значения<br />
напряжения и тока СБ логарифмируются,<br />
складываются, после чего проводится операция<br />
антилогарифмирования. Полученное значение<br />
напряжения, пропорциональное мощности<br />
СБ, поступает на компаратор К и через<br />
ключ КТ1, управляемый сигналом с выхода<br />
1 счетчика-распределителя СТ1, - на<br />
емкостный накопитель С. После появления<br />
сигнала на выходе 3 счетчика СТ1 изменяется<br />
код на выходе реверсивного счетчика СТ2.<br />
Выходной код счетчика СТ2 управляет ключами<br />
КТ2-КТ5, которые при коммутации изменяют<br />
коэффициент передачи делителя на<br />
Рис. 6. Структурно-функциональная схема аналого-цифрового ЭРМ<br />
127
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
резисторах R1-R5, а следовательно, и выходное<br />
напряжение ШИМ ЗУ, определяющее<br />
положение рабочей точки на ВАХ СБ. В случае,<br />
если после смещения рабочей точки значение<br />
мощности СБ уменьшается, на выходе<br />
компаратора К появляется положительное<br />
напряжение, и импульс с выхода 5 счетчика<br />
СТ1, поступающий на тактовый вход триггера<br />
Т, изменяет полярность напряжения на<br />
его выходе. При этом изменяется направление<br />
счета счетчика СТ2. В дальнейшем процесс<br />
повторяется.<br />
Данная схема, обладая невысокой точностью<br />
определения U СБопт<br />
из-за наличия аналоговых<br />
устройств, параметры которых в значительной<br />
степени зависят от условий эксплуатации,<br />
позволяет обеспечить высокую<br />
надежность работы ЭРМ ввиду простоты и<br />
малого количества элементов, подверженных<br />
сбою при возможных электромагнитных помехах<br />
и просадках напряжения.<br />
Дальнейшее развитие и совершенствование<br />
систем экстремального регулирования<br />
мощности СБ было связано с разработкой<br />
различных вариантов построения цифровых<br />
экстремальных шаговых регуляторов (ЭШР)<br />
[4, 6].<br />
На рис. 7 приведена структурно-функциональная<br />
схема цифрового ЭРМ. В нем<br />
датчик мощности выполнен на базе цифроаналогового<br />
перемножителя. Напряжение,<br />
пропорциональное току СБ, с измерительного<br />
шунта поступает на масштабирующий усилитель<br />
У, после чего преобразуется в восьмиразрядный<br />
двоичный код аналого-цифровым<br />
преобразователем АЦП. Код с АЦП и<br />
текущее значение напряжения СБ являются<br />
входными сигналами цифрового перемножителя,<br />
на выходе которого формируется цифровой<br />
код, соответствующий значению мощности,<br />
потребляемой от СБ в данный момент.<br />
По тактовому импульсу со счетчикараспределителя<br />
этот код «запоминается» в<br />
регистрах РГ1 и РГ2. После изменения положения<br />
рабочей точки цифровой код, соответствующий<br />
новому значению мощности<br />
СБ, записывается в регистр РГ1 и сравнивается<br />
с предыдущим, хранящимся в регистре<br />
РГ2, с помощью цифрового компаратора ЦК.<br />
Появление на выходе А
Авиационная и ракетно-космическая техника<br />
Список литературы<br />
1. Шиняков Ю. А. Эффективность использования<br />
солнечных батарей в автономных<br />
системах электроснабжения // Проблемы<br />
комплексного проектирования и испытаний<br />
энергетических устройств космических аппаратов.<br />
- Куйбышев, 1986. Вып. 3. - С. 58-59.<br />
2. Чернышев А. И. Шиняков Ю. А., Гордеев<br />
К. Г. Экстремальный регулятор мощности<br />
для автономных систем электроснабжения<br />
/ Материалы VIII Всесоюзн. конф. по космической<br />
технике. - Куйбышев, 1983. - С.45-<br />
52.<br />
3. Пат. РФ № 2101831, МКИ 6 H 02 J 7/35.<br />
Система электропитания с экстремальным<br />
регулированием мощности фотоэлектрической<br />
батареи/ К. Г. Гордеев, С. П. Черданцев,<br />
Ю. А. Шиняков // Изобретения. 1998. №1.<br />
4. Варианты построения экстремальных<br />
шаговых регуляторов мощности солнечных<br />
батарей / Шиняков Ю. А., Гордеев К. Г., Черданцев<br />
С. П., Обрусник П. В. // Труды ВНИ-<br />
ИЭМ. Электромеханические устройства космических<br />
аппаратов. - М., 1997. Т.97. - С.83-<br />
92.<br />
5. Привалов В. Д., Никифоров В. Е.<br />
Оценка эффективности применения экстремального<br />
регулятора в автономных СЭП. –<br />
Куйбышев: КПИ, 1981.<br />
6. Экстремальный регулятор мощности<br />
солнечных батареей с двойным цифровым<br />
интегрированием / Гордеев К. Г., Поляков С. А.,<br />
Обрусник П. В., Шпаковская Г. К. // Электронные<br />
и электромеханические системы и<br />
устройства: Сб. науч. трудов НПЦ «Полюс».<br />
- Томск, 2001. - С. 74-77.<br />
EXTREMAL REGULATION OF AUTOMATIC SPACE VEHICLE<br />
SOLAR BATTERY POWER<br />
© 2007 Yu. A. Shinyakov<br />
Tomsk University of Control Systems and Radioelectronics<br />
The paper presents structural functional schemes of electric supplies for automatic space vehicles with digital<br />
and analogue-digital extremal regulators of solar battery power. A procedure for defining parameters of step automatic<br />
optimization systems is proposed.<br />
129
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 621.38<br />
РАЗРАБОТКА БАЗОВОГО АЛГОРИТМА ПОДСИСТЕМЫ КОРРЕКЦИИ<br />
ПО ГЕОФИЗИЧЕСКИМ ПОЛЯМ<br />
© 2007 В. М. Антимиров<br />
Воронежская государственная лесотехническая академия<br />
Рассматриваются особенности построения алгоритмической основы рельефометрической корреляционно-экстремальной<br />
навигационной системы (КЭНС).<br />
1. Описание облика системы<br />
коррекции и условий работы<br />
Ошибки системы управления (СУ), определяющие<br />
отклонение точки падения от<br />
точки прицеливания, приближенно можно<br />
выразить следующими формулами [1]:<br />
∆x<br />
=<br />
Σ<br />
∆z<br />
=<br />
Σ<br />
2<br />
2 2<br />
2 2<br />
{ ∆x<br />
+ ( ∆V<br />
x⋅toct) + ( h⋅α) + ( ∆h<br />
+∆V<br />
y⋅toct)<br />
/tgθ<br />
) +∆x<br />
}<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
{ ∆z<br />
+ ( ∆V<br />
⋅t<br />
) +∆z<br />
} +∆z<br />
+∆z<br />
.<br />
z<br />
oct<br />
ТП кэнс<br />
инс<br />
су<br />
ТП кэнс<br />
2 2<br />
+∆х<br />
+∆х<br />
;<br />
инс<br />
су<br />
(1)<br />
Здесь ∆ x , ∆ z , ∆ h - ошибки подсистемы<br />
инерциального управления (ПИУ) по плановым<br />
координатам и высоте, корректируемые<br />
в результате работы КЭНС; ∆ Vx<br />
, ∆ Vy<br />
, ∆ Vz<br />
-<br />
ошибки ПИУ по скорости, корректируемые<br />
в результате работы корреляционно-экстремальной<br />
навигационной системы (КЭНС);<br />
t<br />
oct<br />
- время движения от точки привязки (середина<br />
участка коррекции) до точки падения;<br />
α , γ - угловые ошибки приборного базиса<br />
ПИУ относительно системы координат участка<br />
коррекции; h - средняя высота полета<br />
над участком коррекции; ∆ xТП<br />
, ∆ zТП<br />
- ошибки<br />
привязки точки прицеливания к участку<br />
коррекции, выполняемой по космическим<br />
фотоснимкам;<br />
∆ xинс<br />
, zинс<br />
∆ - ошибки ПИУ по<br />
координатам, накопившиеся после проведения<br />
коррекции;<br />
∆ xсу<br />
, zсу<br />
∆ - динамические<br />
ошибки системы наведения и стабилизации<br />
при отработке выявленного промаха; θ - угол<br />
наклона траектории в точке падения.<br />
Ошибки ∆ x Σ , ∆ z Σ являются случайными<br />
величинами, распределенными по нормальному<br />
закону. Математические ожидания<br />
130<br />
∆xΣ,<br />
∆ z определяют положение средней точки<br />
попадания (СТП) относительно точки<br />
Σ<br />
прицеливания.<br />
СКО σ∆xΣ,<br />
σ∆ z характеризуют<br />
Σ<br />
рассеивание точек падения относительно<br />
СТП или кучность. Для СУ, оснащенной системой<br />
коррекции по геофизическим полям,<br />
СТП всегда совпадает с точкой прицеливания,<br />
то есть отсутствуют систематические<br />
ошибки. Если не выполнять операцию привязки<br />
точки прицеливания к участку коррекции<br />
по космическим фотоснимкам, то в<br />
ошибках ∆ xТП<br />
, ∆ zТП<br />
появляется систематическая<br />
составляющая и СТП уже не будет совпадать<br />
с точкой прицеливания. Выражение<br />
(1) определяет общий баланс ошибок СУ и в<br />
дальнейшем используется как для СУ с системой<br />
коррекции, так и без нее. Выражение<br />
в фигурных скобках описывает ошибки СУ,<br />
на которые система коррекции оказывает влияние<br />
Для выбора алгоритма корреляционноэкстремальной<br />
обработки (КЭО), его параметров,<br />
логики измерений и профиля траектории<br />
необходимо определить критерий эффективности,<br />
позволяющий сравнивать альтернативные<br />
варианты [1, 2].<br />
Критерий эффективности - это скалярная<br />
количественная мера степени соответствия<br />
системы ее назначению. Назначением<br />
системы является поражение объекта или его<br />
жизненно важных точек, поэтому общим критерием<br />
эффективности является вероятность<br />
поражения. Если аппроксимировать координатный<br />
закон поражения симметричной<br />
гауссоидой<br />
2<br />
1 r<br />
− ⎜ ⎟<br />
2 ⎜ R ⎟<br />
⎝ p ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
Gr () = e , (2)
Технические науки<br />
где R<br />
p - параметр координатного закона поражения<br />
называемый радиусом поражения;<br />
r - расстояние от точки падения до точки прицеливания,<br />
то вероятность поражения представляется<br />
выражением вида<br />
P=<br />
1<br />
. (3)<br />
2 2<br />
⎛ ⎛σ<br />
x ⎞ ⎞⎛ ⎛<br />
Σ<br />
σ z ⎞ ⎞<br />
⎜<br />
∆<br />
∆<br />
Σ<br />
1+ ⎟⎜ ⋅ 1+<br />
⎟<br />
⎜ ⎜ R ⎟ ⎜<br />
p ⎟⎜ R ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ p ⎠ ⎟<br />
⎝ ⎠⎝ ⎠<br />
Точность СУ обычно характеризуется<br />
одним числом вида<br />
σ∆<br />
x + σ∆z<br />
= . (4)<br />
2<br />
Σ Σ<br />
σΣ<br />
p<br />
σ Σ<br />
Если в (3) положить R = 3 , то вероятность<br />
поражения будет равна 0,9 при условии<br />
σ∆ x = σ∆ z . Вероятность попадания в<br />
Σ<br />
Σ<br />
круг радиуса R<br />
p<br />
при том же условии равна<br />
0,98889. Таким образом, выражения (3) и (4)<br />
связаны друг с другом и определяют один и<br />
тот же критерий и их можно трактовать как<br />
сворачивание параметров (1), характеризующих<br />
точность СУ, в скалярный критерий.<br />
Выражение (4) - это частный критерий, удобный<br />
для анализа КЭНС. Он основан на общем<br />
критерии (3), применяемым, исходя из<br />
назначения системы.<br />
Как указывалось выше, эффективность<br />
СУ без коррекции можно характеризовать<br />
теми же выражениями (1), (3), (4). При этом<br />
в (1) α и γ полагаются равными нулю, а в<br />
ошибках ∆ x ,<br />
ТП<br />
∆ z появляется систематическая<br />
составляющая, которая выносится из-<br />
ТП<br />
под знака корня.<br />
Работа системы коррекции сводится к<br />
оценке ошибок ПИУ по измерениям геофизического<br />
поля (ГФП). В общем случае вектор<br />
оцениваемых параметров ПИУ имеет вид<br />
[ ∆x,<br />
∆y,<br />
∆z,<br />
∆v<br />
, ∆v<br />
, ∆ , α,<br />
β , γ , ω , ω , ω , ∆a<br />
, ∆a<br />
, ∆a<br />
] T<br />
.<br />
r<br />
x = v<br />
x<br />
y<br />
z<br />
α<br />
β<br />
γ<br />
ζ<br />
η<br />
ξ<br />
(5)<br />
где ∆x, ∆y,<br />
∆ z - ошибки ПИУ по координатам;<br />
∆v, x<br />
∆v, y<br />
∆ vz<br />
- ошибки ПИУ по скоростям;<br />
α, β,<br />
γ - ошибки ПИУ по угловому положению;<br />
ωα, ωβ,<br />
ω<br />
γ - дрейф инерциального<br />
базиса; ∆a , ∆a , ∆ a - ошибки акселеро-<br />
ς η ξ<br />
метров.<br />
Идеальная система коррекции должна<br />
оценивать весь вектор состояния ПИУ по<br />
измерениям ГФП, а также ошибки привязки<br />
лучей радиолокатора рельефометрической<br />
системы (РРС) к осям ПИУ. Для реальных<br />
систем состав оцениваемых параметров ПИУ<br />
определяется на начальном этапе проектирования<br />
в зависимости от их вклада в общий<br />
баланс ошибок (1) и является важнейшей частью<br />
задачи выбора или разработки алгоритма<br />
КЭО и облика КЭНС.<br />
Точность СУ с коррекцией по ГФП, заданная<br />
выражением (4), определяющим образом<br />
зависит от высоты и длины участка<br />
коррекции. Для баллистического аппарата,<br />
движущегося в атмосфере, высота и длина<br />
участка коррекции - взаимосвязанные параметры:<br />
с уменьшением высоты уменьшается<br />
и длина участка коррекции. Поскольку при<br />
этом увеличивается разрешение РРС, то существует<br />
оптимальная высота участка, при<br />
которой ошибка СУ (4) становится минимальной.<br />
Важным фактором является также<br />
и точность выхода на заданную высоту в начале<br />
участка коррекции.<br />
Можно сказать, что точность СУ (4)<br />
повышается прямо пропорционально объему<br />
информации, содержащемуся в массиве измерений<br />
РРС. Этот объем главным образом<br />
зависит от длины участка коррекции и разрешения<br />
РРС, определяемого диаметром пятна<br />
засветки. Число лучей РРС влияет на<br />
объем информации только в том случае, если<br />
расстояние между центрами пятен засветки<br />
боковых лучей больше радиуса корреляции<br />
рельефа, сглаженного пятном засветки. Однако<br />
при увеличении угла раствора крайних<br />
боковых лучей уменьшается разрешение в<br />
боковом направлении и увеличивается флуктуационная<br />
ошибка РРС и ошибка смещения.<br />
Поэтому он ограничен величиной 10-12 градусов.<br />
Возможно, разрешение РРС в боковом<br />
направлении можно улучшить, если использовать<br />
не всю ширину отраженного сигнала,<br />
а только его центральную часть. Но это требует<br />
проведения оценочных расчетов.<br />
131
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Поскольку точность выхода в начало<br />
участка коррекции по высоте имеет большое<br />
значение, в том числе и как фактор, увеличивающий<br />
длину участка, то в логику измерений<br />
целесообразно ввести участок предварительного<br />
измерения высоты еще в достаточно<br />
плотной плазме. В этом случае момент<br />
включения РРС на излучение необходимо<br />
формировать по достижению заданной скорости.<br />
Для максимального использования<br />
потенциала РРС на этом участке передатчик<br />
должен работать на один центральный луч, а<br />
количество накапливаемых в процессе обработки<br />
импульсов необходимо увеличить.<br />
Этот дополнительный участок позволит существенно<br />
повысить точность выхода по<br />
высоте на начало основного участка. Кроме<br />
того, эти дополнительные измерения можно<br />
использовать для повышения точности коррекции<br />
на основном участке, если их ввести<br />
в решающую функцию с соответствующими<br />
весами, вид которых уточняется в дальнейшем:<br />
g<br />
k<br />
=<br />
u<br />
/ σ<br />
s<br />
µ k ε<br />
( d ) 2<br />
µ k<br />
⋅θ0,5<br />
, (6)<br />
где k – номер измерения (дискретное время);<br />
µ - номер луча;<br />
s<br />
u µ k - энергия принятого сигнала<br />
µ -го луча в момент k (яркость);<br />
σ<br />
ε<br />
-<br />
СКО шума; d µ k<br />
- измеренная дальность до<br />
подстилающей поверхности вдоль µ -го луча<br />
в момент k; θ<br />
0,5 - ширина диаграммы направленности<br />
антенны (ДНА) по уровню половинной<br />
мощности.<br />
После основного участка коррекции<br />
РРС можно также не отключать и работать<br />
на один центральный луч и на участке пикирования.<br />
Если на конечном участке летательный<br />
аппарат (ЛА) интенсивно маневрирует<br />
по крену, то используются измерения луча,<br />
который ближе всех к вертикали. Эти дополнительные<br />
измерения так же, как и на предварительном<br />
участке, возможно, позволят<br />
повысить конечную точность как за счет увеличения<br />
объема информации, так и за счет<br />
уменьшения оставшегося времени t oct<br />
в (1).<br />
Эффективность использования конечного<br />
участка для повышения точности оценивается<br />
на математической модели системы коррекции.<br />
Таким образом, в логику измерений целесообразно<br />
ввести три участка и с учетом<br />
этого выбрать оптимальный профиль траектории,<br />
то есть высоту начала участка коррекции,<br />
его длину и угол наклона траектории.<br />
В конечную точность (4) вносит свой<br />
вклад не только собственно алгоритм КЭО,<br />
но и профиль траектории, логика измерений<br />
и способ обработки сигнала РРС. Поэтому<br />
необходим системный подход к выбору облика<br />
системы коррекции и ее параметров.<br />
Выбор облика системы должен начинаться<br />
с анализа общего баланса ошибок (1) и чувствительности<br />
каждой составляющей к тому<br />
или иному техническому решению. Идеальным<br />
средством для такого системного проектирования<br />
является имитационная математическая<br />
модель системы коррекции, в которую<br />
входит подробная модель РРС, модель<br />
ГФП, бесплатформенной инерциальной навигационной<br />
системы (БИНС) и модель движения<br />
ЛА. Испытания на летающей лаборатории<br />
используются для подтверждения правильности<br />
принятых технических решений<br />
и идентификации некоторых трудно формализуемых<br />
параметров математической модели.<br />
Степень совпадения точности системы<br />
коррекции, полученной на летных испытаниях,<br />
с данными математической модели является<br />
критерием ее адекватности.<br />
2. Обзор известных алгоритмов<br />
Все алгоритмы КЭО можно разделить<br />
на две большие группы: поисковые и беспоисковые<br />
[3-7]. Основу беспоисковых алгоритмов<br />
составляет обобщенный фильтр Калмана<br />
(ОФК), позволяющий непрерывно оценивать<br />
весь вектор параметров ПИУ, заданный<br />
выражением (5). Принято считать [4-7], что<br />
фильтр Калмана является оптимальным в том<br />
смысле, что не существует другого алгоритма,<br />
обеспечивающего более высокую точность<br />
по критерию (4). Недостатком этого<br />
алгоритма является то, что начальная зона<br />
неопределенности по положению должна<br />
быть небольшой, меньше радиуса корреляции<br />
рельефа. Это условие для реальных СУ<br />
132
Технические науки<br />
с ПИУ, и особенно с БИНС, никогда не выполняется.<br />
Поэтому на первом этапе работы<br />
системы коррекции может быть использован<br />
только поисковый алгоритм, основанный на<br />
переборе гипотез в пространстве оцениваемых<br />
параметров ПИУ (4). Для каждой гипотезы<br />
вычисляется значение решающей функции,<br />
являющейся мерой близости от данной<br />
гипотезы до истинной, для которой решающая<br />
функция принимает экстремальное значение.<br />
Очевидно, что сплошной перебор гипотез<br />
во всем пространстве параметров ПИУ<br />
принципиально невозможен в силу «проклятия<br />
размерности», и развитие вычислительной<br />
техники вряд ли изменит это положение<br />
даже в отдаленной перспективе. Попытка<br />
обойти эту трудность путем использования<br />
методов математического программирования<br />
для поиска глобального экстремума решающей<br />
функции наталкивается на проблему сходимости<br />
метода [3].<br />
Разработчики первых систем коррекции<br />
решали проблему размерности путем сведения<br />
многомерного перебора к двумерному<br />
перебору гипотез только по плановым координатам.<br />
Для систем коррекции с многолучевым<br />
радиовысотомером перебор по вертикальной<br />
координате устранялся введением<br />
небольшого предварительного участка измерения<br />
высоты. Кроме того, выделение из измеренного<br />
профиля рельефа линейного тренда<br />
позволяет достаточно точно оценить параметры<br />
∆ y и<br />
∆ vy<br />
из (5).<br />
Измеренные профили рельефа вдоль<br />
трасс центров пятен засветки рассматриваются<br />
как измеренная текущая карта местности<br />
(ТКМ). При двумерном переборе гипотез<br />
влияние неоцениваемых параметров ПИУ<br />
из (5) сводится к искажениям ТКМ, главные<br />
из которых – поворот ТКМ, вызванный ошибкой<br />
∆ v , и искажение масштаба, вызванное<br />
z<br />
ошибкой ∆ vx<br />
. Большие величины этих искажений<br />
при коротких малоинформативных<br />
участках коррекции приводят к захвату боковых<br />
лепестков решающей функции (ложных<br />
экстремумов) и ставят проблему надежности<br />
привязки наряду с точностью. Эта проблема<br />
решалась ужесточением требований к<br />
ПИУ по всем неоцениваемым параметрам.<br />
Точные платформенные ПИУ этим требованиям<br />
всегда удовлетворяли. Ясно также, что<br />
неоцениваемые параметры ПИУ всегда ухудшают<br />
конечную точность (4) поисковых алгоритмов<br />
как по причине их прямого влияния<br />
(1), так и по причине уменьшения крутизны<br />
главного лепестка решающей функции<br />
в области экстремума.<br />
Повышение точности поисковых алгоритмов<br />
за счет расширения пространства перебора<br />
было невозможно из-за крайне ограниченных<br />
возможностей специализированного<br />
вычислительного устройства (СВУ) системы<br />
коррекции. В такой ситуации усилия<br />
проектировщиков КЭНС были направлены<br />
на разработку алгоритмов, устойчивых к масштабным<br />
и угловым искажениям. Достаточно<br />
полный обзор этих методов изложен в [10].<br />
Но уже был очевиден путь значительного<br />
повышения точности системы коррекции и<br />
доведения ее до потенциально возможного<br />
уровня за счет использования многоэтапных<br />
комбинированных алгоритмов [1, 6] и извлечения<br />
дополнительной информации из сигнала<br />
некогерентного многолучевого радиовысотомера.<br />
На первом этапе используется поисковый<br />
алгоритм со сплошным перебором гипотез<br />
с крупным шагом по плановым координатам<br />
и, если позволяет вычислительное устройство,<br />
то и по скорости. Первый этап заканчивается<br />
выдачей в центральный вычислитель<br />
СУ грубой поправки, которая сразу же<br />
отрабатывается. На втором этапе предпочтительно<br />
должен использоваться беспоисковый<br />
алгоритм на основе обобщенного фильтра<br />
Калмана как имеющий наивысшую достижимую<br />
точность. Возможно построение многоэтапного<br />
алгоритма, у которого на втором<br />
этапе используется тот же поисковый алгоритм,<br />
что и на первом этапе, но с уменьшенным<br />
шагом перебора гипотез. Такой способ<br />
построения многоэтапных алгоритмов рассматривался<br />
в НПОА в конце восьмидесятых<br />
годов как дальнейшее развитие системы коррекции.<br />
Нынешний этап развития СУ ЛА характеризуется<br />
всеобщей тенденцией использования<br />
малогабаритных БИНС вместо платформенных<br />
инерциальных систем (ИНС).<br />
133
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
При этом обязательным требованием является<br />
комплексирование БИНС с какой-нибудь<br />
системой коррекции (чаще всего с СНС) на<br />
основе ОФК. Но точность БИНС по всем параметрам<br />
(5) на порядок и более хуже, чем у<br />
платформенных ИНС. Поэтому необходимо<br />
практически заново провести весь объем расчетно-теоретических<br />
работ по исследованию<br />
алгоритмов КЭО и достижимой точности для<br />
СУ на основе БИНС и РРС.<br />
Дополнительная информация, которую<br />
можно извлечь из сигнала РРС, не изменяя<br />
ее конструкции, – это уровень отраженного<br />
сигнала (радиояркость), доплеровский сдвиг<br />
частоты и спектр огибающей. Использование<br />
доплеровскго сдвига частоты для оценки<br />
ошибок БИНС по скорости может быть весьма<br />
полезным, но требует проведения расчетно-теоретических<br />
работ для оценки его эффективности.<br />
Доплеровский сдвиг, возможно,<br />
может быть использован и для алгоритмического<br />
повышения разрешения РРС [8, 9],<br />
что позволит существенно увеличить объем<br />
информации в измеренной ТКМ. Это также<br />
требует проведения большого объема расчетно-теоретических<br />
работ.<br />
Извлечение таких параметров, как радиояркость<br />
и спектр огибающей, в принципе<br />
ставит вопрос о возможности использования<br />
дополнительного ГФП – поля радиояркостных<br />
контрастов земных покровов. В<br />
силу сезонно-погодной изменчивости радиояркостного<br />
поля вся необходимая информация<br />
содержится только в границах, разделяющих<br />
однородные контрастные зоны. Был<br />
разработан алгоритм навигации по границам<br />
радиояркостных контрастов и комплексирования<br />
этих данных с данными рельефометрического<br />
канала КЭНС. Его эффективность<br />
проверялась в самолетных испытаниях по г-<br />
раницам перепадов высот зданий городской<br />
застройки при полете на небольшой высоте.<br />
Однако для обнаружения момента пересечения<br />
радиояркостной границы таких<br />
объектов, как дороги и реки, требуется очень<br />
высокое разрешение РРС и большая частота<br />
выдачи данных при достаточно большой высоте<br />
полета. Обеспечение этих условий –<br />
крайне трудоемкая задача. В любом случае<br />
оценка эффективности использования радиояркостного<br />
поля требует проведения весьма<br />
значительного объема не только расчетнотеоретических<br />
работ, но и экспериментов на<br />
летающей лаборатории.<br />
Радиояркость, извлекаемая из сигнала<br />
РРС, может оказаться полезной и для рельефометрической<br />
КЭНС. Измерения дальности<br />
до подстилающей поверхности имеют разную<br />
точность в различных точках траектории<br />
и для различных лучей. Точность измерения<br />
дальности зависит от отношения сигнал-шум,<br />
а сигнал - это радиояркость. Следовательно,<br />
измеряя радиояркость, можно<br />
каждому измерению присвоить вес, пропорциональный<br />
яркости. Кроме того, одна из<br />
составляющих ошибки смещения РРС зависит<br />
от типа подстилающей поверхности, а<br />
следовательно, и от яркости, что можно учитывать<br />
в алгоритме КЭО для повышения его<br />
точности.<br />
3. Разработка базового<br />
поискового алгоритма КЭО<br />
Рельефометрическая КЭНС работает на<br />
основе сравнения измеренного профиля рельефа<br />
с эталонными профилями, вычисляемыми<br />
по эталонной карте местности (ЭКМ).<br />
Измеренная высота рельефа и координаты<br />
точки пересечения осей ДНА с земной поверхностью<br />
по данным БИНС в к-ый момент<br />
времени для середины временного интервала<br />
накопления отраженных импульсов вычисляются<br />
по формулам:<br />
( )<br />
uz<br />
hµκ = yκ + dµκ ⋅e<br />
µκ<br />
2 ;<br />
()<br />
uz<br />
xµκ = xκ + dµκ ⋅e<br />
µκ<br />
1 ;<br />
( )<br />
3 ;<br />
uz<br />
zµκ = zκ + dµκ ⋅e<br />
µκ<br />
r<br />
r<br />
r<br />
(7)<br />
где x κ<br />
, y κ<br />
, z κ<br />
- положение центра масс ЛА в<br />
системе координат ЭКМ; d µκ - дальность до<br />
подстилающей поверхности, измеренная лучом<br />
с номером µ ; e µκ - орт луча µ в<br />
r<br />
системе<br />
координат (СК) ЭКМ в момент k;<br />
uz<br />
x µκ ,<br />
uz<br />
z µκ - координаты точки пересечения луча µ<br />
в СК ЭКМ; - измеренная высота рельефа для<br />
луча µ .<br />
134
Технические науки<br />
Относительно точки x , z строится<br />
двухмерная сетка гипотез о положении центра<br />
масс ЛА с шагом перебора гипотез ∆ .<br />
Предполагается, что ошибка ИНС по<br />
высоте частично скомпенсирована на предварительном<br />
участке коррекции, и поэтому<br />
гипотезы по высоте не строятся.<br />
Для каждой гипотезы в узлах сетки вычисляется<br />
эталонная высота<br />
решающая функция вида<br />
µ m k= 1 µ = 1 i=<br />
1,<br />
j=<br />
1<br />
k<br />
k<br />
эt<br />
h µ kij из ЭКМ и<br />
N µ mim,<br />
jm<br />
1<br />
2<br />
uz uz эt<br />
Fij<br />
= ∑∑∑ ( hµκ −hµκ −hµ<br />
kij ) , (8)<br />
N⋅ где N - количество измерений; µm - число лучей;<br />
k - номер текущего измерения(дискретное<br />
время); i, j - номера узлов гипотезной<br />
сетки; im, jm - размер гипотезной сетки;<br />
uz<br />
hµκ aµ bµ<br />
k<br />
= + ⋅ - среднее значение в измеренном<br />
профиле рельефа.<br />
Здесь среднее значение - это линейный<br />
тренд измеренного профиля. Коэффициенты<br />
a µ , b µ вычисляются рекуррентным методом<br />
наименьших квадратов и представляют собой<br />
линейные составляющие суммарной ошибки<br />
БИНС и РРС.<br />
При такой записи решающей функции<br />
предполагается, что линейный тренд выделен<br />
и в ЭКМ, в противном случае линейный<br />
тренд выделяется из разности измеренного<br />
и эталонного профиля. В таком представлении<br />
измеренный и эталонный профили рельефа<br />
рассматриваются как центрированные<br />
псевдослучайные процессы.<br />
Для истинного местоположения решающая<br />
функция (8) принимает минимальное<br />
значение. Поскольку истинное значение минимума<br />
находится между узлами гипотезной<br />
сетки, то в окрестности минимальной гипотезы<br />
решающая функция аппроксимируется<br />
поверхностью второго порядка методом наименьших<br />
квадратов и точка ее минимума принимается<br />
за оценку местоположения. Можно<br />
также в окрестности минимальной гипотезы<br />
вычислять центр тяжести решающей<br />
функции. Процедура уточнения координат по<br />
центру тяжести, известная как алгоритм центроиды,<br />
широко применяется в оптических<br />
системах обнаружения и измерения координат<br />
точечных объектов. Поправки к показаниям<br />
ИНС<br />
∆ v вычисляются по фор-<br />
y<br />
мулам<br />
1<br />
∆y<br />
=<br />
µ m<br />
∆V<br />
y<br />
1<br />
=<br />
µ m<br />
µ m<br />
∑<br />
µ = 1<br />
∆ y и<br />
a<br />
µ m<br />
∑<br />
µ = 1<br />
µ<br />
b<br />
;<br />
µ<br />
.<br />
(9)<br />
Рассмотренный базовый алгоритм<br />
очень близок к классическому корреляционному<br />
алгоритму с центрированием и нормированием.<br />
Из теории статистических решений<br />
[3-5] следует, что этот алгоритм является оптимальным<br />
для некоторых специфических<br />
условий, а именно: ИНС имеет ошибки только<br />
по положению, все остальные ошибки в<br />
(5) отсутствуют; гипотезы равновероятны;<br />
ошибки измерений радиовысотомера и ЭКМ<br />
являются флуктуационными, стационарными,<br />
некоррелированными; нет ошибок смещения,<br />
зависящих от рельефа и типов земных<br />
покровов; все измерения равноточные.<br />
Очевидно, что для любой реальной системы<br />
коррекции эти условия никогда не выполняются<br />
и, следовательно, алгоритм (8) не является<br />
оптимальным, то есть не обеспечивает<br />
предельно достижимую точность в смысле<br />
(4) при имеющемся объеме информации в<br />
измерениях радиовысотомера.<br />
Как указывалось выше, предельно достижимую<br />
точность обеспечивает только двухэтапный<br />
алгоритм, на втором этапе которого<br />
используется беспоисковый алгоритм на<br />
основе ОФК. Поэтому назначением поискового<br />
алгоритма является обеспечение условий<br />
работы ОФК второго этапа. Исходя из<br />
этого, и должны быть сформулированы требования<br />
к поисковому алгоритму первого этапа<br />
как к алгоритму предварительной коррекции.<br />
Несмотря на то, что эвристический алгоритм<br />
(8) является предварительным, он<br />
может и должен быть улучшен. Это необходимо<br />
главным образом для предельного<br />
уменьшения длительности первого этапа с<br />
135
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
тем, чтобы как можно раньше перейти ко второму<br />
этапу с ОФК, когда коррекция становится<br />
непрерывной, а основная величина<br />
промаха уже выявлена и отрабатывается СУ.<br />
Раннее выявление основной части промаха<br />
значительно повышает устойчивость СУ к<br />
противодействию работе РРС.<br />
4. Пути повышения точности<br />
рельефометрической КЭНС<br />
Для учета ошибок измерений из-за разности<br />
точности каналов решающая функция<br />
(8) записывается с весами в виде<br />
F<br />
g<br />
h<br />
ij<br />
µ k<br />
uz<br />
µκ<br />
1<br />
=<br />
N ⋅ µ m<br />
=<br />
= a<br />
s<br />
2<br />
( uµ<br />
k<br />
/ σ<br />
ε<br />
)/<br />
( d<br />
µ k<br />
⋅θ0,<br />
5)<br />
s<br />
2<br />
∑∑uµ<br />
k<br />
/ ( d<br />
µ k<br />
⋅θ0,<br />
5)<br />
k<br />
µ<br />
µ<br />
+ b<br />
N<br />
⋅ k ,<br />
µ m im , jm<br />
∑∑∑<br />
k = 1 µ = 1 i=<br />
1,<br />
j=<br />
1<br />
µ<br />
g<br />
µ k<br />
uz uz эt<br />
( h − h − h )<br />
µκ<br />
;<br />
µκ<br />
µ kij<br />
2<br />
;<br />
(10)<br />
где N - количество измерений; µm - число лучей;<br />
s<br />
u µ k - энергия принятого сигнала в момент<br />
k (яркость); σ<br />
ε<br />
- СКО шума; d µ k - измеренная<br />
дальность до подстилающей поверхности<br />
µ-го луча в момент k; θ<br />
0,5<br />
- ширина<br />
ДНА по уровню половинной мощности;<br />
uz<br />
h µκ -<br />
измеренная высота рельефа для луча µ по дан-<br />
эt<br />
ным БИНС; h µ kij - высота рельефа из ЭКМ<br />
для луча µ и гипотезы с номером i, j; k - номер<br />
измерения; µ - номер луча.<br />
В процессе исследований вид весовых<br />
коэффициентов (10) был уточнен.<br />
При больших ошибках БИНС по составляющим<br />
скорости ∆ v ,<br />
x<br />
∆ v на малоинформативных<br />
участках может возникнуть си-<br />
z<br />
туация, когда уровень боковых лепестков решающей<br />
функции (10) будет превышать уровень<br />
главного лепестка. Может потребоваться<br />
весьма значительная длина участка коррекции,<br />
когда уровень главного лепестка превысит<br />
уровень боковых на заданную величину.<br />
В этом случае основной промах будет выявляться<br />
поздно и может не хватить времени<br />
для проведения второго этапа коррекции на<br />
основе ОФК. Для того, чтобы избежать такой<br />
ситуации, необходимо имеющийся ресурс<br />
вычислителя использовать на перебор<br />
гипотез по скорости<br />
∆ vz<br />
или даже по vz<br />
∆ и<br />
v x<br />
∆ .<br />
Для того, чтобы сравнивать получающуюся<br />
точность поискового алгоритма с потенциально<br />
достижимой, необходимо вернуться<br />
к вопросу о разработке оптимального<br />
поискового алгоритма на основе теории статистических<br />
решений для полного комплекса<br />
условий работы реальной КЭНС.<br />
Точность измерений центрального луча<br />
в (10) будет выше, если сопровождение отраженного<br />
сигнала производится не по центру<br />
тяжести огибающей, а по переднему фронту.<br />
В этом случае ошибки БИНС по углам и<br />
ошибки юстировки оси ДНА центрального<br />
луча не влияют на точность КЭНС. Кроме<br />
того, вследствие возникающего стробирования<br />
энергия отраженного сигнала собирается<br />
не со всего пятна рассеяния, а только в<br />
относительно небольшой окрестности подрадарной<br />
точки. Следовательно, разрешение<br />
центрального луча выше, чем у боковых, и<br />
по центральному лучу поступает больший<br />
поток информации. Если к тому же ширину<br />
следящих стробов изменять адаптивно в зависимости<br />
от уровня принятого сигнала, то<br />
в последней части участка коррекции, имеющей<br />
меньшую высоту, разрешение центрального<br />
луча можно еще больше повысить.<br />
Поскольку земные покровы не являются<br />
строго ламбертовскими отражателями и в<br />
отраженном сигнале наряду с диффузной<br />
имеется зеркальная составляющая, то уровень<br />
отраженного сигнала центрального луча<br />
всегда выше, чем у боковых и, следовательно,<br />
выше отношение сигнал/шум.<br />
Разрешение боковых лучей в боковом<br />
направлении тоже можно повысить, если ввести<br />
стробирование относительно центра тяжести<br />
отраженного сигнала. Такая возможность<br />
у боковых лучей меньше, чем у центрального<br />
из-за влияния зеркальной составляющей<br />
отраженного сигнала.<br />
Возможно, и в продольном направлении<br />
разрешение боковых лучей можно повысить,<br />
если использовать доплеровский сдвиг час-<br />
136
Технические науки<br />
тоты и так называемый алгоритм сверхразрешения<br />
[8,9].<br />
Для каждого момента поступления данных<br />
и вычисления решающей функции (10)<br />
выполняется поиск локальных экстремумов<br />
во всей зоне неопределенности. Когда глобальный<br />
экстремум решающей функции станет<br />
меньше локальных на заданную величину,<br />
положение глобального экстремума уточняется<br />
либо по алгоритму центроиды, либо<br />
путем аппроксимации решающей функции<br />
поверхностью второго порядка. Вычисляются<br />
поправки к показаниям БИНС, и СУ начинает<br />
отрабатывать выявленный промах. На<br />
этом заканчивается первый этап коррекции<br />
и КЭНС переходит на второй этап, основанный<br />
на ОФК и непрерывной коррекции. Измерения,<br />
выполненные на первом этапе основного<br />
и предварительного участка, не теряются,<br />
а запоминаются в стойком ОЗУ, возможно<br />
со сжатием, и используются на втором<br />
этапе.<br />
Как следует из сказанного, первый этап<br />
коррекции является адаптивным, его длительность<br />
не задана жестко, а зависит от информативности<br />
рельефа, по которому проходят<br />
трассы центров пятен засветки. Коррекция<br />
основного промаха выполняется сразу, как<br />
только выполнятся условия по надежности<br />
привязки, которая определяется вероятностью<br />
захвата ложного экстремума решающей<br />
функции (ее бокового лепестка).<br />
Список литературы<br />
1. Гурский Б. Г. Основы теории систем<br />
управления высокоточных ракетных комплексов<br />
сухопутных войск / Б. Г.Гурский,<br />
М. А.Лющанов, Э. П.Спирин и др. – М.: Издво<br />
МГТУ им Н.Э.Баумана, 2001.<br />
2. Антимиров В. М. Вопросы построения<br />
специализированных вычислителей для<br />
задач навигации по картам местности /<br />
В. М.Антимиров // Материалы XIV конференции<br />
памяти Н. Н. Острякова. – Ленинград:<br />
ЦНИИ «РУМБ». - 1985. – С.25-28.<br />
3. Белоглазов И. Н. Основы навигации<br />
по геофизическим полям / И. Н Белоглазов,<br />
Г. И Джанджгава, Г. П Чигин. – М.: «Наука»,<br />
1985.<br />
4. Красовский А. А. Теория корреляционно-экстремальных<br />
навигационных систем<br />
/ А. А. Красовский, И. Н. Белоглазов, Г. П. Чигин.<br />
– М.: «Наука», 1979.<br />
5. Белоглазов И. Н. Корреляционно-экстремальные<br />
системы / И. Н. Белоглазов,<br />
В. П. Тарасенко. – М.: «Сов. Радио», 1974.<br />
6. Силаев А. И. Комбинированный алгоритм<br />
оценивания в корреляционно-экстремальных<br />
навигационных системах / А. И.Силаев,<br />
В. А.Стефанов, Г. П. Чигин // Известия<br />
АН СССР. Техническая кибернетика. – 1984.<br />
- №6. – С. 12-16.<br />
7. Баклицкий В. К. Методы фильтрации<br />
сигналов в корреляционно-экстремальных<br />
навигационных системах / В. К.Баклицкий,<br />
А. Н.Юрьев. – М.: «Радио и связь», 1986.<br />
8. Василенко Г. И. Теория восстановления<br />
сигналов: от редукции к идеальному прибору<br />
в физике и технике. – М.: «Сов. Радио»,<br />
1979.<br />
9. Василенко Г. И. Восстановление<br />
изображений / Г. И. Василенко, А. И.Тараторкин,<br />
В. М.Гинзбург. – М.: Радио и связь, 1986.<br />
10. Бочкарев А. М. Корреляционно- экстремальные<br />
навигационные системы // Зарубежная<br />
радиоэлектроника. - 1981. - №9. -<br />
С.19-23.<br />
DEVELOPING THE BASIC ALGORITHM OF GEOPHYSICAL FIELD<br />
CORRECTION SUBSYSTEM<br />
© 2007 V. M. Antimirov<br />
Voronezh State Forestry Technological Academy<br />
The paper discusses the peculiarities of constructing the algorithmic foundation of a relief correlation-extreme<br />
navigational.<br />
137
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 621.793:7<br />
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ<br />
НАПЫЛЯЕМЫХ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕННОМ ГАЗОТЕРМИЧЕСКОМ ПОТОКЕ<br />
© 2007 В. А. Барвинок, В. И. Богданович, Е. А. Ананьева<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Решена задача математического моделирования динамики движения напыляемых частиц в плазменном<br />
газотермическом потоке. Проведенные исследования показали существенное влияние на динамику движения<br />
напыляемых частиц вида феноменологического закона для коэффициента лобового сопротивления, учета потери<br />
импульса плазменной струей при ускорении этих частиц и их диаметра. Установлено, что при большой<br />
дисперсии диаметров напыляемых частиц они попадают на поверхность детали с различными скоростями и<br />
существенной сепарацией частиц в пятне напыления. Проведенные исследования позволили по результатам<br />
математического моделирования сформулировать требования к допустимой дисперсии диаметров частиц, используемых<br />
для напыления, и за счет выбора способа подачи порошка в анодный канал уменьшить сепарацию<br />
частиц в пятне напыления.<br />
Известно [1-5], что покрытия, получаемые<br />
плазменным газотермическим методом,<br />
позволяют существенно повысить эксплуатационные<br />
свойства деталей различных изделий<br />
машиностроения.<br />
Защитные свойства плазменных покрытий<br />
и их качество определяются физико-химическими<br />
характеристиками порошковых<br />
материалов и материалов детали, характеристиками<br />
средств технологического оснащения<br />
процесса, кинематической схемой и режимами<br />
напыления и, как показывают многочисленные<br />
исследования [2-5,7], в конечном<br />
счете, деформационными, тепловыми и<br />
топохимическими явлениями при взаимодействии<br />
частицы порошка с поверхностью. В<br />
связи с тем, что кинетика этих явлений зависит<br />
от таких физических параметров, как скорость,<br />
температура и теплосодержание напыляемых<br />
частиц, является естественным наличие<br />
достаточно большого числа публикаций<br />
[2-5,7,8], посвященных определению или теоретической<br />
оценке этих параметров.<br />
Проведенный анализ показывает, что<br />
основная сложность моделирования этих<br />
процессов заключается в корректной постановке<br />
математической модели и выборе граничных<br />
условий в соответствии с особенностями<br />
плазменного газотермического напыления.<br />
Эти особенности моделирования плазменного<br />
газотермического напыления, имеющие<br />
значимое влияние на анализируемые<br />
параметры, не в полной мере, или схематически,<br />
или неверно отраженные в цитированных<br />
публикациях, заключаются в следующем.<br />
Напыляемый порошковый материал,<br />
имеющий достаточно большую дисперсию<br />
размеров, вводится в высокотемпературную<br />
часть плазменной струи по направлению,<br />
близкому к нормали ее оси. Это приводит к<br />
тому, что частицы различного диаметра будут<br />
иметь различные траектории движения<br />
и различное время нахождения в высокотемпературной<br />
части, а следовательно, их скорости<br />
и температуры будут также различными.<br />
Поэтому на поверхность конденсации<br />
падает поток частиц, сепарированный в пространстве<br />
по размерам, скоростям и температурам.<br />
Однако в цитированных литературных<br />
источниках отсутствуют сведения о количественной<br />
оценке этого явления и его влиянии<br />
на качество покрытий.<br />
Ускоряя твердую частицу, плазменная<br />
струя теряет часть своего импульса. Это приводит<br />
к необходимости учета влияния расхода<br />
порошка на динамические характеристики<br />
газового потока. Необходимость учета этого<br />
эффекта и оценка его существенного влияния<br />
приведена в [2-4]. Однако в публикациях<br />
об исследовании движения частиц при<br />
плазменном напылении этот эффект не учитывается,<br />
и, более того, использованный в<br />
[2-4] подход приводит к неверному физичес-<br />
138
Технические науки<br />
ки результату, анализ которого будет в дальнейшем<br />
проведен в статье.<br />
Уравнения динамики движения частиц<br />
в газовом потоке строятся на феноменологическом<br />
введении [2,8,9] ускоряющей силы F<br />
и основного экспериментального определяемого<br />
параметра – коэффициента лобового<br />
сопротивления частицы C<br />
x<br />
:<br />
F<br />
x<br />
где<br />
2<br />
( U − V ) ⋅ C ⋅ S ,<br />
= 0,5 ⋅ ρ ⋅<br />
(1)<br />
Г<br />
x<br />
ρ – плотность газа в потоке,<br />
Г<br />
U – ско-<br />
рость газового потока в направлении x , V<br />
x<br />
–<br />
скорость частицы вдоль направления U движения<br />
потока, S<br />
м<br />
– площадь миделевого сечения<br />
частицы.<br />
Экспериментально установлено [8, 14],<br />
что для частиц с неправильной, но округлой<br />
формой, без резких выступов коэффициент<br />
лобового сопротивления на стадии установившегося<br />
обтекания дозвуковым потоком<br />
определяется числом Рейнольдса<br />
( U −V<br />
) D ν<br />
Re = . Здесь D – характерный линейный<br />
размер частицы, определяемый через<br />
площадь ее миделевого сечения<br />
x<br />
м<br />
S<br />
м<br />
на<br />
основе соотношения D = 4S<br />
м<br />
/ π ; ν -кинематическая<br />
вязкость газового потока. При<br />
малых Re ( Re >1, либо используются одночленные<br />
