ВЕСТНИК 

САМАРСКОГО 

ГОСУДАРСТВЕННОГО 

АЭРОКОСМИЧЕСКОГО 

УНИВЕРСИТЕТА 

имени академика С. П. КОРОЛЕВА 

№ 1 (12) 

2007

УДК 05 

ББК Я5 


САМАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 

АЭРОКОСМИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 

имени АКАДЕМИКА С. П. КОРОЛЕВА 

№ 1 (12) 

2007 

Главный редактор 

В. А. Сойфер 

Заместители главного редактора 

В. Л. Балакин, С. В. Лукачев, Е. В. Шахматов 

Ответственный секретарь 

А. Г. Прохоров 

Редакционная коллегия: 

Г. П. Аншаков, Н. Ф. Банникова, В. А. Барвинок, С. К. Бочкарев, 

Ф. В. Гречников, А. И. Ермаков, В. Г. Засканов, Н. Л. Казанский, 

Л. И. Калакутский, В. Р. Каргин, В. А. Комаров, Н. Е. Конюхов, 

А. Н. Коптев, В. С. Кузьмичев, С. А. Прохоров, В. В. Салмин, 

Ю. Л. Тарасов, А. Н. Тихонов, Ю. Ф. Широков, И. Л. Шитарев, 

В. П. Шорин 

Журнал входит в утвержденный ВАК Минобрнауки РФ Перечень ведущих рецензируемых 

научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть 

опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени 

доктора и кандидата наук, и включен в общероссийский каталог ОАО “Роспечать”. 

Подписной индекс 18264 

© Самарский государственный аэрокосмический университет 

443086 Самара, Московское шоссе, 34 

Тел. (846) 267 48 41 

Электронная почта: vest@ssau.ru 

Самара 

2007

СОДЕРЖАНИЕ 

АВИАЦИОННАЯ И РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА 

АЛГОРИТМ СРАВНИТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ВАРИАНТОВ 

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 

КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 

В. М. Антимиров, В. Н. Ачкасов 9 

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ГИПЕРЗВУКОВОГО 

ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА НА ЭТАПЕ РАЗГОНА-НАБОРА ВЫСОТЫ В АТМОСФЕРЕ 

А. А. Бебяков 15 

МЕТОДИКА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА 

ПРИ КОМПЛЕКСИРОВАНИИ МАГНИТОМЕТРИЧЕСКИХ И 

РАДИОНАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 

И. В. Белоконов, А. В. Крамлих 22 

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА В ЗАДАЧЕ МОДАЛЬНОГО 

ФОРМИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ «РАКЕТА – 

НОСИТЕЛЬ – АВТОМАТ СТАБИЛИЗАЦИИ» 

И. Е. Давыдов 31 

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ КОСМИЧЕСКИХ 

АППАРАТОВ С ДВИГАТЕЛЯМИ МАЛОЙ ТЯГИ. ЧАСТЬ I 

В. В. Салмин, В. В. Васильев, С. А. Ишков, В. А. Романенко, 

В. О. Соколов, О. Л. Старинова, В. В. Юрин 37 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МИКРОМЕТЕОРОИДНЫХ И ТЕХНОГЕННЫХ 

ЧАСТИЦ С КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ 

Н. Д. Семкин, В. Л. Балакин, И. В. Белоконов, К. Е. Воронов 53 

СИСТЕМА КОМПЕНСАЦИИ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ МИКРОУСКОРЕНИЙ 

МАГНИТНЫМ СПОСОБОМ 

Н. Д. Семкин, В. Л. Балакин, К. Е. Воронов 64 

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОЦЕНИВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ 

АГРЕГАТОВ СИСТЕМЫ ТЕРМОРЕГУЛИРОВАНИЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 

М. И. Соколов 81 

УМЕНЬШЕНИЕ РАЗМЕРОВ РАЙОНОВ ПАДЕНИЯ ОТРАБОТАВШИХ БЛОКОВ РАКЕТЫ- 

НОСИТЕЛЯ ТИПА “СОЮЗ” ПРИ ПРЕДНАМЕРЕННОМ ЧЛЕНЕНИИ ИХ КОНСТРУКЦИИ 

Б. А. Титов, С. А. Рычков 90 

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С СИСТЕМОЙ 

ОРИЕНТАЦИИ НА БАЗЕ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ ЖИДКОСТНЫХ РАКЕТНЫХ 

ДВИГАТЕЛЕЙ МАЛОЙ ТЯГИ 

Б. А. Титов, А. Л. Сирант 98 

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМ БОРТОВОГО ОБОРУДОВАНИЯ 

ВОЗДУШНЫХ СУДОВ НА ОСНОВЕ СТАНДАРТНЫХ МОДУЛЕЙ 

А. Н. Тихонов 106 

ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ КРУГОВЫМИ 

ОРБИТАМИ С ДВУХСТУПЕНЧАТЫМ РАЗГОННЫМ БЛОКОМ С ХИМИЧЕСКИМ 

И ЭЛЕКТРОРЕАКТИВНЫМ ДВИГАТЕЛЯМИ 

П. В. Фадеенков 116 

ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ МОЩНОСТИ СОЛНЕЧНЫХ 

БАТАРЕЙ АВТОМАТИЧЕСКИХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 

Ю. А. Шиняков 123 

3

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 

РАЗРАБОТКА БАЗОВОГО АЛГОРИТМА ПОДСИСТЕМЫ КОРРЕКЦИИ 

ПО ГЕОФИЗИЧЕСКИМ ПОЛЯМ 

В. М. Антимиров 130 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ 

НАПЫЛЯЕМЫХ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕННОМ ГАЗОТЕРМИЧЕСКОМ ПОТОКЕ 

В. А. Барвинок, В. И. Богданович, Е. А. Ананьева 138 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ 

ДАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕННОСТИ ИХ ПАРАМЕТРОВ 

С. К. Бочкарев, Г. М. Макарьянц, А. Б. Прокофьев, Е. В. Шахматов 148 

НЕСИММЕТРИЧНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ГАСИТЕЛИ С АКТИВНЫМИ 

ВОЛНОВЫМИ СОПРОТИВЛЕНИЯМИ 

А. Н. Головин 156 

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАЧАЛЬНОГО ОЧАГА ПРИ ИСКРОВОМ 

ЗАЖИГАНИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА АЛЮМИНИЕВО-ВОЗДУШНОЙ СМЕСИ 

А. Г. Егоров 162 

ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКА В 

ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ НЕЛИНЕЙНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ 

УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ВОЛН 

В. С. Кононенко, А. В. Шацкий 173 

АВТОМАТИЧЕСКИЙ СЧЕТЧИК ЧАСТИЦ ЗАГРЯЗНЕНИЙ ЖИДКОСТИ 

ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ С ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКОЙ СИГНАЛА 

Д. В. Корнилин, И. А. Кудрявцев, Л. М. Логвинов 178 

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ И ОЦЕНКА 

ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ В МАШИНОСТРОЕНИИ 

Е. П. Кочеров 182 

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОМЕРНОСТИ ПОДАЧИ ЖИДКОСТИ 

ШЕСТЕРЕННЫМ КАЧАЮЩИМ УЗЛОМ 

А. Н. Крючков, Л. В. Родионов, М. С. Гаспаров, Е. В. Шахматов 187 

ПОВЫШЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ 

ЗА СЧЕТ АНАЛИЗА ПАРАМЕТРОВ ЧАСТИЦ ЗАГРЯЗНЕНИЯ РАБОЧЕЙ ЖИДКОСТИ 

Л. М. Логвинов, М. А. Ковалев, И. И. Хабло 196 

ПОВЫШЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ВЫТЯЖКИ ТОНКОЛИСТОВЫХ 

МАТЕРИАЛОВ В ШТАМПЕ С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ (ПРИЖИМОМ) 

И. П. Попов, Е. С. Нестеренко 201 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЙ БОКОВЫХ ГРАНИЦ СТРУИ 

УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА, ВДУВАЕМОЙ В ПОПЕРЕЧНЫЙ ПОТОК ВОЗДУХА 

Н. М. Рогачев 207 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТОЭЛЕКТРОННОГО ЦИФРОВОГО 

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В КОД С АВТОКОРРЕКЦИЕЙ ПОГРЕШНОСТИ 

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ВЫЗВАННОЙ БИЕНИЯМИ КОДИРУЮЩЕЙ ШКАЛЫ 

М. С. Рощупкин, П. Л. Токмак, Г. И. Леонович 211 

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ 

ОБРАБОТКИ ЛОПАТОК ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ 

C УЧЕТОМ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ 

Г. В. Смирнов 217 

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСЛОВНОГО ПРЕДЕЛА 

РЕЛАКСАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ 

В. Д. Юшин, Г. З. Бунова, С. В. Воронин 223 

4

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ 

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 

ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР 

И. С. Ахмедьянов 228 

КИБЕРНЕТИКА И ИНФОРМАТИКА 

ИНФОРМАЦИОННАЯ ПОДДЕРЖКА ЭТАПА ТЕХНИЧЕСКОЙ 

ЭКСПЛУАТАЦИИ В ЖИЗНЕННОМ ЦИКЛЕ ИЗДЕЛИЙ АВИАСТРОЕНИЯ 

Ю. В. Киселев, В. А. Зрелов, М. Е. Проданов, С. К. Бочкарев, Д. Ю. Киселев 236 

АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СПЕЦИФИКАЦИЯ, ВЕРИФИКАЦИЯ И СИНТЕЗ 

УПРАВЛЯЮЩИХ ПРОГРАММ НА ОСНОВЕ ЛОГИЧЕСКОГО 

И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ПОДХОДОВ 

А. А. Тюгашев 247 

ОПТИМИЗАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ 

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЛЕННЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ МЕТОДОВ 

М. А. Федорова 253 

5

CONTENTS 

AVIATION AND ROCKET-SPACE ENGINEERING 

ALGORITHM OF COMPARISON ESTIMATION OF THE RELIABILITY 

OF VARIOUS COMPUTATION COMPLEXES FOR SPACE VEHICLE 

CONTROL SYSTEMS 

V. M. Antimirov, V. N. Atchkasov 9 

THE TASK OF HYPERSONIC AIRCRAFT MOTION OPTIMUM CONTROL AT 

THE ACCELERATION – CLIMB STAGE IN THE ATMOSPHERE 

A. A. Bebyakov 15 

SPACE VEHICLE ATTITUDE CONTROL RECOVERY PROCEDURE 

COMBINING MAGNETOMETRIC AND PADIONAVIGATION MEASUREMENTS 

I. V. Belokonov, A. V. Kramlikh 22 

USING RANDOM SEARCH METHOD FOR THE TASK OF MODAL FORMATION 

OF DYNAMIC PROPERTIES OF THE «CARRIER ROCKET – 

STABILIZATION AUTOMATON» SYSTEM 

I. Ye. Davydov 31 

APPROXIMATE METHODS OF CALCULATING OPTIMAL FLIGHTS 

OF SPACE VEHICLES WITH LOW-THRUST ENGINES. PART I 

V. V. Salmin, V. V. Vasilyev, S. A. Ishkov, V. A. Romanenko, 

V. O. Sokolov, O. L. Starinova, V. V. Yurin 37 

MODELLING THE INTERACTION OF MICROMETEOROID AND TECHNOGENOUS 

PARTICLES WITH A SPACE VEHICLE 

N. D. Syomkin, V. L. Balakin, I. V. Belokonov, K. Ye. Voronov 53 

A SYSTEM OF COMPENSATING ROTARY MICROACCELERATION 

BY A MAGNETIC METHOD 

N. D. Syomkin, V. L. Balakin, K. Ye. Voronov 64 

NON-PARAMETRIC MODELS OF MEASURING SPACE VEHICLE THERMOREGULATION 

SYSTEM UNIT EFFICIENCY INDICATORS 

M. I. Sokolov 81 

DECREASING THE AREA OF FALL OF «SOYUZ» - TYPE CARRIER ROCKET’S USED 

BLOCKS WITH THEIR STRUCTURE DELIBERATELY DIVIDED INTO PARTS 

B. A. Titov, S. A. Rytchkov 90 

INVESTIGATING THE DYNAMICS OF SPACE VEHICLES WITH AN ATTITUDE 

CONTROL SYSTEM ON THE BASIS OF TWO-COMPONENT LIQUID PROPELLANT 

LOW-THRUST ROCKET ENGINES 

B. A. Titov, A. L. Sirant 98 

PRESENTATION OF AIRBORNE EQUIPMENT ON THE BASIS 

OF STANDARD MODULES 

A. N. Tikhonov 106 

OPTIMIZATION OF FLIGHTS BETWEEN NON-COPLANAR CIRCULAR ORBITS 

WITH A TWO-STAGE BOOSTER WITH CHEMICAL AND ELECTROJET ENGINES 

P. V. Fadeyenkov 116 

EXTREMAL REGULATION OF AUTOMATIC SPACE VEHICLE 

SOLAR BATTERY POWER 

Yu. A. Shinyakov 123 

6

TECHNICAL SCIENCES 

DEVELOPING THE BASIC ALGORITHM OF GEOPHYSICAL 

FIELD CORRECTION SUBSYSTEM 

V. M. Antimirov 130 

MATHEMATICAL MODELLING OF SPRAYED PARTICLE MOTION 

DYNAMICS IN PLASMA GAS THERMAL FLOW 

V. A. Barvinok, V. I. Bogdanovich, Ye. A. Ananyeva 138 

MODELLING CHARACTERISTICS OF PRESSURE OSCILLATION 

DAMPERS WITH REGARD FOR DISTRIBUTION OF THEIR PARAMETERS 

S. K. Botchkaryov, G. M. Makaryantz, A. B. Prokofiev, Ye. V. Shakhmatov 148 

ASYMMETRIC ACOUSTIC DAMPERS WITH ACTIVE WAVE RESISTANCE 

A. N. Golovin 156 

EXPERIMENTAL ANALYSIS OF THE INITIAL SPARK IGNITION SITE FOR 

THE TURBULENT FLOW OF ALUMINIUM-AIR MIXTURE 

A. G. Yegorov 162 

MEASURING ULTRASOUND ABSORPTION FACTOR FOR LIQUIDS IN CASE 

OF NON-LINEAR PROPAGATION OF ULTRASONIC WAVES 

V. S. Kononenko, A. V. Shatsky 173 

AUTOMATIC COUNTER OF HYDRAULIC EQUIPMENT LIQUID 

CONTAMINATION PARTICLES WITH DIGITAL SIGNAL PROCESSING 

D. V. Kornilin, I. A. Kudryavtsev, L. M. Logvinov 178 

NUMERICAL-AND-ARALYTICAL METHODS OF DEFORMATION CALCULATION AND 

EVALUATION OF STRUCTURAL MEMBER STRENGTH IN MECHANICAL ENGINEERING 

Ye. P. Kotcherov 182 

ANALYSIS OF GEAR PUMP FLUID SUPPLY IRREGULARITY 

A. N. Krutchkov, L. V. Rodionov, M. S. Gasparov, Ye. V. Shakhmatov 187 

INCREASING THE RELIABILITY OF AIRCRAFT HYDRAULIC SYSTEMS 

THROUGH ARALYSING WORKING FLUID CONTAMINATION PARTICLE PARAMETERS 

L. M. Logvinov, M. A. Kovalyov, I. I. Khablo 196 

INEREASING LIMIT COEFFICIENT OF THIN MATERIAL DRAWING IN A DIE WITH 

AN ELASTIC ELEMENT (HOLDER) 

I. P. Popov, Ye. S. Nesterenko 201 

DEFINING THE POSITIONS OF CARBON DIOXIDE GAS JET SIDE 

BOUNDARIES WITH THE GAS INJECTED INTO THE TRANSVERSE AIR FLOW 

N. M. Rogatchev 207 

MATHEMATICAL MODEL OF AN OPTOELECTRONIC POSITION-TO-DIGITAL 

CONVERTER WITH AUTOCORRECTION OF CONVERSION ERROR 

CAUSED BY CODING SCALE BEATS 

M. S. Roshchupkin, P. L. Tokmak, G. I. Leonovitch 211 

DESIGNING A TECHNOLOGY OF FINAL ELECTROCHEMICAL MACHINING 

OF GAS TURBINE BLADES WITH REGARD FOR TECHNOLOGICAL HEREDITY 

G. V. Smirnov 217 

PROCEDURE FOR DEFINING CONDITIONAL LIMIT OF METAL 

AND ALLOY STRESS RELIEF 

V. D. Yushin, G. Z. Bunova, S. V. Voronin 223 

7

PHYSICS AND MATHEMATICS 

DESIGNING VARIABLE-THICKNESS REVOLUTION SHELLS FOR THE CASE 

OF AXIALLY SYMMETRIC LOADING USING THE QUADRATURE METHOD 

I. S. Akhmedyanov 228 

CYBERNETICS AND INFORMATION SCIENCE 

INFORMATION SUPPORT OF OPERATION STAGE IN THE LIFE CYCLE 

OF AIRCRAFT CONSTRUCTION ITEMS 

Yu. V. Kiselyov, V. A. Zrelov, M. Ye. Prodanov, S. K. Botchkaryov, D. Yu. Kiselyov 236 

COMPUTER-AIDED SPECIFICATION, VERIFICATION AND SYNSHESIS 

OF CONTROL PROGRAMMES ON THE BASIS OF LOGICAL 

AND ALGEBRAIC APPROACHES 

A. A. Tugashev 247 

OPTIMIZATION OF A STOCHASTIC TRACKING SYSTEM USING 

NUMERICAL AND EVOLUTION METHODS 

M. A. Fyodorova 253 

8

Авиационная и ракетно-космическая техника 

УДК 629.78 

АЛГОРИТМ СРАВНИТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ВАРИАНТОВ 

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 

КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 

© 2007 В. М. Антимиров, В. Н. Ачкасов 

Воронежская государственная лесотехническая академия 

Рассмотрен алгоритм и проведена сравнительная оценка двух вариантов вычислительных комплексов 

для бортовых систем управления космических аппаратов. 

В статье приведена сравнительная 

оценка двух вариантов вычислительных комплексов 

(ВК) для бортовых систем управления 

(СУ), включающих пять вычислителей, 

из которых два используются только для решения 

задач по обработке информации подсистемы 

спутниковой навигации (ПСН). Во 

втором варианте предусмотрено включение 

в ВК четырех вычислителей, которые могут 

использоваться для решения всех задач (в том 

числе и спутниковой навигации). 

Первый ВК (рис. 1) состоит из трех параллельно 

соединенных блоков ВМ1, ВМ2, 

ВМ3 и двух блоков ПСН1 и ПСН2. Интенсивность 

отказов блоков одинаковая и равна 

L. Этот ВК отказывает, если отказывают все 

блоки ВМ1-ВМ3 до времени Т (момент завершения 

основной задачи) или если отказывают 

оба блока ПСН1 и ПСН2 до времени 

Т С 

(момента завершения обработки информации 

канала спутниковой навигации). 

Во втором варианте построения ВК он 

отказывает, если отказывают все 4 блока до 

момента времени Т или если отказывают два 

блока, решающие основные вычислительные 

задачи, и один блок спутниковой навигации 

до момента времени Т С 

. 

Сравнительная оценка надежности систем 

проведена с использованием аналитического 

расчета и методов имитационного 

моделирования на интервале работы систем Т. 

Система рассматривается как единое 

целое в интервале работы T. Вычисляется вероятность 

возникновения отказа в любом из 

ее блоков q. Статистически определяется момент 

отказа t о 

и место отказа. В модели формируется 

реакция системы и новые состояния. 

Момент отказа t о 

вычисляется по формуле 

t 

o 

ln 

= − 

( nq + ( 1− 

q) 

) 

L 

с 

, (1) 

где n – равномерно распределенное случайное 

число в интервале от 0 до 1, L c 

– суммар- 

−L ная интенсивность отказов, 

с T 

q = 1 − e . 

Вычисляется новый интервал T = T – t о 

, 

и процесс повторяется. Система обязательно 

переводится в нерабочее состояние. 

ВМ1 

ССН1 

ВМ2 

ССН2 

ВМ3 

Рисунок 1 - Структурная схема надежности системы1 

Рис. 1. Структурная схема определения надежности ВК 

9

Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007 

Общая вероятность отказа в рассматриваемом 

интервале T определяется по выражению 

Q = 

n 

∏q i 

i= 

1 

. (2) 

Составлен алгоритм получения вероятности 

отказа, который приведен на рис. 2 для 

первого варианта ВК. Аналогично строится 

алгоритм для другого ВК. 

1 

2 

3 

4 

L:=0,1 

Qc:=1 

t:=0 

i:=1 

5 

A[i]:=1 

7 

i:=i+1 

6 

i


Переменные: 

L – интенсивность отказов одного блока; 

Q c 

– вероятность отказа ВК на интервале работы 

Т; 

t - время последнего отказа системы; 

A[1..5] – массив флагов отказа блоков (А[1] – 

–ВМ1, А[2] – ВМ2, А[3] – ВМ3, А[4] – ПСН1, 

А[5] – ПСН2), 1 - блок исправен, 0 - блок отказал; 

q - вероятность возникновения отказа в любом 

из блоков; 

L c 

– суммарная интенсивность отказов; 

n – равномерно распределенное случайное 

число в интервале от 0 до 1; 

m – количество исправных блоков; 

Ni – номер отказавшего блока (из исправных). 

Операторы 1-7 выполняют начальную 

инициализацию переменных. 

Операторы 8-12 вычисляют момент отказа 

следующего блока. Оператор 8 вычисляет 

суммарную интенсивность отказов L c 

, 

исходя из количества исправных блоков на 

данный момент. Оператор 9 вычисляет вероятность 

возникновения отказа в любом из 

блоков q. Оператор 10 вычисляет промежуточное 

значение вероятности отказа системы 

Q c 

на интервале работы. Оператор 11 вызывает 

подпрограмму для получения случайного 

числа n. Оператор 12 вычисляет момент 

следующего отказа системы t. 

Операторы 13-30 определяют, какой 

блок отказал. Для определения отказа конкретного 

блока интервал от 0 до 1 делим на 

одинаковые отрезки по числу исправных блоков. 

Каждому блоку ставим в соответствие 

свой отрезок. Получаем случайное число и в 

зависимости от того, в какой отрезок попало 

это число, соответствующий блок считаем 

отказавшим. 

Операторы 13-21 определяют номер 

отказавшего блока среди исправных. Оператор 

13 вычисляет количество исправных блоков 

m. Оператор 14 вызывает подпрограмму 

для получения случайного числа n. Оператор 

15 выполняет установку начального значения 

счетчика отрезков i. Операторы 18, 20 выполняют 

последовательный переход от отрезка 

к отрезку. Операторы 16, 17 проверяют попадание 

числа n в текущий отрезок. При выполнении 

условий этих двух операторов номеру 

отказавшего блока Ni присваивается 

номер текущего отрезка (оператор 21). После 

проверки всех отрезков отказавшим считается 

последний блок (оператор 19). 

Операторы 22-30 осуществляют установку 

флага отказа у отказавшего блока. Операторы 

22, 23 выполняют установку начальных 

значений счетчиков: i – счетчик блоков, 

j – счетчик исправных блоков. Операторы 27, 

28 выполняют последовательный переход к 

следующему блоку. Оператор 24 проверяет, 

исправен ли текущий блок: если нет, то осуществляется 

переход к следующему блоку, 

если да, то увеличивается на 1 счетчик исправных 

блоков j (оператор 25) и проверяется, 

равен ли счетчик исправных блоков номеру 

отказавшего блока Ni (оператор 26). 

Если нет, то осуществляется переход к следующему 

блоку, если да, то устанавливается 

флаг отказа для соответствующего блока в 

массиве флагов отказов (оператор 30). После 

проверки всех блоков устанавливается флаг 

отказа для последнего блока в массиве флагов 

отказов (оператор 29). 

Операторы 31-39 проверяют условие 

отказа системы. Оператор 31 проверяет, окончила 

ли работу ПСН до момента отказа (t >Tc). 

Если t ≤ Tc , то проверяется условие отказа 

второй части системы (операторы 32, 33 проверяют 

наличие флагов отказа у двух блоков 

ПСН). При отказе 2 блоков моделирование 

оканчивается и вычисляется вероятность отказа 

системы Q c 

и время отказа системы t 

(оператор 39). Если исправен хотя бы один 

блок ПСН, то проверяется условие отказа 

первой части системы. Если t >Tc, то блоки 

ПСН больше не рассматриваются (им присваиваются 

флаги отказа операторами 34, 35). 

Затем проверяется условие отказа первой части 

системы (операторы 36-38). Проверяется 

наличие флагов отказа у трех блоков ВМ. 

Если хотя бы один исправен, то осуществляется 

переход к следующему шагу моделирования 

(переход к оператору 8). Если все имеют 

флаги отказа, то моделирование оканчивается 

и вычисляется вероятность отказа системы 

Q c 

и время отказа системы t (оператор 

39). 

Определение статистического значения 

математического ожидания m x 

* и среднеквад- 

11


ратического отклонения σ x 

* осуществляется 

по формулам 

m 

* 

x 

= 

N 

∑ 

i= 

1 

N 

x 

i 

; σ 

* 

x 

= 

N 

∑ 

i= 

1 

N 

x 

2 

i 

− ( m 

* 

x 

) 

2 

, 

(3) 

где N – количество экспериментов, x i 

– результат 

i-того эксперимента. 

Структурная схема для определения 

надежности ВК с пятью ВМ представлена на 

рисунке 1. 

Время возникновения отказов каждого 

блока подчиняется экспоненциальному закону 

распределения. Вероятность безотказной 

работы P(t): 

P( t ) 

−λt 

= e , 

(4) 

где λ – интенсивность отказов. 

Вероятность отказа Q(t): 

−λt 

Q( 

t) 

= 1− 

P( 

t) 

= 1− 

e . 

(5) 

При параллельном соединении элементов 

система отказывает при отказе всех элементов: 

Q 

c 

( t) 

= ∏Qi 

( t). 

(6) 

i 

При последовательном соединении система 

отказывает при отказе одного элемента: 

P 

c 

( t) 

= ∏ Pi 

( t). 

(7) 

i 

Вероятность отказа первой части системы 

Q 1 

(t) и вероятность безотказной работы 

P 1 

(t): 

3 

−λt 3 

Q ( t ) = Q( t ) = ( − e ) , 

(8) 

1 

1 

3 

−λt 

3 

P ( t) 

= 1−Q 

( t) 

= 1−Q( 

t) 

= 1−(1 

−e 

) . (9) 

1 

1 

Вероятность отказа второй части системы 

Q 2 

(t) и вероятность безотказной работы 

P 2 

(t): 

2 

−λt 

2 

Q ( t) 

= Q( 

t) 

= (1 −e 

) ; 

(10) 

2 

2 

−λt 

2 

P ( t) 

= 1−Q 

( t) 

= 1−Q( 

t) 

= 1− 

(1 − e ) . (11) 

2 

2 

Вероятность безотказной работы всей 

системы P c 

(t) и вероятность отказа Q c 

(t): 

P ( t ) = P( t )* P ( t ) = ( 1− 

Q ( t ))* ( 1− 

Q ( t )) = 

c 

1 

3 

2 

= ( 1− 

Q( t ) )* ( 1− 

Q( t ) ) = 

= ( 1− 

( 1− 

e 

= 1−( 

1−( 

1− 

e 

2 

3 

) )* ( 1− 

( 1− 

e 

−λt 

−λt 

Q ( t ) = 1− 

P ( t ) = 1− 

P( t )* P ( t ) = 

c 

c 

3 

) )*( 1−( 

1− 

e 

) 

1 

). 

) 

2 

); 

2 

(12) 

3 

2 

= 1−( 

1−Q ( t ))*( 1−Q ( t )) = 1−( 

1−Q( t ) )*( 1−Q( t ) ) = 

1 

1 

2 

−λt 

−λt 

2 

2 

(13) 

Так как время работы первой части Т, а 

второй - Т C 

, то получаем 

Q ( t ) = 1− 

( 1− 

( 1− 

e 

c 

3 

) )*( 1− 

( 1− 

e 

−λT 

−λT 

С 

) 

2 

). 

(14) 

Результаты расчетов приведены в таблице 

1. 

Для системы с четырьмя ВМ время возникновения 

отказов каждого блока подчиняется 

экспоненциальному закону распределения. 

Вероятность безотказной работы P(t): 

P( t ) 

−λt 

= e , 

(15) 

где λ – интенсивность отказов. 

Таблица 1 

Т с L=0,1 L=0,09 L=0,08 L=0,07 L=0,06 L=0,05 L=0,04 L=0,03 L=0,02 L=0,01 

0,9 0,00826 0,00669 0,00528 0,00404 0,00296 0,00205 0,00131 0,00074 0,00033 8E-05 

0,8 0,00677 0,00546 0,00430 0,00327 0,00239 0,00165 0,00105 0,00059 0,00026 6E-05 

0,7 0,00543 0,00436 0,00342 0,00259 0,00189 0,00130 0,00082 0,00046 0,00020 5E-05 

0,6 0,00425 0,00340 0,00265 0,00200 0,00145 0,00099 0,00062 0,00034 0,00015 4E-05 

0,5 0,00324 0,00257 0,00199 0,00149 0,00107 0,00073 0,00045 0,00025 0,00011 3E-05 

12


Q( t ) 

Вероятность отказа Q(t): 

−λt 

= 1 − P( t ) = 1− 

e . 

(16) 

Вероятность безотказной работы системы 

равна 

4 

3 

2 2 

( T ) = ( P ( T ) + 4P 

( T )Q( T ) + 6P 

( T )Q ( T ) + 

P c 2 

2 2 

2 2 

3 4 

3 

2 

+ 4 (T )Q (T ))P (T ) + ( P (T ) + P (T )Q(T ) + 

P 

2 2 C 2 

3 

2 2 

2 

3 

2 

+ 3P( 

T )Q ( T ))( P ( T )Q( T )) + ( P ( T ) + 

2 2 

4 

C C 

2 

2 2 

+ 2P( T )Q(T ))( P ( T )Q ( T )). (17) 

2 2 

5 

Вероятность отказа Q c 

(t): 

Q ( t ) = 1 − P ( t ). 

(18) 

c 

c 

Результаты расчетов приведены в таблице 

2. 

Результаты имитационного моделирования 

для L = 0,1, L = 0,05 и L = 0,02 и 1000000 

циклов представлены на рис. 3-5. 

C 

C 


Т с L=0,1 L=0,09 L=0,08 L=0,07 L=0,06 L=0,05 L=0,04 L=0,03 L=0,02 L=0,01 

0,9 0,00858 0,00692 0,00545 0,00416 0,00304 0,00210 0,00134 0,00075 0,00033 8E-05 

0,8 0,00676 0,00546 0,00430 0,00328 0,00239 0,00165 0,00105 0,00059 0,00026 6E-05 

0,7 0,00518 0,00417 0,00328 0,00250 0,00183 0,00126 0,00080 0,00045 0,00020 5E-05 

0,6 0,00381 0,00307 0,00241 0,00184 0,00134 0,00093 0,00059 0,00033 0,00015 4E-05 

0,5 0,00267 0,00214 0,00168 0,00128 0,00093 0,00064 0,00041 0,00023 0,00010 3E-05 

Qc2/Qc1 

1,2 

1,1 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

Qс 

0,009 

0,008 

0,007 

0,006 

0,005 

0,004 

0,003 

0,002 

0,001 

Qñ2/Qñ1 

Ñèñòåì à 2 


0,3 

0,5 

0,6 

0,7 

0,8 

0 

0,9 

Тс 

Рис. 3. Вероятность отказа ВК при L=0,1 

Qc1/Qc2 

1,04 

Qс 

0,0025 

1 

0,002 

0,96 

0,92 

0,0015 

0,001 

Qñ2/Qñ1 



0,88 

0,0005 

0,84 

0,5 

0 

Тс 

0,6 

0,7 

0,8 

0,9 


13


Qc2/Qc1 

1,02 

1 

0,98 

0,96 

0,94 

0,92 

0,9 

Qс 

0,00035 

0,0003 

0,00025 

0,0002 

0,00015 

0,0001 

0,00005 

Qñ2/Qñ1 



0,88 

0,5 

0,6 

0,7 

0,8 

0 

0,9 

Тс 


По результатам проведенных исследований 

можно сделать следующие выводы. 

При окончании работы ПСН в пределах 

0,7-0,9 от общего времени работы ВК 

вероятность отказа всего ВК примерно одинакова 

для обоих вариантов ВК. При уменьшении 

времени окончания работы ПСН менее 

0,7 от общего времени работы вероятность 

отказа варианта ВК с четырьмя ВМ 

становится меньше. 

Соотношение вероятностей отказа ВК 

не зависит от интенсивности отказа блоков. 

С точки зрения надежности использование 

варианта с пятью вычислительными 

модулями преимуществ не имеет. 

Если учесть длительный этап хранения 

и снятия ВК для ремонта в случае возникновения 

отказа резервных модулей, то вариант 

ВК с пятью вычислительными модулями существенно 

проигрывает, так как суммарная 

интенсивность отказов вычислителей на хранении 

по сравнению с четырехмодульным 

вариантом возрастает на 25 %. 

Необходимо учесть, что исключение 

пятого вычислителя сокращает объемно-массовые 

характеристики, энергопотребление и 

тепловыделение. При этом существенно сокращается 

стоимость аппаратуры и трудоемкость 

изготовления. 

ALGORITHM OF COMPARISON ESTIMATION OF THE RELIABILITY 

OF VARIOUS COMPUTATION COMPLEXES FOR SPACE VEHICLE 

CONTROL SYSTEMS 

© 2007 V. M. Antimirov, V. N. Atchkasov 

Voronezh State Forestry Technological Academy 

The paper presents an algorithm and a comparison estimation of two variants of computation complexes for 

space vehicle airborne control systems. 

14


УДК 629.78 

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ 

ГИПЕРЗВУКОВОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА НА ЭТАПЕ 

РАЗГОНА-НАБОРА ВЫСОТЫ В АТМОСФЕРЕ 

© 2007 А. А. Бебяков 

Самарский государственный аэрокосмический университет 

Методом принципа максимума решается задача оптимального управления движением центра масс гиперзвукового 

летательного аппарата (ГЛА) из условия минимума расхода топлива. 

Постановка задачи оптимизаци 

Постановка рассматривается в форме 

вариационной задачи Майера [1]. За критерий 

оптимизации принято количество израсходованного 

топлива m 

Т 

на активном участке 

полета, выражаемое функционалом 

m 

Т 

= m t ) − m( 

t ), 

(1) 

( 

к н 

где m - масса ГЛА; t , t - моменты времени 

н 

начала и окончания движения, соответственно. 

Движение ГЛА моделируется как невозмущенное 

движение материальной точки 

в вертикальной плоскости с постоянным и 

максимальным расходом топлива. 

Система дифференциальных уравнений, 

описывающих движение центра масс, 

имеет вид 

m& 

= −β 

, 

( h,M ) 

I 

V& 

уд 

β 

= cosα 

− Cxa 

m 

I ( h,M ) β 

θ& 

1 ⎛ уд 

= ⎜ sinα 

+ C 

V ⎝ m 

V cosθ 

+ , 

R + h 

h& 

= V sinθ 

, 

к 

( α,M 

) 

ya 

( ) 

ρ h V 

2m 

( α,M 

) 

2 

( ) 

ρ h V 

2m 

S − g sinθ 

, 

2 

⎞ 

S − g cosθ 

⎟ + 

⎠ 

(2) 

где V - скорость, θ - угол наклона траектории, 

h - высота полета, α - угол атаки, β - 

расход топлива, M - число Маха, ρ - плотность 

атмосферы, S - характерная площадь, 

g - ускорение свободного падения, R - радиус 

Земли, I 

уд - удельный импульс, C 

xa, 

Cya 

- коэффициенты силы лобового сопротивления 

и аэродинамической подъемной силы, 

соответственно. 

Граничные условия движения записываются 

в виде 

t = t 

н 

t = t 

где 

к 

: 

: 

V = M 

н 

н 

V = M 

к 

к 

⋅ a 

⋅ a 

н 

( hн 

), 

θ = θн, 

h = hн 

, 

( h ), 

θ = θ , h = h , 

к 

к 

н 

к 

к 

н 

к 

m = m ; 

н 

(3) 

M , M , θ , θ , h , h , m - заданные числа, 

a - скорость звука. 

В качестве функции управления принята 

зависимость угла атаки от времени с ограничениями 

вида 

α 

( ) ≤ . 

≤ α t (4) 

min 

α max 

Физическая постановка: требуется 

определить управление углом атаки, обеспечивающее 

минимальные затраты топлива при 

движении ГЛА на этапе разгона-набора высоты. 

Математическая постановка: требуется 

определить программу управления α ( t) 

с ограничениями (4) для системы уравнений 

(2) с граничными условиями (3), доставляющую 

минимум функционалу (1). 

Постановка краевой задачи 

Для решения поставленной задачи применяется 

принцип максимума Понтрягина. 

Функция Гамильтона H для системы 

(2) имеет вид 

15


2 

⎡Iудβ 

ρV 

⎤ 

H = ψV 

⎢ cosα 

−Cxa 

S −gsinθ 

m 

m 

⎥ + 

⎣ 

2 ⎦ 

2 

2 

ψ I 

удβ 

θ 

⎡ 

ρV 

V cosθ 

⎤ 

+ sinα 

Cya 

S gcosθ 

+ 

V 

⎢ + − 

m m 

R+ 

h 

⎥ + 

⎣ 

2 

⎦ 

+ ψ V sinθ 

−ψ 

β, 

где 

h 

V 

m 

h 

m 

ψ , ψ 

θ 

, ψ , ψ - сопряженные переменные, 

соответствующие фазовым координатам 

системы (2). 

Согласно принципу максимума, необходимыми 

условиями минимума функционала 

(1) являются: 

- условие максимума функции H по заданному 

управлению на заданном промежутке 

времени 

H( x , ψ, 

α ) = max H , t ∈ [ t , ], (5) 

α∈Α 

где = { V , θ ,h,m} 

н 

t к 

x - вектор фазовых координат 

или вектор состояния ГЛА; 

{ ψ , ψ , ψ ψ } 

V θ h 

, 

m 

ψ = 

- вектор сопряженных переменных; 

A - область определения управления, 

задаваемая (4); 

- условие трансверсальности в начальный 

и конечный моменты времени 

к 

[ δx − δm − Hδt] = 0 

ψ . (6) 

н 

Система дифференциальных уравнений 

для сопряженных переменных имеет вид 

⎡∂Iуд 

β ⎛ ∂Cxa 

V 

ψ& 

V 

= −ψ 

V ⎢ cosα 

− ⎜ + 2C 

⎣∂M 

ma ⎝ ∂M 

a 

⎛ I 

удa 

∂Iуд 

⎞ β 

+ ψθ 

⎜ − ⎟ sinα 

− 

⎝ V ∂M 

⎠Vma 

⎞ ρV 

⎤ 

⎟ S 

m 

⎥ 

⎠ 2 

+ 

⎦ 

⎡⎛ 

∂C 

ya V ⎞ ρS 

cosθ 

⎤ 

−ψθ 

⎢⎜ 

+ Cya 

⎟ + ⎥ −ψ 

h 

sinθ; 

⎣⎝ 

∂M 

a ⎠ 2m 

R + h⎦ 

⎛ V g ⎞ 

ψ& 

θ 

= ψV 

g cosθ 

+ ψθ 

⎜ − ⎟ sinθ 

−ψ 

hV cosθ 

; 

⎝ R + h V ⎠ 

2 

⎡⎛ 

∂I 

уд 

∂I 

уд ∂a 

V ⎞ β ⎛ ∂Cxa 

∂a 

V ∂ρ 

⎞V 

S ⎤ 

ψ& 

h 

= −ψ 

V ⎢⎜ 

− ⎟ cosα 

+ ⎜ ρ − Cxa 

⎟ ⎥ − 

2 

2 

⎣⎝ 

∂h 

∂M 

∂h 

a ⎠ m ⎝ ∂M 

∂h 

a ∂h 

⎠ 2m 

⎦ 

⎡⎛ 

∂Iуд 

∂I 

уд ∂a 

V ⎞ β ⎛ ∂Cya 

∂a 

V ∂ρ 

⎞ VS V cosθ 

⎤ 

−ψθ 

⎢⎜ 

− ⎟ sinα 

− ⎜ ρ − Cya 

⎟ − ⎥; 

2 

2 

2 

⎣⎝ 

∂h 

∂M 

∂h 

a ⎠Vm 

⎝ ∂h 

∂h 

a ∂h 

⎠ 2m 

( R + h) 

⎦ 

ψV 

⎛ 

ψ& 

m 

= ⎜ I 

удβ 

cosα 

− C 

2 

xa 

m ⎝ 

xa 

2 

ρV 

⎞ ψθ 

⎛ 

S⎟ + ⎜ I 

удβ 

sinα 

+ C 

2 

ya 

2 ⎠ m V ⎝ 

2 

ρV 

⎞ 

S⎟. 

2 ⎠ 

(7) 

Условие трансверсальности (6) в начальный 

момент времени выполняется автоматически, 

так как начальные значения фазовых 

координат и момент времени t n 

заданы. 

Для конечного момента времени t к 

из (6) 

с учетом (3) определяются: 

граничное условие для системы (7) 

ψ 

mк 

= 1, 

(8) 

а также значение функции Гамильтона в конце 

траектории 

H к 

= 0. 

(9) 

Область определения управления по 

каналу угла атаки 

0 

0 

− 2 ≤ α ≤ 10 . 

В этом случае (вследствие малых углов 

атаки) при расчетах используются приближения 

2 

sinα 

≈ α , cosα 

≈ 1−α 

2. 

(10) 

Необходимое условие экстремума функции 

Н по управлению α с учетом (9) имеет 

вид 

∂H 

= −ψ 

∂α 

V 

ψ ⎡ Iудβ 

θ 

+ 

V 

⎢ 

⎣ m 

⎡ Iудβ 

∂C 

⎢ α + 

⎣ m ∂α 

∂C 

+ 

∂α 

ya 

xa 

2 

ρV 

⎤ 

S + 

2m 

⎥ 

⎦ 

2 

ρV 

⎤ 

S = 0. 

2m 

⎥ 

⎦ 

(11) 

Аналитические зависимости аэродинамических 

коэффициентов от угла атаки записываются 

в виде 

C 

C 

xa 

ya 

( α ,M ) = Cxa0( M ) + Cxa1( M ) α + Cxa2( M ) 

( α ,M ) = C ( M ) + C ( M ) α. 

ya0 

ya1 

Тогда с учетом (12) из (11) имеем 

2 

[ 2I 

удβmax 

+ C 

ya1ρV 

S] 

−ψVCxa1 

2 

2ψ 

V [ I β + C ρV 

S] 

V 

уд 

max 

xa2 

α 

2 

; 

(12) 

3 

ψ 

θ 

ρV 

S 

α = . 

(13) 

16


Программа управления углом атаки (13) 

является оптимальной только в случае, когда 

соответствующее значение функции управления 

доставляет максимум функции H. Достаточное 

условие максимума H по управлению 


2 

∂ H 

2 

∂α 

= −ψ 

V 

2 

( I β + C ρV 

S) < 0 

уд 

xa2 

. (14) 

Так как коэффициент C 

xa2 

положителен, 

как старший коэффициент параболы, 

описывающей зависимость коэффициента 

лобового сопротивления C 

xa 

от угла атаки, 

то выражение в скобках в (14) всегда положительно. 

Поэтому достаточное условие принимает 

вид 

ψ > 0 . (15) 

V 

Система уравнений (2), описывающих 

движение, вместе с сопряженной системой 

(7) образуют совокупную систему уравнений. 

Пусть угол атаки в совокупной системе 

определяется согласно (13). Тогда система 

становится замкнутой относительно векторов 

x и ψ и вместе с граничными условиями (3), 

(8) приводит к краевой задаче для системы 

нелинейных дифференциальных уравнений 

первой степени. 

Таким образом, рассматриваемая задача 

оптимального управления сводится к следующей 

четырехпараметрической краевой 

задаче: требуется найти решение совокупной 

системы уравнений (2), (7), замкнутой соотношением 

(13), которое удовлетворяет граничным 

условиям (3), (8). 

Параметрами краевой задачи являются 

значения сопряженных переменных в начальный 

момент времени: ψ , ψθ , ψ ψ . 

Vн н hн 

, 

Определение начальных приближений 

сопряженных переменных 

Так как в любой точке временного отрезка, 

на котором функция H достигает максимума, 

существует первый интеграл совокупной 

системы H = const, то для начального 

момента времени, согласно (9), можно получить 

следующее выражение: 

mн 

ψ 

hн 

ψ 

= − 

Vн 

V & н 

+ ψ & + θнθн 

ψ 

h& 

mн 

m& 

н 

. (16) 

Предположим, что в начальный момент 

времени известно значение оптимального 

угла атаки. Тогда функция H достигает своего 

максимального значения и выполняется необходимое 

условие экстремума. Используя 

(13), получим 

2 

[ 2I 

βα + ( C + 2C 

α ) ρV 

S] 

уд н xa1 

xa2 

н н 

ψ θ н 

= ψVн 

2 . (17) 

2I 

β + C ρV 

S 

уд 

ya1 

Таким образом, неизвестными остаются 

три параметра: α 

н 

, ψ 

mн 

, ψVн 

. Значения параметра 

α 

н 

выбираются из области определения 

управления. 

Для определения отрезка числовой оси, 

в котором находится значение ψ 

mн 

, примем 

следующее допущение: масса топлива, затрачиваемого 

на рассматриваемом участке, 

при движении по произвольной траектории 

составляет 10 % от стартовой массы ГЛА. 

Следовательно, для определения параметра 

ψ 

mн 

можно воспользоваться линейным 

приближением решения соответствующего 

дифференциального уравнения сопряженной 

системы (7): 

ψ 

mн 

mк 

m 

( t − t ) 

= ψ − ψ& . (18) 

к 

н 

Применяя приближенную формулу для 

коэффициента лобового сопротивления 

C = C + AC , можно показать, что 

xa 

2 

xa0 ya 

ψθ ≈ ψVVα 

. (19) 

Поэтому из последнего уравнения сопряженной 

системы с учетом (18), (19) и граничного 

условия в конечный момент времени: 

ψ 

mк 

= 1 в качестве начального приближения 

ψ 

m 

принимается 

ψ 

mн 

= 1− 

sign V 

≈ 1− 

0. 

01⋅ 

n ⋅ 

( & 

н 

) mТ 

mн 

≈ 

sign( V& 

) ⋅ m m . 

н 

н 

н 

н 

17


Поскольку в начальный момент времени 

ГЛА должен разгоняться ( V & > 0), то отсюда 

следует, что параметр краевой задачи 

mн ∈ 

[ 0 . 9, 

1] 

ψ . 

Для определения параметра ψ 

Vн 

используется 

первый интеграл совокупной системы 

вида 

( ,L) const, 

H = (20) 

∂H 

где L= ⋅m; 

(,) 

- скобки Пуассона. 

∂ α 

Подстановка в (20) соотношения (17) 

после преобразований дает 

⎡df 

⎢ 

⎢⎣ 

1 

( x, 

α) df ( x, 

α) 

dt 

+ 

2 

dt 

2I 

уд 

2I 

βα + 

уд 

β + 

∂Cxa 

∂α 

∂C 

ya 

∂α 

н 

2 

ρV 

S ⎤ 

V ⎥ψ 

2 

ρV 

S ⎥⎦ 

⎡ 

x ⎢ уд 

, 

⎣ ∂α 

2 

2 

∂Cxa 

ρV 

⎤ 

где f ( , α) = I βα + S⎥ ⎦ 

f 

1 

⎡ ∂Cya 1 

x ⎢ 

. 

⎣ ∂α 

2 V 

2 

ρV 

⎤ 

2( , α ) = − Iудβ 

+ S⎥ ⎦ 

Пусть сопряженная переменная 

V 

= const, 

(21) 

ψ 

V 

в 

момент времени t 

j 

определяется по методу 

Эйлера: 

ψ = ψ + ψ& ∆t 

, (22) 

Vj 

где 

j 

Vн 

j 

Vн 

∆ t = t − t . 

⎡df1 

F = ⎢ 

⎢⎣ 

dt 

н 

Введем обозначение 

( x, 

α) df ( x, 

α) 

+ 

j 

2 

dt 

2I 

уд 

2I 

βα + 

уд 

β + 

∂Cxa 

∂α 

∂C 

ya 

∂α 

2 

ρV 

S ⎤ 

V ⎥ 

2 . 

ρV 

S ⎥⎦ 

(23) 

Тогда, согласно (21) и (22), параметр ψ 

Vн 

определяется 

как 

F 

ψ & ∆t 

. (24) 

j 

Vн 

= ψVн 

Fн 

− Fj 

j 

С учетом уравнения сопряженной системы 

для ψ& 

V 

(24) запишется в виде 

ψ 

β 

F ∆t 

mн 

j j 

ψ 

Vн 

= − 

, (25) 

Vн 

F н 

− F j 

( 1+ 

G н 

∆t 

j 

) 

где 

⎡∂I 

уд β ⎛ ∂Cxa 

G = −⎢ 

cosα 

− ⎜ 

⎣ ∂M 

ma ⎝ ∂M 

⎧⎛ 

I 

удa 

∂I 

уд ⎞ β 

+ ⎨⎜ 

− ⎟ sinα 

− 

⎩⎝ 

V ∂M 

⎠Vma 

⎡⎛ 

∂C 

− ⎢⎜ 

⎣⎝ 

∂M 

ya 

V 

a 

+ C 

ya 

⎡ 2I 

уд 

+ 

+ ⎢V& 

βα 

+ θ& 

⎢⎣ 

2I 

удβ 

+ 

V 

a 

⎞ ρS 

cosθ 

⎤⎪⎫ 

2I 

удβα 

+ 

⎟ + ⎥⎬ 

⎠ 2m 

R + h⎦⎪⎭ 

2I 

удβ 

+ 

∂Cxa 

∂α 

∂C 

ya 

∂α 

2 

ρV 

S ⎤ 1 

. 

2 

⎥ 

ρV 

S ⎥⎦ 

V 

+ 2C 

xa 

⎞ ρV 

⎤ 

⎟ S 

2m 

⎥ 

⎠ ⎦ 

+ 

∂Cxa 

∂α 

∂C 

ya 

∂α 

2 

ρV 

S 

+ 

2 

ρV 

S 

Расчет по формуле (25) проводится следующим 

образом: 

- при t = t н 

задаются значения вектора 

состояния x из граничных условий движения 

ГЛА, начальное приближение угла атаки 

α 

н 

из области ограничений на управление и 

начальное значение сопряженной координаты 

ψ 

m 

; 

- из решения задачи Коши для системы, 

описывающей движение ГЛА, определяется 

значение вектора x в момент времени 

t = t + 1 н 

h , где h - шаг интегрирования; 

- задается значение производной угла 

атаки в начальный момент времени α& 

н 

; 

- определяется значение угла атаки 

α в момент времени t по формуле 

1 

α 

= α + α& 

⋅h 

1 н н ; 

- методом секущих определяется значение 

сопряженной переменной ψ 

V в момент 

времени t = t : н 

1) величины x 

н 

, x , 

1 

α 

н 

, α , 

1 

ψ 

mн 

под- 

ставляются в формулу (25), причем j = 1, 

∆ t j 

= h ; 

18


2) по (16) и (17) определяются сопряженные 

переменные ψ 

hн 

, ψ 

θн 

, и на отрезке 

времени t [ t ] 

∈ 

н 

,t 1 

решается задача Коши для 

совокупной системы; 

3) из решения определяется оптимальный 

угол атаки в момент времени t - 1 

α , 

1 

удовлетворяющий условию максимума фун- 

k 

кции H, α 

1 

= α1 

; 

4) определяется значение производной 

угла атаки в начальный момент времени по 

& ; 

k k 

формуле: α ( α −α 

) h 

н 

= 1 

н 

5) проверяется условие окончания итерационного 

процесса 

k 

α& −α& 

≤ ε , (26) 

н 

н 

где ε - малая положительная константа; 

6) если (26) не выполняется, то по формуле 

секущих определяется значение угла 

k+ 1 

1 

атаки α 

1 , α 

1 

= α 

k+ 

1 

, k=k+1, и процесс повторяется 

с пункта 1. 

В результате параметрами краевой задачи 

являются значения угла атаки α , производной 

угла атаки по времени α& и сопряженной 

переменной ψ 

m 

в начальный момент 

времени, лежащие в отрезках числовой оси: 

⎧α 

min 

≤ α 

⎪ 

⎨α& 

min 

≤ α& 

⎪ 

⎩0. 

9 ≤ψ 

н 

н 

mн 

≤ α 

≤ α& 

≤ 1. 

max 

max 

, 

, 

Границы α& 

min 

и α& 

max 

определяются 

аэродинамическими характеристиками ГЛА. 

Расчет оптимальных траекторий 

и программы управления 

В качестве объекта управления рассматривается 

ГЛА со стартовой массой 300000 кг, 

выполненный по схеме «бесхвостка» с крылом 

двойной стреловидности [2] с ракетнотурбинным 

пароводородным двигателем 

(РТДп) и стартовой тяговооруженностью 

µ 

0 

= 1 [3]. 

Рис. 1. Скриншот результатов работы программы ОПТРАНАВТ при выборе начальных 

приближений краевой задачи в интерактивном режиме 

19


Рис. 2. Скриншот результатов работы программы ОПТРАНАВТ при реализации метода Ньютона 

Рис. 3. Скриншот результатов работы программы ОПТРАНАВТ при расчете оптимальных 

траекторий и программы управления ГЛА 

20


В начальный момент времени принимается 

положение ГЛА на типовой траектории 

[2] со следующими граничными условиями 

(3) для t = t : н 

M 

н 

= 2, θ 

н 

= 15 град, h 

н 

= 

= 11000 м, m 

н 

= 290000 кг. 

В конечный момент времени граничные 

условия движения задаются на границе гиперзвукового 

участка для 

t = t : 

к 

M = 5, 

к 

θ = 

к 

= 0, h 

к = 30000 м. 

Для расчета оптимальных траекторий 

и программ управления углом атаки реализована 

программа «Оптимальный разгон-набор 

высоты» (ОПТРАНАВТ) средствами среды 

программирования Borland C++ Builder 

6.0. На рис. 1-3 в качестве примера приведены 

начальные приближения краевой задачи, 

выбираемые в интерактивном режиме, решение 

краевой задачи методом Ньютона и результаты 

расчетов. 

Список литературы 

1. Летов А. М. Динамика полета и управление. 

- М.: Наука, 1969. 

2. Нечаев Ю. Н. Силовые установки гиперзвуковых 

и воздушно – космических летательных 

аппаратов. - М.: Издание Академии 

Космонавтики им. К. Э. Циолковского, 

1996. 

3. Нечаев Ю. Н., Полев А. С., Никулин 

А. В. Моделирование условий работы пароводородного 

РТД в составе силовой установки 

гиперзвукового летательного аппарата 

/ Вестник академии космонавтики: направление 

фундаментальных и прикладных проблем 

космонавтики, - материалы научных 

докладов на заседаниях направления в 1996- 

1997 гг. - М.: Издание Академии Космонавтики 

им. К. Э. Циолковского, 1998. - С. 159- 

191. 

THE TASK OF HYPERSONIC AIRCRAFT MOTION OPTIMUM CONTROL AT 

THE ACCELERATION – CLIMB STAGE IN THE ATMOSPHERE 

© 2007 A. A. Bebyakov 

Samara State Aerospace University 

The task of optimum control of the hypersonic aircraft centre of mass on the condition of minimum fuel 

consumption is dealt with using the maximal principle method. 

21


УДК 629.78 

МЕТОДИКА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО 

АППАРАТА ПРИ КОМПЛЕКСИРОВАНИИ МАГНИТОМЕТРИЧЕСКИХ И 

РАДИОНАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 

© 2007 И. В. Белоконов, А. В. Крамлих 


Рассматривается методика восстановления ориентации космического аппарата при комплексировании 

магнитометрических и радионавигационных измерений. Эффективность методики подтверждена на модельной 

задаче. 

Введение 

Методы решения задачи определения 

ориентации космических аппаратов (КА) по 

магнитометрическим измерениям изложены 

в работах [1-4]. Основным недостатком этих 

методов является использование модели движения 

КА, что, в свою очередь, затрудняет 

использование этих методов для определения 

ориентации в темпе поступления информации. 

В работах [5-8] описаны методы, базирующиеся 

на согласовании векторов в двух 

системах координат (СК), при этом минимальное 

количество векторов равно двум [7]. 

В качестве системы векторов наиболее часто 

используются векторы напряженности магнитного 

поля Земли (МПЗ), направления на 

звезды и Солнце [6, 8]. Компоненты этих векторов, 

заданные в удобной для КА системе 

координат (например, в орбитальной СК), 

определяются, исходя из имеющейся априорной 

информации. В частности, вектор напряженности 

МПЗ отыскивается с использованием 

модели МПЗ, а векторы направлений 

на звезды и Солнце находятся по каталогам 

и данным об эфемеридах. Компоненты векторов 

в связанной с КА системе координат 

измеряются с помощью трехкомпонентного 

магнитометра и специальной аппаратуры, 

определяющей направления на звезды и Солнце. 

При определении ориентации КА на 

основе согласования векторов в двух СК необходимо 

знание орбиты движения КА, что 

требует наличия на нем навигационного приемника 

(НП) или радиоконтроля орбиты. 

В работе предлагается методика определения 

ориентации и динамики движения 

КА с использованием минимального состава 

измерительной аппаратуры, в качестве которой 

используется многоканальный НП, 

принимающий сигналы от спутниковых радионавигационных 

систем (СРНС) ГЛО- 

НАСС и GPS, и магнитометр. 

Постановка задачи определения 

ориентации КА 

При постановке и решении задачи определения 

ориентации КА использованы правые 

ортогональные СК с центром, расположенным 

в центре масс: 

- связанная СК (ССК) OX 

1Y1 

Z (ось 

1 

OX – продольная ось); 

1 

- орбитальная СК (ОСК) OX 

2Y2 

Z (ось 

2 

OZ направлена по радиусу-вектору КА, ось 

2 

OY направлена по вектору кинетического 

2 

момента орбитального движения КА, ось 

OX дополняет систему до правой). 

2 

Положение СК OX 

1Y 

1Z1 

относительно 

СК OX 

2Y2Z 

2 задается с помощью кватерниона 

v = ( v ,v ,v , ) 

0 1 2 

v3 

, имеющего единичную 

0 1 2 3 

= 

2 2 2 2 

норму: v + v + v + v 1. Матрицу перехода 

от OX 

2Y2Z 

2 

к OX 

1Y 

1Z1 

обозначим M . X 1 X 2 

Элементы этой матрицы выражаются через 

компоненты кватерниона v с помощью формул: 

22


m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

m 

11 

12 

13 

21 

22 

23 

31 

32 

33 

= v 

2 

0 

= 2 ⋅ 

= 2 ⋅ 

= 2 ⋅ 

= v 

= v 

2 

0 

= 2 ⋅ 

= 2 ⋅ 

= 2 ⋅ 

2 

0 

+ v 

( v1v2 

+ v0v3) 

( v1v3 

− v0v2 

) 

( v v − v v ) 

1 

− v 

( v0v1 

+ v2v3) 

; 

( v1v3 

+ v0v2 

); 

( v v − v v ); 

2 

2 

1 

− v 

2 

2 

1 

2 

1 

− v 

3 

2 

2 

+ v 

− v 

0 

2 

2 

0 

2 

2 

− v 

3 

; 

; 

; 

− v 

2 

2 

3 

+ v 

2 

3 

; 

2 

3 

; 

. 

(1) 

Задача определения ориентации КА 

рассматривается как задача нахождения кватерниона 

v. 

При разработке алгоритмов решения 

задачи определения ориентации широко применяется 

подход, основанный на согласовании 

измерений различных векторов в двух 

СК, взаимная ориентации которых подлежит 

определению [7-9]. При решении задачи определения 

ориентации в качестве первого 

вектора 

1 

U будет взят вектор напряженнос- 

2 

ти МПЗ, а в качестве второго вектора U – 

вектор положения антенны НП. Определение 

2 

вектора U принципиально возможно по анализу 

пространственного расположения видимых 

и невидимых навигационных спутников 

(НС). 

Для отыскания кватерниона используется 

метод, описанный в [8]. Суть метода заключается 

в минимизации критерия, представляющего 

собой взвешенную с весами α 

i 

сумму 

квадратов разностей между значениями 

двух векторов, заданных в двух СК [9]: 

2 

i 

i T i 

i 

( M 

X 

) = ∑ ( 

1 

− ⋅ 

2)( 1 

− ⋅ 

2) 

1X2 

i 

U M 

X1X 

U U M 

2 

X1X 

U 

2 

J α , 

i= 

1 

(2) 

где M – матрица, описывающая связь 

X 1 X 2 

ОСК и ССК, параметризованная с помощью 

i i 

кватернионов; U 1 

, U 2 

– векторы в ССК и 

ОСК, соответственно (i = 1,2). 

После отыскания кватерниона v проекции 

абсолютной угловой скорости ω СК 

OX на ее собственные оси находятся с 

1Y1 

Z1 

помощью численного дифференцирования 

найденного кватерниона и кинематических 

уравнений 

ω = 2 

ω 

ω 

1 

2 

3 

( v v& 

0 1 

− v v& 

1 0 

+ v v& 

3 2 

− v v& 

2 3) 

, 

( v v& 

− v v& 

+ v v& 

− v v& 

), 

= 2 

0 2 3 0 1 3 3 1 

= 2( v v& 

− v v& 

+ v v& 

− v v& 

). 

0 

3 

3 

0 

2 

1 

1 

2 

(3) 

Решение задачи определения 

ориентации КА 

Решение задачи определения ориентации 

КА разбивается на два этапа. 

На первом этапе отыскивается вектор 

положения антенны НП в ОСК, и с этой целью 

анализируется пространственное положение 

НС систем ГЛОНАСС и GPS. Все НС 

разделяются на видимые и невидимые, которые, 

в свою очередь, разделяются на невидимые 

из-за затенения Землей и затененные 

конструкцией КА. 

Для определения вектора положения 

антенны НП в ОСК предполагается, что заданы 

следующие исходные данные: 

1. Координаты антенны в ССК (для определенности 

будем считать, что антенна размещена 

на продольной оси КА) и конус ее 

затенения со стороны конструкции КА. 

2. Навигационные данные, формируемые 

НП (массив номеров всех навигационных 

спутников, массив номеров видимых НС, 

массив номеров невидимых НС, геоцентрические 

координаты всех НС в СРНС, представленные 

в виде матрицы размером N НС 

×3). 

3. Параметры движения центра масс 

(ПДЦМ) КА, получаемые от НП. 

По имеющимся исходным данным в 

ОСК вычисляются единичные векторы, коллинеарные 

векторам дальностей до видимых 

(В) и невидимых (НВ) НС, и из них формируются 

соответствующие матрицы 

Н раз- 

В 

мером N 

НВ 

× 3 и Н размером 

НВ 

N 

ННВ 

× 3 (при 

этом исключаются из рассмотрения те НС, 

видимость которых отсутствует из-за затенения 

Землей). 

Введем обозначения: 

Н 

Н 

Т 

В 

Т 

НВ 

= 

T 

[ grad 

В1 

grad 

В2 

Kgrad 

В 

] , 

NВ 

T 

[ grad grad Kgrad 

] , 

= 

HВ1 

HВ2 

HВNВ 

23


где { x , y , z } 

grad i 2 i 2 i 2 i 

= - единичный вектор 

дальности до i-го НС в проекциях на оси 

ОСК. 

Исходя из того, что ширина диаграммы 

направленности антенны составляет 180°, 

для видимых и невидимых НС выполняем 

следующие соотношения: 

⎪ 

⎧cos 

⎨ 

⎪⎩ 

cos 

2 

( U1 

,grad 

В 

) ≥ 0, 

( i = 1,N 

); 

i 

В 

2 

( U ,grad ) < 0, 

( j = 1,N 

) 

1 

НВ 

2 

где { x , y , } 

j 

U 

1 

= 2 2 

z 2 - единичный вектор антенны, 

записанный в проекциях на оси ОСК. 

1 

= 

2 

Так как U 1 и grad = 1, то, пред- 

ставляя косинусы углов через скалярные произведения, 

можно записать 

⎪⎧ 

x 

⎨ 

⎪⎩ x 

2i 

2 j 

x 

x 

2 

2 

+ y 

2i 

+ y 

y 

2 j 

2 

y 

+ z 

2 

+ z 

z 

2i 

2 

z 

2 j 2 

≥ 0, 

< 0, 

i 

HВ 

( i = 1,N 

В 

); 

( j = 1,N 

). 

, 

HВ 

(4) 

Используя соотношения (4), описывающие 

геометрические связи между видимыми 

и невидимыми НС и вектором антенны, можно 

записать функционал вида: 

B 

( , y ,z ) = ( x x + y y + z z −1) 

Ф x 

+ 

2 

N HB 

2 

∑( x2 

jx2 

+ y2 

j 

y2 

+ z2 

jz2 

+ 1) , 

j= 

1 

2 

2 

N 

∑ 

i= 

1 

2i 

2 

2i 

2 

2i 

2 

2 

(5) 

который в дальнейшем используется для поиска 

координат антенны в ОСК. 

Первое слагаемое функционала описы- 

2 

вает связь проекции вектора антенны U 

1 с 

проекциями единичных векторов видимых 

НС grad 

В i 

на оси ОСК, второе слагаемое 

описывает аналогичную связь вектора антенны 

с векторами невидимых НС. 

Решается задача отыскания минимума 

функционала (5) по координатам x 

2 

, y2 

, z2 

с 

учетом условия нормировки для координат 

2 2 2 

антенны: x + y + z 1 . 

2 2 2 

= 

На втором этапе непосредственно решается 

задача определения ориентации и динамики 

КА. 

Искомый кватернион отыскивается из 

условия минимума критерия (2) с учетом 

единственного дополнительного уравнения, 

обеспечивающего условие нормировки для 

2 2 2 2 

элементов кватерниона: v 

0 

+ v1 

+ v2 

+ v3 

= 1. 

В работе [8] показано, что минимизация критерия 

(2) при условии нормировки для элементов 

кватерниона сводится к нахождению 

минимального собственного числа четырехмерной 

матрицы: 

B = 

2 

∑ 

i= 

1 

1 ⎡ S 

⎢ T 

αi 

⎣Z 

Z⎤ 

t 

⎥ 

, (6) 

⎦ 

i i T 

( ) ( ) U1 

( U2 

) ; 

i T i i i T 

где S = I ( U1 ) U2 

−U2 

U1 

− 

i i 

i T i 

Z = −( U × U ); 

t = ( U ) U . 

1 2 

− 

При этом искомый кватернион представляет 

собой собственный вектор, соответствующий 

наименьшему собственному числу 

матрицы (6). 

Кватернион v 

k 

, в момент времени t k 

задающий 

ориентацию КА, определяется с точностью 

до знака. Знаки элементов кватерниона 

v 

k 

выбираются из условия 

3 

( k ) 

( k−1 

) ( k ) 

v0 > 0, 

∑vi 

vi 

> 0 = 

i= 

0 

1 

2 

( k 1,N 

) 

После уточнения знака кватерниона 

определяются проекции абсолютной угловой 

скорости ω СК OX 

1Y 

1Z1 

на ее собственные 

оси по соотношениям (3). 

Описание модельной задачи 

Моделирование задачи определения 

ориентации КА проводилось при следующих 

положениях: 

1) орбита КА круговая, высота (h) 300 

км и 1000 км, наклонение 63°; 

2) количество НС равно 48, что соответствует 

общему количеству НС в СРНС 

ГЛОНАСС (при ее полном развертывании) и 

GPS; 

. 

24


3) антенна НП расположена по оси 

OX 

1; 

4) вектор напряженности МПЗ считается 

точно измеренным; 

5) положение КА на орбите задается 

случайным образом по равновероятному закону 

(от 0° до 360°); 

6) массив углов ориентации КА формируется 

случайным образом по равновероятному 

закону, углы ориентации изменяются от 

0° до 360°. 

Моделирование задачи определения 

ориентации и динамики движения КА проводилось 

в три этапа. 

Этап 1. Моделирование СРНС ГЛО- 

НАСС и GPS (для простоты моделирования 

предполагалось, что в каждый момент времени 

положения ГЛОНАСС/GPS спутников 

«заморожено»). Моделирование движения 

КА и магнитометрических измерений. Моделирование 

магнитометрических измерений 

проводилось следующим образом. В ОСК по 

модели МПЗ в виде модели прямого диполя 

[10] рассчитывался вектор напряженности 

1 

МПЗ ( U ), а затем с использованием извест- 

2 

ной матрицы перехода M в ССК рассчитывался 

«измеренный» вектор X 1 X 2 

напряженно- 

1 

2 

сти МПЗ ( U ). Вектор антенны НП ( 

1 

U ) в 

1 

ССК согласно допущениям задавался вектором 

с координатами { 1 0, 

0} 

, . Исключались НС, 

невидимые из-за затенения Землей. 

Этап 2. Непосредственное отыскание 

вектора антенны НП в ОСК, основанное на 

отыскании минимума функционала (5) по 

координатам x 

2, 

y2, 

z2 

с учетом условия 

нормировки для координат антенны: 

2 2 2 

x 

2 

+ y2 

+ z2 

= 1. 

Этап 3. Определение ориентации КА по 

комплексированию магнитометрических и 

радионавигационных измерений. 

Исследование эффективности 

на модельной задаче 

Для исследования эффективности решения 

задачи определения ориентации КА 

при комплексировании магнитометрических 

и радионавигационных измерений была 

сформирована выборка решений объемом 

100000 реализаций. 

Для высот 300 и 1000 км построена 

плотность распределения ошибки положения 

антенны P( δ 

a 

) (рис. 1 и 2). В качестве погрешности 

определения вектора положения 

антенны взят пространственный угол ( δ a 

) 

между истинным и найденным вектором положения 

антенны НП. 

Математическое ожидание ошибки определения 

антенны M 

a 

для h =300 км равно 

Рис. 1. Плотность распределения ошибки антенны P( δ 

a 

) при h=300 км 

25


Рис. 2. Плотность распределения ошибки антенны P( δ 

a 

) при h=1000 км 

9,6°, для h =1000 км равно 7,8°. Повышение 

точности с увеличением высоты объясняется 

уменьшением числа НС, затененных Землей. 

Для удобства представления результатов 

была использована тройка углов ориентации 

( θ ψ , ϕ ) 

, , задающая ориентацию СК 

OX 

2Y2Z 

2 относительно СК OX 

1Y 

1Z1 

. Система 

координат OX 

2Y2 

Z может быть переве- 

2 

дена в систему координат OX 

1Y 

1Z 

тремя последовательными 

поворотами: 1) на угол 

1 

ψ 

вокруг оси O Z 2 2 

; 2) на угол θ вокруг оси 

O Y 2 

′; 3) на угол ϕ вокруг оси O X 

2 

′′ , совпадающей 

с осью OX . 

1 

Связь углов ориентации ( θ ψ , ϕ ) 

, с найденным 

кватернионом v задается соотношениями 

[11]: 

ψ θ ϕ ψ θ ϕ 

v0 

= cos( )cos( )cos( ) + sin( )sin( )sin( ); 

2 2 2 2 2 2 


v1 

= cos( )cos( )sin( ) − sin( )sin( )cos( ); 

2 2 2 2 2 2 


v2 

= cos( )sin( )cos( ) + sin( )cos( )sin( ); 

2 2 2 2 2 2 


v0 

= sin( )cos( )cos( ) − cos( )sin( )sin( ). 

2 2 2 2 2 2 

В рамках модельной задачи был подобран 

коэффициент σ, характеризующий отношение 

коэффициентов в выражении (2) 

при векторе напряженности МПЗ и векторе 

антенны НП, при котором достигается минимальная 

погрешность определения ориентации 

КА. Влияние коэффициента σ на погрешность 

определения ориентации показано 

на рис. 3, 4 на примере математического 

ожидания ошибки угла θ . Коэффициент σ 

предлагается брать равным 10 для различных 

высот полета КА. 

Изменение математических ожиданий 

ошибок углов ( ϕ ) 

ψ , в зависимости от коэффициента 

σ не превышает 0,3°. 

Плотности распределения ошибок углов 

( θ ψ , ϕ ) 

, , найденных по разработанному 

алгоритму, представлены на рис. 5-10. 

Математические ожидания углов 

( θ ψ , ϕ ) 

M 

, при h=300 км 

[ δ ] 2,8 ° , M[ δ ] = 5,8° 

, M[ δ ] = 4,0; 

θ 

= 

ψ 

ϕ 

при h =1000 км 

[ δ ] = ° , M[ δ ] = 5,1° 

, M[ δ ] = 3,6 . 

M 

θ 

1,5 

ψ 

ϕ 

° 

26


Рис. 3. Изменение математического ожидания ошибки δ 

θ 

угла θ от коэффициента σ (h=300 км) 

Рис. 4. Изменение математического ожидания ошибки δ 

θ 

угла θ от коэффициента σ (h=1000 км) 

Рис. 5. Плотность распределения P ( δ θ 

) ошибки угла θ при h=300 км 

27


Рис. 6. Плотность распределения P ( δ ψ 

) ошибки угла ψ при h=300 км 

Рис. 7. Плотность распределения P ( δ ϕ 

) ошибки угла ϕ при h=300 км 

Рис. 8. Плотность распределения P ( δ θ 

) ошибки угла θ при h=1000 км 

28


Рис. 9. Плотность распределения P ( δ ψ 

) ошибки угла ψ при h=1000 км 

Рис. 10. Плотность распределения P ( δ ϕ 

) ошибки угла ϕ при h=1000 км 

Выводы 

По результатам решения модельной задачи 

можно сделать следующие выводы. 

1. Наибольший вклад в ошибку определения 

ориентации вносит ошибка определения 

вектора положения антенны в орбитальной 

системе координат. Снижение вклада 

данной ошибки возможно путем подбора 

коэффициента σ. 

2. С увеличением высоты полета погрешность 

определения ориентации КА 

уменьшается. Это объясняется уменьшением 

погрешности определения вектора положе- 

ния антенны навигационного приемника в 

орбитальной системе координат, обусловленным 

уменьшением числа навигационных 

спутников, затененных Землей. 

Погрешность определения углов ориентации 

космического аппарата по предложенному 

алгоритму с вероятностью 90 % не превышает 

5°. 

Работа выполнена при финансовой поддержке 

Российского фонда фундаментальных 

исследований (грант РФФИ № 060-08- 

00244а). 

29



1. Сидоров И. М., Прохоренко В. И. 

Определение углового положения искусственного 

спутника Земли с помощью датчиков 

магнитного поля // Космические исследования. 

1968. - Т. VI. - Вып. 2. - С. 175–185. 

2. Титов А. М., Антоненко В. В., Щукин 

В. П. Определение углового положения 

неориентированных ИСЗ по данным магнитометрических 

измерений // Космические 

исследования. - 1971. - Т. IX. - Вып. 3. - 

С. 397–407. 

3. Хацкевич И. Г. Определение ориентации 

ИСЗ по магнитометрическим измерениям 

//Космические исследования. - 1972. - 

Т. X. - Вып. 1. - С. 3–12. 

4. Абрашкин В. И. и д.р. Определение 

вращательного движения спутника «Фотон- 

М2» по данным бортовых измерений магнитного 

поля Земли (Препринт Института прикладной 

математики им. М.в. Келдыша РАН, 

2005, № 96). 

5. Голубков В. В. Определение локальной 

ориентации космических аппаратов // 

Космические исследования. - 1970. - Т. VIII. - 

Вып. 6. - С. 811–822. 

6. Титов А. М., Шукин В. П. Определение 

ориентации по двухвекторной системе 

измерений //Космические исследования. - 

1978. - Т. XVI. - Вып. 1. - С. 3–9. 

7. Липтон А. Выставка инерциальных 

систем на подвижном основании. – М.: Наука, 

1971. 

8. Wertz J.R (Editor). Spacecraft Attitude 

Determination and Control. Dordrecht, The 

Netherlands. – 1978. 

9. Wahba G. A Least Squares Estimate of 

Spacecraft Attitude //SIAM Review. – 1965., 

Vol.7, №3. – p. 409. 

10. Коваленко А. П. Магнитные системы 

управления космическими летательными 

аппаратами. – М.: Машиностроение, 1976. 

11. Бренец В. Н., Шмыглевский И. П. 

Применение кватернионов в задачах ориентации 

твердого тела. – М.: Наука, 1973. 

SPACE VEHICLE ATTITUDE CONTROL RECOVERY PROCEDURE COMBINING 

MAGNETOMETRIC AND PADIONAVIGATION MEASUREMENTS 

© 2007 I. V. Belokonov, A. V. Kramlikh 


The paper discusses a procedure of space vehicle attitude control recovery combining magnetometric and 

radionavigation measurements. The efficiency of the procedure is confirmed on a model task. 

30


УДК 629.76 

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА В ЗАДАЧЕ МОДАЛЬНОГО 

ФОРМИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ «РАКЕТА – 

НОСИТЕЛЬ – АВТОМАТ СТАБИЛИЗАЦИИ» 

© 2007 И. Е. Давыдов 


Рассмотрен алгоритм работы модифицированного метода случайного поиска. Приведен численный пример. 

В задачах модального формирования 

динамических свойств системы «ракета – 

носитель – автомат стабилизации» («РН – 

АС») на первое место выходит проблема решения 

экстремальных задач. При этом структура 

оптимизируемой функции такова, что 

допускает наличие локальных экстремумов, 

которые существенно усложняют процедуру 

поиска глобального экстремума. Это связано 

с тем, что задача исследования динамической 

совместимости АС с РН рассматривается 

как задача выбора областей в пространстве 

проектных параметров, соответствующих 

устойчивости системы и заданному качеству 

переходных процессов в каналах управления 

[1]. 

Так для системы «РН - АС», уравнения 

которой для фазовых координат записаны в 

векторно-матричной форме [1]: 

X & ( t ) = 

Y ( t ) = CX ( t ), 

X ( 0 ) = 

AX ( t ) + BU ( t ), 

X 

0 

, 

(1) 

в качестве параметров, обеспечивающих динамическую 

совместимость системы, выступают 

коэффициенты усиления автомата стабилизации 

, i = 0, 4 ; геометрические (аэ- 

a i 

родинамические), инерционно - массовые, 

жесткостные и диссипативные характеристики 

системы. 

Множество допустимых проектных параметров 

задается совокупностью неравенств 

вида 

p 

j min 

≤ p ≤ p , (2) 

j 

j max 

где постоянные p 

j 

, p , 

min j max 

j = 1, 

k определяют 

заданные пределы изменения параметров. 

Алгоритм модального формирования 

динамических свойств системы «РН-АС» (1) 

сводится к следующему. 

При выборе областей в пространстве 

проектных параметров на множестве возможных 

значений проектных параметров системы 

«РН - АС» требуется найти такую область: 

DP ⊂ P f , для которой 

Spec 

S 

( A − BP) 

j = 1, k, 

k > 1, 

∈ D 

S 

, 

∀p 

j 

∈ D 

P 

⊂ P 

f 

⊂ Р, 

(3) 

где D s 

- область расположения на плоскости 

комплексной переменной S спектров совокупности 

подсистем, обладающих свойством 

устойчивости по Ляпунову невозмущенного 

движения и заданным качеством переходных 

процессов по каналам управления; p j 

– элементы 

k - вектора проектных (формируемых) 

параметров системы; P f 

– множество допустимых 

проектных параметров; P - множество 

проектных параметров системы [1, 2] 

(рис. 1). 

В силу сложности конфигурации множества 

D s 

, что вызывает определенные трудности 

при получении функционала, определяющего 

принадлежность спектра полюсов 

данной области, ставится задача преобразования 

множества D s 

комплексной переменной 

s в некоторое другое множество D q 

комплексной 

переменной q: 

Spec B ∈ D , 

q 

j = 1, k; 

q 

k > 1, 

∀p 

j 

∈ D 

P 

⊂ 

P 

f 

⊂ Р, 

(4) 

31


Рис. 1. Область гарантированного качества на плоскости проектных параметров D p 

и комплексной плоскости D s 

где B = L( A ) - функционально – преобразованная 

посредством оператора L матрица. 

Процедура получения функционально – преобразованной 

(ФП) матрицы подробно изложена 

в [2]. 

В соответствии с отмеченным ранее 

алгоритмом определения динамических 

свойств системы «РН – АС» в качестве функционала, 

определяющего принадлежность 

Spec B ∈ D , выбирается спектральный 

q 

радиус матрицы B : 

q 

J = R = max q , i = 1 n , (5) 

q i 

, 

i 

где q 

i 

- собственные числа ФП-матрицы . 

Расчет внутренней точки области D p 

допустимых значений проектных параметров 

в выбранном сечении сводится к решению 

задачи нелинейного программирования для 

функционала (5) с учетом ограничений (2). 

Исследование зависимости функционала (5) 

от проектных параметров, выполненное на 

модельных задачах малой размерности, показало, 

что эта зависимость является существенно 

нелинейной. Для задач высокой размерности 

(при n > 4) такой анализ вообще 

затруднителен. Соответственно задача модального 

формирования динамических 

свойств системы «РН – АС» относится к классу 

многопараметрических, многоэкстремальных 

задач. Наличие локальных экстремумов 

обусловлено неоднозначным влиянием множества 

допустимых проектных параметров 

на качество динамических свойств системы 

«РН – АС» (быстродействие, колебательность, 

затухание) [1]. 

Отметим, что глобальный экстремум 

определяет минимально возможный спектральный 

радиус на плоскости комплексной 

переменной q ФП – матрицы для заданного 

гиперпространства допустимых проектных 

параметров k, т. е. задает минимально возможный 

для данных допустимых проектных 

параметров функционал. Следовательно, глобальный 

экстремум определяет максимально 

возможный запас относительно границы области 

D q 

на комплексной плоскости q расположения 

спектра собственных значений матрицы 

замкнутой системы «РН – АС». 

Для отыскания глобального экстремума 

(5) применяется метод случайного поиска 

с направляющим конусом [3]. Метод применим 

как для случая многоэкстремальных задач, 

так и для случая, когда функционал (5) 

не всюду дифференцируем, особенно в точке 

экстремума. Он может быть также применен 

для определения экстремума (5) на границе 

области D p 

. 

Ниже приведен алгоритм модифицированного 

метода случайного поиска с направляющим 

конусом с уточнением значения глобального 

экстремума методом Ньютона. 

Пусть в пространстве допустимых проектных 

параметров 

p 

j 

∈ p 

f 

, j = 1, 

k , находя- 

32

щихся в диапазонах 

p 

j min 

≤ p 

j 

≤ p 

j max 

, определен 

гиперконус с параметрами λ и γ (λ - 

длина вектора поиска, γ - угол при вершине 

конуса поиска) (рис. 2). Кроме того, задано 

число итераций поиска ζ, количество проб на 

данной итерации m и начальные значения 

проектных параметров 

p 

j min 

≤ p 

j 

≤ p 

j max 

нач 

p 

j из области 

. Потребуем, чтобы ось при 

вершине данного конуса совпадала с направлением 

так называемого “вектора памяти”. 

Направление “вектора памяти” на нулевой 

итерации задается следующим образом. Из 

начальной точки 

p нач , 

j = , k в случайно 

j 

1 

выбранных направлениях проводятся m сканирующих 

сечений радиусом λ с последующим 

расчетом функционала 

( p , p ,..., p ),l 

, m 

J 

l 1 2 k 

= 1 . Из данных сечений 

выбирается то, которому соответствует минимальное 

значение функционала 

min J 

l 

l 

( p , p ,..., p ) 

1 2 k . Данное сечение определяет 

направление “вектора памяти”. 

Далее вокруг вершины конуса проводится 

гиперсфера радиуса λ. Конус отсечет 

от этой сферы часть гиперповерхности, на которой 

случайным образом выбирается m 

пробных точек. По значениям функций качества 

в этих точках J 

l( 

p1 , p2 

,..., pk 

),l = 1, 

m 

определяется точка, соответствующая минимальному 

значению функционала (5) на данной 

итерации по алгоритму 

J 

min 

( p , p ,..., p ) = 

= min J ( p , p ,..., p 

l 

1 

l 

2 

1 

2 

k 

k 

). 

(6) 

Данная точка задает направление “вектора 

памяти” для следующей итерации. В 

этом направлении и производится рабочий 

шаг. Направление поиска, таким образом, 

целиком и полностью определяется указанным 

конусом, т. е. случайные пробы выбираются 

внутри него. Поэтому естественно назвать 

этот конус направляющим. Направление 

“вектора памяти” при этом следует определять 

наилучшей пробой предыдущего 

этапа (6). 

По мере накопления информации о поведении 

функционала (5) “вектор памяти” 

33 


стремится развернуться в направлении, обратном 

градиенту (рис. 2). Правильный выбор 

сочетания λ и γ позволяет сравнительно 

легко переходить от одного экстремума к другому, 

обходить “овраги”. После определения 

локальной области глобального экстремума 

функционала при заданном числе итераций 

ζ производится его уточнение до заданной 

точности ε с использованием метода Ньютона 

[4]. 

Одним из нюансов в задаче поиска глобального 

экстремума является правильное 

задание λ и γ . Оптимальный вариант, полученный 

в результате многократных расчетов, 

соответствует 

p 

0 

j max 

− p 

j min 

γ = ( 40 ÷ 60 ) , λ = 

. (7) 

20 ÷ 50 

Для проведения поиска экстремума производится 

масштабирование заданного диапазона 

≤ p ≤ p таким образом, чтобы 

p 

p 

j min 

j 

j max 

− p = 1, 

j , k . 

j max j min 

= 1 

Это связано с тем, что истинные значения 

допустимых проектных параметров отличаются 

друг от друга в рассматриваемом 

диапазоне на несколько порядков. Например, 

значения коэффициентов АС лежат 

в диапазонах: 

a 

0 

= 0 ÷ 50, 

a1 

= ( 0 ÷ 50 ) с, 

2 

c 

a4 = ( −0 . 01 ÷ 0. 

01 ) , а диапазон диаметра го- 

м 

ловного блока (ГБ) составляет ∅ = ( 1÷10 ) м . 

Соответственно отношение 

∅ 

a 

ГБ 

ГБ 

max 

4 

2 3 

= 10 ÷10 

Поэтому общий радиус λ (шаг поиска) в гиперпространстве 

данных параметров задать 

не представляется возможным. Для диапазонов 

некоторых проектных параметров (например, 

a 

4 ) выбранный радиус λ будет 

соизмерим с диапазоном этих параметров 

( λ ≈ p − p ) 

j max 

j max 

, что вызовет нечувствительность 

метода к данным проектным параметрам 

(шаг поиска экстремума в любом 

направлении будет соответствовать выходу из 

заданного диапазона). В то же время для других 

проектных параметров данный радиус 

λ (шаг поиска) будет слишком мал 

.


⎛ p 

⎜ j 

p 

⎜ 

⎝ 

λ 

max 

− 

j max 3 

≥ 10 

⎞ 

⎟ , что приведет к “зацик- 

⎟ 

⎠ 

ливанию” метода случайного поиска либо на 

первом же локальном экстремуме, либо на 

“овраге” (без возможности выхода из него). 

Поэтому на время поиска глобального 

экстремума все диапазоны допустимых проектных 

параметров приводятся к единому 

значению (например к единице) для обеспечения 

условия (7) для всех k проектных параметров. 

После определения по (6) глобального 

экстремума (функционала) все проектные 

параметры (и соответствующие им диапазоны) 

приводятся к своим истинным значениям. 

Направление рабочего вектора можно 

определить либо с помощью направляющих 

косинусов относительно выбранных осей, 

либо с помощью любых чисел, пропорциональных 

данным косинусам: 

Cosϕ 

Cosβ 

j 

j 

= 

= 

λ + λ 

h 

2 

1 

2 

1 

+ h 

λ 

2 

2 

h 

2 

2 

j 

+ ... + λ 

j 

2 

k 

+ ... + h 

2 

k 

, 

. 

(8) 

Направляющие косинусы Cos ϕ 

j 

, Cos β 

являются координатами единичных векторов, 

совпадающих по направлениям с “вектором 

памяти” и рабочим вектором, соответственно. 

Числа λ1 , λ2 

,..., λk 

являются проекциями 

“вектора памяти” (рис. 2) на соответствующие 

оси проектных параметров системы 

«РН–АС», а числа 

h1 ,h2 

,...,hk 

- проекциями 

рабочего вектора на те же оси. В данном методе 

Cosϕ 

j 

“вектора памяти” соответствует 

Cosβ 

j рабочего вектора, определяемого наилучшей 

пробой предыдущего шага по (6). 

Связь между проектными параметрами 

p 

1 

, p2 

,..., p k 

и координатами рабочего вектора 

h 

1 

,h2 

,...,hk 

осуществляется через выражение 

p 

нач 

= p + h , j = ,k . (9) 

j j j 

1 

Угол φ между двумя векторами (не должен 

превышать половины угла направляющего 

конуса при вершине в гиперпространстве 

проектных параметров) определяется из условия: 

j 

Рис. 2. Метод случайного поиска с направляющим конусом 

34


Cosφ 

= Cosϕ 

Cosβ 

Cosφ 

= 

Cosφ 

= 

λ 

2 

1 

k 

∑ 

j= 

1 

λ h + ... + λ h 

+ ... + λ 

k 

1 

∑ 

j= 

1 

λ 

λ h 

2 

j 

1 

j 

1 

j 

k 

1 

∑ 

j= 

1 

+ ... + Cosϕ 

Cosβ 

2 

n 

h 

2 

j 

. 

2 

1 

k 

k 

k 

λ + ... + λ 

2 

n 

, 

k 

; 

(10) 

Если учесть, что высота направляющего 

конуса (длина шага поиска) равна 

λ = 

λ = 

λ + ... + λ 

2 

1 

k 

∑ 

j= 

1 

λ 

2 

i 

= 

2 

k 

k 

= 

∑ 

j= 

1 

h 

2 

j 

h 

, 

2 

1 

то в результате получим 

+ .. + h 

2 

k 

; 

(11) 

λ 

jh 

j= 

1 

Cosφ 

= 

2 

λ 

Cosγ 

Cosφ 

≤ . 

2 

k 

∑ 

j 

, 

(12) 

Задача заключается в выборе m различных 

сочетаний проектных параметров, удовлетворяющих 

условиям (11), (12). 

Данный алгоритм реализован в подпрограмме 

Model.exe, которая позволяет находить 

глобальный экстремум в гиперпространстве 

проектных параметров системы. На 

рисунке 3 показана работа разработанной 

программы с функцией, имеющей множество 

“оврагов” и локальных экстремумов. 

Рис. 3. Определение глобального экстремума методом случайного поиска с направляющим конусом 


1. Формирование динамических 

свойств упругих космических аппаратов / 

Б. А. Титов, В. А. Вьюжанин, В. В. Дмитриев. 

– М.: Машиностроение, 1995. 

2. Анализ и оптимальный синтез на 

ЭВМ систем управления / Под ред. А. А Воронова 

и И. А. Орурка. – М.: Наука. Главная 

редакция физико-математической литературы, 

1984. 

3. Растригин Л. А. Системы экстремального 

управления. - М.:Наука, 1974. 

4. Амосов А. А, Дубинский Ю. А., Копченова 

Н. В. Вычислительные методы для 

инженеров: Учеб. пособие. - М.: Высш.шк., 

1994. 

35


USING RANDOM SEARCH METHOD FOR THE TASK OF MODAL 

FORMATION OF DYNAMIC PROPERTIES OF THE «CARRIER ROCKET – 

STABILIZATION AUTOMATON» SYSTEM 

© 2007 I. Yе. Davydov 


The paper presents an algorithm of the random search modified method functioning. A numerical example is 

provided. 

36


УДК 629.785 

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ 

КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С ДВИГАТЕЛЯМИ МАЛОЙ ТЯГИ. ЧАСТЬ I 

© 2007 В. В. Салмин, В. В. Васильев, С. А. Ишков, В. А. Романенко, 

В. О. Соколов, О. Л. Старинова, В. В. Юрин 


В первой части статьи приводятся математические постановки задач оптимизации перелетов космических 

аппаратов с двигателями малой тяги и методы их решения. Рассматриваются особенности используемых 

математических моделей движения для оптимизации управления в рамках различных задач. 


Механика полета с малой тягой (МТ) 

выделилась в настоящее время в новый раздел 

механики космического полета, рассматривающий 

в совокупности проблемы оптимизации 

траекторий и законов управления 

движением, а также выбора оптимальных 

проектных параметров космического аппарата 

(КА) и его энергодвигательной установки 

[1, 2]. 

К настоящему времени в России (а ранее 

в СССР) и ряде других стран – США, Германии, 

Франции, Англии, Японии – созданы 

и испытаны серийные образцы электроракетных 

двигателей (ЭРД), которые активно используются 

в космическом пространстве для 

решения целого ряда практических задач космонавтики. 

В основном ЭРД использовались 

в околоземном космосе. Однако уже имеются 

примеры успешной реализации космических 

перелетов с малой тягой в дальнем космосе, 

например, проекты NASA и ESA 

Deep Space 1 в 1999-2001 гг., SMART 1 в 

2003 -2006 гг. (рис. 1.1) и продолжающаяся 

миссия JAXA Hayabusa 2003 г. 

Главным направлением теоретических 

исследований в течение многих лет в области 

оптимизации космических перелетов с МТ 

является развитие аналитических и численных 

методов решения задач расчета оптимальных 

траекторий. В последнее время 

большее значение приобретают вопросы, связанные 

с учетом дополнительных факторов 

в математических моделях движения, использованием 

более полных проектных моделей 

КА и дополнительных ограничений на возможности 

управления двигательной установкой 

(ДУ). 

Поэтому вопрос выбора математической 

модели (или последовательности моделей) 

для решения вариационных задач приобретает 

первостепенную важность. Соответственно, 

проблема оптимизации маневра с 

МТ не сводится лишь к поиску оптимальных 

траекторий, а формулируется как проблема 

совместной оптимизации проектных параметров, 

траекторий и законов управления 

движением КА. 

В настоящей статье, имеющей две части, 

представлены в сжатом виде результаты, 

полученные авторами в ходе многолетних 

исследований. Более подробное изложение 

описанных методов и задач содержится 

в монографиях [16, 25], а также в статьях 

[6 15, 17 24]. 

Рис. 1.1. Экспериментальный аппарат NASA 

Deep Spase 1 с ЭРД 

37


1. Методы и модели оптимизации 

космических перелетов с малой тягой 

1.1. Математические постановки 

задач оптимизации 

Сформулируем проблему совместной 

оптимизации баллистических параметров и 

траекторий динамического маневра и проектных 

параметров КА с двигателем МТ. Под 

динамическим маневром z из множества 

маневров Z понимается переход КА из начального 

состояния x( t ) ∈ X в конечное 

0 0 

x( t K 

) ∈ X K 

. Вектор баллистических параметров 

маневра b включает начальное X 

0 

и конечное 

X многообразия в пространстве 

K 

состояний, внешние условия и ограничения 

и определяет схему и продолжительность 

маневра: 

z = ( z , z 

X 

0 

1 

0 

2 

,......, z 

= X ( z), 

t 

m 

0 

) 

T 

∈ Z ⊂ E 

= t ( z), 

0 

m 

, 

X 

K 

= X 

K 

( z), 

t 

K 

= t 

K 

( z). 

(1.1) 

Обозначим символом p вектор проект- 

T 

ных параметров p = ( p1 , p2,..., 

pl 

) ∈ P , соответствующих 

принятой конструктивнокомпоновочной 

схеме КА. Здесь P – множество 

допустимых проектных параметров. 

Динамику движения КА будем описывать 

системой обыкновенных дифференциальных 

уравнений: 

dx 

x& 

= = f ( t, 

x, 

u, 

p, 

υ), 

x( 

t0) 

∈ X 0( 

z), 

x( 

tк) 

∈ X 

dt 

u = u( 

t, 

x) 

∈U( 

p), 

p∈P, 

z∈Z, 

υ ∈Ω( z). 

к 

( z), 

(1.2) 

T 

Здесь x = ( x1 , x2,..., 

xn 

) ∈ X - вектор состояния 

(фазовых координат) системы; 

1 

- вектор функ- 

T 

u( t,x) = ( u ,u2 

,.....,ur 

) ∈U 

( p) 

ций управления; ( p) 

U - множество допустимых 

управлений; u∈Ω(z) - вектор случайных 

и неопределенных параметров, учитывающий 

неполноту информации об условиях реализации 

отдельных маневров; множество 

Ω(z) задает априори границы, в которых заключены 

неопределенности. 

Общей задачей совместной оптимизации 

будем называть задачу отыскания проектных 

параметров p ∈ P и совокупности функций 

( utxz (, , ), xtz (, )) 

из множества допустимых 

D, обеспечивающих реализацию диапазона 

динамических маневров Z при минимальном 

(максимальном) значении заданного 

критерия эффективности µ . Сложность 

этой задачи состоит в том, что траектории 

существенно зависят от проектных параметров, 

и наоборот, параметры КА во многом 

определяются выбранными траекториями и 

режимами управления. 

Введем интегро-терминальный критерий 

(функционал) I, зависящий от траектории 

x(t), управления u(t, x), баллистических 

параметров маневра b и проектных параметров 

p, а также неопределенных факторов υ : 

I 

[ z, p, 

x() t , u( t, 

x) 

, ] = F[ x( t 

0 

), 

x( t 

К) 

] + ∫f 

0 

( t, 

x, 

u, 

υ ) 

υ dt. 

t K 

t0 

(1.3) 

Задачу отыскания экстремума функционала 

[ z, p, 

x( t) , u( t, 

x) 

,υ] 

I при заданных параметрах 

Z и p назовем динамической задачей 

оптимизации. Пусть существует траектория 

x ( t) и управление u( t, x) , доставляющие 

минимум функционалу 

[ z, p, 

x( t) , u( t, 

x) 

,υ] 

I при фиксированных векторах 

Z и p для некоторой принятой модели 

неопределенностей υ ~ ∈ Ω : 

( x( 

t), 

u( 

t, 

x)) 

= argmin I[ 

z, 

p, 

x( 

t) 

u( 

t, 

x), 

υ 

~ 

] . 

x( 

t) 

∈X 

, 

u( 

t, 

x) 

∈U 

( p) 

(1.4) 

Минимальное значение функционала I, 

соответствующее этой траектории, будем называть 

динамической характеристикой 

маневра S(z, p, υ ~ ). 

Сформулируем различные постановки 

задачи оптимизации. 

1. Основной задачей оптимизации КА, 

предназначенного для выполнения единичного 

маневра с полной информацией 

z ∈ Z , назовем задачу отыскания вектора 

проектных параметров p∈ P и вектор функ- 

38


ций ( u( t, 

x, 

z), 

x( 

t, 

z) 

) ∈D 

, доставляющих 

максимум критерию µ : 

( xu , , p) = argmax µ ( z, pxt , (), utx (, )) .(1.5) 

( xu , ) ∈D( p), 

p∈P 

2. Вектор параметров p ∈ P оптимален 

для диапазона динамических маневров 

Z, если КА с параметрами p может выполнить 

любой маневр из заданного диапазона 

Z и максимальная степень неоптимальности 

ρ( zp , ) на множестве Z достигает 

минимального значения при p = p : 

p = argminmax ρ(, z p) 

. 

p∈P 

z∈Z 

Под степенью неоптимальности ρ ( z, p ) понимается 

мера проигрыша в критерии эффективности 

µ ( z, 

p) 

при отклонении вектора 

проектных параметров pz ( ) от оптимального 

значения p( z ). Вектор p назовем вектором 

универсальных для множества Z проектных 

параметров. 

3. Задачу о максимуме критерия оптимальности 

µ ( z, 

p, 

x, 

u) 

назовем разделяющейся 

на динамическую и параметрическую, 

если в критерии µ удается выделить критерий 

низшего уровня - функционал I, зависящий 

только от траекторий и управления и не 

зависящий от проектных параметров. Минимум 

I для каждого фиксированного маневра 

достигается на паре ( x( 

t), 

u ( t, 

x)) 

∈ D и обеспечивает 

локальный максимум критерия µ 

при любом выборе вектора параметров p∈ P: 

µ = µ ( z, 

p, 

I[ 

z, 

x, 

u]) 

. Если в соответствии со 

сказанным выше 

min Izxt [, (), utx (, )] ≡ Sz ( ) ∀ p∈ P, 

D 

тогда 

µ ( z, p, x,u ) ≡ µ ( z, p,S( z )). 

∂µ 

Очевидно, если < 0, то решение задачи 

оптимизации реализуется в форме 

∂S 

двух 

выполняемых независимо друг от друга операций: 

1) ( x, 

u ) = arg min I[ 

z, 

x, 

u] 

, I ( z, 

x, 

u ) = S( 

z) 

, 

( x, 

u) 

∈D 

(1.6) 

2) p = arg max µ ( z, 

p, 

S( 

z)) 

. (1.7) 

p∈P 

4. Задачу о максимуме критерия 

µ ( z, 

p, 

x, 

u) 

будем называть условно разделяющейся 

на динамическую и параметрическую 

части, если минимум функционала 

I ( z, 

p, 

x, 

u) 

обеспечивает локальный максимум 

критерия µ. Отыскание глобального максимума 

µ реализуется в форме двух последовательных 

операций: 

1) ( x, 

u ) = arg min I[ 

z, 

p, 

x, 

u] 

, 

( x, 

u) 

∈D 

I ( z, 

p, 

x, 

u) 

= S( 

z, 

p) 

, (1.8) 

2) p( z) argmax µ ( z, pSz , (, p)) 

= . (1.9) 

p∈P 

Решение этой задачи связано с необходимостью 

иметь зависимость S(z,p), определенную 

на множестве P во всем диапазоне 

маневров Z. 

1.2. Методы решения задач 

оптимального управления 

В задачах оптимального управления 

элементами класса допустимых D являются 

управляемые процессы, точнее их математические 

модели. Рассмотрим систему, которая 

в каждый момент времени характеризуется 

вектором состояния 

( 1 2 

x = x , x ,..., ) , являющимся 

элементом некоторого множества X, 

называемого пространством состояний. Изменение 

состояния x во времени называется 

процессом. Управляемые процессы принято 

описывать путем указания закономерности 

перехода от предыдущего состояния к последующему 

в зависимости от управляющего 

воздействия, которое характеризуется вектором 

управлений ( , ,..., ) 

u u1 u2 

u r 

x n 

= , являющимся 

элементом некоторого множества U 

(множества управлений). 

T 

T 

39


Математическая модель управляемого 

процесса представляет собой, как правило, 

уравнение, связывающее последующее состояние 

с предыдущим состоянием и управлением. 

Следует подчеркнуть, однако, формальный 

смысл понятий состояния и управления, 

связанный с принятой формой математической 

модели, которая для реального объекта 

может быть не единственной. Например, в 

задачах оптимизации космических траекторий 

в качестве состояния принято рассматривать 

положение и скорость центра масс КА, 

а в качестве управления – направление вектора 

тяги. Изменение направления вектора 

тяги часто достигается путем его поворота с 

помощью устройств, создающих моменты 

относительно центра масс (ЦМ), что заставляет 

учитывать и динамику вращательного 

движения КА. Это несоответствие отражает 

тот факт, что математическая модель зависит 

от тех задач, которые должны решаться с ее 

помощью. 

Пусть на отрезке [ t 

0 

,t к 

] задается множество 

D как множество кусочно-непрерывных 

функций и (t) 

и кусочно-дифференцируемых 

x (t) 

, удовлетворяющих условиям (1.2) 

и минимизирующих функционал (1.3). Общий 

подход к решению задачи оптимизации 

в постановке (1.2, 1.3) основан на использовании 

принципа расширения и достаточных 

условий оптимальности В.Ф. Кротова [3, 4]. 

Как правило, во многих задачах оптимизации 

множество допустимых D задается 

посредством некоторых условий, выделяющих 

его из более широкого множества E. 

Принцип расширения множества допустимых 

состояний и управлений состоит в том, 

что функционал доопределяется на более 

широкое множество E′ , но так, что наименьшее 

значение он принимает в D. Для того, 

чтобы функционал (1.3) достигал абсолютного 

минимума на ( х, 

u) 

∈ D , достаточно существования 

такой непрерывной и дифференцируемой 

функции ϕ ( t, 

x) 

, чтобы 

1. R( x, 

u, 

t) 

( ) 

= max R x, 

u, 

t , 

( x, u ) ∈E 

() t 

2. G( x( t ) x( t )) 

где 

G( 

0 , k 

0 

n ∂ϕ 

R = ∑ 

i = 1 ∂ xi 

( ( ) ( )) 

= min G x t , x tk 

, 

x 

t0 ) ∈Ex 

( t0 

) 

x( t ) ∈ E ( t ) 

f 

i 

k 

x 

∂ϕ 

+ , 

∂t 

k 

(1.10) 

x0 ,xk ) = F( ⋅) 

+ ϕ( tk 

,xk 

) − ϕ( t0 

,x0 

). (1.11) 

Необходимо задать синтезирующую 

функцию ϕ(t, x), которая доопределяет функционал 

I на E⊃D так, чтобы минимум I принадлежал 

D. Один из способов (формализмов) 

приводит к процедуре принципа максимума 

Понтрягина, другой – к процедуре динамического 

программирования, а третий 

(метод кратных максимумов) пригоден для 

решения так называемых вырожденных задач. 

1.3. Метод усреднения в задачах 


При решении некоторых видов динамических 

задач оптимизации в механике полета 

с МТ используются методы асимптотического 

разделения параметров движения на 

быстрые и медленные компоненты [2]. Это 

обусловливается, во-первых, наличием в явном 

виде малого параметра - реактивного 

ускорения от тяги, которое меньше гравитационного 

на несколько порядков; во вторых, 

присутствием циклической переменной - угловой 

координаты. 

Запишем уравнения движения в общем 

виде, придерживаясь общепринятых в задачах 

такого рода обозначений: 

( , ϕ, 

( )) 

x& = a⋅X x u t , 

( ) 

( x, ) aY x, , u( t) 

ϕ& = ω ϕ + ⋅ ϕ , (1.12) 

где x - вектор «медленных» переменных размерности 

n; а - малый параметр; ϕ - быстрая 

скалярная переменная (фаза); ( t) 

u ∈ U - 

вектор управлений размерности r. 

В общем случае в управление могут 

входить как быстрые, так и медленные составляющие. 

Поэтому задачу выбора оптимального 

управления удобно разделить на 

две: определение управления как функции 

40


быстрой переменной (выбор структуры управления 

на витке) и определение законов 

изменения параметров этой программы от 

витка к витку. 

Критерий оптимальности представим в 

следующем виде: 

T 

0 

0 

( , ) 

I = a∫ F xu dt . (1.13) 

Перейдем в системе (1.12) от времени t 

к быстрой переменной ϕ : 

dx 

dϕ 

dτ 

dϕ 

= aXx 

= a⋅ω 

−1 

( , ϕ, 

u() 

t) ⋅ω 

( x, 

ϕ) 

−1 

( x, 

ϕ). 

, 

(1.14) 

Здесь τ - так называемое «медленное» время, 

τ = a⋅ t. В соответствии с принципом 

максимума Понтрягина введем вектор сопряженных 

переменных Ψ и запишем Гамильтониан 

системы (1.14): 

H = ψ 

+ ψ 

Г 

T 

⋅aω 

−1 

( aω 

( x, ϕ ) ⋅ X( x, ϕ ,u( t) 

)) 

+ 

−1 

−1 

( x, ϕ ) − aω 

( x, ϕ ) ⋅ F ( x, ϕ ,u) = 

( x, ϕ, 

ψ u) 

= aF , . (1.15) 

Определим локально-оптимальное управление 

u% из условия максимума Гамильтониана 

на отрезке ϕ∈ 

[ 0,2π] 

0 

. Проведем затем 

процедуру усреднения исходной и сопряженной 

систем по быстро меняющейся переменной 

ϕ. Усредненная система уравнений 

будет иметь вид 

∧ 

2π 

dx 

a 

∧ ∧ ∧ 

−1 

⎛ 

⎞ 

= ω ( , ϕ) 

⋅ , ϕ, ⎛ 

x, ψϕ , 

⎞ 

⎜ ⎟ dϕ, 

dϕ 

2π 

∫ x X⎜x u% 

⎟ 

⎝ ⎝ ⎠⎠ 

∧ 

dψ 

dϕ 

dτ 

dϕ 

0 

2π 

∧ ∧ ∧ 

a ⎛ 

⎞ 

= Fx 

, yu , 

⎛ 

x, ψϕ , 

⎞ 

⎜ ⎟ dϕ, 

2π 

∫ ⎜x 

% ⎟ 

⎝ ⎝ ⎠⎠ 

0 

2π 

a 

∧ 

−1 

= ω 

⎛ 

x, ϕ 

⎞ 

⎜ ⎟dϕ, 

2π 

∫ 

⎝ ⎠ 

0 

а усредненный критерий оптимальности 

(1.16) 

T 2π 

a 

∧ ∧ ∧ 

⎛ 

= 

0 

, 

⎛ 

, ψϕ , 

⎞ 

2π 

⎜ ⎜ ⎟ 

0 0 ⎝ ⎝ ⎠ 

J ∫∫ F xu% ⎞ 

x ⎟dϕ 

dt 

⎠ 

. (1.17) 

Интегралы в правых частях системы 

(1.16) образуют совокупность так называемых 

«усредняющих интегралов»: 

2π 

0 

() 

∫ , ( ) T 

j 

Φ= ⋅ dϕ 

Φ= Φ , j = 1,2n+ 1. (1.18) 

После усреднения правые части системы 

(1.16) не содержат циклической переменной 

ϕ. Поэтому модель «медленной» эволюции 

вектора состояния и вектора сопряженных 

переменных может быть представлена в 

виде системы интегро-дифференциальных 

уравнений с «медленным» временем в качестве 

независимой переменной: 

∧ 

dq 

dτ 

j 

= 

Φ 

∧ 

Φ 

j⎜z 

⎟ 

2n+ 

1 

j = 1,2n+ 1, 

⎛ ⎞ 

∧ ∧ ∧ 

T 

⎝ ⎠ 

∧ 

, где q = 

⎛ 

xψ , 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎛ 

z 

⎞ ⎝ ⎠ , 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

2π 

∧ 

−1 

⎛ 

2n 1 

x, 

⎞ 

+ 

d 

0 ⎝ ⎠ 

Φ = ∫ ω ⎜ ϕ⎟ 

ϕ . (1.19) 

Исходная оптимизационная задача сводится, 

таким образом, к решению краевой 

задачи для системы (1.16, 1.17). Однако вычисление 

усредняющих интегралов (1.18) 

представляет самостоятельную проблему и 

требует разработки специальных процедур. 

1.4. Приближенный метод решения 

динамической задачи (метод разбиения) 

Пусть движение КА описывается системой 

дифференциальных уравнений (1.2). 

Откажемся от получения универсального решения 

для всего пространства переменных 

и поставим цель определить ряд упрощенных 

решений для каждой отдельной выделенной 

области X пространства состояний. Разобьем 

допустимую область фазового пространства 

переменных на т подобластей таких, что 

X 

⊆ X1 ∪ X 

2 

∪ X 

3 

∪ ... ∪ X m 

. Заменим исходную 

двухточечную краевую задачу на многоэтапную 

последовательность переходов: 

x 

0 

→ x → x 

1 

2 

→ ... → x 

m−1 

→ x 

К 

, 

41


где { x ,x ,..., x } 

x - граничные условия 

R 

= 1 2 m −1 

промежуточных (нефиксированных) состояний: 

x ∈ X 

1 

x ∈ X 

2 

1 

2 

∩ X 

………… 

2 

∩ X 

, 

3, 

(1.20) 

xm 

−1 ∈ X 

m −1 

∩ X 

m. 

Таким образом, сложный динамический 

маневр представим в виде последовательности 

маневров с параметрами 

z 

z 

1 

2 

= 

= 

T 

{ x0,x1} 

, 

T 

{ x ,x } , 

1 

2 

…………….. 

z 

= 

T 

{ x ,x } . 

m m−1 

К 

(1.21) 

Функция управления для единичного 

маневра z 

i 

определяется из условия минимума 

функционала 

u ~ 

i = arg min J ( z x ,u ), 

i i , 

(1.22) 

( u ,x ) ∈ D i 

где D i 

⊆U ∪X - допустимая область управлений 

и состояний. 

В результате получается динамическая 

характеристика единичного маневра 

Si 

= min J ( z ,x,u ). 

(1.23) 

i i 

( u,x ) ∈ D 

i 

Для получения аналитических решений 

данной задачи по участкам в зависимости от 

вида выделенной области 

X 

i 

возможны различные 

подходы. 

1.5. Метод последовательных 

расширений 

Метод последовательных расширений 

предполагает поэтапную редукцию математической 

модели задачи оптимизации (временное 

отбрасывание связей и ограничений; 

усреднение движений, носящих циклический 

характер; линеаризацию движения в окрестности 

опорной орбиты и т. д.); получение последовательности 

моделей различного уровня 

сложности, сохраняющих, однако, все важнейшие 

особенности исходной модели. Затем 

определяется структура оптимального управления 

в рамках упрощенной модели, а также 

приближенных аналитических зависимостей 

критерия оптимальности (функционала) вариационной 

задачи от граничных условий 

динамического маневра; синтезирующая 

функция и ее частные производные по компонентам 

вектора состояния в аналитическом 

виде; проводится построение оценочной функции 

режимов управления. 

В первом приближении выбор проектных 

и баллистических параметров, а также 

траекторий и управлений осуществляется с 

использованием простейших проектных и 

динамических моделей, например, представляющих 

КА точкой переменной массы с «бесплатным» 

управлением. Последующие приближения 

используют более сложные модели, 

учитывающие, например, динамику углового 

движения КА, возмущающие ускорения 

от гравитационных, аэродинамических и 

иных сил. 

В результате реализуется схема, основанная 

на использовании последовательности 

усложняющихся моделей управляемого 

движения: в качестве первого приближения 

используются приближенно оптимальные 

решения для упрощенных моделей, приближенный 

синтез управления; затем модель 

динамической задачи последовательно усложняется, 

а решение, полученное на предыдущей 

итерации, используется для оценок и 

сравнения различных режимов управления. 

1.6. Итерационная процедура 

поэтапной оптимизации 

Поскольку проектные параметры КА 

влияют на динамическую характеристику 

маневра, и наоборот, баллистическая схема 

и траектории перелета существенным образом 

влияют на выбор проектных параметров, 

процесс оптимизации параметров КА и семейства 

оптимальных траекторий необходимо 

вести совместно. 

Ключевая идея предлагаемого подхода 

состоит в условном разделении общей проблемы 

оптимизации на динамическую и параметрическую 

части с последующим их 

объединением через динамическую характеристику 

маневра, являющуюся мерой затрат 

42


на его реализацию, зависящую от граничных 

условий, проектных параметров и неопределенных 

факторов, и уточняемую по мере перехода 

от простых моделей динамической 

задачи к более сложным. 

Зададим последовательность математических 

моделей { M 

S } 

, s=1, 2,… динамической 

задачи для конкретного маневра z из подмножества 

Z. В рамках каждой из моделей 

M s определим критерий оптимальности динамической 

задачи – функционал J(z,p,x,u,v), 

а также множество допустимых траекторий 

и управлений D s 

и получим динамическую ха- 

( 

рактеристику маневра S s ) 

( z, p, υ 

* 

). Пусть в 

результате решения совокупности динамических 

задач с применением моделей { M 

S } 

получена последовательность значений 

глобального критерия оптимальности µ: 

( ) ( ) ( ) 

{ µ s } = { µ 

s z, p,S 

s ( z, p, υ ))}, s=1,2,… и 

( 

* 

определен вектор оптимальных проектных 

параметров согласно выражению 

( s ) 

p 

* 

p∈P 

s 

( ) 

= arg max µ ( z, p,S 

s ( z, p, υ )) . 

Процесс оптимального синтеза назовем 

устойчивым, если сколь угодно малым приращениям 

вектора проектных параметров 

соответствуют малые изменения критерия µ. 

Процесс заканчивается, когда применение 

модели более высокого уровня не приводит 

к заметному изменению критерия оптимальности 

µ и вектора проектных параметров p . 

В качестве первого приближения используются 

приближенно оптимальные решения 

для упрощенных моделей, строится 

приближенный синтез управления. Затем 

модель динамической задачи последовательно 

усложняется. 

Влияние неконтролируемых факторов 

приводит к неопределенности динамической 

характеристики маневра в пределах нижних 

и верхних границ ее изменения S , 

H 

S , которые 

в свою очередь определяются разме- 

B 

рами области неопределенности Ω . Сначала 

анализируются пределы изменения динамической 

характеристики 

S ( z, p ) 

н 

≤ S( z, p, υ ) ≤ 

S ( z, p ) 

в 

и выбираются проектные решения i-го приближения 

( i ) 

p 2 

p 1 

, 

( i ) 

, соответствующие предельным 

оценкам S , 

H 

S : 

B 

p i ) 

1 

p 

2 

( µ 

( i ) 

= arg max 

p ∈ P 

( 

= arg max µ ( 

p ∈ P 

z, p,S ( z, p )) 

H 

z, p,S ( z, p )) 

B 

, 

. (1.24) 

Соответственно, будем иметь критерии 

оптимальности для двух вариантов решений: 

µ ( i ) 

= ( i ) 

( z , p ) , µ ( i ) 

= ( i ) 

( z , p ) . 

1 

µ 

( i ) 

1 

2 

µ 

Сравнение компонентов векторов 

( i ) 

2 

(1.25) 

( i ) 

p 1 , 

p 2 

и критериев µ 

1 

, 

( i ) 

µ позволяет установить 

влияние неопределенности на облик 

1 

проектируемого КА и показатель его эффективности. 

На следующих итерациях уточнение 

проектных параметров приводит к необходимости 

повторного расчета семейства оптимальных 

траекторий и режимов управления, 

а также баллистических параметров. 

1.7. Проектная модель космического 

аппарата с электрореактивной 

двигательной установкой малой тяги 

Для выбора оптимальных проектных 

параметров КА представим его стартовую 

массу как сумму масс отдельных систем. Анализ 

работ в области оптимизации КА с ЭРД 

малой тяги позволяет выделить следующие 

элементы: 1) энергоустановку, состоящую из 

источника и преобразователя энергии; 2) ДУ, 

включающую маршевые и управляющие двигатели 

вместе с исполнительными органами 

(кардановым подвесом); 3) рабочее тело, необходимое 

для осуществления перелета с 

учетом затрат на управление; 4) систему подачи 

и хранения рабочего тела (баки, трубопроводы 

и др.); 5) полезный груз; 6) корпус и 

прочие элементы конструкции. 

Уравнение баланса масс на начальной 

орбите имеет вид 

0 ПГ Э Д СПХ T К 

M M M M M M M 

= + + + + + , 

(1.26) 

43


где M 

0 

- начальная масса, 

M - масса по- 

ПГ 

лезного груза, M 

Э 

- масса источника и преобразователя 

энергии, M 

Д - масса ДУ, M 

СПХ 

- 

масса системы подачи и хранения рабочего 

тела, M - масса рабочего тела, 

Т 

M - масса 

К 

корпуса, прочих элементов и систем. 

Определим вектор параметров КА: 

( , , , , , ) 

p = PP N r r I , (1.27) 

УПР УПР M 

где Р - тяга маршевых двигателей, P 

УПР 

- тяга 

управляющих двигателей, N – мощность 

энергоустановки, r УПР 

и r M 

- векторы, характеризующие 

расположение относительно 

центра масс точек крепления управляющих 

и маршевых двигателей, I 

0 

- тензор инерции. 

Компонентами этого вектора р являются параметры, 

наиболее полно характеризующие 

КА, его схему управления, массу, компоновку, 

энергетическую и двигательную установки 

и пр. 

Массы отдельных компонентов КА зависят 

от проектных параметров. Обычно применяются 

следующие зависимости. 

M 

M 

Э 

где 

ЭУ 

0 

= α N , M = γ ( P+ kP ) , (1.28) 

СПХ СПХ Т 

α 

ЭУ 

Д ДУ УПР 

= γ M , MK = γ′ KP+ γ′′ 

KN, 

, γ 

ДУ 

, γ 

СПХ 

, γ ′ 

К 

, γ ′′ 

К 

- соответствую- 

щие удельные массовые характеристики. 

Мощность энергоустановки зависит от тяги 

двигателей и скорости истечения рабочего 

тела 

Pc 1+ 

χ 

N = , (1.29) 

ηη 

где 

2 

T ПЭ 

P 

χ = УПР 

характеризует относительный 

P 

расход массы управляющих двигателей, η 

T 

- 

тяговый коэффициент полезного действия, 

η 

ПЭ 

- КПД преобразователя энергии. 

Введем в рассмотрение вектор управлений: 

u { e ,e , δ , M } Т 

= 

УПР УПР УПР , где e и 

УПР 

e - 

направления маршевого и управляющего вектора 

тяги, δ 

УПР 

и M 

УПР 

- функция включения-выключения 

и величина управляющего 

момента, соответственно. При жестком креплении 

двигателей u { ,M } ∈U 

= δ . 

УПР 

УПР 

Основная задача оптимизации формулируется 

следующим образом: определить 

из допустимого множества Р вектор проектных 

параметров p и вектор функций управления 

( t) 

u ∈ U , доставляющие при заданной 

массе полезного груза и заданном времени 

перелета T минимум начальной массе КА при 

выполнении граничных условий переходов: 

() t 

( p,u( t) 

,T ,M ) 

M 

0 

= min M 

0 

ПГ . (1.30) 

p∈Ρ 

,u ∈U 

Для выделения динамической задачи 

оптимизации введем в рассмотрение «приведенную» 

характеристическую скорость — 

меру энергетических затрат на управление 

движением – динамическую характеристику 

маневра: 

t 

P ⎛ qУПР 

⎞ 

VX ∫ ⎜1 + δ 

УПР 

⎟ dt , (1.31) 

M ⎝ q ⎠ 

= 

0 

где q, q 

УПР 

- соответственно секундные расходы 

рабочего тела маршевых и управляющих 

двигателей. 

Проблема оптимизации разделяется на 

две независимые: 

1) динамическую - нахождение оптимальных 

программ управления: 

( t, p) arg minV ( u , p,x , x ) 

uopt1 

XK1 

0 

u∈U 

= , 

( t, p) arg minV ( u , p,x , x ) 

uopt 

2 

XK 2 0 

u∈U 

= (1.32) 

и получение динамической характеристики 

перелета: 

( u ( t) 

, p,x ,x ) V ( p,x , x ) 

VХК 

opt 0 K 

= 

XK 0 К ; (1.33) 

2) параметрическую - нахождение оптимальных 

проектных параметров КА: 

popt 

arg min M 

0 XK 0 

p∈Ρ 

[ V ( p,x ,x ), 

p,T , M ] 

= . 

K 

K 

K 

Т 

ПГ 

(1.34) 

44


1.8. Оценки перелетов с малой тягой на 

расширенном множестве допустимых 

траекторий и управлений 

Рассмотрим задачу перехода КА с двигателем 

МТ из одной точки пространства 

( r, 

V ) в другую точку ( , ) 

0 0 

r V за заданное 

время T = tK 

− t0 

. Пусть требуется обеспечить 

минимум некоторого функционала I. Полагаем, 

что уравнения движения заданы в форме 

векторных дифференциальных уравнений, 

описывающих движение ЦМ и угловое движение 

КА, причем граничные условия для 

ориентации КА и для угловой скорости не 

заданы. 

Нетрудно проследить связь данной постановки 

задачи с другими, которые уже рассматривались 

в литературе. Исключив из системы, 

описывающей движение КА, уравнения, 

описывающие его угловое движение, 

получим расширение множества допустимых 

траекторий и управлений D до некоторого 

множества E (поскольку исключены некоторые 

связи). Очевидно, что minI 

≤ min I . 

Однако ясно, что случай, когда направление 

тяги является независимым управлением, 

а не фазовой координатой, соответствует 

традиционной постановке задач оптимизации 

траекторий в механике полета, когда 

не учитывается угловое движение КА, а вектор 

тяги может произвольно менять свою 

ориентацию в пространстве. 

Таким образом, данное соотношение 

служит априорной оценкой функционала на 

расширенном множестве допустимых траекторий 

и управлений E. Такая оценка может 

оказаться полезной и содержательной в случае, 

когда на управляющий момент не накладывается 

слишком жестких ограничений. В 

противном случае степень неоптимальности 

управляемого движения может оказаться завышенной. 

Однако отыскание min I требует 

E 

точного решения задачи оптимального управления 

движением ЦМ, которая сама по себе 

является достаточно сложной. 

При отсутствии ограничений на направление 

вектора тяги e( t ) в связанной системе 

K 

E 

K 

D 

координат (СК) ориентация вектора тяги в 

пространстве не зависит от углового положения 

КА, и управление траекторией осуществляется 

независимо от его движения относительно 

ЦМ. 

Если направление тяги фиксировано в 

связанной СК (двигатель жестко закреплен 

относительно корпуса КА), то 

⎛de 

⎞ 

⎜ ⎟ ≡ 0 . 

⎝ dt ⎠ 

В этом случае изменение направления вектора 

тяги в пространстве осуществляется 

только за счет разворота корпуса КА. В этом 

случае удобно считать, что тяга направлена 

вдоль одной из связанных осей, например, 

OX ( ) 

1 

e ≡ i 1 . Тогда de = ω × e . 

dt 

Если вектор тяги сохраняет неизменное 

положение в неподвижной СК, получим вы- 

⎛de 

⎞ 

ражение ⎜ ⎟ 

⎝ dt ⎠ 

СВ 

СВ 

=− ω × e , определяющее кинематику 

программного разворота тяги относительно 

корпуса. 

1.9. Математическая модель для 

оптимизации совместного управления 

траекторным и угловым движением 

Общей тенденцией развития перспективных 

КА с ЭРД является увеличение их 

масс и моментов инерции, что, в свою очередь, 

создает ряд проблем управления движением. 

Конструктивные схемы тяжелых КА, 

как правило, предусматривают жесткое закрепление 

связки двигателей относительно 

корпуса. Изменение направления тяги реализуется 

при этом путем разворота корпуса КА 

в пространстве с помощью управляющего 

момента, величина которого ограничена. 

Если момент создается самими маршевыми 

двигателями, то расход рабочего тела 

на управление отсутствует. Назовем такую 

схему управления траекторным и угловым 

движением совместной. 

Раздельной схемой управления будем 

называть такую схему, которая предполагает 

использование специальных двигателей, создающих 

только момент относительно центра 

масс. Это связано с дополнительными затратами 

рабочего тела. 

45


Для задач совместного управления траекторным 

и угловым движением КА используем 

модель, учитывающую динамику движения 

относительно центра масс, ограничения 

на ориентацию вектора тяги, зависимость 

тяги двигателя от расстояния КА до Солнца 

и от ориентации солнечных батарей, влияние 

несферичности Земли и сопротивления верхних 

слоев атмосферы, влияние гравитационных 

полей Солнца и планет и другие факторы: 

d r 

dt 

dω 

dt 

dV 

P 

= V ; = a + g + f = δ ⋅ e + g + f ; 

dt 

m 

( M − ω × ω ) 

= I 

− ; 

1 

0 0 

I0 

di1 dj1 dk1 = ω × i1 

; = ω × j1 

; = ω × k1 

; (1.35) 

dt dt dt 

dm 

P 

( q qупр) 

⎛ qупр упр 

dt c δ δ ⎞ 

=− + =− ⎜ + ⎟ 

⎝ ⎠ , 

где r - вектор положения ЦМ; a , g , f - век- 

торы реактивного, гравитационного и возмущающих 

ускорений; P = c⋅ q - тяга маршевого 

двигателя; e - единичный вектор направления 

тяги; δ - функция включения-выключения 

и реверса тяги маршевого двигателя; 

q 

упр и δ 

упр - секундный расход и функция 

включения-выключения управляющего 

двигателя; ω - вектор угловой скорости; 

( , j , ) 

1 1 

k1 

i - единичные векторы вдоль связанных 

осей; I [ m( t) 

] I ( t) 

I0 0 

= 

0 

= - матрица 

тензора инерции. Главный момент внешних 

сил M 

0 

представлен в виде суммы: 

M0 = MУПР 

+ H , 

где M 

УПР 

- вектор управляющего момента, 

H - вектор момента от гравитационных, аэродинамических 

и иных внешних сил. 

Необходимые условия реализации программных 

разворотов КА записываются в 

виде 

dω 

MУПР 

≥ I0 

− H + ω× Iω. (1.36) 

dt 


совместной оптимизации траекторий 

и ориентации солнечных батарей 

Электрическая мощность, вырабатываемая 

солнечными батареями (СБ) на освещенных 

участках траектории, зависит oт угла β 

между направлением на Солнце и нормалью 

к поверхности батарей: N = N max 

cosβ. Задачей 

управления ориентацией СБ является 

обеспечение максимального значения соsβ. 

Положение СБ относительно корпуса 

КА будем характеризовать двумя углами 

(рис. 1.2): γ 

СБ 

- угол крена оси батареи, который 

составлен осью вращения батареи OZ CБ 

и поперечной осью КА OZ 1 

; ϕ 

СБ 

- угол собственного 

вращения батареи, характеризующий 

поворот нормали OУ СБ 

к плоскости батареи 

вокруг ее собственной оси ОZ СБ 

. Очевидно, 

с помощью последовательных поворотов 

на углы γ и ϕ СБ 

можно добиться постоянного 

направления нормали Y СБ 

СБ 

на Солнце. 

При этом следует учитывать, что КА одновременно 

осуществляет программу разворота 

по углу ψ. 

Запишем выражения для проекций единичного 

вектора ОY СБ 

нормали к плоскости 

СБ на оси орбитальной СК OXYZ: 

n 

n 

n 

X 

Y 

= cosϕ 

cosψ 

− sinγ 

sinϕ 

sinψ 

, 

СБ 

= cosγ 

sinϕ 

, (1.37) 

СБ 

СБ 

= cosϕ 

sinψ 

sinγ 

sinϕ 

cosψ 

. 

Z СБ 

+ 

Будем считать, что в каждый момент 

известны компоненты единичного вектора 

S 

( r , r , r ) 

r = направления на Солнце 

SX 

SY 

SZ 

в орбитальной СК. Максимальная мощность 

реализуется при cosβ = n·r S 

= 1. Для этого 

случая выражения для программных углов 

ориентации солнечных батарей имеют вид: 

СБ 

СБ 

СБ 

СБ 

( r sinψ 

r cosψ 

) 

ϕСБ = arccos 

SX 

+ 

SZ 

, 

arccos r 

γ 

SX 

СБ 

= . (1.38) 

sinϕСБ 

Однако двухканальное управление ориентацией 

солнечных батарей в сочетании со 

46


Рис. 1.2. Параметры углового положения КА и солнечных батарей 

сложной программой изменения положения 

корпуса КА в пространстве может оказаться 

трудным для реализации. В этом случае рассматриваются 

альтернативные варианты одноканального 

управления: 1) батареи вращаются 

только вокруг оси ОZ СБ 

, постоянно совпадающей 

с поперечной осью 0Z 1 

(γ 

CB 

= 0); 

в этом случае угол ϕ СБ 

обозначим через ϕ I 

; 

2) ось вращения батарей совпадает с направлением 

связанной оси ОУ 1 

, а значит, и оси 

OY; γ 

СБ 

≡ π 2 ; в этом случае угол собственного 

вращения обозначим через ϕ II 

. Очевидно, 

для этих двух вариантов cos β < 1. 

I ,II 

Получим выражение для cos β и для 

I 

этого в (1.38) положим γ 

CБ 

= 0. Для обеспечения 

максимума 

значение ϕ I 

: 

ϕ 

Iopt 

cos β найдем оптимальное 

I 

rSY 

= arctg 

r cosψ 

+ r sinψ 

. (1.39) 

При этом 

cos β 

SX 

SZ 

( r cosψ 

r sin ) 2 

r 

2 ψ 

Im ax SY 

+ 

SX 

+ 

SZ 

= . 

(1.40) 

Для второй схемы управления cos β 

II 

не 

зависит от углового положения КА. Положим 

γ ≡ π 

СБ 

2 , и тогда 

rSZ 

ϕII 

= arctg −ψ , 

r 

SX 

cos β = r + r .(1.41) 

II 

2 

SX 

2 

SY 

С учетом возможности выключения 

двигателя при попадании аппарата в тень 

Земли целесообразно анализировать поведение 

среднего за виток косинуса угла β. Освещенность 

КА зависит от взаимного положения 

Солнца и оскулирующей плоскости орбиты. 

Поскольку оно меняется в процессе 

полета, на отдельных этапах перелета может 

оказаться более выгодной первая схема одноканального 

управления СБ, а на других - 

вторая. Поскольку целью управления СБ является 

обеспечение максимальной мощности, 

можно рассмотреть также комбинированную 

схему, при которой возможны развороты 

аппарата по крену на ±90° при смене знака 

разности ( cos cos β ) 

β − . 

I 



околоземными орбитами 

на больших интервалах времени 

Характерной особенностью задач управления 

движением КА на низкой околоземной 

орбите является наличие возмущающих 

ускорений, обусловленных нецентральностью 

гравитационного поля Земли и сопротивлением 

верхних слоев атмосферы, сравнимых 

с величиной реактивного ускорения. 

Модель задачи оптимизации становится при 

этом достаточно сложной, а эллиптичность 

орбиты требует аккуратного описания «медленной» 

эволюции орбиты на больших интервалах 

времени. В этих задачах на первый 

план выходит стратегия гарантированного 

результата как при выборе законов управле- 

II 

47


ния, так и при оптимизации параметров корректирующей 

ДУ. 

Для задачи совместного управления 

оскулирующими элементами орбиты (A, e, ω, 

Ω, i), а также относительным угловым положением 

∆u КА, обеспечивающего минимум 

характеристической скорости, с использованием 

метода усреднения была получена 

структура оптимального управления на отдельном 

витке орбиты, показанная на рис.1.3. 

Здесь η - эксцентрическая аномалия центра 

разгонного участка ( a > 0), ξ - половина 

ширины разгонного участка для трансверсальной 

тяги, α - ширина одного пассивного 

участка трансверсальной тяги; ζ - аргумент 

широты центра участка с a > 0 , ϕ - половина 

ширины рабочего участка с a z > 0 , β - ширина 

одного пассивного участка для бинормальной 

составляющей тяги. 

Рис. 1.3. Полученная структура оптимального 

управления на витке 

Для этой структуры управления получена 

математическая модель эволюции орбиты 

в поле земного сфероида с учетом возмущающего 

влияния атмосферы и малой тяги с 

оптимальной структурой управления: 

x 

z 

dA 4a 

= 

dt π 

de a1 

= 

dt π 

− 

e 

sin 

2 

2 

1 

dω 

a1 

= 

dt πe 

e 

− sin 2 

2 

3 

A 

µ 

A 

[ − 3e 

µ 

α−π 

( ξ + ) 

− 2σρ 

µ A, 

α −π 

α 

( ξ + ) + 4sin( ξ + ) 

cos 

µ 

A 

α 

( ξ + ) cosα 

cos2η 

] − 2eσρ 

, 

2 

A 

[ 4 sin 

µ 

2 

2 

α 

( ξ + ) 

ср 

cos 

2 

ср 

sinη 

− 

α 

2 

cosη 

− 

2 

ε( 

5cos 

i −1) 

0, 5 3, 

5 

2µ 

A 

α 

( ξ + ) cosα 

sin 2η 

] + 

, 

d , 

2 

2 

∆u 

−1, 5 −1 

5 

= µ ( A − AK 

), (1.42) 

dt 

di a3 

= 

dt π 

3 ⎛ β ⎞ 

− sin2⎜ϕ 

+ ⎟cos 

β ⋅ 

2 ⎝ 2 ⎠ 

dΩ 

a3 

= 

dt π sini 

A ⎡ ⎛ β ⎞ β ⎛ β π ⎞ 

2 sin ϕ cos cosζ 

3λ1 

ϕ 

µ 

⎢ ⎜ + ⎟ − ⎜ + − ⎟ − 

⎣ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠ 

3 ⎛ β ⎞ 

− sin2⎜ϕ 

+ ⎟cos 

β ⋅ 

2 ⎝ 2 ⎠ 

α 

2 

( λ cos2ζ 

+ λ sin2ζ 

) 

1 

⎤ 

⎥, 

⎦ 

A ⎡ ⎛ β ⎞ β ⎛ β π ⎞ 

2 sin ϕ cos sinζ 

3λ2 

ϕ 

µ 

⎢ ⎜ + ⎟ − ⎜ + − ⎟ − 

⎣ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠ 

⎤ ε cosi −1 

⎥ 0, 5 3, 

5 

⎦ 

− µ A 

( λ cos2ζ 

+ λ sin2ζ 

) , 

2 

где a 

1, a 

3 

- составляющие ускорения, направленные 

по трансверсали и бинормали, соответственно. 


оптимизации управления 

относительным движением КА 

В качестве основной будем рассматривать 

схему управления относительным движением 

двух КА. Один из них считается пассивным 

(КАI), а другой активным (КАII), 

снабженным ЭРД. 

Рассмотрим возмущенное движение КА 

в цилиндрической системе координат ruz, где 

r - расстояние от центра Земли до проекции 

КА на плоскость невозмущенной круговой 

орбиты, u - угол, отсчитываемый в плоскости 

невозмущенной орбиты от некоторой начальной 

оси по направлению полета спутника, 

z - расстояние от плоскости невозмущенной 

орбиты до КА. Считая, что величина r 

z 

мала, запишем уравнения движения в виде: 

2 

1 

48


dr = V r 

dt 

, 

dV 

dt 

Vu 

r 

du 

dt 

µ 

− 

r 

2 

r 

= + 

2 

dV µ z = − z + W 

3 . 

dt r 

Vu 

= , dz = Vz 

r dt 

, 

dVu VrVu 

S , = − + T , (1.43) 

dt r 

Здесь S, T, W - проекции возмущающих и управляющих 

ускорений на оси орбитальной 

СК, V - радиальная скорость, V 

r 

u 

- трансверсальная 

скорость, V - нормальная скорость 

z 

(проекция скорости на перпендикуляр к плоскости 

невозмущенной орбиты), µ - гравитационный 

параметр, t - текущее время. 

В большинстве практических задач эксцентриситет 

опорной орбиты невелик, и 

поэтому уравнения относительного движения 

записываются в следующем виде: 

∆ • r = ∆Vr 

, 

∆ • L = ∆Vu − λ∆r, 

∆ V 

• 2 

= 2λ ∆V 

− λ ∆r 

S, 

(1.44) 

r u 

+ 

∆ V 

• u 

= −λ∆Vr 

+ T , 

∆ • z = ∆Vz 

, 

∆ • 2 

= −λ ∆z 

W . 

V . z 

+ 

Здесь 

2 

( 1− e ) 

λ = µ 

3 - средняя угловая ско- 

p 

рость движения КАI по опорной орбите; 

∆ L = ∆u 

⋅ r - проекция расстояния между КА 

на дугу опорной орбиты. 


оптимизации перелетов между 

орбитами с большими 

эксцентриситетами 

Для задач оптимизации перелетов между 

орбитами с большими эксцентриситетами 

можно рассматривать два варианта ориентации 

вектора тяги: свободная ориентация 

и ориентация по трансверсали. 

Изменение оскулирующих элементов 

кеплеровской орбиты описывалось с использованием 

усредненных уравнений, полученных 

на основе стандартной процедуры усреднения 

уравнений в оскулирующих элементах 

для плоского движения КА: 

dA 

dV 

× 

x 

de 1 

= 

dV 2π 

2 

( e⋅ 

J1 

+ 1− 

e ⋅ J 

2 

) 

x 

2 

[ 1− 

e ⋅ J1 

+ 2J 

3 

− e ⋅( J 

4 

− J 

2 

)] 

dω 

dV 

x 

1 

= 

π 

⎧ 

× ⎨− 

J 

⎩ 

1 

= 

2πA 

5 

2π 

0 

A 

+ eJ 

A µ 

6 

3 

J 

j 

= ∫Ф 

j 

Θ 

A µ 

+ 

µ 

1− 

e 

2 

1− 

e 

2 

× 

× 

2 ⎛ 1 ⎞ 

1− 

e ⎜1+ 

⎟J7 

− 

2 

⎝ 1− 

e ⎠ 

( ,E) dE, j = 1,8 

, 

, 

e 

1− 

e 

2 

⎫ 

J8⎬ 

, 

⎭ 

. (1.45) 

Здесь µ - гравитационный параметр Земли, 

θ - угол, характеризующий ориентацию тяги 

в плоскости орбиты относительно трансверсали, 

Е - эксцентрическая аномалия, 

J 

1,..., 

J 8 

- усредняющие интегралы - функции 

параметров управления. 

1.14. Модели для оптимизации 

межпланетных перелетов с малой тягой 

Граничные условия межпланетного перелета 

определяются его целью и относительными 

положениями планет старта, финиша 

и КА. Обычно траектория движения разбивается 

на участки движения в сферах действия 

планет и Солнца и оптимальное движение 

рассчитывается по участкам. На границах 

участков необходимо осуществлять 

стыковку траектории по фазовым координатам 

и массе КА. 

Особенностью оптимизации замкнутых 

межпланетных перелетов (с возвращением 

КА на планету старта) является дополнительное 

условие равенства угловых перемещений 

аппарата и планеты старта в конечный момент 

времени: 

( T + T ) ⋅ω − ( ϕ + ϕ ) + T ( ω −ω 

) = 2π 

⋅n 

2 4 З 2 4 3 З М 

. 

(1.46) 

49


Здесь ϕ и 

2 

ϕ - угловые дальности прямого и 

4 

обратного гелиоцентрических перелетов, ωЗ 

и ω - средние угловые скорости движения 

M 

Земли и Марса, n - произвольное целое число. 

Появляется неоднозначность решения целевой 

задачи в зависимости от τ = T2 / T - 

4 

соотношения длительностей прямого и обратного 

перелетов и D 

0 

- даты старта. Это 

приводит к необходимости введения и последующей 

оптимизации дополнительных параметров, 

описывающих баллистическую 

схему перелета { } T 

b = D , τ . 

Задача проектно-баллистической оптимизации 

межпланетного перелета формулируется 

следующим образом. Требуется 

определить вектор проектных параметров 

{ P , c} Т ∈ P 

0 

p = 0 

, вектор баллистических па- 

b = D , 

T 0 

τ ∈ и вектор функций 

раметров { } B 

управления u( t) { e( t) , ( t) 

} Т ∈U 

= δ , доставляющие 

при заданных массе полезного груза 

M и длительности перелета T 

ПГ 

Σ 

минимум 

стартовой массе КА и обеспечивающие 

выполнение целевой задачи, описываемой 

множеством допустимых фазовых координат 

аппарата X: 

M 

( ( ) 

) 

0 

= Min M0 

p, b, u t MПГ 

= fixe, TΣ 

= fixe,x ∈X 

. 

p∈Ρ 

,u () t ∈U,b 

∈B 

(1.47) 

Задачи оптимизации пилотируемых 

экспедиций наиболее сложны, так как множество 

допустимых фазовых координат кроме 

граничных условий прямого и обратного 

перелетов содержат специфические ограничения, 

связанные с обеспечением безопасности 

экипажа (ограничения на суммарную длительность 

экспедиции TΣ 

≤ TПРЕД 

, минимально-допустимое 

расстояние от КА до Солнца 

R ≥ 

R ПРЕД 

, длительность нахождения в радиационных 

поясах Земли и др). 

Для разделения задачи оптимизации на 

параметрическую и динамическую части вводится 

промежуточный критерий оптимизации 

– приведенное моторное время: 

T 

∫ Σ 

( R) 

∗ 

Tµ = χ ⋅δ 

dt , (1.48) 

0 

где ( R) 

χ - коэффициент, учитывающий падение 

мощности энергоустановки, а следовательно, 

тяги двигателей и расхода рабочего 

тела в зависимости от расстояния от КА до 

Солнца. Для КА с ядерными источниками 

энергии χ ( R) ≡ 1 

, для КА с солнечной энергоустановкой 

( R) N( R) 

0 

P 

1 

χ ( R) 

= = ≈ 

1. 

7 

. (1.49) 

P N R 

0 

Этот критерий непосредственно определяет 

суммарные затраты рабочего тела 

P ∗ 

M Т 

( p) = 0 ⋅Tµ 

( p) 

c 

на перелет и, следовательно, 

является динамической характеристикой 

маневра. 

Баллистическая часть задачи оптимизации 

состоит в определении вектора функций 

управления u( t) { e( t) , δ ( t) 

} Т 

= и вектора 

баллистических параметров { } T 

b = 

(для замкнутых перелетов), обеспечивающих 

выполнение целевой задачи с минимальными 

затратами рабочего тела при фиксированных 

проектных параметрах КА, и построении 

зависимости 

T 

( p) 

∗ 

∗ 

µ 

= Min Tµ 

b, u t p = fixe, TΣ 

= fixe, x∈ 

X . 

p() 

t ∈Ρ ,b∈B 

D 

( ( ) 

) 

Проектная часть задачи оптимизации 

состоит в выборе вектора проектных 

параметров { } Т 

p 

0 

= P , c , обеспечивающих 

минимум стартовой массе КА с учетом полученной 

зависимости. 

Баллистическая часть задачи оптимизации 

решается в соответствии с разработанным 

подходом, связанным с использованием 

последовательности усложняющихся моделей. 

Модель А описывает движение аппарата 

в рамках теории сфер действия в центральном 

поле притяжения Солнца и планет 

без учета возмущений от других притягива- 

0 

, 

τ 

50

ющих центров в плоской полярной СК. Орбиты 

планет считаются круговыми и компланарными. 

Стыковка плането- и гелиоцентрических 

участков осуществляется только по 

массе КА. 

В рамках модели Б движение КА разделяется, 

в соответствии с теорией сфер действия, 

на гелио- и планетоцентрические участки, 

и при этом на границах сфер действия 

проводится точная стыковка траекторий движения 

по координатам, скорости и массе КА. 

Орбиты планет считаются эллиптическими 

и некомпланарными. При расчете движения 

в сферах действия планет учитываются участки 

затенения, гравитационные возмущения 

от других небесных тел и нецентральности 

гравитационного поля планеты. 

Модель В использует уравнения движения 

в поле притяжения нескольких тел (Солнце 

и планеты солнечной системы), учитывается 

эллиптичность и некомпланарность 

орбит планет, деградация СБ и другие факторы. 

При решении динамической части задачи 

учитываются ограничения на проектные 

и баллистические параметры и вектор управления, 

траектория рассматривается как непрерывная 

с оптимальной стыковкой участков. 

51 



1. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев 

В. В. Механика космического полета 

(проблемы оптимизации). - М.: Наука, 1975. 

2. Лебедев В. Н. Расчет движения космического 

аппарата с малой тягой.- М.: ВЦ 

АН СССР, 1968. 

3. Гурман В. И. Принцип расширения в 

задачах управления. - М.: Наука, 1985. 

4. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и 

задачи оптимального управления. - М.: Наука, 

1973. 

5. Гурман В. М., Попов Ю. Б., Салмин 

В. В. О возможности реализации траекторий 

аппаратов с малой тягой с учетом их движения 

вокруг центра масс //Космические исследования. 

– 1970. Т.8, № 5. - С. 684-692. 

6. Салмин В. В. Оптимизация режимов 

разгона вращающегося космического аппарата 

с двигателем малой тяги //Космические 

исследования. – 1973. Т. 11, № 8. - С. 842 – 853. 

7. Брусов В. С., Салмин В. В. Комбинированная 

двигательная система, универсальная 

для диапазона маневров //Космические 


8. Васильев В. В., Салмин В. В. Оптимальный 

разгон космического аппарата с 

электрореактивным двигателем при ограниченной 

скорости поворота вектора тяги //Космические 

исследования. – 1976. Т. 14, № 3. - 

С. 336 – 342. 

9. Салмин В. В. Многошаговые алгоритмы 

управления движением космических аппаратов 

//Космические исследования. – 1979. 

Т. 17, № 6. - С. 835 – 845. 

10. Салмин В. В. Аналитическая оценка 

оптимальности многошаговых адаптивных 

алгоритмов управления //Космические 


11. Васильев В. В. Оптимальное управление 

эллиптической орбитой спутника Земли 

с двигателем малой тяги //Космические 

исследования. - 1980. Т. 18, №5. - С. 707 – 714. 

12. Юрин В. В. Оптимальная коррекция 

параметров орбиты космического аппарата с 

двигателем малой тяги //Космические исследования. 

- 1983. Т. 21, №5. – С. 666 - 674. 

13. Васильев В. В., Салмин В. В. Многошаговые 

алгоритмы коррекции орбиты 

спутника Земли двигателем малой тяги //Космические 

исследования. – 1984. Т.22, № 4. - 

С. 507 – 519. 

14. Салмин В. В., Ишков С. А. Оптимальные 

программы управления в задаче межорбитального 

перелета с непрерывной тягой 

//Космические исследования. - 1984. Т. 22, 

№ 5. – С. 702 – 711. 

15. Васильев В. В., Салмин В. В. Выбор 

универсальных параметров двигателя малой 

тяги, предназначенного для поддержания 

орбиты спутника Земли//Космические исследования. 

– 1984. Т.22, № 6. – С. 858 – 866. 

16. Салмин В. В. Оптимизация космических 

перелетов с малой тягой: Проблемы 

совместного управления траекторным и угловым 

движением.- М.: Машиностроение, 

1987. 

17. Ишков С. А., Салмин В. В. Оптимизация 

траекторий и параметров межорбитальных 

транспортных аппаратов с двигателями 

малой тяги //Космические исследования. – 

1989. Т.27, №1. - С. 42-53. 

18. Салмин В. В., Соколов В. О. Приближенный 

расчет маневров формирования


орбиты спутника Земли с двигателем малой 

тяги //Космические исследования. – 1991. 

Т. 29, № 6. - С. 872-888. 

19. Ишков С. А. Сближение космических 

аппаратов с малой тягой на околокруговых 

орбитах //Космические исследования. – 

1992. Т.30, № 2. - С. 165 – 179. 

20. Ишков С. А., Милокумова О. Л., 

Салмин В. В. Оптимизация замкнутых межпланетных 

перелетов Земля-Марс-Земля с 

малой тягой //Космические исследования. - 

1995. Т.33, №2, - С. 210 - 218. 

21. Ишков С. А. Расчет оптимальных 

межорбитальных перелетов с малой трансверсальной 

тягой на эллиптическую орбиту 

//Космические исследования. – 1997. Т.35, 

№ 2. - С. 178 - 188. 

22. Ишков С. А., Романенко В. А. Формирование 

и коррекция высокоэллиптической 

орбиты спутника Земли с двигателем 

малой тяги //Космические исследования. – 

1997. Т.35, № 2. - С. 11 - 20. 

23. Салмин В. В., Старинова О. Л. Оптимизация 

межпланетных перелетов КА с 

двигателями малой тяги с учетом эллиптичности 

и некомпланарности орбит планет 

//Космические исследования. - 2001. Т.39, 

№ 1. - С. 51 - 59. 

24. Храмов А. А., Ишков С. А. Расчет 

маневров коррекции слабоэллиптических и 

круговых орбит с двигателем малой и конечной 

тяги // Известия Самарского научного 

центра РАН. – 2002. Т.4, №1. - С. 144-152. 

25. Салмин В. В., Ишков С. А., Старинова 

О. Л. Методы решения вариационных 

задач механики космического полета с малой 

тягой. – Самара: Издательство Самарского 

научного центра РАН, 2006. 

APPROXIMATE METHODS OF CALCULATING OPTIMAL FLIGHTS OF SPACE 

VEHICLES WITH LOW-THRUST ENGINES. PART I 

© 2007 V. V. Salmin, V. V. Vasilyev, S. A. Ishkov, V. A. Romanenko, 

V. O. Sokolov, O. L. Starinova, V. V. Yurin 


The first part of the paper presents mathematical formulations of the tasks of optimizing flights of space vehicles 

with low-thrust engines and methods of their solution. The peculiarities of mathematical motion models used for control 

optimization within the frames of different tasks are discussed. 

52


УДК 629.78 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МИКРОМЕТЕОРОИДНЫХ И 

ТЕХНОГЕННЫХ ЧАСТИЦ С КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ 

© 2007 Н. Д. Семкин, В. Л. Балакин, И. В. Белоконов, К. Е. Воронов 


На основе модели метеорного и техногенного окружения проведен расчет числа соударений частиц с 

космическим аппаратом (КА), выполняющим функцию их детектора и выполненным в виде надувной пленочной 

конструкции сферической формы. Сделаны оценки прогноза числа соударений на период 2004 – 2012 гг. и 

получены зависимости числа частиц, соударяющихся с поверхностью КА, как функции параметров его размеров 

и параметров орбиты. 


Наиболее совершенным средством регистрации 

микрометеороидных и техногенных 

частиц является преобразователь [1, 2] 

на основе пленочной МДМ – структуры (металл 

– диэлектрик - металл), выполненный в 

виде двух концентрических оболочек (рис. 1), 

внешняя из которых служит чувствительной 

поверхностью, а внутренняя – приемником 

ионов [3, 4]. Такой преобразователь может 

быть изготовлен на больших рабочих площадях 

(100 – 300 м 2 ). 

1. Оценка числа соударений метеорных 

частиц с преобразователем 

В рассматриваемой модели метеорного 

окружения принимаются следующие допущения. 

1. Все метеорные частицы, находящиеся 

в сфере действия крупного небесного тела, 

движутся по кеплеровым орбитам. 

2. Все метеорные частицы делятся на 

две группы: 

а) поточные метеорные частицы; 

б) спорадические метеорные частицы. 

Рис. 1. Схема КА как преобразователя параметров частиц 1, 6 – пленочные солнечные батареи, 

2 – внешняя общая пленочная оболочка, 3 – конденсаторные секции, 4 – приемник ионов, 

5 – пленочная антенна, 7 – контейнер с научной аппаратурой 

53


3. Задано распределение спорадических 

метеорных частиц по массе. 

Рассчитанное в рамках данной модели 

общее число частиц (спорадических и поточных) 

с массой, большей m и попавших на 

i-ую площадку, площадь которой U 

i 

за время 

T = T к 

− Tн 

, где T 

н 

- начало полета, T - 

к 

время, соответствующее окончанию полета, 

определяется равенством 

N 

i 

T 

к −S 

к 

c 

j 

= U ( ξ a m dt + ξ a m dt ) . 

i 

∫ 

T 

н 

i 

к 

∑∫ 

j∈J 

Здесь t – время экспонирования, с; 

T 

T 

н 

ij 

j 

−S 

i 

ij 

(1) 

ξ , ξ – 

поправочные коэффициенты для спорадических 

и поточных метеорных частиц, соответственно; 

a , a , S , S – статистические коэф- 

i 

j 

i 

j 

фициенты. 

Выражение (1) может быть упрощено 

[5]: 

N 

M 

i i i 0 

= fU ξ TN ( m ), (2) 

где f – коэффициент безопасности, принимаемый 

равным 5; U 

i 

– площадь i-го элемента, 

м 2 ; Т – время полета, сут; ξ 

i 

– обобщенный 

поправочный коэффициент: 

T 

1 

ср 

ξ 

i 

= KэсKдс 

K 

ргdt 

= KэсKдсK 

рг 

T 

∫ 

; (3) 

0 

N 0 

( m ) – коэффициент, зависящий от массы 

частицы: 

N ( m ) = αm 

−β 

0 

. 

(4) 

Здесь α, β - статистические коэффициенты 

распределения: 

−6 

⎧− 

7. 

5 при m < 10 г, 

lgα 

= ⎨ 

−6 

⎩− 

9 при m ≥ 10 г, 

⎧0. 

0167 при m < 10 

β = ⎨ 

− 

⎩1. 

1167 при m ≥ 10 

−6 

6 

г, 

г. 

(5) 

Задача определения числа соударений 

спорадических и поточных метеорных частиц 

с элементами поверхности КА сводится 

в основном к определению коэффициента ξ 

i 

. 

ср 

Входящий в (3) коэффициент K 

pг зависит 

от положения орбиты КА и долготы Солнца, 

т.е. от положения Земли на гелиоцентрической 

орбите: 

K 

где 

ср 

рг 

рг 

1 

= 

N 

N L 

∑ 

L ν = 1 

K 

рг 

ν , (6) 

N – число расчетных орбит (1≤ v ≤ N 

L 

v 

). 

Величина K 

ргv 

определяется как 

K ν = 0. 

9+ 

0. 

26sinλ 

+ 

⎛ 

λΘ 

+ ⎜0. 

06−0. 

075sin 

⋅sin 

⎝ 

4 

Θ 

( 2i 

−180°− 

422 . sin( λ −135) 

−Ω ) , 

КА 

360 

0 

где λ 

Θ 

= Сy 

− 80 - долгота Солнца, град; 

365 

C 

у – время, прошедшее с начала года, сут; 

i – наклонение орбиты КА, град; 

КА 

Ω – 

КА 

долгота восходящего угла орбиты КА, град. 

Коэффициент 

K 

дс 

Θ 

КА 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

, учитывающий движение 

КА по орбите или неравномерность 

числа соударений на его лобовую и тыльную 

стороны, определяется как 

K 

= 1 v cosγ , (7) 

дс 

+ 

к 

vн 

где vк 

= ≈ 0. 4 , ν 

v 

к 

– скорость КА (8 км/с), 

м 

ν м 

– скорость метеорной частицы (20 км/с), g 

γ - угол между нормалью к поверхности КА 

и вектором скорости. 

Коэффициент K 

эс 

, учитывающий положение 

экспонируемой площадки относительно 

вертикали, проходящей через эту площадку, 

и расстояние этой площадки от центра 

Земли, определяется по соотношению: 

K 

эс 

0 

⎧1,еслиϕi 

≤ ( 90 −φ 

); 

⎪ 

0 

( 1− 

cosφ 

) φ − 90 + ϕi 

= ⎨1 

− 

,если ( 90 

⎪ 2 φ 

⎪ 

0 

0 

⎩cosφ,если ( 90 + φ ) ≤ ϕi 

≤ 180 . 

0 

−φ 

) < ϕ < ( 90 

i 

0 

+ φ ); 

(8) 

54


Здесь ϕ 

i 

– угол между нормалью к поверхности 

элемента КА и зенитом, 

Rз 

ϕ = arcsin( ), 

R + Н 

з 

R 

з 

– радиус сферической Земли, 

H – высота орбиты. 

Для оценки числа соударений метеорных 

частиц с преобразователем его сфера с 

радиусом R разбивается на элементарные 

участки площадью dU i 

(рис. 2): 

dU i 

=dxdy, (9) 

где 

dx=Rdα, 

dy=rdβ, 

r=Rsinα. 

Тогда 

dU i 

= R 2 sinαdαdβ. (10) 

Число частиц, попадающих на элементарную 

площадку за время t: 

dN 

M 

i 

2 

= fξiN 

o( 

m )dU 

it 

= fξiNo( 

m )tR sinαdαdβ 

. 

(11) 

Число частиц, попадающих на всю сферу 

преобразователя: 

N 

M 

π 2π 

∫∫ 

2 

= fR N ( m )t ξ( 

α, 

β)sinαdαdβ, 

(12) 

ср 

где ξ i 

(α) = K K K ; 

K 

эс 

0 

эс 

дс 

0 

⎧1,еслиαi 

≤ ( 90 −φ 

); 

⎪ 

0 

( 1− 

cosφ 

) φ − 90 + αi 

= ⎨1 

− 

,если ( 90 

⎪ 2 φ 

⎪ 

0 

0 

⎩cosφ,если ( 90 + φ ) ≤ αi 

≤ 180 , 

0 

0 

рг 

i 

0 

−φ 

) < α < ( 90 

i 

0 

+ φ ); 

(13) 

α 

i 

– угол между нормалью к поверхности элемента 

КА и зенитом. 

Тогда (12) примет вид: 

N 

M 

π 2π 

π 

) 

2 

ср 

= fR N0( 

m )t∫∫ KЭС( 

α)КдсК 

dαdβ 

= K 

рг 

0 0 

) 

2 

ср 

где K = 2πfR 

N ( m )tК К . 

0 

дс 

рг 

∫ 

0 

K 

ЭС 

( α)dα, 

(14) 

Используя свойства интеграла, выражение 

(14) после преобразований можно записать 

следующим образом: 

N 

M 

ср 

рг 

2 2 

= fπ R N ( m )K K ( 1+ 

cosφ 

)t. 

0 

дс 

(15) 

Таким образом, число соударений с преобразователем 

метеорных частиц с массой 

более m определяется в развернутом виде 

выражением 

N 

M 

или 

π 2π 

=∫∫ 

0 

0 

2 

fξi( 

α, 

β)N0( 

m )tR sinαdαdβ 

N 

M 

× sin(2i 

2 2 

= fπ 

R αm 

КА 

−β 

1 

(1 + vк 

) 

N 

0 

−180 

−42.4sin( 

λ 

NL 

L ν = 1 

Θ 

∑ 

(0.9 + 0.26sinλ 

0 

−135 

) −Ω )))(1 + cosφ) 

t. 

A 

Θ 

λΘ 

+ (0.06−0.075sin 

× 

4 

(16) 

z 

(зенит) 

r 

α 

dx 

dβ 

dy 

dU i 

Рис. 2. Пленочный сферический преобразователь 

55


2. Определение критической 

массы частиц 

Встреча КА с метеорными и техногенными 

частицами является случайным событием. 

Поэтому, используя вероятностную 

модель метеорного окружения, можно определить 

и вероятность встречи поверхности 

преобразователя хотя бы с одной частицей, 

масса которой больше m: 

P встр 

=1 – e -N , (17) 

где N – число соударений со всей поверхностью 

КА. 

Не каждое соударение сопровождается 

пробоем оболочки преобразователя. Плотность 

частиц, скорость соударения и направление 

удара – также случайные параметры. 

В соответствии с рекомендациями COSPAR 

принято, что соударения происходят по нормали 

со скоростью v = 20 км/с и что плотность 

частицы ρ = 2,5 г/см 3 . В этом случае 

при заданной конструкции оболочки преобразователя 

расчетным или экспериментальным 

путем можно определить критическую 

массу частицы m кр 

, превышение которой приведет 

к появлению пробоины в оболочке. 

Для определения m кр 

можно использовать 

зависимость глубины проникновения 

частицы в материал оболочки от параметров 

ее движения и характеристик ударника (частицы) 

и мишени (оболочки) [6]: 

P 

d 

p 

1 3 1 

ρ 

p 

ρ 

3 pv 

3 

= 1 . 5( 

) ( ) , (18) 

ρ 2S 

t 

t 

где P – глубина проникновения, м; d p 

– диаметр 

ударника, м; v – скорость ударника, м/с; 

S t 

– константа деформационной прочности 

мишени, 1/кгм; ρ p 

, ρ t 

– соответственно плотность 

ударника и мишени, кг/м 3 . 

Отсюда 

d 

p 

t t 

2 2 

p 

v 

1 

3 

P 2ρ 

S 

= ( ) . (19) 

1. 

5 ρ 

Минимальный диаметр частицы, способной 

пробить оболочку, равен 

d 

ркр 

t t 

2 2 

p 

v 

1 

3 

dдиэл 

2ρ 

S 

= ( ) , (20) 

1. 

5 ρ 

где d диэл 

– толщина оболочки преобразователя, 

м. 

Минимальный объем проникающих 

частиц в предположении сферической формы 

частицы равен: 

V 

4 

3 

d 

ркр 3 

кр 

= π( 

) . (21) 

2 

Следовательно, критическая масса части 

равна: 

m 

ρ S 

t t 3 

кр 

= ρ 

рVкр 

= 0. 

01π 

d 

2 

диэл . (22) 

ρ 

pV 

При ρ t 

= 2.0 г/cм 3 и d диэл 

= 20 мкм критическая 

масса частицы равна 6,5*10 -3 кг. 

3. Определение числа частиц, 

пробивающих оболочку преобразователя 

Выше определено количество соударений 

с преобразователем частиц, масса которых 

более m, за интервал времени t. 

Число частиц, пробивающих оболочку 

преобразователя за время экспонирования t, 

определим, подставив в (4) выражение для 

критической массы m кр 

. Число метеорных 

частиц, пробивающих оболочку, равно: 

N 

М 

кр 

2 2 

ср 

= fπ R N m ) К К (1 + cosφ) 

t . 

0 ( 

кр 

дс 

рг 

(23) 

Число техногенных частиц, пробивших 

оболочку, равно: 

T 

N = 0. 

08πF 

орб( i,ha 

,hp 

,e, Ω,T , ω ) γ × 

) 

−Θ 

3 

3 

× m (( d + d ) − ( d + d ) )vt. 

кр 

0 

max 

0 

(24) 

Суммарное число частиц, пробивающих оболочку 

за время t, равно: 

N крΣ 

=N крМ 

+N крТ 

. (25) 

Зная N кр 

М 

и N крТ 

, можно оценить количество 

соударений частиц с преобразовате- 

56


лем, при которых не нарушается целостность 

его оболочки: 

N нпрΣ 

=N нпрМ 

+N нпрТ 

=(N M (m min 

) - N M (m кр 

))+ 

+ (N Т (m min 

) - N Т (m кр 

)), (26) 

где N нпр 

М 

и N нпр 

Т 

– соответственно число соударений 

метеорных и техногенных частиц, 

не приводящих к пробиванию оболочки; 

m min 

– минимальная регистрируемая масса. 

4. Результаты моделирования 

Моделирование проводилось с целью 

определения числа соударений метеорных и 

техногенных частиц с преобразователем при 

следующих исходных данных: 

вид орбиты – эллиптическая с наклонением 

i = 51°; долготой восходящего узла 

Ω= 150°; высотой апогея h a 

= 3.6*10 4 км; высотой 

перигея h p 

= 5.0*10 2 м; эксцентриситетом 

e = 0.73; 

относительная скорость КА v к 

=0.4; 

скорость частиц v m 

= 25 км/с, максимальный 

размер техногенных объектов 

d max 

=1.0 м. 

По результатам моделирования получены 

следующие значения искомых величин: 

N кр 

М 

=108.2; N крТ 

=96.4; N крΣ 

=204.6. 

Особый интерес представляет зависимость 

величин N М (m) и N Т (m) от орбиты КА 

(рис. 3). 

На рисунках 4 - 7 показаны зависимости 

числа соударений от массы частиц (в граммах) 

для различных диаметров КА и параметров 

его орбиты. 

Существует сложная зависимость числа 

соударений техногенных частиц N T от параметров 

орбиты КА. 

Так, например, 

N T (i = 40°) > N T (51°) > N T (30°). 

5. Прогноз взаимодействия метеорных 

потоков с КА на 2004 – 2012 гг. 

Потоки метеорного вещества являются 

результатом захвата гравитационным полем 

Земли вещества метеорных роев, возникающих 

при гравитационном воздействии планеты 

Юпитер на пролетающие мимо ядра 

комет. 