зависимости (2) с другими значениями<br />
параметров (например, в [11] с C<br />
0<br />
= 9,8 и<br />
k = 0,5) без оценки погрешностей применения<br />
таких соотношений.<br />
Таким образом, проведенный анализ<br />
работ в области исследования динамики движения<br />
напыляемых частиц в плазменной газотермической<br />
струе показал, с одной стороны,<br />
важность таких исследований для получения<br />
качественных покрытий, а с другой<br />
стороны, наличие вопросов, которые не рассмотрены<br />
или рассмотрены не в полном объеме<br />
или не вполне корректно. В связи с этим<br />
были проведены комплексные экспериментальные<br />
и теоретические исследования динамики<br />
движения и нагрева напыляемых частиц<br />
в плазменной струе на всей ее протяженности<br />
от плазмотрона до поверхности<br />
изделия. В настоящей статье приведена часть<br />
таких исследований, связанная с динамикой<br />
движения частицы в наиболее прогретой<br />
части плазменной струи с учетом указанных<br />
особенностей процесса, которые и предопределяют<br />
новизну поставленной задачи математического<br />
моделирования.<br />
Постановка задачи математического<br />
моделирования заключается в следующем.<br />
Ускоренный дозвуковой осесимметричный<br />
поток газотермической плазмы вытекает через<br />
цилиндрический канал анода плазмотрона<br />
в окружающее пространство (рис. 1).<br />
139
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 1. Схема к расчету параметров<br />
плазменной струи и траектории движения (1, 2)<br />
напыляемых частиц<br />
При теоретическом описании плазменных<br />
струй плазмотронов с достаточной точностью<br />
для технологий получения покрытий<br />
используются следующие модельные представления.<br />
В плазменной струе выделяются<br />
визуально наблюдаемые три характерных<br />
участка – начальный, переходный и основной.<br />
Начальный участок, отсчитываемый от<br />
среза сопла анода (рис. 1, поз. ВВ 1<br />
), состоит<br />
из ядра струи (рис. 1, поз. ВЕВ 1<br />
) и зоны смешения<br />
(рис. 1, поз. СВЕ и поз. С 1<br />
В 1<br />
Е), в которой<br />
происходит смешивание газа плазменной<br />
струи с газом в окружающем пространстве,<br />
радиальный перенос импульса и энергии с<br />
плавным изменением параметров струи от<br />
начальных значений в ее ядре до значений<br />
этих параметров в окружающем пространстве.<br />
При этом внешняя и внутренняя границы<br />
зоны смешения с хорошим приближением<br />
моделируются коническими поверхностями.<br />
Экспериментально установлено, что с<br />
высокой точностью в зоне установившегося<br />
течения плазмы в анодном канале плазмотрона<br />
и в ядре струи параметры потока имеют<br />
в различных точках постоянные значения, за<br />
исключением тонкой зоны пограничного слоя<br />
на внутренней поверхности цилиндрического<br />
анодного канала.<br />
Будем считать, что частицы порошкового<br />
материала, имеющие форму, близкую к<br />
сферической, вводятся в цилиндрический<br />
канал анода плазмотрона перпендикулярно<br />
его оси в области установившегося течения<br />
плазмообразующего газа (рис. 1). Ввод частиц<br />
осуществляется с помощью холодного<br />
транспортного газа, химический состав которого<br />
близок к химическому составу плазмообразующего<br />
газа. Функциональное назначение<br />
транспортного газа состоит в создании<br />
газовзвеси с максимально однородным распределением<br />
частиц по объему и сообщении<br />
частицам скорости вдоль оси y (рис. 1), достаточной<br />
для их проникновения в центральную<br />
часть плазменной струи, но не приводящей<br />
к столкновению этих частиц с внутренней<br />
поверхностью анодного канала плазмотрона.<br />
При этом расход транспортного газа не<br />
должен приводить к существенному затормаживанию<br />
и захолаживанию (снижению энтальпии)<br />
образующейся смеси. Обеспечение<br />
перечисленных условий введения порошка в<br />
газотермическую плазму достигается соответствующим<br />
выбором технологического режима<br />
подачи порошка. Под действием газового<br />
потока частицы, имеющие начальную<br />
скорость вдоль оси y , ускоряются и движутся<br />
по некоторым траекториям, показанным<br />
для примера на рис. 1 линиями 1 и 2. Будем<br />
считать, что выбором режима расхода порошка<br />
реализуется ситуация, при которой частицы<br />
порошка не сталкиваются между собой в<br />
потоке, и, следовательно, уравнения движе-<br />
140
Технические науки<br />
ния для каждой частицы являются индивидуальными.<br />
При этом будем предполагать,<br />
что в процессе движения частиц не происходит<br />
изменения их формы и размеров, то есть<br />
не происходит дробления частиц, а сублимация<br />
и эрозия материала с их поверхности<br />
незначительны. Кроме того, будем считать,<br />
что составляющая ускоряющей силы в направлении,<br />
перпендикулярном оси потока,<br />
существенно меньше составляющей вдоль<br />
оси [2, 8] и на частицу действует только сила<br />
ускорения (1) вдоль оси x (рис. 1), которая<br />
приложена к ее центру масс.<br />
С учетом сделанных допущений уравнение<br />
движения индивидуальной частицы,<br />
введенной в газотермический поток в соответствии<br />
со схемой, представленной на<br />
рис. 1, можно записать в виде<br />
m<br />
2<br />
( dV dt) ( U −V<br />
) C S 2<br />
x<br />
V 0<br />
= ρ ,<br />
Г<br />
V y<br />
= , V ( 0) = 0 , (3)<br />
3<br />
где m ρπD 6<br />
x<br />
= и ( ) k<br />
x<br />
x<br />
Cx<br />
C0<br />
м<br />
= Re – масса, а,<br />
площадь миделевого сечения и коэффициент<br />
лобового сопротивления шаровой частицы,<br />
соответственно; V<br />
x<br />
и V<br />
y – компоненты ско-<br />
рости ее центра масс; ρ<br />
Г<br />
- плотность газового<br />
потока.<br />
В связи с тем, что, ускоряя частицу, газовый<br />
поток теряет часть своего импульса, из<br />
закона сохранения импульса вдоль оси x получим<br />
d ( mV X<br />
) = - d ( U )<br />
m Г<br />
, (4)<br />
где m<br />
Г<br />
– масса газа, приходящаяся на одну<br />
частицу. В (4) пренебрегаем потерями импульса<br />
на трение в газе и трение о внутреннюю<br />
поверхность анодного канала плазмотрона<br />
и изменением давления газа в «затопленной»<br />
газотермической струе.<br />
При решении системы уравнений (3, 4)<br />
и нахождении скоростей и траекторий движения<br />
частиц выделим две области. Первая<br />
– это область, в которой параметры газотермической<br />
струи ( U ,ρ ,ν )<br />
0 Г<br />
до введения напыляемых<br />
частиц постоянны (область анодного<br />
канала плазмотрона и область ядра струи).<br />
Вторая – это область, в которой эти параметры<br />
являются функциями координат x и y (зона<br />
смешения, переходная зона и зона основного<br />
течения струи).<br />
Рассмотрим движение частиц в первой<br />
области.<br />
Введя новые параметры V ~<br />
х<br />
= Vx<br />
U0<br />
и<br />
U 0<br />
U ~ ( x, y ) = U( x, y ) / и используя (2), запишем<br />
уравнение (3) в виде<br />
dV ~ = A<br />
x<br />
t<br />
( U ~ V ~ 2−k<br />
− ) dt<br />
x<br />
. (5)<br />
Учитывая, что d Vx dt = Vx<br />
dVx<br />
dx ,<br />
уравнение (5) представим следующим образом:<br />
V ~ {( U ~ V ~ 2−k<br />
d A ) V ~<br />
x<br />
=<br />
x<br />
−<br />
x x}dx<br />
, (6)<br />
A = 3⋅С<br />
ρ<br />
t<br />
A<br />
k 1−k<br />
1+<br />
k<br />
0<br />
⋅ ρ<br />
Г<br />
⋅ν<br />
U0<br />
4 ⋅ ⋅ D ,<br />
= x<br />
Аt<br />
U . (7)<br />
0<br />
Выполняя интегрирование в (4) по<br />
оси x в пределах первой области от х=0<br />
( U ( 0) U0 ,V ( 0) = 0<br />
=<br />
x<br />
x и учитывая, что<br />
U(<br />
x<br />
G Г<br />
) до некоторого значения<br />
m m Г<br />
= G G , получим<br />
x ) = U 0<br />
−V<br />
⋅G<br />
, (8)<br />
где G и G<br />
Г<br />
- массовые расходы порошка и<br />
плазмообразующего газа, соответственно.<br />
Подставляя (8) в (5) и (6) и учитывая,<br />
что в этой области U<br />
0<br />
,<br />
A<br />
t<br />
и<br />
A<br />
x<br />
постоянны,<br />
получаем уравнение с разделяющимися переменными:<br />
Adt<br />
2−<br />
( 1−α ) k<br />
,<br />
G x<br />
2−<br />
( − ) k<br />
t<br />
= dV ~<br />
x<br />
V ~<br />
A dx<br />
x<br />
= V ~<br />
x<br />
dV ~<br />
x GV ~<br />
x<br />
где = 1+ ( G )<br />
α .<br />
G<br />
G Г<br />
1 α , V ~ x<br />
( 0 ) = 0 , (9)<br />
Выполняя интегрирование в (11) и (3)<br />
при условии 0 < k < 1, получим уравнение<br />
траектории движения частиц в первой области<br />
в параметрическом виде:<br />
141
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
1 ⎡ 1<br />
( ) ⎥ ⎥ ⎤<br />
α<br />
G<br />
At<br />
t<br />
= ⎢<br />
−1<br />
1−k<br />
1−<br />
k ⎢⎣<br />
1−<br />
GV ~ , (10)<br />
α<br />
x ⎦<br />
α<br />
2<br />
G<br />
A x<br />
x<br />
1<br />
= ⎢<br />
−k<br />
( V ~ 1<br />
1−<br />
k ⎢⎣<br />
1−αG<br />
x<br />
)<br />
( V ~ k<br />
1−α<br />
)<br />
1<br />
− [ 1−<br />
G X<br />
],<br />
k<br />
⎡<br />
y<br />
c y , 0<br />
где<br />
1<br />
⎤<br />
−1⎥<br />
−<br />
⎥⎦<br />
(11)<br />
= 0,<br />
5d<br />
−V<br />
t , (12)<br />
d<br />
c<br />
- диаметр анодного канала плазмотрона,<br />
V<br />
y, 0 - проекция скорости напыления<br />
частицы при ее выходе из транспортного канала<br />
и попадании в анодный канал плазмотрона.<br />
Учитывая, что в ряде работ, например<br />
[3, 4], рассматривается закон движения частиц<br />
(2) при k=0, соответствующий случаю<br />
очень больших чисел Re, а в ряде случаев используется<br />
закон движения при k=1, соответствующий<br />
случаю очень малых чисел Re (закон<br />
Стокса), получим связь V ~ x<br />
от х для этих<br />
законов. Проведя интегрирование в (9), будем<br />
иметь<br />
−1<br />
( 1−α<br />
V ~ ) + ( 1−α<br />
) −1<br />
2<br />
αG Axdx<br />
= ln<br />
G x<br />
GV ~<br />
x<br />
при k=0, (13)<br />
α<br />
(<br />
GV ~ −1<br />
1−α<br />
x<br />
) −αG<br />
x<br />
2<br />
G<br />
Axdx<br />
= ln<br />
V ~<br />
при k=1, (14)<br />
где A<br />
x<br />
определяются соотношением (9) для<br />
k = 0 и k = 1, соответственно.<br />
Отличие соотношений (13) и (14) от<br />
соотношений, приводимых, например, в<br />
[3, 4], заключается в том, что в этих работах<br />
оно получено при условии: V ~<br />
x<br />
Технические науки<br />
Рис. 2. Значение параметра α V ~ G Г x в зависимости от α 2<br />
G<br />
Ax x для разных законов движения частицы:<br />
Г<br />
1 - к=0; 2 - к=0,5; 3 - к=0,739; 4 - к=1; 5 – на основе соотношения (15)<br />
щего газа G на скорость частицы<br />
Г<br />
V ~ x<br />
при ее<br />
движении в первой области, рассчитанное по<br />
соотношению (11).<br />
Из графика видно, что использование<br />
достаточно традиционных значений расхода<br />
порошка на уровне G ≅ 015 , ... 0,<br />
25 г / с при<br />
также традиционных расходах плазмообра-<br />
Рис. 3. Относительная скорость частицы V ~ x<br />
Ax x<br />
в зависимости от параметра для различных<br />
значений относительных расходов порошка G G Г :<br />
1 - α<br />
G = 1; 2 - α<br />
Г<br />
G = 1,05; 3 - α<br />
Г<br />
G = 1,1;<br />
Г<br />
4 - α<br />
G = 1,2; 5 - α<br />
Г<br />
G = 1,3<br />
Г<br />
143<br />
зующих газов на уровне G ≅ 1...<br />
2 г / с приводит<br />
к достаточно большой потере импульса<br />
плазменной струей и существенному снижению<br />
скорости частицы на выходе из ядра<br />
плазменной струи.<br />
В работах [1, 5-7, 11] сотрудников НИИ<br />
технологий и проблем качества СГАУ получены<br />
следующие значения скоростей, энтальпии<br />
и температур в ядре плазменной струи<br />
для режимов работы плазмотрона ГКА-15:<br />
расход водорода – 0,01 г/с; аргона – 1,25; ток<br />
дуги – 400 А; напряжение дуги – 55 В; длина<br />
х А<br />
+ L 2<br />
мм; энтальпия 10,1 ⋅ 10 6 Дж/кг; температура<br />
– 10,71 ⋅ 10 3 К; скорость плазмы<br />
U<br />
0<br />
= 770 м/с; плотность газа – 0,044 кг/м 3 ;<br />
кинематическая вязкость – 5,5 м 2 /с; теплопроводность<br />
газа – 0,62 Вт/м К. Однако использовать<br />
полученные решения и указанные данные<br />
для нахождения скорости частиц на выходе<br />
из ядра плазменной струи можно только<br />
в том случае, когда известна траектория<br />
движения частицы во всей первой области,<br />
так как в зависимости от траектории (рис. 1)<br />
эти скорости будут различаться достаточно<br />
существенно. Подаваемый напыляемый порошок<br />
имеет достаточно большую дисперсию<br />
грануляции, то есть большой разброс<br />
частиц по диаметрам, который может быть<br />
представлен в виде некоторой гистограммы<br />
распределения по их размерам (рис. 4, б).<br />
Поэтому частицы различного диаметра будут<br />
не только ускоряться с различными скоростями<br />
вдоль х, но и из-за различия диаметров<br />
их начальные скорости V<br />
y , 0 подачи в анодный<br />
канал плазмотрона будут также различ-
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 4. Частицы порошка ZrO 2<br />
+8Y 2<br />
O 3<br />
: а) внешний вид частиц в темном поле (Х100); б) гистограмма<br />
распределения частиц порошка ZrO 2<br />
+8Y 2<br />
O 3<br />
по среднему диаметру (в мкм)<br />
ны. На рис. 4а приведена фотография напыляемой<br />
фракции порошкового материала, а<br />
на рис. 4б – гистограмма распределения чиастиц<br />
напыляемого порошка по среднему диаметру.<br />
Из приведенных данных видно, что<br />
фракция напыляемого порошка ZrO 2<br />
+8Y 2<br />
O 3<br />
имеет большую дисперсию грануляции: от<br />
1,5 до 146 мкм.<br />
Частицы приобретают начальную скорость<br />
V<br />
y , 0 в транспортном канале при их разгоне<br />
транспортным азотом, скорость течения<br />
которого U Т<br />
Технические науки<br />
Рис. 5. Траектории движения частиц ZrО 2<br />
в зависимости от их диаметра:<br />
1 – 80 мкм, 2 - 60 мкм, 3 - 40 мкм, 4 - 20 мкм, 5 - 10 мкм<br />
Таблица 1. Влияние величины диаметра частиц порошкового материала<br />
на их параметры<br />
Диаметр<br />
частицы, мкм<br />
Здесь<br />
V ,<br />
,<br />
y o<br />
х<br />
я<br />
, м<br />
y<br />
я<br />
, м<br />
t<br />
я<br />
, сек<br />
V<br />
я<br />
,<br />
м/сек<br />
м/сек<br />
10 41,04 0,0202 -0,000588 8,9?10 -5 404,4<br />
20 20,52 0,0226 -0,000265 1,6?10 -4 261,0<br />
40 10,26 0,0246 0 2,9?10 -4 162,5<br />
60 6,84 0,0221 0,000332 3,8?10 -4 108,4<br />
80 5,13 0,01995 0,000617 4,7?10 -4 83,04<br />
V<br />
y , o - начальная скорость ввода частиц в сопло; х<br />
я<br />
, y<br />
я<br />
- координаты выхо-<br />
да частиц из ядра; t я<br />
- время пребывания частиц в ядре; V<br />
я<br />
- скорость частицы на<br />
выходе из ядра плазменной струи.<br />
Рис. 6. Время пребывания частицы в ядре (а) и скорость частицы на выходе из ядра (б)<br />
в зависимости от ее диаметра<br />
145
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
D<br />
2 и D<br />
0<br />
. Используя эти значения V<br />
y , 0 для D ,<br />
1<br />
D<br />
2 и D<br />
0<br />
и используя (10)-(12), можно проанализировать<br />
ситуацию, характерную для<br />
реального режима напыления.<br />
Результаты расчета параметров частиц<br />
для фракции с диаметром центра группировки<br />
D<br />
0<br />
= 40 мкм показали, что траектории движения<br />
частиц с различными размерами диаметров<br />
отличаются существенно. При движении<br />
в ядре происходит сепарация потока, при<br />
этом на выходе из ядра на периферии оказываются<br />
мелкие, а в центре ядра – более крупные<br />
частицы (рис. 5).<br />
Различие траекторий движения частиц<br />
приводит к разнице таких параметров, как<br />
начальная скорость ввода частиц в сопло,<br />
скорость частицы на выходе из ядра плазменной<br />
струи и время ее пребывания в ядре. В<br />
таблице 1 представлены результаты расчета<br />
этих параметров.<br />
Из табл. 2 видно, что, например, начальная<br />
скорость мелких частиц (10 мкм) превышает<br />
почти в 4 раза начальную скорость частиц<br />
из центра группировки и в 8 раз начальную<br />
скорость крупных частиц, имеющих диаметр<br />
80 мкм.<br />
Скорости на выходе из ядра и время<br />
пребывания в ядре плазменной струи частиц<br />
диаметрами 10 и 80 мкм отличаются: 5,4 и<br />
4,8 раз, соответственно (табл. 2, рис. 6).<br />
Таким образом, проведенные исследования<br />
показали существенное влияние на<br />
динамику движения напыляемых частиц вида<br />
феноменологического закона для коэффициента<br />
лобового сопротивления, учета потери<br />
импульса плазменной струей при ускорении<br />
этих частиц и их диаметра. Установлено, что<br />
при большой дисперсии диаметров напыляемых<br />
частиц они попадают на поверхность<br />
детали с различными скоростями и существенной<br />
сепарацией частиц в пятне напыления.<br />
Проведенные исследования позволили<br />
по результатам математического моделирования<br />
сформулировать требования к допустимой<br />
дисперсии диаметров частиц, используемых<br />
для напыления, и за счет выбора способа<br />
подачи порошка в анодный канал уменьшить<br />
сепарацию частиц в пятне напыления.<br />
Список литературы<br />
1. Барвинок В. А. Плазма в технологии,<br />
надежность, ресурс. – М.: Наука и технологии,<br />
2005. – 452 с.<br />
2. Нанесение покрытий плазмой /<br />
В. В. Кудинов, П. Ю. Пекшев, В. Е. Белащенко<br />
и др. – М.: Наука, 1990. – 408 с.<br />
3. Кудинов В. В. Плазменные покрытия.<br />
– М.: Наука, 1977. – 184 с.<br />
4. Кудинов В. В., Иванов В. М. Нанесение<br />
плазмой тугоплавких покрытий. – М.:<br />
Машиностроение, 1981. – 192 с.<br />
5. Барвинок В. А., Богданович В. И.,<br />
Докукина И. А. Математическое моделирование<br />
и физика процессов нанесения плазменных<br />
покрытий из композиционных плакированных<br />
порошков.. – М.: Международный<br />
центр НТИ, 1998. – 96 с.<br />
6. Богданович В. И., Докукина И. А.<br />
Плазменная газотермическая технология нанесения<br />
специальных многофункциональных<br />
покрытий // Высокие технологии в обеспечении<br />
качества и надежности изделий машиностроения.<br />
– Самара: Изд-во СНЦ РАН,<br />
2004. – С. 168-188.<br />
7. Барвинок В. А. Управление напряженным<br />
состоянием и свойства плазменных<br />
покрытий. – М.: Машиностроение, 1990. –<br />
384 с.<br />
8. Донской А. В., Клубникин В. С. Электроплазменные<br />
процессы и установки в машиностроении.<br />
– Л.: Машиностроение, 1979.<br />
– 221 с.<br />
9. Китаев Ф. И., Лекарев Ю. Г. О скорости<br />
частиц напыляемого материала в плазменной<br />
струе // Вопросы технологии производства<br />
ЛА: Труды Куйбышев. авиац. ин-та,<br />
Вып.41. – Куйбышев: Изд-во «Волжская коммуна»,<br />
1970. – С.124-135.<br />
10. Электродуговые генераторы термической<br />
плазмы./ М. Ф. Жуков, И. М. Засыпкин,<br />
А. Н. Тимошевский и др. – Новосибирск:<br />
Наука, 1999. – 712 с.<br />
11. Сивиркин В. Ф., Рогачев Н. М. Теоретическое<br />
и экспериментальное исследование<br />
турбулентной плазменной струи // Инженерно-физический<br />
журнал. – 1969. – Т.17,<br />
№ 3. – С. 437-446.<br />
12. Шлихтинг Г. Теория пограничного<br />
слоя. – М.: Наука, 1974. – 711 с.<br />
146
Технические науки<br />
MATHEMATICAL MODELLING OF SPRAYED PARTICLE MOTION<br />
DYNAMICS IN PLASMA GAS THERMAL FLOW<br />
© 2007 V. A. Barvinok, V. I. Bogdanovich, Ye. A. Ananyeva<br />
Samara State Aerospace University<br />
The task of mathematical modelling of sprayed particle motion dynamics in plasma gas thermal flow is solved.<br />
The analysis shows that sprayed particle motion dynamics is greatly influenced by a kind of phenomenological law for<br />
drag coefficient, taking into account plasma jet momentum losses when particles are accelerated, as well as their diameter.<br />
It has been established that in case of great variance of sprayed particles’ diameter they strike the surface of the part at<br />
different velocities and with considerable particle separation in the spraying spot. The investigations carried out made<br />
it possible to formulate requirements for permissible particle diameter dispersion on the basis of mathematical modelling<br />
results and to reduce particle separation in the spraying spot by choosing the proper way of supplying powder to the<br />
anode channel.<br />
147
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 534.282<br />
МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ<br />
ДАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕННОСТИ ИХ ПАРАМЕТРОВ<br />
© 2007 С. К. Бочкарев, Г. М. Макарьянц, А. Б. Прокофьев, Е. В. Шахматов<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Рассматривается применение аналитической и численных моделей для расчета комплекса собственных<br />
характеристик реактивного гасителя колебаний давления рабочей жидкости. Показана сходимость результатов<br />
расчета по обеим моделям в низкочастотной области. В высокочастотной области отсутствие в аналитических<br />
моделях адекватного учета распределенности параметров расширительной полости гасителя приводит к завышению<br />
его расчетной эффективности, что может не обеспечить заданную работоспособность системы после<br />
установки в нее такого гасителя. Сформулированы достоинства и недостатки каждой из моделей, определены<br />
частотные области их применения.<br />
Важным фактором, снижающим надежность<br />
трубопроводных систем различных<br />
технических объектов, являются пульсации<br />
рабочей среды. Эффективным методом<br />
уменьшения динамической нагруженности<br />
трубопроводных систем от воздействия пульсирующего<br />
потока рабочей жидкости является<br />
применение гасителей колебаний давления<br />
[1, 2, 3]. Известные математические модели<br />
гасителей колебаний основываются на<br />
аналогиях, существующих между процессами<br />
в гидравлических и электрических цепях.<br />
При этом для анализа и описания динамических<br />
свойств гасителей колебаний оказалось<br />
возможным применение хорошо разработанного<br />
в электротехнике метода четырехполюсника.<br />
В этом случае динамические свойства<br />
гасителя полностью описываются матрицей<br />
передачи, с помощью которой устанавливается<br />
связь между комплексными амплитудами<br />
давления Ρ и расхода Q на входе и выходе<br />
устройства:<br />
⎡ P<br />
⎢<br />
⎣Q<br />
вх<br />
вх<br />
⎤ ⎡A<br />
⎥ = ⎢<br />
⎦ ⎣C<br />
B⎤⎡<br />
P<br />
D<br />
⎥⎢<br />
⎦⎣Q<br />
вых<br />
вых<br />
⎤<br />
⎥ ,<br />
⎦<br />
где A(<br />
ω ), В(<br />
ω ), С(<br />
ω ) , D(<br />
ω ) - частотнозависимые<br />
коэффициенты матрицы передачи<br />
гасителя колебаний.<br />
В качестве комплекса собственных характеристик<br />
гасителей колебаний рассматривают<br />
коэффициент собственного затухания<br />
K<br />
с<br />
, а также волновые сопротивления со стороны<br />
входа Z<br />
с1<br />
и выхода Z<br />
с2<br />
, которые связаны<br />
с коэффициентами матрицы передачи соотношениями:<br />
Κс = AD +<br />
Ζ с<br />
=<br />
АВ<br />
СD<br />
1 ,<br />
Ζ c<br />
=<br />
DB<br />
CA<br />
2 .<br />
BC<br />
,<br />
Коэффициент собственного затухания<br />
представляет собой отношение амплитуды<br />
пульсаций давления на входе гасителя к амплитуде<br />
пульсаций на выходе при его нагрузке<br />
на волновые сопротивления, т.е. когда<br />
Ζ<br />
вх<br />
= Ζ с1<br />
,<br />
вых<br />
Ζ с 2<br />
Ζ = .<br />
В своей структуре гаситель колебаний<br />
давления может содержать произвольное число<br />
реактивных и диссипативных элементов,<br />
соединенных параллельно или последовательно.<br />
Каждый элемент, в свою очередь,<br />
может быть представлен простейшим четырехполюсником.<br />
В работе [3] предложена<br />
математическая модель однокаскадного гасителя<br />
колебаний обобщенной структуры, схема<br />
которого приведена на рис. 1,а. Электрический<br />
аналог этого гасителя представлен на<br />
рис. 1,б.<br />
В данной статье в качестве примера рассматривается<br />
гаситель колебаний (рис. 2) схемы<br />
Б1 (в соответствии с классификацией ра-<br />
148
Технические науки<br />
3 4<br />
2<br />
1<br />
Х L<br />
4 3 Х L1<br />
Х R1<br />
Х L2<br />
Х R2<br />
Х С<br />
а) б)<br />
Рис. 1. Принципиальная схема (а) и электрический аналог (б) однокаскадного гасителя колебаний<br />
обобщенной структуры: 1 – емкость ( Х<br />
С<br />
), 2 – индуктивность ( Х ), 3 – сопротивления (<br />
L<br />
Х и<br />
R1<br />
Х ),<br />
R2<br />
4 – резонансные трубки ( Х и<br />
L1<br />
Х )<br />
L2<br />
боты [3]). Он получается из обобщенной<br />
структуры (рис.1) при следующих значениях<br />
коэффициентов:<br />
L1 = ∝, R1 = ∝, L2 = ∝, R2 = 0.<br />
Математическая модель, предложенная<br />
в [3], позволяет определить соотношения для<br />
коэффициентов матрицы передачи гасителя<br />
при условии сосредоточенности параметров,<br />
т. е. при условии<br />
l .<br />
⎪⎩<br />
LC<br />
К недостатку подобного метода моделирования<br />
следует отнести сложность учета<br />
распределенности параметров элементов га-<br />
149
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Х L<br />
Х С<br />
а) б)<br />
Рис. 2. Принципиальная схема (а) и электрический аналог (б) рассматриваемого гасителя колебаний<br />
сителя, что при уменьшении длины волны до<br />
величин порядка размеров гасителя приведет<br />
к весьма существенным погрешностям определения<br />
комплекса собственных характеристик.<br />
Развитие вычислительной техники и<br />
методов численного моделирования позволяет<br />
определять собственные характеристики<br />
гасителей колебаний давления путем непосредственного<br />
решения волнового уравнения<br />
для заданной геометрической конфигурации<br />
рассматриваемой системы. На базе использования<br />
программного комплекса ANSYS<br />
разработана конечно-элементная параметрическая<br />
модель гасителя, схема которого представлена<br />
на рис. 2. Задача решалась в осесимметричной<br />
постановке с использованием<br />
встроенного в ANSYS языка программирования<br />
APDL. Геометрические параметры гасителя<br />
представлены на рис. 3. При построении<br />
модели использованы следующие допущения:<br />
1) жидкость – идеальная; эффекты, связанные<br />
с вязким трением, не учитываются;<br />
2) на границе «жидкость – структура»<br />
поглощение энергии звуковых волн отсутствует;<br />
3) корпус гасителя и центральный канал<br />
– абсолютно жесткие.<br />
Исследуемый гаситель колебаний имел<br />
следующие значения геометрических параметров:<br />
L en<br />
=0,3 м, L 3<br />
=0,245 м, r 1<br />
=0,01 м,<br />
r 2<br />
=0,007 м, r 4<br />
=0,03 м. Параметры рабочей<br />
жидкости: ρ = 870 кг/м 3 , скорость звука в жидкости<br />
а = 1300 м/с.<br />
Структура программного комплекса<br />
ANSYS не позволяет непосредственно определить<br />
величины частотнозависимых коэффициентов<br />
матрицы передачи. Для их определения<br />
была проведена серия численных<br />
экспериментов по следующей методике. Параметры<br />
А, В, C и D определялись путем проведения<br />
трех вычислительных экспериментов,<br />
предполагающих использование участка<br />
с известными динамическими характеристиками<br />
и определение комплексных амплитуд<br />
колебаний давления в трех сечениях рассматриваемой<br />
системы (рис. 4). При этом<br />
используется свойство пассивных четырехполюсников<br />
изменять места коэффициентов<br />
A и D в матрице передачи при перемене входа<br />
и выхода устройства.<br />
Обозначим на схеме (рис. 4):<br />
A 1<br />
, B 1<br />
, C 1<br />
, D 1<br />
– параметры участка с известными<br />
частотными характеристиками;<br />
A, B, C и D – искомые параметры гасителя<br />
колебаний.<br />
Запишем для заданной частоты:<br />
P1<br />
′<br />
= A1<br />
P′<br />
2<br />
P2<br />
′<br />
= A1<br />
P′<br />
3<br />
P′<br />
2<br />
D<br />
= C + ;<br />
P′<br />
Z′<br />
Z′<br />
3<br />
P′′′<br />
1<br />
B<br />
= D + ;<br />
P′′′<br />
Z ′′′<br />
2<br />
P′′′<br />
2<br />
= A1<br />
P′′′<br />
3<br />
P2<br />
′′′<br />
= C<br />
P′′′<br />
Z′′′<br />
3<br />
2<br />
2<br />
B1<br />
+ ;<br />
Z′<br />
B<br />
+ ;<br />
Z′<br />
B<br />
+ ;<br />
Z ′′′<br />
1<br />
2<br />
н<br />
2<br />
н<br />
н<br />
D<br />
+ .<br />
Z′′′<br />
н<br />
P1<br />
′′ B1<br />
⎫<br />
= A1<br />
+ ;<br />
P<br />
⎪<br />
2′′<br />
Z2′′<br />
⎪<br />
P2<br />
′′ B ⎪<br />
= D + ;<br />
P′′<br />
′′ ⎪<br />
3<br />
Zн<br />
⎪<br />
P ′′<br />
2<br />
A ⎪<br />
= C + ;<br />
P′′<br />
Z ′′ Z ′′ ⎪<br />
3 2<br />
н<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪⎭<br />
(3)<br />
150
′′′<br />
Технические науки<br />
Р 1<br />
’<br />
Р 1<br />
”<br />
1<br />
А 1 В 1<br />
С 1 D 1<br />
Р 2<br />
’ Р 3<br />
’<br />
А<br />
С<br />
В<br />
D<br />
I<br />
Z<br />
II III<br />
2<br />
’ Z’<br />
н<br />
2 3<br />
Р 2<br />
”<br />
Р 3<br />
”<br />
А 1 В 1<br />
С 1 D 1<br />
D<br />
С<br />
В<br />
А<br />
I ” II ” III<br />
Z 2<br />
Z н<br />
Р 1<br />
’”<br />
Р 2<br />
’”<br />
Р 3<br />
’”<br />
D<br />
С<br />
В<br />
А<br />
А 1 В 1<br />
С 1 D 1<br />
I Z 2<br />
’” II Z н<br />
’” III<br />
Рис. 3. Геометрические модель и параметры<br />
исследуемого гасителя колебаний<br />
Рис. 4. Схема реализации методики расчетного<br />
определения динамических характеристик<br />
гасителя колебаний по результатам трех<br />
вычислительных экспериментов:<br />
1 – сечения, для которых определяются комплексные<br />
амплитуды давления; 2 – элемент с известными<br />
частотными характеристиками;<br />
3 – исследуемый гаситель колебаний<br />
Примем граничное условие проводимых<br />
вычислительных экспериментов:<br />
Z н<br />
′<br />
н<br />
= Z н<br />
′′ = Z′′′<br />
= ∞, что обеспечивает наименьшую<br />
трудоемкость расчетов. Тогда для системы<br />
(3) получим следующее решение:<br />
P′<br />
A =<br />
′<br />
,<br />
B<br />
C<br />
C<br />
D<br />
P 3<br />
P′−′′<br />
DP′′′<br />
1 2<br />
=<br />
C1P<br />
,<br />
3<br />
P′−<br />
A P′<br />
1 1 2<br />
=<br />
B1P′<br />
,<br />
3<br />
P ′′− A P ′′<br />
1 1 2<br />
=<br />
B1P′′<br />
,<br />
3<br />
P′′<br />
2<br />
=<br />
P′′<br />
.<br />
3<br />
Одна из оценок точности определения<br />
коэффициентов матрицы передачи гасителя<br />
колебаний производится по совпадению значений<br />
коэффициента С в двух вычислительных<br />
экспериментах. При этом формула для<br />
определения С в обоих численных экспериментах<br />
неизменна.<br />
Другой оценкой точности является определение<br />
детерминанта матрицы передачи.<br />
Для пассивных четырехполюсников должно<br />
выполняться условие<br />
AD − BC = 1.<br />
За участок с известными динамическими<br />
характеристиками принимался отрезок<br />
прямолинейного трубопровода постоянного<br />
сечения с длиной l и радиусом r 1<br />
. Матрицу<br />
передачи этого участка с учетом изложенных<br />
выше допущений можно записать в виде<br />
⎡ jωl<br />
⎢<br />
ch<br />
a<br />
⎢ 2<br />
⎢πr1<br />
jωl<br />
sh<br />
⎢⎣<br />
ρa<br />
a<br />
ρa<br />
jωl<br />
⎤<br />
sh<br />
2<br />
πr<br />
a ⎥<br />
1<br />
⎥<br />
jωl<br />
. (4)<br />
ch ⎥<br />
a ⎥⎦<br />
151
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Результаты расчета коэффициента собственного<br />
затухания, волновых сопротивлений<br />
со стороны входа и выхода и частотнозависимых<br />
коэффициентов матрицы передачи<br />
гасителя колебаний в программном комплексе<br />
ANSYS с использованием предложенной<br />
методики и разработанной конечно-элементной<br />
модели представлены на рис. 5, 6 (кривая<br />
1).<br />
На этих же рисунках приведены результаты<br />
расчета по аналитической модели в сосредоточенных<br />
параметрах, базирующейся<br />
на обобщенной структурной схеме гасителя<br />
(кривая 2). Результаты представлены в безразмерных<br />
величинах:<br />
jBπr<br />
2<br />
1<br />
B = − ,<br />
ρa<br />
Cρa<br />
C = ,<br />
π<br />
2<br />
r 1<br />
Zc<br />
πr<br />
2<br />
Z = 1 1<br />
c1 ,<br />
ρa<br />
Zc<br />
πr<br />
2<br />
Z = 2 1<br />
c2 .<br />
ρa<br />
Анализ графиков позволяет сделать<br />
вывод, что при ω < 2 различие результатов<br />
по этим двум моделям незначительное. Однако<br />
при ω > 2 появляется их качественное<br />
расхождение. Так, коэффициенты B и C для<br />
модели в сосредоточенных параметрах являются<br />
монотонно возрастающими с увеличением<br />
ω . В то же время графики этих коэффициентов<br />
для конечно-элементной модели<br />
имеют максимум, после которого их значения<br />
убывают.<br />
Аналогичная ситуация наблюдается и<br />
для коэффициента собственного затухания<br />
K<br />
c<br />
(рис. 6,а). Для модели в сосредоточенных<br />
параметрах при ω > 1 зависимость K c<br />
( ω )<br />
монотонно возрастает. Для конечно-элементной<br />
модели она характеризуется максимумом<br />
при ω = 2 , 6...<br />
2,<br />
8 и минимумом при<br />
ω = 3,9 . При ω ≈ 4 величина коэффициента<br />
собственного затухания K<br />
c<br />
приближается к<br />
единице, и диапазон частот ω = 3 , 7...<br />
4,<br />
2 является<br />
полосой пропускания гасителя. Поскольку<br />
ниже будут приведены расчетное<br />
обоснование и описание причин появления<br />
Рис. 5. Частотные зависимости относительных коэффициентов матрицы передачи гасителя:<br />
1 – численная модель; 2 – аналитическая модель в сосредоточенных параметрах;<br />
3 – аналитическая модель, учитывающая распределенность параметров центрального канала<br />
152
Технические науки<br />
Рис. 6. Частотные зависимости комплекса собственных характеристик гасителя:<br />
1 – численная модель; 2 – аналитическая модель в сосредоточенных параметрах;<br />
3 – аналитическая модель, учитывающая распределенность параметров центрального канала<br />
полосы пропускания, то здесь лишь кратко<br />
остановимся на физике процесса.<br />
Данный гаситель, относящийся к классу<br />
акустических фильтров низких частот,<br />
обеспечивает ограничение интенсивности<br />
колебаний в гидравлической системе за счет<br />
их отражения. При этом для колебательной<br />
составляющей потока рабочей жидкости расширительная<br />
полость обладает существенно<br />
меньшим сопротивлением по сравнению с<br />
зауженным центральным каналом, что и обеспечивает<br />
локализацию пульсаций давления<br />
на входном участке гасителя. Однако расширительная<br />
полость является пространственно<br />
распределенным элементом достаточно<br />
сложной формы, в котором реализуются процессы<br />
интерференции акустических волн.<br />
При ω ≈ 4 возникает ситуация, когда из-за<br />
данной интерференции полость начинает<br />
представлять существенное сопротивление<br />
колебательной составляющей потока рабочей<br />
жидкости и пульсации давления через инерционный<br />
канал проникают на выход гасителя,<br />
снижая коэффициент собственного затухания.<br />
С дальнейшим ростом частоты вновь<br />
происходит перераспределение положения<br />
узлов и пучностей в расширительной полости,<br />
что обеспечивает ее эффективную работу<br />
в структуре гасителя. Коэффициент собственного<br />
затухания при этом возрастает. Качественное<br />
отличие аналитической и конечноэлементной<br />
моделей наблюдается и для зависимости<br />
Z c 1<br />
( ω ) при ω > 3 (рис. 6,б). Для<br />
модели в сосредоточенных параметрах при<br />
ω > 1 график этой функции является монотонно<br />
возрастающим. Для конечно-элементной<br />
модели при ω<br />
≈ 3,<br />
8 Zc<br />
1<br />
→ ∞ , т. е. имеет<br />
место резонансное увеличение Z<br />
c1<br />
.<br />
Такое различие результатов по двум<br />
моделям объясняется отсутствием учета в<br />
аналитической модели распределенности<br />
параметров. При этом в гасителе колебаний<br />
давления рассматриваемой структуры присутствуют<br />
два элемента, имеющие опреде-<br />
153
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ленную пространственную протяженность -<br />
инерционный центральный канал и расширительную<br />
полость. Для центрального канала<br />
в любом случае сохраняется справедливой<br />
гипотеза плоской волны, и его можно рассматривать<br />
как одномерный распределенный<br />
элемент, описываемый матрицей передачи в<br />
виде (4). Введение такой матрицы передачи<br />
в обобщенную расчетную модель гасителя<br />
колебаний взамен матрицы X<br />
L позволяет<br />
учесть распределенность параметров центрального<br />
канала. Результаты расчета по аналитической<br />
модели работы [3] с учетом описанной<br />
выше замены матрицы X<br />
L представлены<br />
на рис. 5, 6 (кривая 3). Анализ графиков<br />
на рис. 6 показывает, что учет распределенности<br />
параметров центрального канала не<br />
приводит к качественному изменению их<br />
вида по сравнению с моделью в сосредоточенных<br />
параметрах. В то же время, как уже<br />
отмечалось выше, данные численного моделирования<br />
(рис. 6) существенно отличаются<br />
от результатов расчета по аналитическим<br />
моделям. Это объясняется влиянием распределенности<br />
параметров расширительной полости.<br />
Из-за того, что длина и диаметр данной<br />
полости являются величинами одного<br />
порядка, гипотеза о возможности ее аналитического<br />
моделирования одномерным<br />
объектом является неадекватной, особенно в<br />
области высоких частот. В то же время моделирование<br />
акустических характеристик гидравлической<br />
емкости как двумерного объекта<br />
аналитическими методами представляется<br />
весьма сложным и трудоемким.<br />
Матричное уравнение гидравлической<br />
емкости в сосредоточенных параметрах записывается<br />
в виде [1]:<br />
⎡Р<br />
⎢<br />
⎣Q<br />
вх<br />
вх<br />
⎡ 1 0<br />
⎤<br />
⎤<br />
⎡ ⎤<br />
= ⎢ jω V<br />
Рвых<br />
пр<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎦ ⎢ 1 . (5)<br />
2 ⎥<br />
⎣ ρa<br />
⎦<br />
⎣Qвых<br />
⎦<br />
Согласно этому соотношению амплитуда<br />
колебаний давления во всех точках емкости<br />
является одинаковой. Однако понятно, что<br />
интерференция волн при отражении от стенок<br />
емкости (особенно для случаев их сложной<br />
пространственной конфигурации) приводит<br />
к нарушению данного соотношения, и<br />
расширительная полость перестает работать<br />
как идеальная гидравлическая емкость. В качестве<br />
иллюстрации на рис. 7 приведено распределение<br />
амплитуд давлений в расширительной<br />
полости рассматриваемого гасителя<br />
колебаний в продольном (а) и радиальном (б)<br />
направлениях:<br />
Рис. 7. Распределение амплитуд колебаний давления по расширительной полости гасителя, ω = 3, 8 :<br />
а) продольное направление; б) радиальное направление<br />
154
Технические науки<br />
( l )<br />
p = f ,<br />
где<br />
max<br />
p l<br />
p = , l = , L - характерный гео-<br />
p L<br />
метрический размер полости в рассматриваемом<br />
направлении, l - текущий линейный размер.<br />
Анализ графиков (рис. 7) показывает,<br />
что если распределенность параметров колебаний<br />
в радиальном направлении невелика<br />
( p min<br />
≈ 0, 984 ) и ею можно пренебречь, то распределенность<br />
в продольном направлении<br />
весьма значительна ( p min<br />
≈ 0, 67 ). Таким образом,<br />
представление характеристик полости<br />
гасителя колебаний матричным уравнением<br />
(5) при высоких частотах колебаний приводит<br />
к существенному расслоению графических<br />
результатов, полученных для аналитических<br />
и численной моделей.<br />
Проведенные расчеты позволяют сделать<br />
вывод, что в области низких частот<br />
ωl l ≤ 0,6 (или ≤ 0, 1) наиболее целесообразно<br />
использование аналитической модели, по-<br />
a<br />
λ<br />
зволяющей достаточно легко анализировать<br />
зависимости собственных характеристик гасителей<br />
от свойств входящих в их структуру<br />
элементов, реализовать процедуру оптимизации<br />
структуры. Однако в высокочастотной<br />
области трудности учета распределенности<br />
параметров в аналитической модели приводят<br />
к некоторому завышению расчетной эффективности<br />
гасителя колебаний. Поэтому<br />
для расчета собственных характеристик гасителя<br />
и выбора оптимальной его конструкции<br />
более целесообразно применение конечно-элементной<br />
модели.<br />
Список литературы<br />
1. Шорин В. П. Устранение колебаний<br />
в авиационных трубопроводах. – М.: Машиностроение,<br />
1980. – 156 с.<br />
2. Шахматов Е. В. Разработка и исследование<br />
средств подавления колебаний рабочей<br />
среды в гидромеханических системах<br />
управления двигателей летательных аппаратов:<br />
Дисс. на соиск. учен. степ. канд. техн.<br />
наук. – Куйбышев: КуАИ, 1984. – 201 с.<br />
3. Шестаков Г. В. Разработка методов<br />
автоматизированного проектирования гасителей<br />
колебаний давления для трубопроводных<br />
цепей двигателей и систем летательных<br />
аппаратов: Дисс. на соиск. учен. степ. канд.<br />
техн. наук. – Самара: КуАИ, 1991. – 241 с.<br />
MODELLING CHARACTERISTICS OF PRESSURE OSCILLATION DAMPERS<br />
WITH REGARD FOR DISTRIBUTION OF THEIR PARAMETERS<br />
© 2007 S. K. Botchkaryov, G. M. Makaryantz, A. B. Prokofiev, Ye. V. Shakhmatov<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper discusses the use of analytical and numerical models to calculate a complex of working fluid pressure<br />
oscillation damper inherent characteristics. Convergence of calculation results using both models in the low-frequency<br />
region is shown. In the high-frequency region lack of adequate account of the damper expansion cavity parameters’<br />
distribution in analytical models results in overestimating the damper’s design efficiency, which may fail to provide the<br />
system’s prescribed serviceability after a damper of this kind is introduced into it. Advantages and disadvantages of<br />
each model are stated, frequency areas for their application are defined.<br />
155
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 534.282<br />
НЕСИММЕТРИЧНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ГАСИТЕЛИ<br />
С АКТИВНЫМИ ВОЛНОВЫМИ СОПРОТИВЛЕНИЯМИ<br />
© 2007 А. Н. Головин<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Показаны принципы расчета параметров элементов несимметричных акустических гасителей колебаний<br />
при выполнении которых волновые сопротивления становятся активными. Формулируются условия реализации<br />
активных волновых сопротивлений на фиксированной частоте и в заданном диапазоне частот.<br />
Известно [1], что для уменьшения пульсаций<br />
давления в трубопроводных топливных<br />
и гидравлических системах целесообразно<br />
использовать несимметричные гасители,<br />
имеющие с одной из сторон активное волновое<br />
сопротивление. Такие устройства по сравнению<br />
с устройствами, у которых волновые<br />
сопротивления не регламентируются, имеют<br />
ряд преимуществ. Если гаситель проектируется<br />
для конкретного источника колебаний<br />
или для конкретной системы по характеристикам<br />
волнового сопротивления гасителя,<br />
которое является противоположным активному<br />
волновому сопротивлению, то он будет<br />
эффективно работать, соответственно, в любой<br />
системе или системе с любым источником<br />
колебаний. Следовательно, такой гаситель<br />
является инвариантным к характеристикам<br />
участка системы, в сторону которого обращено<br />
активное волновое сопротивление<br />
устройства.<br />
Рассмотрим гасители, изображенные на<br />
рис. 1.<br />
Схема гасителя на рис. 1,а является акустическим<br />
фильтром низких частот<br />
(“АФНЧ”) с проточной полостью. Упругие<br />
свойства полости управляются дросселем 3,<br />
имеющим сопротивление R. Следующие две<br />
схемы гасителей отличаются от первой тем,<br />
что их структуры содержат резонансные контуры.<br />
Резонансный контур в каждой схеме<br />
образован инерционностью “горла” 4 и упругостью<br />
полости 1. Упругие свойства полостей<br />
у обеих схем гасителей, как и у схемы<br />
на рис. 1,а, регулируются сопротивлениями<br />
дросселей 3. Причем при определенных соотношениях<br />
между параметрами реактивных<br />
элементов и сопротивления R волновые сопротивления<br />
гасителей со стороны дросселей<br />
3 становятся активными.<br />
Рассмотрим условия формирования активных<br />
волновых сопротивлений у исследуемых<br />
схем.<br />
При сосредоточенности параметров в<br />
элементах гасителей зависимости для коэффициентов<br />