Скорость метеоров лежит в пределах 

30-70 км/с. Плотность потока метеоров различна. 

На рисунке 8 показана схема метеорного 

роя. 

Как видно из рис. 8, в зависимости от 

периода вращения метеорного роя возможны 

различные ситуации: от однократного 

прохождения Земли сквозь метеорный рой за 

один период его обращения вокруг Солнца 

до многократного прохождения при больших 

периодах обращения. 

В последнем случае количество попадания 

метеорного вещества будет меняться 

Рис. 3. Зависимость N М (m) и N Т (m) от параметров орбиты КА 

LEO – низкая околоземная орбита, GEO – геоцентрическая орбита 

57


lgN Т 

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 lgm 

Рис. 4. Зависимость числа соударений техногенных частиц от диаметра КА (круговая орбита) 

lgN M 

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 lgm 

Рис. 5. Зависимость числа соударений микрометеороидных частиц от диаметра КА (круговая орбита) 

58


Рис. 6. Зависимость числа соударений метеороидных и техногенных частиц 

от параметров эллиптической орбиты 

59


Рис. 7. Зависимость числа соударений метеороидных и техногенных частиц 

от параметров круговой орбиты 

Метеорный 

рой 

Орбита 

Земли 

Область 

метеорного 

дождя 

Рис. 8. Схема метеорного роя 

60


от года к году вплоть до его исчезновения на 

длительное время. Так, например, метеорный 

рой Драконид, бывший очень обильным в 

1946 году, далее долгое время практически 

не наблюдался вплоть до 1998 года. 

Поэтому расчет плотности метеорного 

вещества проводился в несколько этапов. На 

первом этапе в приближении задачи трех тел 

рассчитывается прохождение кометы вблизи 

Юпитера, и при этом в точках Лагранжа L1 и 

L2 возникают метеорные рои. Положение 

метеорных роев находится из решения системы 

уравнений: 

m x 

2 

− n x 

2 

− n x 

m 

0 

0 

y 

0 

0 

2 

− n y 

2 

− n y 

+ m x 

1 

2 

+ 

+ 

+ m y 

1 

2 

+ 

+ 

1 

fm 

fm 

1 

1 

1 

fm 

fm 

+ m x 

0 

0 

x1 

− x 

3 

∆ 

x2 

− x 

3 

∆ 

+ m y 

0 

0 

2 

01 

2 

12 

y1 

− y 

3 

∆ 

01 

2 

y2 

− y 

3 

∆ 

12 

0 

2 

= 0, 

1 

0 

+ 

+ 

= 0, 

1 

+ 

+ 

fm 

fm 

2 

fm 

0 

fm 

2 

0 

x1 

− x 

3 

∆ 

12 

x2 

− x 

3 

∆ 

02 

y1 

− y 

3 

∆ 

12 

y2 

− y 

3 

∆ 

02 

2 

0 

2 

0 

⎫ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

= 0, 

⎪ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

= 0, 

⎪ 

⎭ 

(27) 

где ∆ ij 

взаимные расстояния между точками 

P i 

и P j 

(P 0 

- Юпитер, P 1 

- ядро кометы, P 2 

- 

метеорный рой); m i 

– масса, x i 

, y i 

- координаты 

точки i в системе координат, связанной с 

барицентром системы, причем ось абсцисс 

проходит через точки P 0 

, P i 

; f - постоянная 

тяготения; n - среднее движение. 

Поскольку данная система 6 уравнений 

содержит 8 неизвестных: n, m 2 

, 

x 

1 

, y1 

,x2, 

y2,x3, 

y3 

, то для ее решения привлекают 

дополнительные условия коллинеарности: 

y = yi = y 0 . 

0 2 

= 

На втором этапе рассчитываются орбиты 

метеорных роев, что позволяет определить 

период их прохождения через плоскость орбиты 

Земли. Поскольку период метеорного 

роя, как правило, не кратен периоду обращения 

Земли вокруг Солнца, то будет иметь 

место периодическое усиление и ослабление 

интенсивности метеорного потока. 

Вычисляется период биений, который 

является одной из основных величин, использующихся 

при построении прогноза [7]. Кроме 

того, при прогнозировании используются 

эмпирические данные о максимальных значениях 

плотности потока вещества для метеорного 

роя и значениях предыдущих интенсивностей 

выпадения метеорного вещества, 

которые определяются конфигурацией метеорного 

роя. 

При прогнозе расчет, опирающийся на 

гравитационное воздействие Юпитера, проводился 

приближенно с точностью до недели, 

поскольку большая точность требует значительного 

увеличения затрат времени. По 

результатам расчета плотности метеорных 

потоков на период 2004-2012 гг. (таблица 1) 

можно сделать вывод о том, что наиболее 

значимы в отношении метеорной опасности 

2008 г. и 2012 г., а наиболее «спокойная» обстановка 

соответствует 2005-2006 гг. 

Заключение 

Результаты моделирования взаимодействия 

микрометеороидных и техногенных 

частиц с КА сферической пленочной конструкции 

позволяют оценить его предельные 

возможности и преимущества по сравнению 

с известными способами детектирования 

микрочастиц, к которым следует отнести: 

1. Возможность определения физических 

параметров частиц (скорость, размер, 

плотность) на больших площадях чувствительной 

поверхности КА как преобразователя 

при независимости измеряемых параметров 

от вектора скорости частиц. 

2. Возможность получения большего 

объема информации при небольшом времени 

экспонирования КА. 

3. Возможность получения информации 

на различных околоземных орбитах КА в 

широком диапазоне масс и скоростей частиц. 

61



Название 

потока 

Дата 

максимального 

потока 

Интервал 


прохождения 

потока у 

Земли 

Скорость 

потока, 

км/с 

2004 

год 

2005 

год 

2006 

год 

2007 

год 

Плотность потока, шт/час 

Лириды 3.01 2-4.01 47 15 10 5 0...5 0...5 

Δ-Аквариды 30.07 29.07-14.08 41 5 5 5 5 5 

Дракониды 10.10 10.10 24,60 8 8 8 8 8 

Ориониды 21.10 17-24.10 66 5 5 5 5 5 

Тауриды 4.11 20.10-25.11 30 7 8 7 6 5 

Леониды 16.11 14-19.11 72 6 5 5 5 5 

Андромедиды 20.11 15.11-6.12 20 1000 10 10 1000 7000 

Β-Таурииды 30.06 23.06-7.07 31 - - 20 - - 

Название 

потока 

Дата 

максимального 

потока 

Интервал 


прохождения 

потока у 

Земли 

Скорость 

потока, 

км/с 

2009 

год 

2010 

год 

2011 

год 

2012 

год 

Плотность потока, шт/час 

Лириды 3.01 2-4.01 47 0...5 0...5 0...5 0...5 

Δ-Аквариды 30.07 29.07-14.08 41 5 5 5 5 

Дракониды 10.10 10.10 24,60 8 8 8 8 

Ориониды 21.10 . 17-24.10 66 5 5 5 5 

Тауриды 4.11 20.10-25.11 30 5 5 5 5 

Леониды 16.11 14-19.11 72 5 5 5 5 

Андромедиды 20.11 15.11-6.12 20 1000 10 1000 7000 

β-Тауриды 30.06 23.06-7.07 31 - - - - 

Геминиды 13.12 8-15.12 36 - - 50 - 

Урсиды 22.12 19-23.12 36 - - 12 - 

2008 

год 


1. Патент №205008 (Россия). Детектор 

микрометеороидных частиц. //Семкин Н. Д. 

Опубликован 10.12.95, БИ №34, с. 32. 

2. N. D. Semkin, L. S. Novikov, 

K. E. Voronov et al. Detector of micrometeoroid 

and artifical space debris particles. Space Debris 

2, 273-293, 2000. 

3. Патент №2134435 (Россия). Детектор 

космического мусора. //Семкин Н. Д. Опубликован 

10.08.1999, БИ №24, с.57. 

4. Семкин Н. Д., Воронов К. Е., Ротов 

С. В. Детектор микрометеороидных и техногенных 

частиц //Измерительная техника. – 

1999. - №8. - С.3-6. 

5. Chobotov V. A. Classification of Orbits 

wich Regard to collision hazard in Space //Jurnal 

of Spacecraft and Rockets, №20, 1983, pp. 135- 

142. 

6. Леонтьев Л. В., Тарасов А. В., Терешкин 

И. А. Некоторые особенности формы 

кратеров, образованных высокоскоростными 

частицами в полубесконечной преграде //Космические 

исследования. – 1971. - №9. – Т. 5. 

- С. 796-801. 

7. Маркелова Е. С., Семкин Н. Д. Прогноз 

метеорной активности для космических 

аппаратов, находящихся на орбитах Земли // 

Вестник СГАУ. Серия “Актуальные проблемы 

радиоэлектроники” вып.1. - Самара, 1999. 

- С. 36-40. 

62


MODELLING THE INTERACTION OF MICROMETEOROID AND 

TECHNOGENOUS PARTICLES WITH A SPACE VEHICLE 

© 2007 N. D. Syomkin, V. L. Balakin, I. V. Belokonov, K. Ye. Voronov 


The number of particle collisions with a space vehicle (SV) is calculated on the basis of meteoric and technogenous 

environment. The space vehicle serves as a particle detector and is made in the form of a spherical inflatable filmy 

construction. The forecast of the number of collisions for the period of 2004-2012 is estimated. Dependences of the 

number of particles colliding with the SV are obtained as functions of its dimensions’ parameters and orbit parameters. 

63


УДК 629.78 

СИСТЕМА КОМПЕНСАЦИИ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ 

МИКРОУСКОРЕНИЙ МАГНИТНЫМ СПОСОБОМ 

© 2007 Н. Д. Семкин, В. Л. Балакин, К. Е. Воронов 


Рассматривается система, использующая магнитный способ компенсации микроускорений и не требующая 

изменения конструкции космического аппарата (КА). Приведены результаты моделирования движения 

относительно центра масс для различных типов КА. 

1. Анализ источников микроускорений 

и методы их уменьшения 

Микроускорения вызываются действием 

на КА возмущающих сил, которые определяются 

внешними гравитационными и другими 

возмущениями, обусловленными космической 

средой, и внутренними возмущениями, 

связанными с функционированием 

систем КА. 

Микроускорения, вызываемые внешними 

возмущениями, зависят главным образом 

от параметров орбиты и в меньшей степени 

от конструкции КА. Поэтому, задавая определенные 

параметры орбиты, можно уменьшить 

влияние внешних возмущений и, следовательно, 

уровень данных микроускорений. 

Внутренние источники возмущений 

определяются конструкцией КА, и поэтому 

уменьшение уровня соответствующих микроускорений 

может быть обеспечено за счет 

специальных конструктивных решений при 

проектирования и КА. 

Возможно и применение различных 

систем компенсации с малыми ориентирующими 

моментами. 

В настоящее время для проведения технологических 

экспериментов используются 

КА “Фотон” и “Бион”, преимуществом которых 

является низкий уровень микроускорений, 

что обеспечивается специальной конструкцией. 

Однако используемая конструкция 

не исключает влияния аэродинамического и 

гравитационного моментов, что было выявлено 

в ходе обработки данных измерений 

аппаратуры “Мираж”, осуществлявшей мониторинг 

магнитного поля Земли на борту КА 

«Фотон-12» [1, 2]. В результате проведенного 

эксперимента было установлено, что КА 

вращался с постоянно увеличивающейся угловой 

скоростью. К концу полета вращательное 

движение КА было близко к регулярной 

прецессии Эйлера с угловой скоростью порядка 

1 град/с [2], что привело к появлению 

недопустимо высокого уровня центростремительного 

ускорения. 

В статье рассматривается система, которая 

использует магнитный способ компенсации 

вращательных микроускорений и не 

требует установки сколько-нибудь значительного 

по массе и энергопотреблению дополнительного 

оборудования, а также изменения 

конструкции КА. 

2. Моделирование движения КА 

при внешних воздействиях 

Будем рассматривать движение КА как 

твердого тела по геоцентрической эллиптической 

орбите. В уравнениях движения КА 

относительно центра масс будем учитывать 

гравитационный и аэродинамический моменты. 

Гравитационный момент определяется 

выражением 

r 

M 

g 

3µ r r 

= er 

× Jer 

R 3 , 

где µ - гравитационный параметр; R-расстояние 

между центрами масс КА и Земли; e r 

- 

орт радиус-вектора r; J - матрица моментов 

инерции: 

J = 

J 

1 

0 

0 

0 

J 

2 

0 

0 

0 

J 

3 

. 

64


Аэродинамический момент определяется 

формулой 

r 

M a 

r r 

= c ρ V (V × P ) / 2 , 

где с - коэффициент силы лобового сопротивления; 

ρ - плотность атмосферы; V - скорость 

КА; Р - первый момент геометрической фигуры, 

являющейся проекцией внешней оболочки 

КА на плоскость, перпендикулярную 

набегающему потоку. 

Плотность атмосферы представим в 

виде [3]: 

ρ = k 

ρ 

n 

1 

k 

2 

k 

3 

k 

= exp (a 

1 

4 

ρ 

n 

, 

− a 

2 

h − a 

где ρ n 

- ночной вертикальный профиль плотности 

атмосферы; коэффициент k 1 

учитывает 

изменение плотности в зависимости от 

солнечного излучения (в расчетах принят 

индекс активности Солнца F 10,7 

= 100*10 22 Вт/ 

/(м 2 • Гс)); коэффициент k 2 

учитывает суточный 

эффект в распределении плотности; k 3 

- 

поправка на полугодовой эффект; коэффициент 

k 4 

учитывает корреляцию изменений 

плотности атмосферы и геомагнитных возмущений; 

а 1 

, а 2 

, а 3 

– некоторые коэффициенты; 

h- высота полета КА. 

Движение твердого тела вокруг центра 

масс под действием моментов внешних сил 

описывается динамическими уравнениями 

Эйлера: 

J ω& 

J 

J 

1 

2 

3 

1 

ω& 

ω& 

2 

3 

+ ( J 

2 

+ ( J 

+ ( J 

3 

1 

− J 

− J 

− J 

3 

1 

2 

) ω ω 

2 

3 

) ω ω 

1 

3 

) ω ω 

1 

2 

= M 

= M 

= M 

1 

2 

3 

3 

), 

⎫ 

⎪ 

⎬ , 

⎪ 

⎭ 

где J i 

– главные центральные моменты инерции 

КА; М i 

, ω i 

– проекции внешнего момента 

и угловой скорости на оси связанной системы 

координат. 

Внешний момент имеет управляющую 

составляющую М упр, 

создаваемую исполнительными 

органами, и возмущающую составляющую 

М возмi 

: 

М i 

= М упрi 

+М возмi 

. 

Представим КА в виде эллипсоида вращения 

с большой полуосью длиной 3 м и 

малой полуосью длиной 1 м, в виде сферы с 

радиусом 2 м и в виде цилиндра длиной 3 м 

и радиусом 1 м. Соответственно моменты 

инерции аппарата равны для эллипсоида и 

2 

2 

цилиндра: J 1 

=2400 кг ⋅ м , J 2 

=10800 кг ⋅ м , 

2 

2 

J 3 

=10800 кг ⋅ м ; для сферы: J 1 

=J 2 

=200 кг ⋅ м , 

2 

J 3 

=400 кг ⋅ м . Для учета влияния аэродинамического 

момента зададим смещение ∆ центра 

давления от центра масс. При расчетах 

для эллипсоида, сферы и цилиндра соответственно 

принималось: ∆ 1 

= 0,5 м, ∆ 2 

= 0,15 м 

и ∆ 3 

= 0 м. Начальное взаимное положение 

связанной и орбитальной систем координат 

задается углом крена ϕ 2 

= 30°. Параметры орбиты: 

эксцентриситет е = 0,0126, большая 

полуось орбиты а = 6688 км, наклонение I = 

= 62,8°. 

На рисунках 1-3 приведены зависимости 

составляющих угловой скорости вращения 

КА в результате действия гравитационного 

и аэродинамического моментов на протяжении 

первых восьми суток полета. По оси абсцисс 

показано число витков. 

Из представленных графиков видно, 

что КА вращается с постоянно увеличивающейся 

скоростью. Следует отметить, что скорость 

вращения не достигает того уровня, 

который был зарегистрирован на практике 

[4], что можно объяснить упрощенным описанием 

формы КА. 

3. Система компенсации 

Предлагается подход, основанный на 

взаимодействии исполнительных органов 

системы компенсации с магнитным полем 

Земли [5]. Исполнительными органами системы 

являются токонесущие контуры, расположенные 

на внешней поверхности КА 

(рис. 4). При подаче тока в контуры создаются 

управляющие моменты, которые гасят угловые 

ускорения и тем самым демпфируют 

угловую скорость вращения. 

Управляющий магнитный момент, действующий 

на контур в магнитном поле, равен 

[5]: 

M r упр = Lr × B r , (1) 

65


ω 1 , рад/c 

0.2 

- 

ω 2, рад/c 

n 

n 


n 

Рис. 1. КА в виде эллипсоида вращения 

66



n 


n 


n 

Рис. 2. КА в виде сферы 

67



0.15 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 


-0.15 

0 50 100 150 200 

n 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-0.15 


0.15 

0.1 

0 50 100 150 200 

n 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-0.15 

0 50 100 150 200 

n 

Рис. 3. КА в виде цилиндра 

68


где B r - вектор индукции магнитного поля 

Земли; L r =IS n r - вектор дипольного магнитного 

момента; S - площадь контура; I - ток, 

протекающий по контуру; n r - нормаль контура, 

направление которой связано с направлением 

тока правилом правого винта. 

Примем, что управляющий момент 

формируется по пропорциональному закону 

M r упр = -кωr , (2) 

где к - коэффициент пропорциональности. 

Тогда решение уравнения (1) будет 

иметь вид: 

r 

r 

r 

× 

L = к 

ω . (3) 

B 

B 

2 

Вектор B r измеряется с помощью трехкомпонентного 

феррозондового датчика. Вектор 

угловой скорости КА можно определить, 

измеряя величину магнитного поля [2]. 

Вектор угловой скорости можно записать 

ω r =ω r || +ωr ⊥ , (4) 

где ω r , ωr - соответственно составляющие 

|| ⊥ 

ω r вдоль вектора B r и перпендикулярны ему. 

Производную B &r разложим на составляющие 

B &r 0 

за счет относительного движения системы 

координат OХ 1 

Х 2 

Х 3 

, связанной с КА, и 

векторы B r и B &r м 

B r во времени (рис. 5).Тогда ωr ⊥ 

можно пред- 

ставить в функции B &r [4]: 

r 

ω ⊥ 

&r 

0 

B 

= r ⋅ 

B 

&r &r 

( B − B 

= 

B 

м 

2 

&r 

B 

&r 

B 

0 

0 

r 

) × B 

= 

за счет изменения модуля 

r &r r 

0 

× B B × B 

r = = 

2 

× B B 

&r r 

B× 

B 

. 

2 

B 

(5) 

Из (5) следует, что по измерениям магнитного 

поля можно найти и, следовательно, 

демпфировать только составляющую ω r ⊥ , поскольку 

ω r × Br = 0. Здесь проявляется известный 

недостаток магнитных систем управле- 

|| 

ния, который следует из (1): нельзя создать 

магнитный момент вокруг оси, совпадающей 

с направлением вектора магнитного поля. Однако 

поскольку наклонение орбиты КА “Фотон” 

большое, то магнитное поле во время 

полета меняется по направлению, и поэтому 

можно компенсировать вращение относительно 

любой оси. 

Токонесущие контуры 

x 3 

O 

x 1 

x 2 

Рис. 4. Размещение контуров на КА «Фотон» 

69


Используя (4) и (5), перепишем выражение 

(1) в виде 

r 

⎛ B B ⎞ 

⎜ r 

&r 

× r 

ω ⎟ 

|| 

+ × B 

2 

r ⎜ B ⎟ 

L = к 

⎝ ⎠ 

= 

2 

B 

= к 

&r r r r 

( B B) B к ⎛ &r r 

× × B( B B) ⎞ 

⎜ ⋅ &r 

B⎟. 

B 

2 

⋅ B 

2 

= 

B 

2 

⋅ 

⎜ 

⎝ 

B 

2 

− 

⎟ 

⎠ 

(6) 

Таким образом, по данным, поступающим 

с феррозондовых датчиков, можно из (6) 

найти вектор дипольного момента, необходимый 

для уменьшения угловой скорости 

вращения, и, следовательно, необходимые 

для этого токи: 

L1 

L2 

L 

= , I2 

= , I3 

, 

(7) 

S S S 

3 

I1 = 

где I 1 

, I 2 

, I 3 

– токи в контурах, охватывающих 

оси OХ 1 

, OХ 2 

, OХ 3 

связанной системы координат, 

соответственно. От знака в правой части 

равенства зависит направление тока в 

контуре по правилу правого винта. 

Реальный закон изменения токов в контурах 

имеет вид: 

⎧ Li 

Li 

⎪ при < Imax 

S S 

I 

i 

= ⎨ 

(8) 

⎪ Li 

Li 

Imax 

при ≥ Imax 

, 

⎪⎩ 

Li 

S 

х 1 

х 3 

O 

r 

B & 

м 

B r 

r 

B & 

0 

ω r 

|| 

ω r 

ω r 

Рис. 5. Векторная диаграмма 

⊥ 

r 

B & 

x 2 

где i = x1 

, y1 

, z1; 

I max 

– максимальное значение 

тока. 

Для получения законов управления воспользуемся 

выражением (3), упростив его. 

Согласно (3) требуемый магнитный момент 

L зависит от величины В 2 , которая меняется 

во время полета. С увеличением угла наклонения 

орбиты увеличивается и диапазон изменения 

В 2 . Например, по данным измерений 

на КА «Фотон-12», величина В изменялась 

от 20 до 60 мкТл. Присутствие в (3) члена 

В 2 соответствует использованию переменного 

коэффициента усиления, который 

обеспечивает постоянство магнитного момента. 

Исключение этого члена из (3) с помощью 

замены 

2 

B ср 

k ~ = k / позволяет существенно 

упростить блок формирования сигнала 

управления. 

Кроме того, можно получить большое 

разнообразие законов управления, если использовать 

в (3) различные комбинации релейных 

функций от ω , L, B . Запишем выра- 

r r r 

жение (3) в проекциях на оси координат: 

L = k ~ ( ω b 

L 

1 

2 

= k ~ ( ω b 

L = k ~ ( ω b 

3 

2 

3 

1 

3 

1 

2 

− ω ⎫ 

3b2 

) 

⎪ 

− ω1b 

3 

) ⎬ 

, (9) 

⎪ 

− ω2b1 

) 

⎭ 

где b i 

, ω i 

– компоненты векторов магнитной 

индукции и угловой скорости КА в системе 

координат OX 

1X 

2 

X 

3 

. 

Закон (9) формирует оптимальный по 

направлению вектор магнитного момента. 

При его использовании управляющий момент 

строго противоположен направлению составляющей 

ω r ⊥ , перпендикулярной вектору br . 

Такое положения вектора момента обеспечивает 

максимальную скорость разгрузки кинетического 

момента при заданной величине L. 

Любое упрощение, вводимое в закон (9), приводит 

к изменению направления вектора L r . 

Это приводит к неполному использованию 

имеющихся возможностей и снижению эффективности 

разгрузки, поскольку часть 

энергии будет уходить на демпфирование составляющей 

ω || 

. А как уже отмечалось выше, 

70


основным недостатком магнитных систем является 

невозможность согласно (1) создания 

момента вокруг оси, параллельной вектору 

B r . 

На рисунке 6 представлена блок-схема 

системы управления (СУ) с непрерывным 

функционированием и линейным законом (9) 

на выходе. 

Электрические сигналы с феррозондовых 

датчиков (ФД) поступают на блок преобразования 

(БП). На его выходе появляются 

сигналы, несущие информацию о компонентах 

магнитной индукции и затем поступающие 

на дифференциаторы. Информация 

о компонентах векторов магнитной индукции 

и их производных по времени поступает на 

блок формирования сигналов управления 

(БФСУ), где вычисляются компоненты угловой 

скорости КА, производится перемножение 

проекций ω i 

и B j 

и суммирование результатов. 

На выходе БФСУ имеется сигнал рассогласования: 

δ i 

=ω j 

B k 

-ω k 

B j 

. Блок усилителей 

мощности (БУМ) усиливает сигнал БФСУ и 

своими управляющими сигналами возбуждает 

МИО (магнитные исполнительные органы). 

Такая система обладает наибольшей 

эффективностью, но достаточно сложна в 

исполнении. 

На практике создать такую СУ не представляется 

возможным, поскольку магнитный 

момент, вычисленный согласно (2), может 

оказаться слишком большим, и МИО не 

смогут его создать. Поэтому на выходе БФСУ 

необходимо ввести ограничитель сигнала 

(рис. 7), имеющий функцию: 

⎧δ 

i 

при δi 

≤ δmax 

δ 

i 

= ⎨ 

⎩δ 

maxsign( 

δi 

) при δi 

> δ 

. (10) 

max 

Другим вариантом является СУ с непрерывным 

функционированием и релейным 

законом на выходе, блок-схема которой представлена 

на рисунке 8. 

Отличие этой СУ от предыдущей состоит 

в том, что МИО включаются только в случае 

достижения управляющим сигналом 

БФСУ некоторого порогового значения δ * . 

ФД 

d 

dt 

B& 

1 

БП 

B 1 

БФСУ БУМ 

Динамика КА 

d 

dt 

2 

B 3 

B& 

3 

d 

dt 

B& 

I 1,2,3 

МИО 1 

МИО 2 

МПЗ 

МИО 3 

Рис. 6. Блок – схема СУ с непрерывным функционированием и линейным законом 

БФСУ 

БУM 

Рис. 7. Блок – схема ограничителя сигнала 

71


ФД 

B 1 

d 

dt 

B& 

1 


БП 

B 2 

d 

dt 

d 

dt 

B& 

2 

B 3 

B& 

3 

БФСУ 

I 1,2,3 

МИО 1 

МИО 2 

МПЗ 

МИО 3 

Рис. 8. Блок – схема СУ с непрерывным функционированием и релейным законом 

Для этого сигнал пропускается через схему с 

характеристикой, изображенной на рис. 9,а, 

и при этом график магнитного момента будет 

иметь вид, показанный на рис. 9,б. 

На рис. 9,б видно, что после снятия сигнала 

с МИО они продолжают создавать остаточный 

момент k r 

L 0 

. Этот момент характерен 

для электромагнитных МИО. Частный 

случай k r 

=0 характерен либо для катушечных 

МИО, либо для электромагнитных, к которым 

предъявляются требования минимизации 

остаточного магнитного момента. 

Достоинством данной СУ является отсутствие 

БУМ, поскольку сигналы БФСУ 

используются только для включения-выключения 

МИО, а не для их питания. Это обеспечивает 

определенную экономию массы и 

энергопотребления системы компенсации. 

Однако она имеет худшие динамические показатели. 

Следующим вариантом является СУ с 

непрерывным функционированием, блоксхема 

которой приведена на рис. 10. 

Особенность этой СУ состоит в том, что 

формирование сигналов управления и функционирование 

МИО начинаются, если микроускорения 

превышают заданную величину. 

Поэтому в схему введены блок вычислений 

(БВ), определяющий уровень микроускорений 

на основании показаний ФД; релейный 

элемент, реагирующий на превышение величиной 

ускорения некоторого заданного уровня, 

и элемент запрета, закрывающий доступ 

к информации о величине компонент В и B & 

в БФСУ, когда ускорение не достигает заданной 

величины. СУ может иметь как линейную, 

так и релейную зависимости моментов 

МИО от управляющего сигнала. Система 

компенсации имеет пониженное энергопот- 

F(δ) 

+ 

-δ * 1 

-1 

δ * 

δ 

L 

L 0 

k r L 

δ * 

a) б) 

-L 0 

δ 

Рис. 9. Схема пропускания сигнала 

72


ФД 

БП 

B i 

d 

dt 

B& 

i 

БВ 

|a| 

БУM 


I 1,2,3 

МИО i 

& 

БФСУ 

МПЗ 

Рис. 10. Блок – схема с линейным функционированием 

d 

dt 

1 

Рис. 11. Блок – схема логического суммирования сигналов 

ребление, поскольку СУ можно организовать 

так, что при микроускорениях, не превышающих 

заданного порогового значения, к сети 

остается подключенной только та часть схемы, 

которая обведена на рис. 10 штрихпунктирной 

линией. 

Для повышения надежности и обеспечения 

большей простоты схемы из нее можно 

исключить блок вычислений, формируя 

сигнал разрешения работы МИО на основании 

данных о величине B & для каждого из каналов 

(пороговое значение B & для каждого из 

каналов может быть разным) и добавив в схему 

блок логического суммирования сигналов 

разрешения (рис. 11). 

Качество управления в первом и втором 

вариантах СУ такое же, как и в первом и втором 

вариантах СУ с непрерывным функционированием. 

Еще более простой является СУ с логическим 

законом и непрерывным формированием 

сигналов управления. Поясним это. 

Построение СУ, основанных на законе 

(2), требует выполнения операции перемножения 

проекций векторов ω r и B r . Сделать 

это без привлечения цифровых вычислителей 

довольно сложно. Но этой операции можно 

избежать, если в (2) использовать релейные 

функции от ω 

i 

. В этом случае величины 

ω 

i 

принимают значения 0, ±1, и формирование 

законов (9) сводится к алгебраическому 

суммированию проекций В i 

. Закон управления 

в этом случае может быть записан в виде 

L = k ~ ⎫ 

1 

( F − 

⎪ 

= k ~ 2( 

ω2 

)b3 

F 

3( 

ω3 

)b2 

) 

L2 

( F ( )b − F ( )b ) ⎬ 

⎪ 

L = k ~ 3 

ω3 

1 1 

ω1 

3 

. (11) 

3 

( F 

1( 

ω1 

)b2 

− F 

2( 

ω2 

)b1 

) 

⎭ 

Функции F i 

(і = 1, 2, 3) являются релейными 

функциями (рис 9,а). 

Блок-схема данной СУ показана на 

рис. 12. БФСУ выполняет лишь простейшую 

операцию алгебраического суммирования 

сигналов отдельных каналов магнитометра, 

что приводит к простой схемной реализации 

и повышению надежности. Однако система 

имеет худшее качество управления по сравнению 

с предыдущими СУ, использующими 

линейные законы. 

Если на борту установлены датчики угловых 

скоростей (ДУС), то в СУ можно использовать 

их информацию. В этом случае 

можно отказаться от блока вычислений, что 

еще больше упростит схему (рис. 13). 

73


ФД 

БП 

B i 

d 

dt 

B& 

i 

ω i 

БВ 

0, ±1 Динамика КА 

БУM 

I 1,2,3 

МИО i 

БФСУ 

МПЗ 

Рис. 12. Блок – схема суммирования каналов магнитометра 

ФД 

БП 

B i 

0, ±1 

БФСУ 

ω i от ДУСов 

БУM 

Рис.13. Блок – схема упрощенной системы 

СУ с логическим законом может быть 

также организована в виде системы с прерывным 

формированием сигналов управления 

(рис. 14). Из всех рассмотренных вариантов 

СУ данная система с релейным выходом обладает 

максимальной надежностью и наилучшими 

массовыми показателями, но имеет 

наихудшую эффективность управления [5]. 

Приведем результаты моделирования 

работы систем управления разных схем с 

параметрами, указанными в таблицах 1 и 2. 

Сопротивление проводников принималось 

равным 0,044 Ом (алюминиевые проводники 

диаметром 2,2 мм, образующие контур 

радиусом 1 м). 

ω i 

от ДУСов 

1 


ФД 

БП 

B i 

& 

БФСУ 

БУM 

I 1,2,3 

МИО i 

МПЗ 

Рис. 14. Блок – схема СУ с непрерывным формированием сигналов управления 

74



№ 1 2 3 4 

Функционирование непрерывное непрерывное непрерывное непрерывное 

Закон формирования 

сигнала управления 

линейный линейный линейный логический 

Выход 

линейный 

линейный с 

ограничением 

релейный релейный 

k 0,1 0,1 0,1 0,0002 

Дополнительные 

параметры 

I max = 2 A I max = 2 A I= 2 A 

I= 2 A, 

ω * =0,001 рад/с 

Р ср 0,23553 0,16557 0,07726 0,06275 


№ 1 2 3 4 

k 0,1 0,15 0,25 0,00055 

Дополнительные 

параметры 

I max =2 A I max =2 A I=2 A 

I=2 A, 

ω * =0,001 рад/с 

Р ср 0,23553 0,24198 0,24845 0,25725 

На рис. 15 приведены графики разгрузки 

кинетического момента (1 соответствует 

СУ с непрерывным функционированием и 

линейным выходом, 2 – СУ с непрерывным 

функционированием и ограничителем на 

выходе, 3 – СУ с непрерывным функционированием 

и релейным выходом, 4 – СУ с непрерывным 

функционированием и логическим 

законом формирования сигнала управления). 

Рис. 15 подтверждает, что упрощение 

СУ приводит к ухудшению динамических 

показателей. Хотя при упрощении СУ снижается 

средняя рассеиваемая в контурах мощность, 

но отношение «эффективность управления/рассеиваемая 

мощность» уменьшается 

(рис. 16 и табл. 2). 

Решение об использовании в системе 

компенсации той или иной схемы СУ зависит 

от ее требуемой массы, энергопотребления, 

надежности, условий работы и др. По- 

ω, 

рад/c 

0.022 

0.021 

4 3 

2 1 

0.02 

0.019 

0.018 

0 100 200 300 400 

t, c 

Рис. 15. График разгрузки кинетического момента 

75


ω, 

рад/c 

0.022 

0.021 

4 

3 

2 

1 

0.02 

0.019 

0.018 

0 100 200 300 400 

t, c 

Рис. 16. График разгрузки кинетического момента 

этому оно должно приниматься на основании 

результатов детального анализа схемных решений 

построения СУ и характеристик КА. 

4. Моделирование движения КА «Фотон» 

Моделирование проводилось для КА, 

представленного в виде эллипсоида вращения, 

с характеристиками и параметрами орбиты, 

указанными в 1, для СУ с непрерывным 

формированием сигнала управления и 

релейным выходом (рис. 8), исполнительные 

органы которой имеют 1 виток. Коэффициент 

пропорциональности k = 0,1, максимальный 

ток I max 

= 3 A. 

Зависимость модуля угловой скорости 

от времени приведена на рис. 17. 

Как следует из рис. 17, использование 

предлагаемой магнитной системы компенсации 

обеспечивает существенное снижение 

угловой скорости вращения КА. 

5. Моделирование движения 

спутника-датчика 

Рассмотрено движение КА в виде сферы 

диаметром 5 м с моментами инерции: J 1 

= 

=J 

2 = J 3 = 15,3 и смещениями: ∆ 1 = 0, ∆ 2 = 0, 

∆ 3 

= -2 м. Начальное взаимное положение связанной 

и орбитальной систем координат задается 

углом крена ϕ 2 

= 30°. Параметры орбиты: 

эксцентриситет е = 0,074, большая полуось 

орбиты а = 7232 км, наклонение i = 73°. 

Для первых суток полета зависимости 

составляющих угловой скорости приведены 

на рис. 18, а модуль угловой скорости - на 

рис. 19. 

ω, рад/с 

t, час 

Рис. 17. Зависимость модуля угловой скорости от времени 

76


ω, рад/c 

t, час 

Рис. 18. Зависимость составляющих угловой скорости от времени 

ω, рад/с 

t, час 

Рис. 19. Зависимость модуля угловой скорости от времени 

Из рис. 19 видно, что угловая скорость 

вращения КА возрастает, т. е. происходит его 

закрутка вокруг оси ОХ 3 

. 

Проведены расчеты для СУ с непрерывным 

формированием сигнала управления и 

релейным выходом (рис. 8), исполнительные 

органы которой содержат один виток. 

Способность системы компенсации 

выполнять свои функции при заданных внешних 

условиях зависит от коэффициента 

пропорциональности k и максимально возможного 

тока I max 

. Для k = 0,l приняты три 

варианта I max 

: 3 А, 0,5 А и 0,1 А. Зависимость 

модуля угловой скорости от времени для этих 

вариантов представлены на рисунках 20, 21 

и 22, соответственно. 

Из рис. 20-22 следует, что с уменьшением 

I max 

у системы компенсации ухудшается 

способность удерживать угловую скорость 

КА в заданных пределах. Для I max 

, меньшего 

0,1 А, система не выполняет поставленной 

задачи, а при дальнейшем уменьшении I max 

минимально достижимое значение угловой 

скорости к концу полета возрастает. При 

I max 

>0,5 A скорость вращения КА гарантированно 

удерживается в необходимых пределах. 

Однако, чем больше I max 

, тем выше энергопотребление 

системы. Для анализа влияния 

коэффициента k рассмотрены два варианта: 

k=0,5 и k=0,9 при I max 

=0,1 А. Результаты расчетов 

приведены на рис. 23 и 24. 

77


ω, рад/c 

t, час 

Рис. 20. Зависимость модуля угловой скорости от времени, I max 

= 3 А 

ω, рад/с 

t, час 


= 0,5 А 

ω, рад/c 


=0,1 А 

78 

t, час


ω, рад/c 

t, час 

Рис. 23. Зависимость модуля угловой скорости от времени, к = 0,5 

ω, рад/с 

Рис. 24. Зависимость модуля угловой скорости от времени, к = 0,9 

t, час 

Как и следовало ожидать, с ростом коэффициента 

пропорциональности k эффективность 

СУ увеличивается – угловая скорость 

вращения КА уменьшается. 

Таким образом, результаты моделирования 

движения КА относительно центра 

масс под действием внешних гравитационного 

и аэродинамического моментов показывают 

эффективность использования системы 

компенсации микроускорений, реализующих 

магнитный способ. 


1. Абрашкин В. И., Балакин В. Л., Белоконов 

И. В, Воронов К. Е., Иванов В. В., 

79 

Зайцев А. С., Казакова А. Е., Сазонов В. В., 

Семкин Н. Д. Неуправляемое вращательное 

движение спутника “Фотон-12” и квазистатические 

микроускорения на его борту // Космические 

исследования. – 2003. - №1. - Т. 41. 

- С. 45-51. 

2. Абрашкин В. И., Балакин В. Л., Белоконов 

И. В, Воронов К. Е., Иванов В. В., 

Зайцев А. С., Казакова А. Е., Сазонов В. В., 

Семкин Н. Д. Определение вращательного 

движения спутника «Фотон-12» по данным 

бортовых измерений магнитного поля Земли. 

- 2000 г. - № 60. (Препринт Института 

прикладной математики им. М. В. Келдыша 

РАН).


3. Модель верхней атмосферы для баллистических 

расчетов. ГОСТ 22721-77. -М.: 

Изд-во стандартов, 1978. 

4. Сазонов В. В., Чебуков С. Ю., Абрашкин 

В. И., Казакова А. Е., Зайцев А. С. Анализ 

низкочастотных микроускорений на борту 

ИСЗ «Фотон-11». – 1999. - № 33. (Препринт 

Института прикладной математики им. 

М. В. Келдыша РАН). 

5. Коваленко А.П. Магнитные системы 

управления космическими летательными аппаратами. 

- М.: Машиностроение, 1975. 

A SYSTEM OF COMPENSATING ROTARY MICROACCELERATION 

BY A MAGNETIC METHOD 

© 2007 N. D. Syomkin, V. L. Balakin, K. Ye. Voronov 


The paper deals with a system that uses a magnetic method of compensating microaccelerations and does not 

require changing the design of a space vehicle (SV). The results of modelling the motion relative to the centre of mass 

for different types of SV are given. 

80


УДК 629.78 

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОЦЕНИВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 

ЭФФЕКТИВНОСТИ АГРЕГАТОВ СИСТЕМЫ 

ТЕРМОРЕГУЛИРОВАНИЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 

© 2007 М. И. Соколов 

Филиал Красноярского государственного технического университета, г. Железногорск 

Исследуются взаимосвязи показателей эффективности малорасходных вентиляторов и электронасосных 

агрегатов космических аппаратов, их зависимость от конструктивных параметров элементов и технологических 

условий эксплуатации. Особенности исследуемых систем предполагают использование непараметрических 

методов обработки информации. Анализируются результаты вычислительных элементов с целью определения 

эффективных режимов эксплуатации агрегатов. 


С развитием науки и техники человечество 

шагнуло в эру космических технологий. 

За рубежом развитие космической техники 

пошло по пути создания дорогостоящей 

бортовой аппаратуры, работающей в открытом 

космосе и не требующей искусственного 

конвективного теплообмена. Однако для 

долговременных орбитальных станций и 

продолжительных пилотируемых полетов 

необходимо иметь на борту малорасходные 

вентиляторы на длительный ресурс непрерывной 

работы в экстремальных условиях 

микрогравитаций, температурных и механических 

воздействий, а также космических 

излучений. 

В данной работе разрабатываются и 

исследуются непараметрические модели 

оценки показателей эффективности малорасходных 

вентиляторов и электронасосных агрегатов 

спутников связи, включая их зависимость 

от конструктивных параметров рабочих 

элементов и технологических условий 

эксплуатации. Полученные результаты вычислительного 

эксперимента и программные 

средства могут быть использованы в качестве 

рекомендаций для принятия решений при 

выборе технических узлов спутников связи. 

Постановка задачи 

Объектом исследования являются конструктивные 

особенности малорасходных 

вентиляторов спутников связи. Изучаются 

взаимосвязи между параметрами: коэффициентом 

П в 

, темпераментом σ, отношением динамического 

давления к статическому 

P дин 

Pст 

, коэффициентом полезного действия 

(КПД) η, расходом рабочего тепла Vр, 

скоростью вращения электродвигателя s, потребляемым 

током I, весом аппарата р. В качестве 

выходной переменной у может выступать 

любой из переменных признаков. 

Безразмерный коэффициент П в 

представляет 

собой удельную полезную мощность 

на ометаемую площадь и массу подаваемого 

рабочего тела при конкретной частоте вращения 

вала. Темперамент вентилятора σ – 

безразмерный параметр, определяющий соотношение 

кинетической энергии потока рабочего 

газа к его потенциальной энергии. 

В результате экспериментальных работ 

получена статистическая выборка независимых 

наблюдений параметров вентилятора. В 

общем случае статистическая модель изучаемой 

системы представляется нелинейной 

стохастической зависимостью 

y 

k 

= ϕ ( x ) ∀ x ∈ R , (1) 

где вид однозначного преобразования ϕ( x ) 

и плотностей вероятности p (x) 

, p ( x, 

y) 

неизвестен. 

Вторая часть исследований направлена 

на изучение влияния модификаций профиля 

лопаток рабочего колеса на коэффициент 

полезного действия электронасосных агрегатов 

спутника связи. Рассматриваются следующие 

профили лопаток рабочего колеса: кри- 

81


волинейные с углом наклона на выходе 90° 

(штатные), углом наклона 30° и прямые. 

Априорная неопределенность изучаемой 

стохастической зависимости и малый 

объем экспериментальных данных требуют 

применения адекватных математических 

средств оценивания показателей эффективности 

объекта исследования. Предлагается 

использовать непараметрические модели коллективного 

типа для описания взаимосвязи 

показателя эффективности электронасосного 

агрегата от конструктивных параметров 

рабочих колес и технологических условий его 

эксплуатации. Преимущество предлагаемых 

моделей заключается в максимальном учете 

информации исходных обучающих выборок. 

При этом входными параметрами 

( x 

ν 

, ν = 1,5) 

являются: напряжение питания 

(U пит 

), температура рабочей жидкости (Т рж 

), 

перепады давления от минимального до максимально 

возможных (∆Р), частота фазного 

сигнала (f) и скорость вращения (s). Выходной 

переменной у изучаемой системы является 

КПД: 

∆P 

⋅Q 

η = 

U I 

, 

пит ⋅ 

где I – ток потребления; Q– объемный расход 

теплоносителя. 

Пусть в результате экспериментальных 

работ получена выборка 

i i 

V = ( xν 

, y ,i = 1 ,n, ν = 1,k 

) 

независимых наблюдений параметров электоронасосного 

агрегата. В общем случае статистическая 

модель изучаемой системы представляется 

нелинейной стохастической зависимостью 

(1). 

В связи с малым объемом выборки и 

большим количеством признаков адекватным 

методом восстановления зависимостей (1) 

являются использование метода группового 

учета аргументов (МГУА) 1] и непараметрических 

моделей коллективного типа [2]. 

Непараметрические методы 

обработки информации 

Метод группового учета аргументов. 

Рассматриваемый метод предназначен для 

восстановления стохастических зависимостей 

в условиях малых выборок, когда отношение 

n/k соизмеримо с единицей. Его идея 

состоит в формировании процедуры последовательной 

аппроксимации путем управляемого 

расширения пространства аргументов. 

Рассмотрим этапы формирования моделей. 

1. На основе обучающей выборки 

i i 

V = ( xν , y , ν =1 ,k,i =1,n) 

построить модель 

y = ( x ,x ) искомой зависимости 

1 

ϕ 1 

0 

d 

y = ϕ( 

x1,...,xk 

) как функцию двух компонент 

x 0 

,xd 

, дающих наилучшее приближение. 

Для построения модели y1 = ϕ 1 

( x0 

,xd 

) 

используем непараметрическую регрессию 

[2] 

n 

i 

i 

i ⎛ x ⎞ ⎛ ⎞ 

0 

− x0 

− 

∑ 

Φ xd 

xd 

y Φ 

⎜ ⎟ 

⎜ 

⎟ 

i= 

1 ⎝ σ 

0c 

⎠ ⎝ σ 

dc 

ϕ = 

⎠ 

1( 

x0 

,xd 

) 

n 

i 

i 

,(2) 

⎛ x − ⎞ ⎛ − ⎞ 

0 

x0 

∑Φ 

⎜ 

⎟ Φ xd 

xd 

⎜ 

⎟ 

i= 

1 ⎝ σ 

0c 

⎠ ⎝ σ 

dc 

⎠ 

где 

σ 0 

,σ 

d 

– оценки среднеквадратических 

отклонений признаков 

i= 

1 

x 0 

, x : 

1 n 

i 

σ 

ν 

= ∑( 

xν 

− xν 

) , ν = 0, d ; 

n −1 

i 

xν – среднее значение x 

ν 

. В качестве ядерной 

функции выбираем ядро Епанечникова, 

оптимальное в смысле среднеквадратического 

критерия. 

2. На i-й интеграции синтеза модели по 

i 

t t 1 

= 1 

i 

выборке V = ( y 

− 

, xν ,i ,n ) построить модель 

y 

t 

= ϕ 

t( 

yt− 

1, 

xν 

) , где x 

ν 

– ранее не используемый 

компонент вектора x , обеспечивающий 

в паре с y 

t −1 

наилучшее приближение 

восстанавливаемой зависимости. На этом 

этапе непараметрическая модель y , x ) 

принимает вид 

2 

d 

ϕt( t−1 

ν 

82


ϕ( 

y 

t−1 

,x 

n 

∑ 

i= 1 ν 

t−1 

ν 

) = 

i . 

n 

i 

⎛ x − x ⎞ ⎛ y ⎞ 

ν ν t−1 

− yt− 

1 

∑ 

i ⎛ xν 

− x 

y Φ 

⎜ 

⎝ σ c 

Φ 

⎜ 

⎝ 

σ 

c 

i 

ν 

⎞ ⎛ 

⎜ 

Φ y 

⎟ 

⎠ 

⎜ 

⎝ 

⎜ 

⎟ Φ 

⎠ 

⎜ 

⎝ 

− y 

σ c 

t−1 

σ 

i= 1 ν 

t−1 

c 

i 

t−1 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

(3) 

Процесс формирования модели (реализация 

этапа 2) продолжается до тех пор, пока 

не будет достигнута приемлемая для исследователя 

точность аппроксимации. 

Оптимизация непараметрических моделей 

(2), (3) ( yt , t = 1,T 

) по параметру размытости 

осуществляется из условия минимума, 

например, средней относительной ошибки 

аппроксимации 

W( c ) 

n j 

1 y −ϕt( 

x 

= ∑ 

n 

y 

j= 

1 

j 

j 

, y 

j 

t−1 

, c ) 

. (4) 

Непараметрические модели коллективного 

типа. Идея рассматриваемого подхода 

состоит в построении системы упрощенных 

параметрических моделей зависимости (1) 

относительно некоторого набора точек из 

обучающей выборки с последующей их организацией 

в коллективе на основе методов 

непараметрической статистики. 

Поставим в соответствие некоторой 

i i 

точке ( x , y ) обучающей выборки V аппроксимацию 

ϕ ( x, α ) зависимости (1), парамет- 

i 

ры α которой удовлетворяют условиям: 

y 

i 

i i 

= ϕ ( x , α ) , 

i 

i 1 n j j 

α = arg min ∑ ( y −ϕ 

( x , α )) 

2 

, i= 

1,N 

n− 

i 

. 

i 1 

α j= 

1 

j≠1 

(5) 

i 

Упрощенные аппроксимации ϕ i 

( x , α ) 

проходят через опорные точки 

i 

i 

( x , y , i = 1, N) 

и близки в среднеквадратическом 

к остальным элементам обучающей 

выборки V . 

Для линейных упрощенных аппроксимаций 

k 

∑ 

i i 

ϕ 

i( 

x, α ) = α ν 

xν 

+ β . (6) 

ν = 1 

Параметр 

β 

i 

= y 

i 

− 

k 

i 

∑α ν 

ν = 1 

x 

i 

ν 

, а коэффи- 

i 

циенты α ν 

, ν = 1, 

k находятся из условия минимума 

критерия 

n 

∑ 

⎡ 

⎢( 

y 

⎣ 

j 

− y 

) − 

∑ 

j= 1 ν = 1 

j≠i 

i 

k 

2 

i j i ⎤ 

α 

ν 

( xν 

− xν 

) ⎥ , (7) 

⎦ 

В качестве статистической модели зависимости 

(1) примем процедуру условного 

усреднения 

N 

∑ 

i 

y = ϕ ( x ) = ϕ ( x, α ) λ ( x , (8) 

t= 

1 

i 

i 

) 

где положительная, ограниченная значением 

единица функция λ i ( x ) определяет «вес» 

i 

правила ϕ ( x, α ) при формировании решения 

в ситуации x: 

i 

k 

i 

⎛ x ⎞ 

ν 

− xν 

∏Φ 

⎜ 

⎟ 

i 

ν= 

1 ⎝ cν 

λ ( x) = 

⎠ 

N k 

i 

. (9) 

⎛ x − x ⎞ 

ν ν 

∑∏Φ 

⎜ 

⎟ 

i= 1 ν= 

1 ⎝ cν 

⎠ 

Непараметрическая модель коллективного 

типа (5) допускает представление 

y = ϕ ~ ( x ) + z( x ) , (10) 

где первое слагаемое ~ϕ ( x ) является непараметрической 

регрессией, построенной по 

опорным точкам, а второе z ( x ) играет роль 

поправочного члена и отражает условную 

взаимосвязь между точками обучающей выборки, 

значения которого снижаются по мере 

83


роста объема исходной информации. Наличие 

поправочного члена делает коллектив (5) 

схожим с гибридными моделями, а слабая 

зависимость его свойств от вида опорных 

функций – с непараметрической регрессией. 

Результаты вычислительного 

эксперимента 

Применение непараметрических коллективов 

позволяет использовать не только 

информацию о локальном поведении восстанавливаемой 

зависимости, но и вскрывать ее 

относительные интегральные свойства, содержащиеся 

в обучающей выборке. 

Исследование взаимосвязи между параметрами 

малорасходных вентиляторов. 

Объем экспериментальных данных составлял 

10 наблюдений, причем каждое соответствовало 

конкретному вентилятору, характеризующемуся 

семью показателями эффективности. 

В ходе вычислительного эксперимента 

в качестве значений функции выбирался один 

из семи показателей, остальные составляли 

набор ее аргументов. При моделировании 

взаимосвязи между входными и выходными 

переменными изучаемого объекта было установлено, 

что некоторые признаки давали 

большую ошибку аппроксимации, и поэтому 

при повторном эксперименте такие признаки 

для данной выходной переменной не учитывались. 

Результаты вычислительного эксперимента 

представлены на рис. 1–13. 

Рис. 1. Зависимость коэффициента П в 

от 

отношения Р дин 

/Р ст 

: кривая 1 получена при 

показателе «темперамент» σ = 142 и скорости 

вращения электродвигателя s = 4000 об/мин; 

кривая 2 при σ = 100 и s =3000 об/мин; 

кривая 3 при σ=65 и s =2500 об/мин 


от скорости 

вращения электродвигателя s: кривая 1 

соответствует σ=100 и V р 

= 0,12; кривая 2 – 

σ=100 и V р 

= 0,09; кривая 3 – σ =60 и V р 

= 0,1 

Рис. 3. Зависимость показателя «темперамент» 

от КПД: кривая 1 – П в 

= 300, Р дин 

/ Р ст 

= 0,7 и 

V р 

= 0,1; кривая 2 – П в 

= 300, Р дин 

/ Р ст 

= 1,5 и 

V р 

= 0,08; кривая 3 – П в 

= 150, Р дин 

/ Р ст 

= 0,4 и 

V р 

= 0,05 

Рис. 4. Зависимость показателя 

«темперамент» от КПД: 

кривая 1 – П в 

= 500, Р дин 

/ Р ст 

= 0,5 и V р 

= 0,05; 

кривая 2 – П в 

= 500, Р дин 

/ Р ст 

= 1 и V р 

= 0,05 

84


Рис. 5. Зависимость коэффициента полезного 

действия от отношения Р дин 

/ Р ст 

: 

кривая 1 соответствует значениям П в 

= 300, 

σ = 140 и V р 

=0,06; 

кривая 2 – значениям П в 

= 500, σ = 140 и V р 

=0,06; 


= 300, σ = 75 и V р 

=0,06; 


= 300, σ = 140 и V р 

=0,1 


при массе аппарата р = 3 кг, V р 

= 0,09; 

Р дин 

/ Р ст 

= 0,3 и σ = 100 

Рис. 7. Зависимость коэффициента полезного 

действия от отношения Р дин 

/ Р ст 

: 

кривая 1 соответствует значениям 

р = 2,5 кг, V р 

= 0,09; 

кривая 2 - р = 1,5 кг, V р 

= 0,06; 

кривая 3 – р = 2,5 кг, V р 

= 0,05 

Рис. 8. Зависимость веса аппарата 

от отношения Р дин 

/ Р ст 

: 


= 300, 

σ = 140 и скорости вращения электродвигателя 

s = 3000 об/мин; 

кривая 2 - П в 

= 300, σ = 170 и s = 4000 об/мин; 


= 200, σ = 60 и s = 5000 об/мин 

Рис. 9. Зависимость массы аппарата от 

скорости вращения электродвигателя s: 


= 300, 

σ = 140; кривая 2 - П в 

= 500, σ = 140; 


= 300, σ = 60 

Рис. 10. Зависимость массы аппарата от КПД: 


= 300, 

σ = 60; кривая 2 - П в 

= 300, σ = 140; 


= 500, σ = 140 

85


Рис. 11. Зависимость отношения Р дин 

/ Р ст 

от массы аппарата: кривая 1 соответствует 

значениям П в 

= 300, σ = 100; кривая 2 - П в 

= 400, 

σ = 100; кривая 3 - П в 

= 300, σ = 60 

Рис. 12. Зависимость массы аппарата 

от скорости вращения электродвигателя s при 

σ = 100, Р дин 

/ Р ст 

= 0,74 и КПД = 0,3 

Рис. 13. Зависимость КПД от скорости вращения электродвигателя s: 


= 300, V р 

= 0,09; кривая 2 - П в 

= 300, V р 

= 0,11; 


= 300, V р 

= 0,05 

Исследование показателей эффективности 

рабочих колес злектронасосных агрегатов. 

Объем экспериментальных данных 

для штатной крыльчатки составлял n = 67, 

ошибка восстановления искомой зависимости 

находилась в пределах 4,8 % от значения 

восстанавливаемой функции. Объем данных 

для криволинейной крыльчатки n = 71 при 

ошибке восстановления 6,1 %. Для прямой 

крыльчатки объем экспериментальных дан- 

ных составил 72 наблюдения, а ошибка восстановления 

– 13 %. 

Эффективность восстановления зависимости 

(1) непараметрическими моделями 

коллективного типа (5) определялась средней 

относительной ошибкой аппроксимации. 

Кривые на рисунках 14–22 соответствуют 

штатной крыльчатке (1), и крыльчаткам с 

криволинейными (2) и прямыми (3) лопатками, 

КПД приведен в %. 

86


Рис. 14. Зависимость КПД от температуры 

рабочей жидкости при скорости вращения 

s = 5800 об/мин, U 

пит 

= 27 В, ∆ P = 61 кПа 


рабочей жидкости при s = 5750 об/мин, 

U = 27 В, ∆ P = 50 кПа 

пит 


рабочей жидкости при s = 5600 об/мин, 

U = 27 В, ∆ P = 45 кПа 

пит 

Рис. 17. Зависимость КПД 

от перепада давления при s = 5800 об/мин, 

U 

пит 

= 27 В, T 

рж = 20 °С 

Рис. 18. Зависимость КПД от перепада давления 

при s = 5800 об/мин, U пит 

= 23 В, Т рж 

= 20 °С 

Рис. 19. Зависимость КПД от перепада давления 

при s = 5800 об/мин, U пит 

= 34 В, Т рж 

= 20 °С 

87


КПД 

29 

КПД 

30 

27,5 

26 

24,5 

23 

3 

1 

2 

28,5 

27 

25,5 

2 

1 

3 

21,5 

U пит 

23 25,2 27,4 29,6 31,8 34 

24 

U пит 

23 25,2 27,4 29,6 31,8 34 

Рис. 20. Зависимость КПД от напряжения питания 

при s = 5800 об/мин, Т рж 

= 20 °С, ∆ P = 61 кПа 



= –50°С, ∆ P = 61 кПа 

КПД 

27,5 

26 

24,5 

23 

1 

3 

2 

21,5 

23 25,2 27,4 29,6 31,8 34 

U пит 



= 50 °С, ∆ P = 61 кПа 


Восстанавливаемые многомерные зависимости 

для малорасходных вентиляторов 

космических аппаратов позволяют спроектировать 

осевой вентилятор минимальной массы 

(рис. 11) с КПД близким к максимальному 

(рис. 10). Из условия максимума КПД найдены 

оптимальные параметры: П в 

= 63, 

Р дин 

/ Р ст 

=1,3 (рис. 6, 7). Зависимость темперамента 

от КПД (рис. 4, 5) показывает, что 

необходимых высоких КПД можно достичь 

или за счет увеличения массы (при Р дин 

/ Р ст 

= 

= 0,5) или за счет увеличения скорости вращения 

(при Р дин 

/ Р ст 

= 1). При Р дин 

/ Р ст ≥ 1,8 

коэффициент П в 

не зависит от скорости вращения 

и темперамента, причем происходит 

резкое снижение КПД, что необходимо учитывать 

в процессе проектирования вентиляторов. 

Анализ результатов вычислительного 

эксперимента показывает, что наибольшая 

эффективность электронасосного агрегата 

достигается при использовании рабочего ко- 

леса с прямыми лопатками. При этом максимальный 

КПД соответствует следующим техническим 

параметрам: скорость вращения 

s = 5750 об/мин, напряжение питания 

U пит 

=27 В, перепад давления ∆Р = 50 кПа. 

Соблюдение данного технологического режима 

обеспечивает слабую зависимость КПД от 

температуры рабочей жидкости. Криволинейный 

профиль крыльчатки с углом наклона лопатки 

на выходе 30° имеет преимущества в 

области пониженных скорости вращения рабочего 

колеса и перепадов давления при 

меньших значениях КПД электронасоса по 

сравнению с оптимальным технологическим 

режимом. В этих условиях также наблюдается 

слабая зависимость КПД от температуры 

рабочей жидкости. 

Имеется экстремальная зависимость 

(рис. 17–19) коэффициента полезного действия 

электронасоса от перепадов давления. 

Существуют технологические режимы, когда 

эффективность электронасоса не зависит от 

профиля лопаток рабочего колеса (рис. 18–19). 

88


При положительных температурах рабочей 

жидкости и значениях перепада давления 

в пределах 61 кПа с увеличением напряжения 

питания до 28 В КПД электронасоса 

с прямым профилем лопатки рабочего 

колеса превышает показатели других исследуемых 

модификаций. Дальнейшее увеличение 

напряжения питания благоприятствует 

использованию рабочих колес с криволинейным 

профилем крыльчатки (рис. 20, 22). 

В условиях отрицательных температур 

независимо от напряжения питания преимущество 

имеет электронасос с прямым профилем 

лопатки рабочего колеса (рис. 21). 

При этом штатная крыльчатка (угол наклона 

лопатки при выходе 90°) более эффективна, 

чем ее модификация с углом наклона 

лопатки при выходе 30°. 

Таким образом, с помощью статистического 

анализа в условиях малого объема 

экспериментальных данных получены конкретные 

рекомендации для разработки и эксплуатации 

агрегатов системы терморегулирования 

космических аппаратов. 


1. А. Г. Ивахненко, И. К. Тимченко, 

Д. А. Ивахненко Непараметрические модели 

МГУА Ч.4 // Автоматика. - 1990. № 1. –С. 20- 

31. 

2. А. В. Лапко, В. А. Лапко, М. И. Соколов, 

С. В. Ченцов. Непараметрические модели 

коллективного типа. - Новосибирск: Наука, 

2000. 

NON-PARAMETRIC MODELS OF MEASURING SPACE VEHICLE 

THERMOREGULATION SYSTEM UNIT EFFICIENCY INDICATORS 

© 2007 M. I. Sokolov 

Zhelesnogorsk Branch of Krasnoyarsk State Technical University 

The paper investigates the interrelations between the efficiency indices of low-consumption fans and electric 

pump units of space vehicles, their dependence on design parameters of the elements and technological conditions of 

use. The peculiarities of the systems under investigation presuppose using non-parametric methods of information 

processing. The results of computational elements with a view to defining efficient modes of the use of units. 

89


УДК 629.76 

УМЕНЬШЕНИЕ РАЗМЕРОВ РАЙОНОВ ПАДЕНИЯ ОТРАБОТАВШИХ 

БЛОКОВ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ ТИПА “СОЮЗ” 

ПРИ ПРЕДНАМЕРЕННОМ ЧЛЕНЕНИИ ИХ КОНСТРУКЦИИ 

© 2007 Б. А. Титов, С. А. Рычков 


Для уменьшения районов падения отработавших блоков ракеты-носителя предлагается преднамеренное 

членение конструкции отработавших блоков в процессе их свободного падения. Приводится баллистический 

расчет процесса выведения полезной нагрузки на целевую орбиту и расчет падения отработавшего блока с 

учетом членения конструкции. Установлена зависимость массы выводимой полезной нагрузки от размера района 

падения отработавших блоков ракеты-носителя. Дана общая оценка эффекта от применения преднамеренного 

членения конструкции отработавших блоков. 

Рассмотрим влияние на размеры районов 

падения отработавших блоков при преднамеренном 

членении их конструкции на 

примере центрального блока (ЦБ) ракетыносителя 

(РН) типа «Союз». Для качественной 

оценки преднамеренного членения установим 

зависимость между размерами района 

падения ЦБ и массой полезной нагрузки 

(ПН), выводимой на целевую геопереходную 

орбиту (ГПО) с высотой перигея 

o 

H π ГПО 

= 5500 км и наклонением i 

ГПО 

= 25 . 

Трехступенчатая РН выводит на круговую 

опорную орбиту высотой 

H = 200 км ПН 

с разгонным блоком (РБ), а затем РБ осуществляет 

перевод ПН с опорной орбиты на 

ГПО. Будем полагать, что членение ЦБ осуществляется 

по сечениям, показанным на 

рисунке 1. 

Рассмотрим процесс расчета массы ПН, 

выводимой на целевую орбиту без применения 

членения ЦБ. Программа угла тангажа ϕ 

орб 

на этапе работы первой ступени (рис. 2) определяется 

зависимостью [1] 

ϕ ( t ) = Θ( t ) + α( t ), 

(1) 

где Θ – угол наклона траектории; α – угол 

атаки; t – время. 

На стартовом вертикальном участке 

“0-1” от t = 0 до t 1 : a(t) = 0, Θ (t) = π 2 , и поэтому 

из (1) следует, что ϕ ( t ) = π 2. 

На участке “1-2” начального разворота 

от t 1 

до t 2 

угол атаки α изменяется согласно 

зависимости [1] (рис. 3): 

α 

a ( t t 

( t) k( k ); 

k e 

) инт − 1 

= α ⋅ − 2 = 2 ⋅ , 

max 

где α max 

– максимальное значение угла атаки, 

рад; а инт 

– коэффициент, определяющий интенсивность 

“создания” и “снятия” угла атаки. 

Угол тангажа на участке “1-2” определяется 

согласно (1). Для получения зависи- 

1 2 

3 4 

1 2 3 4 

бак окислителя бак горючего двигательная установка 

Рис. 1. Центральный блок РН типа “Союз” 

90


y с 

X r 

a 

V r 2 

P r 

α < 0 

ϕ 

Θ 

X r 

a 

G r 

г 

P r 

V r 

ϕ = Θ 

К1 

h к1 

V r к1 

Θ к1 

1 

0 

G r 

г 

x с 

Рис. 2. Основные участки траектории первой ступени РН 

мости Θ(t) необходимо проинтегрировать 

систему уравнений движения РН в скоростной 

системе координат (СК) [1]. На участке 

“2-К1” гравитационного разворота движение 

происходит при α(t) = 0, и поэтому программа 

угла тангажа имеет вид: ϕ( t ) = Θ( t ). 

Краевым условием для первой ступени 

РН является равенство 

q 

= max 

к1 qк1 

, 

где q 

к1 

– величина скоростного напора в момент 

времени t = t к 1 

, Н/м 2 max 

; qк 

1 – максимально 

допустимая величина скоростного напора 

в момент окончания работы первой ступени, 

Н/м 2 . 

При выборе программы угла тангажа 

для верхних ступеней РН необходимо обеспечить 

в конце активного участка при полном 

выгорании топлива максимально возможную 

конечную скорость. Для случая движения 

вне атмосферы в плоскопараллельном 

поле сил тяжести программа угла тангажа 

получена в виде [3]: 

tgϕ tgϕ 

+ B ⋅ t, 

(2) 

= 

0 

где ϕ 

0 

– начальное значение угла тангажа, 

рад; В – скорость изменения тангенса угла 

−1 

тангажа, c . 

В работе [3] было установлено, что в 

условиях практического отсутствия атмосферы 

оптимальная программа угла тангажа 

весьма близка к линейной зависимости от 

времени: 

ϕ = ϕ + ϕ& 

0 

⋅ t, 

(3) 

−1 

где ϕ& – угловая скорость по тангажу, c . 

Краевым условием для второй ступени 

РН является равенство 

L = зад 

цб 

Lцб 

, 

(4) 

где L 

цб 

– линейная дальность падения ЦБ от 

зад 

точки старта, м; L 

цб – заданная линейная 

дальность падения ЦБ от точки старта, м. 

Параметры движения в момент окончания 

работы второй ступени можно получить, 

проинтегрировав систему уравнений движения 

в стартовой СК [4]. Известно, что 

энергетически выгодной программой угла 

тангажа верхних ступеней РН является 

ϕ = const [1]. Но для удовлетворения краево- 

α 

t 1 

t m t 2 

0 

t 

-α max 

Рис. 3. Программа изменения угла атаки 

на участке работы первой ступени РН 

91


го условия (4) на этапе работы второй ступени 

РН приходится выбирать программу угла 

тангажа вида (3). Для уменьшения энергетических 

потерь из-за отклонения программы 

угла тангажа от оптимальной разобьем ее на 

два линейных участка. Поэтому программа 

изменения угла тангажа на этапе работы второй 

ступени РН будет задана кусочно-линейной 

зависимостью: 

ϕ( t ) = ϕ 

ϕ( t ) = ϕ 

02 

02 

± ϕ& 

max 

+ ∆ϕ 

2 

( t − tк1 

) при tк1 

≤ t ≤ t∆2; 

+ ϕ& 

( t − t ) при t < t ≤ t 

2 

∆2 

∆2 

к2 

где ϕ 02 

– начальное значение угла тангажа в 

момент начала работы второй ступени, принимаемое 

равным значению угла тангажа в 

момент времени t = t к 

: ϕ 

1 02 

= ϕк1; ϕ& 

max 

– максимально 

допустимая скорость изменения 

−1 

угла тангажа, c ; ϕ& – скорость изменения 

2 

−1 

угла тангажа на интервале [ t∆ 2;tк2 

] , c ; 

∆ϕ 2 

– приращение угла тангажа на интервале 

[ t к1 ;t ∆ 2 

] . 

Оптимальную программу угла тангажа 

для участка работы третьей ступени также 

выбираем из семейства линейных программ 

(3). Краевым условием для этого участка является 

h 

= H ; Θ , 

(5) 

к3 орб к3 

= 0 

где h 

к3 

– высота в момент окончания работы 

, 

третьей ступени, м; Θ 

к3 

– угол наклона траектории 

в момент окончания работы третьей 

ступени. 

Для решения данной двухпараметрической 

задачи будем использовать методику, 

изложенную в [4] и рассчитанную на закон 

изменения угла тангажа вида (2). Однако полученное 

при этом оптимальное начальное 

значение угла тангажа ϕ 

03, как правило, оказывается 

больше значения ϕ (рис. 4, а). 

к2 

Поэтому введем дополнительный линейный 

участок (рис. 4, б) и закон изменения угла 

тангажа будем выбирать в виде зависимости: 

ϕ 

ϕ 

( t) = ϕк2 

± ϕ& 

max( t − tк2 

) при tк2 

≤ t < t∆3; 

() t = arctg[ tgϕ 

+ B ( t − t )] при t ≤ t ≤ t , 

03 

3 

∆3 

∆3 

где ϕ – значение угла тангажа в момент 

к2 

окончания работы второй ступени; B 

3 

– темп 

изменения тангенса угла тангажа на интервале 

t ;t ] 

[ 

∆ 3 к3 

. 

Тогда для решения краевой задачи на 

этапе работы третьей ступени, кроме условий 

(5), необходимо выполнение еще одного 

равенства: 

ϕ = 

, 

к 2 

+ ∆ϕ3 

ϕ03 где ∆ϕ 3 

– приращение угла тангажа на интервале 

t ;t ] 

[ к2 ∆ 3 

. 

Далее рассмотрим трехимпульсный перелет, 

совершаемый РБ для перевода ПН с 

к3 

ϕ 

ϕ 03 

ϕ 

ϕ 03 

ϕ к2 

t к2 

t к3 

t 

ϕ к2 

t к2 

t ∆3 

∆ϕ 3 

t к3 

t 

ϕ к3 

а 

ϕ к3 

б 

Рис. 4. К решению краевой задачи для третьей ступени РН 

92


опорной орбиты на ГПО (рис. 5). Первый 

импульс ∆V 1 

обеспечивает выход РБ на круговую 

опорную орбиту после отделения третьей 

ступени. Второй импульс ∆V 2 

обеспечивает 

переход на промежуточную компланарную 

эллиптическую орбиту. Третий импульс 

∆V 3 

обеспечивает переход с промежуточной 

эллиптической орбиты на ГПО. Величины 

необходимых приращений скорости определяются 

следующими выражениями [5]: 

∆ V = V V ; ∆V 

= V −V 

; 

1 орб 

− 

и0 

2 

2 2 

∆V3 = Vα 

гпо 

+ Vα 

− 2 ⋅Vα 

гпо 

⋅Vα 

⋅ cos( iорб−iгпо 

); 

V 

V 

V 

V 

орб 

π 

α 

= 

= V 

= V 

α гпо 

орб 

гсо 

= V 

µ 

R + H 

гсо 

( R 

( R 

орб 

; 

2 ⋅( 

R + Hгсо 

) 

+ H ) + ( R + H 

+ H 

орб 

2⋅( 

R + H 

орб 

π 

орб 

) 

) + ( R + H 

орб 

гсо 

гсо 

; 

) 

; 

) 

2 ⋅( 

R + Hπ 

гпо 

) 

( R + H ) + ( R + H 

π гпо 

гсо 

, 

) 

где V орб 

– круговая скорость на высоте Н орб 

, 

м/с; V и 0 

– абсолютная скорость после отделения 

третьей ступени, м/с; V α 

– скорость в 

апогее промежуточной эллиптической орбиты, 

м/с; V π 

– скорость в перигее промежуточной 

эллиптической орбиты, м/с; V α гпо 

– скорость 

в апогее геопереходной орбиты, м/с; 

i орб 

– наклонение опорной орбиты 

относительно плоскости экватора; 

µ = 3,98602⋅10 5 км 3 /с 2 – гравитационный параметр 

Земли; Н гсо 

= 35 786 км – высота геостационарной 

орбиты; V гсо 

– круговая скорость 

на высоте Н гсо 

, м/с. 

Будем пренебрегать потерями скорости 

из-за действия силы притяжения Земли и возможной 

некомпланарности векторов силы 

тяги и скорости. Поэтому суммарная характеристическая 

скорость маневра ∆VХ 

определяется как сумма трех импульсов: 

V Х 1 2 

∆ 3 

∆ = ∆V 

+ ∆V 

+ V . Зная характеристическую 

скорость перелета, можно рассчитать 

необходимый запас топлива РБ, используя 

формулу Циолковского [5]: 

m 

РБ 

т 

где 

= m 

ГБ 

0 

( −∆ ) 

[ 1 

V Х P уд РБ 

− e ], 

ГБ 

m 0 

– начальная масса головного блока, 

кг; P уд РБ 

– удельная тяга двигателя РБ, м/с. 

Тогда максимальная масса выводимой ПН 

составит: 

промежуточная орбита 

r 

V 

π 

r 

= V 

орб 

r 

+ ∆ 

V 2 

опорная круговая орбита 

V r α гпо 

r 

V 

орб 

r 

= V 

r 

+ ∆ 

и0 V 1 

V r α 

∆ V r 

3 

геопереходная орбита 

Рис. 5. Схема трехимпульсного перелета на ГПО 

93


m 

max 

пн 

= m 0 

ГБ 

− m 

РБ 

к 

− m 

РБ 

т 

РБ 

где m – масса конструкции РБ, включая 

к 

остатки топлива, кг. 

В случае применения принудительного 

членения конструкции ЦБ схема расчета массы 

ПН, выводимой на ГПО, будет отличаться 

от изложенной выше только краевым условием 

для второй ступени РН, которое запишется 

в виде 

зад 

Lц ф 

= Lцб 

, 

(6) 

где L 

цф 

– линейная дальность падения “центра 

фрагментов”, т. е. средняя арифметическая 

дальность падения частей ЦБ, м. 

, 

max 

Проведена серия расчетов m 

пн 

и линейного 

разброса ∆L частей ЦБ в плоскости 

стрельбы при различных вариантах программы 

угла тангажа при членении конструкции 

ЦБ согласно принятой схеме (рис. 1). При 

этом предполагалось, что членение осуществляется 

на высоте 90 км и дальнейшего разрушения 

конструкции не происходит. Была определена 

m max 

пн 

, соответствующая выбору программы 

угла тангажа без применения членения. 

В этом случае в качестве района падения 

ЦБ принимается эллипс с полуосями 

60 км и 20 км, учитывающий самопроизвольное 

разрушение конструкции ЦБ во время 

падения. Исходные данные для расчета приведены 

в таблице 1. Полученные результаты 

представлены в таблице 2 (нулевая строка 

соответствует расчету без применения членения 

ЦБ). На основании полученных резуль- 

max 

татов построен график зависимости m 

пн 

от 

∆L (рис. 6). Программа угла тангажа без членения 

и некоторые наиболее характерные варианты 

программы угла тангажа при членении 

конструкции ЦБ представлены на рисунках 

7 и 8, соответственно. 

На рисунке 8 различные варианты программ 

угла тангажа обусловлены выбором 

различных значений угла ϕ . Вариант № 1 

к2 

соответствует оптимальной программе угла 

тангажа, которая обеспечивает наибольшую 

начальную орбитальную скорость V и0 

, наименьшую 

характеристическую скорость пе- 

Таблица 1. Исходные данные для расчета 

Наименование 

Обозначение 

Масса ускорителей, включая остатки 

m 

у1 = 4 × 5070, m 

у2 

, 

топлива, кг 

= 8440 m = у3 

2790 

Масса рабочего топлива, кг m 

т1 = 4 × 38512, 

m 

т2 

= 91247, 

m 

т3 

= 22440 

Секундный массовый расход, кг/с µ = 4 326 37, 

µ 316 83, 

µ 93 5 

94 

сек 1 

× . 

1 

4 1021. 

сек 2 

= . 

сек 3 

= . 

2 

990. 

2 P = п3 

Номинальная тяга в пустоте, кН P п 

= × 3, 

P п 

= , 298 

Степень высотности сопла λ 

соп 

= 1. 15 

Площадь миделя, м 2 S м 

= 25. 86 

Масса конструкции РБ, включая остатки 

топлива, кг 

РБ 

m 

к 

= 900 

Удельная тяга двигателя РБ, м/с P = уд РР 

3162 

ГБ 

Масса ГБ, кг m 7070 

0 

= 

o 

Широта точки старта ϕ = 45 59 

′ 

0 

o 

0 

= 63 3 ′ 

Долгота точки старта λ 3 

o 

Азимут стрельбы A = 64 42′ 

6′ 

o 

Максимальное значение угла атаки α 

max 

= 3 

Предельное значение скоростного напора, 

Н/м 2 max 

q 

к1 = 2900 

Максимальная скорость изменения угла 

ϕ& 

max 

= 1.0 

тангажа, град/с 

Заданная дальность падения центрального зад 

L 

цб 

= 1600 

блока, км


Таблица 2. Результаты расчета 

max 

№ п/п j 

к2, 

град Vк2 

, м/с DL, 

км Vк3, 

м/с Vи0 

, м/с DV Х 

, м/с m , кг 

0 11.0 4139.52 60.00 7040.41 7341.58 3834.78 1202.42 

1 12.0 4131.09 46.82 7183.03 7484.22 3692.76 1299.00 

2 6.0 4136.05 45.82 7155.03 7456.20 3720.14 1280.04 

3 0.0 4126.17 44.11 7113.96 7415.15 3762.19 1251.24 

4 -6.0 4101.04 41.97 7062.76 7363.92 3811.93 1217.67 

5 -12.0 4060.95 39.55 6997.09 7298.27 3878.23 1173.73 

6 -18.0 4005.09 36.92 6935.87 7237.06 3938.79 1134.39 

7 -24.0 3933.21 34.20 6877.47 7178.65 3996.14 1097.82 

8 -30.0 3842.66 31.30 6836.60 7137.80 4036.40 1072.55 

9 -36.0 3731.42 28.34 6811.93 7113.15 4060.14 1057.80 

пн 

релета 

∆ V и, как следствие, наибольшую 

Х 

m 

пн 

. Уменьшение значения 

к2 

ϕ до 0° (вариант 

№ 3) приводит к дополнительным энергетическим 

потерям и к уменьшению массы 

ПН, но при этом уменьшается разброс частей 

ЦБ. 

При дальнейшем уменьшении значения 

ϕ с целью обеспечения выполнения крае- 

к2 

вого условия (6) приходится вводить дополнительный 

линейный участок для увеличения 

угла тангажа с максимальной скоростью 

ϕ& 

max 

. Это приводит к дополнительным потерям 

в энергетике и, соответственно, к еще 

большему уменьшению m 

пн 

, но также позволяет 

значительно уменьшить разброс 

частей ЦБ (варианты № 5 и № 7). Значение 

1400 

1350 

1300 

1250 

m max 

пн 

,кг 

1200 

1150 

1100 

1050 

1000 

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 

Рис. 6. Зависимость максимальной массы ПН, выводимой на ГПО, 

от линейного разброса частей ЦБ в плоскости стрельбы 

× - вариант расчета без членения конструкции центрального блока 

95 

∆ L,км


100 

80 

60 

40 

∆ ϕ 3 

ϕ ,град 

20 

∆ ϕ 2 

0 

20 

40 

60 

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 

t 

к1 

t t 

к2 

к3 

t , c 

Рис. 7. Программа угла тангажа без членения конструкции ЦБ 

100 

80 

60 

9 

7 

40 

5 

ϕ ,град 

20 

0 

1 

20 

3 

40 

60 

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 

t , c 

Рис. 8. Программы угла тангажа при членении конструкции ЦБ 

Номер позиции соответствует номеру п/п в таблице 2 

96


o 

ϕ 

к2 = −36 (вариант № 9) является минимально 

допустимым, поскольку при дальнейшем 

уменьшении значения ϕ потребная величи- 

к2 

на ϕ& на интервале 

2 

[ t∆ 2;tк2 

] будет превышать 

максимальную величину угловой скорости, 

т. е. ϕ& 2 

> ϕ& 

max . 

Анализ полученных результатов позволяет 

сделать следующие выводы: 

1) применение членения конструкции 

ЦБ увеличивает массу выводимой ПН на 8 % 

(до 1300 кг), при этом линейный разброс в 

плоскости стрельбы частей ЦБ составляет 

46,82 км (рис. 6); 

2) при одной и той же массе выводимой 

ПН (1200 кг) применение членения конструкции 

ЦБ позволяет уменьшить разброс 

частей до 41,1 км (рис. 6). 


1. Аппазов Р. Ф., Сытин О. Г. Методы 

проектирования траекторий носителей и 

спутников Земли. – М.: Наука, 1987. 

2. Аэродинамика ракет / Н. Ф. Краснов, 

В. Н. Кошевой, А. Н. Данилов и др. – М.: 

Высш. шк., 1968. 

3. Охоцимский Д. Е., Энеев Т. М. Некоторые 

вариационные задачи, связанные с запуском 

искусственного спутника Земли // 

Успехи физических наук. – 1957. – Т. 63, 

вып. 1а. - С. 4-32. 

4. Основы теории полета космических 

аппаратов / Под ред. Г. С. Нариманова и 

М. К. Тихонравова. – М.: Машиностроение, 

1972. 

5. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. 

Основы механики космического полета: 

Учебное пособие. – М.: Наука, 1990. 

DECREASING THE AREA OF FALL OF «SOYUZ» - TYPE CARRIER 

ROCKET’S USED BLOCKS WITH THEIR STRUCTURE DELIBERATELY 

DIVIDED INTO PARTS 

© 2007 B. A. Titov, S. A. Rytchkov 


Deliberate division of used blocks’ structure in the process of their free falling is proposed in order to decrease 

the area of fall of the carrier rocket’s used blocks. Ballistic calculation of the process of placing payloads in the target 

orbit and the calculation of the used block’s fall with regard to the structure being divided into parts are presented. 

Dependence of the payload mass on the area of fall of the carrier rocket’s used blocks is established. The effect of 

deliberate division of the used blocks’ structure into parts is estimated in general. 

97


УДК 629.78+621.453 

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА 

С СИСТЕМОЙ ОРИЕНТАЦИИ НА БАЗЕ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ 

ЖИДКОСТНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ МАЛОЙ ТЯГИ 

© 2007 Б. А. Титов, А. Л. Сирант 


Приведены результаты исследования динамики космического аппарата в движении относительно центра 

масс с нелинейной системой ориентации с двухкомпонентными жидкостными ракетными двигателями малой 

тяги в качестве исполнительных органов. Рассмотрен режим поддержания заданной ориентации в предельном 

цикле. 

При построении адаптивных систем 

управления объектами ракетно-космической 

техники с двухкомпонентными жидкостными 

ракетными двигателями малой тяги (ЖРД 

МТ) в контуре управления возникает проблема, 

связанная с неидеальностями импульсных 

режимов включения. С точки зрения динамики 

движения космического аппарата (КА), 

подлежат изучению и учету следующие неидеальности 

тягового импульса двигателей: 

- временные запаздывания при запуске 

и останове двигателя; 

- наличие импульса выхода на режим 

установившейся тяги; 

- наличие импульса последствия тяги; 

- тепловое и массовое взаимодействие 

импульсов тяги двигателя на высоких частотах 

включения. 

1. Основные предположения о характере 

процессов в системе ориентации 

Для моделирования процесса функционирования 

ЖРД МТ в системе ориентации 

(СО) и выявления влияния особенностей его 

тягового импульса на динамику КА достаточно 

рассмотреть одноканальную систему. В 

этом случае дифференциальное уравнение 

угловых движений КА запишется в виде 

2 

d ϕ( t) 

= −m у 

+ m 

2 

в 

, 

dt 

(1) 

где m y 

= M y 

/J х 

; т в 

= M в 

/J х 

; 

М в 

- возмущающий внешний момент; 

М у 

= R ⋅ l - управляющий момент; R - тяга; l - 

плечо; J х 

- момент инерции относительно связанной 

оси х. 

Предположим, что СО снабжена датчиками 

угла и угловой скорости, которые имеют 

характеристики, приведенные в [3, 4]. 

Уравнение датчика угла имеет вид: 

при 

при 

при 

ϕ( t ) ≤ ϕ 

ϕ( t ) > ϕ 

max 

ϕ( t ) < −ϕ 

max 

max 

⇒ U 

⇒ U 

ϕ 

ϕ max 

⇒ −U 

= k 

; 

ϕ 

ϕ max 

⋅ϕ( 

t ); ⎫ 

⎪ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

. ⎪ 

⎭ 

(2) 

Здесь k 

ϕ - коэффициент усиления датчика 

угла, U ϕ 

- выходной сигнал датчика угла, 

ϕ тах 

- координата диапазона линейности датчика. 

Таким образом, выходная характеристика 

U ϕ 

(ϕ) представляет собой нелинейную 

функцию с диапазоном линейности и насыщением. 

Уравнения датчика угловой скорости 

имеют вид: 

при 

при 

при 

при 

при 

ϕ& ( t ) ≤ ϕ& 

⇒ U = 0; 

ϕ& 

з.н. 

−ϕ& 

< ϕ& 

( t ) < ϕ& 

max 

ϕ& 

( t ) ≥ ϕ& 

з.н. 

ϕ& 

( t ) ≤ −ϕ& 

< ϕ& 

( t ) < −ϕ& 

max 

max 

max 

⇒U 

ϕ& 

ϕ& 

⇒ U 

⇒ U 

з.н. 

= U 

ϕ& 

ϕ& 

⇒ U 

ϕ& 

max 

= −U 

= k ( ϕ& 

( t ) −ϕ& 

ϕ& 

; 

ϕ& 

ϕ& 

max 

= k ( ϕ& 

( t ) + ϕ& 

. 

ϕ& 

з.н. 

); 

з.н. 

⎫ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

); ⎬ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎭ 

(3) 

Здесь 2 ϕ& з.н . 

- ширина зоны нечувствительности 

датчика; k 

ϕ& - крутизна характеристики 

датчика; 

98


если ϕ(t 

) ≥ϕ 

⎫ 

max, 

то 

⎪ 

при ϕ& 

(t ) ≤ϕ& 

⎪ 

з.н. 

⇒iy(t 

) = Uϕ 

max; 

⎪ 

⎪ 

при ϕ& 

з.н. 

< ϕ& 

( t ) < ϕ& 

max 

⇒ ⎪ 

⎬ 

⇒iy( t ) = U 

max 

+ a ( ϕ& 

( t ) −ϕ& 

ϕ 1 

з.н. 

); ⎪ 

⎪ 

при −ϕ& 

max 

< ϕ& 

( t ) < −ϕ& 

з.н. 

⇒ ⎪ 

⎪ 

⎪ 

⇒iy( t ) = −U 

ϕ max 

+ a ( ϕ& 

( t ) + ϕ& 

1 

з.н. 

); ⎪⎭ 

(4) 

U ϕ& 

- максимальное значение сигнала с датчика; 

ϕ& 

max 

max 

- координата диапазона линейности 

датчика. 

Уравнения (3) соответствуют нелинейной 

характеристике Uϕ 

&( 

ϕ& 

) с зоной нечувствительности, 

диапазоном линейности и 

зоной насыщения. 

Далее в СО сигналы датчика угла и датчика 

угловой скорости суммируются и поступают 

на электронный усилитель, обладающий 

также зоной линейности и зоной насыщения. 

Поэтому на основании (2) и (3) выражения 

для управляющего сигнала в СО будут 

иметь вид: 

если ϕ( t ) < ϕ 

⎫ 

max, 

то 

⎪ 

при ϕ& 

( t ) ≤ϕ& 

⎪ 

з.н. 

⇒iy( t ) = a0ϕ( t ); 

⎪ 

⎪ 

при ϕ& 

з.н. 

< ϕ& 

( t ) < ϕ& 

max 

⇒ 

⎪ 

⎬ 

⇒ iy( t ) = a ϕ( t ) + a ( ϕ& 

( t ) −ϕ& 

0 

1 

з.н. 

); ⎪ 

⎪ 

при −ϕ& 

< ( t ) < − ⇒ ⎪ 

max 

ϕ& 

ϕ& 

з.н. 

⎪ 

⎪ 

⇒ iy( t ) = a ϕ( t ) + a ( ϕ& 

( t ) + ϕ& 

0 

1 

з.н. 

); ⎪⎭ 

(5) 

если ϕ( t ) ≥ ϕ 

⎫ 

max 

, то 

⎪ 

при ϕ& 

( t ) ≤ ϕ& 

⎪ 

з.н. 

⇒ iy( t ) = Uϕ 

max 

; 

⎪ 

⎪ 

при ϕ& 

з.н. 

< ϕ& 

( t ) < ϕ& 

max 

⇒ ⎪ 

⎬ 

⇒ iy( 

t ) = U 

max 

+ a ( ϕ& 

( t ) −ϕ& 

ϕ 1 

з.н. 

); ⎪ 

⎪ 

при −ϕ& 

< ( t ) < − ⇒ ⎪ 

max 

ϕ& 

ϕ& 

з.н. 

⎪ 

⎪ 

⇒ iy( 

t ) = −U 

ϕ max 

+ a ( ϕ& 

( t ) + ϕ& 

1 

з.н. 

); ⎪ 

⎭ 

(6) 

где а о 

=k ϕ 

⋅ k у 

, а х 

= k ϕ 

⋅ k у 

, k у 

– коэффициент 

усиления электронного усилителя. 

Управляющий момент в СО формируется 

в результате срабатывания трехпозиционного 

поляризованного реле, обладающего 

нелинейной характеристикой с пространственным 

запаздыванием (рис. 1). На основе 

этой характеристики можно записать выражения 

для управляющего момента m (i y 

), прикладываемого 

к КА относительно оси x, в 

функции управляющего сигнала i y 

(t): 

если 

при 

при 

при 

diy( 

t ) 

⎫ 

> 0, 

то 

dt 

⎪ 

⎪ 

iy( t ) > iср 

⇒ my 

= + m 

0; 

⎪ 

⎬ 

− λi 



ср y ср y 

0 

⎪ 

i ( t ) < − i ⇒ m = −m 

, ⎪ 

y 

λ 

ср y 0 

⎭ 

(7) 

i 

где λ = отп 

i 

- отношение тока отпирания к 

ср 

току срабатывания - коэффициент возврата 

поляризованного реле; 

Рис. 1. Зависимость управляющего момента 

от управляющего сигнала 

99


если 

при 

при 

при 

diy( 

t ) 

< 0, 

то 

dt 

i ( t ) < −i 

y 

− i 



i ( t ) > λi 

y 

ср 

y 

ср 

t ) 

ср 

⇒ m 

< λi 

ср 

⇒ m 

y 

y 

⎫ 

⎪ 

⎪ 

= −m 0; 

⎪ 

⎬ 

⇒ m = ⎪ 

y 

0; 

⎪ 

= + m . ⎪ 

0 

⎭ 

(8) 

В выражениях (7) и (8) величина момента 

соответствует номинальному значению 

управляющего момента в идеальной П-образной 

модели импульса тяги реактивного микродвигателя 

[1, 2] без временного запаздывания. 

Можно построить структурную схему 

СО (рис. 2), которая будет использована как 

основной инструмент при моделировании 

динамики ЖРД МТ и влияния тяговой характеристики 

на движение КА относительно 

центра масс. 

2. Учет нелинейных свойств 

тяговой характеристики 

В соответствии с переходной характеристикой 

апериодического звена первого порядка 

изменение тяги по времени в реальном 

импульсе ЖРДМТ на участках импульса выхода 

на режим (ИВР) и импульса последействия 

тяги (ИПТ) с достаточной для практики 

точностью можно описать с помощью следующих 

соотношений: 

R 

R 

ИВР 

ИПТ 

= R 

= R 

НОМ 

НОМ 

[ 1− 

exp( −T t )] 

exp( −T t ). 

2 

1 

; ⎫ 

⎬ 

⎭ 

(9) 

Здесь t - текущее время нарастания или спада 

тяги с момента начала изменения тяги, 

Т 1 

- постоянная времени двигателя при пуске 

(постоянная времени импульса выхода на 

режим), Т 2 

- постоянная времени двигателя 

при останове (постоянная времени импульса 

последействия тяги), R HOМ 

- номинальное значения 

тяги на «площадке» импульса. 

Необходимо отметить, что величина 

R HOМ 

в данной модели остается фиксированной, 

хотя в реальных условиях она в значительной 

степени зависит от температуры таким 

образом, что для первого включения двигателя 

R HOМ 

всегда меньше по модулю, нежели 

для последующих импульсов тяги, когда 

камера сгорания прогревается, и двигатель 

выходит на установившееся значение тяги 

[1, 2]. 

Величины Т 1 

и Т 2 

определяются проекциями 

касательных к кривой изменения тяги 

на линию установившегося значения тяги 

R HOМ 

. Имея экспериментальные кривые изменения 

тяги R(t) или давления в камере сгорания 

p(t), можно определить величины Т 1 

и Т 2 

графически (рис. 3). 

Постоянные времени характеризуют 

нарастание тяги в ИВР и спад тяги в ИПТ. 

Их величины, как известно, зависят от зак- 

Рис. 2. Структурная схема системы ориентации КА по каналу крена с идеальной П-образной моделью 

тягового импульса управляющих ЖРД МТ и временным запаздыванием при запуске и останове 

100


Длительность τ 1 

соответствует времени 

с момента подачи электрической команды на 

включение двигателя до момента трогания 

якоря и определяется из уравнения изменения 

тока в обмотке электромагнитного привода 

клапана. Используя основные соотношения 

из [1], можно получить выражения для 

длительностей запаздывания τ 1 

и τ 2 

, определенные 

через электрические и гидродинамические 

параметры двигательной системы: 

Рис. 3. Командный сигнал и импульс тяги 

ЖРД МТ: а) U = U(t); б) R = R(t); R 1 

= 0,95R HOM 

; 

R 

2 = 0,05R HOM 

τ 

τ 

1 

1 

= 

= 

L0 

ln 

R0 

R0 

1− 

U 

LK 

R + R 

0 

Ш 

ln 

0 

2δ 

L 

2δ 

L 

0 

K 

0 

K 

1 

⎛ πd 

⎜ F0 

+ 

⎝ 4 

; 

⎞ 

P0 

⎟ 

⎠ 

[ F + c( σ −σ 

)] 

0 

U 

R 

0 

0 

2 

кл 

0 

K 

⎫ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

. ⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎭ 

(10) 

лапанного объема и площади критического 

сечения сопла двигателя. 

Длительность самих участков ИВР и 

ИПТ определяется из соотношения [2]: 

τ 

перех 

≅ 3T , что на основании (9) для R ИВТ 

и 

R ИПТ 

соответствует при пуске выходу на режим 

номинальной тяги, а при останове - 

уменьшению тяги до 5 % от номинала, что 

отвечает практическому завершению импульса 

последействия тяги, обусловленного выгоранием 

компонентов топлива из заклапанных 

объемов. Эти значения тяг можно использовать 

как границы для определения неуправляемых 

участков импульса при данной 

его схематизации. 

Как следует из рис. 3, реальный импульс 

тяги сдвинут по отношению к командному 

сигналу, снимаемому с трехпозиционного 

поляризованного реле. При этом длительности 

3Т 1 

и 3Т 2 

характеризуют неуправляемые 

участки импульса, которые оказывают негативное 

влияние на процессы ориентации и 

стабилизации КА. Времена τ 1 

и τ 2 

, характеризующие 

указанный сдвиг, являются временем 

чистого запаздывания клапана соответственно 

при его открытии и закрытии. 

Здесь 

L 

0 

R 

0 

= T 

K 

- постоянная катушки электромагнита; 

R 0 

- номинальное сопротивление 

обмотки катушки электромагнита; U 0 

- установившееся 

значение напряжения питания; 

σ 0 

- номинальное значение зазора между якорем 

и ограничителем хода электромагнита; 

L 0 

- начальное значение индуктивности катушки 

электромагнита; F 0 

- начальное усилие 

возвратной пружины клапана; d кл 

— диаметр 

клапана; Р 0 

- статическое давление в вытеснительной 

системе топливоподачи; L K 

- 

индуктивность катушки при полностью открытом 

клапане; R Ш 

- шунтирующее сопротивление, 

включенное параллельно катушке 

электромагнита; σ к 

- значение зазора между 

якорем и ограничителем хода при полностью 

открытом клапане; с - жесткость возвратной 

пружины клапана. 

Очевидно, что для повышения динамических 

качеств электромагнитного привода 

клапана длительности чистого запаздывания 

τ 1 

и τ 2 

должны быть минимальными и стабильными. 

Время τ 1 

зависит от соотношения 

усилий электромагнита и механизма возвратной 

пружины. Оно пропорционально противодействующей 

силе, начальному зазору меж- 

101


ду упором и ограничителем хода якоря электромагнита 

и обратно пропорционально подводимой 

электрической мощности [1]. Время 

τ 2 

зависит от величины зазора при притянутом 

якоре и от натяжения возвратной пружины. 

Подбором этих величин можно минимизировать 

величину τ 2 

. 

Длительности запаздывания τ 1 

и τ 2 

связаны 

между собой таким образом, что при 

увеличении усилия возвратной пружины время 

отпускания уменьшается, а время трогания 

якоря увеличивается. Таким образом, 

приближенно можно считать, что τ 1 

+ τ 2 

= 

=const. 

Кроме перечисленных факторов на τ 1 

и 

τ 2 

влияют масса и количество подвижных 

элементов конструкции электромагнитного 

привода клапана, сопротивление и емкость 

электрических кабелей от источника питания 

до электромагнитного привода, а также условия 

коммутации, в зависимости от которых 

меняются электрические параметры сети. 

Быстродействие двигателя или импульс 

выхода на режим обычно определяется временем 

τ 0,95 

набора тяги, равной 95 % от номинальной, 

с момента подачи командного 

сигнала на электромагнитный клапан. Время 

спада тяги или импульс последействия 

тяги определяется временем τ 0,05 

спада тяги 

от номинального значения до 5 % номинальной 

величины с момента снятия командного 

сигнала с электромагнитного клапана 

(рис. 3). При этом под номинальной тягой 

R HOМ 

понимается тяга двигателя в установившемся 

температурном режиме работы. Между 

величинами τ 1 

, τ 0,95 

, T 1 

и τ 2 

, τ 0,05 

, Т 2 

существуют 

следующие соотношения: 

τ 

τ 

0, 

095 

0, 

005 

= τ 

= τ 

1 

2 

+ 3T 1; 

⎫ 

⎬ 

+ 3T2 

. ⎭ 

(11) 

В системах ориентации КА реактивные 

двигатели обычно работают в импульсных 

режимах, характеризующихся частотой 

f = 1 

T 

и скважностью υ = τ , где τ 

c 

T с 

- 

c 

длительность импульса в серии импульсов; 

Т с 

- период, равный сумме τ с 

и τ и 

- времени 

паузы между двумя срабатываниями двигателя. 

Тогда единичный импульс тяги двигателя 

можно определить как 

J 

ед 

= 

τ 

u 

∫ 

0 

R( t )dt. 

(12) 

При этом часть тягового импульса в 

пределах можно определить как ИВР: 

J 

ИВР 

= 

3T 

∫ 

0 

1 

R( t )dt, 

(13) 

где R(t) определяется первым соотношением 

(9). Аналогично можно определить и ИПТ 

как часть тягового импульса двигателя: 

J 

ИПТ 

= 

3T 

∫ 

0 

2 

R( t )dt. 

(14) 

В некоторых источниках, например в 

[1, 2], импульс последействия тяги двигателя 

определяется так называемым временем 

последействия, исчисляемым с момента выключения 

двигателя до достижения нулевого 

или некоторого достаточно малого уровня 

тяги. 

Поскольку реактивные двигатели систем 

ориентации КА работают в основном в 

импульсных режимах, то необходим как можно 

более точный прогноз эффективности использования 

топлива. В режимах поддержания 

заданной ориентации обычно требуются 

десятки тысяч включений двигателей. 

Поэтому из-за многократных пусков и остановов 

двигателя и, прежде всего, на режимах 

минимальных единичных импульсов топливо 

расходуется неэкономично. Последний 

факт требует увеличения бортовых запасов 

топлива, что в конечном итоге выливается в 

увеличение массы всей реактивной двигательной 


Исследования показывают [5], что особенно 

отрицательное влияние на экономичность 

реактивной двигательной системы оказывает 

ИПТ. В этой связи необходимо точно 

определять его величину и разброс, вызванный 

совокупностью физических и эксплуатационных 

факторов. 

102


ИПТ является в основном функцией 

конструктивных характеристик двигателя, к 

которым следует отнести: быстродействие 

клапанов; величины заклапанных объемов 

двигателя, заполненных топливом; количество 

непрореагировавших компонентов топлива 

и продуктов реакции окисления в камере 

сгорания на момент подачи командного 

сигнала на включение двигателя. 

Разброс ИПТ зависит как от указанных 

выше факторов, так и от рассогласования 

времени закрытия клапанов горючего и окислителя 

после подачи командного сигнала на 

выключение двигателя. 

Поскольку ИПТ является составной частью 

единичного (минимального) импульса, 

то все сказанное выше также относится и к 

единичному импульсу тяги. 

Требования высокого быстродействия, 

получения минимальных значений единичного 

импульса тяги и ИПТ необходимы также 

для обеспечения малых угловых скоростей 

движения КА. Для реализации достаточно 

малых единичных импульсов тяги приходится 

задавать двигателям малую тягу. Однако 

величина этой малой тяги лимитируется 

требуемой эффективностью управляющих 

органов. Поэтому для того, чтобы, с одной 

стороны, обеспечивалась заданная эффективность 

управляющих органов, а, с другой, - 

требуемая точность управления, необходимо 

обеспечивать максимально возможную частоту 

включения двигателей и минимальные 

значения τ 0,95 

, τ 0,05 

, τ c 

, J , J , a, кроме того, 

ед ИПТ 

необходимо обеспечивать стабильность значений 

этих величин. 

3. Электронная модель 

системы ориентации 

Электронная модель СО позволяет исследовать 

влияние различных факторов, связанных 

с неидеальностью тяговой характеристики 

двигателя, на динамику КА. При 

создании электронной модели использовалась 

моделирующая среда MVTU («Моделирование 

в технических устройствах»), которая 

позволяет в автоматическом режиме определять 

все основные параметры предельных 

циклов, их амплитуды по углу A 

ϕ и по 

угловой скорости A 

ϕ& , а также различные временные 

интервалы. 

Полная электронная модель СО с учетом 

блоков ИВР и ИПТ представлена на 

рис. 4. В среде MVTU эта схема преобразу- 

Рис. 4. Электронная модель системы ориентации КА по одному каналу управления с учетом ИВР и ИПТ 

реального тягового импульса двигателей и с учетом временного запаздывания при запуске и останове 

103


ется в соответствующую систему блоков, заданных 

передаточными функциями. Блок 

hev(t), генерирующий единичную ступенчатую 

функцию Хевисайда, используется как 

запускающий схему блок при проведении 

численного интегрирования и получении переходных 

процессов и фазовых портретов. 

На рис. 5…8 приведены примеры результатов 

моделирования режима поддержания 

заданной ориентации КА по одному каналу 

управления. На рис. 5 представлен фазовый 

портрет идеальной модели импульса 

тяги двигателя без временных запаздываний 

при запуске и останове (τ = τ ≡ 0), а на 

1 2 

рис. 6 – фазовый портрет экспоненциальной 

модели импульса тяги двигателя с временными 

запаздываниями: τ =0,0333 с; τ =0,1 с 

1 2 

(3Т 1 

=0,1; 3Т 2 

=0,3). 

Рис. 6. Фазовый портрет предельного цикла – 

экспоненциальная модель импульса двигателя 

3Т 1 

=0,1; 3Т 2 

=0,3 (τ 1 

=0,0333 с;τ 2 

=0,1 с) 

На рис. 7, 8 представлены соответствующие 

переходные процессы по углу ϕ ( t ) и 

по угловой скорости ϕ& ( t ) на интервале времени 

от 50 до 100 секунд. 

Анализ результатов показал, что неидеальности 

тягового импульса двигателей во 

всех рассмотренных случаях существенно 

влияют на динамику процесса поддержания 

заданной ориентации, деформируют конфигурацию 

предельного цикла, в общем случае 

увеличивая амплитуды цикла по углу и угловой 

скорости. Указанная деформация предельного 

цикла в конечном итоге приводит к 

Рис. 5. Фазовый портрет предельного цикла - 

идеальная модель импульса двигателя (τ 

1 = τ 2 ≡ 0) 

Начальные условия движения: 

ϕ = ; ϕ& = 0 5 рад/с . Процесс перехода на 

0 

0 

0 

, 

предельный цикл требует однократного 

включения двигателей, создающих управляющие 

моменты разного знака. Далее режим 

поддержания заданной ориентации становится 

автоколебательным с переменным включением 

двигателей ориентации. При этом 

моделируется П-образный тяговый импульс 

двигателя. 

Рис. 7. Процесс автоколебаний в системе 

ориентации с идеальной моделью импульса 

двигателя (τ 

1 = τ 2 ≡ 0) 

104


увеличению длительности включения двигателей 

в импульсном режиме, что ухудшает в 

целом экономичность системы, увеличивая 

такую важную характеристику цикла, как 

средневременной расход рабочего тела в цикле. 

В дальнейшем целесообразно рассмотреть 

другие имеющиеся алгоритмы поддержания 

заданной ориентации, например, использующие 

не аналоговую, а цифровую обработку 

измеренной информации и цифровое 

управляющее устройство. При этом необходимо 

рассмотрение таких режимов 

включения управляющих двигателей, которые 

были бы реализованы на минимально 

допустимых импульсах или на близких к 

минимально допустимым. В этом случае следует 

ожидать минимальных значений амплитуд 

колебаний предельного цикла по углу и 

по угловой скорости. 

Рис. 8. Процесс автоколебаний в системе 

ориентации с экспоненциальной моделью импульса 

двигателя 3Т 1 

=0,1; 3Т 2 

=0,3 (τ 1 

=0,0333 с;τ 2 

=0,1 с) 


1. Беляев Н. М., Уваров Е. И. Расчет и 

проектирование реактивных систем управления 

космических летательных аппаратов. – 

М.: Машиностроение, 1974. 

2. Основы теории автоматического управления 

ракетными двигательными установками 

/А. И. Бабкин, С. В. Белов и др. – М.: 

Машиностроение, 1978. 

3. Раушенбах Б. В., Токарь Е. Н. Управление 

ориентацией космических аппаратов. 

– М.: Наука, 1974. 

4. Титов Б. А. Исследование автоколебаний 

космического аппарата с учетом специфики 

исполнительных органов // Труды 

XI Научных чтений, посвященных разработке 

научного наследия и развитию идей 

К. Э. Циолковского. Секция «Проблемы ракетной 

техники». – М.: Изд-во ИИЕТ АН 

СССР, 1980. – С. 11-21. 

INVESTIGATING THE DYNAMICS OF SPACE VEHICLES WITH AN ATTITUDE 

CONTROL SYSTEM ON THE BASIS OF TWO-COMPONENT LIQUID 

PROPELLANT LOW-THRUST ROCKET ENGINES 

© 2007 B. A. Titov, A. L. Sirant 


The paper presents the results of investigating the dynamics of a space vehicle moving relative to the centre of 

mass with a non-linear attitude control system using two-component liquid-propellant low-thrust rocket engines as 

actuators. A mode of maintaining prescribed attitude control in the limit cycle is discussed. 

105


УДК 629.7+519.8 

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМ БОРТОВОГО ОБОРУДОВАНИЯ 

ВОЗДУШНЫХ СУДОВ НА ОСНОВЕ СТАНДАРТНЫХ МОДУЛЕЙ 

© 2007 А. Н. Тихонов 


Рассмотрено построение математических моделей на базе множества стандартных модулей исходных 

высказываний. На основе введенных правил строятся высказывания или функции, отображающие различные 

стороны бортовых комплексов оборудования воздушных судов (БКО ВС). 

Широкое внедрение авиационной техники 

(АТ) в различные отрасли мировой экономики 

требует особого внимания к вопросам 

обеспечения эффективности и надежности 

ее эксплуатации. Повсеместно распространенные 

авиационные технологии по перевозкам 

пассажиров и грузов позволяют связывать 

или объединять корпоративные и производственные 

коммуникации, что дает возможность 

авиакомпаниям и службам технического 

обслуживания и ремонта (ТОиР) 

устранить разрыв между корпоративными и 

критически важными промышленными системами, 

производителями уникального оборудования 

и другой продукции для авиационной 

техники. Эффективность использования 

АТ в этих условиях повышения надежности 

ее функционирования является основной 

областью применения технической диагностики. 

Теория, методы и средства повышения 

надежности ВС как основного элемента 

транспортной системы используются при 

разработке и технической реализации диагностических 

устройств обеспечения ТОиР и 

создании на их основе диагностических систем 

управления техническим состоянием ВС 

[1, 2]. 

Таким образом, техническую диагностику 

(теории, методы и средства) как основу 

повышения надежности и эффективности 

эксплуатации ВС, можно определить как совокупность 

идей, связанных с организацией 

оптимальных процедур контроля, диагностирования 

и оценки технического состояния 

систем ВС и включающих постановку проблем 

и задач, методов и средств их, а также 

методы и средства технической реализации 

контроля и диагностирования для оценки 

текущего состояния и трендов параметров 

этой оценки. 

Основным предметом исследований 

технической диагностики являются системы 

проверки технического состояния и диагностические 

системы управления (рисунок 1). 

Анализ этих направлений показывает, 

что для создания комплексных систем ТОиР 

требуются исследования всех составляющих 

классификации. 

Работ по диагностическим системам 

управления cравнительно мало, и поэтому 

проводить их классификацию преждевременно. 

Работы по системам контроля технического 

состояния удобно разделить на четыре 

группы: исследование объектов контроля и 

диагностики; теория, методы и алгоритмы 

построения программ контроля и диагностики; 

способы и средства контроля и диагностики; 

исследование свойств и характеристик 

систем в целом. Эти группы охватывают основные 

задачи технической диагностики, 

возникающие в связи с организацией процессов 

оценки технического состояния сложных 

систем ВС и, прежде всего, требуют разработки 

теории для представления этих систем 

как объектов контроля и диагностирования, 

на основе реализации которых формируются 

параметры этой оценки. 

Исследование систем ВС как объектов 

контроля и диагностики охватывает изучение 

свойств и характеристик реальных физических 

объектов и методы построения их математических 

моделей, которые составляют 

основу формальных методов построения про- 

106


Техническая диагностика систем ВС 

Системы контроля 

диагностики технического 

состояния 

Диагностические системы 

управления 

Объекты 

контроля и 

диагностики 

Программы 



Способы и 

средства 



Свойства и 

характеристики 

систем 

Рис. 1. Классификация направлений исследования 

грамм контроля технического состояния 

объектов для оценки их состояния. Выделим 

следующие группы задач, которые должны 

решаться в процессе разработки и исследования 

математических моделей объектов контроля 

и диагностики: классификация моделей, 

разработка математических моделей неисправностей, 

разработка методов и алгоритмов 

анализа моделей, разработка методов и 

алгоритмов синтеза структур объектов контроля 

и диагностики с учетом требований технической 

диагностики. 

Недостаточно исследованными являются 

задачи построения моделей, учитывающих 

способ действия дискретного объекта (синхронный 

или асинхронный), переходные процессы 

во время изменения значений входных, 

внутренних и выходных переменных, а 

также моделей блочного типа, в которых блоки 

являются конструктивными или функциональными 

компонентами объекта, что характерно 

для систем БКО ВС. 

Для построения математической модели 

систем ВС в качестве исходного положения 

примем, что для представления конкретных 

систем будем использовать модули – исходные 

высказывания (высказывания, не разложимые 

в рамках рассматриваемой с определенных 

позиций системы на другие более 

простые высказывания). Таким образом, модели 

систем ВС строятся из множества стандартных 

блоков – модулей этой системы. 

В зависимости от типа и детализации 

модели могут быть использованы модули – 

высказывания или абстрактные символы 

А, В, С, …, переменными значениями которых 

являются истинность или ложность, из 

которых с помощью операции соединения на 

основе введенных определенных правил 

строятся более сложные высказывания или 

функции. Все модули делятся на абстрактные 

или конкретные. В целом множество всех модулей 

А состоит из непересекающихся классов 

модулей А α , А α ⊂ А, где α – общий индекс, 

индекс класса модулей 

А = U А α , (1) 

А α – непересекающиеся классы. 

Интерпретация этого разбиения состоит 

в том, что модули, сходные качественно, 

будут относиться к одному классу, а их свойства 

выражаются через признаки и связи. В 

первом случае модулю ставится в соответствие 

признак m = m(a), причем в качестве 

значений признака могут выступать целые, 

действительные числа, векторы и т. д. Одной 

из составляющих признака служит индекс 

класса модуля α и другие составляющие, 

представляющие более специфическую информацию. 

107


Второй тип свойств охватывает связи. 

Определенному модулю а соответствует число 

связей l (а), которое в конкретном случае 

является неотрицательным числом, равным 

числу соединений, представляющих сумму 

входных и выходных связей. 

При решении большинства прикладных 

задач технической диагностики, как правило, 

используются отображения множества 

модулей А в себя, которые не будут существенно 

влиять на информацию, содержащуюся 

в модулях. При этом множество K отображений 

k : А → А образует множество преобразований 

подобия. 

Одновременно, считая модули неделимыми 

объектами, предполагается их разбиение 

на более мелкие единицы. Будем определять 

модули, как правило, в некоторой среде 

– носителе информации. В этом случае модуль 

имеет конкретную интерпретацию. 

Иногда для простейшего случая задание модуля 

может быть осуществлено в абстрактном 

виде без учета среды, т. е. модуль обозначается 

абстрактным символом. В качестве 

общего многомерного аналога модуля введем 

универсальные операторы, где всякий модуль 

есть оператор с ν (переменными) входами 

х 1 

, х 2 

, …, х ν 

и µ (переменными) выходами 

у 1 

, у 2 

, …, у µ 

. 

Область значений всякого х i 

есть некоторое 

пространство X i 

, область значений всякого 

y i 

– некоторое пространство Y i 

. В частности, 

существует оператор назначения, не 

имеющий входов. Преобразования подобия 

воздействуют только на операторы назначения, 

оставляя все остальные модули без изменения. 

Предложенный теоретический подход 

для моделирования систем ВС предусматривает 

структурное объединение стандартных 

блоков – модулей в модели конкретных систем 

ВС. 

Модели конкретных систем (МКС) определяются 

составом модулей с и структурой 

их соединений, представляющих множество 

соединений σ. 

Для построения допустимых моделей 

вводится набор заданных правил и ограничений. 

Систему правил и ограничений, которая 

определяет регулярность модели, обозначим 

через Р. Множество регулярных моделей, 

получаемых в рамках Р, обозначим через 

b n 

(P), где n – число модулей модели. 

Используя введенные понятия и определения, 

множество регулярных моделей запишем 

в виде набора из четырех элементов: 

b(P) = (А, K, Σ, ρ), (2) 

где А – множество модулей конкретной системы, 

K – множество отображений в модулях, 

Σ – множество всех допустимых множеств, 

σ – тип соединения, ρ – отношение 

согласования или отношение связи. 

Объединив Σ-структуру и отношение 

связи ρ в правило 

Р = (Σ, ρ), (3) 

получаем набор из трех элементов 

b(P) = (А, K, Р). (4) 

Поскольку в дальнейшем рассматриваются 

только регулярные модели заданной 

мощности n, то 

b n 

(P) ⊂ b(P). (5) 

В дальнейших построениях тип соединения 

Σ представляет собой объединение 

множеств Σ n 

, где всякое множество Σ n 

есть 

множество графов, заданных на n-вершинах. 

Таким образом, структура модели системы 

ВС представляет собой множество σ 

соединений между всеми или некоторыми 

связями модулей, входящих в ее состав. 

Для решения задач оценки технического 

состояния систем ВС в работе использованы 

модели с линейным типом соединения 

и соединением типа дерева. 

Линейный тип соединения S состоит 

из линейных упорядочений, так что регулярная 

модель, включающая n модулей, является 

последовательностью арифметических 

операторов, состоящих из двух классов. 

А (1) состоит из операторов назначения, у которых 

отсутствуют входные связи l 

вх 

(а) = 0 

и имеется одна выходная связь l′ 

вых 

(а) = 1. 

Признаком такого оператора служит действительное 

число, присваиваемое им. А (2) состоит 

из набора арифметических операторов, обладающих 

одной входной и одной выходной 

108

связями ( l вх 

(а)= l 

вых 

(а) = 1), которые являются 

подмножествами целых чисел, представляющими 

области определения и значений 

оператора соответственно. Отношение 

согласования ρ должно иметь вид включения. 

Так как многие задачи идентификации 

(распознавания состояния системы ВС) и их 

решения можно выразить в терминах регулярных 

выражений и конечных автоматов, то 

в рамках рассматриваемого подхода представлений 

систем ВС для целей оценки их 

технического состояния используются специальные 

виды линейного типа соединений. 

Для цепочки, порожденной конечными 

автоматами, модули принадлежат множеству 

А объектов (рис. 2). 

Для них l 

вх 

j 

Идентификатор 

х 

i 

Рис. 2. Модули цепочки, порождаемой 

конечным автоматом 

109 


(а)= l 

вых 

(а) = 1, а показатели 

связи i и j обозначают состояния. Признаком 

модуля а является х – терминальный символ. 

Интерпретацией а служит переход из 

состояния i в состояние j при записи символа 

х. 

Для подцепочки языков конечных автоматов 

модули те же, что и в предыдущем случае, 

– отношение согласования ρ – «равенство», 

а Σ – соединение типа линейный порядок. 

Группа преобразований подобия K задается 

с помощью группы подстановок и ее 

расширения на множество А. 

При таком определении b(P) превращается 

в множество подцепочек, имеющих корректные 

переходы между состояниями, свойственные 

некоторому конечно-автоматному 

языку. 

Соединения типа дерева. Описание 

функционирования систем ВС связано с построением 

выражений в исчислении высказываний, 

которые реализуются как модели с 

соединениями древовидного типа. Основными 

понятиями для построения таких моделей 

являются: 

множество V терминальных символов, 

T 

словарь или лексикон; 

множество V 

N 

синтаксических 

переменных или нетерминальных 

символов, включающее, в частности, 

начальный символ σ ; 

множество R правил подстановки, 

* * 

каждое из которых имеет вид V → V . 

Обозначение A * означает совокупность 

всех конечных цепочек, образованных из элементов 

любого множества А. Кроме того, вводится 

обозначение V 

= V T 

UV 

. 

В лингвистике множества V и R всегда 

предполагаются конечными, с тем чтобы добиться 

бесконечного конечными средствами. 

В рассматриваемых задачах конечность имеет 

второстепенное значение, однако она должна 

предполагаться. 

Введем следующее применение правил. 

Для двух цепочек а и b, принадлежащих V * , 

можно записать а → b, если существуют цепочки 

α, β, х, у, такие, что а = х, α, у и 

b = х, β, у и отношение a → b принадлежит 

множеству правил R. Дальнейшее ее расширение 

отношения «→» позволяет утверждать, 

что а → b, если а = b или если существует 

некоторое n и цепочки z 0 

, z 1 

, z 2 

, …, z n 

, такие, 

что z 0 

= а, z n 

= b и z i 

→z i+1 

при i=0, 1, 2, …, n–1. 

Последовательность z 0 

, z 1 

, …, z n 

называется 

выводом b. 

Цепочками, порождаемыми граммати- 

∗ 

кой, являются входящие в V 

T цепочки, которые 

выводимы из начального символа. Важным 

классом грамматик непосредственных 

составляющих являются множества бесконтекстных 

грамматик. Этот класс предполагает, 

что все правила, входящие в R, имеют вид 

а → b, причем а ∈V N 

. 

N 

N 

(6)


Наиболее общей моделью реализации 

является автомат с магазинной памятью, который 

определяется: 

множеством К состояний, 

начальным состоянием k0 

и подмножеством F заключительных 

состояний; 

множеством входов V ; 

T 

множеством Г символов и начальным 

символом γ 

0 

; 

отображением δ : K × ( VT U{ ε} 

) × Г → 

* 

→ конечные подмножества К × Г . 

Множества K, V T 

и Г предполагаются 

конечными и непустыми, ε обозначает пустой 

вектор. Автомат с магазинной памятью 

действует следующим образом. Рассмотрим 

тройку (р, w, α), где p∈K – состояние автомата, 

w∈V ∗ – входная цепочка и α∈Г * находится 

на ленте магазина. 

Т 

Посредством сдвига (р, xw, αz) → 

∗ 

→ (q, w, αγ), где х ∈VT U { ε} , q ∈ K; z, γ ∈ Г , 

осуществляется операция перехода в состояние 

q, замена z на γ и обработка входного символа 

х. Эти операции осуществимы, если 

δ (p, xw, z) cодержит (q, γ). Входная цепочка 

допускается автоматом, если, находясь в начальном 

состоянии k 0 

и имея на ленте магазина 

γ 0 

, автомат может за конечное число 

шагов перейти в состояние F. 

Подмножества бесконтекстных грамматик 

образуют правосторонние линейные 

грамматики, у которых все правила, входящие 

в R, имеют вид х→а или х→ау, где а∈V T 

и у∈V N 

. 

Правосторонние линейные грамматики 

эквивалентны конечным автоматам. Поэтому 

в данном случае можно употреблять также 

понятия автоматных грамматик и соответствующих 

языков. Конечный автомат задается: 

множеством К состояний 

и множеством К 

0 

начальных состояний; 

множеством V входов и множеством 

T 

F заключительных состояний; 

отображением δ из K ×VT 

в подмножества множества К. 

(7) 

(8) 

Автомат этого типа работает следующим 

образом. Входная цепочка w допускается 

в том случае, если она является пустым 

словом или в множестве K существует последовательность 

k 0 

, k 1 

, …, k n 

и w = x 1 

x 2 

… x n 

, 

x k 

∈V T 

, такие, что 

k ∈ K , 

k ∈ δ(k 

k 

0 

n 

0 

∈ F. 

х 

i i−1, 

i 

⎫ 

⎪ 

), ⎬ 

⎪ 

⎭ 

(9) 

При решении задач диагностики систем 

ВС приходится иметь дело более чем с одной 

моделью, построенной в заданном пространстве 

модулей, и поэтому необходимо 

изучать возможные между ними отображения. 

При этом используются два вида отображений: 

гомоморфизмы моделей и аннигиляции 

модулей. 

Рассмотрено два пространства конфигураций 

b(R) и b ′ (R): 

b(Р) = 〈А, K, Σ, ρ〉, b ′ (Р) = 〈А′, K, Σ, ρ〉, (10) 

где отображение h: А → А′ задано как инвариант 

связи. Оно индуцирует отображение Н 

из b(Р) в b ′ (Р) посредством задания Н: с′ = 

= (а 1 

, а 2 

, …, а n 

), а i 

= h (а i 

) и структура (с) = 

= структура (с′). Отметим, что последнее утверждение 

имеет смысл, поскольку h 

cохраняет структуру связей образующих неизменной. 

Индуцированное отображение Н 

представляет собой гомоморфизм моделей. 

Это отображение индуцирует гомоморфизм 

из исходных моделей на новые, которые отображают 

различные виды неисправностей в 

отдельных модулях систем ВС. 

Для исключения определенных модулей 

модели ВС при диагностике введем оператор 

аннигиляции v, который, будучи применен 

в некоторой модели с∈b(P), исключает 

в ней все модули, принадлежащие классу 

индекса α заданного множества V 0 

. 

Поскольку полученное в результате V(c) 

обладает корректным типом соединения в 

силу монотонности Σ и поскольку теперь новые 

соединения установлены, а все старые 

остаются истинными в смысле отношения 

связи ρ, то V(c) = ( ai 

, a ,..., ) 

1 i 

ai 

, причем a 

2 m 

i 

входит в V(c), если ее индекс класса α(a i 

)∉V 0 

. 

110


Структура V(c) получается из структуры с 

удалением всех соединений со связями образующих, 

аннигилированных при помощи w. 

Очевидно, что V(kc) = k V(c), и если с 1 

, 

с 2 

, с 1 

σ l 2 

∈b(P), то 

V(с 1 

σ с 2 

) = V(с 1 

)σ′ V(c 2 

), (11) 

где σ′ – оператор соединений, полученный 

из σ устранением всех соединений, входящих 

и выходящих из модулей, принадлежащих K α , 

α∈V. 

Для целей контроля и диагностики состояния 

системы ВС введем понятие различимости. 

В зависимости от средств, применяемых, 

например, к диагностируемой системе, 

представленной моделями с и с′ и b(Р), 

они не обязательно будут восприняты как 

различные. Здесь с – модель исправной системы, 

а с′ – модель, отображающая неисправности. 

Последнее может зависеть или не 

зависеть от способа получения информации 

о моделях исследователем и от способа обработки 

этой информации. Это обстоятельство 

формализуем посредством правила идентификации 

R. Записываем с ≡ с′ (mod R) 

или сR с′ , если с и с′ идентифицируются 

при помощи этого правила, указывающего, 

каким образом исследователь может различать 

модели. Для того, чтобы некоторое отношение 

было правилом идентификации, 

должно выполняться следующее. 

Определение 1. Отношение R между 

моделями из b(Р) называется правилом идентификации, 

если: 

1. R является отношением эквивалентности. 

2. Если сR с′, то с и с′ имеют одни и те 

же внешние и внутренние показатели связей. 

3. Если сR с′, то (kc)R(kс′) для любого 

k∈K. 

4. Если с = с 1 

σс 2 

и с′ = с′ 1 

σ с′ 2 

регулярны 

и с 1 

R с′ 1 

, с 2 

R с′ 2 

, то имеем сR с′. 

Классы эквивалентности b(Р) называются 

представлениями конкретных систем 

(ПКС). В общем случае они обозначаются 

через I, а множество всех ПКС – через Т: 

Т = b(Р)/ R = 〈А, K, Σ, ρ〉 / R. (12) 

Более детально будем называть элементы 

из Т идеальными ПКС в противоположность 

деформированным, т. е. с введенными 

неиcправностями. Класс эквивалентности I, 

содержащий данную модель с, будем обозначать 

через I(с). 

На множестве Т задается алгебраическая 

структура. 

Множество Т вместе с преобразованиями 

подобия и комбинациями посредством σ 

называется алгеброй изображений, обозначается 

также через Т и может быть представлено 

пятеркой 

Т = 〈 b(Р), R 〉 = 〈G, Κ, Σ, ρ, R〉. (13) 

Вероятностная мера Р на b(R) индуцирует 

вероятностную меру на Г при помощи 

соотношения 

P (Е) = Р{c⎜∈ b(R), I (c)∈E } (14) 

при Е⊂Т. Для упрощения обозначения используем 

тот же символ Р для индуцированной 

меры. 

На практике используются различные 

правила идентификации. Упомянем некоторые 

простые правила. 

Тривиальное правило задается при помощи 

равенства между моделями, а именно 

сR с′ тогда и только тогда, когда с= с′. Конечно, 

в этом случае имеем Т = b(Р). 

Другое правило R появляется тогда, когда 

регулярные модели имеют нулевую связность. 

Полагаем сR с′ тогда и только тогда, 

когда состав (с) равен составу (с′), так называемая 

идентификация по составу. 

Рассмотрена алгебра ПКС с многоатомным 

типом соединения. Для любых двух модулей 

а 1 

и а 2 

соответствующие конфигурации 

с 1 

={а 1 

} и с 2 

= {а 2 

} регулярны. Может случиться, 

что существует модель а такая, что 

а ≡ (с 1 

σс 2 

) (mod R). Если, кроме того, R разделяет 

модули, то а определена однозначно 

и можно записать 

а = а 1 

σа 2 

. (15) 

Таким способом пары модулей могут 

стягиваться в один модуль, и эту процедуру 

можно повторять. В качестве следствия имеем 

следующее. Если а 1 

и а 2 

соединены в модели 

с посредством σ и а 1 

σа 2 

= а , то с является 

R –эквивалентом модели с′, полученной 

с заменой моделей модулей а 1 

σа 2 

на а. 

111


Таким образом, создается возможность 

приведения моделей к виду, который позволяет 

диагностировать состояния узлов и агрегатов, 

состоящих из множества модулей. 

Введенные выше модули и модели, создаваемые 

из них, являются статическими 

представлениями состояний конкретных систем 

(ПСКС) и описывают по существу их 

статику. Однако для контроля и диагностирования 

сложных систем ВС необходим важный 

класс ПСКП, связанный с динамикой 

состояний, т. е. с пространственно-временными 

состояниями. 

В этом случае опорное пространство 

контроля и диагностирования систем ВС 

имеет вид: Х = R 3 × R 1 , где R 1 – пространство 

времени. Эти состояния играют особую роль 

при контроле и диагностировании. Для моделирования 

пространственно-временных 

состояний необходимо ввести модули и их 

отношения с модулями в моделях ПСКС, которые 

описывают динамику контролируемой 

или диагностируемой системы. 

Модули, используемые при построении 

моделей динамики, будут иметь следующие 

свойства. Как число входящих, так и число 

исходящих связей модулей не ограничено, и 

показатели всех внутренних связей конкретного 

модуля равны некоторому действительному 

числу h. Аналогично все показатели 

внешних связей равны некоторому действительному 

числу -h вых 

≥ h вх 

. Роль индекса α 

модуля заключается в разделении динамических 

состояний на различные типы. G будем 

называть репертуаром этих состояний. Если 

два пространства модулей построены одинаково, 

за исключением того, что одно из них 

исходит из множества модулей G, а другое – 

из G ′ , то будем говорить, что второе пространство 

обладает большей общностью. Второе 

пространство моделей будет иметь и более 

сложную структуру. 

Преобразования подобия будут включать 

в себя сдвиги по времени h → h + t . Воздействия 

на показатели связей модулей будет 

сводиться к тому, что они примут значения 

h вх 

+ t, h вых 

+ t. Иногда будут использоваться 

также некоторые пространственные 

преобразования, но они не повлияют на показатели 

связей. Как правило, классы образующих 

G α должны быть S-инвариантными. 

112 

Когда элементарные состояния комбинируются 

вместе (программа контроля), то 

необходимо проследить, чтобы они выполнялись 

в правильном порядке. Это приводит 

к типу соединения Σ – «частичный порядок», 

и все стрелки в σ должны иметь единое направление. 

По той же причине будем считать, что 

отношение связей β вых 

ρβ вх 

истинно тогда и 

только тогда, когда h вх 

≤ h вых 

. Стрелка направлена 

от β вых 

к β вх 

: прежде чем перейти к следующему, 

необходимо закончить предыдущее. 

Отметим, что такое отношение связей 

S-инвариантно. 

Тем самым определяется R = 〈Σ, ρ〉, и 

вместе с G и S задается множество регулярных 

моделей b(P). 

Чтобы получить алгебру ПСКС, необходимо 

выбрать правило идентификации R, 

и в данном случае располагаем большей свободой 

выбора. 

Рассмотрены три правила. 

Если с и с′ – две регулярные пространственно-временные 

модели, то каждая из них 

определяет полное состояние: система R 3 переводится 

из одного состояния в другое. Отметим, 

что с ≡ с′ (mod R 1 

), если с и с′ имеют 

одни и те же внешние связи и индуцируют 

одно и то же полное состояние среды. Это не 

означает, что два таких состояния идентичны, 

а только означает то, что их полные результаты 

одинаковы. 

С другой стороны, если с и с′ имеют 

одинаковые внешние связи и показатели связей 

представляют повсюду одно и то же состояние, 

то будем говорить что с ≡ с′ (mod R 2 

). 

Наконец, если с = с′ , то запишем с ≡ с′ 

(mod R 3 

); R 3 

– тривиальное правило идентификации 

по равенству моделей. Эти правила 

удовлетворяют определению 1 и задают три 

алгебры ПСКС: T k 

= b(P)/R k 

, k= 1, 2, 3. Очевидно, 

что R 1 

> R 2 

> R 3 

и имеют место соответствующие 

гомоморфизмы. 

Для изучения более сложных и часто 

встречающихся пространственно-временных 

моделей удобно ввести макрообразующие. 

При этом исходим из определенного 

репертуара состояний, комбинируем их и 

выявляем реакцию среды, объединяющей 

модули системы контроля и модули контролируемой 

и диагностируемой системы ВС.


Практика оценки результатов контроля 

и диагностирования связана с рассмотрением 

двух случаев ПСКС: либо точное соответствие 

модели этого представления, либо искаженные 

(деформированные) варианты этой 

модели, отражающей неисправное состояние 

конкретной системы в рамках предложенной 

формализации. 

В результате имеем дело с фундаментальной 

проблемой – каким образом возникают 

подобные деформации. Полный синтез 

модели с неисправностями требует определения 

механизма деформации, что необходимо 

на стадии анализа результатов контроля и 

диагностирования. 

Для этих целей предложен вариант формализации 

на основе предложенных представлений. 

Обозначим через d отображение алгебры 

ПСКС Т на множество T D ПСКС, которые 

могут наблюдаться. 

Элементы 

I D ∈T D (16) 

будем называть деформированными ПСКС. 

Обычно число преобразований d велико 

и заранее неизвестно, какое именно будет 

действовать. Символ D используется для обозначения 

множества всех преобразований. 

Рассмотрим природу возникновения 

деформированных ПСКС. Простейшим является 

случай T D ⊂Т, т. е. когда модели относятся 

к тому же типу, что и идеальные модели 

алгебры ПСКС. В этом случае будем говорить 

об автоморфных деформациях, а d отображает 

алгебру ПСКС в самое себя. 

В противном случае при гетероморфных 

деформациях множество T D может включать 

целый ряд различных типов. Может оказаться, 

что T D также обладает структурой 

алгебры ПСКС, хотя и отличной от I. Следует 

подчеркнуть, что даже и в таком случае 

структуры эти могут резко отличаться и, следовательно, 

между I и I D существует принципиальное 

различие. Довольно часто на практике 

имеет место случай Т ⊂ T D , при котором 

идеальные (недеформированные) ПСКС являются 

частными случаями деформированных. 

Как правило, d разрушает структуру, и 

поэтому T D будет менее структурированной, 

чем T. 

В случае, когда T D ⊂Т, область определения 

d часто будет расширяться от Т до T D , 

причем область значений будет оставаться 

равной T D . Можно многократно применять 

последовательность d и обобщить D до полугруппы 

преобразований. 

Во многих случаях можно расширять 

область определения преобразований k c T до 

T D . Все сказанное можно объединить в виде 

условия, которое в большинстве случаев будет 

выполняться. Будем предполагать, что k 

образует группу. 

Всегда при контроле и диагностике в 

основе деформации (нарушения функций 

исследуемой системы) лежит некий физический 

механизм, реализуемый в условиях эксплуатации 

ВС. 

При определении вида деформации 

исследователь сталкивается с большими 

трудностями, чем те, которые связаны с теоретическими 

аспектами. При этом необходимо, 

используя доступные сведения из соответствующей 

предметной области, обеспечить 

компромисс: модель должна обеспечить 

достаточно точную аппроксимацию изучаемых 

явлений и одновременно допускать возможность 

аналитического или численного 

решения. 

Сформулируем несколько общих принципов, 

которые могут оказаться полезными 

при построении модели деформаций. 

Следует попытаться разложить D, которое 

может быть довольно сложным пространством, 

на простые факторы D = D 1 

× 

× D 2 

× … Произведение может быть конечным, 

счетным или несчетным. Иногда такое 

разбиение задается непосредственно, как например 

в случае, когда деформации сводятся 

к топологическому преобразованию опорного 

пространства, за которым следует деформация 

маски. Некоторую пользу можно извлечь 

также из того способа, при помощи 

которого алгебры ПКС построены из элементарных 

объектов. Если рассматриваются 

ПКС, модели которых включают n модулей и 

все они идентифицируемы, то можно воспользоваться 

представлением 

I D = dI = (d 1 

a 1 

, d 2 a 2 , …, d n a n ), 

I = (a 1 

, a , …, a ), (17) 

2 n 

113


предполагая, что свойства факторов d v 

окажутся 

достаточно удобными. Этот метод можно 

использовать только в том случае, когда 

модули однозначно определяются ПКС. Поэтому 

можно воспользоваться соответствующим 

разбиением в применении к каноническим 

моделям, модули которых определены в 

рассматриваемой алгебре ПКС. 

После разделения D на достаточно простые 

факторы необходимо решить, какую 

вероятностную меру, связанную с различными 

видами неисправностей, следует ввести 

на D. При этом существенным моментом является 

выбор такого способа факторизации 

деформаций, при котором отдельные факторы 

d оказываются независимыми друг от друга. 

Невозможно полностью задать Р, не располагая 

эмпирической информацией. Поэтому 

для того, чтобы получить оценки с удовлетворительной 

точностью, аксиоматическая 

модель должна быть в достаточной степени 

структурирована. Это является критическим 

моментом для определения Р, и поэтому требуется 

такое понимание механизма деформации, 

которое исключит неадекватное представление 

данных при последующем анализе. 

Если действительно удается провести разбиение 

таким образом, что факторы в вероятностном 

смысле независимы, остается еще 

решить задачу определения на них безусловных 

распределений. 

В качестве примера рассмотрены идеальные 

образующие, порождаемые механизмом 

типа L o 

x = 0, где можно рассматривать 

L o 

как разностный оператор, а деформированные 

образующие определяются выражением 

L o 

x = ε. Первое, что следует предположить 

– это независимость значений ε (при 

различных аргументах). Если это не может 

быть принято в качестве адекватной аппроксимации, 

то необходимо попытаться устранить 

зависимость посредством работы не с 

х, а с некоторым ее преобразованием (например, 

линейным). Другими словами, можно 

выбирать модель таким образом, чтобы деформации 

принимали простую вероятностную 

форму. Отметим в качестве еще одного 

примера, что при работе с образами-соответствиями 

и дискретным опорным пространством 

Х можно промоделировать Р, исходя из 

предположения о том, что различные точки 

Х отображаются на опорное пространство T D 

независимо и что соответствующие распределения 

различны. 

Для того, чтобы сузить выбор безусловных 

распределений, рассмотрим роль преобразований 

подобия. Если D выбрано удачно, 

то можно рассчитывать, что Р будет обладать 

соответствующей инвариантностью. Итак, 

если I и I′ – подобные идеальные ПСКС и I′= 

= kI, то в первую очередь следует выяснить, 

не обладают ли dI и dI′ = dkI одним и тем же 

распределением вероятностей. Можно также 

использовать другой подход: рассмотреть 

модель, регулирующую равенство распределений 

kdI и dkI, что приведет к ковариантности 

по вероятности. 

С помощью этих методов можно определить 

аналитическую форму Р, а оценки свободных 

параметров получить эмпирически. 

Механизмы деформации классифицируем 

на основе двух критериев: уровня и 

типа. 

Под уровнем механизма деформации 

будем подразумевать этап синтеза образов 

ПСКС, на котором определяется D. Высший 

уровень ПСКС соответствует случаю, когда 

D задается непосредственно для каждого I 

независимо от того, каким способом идеальное 

ПСКС синтезировано из моделей, правил, 

ограничений, модулей и признаков. Низший 

уровень соответствует случаю, когда D 

задается на языке модулей, из которых строится 

модель в I. Промежуточный уровень соответствует 

случаю задания D на b(P). 

Предложенный подход дает теоретическую 

основу моделирования сложных взаимосвязей 

компонентов бортовых комплексов 

оборудования воздушных судов. 


1. Александровская Д. Н., Круглов В. И. 

и др. Теоретические основы испытаний и 

экспериментальная отработка сложных технических 

систем. – М.: ЛОГОС, 2003. 

2. Климов В., Борисов В. Функциональные 

системы летательных аппаратов. – М.: 

Московский рабочий, 2003. 

114


PRESENTATION OF AIRBORNE EQUIPMENT ON THE BASIS 

OF STANDARD MODULES 

© 2007 A. N. Tikhonov 


The paper presents the construction of mathematical models on the basis of a set of standard modules of initial 

sentences. On the basis of the rules introduced sentences or functions are constructed which represent different sides of 

airborne equipment complexes. 

115


УДК 629.78 

ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ 

КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ С ДВУХСТУПЕНЧАТЫМ РАЗГОННЫМ БЛОКОМ 

С ХИМИЧЕСКИМ И ЭЛЕКТРОРЕАКТИВНЫМ ДВИГАТЕЛЯМИ 

© 2007 П. В. Фадеенков 


Рассматривается перелет между начальной низкой и целевой высокой некомпланарными круговыми околоземными 

орбитами. Разгонные блоки, доставляющие полезную нагрузку на целевую орбиту, имеют следующие 

схемы: одноступенчатую и двухступенчатую с химическим ракетным двигателем, одноступенчатую с электроракетным 

двигателем, комбинированную двухступенчатую с химическим и электроракетным двигателями. 

На основе процедур усреднения и принципа максимума для частного случая совместного расположения 

орбит и размещения активного участка на витке получен оптимальный закон изменения угла отклонения вектора 

тяги от плоскости орбиты. Использование этого закона и аналитических выражений позволяет свести сложную 

оптимизационную задачу о максимуме полезной нагрузки к более простой задаче поиска условного экстремума 

функции пяти переменных. 

Проведен сравнительный анализ разгонных блоков различных схем по времени перелета и по массе 

полезной нагрузки. Определены преимущества комбинированного разгонного блока. 

Среди целевых высоких круговых орбит 

спутников Земли можно выделить геостационарную 

орбиту и орбиты спутников 

системы радионавигации. С одной стороны, 

миниатюризация современных спутников 

позволяет отказаться от использования мощных 

ракет-носителей и обратить внимание на 

баллистические ракеты, которые можно отнести 

к ракетам среднего и малого класса, а 

с другой стороны, существующими ракетами-носителями 

можно выводить группы 

спутников. В обоих случаях требуется провести 

исследования энергетических возможностей 

разгонных блоков (РБ) космических 

аппаратов (КА), под которыми будем понимать 

полезную нагрузку (ПН) и РБ. 

Рассмотрим РБ, состоящий из двух ступеней. 

Первая ступень представляет уменьшенный 

вариант одного из существующих РБ 

(«Фрегат», «Бриз» и т.п.), в котором двигательная 

установка (ДУ) с химическим ракетным 

двигателем (ХРД) остается без изменений, 

а изменения вносятся в систему хранения 

топлива: 

1) уменьшается размер баков и объем 

топлива, что требует конструктивных изменений; 

2) РБ заправляется меньшим количеством 

топлива без конструктивных изменений. 

Первая ступень выполняет перелет с 

начальной низкой круговой орбиты на промежуточную 

эллиптическую орбиту и после 

выполнения маневра отделяется от РБ. 

Вторая ступень состоит из блока с электроракетным 

двигателем (ЭРД) малой тяги 

(МТ), системы подачи и хранения топлива и 

энергетической установки (ЭУ). В качестве 

ЭУ рассматривается ядерный источник энергии 

как стабильно работающий на продолжительных 

интервалах времени. Вторая ступень 

выполняет перелет с промежуточной 

орбиты на конечную и после выполнения 

своей задачи остается в составе КА, что позволяет 

использовать ЭУ для работы целевой 

аппаратуры, а двигатели - для коррекции целевой 

орбиты. 

Наличие ЭУ делает возможным использование 

на первой ступени ДУ с подогревом 

топлива, которая характеризуется средними 

значениями скорости истечения рабочего 

тела (РТ) по сравнению с ХРД и ЭРД. 

В качестве критерия оптимальности 

перелета между начальной и целевой некомпланарными 

соосными круговыми орбитами 

выберем массу ПН при фиксированной массе 

КА и заданном времени перелета. 

Запишем уравнение масс: 

2 

Д Б РТ 

0 

= М 

ПН 

+ ∑( 

М 

i 

+ М 

i 

+ М 

i 

) М 

ЭУ ,(1) 

i= 

1 

М + 

116


где М 0 

– масса КА на начальной орбите; М ПН 

Д Б РТ 

– масса ПН; М , М , М - соответственно 

i 

i 

массы двигателя, баков и рабочего тела i-го 

РБ; М ЭУ 

– масса ЭУ. 

Выразим массы, входящие в (1), через 

проектные и баллистические параметры с 

помощью удельных массовых характеристик, 

используя соотношения [1]: 

М 

М 

М 

М 

М 

ПГ 

Д 

i 

Б 

i 

РТ 

i 

ЭУ 

= µ ⋅ , 

Д 

i 

ПН 

М 0 

= γ ⋅ Р , 

Б 

i 

m 

i 

= γ ⋅ М , (2) 

= 

РТ 

tкi 

∫δ i 

qi 

dt , 

t0i 

= γ ⋅ . 

ЭУ 

N max 

m 

Здесь µ - относительная масса ПН; 

ПН 

Р 

i 

- 

максимальное значение тяги двигателей; 

Д 

i 

Б 

i 

ЭУ 

γ , γ , γ - соответственно удельные массовые 

характеристики двигателей, баков и 

ЭУ; { 0, 1} 

i 

= 

i 

δ - функция включения маршевых 

двигателей; q 

i 

- секундный расход РТ; 

t 

0 i, 

t кi 

- соответственно время начала и окончания 

работы; N max 

– максимальная полезная 

мощность ЭУ; индекс i обозначает номер ступени 

РБ. 

Массу рабочего тела можно выразить 

через формулу Циолковского, если функция 

включения слабо зависит от конструктивных 

характеристик: 

М 

РТ 

i 

Ci 

= M ⋅(1 

− e ) , (3) 

0i 

Vxi 

− 

где V xi 

, С i 

– соответственно затраты характеристической 

скорости на перелет и скорость 

истечения РТ i-й ступени РБ. 

Для случая, когда первая ступень РБ 

заправляется меньшим количеством топлива, 

массу баков и двигателя можно считать постоянной: 

Д Б 

М1 + М1 

= const . (4) 

Сравним проигрыш по М ПН 

данного варианта 

с вариантом, когда размер баков 

уменьшается. Подставив (3) и (4) в (1), получим 

зависимости массы ПН от затрат характеристической 

скорости для ракеты-носителя 

«Союз» и РБ «Фрегат» (рис. 1). Из рис. 1 

следует, что для перелета с низкой орбиты на 

геостационарную (Vx = 4,212 км/с) проигрыш 

по массе достигает 100 кг. 

Мпн, кг 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

0 

0 2 4 6 8 

Vx, км /с 

Рис. 1. Зависимость массы ПН от затрат характеристической скорости на перелет 

М ПН 

для изменяемых баков, М ПН 

для неизменяемых баков, разница в М ПН 

117


Поэтому в дальнейшем будем рассматривать 

вариант с конструктивными изменениями 

первой ступени РБ с ХРД. 

Для второй ступени с ЭРД масса ДУ 

может варьироваться в широких пределах без 

существенных конструктивных изменений. 

Будем считать, что максимальное значение 

тяги двигателей 

m 

Р , скорость истечения РТ 

и максимальная полезная мощность N max 

постоянны. 

Используя формулу (3) и соотношения, 

приведенные в [1], можно выразить тягу 

и мощность через скорость истечения РТ, 

моторное время и затраты характеристической 

скорости. 

Таким образом, разделив левую и правую 

части (1) на М 0 

, получим выражение для 

относительной массы ПН, универсальное для 

стартовой массы КА на начальной орбите: 

µ 

ПН 

⎧ 

⎪ 

= ⎨1 

− γ 

⎪⎩ 

⎧ 

⎪ 

× ⎨1 

− ( 1− 

е 

⎪⎩ 

Здесь 

Д 

ХРД 

х 

VЭРД 

− 

СЭРД 

− ( 1− 

е 

) ⋅( 

1+ 

γ 

х 

VХРД 

− 

СХРД 

Б 

ЭРД 

) ⋅( 

1+ 

γ 

С 

+ 

Т 

ЭРД 

м 

⋅ 

Б 

ХРД 

⎫ 

⎪ 

) ⎬ × 

⎪⎭ 

Д 

⎪ 

[ γ + С ⋅γ 

]) 

. 

ЭРД 

ЭРД 

ЭУ 

⎫ 

⎬ 

⎪⎭ 

(5) 

µ - масса ПН, отнесенная к массе 

ПН 

КА на начальной орбите; 

Б х 

γ Д , γ ,V , C - соответственно 

удельные массы двигателя и 

баков, затраты характеристической скорости, 

скорость истечения РТ; нижний индекс обозначает 

тип двигателя - ХРД и ЭРД, соответственно; 

γ 

ЭУ 

- удельная масса ЭУ; Т м 

– моторное 

время работы двигателей ЭРД. 

Удельные массовые характеристики и 

х 

С ХРД 

заданы. V 

ХРД для перелета с начальной 

низкой круговой орбиты на промежуточную 

высокую эллиптическую орбиту с изменением 

наклонения определим по формулам им- 

х 

пульсной теории [2]. V 

ЭРД для перелета с промежуточной 

орбиты на конечную высокую 

круговую орбиту рассчитаем по выражениям, 

приведенным в [3, 4, 5]. 

Получим расчетные формулы для случая 

многовиткового перелета с активным участком 

на витке, симметрично расположенным 

относительно одной из апсидальных точек, 

при ориентации вектора тяги по трансверсали. 

Особенность исследуемой задачи состоит 

в продолжительном активном участке при 

управлении, приводящем к совместному изменению 

большой полуоси, эксцентриситета 

и наклонения. 

Примем, что возмущения от несферичности 

Земли, атмосферы и других факторов 

отсутствуют. Тогда система уравнений движения 

имеет вид [2]: 

dA 

= 2 

dt 

de 

= 

dt 

di 

dt 

= 

dΩ 

= 

dt 

dω 

= 

dt 

dϑ 

= 

dt 

A 

A 

dVx 

= a = 

dt 

3 

A 

( ) 

( ) 

[ ax 

1+ 

ecosϑ 

+ aye sinϑ] 

, 

2 

µ 1− 

e 

2 

( 1− 

e ) ⎧ ⎡⎛ 

1 

2 

( 1− 

e ) 

A 

A 

A 

µ 

µ 

2 

( 1− 

e ) 

µ 

2 

( 1− 

e ) 

µ 

⎞ e ⎤⎫ 

⎨ay 

sinϑ 

+ ax 

⎢⎜1+ 

⎟cosϑ 

+ ⎬, 

⎩ 

ecos 

ecos 

⎥ 

⎣⎝ 

1+ 

ϑ ⎠ 1+ 

ϑ ⎦⎭ 

az 

⋅cosu 

, 

1+ 

ecosϑ 

az 

⋅ sinu 

, 

( 1+ 

ecosϑ 

) ⋅ sini 

⎡ cosϑ 

ax 

⎛ 1 ⎞ 

sinu ⋅ctgi⎤ 

⎢− 

ay 

+ ⎜1+ 

⎟ sinϑ 

− az 

⋅e 

⋅ , 

e e ecos 

ecos 

⎥ 

⎣ 

⎝ 1+ 

ϑ ⎠ 

1+ 

ϑ ⎦ 

2 

2 

( 1− 

e ) ⎡µ 

( 1+ 

ecosϑ) 

⎢ 

2 2 2 

µ ⎢ A ( 1− 

e ) 

cosϑ 

ax 

⎛ 1 ⎞ ⎤ 

+ ay 

− ⎜1+ 

⎟ sinϑ⎥, 

⎣ 

e e ⎝ 1+ 

ecosϑ 

⎠ ⎥⎦ 

2 2 2 ⎛Vx 

⎞ 

ax 

+ ay 

+ az 

= a0 

exp⎜ 

⎟, 

⎝ C ⎠ 

(6) 

где А, e, i, Ω, ω, υ, u- элементы орбиты; 

V x 

– характеристическая скорость; а 0 

– начальное 

ускорение; С – скорость истечения 

рабочего тела; µ - гравитационная постоянная; 

a ,a , a - составляющие реактивного ус- 

x 

y 

z 

корения в связанной системе координат. 

Для заданного управления и принятых 

допущениях получим: 

a 

a 

a 

x 

y 

z 

= a cosθ 

, 

= a sinθ 

, 

= 0. 

(7) 

Здесь θ - угол отклонения вектора тяги ДУ 

от плоскости орбиты; δ - функция включения 

двигателей: 

- центр активного участка в перигее 

⎧1, 

−α 

≤ u ≤ α , 

δ = ⎨ 

⎩0, 

α ≤ u ≤ 2π 

− α , 

(8) 

118


- центр активного участка в апогее 

E пер 

2 

= arccos( e ) = arcsin 1− 

e . (14) 

δ 

⎧1, 

π − α ≤ u ≤ π + α , 

= ⎨ 

⎩0, 

α −π 

≤ u ≤ π −α 

, 

(9) 

Проведем процедуру усреднения и получим 

где α - половина ширины разгонного участка. 

Согласно (7) в моменты u = p/2 направление 

тяги меняется на симметричное относительно 

плоскости орбиты. 

Примем, что оси апсид промежуточной 

и конечной орбит совпадают с линиями узлов 

и лежат в плоскости экватора: 

ω = 0 , (10) 

0 

где ω 

0 

- аргумент перигея в начальный момент 

времени. 

Перейдем к новой независимой переменной 

– эксцентрической аномалии Е, приняв, 

что использование МТ не приводит к 

существенному уходу оси апсид: 

dE µ 

1 

3 

dt А 

1 − 

= 

( − e ⋅ cos E) . 

(11) 

Общая формула процедуры усреднения 


dx ~ 

= 

dE 

1 

2π 

2π 

∫ 

0 

dx 

dE 

dE 

, (12) 

где х - фазовая переменная, x ~ - усредненная 

фазовая переменная. 

Подставим в (12) угол α, который будем 

отсчитывать по эксцентрической аномалии 

и считать постоянным. Тогда формула 

процедуры усреднения в зависимости от положения 

центра активного участка преобразуется: 

dx ~ 

dE 

dx ~ 

dE 

1 

= 

2π 

1 

= 

2π 

α 

∫ 

−α 

π + α 

∫ 

π −α 

dx 

dE 

dx 

dE 

dE − для перигея, 

dE − для апогея. 

(13) 

Момент изменения тяги на симметричное 

направление относительно плоскости 

орбиты определяется соотношением 

119 

3 

dA 2 A 

= a ⋅ cosθ 

dE 2π 

µ 

de 

dE 

di 

dE 

2 

1 A 

= a ⋅ cosθ 

2π 

µ 

1 

= a ⋅ sinθ 

2π 

µ 

dΩ 

= 0, 

dE 

dω 

= 0, 

dE 

dVx 

1 

= a ⋅ 

dE 2π 

A 

2 

1− 

e ⋅ 2α 

, 

2 ⎛ 

e ⋅ sin 2α 

⎞ 

1− 

e ⎜± 

4 sinα 

− 3eα 

− ⎟, 

⎝ 

2 ⎠ 

2 

1− 

e 

f ( e, α ), 

3 

A 

( 2α 

+ 2e sinα 

), 

µ 

2 

1 

(15) 

где “+” перигей, “–” апогей. 

Для уравнения, описывающего изменение 

наклонения i в (15), имеются следующие 

соотношения: 

- импульсы прикладываются в перигее: 

⎧ 1 ⎛ V ⎞ 

⎪ < 

⋅ ⎜ − 

x 

α Eпер 

, a0 

exp ⎟ ⋅ sinθ 

× 

2π 

⎪ 

⎝ C ⎠ 

2 

⎪ A ⎛ 

2 ⎛ sin 2α 

⎞⎞ 

⎪ ⎜2 

sinα( 

1+ 

e ) − e ⋅⎜3α 

+ ⎟⎟, 

2 

⎪ µ 1− 

e ⎝ 

⎝ 2 ⎠ ⎠ f1( 

e, α ) = ⎨ 1 ⎛ V ⎞ 

> ⋅ 

× 

⎪ 

⎜ − 

x 

α Eпер 

, a0 


2π 

⎝ C ⎠ 

⎪ 

⎪ ⎛ 

2 ⎛ sin 2α 

⎞ ⎞ 

2 

⎪ A ⎜2 

sinα( 

1+ 

e ) − e ⋅⎜3α 

+ ⎟ − ⎟ 

⎪ 

⎜ 

⎝ 2 ⎠ ⎟; 

2 

⎪ 

µ 1− 

e ⎜ 

2 

2 

⎟ 

⎩ ⎝2 

⋅ 1− 

e ⋅( 

2 + e ) + 6⋅ 

e ⋅ arccos( e ) ⎠ 

(16) 

- импульсы прикладываются в апогее: 

⎧ 

1 ⎛ V ⎞ 

⎪ < − 

⋅ ⎜ − 

x 

α π Eпер 

, a0 


× 

2π 

⎪ 

⎝ C ⎠ 

2 

⎪ A ⎛ 

2 ⎛ sin 2α 

⎞⎞ 

⎪ ⋅ ⎜ − 2 sinα( 

1+ 

e ) − e ⋅ ⎜3α 

+ ⎟⎟, 

2 

⎪ µ 1− 

e ⎝ 

⎝ 2 ⎠ ⎠ 

⎪ 

1 ⎛ V ⎞ 

⎪ > − 

⋅ ⎜ − 

x 

α π Eпер 

, a0 


× 

f ( e, α ) = ⎨ 

2π 

⎝ C ⎠ 

1 

⎪ ⎛ 

2 ⎛ sin 2α 

⎞ ⎞ 

⎪ ⎜ − 2 sinα( 

1+ 

e ) − e ⋅ ⎜3α 

+ ⎟ + ⎟ 

⎪ ⎜ 

⎝ 2 ⎠ ⎟ 

2 

⎪ A ⎜ 

2 

2 

⎟ 

⎪ 

⋅ ⎜2 

⋅ 1− 

e ⋅( 

2 + e ) − 6⋅ 

e ⋅ arccos( e ) + ⎟. 

2 

µ 1− 

e 

⎪ ⎜ + 6 ⋅ e ⋅π 

⎟ 

⎪ ⎜ 

⎟ 

⎪ 

⎩ ⎝ 

⎠ 

(17)


Первые два уравнения в (15) могут быть 

проинтегрированы: 

A⋅ 

(sinα 

± e ⋅ k 

k 

1 

) 

3 sin 2α 

= α + , 

4 8 

1 

α 

k1 

= const, 

(18) 

где “+” апогей, “–” перигей. 

Для импульсных перелетов формула 

(18) преобразуется к полученной ранее в [6]: 

A ⋅ ( 1± 

e) 

= const, 

(19) 

что означает постоянство радиуса орбиты в 

апсидальной точке, которая соответствует 

центру активного участка. 

Определим оптимальную программу 

изменения угла |θ|. 

Система (15) может быть сокращена на 

три уравнения, поскольку эксцентрическая 

аномалия, отсутствуя в уравнениях и не влияя 

на управление, может быть исключена. Перейдем 

к новой независимой переменной V x 

: 

dA 

dV 

x 

di 

dV 

x 

= 2 ⋅ cosθ 

⋅ 

= sinθ 

⋅ 

µ ⋅ 

A 

µ 

3 

A 

⋅ 

2 

( 1 − e ) 

2 α 

1 − e ⋅ 

, 

α + e ⋅ sin α 

(20) 

⋅ f ( e, α ). 

В соответствии с принципом максимума 

Понтрягина составим гамильтониан системы 

H 

где 

dA 

dV 

= ΨA 

+ Ψi 

− ΨV x , (21) 

x 

e i 

, 

V 

x 

di 

dV 

x 

Ψ , Ψ Ψ - сопряженные множители. 

Уравнения для сопряженных множителей 

имеют вид 

ψ& 

i 

ψ& 

ψ& 

Vx 

A 

∂H 

= − = 0, 

∂i 

∂H 

= − = 0, 

∂V 

x 

∂H 

= − . 

∂A 

1 

(22) 

Из (22) следует, что два сопряженных 

множителя постоянны на всей оптимальной 

траектории, а уравнение для третьего множителя 

представляется сложной зависимостью. 

Управление определится в явном виде 

∂H 

из условия = 0 : 

∂θ 

2 

( 1− 

e ) 

2 ⋅ A⋅ 

⋅α 

⋅ ΨA 

ctgθ 

= 

. (23) 

( α + e ⋅ sinα 

) ⋅ f ( e, α ) ⋅ Ψ 

Подставив (20) и (23) в (21), учитывая, 

что из (22) следует Ψ 

i 

= const , получим выражение 

относительно синуса угла: 

1 

⋅ 

sinθ 

µ ⋅ 

A 

2 

( 1− 

e ) 

1 

⋅ f ( e, α ) = const . (24) 

1 

Как следует из (24), управление зависит 

только от фазовых переменных е и А, и 

поэтому после подстановки (24) в (15) исходная 

система может быть проинтегрирована. 

Перелет по предлагаемой схеме по сравнению 

с перелетом при раздельном изменении 

параметров орбиты осуществляется с 

меньшими затратами рабочего тела [7]. 

Таким образом, задавая параметры промежуточной 

орбиты, на которой происходит 

отделение первой ступени РБ и начинается 

работа второй ступени, можно рассчитать 

затраты характеристической скорости для 

каждой из ступеней РБ. 

Если ширина активного участка остается 

постоянной во время выполнения маневра, 

то моторное время Т м 

связано с временем 

перелета Т соотношением 

T м 

i 

α 

= ⋅Т 

. Для π 

случая непрерывной работы двигателей второй 

ступени РБ времена Т м 

и Т совпадают. 

Будем считать, что время перелета с начальной 

орбиты на промежуточную существенно 

меньше, чем время на многовитковый перелет 

с промежуточной орбиты на конечную. 

Таким образом, выражение (5) зависит 

от параметров промежуточной орбиты A, e, 

i, ширины активного участка α и времени на 

перелет Т, и исходная задача поиска максимальной 

массы полезного груза сводится к 

120


задаче поиска максимума (5) в общем случае 

по пяти переменным. Такая задача может 

быть решена только численно. 

Проведено моделирование перелета с 

низкой круговой орбиты высотой 200 км на 

геостационарную орбиту высотой 36000 км 

с разницей наклонения 51,7°, с заданным временем 

перелета в интервале от 40 до 160 суток 

с шагом в одни сутки. Зависимости относительной 

массы ПН для различных РБ приведены 

на рис. 2: 

1) перелет с одноступенчатым РБ с ХРД 

(традиционная схема); 

2) перелет с двухступенчатым РБ с ХРД 

на каждой ступени; 

3) перелет с одноступенчатым РБ с ЭРД; 

4) перелет с двухступенчатым комбинированным 

РБ с ХРД и ЭРД. 

Анализ результатов, приведенных на 

рис. 2, позволяет сделать следующие выводы: 

1) комбинированный РБ предпочтительнее 

использовать при времени перелета 

от 46 суток по сравнению с РБ традиционной 

схемы (точка пересечения графиков 1 и 

4) или от 62 суток по сравнению с возможной 

двухступенчатой схемой РБ с ХРД (точка 

пересечения графиков 2 и 4) и до 146 суток 

по сравнению с одноступенчатым РБ с 

ЭРД (точка пересечения графиков 3 и 4); 

2) одноступенчатый РБ с ЭРД предпочтительнее 

использовать при времени перелета, 

превышающим 128 суток по сравнению с 

одноступенчатым РБ с ХРД (точка пересечения 

графиков 1 и 3) и 135 суток по сравнению 

с двухступенчатым РБ с ХРД (точка пересечения 

графиков 2 и 3); 

3) максимальный выигрыш в массе ПН 

при использовании комбинированного РБ с 

ХРД и ЭРД составляет 29 % по сравнению с 

одноступенчатым РБ с ХРД, 13 % по сравнению 

с двухступенчатым РБ с ХРД и более чем 

в два раза по сравнению с одноступенчатым 

РБ с ЭРД. 

÷ ПН 

Т, 

0,24 

0,22 

0,2 

2 

4 

0,18 

1 

0,16 

3 

0,14 

0,12 

0,1 

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 

Рис. 2. Графики зависимостей относительной массы полезного груза от времени перелета 

для различных РБ 

сут. 


1. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев 

В. В. Механика космического полета. 

Проблемы оптимизации. - М.: Наука, 1975. 

121 

2. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю. Г. 

Основы механики космического полета. – М.: 

Наука, 1990.


3. Лебедев В. Н. Расчет движения космического 

аппарата с малой тягой // Математические 

методы в динамике космических 

аппаратов. - М. – 1968. - Вып.5. 

4. Ишков С. А., Романенко В. А. Формирование 

и коррекция высокоэллиптической 

орбиты спутника Земли с двигателем 

малой тяги // Космические исследования. - 

1997. Т.XXXVI. - Вып.2. – С. 11-20. 

5. Ишков С. А. Расчет оптимальных 

межорбитальных перелетов с малой тягой 

между круговой и эллиптической орбитами // 

Космические исследования. - 1997. Т.XXXVI. 

- Вып.2. – С. 1-10. 

6. Фадеенков П. В., Ишков С. А. Баллистическое 

обоснование применения двигателей 

ограниченной тяги для формирования 

энергоемких орбит // Сб. тр. IX Всерос. научно-техн. 

семинара по управлению движением 

и навигации летательных аппаратов: 

Ч. 1/Самарский филиал Российской Академии 

космонавтики. - Самара, 1999. – С. 144- 

148. 

7. Фадеенков П. В. Оптимизация перелетов 

между некомпланарными эллиптическими 

орбитами с двигателями малой тяги // 

Сб. тр. XIII Всерос. научно-техн. семинара по 

управлению движением и навигации летательных 

аппаратов: Ч. 1/ Самарский филиал 

Российской академии космонавтики. - Самара, 

2007. – С. 193-197. 

OPTIMIZATION OF FLIGHTS BETWEEN NON-COPLANAR CIRCULAR 

ORBITS WITH A TWO-STAGE BOOSTER WITH CHEMICAL AND 

ELECTROJET ENGINES 

© 2007 P. V. Fadeyenkov 


The paper deals with a flight between the non-coplanar circular near-earth orbits – the initial low orbit and the 

target high one. Boosters delivering payload to the target orbit are: one-stage and two-stage with a chemical rocket 

engine, one-stage with an electrorocket engine or combined two-stage with a chemical and an electrrocket. 

The optimal law of changing the angle of thrust vector deviation from the orbit plane is obtained on the basis of 

averaging procedures and maximal principle for a particular case of the orbits’ relative position and location of the 

active site on the loop. The use of this law and analytical expressions makes it possible to reduce the complicated 

optimization task of payload maximum to a simpler task of searching five-variable function conditional extremum. 