передачи устройств как акустических<br />
четырехполюсников имеют вид<br />
A<br />
B<br />
C<br />
D<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
1<br />
R<br />
*<br />
1<br />
*<br />
R<br />
1<br />
+<br />
+<br />
X<br />
X C<br />
X<br />
X<br />
( X 1 + X 2 )<br />
1 X 2 X L + ( X 1 + X 2 )<br />
( X 1 + X 2 ) + X 1 X 2 +<br />
C<br />
X<br />
C<br />
X<br />
Обозначения в (1):<br />
R<br />
X<br />
X<br />
X<br />
*<br />
L<br />
c<br />
i<br />
=<br />
= X<br />
= X<br />
= X<br />
L<br />
C<br />
i<br />
L<br />
пр<br />
c.пр<br />
;<br />
C<br />
C<br />
L<br />
L<br />
пр<br />
пр<br />
C<br />
L<br />
,<br />
;<br />
пр<br />
X<br />
+ X<br />
( X 1 + X 2 )<br />
C<br />
;<br />
1<br />
X<br />
1<br />
2<br />
X L<br />
+ X<br />
+ X L<br />
+ X 1 X<br />
2<br />
X<br />
L<br />
X<br />
+ 1<br />
,<br />
1<br />
,<br />
+ 1<br />
⎫<br />
, ⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎬<br />
. ⎪<br />
( ) ⎪⎪⎪⎪⎪ X 1 + X 2 + X 1 X 2 + 1 ⎭<br />
1<br />
2<br />
2<br />
(1)<br />
(2)<br />
156
Технические науки<br />
1 – расширительная полость;<br />
2 – проточный канал;<br />
3 – гидродроссели (активные сопротивления);<br />
S к<br />
, S цтр<br />
– площади поперечных сечений<br />
расширительной полости и<br />
проточного канала;<br />
“l” – длина гасителей (продольные размеры<br />
расширительной полости и<br />
проточного канала равны);<br />
Х L<br />
– инерционное сопротивление<br />
проточного канала;<br />
Х L1<br />
– инерционное сопротивление “горла”<br />
резонансного контура;<br />
Х Спр<br />
– приведенное упругое сопротивление<br />
расширительной полости;<br />
R 1<br />
– сопротивление гидродросселей;<br />
Z ci<br />
– волновые сопротивления гасителей<br />
Рис. 1. Принципиальные гидравлические схемы несимметричных гасителей и их электрические аналоги<br />
где L - инерционность проточного канала 2<br />
гасителей; C<br />
пр - скорректированная упругость,<br />
равная суммарной упругости рабочей<br />
жидкости, заполняющей объемы расширительной<br />
полости и проточного канала [1],<br />
т. е.<br />
C<br />
пр<br />
( V + V )<br />
к ц<br />
=<br />
2<br />
, V<br />
к<br />
, V<br />
ц - соответственно<br />
ρα<br />
объемы полости гасителя и проточного канала.<br />
При цилиндрической полости и цилиндрическом<br />
проточном канале гасителя сопротивление<br />
X<br />
i<br />
где<br />
X i вычисляется по формуле<br />
X<br />
i v<br />
= , (3)<br />
v<br />
к<br />
Z<br />
S<br />
ц<br />
вц<br />
S = V V .<br />
+1<br />
В (1) параметрами X i (i = 1, 2) обозначены<br />
комплексные сопротивления элементов, установленные<br />
на входе и выходе расширительной<br />
полости. Сопротивление X 1 стоит на<br />
входе в расширительную полость, т. е. со стороны<br />
волнового сопротивления Z<br />
c1<br />
. Сопротивление<br />
X 2 включено на выходе из расширительной<br />
полости, т. е. со стороны волнового<br />
сопротивления Z<br />
c2<br />
. Для схемы гасителя<br />
на рис. 1,а:<br />
X 1 = R ; X 2 = 0 . У схемы гасителя<br />
на рис. 1,б: X 1 = X<br />
L1; X 2 = R . На схе-<br />
ме рис. 1,в сопротивление X 1 составлено<br />
параллельным соединением инерционного<br />
X и активного R сопротивлений;<br />
L1<br />
X 2 = ∞ .<br />
Рассмотрим гаситель, схема которого<br />
приведена на рис. 1,а. Для этого устройства<br />
зависимости волновых сопротивлений имеют<br />
следующий вид:<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
( R −ω<br />
⋅ R )( R −ω<br />
) + 2ω<br />
⋅ R + jω<br />
⋅ R( 2ω<br />
⋅ R −ω<br />
− R )<br />
2 2<br />
( R + ω ) 2<br />
Z c 1 =<br />
;<br />
2<br />
( 1−<br />
ω ) − jω<br />
⋅<br />
2 2 2 2<br />
( 1−<br />
ω ) + ω<br />
(4)<br />
2<br />
R<br />
R<br />
Z c 2 =<br />
; (5)<br />
R<br />
где j = −1<br />
; ω = ω LCпр<br />
.<br />
Из (4), (5) следует, что у исследуемого<br />
гасителя активным может быть только волновое<br />
сопротивление Z с1<br />
при условии<br />
157
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ω<br />
R = . (6)<br />
2ω<br />
2−<br />
2 1<br />
Равенство (6) позволяет привести выражения<br />
(4), (5) соответственно к виду:<br />
Z a<br />
c 1 = 0,<br />
5 ; (7)<br />
1<br />
Z c2 = . (8)<br />
ω<br />
Таким образом, у гасителя при выполнении<br />
(6) волновое сопротивление Z с1<br />
становится<br />
активным и “не зависящим” от частоты колебаний.<br />
Исследуем характеристики гасителя,<br />
изображенного на рис. 1,б. Выражения для<br />
коэффициентов передачи устройства получим<br />
из соотношений (1), принято в них<br />
R 1 = ∞ , R 2 = R . После соответствующих<br />
преобразований формулы для расчета волновых<br />
сопротивлений примут вид:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
p ( 1−ωp<br />
)( 1−ωp<br />
+ 2 μ) + j μ<br />
⎡<br />
ωp<br />
( 1+<br />
μ−ωp<br />
) − R ( ωp<br />
−1)<br />
⎤<br />
⎢⎣<br />
⎥⎦<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
( 1+<br />
μ)( 2 μ−ωp<br />
− μωp<br />
) + j μ[ ωp( 1+<br />
μ) + R ( ωp<br />
+ μωp<br />
− μ)<br />
]<br />
Rω<br />
= μ<br />
;<br />
Rωp<br />
Z c1<br />
2<br />
Rω<br />
(9)<br />
2<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
[( 1+<br />
2μ) −2ω<br />
p( 1+<br />
μ)<br />
] + j{ μωp<br />
( 1+<br />
+ R ( 1−ωp<br />
)[ ωp<br />
+ μω ( p −1)<br />
]}<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
μ[ 21 ( + μ) −ωp<br />
( 2+<br />
μ)<br />
] + j[ ωp( 1+<br />
μ)( 1+<br />
μ−ωp<br />
) + μR ( ωp<br />
−1)<br />
]<br />
p<br />
Z c2<br />
=<br />
,<br />
p<br />
где<br />
Rω<br />
μ<br />
(10)<br />
µ = L 1<br />
L ; L - инерционность “горла”<br />
1<br />
резонансного контура; ω р = ω µ .<br />
Анализ выражений (9), (10) показывает,<br />
что характер волновых сопротивлений<br />
Z c1 , c2<br />
Z зависит от соотношения параметров<br />
µ , R, ω p и может быть активным с<br />
обеих сторон, если сопротивление R выбрано<br />
определенным образом.<br />
Для реализации активного волнового<br />
сопротивления со стороны Z c1<br />
сопротивление<br />
R должно быть равно<br />
2<br />
2<br />
2<br />
ω p ( 1+<br />
μ) [ ω p ( μ −1) − ( 1+<br />
μ)<br />
]<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
4<br />
( 1−<br />
ω p ) [ μ ω p ( ω p −1) + μ( ω p + 1)<br />
]<br />
R =<br />
. (11)<br />
При реализации активного волнового<br />
сопротивления со стороны Z c2<br />
сопротивление<br />
R необходимо выбирать из условия<br />
2<br />
ω<br />
⎤<br />
p<br />
R =<br />
⎥⎦<br />
.<br />
2<br />
2<br />
( µ )<br />
⎡ 2 2 2<br />
1 + ( 1 − ω p ) + ω p ( ω p −1<br />
+ µ )<br />
⎢⎣<br />
2 2<br />
2<br />
( ω p −1) [( 1 + µ )( 2 + µ ) ω p − µ ]<br />
(12)<br />
С учетом того, что в обоих случаях величина<br />
R должна быть действительной, на рис. 2<br />
построены области значений µ и ω p , при<br />
которых достигается реализация активных<br />
волновых сопротивлений гасителя.<br />
Приведенные графики показывают, что<br />
существуют комбинации параметров элементов<br />
гасителя, при которых его волновые сопротивления<br />
могут быть активными с обеих<br />
сторон. Однако, небольшой проектный диапазон<br />
изменения этих параметров делает не<br />
целесообразным практическое применение<br />
такого устройства. Предпочтительным является<br />
условие реализации активного волнового<br />
сопротивления гасителя только с одной<br />
стороны, а именно со стороны Z c2<br />
. Для этого<br />
варианта, как следует из графика на<br />
рис. 2,б, возможны более широкие диапазоны<br />
изменения параметров элементов устройства.<br />
Поэтому схему гасителя на рис. 1,б желательно<br />
применять, когда требуется устройство,<br />
имеющее со стороны системы активное<br />
волновое сопротивление, а со стороны источника<br />
колебаний – реактивное.<br />
Рассмотрим схему гасителя, приведенную<br />
на рис. 1,в. Зависимости для коэффициентов<br />
передачи получаются из соотношений<br />
(1), если принять в них X 1 = ∞ , X 2 = R . При<br />
этих значениях параметров формулы для вычисления<br />
волновых сопротивлений имеют<br />
вид:<br />
158
Технические науки<br />
Рис. 2. Области значений µ и ω<br />
р по направлению<br />
штриховки, в которых возможна реализация<br />
активных волновых сопротивлений гасителя:<br />
а) со стороны Z<br />
c1<br />
; б) со стороны Z c 2<br />
Z<br />
Z<br />
2 2 2 4<br />
2<br />
−ωp( µ + 2R<br />
) + R ωp<br />
+ j2R<br />
µ ( 1−ωp)<br />
ωp<br />
2 2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
( R + µ R + µ ) + µω p + jR µ [ 2µ<br />
−ωp( 2 + µ )] ωp<br />
2<br />
R<br />
c1 = µ<br />
2 2<br />
;<br />
p<br />
c2<br />
µ R<br />
−ω<br />
2<br />
p<br />
2 2<br />
2 2<br />
( µ − ω p ) + R [ µ ( 1−<br />
ω p ) − ω p ]<br />
2 2<br />
µ ( R + µω p )<br />
3<br />
p<br />
(13)<br />
µ ⋅ω<br />
+ j ⋅ R ⋅ω<br />
⋅ µ µ<br />
= .<br />
(14)<br />
Выражения (13), (14) показывают, что<br />
характер волнового сопротивления Z c2<br />
инерционный,<br />
а характер волнового сопротивления<br />
Z c1<br />
зависит от значения сопротивления<br />
R . Активный характер волнового сопротивления<br />
Z c1<br />
будет тогда, когда сопротивление<br />
R выбрано из соотношения<br />
R =<br />
2 2<br />
µω p ( 2ω<br />
p − µ )<br />
2 2 2 2<br />
( p −1) + 2ω<br />
p ( ω p −1)<br />
µ ω<br />
. (15)<br />
Области изменения параметров µ и<br />
ω p , в которых реализуются действительные<br />
значения параметра R и, соответственно, возможны<br />
реализации активных волновых сопротивлений<br />
Z c1<br />
, представлены на рис. 3.<br />
Графики на рис. 3 показывают, что наибольший<br />
непрерывный частотный диапазон,<br />
в котором волновое сопротивление Z c1<br />
активное,<br />
имеет место, если µ = 2 . При других<br />
параметрах коэффициента µ в окрестности<br />
частоты ω p = 1 появляются области<br />
комплексных значений волнового сопротивления<br />
Z c1<br />
.<br />
Если условие (15) выполняется, то формула<br />
для вычисления волнового сопротивления<br />
Z c1a<br />
Z c Z c1a<br />
1 = имеет вид<br />
2<br />
4<br />
[ 2µ<br />
− ( 2 + 3µ<br />
) ω p ] + ( 2 + µ ) ω p<br />
2µ<br />
− ( 2 + µ ) ω<br />
2 p<br />
2µ<br />
= .(16)<br />
Выражения (15), (16) устанавливают,<br />
что в общем случае параметры R и Z c1 a зависят<br />
от частоты колебаний. Однако при условии<br />
µ = 2 , когда значение R , необходимое<br />
для реализации активного волнового сопротивления<br />
R =<br />
Z c1<br />
a<br />
2<br />
, определяется по формуле<br />
2ω<br />
p<br />
, (17)<br />
2<br />
2ω<br />
p −1<br />
величина Z c1 a становится “не зависимой” от<br />
частоты колебаний и равной<br />
Z c1 a = 1. (18)<br />
Графики, иллюстрирующие изменение<br />
параметров R , необходимых для реализации<br />
159
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 3. Области возможных реализаций<br />
активного волнового сопротивления<br />
гасителя Z c1<br />
.<br />
Штриховка направлена в области<br />
изменения требуемых значений µ и<br />
ω p<br />
активного волнового сопротивления гасителя<br />
Z c1 a при различных коэффициентах µ<br />
( ≤ 2)<br />
µ , приведены на рис. 4.<br />
Анализ графиков показывает, что требуемые<br />
сопротивления R зависят от частоты<br />
колебаний. При вариациях параметра µ<br />
также изменяются значения сопротивления<br />
R , необходимые для обеспечения активности<br />
волнового сопротивления Z c1<br />
. Минимальный<br />
интервал изменения сопротивления R ,<br />
равный [ 1]<br />
2; , имеет место при условии<br />
µ = 2. Однако на практике в конструкциях гасителей<br />
обычно используют дроссели с постоянным<br />
сопротивлением R . Поэтому исследуем<br />
возможность реализации активного<br />
волнового сопротивления гасителя в некотором<br />
диапазоне частот [ p 1;ω<br />
p2]<br />
ω при сопротивлении<br />
R = const . Для этого используем<br />
формулу для коэффициента рассогласования<br />
[1]<br />
Z ci − Z cia<br />
Гω = , (19)<br />
Z ci + Z cia<br />
по которой проведем расчеты зависимости<br />
Г<br />
ω<br />
. Рассчитаем зависимости коэффициентов<br />
рассогласования Г<br />
ω<br />
, например, при значениях:<br />
µ = 2 , c1 a = 1 R ∈ 2;1 . Результаты<br />
вычислений приведены на рис. 5. Их анализ<br />
Z и [ ]<br />
Рис. 4. Зависимости сопротивления гидродросселя R , необходимые для реализации активного<br />
волнового сопротивления гасителя<br />
160<br />
Z c1a
Технические науки<br />
Рис. 5. Зависимости коэффициентов рассогласования<br />
Г при = 2<br />
волнового сопротивления гасителя Z c1 a = 1<br />
ω<br />
µ и реализации активного<br />
дает следующее. Имеются частотные диапазоны<br />
колебаний, в которых реализуются небольшие<br />
значения коэффициентов Г<br />
ω<br />
. При<br />
этих частотах из-за небольших значений коэффициентов<br />
Г<br />
ω<br />
волновое сопротивление гасителя<br />
можно считать постоянным и равным<br />
Z c1<br />
a<br />
. Для рассматриваемого варианта расчета<br />
Z c1 a = 1. Оптимальное сопротивление<br />
дросселя<br />
R опт , необходимое для работы гасителя<br />
в частотном диапазоне [ ω p 1;ω<br />
p2]<br />
, выбирается<br />
из условия равенства значений коэффициентов<br />
рассогласования на границах<br />
проектного интервала частот. Это требование<br />
записывается в виде<br />
Г = Г . (20)<br />
ω1 ω2<br />
Для определения оптимального сопротивления<br />
R опт нужно в равенство (20) подставить<br />
развернутые выражения (19) и произвести<br />
соответствующие вычисления.<br />
Таким образом, можно сделать следующие<br />
выводы.<br />
1. Волновые сопротивления несимметричных<br />
гасителей при определенных соотношениях<br />
между параметрами их элементов<br />
могут быть активными.<br />
2. Особенность выбора параметров элементов<br />
гасителей состоит в том, что необходимо<br />
определять их оптимальные соотношения<br />
для каждого рабочего частотного диапазона.<br />
3. Характеристики элементов гасителей<br />
следует рассчитывать, исходя из минимальных<br />
значений коэффициентов рассогласования.<br />
Список литературы<br />
1. Головин А. Н. Разработка гасителей<br />
колебаний жидкости для трубопроводных<br />
цепей двигателей и систем летательных аппаратов:<br />
Диссертация на соиск. учен. степ.<br />
канд. техн. наук. - Куйбышев, 1983.<br />
ASYMMETRIC ACOUSTIC DAMPERS WITH ACTIVE WAVE RESISTANCE<br />
© 2007 A. N. Golovin<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper presents principles of calculating parameters of asymmetric acoustic oscillation damper elements<br />
when wave resistances become active. Conditions for the realization of active wave resistance at a fixed frequency and<br />
in a given frequency range are formulated.<br />
161
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 662<br />
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАЧАЛЬНОГО ОЧАГА<br />
ПРИ ИСКРОВОМ ЗАЖИГАНИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА<br />
АЛЮМИНИЕВО-ВОЗДУШНОЙ СМЕСИ<br />
© 2007 А. Г. Егоров<br />
Тольяттинский государственный университет<br />
Проведено экспериментальное исследование начального очага воспламенения в зоне рециркуляции при<br />
зажигании турбулентного потока алюминиево-воздушной смеси электрической искрой. Выявлено, что характер<br />
развития начального очага воспламенения в турбулентном потоке алюминиево-воздушной смеси соответствует<br />
характеру развития начального очага для однородной горючей смеси.<br />
Известно [1], что воспламенение горючей<br />
смеси может производиться различными<br />
способами, например электрическим разрядом,<br />
нагретой поверхностью или любым другим<br />
внешним источником тепла. Зажигание<br />
горючей смеси искрой широко применяется<br />
в воздушно-реактивных двигателях.<br />
К настоящему времени проведено достаточно<br />
много теоретических и экспериментальных<br />
исследований по определению влияния<br />
электрических параметров системы зажигания<br />
и параметров потока на величину<br />
минимально необходимой энергии искрового<br />
разряда в движущейся смеси воздуха и<br />
капель топлива. Они подтвердили зависимости,<br />
свидетельствующие о том, что воспламенение<br />
облегчается при повышении давления,<br />
температуры газа и энергии искрового<br />
разряда и затрудняется при увеличении скорости<br />
потока и интенсивности турбулентности<br />
[1, 2].<br />
Аналогичных систематических исследований<br />
в потоках аэровзвесей металлических<br />
частиц пока нет, имеются только отдельные<br />
публикации, посвященные данной проблеме<br />
[3, 4]. Сложность явления заставляет<br />
исследователей обращаться к более простому<br />
случаю - воспламенению неподвижного<br />
облака взвеси частиц металлов в воздухе.<br />
В статье представлены результаты исследования<br />
процесса развития начального<br />
очага воспламенения при искровом зажигании<br />
порошкообразного алюминия (Al) с целью<br />
организации надежного воспламенения<br />
алюминиево-воздушной смеси в реальных<br />
условиях прямоточных камер сгорания двигательных<br />
установок летательных аппаратов<br />
(ЛА).<br />
Экспериментальная установка, на которой<br />
проводились испытания, а также схема<br />
модели прямоточной камеры сгорания и гидродинамика<br />
течений в ней описаны в [5, 6].<br />
Изотермические исследования проводились<br />
на моделях, изготовленных из органического<br />
стекла, неизотермические – из тугоплавкого<br />
стекла «Пирекс».<br />
Уровень и масштаб турбулентности потока<br />
аэровзвеси изменялся с помощью решеток,<br />
которые представляли собой перфорированные<br />
диски с коэффициентом живого<br />
сечения f = 0,65 и устанавливались на различных<br />
расстояниях l р от плоскости внезапного<br />
расширения.<br />
В качестве горючего использовались<br />
порошки алюминия АСД-4 и АСД-1, выпускаемые<br />
отечественной промышленностью и<br />
соответствующие отраслевому стандарту и<br />
техническим условиям на их дисперсный<br />
состав. Несущим газом (окислителем) служил<br />
воздух с температурой 293 K.<br />
Для визуализации процесса воспламенения<br />
применялся оптический метод с использованием<br />
кинокамеры СКС-1М, которая<br />
позволяла производить съемку со скоростью<br />
до 5000 кадров в секунду.<br />
Известно [2], что для двигателей ЛА<br />
наиболее удобным и достаточно удовлетворительным<br />
источником зажигания является<br />
электрический разряд, который очень эффективно<br />
преобразует электрическую энергию в<br />
тепло, концентрирующееся в относительно<br />
162
малом объеме. Системы высокой энергии<br />
наиболее эффективны, когда используются в<br />
комбинации со свечами поверхностного разряда.<br />
Поэтому для воспламенения турбулентного<br />
потока аэровзвеси частиц Al использовалась<br />
самолетная система зажигания<br />
и свеча поверхностного разряда СПН-4-3Т<br />
(W = 0,05 Дж).<br />
Считается общепризнанным, что положение<br />
свечи имеет определяющее влияние<br />
как на характеристики воспламенения, так и<br />
на ее срок службы [2]. Поэтому необходимо<br />
было определить оптимальное место установки<br />
свечи в камере сгорания. Очевидным<br />
соображением при выборе наилучшего расположения<br />
свечи является то, что она должна<br />
находиться в пределах зоны рециркуляции<br />
так, чтобы очаг горения, инициированный<br />
искрой, переносился возвратным течением<br />
вверх, против направления основного потока.<br />
Это предполагает механизм воспламенения,<br />
при котором локальный очаг остается в<br />
зоне рециркуляции, циркулируя в ней как<br />
можно дольше и одновременно распространяясь<br />
вовне ее, пока, наконец, вся первичная<br />
зона камеры не будет заполнена пламенем.<br />
Результаты исследований [7] по определению<br />
локального времени пребывания<br />
( τ пр ) частиц алюминия в камере сгорания<br />
позволили выбрать оптимальное место установки<br />
свечи зажигания. Обнаруженная область<br />
зоны рециркуляции с максимальным<br />
временем пребывания частиц Al является<br />
оптимальным местом расположения свечи<br />
зажигания:<br />
L св<br />
= (0,5...1,2)<br />
H .<br />
163<br />
Технические науки<br />
Место расположения свечи в указанных<br />
пределах также отвечало требованиям повторного<br />
запуска камеры в случае срыва пламени,<br />
так как в этом случае электроды свечи<br />
оставались чистыми поскольку эта часть<br />
внутренней поверхности стенки камеры не<br />
покрывалась продуктами сгорания вследствие<br />
существующего вторичного вихря в<br />
донной области зоны рециркуляции, плоскость<br />
вращения которого была перпендикулярна<br />
оси камеры.<br />
Визуализация посредством скоростной<br />
киносъемки аэродинамики течения и процесса<br />
искрового зажигания в камере сгорания<br />
позволила выявить большую пространственную<br />
неоднородность концентрации алюминия<br />
по длине зоны рециркуляции. Выявлено<br />
также, что пламя, инициированное электрическим<br />
разрядом свечи, в первую очередь<br />
распространяется в донной области зоны рециркуляции,<br />
где время пребывания частиц Al<br />
было максимальным.<br />
Были определены минимальные значения<br />
характерного размера стабилизатора<br />
(Н = 0,007 м), скорости алюминиево-воздушного<br />
потока (U 0<br />
= 40 м/с) и расхода горючего<br />
(G Al<br />
= 3 г/с), меньше которых надежного зажигания<br />
основного потока алюминиево-воздушной<br />
смеси в камере сгорания не происходило.<br />
Известно [8], что процесс зажигания<br />
длится с момента начала искрового разряда<br />
до установления режима устойчивого распространения<br />
пламени. Здесь существуют, по<br />
крайней мере, две проблемы. Одна из них -<br />
формирование очага пламени при искровом<br />
разряде, а другая – неустойчивое распространение<br />
пламени этого очага.<br />
При скоростной киносъемке процесса<br />
развития начального очага воспламенения в<br />
зоне рециркуляции в различные моменты<br />
времени было обнаружено, что после проскока<br />
искры радиус начального очага сначала<br />
уменьшается, а потом начинает увеличиваться<br />
в случае успешного воспламенения. При<br />
неудачном воспламенении очаг полностью<br />
погасает.<br />
На рис. 1 показаны два варианта развития<br />
начального очага воспламенения алюминиево-воздушной<br />
смеси в зоне рециркуляции<br />
прямоточной камеры сгорания с внезапным<br />
расширением диаметром<br />
D<br />
КС<br />
= 0,04 м. На<br />
рисунке одновременно приведены примеры<br />
неудачного (рис. 1,а) и успешного (рис. 1,б-<br />
1,г) развития очага воспламенения.<br />
В случае неудачного воспламенения зажигание<br />
и погасание начального очага происходило<br />
в течение экспозиции одного кадра,<br />
т. е. за 1,6 мс. На рис. 1,а был выбран<br />
наиболее продолжительный по времени случай<br />
неудачного воспламенения. В начальный<br />
период процесса зажигания (второй кадр<br />
сверху) первоначальное увеличение очага<br />
сменяется его уменьшением и последующим<br />
погасанием.
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
а б в г<br />
Рис. 1. Развитие начального очага в аэровзвеси частиц Al марки АСД-1<br />
а – неудачное; б, в, г – успешное развитие; направление потока аэровзвеси справа налево;<br />
параметры потока: скорость на входе в камеру U<br />
0<br />
= 50м<br />
/ с ; состав смеси α = 1, 1 ;<br />
температура аэровзвеси на входе<br />
T0 = 293 K ; скорость киносъемки – 600 кадр/с<br />
В случае успешного воспламенения<br />
можно видеть (рис. 1, б), что очаг воспламенения<br />
в начальный момент времени уменьшается<br />
(четвертый кадр сверху). Этому предшествовало,<br />
естественно, также резкое увеличение<br />
размеров очага, что зафиксировано<br />
на третьем кадре сверху.<br />
На третьем и четвертом кадрах видно,<br />
что очаг имеет сферическую форму. Затем под<br />
действием турбулентных пульсаций он вытягивается<br />
и раздваивается, что можно видеть<br />
на последующих кадрах (рис. 1,в). В дальнейшем<br />
процесс развития начального очага приобретает<br />
характер для установившегося распространения<br />
пламени (рис. 1,г). В донной<br />
области зоны рециркуляции появляется пламя,<br />
которое распространяется по всей зоне<br />
рециркуляции.<br />
На рис. 2 представлены кривые изменения<br />
размеров начального очага по времени<br />
для угасающего (кривая 1) и распространяющегося<br />
пламени (кривая 2) для тех же<br />
самых условий, что и на рис. 1.<br />
Для обоих случаев на начальном этапе<br />
процесса в течение 1,6 мс наблюдается увеличение<br />
размеров очага от 0 до 8 мм. Затем в<br />
интервале времени от 1,6 до 3,3 мс происходит<br />
уменьшение его размеров до 3….4 мм.<br />
При достижении значения времени воспламенения<br />
τ ≈ 3,3мс<br />
уменьшение размеров начального<br />
очага в обоих случаях прекращается.<br />
В случае успешного развития (кривая 2)<br />
происходит резкое увеличение размеров очага<br />
до 10 мм ( τ ≈ 4,9мс<br />
), затем наступает стабилизация<br />
скорости роста ( τ = 4 , 9...<br />
12,<br />
8мс<br />
)<br />
с последующим его увеличением и распространением<br />
пламени по зоне рециркуляции<br />
( τ ≥ 12,8мс<br />
). В случае неудачного воспламенения<br />
размеры начального очага воспламенения<br />
(кривая 1) практически не меняются и<br />
при значении τ = 4,9мс<br />
происходит его угасание.<br />
Вероятно, для того, чтобы электрическая<br />
искра могла привести к воспламенению<br />
в зоне рециркуляции алюминиево-воздуш-<br />
164
Технические науки<br />
50<br />
40<br />
Rоч, мм<br />
30<br />
20<br />
10<br />
1<br />
2<br />
0<br />
0 5 10 15 20<br />
τ,мс<br />
Рис. 2. Изменение размеров очага по времени для затухающего (1) и распространяющегося (2) пламени<br />
ную смесь с частицами АСД-1, соответствующий<br />
ей критический радиус должен быть<br />
равен 4 мм. При этом условии можно предположить,<br />
что ближайшие частицы алюминиево-воздушной<br />
смеси успеют воспламениться,<br />
прежде чем нагретый искрой начальный<br />
очаг остынет. Ясно также, что для признания<br />
воспламенения успешным или неудачным<br />
необходим интервал времени в 4,9 мс.<br />
Известно [9], что для того, чтобы осуществить<br />
искровое зажигание в гомогенной<br />
горючей смеси, соответствующий ей эквивалентный<br />
радиус R<br />
экв<br />
должен быть в несколько<br />
раз больше, чем характерная ширина зоны<br />
ламинарного пламени b<br />
n<br />
. В [10] было получено<br />
искомое условие воспламенения в простой<br />
форме:<br />
R ≥ 3,<br />
7b<br />
.<br />
экв<br />
Было отмечено [9], что данную формулу<br />
можно рассматривать только как качественную<br />
связь между мощностью источника<br />
воспламенения и параметрами горючей<br />
смеси. Полученное значение коэффициента<br />
пропорциональности указывает только на<br />
порядок этой величины, учитывая приближенность<br />
допущений, принятых при выводе<br />
формулы. Поэтому окончательная оценка<br />
справедливости формулы может быть сделана<br />
только на основании экспериментальных<br />
данных.<br />
Таким образом, полученное экспериментальное<br />
значение критического размера<br />
n<br />
начального очага воспламенения для алюминиево-воздушной<br />
смеси<br />
R кр<br />
≈ 4мм<br />
соответствует<br />
коэффициенту пропорциональности<br />
3,7 в формуле эквивалентного радиуса для<br />
гомогенной горючей смеси.<br />
При исследовании фотографированием<br />
[8] процесса воспламенения метано-воздушной<br />
смеси в различные моменты времени<br />
было обнаружено, что после проскока искры<br />
радиус светящегося шарика в некоторых случаях<br />
сначала уменьшается (из-за охлаждения<br />
газа), а потом начинает увеличиваться. Однако<br />
полного перерыва свечения не происходит.<br />
На серии последовательных фотографий<br />
процесса воспламенения можно видеть,<br />
что воспламенившийся очаг вначале имеет<br />
цилиндрическую форму и только примерно<br />
через 100 мкс его форма приближается к сферической.<br />
Примерно через 500 мкс сфера<br />
сплющивается вдоль оси электродов, видимо,<br />
под действием теплоотвода. В дальнейшем<br />
при τ ≥ 4мс<br />
в случае воспламенения<br />
появляется нормальное сферическое пламя.<br />
На рис. 3. приведены кривые изменения<br />
радиуса очага по времени для распространяющегося<br />
(кривая 2) и угасающего (кривая<br />
1) пламени в метано-воздушной смеси<br />
при α = 1, 1 [8]. При значении времени воспламенения<br />
τ ≈ 1мс<br />
скорость роста распространяющегося<br />
минимальна. Этот момент соответствует<br />
критическому состоянию очага.<br />
165
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
0,5<br />
0,4<br />
2<br />
R оч,<br />
см<br />
0,3<br />
0,2<br />
1<br />
0,1<br />
0<br />
0 1 2 3 4<br />
τ,мс<br />
Рис. 3. Изменение радиуса очага по времени для затухающего (1) и распространяющегося (2) пламени [8]<br />
Качественно характер полученной<br />
экспериментальной кривой зависимости<br />
R оч<br />
( τ ) соответствует теоретической кривой<br />
зависимости температурного напора<br />
2<br />
Θ<br />
0<br />
= E( T0<br />
− Tн<br />
) /( RT0<br />
) в очаге от времени<br />
Θ (τ 0<br />
) (рис. 4) [11]. Было отмечено, что решение<br />
существенно зависит от Θ и δ . При<br />
малых Θ вблизи критики температура может<br />
иметь два экстремума, природа которых в<br />
корне отлична от описанных в [12]. Так, при<br />
Θ = 5, β = 0,01, δ = 4,8 температура в центре<br />
очага сначала возрастает до 0,5 к моменту<br />
τ = 0,75; затем уменьшается до 0,3 вследствие<br />
теплоотвода в окружающую среду с границ<br />
очага.<br />
Длительное время температура в центре<br />
очага практически не изменяется, и только<br />
при значении τ = 9,2 происходит воспламенение.<br />
Такая особенность характерна для<br />
области вырожденного очагового взрыва [13],<br />
когда влияние химических реакций в окружающей<br />
очаг среде начинает сказываться уже<br />
при конечных временах: τ = 0.<br />
В области вырождения очагового воспламенения<br />
усиливается влияние параметра<br />
β = RT 0<br />
/ E на характеристики процесса<br />
(рис. 4). Например, для Θ = 5 и δ = 4,7 τ =<br />
Рис. 4. Зависимость температуры в центре очага от времени при β = RT / E = 0 01<br />
(сплошные линии), 0,1 (штриховые); Θ = 5 ;<br />
2<br />
δ = R /( χt<br />
) : 1 – 6,0, 2 – 4,95, 3 – 4,85, 4 – 4,8, 5 – 4,7, 6 – 4,0 [11]<br />
0<br />
166<br />
0<br />
,
Технические науки<br />
= 14,5 и 7,8 при β = 0,01 и 0,01, соответственно.<br />
Факторов, влияющих на характер развития<br />
начального очага воспламенения и, как<br />
следствие, на ход всего процесса зажигания<br />
в потоке аэровзвеси, достаточно много. К ним<br />
относятся: мощность источника зажигания,<br />
дисперсный состав, форма и состояние поверхности<br />
частиц, теплота сгорания и другие<br />
физико-химические свойства, начальная температура,<br />
скорость, турбулентность, давление<br />
и др.<br />
Изучив механизм развития начального<br />
очага воспламенения, можно в большинстве<br />
случаев качественно, а иногда и количественно<br />
оценить влияние каждого фактора на процесс<br />
искрового зажигания в турбулентном<br />
потоке аэровзвеси частиц порошкообразного<br />
алюминия.<br />
Форма и состояние поверхности частиц<br />
металлов оказывает существенное влияние на<br />
процесс воспламенения и горения, так как<br />
химическая реакция протекает как в газовой<br />
фазе, так и на поверхности частиц. Поэтому<br />
исследовался процесс зажигания в потоках<br />
аэровзвесей как со сферическими частицами<br />
Al, так и с частицами в форме пластин.<br />
На рис. 5 и рис. 6 показан характер развития<br />
начального очага в потоке аэровзвеси,<br />
содержащей частицы сферической формы<br />
различного диаметра d<br />
32<br />
.<br />
На рис. 5 для частиц Al порошка АСД-1 с<br />
32<br />
d = 17,<br />
5мм<br />
наблюдается большая пространственная<br />
неоднородность концентрации<br />
алюминия в донной области зоны рециркуляции,<br />
где в первую очередь распространяется<br />
пламя, инициированное электрическим<br />
разрядом свечи. Время распространения<br />
пламени по зоне рециркуляции с момента<br />
воспламенения составляет 25 мс. Видно, как<br />
пламя первоначально возникает в очаге и от<br />
него распространяется по зоне рециркуляции.<br />
По причине полидисперсности порошка<br />
АСД-1 вначале происходит воспламенение и<br />
выгорание мелких фракций частиц Al. После<br />
того, как пламя заполняет весь объем зоны<br />
рециркуляции, формируется фронт пламени,<br />
который имеет форму одного или нескольких<br />
языков, вырывающихся из зоны.<br />
3,3<br />
14,53<br />
4,9<br />
16,13<br />
6,5<br />
17,73<br />
8,13<br />
19,33<br />
Рис. 5. Развитие очага в зоне рециркуляции камеры сгорания<br />
D КС<br />
= 0,<br />
04 м : горючее – АСД-1<br />
( d<br />
32<br />
= 17 , 5мк<br />
); направление потока аэровзвеси слева направо; параметры потока: U = 50 м /<br />
0<br />
с ;<br />
α = 1, 1 ; T = 293 K ; цифры справа от снимков – время в мс, прошедшее от момента воспламенения<br />
0<br />
167
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
0<br />
1,6<br />
3,3<br />
4,9<br />
Рис. 6. Развитие очага горения в зоне рециркуляции:<br />
D КС<br />
= 0,<br />
04 м ; горючее – АСД-4 ( d32 = 7,<br />
5мкм); направление потока<br />
аэровзвеси слева направо; параметры потока: U0 = 50м / с ;<br />
α = 1, 1 ; T0 = 293K<br />
; цифры справа от снимков – время в мс,<br />
прошедшее от момента воспламенения<br />
Результаты исследования процесса развития<br />
начального очага воспламенения и распространения<br />
пламени в зоне рециркуляции<br />
32<br />
для частиц АСД-4 с d = 7,<br />
5мкм<br />
(рис. 6) показали,<br />
что с уменьшением диаметра частиц<br />
d<br />
32<br />
процесс развивается более динамично.<br />
Появившийся возле свечи зажигания начальный<br />
очаг горения развивается и заполняет<br />
зону рециркуляции за 3,3 мс. Затем фронт<br />
пламени формируется вдоль «определяющей»<br />
цилиндрической поверхности (диаметр<br />
которой равен диаметру входного отверстия<br />
канала) и поджигает основной поток алюминиево-воздушной<br />
смеси.<br />
Поскольку теплоотвод от начального<br />
очага осуществляется посредством турбулентной<br />
диффузии и его интенсивность определяется<br />
величиной пульсационной скорости,<br />
то необходимо исследовать влияние турбулентности<br />
на процесс развития начального<br />
очага. Влияние начальной турбулентности ε<br />
0<br />
потока алюминиево-воздушной смеси на<br />
характер развития начального очага воспламенения<br />
в зоне рециркуляции показан на рис. 7.<br />
Как видно из рисунков 7,б и 7,в, турбулентное<br />
дробление очага усиливается с увеличением<br />
его размеров даже в том случае,<br />
когда интенсивность турбулентности понижается<br />
с удалением от турбулизирующей решетки.<br />
Такое усиление действия турбулентного<br />
потока на сферическое пламя связано с<br />
тем, что очаг увеличенного размера становится<br />
доступным воздействию пульсаций все<br />
больших масштабов, которым соответствуют<br />
и большие значения пульсационной скорости<br />
[14].<br />
При трубной турбулентности (рис. 7,а)<br />
с момента возникновения начального очага<br />
у свечи распространение пламени по всей<br />
зоне рециркуляции происходит за 2 кадра, что<br />
составляет 3,3 мс. При повышенной турбулентности<br />
(рис. 7, б, в) это время увеличивается<br />
до 4,9 мс. Время распространения пламени<br />
из зоны рециркуляции в основной поток<br />
алюминиево-воздушной смеси в обоих<br />
случаях осуществляется за время экспонирования<br />
одного кадра, т. е. менее чем за 1,6 мс.<br />
Если при трубной турбулентности<br />
(рис. 7,а) пламя, вначале распространившись<br />
практически по всей зоне рециркуляции, поджигает<br />
основной поток алюминиево-воздушной<br />
смеси, то при повышенной турбулентности<br />
очаги горения, не успевая распространиться<br />
в зоне рециркуляции, выносятся в основной<br />
поток и там гаснут, тем самым затягивая<br />
процесс зажигания основного потока<br />
алюминиево-воздушной смеси. На последу-<br />
168
Технические науки<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1,6<br />
1,6<br />
1,6<br />
3,3<br />
3,3<br />
3,3<br />
4,9<br />
4,9<br />
4,9<br />
6,6<br />
6,6<br />
Рис. 7. Влияние начальной турбулентности ε 0<br />
на процесс развития очага в зоне рециркуляции;<br />
направление потока аэровзвеси слева на право: D КС<br />
= 0,<br />
04м<br />
; горючее – АСД-4 ( d = 32<br />
7,<br />
5мкм<br />
);<br />
а) – без решетки (ε 0<br />
=5%), б) – с решеткой на l р<br />
= 0,<br />
02м<br />
(ε 0<br />
=22%), в) – с решеткой на l р<br />
= 0,<br />
057м<br />
(ε 0<br />
=12%); цифры слева от снимков – время в мск, прошедшее от момента воспламенения<br />
ющих кадрах уже видно, как пламя заполняет<br />
зону рециркуляции и распространяется в<br />
основной поток алюминиево-воздушной смеси.<br />
Отмечено [14], что для однородной смеси<br />
тормозящее действие турбулентности на<br />
развитие пламени в начальной стадии может<br />
быть связано с двумя эффектами: усилением<br />
теплоотдачи от начального очага реакции,<br />
затрудняющим воспламенение, и расширением<br />
зоны реакции в турбулентном пламени,<br />
снижающим среднюю температуру газа в нем<br />
и, соответственно, степень его расширения.<br />
Результаты исследований показали, что<br />
процесс развития начального очага в зоне<br />
рециркуляции в турбулентном потоке алюминиево-воздушной<br />
смеси, содержащей частицы<br />
АСД-4, протекает в две стадии. При трубной<br />
турбулентности на начальной стадии развития<br />
темпы роста начального очага в течение<br />
первых 2 мс ниже, чем при установке<br />
решеток. На второй стадии развития со 2 по<br />
5 мс темпы роста очага при трубной турбулентности<br />
выше, чем в опытах с установкой<br />
решеток (рис. 8).<br />
Выявлено влияние начальной турбулентности<br />
воздушного потока на развитие процесса<br />
зажигания при раздельной подаче компонентов<br />
аэровзвеси в камеру сгорания. Воздух<br />
в камеру поступал через входное отверстие,<br />
а навеска порошка Al подавалась через<br />
специальный штуцер непосредственно в зону<br />
рециркуляции.<br />
Получено, что при повышенной турбулентности<br />
первоначальное увеличение роста<br />
начального очага сменяется его замедлением.<br />
Такой характер развития начального<br />
пламени был отмечен ранее и в турбулентных<br />
газовоздушных смесях. При интенсивной<br />
турбулентности и в сильно разбавленных<br />
смесях в течение значительного интервала<br />
времени (до 10 мс после искры) наблюдается<br />
прекращение развития очага пламени, а<br />
иногда и его затухание [14].<br />
На рис. 9 показано влияние начальной<br />
турбулентности потока воздуха на динамику<br />
169
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
30<br />
1<br />
2<br />
R , мм<br />
20<br />
10<br />
3<br />
0<br />
1 2 3 4 5<br />
t , с<br />
Рис. 8. Влияние турбулентности на динамику роста очага в зоне рециркуляции: горючее АСД-4;<br />
D КС<br />
= 0,<br />
04м<br />
; 1 – без решетки (ε 0<br />
=5%), 2 – с решеткой на l р<br />
= 0,<br />
02м<br />
(ε 0<br />
=22%),<br />
3 – с решеткой на l р<br />
= 0,<br />
057м<br />
(ε 0<br />
=12%)<br />
роста очага для порошка АСД-1 при раздельной<br />
подаче компонентов аэровзвеси в камеру<br />
сгорания диаметром 0,09 м.<br />
Из рисунка видно, что процесс развития<br />
начального очага в зоне рециркуляции<br />
при раздельной подаче так же, как при совместной<br />
подаче компонентов аэровзвеси в<br />
камеру, протекает в двух фазах. В течение<br />
первой фазы (~ 10 мс) темпы роста очага при<br />
повышенной турбулентности выше, чем при<br />
трубной турбулентности. Затем во второй<br />
фазе темпы роста очага при повышенной турбулентности<br />
становятся ниже, чем при трубной<br />
турбулентности.<br />
Таким образом, процесс развития начального<br />
очага в зоне рециркуляции проходит<br />
в обоих случаях в две стадии. Первая стадия,<br />
когда скорость выделения тепла в процессе<br />
химической реакции превосходит скорость<br />
теплоотвода в окружающую среду, составляет<br />
1/3 от общего времени развития очага.<br />
Увеличение турбулентности потока<br />
аэровзвеси оказывает положительное влияние<br />
на размеры начального очага воспламенения<br />
в зоне рециркуляции на первой стадии<br />
развития и отрицательно - на второй.<br />
С увеличением среднего диаметра частиц<br />
алюминия с 7,5 до 17,5 мкм время распространения<br />
пламени по зоне рециркуляции<br />
увеличивается с 5 до 25 мс.<br />
Полученные скоростной киносъемкой<br />
экспериментальные данные показали, что для<br />
обеспечения надежного процесса воспламенения<br />
основного потока алюминиево-воздушной<br />
смеси необходимо создать условия<br />
для возникновения начального очага около<br />
свечи, переброса пламени в зону рециркуляции<br />
и воспламенения алюминиево-воздушной<br />
смеси в зоне рециркуляции.<br />
Возникновение начального очага будет<br />
зависеть от двух конкурирующих процессов:<br />
разогрева очага за счет химической реакции<br />
и его охлаждения за счет теплопроводности.<br />
Поэтому в критических условиях должно<br />
выполняться равенство [15]:<br />
t ch<br />
= t h<br />
+ t ind<br />
= t cool ,<br />
где t ch<br />
– время химической реакции, t cool<br />
– время<br />
охлаждения очага теплопроводностью,<br />
t h<br />
– время прогрева частицы Al в очаге, t ind<br />
–<br />
период индукции теплового взрыва.<br />
Условие переброса пламени для алюминиево-воздушной<br />
смеси в исследованном<br />
диапазоне размеров частиц в зоне рециркуляции<br />
так же, как и в бензовоздушной смеси<br />
[16], может быть описано выражением<br />
U<br />
св<br />
U<br />
n<br />
Lзр(<br />
1−<br />
Lсв<br />
)<br />
≤ ( 1−<br />
R<br />
кс<br />
B<br />
г<br />
) .<br />
Это условие определяется нормальной скоростью<br />
распространения пламени (U n<br />
), скоростью<br />
потока у свечи (U св<br />
), размерами зоны<br />
рециркуляции (L зр<br />
), координатой свечи зажигания<br />
( L<br />
св<br />
) и геометрическими параметрами<br />
модели (R кс<br />
, В г<br />
= H 2 /D 2 ). кс<br />
170
Технические науки<br />
100<br />
80<br />
1<br />
3<br />
60<br />
2<br />
Rоч, мм<br />
40<br />
20<br />
0<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
τ, мc<br />
Рис. 9. Влияние начальной турбулентности воздуха ε<br />
0<br />
на динамику роста очага при раздельной подаче<br />
компонентов аэровзвеси в камеру сгорания: D КС<br />
= 0,<br />
09м<br />
; горючее – АСД-1 ( d32 = 17,<br />
5мкм<br />
);<br />
1 – без решетки (ε 0<br />
=5%), 2 – с решеткой на l р<br />
= 0,<br />
02м<br />
(ε 0<br />
=22%), 3 – с решеткой на l р<br />
= 0,<br />
057 м (ε 0<br />
=12%)<br />
Воспламенение алюминиево-воздушной<br />
смеси в зоне рециркуляции так же, как и<br />
для гомогенной смеси, может быть обеспечено<br />
при выполнении условия<br />
τ<br />
пр<br />
τ<br />
г<br />
H ⋅U<br />
≥<br />
n<br />
U<br />
зр<br />
⋅ a = Mi<br />
восп<br />
где t г<br />
– время горения, Mi восп – критерий Михельсона<br />
на границе воспламенения, а – коэффициент<br />
температуропроводности.<br />
Таким образом, на основе полученных<br />
данных в результате проведенных исследований<br />
можно сделать следующие выводы:<br />
1. Самолетную систему зажигания с<br />
поверхностной свечой СПН-4-3Т можно использовать<br />
для зажигания турбулентного потока<br />
алюминиево-воздушной смеси содержащей<br />
частицы алюминия марок АСД-4 и АСД-1.<br />
2. Качественно характер развития начального<br />
очага зажигания в турбулентном<br />
потоке алюминиево-воздушной смеси в исследованном<br />
диапазоне размеров частиц алюминия<br />
соответствует характеру развития начального<br />
очага при воспламенении однородной<br />
горючей смеси.<br />
3. Процесс развития начального очага<br />
зажигания алюминиево-воздушной смеси в<br />
,<br />
зоне рециркуляции проходит в две стадии.<br />
Первая стадия, когда скорость выделения тепла<br />
в процессе химической реакции превосходит<br />
скорость теплоотвода в окружающую<br />