Comparative analysis of various kinds of boosters according to the time of flight and the mass of payload is 

given. The advantages of a combined booster are defined. 

122


УДК 629.78 

ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ МОЩНОСТИ СОЛНЕЧНЫХ 

БАТАРЕЙ АВТОМАТИЧЕСКИХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 

© 2007 Ю. А. Шиняков 

Томский университет систем управления и радиоэлектроники 

Рассмотрены структурно-функциональные схемы систем электроснабжения автоматических космических 

аппаратов с цифровыми и аналого-цифровыми экстремальными регуляторами мощности солнечных батарей. 

Предложена методика определения параметров систем автоматической оптимизации шагового типа. 

Одной из основных проблем создания 

перспективных автоматических космических 

аппаратов (КА) является повышение энергетической 

эффективности систем электроснабжения 

(СЭС). При этом наиболее действенным 

способом является реализация режима 

непрерывного регулирования мощности 

солнечной батареи (СБ) в оптимальной 

рабочей точке, который предполагает введение 

в состав бортовой аппаратуры экстремального 

регулятора (ЭР), действие которого 

должно быть направлено на поиск оптимального 

напряжения СБ и выдачу на энергопреобразующие 

устройства (ЭПУ) такого 

задающего воздействия, при котором напряжение 

СБ регулируется на уровне, близком к 

экстремальному значению [1]. 

В СЭС автоматических КА широко используется 

шаговый метод поиска экстремума 

мощности СБ, так как согласование ЭР с 

зарядным устройством (ЗУ) и последовательным 

регулятором (РН), осуществляющим 

передачу энергии от СБ в нагрузку, реализуется 

достаточно просто путем дискретной 

перестройки цепи обратной связи в канале 

стабилизации напряжения СБ [2]. 

На начальном этапе развития и освоения 

систем экстремального регулирования 

мощности (ЭРМ) СБ использовалась наиболее 

простая схема с реализацией функции 

регулирования СБ в оптимальном режиме 

только зарядным устройством. Данная система 

ЭРМ СБ шагового типа впервые в мировой 

практике была испытана в 1988 году 

на КА «Фобос-2» во время перелета к Марсу. 

Испытания показали увеличение энергетической 

эффективности СЭС более чем на 20% 

(пропорционально увеличению напряжения 

оптимальной рабочей точки СБ). 

В дальнейшем был предложен ряд схемных 

технических решений, направленных на 

реализацию режима ЭРМ СБ не только зарядным 

устройством, но и устройством РН. 

На рис. 1 представлена усовершенствованная 

структурно-функциональная схема СЭС с 

поисковой системой шагового типа, реализующая 

экстремальное регулирование мощности 

СБ устройствами ЗУ и РН с использованием 

принципа смещения поддиапазона регулирования 

РН до уровня поддиапазона регулирования 

разрядного устройства РУ [3, 4]. 

Входящий в состав ЭРМ датчик мощности 

ДМ, обрабатывая информацию о напряжении 

и токе СБ в рабочей точке, формирует 

на выходе напряжение, пропорциональное 

текущему значению мощности, вырабатываемой 

СБ. По сигналу от синхронизирующего 

генератора Г это значение мощности 

запоминается в устройстве выборки и хранения 

УВХ, после чего по следующему сигналу 

генератора рабочая точка на вольтамперной 

характеристике (ВАХ) СБ смещается 

вследствие воздействия, осуществляемого 

корректирующим устройством КУ на усилитель 

ошибки УСО ШИМ ЗУ. Затем вновь измеренное 

значение мощности СБ сравнивается 

с предыдущим значением с помощью 

устройства сравнения УС. 

Выходной сигнал УС воздействует на 

КУ, определяя направление последующего 

смещения рабочей точки на ВАХ СБ. При 

уменьшении мощности, генерируемой СБ, 

КУ изменяет направление поиска экстремума 

на противоположное. Одновременно УВХ 

123


Рис. 1. Структурно-функциональная схема СЭС с ЭРМ шагового типа 

запоминает новое текущее значение мощности 

СБ. В дальнейшем процесс повторяется. 

Таким образом обеспечивается работа 

в режиме максимальной мощности СБ, при 

этом осуществляются непрерывные пробные 

(поисковые) колебания напряжения СБ вокруг 

оптимальной точки. 

В режиме заряда АБ смещение рабочей 

точки на ВАХ СБ происходит из-за изменения 

длительности открытого состояния силовых 

ключей ЗУ. При превышении мощностью 

нагрузки мощности СБ (Р Н 

> Р СБ 

) ЗУ 

закрывается. В работу включается РУ, стабилизируя 

напряжение на выходе СЭС. При 

этом напряжение на СБ понижается, напряжение 

на выходе УСО ШИМ ЗУ принимает 

отрицательное значение и, воздействуя на 

компаратор К ШИМ РН через диод VD1, смещает 

поддиапазон регулирования выходного 

напряжения РН до уровня поддиапазона регулирования 

разрядного устройства (РУ). 

При проектировании СЭС автоматических 

КА с ЭРМ СБ необходимо знать зависимость 

точности регулирования экстремума от 

шагового изменения напряжения стабилизации 

СБ (∆U ст 

) и требуемое значение быстродействия 

ЭР, гарантирующего устойчивость 

системы при максимальной скорости дрейфа 

ВАХ. 

В связи с существенной сложностью 

выражения, описывающего ВАХ реальной 

СБ, при определении и расчете характеристик 

системы экстремального регулирования 

целесообразно воспользоваться достаточно 

простой математической моделью СБ, где 

ВАХ задана тремя характерными точками: 

напряжением холостого хода U хх 

, током короткого 

замыкания I кз 

, оптимальными значениями 

тока I опт 

и напряжения U опт 

[5]. Уравнение 

ВАХ СБ при заданной температуре и 

освещенности имеет вид: 

I 

= 

I 

⎡ 

⎢1 

− ( 

⎢ 

⎣ 

кз 

1 

− 

I 

I 

o 

кз 

) 

U −U 

хх 

U o −U 

хх 

⎤ 

⎥ . (1) 

⎥ 

⎦ 

Вольтамперная (ВАХ) и вольтваттная 

(ВВХ) характеристики реальной солнечной 

батареи низкоорбитального КА с параметрами: 

U хх 

=42,2 В, U опт 

=31 В, I опт 

=50 А, I кз 

=60 А, 

построенные по приведенной выше формуле 

1, представлены на рис. 2. 

В системе автоматической оптимизации 

шагового типа возможное минимальное количество 

шагов два или три. Двухшаговый 

режим поиска экстремума мощности осуществляется, 

когда рабочая точка на ВАХ при 

очередном шаговом изменении U СБ 

совпада- 

124


ет с оптимальной (Р СБмакс 

), а трехшаговый – 

когда занимает симметричное положение относительно 

Р СБмакс 

. На рис. 3 и в табл. 1 приведены 

зависимости мощности потерь Р п 

от 

значения шагового изменения U СБ 

(∆U ст 

), из 

анализа которых следует, что при пошаговом 

изменении U СБ 

, не превышающем 2 В, гарантируется 

отбор экстремальной мощности от 

СБ с точностью не менее 98 % (Р п 

< 2 % Р макс 

). 

Характеристики СБ (ВАХ, ВВХ) большинства 

объектов с течением времени изменяются 

со значительными скоростями. Поэтому 

для обеспечения работоспособности 

экстремального регулятора необходимо выполнение 

условия: ∆U ст 

/∆t > ∆U СБопт 

/∆t, т. е. 

скорость изменения напряжения СБ экстремальным 

регулятором должна быть выше 

скорости дрейфа напряжения оптимальной 

точки СБ. Опыт эксплуатации КА показывает, 

что наивысшая скорость дрейфа ВАХ наблюдается 

при выходе панелей СБ из тени. 

Причем скорость дрейфа, ввиду линейности 

изменения температуры панелей, в начальное 

время прогрева практически постоянная. Требуемое 

быстродействие экстремального регулятора 

в зависимости от значения шага ∆U ст 

находится из выражения: ∆t=1/f эшр 

≤ ∆U ст 

/V СБ 

, 

где V СБ 

– скорость изменения напряжения СБ. 

Однако это условие является достаточным 

лишь для случаев горизонтального дрейфа 

ВВХ СБ, т. е. при Р СБмакс 

(t)=const. Так как 

дрейф ВВХ сопровождается уменьшением 

экстремального значения мощности при прогреве 

панелей СБ, то возможен реверс систе- 

Рис. 2. Вольтамперная и вольтваттная 

характеристики СБ 

Рис. 3. Зависимость потерь энергии СБ 

на поиск от величины шага 


Параметр 

Двухшаговый режим 

Трехшаговый режим 

∆U СБ =2∆U ст 

∆U СБ =3∆U ст 

∆U ст , В 1 2 3 4 1 2 3 

Р п , Вт 

(Р макс =1553 Вт) 

3 12 25,5 43 4 22 48 

Р п /Р макс , % 0,2 0,77 1,6 2,8 0,26 1,4 3,1 

125


мы вследствие уменьшения мощности СБ 

даже при движении рабочей точки в сторону 

экстремума мощности (рис. 4). Поэтому для 

обеспечения устойчивости необходимо выполнение 

дополнительного условия: ∆Р СБ 

≥0, 

т. е. увеличение мощности, вызванное шаговым 

изменением U СБ 

, должно компенсировать 

ее уменьшение, обусловленное дрейфом 

характеристики. 

Рассмотрим влияние дрейфа характеристик 

СБ (ВАХ, ВВХ) на поиск экстремума. 

Уравнение дрейфующей ВВХ, аппроксимированной 

квадратичной параболой, имеет 

вид: 

2 

[ − U ( t )] Р ( t ), 

РСБ (U 

СБ 

;t ) = a( t ) U 

СБ СБ опт 

+ 

где 

Р 

U 

СБ макс 

СБ опт 

( t ) = Р 

( t ) = U 

СБ макс 

СБ опт 

( t − ∆t 

) + ∆Р 

( t − ∆t 

) + ∆U 

а( t ) = a( t − ∆t 

) + ∆a( 

∆t 

). 

СБ макс 

СБ опт 

СБ макс 

( ∆t 

); 

( ∆t 

); 

(2) 

На основании приведенного уравнения 

параболы определяется выражение для приращения 

выходного сигнала при допущении, 

что характеристика дрейфует с малым искажением 

формы, т.е. а(t)>>∆a(t): 

∆ Р СБ 

=Р СБ 

(U СБ 

;t)- Р СБ 

(U СБ 

-∆U СБ 

; t-∆t), 

или 

Требуемое значение шага ∆U ст 

, обеспечивающее 

устойчивую работу системы, зависит 

от положения рабочей точки на исходной 

характеристике (рис. 4). Так, например, изза 

нелинейности ВВХ вблизи экстремума при 

шаге ∆ U′ 

ст 

изменение мощности равно нулю, 

если рабочая точка находилась в точке А, и 

принимает отрицательное значение, если рабочая 

точка находилась в точке Б. Следовательно, 

для выполнения условия: ∆Р СБ 

≥0 

независимо от положения рабочей точки на 

исходной ВВХ должно быть: 

∆ U ≥ U . 

Если рабочая точка при очередном шаговом 

изменении попадает в точку экстремума, 

то 

ст 

ББ" 

[ ∆U 

− ∆U 

( t ] 2 

∆ РСБ = ∆РСБ макс( 

∆t 

) − a( t ) 

ст СБ опт 

) . 

(5) 

Принимая ∆Р СБ 

=0, получаем уравнение, 

определяющее зависимость ∆U ст 

от длительности 

шага системы ∆t и параметра а(t), характеризующего 

форму ВВХ: 

a( t ) ∆U 

+ a( t )V 

2 

ст 

2 

U СБ 

− 2a( t )V 

∆t 

2 

−V 

U CБ 

Р СБ 

∆t∆U 

∆t 

= 0, 

ст 

+ 

(6) 

где V U СБ 

и V Р СБ 

– соответственно скорости 

изменения оптимального напряжения и максимальной 

мощности СБ при дрейфе ВАХ, 

ВВХ. 

∆ РСБ = 2a(t) 

∆U 

ст[ UСБ 

−UСБ 

опт(t 

)]− 

− 2а(t) 

∆U 

( ∆t )U [ −U 

(t)]− 

−a(t ) 

СБопт 

СБ 

СБопт 

2 

[ ∆U 

−∆U 

( ∆t )] +∆Р 

( ∆t 

). 

(3) 

ст СБопт 

СБмакс 

При заданных условиях дрейфа 

(∆U СБопт 

(∆t); ∆Р СБмакс 

(∆t)) можно определить 

соотношение длительностей шагов и значений 

единичного изменения ∆U ст 

, обеспечивающее 

устойчивую работу шаговой экстремальной 

системы. Диапазон возможных значений 

параметра а(t) находится при условии: 

Р СБ 

(U СБ 

, t)=0 и изменении U СБ 

от U хх 

до 

2U СБ опт 

: 

a( t ) 

СБ макс 

= . (4) 

[ U −U 

( t )] 2 

СБ 

Р 

( t ) 

СБ опт 

Рис. 4. Диаграммы дрейфа ВВХ СБ 

126


Данное уравнение имеет два решения, 

которые соответствуют положительному и 

отрицательному шаговому изменению U СБ 

(отрезки Б ′ , Б′ 

и Б′ 

, Б на рис. 4). На рис. 5 

приведены зависимости ∆U ст 

=f(a) для различных 

значений ∆t. При анализе использовались 

максимальные параметры дрейфа реальных 

СБ низкоорбитальных КА (V U СБ 

≈0,12 В/с; 

V Р СБ 

≈6 Вт/с). Из анализа зависимости 

∆U ст 

=f(a) при различных ∆t следует, что частота 

ЭШР реальной СЭС с шагом ∆U ст 

=2 В, 

имеющей малые потери энергии на поиск 

экстремума (Р п 

< 2 % ∆Р СБ макс 

), должна быть 

не менее 1 Гц. 

Рис. 5. Зависимости изменения ∆U ст 

от параметра 

∆t для различной длительности шага системы 

Таким образом, предлагается следующая 

методика определения характеристик 

систем автоматической оптимизации мощности 

СБ шагового типа: 

а) определение значения шагового изменения 

напряжения СБ ∆U ст 

, обеспечиваю- 

щего требуемую точность при статической 

ВВХ; 

б) вычисление требуемого быстродействия 

(времени шагового изменения U СБ 

), гарантирующего 

устойчивость системы при 

реальных параметрах дрейфующей ВВХ; 

в) определение минимального изменения 

Р СБ мин 

при статической ВВХ и расчет параметров 

шагового экстремального регулятора, 

обеспечивающего устойчивый поиск максимума 

мощности СБ. 

Известны и нашли широкое применение 

в СЭС российских автоматических КА 

цифровые и аналого-цифровые экстремальные 

шаговые регуляторы. 

На рис. 6 приведена структурно-функциональная 

схема ЭРМ в аналого-цифровом 

исполнении, впервые примененная и испытанная 

в СЭС КА «Фобос-2» [4]. 

Датчик мощности выполнен на операционных 

усилителях. Масштабные значения 

напряжения и тока СБ логарифмируются, 

складываются, после чего проводится операция 

антилогарифмирования. Полученное значение 

напряжения, пропорциональное мощности 

СБ, поступает на компаратор К и через 

ключ КТ1, управляемый сигналом с выхода 

1 счетчика-распределителя СТ1, - на 

емкостный накопитель С. После появления 

сигнала на выходе 3 счетчика СТ1 изменяется 

код на выходе реверсивного счетчика СТ2. 

Выходной код счетчика СТ2 управляет ключами 

КТ2-КТ5, которые при коммутации изменяют 

коэффициент передачи делителя на 

Рис. 6. Структурно-функциональная схема аналого-цифрового ЭРМ 

127


резисторах R1-R5, а следовательно, и выходное 

напряжение ШИМ ЗУ, определяющее 

положение рабочей точки на ВАХ СБ. В случае, 

если после смещения рабочей точки значение 

мощности СБ уменьшается, на выходе 

компаратора К появляется положительное 

напряжение, и импульс с выхода 5 счетчика 

СТ1, поступающий на тактовый вход триггера 

Т, изменяет полярность напряжения на 

его выходе. При этом изменяется направление 

счета счетчика СТ2. В дальнейшем процесс 

повторяется. 

Данная схема, обладая невысокой точностью 

определения U СБопт 

из-за наличия аналоговых 

устройств, параметры которых в значительной 

степени зависят от условий эксплуатации, 

позволяет обеспечить высокую 

надежность работы ЭРМ ввиду простоты и 

малого количества элементов, подверженных 

сбою при возможных электромагнитных помехах 

и просадках напряжения. 

Дальнейшее развитие и совершенствование 

систем экстремального регулирования 

мощности СБ было связано с разработкой 

различных вариантов построения цифровых 

экстремальных шаговых регуляторов (ЭШР) 

[4, 6]. 

На рис. 7 приведена структурно-функциональная 

схема цифрового ЭРМ. В нем 

датчик мощности выполнен на базе цифроаналогового 

перемножителя. Напряжение, 

пропорциональное току СБ, с измерительного 

шунта поступает на масштабирующий усилитель 

У, после чего преобразуется в восьмиразрядный 

двоичный код аналого-цифровым 

преобразователем АЦП. Код с АЦП и 

текущее значение напряжения СБ являются 

входными сигналами цифрового перемножителя, 

на выходе которого формируется цифровой 

код, соответствующий значению мощности, 

потребляемой от СБ в данный момент. 

По тактовому импульсу со счетчикараспределителя 

этот код «запоминается» в 

регистрах РГ1 и РГ2. После изменения положения 

рабочей точки цифровой код, соответствующий 

новому значению мощности 

СБ, записывается в регистр РГ1 и сравнивается 

с предыдущим, хранящимся в регистре 

РГ2, с помощью цифрового компаратора ЦК. 

Появление на выходе А



1. Шиняков Ю. А. Эффективность использования 

солнечных батарей в автономных 

системах электроснабжения // Проблемы 

комплексного проектирования и испытаний 

энергетических устройств космических аппаратов. 

- Куйбышев, 1986. Вып. 3. - С. 58-59. 

2. Чернышев А. И. Шиняков Ю. А., Гордеев 

К. Г. Экстремальный регулятор мощности 

для автономных систем электроснабжения 

/ Материалы VIII Всесоюзн. конф. по космической 

технике. - Куйбышев, 1983. - С.45- 

52. 

3. Пат. РФ № 2101831, МКИ 6 H 02 J 7/35. 

Система электропитания с экстремальным 

регулированием мощности фотоэлектрической 

батареи/ К. Г. Гордеев, С. П. Черданцев, 

Ю. А. Шиняков // Изобретения. 1998. №1. 

4. Варианты построения экстремальных 

шаговых регуляторов мощности солнечных 

батарей / Шиняков Ю. А., Гордеев К. Г., Черданцев 

С. П., Обрусник П. В. // Труды ВНИ- 

ИЭМ. Электромеханические устройства космических 

аппаратов. - М., 1997. Т.97. - С.83- 

92. 

5. Привалов В. Д., Никифоров В. Е. 

Оценка эффективности применения экстремального 

регулятора в автономных СЭП. – 

Куйбышев: КПИ, 1981. 

6. Экстремальный регулятор мощности 

солнечных батареей с двойным цифровым 

интегрированием / Гордеев К. Г., Поляков С. А., 

Обрусник П. В., Шпаковская Г. К. // Электронные 

и электромеханические системы и 

устройства: Сб. науч. трудов НПЦ «Полюс». 

- Томск, 2001. - С. 74-77. 

EXTREMAL REGULATION OF AUTOMATIC SPACE VEHICLE 

SOLAR BATTERY POWER 

© 2007 Yu. A. Shinyakov 

Tomsk University of Control Systems and Radioelectronics 

The paper presents structural functional schemes of electric supplies for automatic space vehicles with digital 

and analogue-digital extremal regulators of solar battery power. A procedure for defining parameters of step automatic 

optimization systems is proposed. 

129


УДК 621.38 

РАЗРАБОТКА БАЗОВОГО АЛГОРИТМА ПОДСИСТЕМЫ КОРРЕКЦИИ 

ПО ГЕОФИЗИЧЕСКИМ ПОЛЯМ 

© 2007 В. М. Антимиров 

Воронежская государственная лесотехническая академия 

Рассматриваются особенности построения алгоритмической основы рельефометрической корреляционно-экстремальной 

навигационной системы (КЭНС). 

1. Описание облика системы 

коррекции и условий работы 

Ошибки системы управления (СУ), определяющие 

отклонение точки падения от 

точки прицеливания, приближенно можно 

выразить следующими формулами [1]: 

∆x 

= 

Σ 

∆z 

= 

Σ 

2 

2 2 

2 2 

{ ∆x 

+ ( ∆V 

x⋅toct) + ( h⋅α) + ( ∆h 

+∆V 

y⋅toct) 

/tgθ 

) +∆x 

} 

2 

2 2 2 2 

{ ∆z 

+ ( ∆V 

⋅t 

) +∆z 

} +∆z 

+∆z 

. 

z 

oct 

ТП кэнс 

инс 

су 

ТП кэнс 

2 2 

+∆х 

+∆х 

; 

инс 

су 

(1) 

Здесь ∆ x , ∆ z , ∆ h - ошибки подсистемы 

инерциального управления (ПИУ) по плановым 

координатам и высоте, корректируемые 

в результате работы КЭНС; ∆ Vx 

, ∆ Vy 

, ∆ Vz 

- 

ошибки ПИУ по скорости, корректируемые 

в результате работы корреляционно-экстремальной 

навигационной системы (КЭНС); 

t 

oct 

- время движения от точки привязки (середина 

участка коррекции) до точки падения; 

α , γ - угловые ошибки приборного базиса 

ПИУ относительно системы координат участка 

коррекции; h - средняя высота полета 

над участком коррекции; ∆ xТП 

, ∆ zТП 

- ошибки 

привязки точки прицеливания к участку 

коррекции, выполняемой по космическим 

фотоснимкам; 

∆ xинс 

, zинс 

∆ - ошибки ПИУ по 

координатам, накопившиеся после проведения 

коррекции; 

∆ xсу 

, zсу 

∆ - динамические 

ошибки системы наведения и стабилизации 

при отработке выявленного промаха; θ - угол 

наклона траектории в точке падения. 

Ошибки ∆ x Σ , ∆ z Σ являются случайными 

величинами, распределенными по нормальному 

закону. Математические ожидания 

130 

∆xΣ, 

∆ z определяют положение средней точки 

попадания (СТП) относительно точки 

Σ 

прицеливания. 

СКО σ∆xΣ, 

σ∆ z характеризуют 

Σ 

рассеивание точек падения относительно 

СТП или кучность. Для СУ, оснащенной системой 

коррекции по геофизическим полям, 

СТП всегда совпадает с точкой прицеливания, 

то есть отсутствуют систематические 

ошибки. Если не выполнять операцию привязки 

точки прицеливания к участку коррекции 

по космическим фотоснимкам, то в 

ошибках ∆ xТП 

, ∆ zТП 

появляется систематическая 

составляющая и СТП уже не будет совпадать 

с точкой прицеливания. Выражение 

(1) определяет общий баланс ошибок СУ и в 

дальнейшем используется как для СУ с системой 

коррекции, так и без нее. Выражение 

в фигурных скобках описывает ошибки СУ, 

на которые система коррекции оказывает влияние 

Для выбора алгоритма корреляционноэкстремальной 

обработки (КЭО), его параметров, 

логики измерений и профиля траектории 

необходимо определить критерий эффективности, 

позволяющий сравнивать альтернативные 

варианты [1, 2]. 

Критерий эффективности - это скалярная 

количественная мера степени соответствия 

системы ее назначению. Назначением 

системы является поражение объекта или его 

жизненно важных точек, поэтому общим критерием 

эффективности является вероятность 

поражения. Если аппроксимировать координатный 

закон поражения симметричной 

гауссоидой 

2 

1 r 

− ⎜ ⎟ 

2 ⎜ R ⎟ 

⎝ p ⎠ 

⎛ ⎞ 

Gr () = e , (2)

Технические науки 

где R 

p - параметр координатного закона поражения 

называемый радиусом поражения; 

r - расстояние от точки падения до точки прицеливания, 

то вероятность поражения представляется 

выражением вида 

P= 

1 

. (3) 

2 2 

⎛ ⎛σ 

x ⎞ ⎞⎛ ⎛ 

Σ 

σ z ⎞ ⎞ 

⎜ 

∆ 

∆ 

Σ 

1+ ⎟⎜ ⋅ 1+ 

⎟ 

⎜ ⎜ R ⎟ ⎜ 

p ⎟⎜ R ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ p ⎠ ⎟ 

⎝ ⎠⎝ ⎠ 

Точность СУ обычно характеризуется 

одним числом вида 

σ∆ 

x + σ∆z 

= . (4) 

2 

Σ Σ 

σΣ 

p 

σ Σ 

Если в (3) положить R = 3 , то вероятность 

поражения будет равна 0,9 при условии 

σ∆ x = σ∆ z . Вероятность попадания в 

Σ 

Σ 

круг радиуса R 

p 

при том же условии равна 

0,98889. Таким образом, выражения (3) и (4) 

связаны друг с другом и определяют один и 

тот же критерий и их можно трактовать как 

сворачивание параметров (1), характеризующих 

точность СУ, в скалярный критерий. 

Выражение (4) - это частный критерий, удобный 

для анализа КЭНС. Он основан на общем 

критерии (3), применяемым, исходя из 

назначения системы. 

Как указывалось выше, эффективность 

СУ без коррекции можно характеризовать 

теми же выражениями (1), (3), (4). При этом 

в (1) α и γ полагаются равными нулю, а в 

ошибках ∆ x , 

ТП 

∆ z появляется систематическая 

составляющая, которая выносится из- 

ТП 

под знака корня. 

Работа системы коррекции сводится к 

оценке ошибок ПИУ по измерениям геофизического 

поля (ГФП). В общем случае вектор 

оцениваемых параметров ПИУ имеет вид 

[ ∆x, 

∆y, 

∆z, 

∆v 

, ∆v 

, ∆ , α, 

β , γ , ω , ω , ω , ∆a 

, ∆a 

, ∆a 

] T 

. 

r 

x = v 

x 

y 

z 

α 

β 

γ 

ζ 

η 

ξ 

(5) 

где ∆x, ∆y, 

∆ z - ошибки ПИУ по координатам; 

∆v, x 

∆v, y 

∆ vz 

- ошибки ПИУ по скоростям; 

α, β, 

γ - ошибки ПИУ по угловому положению; 

ωα, ωβ, 

ω 

γ - дрейф инерциального 

базиса; ∆a , ∆a , ∆ a - ошибки акселеро- 

ς η ξ 

метров. 

Идеальная система коррекции должна 

оценивать весь вектор состояния ПИУ по 

измерениям ГФП, а также ошибки привязки 

лучей радиолокатора рельефометрической 

системы (РРС) к осям ПИУ. Для реальных 

систем состав оцениваемых параметров ПИУ 

определяется на начальном этапе проектирования 

в зависимости от их вклада в общий 

баланс ошибок (1) и является важнейшей частью 

задачи выбора или разработки алгоритма 

КЭО и облика КЭНС. 

Точность СУ с коррекцией по ГФП, заданная 

выражением (4), определяющим образом 

зависит от высоты и длины участка 

коррекции. Для баллистического аппарата, 

движущегося в атмосфере, высота и длина 

участка коррекции - взаимосвязанные параметры: 

с уменьшением высоты уменьшается 

и длина участка коррекции. Поскольку при 

этом увеличивается разрешение РРС, то существует 

оптимальная высота участка, при 

которой ошибка СУ (4) становится минимальной. 

Важным фактором является также 

и точность выхода на заданную высоту в начале 

участка коррекции. 

Можно сказать, что точность СУ (4) 

повышается прямо пропорционально объему 

информации, содержащемуся в массиве измерений 

РРС. Этот объем главным образом 

зависит от длины участка коррекции и разрешения 

РРС, определяемого диаметром пятна 

засветки. Число лучей РРС влияет на 

объем информации только в том случае, если 

расстояние между центрами пятен засветки 

боковых лучей больше радиуса корреляции 

рельефа, сглаженного пятном засветки. Однако 

при увеличении угла раствора крайних 

боковых лучей уменьшается разрешение в 

боковом направлении и увеличивается флуктуационная 

ошибка РРС и ошибка смещения. 

Поэтому он ограничен величиной 10-12 градусов. 

Возможно, разрешение РРС в боковом 

направлении можно улучшить, если использовать 

не всю ширину отраженного сигнала, 

а только его центральную часть. Но это требует 

проведения оценочных расчетов. 

131


Поскольку точность выхода в начало 

участка коррекции по высоте имеет большое 

значение, в том числе и как фактор, увеличивающий 

длину участка, то в логику измерений 

целесообразно ввести участок предварительного 

измерения высоты еще в достаточно 

плотной плазме. В этом случае момент 

включения РРС на излучение необходимо 

формировать по достижению заданной скорости. 

Для максимального использования 

потенциала РРС на этом участке передатчик 

должен работать на один центральный луч, а 

количество накапливаемых в процессе обработки 

импульсов необходимо увеличить. 

Этот дополнительный участок позволит существенно 

повысить точность выхода по 

высоте на начало основного участка. Кроме 

того, эти дополнительные измерения можно 

использовать для повышения точности коррекции 

на основном участке, если их ввести 

в решающую функцию с соответствующими 

весами, вид которых уточняется в дальнейшем: 

g 

k 

= 

u 

/ σ 

s 

µ k ε 

( d ) 2 

µ k 

⋅θ0,5 

, (6) 

где k – номер измерения (дискретное время); 

µ - номер луча; 

s 

u µ k - энергия принятого сигнала 

µ -го луча в момент k (яркость); 

σ 

ε 

- 

СКО шума; d µ k 

- измеренная дальность до 

подстилающей поверхности вдоль µ -го луча 

в момент k; θ 

0,5 - ширина диаграммы направленности 

антенны (ДНА) по уровню половинной 

мощности. 

После основного участка коррекции 

РРС можно также не отключать и работать 

на один центральный луч и на участке пикирования. 

Если на конечном участке летательный 

аппарат (ЛА) интенсивно маневрирует 

по крену, то используются измерения луча, 

который ближе всех к вертикали. Эти дополнительные 

измерения так же, как и на предварительном 

участке, возможно, позволят 

повысить конечную точность как за счет увеличения 

объема информации, так и за счет 

уменьшения оставшегося времени t oct 

в (1). 

Эффективность использования конечного 

участка для повышения точности оценивается 

на математической модели системы коррекции. 

Таким образом, в логику измерений целесообразно 

ввести три участка и с учетом 

этого выбрать оптимальный профиль траектории, 

то есть высоту начала участка коррекции, 

его длину и угол наклона траектории. 

В конечную точность (4) вносит свой 

вклад не только собственно алгоритм КЭО, 

но и профиль траектории, логика измерений 

и способ обработки сигнала РРС. Поэтому 

необходим системный подход к выбору облика 

системы коррекции и ее параметров. 

Выбор облика системы должен начинаться 

с анализа общего баланса ошибок (1) и чувствительности 

каждой составляющей к тому 

или иному техническому решению. Идеальным 

средством для такого системного проектирования 

является имитационная математическая 

модель системы коррекции, в которую 

входит подробная модель РРС, модель 

ГФП, бесплатформенной инерциальной навигационной 

системы (БИНС) и модель движения 

ЛА. Испытания на летающей лаборатории 

используются для подтверждения правильности 

принятых технических решений 

и идентификации некоторых трудно формализуемых 

параметров математической модели. 

Степень совпадения точности системы 

коррекции, полученной на летных испытаниях, 

с данными математической модели является 

критерием ее адекватности. 

2. Обзор известных алгоритмов 

Все алгоритмы КЭО можно разделить 

на две большие группы: поисковые и беспоисковые 

[3-7]. Основу беспоисковых алгоритмов 

составляет обобщенный фильтр Калмана 

(ОФК), позволяющий непрерывно оценивать 

весь вектор параметров ПИУ, заданный 

выражением (5). Принято считать [4-7], что 

фильтр Калмана является оптимальным в том 

смысле, что не существует другого алгоритма, 

обеспечивающего более высокую точность 

по критерию (4). Недостатком этого 

алгоритма является то, что начальная зона 

неопределенности по положению должна 

быть небольшой, меньше радиуса корреляции 

рельефа. Это условие для реальных СУ 

132


с ПИУ, и особенно с БИНС, никогда не выполняется. 

Поэтому на первом этапе работы 

системы коррекции может быть использован 

только поисковый алгоритм, основанный на 

переборе гипотез в пространстве оцениваемых 

параметров ПИУ (4). Для каждой гипотезы 

вычисляется значение решающей функции, 

являющейся мерой близости от данной 

гипотезы до истинной, для которой решающая 

функция принимает экстремальное значение. 

Очевидно, что сплошной перебор гипотез 

во всем пространстве параметров ПИУ 

принципиально невозможен в силу «проклятия 

размерности», и развитие вычислительной 

техники вряд ли изменит это положение 

даже в отдаленной перспективе. Попытка 

обойти эту трудность путем использования 

методов математического программирования 

для поиска глобального экстремума решающей 

функции наталкивается на проблему сходимости 

метода [3]. 

Разработчики первых систем коррекции 

решали проблему размерности путем сведения 

многомерного перебора к двумерному 

перебору гипотез только по плановым координатам. 

Для систем коррекции с многолучевым 

радиовысотомером перебор по вертикальной 

координате устранялся введением 

небольшого предварительного участка измерения 

высоты. Кроме того, выделение из измеренного 

профиля рельефа линейного тренда 

позволяет достаточно точно оценить параметры 

∆ y и 

∆ vy 

из (5). 

Измеренные профили рельефа вдоль 

трасс центров пятен засветки рассматриваются 

как измеренная текущая карта местности 

(ТКМ). При двумерном переборе гипотез 

влияние неоцениваемых параметров ПИУ 

из (5) сводится к искажениям ТКМ, главные 

из которых – поворот ТКМ, вызванный ошибкой 

∆ v , и искажение масштаба, вызванное 

z 

ошибкой ∆ vx 

. Большие величины этих искажений 

при коротких малоинформативных 

участках коррекции приводят к захвату боковых 

лепестков решающей функции (ложных 

экстремумов) и ставят проблему надежности 

привязки наряду с точностью. Эта проблема 

решалась ужесточением требований к 

ПИУ по всем неоцениваемым параметрам. 

Точные платформенные ПИУ этим требованиям 

всегда удовлетворяли. Ясно также, что 

неоцениваемые параметры ПИУ всегда ухудшают 

конечную точность (4) поисковых алгоритмов 

как по причине их прямого влияния 

(1), так и по причине уменьшения крутизны 

главного лепестка решающей функции 

в области экстремума. 

Повышение точности поисковых алгоритмов 

за счет расширения пространства перебора 

было невозможно из-за крайне ограниченных 

возможностей специализированного 

вычислительного устройства (СВУ) системы 

коррекции. В такой ситуации усилия 

проектировщиков КЭНС были направлены 

на разработку алгоритмов, устойчивых к масштабным 

и угловым искажениям. Достаточно 

полный обзор этих методов изложен в [10]. 

Но уже был очевиден путь значительного 

повышения точности системы коррекции и 

доведения ее до потенциально возможного 

уровня за счет использования многоэтапных 

комбинированных алгоритмов [1, 6] и извлечения 

дополнительной информации из сигнала 

некогерентного многолучевого радиовысотомера. 

На первом этапе используется поисковый 

алгоритм со сплошным перебором гипотез 

с крупным шагом по плановым координатам 

и, если позволяет вычислительное устройство, 

то и по скорости. Первый этап заканчивается 

выдачей в центральный вычислитель 

СУ грубой поправки, которая сразу же 

отрабатывается. На втором этапе предпочтительно 

должен использоваться беспоисковый 

алгоритм на основе обобщенного фильтра 

Калмана как имеющий наивысшую достижимую 

точность. Возможно построение многоэтапного 

алгоритма, у которого на втором 

этапе используется тот же поисковый алгоритм, 

что и на первом этапе, но с уменьшенным 

шагом перебора гипотез. Такой способ 

построения многоэтапных алгоритмов рассматривался 

в НПОА в конце восьмидесятых 

годов как дальнейшее развитие системы коррекции. 

Нынешний этап развития СУ ЛА характеризуется 

всеобщей тенденцией использования 

малогабаритных БИНС вместо платформенных 

инерциальных систем (ИНС). 

133


При этом обязательным требованием является 

комплексирование БИНС с какой-нибудь 

системой коррекции (чаще всего с СНС) на 

основе ОФК. Но точность БИНС по всем параметрам 

(5) на порядок и более хуже, чем у 

платформенных ИНС. Поэтому необходимо 

практически заново провести весь объем расчетно-теоретических 

работ по исследованию 

алгоритмов КЭО и достижимой точности для 

СУ на основе БИНС и РРС. 

Дополнительная информация, которую 

можно извлечь из сигнала РРС, не изменяя 

ее конструкции, – это уровень отраженного 

сигнала (радиояркость), доплеровский сдвиг 

частоты и спектр огибающей. Использование 

доплеровскго сдвига частоты для оценки 

ошибок БИНС по скорости может быть весьма 

полезным, но требует проведения расчетно-теоретических 

работ для оценки его эффективности. 

Доплеровский сдвиг, возможно, 

может быть использован и для алгоритмического 

повышения разрешения РРС [8, 9], 

что позволит существенно увеличить объем 

информации в измеренной ТКМ. Это также 

требует проведения большого объема расчетно-теоретических 

работ. 

Извлечение таких параметров, как радиояркость 

и спектр огибающей, в принципе 

ставит вопрос о возможности использования 

дополнительного ГФП – поля радиояркостных 

контрастов земных покровов. В 

силу сезонно-погодной изменчивости радиояркостного 

поля вся необходимая информация 

содержится только в границах, разделяющих 

однородные контрастные зоны. Был 

разработан алгоритм навигации по границам 

радиояркостных контрастов и комплексирования 

этих данных с данными рельефометрического 

канала КЭНС. Его эффективность 

проверялась в самолетных испытаниях по г- 

раницам перепадов высот зданий городской 

застройки при полете на небольшой высоте. 

Однако для обнаружения момента пересечения 

радиояркостной границы таких 

объектов, как дороги и реки, требуется очень 

высокое разрешение РРС и большая частота 

выдачи данных при достаточно большой высоте 

полета. Обеспечение этих условий – 

крайне трудоемкая задача. В любом случае 

оценка эффективности использования радиояркостного 

поля требует проведения весьма 

значительного объема не только расчетнотеоретических 

работ, но и экспериментов на 

летающей лаборатории. 

Радиояркость, извлекаемая из сигнала 

РРС, может оказаться полезной и для рельефометрической 

КЭНС. Измерения дальности 

до подстилающей поверхности имеют разную 

точность в различных точках траектории 

и для различных лучей. Точность измерения 

дальности зависит от отношения сигнал-шум, 

а сигнал - это радиояркость. Следовательно, 

измеряя радиояркость, можно 

каждому измерению присвоить вес, пропорциональный 

яркости. Кроме того, одна из 

составляющих ошибки смещения РРС зависит 

от типа подстилающей поверхности, а 

следовательно, и от яркости, что можно учитывать 

в алгоритме КЭО для повышения его 

точности. 

3. Разработка базового 

поискового алгоритма КЭО 

Рельефометрическая КЭНС работает на 

основе сравнения измеренного профиля рельефа 

с эталонными профилями, вычисляемыми 

по эталонной карте местности (ЭКМ). 

Измеренная высота рельефа и координаты 

точки пересечения осей ДНА с земной поверхностью 

по данным БИНС в к-ый момент 

времени для середины временного интервала 

накопления отраженных импульсов вычисляются 

по формулам: 

( ) 

uz 

hµκ = yκ + dµκ ⋅e 

µκ 

2 ; 

() 

uz 

xµκ = xκ + dµκ ⋅e 

µκ 

1 ; 

( ) 

3 ; 

uz 

zµκ = zκ + dµκ ⋅e 

µκ 

r 

r 

r 

(7) 

где x κ 

, y κ 

, z κ 

- положение центра масс ЛА в 

системе координат ЭКМ; d µκ - дальность до 

подстилающей поверхности, измеренная лучом 

с номером µ ; e µκ - орт луча µ в 

r 

системе 

координат (СК) ЭКМ в момент k; 

uz 

x µκ , 

uz 

z µκ - координаты точки пересечения луча µ 

в СК ЭКМ; - измеренная высота рельефа для 

луча µ . 

134


Относительно точки x , z строится 

двухмерная сетка гипотез о положении центра 

масс ЛА с шагом перебора гипотез ∆ . 

Предполагается, что ошибка ИНС по 

высоте частично скомпенсирована на предварительном 

участке коррекции, и поэтому 

гипотезы по высоте не строятся. 

Для каждой гипотезы в узлах сетки вычисляется 

эталонная высота 

решающая функция вида 

µ m k= 1 µ = 1 i= 

1, 

j= 

1 

k 

k 

эt 

h µ kij из ЭКМ и 

N µ mim, 

jm 

1 

2 

uz uz эt 

Fij 

= ∑∑∑ ( hµκ −hµκ −hµ 

kij ) , (8) 

N⋅ где N - количество измерений; µm - число лучей; 

k - номер текущего измерения(дискретное 

время); i, j - номера узлов гипотезной 

сетки; im, jm - размер гипотезной сетки; 

uz 

hµκ aµ bµ 

k 

= + ⋅ - среднее значение в измеренном 

профиле рельефа. 

Здесь среднее значение - это линейный 

тренд измеренного профиля. Коэффициенты 

a µ , b µ вычисляются рекуррентным методом 

наименьших квадратов и представляют собой 

линейные составляющие суммарной ошибки 

БИНС и РРС. 

При такой записи решающей функции 

предполагается, что линейный тренд выделен 

и в ЭКМ, в противном случае линейный 

тренд выделяется из разности измеренного 

и эталонного профиля. В таком представлении 

измеренный и эталонный профили рельефа 

рассматриваются как центрированные 

псевдослучайные процессы. 

Для истинного местоположения решающая 

функция (8) принимает минимальное 

значение. Поскольку истинное значение минимума 

находится между узлами гипотезной 

сетки, то в окрестности минимальной гипотезы 

решающая функция аппроксимируется 

поверхностью второго порядка методом наименьших 

квадратов и точка ее минимума принимается 

за оценку местоположения. Можно 

также в окрестности минимальной гипотезы 

вычислять центр тяжести решающей 

функции. Процедура уточнения координат по 

центру тяжести, известная как алгоритм центроиды, 

широко применяется в оптических 

системах обнаружения и измерения координат 

точечных объектов. Поправки к показаниям 

ИНС 

∆ v вычисляются по фор- 

y 

мулам 

1 

∆y 

= 

µ m 

∆V 

y 

1 

= 

µ m 

µ m 

∑ 

µ = 1 

∆ y и 

a 

µ m 

∑ 

µ = 1 

µ 

b 

; 

µ 

. 

(9) 

Рассмотренный базовый алгоритм 

очень близок к классическому корреляционному 

алгоритму с центрированием и нормированием. 

Из теории статистических решений 

[3-5] следует, что этот алгоритм является оптимальным 

для некоторых специфических 

условий, а именно: ИНС имеет ошибки только 

по положению, все остальные ошибки в 

(5) отсутствуют; гипотезы равновероятны; 

ошибки измерений радиовысотомера и ЭКМ 

являются флуктуационными, стационарными, 

некоррелированными; нет ошибок смещения, 

зависящих от рельефа и типов земных 

покровов; все измерения равноточные. 

Очевидно, что для любой реальной системы 

коррекции эти условия никогда не выполняются 

и, следовательно, алгоритм (8) не является 

оптимальным, то есть не обеспечивает 

предельно достижимую точность в смысле 

(4) при имеющемся объеме информации в 

измерениях радиовысотомера. 

Как указывалось выше, предельно достижимую 

точность обеспечивает только двухэтапный 

алгоритм, на втором этапе которого 

используется беспоисковый алгоритм на 

основе ОФК. Поэтому назначением поискового 

алгоритма является обеспечение условий 

работы ОФК второго этапа. Исходя из 

этого, и должны быть сформулированы требования 

к поисковому алгоритму первого этапа 

как к алгоритму предварительной коррекции. 

Несмотря на то, что эвристический алгоритм 

(8) является предварительным, он 

может и должен быть улучшен. Это необходимо 

главным образом для предельного 

уменьшения длительности первого этапа с 

135


тем, чтобы как можно раньше перейти ко второму 

этапу с ОФК, когда коррекция становится 

непрерывной, а основная величина 

промаха уже выявлена и отрабатывается СУ. 

Раннее выявление основной части промаха 

значительно повышает устойчивость СУ к 

противодействию работе РРС. 

4. Пути повышения точности 

рельефометрической КЭНС 

Для учета ошибок измерений из-за разности 

точности каналов решающая функция 

(8) записывается с весами в виде 

F 

g 

h 

ij 

µ k 

uz 

µκ 

1 

= 

N ⋅ µ m 

= 

= a 

s 

2 

( uµ 

k 

/ σ 

ε 

)/ 

( d 

µ k 

⋅θ0, 

5) 

s 

2 

∑∑uµ 

k 

/ ( d 

µ k 

⋅θ0, 

5) 

k 

µ 

µ 

+ b 

N 

⋅ k , 

µ m im , jm 

∑∑∑ 

k = 1 µ = 1 i= 

1, 

j= 

1 

µ 

g 

µ k 

uz uz эt 

( h − h − h ) 

µκ 

; 

µκ 

µ kij 

2 

; 

(10) 

где N - количество измерений; µm - число лучей; 

s 

u µ k - энергия принятого сигнала в момент 

k (яркость); σ 

ε 

- СКО шума; d µ k - измеренная 

дальность до подстилающей поверхности 

µ-го луча в момент k; θ 

0,5 

- ширина 

ДНА по уровню половинной мощности; 

uz 

h µκ - 

измеренная высота рельефа для луча µ по дан- 

эt 

ным БИНС; h µ kij - высота рельефа из ЭКМ 

для луча µ и гипотезы с номером i, j; k - номер 

измерения; µ - номер луча. 

В процессе исследований вид весовых 

коэффициентов (10) был уточнен. 

При больших ошибках БИНС по составляющим 

скорости ∆ v , 

x 

∆ v на малоинформативных 

участках может возникнуть си- 

z 

туация, когда уровень боковых лепестков решающей 

функции (10) будет превышать уровень 

главного лепестка. Может потребоваться 

весьма значительная длина участка коррекции, 

когда уровень главного лепестка превысит 

уровень боковых на заданную величину. 

В этом случае основной промах будет выявляться 

поздно и может не хватить времени 

для проведения второго этапа коррекции на 

основе ОФК. Для того, чтобы избежать такой 

ситуации, необходимо имеющийся ресурс 

вычислителя использовать на перебор 

гипотез по скорости 

∆ vz 

или даже по vz 

∆ и 

v x 

∆ . 

Для того, чтобы сравнивать получающуюся 

точность поискового алгоритма с потенциально 

достижимой, необходимо вернуться 

к вопросу о разработке оптимального 

поискового алгоритма на основе теории статистических 

решений для полного комплекса 

условий работы реальной КЭНС. 

Точность измерений центрального луча 

в (10) будет выше, если сопровождение отраженного 

сигнала производится не по центру 

тяжести огибающей, а по переднему фронту. 

В этом случае ошибки БИНС по углам и 

ошибки юстировки оси ДНА центрального 

луча не влияют на точность КЭНС. Кроме 

того, вследствие возникающего стробирования 

энергия отраженного сигнала собирается 

не со всего пятна рассеяния, а только в 

относительно небольшой окрестности подрадарной 

точки. Следовательно, разрешение 

центрального луча выше, чем у боковых, и 

по центральному лучу поступает больший 

поток информации. Если к тому же ширину 

следящих стробов изменять адаптивно в зависимости 

от уровня принятого сигнала, то 

в последней части участка коррекции, имеющей 

меньшую высоту, разрешение центрального 

луча можно еще больше повысить. 

Поскольку земные покровы не являются 

строго ламбертовскими отражателями и в 

отраженном сигнале наряду с диффузной 

имеется зеркальная составляющая, то уровень 

отраженного сигнала центрального луча 

всегда выше, чем у боковых и, следовательно, 

выше отношение сигнал/шум. 

Разрешение боковых лучей в боковом 

направлении тоже можно повысить, если ввести 

стробирование относительно центра тяжести 

отраженного сигнала. Такая возможность 

у боковых лучей меньше, чем у центрального 

из-за влияния зеркальной составляющей 

отраженного сигнала. 

Возможно, и в продольном направлении 

разрешение боковых лучей можно повысить, 

если использовать доплеровский сдвиг час- 

136


тоты и так называемый алгоритм сверхразрешения 

[8,9]. 

Для каждого момента поступления данных 

и вычисления решающей функции (10) 

выполняется поиск локальных экстремумов 

во всей зоне неопределенности. Когда глобальный 

экстремум решающей функции станет 

меньше локальных на заданную величину, 

положение глобального экстремума уточняется 

либо по алгоритму центроиды, либо 

путем аппроксимации решающей функции 

поверхностью второго порядка. Вычисляются 

поправки к показаниям БИНС, и СУ начинает 

отрабатывать выявленный промах. На 

этом заканчивается первый этап коррекции 

и КЭНС переходит на второй этап, основанный 

на ОФК и непрерывной коррекции. Измерения, 

выполненные на первом этапе основного 

и предварительного участка, не теряются, 

а запоминаются в стойком ОЗУ, возможно 

со сжатием, и используются на втором 

этапе. 

Как следует из сказанного, первый этап 

коррекции является адаптивным, его длительность 

не задана жестко, а зависит от информативности 

рельефа, по которому проходят 

трассы центров пятен засветки. Коррекция 

основного промаха выполняется сразу, как 

только выполнятся условия по надежности 

привязки, которая определяется вероятностью 

захвата ложного экстремума решающей 

функции (ее бокового лепестка). 


1. Гурский Б. Г. Основы теории систем 

управления высокоточных ракетных комплексов 

сухопутных войск / Б. Г.Гурский, 

М. А.Лющанов, Э. П.Спирин и др. – М.: Издво 

МГТУ им Н.Э.Баумана, 2001. 

2. Антимиров В. М. Вопросы построения 

специализированных вычислителей для 

задач навигации по картам местности / 

В. М.Антимиров // Материалы XIV конференции 

памяти Н. Н. Острякова. – Ленинград: 

ЦНИИ «РУМБ». - 1985. – С.25-28. 

3. Белоглазов И. Н. Основы навигации 

по геофизическим полям / И. Н Белоглазов, 

Г. И Джанджгава, Г. П Чигин. – М.: «Наука», 

1985. 

4. Красовский А. А. Теория корреляционно-экстремальных 

навигационных систем 

/ А. А. Красовский, И. Н. Белоглазов, Г. П. Чигин. 

– М.: «Наука», 1979. 

5. Белоглазов И. Н. Корреляционно-экстремальные 

системы / И. Н. Белоглазов, 

В. П. Тарасенко. – М.: «Сов. Радио», 1974. 

6. Силаев А. И. Комбинированный алгоритм 

оценивания в корреляционно-экстремальных 

навигационных системах / А. И.Силаев, 

В. А.Стефанов, Г. П. Чигин // Известия 

АН СССР. Техническая кибернетика. – 1984. 

- №6. – С. 12-16. 

7. Баклицкий В. К. Методы фильтрации 

сигналов в корреляционно-экстремальных 

навигационных системах / В. К.Баклицкий, 

А. Н.Юрьев. – М.: «Радио и связь», 1986. 

8. Василенко Г. И. Теория восстановления 

сигналов: от редукции к идеальному прибору 

в физике и технике. – М.: «Сов. Радио», 

1979. 

9. Василенко Г. И. Восстановление 

изображений / Г. И. Василенко, А. И.Тараторкин, 

В. М.Гинзбург. – М.: Радио и связь, 1986. 

10. Бочкарев А. М. Корреляционно- экстремальные 

навигационные системы // Зарубежная 

радиоэлектроника. - 1981. - №9. - 

С.19-23. 

DEVELOPING THE BASIC ALGORITHM OF GEOPHYSICAL FIELD 

CORRECTION SUBSYSTEM 

© 2007 V. M. Antimirov 

Voronezh State Forestry Technological Academy 

The paper discusses the peculiarities of constructing the algorithmic foundation of a relief correlation-extreme 

navigational. 

137


УДК 621.793:7 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ 

НАПЫЛЯЕМЫХ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕННОМ ГАЗОТЕРМИЧЕСКОМ ПОТОКЕ 

© 2007 В. А. Барвинок, В. И. Богданович, Е. А. Ананьева 


Решена задача математического моделирования динамики движения напыляемых частиц в плазменном 

газотермическом потоке. Проведенные исследования показали существенное влияние на динамику движения 

напыляемых частиц вида феноменологического закона для коэффициента лобового сопротивления, учета потери 

импульса плазменной струей при ускорении этих частиц и их диаметра. Установлено, что при большой 

дисперсии диаметров напыляемых частиц они попадают на поверхность детали с различными скоростями и 

существенной сепарацией частиц в пятне напыления. Проведенные исследования позволили по результатам 

математического моделирования сформулировать требования к допустимой дисперсии диаметров частиц, используемых 

для напыления, и за счет выбора способа подачи порошка в анодный канал уменьшить сепарацию 

частиц в пятне напыления. 

Известно [1-5], что покрытия, получаемые 

плазменным газотермическим методом, 

позволяют существенно повысить эксплуатационные 

свойства деталей различных изделий 

машиностроения. 

Защитные свойства плазменных покрытий 

и их качество определяются физико-химическими 

характеристиками порошковых 

материалов и материалов детали, характеристиками 

средств технологического оснащения 

процесса, кинематической схемой и режимами 

напыления и, как показывают многочисленные 

исследования [2-5,7], в конечном 

счете, деформационными, тепловыми и 

топохимическими явлениями при взаимодействии 

частицы порошка с поверхностью. В 

связи с тем, что кинетика этих явлений зависит 

от таких физических параметров, как скорость, 

температура и теплосодержание напыляемых 

частиц, является естественным наличие 

достаточно большого числа публикаций 

[2-5,7,8], посвященных определению или теоретической 

оценке этих параметров. 

Проведенный анализ показывает, что 

основная сложность моделирования этих 

процессов заключается в корректной постановке 

математической модели и выборе граничных 

условий в соответствии с особенностями 

плазменного газотермического напыления. 

Эти особенности моделирования плазменного 

газотермического напыления, имеющие 

значимое влияние на анализируемые 

параметры, не в полной мере, или схематически, 

или неверно отраженные в цитированных 

публикациях, заключаются в следующем. 

Напыляемый порошковый материал, 

имеющий достаточно большую дисперсию 

размеров, вводится в высокотемпературную 

часть плазменной струи по направлению, 

близкому к нормали ее оси. Это приводит к 

тому, что частицы различного диаметра будут 

иметь различные траектории движения 

и различное время нахождения в высокотемпературной 

части, а следовательно, их скорости 

и температуры будут также различными. 

Поэтому на поверхность конденсации 

падает поток частиц, сепарированный в пространстве 

по размерам, скоростям и температурам. 

Однако в цитированных литературных 

источниках отсутствуют сведения о количественной 

оценке этого явления и его влиянии 

на качество покрытий. 

Ускоряя твердую частицу, плазменная 

струя теряет часть своего импульса. Это приводит 

к необходимости учета влияния расхода 

порошка на динамические характеристики 

газового потока. Необходимость учета этого 

эффекта и оценка его существенного влияния 

приведена в [2-4]. Однако в публикациях 

об исследовании движения частиц при 

плазменном напылении этот эффект не учитывается, 

и, более того, использованный в 

[2-4] подход приводит к неверному физичес- 

138


ки результату, анализ которого будет в дальнейшем 

проведен в статье. 

Уравнения динамики движения частиц 

в газовом потоке строятся на феноменологическом 

введении [2,8,9] ускоряющей силы F 

и основного экспериментального определяемого 

параметра – коэффициента лобового 

сопротивления частицы C 

x 

: 

F 

x 

где 

2 

( U − V ) ⋅ C ⋅ S , 

= 0,5 ⋅ ρ ⋅ 

(1) 

Г 

x 

ρ – плотность газа в потоке, 

Г 

U – ско- 

рость газового потока в направлении x , V 

x 

– 

скорость частицы вдоль направления U движения 

потока, S 

м 

– площадь миделевого сечения 

частицы. 

Экспериментально установлено [8, 14], 

что для частиц с неправильной, но округлой 

формой, без резких выступов коэффициент 

лобового сопротивления на стадии установившегося 

обтекания дозвуковым потоком 

определяется числом Рейнольдса 

( U −V 

) D ν 

Re = . Здесь D – характерный линейный 

размер частицы, определяемый через 

площадь ее миделевого сечения 

x 

м 

S 

м 

на 

основе соотношения D = 4S 

м 

/ π ; ν -кинематическая 

вязкость газового потока. При 

малых Re ( Re >1, либо используются одночленные 

зависимости (2) с другими значениями 

параметров (например, в [11] с C 

0 

= 9,8 и 

k = 0,5) без оценки погрешностей применения 

таких соотношений. 

Таким образом, проведенный анализ 

работ в области исследования динамики движения 

напыляемых частиц в плазменной газотермической 

струе показал, с одной стороны, 

важность таких исследований для получения 

качественных покрытий, а с другой 

стороны, наличие вопросов, которые не рассмотрены 

или рассмотрены не в полном объеме 

или не вполне корректно. В связи с этим 

были проведены комплексные экспериментальные 

и теоретические исследования динамики 

движения и нагрева напыляемых частиц 

в плазменной струе на всей ее протяженности 

от плазмотрона до поверхности 

изделия. В настоящей статье приведена часть 

таких исследований, связанная с динамикой 

движения частицы в наиболее прогретой 

части плазменной струи с учетом указанных 

особенностей процесса, которые и предопределяют 

новизну поставленной задачи математического 

моделирования. 

Постановка задачи математического 

моделирования заключается в следующем. 

Ускоренный дозвуковой осесимметричный 

поток газотермической плазмы вытекает через 

цилиндрический канал анода плазмотрона 

в окружающее пространство (рис. 1). 

139


Рис. 1. Схема к расчету параметров 

плазменной струи и траектории движения (1, 2) 

напыляемых частиц 

При теоретическом описании плазменных 

струй плазмотронов с достаточной точностью 

для технологий получения покрытий 

используются следующие модельные представления. 

В плазменной струе выделяются 

визуально наблюдаемые три характерных 

участка – начальный, переходный и основной. 

Начальный участок, отсчитываемый от 

среза сопла анода (рис. 1, поз. ВВ 1 

), состоит 

из ядра струи (рис. 1, поз. ВЕВ 1 

) и зоны смешения 

(рис. 1, поз. СВЕ и поз. С 1 

В 1 

Е), в которой 

происходит смешивание газа плазменной 

струи с газом в окружающем пространстве, 

радиальный перенос импульса и энергии с 

плавным изменением параметров струи от 

начальных значений в ее ядре до значений 

этих параметров в окружающем пространстве. 

При этом внешняя и внутренняя границы 

зоны смешения с хорошим приближением 

моделируются коническими поверхностями. 

Экспериментально установлено, что с 

высокой точностью в зоне установившегося 

течения плазмы в анодном канале плазмотрона 

и в ядре струи параметры потока имеют 

в различных точках постоянные значения, за 

исключением тонкой зоны пограничного слоя 

на внутренней поверхности цилиндрического 

анодного канала. 

Будем считать, что частицы порошкового 

материала, имеющие форму, близкую к 

сферической, вводятся в цилиндрический 

канал анода плазмотрона перпендикулярно 

его оси в области установившегося течения 

плазмообразующего газа (рис. 1). Ввод частиц 

осуществляется с помощью холодного 

транспортного газа, химический состав которого 

близок к химическому составу плазмообразующего 

газа. Функциональное назначение 

транспортного газа состоит в создании 

газовзвеси с максимально однородным распределением 

частиц по объему и сообщении 

частицам скорости вдоль оси y (рис. 1), достаточной 

для их проникновения в центральную 

часть плазменной струи, но не приводящей 

к столкновению этих частиц с внутренней 

поверхностью анодного канала плазмотрона. 

При этом расход транспортного газа не 

должен приводить к существенному затормаживанию 

и захолаживанию (снижению энтальпии) 

образующейся смеси. Обеспечение 

перечисленных условий введения порошка в 

газотермическую плазму достигается соответствующим 

выбором технологического режима 

подачи порошка. Под действием газового 

потока частицы, имеющие начальную 

скорость вдоль оси y , ускоряются и движутся 

по некоторым траекториям, показанным 

для примера на рис. 1 линиями 1 и 2. Будем 

считать, что выбором режима расхода порошка 

реализуется ситуация, при которой частицы 

порошка не сталкиваются между собой в 

потоке, и, следовательно, уравнения движе- 

140


ния для каждой частицы являются индивидуальными. 

При этом будем предполагать, 

что в процессе движения частиц не происходит 

изменения их формы и размеров, то есть 

не происходит дробления частиц, а сублимация 

и эрозия материала с их поверхности 

незначительны. Кроме того, будем считать, 

что составляющая ускоряющей силы в направлении, 

перпендикулярном оси потока, 

существенно меньше составляющей вдоль 

оси [2, 8] и на частицу действует только сила 

ускорения (1) вдоль оси x (рис. 1), которая 

приложена к ее центру масс. 

С учетом сделанных допущений уравнение 

движения индивидуальной частицы, 

введенной в газотермический поток в соответствии 

со схемой, представленной на 

рис. 1, можно записать в виде 

m 

2 

( dV dt) ( U −V 

) C S 2 

x 

V 0 

= ρ , 

Г 

V y 

= , V ( 0) = 0 , (3) 

3 

где m ρπD 6 

x 

= и ( ) k 

x 

x 

Cx 

C0 

м 

= Re – масса, а, 

площадь миделевого сечения и коэффициент 

лобового сопротивления шаровой частицы, 

соответственно; V 

x 

и V 

y – компоненты ско- 

рости ее центра масс; ρ 

Г 

- плотность газового 

потока. 

В связи с тем, что, ускоряя частицу, газовый 

поток теряет часть своего импульса, из 

закона сохранения импульса вдоль оси x получим 

d ( mV X 

) = - d ( U ) 

m Г 

, (4) 

где m 

Г 

– масса газа, приходящаяся на одну 

частицу. В (4) пренебрегаем потерями импульса 

на трение в газе и трение о внутреннюю 

поверхность анодного канала плазмотрона 

и изменением давления газа в «затопленной» 

газотермической струе. 

При решении системы уравнений (3, 4) 

и нахождении скоростей и траекторий движения 

частиц выделим две области. Первая 

– это область, в которой параметры газотермической 

струи ( U ,ρ ,ν ) 

0 Г 

до введения напыляемых 

частиц постоянны (область анодного 

канала плазмотрона и область ядра струи). 

Вторая – это область, в которой эти параметры 

являются функциями координат x и y (зона 

смешения, переходная зона и зона основного 

течения струи). 

Рассмотрим движение частиц в первой 

области. 

Введя новые параметры V ~ 

х 

= Vx 

U0 

и 

U 0 

U ~ ( x, y ) = U( x, y ) / и используя (2), запишем 

уравнение (3) в виде 

dV ~ = A 

x 

t 

( U ~ V ~ 2−k 

− ) dt 

x 

. (5) 

Учитывая, что d Vx dt = Vx 

dVx 

dx , 

уравнение (5) представим следующим образом: 

V ~ {( U ~ V ~ 2−k 

d A ) V ~ 

x 

= 

x 

− 

x x}dx 

, (6) 

A = 3⋅С 

ρ 

t 

A 

k 1−k 

1+ 

k 

0 

⋅ ρ 

Г 

⋅ν 

U0 

4 ⋅ ⋅ D , 

= x 

Аt 

U . (7) 

0 

Выполняя интегрирование в (4) по 

оси x в пределах первой области от х=0 

( U ( 0) U0 ,V ( 0) = 0 

= 

x 

x и учитывая, что 

U( 

x 

G Г 

) до некоторого значения 

m m Г 

= G G , получим 

x ) = U 0 

−V 

⋅G 

, (8) 

где G и G 

Г 

- массовые расходы порошка и 

плазмообразующего газа, соответственно. 

Подставляя (8) в (5) и (6) и учитывая, 

что в этой области U 

0 

, 

A 

t 

и 

A 

x 

постоянны, 

получаем уравнение с разделяющимися переменными: 

Adt 

2− 

( 1−α ) k 

, 

G x 

2− 

( − ) k 

t 

= dV ~ 

x 

V ~ 

A dx 

x 

= V ~ 

x 

dV ~ 

x GV ~ 

x 

где = 1+ ( G ) 

α . 

G 

G Г 

1 α , V ~ x 

( 0 ) = 0 , (9) 

Выполняя интегрирование в (11) и (3) 

при условии 0 < k < 1, получим уравнение 

траектории движения частиц в первой области 

в параметрическом виде: 

141


1 ⎡ 1 

( ) ⎥ ⎥ ⎤ 

α 

G 

At 

t 

= ⎢ 

−1 

1−k 

1− 

k ⎢⎣ 

1− 

GV ~ , (10) 

α 

x ⎦ 

α 

2 

G 

A x 

x 

1 

= ⎢ 

−k 

( V ~ 1 

1− 

k ⎢⎣ 

1−αG 

x 

) 

( V ~ k 

1−α 

) 

1 

− [ 1− 

G X 

], 

k 

⎡ 

y 

c y , 0 

где 

1 

⎤ 

−1⎥ 

− 

⎥⎦ 

(11) 

= 0, 

5d 

−V 

t , (12) 

d 

c 

- диаметр анодного канала плазмотрона, 

V 

y, 0 - проекция скорости напыления 

частицы при ее выходе из транспортного канала 

и попадании в анодный канал плазмотрона. 

Учитывая, что в ряде работ, например 

[3, 4], рассматривается закон движения частиц 

(2) при k=0, соответствующий случаю 

очень больших чисел Re, а в ряде случаев используется 

закон движения при k=1, соответствующий 

случаю очень малых чисел Re (закон 

Стокса), получим связь V ~ x 

от х для этих 

законов. Проведя интегрирование в (9), будем 

иметь 

−1 

( 1−α 

V ~ ) + ( 1−α 

) −1 

2 

αG Axdx 

= ln 

G x 

GV ~ 

x 

при k=0, (13) 

α 

( 

GV ~ −1 

1−α 

x 

) −αG 

x 

2 

G 

Axdx 

= ln 

V ~ 

при k=1, (14) 

где A 

x 

определяются соотношением (9) для 

k = 0 и k = 1, соответственно. 

Отличие соотношений (13) и (14) от 

соотношений, приводимых, например, в 

[3, 4], заключается в том, что в этих работах 

оно получено при условии: V ~ 

x 


Рис. 2. Значение параметра α V ~ G Г x в зависимости от α 2 

G 

Ax x для разных законов движения частицы: 

Г 

1 - к=0; 2 - к=0,5; 3 - к=0,739; 4 - к=1; 5 – на основе соотношения (15) 

щего газа G на скорость частицы 

Г 

V ~ x 

при ее 

движении в первой области, рассчитанное по 

соотношению (11). 

Из графика видно, что использование 

достаточно традиционных значений расхода 

порошка на уровне G ≅ 015 , ... 0, 

25 г / с при 

также традиционных расходах плазмообра- 

Рис. 3. Относительная скорость частицы V ~ x 

Ax x 

в зависимости от параметра для различных 

значений относительных расходов порошка G G Г : 

1 - α 

G = 1; 2 - α 

Г 

G = 1,05; 3 - α 

Г 

G = 1,1; 

Г 

4 - α 

G = 1,2; 5 - α 

Г 

G = 1,3 

Г 

143 

зующих газов на уровне G ≅ 1... 

2 г / с приводит 

к достаточно большой потере импульса 

плазменной струей и существенному снижению 

скорости частицы на выходе из ядра 

плазменной струи. 

В работах [1, 5-7, 11] сотрудников НИИ 

технологий и проблем качества СГАУ получены 

следующие значения скоростей, энтальпии 

и температур в ядре плазменной струи 

для режимов работы плазмотрона ГКА-15: 

расход водорода – 0,01 г/с; аргона – 1,25; ток 

дуги – 400 А; напряжение дуги – 55 В; длина 

х А 

+ L 2 

мм; энтальпия 10,1 ⋅ 10 6 Дж/кг; температура 

– 10,71 ⋅ 10 3 К; скорость плазмы 

U 

0 

= 770 м/с; плотность газа – 0,044 кг/м 3 ; 

кинематическая вязкость – 5,5 м 2 /с; теплопроводность 

газа – 0,62 Вт/м К. Однако использовать 

полученные решения и указанные данные 

для нахождения скорости частиц на выходе 

из ядра плазменной струи можно только 

в том случае, когда известна траектория 

движения частицы во всей первой области, 

так как в зависимости от траектории (рис. 1) 

эти скорости будут различаться достаточно 

существенно. Подаваемый напыляемый порошок 

имеет достаточно большую дисперсию 

грануляции, то есть большой разброс 

частиц по диаметрам, который может быть 

представлен в виде некоторой гистограммы 

распределения по их размерам (рис. 4, б). 

Поэтому частицы различного диаметра будут 

не только ускоряться с различными скоростями 

вдоль х, но и из-за различия диаметров 

их начальные скорости V 

y , 0 подачи в анодный 

канал плазмотрона будут также различ-


Рис. 4. Частицы порошка ZrO 2 

+8Y 2 

O 3 

: а) внешний вид частиц в темном поле (Х100); б) гистограмма 

распределения частиц порошка ZrO 2 

+8Y 2 

O 3 

по среднему диаметру (в мкм) 

ны. На рис. 4а приведена фотография напыляемой 

фракции порошкового материала, а 

на рис. 4б – гистограмма распределения чиастиц 

напыляемого порошка по среднему диаметру. 

Из приведенных данных видно, что 

фракция напыляемого порошка ZrO 2 

+8Y 2 

O 3 

имеет большую дисперсию грануляции: от 

1,5 до 146 мкм. 

Частицы приобретают начальную скорость 

V 

y , 0 в транспортном канале при их разгоне 

транспортным азотом, скорость течения 

которого U Т 


Рис. 5. Траектории движения частиц ZrО 2 

в зависимости от их диаметра: 

1 – 80 мкм, 2 - 60 мкм, 3 - 40 мкм, 4 - 20 мкм, 5 - 10 мкм 

Таблица 1. Влияние величины диаметра частиц порошкового материала 

на их параметры 

Диаметр 

частицы, мкм 

Здесь 

V , 

, 

y o 

х 

я 

, м 

y 

я 

, м 

t 

я 

, сек 

V 

я 

, 

м/сек 

м/сек 

10 41,04 0,0202 -0,000588 8,9?10 -5 404,4 

20 20,52 0,0226 -0,000265 1,6?10 -4 261,0 

40 10,26 0,0246 0 2,9?10 -4 162,5 

60 6,84 0,0221 0,000332 3,8?10 -4 108,4 

80 5,13 0,01995 0,000617 4,7?10 -4 83,04 

V 

y , o - начальная скорость ввода частиц в сопло; х 

я 

, y 

я 

- координаты выхо- 

да частиц из ядра; t я 

- время пребывания частиц в ядре; V 

я 

- скорость частицы на 

выходе из ядра плазменной струи. 

Рис. 6. Время пребывания частицы в ядре (а) и скорость частицы на выходе из ядра (б) 

в зависимости от ее диаметра 

145


D 

2 и D 

0 

. Используя эти значения V 

y , 0 для D , 

1 

D 

2 и D 

0 

и используя (10)-(12), можно проанализировать 

ситуацию, характерную для 

реального режима напыления. 

Результаты расчета параметров частиц 

для фракции с диаметром центра группировки 

D 

0 

= 40 мкм показали, что траектории движения 

частиц с различными размерами диаметров 

отличаются существенно. При движении 

в ядре происходит сепарация потока, при 

этом на выходе из ядра на периферии оказываются 

мелкие, а в центре ядра – более крупные 

частицы (рис. 5). 

Различие траекторий движения частиц 

приводит к разнице таких параметров, как 

начальная скорость ввода частиц в сопло, 

скорость частицы на выходе из ядра плазменной 

струи и время ее пребывания в ядре. В 

таблице 1 представлены результаты расчета 

этих параметров. 

Из табл. 2 видно, что, например, начальная 

скорость мелких частиц (10 мкм) превышает 

почти в 4 раза начальную скорость частиц 

из центра группировки и в 8 раз начальную 

скорость крупных частиц, имеющих диаметр 

80 мкм. 

Скорости на выходе из ядра и время 

пребывания в ядре плазменной струи частиц 

диаметрами 10 и 80 мкм отличаются: 5,4 и 

4,8 раз, соответственно (табл. 2, рис. 6). 

Таким образом, проведенные исследования 

показали существенное влияние на 

динамику движения напыляемых частиц вида 

феноменологического закона для коэффициента 

лобового сопротивления, учета потери 

импульса плазменной струей при ускорении 

этих частиц и их диаметра. Установлено, что 

при большой дисперсии диаметров напыляемых 

частиц они попадают на поверхность 

детали с различными скоростями и существенной 

сепарацией частиц в пятне напыления. 

Проведенные исследования позволили 

по результатам математического моделирования 

сформулировать требования к допустимой 

дисперсии диаметров частиц, используемых 

для напыления, и за счет выбора способа 

подачи порошка в анодный канал уменьшить 

сепарацию частиц в пятне напыления. 


1. Барвинок В. А. Плазма в технологии, 

надежность, ресурс. – М.: Наука и технологии, 

2005. – 452 с. 

2. Нанесение покрытий плазмой / 

В. В. Кудинов, П. Ю. Пекшев, В. Е. Белащенко 

и др. – М.: Наука, 1990. – 408 с. 

3. Кудинов В. В. Плазменные покрытия. 

– М.: Наука, 1977. – 184 с. 

4. Кудинов В. В., Иванов В. М. Нанесение 

плазмой тугоплавких покрытий. – М.: 

Машиностроение, 1981. – 192 с. 

5. Барвинок В. А., Богданович В. И., 

Докукина И. А. Математическое моделирование 

и физика процессов нанесения плазменных 

покрытий из композиционных плакированных 

порошков.. – М.: Международный 

центр НТИ, 1998. – 96 с. 

6. Богданович В. И., Докукина И. А. 

Плазменная газотермическая технология нанесения 

специальных многофункциональных 

покрытий // Высокие технологии в обеспечении 

качества и надежности изделий машиностроения. 

– Самара: Изд-во СНЦ РАН, 

2004. – С. 168-188. 

7. Барвинок В. А. Управление напряженным 

состоянием и свойства плазменных 

покрытий. – М.: Машиностроение, 1990. – 

384 с. 

8. Донской А. В., Клубникин В. С. Электроплазменные 

процессы и установки в машиностроении. 

– Л.: Машиностроение, 1979. 

– 221 с. 

9. Китаев Ф. И., Лекарев Ю. Г. О скорости 

частиц напыляемого материала в плазменной 

струе // Вопросы технологии производства 

ЛА: Труды Куйбышев. авиац. ин-та, 

Вып.41. – Куйбышев: Изд-во «Волжская коммуна», 

1970. – С.124-135. 

10. Электродуговые генераторы термической 

плазмы./ М. Ф. Жуков, И. М. Засыпкин, 

А. Н. Тимошевский и др. – Новосибирск: 

Наука, 1999. – 712 с. 

11. Сивиркин В. Ф., Рогачев Н. М. Теоретическое 

и экспериментальное исследование 

турбулентной плазменной струи // Инженерно-физический 

журнал. – 1969. – Т.17, 

№ 3. – С. 437-446. 

12. Шлихтинг Г. Теория пограничного 

слоя. – М.: Наука, 1974. – 711 с. 

146


MATHEMATICAL MODELLING OF SPRAYED PARTICLE MOTION 

DYNAMICS IN PLASMA GAS THERMAL FLOW 

© 2007 V. A. Barvinok, V. I. Bogdanovich, Ye. A. Ananyeva 


The task of mathematical modelling of sprayed particle motion dynamics in plasma gas thermal flow is solved. 

The analysis shows that sprayed particle motion dynamics is greatly influenced by a kind of phenomenological law for 

drag coefficient, taking into account plasma jet momentum losses when particles are accelerated, as well as their diameter. 

It has been established that in case of great variance of sprayed particles’ diameter they strike the surface of the part at 

different velocities and with considerable particle separation in the spraying spot. The investigations carried out made 

it possible to formulate requirements for permissible particle diameter dispersion on the basis of mathematical modelling 

results and to reduce particle separation in the spraying spot by choosing the proper way of supplying powder to the 

anode channel. 

147


УДК 534.282 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ 

ДАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕННОСТИ ИХ ПАРАМЕТРОВ 

© 2007 С. К. Бочкарев, Г. М. Макарьянц, А. Б. Прокофьев, Е. В. Шахматов 


Рассматривается применение аналитической и численных моделей для расчета комплекса собственных 

характеристик реактивного гасителя колебаний давления рабочей жидкости. Показана сходимость результатов 

расчета по обеим моделям в низкочастотной области. В высокочастотной области отсутствие в аналитических 

моделях адекватного учета распределенности параметров расширительной полости гасителя приводит к завышению 

его расчетной эффективности, что может не обеспечить заданную работоспособность системы после 

установки в нее такого гасителя. Сформулированы достоинства и недостатки каждой из моделей, определены 

частотные области их применения. 

Важным фактором, снижающим надежность 

трубопроводных систем различных 

технических объектов, являются пульсации 

рабочей среды. Эффективным методом 

уменьшения динамической нагруженности 

трубопроводных систем от воздействия пульсирующего 

потока рабочей жидкости является 

применение гасителей колебаний давления 

[1, 2, 3]. Известные математические модели 

гасителей колебаний основываются на 

аналогиях, существующих между процессами 

в гидравлических и электрических цепях. 

При этом для анализа и описания динамических 

свойств гасителей колебаний оказалось 

возможным применение хорошо разработанного 

в электротехнике метода четырехполюсника. 

В этом случае динамические свойства 

гасителя полностью описываются матрицей 

передачи, с помощью которой устанавливается 

связь между комплексными амплитудами 

давления Ρ и расхода Q на входе и выходе 

устройства: 

⎡ P 

⎢ 

⎣Q 

вх 

вх 

⎤ ⎡A 

⎥ = ⎢ 

⎦ ⎣C 

B⎤⎡ 

P 

D 

⎥⎢ 

⎦⎣Q 

вых 

вых 

⎤ 

⎥ , 

⎦ 

где A( 

ω ), В( 

ω ), С( 

ω ) , D( 

ω ) - частотнозависимые 

коэффициенты матрицы передачи 

гасителя колебаний. 

В качестве комплекса собственных характеристик 

гасителей колебаний рассматривают 

коэффициент собственного затухания 

K 

с 

, а также волновые сопротивления со стороны 

входа Z 

с1 

и выхода Z 

с2 

, которые связаны 

с коэффициентами матрицы передачи соотношениями: 

Κс = AD + 

Ζ с 

= 

АВ 

СD 

1 , 

Ζ c 

= 

DB 

CA 

2 . 

BC 

, 

Коэффициент собственного затухания 

представляет собой отношение амплитуды 

пульсаций давления на входе гасителя к амплитуде 

пульсаций на выходе при его нагрузке 

на волновые сопротивления, т.е. когда 

Ζ 

вх 

= Ζ с1 

, 

вых 

Ζ с 2 

Ζ = . 

В своей структуре гаситель колебаний 

давления может содержать произвольное число 

реактивных и диссипативных элементов, 

соединенных параллельно или последовательно. 

Каждый элемент, в свою очередь, 

может быть представлен простейшим четырехполюсником. 

В работе [3] предложена 

математическая модель однокаскадного гасителя 

колебаний обобщенной структуры, схема 

которого приведена на рис. 1,а. Электрический 

аналог этого гасителя представлен на 

рис. 1,б. 

В данной статье в качестве примера рассматривается 

гаситель колебаний (рис. 2) схемы 

Б1 (в соответствии с классификацией ра- 

148


3 4 

2 

1 

Х L 

4 3 Х L1 

Х R1 

Х L2 

Х R2 

Х С 

а) б) 

Рис. 1. Принципиальная схема (а) и электрический аналог (б) однокаскадного гасителя колебаний 

обобщенной структуры: 1 – емкость ( Х 

С 

), 2 – индуктивность ( Х ), 3 – сопротивления ( 

L 

Х и 

R1 

Х ), 

R2 

4 – резонансные трубки ( Х и 

L1 

Х ) 

L2 

боты [3]). Он получается из обобщенной 

структуры (рис.1) при следующих значениях 

коэффициентов: 

L1 = ∝, R1 = ∝, L2 = ∝, R2 = 0. 

Математическая модель, предложенная 

в [3], позволяет определить соотношения для 

коэффициентов матрицы передачи гасителя 

при условии сосредоточенности параметров, 

т. е. при условии 

l . 

⎪⎩ 

LC 

К недостатку подобного метода моделирования 

следует отнести сложность учета 

распределенности параметров элементов га- 

149


Х L 

Х С 

а) б) 

Рис. 2. Принципиальная схема (а) и электрический аналог (б) рассматриваемого гасителя колебаний 

сителя, что при уменьшении длины волны до 

величин порядка размеров гасителя приведет 

к весьма существенным погрешностям определения 

комплекса собственных характеристик. 

Развитие вычислительной техники и 

методов численного моделирования позволяет 

определять собственные характеристики 

гасителей колебаний давления путем непосредственного 

решения волнового уравнения 

для заданной геометрической конфигурации 

рассматриваемой системы. На базе использования 

программного комплекса ANSYS 

разработана конечно-элементная параметрическая 

модель гасителя, схема которого представлена 

на рис. 2. Задача решалась в осесимметричной 

постановке с использованием 

встроенного в ANSYS языка программирования 

APDL. Геометрические параметры гасителя 

представлены на рис. 3. При построении 

модели использованы следующие допущения: 

1) жидкость – идеальная; эффекты, связанные 

с вязким трением, не учитываются; 

2) на границе «жидкость – структура» 

поглощение энергии звуковых волн отсутствует; 

3) корпус гасителя и центральный канал 

– абсолютно жесткие. 

Исследуемый гаситель колебаний имел 

следующие значения геометрических параметров: 

L en 

=0,3 м, L 3 

=0,245 м, r 1 

=0,01 м, 

r 2 

=0,007 м, r 4 

=0,03 м. Параметры рабочей 

жидкости: ρ = 870 кг/м 3 , скорость звука в жидкости 

а = 1300 м/с. 

Структура программного комплекса 

ANSYS не позволяет непосредственно определить 

величины частотнозависимых коэффициентов 

матрицы передачи. Для их определения 

была проведена серия численных 

экспериментов по следующей методике. Параметры 

А, В, C и D определялись путем проведения 

трех вычислительных экспериментов, 

предполагающих использование участка 

с известными динамическими характеристиками 

и определение комплексных амплитуд 

колебаний давления в трех сечениях рассматриваемой 

системы (рис. 4). При этом 

используется свойство пассивных четырехполюсников 

изменять места коэффициентов 

A и D в матрице передачи при перемене входа 

и выхода устройства. 

Обозначим на схеме (рис. 4): 

A 1 

, B 1 

, C 1 

, D 1 

– параметры участка с известными 

частотными характеристиками; 

A, B, C и D – искомые параметры гасителя 

колебаний. 

Запишем для заданной частоты: 

P1 

′ 

= A1 

P′ 

2 

P2 

′ 

= A1 

P′ 

3 

P′ 

2 

D 

= C + ; 

P′ 

Z′ 

Z′ 

3 

P′′′ 

1 

B 

= D + ; 

P′′′ 

Z ′′′ 

2 

P′′′ 

2 

= A1 

P′′′ 

3 

P2 

′′′ 

= C 

P′′′ 

Z′′′ 

3 

2 

2 

B1 

+ ; 

Z′ 

B 

+ ; 

Z′ 

B 

+ ; 

Z ′′′ 

1 

2 

н 

2 

н 

н 

D 

+ . 

Z′′′ 

н 

P1 

′′ B1 

⎫ 

= A1 

+ ; 

P 

⎪ 

2′′ 

Z2′′ 

⎪ 

P2 

′′ B ⎪ 

= D + ; 

P′′ 

′′ ⎪ 

3 

Zн 

⎪ 

P ′′ 

2 

A ⎪ 

= C + ; 

P′′ 

Z ′′ Z ′′ ⎪ 

3 2 

н 

⎬ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪⎭ 

(3) 

150

′′′ 


Р 1 

’ 

Р 1 

” 

1 

А 1 В 1 

С 1 D 1 

Р 2 

’ Р 3 

’ 

А 

С 

В 

D 

I 

Z 

II III 

2 

’ Z’ 

н 

2 3 

Р 2 

” 

Р 3 

” 

А 1 В 1 

С 1 D 1 

D 

С 

В 

А 

I ” II ” III 

Z 2 

Z н 

Р 1 

’” 

Р 2 

’” 

Р 3 

’” 

D 

С 

В 

А 

А 1 В 1 

С 1 D 1 

I Z 2 

’” II Z н 

’” III 

Рис. 3. Геометрические модель и параметры 

исследуемого гасителя колебаний 

Рис. 4. Схема реализации методики расчетного 

определения динамических характеристик 

гасителя колебаний по результатам трех 

вычислительных экспериментов: 

1 – сечения, для которых определяются комплексные 

амплитуды давления; 2 – элемент с известными 

частотными характеристиками; 

3 – исследуемый гаситель колебаний 

Примем граничное условие проводимых 

вычислительных экспериментов: 

Z н 

′ 

н 

= Z н 

′′ = Z′′′ 

= ∞, что обеспечивает наименьшую 

трудоемкость расчетов. Тогда для системы 

(3) получим следующее решение: 

P′ 

A = 

′ 

, 

B 

C 

C 

D 

P 3 

P′−′′ 

DP′′′ 

1 2 

= 

C1P 

, 

3 

P′− 

A P′ 

1 1 2 

= 

B1P′ 

, 

3 

P ′′− A P ′′ 

1 1 2 

= 

B1P′′ 

, 

3 

P′′ 

2 

= 

P′′ 

. 

3 

Одна из оценок точности определения 

коэффициентов матрицы передачи гасителя 

колебаний производится по совпадению значений 

коэффициента С в двух вычислительных 

экспериментах. При этом формула для 

определения С в обоих численных экспериментах 

неизменна. 

Другой оценкой точности является определение 

детерминанта матрицы передачи. 

Для пассивных четырехполюсников должно 

выполняться условие 

AD − BC = 1. 

За участок с известными динамическими 

характеристиками принимался отрезок 

прямолинейного трубопровода постоянного 

сечения с длиной l и радиусом r 1 

. Матрицу 

передачи этого участка с учетом изложенных 

выше допущений можно записать в виде 

⎡ jωl 

⎢ 

ch 

a 

⎢ 2 

⎢πr1 

jωl 

sh 

⎢⎣ 

ρa 

a 

ρa 

jωl 

⎤ 

sh 

2 

πr 

a ⎥ 

1 

⎥ 

jωl 

. (4) 

ch ⎥ 

a ⎥⎦ 

151


Результаты расчета коэффициента собственного 

затухания, волновых сопротивлений 

со стороны входа и выхода и частотнозависимых 

коэффициентов матрицы передачи 

гасителя колебаний в программном комплексе 

ANSYS с использованием предложенной 

методики и разработанной конечно-элементной 

модели представлены на рис. 5, 6 (кривая 

1). 

На этих же рисунках приведены результаты 

расчета по аналитической модели в сосредоточенных 

параметрах, базирующейся 

на обобщенной структурной схеме гасителя 

(кривая 2). Результаты представлены в безразмерных 

величинах: 

jBπr 

2 

1 

B = − , 

ρa 

Cρa 

C = , 

π 

2 

r 1 

Zc 

πr 

2 

Z = 1 1 

c1 , 

ρa 

Zc 

πr 

2 

Z = 2 1 

c2 . 

ρa 

Анализ графиков позволяет сделать 

вывод, что при ω < 2 различие результатов 

по этим двум моделям незначительное. Однако 

при ω > 2 появляется их качественное 

расхождение. Так, коэффициенты B и C для 

модели в сосредоточенных параметрах являются 

монотонно возрастающими с увеличением 

ω . В то же время графики этих коэффициентов 

для конечно-элементной модели 

имеют максимум, после которого их значения 

убывают. 

Аналогичная ситуация наблюдается и 

для коэффициента собственного затухания 

K 

c 

(рис. 6,а). Для модели в сосредоточенных 

параметрах при ω > 1 зависимость K c 

( ω ) 

монотонно возрастает. Для конечно-элементной 

модели она характеризуется максимумом 

при ω = 2 , 6... 

2, 

8 и минимумом при 

ω = 3,9 . При ω ≈ 4 величина коэффициента 

собственного затухания K 

c 

приближается к 

единице, и диапазон частот ω = 3 , 7... 

4, 

2 является 

полосой пропускания гасителя. Поскольку 

ниже будут приведены расчетное 

обоснование и описание причин появления 

Рис. 5. Частотные зависимости относительных коэффициентов матрицы передачи гасителя: 

1 – численная модель; 2 – аналитическая модель в сосредоточенных параметрах; 

3 – аналитическая модель, учитывающая распределенность параметров центрального канала 

152


Рис. 6. Частотные зависимости комплекса собственных характеристик гасителя: 

1 – численная модель; 2 – аналитическая модель в сосредоточенных параметрах; 

3 – аналитическая модель, учитывающая распределенность параметров центрального канала 

полосы пропускания, то здесь лишь кратко 

остановимся на физике процесса. 

Данный гаситель, относящийся к классу 

акустических фильтров низких частот, 

обеспечивает ограничение интенсивности 

колебаний в гидравлической системе за счет 

их отражения. При этом для колебательной 

составляющей потока рабочей жидкости расширительная 

полость обладает существенно 

меньшим сопротивлением по сравнению с 

зауженным центральным каналом, что и обеспечивает 

локализацию пульсаций давления 

на входном участке гасителя. Однако расширительная 

полость является пространственно 

распределенным элементом достаточно 

сложной формы, в котором реализуются процессы 

интерференции акустических волн. 

При ω ≈ 4 возникает ситуация, когда из-за 

данной интерференции полость начинает 

представлять существенное сопротивление 

колебательной составляющей потока рабочей 

жидкости и пульсации давления через инерционный 

канал проникают на выход гасителя, 

снижая коэффициент собственного затухания. 

С дальнейшим ростом частоты вновь 

происходит перераспределение положения 

узлов и пучностей в расширительной полости, 

что обеспечивает ее эффективную работу 

в структуре гасителя. Коэффициент собственного 

затухания при этом возрастает. Качественное 

отличие аналитической и конечноэлементной 

моделей наблюдается и для зависимости 

Z c 1 

( ω ) при ω > 3 (рис. 6,б). Для 

модели в сосредоточенных параметрах при 

ω > 1 график этой функции является монотонно 

возрастающим. Для конечно-элементной 

модели при ω 

≈ 3, 

8 Zc 

1 

→ ∞ , т. е. имеет 

место резонансное увеличение Z 

c1 

. 

Такое различие результатов по двум 

моделям объясняется отсутствием учета в 

аналитической модели распределенности 

параметров. При этом в гасителе колебаний 

давления рассматриваемой структуры присутствуют 

два элемента, имеющие опреде- 

153


ленную пространственную протяженность - 

инерционный центральный канал и расширительную 

полость. Для центрального канала 

в любом случае сохраняется справедливой 

гипотеза плоской волны, и его можно рассматривать 

как одномерный распределенный 

элемент, описываемый матрицей передачи в 

виде (4). Введение такой матрицы передачи 

в обобщенную расчетную модель гасителя 

колебаний взамен матрицы X 

L позволяет 

учесть распределенность параметров центрального 

канала. Результаты расчета по аналитической 

модели работы [3] с учетом описанной 

выше замены матрицы X 

L представлены 

на рис. 5, 6 (кривая 3). Анализ графиков 

на рис. 6 показывает, что учет распределенности 

параметров центрального канала не 

приводит к качественному изменению их 

вида по сравнению с моделью в сосредоточенных 

параметрах. В то же время, как уже 

отмечалось выше, данные численного моделирования 

(рис. 6) существенно отличаются 

от результатов расчета по аналитическим 

моделям. Это объясняется влиянием распределенности 

параметров расширительной полости. 

Из-за того, что длина и диаметр данной 

полости являются величинами одного 

порядка, гипотеза о возможности ее аналитического 

моделирования одномерным 

объектом является неадекватной, особенно в 

области высоких частот. В то же время моделирование 

акустических характеристик гидравлической 

емкости как двумерного объекта 

аналитическими методами представляется 

весьма сложным и трудоемким. 

Матричное уравнение гидравлической 

емкости в сосредоточенных параметрах записывается 

в виде [1]: 

⎡Р 

⎢ 

⎣Q 

вх 

вх 

⎡ 1 0 

⎤ 

⎤ 

⎡ ⎤ 

= ⎢ jω V 

Рвых 

пр 

⎥ 

⎥ 

⎢ ⎥ 

⎦ ⎢ 1 . (5) 

2 ⎥ 

⎣ ρa 

⎦ 

⎣Qвых 

⎦ 

Согласно этому соотношению амплитуда 

колебаний давления во всех точках емкости 

является одинаковой. Однако понятно, что 

интерференция волн при отражении от стенок 

емкости (особенно для случаев их сложной 

пространственной конфигурации) приводит 

к нарушению данного соотношения, и 

расширительная полость перестает работать 

как идеальная гидравлическая емкость. В качестве 

иллюстрации на рис. 7 приведено распределение 

амплитуд давлений в расширительной 

полости рассматриваемого гасителя 

колебаний в продольном (а) и радиальном (б) 

направлениях: 

Рис. 7. Распределение амплитуд колебаний давления по расширительной полости гасителя, ω = 3, 8 : 

а) продольное направление; б) радиальное направление 

154


( l ) 

p = f , 

где 

max 

p l 

p = , l = , L - характерный гео- 

p L 

метрический размер полости в рассматриваемом 

направлении, l - текущий линейный размер. 

Анализ графиков (рис. 7) показывает, 

что если распределенность параметров колебаний 

в радиальном направлении невелика 

( p min 

≈ 0, 984 ) и ею можно пренебречь, то распределенность 

в продольном направлении 

весьма значительна ( p min 

≈ 0, 67 ). Таким образом, 

представление характеристик полости 

гасителя колебаний матричным уравнением 

(5) при высоких частотах колебаний приводит 

к существенному расслоению графических 

результатов, полученных для аналитических 

и численной моделей. 

Проведенные расчеты позволяют сделать 

вывод, что в области низких частот 

ωl l ≤ 0,6 (или ≤ 0, 1) наиболее целесообразно 

использование аналитической модели, по- 

a 

λ 

зволяющей достаточно легко анализировать 

зависимости собственных характеристик гасителей 

от свойств входящих в их структуру 

элементов, реализовать процедуру оптимизации 

структуры. Однако в высокочастотной 

области трудности учета распределенности 

параметров в аналитической модели приводят 

к некоторому завышению расчетной эффективности 

гасителя колебаний. Поэтому 

для расчета собственных характеристик гасителя 

и выбора оптимальной его конструкции 

более целесообразно применение конечно-элементной 

модели. 


1. Шорин В. П. Устранение колебаний 

в авиационных трубопроводах. – М.: Машиностроение, 

1980. – 156 с. 

2. Шахматов Е. В. Разработка и исследование 

средств подавления колебаний рабочей 

среды в гидромеханических системах 

управления двигателей летательных аппаратов: 

Дисс. на соиск. учен. степ. канд. техн. 

наук. – Куйбышев: КуАИ, 1984. – 201 с. 

3. Шестаков Г. В. Разработка методов 

автоматизированного проектирования гасителей 

колебаний давления для трубопроводных 

цепей двигателей и систем летательных 

аппаратов: Дисс. на соиск. учен. степ. канд. 

техн. наук. – Самара: КуАИ, 1991. – 241 с. 

MODELLING CHARACTERISTICS OF PRESSURE OSCILLATION DAMPERS 

WITH REGARD FOR DISTRIBUTION OF THEIR PARAMETERS 

© 2007 S. K. Botchkaryov, G. M. Makaryantz, A. B. Prokofiev, Ye. V. Shakhmatov 


The paper discusses the use of analytical and numerical models to calculate a complex of working fluid pressure 

oscillation damper inherent characteristics. Convergence of calculation results using both models in the low-frequency 

region is shown. In the high-frequency region lack of adequate account of the damper expansion cavity parameters’ 

distribution in analytical models results in overestimating the damper’s design efficiency, which may fail to provide the 

system’s prescribed serviceability after a damper of this kind is introduced into it. Advantages and disadvantages of 

each model are stated, frequency areas for their application are defined. 

155


УДК 534.282 

НЕСИММЕТРИЧНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ГАСИТЕЛИ 

С АКТИВНЫМИ ВОЛНОВЫМИ СОПРОТИВЛЕНИЯМИ 

© 2007 А. Н. Головин 


Показаны принципы расчета параметров элементов несимметричных акустических гасителей колебаний 

при выполнении которых волновые сопротивления становятся активными. Формулируются условия реализации 

активных волновых сопротивлений на фиксированной частоте и в заданном диапазоне частот. 

Известно [1], что для уменьшения пульсаций 

давления в трубопроводных топливных 

и гидравлических системах целесообразно 

использовать несимметричные гасители, 

имеющие с одной из сторон активное волновое 

сопротивление. Такие устройства по сравнению 

с устройствами, у которых волновые 

сопротивления не регламентируются, имеют 

ряд преимуществ. Если гаситель проектируется 

для конкретного источника колебаний 

или для конкретной системы по характеристикам 

волнового сопротивления гасителя, 

которое является противоположным активному 

волновому сопротивлению, то он будет 

эффективно работать, соответственно, в любой 

системе или системе с любым источником 

колебаний. Следовательно, такой гаситель 

является инвариантным к характеристикам 

участка системы, в сторону которого обращено 

активное волновое сопротивление 

устройства. 

Рассмотрим гасители, изображенные на 

рис. 1. 

Схема гасителя на рис. 1,а является акустическим 

фильтром низких частот 

(“АФНЧ”) с проточной полостью. Упругие 

свойства полости управляются дросселем 3, 

имеющим сопротивление R. Следующие две 

схемы гасителей отличаются от первой тем, 

что их структуры содержат резонансные контуры. 

Резонансный контур в каждой схеме 

образован инерционностью “горла” 4 и упругостью 

полости 1. Упругие свойства полостей 

у обеих схем гасителей, как и у схемы 

на рис. 1,а, регулируются сопротивлениями 

дросселей 3. Причем при определенных соотношениях 

между параметрами реактивных 

элементов и сопротивления R волновые сопротивления 

гасителей со стороны дросселей 

3 становятся активными. 

Рассмотрим условия формирования активных 

волновых сопротивлений у исследуемых 

схем. 

При сосредоточенности параметров в 

элементах гасителей зависимости для коэффициентов 

передачи устройств как акустических 

четырехполюсников имеют вид 

A 

B 

C 

D 

= 

= 

= 

= 

1 

R 

* 

1 

* 

R 

1 

+ 

+ 

X 

X C 

X 

X 

( X 1 + X 2 ) 

1 X 2 X L + ( X 1 + X 2 ) 

( X 1 + X 2 ) + X 1 X 2 + 

C 

X 

C 

X 

Обозначения в (1): 

R 

X 

X 

X 

* 

L 

c 

i 

= 

= X 

= X 

= X 

L 

C 

i 

L 

пр 

c.пр 

; 

C 

C 

L 

L 

пр 

пр 

C 

L 

, 

; 

пр 

X 

+ X 

( X 1 + X 2 ) 

C 

; 

1 

X 

1 

2 

X L 

+ X 

+ X L 

+ X 1 X 

2 

X 

L 

X 

+ 1 

, 

1 

, 

+ 1 

⎫ 

, ⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎬ 

. ⎪ 

( ) ⎪⎪⎪⎪⎪ X 1 + X 2 + X 1 X 2 + 1 ⎭ 

1 

2 

2 

(1) 

(2) 

156


1 – расширительная полость; 

2 – проточный канал; 

3 – гидродроссели (активные сопротивления); 

S к 

, S цтр 

– площади поперечных сечений 

расширительной полости и 

проточного канала; 

“l” – длина гасителей (продольные размеры 

расширительной полости и 

проточного канала равны); 

Х L 

– инерционное сопротивление 

проточного канала; 

Х L1 

– инерционное сопротивление “горла” 

резонансного контура; 

Х Спр 

– приведенное упругое сопротивление 

расширительной полости; 

R 1 

– сопротивление гидродросселей; 

Z ci 

– волновые сопротивления гасителей 

Рис. 1. Принципиальные гидравлические схемы несимметричных гасителей и их электрические аналоги 

где L - инерционность проточного канала 2 

гасителей; C 

пр - скорректированная упругость, 

равная суммарной упругости рабочей 

жидкости, заполняющей объемы расширительной 

полости и проточного канала [1], 

т. е. 

C 

пр 

( V + V ) 

к ц 

= 

2 

, V 

к 

, V 

ц - соответственно 

ρα 

объемы полости гасителя и проточного канала. 

При цилиндрической полости и цилиндрическом 

проточном канале гасителя сопротивление 

X 

i 

где 

X i вычисляется по формуле 

X 

i v 

= , (3) 

v 

к 

Z 

S 

ц 

вц 

S = V V . 

+1 

В (1) параметрами X i (i = 1, 2) обозначены 

комплексные сопротивления элементов, установленные 

на входе и выходе расширительной 

полости. Сопротивление X 1 стоит на 

входе в расширительную полость, т. е. со стороны 

волнового сопротивления Z 

c1 

. Сопротивление 

X 2 включено на выходе из расширительной 

полости, т. е. со стороны волнового 

сопротивления Z 

c2 

. Для схемы гасителя 

на рис. 1,а: 

X 1 = R ; X 2 = 0 . У схемы гасителя 

на рис. 1,б: X 1 = X 

L1; X 2 = R . На схе- 

ме рис. 1,в сопротивление X 1 составлено 

параллельным соединением инерционного 

X и активного R сопротивлений; 

L1 

X 2 = ∞ . 

Рассмотрим гаситель, схема которого 

приведена на рис. 1,а. Для этого устройства 

зависимости волновых сопротивлений имеют 

следующий вид: 

2 2 2 2 2 2 

2 2 2 2 

( R −ω 

⋅ R )( R −ω 

) + 2ω 

⋅ R + jω 

⋅ R( 2ω 

⋅ R −ω 

− R ) 

2 2 

( R + ω ) 2 

Z c 1 = 

; 

2 

( 1− 

ω ) − jω 

⋅ 

2 2 2 2 

( 1− 

ω ) + ω 

(4) 

2 

R 

R 

Z c 2 = 

; (5) 

R 

где j = −1 

; ω = ω LCпр 

. 

Из (4), (5) следует, что у исследуемого 

гасителя активным может быть только волновое 

сопротивление Z с1 

при условии 

157


ω 

R = . (6) 

2ω 

2− 

2 1 

Равенство (6) позволяет привести выражения 

(4), (5) соответственно к виду: 

Z a 

c 1 = 0, 

5 ; (7) 

1 

Z c2 = . (8) 

ω 

Таким образом, у гасителя при выполнении 

(6) волновое сопротивление Z с1 

становится 

активным и “не зависящим” от частоты колебаний. 

Исследуем характеристики гасителя, 

изображенного на рис. 1,б. Выражения для 

коэффициентов передачи устройства получим 

из соотношений (1), принято в них 

R 1 = ∞ , R 2 = R . После соответствующих 

преобразований формулы для расчета волновых 

сопротивлений примут вид: 

2 

2 

2 

2 

2 2 2 

p ( 1−ωp 

)( 1−ωp 

+ 2 μ) + j μ 

⎡ 

ωp 

( 1+ 

μ−ωp 

) − R ( ωp 

−1) 

⎤ 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

2 2 

2 2 2 2 

( 1+ 

μ)( 2 μ−ωp 

− μωp 

) + j μ[ ωp( 1+ 

μ) + R ( ωp 

+ μωp 

− μ) 

] 

Rω 

= μ 

; 

Rωp 

Z c1 

2 

Rω 

(9) 

2 

2 

2 2 2 2 

[( 1+ 

2μ) −2ω 

p( 1+ 

μ) 

] + j{ μωp 

( 1+ 

+ R ( 1−ωp 

)[ ωp 

+ μω ( p −1) 

]} 

2 

2 

2 2 2 

μ[ 21 ( + μ) −ωp 

( 2+ 

μ) 

] + j[ ωp( 1+ 

μ)( 1+ 

μ−ωp 

) + μR ( ωp 

−1) 

] 

p 

Z c2 

= 

, 

p 

где 

Rω 

μ 

(10) 

µ = L 1 

L ; L - инерционность “горла” 

1 

резонансного контура; ω р = ω µ . 

Анализ выражений (9), (10) показывает, 

что характер волновых сопротивлений 

Z c1 , c2 

Z зависит от соотношения параметров 

µ , R, ω p и может быть активным с 

обеих сторон, если сопротивление R выбрано 

определенным образом. 

Для реализации активного волнового 

сопротивления со стороны Z c1 

сопротивление 

R должно быть равно 

2 

2 

2 

ω p ( 1+ 

μ) [ ω p ( μ −1) − ( 1+ 

μ) 

] 

2 

2 

2 2 

4 

( 1− 

ω p ) [ μ ω p ( ω p −1) + μ( ω p + 1) 

] 

R = 

. (11) 

При реализации активного волнового 

сопротивления со стороны Z c2 

сопротивление 

R необходимо выбирать из условия 

2 

ω 

⎤ 

p 

R = 

⎥⎦ 

. 

2 

2 

( µ ) 

⎡ 2 2 2 

1 + ( 1 − ω p ) + ω p ( ω p −1 

+ µ ) 

⎢⎣ 

2 2 

2 

( ω p −1) [( 1 + µ )( 2 + µ ) ω p − µ ] 

(12) 

С учетом того, что в обоих случаях величина 

R должна быть действительной, на рис. 2 

построены области значений µ и ω p , при 

которых достигается реализация активных 

волновых сопротивлений гасителя. 

Приведенные графики показывают, что 

существуют комбинации параметров элементов 

гасителя, при которых его волновые сопротивления 

могут быть активными с обеих 

сторон. Однако, небольшой проектный диапазон 

изменения этих параметров делает не 

целесообразным практическое применение 

такого устройства. Предпочтительным является 

условие реализации активного волнового 

сопротивления гасителя только с одной 

стороны, а именно со стороны Z c2 

. Для этого 

варианта, как следует из графика на 

рис. 2,б, возможны более широкие диапазоны 

изменения параметров элементов устройства. 

Поэтому схему гасителя на рис. 1,б желательно 

применять, когда требуется устройство, 

имеющее со стороны системы активное 

волновое сопротивление, а со стороны источника 

колебаний – реактивное. 

Рассмотрим схему гасителя, приведенную 

на рис. 1,в. Зависимости для коэффициентов 

передачи получаются из соотношений 

(1), если принять в них X 1 = ∞ , X 2 = R . При 

этих значениях параметров формулы для вычисления 

волновых сопротивлений имеют 

вид: 

158


Рис. 2. Области значений µ и ω 

р по направлению 

штриховки, в которых возможна реализация 

активных волновых сопротивлений гасителя: 

а) со стороны Z 

c1 

; б) со стороны Z c 2 

Z 

Z 

2 2 2 4 

2 

−ωp( µ + 2R 

) + R ωp 

+ j2R 

µ ( 1−ωp) 

ωp 

2 2 

2 

4 

2 

( R + µ R + µ ) + µω p + jR µ [ 2µ 

−ωp( 2 + µ )] ωp 

2 

R 

c1 = µ 

2 2 

; 

p 

c2 

µ R 

−ω 

2 

p 

2 2 

2 2 

( µ − ω p ) + R [ µ ( 1− 

ω p ) − ω p ] 

2 2 

µ ( R + µω p ) 

3 

p 

(13) 

µ ⋅ω 

+ j ⋅ R ⋅ω 

⋅ µ µ 

= . 

(14) 

Выражения (13), (14) показывают, что 

характер волнового сопротивления Z c2 

инерционный, 

а характер волнового сопротивления 

Z c1 

зависит от значения сопротивления 

R . Активный характер волнового сопротивления 

Z c1 

будет тогда, когда сопротивление 

R выбрано из соотношения 

R = 

2 2 

µω p ( 2ω 

p − µ ) 

2 2 2 2 

( p −1) + 2ω 

p ( ω p −1) 

µ ω 

. (15) 

Области изменения параметров µ и 

ω p , в которых реализуются действительные 

значения параметра R и, соответственно, возможны 

реализации активных волновых сопротивлений 

Z c1 

, представлены на рис. 3. 

Графики на рис. 3 показывают, что наибольший 

непрерывный частотный диапазон, 

в котором волновое сопротивление Z c1 

активное, 

имеет место, если µ = 2 . При других 

параметрах коэффициента µ в окрестности 

частоты ω p = 1 появляются области 

комплексных значений волнового сопротивления 

Z c1 

. 

Если условие (15) выполняется, то формула 

для вычисления волнового сопротивления 

Z c1a 

Z c Z c1a 

1 = имеет вид 

2 

4 

[ 2µ 

− ( 2 + 3µ 

) ω p ] + ( 2 + µ ) ω p 

2µ 

− ( 2 + µ ) ω 

2 p 

2µ 

= .(16) 

Выражения (15), (16) устанавливают, 

что в общем случае параметры R и Z c1 a зависят 

от частоты колебаний. Однако при условии 

µ = 2 , когда значение R , необходимое 

для реализации активного волнового сопротивления 

R = 

Z c1 

a 

2 

, определяется по формуле 

2ω 

p 

, (17) 

2 

2ω 

p −1 

величина Z c1 a становится “не зависимой” от 

частоты колебаний и равной 

Z c1 a = 1. (18) 

Графики, иллюстрирующие изменение 

параметров R , необходимых для реализации 

159


Рис. 3. Области возможных реализаций 

активного волнового сопротивления 

гасителя Z c1 

. 

Штриховка направлена в области 

изменения требуемых значений µ и 

ω p 

активного волнового сопротивления гасителя 

Z c1 a при различных коэффициентах µ 

( ≤ 2) 

µ , приведены на рис. 4. 

Анализ графиков показывает, что требуемые 

сопротивления R зависят от частоты 

колебаний. При вариациях параметра µ 

также изменяются значения сопротивления 

R , необходимые для обеспечения активности 

волнового сопротивления Z c1 

. Минимальный 

интервал изменения сопротивления R , 

равный [ 1] 

2; , имеет место при условии 

µ = 2. Однако на практике в конструкциях гасителей 

обычно используют дроссели с постоянным 

сопротивлением R . Поэтому исследуем 

возможность реализации активного 

волнового сопротивления гасителя в некотором 

диапазоне частот [ p 1;ω 

p2] 

ω при сопротивлении 

R = const . Для этого используем 

формулу для коэффициента рассогласования 

[1] 

Z ci − Z cia 

Гω = , (19) 

Z ci + Z cia 

по которой проведем расчеты зависимости 

Г 

ω 

. Рассчитаем зависимости коэффициентов 

рассогласования Г 

ω 

, например, при значениях: 

µ = 2 , c1 a = 1 R ∈ 2;1 . Результаты 

вычислений приведены на рис. 5. Их анализ 

Z и [ ] 

Рис. 4. Зависимости сопротивления гидродросселя R , необходимые для реализации активного 

волнового сопротивления гасителя 

160 

Z c1a


Рис. 5. Зависимости коэффициентов рассогласования 

Г при = 2 

волнового сопротивления гасителя Z c1 a = 1 

ω 

µ и реализации активного 

дает следующее. Имеются частотные диапазоны 

колебаний, в которых реализуются небольшие 

значения коэффициентов Г 

ω 

. При 

этих частотах из-за небольших значений коэффициентов 

Г 

ω 

волновое сопротивление гасителя 

можно считать постоянным и равным 

Z c1 

a 

. Для рассматриваемого варианта расчета 

Z c1 a = 1. Оптимальное сопротивление 

дросселя 

R опт , необходимое для работы гасителя 

в частотном диапазоне [ ω p 1;ω 

p2] 

, выбирается 

из условия равенства значений коэффициентов 

рассогласования на границах 

проектного интервала частот. Это требование 

записывается в виде 

Г = Г . (20) 

ω1 ω2 

Для определения оптимального сопротивления 

R опт нужно в равенство (20) подставить 

развернутые выражения (19) и произвести 

соответствующие вычисления. 

Таким образом, можно сделать следующие 

выводы. 

1. Волновые сопротивления несимметричных 

гасителей при определенных соотношениях 

между параметрами их элементов 

могут быть активными. 

2. Особенность выбора параметров элементов 

гасителей состоит в том, что необходимо 

определять их оптимальные соотношения 

для каждого рабочего частотного диапазона. 

3. Характеристики элементов гасителей 

следует рассчитывать, исходя из минимальных 

значений коэффициентов рассогласования. 


1. Головин А. Н. Разработка гасителей 

колебаний жидкости для трубопроводных 

цепей двигателей и систем летательных аппаратов: 

Диссертация на соиск. учен. степ. 

канд. техн. наук. - Куйбышев, 1983. 

ASYMMETRIC ACOUSTIC DAMPERS WITH ACTIVE WAVE RESISTANCE 

© 2007 A. N. Golovin 


The paper presents principles of calculating parameters of asymmetric acoustic oscillation damper elements 

when wave resistances become active. Conditions for the realization of active wave resistance at a fixed frequency and 

in a given frequency range are formulated. 

161


УДК 662 

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАЧАЛЬНОГО ОЧАГА 

ПРИ ИСКРОВОМ ЗАЖИГАНИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА 

АЛЮМИНИЕВО-ВОЗДУШНОЙ СМЕСИ 

© 2007 А. Г. Егоров 

Тольяттинский государственный университет 

Проведено экспериментальное исследование начального очага воспламенения в зоне рециркуляции при 

зажигании турбулентного потока алюминиево-воздушной смеси электрической искрой. Выявлено, что характер 

развития начального очага воспламенения в турбулентном потоке алюминиево-воздушной смеси соответствует 

характеру развития начального очага для однородной горючей смеси. 

Известно [1], что воспламенение горючей 

смеси может производиться различными 

способами, например электрическим разрядом, 

нагретой поверхностью или любым другим 

внешним источником тепла. Зажигание 

горючей смеси искрой широко применяется 

в воздушно-реактивных двигателях. 

К настоящему времени проведено достаточно 

много теоретических и экспериментальных 

исследований по определению влияния 

электрических параметров системы зажигания 

и параметров потока на величину 

минимально необходимой энергии искрового 

разряда в движущейся смеси воздуха и 

капель топлива. Они подтвердили зависимости, 

свидетельствующие о том, что воспламенение 

облегчается при повышении давления, 

температуры газа и энергии искрового 

разряда и затрудняется при увеличении скорости 

потока и интенсивности турбулентности 

[1, 2]. 

Аналогичных систематических исследований 

в потоках аэровзвесей металлических 

частиц пока нет, имеются только отдельные 

публикации, посвященные данной проблеме 

[3, 4]. Сложность явления заставляет 

исследователей обращаться к более простому 

случаю - воспламенению неподвижного 

облака взвеси частиц металлов в воздухе. 

В статье представлены результаты исследования 

процесса развития начального 

очага воспламенения при искровом зажигании 

порошкообразного алюминия (Al) с целью 

организации надежного воспламенения 

алюминиево-воздушной смеси в реальных 

условиях прямоточных камер сгорания двигательных 

установок летательных аппаратов 

(ЛА). 

Экспериментальная установка, на которой 

проводились испытания, а также схема 

модели прямоточной камеры сгорания и гидродинамика 

течений в ней описаны в [5, 6]. 

Изотермические исследования проводились 

на моделях, изготовленных из органического 

стекла, неизотермические – из тугоплавкого 

стекла «Пирекс». 

Уровень и масштаб турбулентности потока 

аэровзвеси изменялся с помощью решеток, 

которые представляли собой перфорированные 

диски с коэффициентом живого 

сечения f = 0,65 и устанавливались на различных 

расстояниях l р от плоскости внезапного 

расширения. 

В качестве горючего использовались 

порошки алюминия АСД-4 и АСД-1, выпускаемые 

отечественной промышленностью и 

соответствующие отраслевому стандарту и 

техническим условиям на их дисперсный 

состав. Несущим газом (окислителем) служил 

воздух с температурой 293 K. 

Для визуализации процесса воспламенения 

применялся оптический метод с использованием 

кинокамеры СКС-1М, которая 

позволяла производить съемку со скоростью 

до 5000 кадров в секунду. 

Известно [2], что для двигателей ЛА 

наиболее удобным и достаточно удовлетворительным 

источником зажигания является 

электрический разряд, который очень эффективно 

преобразует электрическую энергию в 

тепло, концентрирующееся в относительно 

162

малом объеме. Системы высокой энергии 

наиболее эффективны, когда используются в 

комбинации со свечами поверхностного разряда. 

Поэтому для воспламенения турбулентного 

потока аэровзвеси частиц Al использовалась 

самолетная система зажигания 

и свеча поверхностного разряда СПН-4-3Т 

(W = 0,05 Дж). 

Считается общепризнанным, что положение 

свечи имеет определяющее влияние 

как на характеристики воспламенения, так и 

на ее срок службы [2]. Поэтому необходимо 

было определить оптимальное место установки 

свечи в камере сгорания. Очевидным 

соображением при выборе наилучшего расположения 

свечи является то, что она должна 

находиться в пределах зоны рециркуляции 

так, чтобы очаг горения, инициированный 

искрой, переносился возвратным течением 

вверх, против направления основного потока. 

Это предполагает механизм воспламенения, 

при котором локальный очаг остается в 

зоне рециркуляции, циркулируя в ней как 

можно дольше и одновременно распространяясь 

вовне ее, пока, наконец, вся первичная 

зона камеры не будет заполнена пламенем. 

Результаты исследований [7] по определению 

локального времени пребывания 

( τ пр ) частиц алюминия в камере сгорания 

позволили выбрать оптимальное место установки 

свечи зажигания. Обнаруженная область 

зоны рециркуляции с максимальным 

временем пребывания частиц Al является 

оптимальным местом расположения свечи 

зажигания: 

L св 

= (0,5...1,2) 

H . 

163 


Место расположения свечи в указанных 

пределах также отвечало требованиям повторного 

запуска камеры в случае срыва пламени, 

так как в этом случае электроды свечи 

оставались чистыми поскольку эта часть 

внутренней поверхности стенки камеры не 

покрывалась продуктами сгорания вследствие 

существующего вторичного вихря в 

донной области зоны рециркуляции, плоскость 

вращения которого была перпендикулярна 

оси камеры. 

Визуализация посредством скоростной 

киносъемки аэродинамики течения и процесса 

искрового зажигания в камере сгорания 

позволила выявить большую пространственную 

неоднородность концентрации алюминия 

по длине зоны рециркуляции. Выявлено 

также, что пламя, инициированное электрическим 

разрядом свечи, в первую очередь 

распространяется в донной области зоны рециркуляции, 

где время пребывания частиц Al 

было максимальным. 

Были определены минимальные значения 

характерного размера стабилизатора 

(Н = 0,007 м), скорости алюминиево-воздушного 

потока (U 0 

= 40 м/с) и расхода горючего 

(G Al 

= 3 г/с), меньше которых надежного зажигания 

основного потока алюминиево-воздушной 

смеси в камере сгорания не происходило. 

Известно [8], что процесс зажигания 

длится с момента начала искрового разряда 

до установления режима устойчивого распространения 

пламени. Здесь существуют, по 

крайней мере, две проблемы. Одна из них - 

формирование очага пламени при искровом 

разряде, а другая – неустойчивое распространение 

пламени этого очага. 

При скоростной киносъемке процесса 

развития начального очага воспламенения в 

зоне рециркуляции в различные моменты 

времени было обнаружено, что после проскока 

искры радиус начального очага сначала 

уменьшается, а потом начинает увеличиваться 

в случае успешного воспламенения. При 

неудачном воспламенении очаг полностью 

погасает. 

На рис. 1 показаны два варианта развития 

начального очага воспламенения алюминиево-воздушной 

смеси в зоне рециркуляции 

прямоточной камеры сгорания с внезапным 

расширением диаметром 

D 

КС 

= 0,04 м. На 

рисунке одновременно приведены примеры 

неудачного (рис. 1,а) и успешного (рис. 1,б- 

1,г) развития очага воспламенения. 

В случае неудачного воспламенения зажигание 

и погасание начального очага происходило 

в течение экспозиции одного кадра, 

т. е. за 1,6 мс. На рис. 1,а был выбран 

наиболее продолжительный по времени случай 

неудачного воспламенения. В начальный 

период процесса зажигания (второй кадр 

сверху) первоначальное увеличение очага 

сменяется его уменьшением и последующим 

погасанием.


а б в г 

Рис. 1. Развитие начального очага в аэровзвеси частиц Al марки АСД-1 

а – неудачное; б, в, г – успешное развитие; направление потока аэровзвеси справа налево; 

параметры потока: скорость на входе в камеру U 

0 

= 50м 

/ с ; состав смеси α = 1, 1 ; 

температура аэровзвеси на входе 

T0 = 293 K ; скорость киносъемки – 600 кадр/с 

В случае успешного воспламенения 

можно видеть (рис. 1, б), что очаг воспламенения 

в начальный момент времени уменьшается 

(четвертый кадр сверху). Этому предшествовало, 

естественно, также резкое увеличение 

размеров очага, что зафиксировано 

на третьем кадре сверху. 

На третьем и четвертом кадрах видно, 

что очаг имеет сферическую форму. Затем под 

действием турбулентных пульсаций он вытягивается 

и раздваивается, что можно видеть 

на последующих кадрах (рис. 1,в). В дальнейшем 

процесс развития начального очага приобретает 

характер для установившегося распространения 

пламени (рис. 1,г). В донной 

области зоны рециркуляции появляется пламя, 

которое распространяется по всей зоне 

рециркуляции. 

На рис. 2 представлены кривые изменения 

размеров начального очага по времени 

для угасающего (кривая 1) и распространяющегося 

пламени (кривая 2) для тех же 

самых условий, что и на рис. 1. 

Для обоих случаев на начальном этапе 

процесса в течение 1,6 мс наблюдается увеличение 

размеров очага от 0 до 8 мм. Затем в 

интервале времени от 1,6 до 3,3 мс происходит 

уменьшение его размеров до 3….4 мм. 

При достижении значения времени воспламенения 

τ ≈ 3,3мс 

уменьшение размеров начального 

очага в обоих случаях прекращается. 

В случае успешного развития (кривая 2) 

происходит резкое увеличение размеров очага 

до 10 мм ( τ ≈ 4,9мс 

), затем наступает стабилизация 

скорости роста ( τ = 4 , 9... 

12, 

8мс 

) 

с последующим его увеличением и распространением 

пламени по зоне рециркуляции 

( τ ≥ 12,8мс 

). В случае неудачного воспламенения 

размеры начального очага воспламенения 

(кривая 1) практически не меняются и 

при значении τ = 4,9мс 

происходит его угасание. 

Вероятно, для того, чтобы электрическая 

искра могла привести к воспламенению 

в зоне рециркуляции алюминиево-воздуш- 

164


50 

40 

Rоч, мм 

30 

20 

10 

1 

2 

0 

0 5 10 15 20 

τ,мс 

Рис. 2. Изменение размеров очага по времени для затухающего (1) и распространяющегося (2) пламени 

ную смесь с частицами АСД-1, соответствующий 

ей критический радиус должен быть 

равен 4 мм. При этом условии можно предположить, 

что ближайшие частицы алюминиево-воздушной 

смеси успеют воспламениться, 

прежде чем нагретый искрой начальный 

очаг остынет. Ясно также, что для признания 

воспламенения успешным или неудачным 

необходим интервал времени в 4,9 мс. 

Известно [9], что для того, чтобы осуществить 

искровое зажигание в гомогенной 

горючей смеси, соответствующий ей эквивалентный 

радиус R 

экв 

должен быть в несколько 

раз больше, чем характерная ширина зоны 

ламинарного пламени b 

n 

. В [10] было получено 

искомое условие воспламенения в простой 

форме: 

R ≥ 3, 

7b 

. 

экв 

Было отмечено [9], что данную формулу 

можно рассматривать только как качественную 

связь между мощностью источника 

воспламенения и параметрами горючей 

смеси. Полученное значение коэффициента 

пропорциональности указывает только на 

порядок этой величины, учитывая приближенность 

допущений, принятых при выводе 

формулы. Поэтому окончательная оценка 

справедливости формулы может быть сделана 

только на основании экспериментальных 

данных. 

Таким образом, полученное экспериментальное 

значение критического размера 

n 

начального очага воспламенения для алюминиево-воздушной 

смеси 

R кр 

≈ 4мм 

соответствует 

коэффициенту пропорциональности 

3,7 в формуле эквивалентного радиуса для 

гомогенной горючей смеси. 

При исследовании фотографированием 

[8] процесса воспламенения метано-воздушной 

смеси в различные моменты времени 

было обнаружено, что после проскока искры 

радиус светящегося шарика в некоторых случаях 

сначала уменьшается (из-за охлаждения 

газа), а потом начинает увеличиваться. Однако 

полного перерыва свечения не происходит. 

На серии последовательных фотографий 

процесса воспламенения можно видеть, 

что воспламенившийся очаг вначале имеет 

цилиндрическую форму и только примерно 

через 100 мкс его форма приближается к сферической. 

Примерно через 500 мкс сфера 

сплющивается вдоль оси электродов, видимо, 

под действием теплоотвода. В дальнейшем 

при τ ≥ 4мс 

в случае воспламенения 

появляется нормальное сферическое пламя. 

На рис. 3. приведены кривые изменения 

радиуса очага по времени для распространяющегося 

(кривая 2) и угасающего (кривая 

1) пламени в метано-воздушной смеси 

при α = 1, 1 [8]. При значении времени воспламенения 

τ ≈ 1мс 

скорость роста распространяющегося 

минимальна. Этот момент соответствует 

критическому состоянию очага. 

165


0,5 

0,4 

2 

R оч, 

см 

0,3 

0,2 

1 

0,1 

0 

0 1 2 3 4 

τ,мс 

Рис. 3. Изменение радиуса очага по времени для затухающего (1) и распространяющегося (2) пламени [8] 

Качественно характер полученной 

экспериментальной кривой зависимости 

R оч 

( τ ) соответствует теоретической кривой 

зависимости температурного напора 

2 

Θ 

0 

= E( T0 

− Tн 

) /( RT0 

) в очаге от времени 

Θ (τ 0 

) (рис. 4) [11]. Было отмечено, что решение 

существенно зависит от Θ и δ . При 

малых Θ вблизи критики температура может 

иметь два экстремума, природа которых в 

корне отлична от описанных в [12]. Так, при 

Θ = 5, β = 0,01, δ = 4,8 температура в центре 

очага сначала возрастает до 0,5 к моменту 

τ = 0,75; затем уменьшается до 0,3 вследствие 

теплоотвода в окружающую среду с границ 

очага. 

Длительное время температура в центре 

очага практически не изменяется, и только 

при значении τ = 9,2 происходит воспламенение. 

Такая особенность характерна для 

области вырожденного очагового взрыва [13], 

когда влияние химических реакций в окружающей 

очаг среде начинает сказываться уже 

при конечных временах: τ = 0. 

В области вырождения очагового воспламенения 

усиливается влияние параметра 

β = RT 0 

/ E на характеристики процесса 

(рис. 4). Например, для Θ = 5 и δ = 4,7 τ = 

Рис. 4. Зависимость температуры в центре очага от времени при β = RT / E = 0 01 

(сплошные линии), 0,1 (штриховые); Θ = 5 ; 

2 

δ = R /( χt 

) : 1 – 6,0, 2 – 4,95, 3 – 4,85, 4 – 4,8, 5 – 4,7, 6 – 4,0 [11] 

0 

166 

0 

,


= 14,5 и 7,8 при β = 0,01 и 0,01, соответственно. 

Факторов, влияющих на характер развития 

начального очага воспламенения и, как 

следствие, на ход всего процесса зажигания 

в потоке аэровзвеси, достаточно много. К ним 

относятся: мощность источника зажигания, 

дисперсный состав, форма и состояние поверхности 

частиц, теплота сгорания и другие 

физико-химические свойства, начальная температура, 

скорость, турбулентность, давление 

и др. 

Изучив механизм развития начального 

очага воспламенения, можно в большинстве 

случаев качественно, а иногда и количественно 

оценить влияние каждого фактора на процесс 

искрового зажигания в турбулентном 

потоке аэровзвеси частиц порошкообразного 

алюминия. 

Форма и состояние поверхности частиц 

металлов оказывает существенное влияние на 

процесс воспламенения и горения, так как 

химическая реакция протекает как в газовой 

фазе, так и на поверхности частиц. Поэтому 

исследовался процесс зажигания в потоках 

аэровзвесей как со сферическими частицами 

Al, так и с частицами в форме пластин. 

На рис. 5 и рис. 6 показан характер развития 

начального очага в потоке аэровзвеси, 

содержащей частицы сферической формы 

различного диаметра d 

32 

. 

На рис. 5 для частиц Al порошка АСД-1 с 

32 

d = 17, 

5мм 

наблюдается большая пространственная 

неоднородность концентрации 

алюминия в донной области зоны рециркуляции, 

где в первую очередь распространяется 

пламя, инициированное электрическим 

разрядом свечи. Время распространения 

пламени по зоне рециркуляции с момента 

воспламенения составляет 25 мс. Видно, как 

пламя первоначально возникает в очаге и от 

него распространяется по зоне рециркуляции. 

По причине полидисперсности порошка 

АСД-1 вначале происходит воспламенение и 

выгорание мелких фракций частиц Al. После 

того, как пламя заполняет весь объем зоны 

рециркуляции, формируется фронт пламени, 

который имеет форму одного или нескольких 

языков, вырывающихся из зоны. 

3,3 

14,53 

4,9 

16,13 

6,5 

17,73 

8,13 

19,33 

Рис. 5. Развитие очага в зоне рециркуляции камеры сгорания 

D КС 

= 0, 

04 м : горючее – АСД-1 

( d 

32 

= 17 , 5мк 

); направление потока аэровзвеси слева направо; параметры потока: U = 50 м / 

0 

с ; 

α = 1, 1 ; T = 293 K ; цифры справа от снимков – время в мс, прошедшее от момента воспламенения 

0 

167


0 

1,6 

3,3 

4,9 

Рис. 6. Развитие очага горения в зоне рециркуляции: 

D КС 

= 0, 

04 м ; горючее – АСД-4 ( d32 = 7, 

5мкм); направление потока 

аэровзвеси слева направо; параметры потока: U0 = 50м / с ; 

α = 1, 1 ; T0 = 293K 

; цифры справа от снимков – время в мс, 

прошедшее от момента воспламенения 

Результаты исследования процесса развития 

начального очага воспламенения и распространения 

пламени в зоне рециркуляции 

32 

для частиц АСД-4 с d = 7, 

5мкм 

(рис. 6) показали, 

что с уменьшением диаметра частиц 

d 

32 

процесс развивается более динамично. 

Появившийся возле свечи зажигания начальный 

очаг горения развивается и заполняет 

зону рециркуляции за 3,3 мс. Затем фронт 

пламени формируется вдоль «определяющей» 

цилиндрической поверхности (диаметр 

которой равен диаметру входного отверстия 

канала) и поджигает основной поток алюминиево-воздушной 

смеси. 

Поскольку теплоотвод от начального 

очага осуществляется посредством турбулентной 

диффузии и его интенсивность определяется 

величиной пульсационной скорости, 

то необходимо исследовать влияние турбулентности 

на процесс развития начального 

очага. Влияние начальной турбулентности ε 

0 

потока алюминиево-воздушной смеси на 

характер развития начального очага воспламенения 

в зоне рециркуляции показан на рис. 7. 

Как видно из рисунков 7,б и 7,в, турбулентное 

дробление очага усиливается с увеличением 

его размеров даже в том случае, 

когда интенсивность турбулентности понижается 

с удалением от турбулизирующей решетки. 

Такое усиление действия турбулентного 

потока на сферическое пламя связано с 

тем, что очаг увеличенного размера становится 

доступным воздействию пульсаций все 

больших масштабов, которым соответствуют 

и большие значения пульсационной скорости 

[14]. 

При трубной турбулентности (рис. 7,а) 

с момента возникновения начального очага 

у свечи распространение пламени по всей 

зоне рециркуляции происходит за 2 кадра, что 

составляет 3,3 мс. При повышенной турбулентности 

(рис. 7, б, в) это время увеличивается 

до 4,9 мс. Время распространения пламени 

из зоны рециркуляции в основной поток 

алюминиево-воздушной смеси в обоих 

случаях осуществляется за время экспонирования 

одного кадра, т. е. менее чем за 1,6 мс. 

Если при трубной турбулентности 

(рис. 7,а) пламя, вначале распространившись 

практически по всей зоне рециркуляции, поджигает 

основной поток алюминиево-воздушной 

смеси, то при повышенной турбулентности 

очаги горения, не успевая распространиться 

в зоне рециркуляции, выносятся в основной 

поток и там гаснут, тем самым затягивая 

процесс зажигания основного потока 

алюминиево-воздушной смеси. На последу- 

168


0 

0 

0 

1,6 

1,6 

1,6 

3,3 

3,3 

3,3 

4,9 

4,9 

4,9 

6,6 

6,6 

Рис. 7. Влияние начальной турбулентности ε 0 

на процесс развития очага в зоне рециркуляции; 

направление потока аэровзвеси слева на право: D КС 

= 0, 

04м 

; горючее – АСД-4 ( d = 32 

7, 

5мкм 

); 

а) – без решетки (ε 0 

=5%), б) – с решеткой на l р 

= 0, 

02м 

(ε 0 

=22%), в) – с решеткой на l р 

= 0, 

057м 

(ε 0 

=12%); цифры слева от снимков – время в мск, прошедшее от момента воспламенения 

ющих кадрах уже видно, как пламя заполняет 

зону рециркуляции и распространяется в 

основной поток алюминиево-воздушной смеси. 

Отмечено [14], что для однородной смеси 

тормозящее действие турбулентности на 

развитие пламени в начальной стадии может 

быть связано с двумя эффектами: усилением 

теплоотдачи от начального очага реакции, 

затрудняющим воспламенение, и расширением 

зоны реакции в турбулентном пламени, 

снижающим среднюю температуру газа в нем 

и, соответственно, степень его расширения. 

Результаты исследований показали, что 

процесс развития начального очага в зоне 

рециркуляции в турбулентном потоке алюминиево-воздушной 

смеси, содержащей частицы 

АСД-4, протекает в две стадии. При трубной 

турбулентности на начальной стадии развития 

темпы роста начального очага в течение 

первых 2 мс ниже, чем при установке 

решеток. На второй стадии развития со 2 по 

5 мс темпы роста очага при трубной турбулентности 

выше, чем в опытах с установкой 

решеток (рис. 8). 

Выявлено влияние начальной турбулентности 

воздушного потока на развитие процесса 

зажигания при раздельной подаче компонентов 

аэровзвеси в камеру сгорания. Воздух 

в камеру поступал через входное отверстие, 

а навеска порошка Al подавалась через 

специальный штуцер непосредственно в зону 

рециркуляции. 

Получено, что при повышенной турбулентности 

первоначальное увеличение роста 

начального очага сменяется его замедлением. 

Такой характер развития начального 

пламени был отмечен ранее и в турбулентных 

газовоздушных смесях. При интенсивной 

турбулентности и в сильно разбавленных 

смесях в течение значительного интервала 

времени (до 10 мс после искры) наблюдается 

прекращение развития очага пламени, а 

иногда и его затухание [14]. 

На рис. 9 показано влияние начальной 

турбулентности потока воздуха на динамику 

169


30 

1 

2 

R , мм 

20 

10 

3 

0 

1 2 3 4 5 

t , с 

Рис. 8. Влияние турбулентности на динамику роста очага в зоне рециркуляции: горючее АСД-4; 

D КС 

= 0, 

04м 

; 1 – без решетки (ε 0 

=5%), 2 – с решеткой на l р 

= 0, 

02м 

(ε 0 

=22%), 

3 – с решеткой на l р 

= 0, 

057м 

(ε 0 

=12%) 

роста очага для порошка АСД-1 при раздельной 

подаче компонентов аэровзвеси в камеру 

сгорания диаметром 0,09 м. 

Из рисунка видно, что процесс развития 

начального очага в зоне рециркуляции 

при раздельной подаче так же, как при совместной 

подаче компонентов аэровзвеси в 

камеру, протекает в двух фазах. В течение 

первой фазы (~ 10 мс) темпы роста очага при 

повышенной турбулентности выше, чем при 

трубной турбулентности. Затем во второй 

фазе темпы роста очага при повышенной турбулентности 

становятся ниже, чем при трубной 

турбулентности. 

Таким образом, процесс развития начального 

очага в зоне рециркуляции проходит 

в обоих случаях в две стадии. Первая стадия, 

когда скорость выделения тепла в процессе 

химической реакции превосходит скорость 

теплоотвода в окружающую среду, составляет 

1/3 от общего времени развития очага. 

Увеличение турбулентности потока 

аэровзвеси оказывает положительное влияние 

на размеры начального очага воспламенения 

в зоне рециркуляции на первой стадии 

развития и отрицательно - на второй. 

С увеличением среднего диаметра частиц 

алюминия с 7,5 до 17,5 мкм время распространения 

пламени по зоне рециркуляции 

увеличивается с 5 до 25 мс. 

Полученные скоростной киносъемкой 

экспериментальные данные показали, что для 

обеспечения надежного процесса воспламенения 

основного потока алюминиево-воздушной 

смеси необходимо создать условия 

для возникновения начального очага около 

свечи, переброса пламени в зону рециркуляции 

и воспламенения алюминиево-воздушной 

смеси в зоне рециркуляции. 

Возникновение начального очага будет 

зависеть от двух конкурирующих процессов: 

разогрева очага за счет химической реакции 

и его охлаждения за счет теплопроводности. 

Поэтому в критических условиях должно 

выполняться равенство [15]: 

t ch 

= t h 

+ t ind 

= t cool , 

где t ch 

– время химической реакции, t cool 

– время 

охлаждения очага теплопроводностью, 

t h 

– время прогрева частицы Al в очаге, t ind 

– 

период индукции теплового взрыва. 

Условие переброса пламени для алюминиево-воздушной 

смеси в исследованном 

диапазоне размеров частиц в зоне рециркуляции 

так же, как и в бензовоздушной смеси 

[16], может быть описано выражением 

U 

св 

U 

n 

Lзр( 

1− 

Lсв 

) 

≤ ( 1− 

R 

кс 

B 

г 

) . 

Это условие определяется нормальной скоростью 

распространения пламени (U n 

), скоростью 

потока у свечи (U св 

), размерами зоны 

рециркуляции (L зр 

), координатой свечи зажигания 

( L 

св 

) и геометрическими параметрами 

модели (R кс 

, В г 

= H 2 /D 2 ). кс 

170


100 

80 

1 

3 

60 

2 

Rоч, мм 

40 

20 

0 

0 5 10 15 20 25 30 

τ, мc 

Рис. 9. Влияние начальной турбулентности воздуха ε 

0 

на динамику роста очага при раздельной подаче 

компонентов аэровзвеси в камеру сгорания: D КС 

= 0, 

09м 

; горючее – АСД-1 ( d32 = 17, 

5мкм 

); 

1 – без решетки (ε 0 


= 0, 

02м 

(ε 0 


= 0, 

057 м (ε 0 

=12%) 

Воспламенение алюминиево-воздушной 

смеси в зоне рециркуляции так же, как и 

для гомогенной смеси, может быть обеспечено 

при выполнении условия 

τ 

пр 

τ 

г 

H ⋅U 

≥ 

n 

U 

зр 

⋅ a = Mi 

восп 

где t г 

– время горения, Mi восп – критерий Михельсона 

на границе воспламенения, а – коэффициент 

температуропроводности. 

Таким образом, на основе полученных 

данных в результате проведенных исследований 

можно сделать следующие выводы: 

1. Самолетную систему зажигания с 

поверхностной свечой СПН-4-3Т можно использовать 

для зажигания турбулентного потока 

алюминиево-воздушной смеси содержащей 

частицы алюминия марок АСД-4 и АСД-1. 

2. Качественно характер развития начального 

очага зажигания в турбулентном 

потоке алюминиево-воздушной смеси в исследованном 

диапазоне размеров частиц алюминия 

соответствует характеру развития начального 

очага при воспламенении однородной 

горючей смеси. 

3. Процесс развития начального очага 

зажигания алюминиево-воздушной смеси в 

, 

зоне рециркуляции проходит в две стадии. 

Первая стадия, когда скорость выделения тепла 

в процессе химической реакции превосходит 

скорость теплоотвода в окружающую 

среду и составляет 1/3 от общего времени 

воспламенения. 

4. Увеличение турбулентности потока 

алюминиево-воздушной смеси на входе в камеру 

сгорания положительно влияет на первую 

стадию развития начального очага зажигания 

и отрицательно - на вторую. 


1. Раушенбах Б. В., Белый С. А., Беспалов 

И. В., Борадачев В. Я., Волынский М. С., 

Прудников А. Г. Физические основы рабочего 

процесса в камерах сгорания воздушно – 

реактивных двигателей. – М.: Машиностроение, 

1961. 

2. Лефевр А. Процессы в камерах сгорания 

ГТД. - М.: Мир, 1986. 

3. Егоров А. Г., Русаков М. М., Шайкин 

А. П. Зажигание турбулентного потока 

дкухкопонентной газовзвеси // Труды Всероссийской 

научно-технической конференции. 

Процессы горения, теплообмена и экологии 

тепловых двигателей.-Самара, 2000. - С. 43-57. 

171


4. Егоров А. Г. , Малинин В. И. Искровое 

зажигание и пределы воспламенения в 

потоке аэровзвеси частиц алюминия // IV 

Международная школа-семинар «Внутрикамерные 

процессы, горение и газовая динамика 

дисперсных систем». Сборник материалов. 

- С. Петербург, 2004. - Том № 1. - С. 36 – 39. 

5. Егоров А. Г., Кальней Е. Д., Шайкин 

А. П. Стабилизация пламени порошкообразного 

металлического горючего в турбулентном 

потоке воздуха // Физика горения и 

взрыва. - 2002. - Т. 37. - № 5. - С. 28 – 35. 

6. Егоров А. Г., Маркаров Э. Э., Павлов 

Д. А., Шайкин А. П. Влияние начальной 

турбулентности потока алюминиево-воздушной 

смеси на процессы воспламенения и стабилизации 

пламени // Вестник Самарского государственного 

аэрокосмического университета 

имени С.П. Королева. - 2002. - № 2. - 

С. 27 – 32. 

7. Егоров А. Г. Время пребывания частиц 

алюминия в камерах сгорания с внезапным 

расширением – М.: Химическая физика. 

– 2003. – Т. 22. - №11. - С. 54-63. 

8. Кумагаи. Горение. – М: Химия, 1980. 

9. Щетинков Е. С. Физика горения газов. 

- М.: Наука, 1965. 

10. Зельдович Я. Б. Журнал экспериментальной 

и теоретической физики. - 1941. - 

№ 11. - С. 159. 

11. Буркина Р. С., Князева А. Г. Исследование 

очагового теплового воспламенения 

и режима его вырождения // Физика горения 

и взрыва. - 1992. - Т.28. - №3. - С. 3 – 8. 

12. Князева А. Г., Буркина Р. С., Вилюнов 

В. Н. Особенности очагового теплового 

воспламенения при различных начальных 

распределениях температуры // Физика горения 

и взрыва. - 1988. - Т.24. - № 3. - С. 45. 

13. Мержанов А. Г., Барзыкин В. В, Гонтковская 

В. Т. // Доклад АН СССР. - 1963. - 

Т. 148. - № 2. - С. 380. 

14. Соколик А. С. Самовоспламенение, 

пламя и детонация в газах. - М.: Изд. Академии 

наук СССР, 1960. 

15. Сеплярский Б. С., Ивлева Т. П. Изучение 

искрового зажигания газовзвеси твердых 

частиц с помощью очаговой модели воспламенения 

// XII Симпозиум по горению и 

взрыву // Химическая физика горения и взрыва. 

Ч.2. – Черноголовка. - 2000. – С. 47-48. 

16. Лукачев С. В., Ланский А. М., Абрашкин 

В. Ю., Диденко А. А. и др. Рабочий 

процесс камер сгорания малоразмерных ГТД, 

проблемы и некоторые пути повышения его 

эффективности // Вестник Самарского государственного 

аэрокосмического университета 

им. С.П. Королева. - Самара. - 1998. - Выпуск 

№1. - С.11 – 38. 

EXPERIMENTAL ANALYSIS OF THE INITIAL SPARK IGNITION SITE 

FOR THE TURBULENT FLOW OF ALUMINIUM-AIR MIXTURE 

© 2007 A. G. Yegorov 

Togliatti State University 

The paper presents an experimental analysis of the initial ignition site in the recirculation area with a turbulent 

flow of aluminium-air mixture ignited by an electric spark. It has been found out that the nature of initial ignition site 

development in a turbulent flow of aluminium-air mixture corresponds to the nature of initial site development for a 

homogeneous combustible mixture. 

172


УДК 534.222:534.6 

ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКА В 

ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ НЕЛИНЕЙНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ 

УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ВОЛН 

© 2007 В. С.Кононенко 1 , А. В. Шацкий 2 

1 

Самарский государственный технический университет 

2 


Представлены результаты расчета спада амплитуды свободных нелинейных колебаний в ультразвуковом 

резонаторе, заполненном жидкостной диссипативной средой. По результатам расчета проведен анализ зависимости 

коэффициента поглощения ультразвука от времени спада колебаний, на основе которого предложена 

методика, позволяющая экспериментаторам избежать больших ошибок при измерении коэффициента поглощения 

ультразвука в условиях нелинейного распространения волн. 

1. Проблема исследования поглощения 

Из множества методов для исследования 

поглощения ультразвуковых волн в жидкости 

самыми распространенными являются 

резонаторный и импульсный методы. На 

частотах ниже 10 МГц используется резонаторный 

метод исследования, в котором ультразвуковой 

луч проходит достаточно большое 

расстояние посредством переотражений от 

пьезопреобразователей резонатора. Поглощение 

измеряется по половинной ширине резонансного 

пика снимаемого сигнала с помощью 

пьезопреобразователя или измеряется 

время спада амплитуды колебаний волн. Проблема 

состоит в том, что при измерении поглощения 

даже на достаточно небольших 

амплитудах на частотах, близких f 

q 

2 , 

f 

q 

3 

,…., где f 

q - собственная частота приемного 

пьезопреобразователя, в спектре приемного 

сигнала появляются высшие гармоники 

[1]. Это связано с тем, что уравнение 

движения в жидкости нелинейно. Данное 

обстоятельство может привести к значительному 

искажению получаемых результатов в 

ходе эксперимента. Таким образом, экспериментаторам 

приходится пропускать данные 

диапазоны частот при построении спектральной 

характеристики коэффициента поглощения 

в жидкости [2]. В статье проводится исследование 

данной проблемы, а также анализируются 

возможные методы ее устранения. 

2. Постановка и решение задачи 

Ультразвуковой жидкостный резонатор 

состоит, как правило, из цилиндрической 

полости, в торцах которой прикреплены пьезопреобразователи, 

один из которых является 

излучающим, а другой приемным. Ультразвуковой 

луч многократно отражается от 

пьезопреобразователей, что приводит к образованию 

стоячей ультразвуковой волны. 

Рассмотрим одномерный ультразвуковой резонатор 

с абсолютно жесткими стенками, 

между которыми распространяются ультразвуковые 

волны. Для нахождения амплитуд 

ультразвуковых волн воспользуемся волновым 

уравнением, записанным в переменных 

Лагранжа [3]: 

2 

∂ ξ 

= 

2 

∂t 

c 

2 

0 

+ 1 2 

( 1+ ∂ξ ∂a) ∂a 

2 

∂ ξ 

γ . (1) 

Данное уравнение описывает волны, 

бегущие в обе стороны – как вправо, так и 

влево, - и их взаимодействие между собой. 

Здесь ξ и a - смещение и координата в переменных 

Лагранжа, соответственно; c 

0 

- 

скорость звука в жидкости, γ - показатель 

адиабаты жидкости. В рассматриваемом случае 

жидкость является вязкой, и уравнение 

(1) приобретает достаточно сложный вид. 

Однако на основе качественных соображений 

его часто дополняют диссипативным членом, 

содержащим производную третьего порядка 

[3]: 

173


2 

∂ ξ 

= 

2 

∂t 

c 

2 

0 

2 

∂ ξ 

+ 

γ+ 

1 2 

2 

( 1 + ∂ξ ∂a) ∂a 

ρ ∂ a ⋅ ∂t 

b 

0 

∂ 

3 

ξ 

, (2) 

где b - параметр диссипации, ρ 

0 

- плотность 

жидкости. При малых ξ можно воспользоваться 

уравнением, полученным из (2) раз- 

− 

ложением члена ( ) ( γ+ 1) 

1 + ∂ξ ∂a в степенной 

ряд, оставляя первые два члена разложения. 

В итоге получим уравнение 

2 

∂ ξ 1 

− 

2 

∂a 

c 

2 

0 

2 

2 

∂ ξ ∂ξ ∂ ξ b 

= 2ε 

− 

2 

2 2 

∂t 

∂a 

∂a 

c ρ 

0 

0 

3 

∂ ξ 

2 , 

∂a 

⋅∂t 

(3) 

2 

1 d A4 

b 2 dA4 

2 

+ 16k 

+ 16k 

A 

2 

2 

c dt c dt 

0 

0 

ρ0 

3 

2 

= 2εk 

[ 6A A + 10A A + 4A 

], 

1 

3 

2 

1 d A5 

b 2 dA 

+ 25k 

2 

2 

c dt c dt 

0 

0 

ρ0 

3 

= 2εk 

[ 10A A + 15A 

A ]. 

1 

4 

1 

2 

5 

3 

5 

2 

+ 25k 

2 

A 

4 

5 

= 

= 

(8) 

(9) 

Если считать далее, что нелинейные и диссипативные 

члены в уравнениях (5) – (9) 

малы ( µ ) 

~ , то решение можно приближенно 

искать в форме: 

где ε = ( γ + 1) / 2 - параметр нелинейности 

среды. В качестве начального условия выберем 

стоячую волну обычного синусоидального 

типа. Также предположим, что в резонаторе 

могут взаимодействовать только пять 

основных мод, и будем искать решение уравнения 

(3) в следующем виде: 

A 

A 

A 

A 

A 

1( t) = B1 

( µ t) exp( iωt 

) + к.с., 

2() t = B2 

( µ t) exp( i2ωt) 

+ к.c 

3() t = B3( µ t) exp( i3ωt 

) + 

4() t = B4 

( µ t) exp( i4ωt) 

+ 

() t = B ( µ t) exp( i5ωt) + к.с. 

5 

5 

., 

к.с., 

к.с., 

(10) 

ξ 

= 

+ A 

3 

A1 

( t) sin( ka) + A2 

( t) sin( 2ka) 

+ 

() t sin( 3ka) + A () t sin( 4ka) + A () t sin( 5ka). 

4 

5 

(4) 

Собирая выражения, стоящие при sin ( ka) 

, 

sin( 2 ka) 

, sin( 3 ka) 

, sin( 4 ka) 

и sin( 5 ka) 

, придем 

к следующим уравнениям: 

2 

1 d A1 

b 2 dA1 

2 

+ k + k A1 

= 

2 

2 

c dt c dt 

0 

0 

ρ0 

3 

= 2εk 

[ A A + 3A 

A + 6A 

A + 10A 

A ], 

1 

c 

2 

0 

2 

d A 

dt 

2 

1 

2 

b 

+ 

2 

c ρ 

3⎡1 

2 

= 2εk 

⎢ 

A1 

⎣2 

0 

0 

2 

3 

4k 

2 

dA 

dt 

2 

3 

⎤ 

+ 3A1 

A3 

+ 8A2 

A4 

+ 15A3 

A5 

⎥ 

, 

⎦ 

4 

+ 4k 

2 

A 

2 

4 

= 

5 

(5) 

(6) 

Здесь B , 

1 

B , B 

2 3 

, B и B 

4 5 

- медленно меняющиеся 

комплексные амплитуды распространяющихся 

гармоник. Сохраняя везде члены 

не выше первого порядка малости, получим 

dB 

dt 

1 

+ 6B 

dB 

dt 

2 

+ 8B 

dB 

dt 

3 

b 

+ 

2ρ 

∗ 

3 

2 

k B = −iεωk 

B B 

∗ 

4 

B + 10B 

B 

4 

b 

+ 

2ρ 

∗ 

2 

+ 15B 

4 

0 

b 

+ 

2ρ 

∗ 

2 

0 

4k 

2 

B 

+ 15B 

B ], 

5 

0 

9k 

2 

1 

2 

∗ 

3 

B 

B 

3 

B ], 

], 

5 

= −i 

5 

1 

2 

[ 

∗ 

1 

2 

⎡ 1 

εωk 

⎢ 

B 

⎣ 2 

[ 

+ 3B 

2 

1 

∗ 

2 

+ 3B 

∗ 

1 

B 

B 

3 

3 

+ 

+ 

(11) 

(12) 

1 

∗ 

= −i 

εωk 

6B1 

B4 

+ 3B1B2 

+ 

3 

(13) 

2 

1 d A3 

b 2 dA3 

2 

+ 9k 

+ 9k 

A3 

= 

2 

2 

c dt c dt 

0 

0 

ρ0 

3 

= 2εk 

[ 3A A + 6A 

A + 15A 

A ], 

1 

2 

4 

1 

2 

5 

(7) 

174 

dB 

dt 

4 

b 

+ 

2ρ 

∗ 

1 

16k 

+ 10B 

B + 4B 

5 

0 

2 

B 

2 

2 

4 

], 

1 

= −i 

εωk[ 

6B1 

B3 

+ 

4 

(14)


dB 

dt 

5 

b 

+ 

2ρ 

+ 15B 

B ]. 

2 

3 

0 

25k 

2 

B 

5 

1 

= −i 

εωk[ 

10B4B1 

+ 

5 

(15) 

В уравнениях системы (11) – (15) удобно перейти 

к действительным амплитудам и фазам. 

Полагая для этого: 

B 

1 

= 1 

C1 

exp( iS ) , B = C exp( iS ), 

2 2 

2 

B 

3 

= 3 

C3 

exp( iS ) , B = C exp( iS ), 

4 4 

4 

B = 5 

C5 

exp( iS5 

) 

и выделяя из каждого вещественную и мнимую 

части, получим следующую систему 

дифференциальных уравнений: 

dC 

dt 

1 

+ 3C C 

− S 

1 

dC 

dt 

2 

− 2S 

b 

+ 

2ρ 

+ 3C C 

dC 

dt 

0 

2 

k C = ωkε 

[ C C sin( S − 2S 

) 

2 3 

sin( S3 

− S2 

− S1) + 6C3C4 

sin( 

) + 10C 

C sin( S − S − S )], 

3 

b 

+ 

2ρ 

1 

2 

0 

4 

4k 

5 

1 

C 

5 

3 

sin( S3 

− S1 

− S2 

) + 8C2C4 

sin( 

) + 15C C sin( S − S − S )], 

b 

+ 

2ρ 

3 

2 

9k 

5 

C 

2 

1 

4 

2 

1 

1 ⎡1 

= ωkε 

C 

2 ⎢ 

⎣2 

) + 3C C sin( S + S − S ) 

− S3 

1 2 1 2 

+ 15C C sin( S − S − S )], 

dC 

dt 

4 

− S 

4 

+ 4C 

dC 

dt 

5 

2 

5 

0 

b 

+ 

2ρ 

2 

16k 

5 

3 

C 

5 

3 

1 

= ωkε 

3 

2 

3 

2 

1 

2 

2 

sin 

S − S − 

4 

1 

+ 

3 

( 2S 

− S ) 

S 

[ 6C C sin( 

) + 10C C sin( S − S − S ) 

2 

2 

+ S − S 

− S 

1 

0 

1 

5 

sin( 2S 

− S )], 

b 

+ 

2ρ 

5 

− S 

0 

dS1 

= −ωkε 

dt 

+ 3C 

C 

3 

2 

3 

2 

2 

25k 

2 

4 

C 

1 

= ωkε 

4 

4 

5 

1 

1 

= ωkε 

5 

3 

1 

+ 

4 

4 

S 

[ 6C C sin( 

4 

1 

+ 

3 

1 

4 

− 

2 

1 

+ 

− S − 

S + S − 

1 

[ 10C C sin( 

) + 15C C sin( S + S − S )], 

2 

5 

3 

[ C C cos( S − 2S 

) 

cos( S3 

− S2 

− S1) + 6C3C4 

cos( 

) + 10C 

C cos( S − S − S )], 

1 

1 

4 

2 

5 

2 

2 

5 

3 

1 

4 

4 

+ 

5 

1 

1 

S 

S 

4 

4 

− 

3 

+ 

(16) 

(17) 

(18) 

(19) 

(20) 

(21) 

dS2 

1 ⎡1 

= − ωkε 

C 

dt 2 ⎢ 

⎣2 

+ 3C C 

− 2S 

1 

2 

cos 

( 2S 

− S ) 

3 

cos( S3 

− S1 

− S2 

) + 8C2C4 

cos( 

) + 15C C cos( S − S − S )], 

3 

5 

2 

1 

dS 

3 

1 

= − ωkε 

1 4 4 

dt 3 

+ 3C1C 

2 

cos( S1 

+ S2 

− S3 

) + 

+ 15C 

C cos( S − S − S )], 

2 

5 

dS4 

1 

= − ωkε 

dt 4 

+ 10C C cos 

1 

5 

5 

3 

1 

2 

2 

+ 

[ 6C 

C cos( S − S − S ) 

5 

2 

[ 6C C cos( S + S − S ) 

3 

2 

( S − S − S ) + 4C 

cos( 2S 

− S )], 

5 

dS5 

1 

= − ωkε 

4 1 

dt 5 

+ 15C C cos( S + S − S )]. 

2 

3 

1 

1 

3 

4 

3 

2 

1 

1 

4 

+ 

2 

3 

S 

4 

+ 

[ 10C C cos( S + S − S ) 

2 

3 

5 

4 

1 

5 

− 

4 

+ 

(22) 

(23) 

(24) 

(25) 

Поскольку получить аналитическое решение 

системы (16) – (25) невозможно, система 

решалась численно методом Рунге-Кутта. 

На рис. 1 приведены результаты расчета 

относительных комплексных амплитуд первых 

пяти гармоник в зависимости от величины 

x = t ⋅ ω: ω - циклическая частота возбуждаемого 

сигнала, B 

0 

- суммарная амплитуда 

колебаний распространяющихся гармоник 

в начальный момент времени. 

3. Анализ полученных результатов 

Результаты расчета указывают на достаточно 

сложную зависимость спада амплитуд 

гармоник с течением времени. Это объясняется 

тем, что помимо диссипативных эффектов 

присутствуют также и нелинейные 

эффекты, и в резонаторе происходит обмен 

энергиями между всеми возникающими гармониками. 

Если не сделать ограничения на 

число образующихся гармоник, то зависимости 

будут иметь еще более сложный характер. 

Решение данной задачи имеет практическую 

ценность. Суть в том, что при исследовании 

поглощения с помощью резонаторов 

экспериментаторы либо пропускают те диапазоны 

частот, в которых наблюдаются не- 

175


Рис. 1. Зависимости спада амплитуд свободных колебаний первых пяти гармоник в акустическом 

резонаторе, заполненном жидкой диссипативной средой 

линейные эффекты, либо пользуются допущением, 

что распространяющиеся моды не 

взаимодействуют друг с другом, то есть между 

ними не происходит обмена энергиями. 

Такое часто происходит, когда поглощение 

измеряется с помощью времени спада колебаний. 

При этом измеряется время, за которое 

амплитуда колебаний спадет в e раз, а 

затем рассчитывается коэффициент поглощения 

по достаточно простым формулам. Если 

взаимодействием гармоник пренебречь (правые 

части уравнений системы (11) – (16) будут 

равны нулю), то решение системы примет 

вид: 

B 

T 

+ B 

( α,t) 

3, 

0 

e 

= B 

−9α⋅t 

1, 

0 

e 

+ B 

−α⋅t 

4, 

0 

e 

+ B 

−16α⋅t 

2, 

0 

e 

+ B 

−4α⋅t 

5, 

0 

e 

+ 

−25α⋅t 

, 

(26) 

где α = bk 2 2ρ 

0 

- коэффициент поглощения 

жидкости; B 

1, 0 

, B 

2, 0 

, B 

3, 0 

, B 

4, 0 

и B 

5, 0 

- начальные 

амплитуды первой, второй, третьей, четвертой 

и пятой гармоники, соответственно. 

На рис. 2 приведены кривая спада колебаний 

реально наблюдаемого сигнала (с 

учетом взаимодействия гармоник) и кривая, 

описываемая решением (26), построенные 

при одинаковых начальных условиях и одинаковых 

параметрах исследуемой среды. На 

рисунке указаны точки, в которых снимается 

отсчет времени спада колебаний τ , за которое 

амплитуда уменьшается в e раз – это пересечение 

прямой W = 1/ e и кривых. Полученные 

точки: τ - реальное время спада, 

τ - время спада согласно (26) отличаются 

T 

друг от друга. 

Чем больше будет параметр нелинейности 

исследуемой среды, тем более значительно 

будут различаться τ и τ . Это означает, 

T 

что использование времени спада колебаний 

τ , реально снимаемого прибором, при подстановке 

в (26) ведет к большому завышению 

рассчитываемого коэффициента поглощения 

α . Поправку к таким результатам сделать 

достаточно сложно. Единственно возможным 

способом приблизиться к истинному значению 

коэффициента поглощения при использовании 

выражения (26) является следующее. 

Отсчет времени спада колебаний нужно снимать 

не в момент, когда амплитуда колебаний 

уменьшится в е раз, как это принято, а когда 

влияние высших гармоник станет пренебрежимо 

малым, то есть их амплитуда вследствие 

диссипации станет достаточно малой 

по сравнению с основной модой. На рис. 2 

видно, что кривая, снимаемая прибором, с 

течением времени ведет себя как кривая, построенная 

с допущением о не взаимодействии 

гармоник между собой. Это означает, 

что если приборы позволяют зафиксировать 

момент времени, когда на кривой спада амп- 

176


Рис. 2. Спад суммарной амплитуды колебаний с течением времени: сплошная линия – с учетом 

взаимодействия гармоник; пунктирная – без учета взаимодействия гармоник 

литуды колебаний будут отсутствовать осцилляции, 

обусловленные взаимодействием гармоник, 

то можно провести одновременно отсчет 

амплитуды и времени спада колебаний 

и затем достаточно просто рассчитать коэффициент 

поглощения. Уравнение для расчета 

будет выглядеть следующим образом: 

B 

T 

( , τ) 

( α, 

0) 

BT 

α = , (27) 

N 

где N - число, показывающее, во сколько раз 

уменьшилась амплитуда колебаний за время 

τ. Начальные значения амплитуд гармоник 

можно снять с анализатора спектра, использование 

которого обязательно при исследовании 

поглощения с помощью резонатора. 

Численным решением уравнения (27) определяется 

коэффициент поглощения, отличие 

которого от истинного значения станет существенно 

меньше. 


Использование данной методики исследования 

поглощения ультразвука в жидкости 

при условии нелинейного распространения 

волн показывает необходимость дальнейшего 

теоретического исследования, которое позволит 

получить новые технические решения 

при создании прецизионных экспериментальных 

установок. 


1. Кононенко В. С., Прокопьев В. И., 

Галанин В. В. Исследование нелинейных 

эффектов в одномерном ультразвуковом резонаторе 

с плоскими пьезопластинами // Исследование 

ресурсосберегающих технологий 

на железнодорожном транспорте: Межвузовский 

сборник научных трудов с международным 

участием / Под ред. д.т.н. В. Н. Яковлева. 

Вып. 23. – Самара: СамИИТ, 2002. - С. 455- 

458. 

2. Eggers F., Kaatze U. Broad-band 

ultrasonic measurement techniques for liquids / 

/ Meas. Sci. Technol. 1996 – V. 7. – P. 1-19. 

3. Руденко О. В., Солуян С. И. Теоретические 

основы нелинейной акустики. – Москва, 

1975.- С. 127-138. 

MEASURING ULTRASOUND ABSORPTION FACTOR FOR LIQUIDS IN CASE 

OF NON-LINEAR PROPAGATION OF ULTRASONIC WAVES 

© 2007 V. S. Kononenko 1 , A. V. Shatsky 2 

1 

Samara State Technical University 

2 


The paper presents the results of calculating free non-linear oscillation amplitude decrease in an ultrasound 

resonator filled with liquid dissipative medium. On the basis of the calculation results the dependence of ultrasound 

absorption factor on the oscillation decrease time has been analysed. On the strength of this, a procedure is proposed 

that allows experimentors to avoid major mistakes when measuring the ultrasound absorption factor under non-linear 

wave propagation. 

177


УДК 004.9 

АВТОМАТИЧЕСКИЙ СЧЕТЧИК ЧАСТИЦ ЗАГРЯЗНЕНИЙ 

ЖИДКОСТИ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ 

С ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКОЙ СИГНАЛА 

© 2007 Д. В. Корнилин, И. А. Кудрявцев, Л. М. Логвинов 


Описан принцип работы автоматического счетчика частиц с цифровой обработкой сигнала, использующего 

канал обнаружения частиц. Определены аналитическое выражение для выбора частоты дискретизации и 

шаг квантования аналого-цифрового преобразователя (АЦП), исходя из заданной погрешности определения 

амплитуды импульса от частицы при его аппроксимации частью синусоиды. 

Ресурс и надежность жидкостных систем 

гидрофицированного оборудования в существенной 

степени зависят от качественной 

диагностики их состояния. Одним из эффективных 

методов является диагностика трибомеханических 

узлов гидросистем по параметрам 

частиц износа, генерируемых гидроагрегатами 

[1]. Регистрация частиц, как правило, 

производится при помощи фотоэлектрических 

преобразователей (ФЭП). Частицы 

загрязнений, проходящие через измерительный 

объем ФЭП, создают на его выходе импульсы, 

амплитуда которых пропорциональна 

квадрату размера частиц. Число, размер и 

интенсивность генерации частиц свидетельствуют 

о техническом состоянии диагностируемых 

объектов. 

ГОСТ 17216-2001 регламентирует дисперсный 

состав загрязнений жидкости в шести 

размерных диапазонах от 0,5 до 200 мкм. 