среду и составляет 1/3 от общего времени<br />
воспламенения.<br />
4. Увеличение турбулентности потока<br />
алюминиево-воздушной смеси на входе в камеру<br />
сгорания положительно влияет на первую<br />
стадию развития начального очага зажигания<br />
и отрицательно - на вторую.<br />
Список литературы<br />
1. Раушенбах Б. В., Белый С. А., Беспалов<br />
И. В., Борадачев В. Я., Волынский М. С.,<br />
Прудников А. Г. Физические основы рабочего<br />
процесса в камерах сгорания воздушно –<br />
реактивных двигателей. – М.: Машиностроение,<br />
1961.<br />
2. Лефевр А. Процессы в камерах сгорания<br />
ГТД. - М.: Мир, 1986.<br />
3. Егоров А. Г., Русаков М. М., Шайкин<br />
А. П. Зажигание турбулентного потока<br />
дкухкопонентной газовзвеси // Труды Всероссийской<br />
научно-технической конференции.<br />
Процессы горения, теплообмена и экологии<br />
тепловых двигателей.-Самара, 2000. - С. 43-57.<br />
171
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
4. Егоров А. Г. , Малинин В. И. Искровое<br />
зажигание и пределы воспламенения в<br />
потоке аэровзвеси частиц алюминия // IV<br />
Международная школа-семинар «Внутрикамерные<br />
процессы, горение и газовая динамика<br />
дисперсных систем». Сборник материалов.<br />
- С. Петербург, 2004. - Том № 1. - С. 36 – 39.<br />
5. Егоров А. Г., Кальней Е. Д., Шайкин<br />
А. П. Стабилизация пламени порошкообразного<br />
металлического горючего в турбулентном<br />
потоке воздуха // Физика горения и<br />
взрыва. - 2002. - Т. 37. - № 5. - С. 28 – 35.<br />
6. Егоров А. Г., Маркаров Э. Э., Павлов<br />
Д. А., Шайкин А. П. Влияние начальной<br />
турбулентности потока алюминиево-воздушной<br />
смеси на процессы воспламенения и стабилизации<br />
пламени // Вестник Самарского государственного<br />
аэрокосмического университета<br />
имени С.П. Королева. - 2002. - № 2. -<br />
С. 27 – 32.<br />
7. Егоров А. Г. Время пребывания частиц<br />
алюминия в камерах сгорания с внезапным<br />
расширением – М.: Химическая физика.<br />
– 2003. – Т. 22. - №11. - С. 54-63.<br />
8. Кумагаи. Горение. – М: Химия, 1980.<br />
9. Щетинков Е. С. Физика горения газов.<br />
- М.: Наука, 1965.<br />
10. Зельдович Я. Б. Журнал экспериментальной<br />
и теоретической физики. - 1941. -<br />
№ 11. - С. 159.<br />
11. Буркина Р. С., Князева А. Г. Исследование<br />
очагового теплового воспламенения<br />
и режима его вырождения // Физика горения<br />
и взрыва. - 1992. - Т.28. - №3. - С. 3 – 8.<br />
12. Князева А. Г., Буркина Р. С., Вилюнов<br />
В. Н. Особенности очагового теплового<br />
воспламенения при различных начальных<br />
распределениях температуры // Физика горения<br />
и взрыва. - 1988. - Т.24. - № 3. - С. 45.<br />
13. Мержанов А. Г., Барзыкин В. В, Гонтковская<br />
В. Т. // Доклад АН СССР. - 1963. -<br />
Т. 148. - № 2. - С. 380.<br />
14. Соколик А. С. Самовоспламенение,<br />
пламя и детонация в газах. - М.: Изд. Академии<br />
наук СССР, 1960.<br />
15. Сеплярский Б. С., Ивлева Т. П. Изучение<br />
искрового зажигания газовзвеси твердых<br />
частиц с помощью очаговой модели воспламенения<br />
// XII Симпозиум по горению и<br />
взрыву // Химическая физика горения и взрыва.<br />
Ч.2. – Черноголовка. - 2000. – С. 47-48.<br />
16. Лукачев С. В., Ланский А. М., Абрашкин<br />
В. Ю., Диденко А. А. и др. Рабочий<br />
процесс камер сгорания малоразмерных ГТД,<br />
проблемы и некоторые пути повышения его<br />
эффективности // Вестник Самарского государственного<br />
аэрокосмического университета<br />
им. С.П. Королева. - Самара. - 1998. - Выпуск<br />
№1. - С.11 – 38.<br />
EXPERIMENTAL ANALYSIS OF THE INITIAL SPARK IGNITION SITE<br />
FOR THE TURBULENT FLOW OF ALUMINIUM-AIR MIXTURE<br />
© 2007 A. G. Yegorov<br />
Togliatti State University<br />
The paper presents an experimental analysis of the initial ignition site in the recirculation area with a turbulent<br />
flow of aluminium-air mixture ignited by an electric spark. It has been found out that the nature of initial ignition site<br />
development in a turbulent flow of aluminium-air mixture corresponds to the nature of initial site development for a<br />
homogeneous combustible mixture.<br />
172
Технические науки<br />
УДК 534.222:534.6<br />
ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКА В<br />
ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ НЕЛИНЕЙНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ<br />
УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ВОЛН<br />
© 2007 В. С.Кононенко 1 , А. В. Шацкий 2<br />
1<br />
Самарский государственный технический университет<br />
2<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Представлены результаты расчета спада амплитуды свободных нелинейных колебаний в ультразвуковом<br />
резонаторе, заполненном жидкостной диссипативной средой. По результатам расчета проведен анализ зависимости<br />
коэффициента поглощения ультразвука от времени спада колебаний, на основе которого предложена<br />
методика, позволяющая экспериментаторам избежать больших ошибок при измерении коэффициента поглощения<br />
ультразвука в условиях нелинейного распространения волн.<br />
1. Проблема исследования поглощения<br />
Из множества методов для исследования<br />
поглощения ультразвуковых волн в жидкости<br />
самыми распространенными являются<br />
резонаторный и импульсный методы. На<br />
частотах ниже 10 МГц используется резонаторный<br />
метод исследования, в котором ультразвуковой<br />
луч проходит достаточно большое<br />
расстояние посредством переотражений от<br />
пьезопреобразователей резонатора. Поглощение<br />
измеряется по половинной ширине резонансного<br />
пика снимаемого сигнала с помощью<br />
пьезопреобразователя или измеряется<br />
время спада амплитуды колебаний волн. Проблема<br />
состоит в том, что при измерении поглощения<br />
даже на достаточно небольших<br />
амплитудах на частотах, близких f<br />
q<br />
2 ,<br />
f<br />
q<br />
3<br />
,…., где f<br />
q - собственная частота приемного<br />
пьезопреобразователя, в спектре приемного<br />
сигнала появляются высшие гармоники<br />
[1]. Это связано с тем, что уравнение<br />
движения в жидкости нелинейно. Данное<br />
обстоятельство может привести к значительному<br />
искажению получаемых результатов в<br />
ходе эксперимента. Таким образом, экспериментаторам<br />
приходится пропускать данные<br />
диапазоны частот при построении спектральной<br />
характеристики коэффициента поглощения<br />
в жидкости [2]. В статье проводится исследование<br />
данной проблемы, а также анализируются<br />
возможные методы ее устранения.<br />
2. Постановка и решение задачи<br />
Ультразвуковой жидкостный резонатор<br />
состоит, как правило, из цилиндрической<br />
полости, в торцах которой прикреплены пьезопреобразователи,<br />
один из которых является<br />
излучающим, а другой приемным. Ультразвуковой<br />
луч многократно отражается от<br />
пьезопреобразователей, что приводит к образованию<br />
стоячей ультразвуковой волны.<br />
Рассмотрим одномерный ультразвуковой резонатор<br />
с абсолютно жесткими стенками,<br />
между которыми распространяются ультразвуковые<br />
волны. Для нахождения амплитуд<br />
ультразвуковых волн воспользуемся волновым<br />
уравнением, записанным в переменных<br />
Лагранжа [3]:<br />
2<br />
∂ ξ<br />
=<br />
2<br />
∂t<br />
c<br />
2<br />
0<br />
+ 1 2<br />
( 1+ ∂ξ ∂a) ∂a<br />
2<br />
∂ ξ<br />
γ . (1)<br />
Данное уравнение описывает волны,<br />
бегущие в обе стороны – как вправо, так и<br />
влево, - и их взаимодействие между собой.<br />
Здесь ξ и a - смещение и координата в переменных<br />
Лагранжа, соответственно; c<br />
0<br />
-<br />
скорость звука в жидкости, γ - показатель<br />
адиабаты жидкости. В рассматриваемом случае<br />
жидкость является вязкой, и уравнение<br />
(1) приобретает достаточно сложный вид.<br />
Однако на основе качественных соображений<br />
его часто дополняют диссипативным членом,<br />
содержащим производную третьего порядка<br />
[3]:<br />
173
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
2<br />
∂ ξ<br />
=<br />
2<br />
∂t<br />
c<br />
2<br />
0<br />
2<br />
∂ ξ<br />
+<br />
γ+<br />
1 2<br />
2<br />
( 1 + ∂ξ ∂a) ∂a<br />
ρ ∂ a ⋅ ∂t<br />
b<br />
0<br />
∂<br />
3<br />
ξ<br />
, (2)<br />
где b - параметр диссипации, ρ<br />
0<br />
- плотность<br />
жидкости. При малых ξ можно воспользоваться<br />
уравнением, полученным из (2) раз-<br />
−<br />
ложением члена ( ) ( γ+ 1)<br />
1 + ∂ξ ∂a в степенной<br />
ряд, оставляя первые два члена разложения.<br />
В итоге получим уравнение<br />
2<br />
∂ ξ 1<br />
−<br />
2<br />
∂a<br />
c<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
∂ ξ ∂ξ ∂ ξ b<br />
= 2ε<br />
−<br />
2<br />
2 2<br />
∂t<br />
∂a<br />
∂a<br />
c ρ<br />
0<br />
0<br />
3<br />
∂ ξ<br />
2 ,<br />
∂a<br />
⋅∂t<br />
(3)<br />
2<br />
1 d A4<br />
b 2 dA4<br />
2<br />
+ 16k<br />
+ 16k<br />
A<br />
2<br />
2<br />
c dt c dt<br />
0<br />
0<br />
ρ0<br />
3<br />
2<br />
= 2εk<br />
[ 6A A + 10A A + 4A<br />
],<br />
1<br />
3<br />
2<br />
1 d A5<br />
b 2 dA<br />
+ 25k<br />
2<br />
2<br />
c dt c dt<br />
0<br />
0<br />
ρ0<br />
3<br />
= 2εk<br />
[ 10A A + 15A<br />
A ].<br />
1<br />
4<br />
1<br />
2<br />
5<br />
3<br />
5<br />
2<br />
+ 25k<br />
2<br />
A<br />
4<br />
5<br />
=<br />
=<br />
(8)<br />
(9)<br />
Если считать далее, что нелинейные и диссипативные<br />
члены в уравнениях (5) – (9)<br />
малы ( µ )<br />
~ , то решение можно приближенно<br />
искать в форме:<br />
где ε = ( γ + 1) / 2 - параметр нелинейности<br />
среды. В качестве начального условия выберем<br />
стоячую волну обычного синусоидального<br />
типа. Также предположим, что в резонаторе<br />
могут взаимодействовать только пять<br />
основных мод, и будем искать решение уравнения<br />
(3) в следующем виде:<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
1( t) = B1<br />
( µ t) exp( iωt<br />
) + к.с.,<br />
2() t = B2<br />
( µ t) exp( i2ωt)<br />
+ к.c<br />
3() t = B3( µ t) exp( i3ωt<br />
) +<br />
4() t = B4<br />
( µ t) exp( i4ωt)<br />
+<br />
() t = B ( µ t) exp( i5ωt) + к.с.<br />
5<br />
5<br />
.,<br />
к.с.,<br />
к.с.,<br />
(10)<br />
ξ<br />
=<br />
+ A<br />
3<br />
A1<br />
( t) sin( ka) + A2<br />
( t) sin( 2ka)<br />
+<br />
() t sin( 3ka) + A () t sin( 4ka) + A () t sin( 5ka).<br />
4<br />
5<br />
(4)<br />
Собирая выражения, стоящие при sin ( ka)<br />
,<br />
sin( 2 ka)<br />
, sin( 3 ka)<br />
, sin( 4 ka)<br />
и sin( 5 ka)<br />
, придем<br />
к следующим уравнениям:<br />
2<br />
1 d A1<br />
b 2 dA1<br />
2<br />
+ k + k A1<br />
=<br />
2<br />
2<br />
c dt c dt<br />
0<br />
0<br />
ρ0<br />
3<br />
= 2εk<br />
[ A A + 3A<br />
A + 6A<br />
A + 10A<br />
A ],<br />
1<br />
c<br />
2<br />
0<br />
2<br />
d A<br />
dt<br />
2<br />
1<br />
2<br />
b<br />
+<br />
2<br />
c ρ<br />
3⎡1<br />
2<br />
= 2εk<br />
⎢<br />
A1<br />
⎣2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
3<br />
4k<br />
2<br />
dA<br />
dt<br />
2<br />
3<br />
⎤<br />
+ 3A1<br />
A3<br />
+ 8A2<br />
A4<br />
+ 15A3<br />
A5<br />
⎥<br />
,<br />
⎦<br />
4<br />
+ 4k<br />
2<br />
A<br />
2<br />
4<br />
=<br />
5<br />
(5)<br />
(6)<br />
Здесь B ,<br />
1<br />
B , B<br />
2 3<br />
, B и B<br />
4 5<br />
- медленно меняющиеся<br />
комплексные амплитуды распространяющихся<br />
гармоник. Сохраняя везде члены<br />
не выше первого порядка малости, получим<br />
dB<br />
dt<br />
1<br />
+ 6B<br />
dB<br />
dt<br />
2<br />
+ 8B<br />
dB<br />
dt<br />
3<br />
b<br />
+<br />
2ρ<br />
∗<br />
3<br />
2<br />
k B = −iεωk<br />
B B<br />
∗<br />
4<br />
B + 10B<br />
B<br />
4<br />
b<br />
+<br />
2ρ<br />
∗<br />
2<br />
+ 15B<br />
4<br />
0<br />
b<br />
+<br />
2ρ<br />
∗<br />
2<br />
0<br />
4k<br />
2<br />
B<br />
+ 15B<br />
B ],<br />
5<br />
0<br />
9k<br />
2<br />
1<br />
2<br />
∗<br />
3<br />
B<br />
B<br />
3<br />
B ],<br />
],<br />
5<br />
= −i<br />
5<br />
1<br />
2<br />
[<br />
∗<br />
1<br />
2<br />
⎡ 1<br />
εωk<br />
⎢<br />
B<br />
⎣ 2<br />
[<br />
+ 3B<br />
2<br />
1<br />
∗<br />
2<br />
+ 3B<br />
∗<br />
1<br />
B<br />
B<br />
3<br />
3<br />
+<br />
+<br />
(11)<br />
(12)<br />
1<br />
∗<br />
= −i<br />
εωk<br />
6B1<br />
B4<br />
+ 3B1B2<br />
+<br />
3<br />
(13)<br />
2<br />
1 d A3<br />
b 2 dA3<br />
2<br />
+ 9k<br />
+ 9k<br />
A3<br />
=<br />
2<br />
2<br />
c dt c dt<br />
0<br />
0<br />
ρ0<br />
3<br />
= 2εk<br />
[ 3A A + 6A<br />
A + 15A<br />
A ],<br />
1<br />
2<br />
4<br />
1<br />
2<br />
5<br />
(7)<br />
174<br />
dB<br />
dt<br />
4<br />
b<br />
+<br />
2ρ<br />
∗<br />
1<br />
16k<br />
+ 10B<br />
B + 4B<br />
5<br />
0<br />
2<br />
B<br />
2<br />
2<br />
4<br />
],<br />
1<br />
= −i<br />
εωk[<br />
6B1<br />
B3<br />
+<br />
4<br />
(14)
Технические науки<br />
dB<br />
dt<br />
5<br />
b<br />
+<br />
2ρ<br />
+ 15B<br />
B ].<br />
2<br />
3<br />
0<br />
25k<br />
2<br />
B<br />
5<br />
1<br />
= −i<br />
εωk[<br />
10B4B1<br />
+<br />
5<br />
(15)<br />
В уравнениях системы (11) – (15) удобно перейти<br />
к действительным амплитудам и фазам.<br />
Полагая для этого:<br />
B<br />
1<br />
= 1<br />
C1<br />
exp( iS ) , B = C exp( iS ),<br />
2 2<br />
2<br />
B<br />
3<br />
= 3<br />
C3<br />
exp( iS ) , B = C exp( iS ),<br />
4 4<br />
4<br />
B = 5<br />
C5<br />
exp( iS5<br />
)<br />
и выделяя из каждого вещественную и мнимую<br />
части, получим следующую систему<br />
дифференциальных уравнений:<br />
dC<br />
dt<br />
1<br />
+ 3C C<br />
− S<br />
1<br />
dC<br />
dt<br />
2<br />
− 2S<br />
b<br />
+<br />
2ρ<br />
+ 3C C<br />
dC<br />
dt<br />
0<br />
2<br />
k C = ωkε<br />
[ C C sin( S − 2S<br />
)<br />
2 3<br />
sin( S3<br />
− S2<br />
− S1) + 6C3C4<br />
sin(<br />
) + 10C<br />
C sin( S − S − S )],<br />
3<br />
b<br />
+<br />
2ρ<br />
1<br />
2<br />
0<br />
4<br />
4k<br />
5<br />
1<br />
C<br />
5<br />
3<br />
sin( S3<br />
− S1<br />
− S2<br />
) + 8C2C4<br />
sin(<br />
) + 15C C sin( S − S − S )],<br />
b<br />
+<br />
2ρ<br />
3<br />
2<br />
9k<br />
5<br />
C<br />
2<br />
1<br />
4<br />
2<br />
1<br />
1 ⎡1<br />
= ωkε<br />
C<br />
2 ⎢<br />
⎣2<br />
) + 3C C sin( S + S − S )<br />
− S3<br />
1 2 1 2<br />
+ 15C C sin( S − S − S )],<br />
dC<br />
dt<br />
4<br />
− S<br />
4<br />
+ 4C<br />
dC<br />
dt<br />
5<br />
2<br />
5<br />
0<br />
b<br />
+<br />
2ρ<br />
2<br />
16k<br />
5<br />
3<br />
C<br />
5<br />
3<br />
1<br />
= ωkε<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
sin<br />
S − S −<br />
4<br />
1<br />
+<br />
3<br />
( 2S<br />
− S )<br />
S<br />
[ 6C C sin(<br />
) + 10C C sin( S − S − S )<br />
2<br />
2<br />
+ S − S<br />
− S<br />
1<br />
0<br />
1<br />
5<br />
sin( 2S<br />
− S )],<br />
b<br />
+<br />
2ρ<br />
5<br />
− S<br />
0<br />
dS1<br />
= −ωkε<br />
dt<br />
+ 3C<br />
C<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
25k<br />
2<br />
4<br />
C<br />
1<br />
= ωkε<br />
4<br />
4<br />
5<br />
1<br />
1<br />
= ωkε<br />
5<br />
3<br />
1<br />
+<br />
4<br />
4<br />
S<br />
[ 6C C sin(<br />
4<br />
1<br />
+<br />
3<br />
1<br />
4<br />
−<br />
2<br />
1<br />
+<br />
− S −<br />
S + S −<br />
1<br />
[ 10C C sin(<br />
) + 15C C sin( S + S − S )],<br />
2<br />
5<br />
3<br />
[ C C cos( S − 2S<br />
)<br />
cos( S3<br />
− S2<br />
− S1) + 6C3C4<br />
cos(<br />
) + 10C<br />
C cos( S − S − S )],<br />
1<br />
1<br />
4<br />
2<br />
5<br />
2<br />
2<br />
5<br />
3<br />
1<br />
4<br />
4<br />
+<br />
5<br />
1<br />
1<br />
S<br />
S<br />
4<br />
4<br />
−<br />
3<br />
+<br />
(16)<br />
(17)<br />
(18)<br />
(19)<br />
(20)<br />
(21)<br />
dS2<br />
1 ⎡1<br />
= − ωkε<br />
C<br />
dt 2 ⎢<br />
⎣2<br />
+ 3C C<br />
− 2S<br />
1<br />
2<br />
cos<br />
( 2S<br />
− S )<br />
3<br />
cos( S3<br />
− S1<br />
− S2<br />
) + 8C2C4<br />
cos(<br />
) + 15C C cos( S − S − S )],<br />
3<br />
5<br />
2<br />
1<br />
dS<br />
3<br />
1<br />
= − ωkε<br />
1 4 4<br />
dt 3<br />
+ 3C1C<br />
2<br />
cos( S1<br />
+ S2<br />
− S3<br />
) +<br />
+ 15C<br />
C cos( S − S − S )],<br />
2<br />
5<br />
dS4<br />
1<br />
= − ωkε<br />
dt 4<br />
+ 10C C cos<br />
1<br />
5<br />
5<br />
3<br />
1<br />
2<br />
2<br />
+<br />
[ 6C<br />
C cos( S − S − S )<br />
5<br />
2<br />
[ 6C C cos( S + S − S )<br />
3<br />
2<br />
( S − S − S ) + 4C<br />
cos( 2S<br />
− S )],<br />
5<br />
dS5<br />
1<br />
= − ωkε<br />
4 1<br />
dt 5<br />
+ 15C C cos( S + S − S )].<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
4<br />
+<br />
2<br />
3<br />
S<br />
4<br />
+<br />
[ 10C C cos( S + S − S )<br />
2<br />
3<br />
5<br />
4<br />
1<br />
5<br />
−<br />
4<br />
+<br />
(22)<br />
(23)<br />
(24)<br />
(25)<br />
Поскольку получить аналитическое решение<br />
системы (16) – (25) невозможно, система<br />
решалась численно методом Рунге-Кутта.<br />
На рис. 1 приведены результаты расчета<br />
относительных комплексных амплитуд первых<br />
пяти гармоник в зависимости от величины<br />
x = t ⋅ ω: ω - циклическая частота возбуждаемого<br />
сигнала, B<br />
0<br />
- суммарная амплитуда<br />
колебаний распространяющихся гармоник<br />
в начальный момент времени.<br />
3. Анализ полученных результатов<br />
Результаты расчета указывают на достаточно<br />
сложную зависимость спада амплитуд<br />
гармоник с течением времени. Это объясняется<br />
тем, что помимо диссипативных эффектов<br />
присутствуют также и нелинейные<br />
эффекты, и в резонаторе происходит обмен<br />
энергиями между всеми возникающими гармониками.<br />
Если не сделать ограничения на<br />
число образующихся гармоник, то зависимости<br />
будут иметь еще более сложный характер.<br />
Решение данной задачи имеет практическую<br />
ценность. Суть в том, что при исследовании<br />
поглощения с помощью резонаторов<br />
экспериментаторы либо пропускают те диапазоны<br />
частот, в которых наблюдаются не-<br />
175
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 1. Зависимости спада амплитуд свободных колебаний первых пяти гармоник в акустическом<br />
резонаторе, заполненном жидкой диссипативной средой<br />
линейные эффекты, либо пользуются допущением,<br />
что распространяющиеся моды не<br />
взаимодействуют друг с другом, то есть между<br />
ними не происходит обмена энергиями.<br />
Такое часто происходит, когда поглощение<br />
измеряется с помощью времени спада колебаний.<br />
При этом измеряется время, за которое<br />
амплитуда колебаний спадет в e раз, а<br />
затем рассчитывается коэффициент поглощения<br />
по достаточно простым формулам. Если<br />
взаимодействием гармоник пренебречь (правые<br />
части уравнений системы (11) – (16) будут<br />
равны нулю), то решение системы примет<br />
вид:<br />
B<br />
T<br />
+ B<br />
( α,t)<br />
3,<br />
0<br />
e<br />
= B<br />
−9α⋅t<br />
1,<br />
0<br />
e<br />
+ B<br />
−α⋅t<br />
4,<br />
0<br />
e<br />
+ B<br />
−16α⋅t<br />
2,<br />
0<br />
e<br />
+ B<br />
−4α⋅t<br />
5,<br />
0<br />
e<br />
+<br />
−25α⋅t<br />
,<br />
(26)<br />
где α = bk 2 2ρ<br />
0<br />
- коэффициент поглощения<br />
жидкости; B<br />
1, 0<br />
, B<br />
2, 0<br />
, B<br />
3, 0<br />
, B<br />
4, 0<br />
и B<br />
5, 0<br />
- начальные<br />
амплитуды первой, второй, третьей, четвертой<br />
и пятой гармоники, соответственно.<br />
На рис. 2 приведены кривая спада колебаний<br />
реально наблюдаемого сигнала (с<br />
учетом взаимодействия гармоник) и кривая,<br />
описываемая решением (26), построенные<br />
при одинаковых начальных условиях и одинаковых<br />
параметрах исследуемой среды. На<br />
рисунке указаны точки, в которых снимается<br />
отсчет времени спада колебаний τ , за которое<br />
амплитуда уменьшается в e раз – это пересечение<br />
прямой W = 1/ e и кривых. Полученные<br />
точки: τ - реальное время спада,<br />
τ - время спада согласно (26) отличаются<br />
T<br />
друг от друга.<br />
Чем больше будет параметр нелинейности<br />
исследуемой среды, тем более значительно<br />
будут различаться τ и τ . Это означает,<br />
T<br />
что использование времени спада колебаний<br />
τ , реально снимаемого прибором, при подстановке<br />
в (26) ведет к большому завышению<br />
рассчитываемого коэффициента поглощения<br />
α . Поправку к таким результатам сделать<br />
достаточно сложно. Единственно возможным<br />
способом приблизиться к истинному значению<br />
коэффициента поглощения при использовании<br />
выражения (26) является следующее.<br />
Отсчет времени спада колебаний нужно снимать<br />
не в момент, когда амплитуда колебаний<br />
уменьшится в е раз, как это принято, а когда<br />
влияние высших гармоник станет пренебрежимо<br />
малым, то есть их амплитуда вследствие<br />
диссипации станет достаточно малой<br />
по сравнению с основной модой. На рис. 2<br />
видно, что кривая, снимаемая прибором, с<br />
течением времени ведет себя как кривая, построенная<br />
с допущением о не взаимодействии<br />
гармоник между собой. Это означает,<br />
что если приборы позволяют зафиксировать<br />
момент времени, когда на кривой спада амп-<br />
176
Технические науки<br />
Рис. 2. Спад суммарной амплитуды колебаний с течением времени: сплошная линия – с учетом<br />
взаимодействия гармоник; пунктирная – без учета взаимодействия гармоник<br />
литуды колебаний будут отсутствовать осцилляции,<br />
обусловленные взаимодействием гармоник,<br />
то можно провести одновременно отсчет<br />
амплитуды и времени спада колебаний<br />
и затем достаточно просто рассчитать коэффициент<br />
поглощения. Уравнение для расчета<br />
будет выглядеть следующим образом:<br />
B<br />
T<br />
( , τ)<br />
( α,<br />
0)<br />
BT<br />
α = , (27)<br />
N<br />
где N - число, показывающее, во сколько раз<br />
уменьшилась амплитуда колебаний за время<br />
τ. Начальные значения амплитуд гармоник<br />
можно снять с анализатора спектра, использование<br />
которого обязательно при исследовании<br />
поглощения с помощью резонатора.<br />
Численным решением уравнения (27) определяется<br />
коэффициент поглощения, отличие<br />
которого от истинного значения станет существенно<br />
меньше.<br />
Заключение<br />
Использование данной методики исследования<br />
поглощения ультразвука в жидкости<br />
при условии нелинейного распространения<br />
волн показывает необходимость дальнейшего<br />
теоретического исследования, которое позволит<br />
получить новые технические решения<br />
при создании прецизионных экспериментальных<br />
установок.<br />
Список литературы<br />
1. Кононенко В. С., Прокопьев В. И.,<br />
Галанин В. В. Исследование нелинейных<br />
эффектов в одномерном ультразвуковом резонаторе<br />
с плоскими пьезопластинами // Исследование<br />
ресурсосберегающих технологий<br />
на железнодорожном транспорте: Межвузовский<br />
сборник научных трудов с международным<br />
участием / Под ред. д.т.н. В. Н. Яковлева.<br />
Вып. 23. – Самара: СамИИТ, 2002. - С. 455-<br />
458.<br />
2. Eggers F., Kaatze U. Broad-band<br />
ultrasonic measurement techniques for liquids /<br />
/ Meas. Sci. Technol. 1996 – V. 7. – P. 1-19.<br />
3. Руденко О. В., Солуян С. И. Теоретические<br />
основы нелинейной акустики. – Москва,<br />
1975.- С. 127-138.<br />
MEASURING ULTRASOUND ABSORPTION FACTOR FOR LIQUIDS IN CASE<br />
OF NON-LINEAR PROPAGATION OF ULTRASONIC WAVES<br />
© 2007 V. S. Kononenko 1 , A. V. Shatsky 2<br />
1<br />
Samara State Technical University<br />
2<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper presents the results of calculating free non-linear oscillation amplitude decrease in an ultrasound<br />
resonator filled with liquid dissipative medium. On the basis of the calculation results the dependence of ultrasound<br />
absorption factor on the oscillation decrease time has been analysed. On the strength of this, a procedure is proposed<br />
that allows experimentors to avoid major mistakes when measuring the ultrasound absorption factor under non-linear<br />
wave propagation.<br />
177
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 004.9<br />
АВТОМАТИЧЕСКИЙ СЧЕТЧИК ЧАСТИЦ ЗАГРЯЗНЕНИЙ<br />
ЖИДКОСТИ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ<br />
С ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКОЙ СИГНАЛА<br />
© 2007 Д. В. Корнилин, И. А. Кудрявцев, Л. М. Логвинов<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Описан принцип работы автоматического счетчика частиц с цифровой обработкой сигнала, использующего<br />
канал обнаружения частиц. Определены аналитическое выражение для выбора частоты дискретизации и<br />
шаг квантования аналого-цифрового преобразователя (АЦП), исходя из заданной погрешности определения<br />
амплитуды импульса от частицы при его аппроксимации частью синусоиды.<br />
Ресурс и надежность жидкостных систем<br />
гидрофицированного оборудования в существенной<br />
степени зависят от качественной<br />
диагностики их состояния. Одним из эффективных<br />
методов является диагностика трибомеханических<br />
узлов гидросистем по параметрам<br />
частиц износа, генерируемых гидроагрегатами<br />
[1]. Регистрация частиц, как правило,<br />
производится при помощи фотоэлектрических<br />
преобразователей (ФЭП). Частицы<br />
загрязнений, проходящие через измерительный<br />
объем ФЭП, создают на его выходе импульсы,<br />
амплитуда которых пропорциональна<br />
квадрату размера частиц. Число, размер и<br />
интенсивность генерации частиц свидетельствуют<br />
о техническом состоянии диагностируемых<br />
объектов.<br />
ГОСТ 17216-2001 регламентирует дисперсный<br />
состав загрязнений жидкости в шести<br />
размерных диапазонах от 0,5 до 200 мкм.<br />
Реальная чувствительность существующих<br />
измерительных приборов (типа «АЗЖ», «ФО-<br />
ТОН» и др.) ограничена из-за шумов, имеющих<br />
различную физическую природу [2]:<br />
1) шумы рассеяния света на частицах, более<br />
мелких по сравнению с регистрируемыми;<br />
2) собственные шумы фотоприемника;<br />
3) шумы электронного тракта усиления. В<br />
этом случае не удается реализовать потенциальную<br />
чувствительность автоматического<br />
счетчика частиц (АСЧ). Для повышения чувствительности<br />
АСЧ предлагается использовать<br />
цифровую обработку сигнала, поступающего<br />
с ФЭП, с использованием дополнительного<br />
канала обнаружения наличия частиц.<br />
Информация о наличии частиц из этого<br />
канала используется амплитудным анализатором<br />
(АА), который определяет амплитуду<br />
импульса только в случае, если имеет место<br />
фиксация частиц каналом обнаружения. Кроме<br />
этого, применение цифровой обработки<br />
сигналов позволит оптимизировать алгоритм<br />
работы обнаружителя, а использование микропроцессора<br />
позволит автоматизировать ряд<br />
операций по настройке и поддержанию работоспособности<br />
всего АСЧ.<br />
Функциональная схема предлагаемого<br />
АСЧ с цифровой обработкой сигнала фотоэлектрического<br />
преобразователя представлена<br />
на рис. 1.<br />
Сигнал измерительной информации с<br />
двухканального фотоусилителя (ФУ1 и ФУ2)<br />
сигнала ФЭП поступает на коммутатор каналов<br />
(КК) АЦП. Использование двух каналов<br />
усиления объясняется величиной динамического<br />
диапазона выходного напряжения U<br />
ФЭП, определяемого по формуле[1]:<br />
U<br />
2<br />
= k ⋅ d ,<br />
где k – коэффициент пропорциональности,<br />
величина которого зависит от параметров<br />
светодиода и фотодиода, В/мкм 2 ; d – диаметр<br />
частицы, мкм.<br />
Выбор соответствующего канала осуществляется<br />
программно: сначала используется<br />
напряжение с выхода канала фотоусилителя<br />
с большим усилением (ФУ1), а при его<br />
насыщении (определяемом программно) используется<br />
сигнал второго канала (ФУ2). Далее<br />
сигнал преобразуется в цифровую форму<br />
с помощью АЦП. Подавление импульсных<br />
помеховых сигналов осуществляется медиан-<br />
178
Технические науки<br />
Рис. 1. Функциональная схема АСЧ с каналом обнаружения<br />
ным фильтром (МФ). В цифровом амплитудном<br />
анализаторе (ЦАА) происходит определение<br />
амплитуды импульса при наличии сигнала<br />
«Импульс от частицы», поступающего<br />
с блока обнаружения импульса (БОИ). Сигнал<br />
о величине постоянной составляющей,<br />
поступающий с блока выделения постоянной<br />
составляющей (БВПС), используется для<br />
вычисления амплитуды импульса как разности<br />
между абсолютным значением и величиной<br />
постоянного уровня с БВПС.<br />
Такой вариант обработки сигнала позволяет<br />
избавиться от необходимости поддерживать<br />
нулевой уровень по постоянной составляющей<br />
с помощью системы автоматического<br />
регулирования и избежать проблем,<br />
возникающих при потере устойчивости этой<br />
системы [2].<br />
Информация об амплитуде импульса,<br />
соответствующей размеру частицы, поступает<br />
на счетчик частиц (СЧ), который осуществляет<br />
подсчет числа частиц соответствующей<br />
размерной группы и выдает результат в<br />
блок формирования сигналов для его передачи<br />
с использованием интерфейса CAN 2.0.<br />
Этот интерфейс обеспечивает надежную и<br />
помехоустойчивую передачу данных потребителям,<br />
а также позволяет встраивать устройство<br />
в современные системы автоматического<br />
управления технологическими процессами.<br />
Блок определения длительности анализа<br />
(БОДА) служит для задания времени<br />
измерения, соответствующего моменту прохождения<br />
через измерительный канал жидкости<br />
объемом 100 мл (в соответствии с<br />
ГОСТ 17216-2001).<br />
Цифровой фильтр (ЦФ), цифро-аналоговые<br />
преобразователи (ЦАП), источники<br />
тока светодиода и фотодиода (ИТСД, ИТФД)<br />
служат для поддержания уровня освещенности<br />
в измерительном объеме (с помощью светодиода)<br />
и стабилизации рабочей точки фотодиода<br />
в заданных пределах. Предел определяется<br />
величиной, которая не выходит из<br />
диапазона измерения постоянной составляющей<br />
БВПС. При выходе постоянной составляющей<br />
из допустимых границ происходит<br />
корректировка тока светодиода и положения<br />
рабочей точки фотодиода путем выдачи управляющих<br />
сигналов с помощью ЦАП и<br />
ИТСД, ИТФД.<br />
Реализацию предложенной функциональной<br />
схемы АСЧ удобнее всего осуществить<br />
с применением сигнального процессора<br />
со встроенным АЦП. При выборе быстродействия<br />
и разрядности АЦП необходимо<br />
учитывать, что суммарная относительная<br />
погрешность определения амплитуды им-<br />
179
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
пульса (за счет дискретизации и квантования),<br />
как показывает практика, для наихудшего<br />
случая не должна превышать 1 % [2].<br />
Таким образом, быстродействие АЦП<br />
должно быть таким, чтобы относительная<br />
погрешность (за счет дискретизации) определения<br />
амплитуды импульса минимальной<br />
длительности не превышала 0,5% от максимального<br />
значения. Поскольку алгоритм определения<br />
амплитуды импульса предполагает<br />
последовательное сравнение выборок из<br />
сигнала и выбор наибольшей, то наихудшим<br />
случаем будет смещение выборки U д<br />
относительно<br />
максимума непрерывного сигнала U m<br />
на интервал дискретизации ∆Т д<br />
(рис. 2). Как<br />
показывают результаты работы [2], с достаточной<br />
для практических расчетов точностью<br />
выходной импульс напряжения ФЭП u(t) на<br />
интервале длительности от 0 до t можно аппроксимировать<br />
функцией<br />
π<br />
u( t)<br />
= U<br />
m<br />
⋅ sin( ⋅ t)<br />
, (1)<br />
τ<br />
где U m<br />
– амплитуда импульса.<br />
Относительная погрешность δ д<br />
определения<br />
максимума вычисляется по формуле<br />
∆U<br />
δ<br />
д<br />
= . (2)<br />
U<br />
m<br />
Абсолютную погрешность ∆U определим<br />
по формуле<br />
∆U<br />
= U<br />
m<br />
− U<br />
m<br />
π<br />
⋅ sin(<br />
τ<br />
τ<br />
⋅ ( − ∆T<br />
2<br />
д<br />
)) . (3)<br />
Рис. 2. Аппроксимация выходного импульса ФЭП<br />
Определим необходимую величину интервала<br />
дискретизации ∆Т д<br />
с учетом (1) – (3)<br />
и окончательно получим<br />
τ<br />
∆ Tд<br />
= ⋅ arccos( 1−<br />
δ<br />
д<br />
) . (4)<br />
π<br />
Минимальная длительность импульса<br />
равна 100 мкс [2], и тогда интервал дискретизации,<br />
вычисленный по формуле (4), составлит<br />
3,2 мкс.<br />
Следует отметить, что за время между<br />
выборками процессор должен выполнить<br />
определенные команды по обработке сигнала,<br />
и поэтому быстродействие АЦП и микропроцессора<br />
необходимо выбирать с запасом.<br />
Шаг квантования вычислим, исходя из<br />
требуемой точности определения амплитуды<br />
импульса, определяющей чувствительность.<br />
Динамический диапазон амплитуд импульсов<br />
разбит на два поддиапазона таким образом,<br />
что амплитуда импульса от частицы 5 мкм,<br />
поступающая с усилителя первого канала,<br />
составляет 50 мВ. Для ее определения с погрешностью<br />
в 0,5 % необходимо выбрать шаг<br />
квантования менее 0,25 мВ. При напряжении<br />
полной шкалы, равном 3,3 В (напряжение<br />
питания), получаем необходимую разрядность<br />
АЦП, равную 14.<br />
Для реализации предложенного алгоритма<br />
на практике используется процессор<br />
цифровой обработки сигналов типа ADSP-<br />
21992 фирмы «Analog Devices», который имеет<br />
встроенный 14-разрядный АЦП с быстродействием<br />
20 MSpS. Производительность самого<br />
процессора составляет 160 MIPS, что с<br />
запасом удовлетворяет требованиям реализации<br />
предложенного алгоритма цифровой обработки<br />
сигнала.<br />
Список литературы<br />
1. Логвинов Л. М. Техническая диагностика<br />
жидкостных систем технологического<br />
оборудования по параметрам рабочей жидкости.<br />
- М.: ЦНТИ “Поиск”, 1992. – 91 с.<br />
2. Кудрявцев И. А. Повышение разрешающей<br />
способности и чувствительности<br />
фотоэлектрических преобразователей встроенного<br />
контроля дисперсной фазы для систем<br />
управления: Дис. на соиск. учен. ст. канд.<br />
тех. наук. - Самара, 1999. –140 с.<br />
180
Технические науки<br />
AUTOMATIC COUNTER OF HYDRAULIC EQUIPMENT LIQUID<br />
CONTAMINATION PARTICLES WITH DIGITAL SIGNAL PROCESSING<br />
© 2007 D. V. Kornilin, I. A. Kudryavtsev, L. M. Logvinov<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper describes the principle of operation of an automatic particle counter with digital signal processes<br />
using the channel of particle detection. An analytical expression for choosing discretization frequency and the quantization<br />
step of an analogue-to-digital converter (ADC) are defined based on the predetermined error of pulse amplitude<br />
determination, the pulse being approximated by a part of a sinusoid.<br />
181
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 539.3<br />
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА<br />
ДЕФОРМАЦИЙ И ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ<br />
КОНСТРУКЦИЙ В МАШИНОСТРОЕНИИ<br />
© 2007 Е. П. Кочеров<br />
ОАО «Самарское конструкторское бюро машиностроения»<br />
Рассмотрены различные подходы к расчету полей деформаций в окрестности зон локализации пластической<br />
деформации (концентраторов деформаций), в том числе основанные на жесткопластическом анализе.<br />
Предложены алгоритмы включения жесткопластических суперэлементов в известные пакеты программ типа<br />
MSC, ANSYS. Рассчитаны предельные значения поля тензора деформаций. Предложен подход к оценке прочности<br />
элементов конструкций.<br />
Одной из целей расчета полей напряжений<br />
и деформаций и их изменения во времени<br />
в машиностроении является оценка<br />
прочности конструкции в процессе эксплуатации,<br />
т. е. определение того, насколько далеко<br />
находится от критического напряженнодеформированное<br />
состояние конструкции в<br />
данный момент времени или на момент отработки<br />
соответствующего ресурсного показателя.<br />
Остановимся на проблеме расчетов в<br />
механике, тесно связанной с вопросами оценки<br />
надежности конструкций в машиностроении<br />
– проблеме расчетов полей деформаций<br />
в элементах конструкций. Эта проблема связана<br />
с формулировкой условий разрушения<br />
материала элементов конструкций, учитывающих<br />
историю эксплуатации. Основными<br />
механическими полями, которые должны<br />
входить в эти условия, являются поля напряжений,<br />
деформаций, скоростей деформаций<br />
и удельной диссипации энергии. Расчет этих<br />
полей составляет основную задачу расчета на<br />
прочность.<br />
Определение полей деформаций.<br />
В механике сплошных сред поля деформаций<br />
и скоростей деформаций связаны дифференциальным<br />
соотношением<br />
DE<br />
Dt<br />
dE<br />
ij ij<br />
= + EikVk, j<br />
+ E<br />
jkVk<br />
, i<br />
= ε<br />
ij , (1)<br />
dt<br />
1<br />
0 0<br />
где E ( − x x )<br />
ij<br />
= δ<br />
ij k,<br />
i k,<br />
j<br />
– тензор конечных<br />
2<br />
1<br />
деформаций Альманси; = ( + V )<br />
V<br />
i,<br />
j j,<br />
i<br />
ε<br />
ij<br />
–<br />
2<br />
182<br />
тензор скоростей деформаций; V<br />
i<br />
– скорость<br />
0<br />
перемещений; x<br />
i<br />
– лагранжевы координаты.<br />
Накопление деформаций полностью<br />
определяется полем скоростей перемещений.<br />
Одним из основных предметов исследований<br />
в нелинейной механике является определение<br />
полей деформаций и связанных с ними<br />
диссипативных процессов в окрестности угловых<br />
точек (в частности, вершины трещины).<br />
В связи с сингулярностью механических<br />
полей в окрестности этих точек численное<br />
определение их затруднено. Одной из моделей<br />
механики деформируемого твердого тела,<br />
позволяющей проводить аналитический анализ<br />
полей деформаций, является идеальное<br />
жесткопластическое тело.<br />
Основные соотношения теории идеального<br />
жесткопластического тела. Эти соотношения<br />
включают:<br />
– уравнения равновесия<br />
σ<br />
ij, j<br />
= 0 ;<br />
– условие текучести;<br />
( ) = 0<br />
f σ ;<br />
ij<br />
– ассоциированный закон пластического<br />
течения<br />
ε<br />
ij<br />
∂f<br />
= λ λ<br />
∂σ<br />
ij<br />
( > 0)<br />
;<br />
где f ( σ<br />
ij<br />
) – функция текучести; σ<br />
ij<br />
– тензор<br />
напряжений; i , j =1,2, 3 .
Технические науки<br />
Будем рассматривать идеальное жесткопластическое<br />
тело [1] при условии текучести,<br />
удовлетворяющем условию несжимаемости:<br />
V<br />
ε + ε + ε 0.<br />
11 22 33<br />
=<br />
V<br />
У.п.<br />
s ij<br />
Рис. 2. Упругопластическая часть полосы<br />
В [2, 3] приведены примеры расчетов<br />
полей деформаций в окрестности точек разрыва<br />
полей скоростей перемещений в рамках<br />
модели идеального жесткопластического<br />
тела. В [4] предложен жесткопластический<br />
суперэлемент, позволяющий рассчитывать<br />
поля деформаций и удельных диссипаций<br />
энергии в окрестности угловых точек для<br />
упрочняющихся упругопластических тел. На<br />
рис. 1 представлена схема применения суперэлемента<br />
в задаче о растяжении полосы с<br />
угловым вырезом с использованием пакета<br />
программ MSC. Указанный подход состоит в<br />
представлении полосы как составного тела,<br />
состоящего из внешней упругопластической<br />
части и внутренней окрестности вершины<br />
углового выреза, которая моделируется идеальным<br />
жесткопластическим телом. Для<br />
внешней части полосы (рис. 2) расчет полей<br />
напряжений и деформаций выполняется пакетом<br />
программ MSC. При этом взаимодействие<br />
с внутренней частью задается распределением<br />
напряжений на поверхности раздела.<br />
Для внутренней части полосы (рис. 3)<br />
поля напряжений, скоростей деформаций и<br />
деформаций определяются аналитически.<br />
Взаимодействие с внешней частью определяется<br />
нормальными скоростями движения<br />
частиц на поверхности раздела.<br />
В [2] показано, что предельное распределение<br />
деформаций в окрестности углового<br />
выреза определяется системой уравнений<br />
(1), которая для случая плоской деформации<br />
имеет следующий вид:<br />
V<br />
V<br />
Ж.п.<br />
Рис. 1. Схема применения суперэлемента<br />
в задаче о растяжении полосы<br />
de<br />
f + g cos 2( θ −ψ<br />
) = 0,<br />
dα<br />
dg ⎛ 1 ⎞<br />
f + ⎜ e − ⎟ cos 2<br />
dα<br />
⎝ 2 ⎠<br />
dθ<br />
⎛ 1 ⎞<br />
2g<br />
f − ⎜ e − ⎟ sin 2<br />
dα<br />
⎝ 2 ⎠<br />
где<br />
u −<br />
f =<br />
( θ −ψ<br />
)<br />
( a′<br />
cosα<br />
+ b′<br />
sinα<br />
)<br />
u + ∂ v<br />
∂α<br />
= 0,<br />
( θ −ψ<br />
) − g = 0,<br />
;<br />
183
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
1<br />
e<br />
11<br />
+<br />
2<br />
2 2<br />
= ( E E ) , g = ( E − E ) + E<br />
22<br />
b<br />
y<br />
А<br />
V n<br />
(a )<br />
a<br />
V n<br />
(a )<br />
Рис. 3. Жесткопластическая часть полосы<br />
1<br />
2<br />
11 22<br />
4<br />
– инварианты тензора Альманси; θ – угол<br />
наклона первого (алгебраически наибольшего)<br />
главного значения тензора E<br />
ij к оси Ox ;<br />
u, v – проекции скорости перемещений на<br />
α, β линии скольжения в подвижной системе<br />
координат, связанной с угловой точкой;<br />
α – полярный угол.<br />
На рис. 4 дана зависимость первого<br />
главного значения тензора Альманси E<br />
1<br />
от<br />
угла α в полярной системе координат с центром<br />
в вершине углового выреза (точка А).<br />
E E1max<br />
E 1<br />
E 1 max<br />
α<br />
0.5<br />
= π − δ 4<br />
0<br />
4<br />
Рис. 4. Зависимость максимальных деформаций от<br />
полярного угла при a′<br />
= V , b′<br />
= 0<br />
3π<br />
x<br />
α<br />
12<br />
184<br />
Наибольшее значение<br />
1<br />
= определяется<br />
параметрами жесткопластической<br />
области и скоростью движения вершины углового<br />
выреза ( m= a ′ i+<br />
b′<br />
j). Рассматриваемый<br />
пример показывает, что изменение положения<br />
углового выреза в полосе может<br />
моделировать процесс распространения трещины,<br />
если принять за механическую характеристику<br />
разрушения материала максимально<br />
допустимые деформации E 1 max<br />
.<br />
Данный подход к описанию процессов<br />
зарождения и распространения трещин может<br />
быть обобщен на пространственное деформирование<br />
материала [5, 6].<br />
Деформационные состояния идеального<br />
жесткопластического тела. Идеальное<br />
жесткопластическое тело предполагается несжимаемым.<br />
Условие несжимаемости можно<br />
записать в виде<br />
( − 2 )( 1−<br />
2E<br />
)( 1−<br />
2E<br />
) 1<br />
1<br />
1 2<br />
3<br />
=<br />
E . (2)<br />
Это уравнение определяет в пространстве<br />
главных деформаций E<br />
i<br />
гиперболическую<br />
поверхность третьего порядка<br />
(рис. 5,а).<br />
Рассмотрим проекцию поверхности<br />
на девиаторную плоскость с нормалью, равнонаклоненной<br />
к осям E<br />
i<br />
(рис. 5,б), на которой<br />
представлены проекции линий уровня<br />
(линий пересечения поверхности с<br />
плоскостью, параллельной девиаторной<br />
плоскости, расположенной на расстоянии<br />
( E + E E ) 3<br />
h = + до начала координат.<br />
1 2 3<br />
/<br />
Поверхность обладает симметрией<br />
относительно трех плоскостей, проходящих<br />
через координатные оси и линию, равнонаклоненную<br />
к осям координат, что следует из<br />
симметрии уравнения (2) относительно<br />
E<br />
1,E2,<br />
E3<br />
. Будем изображать процессы деформирования<br />
частиц идеального жесткопластического<br />
материала линиями L, расположенными<br />
на поверхности .<br />
Условия разрушения (деформационно-энергетические<br />
критерии). С точки зрения<br />
идеального жесткопластического тела условия<br />
разрушения должны содержать величины,<br />
входящие в определяющие уравнения<br />
модели, тензоры деформаций и напряжений<br />
и их производные по пространственным переменным<br />
и времени:<br />
Ф<br />
( E , , σ ,...) = 0 ( k = ,...,N )<br />
ε ,<br />
k ij ij ij<br />
1<br />
где Ф<br />
k<br />
– изотропные функции тензорных аргументов;<br />
N определяется моделью разрушения.
Технические науки<br />
E 3<br />
L 0<br />
O<br />
h<br />
E 2<br />
L<br />
E 1<br />
Это позволяет постулировать, что при<br />
пересечении линии (3) кривой, соответствующей<br />
процессу деформирования, происходит<br />
разрушение материала.<br />
В качестве аппроксимирующих кривых<br />
естественный интерес представляют линии<br />
уровня<br />
E + E<br />
1<br />
2<br />
+ E<br />
= H ,<br />
( H = 3h<br />
),<br />
( 1 − 2E<br />
)( 1 − 2E<br />
)( 1 − 2E<br />
) = 0,<br />
1<br />
3<br />
2<br />
3<br />
(4)<br />
s<br />
1<br />
e<br />
1,<br />
, E<br />
1<br />
l 0<br />
Уравнения (5) означают, что критическая<br />
линия уровня, определяющая момент разрушения<br />
каждой частицы, приближается к<br />
недеформированному состоянию в процессе<br />
пластического деформирования соответственно<br />
диссипации энергии. Функция H(D)<br />
должна быть определена экспериментально.<br />
Особенность подхода состоит в локальном<br />
использовании жесткопластического<br />
анализа пластических течений в окрестносa)<br />
O<br />
б)<br />
Стандартные экспериментальные исследования<br />
по растяжению плоских и цилиндрических<br />
образцов показывают, что разрушение<br />
материалов происходит при определенных<br />
деформациях. При этом определяемые<br />
характеристики разрушения (относительное<br />
удлинение и сужение образца при<br />
разрушении) могут служить основой для вы-<br />
*<br />
числения соответствующих значений E<br />
i<br />
.<br />
Эти эксперименты определяют минимальную<br />
систему точек на поверхности , которая<br />
может быть аппроксимирована некоторой<br />
кривой<br />
s<br />
⎧Ф( E1<br />
,E2<br />
,E3<br />
) = 0,<br />
⎨<br />
⎩( 1 − 2E1<br />
)( 1 − 2E2<br />
)( 1 − 2E3<br />
)<br />
3<br />
e<br />
3<br />
,<br />
, E<br />
h1<br />
h2<br />
h3<br />
l<br />
= 1.<br />
2<br />
e<br />
2<br />
,<br />
, E<br />
Рис. 5: а) поверхность деформационных состояний;<br />
б) проекция поверхности состояний<br />
на девиаторную плоскость<br />
3<br />
s<br />
(3)<br />
2<br />
так как эти линии всегда пересекаются меридиональными<br />
процессами деформирования<br />
и, в частности, кривыми, соответствующими<br />
стандартным испытаниям на одноосное<br />
растяжение-сжатие. Поэтому положение<br />
кривой (4) с определенной степенью приближения<br />
может быть получено экспериментально<br />
для каждого конструкционного материала.<br />
Вместе с тем известно, что даже при<br />
небольших циклически изменяющихся пластических<br />
деформациях при соответствующем<br />
числе циклов деформирования происходит<br />
разрушение практически всех материалов<br />
(малоцикловая усталость). Поэтому в<br />
уравнениях (4) должны быть включены параметры,<br />
учитывающие историю деформирования<br />
частиц материала. Одним из основных<br />
параметров истории деформирования является<br />
удельная диссипация энергии, совершенная<br />
частицей, вдоль всего пути S движения<br />
частицы:<br />
⎧E1<br />
+ E<br />
⎨<br />
D =<br />
∫<br />
S<br />
ε σ dt .<br />
ij<br />
ij<br />
Уравнения (4) при этом примут вид:<br />
2<br />
+ E<br />
3<br />
= H( D ),<br />
⎩( 1−<br />
2E1<br />
)( 1−<br />
2E2<br />
)( 1−<br />
2E3)<br />
= 1.<br />
(5)<br />
185
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ти зон локализации пластических деформаций.<br />
Возможность такого анализа обусловлена<br />
результатами исследований, приведенных<br />
в [1–6].<br />
Преимущества предлагаемого подхода.<br />
Предлагаемый подход:<br />
1) подтверждается корректным использованием<br />
экстремальных принципов неравновесной<br />
термодинамики;<br />
2) обеспечивает возможность формулировки<br />
критериев выбора предпочтительного<br />
пластического течения (иерархии решений),<br />
например, в следующем виде: реализуется<br />
такое пластическое течение, при котором<br />
максимальная удельная диссипация энергии<br />
минимальна;<br />
3) обеспечивает возможность формулировки<br />
критериев разрушения, согласованных<br />
с п. 4: разрушение материала происходит при<br />
достижении удельной диссипации энергии в<br />
частице материала критического значения;<br />
4) позволяет рассчитывать предельные<br />
значения полей тензоров деформаций и<br />
удельной диссипации энергии в окрестности<br />
концентраторов деформации.<br />
Список литературы<br />
1. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория<br />
пластичности. - Владивосток: Дальнаука,<br />
1998.<br />
2. Хромов А. И. Деформация и разрушение<br />
жесткопластических тел. - Владивосток:<br />
Дальнаука, 1996.<br />
3. Хромов А. И.. Козлова О. В. Разрушение<br />
жесткопластических тел. Константы<br />
разрушения. - Владивосток: Дальнаука, 2005.<br />
4. Хромов А. И., Буханько А. А., Степанов<br />
С. Л. Концентраторы деформаций // ДАН.<br />
- 2006. - Т. 407. - № 6. - C. 777-781.<br />
5. Хромов А. И., Кочеров Е. П., Григорьева<br />
А. Л. Деформационные состояния и<br />
условия разрушения жесткопластических тел<br />
// ДАН. - 2007. - Т. 4. - № 413. - С. 481-485.<br />
6. Кочеров Е. П., Хромов А.И. Деформационные<br />
состояния и разрушение идеальных<br />
жесткопластических тел // Вестник<br />
СамГТУ. - 2006. - № 42. - С. 66-71.<br />
NUMERICAL-AND-ARALYTICAL METHODS OF DEFORMATION<br />
CALCULATION AND EVALUATION OF STRUCTURAL MEMBER<br />
STRENGTH IN MECHANICAL ENGINEERING<br />
© 2007 Ye. P. Kotcherov<br />
Joint-Stock Company «Samara Mechanical Engineering Design Bureau»<br />
The paper deals with various approaches to calculating deformation fields in plastic deformation localization<br />
areas (deformation concentrators), including those based on rigid plastic analysis. Algorithms of incorporating rigid<br />
plastic superelements into familiar program packages like MSC, ANSYS are proposed. Limiting values of deformation<br />
tensor field are calculated. An approach to evaluating structural member strength is proposed.<br />
186
Технические науки<br />
УДК 621.664<br />
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОМЕРНОСТИ ПОДАЧИ ЖИДКОСТИ<br />
ШЕСТЕРЕННЫМ КАЧАЮЩИМ УЗЛОМ<br />
© 2007 А. Н. Крючков 2 , Л. В. Родионов 1 , М. С. Гаспаров 1 , Е. В. Шахматов 1<br />
1<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
2<br />
Институт акустики машин<br />
Проводится анализ неравномерности подачи жидкости шестеренным насосом с использованием CAD<br />
процедур. Предложена уточненная зависимость мгновенной теоретической производительности шестеренного<br />
качающего узла от угла поворота шестерни. Приводятся результаты расчета неравномерности подачи жидкости<br />
по предложенной и известной методикам.<br />
Шестеренные насосы нашли широкое<br />
применение в машиностроении, что обусловлено<br />
простотой их конструкции, малой трудоемкостью<br />
изготовления, сравнительно небольшими<br />
габаритами и массой. Их важным<br />
преимуществом по сравнению с другими<br />
объемными гидромашинами является возможность<br />
непосредственного соединения с<br />
быстроходными двигателями, имеющими<br />
частоты вращения до 10000 об/мин и выше.<br />
К недостаткам шестеренных качающих узлов<br />
следует отнести чувствительность к механическим<br />
примесям в перекачивающей жидкости;<br />
рост зазоров в процессе эксплуатации,<br />
вызывающий увеличение утечек; неравномерность<br />
подачи жидкости и высокий уровень<br />
акустического шума. Последние два фактора<br />
тесно связаны между собой, так как основным<br />
источником шума шестеренного насоса<br />
являются колебания давления в полостях<br />
насоса, а также кавитационные процессы.<br />
Для обоснования мероприятий по снижению<br />
интенсивности колебательных и кавитационных<br />
процессов необходима разработка<br />
методов расчета мгновенной подачи насоса.<br />
Эти методы должны учитывать кинематическую<br />
подачу жидкости с учетом запирания<br />
жидкости в межзубовом пространстве.<br />
В отличие от других типов объемных<br />
гидромашин (плунжерных, шиберных и пр.),<br />
для которых известны и апробированы аналитические<br />
уравнения мгновенной подачи,<br />
для шестеренных насосов аналогичные зависимости,<br />
по-видимому, не совсем корректны.<br />
Это обусловлено сложной геометрией зоны<br />
вытеснения жидкости сопряженными шестернями,<br />
а также хорошей сходимостью известных<br />
формул для среднего расхода. В статье<br />
проведен анализ формул для расчета<br />
мгновенного расхода шестеренного насоса,<br />
предложенных отечественными и зарубежными<br />
исследователями, и предложена графоаналитическая<br />
зависимость мгновенной подачи<br />
жидкости шестеренным качающим узлом,<br />
позволяющая более корректно описывать<br />
мгновенную подачу насоса и уточнять<br />
степень неравномерности этой подачи.<br />
На основе классической теории зубчатого<br />
эвольвентного зацепления мгновенная<br />
подача шестеренного насоса с двумя одинаковыми<br />
шестернями определяется выражением<br />
[1]<br />
Q тн<br />
= bω(R е<br />
2<br />
- r 2 -x 2 ), (1)<br />
где b - ширина шестерни (длина зуба); ω -<br />
угловая скорость вращения ротора (шестерни);<br />
R e<br />
- радиус по окружности головок; r -<br />
радиус начальной окружности; x - расстояние<br />
от точки зацепления до полюса. Из (1)<br />
следует, что максимальная подача имеет место<br />
при x = 0, т. е. в момент касания зубьев в<br />
полюсе зацепления, и по мере удаления точки<br />
зацепления от полюса подача убывает по<br />
параболическому закону (рис. 1,а). Величина<br />
минимальной производительности насоса<br />
Q тн min<br />
зависит от конструктивных особенностей<br />
насоса. Если шестерни выполнены с<br />
перекрытием зацепления, то на протяжении<br />
части цикла зацепления (рис. 1,а) в контакте<br />
находятся одновременно две пары зубьев.<br />
187
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 1. Теоретическая производительность шестеренного насоса со стороны нагнетания (а)<br />
и всасывания (б)<br />
При этом объем жидкости между ними оказывается<br />
запертым. Вступление в контакт<br />
каждой последующей пары зубьев вызывает<br />
скачкообразное изменение мгновенного расхода<br />
Q тн<br />
(3 - 4 и 3' – 4', рис. 1,а).<br />
Аналогично производительность насоса<br />
со стороны полости всасывания Q тв<br />
определяется<br />
по формуле (1), однако характер изменения<br />
этого параметра несколько иной<br />
(рис. 1,б). Здесь двупарному зацеплению шестерен<br />
соответствует участок 5 – 1', при этом<br />
скачок значения Q тв<br />
(1-2) происходит в момент<br />
выхода из зацепления пары зубьев, находящихся<br />
в полости всасывания.<br />
Изложенное теоретическое описание<br />
производительности шестеренного качающего<br />
узла требует уточнения, так как при выводе<br />
формулы (1) предполагалось, что подача<br />
насоса происходит за счет работы пары контактирующих<br />
зубьев. При этом в работе [1]<br />
анализировалось изменение объема, вытесняемого<br />
перемещением сопряженных профилей<br />
шестерен. В действительности же вытеснение<br />
зубьями рабочей жидкости из межзубовой<br />
впадины сопрягаемой шестерни реализуется,<br />
в основном, еще до зацепления.<br />
В работах [2-5] приведен анализ мгновенной<br />
подачи шестеренного насоса на основе<br />
малого изменения объема камеры нагнетания<br />
∆ W . Из выражения для ∆ W определяется<br />
величина вытесняемого расхода, причем<br />
∆ W = ∆W1 + ∆W2<br />
− ∆W3<br />
− ∆W4<br />
+ ∆W5<br />
,<br />
где ∆W1 , K , ∆W5<br />
- объемы, замещаемые гранями<br />
зубьев (рис. 2). Такой подход некорректен,<br />
т. к. объем ∆ W5<br />
вытесняется не полностью<br />
по причине его частичного замещения<br />
Рис. 2. Зацепление шестерен в гидромашине с внешним зацеплением зубьев<br />
188
Технические науки<br />
зубом сопряженной шестерни. При этом с<br />
приближением точки зацепления к полюсу<br />
степень такого замещения возрастает.<br />
Вывод уточненной зависимости теоретической<br />
производительности необходим для<br />
построения корректной виброакустической<br />
модели шестеренного насоса, учитывающей<br />
более точное описание неравномерности<br />
подачи. Ввиду сложности получения точного<br />
аналитического решения зависимости расхода,<br />
обусловленного вытеснением жидкости<br />
зубьями из впадин (в зоне нагнетания) и их<br />
заполнением (в зоне всасывания), воспользуемся<br />
графоаналитическим методом. Для<br />
этого проанализируем изменение вытесняемого<br />
объема жидкости из межзубовых впадин<br />
зубьями ведущей и ведомой шестерен,<br />
начиная с момента входа зуба в соответствующую<br />
впадину сопрягаемой шестерни до<br />
конца вытеснения среды этим зубом, соответствующего<br />
максимальному вхождению зуба<br />
в соответствующую впадину.<br />
Угловое положение зуба ведущей шестерни<br />
Θ (рис. 3) в начале вытеснения им<br />
ВХ<br />
жидкости определяется нижеизложенными<br />
зависимостями, полученными из свойств<br />
эвольвентного зацепления и геометрии зуба.<br />
Полагаем, что при этом профиль зуба 1 касается<br />
окружности вершин зубьев сопряженной<br />
шестерни в точке А. При этом (из свойств<br />
эвольвенты) касательная к основной окружности<br />
АВ совпадает с прямой О 2<br />
А. Тогда из<br />
прямоугольного треугольника О 1<br />
О 2<br />
В можно<br />
определить характерные углы Θ ,<br />
1<br />
β (рис. 3):<br />
Θ = arccos r<br />
0<br />
1 ;<br />
2r<br />
∪ 4r − r − Re<br />
β =<br />
,<br />
2 2<br />
BC<br />
0<br />
=<br />
r0 r0<br />
где r , r<br />
0<br />
- радиусы начальной и основной<br />
окружности.<br />
Искомый угол Θ определяем по формуле<br />
ВХ<br />
Θ = Θ − β + ϕ , (2)<br />
ВХ<br />
1<br />
где = ( ϕ + 2invα<br />
) ⋅0,<br />
5<br />
з<br />
π ∆S<br />
ϕ<br />
з<br />
; ϕ = − , ϕ -<br />
z 2r<br />
угол зуба по начальной окружности; α -угол<br />
зацепления; ∆S<br />
-боковой зазор.<br />
Подставив в выражение (2) значения<br />
параметров Θ ,<br />
1<br />
β , ϕ<br />
з<br />
, получим окончательное<br />
значение угла начала вытеснения жидкости<br />
зубом ведущей шестерни:<br />
Θ<br />
ВХ<br />
2<br />
r 4r<br />
− r<br />
0<br />
= arccos − arctg<br />
2r<br />
r0<br />
π ∆S<br />
+ − + invα.<br />
2z<br />
4r<br />
2<br />
0<br />
− Re<br />
+<br />
Рис. 3. Геометрические параметры момента начала вытеснения жидкости<br />
из впадины 2 зубом 1 ведущей шестерни<br />
189
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Окончание процесса вытеснения зуба<br />
происходит при совпадении его оси симметрии<br />
с полюсом зацепления. При этом объем,<br />
вытесненный зубом из впадины, достигает<br />
наибольшего значения.<br />
Геометрический анализ процессов вытеснения<br />
(рис. 4) и заполнения (рис. 5) жидкостью<br />
межзубовых впадин позволил выявить<br />
уточненную зависимость расхода в зонах<br />
нагнетания и всасывания.<br />
Теоретическая зависимость производительности<br />
насоса от угла поворота шестерен<br />
имеет сложный разрывной характер и определяется<br />
суммарной подачей при работе зубьев<br />
ведущей и ведомой шестерен (рис. 6):<br />
⎛ dS1(<br />
ϕ ) dS ( ϕ ) ⎞<br />
= ⎜ + ⎟⋅b⋅ω<br />
⎝ dϕ<br />
dϕ<br />
⎠<br />
2<br />
QН ,<br />
где S 1<br />
( ϕ ) , S 2<br />
( ϕ ) - мгновенные площади вытеснения<br />
зубьями ведущей и ведомой шестерен<br />
жидкости из соответствующих межзубовых<br />
впадин (рис. 5); b - ширина шестерни;<br />
ϕ - текущий угол поворота; ω - частота вращения.<br />
При предложенном подходе полагаем,<br />
что объем, вытесняемый зубом ( ϕ)<br />
dV ,<br />
i<br />
связан с площадью вытеснения очевидной<br />
зависимостью: dV ( ϕ ) = dS ( ϕ) ⋅ b<br />
i<br />
i<br />
. Поэтому в<br />
дальнейшем изложении оперируем понятием<br />
«площадь вытеснения».<br />
На рис. 6,а показана предложенная графоаналитическая<br />
зависимость безразмерного<br />
расхода в зоне нагнетания от угла поворота<br />
шестерни Q ( ϕ)<br />
Н<br />
, полученная суммированием<br />
расходов, вытесняемых зубьями ведущей<br />
Q ( ϕ)<br />
и ведомой ( ϕ)<br />
Н1<br />
Величины Q ( ϕ)<br />
и ( ϕ)<br />
Н1<br />
Н2<br />
Q шестерен.<br />
Н2<br />
Q получены графическим<br />
дифференцированием мгновенных<br />
вытесняемых объемов жидкости по формулам<br />
(с использованием CAD технологий или<br />
CAD – процедур):<br />
Q<br />
Q<br />
Н1<br />
Н2<br />
где<br />
( S1( ϕ)<br />
∆ϕ) ⋅ ⋅ b QСР<br />
= ∆ ω ;<br />
( S2<br />
( ϕ)<br />
∆ϕ) ⋅ ⋅b<br />
QСР<br />
= ∆ ω ,<br />
Q<br />
СР<br />
З<br />
= S ⋅ b ⋅ω ⋅ z π - средний вытесняемый<br />
расход; SЗ<br />
- площадь зуба; z - число зу-<br />
бьев; S ( ϕ)<br />
, ( ϕ)<br />
∆ 1<br />
∆ 2<br />
S - изменение мгновен-<br />
а б в г д<br />
Рис. 4. Фазы зацепления шестерен при всасывании жидкости за счет выхода зуба ведущей (а, б, в)<br />
и ведомой шестерен (г, д) из соответствующих полостей: а, г – начальный момент;<br />
б – промежуточный момент; в, д – конечный момент выхода зубьев<br />
а б в г д<br />
Рис. 5. Фазы зацепления шестерен при вытеснении жидкости зубом ведущей (а, б, в)<br />
и ведомой шестерен (г, д): а, г – начальный момент вытеснения; б – промежуточный момент;<br />
в, д – конечный момент<br />
190
Технические науки<br />
ных площадей вытеснения при повороте<br />
шестерен на малый угол ∆ ϕ . Аналогично<br />
получена зависимость безразмерного расхода<br />
в зоне всасывания ( ϕ)<br />
Q (рис. 6,б) как<br />
суммы расходов заполнения межзубовых впадин,<br />
связанных с выходом зубьев ведущей<br />
Q ( ϕ)<br />
и ведомой ( ϕ)<br />
В1<br />
В2<br />
В<br />
Q шестерен.<br />
Из кинематики зоны нагнетания следует,<br />
что первым начинает вытеснение зуб ведомой<br />
шестерни (рис. 5,г), а затем зуб ведущей<br />
шестерни. При зацеплении шестерен<br />
суммарная теоретическая подача зубьев резко<br />
падает вследствие образования запертого<br />
объема. Подача пары зубьев, находящихся в<br />
зацеплении, осуществляется только зубом<br />
ведущей шестерни, которая значительно<br />
меньше, чем суммарная подача зубьев до зацепления.<br />
Ведущая шестерня вытесняет жидкость<br />
на протяжении всего угла вращения с момента<br />
входа ее зуба в межзубовую полость ведомой<br />
шестерни (при угле Θ ) до совмещения<br />
оси зуба с полюсом зацепления. При этом<br />
ВХ<br />
зуб ведущей шестерни начинает вытеснять<br />
жидкость с опережением момента зацепле-<br />
π<br />
ния на угол Θ<br />
ВХ<br />
− ⋅ε<br />
, а зуб ведомой шестерни<br />
начинает вытеснение гораздо раньше<br />
z<br />
момента зацепления – угол опережения со-<br />
π<br />
ставляет Θ<br />
ВХ<br />
− ⋅ ( ε − 1)<br />
. Окончание процесса<br />
вытеснения ведомой шестерни совпадает<br />
z<br />
с моментом вступления ее в зацепление.<br />
В зоне всасывания процессы заполнения<br />
межзубовых впадин происходят несколько<br />
иначе. В этой зоне зуб ведомой шестерни<br />
а<br />
б<br />
Рис. 6. Зависимость теоретической подачи вытеснения (а) и заполнения (б) шестеренного<br />
качающего узла от угла поворота<br />
191
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
вскрывает впадину на протяжении всего угла<br />
поворота: от положения оси зуба в полюсе<br />
до момента выхода зуба из впадины ведущей.<br />
Зуб ведущей шестерни вступает в работу в<br />
момент расцепления шестерен.<br />
За один цикл зацепления происходят<br />
процессы вытеснения и заполнения жидкости<br />
двумя зубьями, вступающими в работу<br />
через равные углы π z . Поэтому можно предположить,<br />
что основной частотой процесса<br />
вытеснения и заполнения является вторая<br />
зубцовая гармоника. Для подтверждения данного<br />
предположения представим полученные<br />
зависимости Q ( ϕ)<br />
и ( ϕ)<br />
Н<br />
Q в виде суммы<br />
постоянных и переменных составляющих<br />
расходов.<br />
На рис.7 показаны временные зависимости<br />
величин<br />
Q<br />
Н<br />
= Q<br />
Н.СР<br />
+ δQ<br />
и<br />
Н<br />
Q<br />
В<br />
= Q<br />
В.СР<br />
+ δQВ<br />
В<br />
для авиационного топливного насоса, основные<br />
геометрические и режимные параметры<br />
которого приведены в табл. 1, а также их<br />
спектральные характеристики. Последние<br />
позволяют определить основные частоты<br />
процесса вытеснения и заполнения шестерен,<br />
равные первой и удвоенной частоте их зацепления,<br />
причем на всасывании наиболее интенсивной<br />
является вторая зубцовая гармоника.<br />
Анализ геометрии и кинематики зацепления<br />
показал, что у двух основных источников<br />
колебаний шестеренного насоса разные<br />
основные частоты процесса: у процесса<br />
запирания жидкости основная частота совпадает<br />
с частотой зацепления шестерен, а основная<br />
частота второго источника, связанного<br />
с неравномерной подачей жидкости, – удвоенная<br />
частота зацепления.<br />
Такая особенность позволяет диагностировать<br />
данные источники при исследовании<br />
виброакустических свойств насоса. В<br />
?Q Н<br />
-1<br />
?Q ВС<br />
0 1 2 3 4<br />
0,4<br />
0,5<br />
0,2<br />
0<br />
-0,2<br />
-0,4<br />
-0,6<br />
0<br />
-0,5<br />
0 1 2 3 4<br />
Время, с<br />
а<br />
А qт<br />
x 10 -4 1 2 3 4 5 6 7<br />
x 10 -3<br />
x 10 -4<br />
Время, с<br />
б<br />
x 10 -3<br />
3<br />
А qт<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1 2 3 4 5 6 7<br />
Частота, кГц<br />
в<br />
192<br />
0<br />
Частота, кГц<br />
г<br />
Рис. 7. Временные зависимости переменных составляющих расходов и их спектральное разложение<br />
Q Н<br />
δ , δ Q (а, б) и их спектральные характеристики (в, г)<br />
В
Таблица 1. Основные геометрические и режимные параметры качающего<br />
шестеренного узла<br />
Технические науки<br />
№ п/п Геометрические параметры Значение<br />
1 Число зубьев z 11<br />
2 Модуль зацепления т, мм 6<br />
3 Зазор по спинкам зубьев, мм 0,5<br />
4 Ширина шестерни b, мм 21<br />
5 Диаметр окружности головок Re , мм 42<br />
6 Диаметр начальной окружности r , мм 36<br />
7 Диаметр делительной окружности R<br />
ДЕЛ<br />
, мм 33<br />
8 Диаметр основной окружности r 0<br />
, мм 36<br />
9 Диаметр окружности впадин Ri , мм 29<br />
10 Межцентровое расстояние А, мм 72<br />
11 Угол зацепления α , град 30,527<br />
12 Угол радиус-вектора эвольвенты в вершине зуба γ<br />
e<br />
, град 31<br />
13 Угол зацепления по вершинам зубьев α<br />
e<br />
, град 42,4<br />
14 Угол дуги по начальной окружности φ геом , град 15,966<br />
15 Высота зуба h, мм 13<br />
16 Шаг зацепления по основной окружности t 0 , мм 17,7<br />
17 Толщина зуба у вершины, мм 1,9<br />
18 Коэффициент перекрытия ε 1,1338<br />
19 Радиальный зазор в запертом объеме, мм 1,04<br />
20 Минимальный радиус контакта r 2<br />
, мм 20<br />
21 Давление нагнетания P<br />
Н<br />
, МПа 10<br />
22 Давление всасывания P<br />
В<br />
, МПа 1<br />
23 Частота вращения n, об/мин 4800<br />
24 Круговая частота ω , 1/сек 502,6<br />
частности, исследование пульсационного<br />
состояния на входе и выходе шестеренного<br />
качающего узла насоса, параметры которого<br />
приведены в табл. 1, показало, что основной<br />
составляющей спектра является первая зубцовая<br />
гармоника, а значит, основным источником<br />
пульсационной производительности<br />
выступает процесс защемления жидкости в<br />
запертом объеме.<br />
Характер пульсаций давления на входе<br />
и выходе насосного агрегата, представленный<br />
на рис. 8, свидетельствует о качественной<br />
сходимости предложенной модели определения<br />
мгновенной подачи жидкости шестеренным<br />
узлом.<br />
Результаты расчета неравномерности<br />
подачи жидкости по предложенной методике<br />
расчета и известной методике Юдина Е. М.<br />
[1] представлены в табл. 2.<br />
Из табл. 2 видно, что шестеренный насос<br />
имеет значительно большую теоретическую<br />
неравномерность подачи по сравнению<br />
193
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 8. Изменение давления в межзубовой полости в зависимости от угла поворота шестерни<br />
для различных частот вращения: а) 1404 об/мин; б) 2009 об/мин<br />
Таблица 2. Сравнительные данные для параметров подачи шестеренного насоса,<br />
рассчитанные по известной и предлагаемой методикам<br />
Параметры подачи<br />
Расчет по методике Расчет по предлагаемой<br />
Юдина Е. М. [1]<br />
методике<br />
Средний расход 1.09 * 0.85 **<br />
Максимальный расход Q<br />
MAX<br />
1.16 1.26<br />
Минимальный расход Q<br />
MIN<br />
0.89 0.46<br />
Степень неравномерности подачи<br />
QMAX<br />
− QMIN<br />
σ =<br />
Q<br />
0.232 0.63<br />
MAX<br />
2<br />
*<br />
2 ⋅π<br />
1 ⎛<br />
2 2 t<br />
- расчет по формуле ⎟ ⎞<br />
0<br />
Q = ⋅ ⋅<br />
⎜ Re − r − ,<br />
z 2 ⋅ Sz ⎝ 12 ⎠<br />
**<br />
- среднеинтегральное значение расхода за период зацепления.<br />
194
Технические науки<br />
с ранее предполагавшейся. При этом весьма<br />
велики «провалы» мгновенного расхода. Поскольку<br />
результаты моделирования по предлагаемой<br />
методике, основанной на анализе<br />
кинематики вытесняемых зубьями объемов,<br />
качественно описывают динамические процессы<br />
в насосе, то авторы полагают, что данный<br />
подход позволяет более корректно оценивать<br />
мгновенный расход шестеренного<br />
насоса. В дальнейшем планируется развивать<br />
предложенную модель с учетом утечек рабочей<br />
жидкости через торцовые разгрузочные<br />
канавки различной конфигурации. Целью<br />
дальнейших исследований является разработка<br />
системы автоматизированного выбора<br />
параметров шестеренного насоса с минимальной<br />
виброакустической активностью<br />
(или пульсационной производительностью).<br />
Список литературы<br />
1. Юдин Е. М. Шестеренные насосы. -<br />
М.: Машиностроение, 1964. – 232 с.<br />
2. Башта Т. М. Гидравлические приводы<br />
летательных аппаратов. – М.: Машиностроение,<br />
1967. – 495 с.<br />
3. Грянко Л. П., Исаев Ю. М. Гидродинамические<br />
и гидрообъемные передачи в<br />
трансмиссиях транспортных средств: Учебное<br />
пособие. - СПб, 2000. – 265 с.<br />
4. Галеева Р. А., Сунарчин Р. А. Объемные<br />
гидромашины: Учебное пособие. – Уфа:<br />
изд. Уфимского ордена Ленина авиационного<br />
института им. Серго Орджоникидзе, 1984.<br />
– 174 c.<br />
5. P. Casoli, A.Vacca, G.L. Berta. A<br />
numerical model for the simulation of flow in<br />
hydraulic external gear machines. Power<br />
transmission and motion control. University of<br />
Bath. 2006. p. 147-165.<br />
6. M. Eaton, P.S. Keogh, K.A. Edge. The<br />
modeling, prediction, and experimental<br />
evaluation of gear pump meshing pressures with<br />
particular reference to aero-engine fuel pumps.<br />
Proc. IMechE Vol. 220 Part I: J. Systems and<br />
Control Engineering. 2006. p.365-379.<br />
ANALYSIS OF GEAR PUMP FLUID SUPPLY IRREGULARITY<br />
© 2007 A. N. Krutchkov 2 , L. V. Rodionov 1 , M. S. Gasparov 1 , Ye. V. Shakhmatov 1<br />
1<br />
Samara State Aerospace University<br />
2<br />
Institute of Machine Acoustics<br />
The paper presents an analysis of irregularity of fluid supply by a gear pump using CAD procedures. Refined<br />
dependence of instant theoretical capacity of a gear pump on the gear turn angle is proposed. Results of calculating fluid<br />
supply irregularity using the proposed method and the recognized ones are given.<br />
195
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 629.7.05<br />
ПОВЫШЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ<br />
ВОЗДУШНЫХ СУДОВ ЗА СЧЕТ АНАЛИЗА ПАРАМЕТРОВ ЧАСТИЦ<br />
ЗАГРЯЗНЕНИЯ РАБОЧЕЙ ЖИДКОСТИ<br />
© 2007 Л. М. Логвинов, М. А. Ковалев, И. И. Хабло<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Проведен анализ систем контроля работоспособности агрегатов гидросистем воздушных судов и показана<br />
необходимость их модификации. В качестве основного диагностического признака технического состояния<br />
гидроагрегатов выбраны параметры частиц загрязнения рабочей жидкости. Рассмотрены варианты бортовых<br />
и наземных систем контроля жидкостных систем воздушных судов, обеспечивающих определение остаточного<br />
ресурса гидроагрегатов.<br />
Практика показывает, что значительное<br />
число летных происшествий связано с отказом<br />
гидравлической системы самолета [1, 2].<br />
Одним из главных направлений работ по повышению<br />
надежности агрегатов и узлов воздушных<br />
судов (ВС) является совершенствование<br />
имеющихся и разработка новых методов<br />
диагностирования их технического состояния.<br />
Известно [1-3], что одним из главных<br />
диагностических признаков для определения<br />
технического состояния узлов и агрегатов<br />
гидросистемы являются параметры рабочей<br />
жидкости, основными функциями которой<br />
являются смазка трущихся поверхностей,<br />
отвод с них продуктов (частиц) износа, а также<br />
снижение рабочей температуры поверхностей<br />
до номинальных значений. Основными<br />
параметрами рабочей жидкости гидросистемы<br />
являются степень ее загрязнения, вязкость,<br />
температура, давление, расход. С точки<br />
зрения влияния на работоспособность гидроагрегатов,<br />
наиболее важным параметром<br />
среди них является уровень загрязнения. Как<br />
показывает отечественный и зарубежный<br />
опыт, повышенная загрязненность рабочих<br />
жидкостей является в 70-90 % случаев причиной<br />
отказов гидросистем, в 50% случаев -<br />
отказов газотурбинных двигателей. Кроме<br />
того, загрязненность жидкости приводит к<br />
снижению долговечности агрегатов в 1,5 - 3<br />
и более раз [1-3].<br />
Рассмотрим обобщенную схему гидравлической<br />
системы ВС, приведенную на<br />
рис. 1. Схема позволяет провести анализ и<br />
выделить основные компоненты и агрегаты,<br />
техническое состояние которых необходимо<br />
контролировать, чтобы обеспечить надежную<br />
работу как отдельных устройств, так и гидросистемы<br />
в целом.<br />
Изменение характеристик любого из<br />
указанных на схеме агрегатов и самой рабочей<br />
жидкости приводит к полному или частичному<br />
отказу в работе гидроагрегатов. Например,<br />
при выходе из строя фильтра Ф1 в<br />
напорной магистрали (прорыв фильтроэлемента)<br />
увеличивается уровень загрязнения<br />
рабочей жидкости на входе в распределитель.<br />
Это не приведет к мгновенному и полному<br />
отказу в работе гидросистемы, но, спустя некоторое<br />
время, из-за увеличившегося загрязнения<br />
жидкости золотниковый распределитель<br />
заклинит, и произойдет полный отказ<br />
гидросистемы. В случае же выхода из строя<br />
насоса (например, заклинивание поршневых<br />
групп) произойдет мгновенный и полный<br />
отказ в работе гидросистемы.<br />
Важной тенденцией развития гидросистем,<br />
которую необходимо учитывать при<br />
выявлении наиболее важных диагностических<br />
признаков, является увеличение рабочего<br />
давления жидкости на современных ВС.<br />
Высокое давление позволяет при минимальных<br />
размерах гидросистем добиться значительной<br />
производительности. Например, в<br />
разработках ОАО «ОКБ СУХОГО» используются<br />
гидравлические системы, рабочее давление<br />
в которых достигает значения 35 МПа,<br />
196
Технические науки<br />
К2<br />
ГБ<br />
Ф2<br />
К3<br />
Н<br />
ПК<br />
ГА<br />
РУ<br />
ИУ<br />
К1<br />
ОК<br />
Ф1<br />
Рис. 1. Обобщенная схема гидравлической системы ВС:<br />
Н - насос переменной производительности; ГБ - гидробак; ПК - предохранительный клапан;<br />
ГА - гидроаккумулятор; Ф1, Ф2 - фильтры напорной и сливной магистрали соответственно;<br />
РУ - распределительное устройство; ИУ - исполнительное устройство; ОК - обратные клапаны;<br />
К1, К2 – клапаны нагнетания и всасывания для подключения наземной гидроустановки;<br />
К3 – клапан заправки гидросистемы<br />
а в перспективе – 56 МПа [4]. Однако при<br />
этом необходимо уменьшать зазоры в узлах<br />
трения (до 1...3 мкм), что, в свою очередь,<br />
приводит к возрастанию требований к уровню<br />
загрязненности рабочей жидкости [2-5].<br />
Анализ параметров частиц загрязнения<br />
важен и с точки зрения диагностирования<br />
технического состояния гидроагрегатов. Известно<br />
[1, 2], что основной причиной появления<br />
в рабочей жидкости частиц загрязнения<br />
является процесс изнашивания пар трения<br />
в трибомеханических узлах гидроагрегатов.<br />
Причем количество и размер частиц,<br />
выделяемых соприкасающейся парой, представляют<br />
собой ценную информацию о техническом<br />
состоянии всего узла трения агрегата.<br />
Перемещение жидкости вместе с частицами<br />
износа в более отдаленные участки<br />
гидросистем позволяет обнаруживать эти<br />
частицы в любом сечении гидросистемы, что<br />
дает возможность контролировать интенсивность<br />
генерирования этим агрегатом частиц<br />
износа в рабочую жидкость [2, 6, 7]. Это, в<br />
свою очередь, позволяет производить оценку<br />
зазора в узле трения системы на основе<br />
расчета массового выноса частиц износа из<br />
узла. Контролируя динамику изменения интенсивности<br />
генерирования частиц износа и<br />
значение зазора, можно с достаточно высокой<br />
степенью достоверности определить техническое<br />
состояние узла трения и остаточный<br />
ресурс гидроагрегата.<br />
Таким образом, одним из важнейших<br />
диагностических признаков технического<br />
состояния гидросистемы являются параметры<br />
частиц загрязнения рабочей жидкости. К<br />
таким параметрам, прежде всего, относится<br />
дисперсный состав частиц (концентрация и<br />
размер). На основе его анализа можно, вопервых,<br />
путем сравнения фактического уровня<br />
загрязнения с допустимыми значениями,<br />
указываемыми разработчиками гидросистем,<br />
определить возможность дальнейшей эксплуатации<br />
ВС и, во-вторых, прогнозировать<br />
остаточный ресурс гидроагрегатов.<br />
Действенной мерой контроля и анализа<br />
работоспособности систем и агрегатов ВС<br />
в процессе полета, а также при выполнении<br />
различных видов подготовки ВС к полетам<br />
является использование бортовых средств<br />
контроля и регистрации полетных данных<br />
самолета.<br />
Анализ сложившейся ситуации с безопасностью<br />
полетов и существующих методов<br />
контроля работоспособности гидросистем<br />
ВС указывает на необходимость разработки<br />
такой системы функциональной диагностики,<br />
которая, работая в реальном масштабе<br />
времени и используя встроенные средства<br />
контроля, позволила бы прогнозировать от-<br />
197
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
казы и определять остаточный ресурс наиболее<br />
важных гидроагрегатов.<br />
Наиболее перспективными методами<br />
контроля технического состояния жидкостных<br />
систем можно считать радиоэлектронные<br />
(фотоэлектрический, пьезоэлектрический,<br />
контактно-зарядный, ультразвуковой,<br />
акустический, вихретоковый и др.) методы и<br />
датчики встроенного контроля (ДВК) технического<br />
состояния жидкостных систем по<br />
изменению уровня загрязнения жидкости<br />
частицами износа, генерируемых трибомеханическими<br />
узлами изделий [2, 3]. ДВК параметров<br />
дисперсной фазы не требуют традиционного<br />
отбора жидкости и позволяют<br />
повысить объективность, оперативность и<br />
информативность контроля. Такие ДВК разработаны<br />
в отраслевой научно-исследовательской<br />
лаборатории ОНИЛ-16 Самарского<br />
государственного аэрокосмического университета<br />
имени академика С. П. Королева<br />
(СГАУ). На их основе созданы диагностические<br />
системы типа «Поток», «Фотон» [6, 7],<br />
качество и высокие возможности которых<br />
подтверждаются сертификатами и опытом<br />
эксплуатации в различных отраслях народного<br />
хозяйства.<br />
Для осуществления встроенного контроля<br />
гидроагрегатов можно предложить систему,<br />
в состав которой входят ДВК, установленные<br />
непосредственно в гидравлической<br />
системе ВС, и блок обработки информации<br />
(БОИ). Места установки ДВК определяются<br />
в ходе анализа конкретной гидравлической<br />
системы с учетом опыта эксплуатации и вероятности<br />
отказа отдельных гидроагрегатов.<br />
БОИ сопрягается с бортовыми системами<br />
контроля ВС. Принцип работы системы контроля<br />
заключается в том, что на основе информации,<br />
поступающей от ДВК, БОИ определяет<br />
дисперсный состав частиц износа.<br />
Далее на основе синтезированного алгоритма<br />
БОИ оценивает работоспособность отдельных<br />
узлов гидросистем и прогнозирует<br />
остаточный ресурс выбранных гидроагрегатов<br />
и системы в целом. Эта информация документируется<br />
на носители, а в ряде случаев<br />
может индицироваться пилоту в виде предупреждающего<br />
сигнала. Возможны различные<br />
варианты анализа информации от ДВК.<br />
Например, если установить в гидросистеме<br />
один ДВК, то можно определять класс чистоты<br />
рабочей жидкости. Превышение им допустимого<br />
значения указывает на невозможность<br />
эксплуатации такой системы и высокую<br />
вероятность отказа. Причем динамика<br />
изменения уровня загрязнения является важным<br />
диагностическим признаком, позволяющим<br />
прогнозировать отказ на ранней стадии.<br />
Если же установить в гидросистеме два ДВК,<br />
например, на входе и выходе насоса (рис. 1),<br />
то обработка сигналов от них позволит контролировать<br />
интенсивность генерирования<br />
этим элементом гидросистемы частиц износа<br />
в рабочую жидкость и производить оценку<br />
зазоров в узле трения на основе расчета<br />
массового выноса частиц износа из узла. Контролируя<br />
динамику изменения интенсивности<br />
генерирования частиц износа и значение<br />
зазора, можно определить остаточный ресурс<br />
насоса и информировать об этом через системы<br />
контроля обслуживающий персонал.<br />
Такая схема контроля работоспособности агрегатов<br />
и узлов жидкостных систем позволит<br />
в конечном итоге перейти от метода эксплуатации<br />
этих систем по календарным срокам<br />
к эксплуатации по состоянию, что снижает<br />
затраты на эксплуатацию и повышает<br />
надежность систем.<br />
Однако оснащение находящихся в эксплуатации<br />
ВС такой системой контроля путем<br />
доработки гидросистемы требует значительных<br />
затрат и, вероятно, конструктивных<br />
изменений. Поэтому такой вариант системы<br />
контроля целесообразно рассматривать при<br />
разработке новых образцов авиационный техники.<br />
Для диагностирования гидросистем,<br />
используемых в настоящее время на ВС, целесообразно<br />
рассмотреть следующую систему<br />
наземного контроля.<br />
При контроле гидросистем ВС в наземных<br />
условиях функции насоса гидросистем<br />
выполняет наземная подвижная гидроустановка<br />
(ПГУ). ПГУ подключается при помощи<br />
шлангов к клапанам нагнетания и всасывания<br />
гидросистемы самолета (рис. 1, клапаны<br />
К1, К2). Основные параметры ПГУ (ра-<br />
198
Технические науки<br />
бочее давление, производительность) должны<br />
совпадать с аналогичными параметрами<br />
гидросистем.<br />
В этом варианте контроля анализ частиц<br />
загрязнения рабочей жидкости можно<br />
проводить при помощи двух ДВК, установленных<br />
во всасывающей и нагнетающей линиях<br />
между самолетом и ПГУ. Использование<br />
двух ДВК позволяет учитывать загрязнения,<br />
вносимые в рабочую жидкость агрегатами<br />
ПГУ. При помощи такой системы<br />
можно не только определять уровень загрязнения<br />
рабочей жидкости гидросистемы ВС,<br />
но и отслеживать динамику изменения этого<br />
уровня в нагруженных режимах (выпуск и<br />
уборка шасси, выпуск и уборка закрылков<br />
и т. д.). Наблюдая за изменением величины<br />
загрязнения при поочередном срабатывании<br />
агрегатов, можно получить диагностическую<br />
информацию о техническом состоянии каждого<br />
из них. Применение такой системы контроля<br />
при минимальных затратах (установка<br />
ДВК на ПГУ и обслуживание системы контроля)<br />
позволит отказаться от использования<br />
метода контроля чистоты рабочей жидкости<br />
по отобранным пробам.<br />
С целью подтверждения работоспособности<br />
предлагаемой методики диагностирования<br />
технического состояния агрегатов гидравлической<br />
системы ВС на военной кафедре<br />
СГАУ был проведен эксперимент. Объектом<br />
исследования были выбраны агрегаты<br />
общей гидросистемы самолета МИГ-29. На<br />
самолете применяется рабочая жидкость<br />
АМГ-10. При этом в качестве источника<br />
гидравлической энергии использовалась<br />
ПГУ-210 с рабочим давлением до 21 МПа и<br />
производительностью до 45 л/мин. Для анализа<br />
уровня загрязнения жидкости использовалась<br />
система «Фотон-965», оснащенная<br />
двумя ДВК [6].<br />
В результате проведенного эксперимента<br />
была установлена принципиальная возможность<br />
использования описанной методики<br />
для определения уровня чистоты рабочей<br />
жидкости. Уровень загрязнения рабочей жидкости<br />
исследуемой гидросистемы составил<br />
13 класс согласно ГОСТ 17216-2001, причем<br />
класс чистоты рабочей жидкости изменялся<br />
при включении в работу того или иного гидроагрегата.<br />
Таким образом, предлагаемые варианты<br />
системы контроля работоспособности<br />
гидросистемы предполагают использование<br />
ДВК, что дает возможность проводить оперативный<br />
объективный контроль параметров<br />
рабочей жидкости.<br />
Отметим, что рассмотренный подход<br />
может быть применен к другим жидкостным<br />
системам ВС - топливной и масляной, т. к.<br />
топливо и масло в этих системах выполняют<br />
функции рабочей жидкости.<br />
Список литературы<br />
1. Fitch E. C. Fluid contamination control<br />
// Technology transfer Series #4, Oklahome, FFS,<br />
INC. 1988.<br />
2. Логвинов Л. М. Анализ и синтез преобразователей<br />
концентрации дисперсной<br />
фазы для систем управления и контроля технического<br />
состояния изделий авиационной<br />
техники. Диссертация на соискание ученой<br />
степени доктора технических наук. – Самара:<br />
СГАУ, 1995.<br />
3. Логвинов Л. М. Техническая диагностика<br />
жидкостных систем технологического<br />
оборудования по параметрам рабочей жидкости.<br />
– М.: ЦНТИ «Поиск», 1992.<br />
4. Орлов Ю. М. Авиационные объемные<br />
гидромашины с золотниковым распределением.<br />
- Пермь: ПГТУ, 1993.<br />
5. Громаковский Д. Г., Логвинов Л. М.<br />
Исследование параметров частиц износа, генерируемых<br />
в процессе трения // Трение и<br />
износ. - 1996. – Т. 17. - № 1. С. 94-99.<br />
6. Логвинов Л. М., Поминов Е. И., Кудрявцев<br />
И. А. и др. Концепция функциональной<br />
диагностики гидравлических систем технологического<br />
оборудования по параметрам<br />
частиц износа // Ремонт, восстановление,<br />
модернизация. - 2002. - № 3. - С. 8-13.<br />
7. Логвинов Л. М., Кудрявцев И. А.,<br />
Поминов Е. И. и др. Функциональная диагностика<br />
гидравлических систем с помощью<br />
датчиков встроенного контроля // Техника<br />
машиностроения. - 2001. - № 5. - С. 36-39.<br />
199
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
INCREASING THE RELIABILITY OF AIRCRAFT HYDRAULIC<br />
SYSTEMS THROUGH ARALYSING WORKING FLUID<br />
CONTAMINATION PARTICLE PARAMETERS<br />
© 2007 L. M. Logvinov, M. A. Kovalyov, I. I. Khablo<br />
Samara State Aerospace University<br />
Systems controlling the serviceability of aircraft hydraulic system units are analysed, and the necessity of their<br />
modification is shown. Working fluid contamination particle parameters are chosen as the main diagnostic indicator of<br />
the technical state of hydraulic units. Variants of airborne and ground systems controlling aircraft fluid systems are<br />
discussed which make it possible to determine the residual resource of hydraulic units.<br />
200
Технические науки<br />
УДК 621.983.001<br />
ПОВЫШЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ВЫТЯЖКИ<br />
ТОНКОЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ В ШТАМПЕ<br />
С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ (ПРИЖИМОМ)<br />
© 2007 И. П. Попов, Е. С. Нестеренко<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Исследован процесс осесимметричной вытяжки тонколистового материала в штампе с упругим прижимом,<br />
прилегающим по всей поверхности фланца. Предложенный способ вытяжки позволяет повысить предельный<br />
коэффициент вытяжки материала.<br />
Анализ справочника [1] и приведенных<br />
в нем опытных данных показывает, что при<br />
вытяжке тонкостенных листовых материалов<br />
с уменьшением относительной толщины заготовки<br />
на первом переходе коэффициент<br />
вытяжки уменьшается до 20 %.<br />
Так как в процессе вытяжки краевая<br />
часть фланца получает увеличение толщины,<br />
причем наиболее интенсивно вблизи края<br />
заготовки (при вытяжке тонколистового материала<br />
разнотолщинность фланца достигает<br />
30 % [1]), то усилие прижима распределяется<br />
по узкой кольцевой части фланца, граничащей<br />
с наружным краем заготовки. Следовательно,<br />
площадь контакта прижима с<br />
фланцем заготовки мала, и для ликвидации<br />
гофрообразования необходимо увеличивать<br />
силу прижима, что приводит к увеличению<br />
сил трения, росту напряжений в опасном сечении<br />
и преждевременному разрыву заготовки<br />
при прочих равных условиях.<br />
Результаты опытов показали, что при<br />
вытяжке относительно тонкостенных загото-<br />
S<br />
вок ( < 0, 006 ) в случае, если прижим распределяется<br />
не по кромке фланца, как в тра-<br />
D<br />
диционном случае, а по всей его поверхности<br />
в процессе вытяжки, коэффициент вытяжки<br />
увеличивается. Это явление объясняется<br />
тем, что при таком условии вытяжки требуется<br />
меньшее давление прижима, устраняющее<br />
гофрообразование.<br />
На кафедре обработки металлов давлением<br />
Самарского государственного аэрокосмического<br />
университета конструктивная возможность<br />
проведения вытяжки с прижимом,<br />
прилегающим по всей поверхности фланца,<br />
выявлена с помощью использования упругих<br />
свойств штамповой оснастки: прижима, выполненного<br />
в виде кольца переменного сечения,<br />
обеспечивающего упругие перемещения,<br />
которые позволяют прижать фланец заготов-<br />
Рис. 1. Конструкция штампа для вытяжки<br />
тонколистового материала<br />
с использованием упругого прижима:<br />
1 - кольцо опорное; 2 - прижим упругий;<br />
3 - обойма; 4 - матрица; 5 - пуансон;<br />
6 - выступ кольцевой; 7 - заготовка<br />
201
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ки с необходимым давлением по всей его<br />
поверхности [3]. На рис. 1 представлена конструкция<br />
штампа.<br />
Усилие на прижим передается через<br />
кольцевой выступ 6, который расположен по<br />
внутреннему радиусу прижима 2. В процессе<br />
вытяжки под действием усилия прижим<br />
будет упруго деформироваться. Величина<br />
упругого перемещения ограничена упругими<br />
свойствами материала, которые должны превышать<br />
максимальную величину разнотолщинности<br />
на фланце.<br />
Найдем максимальные растягивающие<br />
напряжения при использовании жесткого и<br />
упругого прижимов без учета изменения толщины<br />
заготовки.<br />
Максимальные растягивающие напряжения<br />
с учетом упрочнения, силы прижима,<br />
изгиба и трения на кромке матрицы равны<br />
[2, 4]:<br />
⎡<br />
1<br />
2ψ<br />
ш<br />
К<br />
ш<br />
⎢⎛<br />
В<br />
−1 ⎞ 1 −ψ<br />
t<br />
σ ⎜ ⎟<br />
в<br />
F<br />
⎥<br />
ρ max<br />
= σ<br />
+<br />
тр<br />
+ ( 1 + 1,6 f<br />
тр<br />
)<br />
⎢<br />
2ψ<br />
ш<br />
2rM<br />
+ t ⎥ ,<br />
где<br />
F<br />
тр<br />
⎢<br />
⎝<br />
⎣<br />
f<br />
трQ<br />
ж = πR<br />
tσ<br />
,<br />
Н<br />
⎠<br />
в<br />
⎤<br />
⎥⎦<br />
(1)<br />
F<br />
тр<br />
у =<br />
π<br />
2 f<br />
тр<br />
Q<br />
( RН<br />
+ rд<br />
) ⋅tσ<br />
в<br />
Здесь σ ρ max<br />
– максимальное растягивающее<br />
напряжение; Q – усилие прижима;<br />
Fтр ж, Fтр<br />
у - сила трения для жесткого и упругого<br />
прижимов, соответственно; К В<br />
– коэффициент<br />
вытяжки; ψ ш<br />
– относительное сужение;<br />
t – толщина заготовки, r М<br />
– радиус<br />
матрицы; f тр<br />
– коэффициент трения; σ в<br />
– предел<br />
прочности материала; R Н<br />
– начальный<br />
радиус заготовки; r д<br />
– радиус детали.<br />
Построим зависимость σ ρ max<br />
от К В<br />
при условиях: t = 0,5мм; r д<br />
= 50мм;<br />
σ в<br />
= 400 кН/мм 2 ; r М<br />
=5мм; ψ ш<br />
=0,13; f тр<br />
=0,15;<br />
Q = 100кН (рис. 2) и определим предельное<br />
значение К В<br />
из условия: σ ρ max<br />
≤ σ<br />
в [2].<br />
Из графика видно, что максимальные<br />
значения напряжений несколько выше при<br />
использовании упругого прижима и предельный<br />
К В<br />
при упругом прижиме равен 1,82, а<br />
при жестком – 1,85. Однако рассмотренные<br />
условия не учитывают механизма возможного<br />
гофрообразования и вследствие этого силу<br />
прижима.<br />
.<br />
Рис. 2. Зависимость максимальных растягивающих напряжений от коэффициента вытяжки<br />
без учета возможного гофрообразования фланца<br />
202
Технические науки<br />
Определим усилия прижимов, необходимые<br />
для ликвидации гофр, по методике [5].<br />
Исследования показали, что форма потери<br />
устойчивости зависит от условий прижима:<br />
в зависимости от усилия прижима Q, трения<br />
f и механических свойств материала фланец<br />
заготовки при использовании жесткого прижима<br />
может иметь различную форму потери<br />
устойчивости. Рассмотрим два случая.<br />
1. Если сила прижима Q очень мала и<br />
ее недостаточно для удержания волны, то под<br />
действием напряжений тангенциального сжатия<br />
происходит потеря устойчивости фланца<br />
заготовки и образование волнообразного<br />
гофра (рис. 3).<br />