Реальная чувствительность существующих 

измерительных приборов (типа «АЗЖ», «ФО- 

ТОН» и др.) ограничена из-за шумов, имеющих 

различную физическую природу [2]: 

1) шумы рассеяния света на частицах, более 

мелких по сравнению с регистрируемыми; 

2) собственные шумы фотоприемника; 

3) шумы электронного тракта усиления. В 

этом случае не удается реализовать потенциальную 

чувствительность автоматического 

счетчика частиц (АСЧ). Для повышения чувствительности 

АСЧ предлагается использовать 

цифровую обработку сигнала, поступающего 

с ФЭП, с использованием дополнительного 

канала обнаружения наличия частиц. 

Информация о наличии частиц из этого 

канала используется амплитудным анализатором 

(АА), который определяет амплитуду 

импульса только в случае, если имеет место 

фиксация частиц каналом обнаружения. Кроме 

этого, применение цифровой обработки 

сигналов позволит оптимизировать алгоритм 

работы обнаружителя, а использование микропроцессора 

позволит автоматизировать ряд 

операций по настройке и поддержанию работоспособности 

всего АСЧ. 

Функциональная схема предлагаемого 

АСЧ с цифровой обработкой сигнала фотоэлектрического 

преобразователя представлена 

на рис. 1. 

Сигнал измерительной информации с 

двухканального фотоусилителя (ФУ1 и ФУ2) 

сигнала ФЭП поступает на коммутатор каналов 

(КК) АЦП. Использование двух каналов 

усиления объясняется величиной динамического 

диапазона выходного напряжения U 

ФЭП, определяемого по формуле[1]: 

U 

2 

= k ⋅ d , 

где k – коэффициент пропорциональности, 

величина которого зависит от параметров 

светодиода и фотодиода, В/мкм 2 ; d – диаметр 

частицы, мкм. 

Выбор соответствующего канала осуществляется 

программно: сначала используется 

напряжение с выхода канала фотоусилителя 

с большим усилением (ФУ1), а при его 

насыщении (определяемом программно) используется 

сигнал второго канала (ФУ2). Далее 

сигнал преобразуется в цифровую форму 

с помощью АЦП. Подавление импульсных 

помеховых сигналов осуществляется медиан- 

178


Рис. 1. Функциональная схема АСЧ с каналом обнаружения 

ным фильтром (МФ). В цифровом амплитудном 

анализаторе (ЦАА) происходит определение 

амплитуды импульса при наличии сигнала 

«Импульс от частицы», поступающего 

с блока обнаружения импульса (БОИ). Сигнал 

о величине постоянной составляющей, 

поступающий с блока выделения постоянной 

составляющей (БВПС), используется для 

вычисления амплитуды импульса как разности 

между абсолютным значением и величиной 

постоянного уровня с БВПС. 

Такой вариант обработки сигнала позволяет 

избавиться от необходимости поддерживать 

нулевой уровень по постоянной составляющей 

с помощью системы автоматического 

регулирования и избежать проблем, 

возникающих при потере устойчивости этой 

системы [2]. 

Информация об амплитуде импульса, 

соответствующей размеру частицы, поступает 

на счетчик частиц (СЧ), который осуществляет 

подсчет числа частиц соответствующей 

размерной группы и выдает результат в 

блок формирования сигналов для его передачи 

с использованием интерфейса CAN 2.0. 

Этот интерфейс обеспечивает надежную и 

помехоустойчивую передачу данных потребителям, 

а также позволяет встраивать устройство 

в современные системы автоматического 

управления технологическими процессами. 

Блок определения длительности анализа 

(БОДА) служит для задания времени 

измерения, соответствующего моменту прохождения 

через измерительный канал жидкости 

объемом 100 мл (в соответствии с 

ГОСТ 17216-2001). 

Цифровой фильтр (ЦФ), цифро-аналоговые 

преобразователи (ЦАП), источники 

тока светодиода и фотодиода (ИТСД, ИТФД) 

служат для поддержания уровня освещенности 

в измерительном объеме (с помощью светодиода) 

и стабилизации рабочей точки фотодиода 

в заданных пределах. Предел определяется 

величиной, которая не выходит из 

диапазона измерения постоянной составляющей 

БВПС. При выходе постоянной составляющей 

из допустимых границ происходит 

корректировка тока светодиода и положения 

рабочей точки фотодиода путем выдачи управляющих 

сигналов с помощью ЦАП и 

ИТСД, ИТФД. 

Реализацию предложенной функциональной 

схемы АСЧ удобнее всего осуществить 

с применением сигнального процессора 

со встроенным АЦП. При выборе быстродействия 

и разрядности АЦП необходимо 

учитывать, что суммарная относительная 

погрешность определения амплитуды им- 

179


пульса (за счет дискретизации и квантования), 

как показывает практика, для наихудшего 

случая не должна превышать 1 % [2]. 

Таким образом, быстродействие АЦП 

должно быть таким, чтобы относительная 

погрешность (за счет дискретизации) определения 

амплитуды импульса минимальной 

длительности не превышала 0,5% от максимального 

значения. Поскольку алгоритм определения 

амплитуды импульса предполагает 

последовательное сравнение выборок из 

сигнала и выбор наибольшей, то наихудшим 

случаем будет смещение выборки U д 

относительно 

максимума непрерывного сигнала U m 

на интервал дискретизации ∆Т д 

(рис. 2). Как 

показывают результаты работы [2], с достаточной 

для практических расчетов точностью 

выходной импульс напряжения ФЭП u(t) на 

интервале длительности от 0 до t можно аппроксимировать 

функцией 

π 

u( t) 

= U 

m 

⋅ sin( ⋅ t) 

, (1) 

τ 

где U m 

– амплитуда импульса. 

Относительная погрешность δ д 

определения 

максимума вычисляется по формуле 

∆U 

δ 

д 

= . (2) 

U 

m 

Абсолютную погрешность ∆U определим 

по формуле 

∆U 

= U 

m 

− U 

m 

π 

⋅ sin( 

τ 

τ 

⋅ ( − ∆T 

2 

д 

)) . (3) 

Рис. 2. Аппроксимация выходного импульса ФЭП 

Определим необходимую величину интервала 

дискретизации ∆Т д 

с учетом (1) – (3) 

и окончательно получим 

τ 

∆ Tд 

= ⋅ arccos( 1− 

δ 

д 

) . (4) 

π 

Минимальная длительность импульса 

равна 100 мкс [2], и тогда интервал дискретизации, 

вычисленный по формуле (4), составлит 

3,2 мкс. 

Следует отметить, что за время между 

выборками процессор должен выполнить 

определенные команды по обработке сигнала, 

и поэтому быстродействие АЦП и микропроцессора 

необходимо выбирать с запасом. 

Шаг квантования вычислим, исходя из 

требуемой точности определения амплитуды 

импульса, определяющей чувствительность. 

Динамический диапазон амплитуд импульсов 

разбит на два поддиапазона таким образом, 

что амплитуда импульса от частицы 5 мкм, 

поступающая с усилителя первого канала, 

составляет 50 мВ. Для ее определения с погрешностью 

в 0,5 % необходимо выбрать шаг 

квантования менее 0,25 мВ. При напряжении 

полной шкалы, равном 3,3 В (напряжение 

питания), получаем необходимую разрядность 

АЦП, равную 14. 

Для реализации предложенного алгоритма 

на практике используется процессор 

цифровой обработки сигналов типа ADSP- 

21992 фирмы «Analog Devices», который имеет 

встроенный 14-разрядный АЦП с быстродействием 

20 MSpS. Производительность самого 

процессора составляет 160 MIPS, что с 

запасом удовлетворяет требованиям реализации 

предложенного алгоритма цифровой обработки 

сигнала. 


1. Логвинов Л. М. Техническая диагностика 

жидкостных систем технологического 

оборудования по параметрам рабочей жидкости. 

- М.: ЦНТИ “Поиск”, 1992. – 91 с. 

2. Кудрявцев И. А. Повышение разрешающей 

способности и чувствительности 

фотоэлектрических преобразователей встроенного 

контроля дисперсной фазы для систем 

управления: Дис. на соиск. учен. ст. канд. 

тех. наук. - Самара, 1999. –140 с. 

180


AUTOMATIC COUNTER OF HYDRAULIC EQUIPMENT LIQUID 

CONTAMINATION PARTICLES WITH DIGITAL SIGNAL PROCESSING 

© 2007 D. V. Kornilin, I. A. Kudryavtsev, L. M. Logvinov 


The paper describes the principle of operation of an automatic particle counter with digital signal processes 

using the channel of particle detection. An analytical expression for choosing discretization frequency and the quantization 

step of an analogue-to-digital converter (ADC) are defined based on the predetermined error of pulse amplitude 

determination, the pulse being approximated by a part of a sinusoid. 

181


УДК 539.3 

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА 

ДЕФОРМАЦИЙ И ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ 

КОНСТРУКЦИЙ В МАШИНОСТРОЕНИИ 

© 2007 Е. П. Кочеров 

ОАО «Самарское конструкторское бюро машиностроения» 

Рассмотрены различные подходы к расчету полей деформаций в окрестности зон локализации пластической 

деформации (концентраторов деформаций), в том числе основанные на жесткопластическом анализе. 

Предложены алгоритмы включения жесткопластических суперэлементов в известные пакеты программ типа 

MSC, ANSYS. Рассчитаны предельные значения поля тензора деформаций. Предложен подход к оценке прочности 

элементов конструкций. 

Одной из целей расчета полей напряжений 

и деформаций и их изменения во времени 

в машиностроении является оценка 

прочности конструкции в процессе эксплуатации, 

т. е. определение того, насколько далеко 

находится от критического напряженнодеформированное 

состояние конструкции в 

данный момент времени или на момент отработки 

соответствующего ресурсного показателя. 

Остановимся на проблеме расчетов в 

механике, тесно связанной с вопросами оценки 

надежности конструкций в машиностроении 

– проблеме расчетов полей деформаций 

в элементах конструкций. Эта проблема связана 

с формулировкой условий разрушения 

материала элементов конструкций, учитывающих 

историю эксплуатации. Основными 

механическими полями, которые должны 

входить в эти условия, являются поля напряжений, 

деформаций, скоростей деформаций 

и удельной диссипации энергии. Расчет этих 

полей составляет основную задачу расчета на 

прочность. 

Определение полей деформаций. 

В механике сплошных сред поля деформаций 

и скоростей деформаций связаны дифференциальным 

соотношением 

DE 

Dt 

dE 

ij ij 

= + EikVk, j 

+ E 

jkVk 

, i 

= ε 

ij , (1) 

dt 

1 

0 0 

где E ( − x x ) 

ij 

= δ 

ij k, 

i k, 

j 

– тензор конечных 

2 

1 

деформаций Альманси; = ( + V ) 

V 

i, 

j j, 

i 

ε 

ij 

– 

2 

182 

тензор скоростей деформаций; V 

i 

– скорость 

0 

перемещений; x 

i 

– лагранжевы координаты. 

Накопление деформаций полностью 

определяется полем скоростей перемещений. 

Одним из основных предметов исследований 

в нелинейной механике является определение 

полей деформаций и связанных с ними 

диссипативных процессов в окрестности угловых 

точек (в частности, вершины трещины). 

В связи с сингулярностью механических 

полей в окрестности этих точек численное 

определение их затруднено. Одной из моделей 

механики деформируемого твердого тела, 

позволяющей проводить аналитический анализ 

полей деформаций, является идеальное 

жесткопластическое тело. 

Основные соотношения теории идеального 

жесткопластического тела. Эти соотношения 

включают: 

– уравнения равновесия 

σ 

ij, j 

= 0 ; 

– условие текучести; 

( ) = 0 

f σ ; 

ij 

– ассоциированный закон пластического 

течения 

ε 

ij 

∂f 

= λ λ 

∂σ 

ij 

( > 0) 

; 

где f ( σ 

ij 

) – функция текучести; σ 

ij 

– тензор 

напряжений; i , j =1,2, 3 .


Будем рассматривать идеальное жесткопластическое 

тело [1] при условии текучести, 

удовлетворяющем условию несжимаемости: 

V 

ε + ε + ε 0. 

11 22 33 

= 

V 

У.п. 

s ij 

Рис. 2. Упругопластическая часть полосы 

В [2, 3] приведены примеры расчетов 

полей деформаций в окрестности точек разрыва 

полей скоростей перемещений в рамках 

модели идеального жесткопластического 

тела. В [4] предложен жесткопластический 

суперэлемент, позволяющий рассчитывать 

поля деформаций и удельных диссипаций 

энергии в окрестности угловых точек для 

упрочняющихся упругопластических тел. На 

рис. 1 представлена схема применения суперэлемента 

в задаче о растяжении полосы с 

угловым вырезом с использованием пакета 

программ MSC. Указанный подход состоит в 

представлении полосы как составного тела, 

состоящего из внешней упругопластической 

части и внутренней окрестности вершины 

углового выреза, которая моделируется идеальным 

жесткопластическим телом. Для 

внешней части полосы (рис. 2) расчет полей 

напряжений и деформаций выполняется пакетом 

программ MSC. При этом взаимодействие 

с внутренней частью задается распределением 

напряжений на поверхности раздела. 

Для внутренней части полосы (рис. 3) 

поля напряжений, скоростей деформаций и 

деформаций определяются аналитически. 

Взаимодействие с внешней частью определяется 

нормальными скоростями движения 

частиц на поверхности раздела. 

В [2] показано, что предельное распределение 

деформаций в окрестности углового 

выреза определяется системой уравнений 

(1), которая для случая плоской деформации 

имеет следующий вид: 

V 

V 

Ж.п. 

Рис. 1. Схема применения суперэлемента 

в задаче о растяжении полосы 

de 

f + g cos 2( θ −ψ 

) = 0, 

dα 

dg ⎛ 1 ⎞ 

f + ⎜ e − ⎟ cos 2 

dα 

⎝ 2 ⎠ 

dθ 

⎛ 1 ⎞ 

2g 

f − ⎜ e − ⎟ sin 2 

dα 

⎝ 2 ⎠ 

где 

u − 

f = 

( θ −ψ 

) 

( a′ 

cosα 

+ b′ 

sinα 

) 

u + ∂ v 

∂α 

= 0, 

( θ −ψ 

) − g = 0, 

; 

183


1 

e 

11 

+ 

2 

2 2 

= ( E E ) , g = ( E − E ) + E 

22 

b 

y 

А 

V n 

(a ) 

a 

V n 

(a ) 

Рис. 3. Жесткопластическая часть полосы 

1 

2 

11 22 

4 

– инварианты тензора Альманси; θ – угол 

наклона первого (алгебраически наибольшего) 

главного значения тензора E 

ij к оси Ox ; 

u, v – проекции скорости перемещений на 

α, β линии скольжения в подвижной системе 

координат, связанной с угловой точкой; 

α – полярный угол. 

На рис. 4 дана зависимость первого 

главного значения тензора Альманси E 

1 

от 

угла α в полярной системе координат с центром 

в вершине углового выреза (точка А). 

E E1max 

E 1 

E 1 max 

α 

0.5 

= π − δ 4 

0 

4 

Рис. 4. Зависимость максимальных деформаций от 

полярного угла при a′ 

= V , b′ 

= 0 

3π 

x 

α 

12 

184 

Наибольшее значение 

1 

= определяется 

параметрами жесткопластической 

области и скоростью движения вершины углового 

выреза ( m= a ′ i+ 

b′ 

j). Рассматриваемый 

пример показывает, что изменение положения 

углового выреза в полосе может 

моделировать процесс распространения трещины, 

если принять за механическую характеристику 

разрушения материала максимально 

допустимые деформации E 1 max 

. 

Данный подход к описанию процессов 

зарождения и распространения трещин может 

быть обобщен на пространственное деформирование 

материала [5, 6]. 

Деформационные состояния идеального 

жесткопластического тела. Идеальное 

жесткопластическое тело предполагается несжимаемым. 

Условие несжимаемости можно 

записать в виде 

( − 2 )( 1− 

2E 

)( 1− 

2E 

) 1 

1 

1 2 

3 

= 

E . (2) 

Это уравнение определяет в пространстве 

главных деформаций E 

i 

гиперболическую 

поверхность третьего порядка 

(рис. 5,а). 

Рассмотрим проекцию поверхности 

на девиаторную плоскость с нормалью, равнонаклоненной 

к осям E 

i 

(рис. 5,б), на которой 

представлены проекции линий уровня 

(линий пересечения поверхности с 

плоскостью, параллельной девиаторной 

плоскости, расположенной на расстоянии 

( E + E E ) 3 

h = + до начала координат. 

1 2 3 

/ 

Поверхность обладает симметрией 

относительно трех плоскостей, проходящих 

через координатные оси и линию, равнонаклоненную 

к осям координат, что следует из 

симметрии уравнения (2) относительно 

E 

1,E2, 

E3 

. Будем изображать процессы деформирования 

частиц идеального жесткопластического 

материала линиями L, расположенными 

на поверхности . 

Условия разрушения (деформационно-энергетические 

критерии). С точки зрения 

идеального жесткопластического тела условия 

разрушения должны содержать величины, 

входящие в определяющие уравнения 

модели, тензоры деформаций и напряжений 

и их производные по пространственным переменным 

и времени: 

Ф 

( E , , σ ,...) = 0 ( k = ,...,N ) 

ε , 

k ij ij ij 

1 

где Ф 

k 

– изотропные функции тензорных аргументов; 

N определяется моделью разрушения.


E 3 

L 0 

O 

h 

E 2 

L 

E 1 

Это позволяет постулировать, что при 

пересечении линии (3) кривой, соответствующей 

процессу деформирования, происходит 

разрушение материала. 

В качестве аппроксимирующих кривых 

естественный интерес представляют линии 

уровня 

E + E 

1 

2 

+ E 

= H , 

( H = 3h 

), 

( 1 − 2E 

)( 1 − 2E 

)( 1 − 2E 

) = 0, 

1 

3 

2 

3 

(4) 

s 

1 

e 

1, 

, E 

1 

l 0 

Уравнения (5) означают, что критическая 

линия уровня, определяющая момент разрушения 

каждой частицы, приближается к 

недеформированному состоянию в процессе 

пластического деформирования соответственно 

диссипации энергии. Функция H(D) 

должна быть определена экспериментально. 

Особенность подхода состоит в локальном 

использовании жесткопластического 

анализа пластических течений в окрестносa) 

O 

б) 

Стандартные экспериментальные исследования 

по растяжению плоских и цилиндрических 

образцов показывают, что разрушение 

материалов происходит при определенных 

деформациях. При этом определяемые 

характеристики разрушения (относительное 

удлинение и сужение образца при 

разрушении) могут служить основой для вы- 

* 

числения соответствующих значений E 

i 

. 

Эти эксперименты определяют минимальную 

систему точек на поверхности , которая 

может быть аппроксимирована некоторой 

кривой 

s 

⎧Ф( E1 

,E2 

,E3 

) = 0, 

⎨ 

⎩( 1 − 2E1 

)( 1 − 2E2 

)( 1 − 2E3 

) 

3 

e 

3 

, 

, E 

h1 

h2 

h3 

l 

= 1. 

2 

e 

2 

, 

, E 

Рис. 5: а) поверхность деформационных состояний; 

б) проекция поверхности состояний 

на девиаторную плоскость 

3 

s 

(3) 

2 

так как эти линии всегда пересекаются меридиональными 

процессами деформирования 

и, в частности, кривыми, соответствующими 

стандартным испытаниям на одноосное 

растяжение-сжатие. Поэтому положение 

кривой (4) с определенной степенью приближения 

может быть получено экспериментально 

для каждого конструкционного материала. 

Вместе с тем известно, что даже при 

небольших циклически изменяющихся пластических 

деформациях при соответствующем 

числе циклов деформирования происходит 

разрушение практически всех материалов 

(малоцикловая усталость). Поэтому в 

уравнениях (4) должны быть включены параметры, 

учитывающие историю деформирования 

частиц материала. Одним из основных 

параметров истории деформирования является 

удельная диссипация энергии, совершенная 

частицей, вдоль всего пути S движения 

частицы: 

⎧E1 

+ E 

⎨ 

D = 

∫ 

S 

ε σ dt . 

ij 

ij 

Уравнения (4) при этом примут вид: 

2 

+ E 

3 

= H( D ), 

⎩( 1− 

2E1 

)( 1− 

2E2 

)( 1− 

2E3) 

= 1. 

(5) 

185


ти зон локализации пластических деформаций. 

Возможность такого анализа обусловлена 

результатами исследований, приведенных 

в [1–6]. 

Преимущества предлагаемого подхода. 

Предлагаемый подход: 

1) подтверждается корректным использованием 

экстремальных принципов неравновесной 

термодинамики; 

2) обеспечивает возможность формулировки 

критериев выбора предпочтительного 

пластического течения (иерархии решений), 

например, в следующем виде: реализуется 

такое пластическое течение, при котором 

максимальная удельная диссипация энергии 

минимальна; 

3) обеспечивает возможность формулировки 

критериев разрушения, согласованных 

с п. 4: разрушение материала происходит при 

достижении удельной диссипации энергии в 

частице материала критического значения; 

4) позволяет рассчитывать предельные 

значения полей тензоров деформаций и 

удельной диссипации энергии в окрестности 

концентраторов деформации. 


1. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория 

пластичности. - Владивосток: Дальнаука, 

1998. 

2. Хромов А. И. Деформация и разрушение 

жесткопластических тел. - Владивосток: 

Дальнаука, 1996. 

3. Хромов А. И.. Козлова О. В. Разрушение 

жесткопластических тел. Константы 

разрушения. - Владивосток: Дальнаука, 2005. 

4. Хромов А. И., Буханько А. А., Степанов 

С. Л. Концентраторы деформаций // ДАН. 

- 2006. - Т. 407. - № 6. - C. 777-781. 

5. Хромов А. И., Кочеров Е. П., Григорьева 

А. Л. Деформационные состояния и 

условия разрушения жесткопластических тел 

// ДАН. - 2007. - Т. 4. - № 413. - С. 481-485. 

6. Кочеров Е. П., Хромов А.И. Деформационные 

состояния и разрушение идеальных 

жесткопластических тел // Вестник 

СамГТУ. - 2006. - № 42. - С. 66-71. 

NUMERICAL-AND-ARALYTICAL METHODS OF DEFORMATION 

CALCULATION AND EVALUATION OF STRUCTURAL MEMBER 

STRENGTH IN MECHANICAL ENGINEERING 

© 2007 Ye. P. Kotcherov 

Joint-Stock Company «Samara Mechanical Engineering Design Bureau» 

The paper deals with various approaches to calculating deformation fields in plastic deformation localization 

areas (deformation concentrators), including those based on rigid plastic analysis. Algorithms of incorporating rigid 

plastic superelements into familiar program packages like MSC, ANSYS are proposed. Limiting values of deformation 

tensor field are calculated. An approach to evaluating structural member strength is proposed. 

186


УДК 621.664 

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОМЕРНОСТИ ПОДАЧИ ЖИДКОСТИ 

ШЕСТЕРЕННЫМ КАЧАЮЩИМ УЗЛОМ 

© 2007 А. Н. Крючков 2 , Л. В. Родионов 1 , М. С. Гаспаров 1 , Е. В. Шахматов 1 

1 


2 

Институт акустики машин 

Проводится анализ неравномерности подачи жидкости шестеренным насосом с использованием CAD 

процедур. Предложена уточненная зависимость мгновенной теоретической производительности шестеренного 

качающего узла от угла поворота шестерни. Приводятся результаты расчета неравномерности подачи жидкости 

по предложенной и известной методикам. 

Шестеренные насосы нашли широкое 

применение в машиностроении, что обусловлено 

простотой их конструкции, малой трудоемкостью 

изготовления, сравнительно небольшими 

габаритами и массой. Их важным 

преимуществом по сравнению с другими 

объемными гидромашинами является возможность 

непосредственного соединения с 

быстроходными двигателями, имеющими 

частоты вращения до 10000 об/мин и выше. 

К недостаткам шестеренных качающих узлов 

следует отнести чувствительность к механическим 

примесям в перекачивающей жидкости; 

рост зазоров в процессе эксплуатации, 

вызывающий увеличение утечек; неравномерность 

подачи жидкости и высокий уровень 

акустического шума. Последние два фактора 

тесно связаны между собой, так как основным 

источником шума шестеренного насоса 

являются колебания давления в полостях 

насоса, а также кавитационные процессы. 

Для обоснования мероприятий по снижению 

интенсивности колебательных и кавитационных 

процессов необходима разработка 

методов расчета мгновенной подачи насоса. 

Эти методы должны учитывать кинематическую 

подачу жидкости с учетом запирания 

жидкости в межзубовом пространстве. 

В отличие от других типов объемных 

гидромашин (плунжерных, шиберных и пр.), 

для которых известны и апробированы аналитические 

уравнения мгновенной подачи, 

для шестеренных насосов аналогичные зависимости, 

по-видимому, не совсем корректны. 

Это обусловлено сложной геометрией зоны 

вытеснения жидкости сопряженными шестернями, 

а также хорошей сходимостью известных 

формул для среднего расхода. В статье 

проведен анализ формул для расчета 

мгновенного расхода шестеренного насоса, 

предложенных отечественными и зарубежными 

исследователями, и предложена графоаналитическая 

зависимость мгновенной подачи 

жидкости шестеренным качающим узлом, 

позволяющая более корректно описывать 

мгновенную подачу насоса и уточнять 

степень неравномерности этой подачи. 

На основе классической теории зубчатого 

эвольвентного зацепления мгновенная 

подача шестеренного насоса с двумя одинаковыми 

шестернями определяется выражением 

[1] 

Q тн 

= bω(R е 

2 

- r 2 -x 2 ), (1) 

где b - ширина шестерни (длина зуба); ω - 

угловая скорость вращения ротора (шестерни); 

R e 

- радиус по окружности головок; r - 

радиус начальной окружности; x - расстояние 

от точки зацепления до полюса. Из (1) 

следует, что максимальная подача имеет место 

при x = 0, т. е. в момент касания зубьев в 

полюсе зацепления, и по мере удаления точки 

зацепления от полюса подача убывает по 

параболическому закону (рис. 1,а). Величина 

минимальной производительности насоса 

Q тн min 

зависит от конструктивных особенностей 

насоса. Если шестерни выполнены с 

перекрытием зацепления, то на протяжении 

части цикла зацепления (рис. 1,а) в контакте 

находятся одновременно две пары зубьев. 

187


Рис. 1. Теоретическая производительность шестеренного насоса со стороны нагнетания (а) 

и всасывания (б) 

При этом объем жидкости между ними оказывается 

запертым. Вступление в контакт 

каждой последующей пары зубьев вызывает 

скачкообразное изменение мгновенного расхода 

Q тн 

(3 - 4 и 3' – 4', рис. 1,а). 

Аналогично производительность насоса 

со стороны полости всасывания Q тв 

определяется 

по формуле (1), однако характер изменения 

этого параметра несколько иной 

(рис. 1,б). Здесь двупарному зацеплению шестерен 

соответствует участок 5 – 1', при этом 

скачок значения Q тв 

(1-2) происходит в момент 

выхода из зацепления пары зубьев, находящихся 

в полости всасывания. 

Изложенное теоретическое описание 

производительности шестеренного качающего 

узла требует уточнения, так как при выводе 

формулы (1) предполагалось, что подача 

насоса происходит за счет работы пары контактирующих 

зубьев. При этом в работе [1] 

анализировалось изменение объема, вытесняемого 

перемещением сопряженных профилей 

шестерен. В действительности же вытеснение 

зубьями рабочей жидкости из межзубовой 

впадины сопрягаемой шестерни реализуется, 

в основном, еще до зацепления. 

В работах [2-5] приведен анализ мгновенной 

подачи шестеренного насоса на основе 

малого изменения объема камеры нагнетания 

∆ W . Из выражения для ∆ W определяется 

величина вытесняемого расхода, причем 

∆ W = ∆W1 + ∆W2 

− ∆W3 

− ∆W4 

+ ∆W5 

, 

где ∆W1 , K , ∆W5 

- объемы, замещаемые гранями 

зубьев (рис. 2). Такой подход некорректен, 

т. к. объем ∆ W5 

вытесняется не полностью 

по причине его частичного замещения 

Рис. 2. Зацепление шестерен в гидромашине с внешним зацеплением зубьев 

188


зубом сопряженной шестерни. При этом с 

приближением точки зацепления к полюсу 

степень такого замещения возрастает. 

Вывод уточненной зависимости теоретической 

производительности необходим для 

построения корректной виброакустической 

модели шестеренного насоса, учитывающей 

более точное описание неравномерности 

подачи. Ввиду сложности получения точного 

аналитического решения зависимости расхода, 

обусловленного вытеснением жидкости 

зубьями из впадин (в зоне нагнетания) и их 

заполнением (в зоне всасывания), воспользуемся 

графоаналитическим методом. Для 

этого проанализируем изменение вытесняемого 

объема жидкости из межзубовых впадин 

зубьями ведущей и ведомой шестерен, 

начиная с момента входа зуба в соответствующую 

впадину сопрягаемой шестерни до 

конца вытеснения среды этим зубом, соответствующего 

максимальному вхождению зуба 

в соответствующую впадину. 

Угловое положение зуба ведущей шестерни 

Θ (рис. 3) в начале вытеснения им 

ВХ 

жидкости определяется нижеизложенными 

зависимостями, полученными из свойств 

эвольвентного зацепления и геометрии зуба. 

Полагаем, что при этом профиль зуба 1 касается 

окружности вершин зубьев сопряженной 

шестерни в точке А. При этом (из свойств 

эвольвенты) касательная к основной окружности 

АВ совпадает с прямой О 2 

А. Тогда из 

прямоугольного треугольника О 1 

О 2 

В можно 

определить характерные углы Θ , 

1 

β (рис. 3): 

Θ = arccos r 

0 

1 ; 

2r 

∪ 4r − r − Re 

β = 

, 

2 2 

BC 

0 

= 

r0 r0 

где r , r 

0 

- радиусы начальной и основной 

окружности. 

Искомый угол Θ определяем по формуле 

ВХ 

Θ = Θ − β + ϕ , (2) 

ВХ 

1 

где = ( ϕ + 2invα 

) ⋅0, 

5 

з 

π ∆S 

ϕ 

з 

; ϕ = − , ϕ - 

z 2r 

угол зуба по начальной окружности; α -угол 

зацепления; ∆S 

-боковой зазор. 

Подставив в выражение (2) значения 

параметров Θ , 

1 

β , ϕ 

з 

, получим окончательное 

значение угла начала вытеснения жидкости 

зубом ведущей шестерни: 

Θ 

ВХ 

2 

r 4r 

− r 

0 

= arccos − arctg 

2r 

r0 

π ∆S 

+ − + invα. 

2z 

4r 

2 

0 

− Re 

+ 

Рис. 3. Геометрические параметры момента начала вытеснения жидкости 

из впадины 2 зубом 1 ведущей шестерни 

189


Окончание процесса вытеснения зуба 

происходит при совпадении его оси симметрии 

с полюсом зацепления. При этом объем, 

вытесненный зубом из впадины, достигает 

наибольшего значения. 

Геометрический анализ процессов вытеснения 

(рис. 4) и заполнения (рис. 5) жидкостью 

межзубовых впадин позволил выявить 

уточненную зависимость расхода в зонах 

нагнетания и всасывания. 

Теоретическая зависимость производительности 

насоса от угла поворота шестерен 

имеет сложный разрывной характер и определяется 

суммарной подачей при работе зубьев 

ведущей и ведомой шестерен (рис. 6): 

⎛ dS1( 

ϕ ) dS ( ϕ ) ⎞ 

= ⎜ + ⎟⋅b⋅ω 

⎝ dϕ 

dϕ 

⎠ 

2 

QН , 

где S 1 

( ϕ ) , S 2 

( ϕ ) - мгновенные площади вытеснения 

зубьями ведущей и ведомой шестерен 

жидкости из соответствующих межзубовых 

впадин (рис. 5); b - ширина шестерни; 

ϕ - текущий угол поворота; ω - частота вращения. 

При предложенном подходе полагаем, 

что объем, вытесняемый зубом ( ϕ) 

dV , 

i 

связан с площадью вытеснения очевидной 

зависимостью: dV ( ϕ ) = dS ( ϕ) ⋅ b 

i 

i 

. Поэтому в 

дальнейшем изложении оперируем понятием 

«площадь вытеснения». 

На рис. 6,а показана предложенная графоаналитическая 

зависимость безразмерного 

расхода в зоне нагнетания от угла поворота 

шестерни Q ( ϕ) 

Н 

, полученная суммированием 

расходов, вытесняемых зубьями ведущей 

Q ( ϕ) 

и ведомой ( ϕ) 

Н1 

Величины Q ( ϕ) 

и ( ϕ) 

Н1 

Н2 

Q шестерен. 

Н2 

Q получены графическим 

дифференцированием мгновенных 

вытесняемых объемов жидкости по формулам 

(с использованием CAD технологий или 

CAD – процедур): 

Q 

Q 

Н1 

Н2 

где 

( S1( ϕ) 

∆ϕ) ⋅ ⋅ b QСР 

= ∆ ω ; 

( S2 

( ϕ) 

∆ϕ) ⋅ ⋅b 

QСР 

= ∆ ω , 

Q 

СР 

З 

= S ⋅ b ⋅ω ⋅ z π - средний вытесняемый 

расход; SЗ 

- площадь зуба; z - число зу- 

бьев; S ( ϕ) 

, ( ϕ) 

∆ 1 

∆ 2 

S - изменение мгновен- 

а б в г д 

Рис. 4. Фазы зацепления шестерен при всасывании жидкости за счет выхода зуба ведущей (а, б, в) 

и ведомой шестерен (г, д) из соответствующих полостей: а, г – начальный момент; 

б – промежуточный момент; в, д – конечный момент выхода зубьев 

а б в г д 

Рис. 5. Фазы зацепления шестерен при вытеснении жидкости зубом ведущей (а, б, в) 

и ведомой шестерен (г, д): а, г – начальный момент вытеснения; б – промежуточный момент; 

в, д – конечный момент 

190


ных площадей вытеснения при повороте 

шестерен на малый угол ∆ ϕ . Аналогично 

получена зависимость безразмерного расхода 

в зоне всасывания ( ϕ) 

Q (рис. 6,б) как 

суммы расходов заполнения межзубовых впадин, 

связанных с выходом зубьев ведущей 

Q ( ϕ) 

и ведомой ( ϕ) 

В1 

В2 

В 

Q шестерен. 

Из кинематики зоны нагнетания следует, 

что первым начинает вытеснение зуб ведомой 

шестерни (рис. 5,г), а затем зуб ведущей 

шестерни. При зацеплении шестерен 

суммарная теоретическая подача зубьев резко 

падает вследствие образования запертого 

объема. Подача пары зубьев, находящихся в 

зацеплении, осуществляется только зубом 

ведущей шестерни, которая значительно 

меньше, чем суммарная подача зубьев до зацепления. 

Ведущая шестерня вытесняет жидкость 

на протяжении всего угла вращения с момента 

входа ее зуба в межзубовую полость ведомой 

шестерни (при угле Θ ) до совмещения 

оси зуба с полюсом зацепления. При этом 

ВХ 

зуб ведущей шестерни начинает вытеснять 

жидкость с опережением момента зацепле- 

π 

ния на угол Θ 

ВХ 

− ⋅ε 

, а зуб ведомой шестерни 

начинает вытеснение гораздо раньше 

z 

момента зацепления – угол опережения со- 

π 

ставляет Θ 

ВХ 

− ⋅ ( ε − 1) 

. Окончание процесса 

вытеснения ведомой шестерни совпадает 

z 

с моментом вступления ее в зацепление. 

В зоне всасывания процессы заполнения 

межзубовых впадин происходят несколько 

иначе. В этой зоне зуб ведомой шестерни 

а 

б 

Рис. 6. Зависимость теоретической подачи вытеснения (а) и заполнения (б) шестеренного 

качающего узла от угла поворота 

191


вскрывает впадину на протяжении всего угла 

поворота: от положения оси зуба в полюсе 

до момента выхода зуба из впадины ведущей. 

Зуб ведущей шестерни вступает в работу в 

момент расцепления шестерен. 

За один цикл зацепления происходят 

процессы вытеснения и заполнения жидкости 

двумя зубьями, вступающими в работу 

через равные углы π z . Поэтому можно предположить, 

что основной частотой процесса 

вытеснения и заполнения является вторая 

зубцовая гармоника. Для подтверждения данного 

предположения представим полученные 

зависимости Q ( ϕ) 

и ( ϕ) 

Н 

Q в виде суммы 

постоянных и переменных составляющих 

расходов. 

На рис.7 показаны временные зависимости 

величин 

Q 

Н 

= Q 

Н.СР 

+ δQ 

и 

Н 

Q 

В 

= Q 

В.СР 

+ δQВ 

В 

для авиационного топливного насоса, основные 

геометрические и режимные параметры 

которого приведены в табл. 1, а также их 

спектральные характеристики. Последние 

позволяют определить основные частоты 

процесса вытеснения и заполнения шестерен, 

равные первой и удвоенной частоте их зацепления, 

причем на всасывании наиболее интенсивной 

является вторая зубцовая гармоника. 

Анализ геометрии и кинематики зацепления 

показал, что у двух основных источников 

колебаний шестеренного насоса разные 

основные частоты процесса: у процесса 

запирания жидкости основная частота совпадает 

с частотой зацепления шестерен, а основная 

частота второго источника, связанного 

с неравномерной подачей жидкости, – удвоенная 

частота зацепления. 

Такая особенность позволяет диагностировать 

данные источники при исследовании 

виброакустических свойств насоса. В 

?Q Н 

-1 

?Q ВС 

0 1 2 3 4 

0,4 

0,5 

0,2 

0 

-0,2 

-0,4 

-0,6 

0 

-0,5 

0 1 2 3 4 

Время, с 

а 

А qт 

x 10 -4 1 2 3 4 5 6 7 

x 10 -3 

x 10 -4 

Время, с 

б 

x 10 -3 

3 

А qт 

1 

2 

2 

1 

0 

1 2 3 4 5 6 7 

Частота, кГц 

в 

192 

0 

Частота, кГц 

г 

Рис. 7. Временные зависимости переменных составляющих расходов и их спектральное разложение 

Q Н 

δ , δ Q (а, б) и их спектральные характеристики (в, г) 

В

Таблица 1. Основные геометрические и режимные параметры качающего 

шестеренного узла 


№ п/п Геометрические параметры Значение 

1 Число зубьев z 11 

2 Модуль зацепления т, мм 6 

3 Зазор по спинкам зубьев, мм 0,5 

4 Ширина шестерни b, мм 21 

5 Диаметр окружности головок Re , мм 42 

6 Диаметр начальной окружности r , мм 36 

7 Диаметр делительной окружности R 

ДЕЛ 

, мм 33 

8 Диаметр основной окружности r 0 

, мм 36 

9 Диаметр окружности впадин Ri , мм 29 

10 Межцентровое расстояние А, мм 72 

11 Угол зацепления α , град 30,527 

12 Угол радиус-вектора эвольвенты в вершине зуба γ 

e 

, град 31 

13 Угол зацепления по вершинам зубьев α 

e 

, град 42,4 

14 Угол дуги по начальной окружности φ геом , град 15,966 

15 Высота зуба h, мм 13 

16 Шаг зацепления по основной окружности t 0 , мм 17,7 

17 Толщина зуба у вершины, мм 1,9 

18 Коэффициент перекрытия ε 1,1338 

19 Радиальный зазор в запертом объеме, мм 1,04 

20 Минимальный радиус контакта r 2 

, мм 20 

21 Давление нагнетания P 

Н 

, МПа 10 

22 Давление всасывания P 

В 

, МПа 1 

23 Частота вращения n, об/мин 4800 

24 Круговая частота ω , 1/сек 502,6 

частности, исследование пульсационного 

состояния на входе и выходе шестеренного 

качающего узла насоса, параметры которого 

приведены в табл. 1, показало, что основной 

составляющей спектра является первая зубцовая 

гармоника, а значит, основным источником 

пульсационной производительности 

выступает процесс защемления жидкости в 

запертом объеме. 

Характер пульсаций давления на входе 

и выходе насосного агрегата, представленный 

на рис. 8, свидетельствует о качественной 

сходимости предложенной модели определения 

мгновенной подачи жидкости шестеренным 

узлом. 

Результаты расчета неравномерности 

подачи жидкости по предложенной методике 

расчета и известной методике Юдина Е. М. 

[1] представлены в табл. 2. 

Из табл. 2 видно, что шестеренный насос 

имеет значительно большую теоретическую 

неравномерность подачи по сравнению 

193


Рис. 8. Изменение давления в межзубовой полости в зависимости от угла поворота шестерни 

для различных частот вращения: а) 1404 об/мин; б) 2009 об/мин 

Таблица 2. Сравнительные данные для параметров подачи шестеренного насоса, 

рассчитанные по известной и предлагаемой методикам 

Параметры подачи 

Расчет по методике Расчет по предлагаемой 

Юдина Е. М. [1] 

методике 

Средний расход 1.09 * 0.85 ** 

Максимальный расход Q 

MAX 

1.16 1.26 

Минимальный расход Q 

MIN 

0.89 0.46 

Степень неравномерности подачи 

QMAX 

− QMIN 

σ = 

Q 

0.232 0.63 

MAX 

2 

* 

2 ⋅π 

1 ⎛ 

2 2 t 

- расчет по формуле ⎟ ⎞ 

0 

Q = ⋅ ⋅ 

⎜ Re − r − , 

z 2 ⋅ Sz ⎝ 12 ⎠ 

** 

- среднеинтегральное значение расхода за период зацепления. 

194


с ранее предполагавшейся. При этом весьма 

велики «провалы» мгновенного расхода. Поскольку 

результаты моделирования по предлагаемой 

методике, основанной на анализе 

кинематики вытесняемых зубьями объемов, 

качественно описывают динамические процессы 

в насосе, то авторы полагают, что данный 

подход позволяет более корректно оценивать 

мгновенный расход шестеренного 

насоса. В дальнейшем планируется развивать 

предложенную модель с учетом утечек рабочей 

жидкости через торцовые разгрузочные 

канавки различной конфигурации. Целью 

дальнейших исследований является разработка 

системы автоматизированного выбора 

параметров шестеренного насоса с минимальной 

виброакустической активностью 

(или пульсационной производительностью). 


1. Юдин Е. М. Шестеренные насосы. - 

М.: Машиностроение, 1964. – 232 с. 

2. Башта Т. М. Гидравлические приводы 

летательных аппаратов. – М.: Машиностроение, 

1967. – 495 с. 

3. Грянко Л. П., Исаев Ю. М. Гидродинамические 

и гидрообъемные передачи в 

трансмиссиях транспортных средств: Учебное 

пособие. - СПб, 2000. – 265 с. 

4. Галеева Р. А., Сунарчин Р. А. Объемные 

гидромашины: Учебное пособие. – Уфа: 

изд. Уфимского ордена Ленина авиационного 

института им. Серго Орджоникидзе, 1984. 

– 174 c. 

5. P. Casoli, A.Vacca, G.L. Berta. A 

numerical model for the simulation of flow in 

hydraulic external gear machines. Power 

transmission and motion control. University of 

Bath. 2006. p. 147-165. 

6. M. Eaton, P.S. Keogh, K.A. Edge. The 

modeling, prediction, and experimental 

evaluation of gear pump meshing pressures with 

particular reference to aero-engine fuel pumps. 

Proc. IMechE Vol. 220 Part I: J. Systems and 

Control Engineering. 2006. p.365-379. 

ANALYSIS OF GEAR PUMP FLUID SUPPLY IRREGULARITY 

© 2007 A. N. Krutchkov 2 , L. V. Rodionov 1 , M. S. Gasparov 1 , Ye. V. Shakhmatov 1 

1 


2 

Institute of Machine Acoustics 

The paper presents an analysis of irregularity of fluid supply by a gear pump using CAD procedures. Refined 

dependence of instant theoretical capacity of a gear pump on the gear turn angle is proposed. Results of calculating fluid 

supply irregularity using the proposed method and the recognized ones are given. 

195


УДК 629.7.05 

ПОВЫШЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ 

ВОЗДУШНЫХ СУДОВ ЗА СЧЕТ АНАЛИЗА ПАРАМЕТРОВ ЧАСТИЦ 

ЗАГРЯЗНЕНИЯ РАБОЧЕЙ ЖИДКОСТИ 

© 2007 Л. М. Логвинов, М. А. Ковалев, И. И. Хабло 


Проведен анализ систем контроля работоспособности агрегатов гидросистем воздушных судов и показана 

необходимость их модификации. В качестве основного диагностического признака технического состояния 

гидроагрегатов выбраны параметры частиц загрязнения рабочей жидкости. Рассмотрены варианты бортовых 

и наземных систем контроля жидкостных систем воздушных судов, обеспечивающих определение остаточного 

ресурса гидроагрегатов. 

Практика показывает, что значительное 

число летных происшествий связано с отказом 

гидравлической системы самолета [1, 2]. 

Одним из главных направлений работ по повышению 

надежности агрегатов и узлов воздушных 

судов (ВС) является совершенствование 

имеющихся и разработка новых методов 

диагностирования их технического состояния. 

Известно [1-3], что одним из главных 

диагностических признаков для определения 

технического состояния узлов и агрегатов 

гидросистемы являются параметры рабочей 

жидкости, основными функциями которой 

являются смазка трущихся поверхностей, 

отвод с них продуктов (частиц) износа, а также 

снижение рабочей температуры поверхностей 

до номинальных значений. Основными 

параметрами рабочей жидкости гидросистемы 

являются степень ее загрязнения, вязкость, 

температура, давление, расход. С точки 

зрения влияния на работоспособность гидроагрегатов, 

наиболее важным параметром 

среди них является уровень загрязнения. Как 

показывает отечественный и зарубежный 

опыт, повышенная загрязненность рабочих 

жидкостей является в 70-90 % случаев причиной 

отказов гидросистем, в 50% случаев - 

отказов газотурбинных двигателей. Кроме 

того, загрязненность жидкости приводит к 

снижению долговечности агрегатов в 1,5 - 3 

и более раз [1-3]. 

Рассмотрим обобщенную схему гидравлической 

системы ВС, приведенную на 

рис. 1. Схема позволяет провести анализ и 

выделить основные компоненты и агрегаты, 

техническое состояние которых необходимо 

контролировать, чтобы обеспечить надежную 

работу как отдельных устройств, так и гидросистемы 

в целом. 

Изменение характеристик любого из 

указанных на схеме агрегатов и самой рабочей 

жидкости приводит к полному или частичному 

отказу в работе гидроагрегатов. Например, 

при выходе из строя фильтра Ф1 в 

напорной магистрали (прорыв фильтроэлемента) 

увеличивается уровень загрязнения 

рабочей жидкости на входе в распределитель. 

Это не приведет к мгновенному и полному 

отказу в работе гидросистемы, но, спустя некоторое 

время, из-за увеличившегося загрязнения 

жидкости золотниковый распределитель 

заклинит, и произойдет полный отказ 

гидросистемы. В случае же выхода из строя 

насоса (например, заклинивание поршневых 

групп) произойдет мгновенный и полный 

отказ в работе гидросистемы. 

Важной тенденцией развития гидросистем, 

которую необходимо учитывать при 

выявлении наиболее важных диагностических 

признаков, является увеличение рабочего 

давления жидкости на современных ВС. 

Высокое давление позволяет при минимальных 

размерах гидросистем добиться значительной 

производительности. Например, в 

разработках ОАО «ОКБ СУХОГО» используются 

гидравлические системы, рабочее давление 

в которых достигает значения 35 МПа, 

196


К2 

ГБ 

Ф2 

К3 

Н 

ПК 

ГА 

РУ 

ИУ 

К1 

ОК 

Ф1 

Рис. 1. Обобщенная схема гидравлической системы ВС: 

Н - насос переменной производительности; ГБ - гидробак; ПК - предохранительный клапан; 

ГА - гидроаккумулятор; Ф1, Ф2 - фильтры напорной и сливной магистрали соответственно; 

РУ - распределительное устройство; ИУ - исполнительное устройство; ОК - обратные клапаны; 

К1, К2 – клапаны нагнетания и всасывания для подключения наземной гидроустановки; 

К3 – клапан заправки гидросистемы 

а в перспективе – 56 МПа [4]. Однако при 

этом необходимо уменьшать зазоры в узлах 

трения (до 1...3 мкм), что, в свою очередь, 

приводит к возрастанию требований к уровню 

загрязненности рабочей жидкости [2-5]. 

Анализ параметров частиц загрязнения 

важен и с точки зрения диагностирования 

технического состояния гидроагрегатов. Известно 

[1, 2], что основной причиной появления 

в рабочей жидкости частиц загрязнения 

является процесс изнашивания пар трения 

в трибомеханических узлах гидроагрегатов. 

Причем количество и размер частиц, 

выделяемых соприкасающейся парой, представляют 

собой ценную информацию о техническом 

состоянии всего узла трения агрегата. 

Перемещение жидкости вместе с частицами 

износа в более отдаленные участки 

гидросистем позволяет обнаруживать эти 

частицы в любом сечении гидросистемы, что 

дает возможность контролировать интенсивность 

генерирования этим агрегатом частиц 

износа в рабочую жидкость [2, 6, 7]. Это, в 

свою очередь, позволяет производить оценку 

зазора в узле трения системы на основе 

расчета массового выноса частиц износа из 

узла. Контролируя динамику изменения интенсивности 

генерирования частиц износа и 

значение зазора, можно с достаточно высокой 

степенью достоверности определить техническое 

состояние узла трения и остаточный 

ресурс гидроагрегата. 

Таким образом, одним из важнейших 

диагностических признаков технического 

состояния гидросистемы являются параметры 

частиц загрязнения рабочей жидкости. К 

таким параметрам, прежде всего, относится 

дисперсный состав частиц (концентрация и 

размер). На основе его анализа можно, вопервых, 

путем сравнения фактического уровня 

загрязнения с допустимыми значениями, 

указываемыми разработчиками гидросистем, 

определить возможность дальнейшей эксплуатации 

ВС и, во-вторых, прогнозировать 

остаточный ресурс гидроагрегатов. 

Действенной мерой контроля и анализа 

работоспособности систем и агрегатов ВС 

в процессе полета, а также при выполнении 

различных видов подготовки ВС к полетам 

является использование бортовых средств 

контроля и регистрации полетных данных 

самолета. 

Анализ сложившейся ситуации с безопасностью 

полетов и существующих методов 

контроля работоспособности гидросистем 

ВС указывает на необходимость разработки 

такой системы функциональной диагностики, 

которая, работая в реальном масштабе 

времени и используя встроенные средства 

контроля, позволила бы прогнозировать от- 

197


казы и определять остаточный ресурс наиболее 

важных гидроагрегатов. 

Наиболее перспективными методами 

контроля технического состояния жидкостных 

систем можно считать радиоэлектронные 

(фотоэлектрический, пьезоэлектрический, 

контактно-зарядный, ультразвуковой, 

акустический, вихретоковый и др.) методы и 

датчики встроенного контроля (ДВК) технического 

состояния жидкостных систем по 

изменению уровня загрязнения жидкости 

частицами износа, генерируемых трибомеханическими 

узлами изделий [2, 3]. ДВК параметров 

дисперсной фазы не требуют традиционного 

отбора жидкости и позволяют 

повысить объективность, оперативность и 

информативность контроля. Такие ДВК разработаны 

в отраслевой научно-исследовательской 

лаборатории ОНИЛ-16 Самарского 

государственного аэрокосмического университета 

имени академика С. П. Королева 

(СГАУ). На их основе созданы диагностические 

системы типа «Поток», «Фотон» [6, 7], 

качество и высокие возможности которых 

подтверждаются сертификатами и опытом 

эксплуатации в различных отраслях народного 

хозяйства. 

Для осуществления встроенного контроля 

гидроагрегатов можно предложить систему, 

в состав которой входят ДВК, установленные 

непосредственно в гидравлической 

системе ВС, и блок обработки информации 

(БОИ). Места установки ДВК определяются 

в ходе анализа конкретной гидравлической 

системы с учетом опыта эксплуатации и вероятности 

отказа отдельных гидроагрегатов. 

БОИ сопрягается с бортовыми системами 

контроля ВС. Принцип работы системы контроля 

заключается в том, что на основе информации, 

поступающей от ДВК, БОИ определяет 

дисперсный состав частиц износа. 

Далее на основе синтезированного алгоритма 

БОИ оценивает работоспособность отдельных 

узлов гидросистем и прогнозирует 

остаточный ресурс выбранных гидроагрегатов 

и системы в целом. Эта информация документируется 

на носители, а в ряде случаев 

может индицироваться пилоту в виде предупреждающего 

сигнала. Возможны различные 

варианты анализа информации от ДВК. 

Например, если установить в гидросистеме 

один ДВК, то можно определять класс чистоты 

рабочей жидкости. Превышение им допустимого 

значения указывает на невозможность 

эксплуатации такой системы и высокую 

вероятность отказа. Причем динамика 

изменения уровня загрязнения является важным 

диагностическим признаком, позволяющим 

прогнозировать отказ на ранней стадии. 

Если же установить в гидросистеме два ДВК, 

например, на входе и выходе насоса (рис. 1), 

то обработка сигналов от них позволит контролировать 

интенсивность генерирования 

этим элементом гидросистемы частиц износа 

в рабочую жидкость и производить оценку 

зазоров в узле трения на основе расчета 

массового выноса частиц износа из узла. Контролируя 

динамику изменения интенсивности 

генерирования частиц износа и значение 

зазора, можно определить остаточный ресурс 

насоса и информировать об этом через системы 

контроля обслуживающий персонал. 

Такая схема контроля работоспособности агрегатов 

и узлов жидкостных систем позволит 

в конечном итоге перейти от метода эксплуатации 

этих систем по календарным срокам 

к эксплуатации по состоянию, что снижает 

затраты на эксплуатацию и повышает 

надежность систем. 

Однако оснащение находящихся в эксплуатации 

ВС такой системой контроля путем 

доработки гидросистемы требует значительных 

затрат и, вероятно, конструктивных 

изменений. Поэтому такой вариант системы 

контроля целесообразно рассматривать при 

разработке новых образцов авиационный техники. 

Для диагностирования гидросистем, 

используемых в настоящее время на ВС, целесообразно 

рассмотреть следующую систему 

наземного контроля. 

При контроле гидросистем ВС в наземных 

условиях функции насоса гидросистем 

выполняет наземная подвижная гидроустановка 

(ПГУ). ПГУ подключается при помощи 

шлангов к клапанам нагнетания и всасывания 

гидросистемы самолета (рис. 1, клапаны 

К1, К2). Основные параметры ПГУ (ра- 

198


бочее давление, производительность) должны 

совпадать с аналогичными параметрами 

гидросистем. 

В этом варианте контроля анализ частиц 

загрязнения рабочей жидкости можно 

проводить при помощи двух ДВК, установленных 

во всасывающей и нагнетающей линиях 

между самолетом и ПГУ. Использование 

двух ДВК позволяет учитывать загрязнения, 

вносимые в рабочую жидкость агрегатами 

ПГУ. При помощи такой системы 

можно не только определять уровень загрязнения 

рабочей жидкости гидросистемы ВС, 

но и отслеживать динамику изменения этого 

уровня в нагруженных режимах (выпуск и 

уборка шасси, выпуск и уборка закрылков 

и т. д.). Наблюдая за изменением величины 

загрязнения при поочередном срабатывании 

агрегатов, можно получить диагностическую 

информацию о техническом состоянии каждого 

из них. Применение такой системы контроля 

при минимальных затратах (установка 

ДВК на ПГУ и обслуживание системы контроля) 

позволит отказаться от использования 

метода контроля чистоты рабочей жидкости 

по отобранным пробам. 

С целью подтверждения работоспособности 

предлагаемой методики диагностирования 

технического состояния агрегатов гидравлической 

системы ВС на военной кафедре 

СГАУ был проведен эксперимент. Объектом 

исследования были выбраны агрегаты 

общей гидросистемы самолета МИГ-29. На 

самолете применяется рабочая жидкость 

АМГ-10. При этом в качестве источника 

гидравлической энергии использовалась 

ПГУ-210 с рабочим давлением до 21 МПа и 

производительностью до 45 л/мин. Для анализа 

уровня загрязнения жидкости использовалась 

система «Фотон-965», оснащенная 

двумя ДВК [6]. 

В результате проведенного эксперимента 

была установлена принципиальная возможность 

использования описанной методики 

для определения уровня чистоты рабочей 

жидкости. Уровень загрязнения рабочей жидкости 

исследуемой гидросистемы составил 

13 класс согласно ГОСТ 17216-2001, причем 

класс чистоты рабочей жидкости изменялся 

при включении в работу того или иного гидроагрегата. 

Таким образом, предлагаемые варианты 

системы контроля работоспособности 

гидросистемы предполагают использование 

ДВК, что дает возможность проводить оперативный 

объективный контроль параметров 

рабочей жидкости. 

Отметим, что рассмотренный подход 

может быть применен к другим жидкостным 

системам ВС - топливной и масляной, т. к. 

топливо и масло в этих системах выполняют 

функции рабочей жидкости. 


1. Fitch E. C. Fluid contamination control 

// Technology transfer Series #4, Oklahome, FFS, 

INC. 1988. 

2. Логвинов Л. М. Анализ и синтез преобразователей 

концентрации дисперсной 

фазы для систем управления и контроля технического 

состояния изделий авиационной 

техники. Диссертация на соискание ученой 

степени доктора технических наук. – Самара: 

СГАУ, 1995. 

3. Логвинов Л. М. Техническая диагностика 

жидкостных систем технологического 

оборудования по параметрам рабочей жидкости. 

– М.: ЦНТИ «Поиск», 1992. 

4. Орлов Ю. М. Авиационные объемные 

гидромашины с золотниковым распределением. 

- Пермь: ПГТУ, 1993. 

5. Громаковский Д. Г., Логвинов Л. М. 

Исследование параметров частиц износа, генерируемых 

в процессе трения // Трение и 

износ. - 1996. – Т. 17. - № 1. С. 94-99. 

6. Логвинов Л. М., Поминов Е. И., Кудрявцев 

И. А. и др. Концепция функциональной 

диагностики гидравлических систем технологического 

оборудования по параметрам 

частиц износа // Ремонт, восстановление, 

модернизация. - 2002. - № 3. - С. 8-13. 

7. Логвинов Л. М., Кудрявцев И. А., 

Поминов Е. И. и др. Функциональная диагностика 

гидравлических систем с помощью 

датчиков встроенного контроля // Техника 

машиностроения. - 2001. - № 5. - С. 36-39. 

199


INCREASING THE RELIABILITY OF AIRCRAFT HYDRAULIC 

SYSTEMS THROUGH ARALYSING WORKING FLUID 

CONTAMINATION PARTICLE PARAMETERS 

© 2007 L. M. Logvinov, M. A. Kovalyov, I. I. Khablo 


Systems controlling the serviceability of aircraft hydraulic system units are analysed, and the necessity of their 

modification is shown. Working fluid contamination particle parameters are chosen as the main diagnostic indicator of 

the technical state of hydraulic units. Variants of airborne and ground systems controlling aircraft fluid systems are 

discussed which make it possible to determine the residual resource of hydraulic units. 

200


УДК 621.983.001 

ПОВЫШЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ВЫТЯЖКИ 

ТОНКОЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ В ШТАМПЕ 

С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ (ПРИЖИМОМ) 

© 2007 И. П. Попов, Е. С. Нестеренко 


Исследован процесс осесимметричной вытяжки тонколистового материала в штампе с упругим прижимом, 

прилегающим по всей поверхности фланца. Предложенный способ вытяжки позволяет повысить предельный 

коэффициент вытяжки материала. 

Анализ справочника [1] и приведенных 

в нем опытных данных показывает, что при 

вытяжке тонкостенных листовых материалов 

с уменьшением относительной толщины заготовки 

на первом переходе коэффициент 

вытяжки уменьшается до 20 %. 

Так как в процессе вытяжки краевая 

часть фланца получает увеличение толщины, 

причем наиболее интенсивно вблизи края 

заготовки (при вытяжке тонколистового материала 

разнотолщинность фланца достигает 

30 % [1]), то усилие прижима распределяется 

по узкой кольцевой части фланца, граничащей 

с наружным краем заготовки. Следовательно, 

площадь контакта прижима с 

фланцем заготовки мала, и для ликвидации 

гофрообразования необходимо увеличивать 

силу прижима, что приводит к увеличению 

сил трения, росту напряжений в опасном сечении 

и преждевременному разрыву заготовки 

при прочих равных условиях. 

Результаты опытов показали, что при 

вытяжке относительно тонкостенных загото- 

S 

вок ( < 0, 006 ) в случае, если прижим распределяется 

не по кромке фланца, как в тра- 

D 

диционном случае, а по всей его поверхности 

в процессе вытяжки, коэффициент вытяжки 

увеличивается. Это явление объясняется 

тем, что при таком условии вытяжки требуется 

меньшее давление прижима, устраняющее 

гофрообразование. 

На кафедре обработки металлов давлением 

Самарского государственного аэрокосмического 

университета конструктивная возможность 

проведения вытяжки с прижимом, 

прилегающим по всей поверхности фланца, 

выявлена с помощью использования упругих 

свойств штамповой оснастки: прижима, выполненного 

в виде кольца переменного сечения, 

обеспечивающего упругие перемещения, 

которые позволяют прижать фланец заготов- 

Рис. 1. Конструкция штампа для вытяжки 

тонколистового материала 

с использованием упругого прижима: 

1 - кольцо опорное; 2 - прижим упругий; 

3 - обойма; 4 - матрица; 5 - пуансон; 

6 - выступ кольцевой; 7 - заготовка 

201


ки с необходимым давлением по всей его 

поверхности [3]. На рис. 1 представлена конструкция 

штампа. 

Усилие на прижим передается через 

кольцевой выступ 6, который расположен по 

внутреннему радиусу прижима 2. В процессе 

вытяжки под действием усилия прижим 

будет упруго деформироваться. Величина 

упругого перемещения ограничена упругими 

свойствами материала, которые должны превышать 

максимальную величину разнотолщинности 

на фланце. 

Найдем максимальные растягивающие 

напряжения при использовании жесткого и 

упругого прижимов без учета изменения толщины 

заготовки. 

Максимальные растягивающие напряжения 

с учетом упрочнения, силы прижима, 

изгиба и трения на кромке матрицы равны 

[2, 4]: 

⎡ 

1 

2ψ 

ш 

К 

ш 

⎢⎛ 

В 

−1 ⎞ 1 −ψ 

t 

σ ⎜ ⎟ 

в 

F 

⎥ 

ρ max 

= σ 

+ 

тр 

+ ( 1 + 1,6 f 

тр 

) 

⎢ 

2ψ 

ш 

2rM 

+ t ⎥ , 

где 

F 

тр 

⎢ 

⎝ 

⎣ 

f 

трQ 

ж = πR 

tσ 

, 

Н 

⎠ 

в 

⎤ 

⎥⎦ 

(1) 

F 

тр 

у = 

π 

2 f 

тр 

Q 

( RН 

+ rд 

) ⋅tσ 

в 

Здесь σ ρ max 

– максимальное растягивающее 

напряжение; Q – усилие прижима; 

Fтр ж, Fтр 

у - сила трения для жесткого и упругого 

прижимов, соответственно; К В 

– коэффициент 

вытяжки; ψ ш 

– относительное сужение; 

t – толщина заготовки, r М 

– радиус 

матрицы; f тр 

– коэффициент трения; σ в 

– предел 

прочности материала; R Н 

– начальный 

радиус заготовки; r д 

– радиус детали. 

Построим зависимость σ ρ max 

от К В 

при условиях: t = 0,5мм; r д 

= 50мм; 

σ в 

= 400 кН/мм 2 ; r М 

=5мм; ψ ш 

=0,13; f тр 

=0,15; 

Q = 100кН (рис. 2) и определим предельное 

значение К В 

из условия: σ ρ max 

≤ σ 

в [2]. 

Из графика видно, что максимальные 

значения напряжений несколько выше при 

использовании упругого прижима и предельный 

К В 

при упругом прижиме равен 1,82, а 

при жестком – 1,85. Однако рассмотренные 

условия не учитывают механизма возможного 

гофрообразования и вследствие этого силу 

прижима. 

. 

Рис. 2. Зависимость максимальных растягивающих напряжений от коэффициента вытяжки 

без учета возможного гофрообразования фланца 

202


Определим усилия прижимов, необходимые 

для ликвидации гофр, по методике [5]. 

Исследования показали, что форма потери 

устойчивости зависит от условий прижима: 

в зависимости от усилия прижима Q, трения 

f и механических свойств материала фланец 

заготовки при использовании жесткого прижима 

может иметь различную форму потери 

устойчивости. Рассмотрим два случая. 

1. Если сила прижима Q очень мала и 

ее недостаточно для удержания волны, то под 

действием напряжений тангенциального сжатия 

происходит потеря устойчивости фланца 

заготовки и образование волнообразного 

гофра (рис. 3). 

Z 

s U 

σ θ 

θ 

U 

a 

b 

w 

0 

ρ 

V 

s V 

σρ 

Потеря устойчивости фланца заготовки при 

недостаточной силе прижима 

а) 

Рис. 3 

Схема выпучиваемого элемента фланца 

б) 

2. Если силы прижима Q достаточно для 

удержания волны, то потеря устойчивости 

происходит (рис. 4), но гофр по высоте небольшой, 

он проходит в зазор между матрицей 

и пуансоном и при переходе через вытяжное 

ребро матрицы выпрямляется. Однако 

для этого требуется дополнительная работа, 

что приводит к росту растягивающих напряжений, 

уменьшению К В 

и ухудшению качества 

детали из-за появления рисок. 

Z 

s U 

θ 

U 

a 

b 

w 

0 

V 

ρ 

s V 

σ θ 

Потеря устойчивости фланца при 

достаточной силе прижима 

а) 

Схема выпучиваемого элемента фланца 

б) 

Рис. 4 

203


Таким образом, механизм действия упругого 

прижима необходимо сравнивать со 

вторым случаем потери устойчивости при 

использовании жесткого прижима. Функцию 

прогиба для жесткого прижима запишем в 

виде [5]: 

1 ⎡ ⎛ ρ ⎞⎤ 

π ⋅θ 

ω = ω0 ⎢1 

− cos⎜2π 

⎟ 

b 

⎥sin 

(2) 

2 ⎣ ⎝ ⎠⎦ 

a 

c граничными условиями: 

при ρ = b, θ = a/2, cos2π = 1, ω = 0; 

при ρ =0, θ = a/2, cos0 = 1, ω = 0; 

при ρ =b/2, θ = a/2 cosπ = -1, ω = ω 0 

= max. 

При упругом прижиме фланец теряет 

устойчивость, как показано на рис. 3, потому 

что сила прижима распределена по всей поверхности 

фланца. Функцию прогиба для 

упругого прижима запишем в виде [5]: 

⎛ π ρ ⎞ π ⋅θ 

ω = ω 

0 ⎜1 

− cos ⋅ ⎟sin 

(3) 

⎝ 2 b ⎠ a 

с граничными условиями: 

при ρ = b, θ = a/2, cos(π/2) = 0, ω = ω 0 

= max; 

при ρ = 0, θ = a/2, cos0 = 1, ω = 0. 

Найдем усилие, необходимое для ликвидации 

гофрообразования, для чего воспользуемся 

энергетическим критерием устойчивости 

[5]: 

( − A ) A 

U + 

q 

= , (4) 

где U – работа внутренних сил, А – работа 

контурных внешних сил, А q 

– работа внешних 

сил прижима. 

Уравнение критического состояния 

плоского участка фланца имеет вид: 

a b 

∫∫ 

⎡ 2 

⎢ 

E 

⎣ 

0 0 

3 

p 

⎛ 

J 

⎜ χ 

⎝ 

2 

θ 

+ χ χ 

θ 

ρ 

+ χ 

2 

ρ 

+ χ 

2 

θρ 

χ 

−ψ 

K 

2 

2 

2 ⎤ ω 

( βω + m ω ) dρdθ+ 

0 = 0 

2 

σ 

⎞ 

⎟ + 

⎠ 

1 

+ tσ 

θ θ σ ρ 

2 

⎥ 

q , (5) 

⎦ l 

где q – параметр силы прижима, кН/мм; 

χ 

ρ , 

χ 

θ 

- кривизны срединной поверхности; 

χ 

ρθ - кручение срединной поверхности; Е Р 

- 

модуль пластичности изотропного материала; 

J - момент инерции; ω θ 

и ω ρ 

- частные производные 

функции прогибов по θ и ρ, соответственно; 

a - длина полуволны; b – ширина 

фланца; l – длина криволинейной части 

фланца по средней линии на данной стадии 

3 

4 

вытяжки; ψ = ( 1−n) 

, n - показатель упрочнения; 

К σ 

= 1- m σ 

+ m σ 

2 

; m σ 

σ 

ρ 

= ; 

σ 

c 1 2 

q = Q0 

+ c s 

ω 

; (6) 

0 

2 

Q 0 

– усилие прижима, необходимое для ликвидации 

гофрообразования; s –жесткость 

прижима (s = 0, т. к. прижим пневматического 

типа); с – постоянная; ω 0 

– максимальная 

амплитуда полуволны. 

Подставляя в уравнение (5) функции 

прогибов ω для жесткого (2) и упругого (3) 

прижимов, находим необходимое усилие для 

ликвидации гофрообразования. 

Для жесткого прижима Q 0(жест) 

равно 

2 2 

ω ⎡ 

0 

π l ⎛ b 8 2 

⎞⎤ 

Q0( жест) = ⎢− 2 ⎜σ 

θсрt N + π E 

p 

JM ⎟⎥ 

c ⎣ 4a b ⎝ 2 3 ⎠ 

, ⎦ 

θ 

(7) 

где N и M - переменные, зависящие от размеров 

выпучиваемого элемента фланца; σ θ ср 

– 

величина сжимающих напряжений, которая 

находится как среднее значение сжимающих 

напряжений по наружному и внутреннему 

краям фланца. 

Для упругого прижима Q 0(упр) 

равно 

2 

ω ⎡ 

0 

πl 

⎛ 

2 3 2 ⎞⎤ 

Q0( упр) = σ 

2 θсрt bN π EJM 

p 

c 

⎢− ⎜ ⋅ + ⎟ 

4ab 

4 

⎥ 

⎣ ⎝ 

⎠⎦ . 

(8) 

Примем, что сила прижима воспринимается 

каждым из элементов в точке u = a/2; 

v = b/2. Для жесткого прижима с = 2, для упругого 

прижима с = 0,586. Значения усилия 

прижимов в момент достижения максимального 

усилия вытяжки представлены в табл. 1 

при прочих равных условиях (r В 

=50 мм, 

t = 0,5мм, β = 1, n = 0,15, ω 0 

= 1 мм). 

204


Таблица 1. Значения усилий жесткого Q о(жест) 

и упругого Q о(упр) 

прижимов при 

различных коэффициентах вытяжки при максимальном значении усилия вытяжки 

К В 1,4 1,6 1,8 1,9 2 2,2 

Q о(жест) , кН 93 100 118 134 140 148 

Q о(упр) ,кН 9 10 12 13 15 17 

Из табл. 1 следует, что применение упругого 

прижима, необходимого для ликвидации 

гофрообразования, требует значительно 

меньшего усилия, чем при использовании 

жесткого прижима. Это приводит к уменьшению 

составляющей усилия трения на фланце 

и снижает напряжения в опасном сечении. 

Определим предельный К В 

с подстановкой 

рассчитанных усилий прижима (табл. 1). Для 

этого построим зависимость σ ρ max 

от К В 

при условиях: t = 0,5 мм; r д 

= 50 мм; σ в 

= 

=400 кН/мм 2 ; r М 

= 5 мм; ψ ш 

= 0,13; f тр 

= 0,15; 

Q о(жест) 

= 100 кН, Q о(упр) 

= 10 кН (рис. 5). 

Из рис. 5 следует, что предельный коэффициент 

вытяжки при использовании упругого 

прижима равен 2,01, а при использовании 

жесткого – 1,63. 

Таким образом, результаты расчетов 

процесса вытяжки с упругим прижимом, прилегающим 

по всей поверхности фланца, показывают, 

что для тонкостенных заготовок с 

S 

D 

≤ 0,006 можно использовать коэффициенты 

вытяжки на 20-30 % большие традиционных. 

Рис. 5. Зависимость максимальных растягивающих напряжений от коэффициента 

вытяжки с учетом гофрообразования фланца 

205



1. Романовский В. П. Справочник по 

холодной штамповке. – Л: Машиностроение. 

Ленингр. отд-ние, 1979. 

2. Сторожев М. В., Попов Е. А. Теория 

обработки металлов давлением. – М: Машиностроение, 

1977. 

3. Авторское свидетельство 1400723, 

СССР, МКИ 4 В 21 D 22/22, 24/04, Штамп для 

вытяжки. 

4. Попов И.П. Разработка процессов 

листовой штамповки и методов их проектирования 

для деталей с заданными размерами 

по толщине. Докторск. дис. - 1994. 

5. Головлев В. Д. Расчеты процессов 

листовой штамповки (Устойчивость формообразования 

тонкостенного металла). – М: 

Машиностроение, 1974. 

INEREASING LIMIT COEFFICIENT OF THIN MATERIAL DRAWING 

IN A DIE WITH AN ELASTIC ELEMENT (HOLDER) 

© 2007 I. P. Popov, Ye. S. Nesterenko 


The paper analyses the process of axially symmetric drawing of thin material in a die with an elastic holder 

bearing against the whole flange surface. The proposed drawing method makes it possible to increase the limit coefficient 

of material drawing. 

206


УДК 532.525 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЙ БОКОВЫХ ГРАНИЦ СТРУИ 

УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА, ВДУВАЕМОЙ В ПОПЕРЕЧНЫЙ ПОТОК ВОЗДУХА 

© 2007 Н. М. Рогачев 


Исследуется влияние соотношений скоростей потоков, степеней начальной турбулентности и конфигураций 

струй углекислого газа, распространяющихся в поперечном потоке воздуха, на положение боковых границ 

зоны смешения. 

Введение. В [1] приведены результаты 

исследований расположения передней границы 

зоны смешения струи, распространяющейся 

в сносящем потоке. Данная работа 

посвящена определению положений боковых 

границ одиночной струи углекислого газа, 

вдуваемой в поперечный однородный поток 

воздуха. Исследовалось влияние соотношений 

скоростей потоков (гидродинамических 

параметров), степеней начальной турбулентности 

и конфигураций вдуваемой струи на ее 

расширение. Начальные степени турбулентности 

изменялись постановкой в сносящий 

поток и в струю углекислого газа различных 

турбулизирующих решеток. Исследовались 

струи, истекающие в сносящий поток из отверстий 

круглой и овальной формы. Относительная 

скорость струи изменялась в диапазоне 

v = v0 v ∞ 

= 0,5;0,75;1,0;1,5;2,0, что 

соответствовало изменению гидродинамических 

параметров 

ρv 

q = = 0,38;0,85;1,51;3,40;6,06 . 

ρ 

2 

0 0 

2 

∞v∞ 

Описание экспериментальной установки 

приведено в [1]. 

Полученные результаты могут быть рекомендованы 

для использования при отработке 

конструкций камер сгорания газотурбинных 

двигателей как с точки зрения улучшения 

организации процесса смешения в камере, 

так и с точки зрения охлаждения стенок 

камеры. 

Методика проведения экспериментов 

и их результаты. Для обеспечения заданных 

соотношений скоростей v = ( 0,5− 2,0) 

были 

выбраны скорости: сносящего потока воздуха 

– 18 м/c,24 м/c,36 м/c ; струи углекислого 

газа – 18 м/c,24 м/c,30 м/c . С помощью жиклера, 

установленного в газовой магистрали 

и работающего на сверхкритическом перепаде, 

обеспечивалось постоянство скорости 

течения струй, вдуваемых в сносящий поток. 

В экспериментах исследовалось поле скоростей 

сносящего потока на выходе из сопловой 

камеры. Измерения проводились с помощью 

специальной гребенки, состоящей из 

трех трубок полного давления, расположенных 

в одной плоскости на расстоянии 20 мм 

друг от друга и имеющих одинаковую длину. 

Гребенка устанавливалась на координатное 

устройство и имела возможность перемещаться 

в поле течения сносящего потока. 

Профили давлений показали, что без установки 

турбулизирующих решеток экспериментальная 

установка позволяла получать равномерное 

распределение скоростей потока воздуха 

на выходе из сопловой камеры. Постановка 

турбулизирующих решеток существенно 

деформировала профили динамических 

напоров. 

Положение боковых границ зоны смешения 

струи с поперечным потоком определялось 

методом визуализации течения с помощью 

теневого прибора ИАБ-451. Оптическое 

стекло с вмонтированной трубкой подачи 

углекислого газа выставлялось перпендикулярно 

оптической оси прибора. Изображения 

потоков фиксировалось на фотопленку. 

По данным обработок фотопленок строились 

графики, отражающие положение границ 

зоны смешения. Каждая кривая на графиках 

получена в результате обработки 5 фотосним- 

207


ков. Максимальная случайная погрешность 

измерений не превышала 5 %. При построении 

графиков была выбрана система координат, 

представленная на рис. 1 (на рисунке не 

показана ось Оy, которая перпендикулярна 

плоскости чертежа). Все графики выполнены 

в безразмерных координатах. Некоторые 

из полученных фотографий приведены на 

рис. 2. 

v ∞ 

Математическая обработка экспериментальных 

данных осуществлялась с помощью 

системы MathCAD. В результате были получены 

две функции вида: z f ( xq , ) 

x 

x = , 

d 

z 

Рис. 1. Схема боковых границ струи 

= , где 

z 

z = - для круглой струи и 

d 

x 

x = , 

h 

z 

z = - для овальной струи. Здесь d – диаd 

x 

метр круглого отверстия; h – ширина овального 

отверстия. 

Результирующая функция определялась 


1. Рассматривался график при конкретном 

значении q. 

2. Из конкретного набора базовых функций 

Φ1, Φ2,..., Φ 

n 

находилась основная функция 

f ( x ) : 

( ) ( ) ( ) ( ) 

f x = K Φ x + K Φ x + + K Φ x . 

1 1 2 2 

... 

n n 

Коэффициенты K1, K2,..., K 

n 

подбирались 

системой MathCAD так, чтобы основная 

функция наилучшим образом совпадала 

с экспериментальной. Таким образом, для 

каждой базовой функции был подобран коэффициент, 

который использовался при построении 

основной функции для данного значения 

q. 

3. Находилась зависимость коэффициентов 

каждой базовой функции от q: 

1 1 

( ) 

K = K q по методу, изложенному в пункте 

2. 

4. Результирующая функция 

( , ) 

z = f xq равна: 

( ) = ( ) Φ ( ) + ( ) Φ ( ) + + ( ) Φ ( ). 

f xq K q x K q x K q x 

, 

1 1 2 2 

... 

n n 

Круглая струя 

Овальная струя 

v = 05 , 

v = 15 , 

Рис. 2. Фотографии струи в поперечном потоке 

208


5. Вышеуказанные действия проводились 

для круглой и овальной струй. 

Найденные параметрические функции 

имеют вид: 

для круглой струи 

( ) ( ) 

K ( ) 

( ) 

( ( ) ) 1 q K 

1 2 

2 q 

3( ) 

f x,q = lg x+ ⋅ x + + K q , 

где 

(1) 

16, 

907 

K1( q ) =− 10, 537q + − 49, 066+ 44, 535 q, 

q 

23, 

051 

K2( q ) = 14196 , q − + 67, 492− 59192 , q, 

q 

6146 , 

K3( q ) =− 3781 , q + − 17, 409+ 15, 739 q; 

q 

для овальной струи 

( ) 

( ) ( ( ) ( )) 

K1( q) 

= + 

2 3 

+ 

4 

− 07, 

f x,q x K q cos K q x K q , 

где 

(2) 

−3 2 −2 −2 

K1( q ) = 5510 , ⋅ q + 1210 , ⋅ q −2310 , ⋅ cos( 2q ) + 0485 , , 

q −102 

, 

K 

2 

q , q , , q 

q −1 

16 , 

( ) = 091( + 021) − 0263 , 

⎛ 14 , 607 , 

⎞ 

K3( q ) = 001 , ⎜109 , q + −16 , cos ( 73 , q −1) 

−05 

, ⎟, 

⎝ q 

⎠ 

0375 , 

K4( q ) = 0103 , q − −0448 , cos ( 38 , q −084 , ) − 1. 

q 

Экспериментальные данные и кривые 

параметрических уравнений представлены на 

рис. 3, 4. 

Из сопоставления экспериментальных 

графиков можно сделать следующие выводы: 

1. Возрастание относительной скорости 

струи углекислого газа v от 0,5 до 2,0 приводит 

к увеличению ее ширины. 

2. С увеличением уровня начальной турбулентности 

сносящего потока вдуваемая 

струя размывается при меньших значениях 

ординаты x. 

3. Увеличение уровня начальной турбулентности 

вдуваемой струи не приводит к 

заметному изменению границ зоны смешения. 

4. Аппликаты полуширины овальных 

струй при больших значениях v больше, чем 

4 

z 

d 

5 

3 

2 

4 

3 

2 

1 

1 

Обозначения: 1,2,3,4,5 - q = 038;085;151;34;606 

, , , , , 

Экспериментальные данные: ο - 1; ◊ - 2; - 3; 

+ - 4; x - 5 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 

x 

d 

Рис. 3. Истечение струи из круглого отверстия 

209


20 

15 

z 

h 

Обозначения: 1,2,3,4,5 - q = 038;085;151;34;606 

, , , , , 

Экспериментальные данные: ο - 1; ◊ - 2; - 3; 

+ - 4; x - 5 

5 

10 

5 

4 

3 

2 

1 

x 

h 

0 

5 10 15 20 25 30 

35 

40 45 

Рис. 4. Истечение струи из овального отверстия 

у круглых струй, а при малых значениях v 

закономерность обратная. При наличии турбулизирующих 

решеток во всем диапазоне 

изменения скоростей аппликаты полуширины 

овальной струи больше таковых для круглой 

струи. 


1. Рогачев Н. М. Смешение струи углекислого 

газа со сносящим потоком воздуха // 

Вестник Самарского государственного аэрокосмического 

университета имени академика 

С.П. Королева. – Самара: СГАУ, 2006, № 1. 

DEFINING THE POSITIONS OF CARBON DIOXIDE GAS JET SIDE 

BOUNDARIES WITH THE GAS INJECTED INTO THE TRANSVERSE AIR FLOW 

© 2007 N. M. Rogatchev 


The paper analyses the influence of flow velocity ratios, initial turbulence degrees and carbon dioxide jet 

configurations in the transverse air flow on the position of mixing area side boundaries. 

210


УДК 629.7.052:621.383 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТОЭЛЕКТРОННОГО ЦИФРОВОГО 

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В КОД С АВТОКОРРЕКЦИЕЙ 

ПОГРЕШНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ВЫЗВАННОЙ БИЕНИЯМИ 

КОДИРУЮЩЕЙ ШКАЛЫ 

© 2007 М. С. Рощупкин, П. Л. Токмак, Г. И. Леонович 


Рассмотрена математическая модель кодирующего сопряжения оптоэлектронного цифрового преобразователя 

перемещения, учитывающая воздействие внешних дестабилизирующих факторов. Перечислены основные 

дефекты оптомеханического узла и показано влияние таких факторов на функцию отклика преобразователя. 

Показан пример визуализации информации о влиянии виброударных воздействий на погрешность функции 

отклика при различных амплитудах виброколебаний. Проведены расчеты погрешности и дана ее оценка 

при введении автокоррекции, показывающая адекватность данной модели и эффективность введения автокоррекции. 