Z<br />
s U<br />
σ θ<br />
θ<br />
U<br />
a<br />
b<br />
w<br />
0<br />
ρ<br />
V<br />
s V<br />
σρ<br />
Потеря устойчивости фланца заготовки при<br />
недостаточной силе прижима<br />
а)<br />
Рис. 3<br />
Схема выпучиваемого элемента фланца<br />
б)<br />
2. Если силы прижима Q достаточно для<br />
удержания волны, то потеря устойчивости<br />
происходит (рис. 4), но гофр по высоте небольшой,<br />
он проходит в зазор между матрицей<br />
и пуансоном и при переходе через вытяжное<br />
ребро матрицы выпрямляется. Однако<br />
для этого требуется дополнительная работа,<br />
что приводит к росту растягивающих напряжений,<br />
уменьшению К В<br />
и ухудшению качества<br />
детали из-за появления рисок.<br />
Z<br />
s U<br />
θ<br />
U<br />
a<br />
b<br />
w<br />
0<br />
V<br />
ρ<br />
s V<br />
σ θ<br />
Потеря устойчивости фланца при<br />
достаточной силе прижима<br />
а)<br />
Схема выпучиваемого элемента фланца<br />
б)<br />
Рис. 4<br />
203
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Таким образом, механизм действия упругого<br />
прижима необходимо сравнивать со<br />
вторым случаем потери устойчивости при<br />
использовании жесткого прижима. Функцию<br />
прогиба для жесткого прижима запишем в<br />
виде [5]:<br />
1 ⎡ ⎛ ρ ⎞⎤<br />
π ⋅θ<br />
ω = ω0 ⎢1<br />
− cos⎜2π<br />
⎟<br />
b<br />
⎥sin<br />
(2)<br />
2 ⎣ ⎝ ⎠⎦<br />
a<br />
c граничными условиями:<br />
при ρ = b, θ = a/2, cos2π = 1, ω = 0;<br />
при ρ =0, θ = a/2, cos0 = 1, ω = 0;<br />
при ρ =b/2, θ = a/2 cosπ = -1, ω = ω 0<br />
= max.<br />
При упругом прижиме фланец теряет<br />
устойчивость, как показано на рис. 3, потому<br />
что сила прижима распределена по всей поверхности<br />
фланца. Функцию прогиба для<br />
упругого прижима запишем в виде [5]:<br />
⎛ π ρ ⎞ π ⋅θ<br />
ω = ω<br />
0 ⎜1<br />
− cos ⋅ ⎟sin<br />
(3)<br />
⎝ 2 b ⎠ a<br />
с граничными условиями:<br />
при ρ = b, θ = a/2, cos(π/2) = 0, ω = ω 0<br />
= max;<br />
при ρ = 0, θ = a/2, cos0 = 1, ω = 0.<br />
Найдем усилие, необходимое для ликвидации<br />
гофрообразования, для чего воспользуемся<br />
энергетическим критерием устойчивости<br />
[5]:<br />
( − A ) A<br />
U +<br />
q<br />
= , (4)<br />
где U – работа внутренних сил, А – работа<br />
контурных внешних сил, А q<br />
– работа внешних<br />
сил прижима.<br />
Уравнение критического состояния<br />
плоского участка фланца имеет вид:<br />
a b<br />
∫∫<br />
⎡ 2<br />
⎢<br />
E<br />
⎣<br />
0 0<br />
3<br />
p<br />
⎛<br />
J<br />
⎜ χ<br />
⎝<br />
2<br />
θ<br />
+ χ χ<br />
θ<br />
ρ<br />
+ χ<br />
2<br />
ρ<br />
+ χ<br />
2<br />
θρ<br />
χ<br />
−ψ<br />
K<br />
2<br />
2<br />
2 ⎤ ω<br />
( βω + m ω ) dρdθ+<br />
0 = 0<br />
2<br />
σ<br />
⎞<br />
⎟ +<br />
⎠<br />
1<br />
+ tσ<br />
θ θ σ ρ<br />
2<br />
⎥<br />
q , (5)<br />
⎦ l<br />
где q – параметр силы прижима, кН/мм;<br />
χ<br />
ρ ,<br />
χ<br />
θ<br />
- кривизны срединной поверхности;<br />
χ<br />
ρθ - кручение срединной поверхности; Е Р<br />
-<br />
модуль пластичности изотропного материала;<br />
J - момент инерции; ω θ<br />
и ω ρ<br />
- частные производные<br />
функции прогибов по θ и ρ, соответственно;<br />
a - длина полуволны; b – ширина<br />
фланца; l – длина криволинейной части<br />
фланца по средней линии на данной стадии<br />
3<br />
4<br />
вытяжки; ψ = ( 1−n)<br />
, n - показатель упрочнения;<br />
К σ<br />
= 1- m σ<br />
+ m σ<br />
2<br />
; m σ<br />
σ<br />
ρ<br />
= ;<br />
σ<br />
c 1 2<br />
q = Q0<br />
+ c s<br />
ω<br />
; (6)<br />
0<br />
2<br />
Q 0<br />
– усилие прижима, необходимое для ликвидации<br />
гофрообразования; s –жесткость<br />
прижима (s = 0, т. к. прижим пневматического<br />
типа); с – постоянная; ω 0<br />
– максимальная<br />
амплитуда полуволны.<br />
Подставляя в уравнение (5) функции<br />
прогибов ω для жесткого (2) и упругого (3)<br />
прижимов, находим необходимое усилие для<br />
ликвидации гофрообразования.<br />
Для жесткого прижима Q 0(жест)<br />
равно<br />
2 2<br />
ω ⎡<br />
0<br />
π l ⎛ b 8 2<br />
⎞⎤<br />
Q0( жест) = ⎢− 2 ⎜σ<br />
θсрt N + π E<br />
p<br />
JM ⎟⎥<br />
c ⎣ 4a b ⎝ 2 3 ⎠<br />
, ⎦<br />
θ<br />
(7)<br />
где N и M - переменные, зависящие от размеров<br />
выпучиваемого элемента фланца; σ θ ср<br />
–<br />
величина сжимающих напряжений, которая<br />
находится как среднее значение сжимающих<br />
напряжений по наружному и внутреннему<br />
краям фланца.<br />
Для упругого прижима Q 0(упр)<br />
равно<br />
2<br />
ω ⎡<br />
0<br />
πl<br />
⎛<br />
2 3 2 ⎞⎤<br />
Q0( упр) = σ<br />
2 θсрt bN π EJM<br />
p<br />
c<br />
⎢− ⎜ ⋅ + ⎟<br />
4ab<br />
4<br />
⎥<br />
⎣ ⎝<br />
⎠⎦ .<br />
(8)<br />
Примем, что сила прижима воспринимается<br />
каждым из элементов в точке u = a/2;<br />
v = b/2. Для жесткого прижима с = 2, для упругого<br />
прижима с = 0,586. Значения усилия<br />
прижимов в момент достижения максимального<br />
усилия вытяжки представлены в табл. 1<br />
при прочих равных условиях (r В<br />
=50 мм,<br />
t = 0,5мм, β = 1, n = 0,15, ω 0<br />
= 1 мм).<br />
204
Технические науки<br />
Таблица 1. Значения усилий жесткого Q о(жест)<br />
и упругого Q о(упр)<br />
прижимов при<br />
различных коэффициентах вытяжки при максимальном значении усилия вытяжки<br />
К В 1,4 1,6 1,8 1,9 2 2,2<br />
Q о(жест) , кН 93 100 118 134 140 148<br />
Q о(упр) ,кН 9 10 12 13 15 17<br />
Из табл. 1 следует, что применение упругого<br />
прижима, необходимого для ликвидации<br />
гофрообразования, требует значительно<br />
меньшего усилия, чем при использовании<br />
жесткого прижима. Это приводит к уменьшению<br />
составляющей усилия трения на фланце<br />
и снижает напряжения в опасном сечении.<br />
Определим предельный К В<br />
с подстановкой<br />
рассчитанных усилий прижима (табл. 1). Для<br />
этого построим зависимость σ ρ max<br />
от К В<br />
при условиях: t = 0,5 мм; r д<br />
= 50 мм; σ в<br />
=<br />
=400 кН/мм 2 ; r М<br />
= 5 мм; ψ ш<br />
= 0,13; f тр<br />
= 0,15;<br />
Q о(жест)<br />
= 100 кН, Q о(упр)<br />
= 10 кН (рис. 5).<br />
Из рис. 5 следует, что предельный коэффициент<br />
вытяжки при использовании упругого<br />
прижима равен 2,01, а при использовании<br />
жесткого – 1,63.<br />
Таким образом, результаты расчетов<br />
процесса вытяжки с упругим прижимом, прилегающим<br />
по всей поверхности фланца, показывают,<br />
что для тонкостенных заготовок с<br />
S<br />
D<br />
≤ 0,006 можно использовать коэффициенты<br />
вытяжки на 20-30 % большие традиционных.<br />
Рис. 5. Зависимость максимальных растягивающих напряжений от коэффициента<br />
вытяжки с учетом гофрообразования фланца<br />
205
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Список литературы<br />
1. Романовский В. П. Справочник по<br />
холодной штамповке. – Л: Машиностроение.<br />
Ленингр. отд-ние, 1979.<br />
2. Сторожев М. В., Попов Е. А. Теория<br />
обработки металлов давлением. – М: Машиностроение,<br />
1977.<br />
3. Авторское свидетельство 1400723,<br />
СССР, МКИ 4 В 21 D 22/22, 24/04, Штамп для<br />
вытяжки.<br />
4. Попов И.П. Разработка процессов<br />
листовой штамповки и методов их проектирования<br />
для деталей с заданными размерами<br />
по толщине. Докторск. дис. - 1994.<br />
5. Головлев В. Д. Расчеты процессов<br />
листовой штамповки (Устойчивость формообразования<br />
тонкостенного металла). – М:<br />
Машиностроение, 1974.<br />
INEREASING LIMIT COEFFICIENT OF THIN MATERIAL DRAWING<br />
IN A DIE WITH AN ELASTIC ELEMENT (HOLDER)<br />
© 2007 I. P. Popov, Ye. S. Nesterenko<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper analyses the process of axially symmetric drawing of thin material in a die with an elastic holder<br />
bearing against the whole flange surface. The proposed drawing method makes it possible to increase the limit coefficient<br />
of material drawing.<br />
206
Технические науки<br />
УДК 532.525<br />
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЙ БОКОВЫХ ГРАНИЦ СТРУИ<br />
УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА, ВДУВАЕМОЙ В ПОПЕРЕЧНЫЙ ПОТОК ВОЗДУХА<br />
© 2007 Н. М. Рогачев<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Исследуется влияние соотношений скоростей потоков, степеней начальной турбулентности и конфигураций<br />
струй углекислого газа, распространяющихся в поперечном потоке воздуха, на положение боковых границ<br />
зоны смешения.<br />
Введение. В [1] приведены результаты<br />
исследований расположения передней границы<br />
зоны смешения струи, распространяющейся<br />
в сносящем потоке. Данная работа<br />
посвящена определению положений боковых<br />
границ одиночной струи углекислого газа,<br />
вдуваемой в поперечный однородный поток<br />
воздуха. Исследовалось влияние соотношений<br />
скоростей потоков (гидродинамических<br />
параметров), степеней начальной турбулентности<br />
и конфигураций вдуваемой струи на ее<br />
расширение. Начальные степени турбулентности<br />
изменялись постановкой в сносящий<br />
поток и в струю углекислого газа различных<br />
турбулизирующих решеток. Исследовались<br />
струи, истекающие в сносящий поток из отверстий<br />
круглой и овальной формы. Относительная<br />
скорость струи изменялась в диапазоне<br />
v = v0 v ∞<br />
= 0,5;0,75;1,0;1,5;2,0, что<br />
соответствовало изменению гидродинамических<br />
параметров<br />
ρv<br />
q = = 0,38;0,85;1,51;3,40;6,06 .<br />
ρ<br />
2<br />
0 0<br />
2<br />
∞v∞<br />
Описание экспериментальной установки<br />
приведено в [1].<br />
Полученные результаты могут быть рекомендованы<br />
для использования при отработке<br />
конструкций камер сгорания газотурбинных<br />
двигателей как с точки зрения улучшения<br />
организации процесса смешения в камере,<br />
так и с точки зрения охлаждения стенок<br />
камеры.<br />
Методика проведения экспериментов<br />
и их результаты. Для обеспечения заданных<br />
соотношений скоростей v = ( 0,5− 2,0)<br />
были<br />
выбраны скорости: сносящего потока воздуха<br />
– 18 м/c,24 м/c,36 м/c ; струи углекислого<br />
газа – 18 м/c,24 м/c,30 м/c . С помощью жиклера,<br />
установленного в газовой магистрали<br />
и работающего на сверхкритическом перепаде,<br />
обеспечивалось постоянство скорости<br />
течения струй, вдуваемых в сносящий поток.<br />
В экспериментах исследовалось поле скоростей<br />
сносящего потока на выходе из сопловой<br />
камеры. Измерения проводились с помощью<br />
специальной гребенки, состоящей из<br />
трех трубок полного давления, расположенных<br />
в одной плоскости на расстоянии 20 мм<br />
друг от друга и имеющих одинаковую длину.<br />
Гребенка устанавливалась на координатное<br />
устройство и имела возможность перемещаться<br />
в поле течения сносящего потока.<br />
Профили давлений показали, что без установки<br />
турбулизирующих решеток экспериментальная<br />
установка позволяла получать равномерное<br />
распределение скоростей потока воздуха<br />
на выходе из сопловой камеры. Постановка<br />
турбулизирующих решеток существенно<br />
деформировала профили динамических<br />
напоров.<br />
Положение боковых границ зоны смешения<br />
струи с поперечным потоком определялось<br />
методом визуализации течения с помощью<br />
теневого прибора ИАБ-451. Оптическое<br />
стекло с вмонтированной трубкой подачи<br />
углекислого газа выставлялось перпендикулярно<br />
оптической оси прибора. Изображения<br />
потоков фиксировалось на фотопленку.<br />
По данным обработок фотопленок строились<br />
графики, отражающие положение границ<br />
зоны смешения. Каждая кривая на графиках<br />
получена в результате обработки 5 фотосним-<br />
207
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ков. Максимальная случайная погрешность<br />
измерений не превышала 5 %. При построении<br />
графиков была выбрана система координат,<br />
представленная на рис. 1 (на рисунке не<br />
показана ось Оy, которая перпендикулярна<br />
плоскости чертежа). Все графики выполнены<br />
в безразмерных координатах. Некоторые<br />
из полученных фотографий приведены на<br />
рис. 2.<br />
v ∞<br />
Математическая обработка экспериментальных<br />
данных осуществлялась с помощью<br />
системы MathCAD. В результате были получены<br />
две функции вида: z f ( xq , )<br />
x<br />
x = ,<br />
d<br />
z<br />
Рис. 1. Схема боковых границ струи<br />
= , где<br />
z<br />
z = - для круглой струи и<br />
d<br />
x<br />
x = ,<br />
h<br />
z<br />
z = - для овальной струи. Здесь d – диаd<br />
x<br />
метр круглого отверстия; h – ширина овального<br />
отверстия.<br />
Результирующая функция определялась<br />
следующим образом:<br />
1. Рассматривался график при конкретном<br />
значении q.<br />
2. Из конкретного набора базовых функций<br />
Φ1, Φ2,..., Φ<br />
n<br />
находилась основная функция<br />
f ( x ) :<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
f x = K Φ x + K Φ x + + K Φ x .<br />
1 1 2 2<br />
...<br />
n n<br />
Коэффициенты K1, K2,..., K<br />
n<br />
подбирались<br />
системой MathCAD так, чтобы основная<br />
функция наилучшим образом совпадала<br />
с экспериментальной. Таким образом, для<br />
каждой базовой функции был подобран коэффициент,<br />
который использовался при построении<br />
основной функции для данного значения<br />
q.<br />
3. Находилась зависимость коэффициентов<br />
каждой базовой функции от q:<br />
1 1<br />
( )<br />
K = K q по методу, изложенному в пункте<br />
2.<br />
4. Результирующая функция<br />
( , )<br />
z = f xq равна:<br />
( ) = ( ) Φ ( ) + ( ) Φ ( ) + + ( ) Φ ( ).<br />
f xq K q x K q x K q x<br />
,<br />
1 1 2 2<br />
...<br />
n n<br />
Круглая струя<br />
Овальная струя<br />
v = 05 ,<br />
v = 15 ,<br />
Рис. 2. Фотографии струи в поперечном потоке<br />
208
Технические науки<br />
5. Вышеуказанные действия проводились<br />
для круглой и овальной струй.<br />
Найденные параметрические функции<br />
имеют вид:<br />
для круглой струи<br />
( ) ( )<br />
K ( )<br />
( )<br />
( ( ) ) 1 q K<br />
1 2<br />
2 q<br />
3( )<br />
f x,q = lg x+ ⋅ x + + K q ,<br />
где<br />
(1)<br />
16,<br />
907<br />
K1( q ) =− 10, 537q + − 49, 066+ 44, 535 q,<br />
q<br />
23,<br />
051<br />
K2( q ) = 14196 , q − + 67, 492− 59192 , q,<br />
q<br />
6146 ,<br />
K3( q ) =− 3781 , q + − 17, 409+ 15, 739 q;<br />
q<br />
для овальной струи<br />
( )<br />
( ) ( ( ) ( ))<br />
K1( q)<br />
= +<br />
2 3<br />
+<br />
4<br />
− 07,<br />
f x,q x K q cos K q x K q ,<br />
где<br />
(2)<br />
−3 2 −2 −2<br />
K1( q ) = 5510 , ⋅ q + 1210 , ⋅ q −2310 , ⋅ cos( 2q ) + 0485 , ,<br />
q −102<br />
,<br />
K<br />
2<br />
q , q , , q<br />
q −1<br />
16 ,<br />
( ) = 091( + 021) − 0263 ,<br />
⎛ 14 , 607 ,<br />
⎞<br />
K3( q ) = 001 , ⎜109 , q + −16 , cos ( 73 , q −1)<br />
−05<br />
, ⎟,<br />
⎝ q<br />
⎠<br />
0375 ,<br />
K4( q ) = 0103 , q − −0448 , cos ( 38 , q −084 , ) − 1.<br />
q<br />
Экспериментальные данные и кривые<br />
параметрических уравнений представлены на<br />
рис. 3, 4.<br />
Из сопоставления экспериментальных<br />
графиков можно сделать следующие выводы:<br />
1. Возрастание относительной скорости<br />
струи углекислого газа v от 0,5 до 2,0 приводит<br />
к увеличению ее ширины.<br />
2. С увеличением уровня начальной турбулентности<br />
сносящего потока вдуваемая<br />
струя размывается при меньших значениях<br />
ординаты x.<br />
3. Увеличение уровня начальной турбулентности<br />
вдуваемой струи не приводит к<br />
заметному изменению границ зоны смешения.<br />
4. Аппликаты полуширины овальных<br />
струй при больших значениях v больше, чем<br />
4<br />
z<br />
d<br />
5<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
Обозначения: 1,2,3,4,5 - q = 038;085;151;34;606<br />
, , , , ,<br />
Экспериментальные данные: ο - 1; ◊ - 2; - 3;<br />
+ - 4; x - 5<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18<br />
x<br />
d<br />
Рис. 3. Истечение струи из круглого отверстия<br />
209
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
20<br />
15<br />
z<br />
h<br />
Обозначения: 1,2,3,4,5 - q = 038;085;151;34;606<br />
, , , , ,<br />
Экспериментальные данные: ο - 1; ◊ - 2; - 3;<br />
+ - 4; x - 5<br />
5<br />
10<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
x<br />
h<br />
0<br />
5 10 15 20 25 30<br />
35<br />
40 45<br />
Рис. 4. Истечение струи из овального отверстия<br />
у круглых струй, а при малых значениях v<br />
закономерность обратная. При наличии турбулизирующих<br />
решеток во всем диапазоне<br />
изменения скоростей аппликаты полуширины<br />
овальной струи больше таковых для круглой<br />
струи.<br />
Список литературы<br />
1. Рогачев Н. М. Смешение струи углекислого<br />
газа со сносящим потоком воздуха //<br />
Вестник Самарского государственного аэрокосмического<br />
университета имени академика<br />
С.П. Королева. – Самара: СГАУ, 2006, № 1.<br />
DEFINING THE POSITIONS OF CARBON DIOXIDE GAS JET SIDE<br />
BOUNDARIES WITH THE GAS INJECTED INTO THE TRANSVERSE AIR FLOW<br />
© 2007 N. M. Rogatchev<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper analyses the influence of flow velocity ratios, initial turbulence degrees and carbon dioxide jet<br />
configurations in the transverse air flow on the position of mixing area side boundaries.<br />
210
Технические науки<br />
УДК 629.7.052:621.383<br />
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТОЭЛЕКТРОННОГО ЦИФРОВОГО<br />
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В КОД С АВТОКОРРЕКЦИЕЙ<br />
ПОГРЕШНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ВЫЗВАННОЙ БИЕНИЯМИ<br />
КОДИРУЮЩЕЙ ШКАЛЫ<br />
© 2007 М. С. Рощупкин, П. Л. Токмак, Г. И. Леонович<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Рассмотрена математическая модель кодирующего сопряжения оптоэлектронного цифрового преобразователя<br />
перемещения, учитывающая воздействие внешних дестабилизирующих факторов. Перечислены основные<br />
дефекты оптомеханического узла и показано влияние таких факторов на функцию отклика преобразователя.<br />
Показан пример визуализации информации о влиянии виброударных воздействий на погрешность функции<br />
отклика при различных амплитудах виброколебаний. Проведены расчеты погрешности и дана ее оценка<br />
при введении автокоррекции, показывающая адекватность данной модели и эффективность введения автокоррекции.<br />
Одним из направлений в создании оптоэлектронных<br />
цифровых преобразователей<br />
перемещения (ОЦПП) для летательных и космических<br />
аппаратов является существенное<br />
уменьшение габаритов оптомеханического<br />
узла (ОМУ). Вместе с тем, с увеличением<br />
разрешающей способности и уменьшением<br />
рабочей зоны кодирующих шкал (КШ) доминирующий<br />
характер приобретает погрешность<br />
преобразования, вызываемая дифракцией<br />
света на отверстиях КШ оптического<br />
излучения [1-3]. Линеаризация функции отклика<br />
на этапе калибровки не дает ожидаемого<br />
эффекта из-за того, что в процессе эксплуатации<br />
на ОМУ воздействуют внешние<br />
дестабилизирующие факторы (ВДФ), которые<br />
вызывают нестабильность пространственного<br />
положения КШ в промежутке между<br />
излучателем и считывающими элементами.<br />
При этом наибольший вклад в эту нестабильность<br />
вносят виброударные воздействия<br />
(ВУВ) в широком спектре частот и амплитуд.<br />
Поскольку параметры ВУВ носят случайный<br />
характер, то для коррекции этой доминирующей<br />
составляющей погрешности преобразования<br />
одним из наиболее эффективных<br />
методов является метод вспомогательных<br />
измерений. При этом для конкретного типа<br />
ОМУ необходимо измерять текущее значение<br />
расстояния между КШ и источником излучения,<br />
а также учитывать функциональную зависимость<br />
погрешности функции отклика от<br />
этого расстояния.<br />
Структурная схема ОЦПП с автокоррекцией<br />
погрешности преобразования, вызванной<br />
биениями кодирующей шкалы, показана<br />
на рисунке 1. Кодирующая шкала (КШ) 3<br />
выполнена в виде жесткой непрозрачной пластины,<br />
в которой по определенной закономерности<br />
вырезаны отверстия. Период a 0<br />
следования<br />
и ширина отверстий определяются,<br />
исходя из величины диапазона Q измерения<br />
и заданной чувствительности δa измерителя.<br />
Два фотоприемника (ФП) 4 облучаются от<br />
источника излучения 1 через фокон 2 и перемещающуюся<br />
КШ.<br />
На выходе первого ФП формируются<br />
счетные импульсы, а на выходе второго ФП -<br />
импульсы управления. Определение направления<br />
перемещения и реверсивный счет импульсов<br />
производится управляемым реверсивным<br />
счетчиком 5. Чувствительность такого<br />
ОЦПП ограничена количеством отверстий<br />
на единицу перемещения: N=Q/a 0<br />
, а точность<br />
- инструментальными погрешностями<br />
выполнения КШ и считывающих профилей<br />
чувствительных поверхностей фотоприемников.<br />
При увеличении количества элементов<br />
КШ на единицу измеряемой величины рост<br />
разрешающей способности может сопровождаться<br />
резким увеличением технологических<br />
затрат и падением точности вследствие влияния<br />
оптических потерь - дифракции и рассеяния<br />
света, а также усиления влияния ВДФ.<br />
Добиться увеличения разрешающей способности<br />
без особого усложнения ОМУ можно<br />
211
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
10<br />
6<br />
N α T<br />
O<br />
Nα изм , Nd изм<br />
NΔα<br />
8<br />
N * α<br />
N α Г O<br />
5<br />
I 3<br />
9<br />
I 1<br />
I 2<br />
7<br />
45<br />
°<br />
Ndизм<br />
3<br />
1<br />
α<br />
4<br />
2<br />
a 0 / 2<br />
d о +Δd<br />
a 0<br />
Рис. 1. Двухотсчетный преобразователь перемещения шкалы в код с автокоррекцией<br />
введением второго отсчета. В качестве интерполируемого<br />
параметра выбирается амплитуда<br />
или пространственная фаза оптического<br />
сигнала. Информационная емкость такого<br />
ОЦПП равна<br />
⎛ Q ⎞ ⎛ a0<br />
n log log ,<br />
a<br />
⎟ ⎞<br />
=<br />
2 ⎜<br />
⎟ +<br />
2<br />
⎜<br />
⎝ 0 ⎠ ⎝ δα<br />
(1)<br />
⎠<br />
где δa - разрешающая способность канала<br />
второго отсчета.<br />
ФП выполнены с профилированной<br />
чувствительной поверхностью, размеры которой<br />
равны размерам отверстий КШ<br />
и находятся между собой на расстоянии<br />
a 0<br />
(k+1/4), где k=0, 1, 2, 3... .<br />
С выхода КШ снимается промодулированный<br />
световой поток, который направляется<br />
на ФП. Каждый из ФП формирует функцию<br />
отклика, пропорциональную линейному<br />
перемещению КШ. С выходов ФП сигналы<br />
через соответствующие преобразователи<br />
напряжения в код (ПНК) 5 и 6 поступают в<br />
арифметико-логическое устройство (АЛУ) 8,<br />
которое формирует выходной код перемещения.<br />
Код содержит шкалу грубого отсчета,<br />
соответствующую суммарному количеству<br />
отверстий КШ, отсчитанных от линии считывания.<br />
Код точного отсчета получается<br />
путем квантования в ПНК функции отклика<br />
от единичного отверстия. Для устранения<br />
неоднозначности кодирования в диапазоне<br />
ТО, связанного с симметричностью информационного<br />
сигнала, используется управляющий<br />
сигнал от второго фотоприемника.<br />
Для оценки дифракционной погрешности<br />
преобразования была разработана математическая<br />
модель кодирующего сопряжения,<br />
построенная в соответствии с рисунком 2.<br />
Реальные геометрические размеры окон<br />
младших разрядных дорожек шкалы в двухотсчетных<br />
ОЦПП соизмеримы с расстояни-<br />
212
Технические науки<br />
ем от КШ до считывающего элемента (СчЭ)<br />
и намного больше нижней границы l н<br />
спектра<br />
излучения.<br />
Комплексная амплитуда U p<br />
волны в точке<br />
Р наблюдения (рис. 2):<br />
U<br />
p<br />
где<br />
kU( x, y,z ) ikR<br />
= ∫<br />
dfn<br />
2 πiR<br />
e , (2)<br />
Р<br />
R<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= ( X − x ) + (Y − y ) + ( Z − z ) , X, Y,<br />
Z - координаты точки р наблюдения на плоскости<br />
P считывания, x, y, z - координаты точек<br />
волновой поверхности;<br />
a a<br />
− ≤ x ≤ ,<br />
2 2<br />
b b<br />
− ≤ y ≤ , z = 0 ; U( x, yz , ) - амплитуда<br />
2 2<br />
световой волны на одном из отверстий шкалы,<br />
через которое проходит световой поток;<br />
df n - проекция элемента площади волновой<br />
поверхности на плоскость, перпендикулярную<br />
направлению волнового вектора k .<br />
Если считать, что U = U0 = const и<br />
Z = d (плоская волна падает нормально к<br />
плоскости отверстия КШ), то имеет место<br />
дифракция Френеля, и амплитуда дифрагированной<br />
волны имеет вид<br />
U<br />
p<br />
kU<br />
=<br />
2π<br />
2<br />
2 2<br />
( ik ( X − x ) + (Y − y ) + d )<br />
a b<br />
2 2<br />
0<br />
exp<br />
i<br />
∫ ∫<br />
2<br />
2<br />
−a<br />
− b ( X − x ) + (Y − y ) +<br />
2 2<br />
d<br />
2<br />
dydx<br />
.<br />
(3)<br />
Интенсивность света на поверхности<br />
считывающего элемента можно записать в<br />
следующем виде [ 3]:<br />
I ( x,y,d)<br />
p<br />
≡U<br />
( x,y,d )<br />
p<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
⋅{ [ C(Xˆ ) + C(Xˆ )] + [ S(Xˆ ) + S( Xˆ )]<br />
}<br />
4 + − + −<br />
2<br />
2<br />
[ C(Ŷ ) + C(Ŷ )] + [ S(Ŷ ) + S(Ŷ )]<br />
U<br />
=<br />
× { },<br />
+ − + −<br />
2<br />
=<br />
v<br />
2<br />
v<br />
2<br />
⎛ πt<br />
⎞<br />
⎛ πt<br />
⎞<br />
где C( v ) = ∫ cos⎜<br />
⎟dt,<br />
S( v ) = ∫ sin⎜<br />
⎟dt<br />
-<br />
0 ⎝ 2 ⎠<br />
0 ⎝ 2 ⎠<br />
интегралы Френеля.<br />
Функция отклика (ФО) H(X d<br />
) СчЭ определяется<br />
соотношением<br />
×<br />
Y<br />
1<br />
y<br />
b<br />
Ф 0<br />
2<br />
α x<br />
df<br />
0<br />
0<br />
Ф с<br />
Y<br />
p(X,x,Y,y)<br />
P<br />
R<br />
0<br />
b d<br />
γ<br />
d0+Δd<br />
ds<br />
0<br />
a d<br />
Z<br />
x<br />
a<br />
a 0<br />
X<br />
z<br />
Рис. 2. Схема прохождения параллельного светового пучка через кодирующее сопряжение ОЦПП<br />
213
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
H( Xd ) = ∫ϕ ( X ,Y ) ⋅ I<br />
p(<br />
X ,Y ,Z )dsn<br />
, (4)<br />
Sd<br />
где ϕ(X,Y) - функция распределения относительной<br />
чувствительности фотоприемника<br />
по считывающей поверхности; ds n<br />
- проекция<br />
элемента площади СчЭ ds на плоскость,<br />
нормальную к направлению падения светового<br />
луча.<br />
Дифракционные погрешности преобразования<br />
вызываются наличием фиксированного<br />
расстояния d 0<br />
и дополнительных случайных<br />
вибрационных перемещений ∆d КШ<br />
между источником излучения (ИИ) и фотоприемным<br />
устройством.<br />
Оценка погрешности, вызванной дифракционными<br />
явлениями при виброударном<br />
воздействии, была произведена с помощью<br />
разработанной авторами «Автоматизированной<br />
системы моделирования функции отклика<br />
ОЦПП АСМФО». Программа позволяет<br />
моделировать функцию отклика в двухотсчетном<br />
ОЦПП с учетом волнового характера света,<br />
инструментальных и методических погрешностей<br />
ОМУ для различных параметров<br />
отверстий КШ в условиях воздействия ВДФ.<br />
На рисунке 3 показан пример визуализации<br />
информации о влиянии виброударных<br />
воздействий на погрешность ФО при различных<br />
амплитудах d виброколебаний и равномерном<br />
перемещении кодирующей шкалы<br />
тносительно СчЭ. Из графиков видно, что<br />
погрешность имеет нелинейный характер, а<br />
диапазон ее изменения варьируется в зависимости<br />
от значения d: с ростом d увеличивается<br />
диапазон изменения погрешности ФО.<br />
При приближении КШ к СчЭ наблюдается<br />
уменьшение амплитуд осцилляций. Однако<br />
для надежного функционирования ОМУ расстояние<br />
d* между КШ и СчЭ обычно выбирается<br />
из соотношения<br />
d<br />
*<br />
= d ≥ 2∆d<br />
. (5)<br />
0<br />
max<br />
В ходе проведенного вычислительного<br />
эксперимента были получены значения относительной<br />
погрешности, вызванной торцевыми<br />
биениями КШ. Для 16-разрядного преобразователя<br />
перемещения в диапазоне 0...5 см<br />
ее максимальное значение составило около<br />
15 % (потеря точности составляет 2…4 разряда).<br />
Это доказывает, что такую погреш-<br />
Δα, мкм<br />
α, мкм<br />
Рис. 3. Зависимость погрешности ∆α от перемещения α при фиксированных значениях<br />
расстояния d между КШ и ИИ<br />
214
Технические науки<br />
ность необходимо учитывать и компенсировать<br />
при работе ОЦПП в жестких условиях<br />
эксплуатации. Для реализации схемы автоматической<br />
коррекции погрешности преобразования<br />
методом вспомогательных измерений<br />
в ОЦПП был введен дополнительный<br />
измеритель расстояния между КШ и источником<br />
излучения (ИИ) и реализован алгоритм<br />
ввода полученных на этапе калибровки поправок<br />
в код перемещения. Значения поправок<br />
вносятся в виде двумерной матрицы по<br />
параметру перемещения и смещения КШ в<br />
память микропроцессора (МП).<br />
На рисунке 1 пунктирной линией обозначена<br />
соответствующая надстройка. Часть<br />
излучения от источника падает на верхнюю<br />
часть КШ, имеющей по краю фаску со скосом<br />
в 45°, и, отражаясь, попадает на фокон 9.<br />
Фокон, подключенный по коллимирующей<br />
схеме, производит считывание светового<br />
луча, отраженного от КШ, и направляет его<br />
на фоточувствительный слой, нанесенный на<br />
выходной торец фокона. Далее в ПНК 7 сигнал<br />
с выхода фоточувствительного слоя преобразуется<br />
в код N d<br />
, который поступает в<br />
АЛУ. Устройство в зависимости от значений<br />
N d<br />
и N α<br />
формирует адрес в виде двумерной<br />
матрицы и считывает из постоянного запоминающего<br />
устройства (ПЗУ) 10 поправку<br />
( N , )<br />
∆ N к значению кода перемещения:<br />
N<br />
∗<br />
α<br />
α d<br />
N α<br />
= N<br />
α<br />
+ ∆N<br />
α<br />
( N , N )<br />
d<br />
α<br />
. (6)<br />
На рисунке 4 изображен трехмерный<br />
график зависимости погрешности ∆α ФО от<br />
перемещения α и расстояния d между КШ и<br />
ИИ, который после оцифровки вносится в<br />
виде матрицы поправок в ПЗУ МП.<br />
С помощью АСМФО были проведены<br />
расчеты погрешности и ее оценка при введении<br />
автокоррекции. Максимальное значение<br />
погрешности ∆α без (линия 1) и с введением<br />
(линия 2) коррекции показаны на рисунке 5.<br />
При оцифровке параметра d в 128 позициях<br />
относительная погрешность снижается до 2%<br />
(точность 2 мкм), что позволяет считать, что<br />
цель коррекции (достижение заданной точности<br />
преобразования) достигнута.<br />
Список литературы<br />
1. Леонович Г. И. Оптоэлектронные<br />
цифровые датчики перемещений для жест-<br />
Δα<br />
d<br />
d<br />
α<br />
Рис. 4. График зависимости погрешности ∆α от расстояния d и от перемещения α<br />
215
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Δα,мкм<br />
1. Δα МАКС = 0,154<br />
2. Δα кор МАКС = 0,02<br />
α,мкм<br />
Рис. 5. Погрешность функции отклика: без автокоррекции (линия 1), с автокоррекцией (линия 2)<br />
ких условий эксплуатации: научное издание.<br />
- Самара: Самарск. гос. аэрокосм. ун-т, 1998.<br />
2. Домрачев В. Г., Мейко Б. С. Цифровые<br />
преобразователи угла: принципы построения,<br />
теория точности, методы контроля. -<br />
М.: Энергоатомиздат, 1984.<br />
3. Леонович Г. И., Ратис Ю. Л. Дифракция<br />
светового потока на чувствительных элементах<br />
волоконно-оптических и оптико-электронных<br />
датчиков механических перемещений<br />
//Компьютерная оптика. – 1996. –<br />
Вып. 16. - С. 74-77.<br />
MATHEMATICAL MODEL OF AN OPTOELECTRONIC POSITION-TO-DIGITAL<br />
CONVERTER WITH AUTOCORRECTION OF CONVERSION<br />
ERROR CAUSED BY CODING SCALE BEATS<br />
© 2007 M. S. Roshchupkin, P. L. Tokmak, G. I. Leonovitch<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper presents a mathematical model of code mating of an optoelectronic position-to-digital converter. The<br />
model takes into account the effect of external destabilizing factors. The main defects of the optomechanical unit are<br />
listed and the influence of such factors on the converter response function is shown. An example of visualizing the<br />
information about the influence of vibropercussions on response function error for various amplitudes of vibration<br />
oscillations is given. The error is calculated and estimated for the case of autocorrection show the adequacy of the<br />
model and the efficiency of using autocorrection.<br />
216
Технические науки<br />
УДК 621.431.75+621.9.047<br />
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ<br />
ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЛОПАТОК ГАЗОТУРБИННЫХ<br />
ДВИГАТЕЛЕЙ C УЧЕТОМ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ<br />
© 2007 Г. В. Смирнов<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Рассмотрены вопросы проектирования технологии окончательной электрохимической обработки (ЭХО)<br />
пера лопаток газотурбинных двигателей (ГТД) с учетом факторов технологической наследственности. Приведена<br />
классификация факторов технологической наследственности и их влияние на точность ЭХО и качество<br />
поверхности после обработки. Описаны принципы изменения схемы реализации ЭХО, приводится содержание<br />
основных задач, решаемых при проектировании технологии окончательной ЭХО, и алгоритмы их решения.<br />
Несмотря на внедрение высокопроизводительного<br />
оборудования и новых методов<br />
обработки, еще сравнительно велика доля<br />
ручного труда в общей трудоемкости изготовления<br />
отдельных наиболее сложных и ответственных<br />
деталей ГТД и в первую очередь –<br />
лопаток компрессора, имеющих сложную<br />
пространственную форму, относительно низкую<br />
жесткость и высокие требования к точности<br />
геометрических параметров и состоянию<br />
поверхностного слоя. Так, при изготовлении<br />
лопатки первой ступени компрессора<br />
низкого давления (КНД) двухконтурного двигателя<br />
трудоемкость составляет около 30 нормочасов,<br />
из которых на окончательную ручную<br />
доработку пера лопатки затрачивается<br />
более 20 % общей трудоемкости. Суммарная<br />
трудоемкость изготовления лопаток составляет<br />
почти 40 % от общей трудоемкости двигателя.<br />
Поэтому уменьшение окончательной<br />
ручной доработки лопаток является важным<br />
направлением в снижении общей трудоемкости.<br />
Снизить трудоемкость ручной доработки<br />
можно путем повышения точности машинной<br />
обработки пера лопатки на окончательном<br />
этапе формообразования пера. Лопатка,<br />
являясь одной из наиболее нагруженных<br />
деталей ГТД, определяет ресурс и надежность<br />
работы двигателя. Поэтому повышение<br />
ресурса работы лопатки объективно способствует<br />
повышению ресурса двигателя. Однако<br />
индивидуальные особенности рабочегополировщика<br />
на ручной слесарной доработке<br />
оказывают значительное влияние на качество<br />
поверхностного слоя лопаток, вызывая<br />
нестабильность его характеристик. Таким<br />
образом, уменьшение объема ручной доработки<br />
пера лопатки способствует как снижению<br />
трудоемкости изготовления двигателя,<br />
так и повышению его ресурса за счет стабилизации<br />
характеристик поверхностного слоя.<br />
В качестве метода окончательного формообразования<br />
пера в наибольшей степени<br />
подходит электрохимическая обработка<br />
(ЭХО), т. к. она в сочетании с последующей<br />
отделочно-упрочняющей обработкой обеспечивает<br />
повышение предела выносливости.<br />
Успехи, достигнутые в области освоения малоприпусковых<br />
заготовок, привели к тому,<br />
что актуальным становится вопрос разработки<br />
технологии, позволяющей обрабатывать<br />
ажурные заготовки лопаток компрессора высокого<br />
давления из труднообрабатываемых<br />
материалов. Величина минимального припуска<br />
по перу уменьшается при этом до<br />
0,3...0,5 мм, а его неравномерность достигает<br />
0,6…1,3 мм. Таким образом, при незначительном<br />
припуске весьма значительна его<br />
неравномерность. Припуск не может быть<br />
удален за две, три операции, как при обработке<br />
пера лопаток КНД. Обработка пера лезвийным<br />
и абразивным инструментом становится<br />
проблематичной из-за значительного<br />
силового и теплового воздействия на ажурное<br />
перо заготовки лопатки. В этих условиях<br />
ЭХО становится практически единственным<br />
методом обработки пера, который может<br />
гарантированно обеспечить ненапряженное<br />
удаление припуска, исключающее значительное<br />
силовое и тепловое воздействие на<br />
217
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
перо, и равномерную эпюру поверхностных<br />
остаточных напряжений на всех участках<br />
пера после обработки в условиях ограниченных<br />
размеров базирующих поверхностей.<br />
Однако на сегодняшний день ЭХО не обеспечивает<br />
требуемую по чертежу точность<br />
пера из-за ряда факторов, сопровождающих<br />
процесс вследствие особенностей конструкции<br />
лопатки и подчиняющихся закономерностям<br />
технологической наследственности.<br />
Действие этих факторов иногда может нарушить<br />
нормальное протекание процесса ЭХО<br />
и вызвать дефекты (короткое замыкание, прижоги,<br />
изменение структуры материала). Но,<br />
даже если этого не произойдет, их действие<br />
всегда обнаруживается после окончания процесса<br />
в виде остаточных деформаций пера<br />
относительно замка, приводящих к снижению<br />
точности обработки.<br />
Кроме того, отсутствие адекватных математических<br />
моделей для описания процесса<br />
ЭХО и сопутствующих явлений, вызывающих<br />
его искажение, приводит к невозможности<br />
реализации автоматизированного проектирования<br />
технологии изготовления лопаток<br />
с использованием ЭХО в качестве окончательной<br />
формообразующей. Только всестороннее<br />
исследование факторов технологической<br />
наследственности, сопутствующих ЭХО<br />
пера лопаток ГТД, и выявление закономерностей<br />
их изменения может определить способы<br />
управления ими и сделать реальным<br />
использование ЭХО для окончательной обработки.<br />
Проведены комплексные исследования<br />
основных факторов технологической наследственности<br />
при ЭХО пера лопаток [1], которые<br />
можно разделить на следующие группы.<br />
Геометрические факторы технологической<br />
наследственности, которые влияют на<br />
точность через геометрию заготовки и формируются<br />
в течение всего технологического<br />
процесса. Это смещение установочных баз<br />
относительно номинального расположения,<br />
смещение оси пера относительно замка и<br />
погрешность углового расположения пера<br />
относительно замка. Экспериментально определены<br />
закономерности изменения этих<br />
факторов на натурных лопатках. Теоретически<br />
и экспериментально установлены механизмы<br />
их влияния на точность формообразования<br />
[2].<br />
Наследственные факторы состояния<br />
материала и обрабатываемой поверхности:<br />
остаточные напряжения в поверхностном<br />
слое пера перед ЭХО, насыщение поверхности<br />
водородом при ЭХО титановых лопаток.<br />
Определены закономерности формирования<br />
остаточных напряжений при различных вариантах<br />
подготовки пера и их влияния на<br />
точность формообразования [3, 4] и закономерности<br />
наводораживания в зависимости от<br />
параметров режима ЭХО, разработана математическая<br />
модель наводораживания поверхности<br />
различных титановых сплавов при<br />
ЭХО в импульсном режиме.<br />
Наследственные факторы, действующие<br />
в течение операции ЭХО и обусловленные<br />
особенностью конструкции детали. Возникновение<br />
этих факторов не обусловлено<br />
природой самого метода обработки, а является<br />
проявлением специфичности конструкции<br />
обрабатываемой детали. Они являются<br />
результатом действия явлений, сопутствующих<br />
ЭХО пера лопаток. В качестве таких<br />
факторов можно назвать термоупругие деформации<br />
пера и деформации пера от гидравлических<br />
сил [5]. Им соответствуют тепловыделение<br />
в теле заготовки и в зоне обработки,<br />
а также силовое воздействие потока<br />
электролита. Если бы заготовка имела высокую<br />
изгибную жесткость и большую площадь<br />
токоподвода, то есть другую конструктивную<br />
форму, то влияние отмеченных явлений на<br />
точность формообразования пера было бы<br />
пренебрежимо мало.<br />
Разработаны математические модели<br />
процесса ЭХО, а также сопутствующих ему<br />
явлений, вызванных особенностью конструкции<br />
лопатки, которые можно рассматривать<br />
как информацию для создания соответствующих<br />
баз данных и выработки рекомендаций<br />
по режимам и техническим требованиям на<br />
операцию окончательной ЭХО с учетом технологической<br />
наследственности при проектировании<br />
технологии изготовления лопатки<br />
компрессора с помощью PDM-систем.<br />
Кроме того, предложены новые принципы<br />
реализации ЭХО для повышения точности<br />
размеров второго рода при обработке<br />
218
Технические науки<br />
нежестких деталей сложной пространственной<br />
формы, к которым относятся лопатки:<br />
коррекция заготовки относительно электродов,<br />
периодическая свободная переустановка<br />
заготовки в процессе ЭХО, присоединенный<br />
расход электролита. В соответствии с<br />
этими принципами разработаны способы и<br />
устройства для их осуществления [6, 7]. Эффективность<br />
использования принципов и<br />
устройств обоснована теоретически и экспериментально.<br />
Разработанные способы и устройства<br />
могут служить рекомендациями и<br />
прототипами оснастки для ЭХО пера лопаток<br />
на точность.<br />
Таким образом, создана база для проектирования<br />
окончательной ЭХО с учетом<br />
влияния факторов технологической наследственности.<br />
Остановимся подробнее на процессе<br />
проектирования операции окончательной<br />
ЭХО. При проектировании окончательной<br />
обработки пера компрессорной лопатки с<br />
использованием ЭХО приходится решать некоторые<br />
типовые технологические задачи,<br />
составляющие суть процесса проектирования.<br />
Они связанны со значительными материальными,<br />
интеллектуальными и временными<br />
затратами, а эффективность их решения<br />
определяет в конечном счете уровень разработанной<br />
технологии. Общими составляющими<br />
этих задач являются сведения по процессу<br />
ЭХО, способам его реализации и сопутствующим<br />
процессам, оснастке; информация<br />
о заготовках лопаток и вариантах их<br />
получения. Совокупность задач определяет<br />
методологию проектирования окончательной<br />
обработки пера лопатки. Обычно при их решении<br />
влияние технологической наследственности<br />
на точность в явном виде не учитывается,<br />
а из опыта предшествующей обработки<br />
постулируется, что остаточное смещение<br />
пера после ЭХО не превысит некоторой<br />
величины в пределах допуска. При решении<br />
технологических задач припуск под операцию<br />
ЭХО и его неравномерность обычно оценивается<br />
только с точки зрения достижения<br />
заданной погрешности профиля пера. В результате<br />
такого подхода практически неизбежным<br />
становится появление брака по причине<br />
выхода величины смещения профиля<br />
пера от номинального расположения за пределы<br />
допуска, или, если этот брак исправим,<br />
то неизбежна ручная доработка профиля<br />
пера. Поэтому представляется важным рассмотреть<br />
содержание основных задач и разработать<br />
алгоритмы их решения с учетом технологической<br />
наследственности, то есть с<br />
использованием всех аналитических и экспериментальных<br />
решений, найденных в результате<br />
проведенных исследований. Отличительной<br />
особенностью разработанного подхода<br />
является, во-первых, широкое использование<br />
математического моделирования на<br />
ЭВМ, во-вторых, минимальное количество<br />
трудоемких экспериментальных исследований,<br />
в-третьих, простота использования (на<br />
уровне подготовки цехового технолога со<br />
средним стажем работы) и, главное, резкое<br />
сокращение времени на решение указанных<br />
задач при гарантированном исключении выхода<br />
лопаток в брак по причине смещения<br />
профиля пера.<br />
Наиболее частой задачей при проектировании<br />
операции окончательной ЭХО пера<br />
является определение возможности получения<br />
заданной точности профиля пера и его<br />
расположения относительно замка при заданной<br />
геометрии заготовки при известных геометрии<br />
заготовки и способе ее получения, а<br />
также при известных способах реализации<br />
ЭХО пера лопатки, электролитах, режимах<br />
обработки. Назовем ее первой технологической<br />
задачей. Обычно ее решают при встраивании<br />
ЭХО в технологический процесс обработки<br />
лопатки, рассматривая ЭХО как возможную<br />
альтернативу механической обработке<br />
пера абразивным или лезвийным инструментом.<br />
Если у технолога есть возможность<br />
выбора способов получения заготовки, то<br />
решается вторая задача: определение требований<br />
к геометрии профиля заготовки лопатки<br />
при имеющихся возможностях реализации<br />
ЭХО с точки зрения электролита, источника<br />
питания (возможных режимов обработки),<br />
схемы ЭХО, приспособления и оборудования<br />
с целью получения заданной точности профиля<br />
пера и его расположения относительно<br />
замка. Вторая задача обычно решается в случае<br />
безальтернативности ЭХО, как оконча-<br />
219
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
тельной формообразующей операции пера<br />
лопатки, для выдачи технического задания на<br />
получение заготовки лопатки.<br />
Третья задача решается, когда при заданной<br />
заготовке, заданном способе реализации<br />
ЭХО, электролите и режиме обработки<br />
необходимо ответить на вопрос, какую<br />
точность профиля пера и его расположения<br />
относительно замка можно получить в результате<br />
ЭХО. Обычно необходимость решения<br />
такой задачи возникает, если лопатки<br />
после ЭХО пера не удовлетворяют заданным<br />
требованиям по точности. Фактически, это<br />
задача «санации технологии обработки пера».<br />
Четвертая задача - выбор наиболее экономичного<br />
варианта получения заготовки<br />
лопатки при оптимальных электролите, режимах<br />
обработки, способе реализации ЭХО<br />
для данного материала. Все четыре задачи<br />
можно объединить условным названием -<br />
«заготовка - конечная точность». Для решения<br />
их используются данные по припускам<br />
и его неравномерности для заготовки, требуемая<br />
точность профиля пера и его расположения<br />
относительно замка после ЭХО, имитационная<br />
модель ЭХО, банк данных по электролитам<br />
и режимам ЭХО для конкретных<br />
лопаточных материалов, электронная модель<br />
пера лопатки, методика определения деформации<br />
пера лопатки при удалении напряженного<br />
слоя, методика определения термоупругих<br />
деформаций пера лопатки, зависимости<br />
деформаций пера от соотношения зазоров<br />
при ЭХО.<br />
Решение всех задач подразумевает использование<br />
или создание в случае их отсутствия<br />
электронных моделей пера лопаток<br />
компрессора.<br />
Последовательность решения первой<br />
задачи выглядит следующим образом.<br />
1. Создание электронной модели лопатки<br />
(или выделение ее из узла компрессора,<br />
если есть сборочная 3D - модель узла).<br />
2. Выделение технических требований<br />
по точности профиля пера и расположению<br />
пера относительно замка.<br />
3. Выделение технических требований<br />
по величине минимального припуска и его<br />
неравномерности по перу заготовки и установочных<br />
базирующих поверхностей по замку<br />
и технологической прибыли на операции<br />
ЭХО пера. Выявление распределения смещений<br />
пера относительно замка на заготовках,<br />
а также определение эпюры распределения<br />
остаточных напряжений в поверхностном<br />
слое пера заготовки. Распределения смещений<br />
пера заготовки сравниваются с величиной<br />
наименьшего припуска по перу заготовки.<br />
Если поле рассеяния смещений и уводов<br />
пера больше половины минимального припуска<br />
по перу, рекомендуется использование<br />
приспособлений для ЭХО с начальной коррекцией<br />
положения лопатки. В противном<br />
случае осуществляется ЭХО без коррекции<br />
начального положения.<br />
4. Определение наибольшего и наименьшего<br />
межэлектродных зазоров при ЭХО<br />
пера в соответствии с геометрией пера заготовки.<br />
5. Проведение экспериментов на плоских<br />
образцах по определению зависимости<br />
линейного съема от межэлектродного зазора<br />
при ЭХО на электролите, рекомендуемом для<br />
данного сплава, или выбор из банка данных<br />
по электролитам зависимости характеристики<br />
режима от зазора для известного оптимального<br />
электролита.<br />
6. Определение ожидаемой величины<br />
конечной погрешности профиля пера при<br />
известных величинах наименьшего припуска,<br />
его неравномерности и величине начального<br />
зазора с помощью имитационной модели<br />
ЭХО.<br />
7. Выбор из банка данных эпюры распределения<br />
остаточных напряжений в поверхностном<br />
слое пера после ЭХО.<br />
8. Определение деформации пера после<br />
удаления напряженного слоя материала на<br />
пере лопатки после ЭХО по экспресс-методике<br />
нагружения конечно-элементной модели<br />
пера осредненными активными остаточными<br />
напряжениями.<br />
9. Сравнение величины деформации с<br />
допуском на расположение пера относительно<br />
замка. Если величина допуска больше, чем<br />
ожидаемая деформация пера, то рекомендуется<br />
осуществлять ЭХО традиционным способом<br />
при установке по двум базам без перезакрепления.<br />
В противном случае просчитывается<br />
эффективность применения способа<br />
220
ЭХО с периодической самоустановкой пера<br />
и ненапряженным перезакреплением вспомогательной<br />
базы.<br />
10. По ожидаемым величинам межэлектродных<br />
зазоров и их соотношению определяется<br />
максимально возможная деформация<br />
пера от потока электролита (по экспериментальным<br />
зависимостям).<br />
11. По математическим моделям нагрева<br />
пера и его результирующего термоупругого<br />
деформирования рассчитывается величина<br />
максимально возможной деформации.<br />
12. Суммарная величина деформации<br />
по п.п. 10 и 11 сравнивается с величиной допуска<br />
на смещение профиля в средних по<br />
высоте сечениях пера. Если величина допуска<br />
на смещение больше ожидаемой суммарной<br />
деформации пера в процессе ЭХО, то<br />
рекомендуется проведение ЭХО сплошным<br />
электродом. В противном случае целесообразнее<br />
использовать гребенчатый электрод<br />
(реализующий принцип присоединенного<br />
расхода электролита) и применять в токоподводах<br />
вставки из металлорезины с целью повышения<br />
числа пятен контакта для снижения<br />
температуры в его зоне.<br />
13. Выбор оборудования, обеспечивающего<br />
ЭХО по выбранной схеме с уточнением<br />
по п.п. 3 - 12.<br />
14. Выдача технических заданий на<br />
проектирование оснастки для реализации<br />
выбранной схемы ЭХО пера.<br />
15. Выбор варианта отделочно-упрочняющей<br />
обработки лопатки, рекомендуемой<br />
для данного материала из базы данных по<br />
отделочной обработке.<br />
Разработаны блок-схемы последовательности<br />
решения первой, второй и третьей<br />
технологической задачи, которые могут служить<br />
методическим руководством при проектировании<br />
технологии окончательной обработки<br />
лопаток, причем не только электрохимическим<br />
методом, так как принципиальным<br />
в них является подход с позиций технологической<br />
наследственности, учитывающий<br />
влияние основных ее факторов на точность<br />
формообразования за вычетом блока наводораживания,<br />
который используется исключительно<br />
при ЭХО.<br />
Математические модели, входящие в<br />
методику, просты и могут использоваться без<br />
221<br />
Технические науки<br />
специальной подготовки цеховыми технологами,<br />
знакомыми с существом проблемы и<br />
обладающими навыками работы с ПК.<br />
Экспериментальные данные по остаточным<br />
напряжениям в зависимости от метода<br />
обработки, сведения по электролитам,<br />
режимам ЭХО по различным лопаточным<br />
материалам сведены в таблицы и служат базами<br />
данных.<br />
Таким образом, методика проектирования<br />
совместно с базами данных может служить<br />
эффективным инструментом при ручном<br />
проектировании технологии окончательной<br />
ЭХО; базой для создания универсальной<br />
методики проектирования окончательной<br />
обработки пера лопаток или любых деталей<br />
низкой жесткости (с соответствующей адаптацией)<br />
с учетом технологической наследственности;<br />
основой для проектирования<br />
технологии лопатки в едином информационном<br />
пространстве с использованием PDMсистем.<br />
Список литературы<br />
1. Смирнов Г. В., Проничев Н. Д., Демин<br />
М. В. Влияние технологической наследственности<br />
на величину остаточных напряжений<br />
в поверхностном слое после окончательной<br />
вибро-ЭХО пера лопаток ГТД // Новые<br />
электро-технологические процессы в<br />
машиностроении: тез. доклада Всесоюзн.<br />
семинара. - Кишинев, 1990. -С. 135-136.<br />
2. Смирнов Г. В., Крашенинников К. П.,<br />
Потапова Н. И. Влияние погрешностей геометрических<br />
параметров заготовки на точность<br />
ЭХО пера крупногабаритных лопаток<br />
// Сб. Технологические методы повышения<br />
качества изготовления деталей авиадвигателей.<br />
- Куйбышев: КуАИ, 1980. - С. 28-34.<br />
3. Смирнов Г. В., Проничев Н. Д. Влияние<br />
структуры технологического процесса на<br />
распределение остаточных напряжений в<br />
пере лопаток ГТД / Высокоэффективные методы<br />
механической обработки материалов //<br />
Сб. Высокоэффективные методы механической<br />
обработки авиац. – Куйбышев: КуАИ,<br />
1991. - С. 41- 46.<br />
4. Смирнов Г. В., Шманев В. А., Филимошин<br />
В. Г. Влияние остаточных напряжений<br />
на точность ЭХО крупногабаритных лопаток<br />
ГТД из титановых сплавов // Сб. По-
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
верхностный слой, точность и эксплуатационные<br />
свойства деталей машин и приборов.<br />
– Москва: МДНТП, 1984. - С. 44- 49.<br />
5. Смирнов Г. В., Филимошин В. Г.,<br />
Антонов А. В. О силовом воздействии электролита<br />
на перо лопатки в процессе ЭХО // Сб.<br />
Технологические пути повышения качества<br />
изготовления авиадвигателей. - Куйбышев,<br />
1986. - С. 56 – 61.<br />
6. А.с. 655497. СССР, МКИ 3 В24В 1/04<br />
// B24D 5/00. Способ электрохимической размерной<br />
обработки подвижными электродами<br />
/Смирнов Г. В., Бороздин Б. П., Филимошин<br />
В. Г., Несмелов Б. М., Шипов Ю. С., Шулепов<br />
А. П. (СССР). № 3569413/25-08; Заявл.<br />
31.03.83; Опубл. 23.10.82, Бюл. №39 //Открытия.<br />
Изобретения. 1983. №39.<br />
7. А.с. 179368, СССР МКИ 3 В24В 1/04 /<br />
/ B24D 5/00. Электролит для размерной электрохимической<br />
обработки / Смирнов Г. В.,<br />
Демин М. В., Сенина О. А., Проничев Н. Д.<br />
(СССР). №3569413/25-08; Заявл. 8.10.92;<br />
Опубл., Бюл. №7 //Открытия. Изобретения.<br />
1993. № 7.<br />
DESIGNING A TECHNOLOGY OF FINAL ELECTROCHEMICAL MACHINING<br />
OF GAS TURBINE BLADES WITH REGARD FOR TECHNOLOGICAL HEREDITY<br />
© 2007 G. V. Smirnov<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper deals with the issues of designing a technology for final electrochemical machining (ECM) of gas<br />
turbine engine (GTE) blades with regard for technological heredity factors. Classification of technological heredity<br />
factors and their influence on the ECM accuracy and surface quality after machining are presented. Principles of modifying<br />
the ECM realization pattern are described, the content of the main tasks solved when designing a final ECM technology<br />
and algorithms of their solving are given.<br />
222
Технические науки<br />
УДК 621.983.3<br />
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСЛОВНОГО ПРЕДЕЛА<br />
РЕЛАКСАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ<br />
© 2007 В. Д. Юшин, Г. З. Бунова, С. В. Воронин<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Предложена методика определения условного предела релаксации напряжений на кольцевых образцах<br />
Одинга. Определен условный предел релаксации напряжений при комнатной температуре для перспективного<br />
сплава 01570.<br />
Размерная стабильность материалов<br />
имеет большое значение в прецизионном<br />
машиностроении и приборостроении. Она<br />
чаще всего оценивается пределом ползучести<br />
или условным пределом релаксации напряжений.<br />
Обе эти величины имеют одинаковую<br />
физическую природу. Однако использование<br />
критерия релаксации напряжений<br />
предпочтительнее, т. к. испытания при уменьшающихся<br />
во времени напряжениях в большей<br />
степени соответствуют поведению материала<br />
в реальных условиях эксплуатации.<br />
Для проведения релаксационных испытаний<br />
при изгибе часто пользуются методом кольцевых<br />
образцов И. А. Одинга [1].<br />
Однако этот метод не позволяет определить<br />
точное численное значение условного<br />
предела релаксации. В настоящей работе<br />
предлагается усовершенствованная методика<br />
И. А. Одинга, позволяющая устранить данный<br />
недостаток, которая была использована<br />
для определения условного предела релаксации<br />
сплава 01570 при комнатной температуре.<br />
1. Методика подготовки образцов к<br />
испытаниям. Изготавливались кольцевые<br />
образцы равного сопротивления изгибу из<br />
прутка в соответствии с требованиями ОСТа<br />
24.901.01-73. Для снятия остаточных напряжений<br />
образцы после изготовления отжигались<br />
по режимам, приведенным в ГОСТ<br />
17535-77, то есть при температуре 350 о С в<br />
течение трех часов.<br />
Для устранения коробления образцы<br />
отжигались в заневоленном состоянии. Кроме<br />
того, с этой же целью при изготовлении<br />
образцов в прорези для установки клиньев<br />
оставляли перемычку толщиной 1 мм. После<br />
отжига перемычка устранялась. Для контроля<br />
зазора в процессе испытания на нерабочей<br />
части образца с обеих сторон зазора с<br />
помощью твердомера ПМТ-3 наносили риски<br />
в форме перекрестий. Чтобы исключить<br />
разворот перекрестий и наносить их в строго<br />
определенном месте, разметку выполняли<br />
с помощью приспособления. В центре полученных<br />
перекрестий с помощью твердомера<br />
ПМТ-3 наносились отпечатки с целью повышения<br />
точности замеров. Расстояние между<br />
полученными отпечатками измерялось с помощью<br />
усовершенствованного компаратора<br />
ИЗА-2. Усовершенствование компаратора<br />
заключалось в установке системы освещения<br />
измеряемого объекта. В нее входит (рис. 1)<br />
осветитель 7 с источником питания 8, полупрозрачная<br />
пластина 5 и объектив 2. Усовершенствование<br />
позволило повысить общее<br />
увеличение микроскопа в пять раз за счет замены<br />
объектива на более короткофокусный<br />
и окуляра 6 с большим увеличением. Окуляр<br />
6 был установлен в тубус микроскопа 4 с помощью<br />
переходника 5.<br />
Проведенная доработка компаратора<br />
ИЗА-2 позволила измерять линейные размеры<br />
на базе 90 мм с точностью 1 мкм. При замере<br />
размеров на компараторе вносилась поправка,<br />
учитывающая температуру помещения.<br />
2. Выбор размеров клиньев. При определении<br />
условного предела релаксации<br />
напряжений, согласно литературным данным,<br />
геометрические размеры клиньев для<br />
образцов Одинга выбираются исходя из условия:<br />
σ о<br />
должно быть меньше 0,75 – 0,8 от<br />
223
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 1. Схема устройства освещения компаратора ИЗА-2<br />
предела текучести испытываемого материала<br />
[2]. По литературным данным, предел<br />
текучести материала 01570 составляет<br />
30 кг/мм 2 . Изготовленные образцы Одинга<br />
после отжига и удаления перемычки имели<br />
прорезь шириной 3,1 ± 0,1 мм. При определении<br />
условного предела релаксации напряжений<br />
были выбраны четыре уровня начальных<br />
напряжений в образцах – 22,5; 19,55; 18<br />
и 15 кг/мм 2 . Учитывая величину прорези, для<br />
создания таких напряжений необходимо<br />
иметь<br />
σ = а ⋅ Е т<br />
⋅ ∆, (1)<br />
где а = 0,000583 мм -1 , Е т<br />
= 7200кгс/мм 2 , ∆ -<br />
толщина клина, и использовать клинья соответственно<br />
толщиной 8,46 мм; 7,746 мм;<br />
7,388 мм и 6,674 мм. Клинья изготавливались<br />
из закаленной стали У8. Для каждого размера<br />
клина для повышения точности задания<br />
начальных напряжений испытания проводились<br />
на трех образцах.<br />
3. Методика проведения испытаний.<br />
Для определения величины релаксированных<br />
напряжений замерялись расстояния между<br />
отпечатками до установки клина, после установки<br />
клина и его удаления через 1, 3, 6,<br />
10 и 20 суток. По изменению расстояний между<br />
отпечатками определяли величину релаксированных<br />
напряжений σ р<br />
в кольцевых образцах<br />
со вставленными клиньями по формуле<br />
σ р<br />
= А ⋅ Е ⋅ ∆ l<br />
, (2)<br />
где А = 0,000583 мм -1 ; Е = 7200 кгс/мм 2 ; ∆ l<br />
–<br />
изменение расстояния между метками на образце.<br />
По полученным значениям релаксированных<br />
напряжений рассчитывали значения<br />
остаточных напряжений в образцах со вставленными<br />
клиньями σ, которые аппроксимировались<br />
уравнением вида<br />
σ = А ⋅ exp (-b ⋅ τ) + C, (3)<br />
где А – постоянный коэффициент; b - постоянный<br />
коэффициент показателя; τ - время,<br />
сутки; С – значение асимптоты функции,<br />
имеющей смысл условного предела релаксации.<br />
Величина С рассчитывалась по уравнению<br />
С = (σ 1<br />
⋅ σ 20<br />
- σ s2<br />
) / (σ 1<br />
+ σ 20<br />
- 2σ s<br />
), (4)<br />
где σ 1<br />
и σ 20<br />
– напряжения, действующие в образцах<br />
в начальный момент и через 20 суток<br />
при вставленном клине, соответственно; σ s<br />
–<br />
напряжения, действующие в образце через 10<br />
суток. Затем по уравнению (3) рассчитывались<br />
напряжения, действующие в образцах<br />
со вставленными клиньями, через 1, 3, 6, 10<br />
и 20 суток , строился график зависимости<br />
224
Технические науки<br />
напряжения σ от времени выдержки и сравнивались<br />
расчетные значения напряжений с<br />
экспериментальными.<br />
4. Результаты исследований. В таблице<br />
1 представлены результаты замеров расстояний<br />
между метками на образцах Одинга<br />
из сплава 01570 в исходном состоянии и через<br />
1, 3, 6, 10 и 20 суток. Из приведенных<br />
данных видно, что с увеличением времени<br />
выдержки расстояние между метками увеличивается,<br />
что указывает на протекание процессов<br />
релаксации напряжений.<br />
Таблица 1. Расстояние между метками на образцах Одинга<br />
№<br />
образц<br />
а<br />
Величина<br />
клина,<br />
мм<br />
Начальное<br />
расстояние,<br />
мм<br />
Время выдержки, сутки<br />
1 3 6 10 20<br />
1 13,3471 13,3481 13,3489 13,3505 13,3651 13,3822<br />
5<br />
6,70<br />
13,4077 13,4134 13,4170 13,4219 13,4385 13,4576<br />
12<br />
13,3298 13,3428 13,3458 13,3554 13,3527 13,4361<br />
2 13,4027 13,4120 13,4244 13,4235 13,4540 13,4605<br />
4<br />
7,40<br />
13,4001 13,4043 13,4158 13,4476 13,4538 13,5370<br />
10<br />
13,3350 13,3568 13,3629 13,3650 13,3741 13,4002<br />
7 13,3024 13,3337 13,3619 13,3957 13,4086 13,4168<br />
8<br />
7,80<br />
13,4239 13,4411 13,5114 13,5537 13,5548 13,5576<br />
11<br />
13,4481 13,4609 13,5114 13,5276 13,5296 13,5333<br />
3 13,5227 13,5775 13,6320 13,6857 13,6952 13,7036<br />
6<br />
8,45<br />
13,3969 13,4836 13,5373 13,5636 13,6205 13,6359<br />
9<br />
13,4280 13,5765 13,6248 13,6995 13,7027 13,7125<br />
В таблице 2 представлены напряжения<br />
в образцах Одинга с клиньями через 1, 3, 6,<br />
10 и 20 суток, рассчитанные по уравнению<br />
σ = σ н<br />
- σ р<br />
, (5)<br />
где σ н<br />
– напряжение, создаваемое в начальный<br />
момент клином. В таблице приведены<br />
средние значения напряжений для каждого<br />
клина. Для нахождения условного предела<br />
релаксации по уравнению (3) использовались<br />
данные таблицы 2 для клина толщиной<br />
6,7 мм. Это объясняется тем, что уровень напряжений<br />
в этом случае наиболее низкий и,<br />
по нашему мнению, ближе всего к условному<br />
пределу релаксации. Задавать более низкий<br />
уровень напряжений не представлялось<br />
возможным, так как получаемые в этом случае<br />
деформации не могли быть замерены с<br />
требуемой точностью на имеющемся оборудовании.<br />
Таблица 2. Напряжение в образцах после различного времени выдержки<br />
Толщина<br />
клина,<br />
мм<br />
Начальное Напряжение в образцах после выдержки, кгс/мм 2<br />
напряжение,<br />
Время выдержки, сутки<br />
кгс/мм 2 1 3 6 10 20<br />
6,70 15,0 14,9723 14,9618 14,9393 14,8997 14,8003<br />
7,40 18,0 17,9500 17,9089 17,8627 17,7985 17,6365<br />
7,80 19,5 19,4102 19,2060 19,0769 19,0542 19,0340<br />
8,45 22,5 22,0941 21,8754 21,6588 21,5614 21,5144<br />
225
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рассчитаем численное значение величины<br />
С по уравнению (4):<br />
С = (15 ⋅ 14,8003 – 14,8997 2 ) / (15 + 14,8003–<br />
– 2 ⋅ 14,8997 ) = 3,82.<br />
Приравняв время выдержки равным нулю,<br />
находим значение коэффициента А в уравнении<br />
(3):<br />
15 = А ⋅ exp(-b ⋅ 0) +3,82,<br />
А =11,18.<br />
Значение b находим, используя экспериментальные<br />
данные для 20 суток выдержки:<br />
14,8003 = 11,18 ⋅ exp (-b ⋅ 20) + 3,82,<br />
b = 0,0009.<br />
Тогда уравнение изменения напряжения от<br />
времени будет иметь вид<br />
σ = 11,18 ⋅ exp (-0,0009τ) + 3,82. (6)<br />
Сравнение значений напряжений, действующих<br />
в образцах после различного времени<br />
выдержки, определенных экспериментально<br />
и по уравнению (6) дало удовлетворительное<br />
совпадение.<br />
Таким образом, условный предел релаксации<br />
напряжений при принятом допущении,<br />
что он равен значению асимптоты, для сплава<br />
01570 равен 3,82 кг/мм 2 .<br />
Проведем уточнение значения условного<br />
предела релаксации (рис. 2).<br />
Из рисунка видно, что<br />
σ у.п.р.<br />
= A ⋅ e -bτ + C ; σ 3<br />
= A ⋅ e -bτ + C,<br />
где σ у.п.р.<br />
– условный предел релаксации напряжений,<br />
σ 3<br />
– остаточное напряжение в образце<br />
через 3000 часов после приложения к<br />
нему напряжения, равного условному пределу<br />
релаксации. Тогда, так как по определению<br />
ГОСТа за время 500 – 3000 часов деформация<br />
при начальном напряжении, равном<br />
условному пределу релаксации, должна быть<br />
не более 10 -5 , можно записать:<br />
(σ у.п.р.<br />
– С)/(σ 3<br />
- С) = e -b(τ - τ ) = e 3000b<br />
σ у.п.р.<br />
- σ 3<br />
=Е ⋅ ε = 7200 кгс/ мм 2 ⋅ 10 -5 = 0,072,<br />
где Е – модуль упругости, ε - степень деформации,<br />
равная 10 -5 .<br />
Тогда<br />
σ 3<br />
= σ у.п.р.<br />
– 0,072;<br />
а σ у.п.р.<br />
= (σ у.п.р.<br />
– 0,072 – С) ⋅ е 3000b + С.<br />
Поэтому<br />
σ у.п.р.<br />
=[С – е 3000b (0,072+С)] / (1 – е 3000b ). (7)<br />
Рис. 2. График изменения остаточных напряжений<br />
226
Технические науки<br />
Уточнение условного предела релаксации<br />
проводилось по (7). Величина условного<br />
предела релаксации сплава 01570 оказалась<br />
равной 3,897 кгс/мм 2 .<br />
Различие в значениях условного предела<br />
релаксации, определенных по уравнениям<br />
(6) и (7), составило 2 %.<br />
Список литературы<br />
1. М. Л. Хенкин, И. Х. Локшин. Размерная<br />
стабильность металлов и сплавов в точном<br />
машиностроении и приборостроении. -<br />
М.: Машиностроение , 1974.<br />
2. А. М. Борздыка, Л. Б. Гецов. Релаксаця<br />
напряжений в металлах и сплавах. - М.:<br />
Металлургия, 1978.<br />
PROCEDURE FOR DEFINING CONDITIONAL LIMIT OF METAL<br />
AND ALLOY STRESS RELIEF<br />
© 2007 V. D. Yushin, G. Z. Bunova, S. V. Voronin<br />
Samara State Aerospace University<br />
A procedure is proposed for defining stress relief conditional limit using Oding circular specimens. Stress relief<br />
conditional limit at room temperature for a prospective alloy 01570 has been defined.<br />
227
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 539.3<br />
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ<br />
ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР<br />
© 2007 И. С. Ахмедьянов<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Рассматривается применение численного метода квадратур к интегрированию дифференциальных уравнений<br />
изгиба оболочек вращения переменной толщины при осесимметричном нагружении. Исходная система<br />
дифференциальных уравнений преобразуется в интегральную. Ко всем появляющимся интегралам с переменными<br />
верхними пределами применяется квадратурная формула трапеций, что позволяет составить систему<br />
линейных алгебраических уравнений для определения значений всех искомых функций с заданным шагом t. В<br />
результате удается получить численные значения частных решений системы дифференциальных уравнений, и<br />
построить ее общее решение, содержащее произвольные постоянные.<br />
1 2<br />
e3<br />
Основные обозначения<br />
OX, OY, OZ – оси прямоугольной системы<br />
координат;<br />
θ , ϕ - угловые (географические) координаты<br />
точки срединной поверхности оболочки<br />
вращения;<br />
r r r<br />
e ,e , - единичные векторы касательной<br />
к меридиану, касательной к параллели и<br />
нормали к срединной поверхности оболочки;<br />
R<br />
1<br />
, R 2<br />
- главные радиусы кривизны срединной<br />
поверхности оболочки;<br />
r - радиус параллели срединной поверхности<br />
оболочки вращения;<br />
u ,w -проекции полного перемещения<br />
точки срединной поверхности оболочки на<br />
направления ортов e r 1<br />
и e r 3<br />
;<br />
u<br />
r<br />
, u x<br />
- радиальное и осевое перемещения<br />
точки срединной поверхности оболочки<br />
вращения;<br />
ϑ - угол поворота нормали к срединной<br />
1<br />
поверхности оболочки вокруг орта e r ;<br />
2<br />
δ - толщина оболочки;<br />
N - погонные нормальные и<br />
1,N<br />
2<br />
, Q1<br />
перерезывающее усилия в сечениях оболочки;<br />
Q<br />
r<br />
, Q x<br />
- погонные радиальное и осевое<br />
усилия в сечениях оболочки;<br />
M , M - погонные изгибающие моменты<br />
в сечениях<br />
1 2<br />
оболочки;<br />
E ,µ - модуль упругости и коэффициент<br />
Пуассона материала оболочки;<br />
2<br />
( 1 )<br />
3<br />
D = Eδ 12 − µ - жесткость сечения<br />
оболочки на изгиб.<br />
Принятая система координат и положительные<br />
направления сил, моментов и перемещений<br />
показаны на рис. 1-3.<br />
1. Основные соотношения моментной<br />
теории изгиба оболочек вращения<br />
переменной толщины при<br />
осесимметричном нагружении<br />
1.1. В [1] для исследования напряженно-деформированного<br />
состояния оболочки<br />
вращения переменной толщины получена<br />
следующая система дифференциальных уравнений:<br />
y′<br />
1<br />
= a11y1<br />
+ a12<br />
y2<br />
+ a13<br />
y3<br />
+<br />
′ ,<br />
y2 = a22<br />
y2<br />
+ a24<br />
y4<br />
+ f<br />
2q<br />
′ ,<br />
y3 = a31y1<br />
+ a33<br />
y3<br />
+ f<br />
3q<br />
f<br />
1q<br />
′ . (1)<br />
y4 = a42<br />
y2<br />
+ a43<br />
y3<br />
+ a44<br />
y4<br />
+ f<br />
4q<br />
y<br />
y<br />
1<br />
3<br />
Здесь<br />
ur<br />
= , y<br />
h<br />
Qrr<br />
= ,<br />
Ehr<br />
0<br />
2<br />
= ϑ ,<br />
y<br />
4<br />
1<br />
M r<br />
=<br />
Eh<br />
1<br />
2<br />
r0<br />
;<br />
,<br />
(2)<br />
h - толщина оболочки в некоторой характерной<br />
точке меридиана;<br />
228
Физико-математические науки<br />
→<br />
e 3 , q 3 , w<br />
Z<br />
→<br />
e 1 , q 1 , u<br />
→<br />
e 2<br />
d ϕ<br />
r<br />
ϕ<br />
M 2<br />
N 2<br />
Y<br />
θ<br />
θ<br />
M 1<br />
Q 1<br />
N 1<br />
Р и с . 1<br />
Рис. 1<br />
X<br />
Z<br />
u<br />
r<br />
w<br />
u<br />
u<br />
x<br />
r ( α )<br />
r<br />
θ<br />
O<br />
α<br />
x<br />
l<br />
r ( β )<br />
Рис. 2<br />
X β<br />
Р и с . 2<br />
Z<br />
r 0<br />
O<br />
x<br />
Q<br />
r<br />
Q 1<br />
Q<br />
x<br />
r<br />
θ<br />
X<br />
Р и с . 3<br />
N 1<br />
Рис. 3<br />
229
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
13<br />
22<br />
ctgθ<br />
= −µ l ,<br />
r<br />
lr0<br />
=<br />
δ r<br />
= a<br />
a<br />
12<br />
l<br />
h<br />
2<br />
( 1− µ )<br />
ctg cos ,<br />
11<br />
,<br />
a<br />
24<br />
θ<br />
= −<br />
θ<br />
,<br />
(<br />
2<br />
1 µ ) ,<br />
2<br />
12h<br />
lr0<br />
−<br />
=<br />
δ<br />
3r<br />
sinθ<br />
lδ<br />
a31 = ,<br />
r r sinθ<br />
a33 = −a11,<br />
a<br />
a<br />
42<br />
43<br />
0<br />
3<br />
lδ<br />
= ctgθcos<br />
θ,<br />
2<br />
12h<br />
r r<br />
= −a<br />
12<br />
,<br />
0<br />
a<br />
42<br />
= −a<br />
11<br />
;<br />
(3)<br />
В выражениях (1) штрих означает производную<br />
по аргументу ξ.<br />
Соотношения (1) являются обобщением<br />
уравнений, приведенных в [2], на случай<br />
оболочки вращения переменной толщины.<br />
1.2. Через основные неизвестные, входящие<br />
в (1), можно выразить остальные искомые<br />
величины [1, 2]:<br />
N<br />
( ξ)<br />
Vx<br />
= Qr<br />
cosθ + sin θ<br />
2π<br />
r<br />
1<br />
,<br />
( ξ)<br />
Vx<br />
Q1 = Qr<br />
sin θ − cosθ<br />
, (6)<br />
2π<br />
r<br />
f<br />
( 1−<br />
µ<br />
2<br />
) V ( ξ )<br />
l<br />
x<br />
= −<br />
cosθ<br />
, f<br />
2 q<br />
= 0 ,<br />
πEh<br />
δr<br />
1q 2<br />
f<br />
f<br />
( ξ)<br />
l ⎛ Vx<br />
r<br />
= − ⎜µ<br />
+ qr<br />
Ehr0<br />
⎝ 2πr<br />
sinθ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
3 q<br />
,<br />
4q<br />
= l<br />
Vx<br />
( ξ) ctgθ<br />
2πEh2r<br />
;<br />
0<br />
ξ rqx<br />
Vx<br />
( ξ) = Px<br />
+ 2 π l∫<br />
dξ<br />
sinθ<br />
; (4)<br />
q<br />
q<br />
r<br />
x<br />
= q cos θ + q sin θ,<br />
1<br />
= q sin θ − q cos θ;<br />
1<br />
3<br />
3<br />
0<br />
(5)<br />
x<br />
ξ = ;<br />
l<br />
x - расстояние плоскости произвольной параллели<br />
оболочки от ее верхнего края θ = α<br />
с радиусом параллели r 0<br />
(рис. 2); l - длина<br />
(высота) оболочки, измеряемая вдоль ее оси<br />
вращения; V<br />
x<br />
( ξ ) - проекция на ось x равнодействующей<br />
всех внешних сил, приложенных<br />
к части оболочки, ограниченной параллелями<br />
с радиусами r 0<br />
и r; P<br />
x<br />
- равнодействующая<br />
усилий, приложенных к верхнему<br />
краю оболочки (s = 0, ξ = 0) (рис. 3).<br />
Коэффициенты a<br />
ij являются функциями<br />
ξ.<br />
ur<br />
N = µ N + Eδ<br />
, (7)<br />
2 1<br />
r<br />
3<br />
Eδ<br />
cos θ<br />
M<br />
2<br />
= µ M1<br />
+ ϑ1<br />
, (8)<br />
12 r<br />
u = u cos θ + u<br />
r<br />
sin θ,<br />
w = u sin θ − u cos θ,<br />
r<br />
ξ<br />
∫<br />
0<br />
u x<br />
= C + h zdξ<br />
,<br />
z<br />
() ξ<br />
= −µ<br />
l<br />
r<br />
2<br />
( 1− µ )<br />
lr0<br />
+<br />
δr<br />
l<br />
+<br />
2π<br />
Eh<br />
2<br />
( 1− µ ) V () ξ<br />
δ r<br />
x<br />
x<br />
lctgθ<br />
y1<br />
+ y<br />
h<br />
cos θ<br />
y +<br />
x<br />
3<br />
sin θ,<br />
2<br />
+<br />
(9)<br />
(10)<br />
где C – произвольная постоянная, определяемая<br />
из условия закрепления оболочки в осевом<br />
направлении.<br />
2. Интегрирование системы<br />
уравнений (1)<br />
2.1. Рассмотрим однородную систему<br />
уравнений, соответствующую неоднородной<br />
системе (1):<br />
230
Физико-математические науки<br />
y′<br />
= ∑a<br />
j<br />
4<br />
k = 1<br />
jk<br />
y<br />
k<br />
, j = 1 , 2,<br />
3,<br />
4 . (11)<br />
Интегрирование обеих частей каждого<br />
из уравнений системы (11) от некоторого начального<br />
значения ξ<br />
0<br />
до произвольного значения<br />
ξi = ξ0<br />
+ it<br />
(i =1, 2,…, t - постоянный шаг интегрирования)<br />
дает<br />
4<br />
∑<br />
y<br />
j ,i<br />
= y<br />
j , 0<br />
+ Vi<br />
. (12)<br />
V<br />
jk<br />
i<br />
Здесь<br />
k = 1<br />
ξ<br />
jk<br />
i<br />
( ξ ) = a y dξ<br />
jk<br />
= V<br />
i ∫<br />
y y ( ), y y ( ξ )<br />
j,<br />
0<br />
= j<br />
ξ 0<br />
ξ<br />
0<br />
j ,i<br />
jk<br />
k<br />
= .<br />
j<br />
i<br />
, (13)<br />
Для вычисления интеграла (13) воспользуемся<br />
квадратурной формулой трапеций.<br />
Будем иметь для i=1:<br />
( a y a y )<br />
jk t<br />
V<br />
1<br />
=<br />
jk , 0 k , 0<br />
+<br />
jk , 1 k , 1 , (14)<br />
2<br />
где<br />
a a ( ), a a ( ), y ( )<br />
jk , 0<br />
= jk<br />
ξ 0<br />
( )<br />
y .<br />
k , 1<br />
= y k<br />
ξ 1<br />
jk , 1<br />
= jk<br />
ξ 1<br />
y ,<br />
k , 0<br />
= k<br />
ξ 0<br />
Для i ≥ 2 формула трапеций дает<br />
( a y a y )<br />
jk jk t<br />
V<br />
i<br />
= Vi<br />
−1<br />
+ jk ,i −1<br />
k ,i −1<br />
+<br />
2<br />
Здесь<br />
jk ,i<br />
a a ( ξ ), a a ( ξ )<br />
jk ,i −1 =<br />
jk i−1<br />
jk ,i<br />
= ,<br />
y y ( ξ ), y y ( ξ )<br />
k ,i −1 =<br />
k i−1<br />
k ,i<br />
k<br />
jk<br />
= .<br />
i<br />
i<br />
k ,i<br />
. (15)<br />
Выражения (14) и (15) можно представить<br />
в таком виде ( i ≥ 1)<br />
:<br />
V<br />
jk<br />
i<br />
jk t<br />
= Fi<br />
+ a<br />
jk ,i<br />
yk ,i , (16)<br />
2<br />
где будет<br />
F (17)<br />
jk<br />
= jk<br />
+<br />
i<br />
Fi<br />
− 1<br />
ta<br />
jk ,i −1<br />
yk , i−1<br />
для i ≥ 2 и<br />
jk t<br />
F<br />
1<br />
= a<br />
jk , 0<br />
y<br />
(18)<br />
k , 0<br />
2<br />
для i=1.<br />
Внося (16) в (12), после некоторых преобразований<br />
получим следующую систему<br />
линейных алгебраических уравнений для<br />
определения значений функций y<br />
j (j =1,2,3,4)<br />
при ξ = ξi<br />
по их предшествующим значениям<br />
y<br />
j , 0,<br />
y<br />
j, 1,...,<br />
y<br />
j ,i −1<br />
:<br />
A11 , i<br />
y1,i<br />
A12,i<br />
y2,i<br />
+ A13,i<br />
y3,i<br />
= B1<br />
,i<br />
+ ,<br />
A22 , i<br />
y2,i<br />
A24,i<br />
y4,i<br />
= B2<br />
,i<br />
+ ,<br />
A31 , i<br />
y1,i<br />
A33,i<br />
y3,i<br />
= B3,i<br />
+ ,<br />
A42 , i<br />
y2,i<br />
A43,i<br />
y3,i<br />
+ A44,i<br />
y4,i<br />
= B4<br />
,i<br />
A<br />
A<br />
jk ,i<br />
jj ,i<br />
+ . (19)<br />
Здесь (j, k = 1, 2, 3, 4)<br />
t<br />
= − a<br />
jk , i<br />
, j ≠ k;<br />
2<br />
t<br />
= 1− a<br />
jj , i ; (20)<br />
2<br />
11 12 13<br />
1, i<br />
y1,<br />
0<br />
+ Fi<br />
+ Fi<br />
Fi<br />
B = + ,<br />
22 24<br />
2, i<br />
y2,<br />
0<br />
+ Fi<br />
Fi<br />
B = + ,<br />
31 33<br />
3, i<br />
y3,<br />
0<br />
+ Fi<br />
Fi<br />
B = + ,<br />
42 43 44<br />
4, i<br />
y4,<br />
0<br />
+ Fi<br />
+ Fi<br />
Fi<br />
B = + . (21)<br />
2.2. Задаваясь различными совокупностями<br />
значений 0 j,<br />
y (j = 1, 2, 3, 4), можно,<br />
используя соотношения (19), построить все<br />
частные решения однородной системы уравнений<br />
(11).<br />
231
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Первые два частных решения<br />
( y , y , y , ) и ( , y , y , )<br />
11 21 31<br />
y41<br />
y найдем<br />
12 22 32<br />
y42<br />
путем интегрирования от начального значения<br />
ξ 0 с заданным шагом t при началь-<br />
0 =<br />
ных условиях по верхнему краю оболочки<br />
θ = α :<br />
y11 , 0<br />
= 1,<br />
y21,<br />
0<br />
= 0,<br />
y31,<br />
0<br />
= 0,<br />
y41,<br />
0<br />
= 1<br />
для первого решения и условиях<br />
y12 , 0<br />
= 0,<br />
y22,<br />
0<br />
= 1,<br />
y32,<br />
0<br />
= 1,<br />
y42,<br />
0<br />
= 0<br />
для второго решения.<br />
Полученные таким образом решения<br />
будут “возрастающими” по мере удаления от<br />
верхнего края оболочки вниз.<br />
Третье (<br />
13,<br />
y23,<br />
y33,<br />
y43)<br />
( , y , y , )<br />
14 24 34<br />
y44<br />
y и четвертое<br />
y решения целесообразно<br />
строить интегрированием от значения ξ = 0<br />
1<br />
с отрицательным шагом t ( t < 0 ) при начальных<br />
условиях<br />
y13 , 0<br />
= 1,<br />
y23,<br />
0<br />
= 0,<br />
y33,<br />
0<br />
= 0,<br />
y43,<br />
0<br />
= 1<br />
и, соответственно,<br />
y , y = 1,<br />
y = 1,<br />
0 .<br />
14 , 0<br />
= 0<br />
24,<br />
0 34,<br />
0<br />
y44,<br />
0<br />
=<br />
При этом получаются решения, “возрастающие”<br />
при движении от нижнего края<br />
оболочки вверх.<br />
2.3. Признаком линейной независимости<br />
решений ( ,...),...,( y ,...)<br />
y является неравенство<br />
нулю<br />
11 14<br />
определителя<br />
D( ξ)=<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
11<br />
21<br />
31<br />
41<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
12<br />
22<br />
32<br />
42<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
13<br />
23<br />
33<br />
43<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
14<br />
24<br />
34<br />
44<br />
В [3] показано, что<br />
ξ<br />
⎛<br />
⎞<br />
() ξ = D0 exp⎜∫( a11<br />
+ + a44<br />
) dξ⎟ ⎠<br />
. (22)<br />
D L ,<br />
⎝ 0<br />
где D<br />
0<br />
- значение определителя (22) при<br />
ξ = 0.<br />
В нашем случае согласно (3)<br />
a + a + a + a 0.<br />
11 22 33 44<br />
=<br />
Поэтому<br />
( ξ ) = D const<br />
D . (23)<br />
0 =<br />
Условие (23) можно использовать для<br />
контроля правильности вычисления значений<br />
функций y<br />
11,...,<br />
y44<br />
.<br />
2.4. Частное решение ( , y , y , y )<br />
y1q<br />
2q<br />
3q<br />
4q<br />
системы (1) , соответствующее заданной поверхностной<br />
нагрузке, целесообразно искать,<br />
применяя метод вариации постоянных [3]:<br />
y ∑ D y<br />
jq<br />
= 4 i=<br />
1<br />
i<br />
ji<br />
, j = 1 , 2,<br />
3,<br />
4 . (24)<br />
Здесь y<br />
ji - совокупность всех линейно<br />
независимых решений системы однородных<br />
уравнений (11), ( ξ)<br />
D - функции, определяемые<br />
из соотношений<br />
D<br />
i<br />
ξ<br />
∫<br />
1<br />
() ξ = D′<br />
()ξ ξ d<br />
для i= 1, 2 и<br />
D<br />
i<br />
ξ<br />
∫<br />
0<br />
() ξ = D′<br />
()ξ ξ d<br />
для i= 3, 4.<br />
i<br />
i<br />
i<br />
Сами производные ( ξ)<br />
′i<br />
(25)<br />
(26)<br />
D (i = 1,2,3,4)<br />
согласно методу вариации произвольных постоянных<br />
находятся из зависимостей<br />
4<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
или<br />
D ′ y =<br />
i<br />
ji<br />
f<br />
jq<br />
[ ][ Z] [ F]<br />
(27)<br />
Y = . (28)<br />
Здесь<br />
232
[ ]<br />
[ ] = y ( ξ )<br />
Y , j ,k = 1 , 2,<br />
3,<br />
4 ,<br />
jk<br />
[ Z ] [ D′<br />
D′<br />
D′<br />
′] T<br />
i<br />
= ,<br />
1 2 3<br />
D4<br />
[ ] [ f f f f ] T<br />
F<br />
1q<br />
2q<br />
3q<br />
4q<br />
= .<br />
Решая систему (28), получаем значения<br />
производных ( ξ)<br />
′i<br />
y ,..., y44,<br />
y1<br />
q<br />
,..., y4q<br />
D для последующего интегрирования<br />
по (25) и (26).<br />
2.5. Располагая всеми частными решениями<br />
11 , можно построить<br />
и общее решение системы(1):<br />
4<br />
4<br />
y1 = ∑Ck<br />
y1k<br />
+ y1q<br />
, y2 = ∑Ck<br />
y2k<br />
+ y2q<br />
k = 1<br />
k=<br />
1<br />
4<br />
4<br />
y3 = ∑Ck<br />
y3k<br />
+ y3q<br />
, y4 = ∑Ck<br />
y4k<br />
+ y4q<br />
k = 1<br />
k=<br />
1<br />
,<br />
. (29)<br />
Здесь C<br />
1,C2<br />
,C3,<br />
C4<br />
- произвольные постоянные,<br />
определяемые из граничных условий.<br />
По выражениям (29) легко вычислить<br />
и значения основных искомых функций<br />
ur,<br />
1,<br />
Q r<br />
ϑ и M :<br />
1<br />
u r<br />
= hy 1<br />
, ϑ<br />
1<br />
= y ,<br />
2<br />
r 0<br />
r<br />
Q r<br />
= Eh y3<br />
, M Eh y .<br />
r<br />
= 2 0<br />
1 4<br />
(30)<br />
r<br />
3. Числовой пример<br />
3.1. В качестве примера рассмотрим<br />
оболочку вращения переменной толщины,<br />
срединная поверхность которой представляет<br />
собой пояс эллипсоида вращения (рис. 4).<br />
Оболочка сверху имеет отверстие, закрытое<br />
абсолютно жесткой крышкой. По нижнему<br />
краю оболочка жестко защемлена. Уравнение<br />
срединной поверхности оболочки:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
r<br />
a<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
⎛ b − c − x<br />
+ ⎜<br />
⎝ b<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
= 1. (31)<br />
Физико-математические науки<br />
Здесь a, b - большая и малая полуоси<br />
эллипса, вращением которого получается срединная<br />
поверхность рассматриваемой оболочки;<br />
с - расстояние верхнего края оболочки<br />
от ее теоретической вершины.<br />
Из (31) находим<br />
2<br />
⎛ l ⎞<br />
r = a 1−<br />
⎜k<br />
− ξ⎟ , (32)<br />
⎝ b ⎠<br />
где<br />
c<br />
k = 1 − ,<br />
b<br />
ctgθ =<br />
x<br />
ξ = .<br />
l<br />
Имея в виду, что<br />
dr<br />
dx<br />
1 dr<br />
= ,<br />
l dξ<br />
из (32) выводим<br />
2<br />
a ⎛<br />
ctgθ = ⎜k<br />
−<br />
br ⎝<br />
и<br />
sin θ .<br />
l<br />
b<br />
По значениям<br />
⎞<br />
ξ⎟<br />
. (33)<br />
⎠<br />
ctg θ можно определить<br />
3.2. Примем, что толщина ( ξ)<br />
δ рассматриваемой<br />
оболочки изменяется вдоль меридиана<br />
ее срединной поверхности по закону<br />
δ<br />
2<br />
⎡ s ⎛ s ⎞ ⎤<br />
h<br />
0 0 ⎢2<br />
−⎜<br />
⎟ ⎥. (34)<br />
⎢⎣<br />
L ⎝L⎠<br />
⎥⎦<br />
() ξ = −( h −h)<br />
Здесь s - расстояние произвольной точки<br />
меридиана срединной поверхности оболочки<br />
от ее верхнего края, измеряемое вдоль<br />
меридиана:<br />
ξ<br />
dξ<br />
s ( ξ) = l∫<br />
, (35)<br />
0 sinθ<br />
( 1)<br />
L = s - полная длина меридиана оболочки,<br />
h 0<br />
, h - толщины оболочки при ξ = 0 и, соответственно,<br />
при ξ = 1.<br />
3.3. Геометрические параметры оболочки<br />
примем следующими:<br />
233
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Z<br />
x .<br />
r<br />
b<br />
l<br />
с<br />
X<br />
Р и с . 4<br />
Рис. 4<br />
a<br />
a = 1000мм,<br />
c = 32мм,<br />
b = 800мм,<br />
l = 288мм,<br />
h = 6мм,<br />
h 3мм<br />
.<br />
0<br />
=<br />
Модуль упругости и коэффициент Пуассона<br />
материала оболочки:<br />
4<br />
E = 6,<br />
8⋅10<br />
МПа, µ = 0, 3.<br />
В таблице 1 представлены значения<br />
− +<br />
−<br />
меридиональных ( σ 11 , σ 11 ) и окружных ( σ 22<br />
,<br />
+<br />
σ 22<br />
) напряжений в точках внутренней и наружной<br />
поверхностей рассматриваемой оболочки<br />
при действии на нее равномерного<br />
3<br />
,<br />
внутреннего давления q = 01<br />
МПа. Напряжения<br />
даны в МПа.<br />
Шаг интегрирования t = 1/2000.<br />
Таблица 1<br />
ξ s,мм σ<br />
−<br />
11<br />
σ<br />
+<br />
11<br />
σ<br />
−<br />
22<br />
σ<br />
+<br />
22<br />
0 0 21,91 1,213 6,572 0,364<br />
0,1 106,4 10,28 13,88 10,21 10,70<br />
0,2 189,1 12,99 14,17 12,58 12,88<br />
0,3 259,0 14,85 14,98 13,35 13,40<br />
0,4 320,6 15,99 16,06 13,80 13,84<br />
0,5 376,4 16,91 16,93 14,17 14,20<br />
0,6 427,8 17,39 17,82 14,39 14,54<br />
0,7 475,4 16,77 19,40 13,92 14,79<br />
0,8 520,2 15,35 21,31 11,77 13,81<br />
0,9 562,6 17,66 18,92 8,356 9,133<br />
1,0 603,0 33,37 2,570 10,01 0,771<br />
Список литературы<br />
1. Ахмедьянов И. С. Расчет оболочек<br />
вращения переменной толщины при осесимметричном<br />
и антисимметричном нагружении/<br />
Самар. гос. аэрокосмич. ун-т. - Самара,<br />
1999. – 46 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.12.99,<br />
N 3765-B99.<br />
2. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных<br />
конструкций. Статика. - М.: Машиностроение,<br />
1977.<br />
3. Степанов В. В. Курс дифференциальных<br />
уравнений. Изд. 6-е. - М.: Гостехиздат,<br />
1953.<br />
234
Физико-математические науки<br />
DESIGNING VARIABLE-THICKNESS REVOLUTION SHELLS FOR THE CASE<br />
OF AXIALLY SYMMETRIC LOADING USING THE QUADRATURE METHOD<br />
© 2007 I. S. Akhmedyanov<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper deals with the application of the numerical quadrature method to integrating differential equations of<br />
variable-thickness revolution shells for the case of axially symmetric loading. The original system of differential equations<br />
is transformed into an integral one. The trapezoid quadrature formula is applied to all the integrals with variable upper<br />
limits. This makes it possible to set up a system of linear algebraic equations in order to determine the values of all the<br />
functions desired with the prescribed step t. As a result we manage to obtain numerical values of special solutions of the<br />
system of differential equations and its general solution containing arbitrary constants.<br />
235
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
УДК 33 ББК У9(2)30<br />
ИНФОРМАЦИОННАЯ ПОДДЕРЖКА ЭТАПА ТЕХНИЧЕСКОЙ<br />
ЭКСПЛУАТАЦИИ В ЖИЗНЕННОМ ЦИКЛЕ ИЗДЕЛИЙ АВИАСТРОЕНИЯ<br />
© 2007 Ю. В. Киселев, В. А. Зрелов, М. Е. Проданов, С. К. Бочкарев, Д. Ю. Киселев<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
В статье описана информационная поддержка жизненного цикла изделия на примере авиационного подшипника<br />
для газотурбинного двигателя в среде PDM “SmarTeam”.<br />
Жизненный цикл (ЖЦ) изделия - это<br />
совокупность этапов или последовательность<br />
бизнес-процессов, через которые оно проходит<br />
за время своего существования: маркетинговые<br />
исследования, составление технического<br />
задания, проектирование, технологическая<br />
подготовка производства, изготовление,<br />
поставка, техническая эксплуатация и<br />
утилизация после использования (рис. 1) [1].<br />
Базовой идеей непрерывной информационной<br />
поддержки поставок и жизненного<br />
цикла продукции (Continuous Acquisition and<br />
Life cycle Support - CALS) стала идея информационной<br />
интеграции стадий ЖЦ продукции<br />
(изделия), которая предполагает переход<br />
к интегрированной информационной среде<br />
(ИИС). Информационная интеграция состоит<br />
в том, что все автоматизированные системы,<br />
применяемые на различных стадиях ЖЦ,<br />
оперируют не с традиционными документами<br />
и даже не с их электронными отображениями<br />
(например, отсканированными чертежами),<br />
а с формализованными информационными<br />
моделями, описывающими изделие,<br />
технологии его производства и использования.<br />
Эти модели существуют в ИИС в специфической<br />
форме информационных объектов<br />
(ИО). По мере необходимости прикладные<br />
системы, которым для их работы нужны те<br />
или иные ИО, могут извлекать их из ИИС,<br />
обрабатывать, создавая новые объекты, и помещать<br />
результаты своей работы в ту же ИИС.<br />
Рис. 1. Функции жизненного цикла изделия (по ISO 9004)<br />
236
Кибернетика и информатика<br />
Чтобы все это было возможно, информационные<br />
модели и соответствующие ИО должны<br />
быть стандартизованы.<br />
ИИС формируется на базе систем управления<br />
данными (Product Data Management<br />
- PDM систем) и представляет собой совокупность<br />
распределенных баз данных, в которой<br />
действуют единые стандартные правила<br />
хранения, обновления, поиска и передачи<br />
информации, через которую осуществляется<br />
безбумажное информационное взаимодействие<br />
между всеми участниками ЖЦ изделия.<br />
При этом однажды созданная информация<br />
хранится в ИИС, не дублируется, не требует<br />
каких-либо перекодировок в процессе обмена,<br />
сохраняет актуальность и целостность.<br />
Применение CALS приводит к следующему:<br />
- появляются принципиально новые<br />
средства инженерного труда;<br />
- полностью изменяется организация и<br />
технология инженерных работ;<br />
- существенно изменяется нормативная<br />
база, т. е. она дополняется и частично перерабатывается;<br />
- должны быть переучены тысячи специалистов<br />
для работы в новых условиях и с<br />
новыми средствами труда.<br />
Continuous Acquisition [Support] - означает<br />
непрерывность информационного взаимодействия<br />
поставщика и заказчика в ходе<br />
формализации потребностей последнего,<br />
формирования заказа, процесса поставки и<br />
т. д. Вторая часть - Life cycle Support (поддержка<br />
жизненного цикла изделия) - означает<br />
системность подхода к информационной<br />
поддержке всех процессов ЖЦ изделия, в том<br />
числе процессов эксплуатации, обслуживания,<br />
ремонта, утилизации и т. д. В России для<br />
обозначения этих технологий введен термин<br />
информационная поддержка изделий (ИПИ).<br />
В настоящее время широкое употребление<br />
получили термины Product Lifecycle<br />
Management (PLM) - управление жизненным<br />
циклом изделия, Customer Relationships<br />
Management (CRM) - управление взаимодействиями<br />
с заказчиком и Supply Chain<br />
Management (SCM) - управление взаимодействиями<br />
с поставщиками, которые используются<br />
для обозначения классов взаимодействующих<br />
пакетов программ.<br />
Рассматриваемая в статье система технической<br />
эксплуатации изделий представляет<br />
собой PLM-решение, состоящее из совокупности<br />
процессов, организационно-технических<br />
мероприятий и регламентов, осуществляемых<br />
на стадии технической эксплуатации<br />
изделия с использованием переходов<br />
на другие стадии от его разработки до утилизации.<br />
Цель внедрения настоящего PLM-решения<br />
в ИИС - сокращение «затрат на владение<br />
изделием», которые для сложного наукоемкого<br />
изделия равны или превышают затраты<br />
на его закупку.<br />
Основой CALS/ИПИ-технологий является<br />
технология управления данными об изделии<br />
PDM-технологии. В настоящей работе<br />
использовались инструментальные среды:<br />
- для создания концептуальных структурных<br />
моделей процессов в стандарте IDEF0<br />
- пакет программ BPWin [2];<br />
- для создания объектных моделей -<br />
PDM SmarTeam.<br />
Программный продукт PDM SmarTeam<br />
предназначен для совместного контролируемого<br />
и управляемого использования данных<br />
о продукте на всех этапах ЖЦ в пределах единого<br />
информационного пространства (ЕИП).<br />
ЕИП представляет собой общую базу данных,<br />
в которой работают все специалисты, имеющие<br />
отношение к этим данным, включая разработчиков,<br />
производителей и эксплуатантов,<br />
независимо от их географического расположения.<br />
Задачи, решаемые с помощью PDM<br />
SmarTeam:<br />
- Планирование, разработка, контроль<br />
и управление процессами проектирования,<br />
производства и технического обслуживания<br />
изделия.<br />
- Обеспечение приема, хранения и управления<br />
информацией о каждом экземпляре<br />
изделия в течение всего его жизненного<br />
цикла.<br />
- Ускорение движения информации,<br />
организация электронного документооборота.<br />
237
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
- Обеспечение сохранности информации,<br />
поддержка регламента прав доступа,<br />
организация электронного архива.<br />
- Ускорение процессов проектирования<br />
за счет параллельного выполнения работ и<br />
электронного обмена данными в едином информационном<br />
пространстве предприятия.<br />
- Ускорение освоения опыта проектирования<br />
молодыми специалистами и повышение<br />
престижности работы инженеров и<br />
руководителей.<br />
- Подготовка информации и кадров для<br />
внедрения CALS-технологий.<br />
Жизненный цикл<br />
авиационного подшипника<br />
(этап «Техническая эксплуатация»)<br />
Покажем применение CALS-технологий<br />
на модели описания процессов жизненного<br />
цикла подшипника как одного из стандартных<br />
элементов изделий: самолета и двигателя.<br />
В качестве примера рассмотрим подшипники<br />
для газотурбинных двигателей<br />
(ГТД) серии Д-30, изготавливаемых заводомизготовителем<br />
подшипников (ОАО “ЗАП”) и<br />
поставляемых на предприятие-изготовитель<br />
двигателей (НПО “Сатурн”), где после установки<br />
они в составе двигателя направляются<br />
в эксплуатирующую организацию (авиакомпания<br />
ОАО «Самара»).<br />
На рисунке 2 представлена контекстная<br />
диаграмма, иллюстрирующая способ представления<br />
в рамках SADT-технологий с помощью<br />
системы BPWin взаимодействия потоков<br />
материальных и информационных<br />
объектов, управления (в виде регламентирующей<br />
документации) и инструментов для<br />
выполнения операций “Процесса поставки<br />
и эксплуатации подшипников в составе<br />
силовой установки”. В данном случае инструментом<br />
является персонал предприятий,<br />
входящих в жизненный цикл.<br />
Ниже представлены контекстные диаграммы<br />
для различных этапов ЖЦ авиационного<br />
подшипника (АП) с последовательной<br />
детализацией этих диаграмм.<br />
На рисунке 3 представлена контекстная<br />
диаграмма, отражающая схему взаимодействия<br />
предприятий, отвечающих за ЖЦ АП<br />
(блок 1 - ЗАП, блок 2 - «НПО «САТУРН»,<br />
блок 3 - авиакомпания ОАО «Самара»).<br />
На контекстной диаграмме (рис. 4)<br />
представлены процессы, которые реализуют-<br />
Рис. 2. Схема процесса поставки и эксплуатации подшипников в составе силовой установки (СУ)<br />
238
Кибернетика и информатика<br />
Рис. 3. Схема взаимодействия участников ЖЦ подшипника<br />
ся на ЗАП на стадиях создания, производства<br />
и поставки, а также действия при получении<br />
с завода- изготовителя двигателей дефектного<br />
подшипника.<br />
На рисунке 5 представлены действия<br />
завода-изготовителя двигателей при приемке<br />
подшипника, его установке в двигатель и<br />
отправке двигателя в эксплуатацию.<br />
На рисунке 6 представлены действия<br />
эксплуатирующего предприятия при поступлении<br />
двигателя в эксплуатацию и процессы,<br />
которые происходят с самолетом и двигателем<br />
в составе силовой установки в процессе<br />
технической эксплуатации. Двигатель<br />
принимается у завода-изготовителя, устанавливается<br />
на самолет и в составе СУ эксплуатируется<br />
в авиакомпании.<br />
Техническая эксплуатация, объектами<br />
которой является самолет и его системы (в<br />
том числе и СУ), включает летную эксплуатацию<br />
и техническое обслуживание (ТО) [3]<br />
(рис. 7).<br />
О состоянии подшипниковых опор<br />
можно судить по операции, которая выполняется<br />
в ходе периодического технического<br />
обслуживания системы смазки и суфлирования,<br />
а конкретно по результатам анализа на<br />
содержание железа и меди в масле.<br />
ТО системы смазки и суфлирования<br />
(рис. 8) состоит из осмотра, проверки, замены<br />
масла на свежее и анализа на содержание<br />
железа и меди в масле, который распадается<br />
на два этапа: отбор проб масла; оценка результатов<br />
анализа.<br />
По результатам анализа принимаются<br />
решения о продолжении эксплуатации, постановке<br />
двигателя на особый контроль или<br />
съеме двигателя (рис. 9), которые влияют на<br />
процесс технической эксплуатации.<br />
В случае, если принимается решение о<br />
съеме двигателя, то он снимается с эксплуатации<br />
и отправляется для разборки на заводизготовитель<br />
двигателя, и далее подшипники<br />
отправляются на завод-изготовитель<br />
подшипников для дальнейшего изучения<br />
(рис. 10). Там происходит их дефектация и<br />
разрабатываются мероприятия для исключения<br />
в дальнейшем возникновения причины<br />
дефекта на этапах производства и конструирования<br />
подшипников.<br />
239
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 4. Схема действий завода-изготовителя подшипников для ГТД серии Д-30<br />
Рис. 5. Действия завода-изготовителя ГТД<br />
240
Кибернетика и информатика<br />
Рис. 6. Функции эксплуатирующей организации<br />
Рис. 7. Этапы технической эксплуатации самолета и двигателя в составе СУ<br />
241
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис.8. Схема ТО системы смазки и суфлирования<br />
Рис. 9. Схема выработки решения в ходе оценки результатов анализа<br />
242
Кибернетика и информатика<br />
Рис. 10. Схема действий завода-изготовителя подшипников при получении дефектного<br />
подшипника с завода-изготовителя двигателя<br />
Представление информации в среде<br />
систем управления данными об изделии<br />
Для описания изделия необходимо<br />
иметь перечень документации, сопровождающий<br />
изделие на всех этапах его ЖЦ. Для<br />
описания документооборота и сокращения<br />
времени обращения этих документов разработаны<br />
специальные информационные системы,<br />
одной из которых является SmarTeam.<br />
Используя ее возможности, можно в электронном<br />
виде описывать и хранить различного<br />
рода документацию на изделие (конструкторскую,<br />
технологическую и эксплуатационную).<br />
Проиллюстрируем возможности системы<br />
SmarTeam на примере описания структуры<br />
данных двигателя Д-30 (использована<br />
демо-версия SmarTeam 4.0). Все объекты описания<br />
представляются в определенных классах.<br />
Для этого в основном классе «Проекты»<br />
созданы объекты двигателя Д-30 включающие<br />
сборочные единицы, относящиеся к двигателю<br />
(рис. 11).<br />
В подклассе «Комплексы» создан комплекс<br />
«Система смазки и суфлирования». В<br />
классе «Технологические документы» создан<br />
подкласс «Технологические карты», в котором<br />
расписаны карты, относящиеся к обслуживанию<br />
системы смазки и суфлирования<br />
(рис. 12). Для графического отображения технологического<br />
процесса «Анализ на содержание<br />
железа и меди в масле» используем встроенную<br />
программу Flow Chart Designer, поставляемую<br />
совместно с SmarTeam. В<br />
SmartFlow встроена система уведомлений<br />
(SmartBox), с помощью которой происходит<br />
присоединение данных к системе и передача<br />
операций с одного рабочего места на другое<br />
(рис. 13).<br />
В графическом виде представлена документация,<br />
подключенная к объекту «Опора<br />
роликоподшипника’’, в различных классах<br />
описания сопровождающая подшипник<br />
на протяжении ЖЦ:<br />
1. Паспорт на подшипник. КД - конструкторский<br />
документ, в котором указывают-<br />
243
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис. 11. Представление структуры объектов в базе данных<br />
Рис. 12. Структурное представление класса «Технологические документы»<br />
244
Кибернетика и информатика<br />
Рис. 13. Передача данных с одного рабочего места на другое при помощи SmartBox<br />
ся: условное обозначение подшипника; класс<br />
точности; ГОСТ и ЕТУ, по которым изготовлен<br />
подшипник; срок консервации. Он заполняется<br />
на заводе-изготовителе подшипников<br />
и прикладывается к каждому изделию.<br />
2. “Желтые” карточки, в которые заносят<br />
сведения о подшипниках, приведших к<br />
снятию двигателя (рис. 14). ДР - ремонтная<br />
документация, в которой записываются сведения<br />
о подшипниках к съему двигателя в<br />
процессе эксплуатации. ДР заполняется на<br />
заводе-изготовителе подшипников.<br />
Выполненное описание позволило:<br />
1. Проследить путь подшипника по этапам<br />
производства и экплуатации в зависимости<br />
от складывающейся ситуации: нормальная<br />
эксплуатация (рис. 8); проявление дефекта<br />
(рис. 9, 10).<br />
2. Представить описание системы смазки<br />
и суфлирования ГТД серии Д-30 сопроводительной<br />
эксплуатационной документацией<br />
и подробно расписать технологическую<br />
операцию (анализ на содержание железа и<br />
меди в масле).<br />
Использование описания ЖЦ изделия<br />
с помощью контекстных диаграмм, выполненных<br />
в системе BPWin, и представление<br />
данных в среде SmarTeam позволяет:<br />
- организовать хранение данных в единой<br />
информационной среде;<br />
- обеспечить быстрый и удобный переход<br />
от рассмотрения одного этапа ЖЦ к другому;<br />
- отказаться от бумажных носителей<br />
информации;<br />
- обеспечить доступность информации<br />
об изделии для каждого участника процесса<br />
на любом этапе ЖЦ изделии;<br />
- существенно сократить затраты на разработку<br />
изделия;<br />
- снизить время на устранение неисправностей<br />
и внесение изменений в конструкцию.<br />
245
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Рис.14. “Желтая” карточка<br />
Список литературы<br />
1. Судов Е. В. Интегрированная информационная<br />
поддержка жизненного цикла машиностроительной<br />
продукции. Принципы.<br />
Технологии. Методы. Модели. – Москва:<br />
ООО Издательский дом «МВМ», 2003. – 264с.<br />
2. ГОСТ Р50.1.028-2001 Методология<br />
функционального моделирования IDEF0.<br />
3. Макаровский И. М. Основы технической<br />
эксплуатации и диагностики авиационной<br />
техники: Метод. Указания. – Самара:<br />
СГАУ, 2004. – 118 с.<br />
INFORMATION SUPPORT OF OPERATION STAGE IN THE LIFE CYCLE<br />
OF AIRCRAFT CONSTRUCTION ITEMS<br />
© 2007 Yu. V. Kiselyov, V. A. Zrelov, M. Ye. Prodanov, S. K. Botchkaryov, D. Yu. Kiselyov<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper is devoted to information support of the product life cycle using an aircraft bearing for gas-turbine<br />
engines in the «SmarTeam» PDM environment as an example.<br />
246
Кибернетика и информатика<br />
УДК 629.78+681.51<br />
АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СПЕЦИФИКАЦИЯ, ВЕРИФИКАЦИЯ И<br />
СИНТЕЗ УПРАВЛЯЮЩИХ ПРОГРАММ НА ОСНОВЕ<br />
ЛОГИЧЕСКОГО И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ПОДХОДОВ<br />
© 2007 А. А. Тюгашев<br />
Самарский государственный аэрокосмический университет<br />
Рассматривается комплекс проблем спецификации, верификации и синтеза управляющих программ реального<br />
времени, исполняемых на борту космического аппарата. Анализируются подходы к решению этих задач<br />
на основе временной логики и применения расширенной алгебры управляющих процессов. Описывается<br />
структура основанного на приведенном подходе инструментального программного комплекса разработки управляющих<br />
программ для космических аппаратов.<br />
Разработка надежного и качественного<br />
программного обеспечения является актуальной<br />
и сложной задачей. Размер современных<br />
разрабатываемых комплексов программного<br />
обеспечения достигает миллионов и десятков<br />
миллионов команд, программное обеспечение<br />
становится столь сложной системой,<br />
что появляется острая необходимость нахождения<br />
таких способов организации процессов<br />
ее жизненного цикла (проектирование,<br />
разработка, тестирование, эксплуатация и<br />
др.), чтобы свести к минимуму вероятность<br />
появления неприемлемых ошибок.<br />
Согласно российским и международным<br />
стандартам (ИСО 9126, ГОСТ 28195-89)<br />
качество программной системы характеризует<br />
ряд базовых показателей:<br />
- корректность, то есть соответствие<br />
программы спецификации;<br />
- надежность (отсутствие ошибок, восстанавливаемость<br />
и др.);<br />
- эффективность (в том числе временная<br />
эффективность);<br />
- сопровождаемость (в том числе удобство<br />
проведения анализа и простота внесения<br />
изменений).<br />
Как правило, оценка степени соответствия<br />
программы предъявляемым к ней требованиям<br />
производится на основании тестирования.<br />
В то же время в случае, когда какоелибо<br />
из свойств системы (в том числе из перечисленного<br />
выше списка) может быть записано<br />
на некотором формальном языке, анализ<br />
на соответствие этому свойству может<br />
быть произведен при условии наличия адекватной<br />
и соответствующей принимаемой<br />
формальной системе модели программы методами<br />
верификации программ. В ряде случаев<br />
путем использования строгих логических<br />
рассуждений удается гарантированно<br />
доказать тот факт, что программа имеет или<br />
не имеет то или иное важное интересующее<br />
исследователя свойство. Тестирование же,<br />
как правило, не дает подобной гарантии в<br />
связи с тем, что провести полную проверку<br />
функционирования на всех потенциальных<br />
наборах исходных данных и для всех вариантов<br />
(логических ветвей) не представляется<br />
возможным в силу размера современных<br />
программных комплексов.<br />
При использовании формальных методов<br />
доказательства свойств программ рассуждения<br />
обычно проводятся следующим образом.<br />
Сначала формулируется на некотором<br />
языке спецификация программы. Используемый<br />
язык должен:<br />
1) обладать полнотой и достаточной выразительной<br />
силой для записи всех функциональных<br />
требований и ограничений, накладываемых<br />
на программу;<br />
2) быть непротиворечивым;<br />
3) позволять записывать значимые свойства<br />
программ лаконично и удобно;<br />
4) быть понятным и удобным для человека.<br />
Далее, в рамках подхода Model<br />
Checking, для проведения верификации программа<br />
заменяется некоторой отражающей ее<br />
поведение в интересующих аспектах (семантику)<br />
моделью и доказывается или опровер-<br />
247
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
гается методами формального логического<br />
вывода наличие тех или иных свойств. Возможен<br />
также подход, когда каждый из операторов<br />
(базовых конструктов) программы характеризуется<br />
на языке так называемых преди<br />
постусловий [1, 2], а также описывается<br />
влияние композиции этих конструктов на<br />
истинность и ложность данных условий каждого<br />
оператора. В этом случае исследование<br />
свойств программы проводится путем логического<br />
вывода, прослеживающего последовательность<br />
операторов, в рамках полученного<br />
таким образом исчисления программ.<br />
Еще более привлекательной представляется<br />
возможность синтеза программы, гарантированно<br />
удовлетворяющей поставленным<br />
в спецификации требованиям, на основе<br />
некоторой формальной процедуры. В этом<br />
случае фактически процесс синтеза программы<br />
сродни процессу логического вывода в<br />
некоторой теории (очевидна параллель с конструктивизмом<br />
в математике).<br />
Логический подход к спецификации,<br />
верификации и синтезу программ<br />
Традиционный вычислительный алгоритм<br />
представляет собой преобразователь<br />
некоторых исходных данных, имеющихся в<br />
начальный момент до исполнения алгоритма,<br />
в выходные данные, получаемые по окончании<br />
работы. Данные хранятся в памяти<br />
компьютера. При этом в процессе работы<br />
исходные данные не меняются. В отличие от<br />
этого, если рассматривать управляющий алгоритм,<br />
выполняющийся, например, в бортовой<br />
вычислительной системе космического<br />
аппарата (КА), то он имеет дело с объектом<br />
управления – как правило, динамической системой,<br />
состояние которой постоянно изменяется.<br />
В ряде случае при этом вообще не<br />
подразумевается какого-то останова системы,<br />
и она должна функционировать непрерывно.<br />
Реакция системы управления должна укладываться<br />
в определяемые физическими характеристиками<br />
управляемых процессов временные<br />
рамки.<br />
Выполняя формальные спецификации<br />
и наблюдая за поведением описываемой системы,<br />
можно проверить, реализуют ли спецификации<br />
предполагаемые функциональные<br />
требования или нет. Например, можно<br />
проверить, не возникают ли определенные<br />
нежелательные последовательности событий<br />
при некоторых критических обстоятельствах.<br />
Таким образом, производится тестирование<br />
на ранней фазе процесса разработки. К сожалению,<br />
традиционная временная логика<br />
[3] плохо подходит для описания свойств систем<br />
управления реального времени. Неадекватность<br />
классической временной логики<br />
проблемам спецификации систем реального<br />
времени основана на том факте, что ее операторы<br />
обеспечивают только качественное<br />
представление времени, таким образом, обеспечивая<br />
способы выражения таких свойств,<br />
как предшествование, возможность или постоянство<br />
во времени. Только наличие оператора<br />
«следующий момент времени» приближает<br />
временную логику к количественному<br />
представлению времени: например, с его<br />
применением можно постулировать, что данное<br />
свойство будет сохраняться на протяжении<br />
k «тиков» (тактов) времени, начиная с<br />
текущего момента.<br />
Другой подход описывается интервальной<br />
логикой, которая предоставляет «прерывающийся»<br />
оператор для конкатенации интервалов<br />
и разрешает мгновенное описание<br />
последовательностей событий и свойств, сохраняющихся<br />
в различимых, смежных интервалах.<br />
Интервальная логика имеет, однако, те<br />
же самые ограничения, что и классическая<br />
временная логика.<br />
Впоследствии временные логики были<br />
развиты и сформулированы метрическая временная<br />
логика, временная интервальная логика<br />
реального времени, временная логика<br />
реального времени. При этом в качестве семантической<br />
модели часто применяются таймированные<br />
автоматы.<br />
Алгебраический подход<br />
(алгебры процессов)<br />
В основу алгебраического подхода были<br />
положены не программы, а процессы. При<br />
этом термин «процесс» определяет поведение<br />
некоторой системы. Существенным для характеристики<br />
исследуемых систем является<br />
факт, что, как правило, процессы в них носят<br />
параллельный и/или распределенный характер.<br />
В рамках рассматриваемого подхода<br />
для описания поведения используется алгеб-<br />
248
Кибернетика и информатика<br />
раический/аксиоматический подход. При<br />
этом становится возможным проведение рассуждений<br />
о таких системах, используя алгебру,<br />
то есть уравнения. Посредством операций<br />
с уравнениями можно производить верификацию,<br />
то есть проверку того, что система<br />
удовлетворяет требуемым свойствам. В [4]<br />
был сформулирован базовый набор аксиом<br />
относительно операций, производимых над<br />
процессами.<br />
Синтез логического и алгебраического<br />
подходов при проектировании<br />
алгоритмов управления КА<br />
При анализе бортовой аппаратуры (БА)<br />
современного КА можно выделить ряд функциональных<br />
систем, определяющих в совокупности<br />
его целевые свойства. Каждая из<br />
этих систем, в свою очередь, имеет достаточно<br />
сложную структуру и состоит из подсистем,<br />
приборов, агрегатов, датчиков и др. Элементы<br />
систем БА соединяются между собой<br />
и совместно должны функционировать в рамках<br />
решения поставленных перед КА целевых<br />
задач.<br />
При этом для современных КА характерным<br />
является применение бортовых цифровых<br />
вычислительных машин (БЦВМ) для<br />
решения задач управления БА [5]. Даже на<br />
микро- и наноспутниках использование управляющего<br />
бортового компьютера (с бортовой<br />
информационной системой) сейчас стало<br />
нормой [6].<br />
При этом по ряду причин, включающих,<br />
в частности, простоту коррекции бортового<br />
программного обеспечения (БПО) и добавления<br />
в него дополнительных задач, возможность<br />
оперативного дистанционного изменения<br />
состава решаемых БПО задач, более эффективную<br />
загрузку вычислительных ресурсов<br />
для сложных многофункциональных комплексов<br />
БПО, в которых моменты начала и<br />
окончания решения задач могут меняться в<br />
широких пределах в зависимости от временных<br />
разбросов работы БА и исходных данных,<br />
передаваемых с Земли, предпочтительно<br />
использование приоритетной динамической<br />
асинхронной организации вычислительного<br />
процесса [5]. Данная дисциплина организации<br />
вычислительного процесса характеризуется<br />
тем, что управление работой бортовой<br />
вычислительной системы (БВС) осуществляется<br />
бортовой операционной системой<br />
(БОС) реального времени, которая обеспечивает<br />
параллельное исполнение ряда задач на<br />
одной или нескольких БЦВМ с поддержкой<br />
системы прерываний как по сигналам от БА,<br />
так и от специального устройства отсчета<br />
времени – таймера.<br />
КА создается для решения заданного<br />
набора целевых задач (ЦЗ) в зависимости от<br />
типа аппарата, параметров орбиты и т. д. При<br />
этом особенности космической баллистики,<br />
а также другие факторы обуславливают тот<br />
факт, что каждая из задач верхнего уровня<br />
(базовых ЦЗ) привязывается к опорным моментам<br />
времени.<br />
Обозначим набор базовых ЦЗ КА как<br />
γ 1<br />
, γ 2<br />
,..., γ N<br />
.<br />
Привязанные к опорным моментам<br />
шкалы времени T оп<br />
, целевые задачи образуют<br />
пары:<br />
(γ 1<br />
, T оп2<br />
), (γ 1<br />
, T оп2<br />
),…, (γ N<br />
, T опN<br />
).<br />
Обратим внимание на следующее обстоятельство:<br />
многие целевые задачи (например,<br />
работа двигательной установки для сообщения<br />
требуемого импульса) имеют определенную<br />
длительность выполнения.<br />
В свою очередь, реализация каждой ЦЗ<br />
верхнего уровня требует, как правило, согласованной<br />
работы нескольких систем, приборов,<br />
агрегатов, датчиков и других элементов<br />
БА, каждый из которых при этом должен<br />
обеспечить выполнение набора функциональных<br />
задач f 1<br />
, f 2<br />
,…, f N<br />
в некоторые моменты<br />
времени t 1<br />
, t 2<br />
,..., t N<br />
. Моменты времени зависят<br />
от времени выполнения основной ЦЗ<br />
и привязываются, таким образом, к Т оп<br />
. Аналогично<br />
основным ЦЗ функциональные задачи<br />
также имеют определенные длительности<br />
исполнения - τ 1<br />
, τ 2<br />
,…, τ N<br />
.<br />
С точки зрения БВС, выполнение функциональной<br />
задачи есть выдача некоторой<br />
команды или посылка сигнала той или иной<br />
системе, тому или иному прибору или агрегату<br />
БА или же выполнение некоторой программы<br />
из комплекса БПО, результаты работы<br />
которой (информационная связь) затем<br />
используются при выполнении иных функциональных<br />
задач.<br />
249
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Для описания спецификации (требований<br />
к логике управления) на вербальном<br />
уровне часто применяются такие выражения,<br />
как «За 5 минут до X необходимо включить<br />
режим Р», «В момент срабатывания X подаются<br />
команды f 2<br />
, f 5<br />
», «Операции f 2<br />
, f 3<br />
должны<br />
завершиться к началу работы системы С», «В<br />
случае Y с интервалом в 1 с выдаются команды<br />
f 1<br />
, f 2<br />
, f 3<br />
», «Не менее чем через 7 мксек после<br />
X обмен данными может быть возобновлен<br />
путем выдачи команды f 10<br />
».<br />
Таким образом, для спецификации требований<br />
к времени выполнения может быть<br />
использована как временная (темпоральная)<br />
логика [3], а в процессе конструирования комплексного<br />
управляющего алгоритма - аппарат<br />
алгебры процессов реального времени<br />
[4].<br />
При этом в процессе проектирования<br />
бортового комплекса управления и соответствующего<br />
БПО важно знать временные характеристики<br />
программ, начиная с самых<br />
ранних этапов проектирования БПО и КА в<br />
целом.<br />
Поэтому представляется целесообразным<br />
и наиболее эффективным синтез логического<br />
и алгебраического подходов. При<br />
этом, с одной стороны, на каждом шаге проектировщику<br />
предоставляется возможность<br />
самостоятельно, применяя алгебраические<br />
операции, конструировать все более и более<br />
сложные управляющие алгоритмы, а с другой<br />
стороны, рассуждать об их свойствах и<br />
степени соответствия спецификации с применением<br />
формальной логической теории.<br />
Более того, совмещение алгебраического и<br />
логического подходов позволяет строго утверждать<br />
на каждом шаге конструирования<br />
точное соответствие создаваемого программного<br />
продукта спецификации на основе выведенных<br />
свойств операций алгебры во временной<br />
логике.<br />
Предлагается адаптированная к проблематике<br />
проектирования управляющего БПО<br />
и расширенная по сравнению с имеющимися<br />
формальная система, обладающая свойствами<br />
временной логики, которая позволяет<br />
учитывать длительности процессов, происходящих<br />
на борту КА, и специфицировать<br />
на точно определенном языке логику управления<br />
подсистемой и системой на основе<br />
250<br />
логики управления отдельным прибором.<br />
В [7] предложена и исследована алгебра<br />
управляющих алгоритмов (УА) реального<br />
времени, включающая операции во временном<br />
пространстве:<br />
1. Операция совмещения по началу<br />
(СН), означающая задание общего (одинакового)<br />
времени запуска некоторых управляющих<br />
алгоритмов.<br />
2. Операция совмещения по концу (СК),<br />
означающая задание общего времени окончания<br />
выполнения управляющих алгоритмов.<br />
3. Операция следования →, означающая<br />
запуск некоторого УА сразу после окончания<br />
выполнения другого УА.<br />
Также введена операция в логическом<br />
пространстве =>, смысл которой заключается<br />
в обуславливании выполнения той или<br />
иной функциональной задачи истинностью<br />
или ложностью некоторого логического условия.<br />
Эта операция позволяет точно специфицировать<br />
альтернативную композицию в<br />
терминах текущей бортовой ситуации, то есть<br />
в данном случае она специфицирует теорему<br />
расширения алгебры процессов в понимании<br />
[4].<br />
Отметим также, что с точки зрения<br />
классических алгебр процессов, операции<br />
СН и СК являются несущими физический<br />
смысл уточнениями операции параллельной<br />
композиции процессов, а операция → – последовательной<br />
композиции. При этом, естественно,<br />
сохраняются истинными все базовые<br />
аксиомы алгебр процессов.<br />
В качестве основного множества (носителя)<br />
алгебры предлагается набор кортежей<br />
следующего вида:<br />
УА РВ<br />
{ < f ,t , ,l > },<br />
i = , N<br />
= τ ,<br />
i i i i<br />
1<br />
где f i<br />
– функциональная программа (действие);<br />
t i<br />
- момент начала исполнения действия<br />
(целое неотрицательное число); τ i<br />
- длительность<br />
действия (целое неотрицательное<br />
число); i<br />
l - логический вектор, обуславливающий<br />
действие. Нетрудно видеть, что графическим<br />
образом (за исключением логического<br />
компонента) представленной математической<br />
модели будет циклограмма.<br />
Использование данного подхода позволяет<br />
уйти от проблемы сложности (числа со-
стояний) традиционно используемых в качестве<br />
модели семантик временных логик и<br />
алгебр процессов автоматов и систем переходов.<br />
Состояние системы в приведенной модели<br />
в некоторый момент времени описывается,<br />
с точки зрения вычислительного процесса:<br />
- выполняющимися в данный момент<br />
функциональными задачами;<br />
- признаками – завершены ли к данному<br />
моменту те или иные функциональные<br />
задачи.<br />
В конечном счете, все представление<br />
текущей ситуации может быть сведено к значениям<br />
логических переменных, образующих<br />
вектор.<br />
В качестве дополнительных компонент<br />
этого вектора могут использоваться определяемые<br />
для каждой f i<br />
два предиката – предикат<br />
(функция) выполнимости α fi<br />
(t), отражающий<br />
тот факт, что функциональная задача<br />
(ФЗ) fi выполняется в момент времени t, и<br />
предикат α zfi<br />
(t), говорящий о том, что к моменту<br />
времени t выполнение данной ФЗ было<br />
завершено.<br />
Расширенная модель алгебраической<br />
системы управляющих алгоритмов допускает<br />
истолкование присутствующих в алгебре<br />
[7] символов СН, СК, → как предикатов (утверждений)<br />
о соотношении управляющих<br />
процессов:<br />
1. f 1<br />
CH f 2<br />
означает, что управляющие<br />
алгоритмы начинаются в одно и то же время<br />
(t 1<br />
=t 2<br />
).<br />
2. f 1<br />
CК f 2<br />
означает, что управляющие<br />
алгоритмы заканчиваются в одно и то же время<br />
(t 1<br />
+t 1<br />
=t 2<br />
+t 2<br />
).<br />
3. f 1<br />
→ f 2<br />
означает, что момент старта<br />
алгоритма f 2<br />
совпадает (равен) моменту завершения<br />
выполнения алгоритма f 1<br />
(t 1<br />
+t 1<br />
=t 2<br />
).<br />
Расширенная модель также вводит дополнительные<br />
символы
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
COMPUTER-AIDED SPECIFICATION, VERIFICATION AND SYNSHESIS<br />
OF CONTROL PROGRAMMES ON THE BASIS OF LOGICAL<br />
AND ALGEBRAIC APPROACHES<br />
© 2007 A. A. Tugashev<br />
Samara State Aerospace University<br />
The paper deals with a complex of problems associated with real-time control program specification, verification<br />
and synthesis, carried out aboard a space vehicle. Approaches to solving these tasks on the basis of temporal logic and<br />
extended algebra of control processes are analysed. The structure of an instrumental programme complex of control<br />
programmes for space vehicles based on the approach proposed is described.<br />
252
Кибернетика и информатика<br />
УДК 519.7<br />
ОПТИМИЗАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ<br />
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЛЕННЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ МЕТОДОВ<br />
© 2007 М. А. Федорова<br />
Ульяновский государственный университет<br />
В работе исследуется применение эволюционных и численных методов для оптимизации сложных взаимосвязанных<br />
систем фильтрации и управления в условиях априорной неопределенности на примере стохастической<br />
следящей системы (для краткости, – трекера). Для сравнения различных подходов проведены серии<br />
экспериментов на специально разработанном программном продукте. При моделировании трекера обнаружение<br />
нарушений производится на основе метода взвешенных квадратов невязок, адаптация – на основе метода<br />
вспомогательного функционала качества, а в качестве алгоритмов идентификации использованы – для сравнения<br />
их возможностей – метод простой стохастической аппроксимации, метод наименьших квадратов и генетический<br />
алгоритм. В сравнительном аспекте исследуется применение эволюционных и численных методов для<br />
оптимизации сложных взаимосвязанных систем фильтрации и управления на примере стохастической следящей<br />
системы.<br />
Постановка задачи<br />
Рассмотрим заданную в пространстве<br />
состояний линейную инвариантную во времени<br />
стохастическую систему с контуром<br />
управления:<br />
x<br />
n<br />
( ti+ 1)<br />
= Φθ x(<br />
ti<br />
) + Ψθ<br />
u(<br />
ti<br />
) + w(<br />
ti<br />
), x ∈ R ,<br />
y( t ) = H v ),<br />
i<br />
(1)<br />
m<br />
θ<br />
x(<br />
ti<br />
) + ( ti<br />
y ∈ R , (2)<br />
−<br />
+<br />
n<br />
xˆ 0<br />
( ti+ 1)<br />
= Φ xˆ<br />
0 0<br />
( ti<br />
) + Ψ0<br />
u(<br />
ti<br />
), xˆ<br />
0<br />
∈ R , (3)<br />
xˆ<br />
( t<br />
0<br />
ν ( t<br />
i<br />
+<br />
i<br />
) = xˆ<br />
( t<br />
0<br />
) = y(<br />
t<br />
i<br />
−<br />
i<br />
) − H<br />
) + K ν ( t<br />
0<br />
xˆ<br />
( t<br />
0<br />
0<br />
−<br />
i<br />
i<br />
),<br />
),<br />
(4)<br />
+<br />
⎪⎧f<br />
[ ˆ<br />
R<br />
x0<br />
( ti<br />
)],<br />
u ( ti<br />
) = ⎨<br />
* +<br />
q<br />
(5)<br />
⎪⎩−G<br />
0<br />
xˆ0<br />
( ti<br />
),<br />
u ∈R<br />
.<br />
Здесь i ∈ Z ; (1) – объект и (2) – сенсор, параметризованные<br />
параметром неопределенности<br />
θ ; (3)-(4) – фильтр Калмана, спроектированный<br />
для некоторого номинального значения<br />
θ<br />
0<br />
параметра θ ; (5) – управление;<br />
{ w ( ⋅)}<br />
, { v ( ⋅)}<br />
считаются независимыми последовательностями<br />
независимых одинаково<br />
распределенных случайных величин с нулевым<br />
средним значением и ковариациями<br />
Q ≥ 0 и R > 0 соответственно.<br />
θ<br />
θ<br />
Матрицы, присутствующие в системе<br />
(1)-(5), заданы как Φ<br />
0<br />
, Ψ<br />
0<br />
, Q<br />
0 , H<br />
0<br />
и R<br />
0<br />
для<br />
номинального режима работы, т.е. для номинального<br />
значения θ ∈Θ<br />
параметра неопре-<br />
0<br />
деленности θ ∈ Θ , взятого из множества Θ<br />
возможных режимов.<br />
Предполагается, что параметр θ подвержен<br />
внезапным изменениям. Каждое изменение<br />
случается в неизвестный момент<br />
времени t > t c 0<br />
. Это событие можно рассматривать<br />
как переключение θ с θ<br />
0<br />
на некото-о-<br />
рое другое неизвестное значение θ<br />
1<br />
∈ Θ. Чтобы<br />
поддерживать обратную связь (ОС) близкой<br />
к оптимальной, для вновь возникшего<br />
режима (определенного параметром θ ) необходимо<br />
соответствующим образом ее пе-<br />
1<br />
ренастроить. Оптимальной перенастройкой<br />
является альтернативный фильтр Калмана<br />
( KF ), которому соответствует<br />
1<br />
θ с коэффи-<br />
1<br />
циентом K . Таким образом, ОС перенастра-<br />
1<br />
ивается и (отмечена нижним индексом 1<br />
)<br />
подставляется вместо начальной обратной<br />
связи (отмечена нижним индексом 0<br />
).<br />
Проблема заключается в том, что оптимальную<br />
перенастройку нельзя выполнить,<br />
253
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
потому что θ<br />
1<br />
и t c<br />
неизвестны и, таким образом,<br />
могут быть заменены только на оценки<br />
θ ˆ и<br />
1 ˆt c<br />
, полученные от некоторого практически<br />
применимого алгоритма оценки параметра<br />
для перенастройки. Можно выполнить<br />
только субоптимальную перенастройку<br />
и при этом необходимо решать две задачи:<br />
обнаружения и адаптации.<br />
1. Обнаружение. Необходимо с наименьшими<br />
затратами обнаружить каждый<br />
момент изменения t c<br />
с приемлемой задержкой<br />
и требуемой надежностью, т.е. необходим<br />
некоторый генератор решений DG. В<br />
момент тревоги t<br />
a<br />
генератор подтверждает<br />
внезапное изменение и задает<br />
t ˆ := c<br />
ta<br />
.<br />
Будем оценивать момент t c<br />
, используя<br />
номинальную ковариацию C<br />
0<br />
последовательности<br />
ν t ) в (4) и специально сконстру-<br />
( i<br />
ированную решающую функцию в форме<br />
кумулятивной суммы [1]:<br />
S<br />
k<br />
=<br />
m<br />
k<br />
T −1<br />
( 2k)<br />
∑[<br />
ν ( ti<br />
) C0 ν ( ti<br />
) m −1]<br />
.<br />
i=<br />
1<br />
Задача состоит в обнаружении (за приемлемый<br />
промежуток времени) момента нарушения<br />
t c<br />
при помощи подходящего решающего<br />
правила d ( ) {0, 1}<br />
[1]. Ниже пред-<br />
0<br />
t k<br />
∈<br />
ставлен один из вариантов такого правила.<br />
Решение принимается в конце интервала<br />
выборки номер l = 1,<br />
2, L,<br />
L , каждый размера<br />
N :<br />
⎧<br />
⎪<br />
0 if ∀k<br />
= 1, K,<br />
N : S<br />
d<br />
0<br />
( l)<br />
= ⎨<br />
∃ = ⎪⎩<br />
1 if k 1, K,<br />
N : S<br />
(0)<br />
N ( l−1)<br />
+ k<br />
(0)<br />
N ( l−1)<br />
+ k<br />
< h;<br />
отбой,<br />
≥ h;<br />
тревога.<br />
Если «тревога», то генератор подтверждает<br />
внезапное изменение и включает алгоритм<br />
адаптации.<br />
2. Адаптация. После того, как принято<br />
решение о том, что произошло нарушение<br />
(сигнал «тревога»), необходимо провести<br />
адаптацию системы к вновь возникшему режиму<br />
работы с θ . Для этого за основу взят<br />
1<br />
метод вспомогательного функционала качества.<br />
При этом в качестве возможных методов<br />
идентификации для сравнения выбирать<br />
будем из следующего списка:<br />
- простая стохастическая аппроксимация;<br />
- метод наименьших квадратов;<br />
- генетический алгоритм.<br />
Моделирование стохастической<br />
следящей системы<br />
Стохастическая следящая система (трекер)<br />
– система, состоящая из двух независимых<br />
подсистем: соответственно, замкнутого<br />
и разомкнутого типа. Таким образом, в трекере<br />
некоторый «управляемый объект» следит<br />
за некоторой «опорной моделью». Следящая<br />
система в обобщенном виде может<br />
быть представлена как система (1) - (5), где<br />
векторы и матрицы представлены в виде<br />
⎡x<br />
p ⎤ ⎡Φ<br />
p<br />
0 ⎤ ⎡Ψp<br />
⎤<br />
x = ⎢ ⎥ , Φ = ⎢ , ,<br />
0<br />
⎥ Ψ = ⎢<br />
0<br />
⎥<br />
⎣x<br />
⎣ Φ<br />
r ⎦<br />
r ⎦ ⎣ ⎦<br />
⎡wp<br />
⎤ ⎡Q<br />
p<br />
0 ⎤<br />
w = ⎢ ⎥ , Q = ⎢ ,<br />
0<br />
⎥<br />
⎣w<br />
⎦ ⎣ Q<br />
r<br />
r ⎦<br />
⎡y<br />
p ⎤ ⎡H<br />
p<br />
0 ⎤<br />
y = ⎢ ⎥ , H = ⎢ ,<br />
0<br />
⎥<br />
⎣y<br />
⎦ ⎣ H<br />
r<br />
r ⎦<br />
⎡v<br />
p ⎤ ⎡R<br />
p<br />
0 ⎤<br />
v = ⎢ ⎥ , R = ⎢ ,<br />
0<br />
⎥<br />
⎣vr<br />
⎦ ⎣ Rr<br />
⎦<br />
+<br />
+<br />
u(<br />
t ) = −G<br />
xˆ<br />
( t ) − G xˆ<br />
( t ).<br />
i<br />
p<br />
0 p<br />
i<br />
r<br />
Здесь индекс «p» обозначает «управляемый<br />
объект», а индекс «r» – «опорную модель».<br />
Для моделирования возьмем пример из<br />
[2] и конкретизируем следящую систему:<br />
⎡0.82<br />
0 ⎤ ⎡0.18⎤<br />
x ( ti+<br />
1)<br />
= ⎢<br />
x(<br />
ti<br />
) + u(<br />
ti<br />
) + w(<br />
ti<br />
),<br />
0 0.61<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
⎥<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
⎡1<br />
0⎤<br />
y ( ti<br />
) = ⎢ x(<br />
ti<br />
) + v(<br />
ti<br />
),<br />
0 1<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
0r<br />
− ⎡0.82<br />
0 ⎤ + ⎡0.18⎤<br />
xˆ ( )<br />
ˆ<br />
0<br />
ti+<br />
1<br />
= ⎢<br />
x0<br />
( ti<br />
) + u(<br />
ti<br />
),<br />
0 0.61<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
⎥<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
i<br />
254
Пуск<br />
Кибернетика и информатика<br />
⎛ ⎡1<br />
0⎤<br />
−<br />
⎞<br />
[ K K ] ⎜ y(<br />
t ) − xˆ<br />
( t ) ,<br />
+<br />
−<br />
xˆ 0(<br />
t ) = ˆ0<br />
( ) +<br />
0 0 ⎜ ⎢ 0<br />
0 1<br />
⎥ ⎟ i<br />
x ti<br />
p r i<br />
i<br />
⎝ ⎣ ⎦ ⎠<br />
⎡ 0.36 ⎤<br />
u( ti<br />
) = ⎢ ˆ0<br />
(<br />
0.19<br />
⎥ x ti<br />
⎣−<br />
⎦<br />
+<br />
).<br />
Моделирование неопределенности следящей<br />
системы ограничим первым, но достаточно<br />
типичным случаем, когда неизвестными<br />
или резко изменяющимися величинами<br />
могут быть лишь параметры (ковариации)<br />
шумов.<br />
Адаптивный фильтр и<br />
функция чувствительности<br />
Адаптивную модель построим для оценивания<br />
состояния объекта и для определения<br />
невязки, т. е. разности между состоянием<br />
адаптивной модели и состоянием объекта.<br />
Критерий качества зададим в виде функции<br />
от невязки [3]. При этом предполагаем,<br />
что невязка такова, что минимум критерия<br />
качества достигается только при таких значениях<br />
параметров модели, которые в точности<br />
совпадают с фактическими значениями<br />
соответствующих параметров объекта и/или<br />
оптимального установившегося фильтра.<br />
Присоединим к системе (1)-(5) адаптивную<br />
модель, совпадающую по своей структуре<br />
с фильтром Калмана. При этом получаем<br />
общую структуру моделируемого трекера<br />
с присоединенным блоком обнаружения нарушений<br />
и блоком адаптивного фильтра (рис. 1).<br />
Поскольку из-за априорной неопределенности<br />
критерий качества системы недоступен<br />
непосредственному измерению, то<br />
особый интерес для решения задачи идентификации<br />
представляет теория вспомогательного<br />
функционала качества (ВФК) [3]. Исходный<br />
функционал качества (ИФК) от недо-<br />
y<br />
r<br />
Опорная<br />
модель<br />
w<br />
r<br />
v r<br />
w<br />
p<br />
v<br />
p<br />
y<br />
r<br />
Фильтр<br />
Калмана для<br />
опорной<br />
модели<br />
^x r<br />
G<br />
*<br />
0r<br />
+<br />
u<br />
Управляемый<br />
объект<br />
y<br />
P<br />
u<br />
Блок задержки<br />
Адаптивный<br />
фильтр для<br />
опорной<br />
модели<br />
^Kr<br />
G * 0p<br />
^x<br />
P<br />
Фильтр<br />
Калмана для<br />
управляемого<br />
объекта<br />
Y P<br />
Пуск<br />
Останов<br />
^Kp<br />
Адаптивный<br />
фильтр для<br />
управляемого<br />
объекта<br />
Блок обнаружения<br />
нарушений для<br />
опорной модели<br />
Останов<br />
Блок обнаружения<br />
нарушений<br />
управляемого объекта<br />
Рис. 1. Структура стохастического трекера с блоком обнаружения нарушений и адаптивным фильтром<br />
255
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
ступной ошибки e( t)<br />
= x(<br />
t)<br />
− xˆ(<br />
t)<br />
зададим<br />
следующим образом:<br />
{ F }<br />
( e(<br />
t )<br />
J e<br />
( θ ) = E ),θ<br />
.<br />
Будем конструировать вспомогательный<br />
функционал качества, содержащий только<br />
известные величины (в зависимости от<br />
уровня неопределенности в понятие «доступная<br />
информация» вкладывается различный<br />
смысл). В основу ВФК положим такую величину<br />
ε (t)<br />
, которая является аналогом e (t)<br />
в<br />
ИФК:<br />
J<br />
ε<br />
( θ ) = E{ F θ }.<br />
( ε ( t),<br />
)<br />
Условием оптимальности адаптивного<br />
фильтра является достижение минимума функционалом<br />
качества, исходя из чего равенство<br />
нулю градиента<br />
∇ θ<br />
J<br />
ε<br />
( t)<br />
=<br />
T<br />
ε<br />
r<br />
( t)<br />
S(<br />
t)<br />
= 0<br />
будет необходимым условием оптимальности.<br />
Матрица S (t)<br />
определяется равенством<br />
⎡∂ε<br />
( t)<br />
S(<br />
t)<br />
= ⎢<br />
⎣ ∂θ1<br />
K<br />
∂ε<br />
( t)<br />
⎤<br />
=<br />
∂θ<br />
⎥<br />
N ⎦<br />
∇ θ<br />
ε ( t)<br />
,<br />
где N – размерность модельного параметра.<br />
Критерий оптимальности, выраженный<br />
в виде функции вектора параметров θ ,<br />
J<br />
ε<br />
( t,<br />
θ)<br />
, в явной форме неизвестен. Это значит,<br />
что известны лишь реализации величи-<br />
T<br />
ны произведения ε ( t,<br />
θ)<br />
⋅ S(<br />
t,<br />
θ)<br />
, которые<br />
зависят от вектора θ . Задача состоит в опре-<br />
∗<br />
делении оптимального значения θ вектора<br />
θ , доставляющего минимум функционалу<br />
качества. Очевидно, единственно возможный<br />
путь решения этой задачи связан с наблюдением<br />
текущей реализации и ее обработкой,<br />
поскольку минимизируемый ИФК содержит<br />
оператор математического ожидания по всему<br />
ансамблю реализаций.<br />
Отыскание оптимального вектора будем<br />
проводить численными и эволюционными<br />
методами.<br />
Численные и эволюционные методы<br />
Рассмотрим численные методы.<br />
1. Простая стохастическая аппроксимация.<br />
Данный алгоритм представляет собой<br />
стохастический аналог градиентного метода,<br />
который обычно записывают в виде<br />
ˆ[ 1] = ˆ<br />
T<br />
θ n + θ[<br />
n]<br />
−λ[<br />
n + 1] ε [ n]<br />
S[<br />
n],<br />
1<br />
λ[<br />
n + 1] = ,<br />
n + 1<br />
n = 1,2, K,K .<br />
2. Метод наименьших квадратов. Запишем<br />
общий вид алгоритма<br />
ˆ[ 1] = ˆ<br />
T<br />
θ n + θ[<br />
n]<br />
− Λ[<br />
n + 1] ε [ n]<br />
S[<br />
n],<br />
n =1,2, K,K.<br />
В частном случае – для метода наименьших<br />
квадратов – множитель определяется по<br />
формуле<br />
Λ[<br />
n + 1]= Λ[<br />
n]<br />
−Λ[<br />
n]<br />
S<br />
T<br />
[ n](<br />
S[<br />
n]<br />
Λ[<br />
n]<br />
S<br />
T<br />
[ n])<br />
−1<br />
S[<br />
n]<br />
Λ[<br />
n].<br />
Эволюционные методы принадлежат<br />
направлению, которое описывает системы по<br />
типу вычислительных моделей эволюционных<br />
процессов. Эволюционные алгоритмы<br />
включают в себя три главных направления<br />
фундаментальных исследований: генетические<br />
алгоритмы, эволюционное моделирование<br />
(эволюционные стратегии) и эволюционное<br />
программирование [5]. Приведем названия<br />
генетических операторов, которые использовались<br />
при исследованиях.<br />
Оператор кодирования – оператор, при<br />
помощи которого осуществляется кодирование<br />
параметров и декодирование хромосом.<br />
При моделировании на выбор предлагаются<br />
следующие три разновидности оператора<br />
кодирования: двоичное кодирование, интервальное<br />
кодирование с бинарным кодом и<br />
интервальное кодирование с кодом Грея.<br />
Фитнес-функция – функция оценки<br />
приспособленности индивида. Данная функция<br />
построена на основе метода статисти-<br />
256
Кибернетика и информатика<br />
ческой ортогональности (реализуемого по<br />
схеме полярного коррелометра). Значение<br />
фитнес-функции сопоставляется каждой хромосоме<br />
в популяции, при этом чем больше<br />
значение функции, тем лучше приспособленность<br />
данного индивида. Для получения оценок<br />
всех индивидов в текущей популяции<br />
необходима выборка размера М.<br />
Отбор – оператор, посредством которого<br />
осуществляется копирование хромосом,<br />
согласно их приспособленности, в промежуточную<br />
популяцию для последующего применения<br />
операторов скрещивания и мутации<br />
и для формирования таким образом новой<br />
популяции. При моделировании на выбор<br />
предлагаются следующие два вида этого оператора:<br />
«колесо рулетки» и остаточный отбор.<br />
Скрещивание – оператор, который с<br />
определенной вероятностью применяется к<br />
хромосомам, выбранным оператором отбора.<br />
В результате действия этого оператора происходит<br />
появление новых индивидов в популяции.<br />
При этом скрещивание может быть:<br />
одноточечным, двуточечным и маскированным.<br />
Мутация – оператор, который применяется<br />
к каждому потомку индивидуально после<br />
скрещивания. Мутация случайно изменяет<br />
ген хромосомы с небольшой (задаваемой<br />
эмпирически) вероятностью.<br />
Элитизм – оператор, задаваемый коэффициентом<br />
элитизма. Коэффициент элитизма<br />
– это число хромосом, переходящих из<br />
текущей популяции в новую популяцию без<br />
применения каких-либо генетических операторов.<br />
Результаты вычислительных<br />
экспериментов<br />
Для проведения экспериментов предложенные<br />
алгоритмы полностью реализованы<br />
в специально разработанном программном<br />
продукте MASSS [6]. MASSS позволяет наблюдать<br />
за поведением различных процессов<br />
стохастической системы, обнаруживать нарушения<br />
в системе и проводить ее адаптацию<br />
к новым условиям. При моделировании<br />
в этом приложении доступны следующие<br />
функции:<br />
- выбор моделируемых систем (управляемый<br />
объект, опорная модель, управляемый<br />
объект и опорная модель);<br />
- выбор точки внезапного изменения;<br />
- выбор алгоритмов идентификации<br />
(простая стохастическая аппроксимация, метод<br />
наименьших квадратов, генетический<br />
алгоритм);<br />
- выбор типа сглаживания оценки градиента<br />
(экспоненциальное, с фиксированными<br />
отсчетами, скользяще среднее);<br />
- изменение параметров модели;<br />
- изменение параметров алгоритмов;<br />
- визуализация данных;<br />
- просмотр данных в табличном виде<br />
и т. д.<br />
Для тестирования алгоритмов проведены<br />
несколько серий экспериментов. Параметры<br />
одной из серий представлены ниже в таблице<br />
1.<br />
На рис. 2 представлено поведение генетического<br />
алгоритма в качестве метода<br />
идентификации.<br />
Для проведения сравнительного анализа<br />
различных алгоритмов идентификации<br />
использована интегральная относительная<br />
ошибка (IPE), усредненная по результатам<br />
серии экспериментов. Графики изменения<br />
относительной ошибки простой стохастической<br />
аппроксимации, метода наименьших<br />
квадратов и генетического алгоритма в зависимости<br />
от номера итерации представлены<br />
на рис. 3<br />
Как показывают результаты экспериментов,<br />
в большинстве случаев усредненное<br />
поведение генетического алгоритма дает<br />
меньший уровень относительной ошибки по<br />
сравнению с процедурой простой стохастической<br />
аппроксимации или методом наименьших<br />
квадратов. Однако следует отметить, что<br />
поведение генетического алгоритма более<br />
непостоянно, чем поведение стандартных<br />
численных методов. Численные методы последовательны<br />
в своих операциях, в то время<br />
как генетический алгоритм – параллелен и<br />
требует наличия множества индивидов, формирующих<br />
текущую популяцию адаптивных<br />
фильтров.<br />
257
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007<br />
Таблица 1. Параметры серии экспериментов<br />
Общие параметры<br />
Количество экспериментов в серии 100<br />
Максимальной количество итераций 5000<br />
Параметры и обозначения численных алгоритмов<br />
Простая стохастическая аппроксимация<br />
ПСА<br />
Метод наименьших квадратов<br />
МНК<br />
Параметр экспоненциального сглаживания 0.5<br />
Параметры и обозначения генетического алгоритма<br />
Генетический алгоритм<br />
ГА<br />
Длина хромосомы 7<br />
Мощность популяции 50<br />
Вероятность мутации 0.1<br />
Вероятность скрещивания 0.8<br />
Коэффициент элитизма 1<br />
Режим отбора<br />
остаточный отбор<br />
Режим скрещивания<br />
маскированный<br />
Кодирование<br />
интервальное с кодом Грея<br />
Параметры внезапного изменения и идентификации<br />
Итерация внезапного изменеия 300<br />
Истинное значение идентифицируемого параметра до 0.258<br />
изменения (опорная модель)<br />
Истинное значение идентифицируемого параметра 0.736<br />
после изменения (опорная модель)<br />
Истинное значение идентифицируемого параметра до 0.900<br />
изменения (управляемый объект)<br />
Истинное значение идентифицируемого параметра 0.547<br />
после изменения (управляемый объект)<br />
1<br />
c<br />
) , c<br />
)<br />
1 2<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
Идентификация параметра опорной модели<br />
Идентификация параметра управляемого объекта<br />
Истинное значение параметра опорной модели<br />
Истинное значение параметра управляемого объекта<br />
0 1000 2000 3000 4000 5000<br />
N<br />
Рис. 2. Зависимости оценок параметров опорной модели ( 1<br />
от номера итерации N<br />
258<br />
c ) ) и управляемого объекта ( c ) 2<br />
)
Кибернетика и информатика<br />
ε<br />
70<br />
60<br />
Простая стохастическая аппроксимация<br />
Метод наименьших квадратов<br />
Генетический алгоритм<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
0 1000 2000 3000 4000 5000<br />
Рис. 3. Сравнительные зависимости относительных ошибок методов идентификации<br />
от номера итерации N<br />
N<br />
На основании проведенных экспериментов<br />
можно сделать вывод о пригодности<br />
эволюционных методов к решению указанной<br />
задачи оптимизации.<br />
Список литературы<br />
1. Семушин И. В. Контроль оптимальности<br />
адаптивного фильтра Калмана по реализации<br />
скалярного процесса // Известия академии<br />
наук СССР. Техническая кибернетика,<br />
1979.– № 6.<br />
2. Maybeck P. S. Stochastic models,<br />
estimation and control. – New York: Academic<br />
Press, 1982, Vol.3.<br />
3. Семушин И. В. Адаптивное управление<br />
стохастическим линейным объектом в<br />
условиях неопределенности. // Нелинейные<br />
динамические системы: качественный анализ<br />
и управление / Сб. научных трудов. Инсти-<br />
тут системного анализа РАН. Под ред. акад.<br />
РАН С. В. Емельянова, чл.-корр. РАН С.К. Коровина.<br />
– М.: Изд-во МГУ. - 1994. Вып. 2.<br />
4. Semoushin I. V., Tsyganova J. V. Indirect<br />
Error Control for Adaptive Filtering. //<br />
Proceedings of the. Third European Conference<br />
on Numerical Mathematics and Applied<br />
Applications/ Eds. P. Neittaanmaki, T. Tiihonen<br />
and P. Tarvainen, World Scientific, 2000.<br />
5. Ярушкина Н. Г. Основы теории нечетких<br />
и гибридных систем: Учеб. пособие.<br />
– М.: Финансы и статистика, 2004.<br />
6. Федорова М. А. Моделирование адаптивной<br />
стохастической системы MASSS. //<br />
Москва: ВНТИЦ. Программное и информационное<br />
обеспечение поддержки научно исследовательских<br />
работ, 2007.– ЕСПД.<br />
03254577.01880-01.<br />
OPTIMIZATION OF A STOCHASTIC TRACKING SYSTEM USING<br />
NUMERICAL AND EVOLUTION METHODS<br />
© 2007 M. A. Fyodorova<br />
Ulianovsk State University<br />
The paper analyses the use of evolution and numerical methods for the optimization of complex interrelated<br />
screening and control systems under a priori uncertainty using a stochastic tracking system (a tracker, for short) as an<br />
example. To compare various approaches a series of experiments have been carried out on specially developed software.<br />
When modeling a tracker faults are discovered on the basis of the method of weighted squares of error of closure,<br />
adaptation is performed on the basis of the method of auxiliary quality functional. The method of simple stochastic<br />
approximation, the method of least squares and the genetic algorithm are used as identification algorithms to as to<br />
compare their possibilities. In the comparative aspect the use of evolution and numerical methods for the optimization<br />
of complex interrelated screening and control systems is analysed using a stochastic tracking system as an example.<br />
259
ВЕСТНИК<br />
САМАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО<br />
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА<br />
имени академика С. П. КОРОЛЕВА<br />
№ 1 (12)<br />
2007<br />
Корректор Карпова Л. М.<br />
Компьютерная верстка Коломиец В. В.<br />
Переводчик Безрукова Е. И.<br />
Технолог Прилепский И. В.<br />
Формат 60×84 1/8. Бумага офсетная. Печать офсетная.<br />
Тираж 200. Заказ 28.<br />
Отпечатано в отделе интеллектуальной собственности и информационного обеспечения<br />
Самарского государственного аэрокосмического университета<br />
443086 Самара, Московское шоссе, 34