Одним из направлений в создании оптоэлектронных 

цифровых преобразователей 

перемещения (ОЦПП) для летательных и космических 

аппаратов является существенное 

уменьшение габаритов оптомеханического 

узла (ОМУ). Вместе с тем, с увеличением 

разрешающей способности и уменьшением 

рабочей зоны кодирующих шкал (КШ) доминирующий 

характер приобретает погрешность 

преобразования, вызываемая дифракцией 

света на отверстиях КШ оптического 

излучения [1-3]. Линеаризация функции отклика 

на этапе калибровки не дает ожидаемого 

эффекта из-за того, что в процессе эксплуатации 

на ОМУ воздействуют внешние 

дестабилизирующие факторы (ВДФ), которые 

вызывают нестабильность пространственного 

положения КШ в промежутке между 

излучателем и считывающими элементами. 

При этом наибольший вклад в эту нестабильность 

вносят виброударные воздействия 

(ВУВ) в широком спектре частот и амплитуд. 

Поскольку параметры ВУВ носят случайный 

характер, то для коррекции этой доминирующей 

составляющей погрешности преобразования 

одним из наиболее эффективных 

методов является метод вспомогательных 

измерений. При этом для конкретного типа 

ОМУ необходимо измерять текущее значение 

расстояния между КШ и источником излучения, 

а также учитывать функциональную зависимость 

погрешности функции отклика от 

этого расстояния. 

Структурная схема ОЦПП с автокоррекцией 

погрешности преобразования, вызванной 

биениями кодирующей шкалы, показана 

на рисунке 1. Кодирующая шкала (КШ) 3 

выполнена в виде жесткой непрозрачной пластины, 

в которой по определенной закономерности 

вырезаны отверстия. Период a 0 

следования 

и ширина отверстий определяются, 

исходя из величины диапазона Q измерения 

и заданной чувствительности δa измерителя. 

Два фотоприемника (ФП) 4 облучаются от 

источника излучения 1 через фокон 2 и перемещающуюся 

КШ. 

На выходе первого ФП формируются 

счетные импульсы, а на выходе второго ФП - 

импульсы управления. Определение направления 

перемещения и реверсивный счет импульсов 

производится управляемым реверсивным 

счетчиком 5. Чувствительность такого 

ОЦПП ограничена количеством отверстий 

на единицу перемещения: N=Q/a 0 

, а точность 

- инструментальными погрешностями 

выполнения КШ и считывающих профилей 

чувствительных поверхностей фотоприемников. 

При увеличении количества элементов 

КШ на единицу измеряемой величины рост 

разрешающей способности может сопровождаться 

резким увеличением технологических 

затрат и падением точности вследствие влияния 

оптических потерь - дифракции и рассеяния 

света, а также усиления влияния ВДФ. 

Добиться увеличения разрешающей способности 

без особого усложнения ОМУ можно 

211


10 

6 

N α T 

O 

Nα изм , Nd изм 

NΔα 

8 

N * α 

N α Г O 

5 

I 3 

9 

I 1 

I 2 

7 

45 

° 

Ndизм 

3 

1 

α 

4 

2 

a 0 / 2 

d о +Δd 

a 0 

Рис. 1. Двухотсчетный преобразователь перемещения шкалы в код с автокоррекцией 

введением второго отсчета. В качестве интерполируемого 

параметра выбирается амплитуда 

или пространственная фаза оптического 

сигнала. Информационная емкость такого 

ОЦПП равна 

⎛ Q ⎞ ⎛ a0 

n log log , 

a 

⎟ ⎞ 

= 

2 ⎜ 

⎟ + 

2 

⎜ 

⎝ 0 ⎠ ⎝ δα 

(1) 

⎠ 

где δa - разрешающая способность канала 

второго отсчета. 

ФП выполнены с профилированной 

чувствительной поверхностью, размеры которой 

равны размерам отверстий КШ 

и находятся между собой на расстоянии 

a 0 

(k+1/4), где k=0, 1, 2, 3... . 

С выхода КШ снимается промодулированный 

световой поток, который направляется 

на ФП. Каждый из ФП формирует функцию 

отклика, пропорциональную линейному 

перемещению КШ. С выходов ФП сигналы 

через соответствующие преобразователи 

напряжения в код (ПНК) 5 и 6 поступают в 

арифметико-логическое устройство (АЛУ) 8, 

которое формирует выходной код перемещения. 

Код содержит шкалу грубого отсчета, 

соответствующую суммарному количеству 

отверстий КШ, отсчитанных от линии считывания. 

Код точного отсчета получается 

путем квантования в ПНК функции отклика 

от единичного отверстия. Для устранения 

неоднозначности кодирования в диапазоне 

ТО, связанного с симметричностью информационного 

сигнала, используется управляющий 

сигнал от второго фотоприемника. 

Для оценки дифракционной погрешности 

преобразования была разработана математическая 

модель кодирующего сопряжения, 

построенная в соответствии с рисунком 2. 

Реальные геометрические размеры окон 

младших разрядных дорожек шкалы в двухотсчетных 

ОЦПП соизмеримы с расстояни- 

212


ем от КШ до считывающего элемента (СчЭ) 

и намного больше нижней границы l н 

спектра 

излучения. 

Комплексная амплитуда U p 

волны в точке 

Р наблюдения (рис. 2): 

U 

p 

где 

kU( x, y,z ) ikR 

= ∫ 

dfn 

2 πiR 

e , (2) 

Р 

R 

2 

2 

2 

= ( X − x ) + (Y − y ) + ( Z − z ) , X, Y, 

Z - координаты точки р наблюдения на плоскости 

P считывания, x, y, z - координаты точек 

волновой поверхности; 

a a 

− ≤ x ≤ , 

2 2 

b b 

− ≤ y ≤ , z = 0 ; U( x, yz , ) - амплитуда 

2 2 

световой волны на одном из отверстий шкалы, 

через которое проходит световой поток; 

df n - проекция элемента площади волновой 

поверхности на плоскость, перпендикулярную 

направлению волнового вектора k . 

Если считать, что U = U0 = const и 

Z = d (плоская волна падает нормально к 

плоскости отверстия КШ), то имеет место 

дифракция Френеля, и амплитуда дифрагированной 

волны имеет вид 

U 

p 

kU 

= 

2π 

2 

2 2 

( ik ( X − x ) + (Y − y ) + d ) 

a b 

2 2 

0 

exp 

i 

∫ ∫ 

2 

2 

−a 

− b ( X − x ) + (Y − y ) + 

2 2 

d 

2 

dydx 

. 

(3) 

Интенсивность света на поверхности 

считывающего элемента можно записать в 

следующем виде [ 3]: 

I ( x,y,d) 

p 

≡U 

( x,y,d ) 

p 

2 

2 

2 

0 

⋅{ [ C(Xˆ ) + C(Xˆ )] + [ S(Xˆ ) + S( Xˆ )] 

} 

4 + − + − 

2 

2 

[ C(Ŷ ) + C(Ŷ )] + [ S(Ŷ ) + S(Ŷ )] 

U 

= 

× { }, 

+ − + − 

2 

= 

v 

2 

v 

2 

⎛ πt 

⎞ 

⎛ πt 

⎞ 

где C( v ) = ∫ cos⎜ 

⎟dt, 

S( v ) = ∫ sin⎜ 

⎟dt 

- 

0 ⎝ 2 ⎠ 

0 ⎝ 2 ⎠ 

интегралы Френеля. 

Функция отклика (ФО) H(X d 

) СчЭ определяется 

соотношением 

× 

Y 

1 

y 

b 

Ф 0 

2 

α x 

df 

0 

0 

Ф с 

Y 

p(X,x,Y,y) 

P 

R 

0 

b d 

γ 

d0+Δd 

ds 

0 

a d 

Z 

x 

a 

a 0 

X 

z 

Рис. 2. Схема прохождения параллельного светового пучка через кодирующее сопряжение ОЦПП 

213


H( Xd ) = ∫ϕ ( X ,Y ) ⋅ I 

p( 

X ,Y ,Z )dsn 

, (4) 

Sd 

где ϕ(X,Y) - функция распределения относительной 

чувствительности фотоприемника 

по считывающей поверхности; ds n 

- проекция 

элемента площади СчЭ ds на плоскость, 

нормальную к направлению падения светового 

луча. 

Дифракционные погрешности преобразования 

вызываются наличием фиксированного 

расстояния d 0 

и дополнительных случайных 

вибрационных перемещений ∆d КШ 

между источником излучения (ИИ) и фотоприемным 

устройством. 

Оценка погрешности, вызванной дифракционными 

явлениями при виброударном 

воздействии, была произведена с помощью 

разработанной авторами «Автоматизированной 

системы моделирования функции отклика 

ОЦПП АСМФО». Программа позволяет 

моделировать функцию отклика в двухотсчетном 

ОЦПП с учетом волнового характера света, 

инструментальных и методических погрешностей 

ОМУ для различных параметров 

отверстий КШ в условиях воздействия ВДФ. 

На рисунке 3 показан пример визуализации 

информации о влиянии виброударных 

воздействий на погрешность ФО при различных 

амплитудах d виброколебаний и равномерном 

перемещении кодирующей шкалы 

тносительно СчЭ. Из графиков видно, что 

погрешность имеет нелинейный характер, а 

диапазон ее изменения варьируется в зависимости 

от значения d: с ростом d увеличивается 

диапазон изменения погрешности ФО. 

При приближении КШ к СчЭ наблюдается 

уменьшение амплитуд осцилляций. Однако 

для надежного функционирования ОМУ расстояние 

d* между КШ и СчЭ обычно выбирается 

из соотношения 

d 

* 

= d ≥ 2∆d 

. (5) 

0 

max 

В ходе проведенного вычислительного 

эксперимента были получены значения относительной 

погрешности, вызванной торцевыми 

биениями КШ. Для 16-разрядного преобразователя 

перемещения в диапазоне 0...5 см 

ее максимальное значение составило около 

15 % (потеря точности составляет 2…4 разряда). 

Это доказывает, что такую погреш- 

Δα, мкм 

α, мкм 

Рис. 3. Зависимость погрешности ∆α от перемещения α при фиксированных значениях 

расстояния d между КШ и ИИ 

214


ность необходимо учитывать и компенсировать 

при работе ОЦПП в жестких условиях 

эксплуатации. Для реализации схемы автоматической 

коррекции погрешности преобразования 

методом вспомогательных измерений 

в ОЦПП был введен дополнительный 

измеритель расстояния между КШ и источником 

излучения (ИИ) и реализован алгоритм 

ввода полученных на этапе калибровки поправок 

в код перемещения. Значения поправок 

вносятся в виде двумерной матрицы по 

параметру перемещения и смещения КШ в 

память микропроцессора (МП). 

На рисунке 1 пунктирной линией обозначена 

соответствующая надстройка. Часть 

излучения от источника падает на верхнюю 

часть КШ, имеющей по краю фаску со скосом 

в 45°, и, отражаясь, попадает на фокон 9. 

Фокон, подключенный по коллимирующей 

схеме, производит считывание светового 

луча, отраженного от КШ, и направляет его 

на фоточувствительный слой, нанесенный на 

выходной торец фокона. Далее в ПНК 7 сигнал 

с выхода фоточувствительного слоя преобразуется 

в код N d 

, который поступает в 

АЛУ. Устройство в зависимости от значений 

N d 

и N α 

формирует адрес в виде двумерной 

матрицы и считывает из постоянного запоминающего 

устройства (ПЗУ) 10 поправку 

( N , ) 

∆ N к значению кода перемещения: 

N 

∗ 

α 

α d 

N α 

= N 

α 

+ ∆N 

α 

( N , N ) 

d 

α 

. (6) 

На рисунке 4 изображен трехмерный 

график зависимости погрешности ∆α ФО от 

перемещения α и расстояния d между КШ и 

ИИ, который после оцифровки вносится в 

виде матрицы поправок в ПЗУ МП. 

С помощью АСМФО были проведены 

расчеты погрешности и ее оценка при введении 

автокоррекции. Максимальное значение 

погрешности ∆α без (линия 1) и с введением 

(линия 2) коррекции показаны на рисунке 5. 

При оцифровке параметра d в 128 позициях 

относительная погрешность снижается до 2% 

(точность 2 мкм), что позволяет считать, что 

цель коррекции (достижение заданной точности 

преобразования) достигнута. 


1. Леонович Г. И. Оптоэлектронные 

цифровые датчики перемещений для жест- 

Δα 

d 

d 

α 

Рис. 4. График зависимости погрешности ∆α от расстояния d и от перемещения α 

215


Δα,мкм 

1. Δα МАКС = 0,154 

2. Δα кор МАКС = 0,02 

α,мкм 

Рис. 5. Погрешность функции отклика: без автокоррекции (линия 1), с автокоррекцией (линия 2) 

ких условий эксплуатации: научное издание. 

- Самара: Самарск. гос. аэрокосм. ун-т, 1998. 

2. Домрачев В. Г., Мейко Б. С. Цифровые 

преобразователи угла: принципы построения, 

теория точности, методы контроля. - 

М.: Энергоатомиздат, 1984. 

3. Леонович Г. И., Ратис Ю. Л. Дифракция 

светового потока на чувствительных элементах 

волоконно-оптических и оптико-электронных 

датчиков механических перемещений 

//Компьютерная оптика. – 1996. – 

Вып. 16. - С. 74-77. 

MATHEMATICAL MODEL OF AN OPTOELECTRONIC POSITION-TO-DIGITAL 

CONVERTER WITH AUTOCORRECTION OF CONVERSION 

ERROR CAUSED BY CODING SCALE BEATS 

© 2007 M. S. Roshchupkin, P. L. Tokmak, G. I. Leonovitch 


The paper presents a mathematical model of code mating of an optoelectronic position-to-digital converter. The 

model takes into account the effect of external destabilizing factors. The main defects of the optomechanical unit are 

listed and the influence of such factors on the converter response function is shown. An example of visualizing the 

information about the influence of vibropercussions on response function error for various amplitudes of vibration 

oscillations is given. The error is calculated and estimated for the case of autocorrection show the adequacy of the 

model and the efficiency of using autocorrection. 

216


УДК 621.431.75+621.9.047 

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ 

ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЛОПАТОК ГАЗОТУРБИННЫХ 

ДВИГАТЕЛЕЙ C УЧЕТОМ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ 

© 2007 Г. В. Смирнов 


Рассмотрены вопросы проектирования технологии окончательной электрохимической обработки (ЭХО) 

пера лопаток газотурбинных двигателей (ГТД) с учетом факторов технологической наследственности. Приведена 

классификация факторов технологической наследственности и их влияние на точность ЭХО и качество 

поверхности после обработки. Описаны принципы изменения схемы реализации ЭХО, приводится содержание 

основных задач, решаемых при проектировании технологии окончательной ЭХО, и алгоритмы их решения. 

Несмотря на внедрение высокопроизводительного 

оборудования и новых методов 

обработки, еще сравнительно велика доля 

ручного труда в общей трудоемкости изготовления 

отдельных наиболее сложных и ответственных 

деталей ГТД и в первую очередь – 

лопаток компрессора, имеющих сложную 

пространственную форму, относительно низкую 

жесткость и высокие требования к точности 

геометрических параметров и состоянию 

поверхностного слоя. Так, при изготовлении 

лопатки первой ступени компрессора 

низкого давления (КНД) двухконтурного двигателя 

трудоемкость составляет около 30 нормочасов, 

из которых на окончательную ручную 

доработку пера лопатки затрачивается 

более 20 % общей трудоемкости. Суммарная 

трудоемкость изготовления лопаток составляет 

почти 40 % от общей трудоемкости двигателя. 

Поэтому уменьшение окончательной 

ручной доработки лопаток является важным 

направлением в снижении общей трудоемкости. 

Снизить трудоемкость ручной доработки 

можно путем повышения точности машинной 

обработки пера лопатки на окончательном 

этапе формообразования пера. Лопатка, 

являясь одной из наиболее нагруженных 

деталей ГТД, определяет ресурс и надежность 

работы двигателя. Поэтому повышение 

ресурса работы лопатки объективно способствует 

повышению ресурса двигателя. Однако 

индивидуальные особенности рабочегополировщика 

на ручной слесарной доработке 

оказывают значительное влияние на качество 

поверхностного слоя лопаток, вызывая 

нестабильность его характеристик. Таким 

образом, уменьшение объема ручной доработки 

пера лопатки способствует как снижению 

трудоемкости изготовления двигателя, 

так и повышению его ресурса за счет стабилизации 

характеристик поверхностного слоя. 

В качестве метода окончательного формообразования 

пера в наибольшей степени 

подходит электрохимическая обработка 

(ЭХО), т. к. она в сочетании с последующей 

отделочно-упрочняющей обработкой обеспечивает 

повышение предела выносливости. 

Успехи, достигнутые в области освоения малоприпусковых 

заготовок, привели к тому, 

что актуальным становится вопрос разработки 

технологии, позволяющей обрабатывать 

ажурные заготовки лопаток компрессора высокого 

давления из труднообрабатываемых 

материалов. Величина минимального припуска 

по перу уменьшается при этом до 

0,3...0,5 мм, а его неравномерность достигает 

0,6…1,3 мм. Таким образом, при незначительном 

припуске весьма значительна его 

неравномерность. Припуск не может быть 

удален за две, три операции, как при обработке 

пера лопаток КНД. Обработка пера лезвийным 

и абразивным инструментом становится 

проблематичной из-за значительного 

силового и теплового воздействия на ажурное 

перо заготовки лопатки. В этих условиях 

ЭХО становится практически единственным 

методом обработки пера, который может 

гарантированно обеспечить ненапряженное 

удаление припуска, исключающее значительное 

силовое и тепловое воздействие на 

217


перо, и равномерную эпюру поверхностных 

остаточных напряжений на всех участках 

пера после обработки в условиях ограниченных 

размеров базирующих поверхностей. 

Однако на сегодняшний день ЭХО не обеспечивает 

требуемую по чертежу точность 

пера из-за ряда факторов, сопровождающих 

процесс вследствие особенностей конструкции 

лопатки и подчиняющихся закономерностям 

технологической наследственности. 

Действие этих факторов иногда может нарушить 

нормальное протекание процесса ЭХО 

и вызвать дефекты (короткое замыкание, прижоги, 

изменение структуры материала). Но, 

даже если этого не произойдет, их действие 

всегда обнаруживается после окончания процесса 

в виде остаточных деформаций пера 

относительно замка, приводящих к снижению 

точности обработки. 

Кроме того, отсутствие адекватных математических 

моделей для описания процесса 

ЭХО и сопутствующих явлений, вызывающих 

его искажение, приводит к невозможности 

реализации автоматизированного проектирования 

технологии изготовления лопаток 

с использованием ЭХО в качестве окончательной 

формообразующей. Только всестороннее 

исследование факторов технологической 

наследственности, сопутствующих ЭХО 

пера лопаток ГТД, и выявление закономерностей 

их изменения может определить способы 

управления ими и сделать реальным 

использование ЭХО для окончательной обработки. 

Проведены комплексные исследования 

основных факторов технологической наследственности 

при ЭХО пера лопаток [1], которые 

можно разделить на следующие группы. 

Геометрические факторы технологической 

наследственности, которые влияют на 

точность через геометрию заготовки и формируются 

в течение всего технологического 

процесса. Это смещение установочных баз 

относительно номинального расположения, 

смещение оси пера относительно замка и 

погрешность углового расположения пера 

относительно замка. Экспериментально определены 

закономерности изменения этих 

факторов на натурных лопатках. Теоретически 

и экспериментально установлены механизмы 

их влияния на точность формообразования 

[2]. 

Наследственные факторы состояния 

материала и обрабатываемой поверхности: 

остаточные напряжения в поверхностном 

слое пера перед ЭХО, насыщение поверхности 

водородом при ЭХО титановых лопаток. 

Определены закономерности формирования 

остаточных напряжений при различных вариантах 

подготовки пера и их влияния на 

точность формообразования [3, 4] и закономерности 

наводораживания в зависимости от 

параметров режима ЭХО, разработана математическая 

модель наводораживания поверхности 

различных титановых сплавов при 

ЭХО в импульсном режиме. 

Наследственные факторы, действующие 

в течение операции ЭХО и обусловленные 

особенностью конструкции детали. Возникновение 

этих факторов не обусловлено 

природой самого метода обработки, а является 

проявлением специфичности конструкции 

обрабатываемой детали. Они являются 

результатом действия явлений, сопутствующих 

ЭХО пера лопаток. В качестве таких 

факторов можно назвать термоупругие деформации 

пера и деформации пера от гидравлических 

сил [5]. Им соответствуют тепловыделение 

в теле заготовки и в зоне обработки, 

а также силовое воздействие потока 

электролита. Если бы заготовка имела высокую 

изгибную жесткость и большую площадь 

токоподвода, то есть другую конструктивную 

форму, то влияние отмеченных явлений на 

точность формообразования пера было бы 

пренебрежимо мало. 

Разработаны математические модели 

процесса ЭХО, а также сопутствующих ему 

явлений, вызванных особенностью конструкции 

лопатки, которые можно рассматривать 

как информацию для создания соответствующих 

баз данных и выработки рекомендаций 

по режимам и техническим требованиям на 

операцию окончательной ЭХО с учетом технологической 

наследственности при проектировании 

технологии изготовления лопатки 

компрессора с помощью PDM-систем. 

Кроме того, предложены новые принципы 

реализации ЭХО для повышения точности 

размеров второго рода при обработке 

218


нежестких деталей сложной пространственной 

формы, к которым относятся лопатки: 

коррекция заготовки относительно электродов, 

периодическая свободная переустановка 

заготовки в процессе ЭХО, присоединенный 

расход электролита. В соответствии с 

этими принципами разработаны способы и 

устройства для их осуществления [6, 7]. Эффективность 

использования принципов и 

устройств обоснована теоретически и экспериментально. 

Разработанные способы и устройства 

могут служить рекомендациями и 

прототипами оснастки для ЭХО пера лопаток 

на точность. 

Таким образом, создана база для проектирования 

окончательной ЭХО с учетом 

влияния факторов технологической наследственности. 

Остановимся подробнее на процессе 

проектирования операции окончательной 

ЭХО. При проектировании окончательной 

обработки пера компрессорной лопатки с 

использованием ЭХО приходится решать некоторые 

типовые технологические задачи, 

составляющие суть процесса проектирования. 

Они связанны со значительными материальными, 

интеллектуальными и временными 

затратами, а эффективность их решения 

определяет в конечном счете уровень разработанной 

технологии. Общими составляющими 

этих задач являются сведения по процессу 

ЭХО, способам его реализации и сопутствующим 

процессам, оснастке; информация 

о заготовках лопаток и вариантах их 

получения. Совокупность задач определяет 

методологию проектирования окончательной 

обработки пера лопатки. Обычно при их решении 

влияние технологической наследственности 

на точность в явном виде не учитывается, 

а из опыта предшествующей обработки 

постулируется, что остаточное смещение 

пера после ЭХО не превысит некоторой 

величины в пределах допуска. При решении 

технологических задач припуск под операцию 

ЭХО и его неравномерность обычно оценивается 

только с точки зрения достижения 

заданной погрешности профиля пера. В результате 

такого подхода практически неизбежным 

становится появление брака по причине 

выхода величины смещения профиля 

пера от номинального расположения за пределы 

допуска, или, если этот брак исправим, 

то неизбежна ручная доработка профиля 

пера. Поэтому представляется важным рассмотреть 

содержание основных задач и разработать 

алгоритмы их решения с учетом технологической 

наследственности, то есть с 

использованием всех аналитических и экспериментальных 

решений, найденных в результате 

проведенных исследований. Отличительной 

особенностью разработанного подхода 

является, во-первых, широкое использование 

математического моделирования на 

ЭВМ, во-вторых, минимальное количество 

трудоемких экспериментальных исследований, 

в-третьих, простота использования (на 

уровне подготовки цехового технолога со 

средним стажем работы) и, главное, резкое 

сокращение времени на решение указанных 

задач при гарантированном исключении выхода 

лопаток в брак по причине смещения 

профиля пера. 

Наиболее частой задачей при проектировании 

операции окончательной ЭХО пера 

является определение возможности получения 

заданной точности профиля пера и его 

расположения относительно замка при заданной 

геометрии заготовки при известных геометрии 

заготовки и способе ее получения, а 

также при известных способах реализации 

ЭХО пера лопатки, электролитах, режимах 

обработки. Назовем ее первой технологической 

задачей. Обычно ее решают при встраивании 

ЭХО в технологический процесс обработки 

лопатки, рассматривая ЭХО как возможную 

альтернативу механической обработке 

пера абразивным или лезвийным инструментом. 

Если у технолога есть возможность 

выбора способов получения заготовки, то 

решается вторая задача: определение требований 

к геометрии профиля заготовки лопатки 

при имеющихся возможностях реализации 

ЭХО с точки зрения электролита, источника 

питания (возможных режимов обработки), 

схемы ЭХО, приспособления и оборудования 

с целью получения заданной точности профиля 

пера и его расположения относительно 

замка. Вторая задача обычно решается в случае 

безальтернативности ЭХО, как оконча- 

219


тельной формообразующей операции пера 

лопатки, для выдачи технического задания на 

получение заготовки лопатки. 

Третья задача решается, когда при заданной 

заготовке, заданном способе реализации 

ЭХО, электролите и режиме обработки 

необходимо ответить на вопрос, какую 

точность профиля пера и его расположения 

относительно замка можно получить в результате 

ЭХО. Обычно необходимость решения 

такой задачи возникает, если лопатки 

после ЭХО пера не удовлетворяют заданным 

требованиям по точности. Фактически, это 

задача «санации технологии обработки пера». 

Четвертая задача - выбор наиболее экономичного 

варианта получения заготовки 

лопатки при оптимальных электролите, режимах 

обработки, способе реализации ЭХО 

для данного материала. Все четыре задачи 

можно объединить условным названием - 

«заготовка - конечная точность». Для решения 

их используются данные по припускам 

и его неравномерности для заготовки, требуемая 

точность профиля пера и его расположения 

относительно замка после ЭХО, имитационная 

модель ЭХО, банк данных по электролитам 

и режимам ЭХО для конкретных 

лопаточных материалов, электронная модель 

пера лопатки, методика определения деформации 

пера лопатки при удалении напряженного 

слоя, методика определения термоупругих 

деформаций пера лопатки, зависимости 

деформаций пера от соотношения зазоров 

при ЭХО. 

Решение всех задач подразумевает использование 

или создание в случае их отсутствия 

электронных моделей пера лопаток 

компрессора. 

Последовательность решения первой 

задачи выглядит следующим образом. 

1. Создание электронной модели лопатки 

(или выделение ее из узла компрессора, 

если есть сборочная 3D - модель узла). 

2. Выделение технических требований 

по точности профиля пера и расположению 

пера относительно замка. 

3. Выделение технических требований 

по величине минимального припуска и его 

неравномерности по перу заготовки и установочных 

базирующих поверхностей по замку 

и технологической прибыли на операции 

ЭХО пера. Выявление распределения смещений 

пера относительно замка на заготовках, 

а также определение эпюры распределения 

остаточных напряжений в поверхностном 

слое пера заготовки. Распределения смещений 

пера заготовки сравниваются с величиной 

наименьшего припуска по перу заготовки. 

Если поле рассеяния смещений и уводов 

пера больше половины минимального припуска 

по перу, рекомендуется использование 

приспособлений для ЭХО с начальной коррекцией 

положения лопатки. В противном 

случае осуществляется ЭХО без коррекции 

начального положения. 

4. Определение наибольшего и наименьшего 

межэлектродных зазоров при ЭХО 

пера в соответствии с геометрией пера заготовки. 

5. Проведение экспериментов на плоских 

образцах по определению зависимости 

линейного съема от межэлектродного зазора 

при ЭХО на электролите, рекомендуемом для 

данного сплава, или выбор из банка данных 

по электролитам зависимости характеристики 

режима от зазора для известного оптимального 

электролита. 

6. Определение ожидаемой величины 

конечной погрешности профиля пера при 

известных величинах наименьшего припуска, 

его неравномерности и величине начального 

зазора с помощью имитационной модели 

ЭХО. 

7. Выбор из банка данных эпюры распределения 

остаточных напряжений в поверхностном 

слое пера после ЭХО. 

8. Определение деформации пера после 

удаления напряженного слоя материала на 

пере лопатки после ЭХО по экспресс-методике 

нагружения конечно-элементной модели 

пера осредненными активными остаточными 

напряжениями. 

9. Сравнение величины деформации с 

допуском на расположение пера относительно 

замка. Если величина допуска больше, чем 

ожидаемая деформация пера, то рекомендуется 

осуществлять ЭХО традиционным способом 

при установке по двум базам без перезакрепления. 

В противном случае просчитывается 

эффективность применения способа 

220

ЭХО с периодической самоустановкой пера 

и ненапряженным перезакреплением вспомогательной 

базы. 

10. По ожидаемым величинам межэлектродных 

зазоров и их соотношению определяется 

максимально возможная деформация 

пера от потока электролита (по экспериментальным 

зависимостям). 

11. По математическим моделям нагрева 

пера и его результирующего термоупругого 

деформирования рассчитывается величина 

максимально возможной деформации. 

12. Суммарная величина деформации 

по п.п. 10 и 11 сравнивается с величиной допуска 

на смещение профиля в средних по 

высоте сечениях пера. Если величина допуска 

на смещение больше ожидаемой суммарной 

деформации пера в процессе ЭХО, то 

рекомендуется проведение ЭХО сплошным 

электродом. В противном случае целесообразнее 

использовать гребенчатый электрод 

(реализующий принцип присоединенного 

расхода электролита) и применять в токоподводах 

вставки из металлорезины с целью повышения 

числа пятен контакта для снижения 

температуры в его зоне. 

13. Выбор оборудования, обеспечивающего 

ЭХО по выбранной схеме с уточнением 

по п.п. 3 - 12. 

14. Выдача технических заданий на 

проектирование оснастки для реализации 

выбранной схемы ЭХО пера. 

15. Выбор варианта отделочно-упрочняющей 

обработки лопатки, рекомендуемой 

для данного материала из базы данных по 

отделочной обработке. 

Разработаны блок-схемы последовательности 

решения первой, второй и третьей 

технологической задачи, которые могут служить 

методическим руководством при проектировании 

технологии окончательной обработки 

лопаток, причем не только электрохимическим 

методом, так как принципиальным 

в них является подход с позиций технологической 

наследственности, учитывающий 

влияние основных ее факторов на точность 

формообразования за вычетом блока наводораживания, 

который используется исключительно 

при ЭХО. 

Математические модели, входящие в 

методику, просты и могут использоваться без 

221 


специальной подготовки цеховыми технологами, 

знакомыми с существом проблемы и 

обладающими навыками работы с ПК. 

Экспериментальные данные по остаточным 

напряжениям в зависимости от метода 

обработки, сведения по электролитам, 

режимам ЭХО по различным лопаточным 

материалам сведены в таблицы и служат базами 

данных. 

Таким образом, методика проектирования 

совместно с базами данных может служить 

эффективным инструментом при ручном 

проектировании технологии окончательной 

ЭХО; базой для создания универсальной 

методики проектирования окончательной 

обработки пера лопаток или любых деталей 

низкой жесткости (с соответствующей адаптацией) 

с учетом технологической наследственности; 

основой для проектирования 

технологии лопатки в едином информационном 

пространстве с использованием PDMсистем. 


1. Смирнов Г. В., Проничев Н. Д., Демин 

М. В. Влияние технологической наследственности 

на величину остаточных напряжений 

в поверхностном слое после окончательной 

вибро-ЭХО пера лопаток ГТД // Новые 

электро-технологические процессы в 

машиностроении: тез. доклада Всесоюзн. 

семинара. - Кишинев, 1990. -С. 135-136. 

2. Смирнов Г. В., Крашенинников К. П., 

Потапова Н. И. Влияние погрешностей геометрических 

параметров заготовки на точность 

ЭХО пера крупногабаритных лопаток 

// Сб. Технологические методы повышения 

качества изготовления деталей авиадвигателей. 

- Куйбышев: КуАИ, 1980. - С. 28-34. 

3. Смирнов Г. В., Проничев Н. Д. Влияние 

структуры технологического процесса на 

распределение остаточных напряжений в 

пере лопаток ГТД / Высокоэффективные методы 

механической обработки материалов // 

Сб. Высокоэффективные методы механической 

обработки авиац. – Куйбышев: КуАИ, 

1991. - С. 41- 46. 

4. Смирнов Г. В., Шманев В. А., Филимошин 

В. Г. Влияние остаточных напряжений 

на точность ЭХО крупногабаритных лопаток 

ГТД из титановых сплавов // Сб. По-


верхностный слой, точность и эксплуатационные 

свойства деталей машин и приборов. 

– Москва: МДНТП, 1984. - С. 44- 49. 

5. Смирнов Г. В., Филимошин В. Г., 

Антонов А. В. О силовом воздействии электролита 

на перо лопатки в процессе ЭХО // Сб. 

Технологические пути повышения качества 

изготовления авиадвигателей. - Куйбышев, 

1986. - С. 56 – 61. 

6. А.с. 655497. СССР, МКИ 3 В24В 1/04 

// B24D 5/00. Способ электрохимической размерной 

обработки подвижными электродами 

/Смирнов Г. В., Бороздин Б. П., Филимошин 

В. Г., Несмелов Б. М., Шипов Ю. С., Шулепов 

А. П. (СССР). № 3569413/25-08; Заявл. 

31.03.83; Опубл. 23.10.82, Бюл. №39 //Открытия. 

Изобретения. 1983. №39. 

7. А.с. 179368, СССР МКИ 3 В24В 1/04 / 

/ B24D 5/00. Электролит для размерной электрохимической 

обработки / Смирнов Г. В., 

Демин М. В., Сенина О. А., Проничев Н. Д. 

(СССР). №3569413/25-08; Заявл. 8.10.92; 

Опубл., Бюл. №7 //Открытия. Изобретения. 

1993. № 7. 

DESIGNING A TECHNOLOGY OF FINAL ELECTROCHEMICAL MACHINING 

OF GAS TURBINE BLADES WITH REGARD FOR TECHNOLOGICAL HEREDITY 

© 2007 G. V. Smirnov 


The paper deals with the issues of designing a technology for final electrochemical machining (ECM) of gas 

turbine engine (GTE) blades with regard for technological heredity factors. Classification of technological heredity 

factors and their influence on the ECM accuracy and surface quality after machining are presented. Principles of modifying 

the ECM realization pattern are described, the content of the main tasks solved when designing a final ECM technology 

and algorithms of their solving are given. 

222


УДК 621.983.3 

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСЛОВНОГО ПРЕДЕЛА 

РЕЛАКСАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ 

© 2007 В. Д. Юшин, Г. З. Бунова, С. В. Воронин 


Предложена методика определения условного предела релаксации напряжений на кольцевых образцах 

Одинга. Определен условный предел релаксации напряжений при комнатной температуре для перспективного 

сплава 01570. 

Размерная стабильность материалов 

имеет большое значение в прецизионном 

машиностроении и приборостроении. Она 

чаще всего оценивается пределом ползучести 

или условным пределом релаксации напряжений. 

Обе эти величины имеют одинаковую 

физическую природу. Однако использование 

критерия релаксации напряжений 

предпочтительнее, т. к. испытания при уменьшающихся 

во времени напряжениях в большей 

степени соответствуют поведению материала 

в реальных условиях эксплуатации. 

Для проведения релаксационных испытаний 

при изгибе часто пользуются методом кольцевых 

образцов И. А. Одинга [1]. 

Однако этот метод не позволяет определить 

точное численное значение условного 

предела релаксации. В настоящей работе 

предлагается усовершенствованная методика 

И. А. Одинга, позволяющая устранить данный 

недостаток, которая была использована 

для определения условного предела релаксации 

сплава 01570 при комнатной температуре. 

1. Методика подготовки образцов к 

испытаниям. Изготавливались кольцевые 

образцы равного сопротивления изгибу из 

прутка в соответствии с требованиями ОСТа 

24.901.01-73. Для снятия остаточных напряжений 

образцы после изготовления отжигались 

по режимам, приведенным в ГОСТ 

17535-77, то есть при температуре 350 о С в 

течение трех часов. 

Для устранения коробления образцы 

отжигались в заневоленном состоянии. Кроме 

того, с этой же целью при изготовлении 

образцов в прорези для установки клиньев 

оставляли перемычку толщиной 1 мм. После 

отжига перемычка устранялась. Для контроля 

зазора в процессе испытания на нерабочей 

части образца с обеих сторон зазора с 

помощью твердомера ПМТ-3 наносили риски 

в форме перекрестий. Чтобы исключить 

разворот перекрестий и наносить их в строго 

определенном месте, разметку выполняли 

с помощью приспособления. В центре полученных 

перекрестий с помощью твердомера 

ПМТ-3 наносились отпечатки с целью повышения 

точности замеров. Расстояние между 

полученными отпечатками измерялось с помощью 

усовершенствованного компаратора 

ИЗА-2. Усовершенствование компаратора 

заключалось в установке системы освещения 

измеряемого объекта. В нее входит (рис. 1) 

осветитель 7 с источником питания 8, полупрозрачная 

пластина 5 и объектив 2. Усовершенствование 

позволило повысить общее 

увеличение микроскопа в пять раз за счет замены 

объектива на более короткофокусный 

и окуляра 6 с большим увеличением. Окуляр 

6 был установлен в тубус микроскопа 4 с помощью 

переходника 5. 

Проведенная доработка компаратора 

ИЗА-2 позволила измерять линейные размеры 

на базе 90 мм с точностью 1 мкм. При замере 

размеров на компараторе вносилась поправка, 

учитывающая температуру помещения. 

2. Выбор размеров клиньев. При определении 

условного предела релаксации 

напряжений, согласно литературным данным, 

геометрические размеры клиньев для 

образцов Одинга выбираются исходя из условия: 

σ о 

должно быть меньше 0,75 – 0,8 от 

223


Рис. 1. Схема устройства освещения компаратора ИЗА-2 

предела текучести испытываемого материала 

[2]. По литературным данным, предел 

текучести материала 01570 составляет 

30 кг/мм 2 . Изготовленные образцы Одинга 

после отжига и удаления перемычки имели 

прорезь шириной 3,1 ± 0,1 мм. При определении 

условного предела релаксации напряжений 

были выбраны четыре уровня начальных 

напряжений в образцах – 22,5; 19,55; 18 

и 15 кг/мм 2 . Учитывая величину прорези, для 

создания таких напряжений необходимо 

иметь 

σ = а ⋅ Е т 

⋅ ∆, (1) 

где а = 0,000583 мм -1 , Е т 

= 7200кгс/мм 2 , ∆ - 

толщина клина, и использовать клинья соответственно 

толщиной 8,46 мм; 7,746 мм; 

7,388 мм и 6,674 мм. Клинья изготавливались 

из закаленной стали У8. Для каждого размера 

клина для повышения точности задания 

начальных напряжений испытания проводились 

на трех образцах. 

3. Методика проведения испытаний. 

Для определения величины релаксированных 

напряжений замерялись расстояния между 

отпечатками до установки клина, после установки 

клина и его удаления через 1, 3, 6, 

10 и 20 суток. По изменению расстояний между 

отпечатками определяли величину релаксированных 

напряжений σ р 

в кольцевых образцах 

со вставленными клиньями по формуле 

σ р 

= А ⋅ Е ⋅ ∆ l 

, (2) 

где А = 0,000583 мм -1 ; Е = 7200 кгс/мм 2 ; ∆ l 

– 

изменение расстояния между метками на образце. 

По полученным значениям релаксированных 

напряжений рассчитывали значения 

остаточных напряжений в образцах со вставленными 

клиньями σ, которые аппроксимировались 

уравнением вида 

σ = А ⋅ exp (-b ⋅ τ) + C, (3) 

где А – постоянный коэффициент; b - постоянный 

коэффициент показателя; τ - время, 

сутки; С – значение асимптоты функции, 

имеющей смысл условного предела релаксации. 

Величина С рассчитывалась по уравнению 

С = (σ 1 

⋅ σ 20 

- σ s2 

) / (σ 1 

+ σ 20 

- 2σ s 

), (4) 

где σ 1 

и σ 20 

– напряжения, действующие в образцах 

в начальный момент и через 20 суток 

при вставленном клине, соответственно; σ s 

– 

напряжения, действующие в образце через 10 

суток. Затем по уравнению (3) рассчитывались 

напряжения, действующие в образцах 

со вставленными клиньями, через 1, 3, 6, 10 

и 20 суток , строился график зависимости 

224


напряжения σ от времени выдержки и сравнивались 

расчетные значения напряжений с 

экспериментальными. 

4. Результаты исследований. В таблице 

1 представлены результаты замеров расстояний 

между метками на образцах Одинга 

из сплава 01570 в исходном состоянии и через 

1, 3, 6, 10 и 20 суток. Из приведенных 

данных видно, что с увеличением времени 

выдержки расстояние между метками увеличивается, 

что указывает на протекание процессов 

релаксации напряжений. 

Таблица 1. Расстояние между метками на образцах Одинга 

№ 

образц 

а 

Величина 

клина, 

мм 

Начальное 

расстояние, 

мм 

Время выдержки, сутки 

1 3 6 10 20 

1 13,3471 13,3481 13,3489 13,3505 13,3651 13,3822 

5 

6,70 

13,4077 13,4134 13,4170 13,4219 13,4385 13,4576 

12 

13,3298 13,3428 13,3458 13,3554 13,3527 13,4361 

2 13,4027 13,4120 13,4244 13,4235 13,4540 13,4605 

4 

7,40 

13,4001 13,4043 13,4158 13,4476 13,4538 13,5370 

10 

13,3350 13,3568 13,3629 13,3650 13,3741 13,4002 

7 13,3024 13,3337 13,3619 13,3957 13,4086 13,4168 

8 

7,80 

13,4239 13,4411 13,5114 13,5537 13,5548 13,5576 

11 

13,4481 13,4609 13,5114 13,5276 13,5296 13,5333 

3 13,5227 13,5775 13,6320 13,6857 13,6952 13,7036 

6 

8,45 

13,3969 13,4836 13,5373 13,5636 13,6205 13,6359 

9 

13,4280 13,5765 13,6248 13,6995 13,7027 13,7125 

В таблице 2 представлены напряжения 

в образцах Одинга с клиньями через 1, 3, 6, 

10 и 20 суток, рассчитанные по уравнению 

σ = σ н 

- σ р 

, (5) 

где σ н 

– напряжение, создаваемое в начальный 

момент клином. В таблице приведены 

средние значения напряжений для каждого 

клина. Для нахождения условного предела 

релаксации по уравнению (3) использовались 

данные таблицы 2 для клина толщиной 

6,7 мм. Это объясняется тем, что уровень напряжений 

в этом случае наиболее низкий и, 

по нашему мнению, ближе всего к условному 

пределу релаксации. Задавать более низкий 

уровень напряжений не представлялось 

возможным, так как получаемые в этом случае 

деформации не могли быть замерены с 

требуемой точностью на имеющемся оборудовании. 

Таблица 2. Напряжение в образцах после различного времени выдержки 

Толщина 

клина, 

мм 

Начальное Напряжение в образцах после выдержки, кгс/мм 2 

напряжение, 

Время выдержки, сутки 

кгс/мм 2 1 3 6 10 20 

6,70 15,0 14,9723 14,9618 14,9393 14,8997 14,8003 

7,40 18,0 17,9500 17,9089 17,8627 17,7985 17,6365 

7,80 19,5 19,4102 19,2060 19,0769 19,0542 19,0340 

8,45 22,5 22,0941 21,8754 21,6588 21,5614 21,5144 

225


Рассчитаем численное значение величины 

С по уравнению (4): 

С = (15 ⋅ 14,8003 – 14,8997 2 ) / (15 + 14,8003– 

– 2 ⋅ 14,8997 ) = 3,82. 

Приравняв время выдержки равным нулю, 

находим значение коэффициента А в уравнении 

(3): 

15 = А ⋅ exp(-b ⋅ 0) +3,82, 

А =11,18. 

Значение b находим, используя экспериментальные 

данные для 20 суток выдержки: 

14,8003 = 11,18 ⋅ exp (-b ⋅ 20) + 3,82, 

b = 0,0009. 

Тогда уравнение изменения напряжения от 

времени будет иметь вид 

σ = 11,18 ⋅ exp (-0,0009τ) + 3,82. (6) 

Сравнение значений напряжений, действующих 

в образцах после различного времени 

выдержки, определенных экспериментально 

и по уравнению (6) дало удовлетворительное 

совпадение. 

Таким образом, условный предел релаксации 

напряжений при принятом допущении, 

что он равен значению асимптоты, для сплава 

01570 равен 3,82 кг/мм 2 . 

Проведем уточнение значения условного 

предела релаксации (рис. 2). 

Из рисунка видно, что 

σ у.п.р. 

= A ⋅ e -bτ + C ; σ 3 

= A ⋅ e -bτ + C, 

где σ у.п.р. 

– условный предел релаксации напряжений, 

σ 3 

– остаточное напряжение в образце 

через 3000 часов после приложения к 

нему напряжения, равного условному пределу 

релаксации. Тогда, так как по определению 

ГОСТа за время 500 – 3000 часов деформация 

при начальном напряжении, равном 

условному пределу релаксации, должна быть 

не более 10 -5 , можно записать: 

(σ у.п.р. 

– С)/(σ 3 

- С) = e -b(τ - τ ) = e 3000b 

σ у.п.р. 

- σ 3 

=Е ⋅ ε = 7200 кгс/ мм 2 ⋅ 10 -5 = 0,072, 

где Е – модуль упругости, ε - степень деформации, 

равная 10 -5 . 

Тогда 

σ 3 

= σ у.п.р. 

– 0,072; 

а σ у.п.р. 

= (σ у.п.р. 

– 0,072 – С) ⋅ е 3000b + С. 

Поэтому 

σ у.п.р. 

=[С – е 3000b (0,072+С)] / (1 – е 3000b ). (7) 

Рис. 2. График изменения остаточных напряжений 

226


Уточнение условного предела релаксации 

проводилось по (7). Величина условного 

предела релаксации сплава 01570 оказалась 

равной 3,897 кгс/мм 2 . 

Различие в значениях условного предела 

релаксации, определенных по уравнениям 

(6) и (7), составило 2 %. 


1. М. Л. Хенкин, И. Х. Локшин. Размерная 

стабильность металлов и сплавов в точном 

машиностроении и приборостроении. - 

М.: Машиностроение , 1974. 

2. А. М. Борздыка, Л. Б. Гецов. Релаксаця 

напряжений в металлах и сплавах. - М.: 

Металлургия, 1978. 

PROCEDURE FOR DEFINING CONDITIONAL LIMIT OF METAL 

AND ALLOY STRESS RELIEF 

© 2007 V. D. Yushin, G. Z. Bunova, S. V. Voronin 


A procedure is proposed for defining stress relief conditional limit using Oding circular specimens. Stress relief 

conditional limit at room temperature for a prospective alloy 01570 has been defined. 

227


УДК 539.3 

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ 

ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР 

© 2007 И. С. Ахмедьянов 


Рассматривается применение численного метода квадратур к интегрированию дифференциальных уравнений 

изгиба оболочек вращения переменной толщины при осесимметричном нагружении. Исходная система 

дифференциальных уравнений преобразуется в интегральную. Ко всем появляющимся интегралам с переменными 

верхними пределами применяется квадратурная формула трапеций, что позволяет составить систему 

линейных алгебраических уравнений для определения значений всех искомых функций с заданным шагом t. В 

результате удается получить численные значения частных решений системы дифференциальных уравнений, и 

построить ее общее решение, содержащее произвольные постоянные. 

1 2 

e3 

Основные обозначения 

OX, OY, OZ – оси прямоугольной системы 

координат; 

θ , ϕ - угловые (географические) координаты 

точки срединной поверхности оболочки 

вращения; 

r r r 

e ,e , - единичные векторы касательной 

к меридиану, касательной к параллели и 

нормали к срединной поверхности оболочки; 

R 

1 

, R 2 

- главные радиусы кривизны срединной 

поверхности оболочки; 

r - радиус параллели срединной поверхности 

оболочки вращения; 

u ,w -проекции полного перемещения 

точки срединной поверхности оболочки на 

направления ортов e r 1 

и e r 3 

; 

u 

r 

, u x 

- радиальное и осевое перемещения 

точки срединной поверхности оболочки 

вращения; 

ϑ - угол поворота нормали к срединной 

1 

поверхности оболочки вокруг орта e r ; 

2 

δ - толщина оболочки; 

N - погонные нормальные и 

1,N 

2 

, Q1 

перерезывающее усилия в сечениях оболочки; 

Q 

r 

, Q x 

- погонные радиальное и осевое 

усилия в сечениях оболочки; 

M , M - погонные изгибающие моменты 

в сечениях 

1 2 

оболочки; 

E ,µ - модуль упругости и коэффициент 

Пуассона материала оболочки; 

2 

( 1 ) 

3 

D = Eδ 12 − µ - жесткость сечения 

оболочки на изгиб. 

Принятая система координат и положительные 

направления сил, моментов и перемещений 

показаны на рис. 1-3. 

1. Основные соотношения моментной 

теории изгиба оболочек вращения 

переменной толщины при 

осесимметричном нагружении 

1.1. В [1] для исследования напряженно-деформированного 

состояния оболочки 

вращения переменной толщины получена 

следующая система дифференциальных уравнений: 

y′ 

1 

= a11y1 

+ a12 

y2 

+ a13 

y3 

+ 

′ , 

y2 = a22 

y2 

+ a24 

y4 

+ f 

2q 

′ , 

y3 = a31y1 

+ a33 

y3 

+ f 

3q 

f 

1q 

′ . (1) 

y4 = a42 

y2 

+ a43 

y3 

+ a44 

y4 

+ f 

4q 

y 

y 

1 

3 

Здесь 

ur 

= , y 

h 

Qrr 

= , 

Ehr 

0 

2 

= ϑ , 

y 

4 

1 

M r 

= 

Eh 

1 

2 

r0 

; 

, 

(2) 

h - толщина оболочки в некоторой характерной 

точке меридиана; 

228

Физико-математические науки 

→ 

e 3 , q 3 , w 

Z 

→ 

e 1 , q 1 , u 

→ 

e 2 

d ϕ 

r 

ϕ 

M 2 

N 2 

Y 

θ 

θ 

M 1 

Q 1 

N 1 

Р и с . 1 

Рис. 1 

X 

Z 

u 

r 

w 

u 

u 

x 

r ( α ) 

r 

θ 

O 

α 

x 

l 

r ( β ) 

Рис. 2 

X β 

Р и с . 2 

Z 

r 0 

O 

x 

Q 

r 

Q 1 

Q 

x 

r 

θ 

X 

Р и с . 3 

N 1 

Рис. 3 

229


a 

a 

a 

11 

13 

22 

ctgθ 

= −µ l , 

r 

lr0 

= 

δ r 

= a 

a 

12 

l 

h 

2 

( 1− µ ) 

ctg cos , 

11 

, 

a 

24 

θ 

= − 

θ 

, 

( 

2 

1 µ ) , 

2 

12h 

lr0 

− 

= 

δ 

3r 

sinθ 

lδ 

a31 = , 

r r sinθ 

a33 = −a11, 

a 

a 

42 

43 

0 

3 

lδ 

= ctgθcos 

θ, 

2 

12h 

r r 

= −a 

12 

, 

0 

a 

42 

= −a 

11 

; 

(3) 

В выражениях (1) штрих означает производную 

по аргументу ξ. 

Соотношения (1) являются обобщением 

уравнений, приведенных в [2], на случай 

оболочки вращения переменной толщины. 

1.2. Через основные неизвестные, входящие 

в (1), можно выразить остальные искомые 

величины [1, 2]: 

N 

( ξ) 

Vx 

= Qr 

cosθ + sin θ 

2π 

r 

1 

, 

( ξ) 

Vx 

Q1 = Qr 

sin θ − cosθ 

, (6) 

2π 

r 

f 

( 1− 

µ 

2 

) V ( ξ ) 

l 

x 

= − 

cosθ 

, f 

2 q 

= 0 , 

πEh 

δr 

1q 2 

f 

f 

( ξ) 

l ⎛ Vx 

r 

= − ⎜µ 

+ qr 

Ehr0 

⎝ 2πr 

sinθ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

3 q 

, 

4q 

= l 

Vx 

( ξ) ctgθ 

2πEh2r 

; 

0 

ξ rqx 

Vx 

( ξ) = Px 

+ 2 π l∫ 

dξ 

sinθ 

; (4) 

q 

q 

r 

x 

= q cos θ + q sin θ, 

1 

= q sin θ − q cos θ; 

1 

3 

3 

0 

(5) 

x 

ξ = ; 

l 

x - расстояние плоскости произвольной параллели 

оболочки от ее верхнего края θ = α 

с радиусом параллели r 0 

(рис. 2); l - длина 

(высота) оболочки, измеряемая вдоль ее оси 

вращения; V 

x 

( ξ ) - проекция на ось x равнодействующей 

всех внешних сил, приложенных 

к части оболочки, ограниченной параллелями 

с радиусами r 0 

и r; P 

x 

- равнодействующая 

усилий, приложенных к верхнему 

краю оболочки (s = 0, ξ = 0) (рис. 3). 

Коэффициенты a 

ij являются функциями 

ξ. 

ur 

N = µ N + Eδ 

, (7) 

2 1 

r 

3 

Eδ 

cos θ 

M 

2 

= µ M1 

+ ϑ1 

, (8) 

12 r 

u = u cos θ + u 

r 

sin θ, 

w = u sin θ − u cos θ, 

r 

ξ 

∫ 

0 

u x 

= C + h zdξ 

, 

z 

() ξ 

= −µ 

l 

r 

2 

( 1− µ ) 

lr0 

+ 

δr 

l 

+ 

2π 

Eh 

2 

( 1− µ ) V () ξ 

δ r 

x 

x 

lctgθ 

y1 

+ y 

h 

cos θ 

y + 

x 

3 

sin θ, 

2 

+ 

(9) 

(10) 

где C – произвольная постоянная, определяемая 

из условия закрепления оболочки в осевом 

направлении. 

2. Интегрирование системы 

уравнений (1) 

2.1. Рассмотрим однородную систему 

уравнений, соответствующую неоднородной 

системе (1): 

230


y′ 

= ∑a 

j 

4 

k = 1 

jk 

y 

k 

, j = 1 , 2, 

3, 

4 . (11) 

Интегрирование обеих частей каждого 

из уравнений системы (11) от некоторого начального 

значения ξ 

0 

до произвольного значения 

ξi = ξ0 

+ it 

(i =1, 2,…, t - постоянный шаг интегрирования) 

дает 

4 

∑ 

y 

j ,i 

= y 

j , 0 

+ Vi 

. (12) 

V 

jk 

i 

Здесь 

k = 1 

ξ 

jk 

i 

( ξ ) = a y dξ 

jk 

= V 

i ∫ 

y y ( ), y y ( ξ ) 

j, 

0 

= j 

ξ 0 

ξ 

0 

j ,i 

jk 

k 

= . 

j 

i 

, (13) 

Для вычисления интеграла (13) воспользуемся 

квадратурной формулой трапеций. 

Будем иметь для i=1: 

( a y a y ) 

jk t 

V 

1 

= 

jk , 0 k , 0 

+ 

jk , 1 k , 1 , (14) 

2 

где 

a a ( ), a a ( ), y ( ) 

jk , 0 

= jk 

ξ 0 

( ) 

y . 

k , 1 

= y k 

ξ 1 

jk , 1 

= jk 

ξ 1 

y , 

k , 0 

= k 

ξ 0 

Для i ≥ 2 формула трапеций дает 

( a y a y ) 

jk jk t 

V 

i 

= Vi 

−1 

+ jk ,i −1 

k ,i −1 

+ 

2 

Здесь 

jk ,i 

a a ( ξ ), a a ( ξ ) 

jk ,i −1 = 

jk i−1 

jk ,i 

= , 

y y ( ξ ), y y ( ξ ) 

k ,i −1 = 

k i−1 

k ,i 

k 

jk 

= . 

i 

i 

k ,i 

. (15) 

Выражения (14) и (15) можно представить 

в таком виде ( i ≥ 1) 

: 

V 

jk 

i 

jk t 

= Fi 

+ a 

jk ,i 

yk ,i , (16) 

2 

где будет 

F (17) 

jk 

= jk 

+ 

i 

Fi 

− 1 

ta 

jk ,i −1 

yk , i−1 

для i ≥ 2 и 

jk t 

F 

1 

= a 

jk , 0 

y 

(18) 

k , 0 

2 

для i=1. 

Внося (16) в (12), после некоторых преобразований 

получим следующую систему 

линейных алгебраических уравнений для 

определения значений функций y 

j (j =1,2,3,4) 

при ξ = ξi 

по их предшествующим значениям 

y 

j , 0, 

y 

j, 1,..., 

y 

j ,i −1 

: 

A11 , i 

y1,i 

A12,i 

y2,i 

+ A13,i 

y3,i 

= B1 

,i 

+ , 

A22 , i 

y2,i 

A24,i 

y4,i 

= B2 

,i 

+ , 

A31 , i 

y1,i 

A33,i 

y3,i 

= B3,i 

+ , 

A42 , i 

y2,i 

A43,i 

y3,i 

+ A44,i 

y4,i 

= B4 

,i 

A 

A 

jk ,i 

jj ,i 

+ . (19) 

Здесь (j, k = 1, 2, 3, 4) 

t 

= − a 

jk , i 

, j ≠ k; 

2 

t 

= 1− a 

jj , i ; (20) 

2 

11 12 13 

1, i 

y1, 

0 

+ Fi 

+ Fi 

Fi 

B = + , 

22 24 

2, i 

y2, 

0 

+ Fi 

Fi 

B = + , 

31 33 

3, i 

y3, 

0 

+ Fi 

Fi 

B = + , 

42 43 44 

4, i 

y4, 

0 

+ Fi 

+ Fi 

Fi 

B = + . (21) 

2.2. Задаваясь различными совокупностями 

значений 0 j, 

y (j = 1, 2, 3, 4), можно, 

используя соотношения (19), построить все 

частные решения однородной системы уравнений 

(11). 

231


Первые два частных решения 

( y , y , y , ) и ( , y , y , ) 

11 21 31 

y41 

y найдем 

12 22 32 

y42 

путем интегрирования от начального значения 

ξ 0 с заданным шагом t при началь- 

0 = 

ных условиях по верхнему краю оболочки 

θ = α : 

y11 , 0 

= 1, 

y21, 

0 

= 0, 

y31, 

0 

= 0, 

y41, 

0 

= 1 

для первого решения и условиях 

y12 , 0 

= 0, 

y22, 

0 

= 1, 

y32, 

0 

= 1, 

y42, 

0 

= 0 

для второго решения. 

Полученные таким образом решения 

будут “возрастающими” по мере удаления от 

верхнего края оболочки вниз. 

Третье ( 

13, 

y23, 

y33, 

y43) 

( , y , y , ) 

14 24 34 

y44 

y и четвертое 

y решения целесообразно 

строить интегрированием от значения ξ = 0 

1 

с отрицательным шагом t ( t < 0 ) при начальных 

условиях 

y13 , 0 

= 1, 

y23, 

0 

= 0, 

y33, 

0 

= 0, 

y43, 

0 

= 1 

и, соответственно, 

y , y = 1, 

y = 1, 

0 . 

14 , 0 

= 0 

24, 

0 34, 

0 

y44, 

0 

= 

При этом получаются решения, “возрастающие” 

при движении от нижнего края 

оболочки вверх. 

2.3. Признаком линейной независимости 

решений ( ,...),...,( y ,...) 

y является неравенство 

нулю 

11 14 

определителя 

D( ξ)= 

y 

y 

y 

y 

11 

21 

31 

41 

y 

y 

y 

y 

12 

22 

32 

42 

y 

y 

y 

y 

13 

23 

33 

43 

y 

y 

y 

y 

14 

24 

34 

44 

В [3] показано, что 

ξ 

⎛ 

⎞ 

() ξ = D0 exp⎜∫( a11 

+ + a44 

) dξ⎟ ⎠ 

. (22) 

D L , 

⎝ 0 

где D 

0 

- значение определителя (22) при 

ξ = 0. 

В нашем случае согласно (3) 

a + a + a + a 0. 

11 22 33 44 

= 

Поэтому 

( ξ ) = D const 

D . (23) 

0 = 

Условие (23) можно использовать для 

контроля правильности вычисления значений 

функций y 

11,..., 

y44 

. 

2.4. Частное решение ( , y , y , y ) 

y1q 

2q 

3q 

4q 

системы (1) , соответствующее заданной поверхностной 

нагрузке, целесообразно искать, 

применяя метод вариации постоянных [3]: 

y ∑ D y 

jq 

= 4 i= 

1 

i 

ji 

, j = 1 , 2, 

3, 

4 . (24) 

Здесь y 

ji - совокупность всех линейно 

независимых решений системы однородных 

уравнений (11), ( ξ) 

D - функции, определяемые 

из соотношений 

D 

i 

ξ 

∫ 

1 

() ξ = D′ 

()ξ ξ d 

для i= 1, 2 и 

D 

i 

ξ 

∫ 

0 

() ξ = D′ 

()ξ ξ d 

для i= 3, 4. 

i 

i 

i 

Сами производные ( ξ) 

′i 

(25) 

(26) 

D (i = 1,2,3,4) 

согласно методу вариации произвольных постоянных 

находятся из зависимостей 

4 

∑ 

i= 

1 

или 

D ′ y = 

i 

ji 

f 

jq 

[ ][ Z] [ F] 

(27) 

Y = . (28) 

Здесь 

232

[ ] 

[ ] = y ( ξ ) 

Y , j ,k = 1 , 2, 

3, 

4 , 

jk 

[ Z ] [ D′ 

D′ 

D′ 

′] T 

i 

= , 

1 2 3 

D4 

[ ] [ f f f f ] T 

F 

1q 

2q 

3q 

4q 

= . 

Решая систему (28), получаем значения 

производных ( ξ) 

′i 

y ,..., y44, 

y1 

q 

,..., y4q 

D для последующего интегрирования 

по (25) и (26). 

2.5. Располагая всеми частными решениями 

11 , можно построить 

и общее решение системы(1): 

4 

4 

y1 = ∑Ck 

y1k 

+ y1q 

, y2 = ∑Ck 

y2k 

+ y2q 

k = 1 

k= 

1 

4 

4 

y3 = ∑Ck 

y3k 

+ y3q 

, y4 = ∑Ck 

y4k 

+ y4q 

k = 1 

k= 

1 

, 

. (29) 

Здесь C 

1,C2 

,C3, 

C4 

- произвольные постоянные, 

определяемые из граничных условий. 

По выражениям (29) легко вычислить 

и значения основных искомых функций 

ur, 

1, 

Q r 

ϑ и M : 

1 

u r 

= hy 1 

, ϑ 

1 

= y , 

2 

r 0 

r 

Q r 

= Eh y3 

, M Eh y . 

r 

= 2 0 

1 4 

(30) 

r 

3. Числовой пример 

3.1. В качестве примера рассмотрим 

оболочку вращения переменной толщины, 

срединная поверхность которой представляет 

собой пояс эллипсоида вращения (рис. 4). 

Оболочка сверху имеет отверстие, закрытое 

абсолютно жесткой крышкой. По нижнему 

краю оболочка жестко защемлена. Уравнение 

срединной поверхности оболочки: 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

r 

a 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⎛ b − c − x 

+ ⎜ 

⎝ b 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 1. (31) 


Здесь a, b - большая и малая полуоси 

эллипса, вращением которого получается срединная 

поверхность рассматриваемой оболочки; 

с - расстояние верхнего края оболочки 

от ее теоретической вершины. 

Из (31) находим 

2 

⎛ l ⎞ 

r = a 1− 

⎜k 

− ξ⎟ , (32) 

⎝ b ⎠ 

где 

c 

k = 1 − , 

b 

ctgθ = 

x 

ξ = . 

l 

Имея в виду, что 

dr 

dx 

1 dr 

= , 

l dξ 

из (32) выводим 

2 

a ⎛ 

ctgθ = ⎜k 

− 

br ⎝ 

и 

sin θ . 

l 

b 

По значениям 

⎞ 

ξ⎟ 

. (33) 

⎠ 

ctg θ можно определить 

3.2. Примем, что толщина ( ξ) 

δ рассматриваемой 

оболочки изменяется вдоль меридиана 

ее срединной поверхности по закону 

δ 

2 

⎡ s ⎛ s ⎞ ⎤ 

h 

0 0 ⎢2 

−⎜ 

⎟ ⎥. (34) 

⎢⎣ 

L ⎝L⎠ 

⎥⎦ 

() ξ = −( h −h) 

Здесь s - расстояние произвольной точки 

меридиана срединной поверхности оболочки 

от ее верхнего края, измеряемое вдоль 

меридиана: 

ξ 

dξ 

s ( ξ) = l∫ 

, (35) 

0 sinθ 

( 1) 

L = s - полная длина меридиана оболочки, 

h 0 

, h - толщины оболочки при ξ = 0 и, соответственно, 

при ξ = 1. 

3.3. Геометрические параметры оболочки 

примем следующими: 

233


Z 

x . 

r 

b 

l 

с 

X 

Р и с . 4 

Рис. 4 

a 

a = 1000мм, 

c = 32мм, 

b = 800мм, 

l = 288мм, 

h = 6мм, 

h 3мм 

. 

0 

= 

Модуль упругости и коэффициент Пуассона 

материала оболочки: 

4 

E = 6, 

8⋅10 

МПа, µ = 0, 3. 

В таблице 1 представлены значения 

− + 

− 

меридиональных ( σ 11 , σ 11 ) и окружных ( σ 22 

, 

+ 

σ 22 

) напряжений в точках внутренней и наружной 

поверхностей рассматриваемой оболочки 

при действии на нее равномерного 

3 

, 

внутреннего давления q = 01 

МПа. Напряжения 

даны в МПа. 

Шаг интегрирования t = 1/2000. 


ξ s,мм σ 

− 

11 

σ 

+ 

11 

σ 

− 

22 

σ 

+ 

22 

0 0 21,91 1,213 6,572 0,364 

0,1 106,4 10,28 13,88 10,21 10,70 

0,2 189,1 12,99 14,17 12,58 12,88 

0,3 259,0 14,85 14,98 13,35 13,40 

0,4 320,6 15,99 16,06 13,80 13,84 

0,5 376,4 16,91 16,93 14,17 14,20 

0,6 427,8 17,39 17,82 14,39 14,54 

0,7 475,4 16,77 19,40 13,92 14,79 

0,8 520,2 15,35 21,31 11,77 13,81 

0,9 562,6 17,66 18,92 8,356 9,133 

1,0 603,0 33,37 2,570 10,01 0,771 


1. Ахмедьянов И. С. Расчет оболочек 

вращения переменной толщины при осесимметричном 

и антисимметричном нагружении/ 

Самар. гос. аэрокосмич. ун-т. - Самара, 

1999. – 46 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.12.99, 

N 3765-B99. 

2. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных 

конструкций. Статика. - М.: Машиностроение, 

1977. 

3. Степанов В. В. Курс дифференциальных 

уравнений. Изд. 6-е. - М.: Гостехиздат, 

1953. 

234


DESIGNING VARIABLE-THICKNESS REVOLUTION SHELLS FOR THE CASE 

OF AXIALLY SYMMETRIC LOADING USING THE QUADRATURE METHOD 

© 2007 I. S. Akhmedyanov 


The paper deals with the application of the numerical quadrature method to integrating differential equations of 

variable-thickness revolution shells for the case of axially symmetric loading. The original system of differential equations 

is transformed into an integral one. The trapezoid quadrature formula is applied to all the integrals with variable upper 

limits. This makes it possible to set up a system of linear algebraic equations in order to determine the values of all the 

functions desired with the prescribed step t. As a result we manage to obtain numerical values of special solutions of the 

system of differential equations and its general solution containing arbitrary constants. 

235


УДК 33 ББК У9(2)30 

ИНФОРМАЦИОННАЯ ПОДДЕРЖКА ЭТАПА ТЕХНИЧЕСКОЙ 

ЭКСПЛУАТАЦИИ В ЖИЗНЕННОМ ЦИКЛЕ ИЗДЕЛИЙ АВИАСТРОЕНИЯ 

© 2007 Ю. В. Киселев, В. А. Зрелов, М. Е. Проданов, С. К. Бочкарев, Д. Ю. Киселев 


В статье описана информационная поддержка жизненного цикла изделия на примере авиационного подшипника 

для газотурбинного двигателя в среде PDM “SmarTeam”. 

Жизненный цикл (ЖЦ) изделия - это 

совокупность этапов или последовательность 

бизнес-процессов, через которые оно проходит 

за время своего существования: маркетинговые 

исследования, составление технического 

задания, проектирование, технологическая 

подготовка производства, изготовление, 

поставка, техническая эксплуатация и 

утилизация после использования (рис. 1) [1]. 

Базовой идеей непрерывной информационной 

поддержки поставок и жизненного 

цикла продукции (Continuous Acquisition and 

Life cycle Support - CALS) стала идея информационной 

интеграции стадий ЖЦ продукции 

(изделия), которая предполагает переход 

к интегрированной информационной среде 

(ИИС). Информационная интеграция состоит 

в том, что все автоматизированные системы, 

применяемые на различных стадиях ЖЦ, 

оперируют не с традиционными документами 

и даже не с их электронными отображениями 

(например, отсканированными чертежами), 

а с формализованными информационными 

моделями, описывающими изделие, 

технологии его производства и использования. 

Эти модели существуют в ИИС в специфической 

форме информационных объектов 

(ИО). По мере необходимости прикладные 

системы, которым для их работы нужны те 

или иные ИО, могут извлекать их из ИИС, 

обрабатывать, создавая новые объекты, и помещать 

результаты своей работы в ту же ИИС. 

Рис. 1. Функции жизненного цикла изделия (по ISO 9004) 

236

Кибернетика и информатика 

Чтобы все это было возможно, информационные 

модели и соответствующие ИО должны 

быть стандартизованы. 

ИИС формируется на базе систем управления 

данными (Product Data Management 

- PDM систем) и представляет собой совокупность 

распределенных баз данных, в которой 

действуют единые стандартные правила 

хранения, обновления, поиска и передачи 

информации, через которую осуществляется 

безбумажное информационное взаимодействие 

между всеми участниками ЖЦ изделия. 

При этом однажды созданная информация 

хранится в ИИС, не дублируется, не требует 

каких-либо перекодировок в процессе обмена, 

сохраняет актуальность и целостность. 

Применение CALS приводит к следующему: 

- появляются принципиально новые 

средства инженерного труда; 

- полностью изменяется организация и 

технология инженерных работ; 

- существенно изменяется нормативная 

база, т. е. она дополняется и частично перерабатывается; 

- должны быть переучены тысячи специалистов 

для работы в новых условиях и с 

новыми средствами труда. 

Continuous Acquisition [Support] - означает 

непрерывность информационного взаимодействия 

поставщика и заказчика в ходе 

формализации потребностей последнего, 

формирования заказа, процесса поставки и 

т. д. Вторая часть - Life cycle Support (поддержка 

жизненного цикла изделия) - означает 

системность подхода к информационной 

поддержке всех процессов ЖЦ изделия, в том 

числе процессов эксплуатации, обслуживания, 

ремонта, утилизации и т. д. В России для 

обозначения этих технологий введен термин 

информационная поддержка изделий (ИПИ). 

В настоящее время широкое употребление 

получили термины Product Lifecycle 

Management (PLM) - управление жизненным 

циклом изделия, Customer Relationships 

Management (CRM) - управление взаимодействиями 

с заказчиком и Supply Chain 

Management (SCM) - управление взаимодействиями 

с поставщиками, которые используются 

для обозначения классов взаимодействующих 

пакетов программ. 

Рассматриваемая в статье система технической 

эксплуатации изделий представляет 

собой PLM-решение, состоящее из совокупности 

процессов, организационно-технических 

мероприятий и регламентов, осуществляемых 

на стадии технической эксплуатации 

изделия с использованием переходов 

на другие стадии от его разработки до утилизации. 

Цель внедрения настоящего PLM-решения 

в ИИС - сокращение «затрат на владение 

изделием», которые для сложного наукоемкого 

изделия равны или превышают затраты 

на его закупку. 

Основой CALS/ИПИ-технологий является 

технология управления данными об изделии 

PDM-технологии. В настоящей работе 

использовались инструментальные среды: 

- для создания концептуальных структурных 

моделей процессов в стандарте IDEF0 

- пакет программ BPWin [2]; 

- для создания объектных моделей - 

PDM SmarTeam. 

Программный продукт PDM SmarTeam 

предназначен для совместного контролируемого 

и управляемого использования данных 

о продукте на всех этапах ЖЦ в пределах единого 

информационного пространства (ЕИП). 

ЕИП представляет собой общую базу данных, 

в которой работают все специалисты, имеющие 

отношение к этим данным, включая разработчиков, 

производителей и эксплуатантов, 

независимо от их географического расположения. 

Задачи, решаемые с помощью PDM 

SmarTeam: 

- Планирование, разработка, контроль 

и управление процессами проектирования, 

производства и технического обслуживания 

изделия. 

- Обеспечение приема, хранения и управления 

информацией о каждом экземпляре 

изделия в течение всего его жизненного 

цикла. 

- Ускорение движения информации, 

организация электронного документооборота. 

237


- Обеспечение сохранности информации, 

поддержка регламента прав доступа, 

организация электронного архива. 

- Ускорение процессов проектирования 

за счет параллельного выполнения работ и 

электронного обмена данными в едином информационном 

пространстве предприятия. 

- Ускорение освоения опыта проектирования 

молодыми специалистами и повышение 

престижности работы инженеров и 

руководителей. 

- Подготовка информации и кадров для 

внедрения CALS-технологий. 

Жизненный цикл 

авиационного подшипника 

(этап «Техническая эксплуатация») 

Покажем применение CALS-технологий 

на модели описания процессов жизненного 

цикла подшипника как одного из стандартных 

элементов изделий: самолета и двигателя. 

В качестве примера рассмотрим подшипники 

для газотурбинных двигателей 

(ГТД) серии Д-30, изготавливаемых заводомизготовителем 

подшипников (ОАО “ЗАП”) и 

поставляемых на предприятие-изготовитель 

двигателей (НПО “Сатурн”), где после установки 

они в составе двигателя направляются 

в эксплуатирующую организацию (авиакомпания 

ОАО «Самара»). 

На рисунке 2 представлена контекстная 

диаграмма, иллюстрирующая способ представления 

в рамках SADT-технологий с помощью 

системы BPWin взаимодействия потоков 

материальных и информационных 

объектов, управления (в виде регламентирующей 

документации) и инструментов для 

выполнения операций “Процесса поставки 

и эксплуатации подшипников в составе 

силовой установки”. В данном случае инструментом 

является персонал предприятий, 

входящих в жизненный цикл. 

Ниже представлены контекстные диаграммы 

для различных этапов ЖЦ авиационного 

подшипника (АП) с последовательной 

детализацией этих диаграмм. 

На рисунке 3 представлена контекстная 

диаграмма, отражающая схему взаимодействия 

предприятий, отвечающих за ЖЦ АП 

(блок 1 - ЗАП, блок 2 - «НПО «САТУРН», 

блок 3 - авиакомпания ОАО «Самара»). 

На контекстной диаграмме (рис. 4) 

представлены процессы, которые реализуют- 

Рис. 2. Схема процесса поставки и эксплуатации подшипников в составе силовой установки (СУ) 

238


Рис. 3. Схема взаимодействия участников ЖЦ подшипника 

ся на ЗАП на стадиях создания, производства 

и поставки, а также действия при получении 

с завода- изготовителя двигателей дефектного 

подшипника. 

На рисунке 5 представлены действия 

завода-изготовителя двигателей при приемке 

подшипника, его установке в двигатель и 

отправке двигателя в эксплуатацию. 

На рисунке 6 представлены действия 

эксплуатирующего предприятия при поступлении 

двигателя в эксплуатацию и процессы, 

которые происходят с самолетом и двигателем 

в составе силовой установки в процессе 

технической эксплуатации. Двигатель 

принимается у завода-изготовителя, устанавливается 

на самолет и в составе СУ эксплуатируется 

в авиакомпании. 

Техническая эксплуатация, объектами 

которой является самолет и его системы (в 

том числе и СУ), включает летную эксплуатацию 

и техническое обслуживание (ТО) [3] 

(рис. 7). 

О состоянии подшипниковых опор 

можно судить по операции, которая выполняется 

в ходе периодического технического 

обслуживания системы смазки и суфлирования, 

а конкретно по результатам анализа на 

содержание железа и меди в масле. 

ТО системы смазки и суфлирования 

(рис. 8) состоит из осмотра, проверки, замены 

масла на свежее и анализа на содержание 

железа и меди в масле, который распадается 

на два этапа: отбор проб масла; оценка результатов 

анализа. 

По результатам анализа принимаются 

решения о продолжении эксплуатации, постановке 

двигателя на особый контроль или 

съеме двигателя (рис. 9), которые влияют на 

процесс технической эксплуатации. 

В случае, если принимается решение о 

съеме двигателя, то он снимается с эксплуатации 

и отправляется для разборки на заводизготовитель 

двигателя, и далее подшипники 

отправляются на завод-изготовитель 

подшипников для дальнейшего изучения 

(рис. 10). Там происходит их дефектация и 

разрабатываются мероприятия для исключения 

в дальнейшем возникновения причины 

дефекта на этапах производства и конструирования 

подшипников. 

239


Рис. 4. Схема действий завода-изготовителя подшипников для ГТД серии Д-30 

Рис. 5. Действия завода-изготовителя ГТД 

240


Рис. 6. Функции эксплуатирующей организации 

Рис. 7. Этапы технической эксплуатации самолета и двигателя в составе СУ 

241


Рис.8. Схема ТО системы смазки и суфлирования 

Рис. 9. Схема выработки решения в ходе оценки результатов анализа 

242


Рис. 10. Схема действий завода-изготовителя подшипников при получении дефектного 

подшипника с завода-изготовителя двигателя 

Представление информации в среде 

систем управления данными об изделии 

Для описания изделия необходимо 

иметь перечень документации, сопровождающий 

изделие на всех этапах его ЖЦ. Для 

описания документооборота и сокращения 

времени обращения этих документов разработаны 

специальные информационные системы, 

одной из которых является SmarTeam. 

Используя ее возможности, можно в электронном 

виде описывать и хранить различного 

рода документацию на изделие (конструкторскую, 

технологическую и эксплуатационную). 

Проиллюстрируем возможности системы 

SmarTeam на примере описания структуры 

данных двигателя Д-30 (использована 

демо-версия SmarTeam 4.0). Все объекты описания 

представляются в определенных классах. 

Для этого в основном классе «Проекты» 

созданы объекты двигателя Д-30 включающие 

сборочные единицы, относящиеся к двигателю 

(рис. 11). 

В подклассе «Комплексы» создан комплекс 

«Система смазки и суфлирования». В 

классе «Технологические документы» создан 

подкласс «Технологические карты», в котором 

расписаны карты, относящиеся к обслуживанию 

системы смазки и суфлирования 

(рис. 12). Для графического отображения технологического 

процесса «Анализ на содержание 

железа и меди в масле» используем встроенную 

программу Flow Chart Designer, поставляемую 

совместно с SmarTeam. В 

SmartFlow встроена система уведомлений 

(SmartBox), с помощью которой происходит 

присоединение данных к системе и передача 

операций с одного рабочего места на другое 

(рис. 13). 

В графическом виде представлена документация, 

подключенная к объекту «Опора 

роликоподшипника’’, в различных классах 

описания сопровождающая подшипник 

на протяжении ЖЦ: 

1. Паспорт на подшипник. КД - конструкторский 

документ, в котором указывают- 

243


Рис. 11. Представление структуры объектов в базе данных 

Рис. 12. Структурное представление класса «Технологические документы» 

244


Рис. 13. Передача данных с одного рабочего места на другое при помощи SmartBox 

ся: условное обозначение подшипника; класс 

точности; ГОСТ и ЕТУ, по которым изготовлен 

подшипник; срок консервации. Он заполняется 

на заводе-изготовителе подшипников 

и прикладывается к каждому изделию. 

2. “Желтые” карточки, в которые заносят 

сведения о подшипниках, приведших к 

снятию двигателя (рис. 14). ДР - ремонтная 

документация, в которой записываются сведения 

о подшипниках к съему двигателя в 

процессе эксплуатации. ДР заполняется на 

заводе-изготовителе подшипников. 

Выполненное описание позволило: 

1. Проследить путь подшипника по этапам 

производства и экплуатации в зависимости 

от складывающейся ситуации: нормальная 

эксплуатация (рис. 8); проявление дефекта 

(рис. 9, 10). 

2. Представить описание системы смазки 

и суфлирования ГТД серии Д-30 сопроводительной 

эксплуатационной документацией 

и подробно расписать технологическую 

операцию (анализ на содержание железа и 

меди в масле). 

Использование описания ЖЦ изделия 

с помощью контекстных диаграмм, выполненных 

в системе BPWin, и представление 

данных в среде SmarTeam позволяет: 

- организовать хранение данных в единой 

информационной среде; 

- обеспечить быстрый и удобный переход 

от рассмотрения одного этапа ЖЦ к другому; 

- отказаться от бумажных носителей 

информации; 

- обеспечить доступность информации 

об изделии для каждого участника процесса 

на любом этапе ЖЦ изделии; 

- существенно сократить затраты на разработку 

изделия; 

- снизить время на устранение неисправностей 

и внесение изменений в конструкцию. 

245


Рис.14. “Желтая” карточка 


1. Судов Е. В. Интегрированная информационная 

поддержка жизненного цикла машиностроительной 

продукции. Принципы. 

Технологии. Методы. Модели. – Москва: 

ООО Издательский дом «МВМ», 2003. – 264с. 

2. ГОСТ Р50.1.028-2001 Методология 

функционального моделирования IDEF0. 

3. Макаровский И. М. Основы технической 

эксплуатации и диагностики авиационной 

техники: Метод. Указания. – Самара: 

СГАУ, 2004. – 118 с. 

INFORMATION SUPPORT OF OPERATION STAGE IN THE LIFE CYCLE 

OF AIRCRAFT CONSTRUCTION ITEMS 

© 2007 Yu. V. Kiselyov, V. A. Zrelov, M. Ye. Prodanov, S. K. Botchkaryov, D. Yu. Kiselyov 


The paper is devoted to information support of the product life cycle using an aircraft bearing for gas-turbine 

engines in the «SmarTeam» PDM environment as an example. 

246


УДК 629.78+681.51 

АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СПЕЦИФИКАЦИЯ, ВЕРИФИКАЦИЯ И 

СИНТЕЗ УПРАВЛЯЮЩИХ ПРОГРАММ НА ОСНОВЕ 

ЛОГИЧЕСКОГО И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ПОДХОДОВ 

© 2007 А. А. Тюгашев 


Рассматривается комплекс проблем спецификации, верификации и синтеза управляющих программ реального 

времени, исполняемых на борту космического аппарата. Анализируются подходы к решению этих задач 

на основе временной логики и применения расширенной алгебры управляющих процессов. Описывается 

структура основанного на приведенном подходе инструментального программного комплекса разработки управляющих 

программ для космических аппаратов. 

Разработка надежного и качественного 

программного обеспечения является актуальной 

и сложной задачей. Размер современных 

разрабатываемых комплексов программного 

обеспечения достигает миллионов и десятков 

миллионов команд, программное обеспечение 

становится столь сложной системой, 

что появляется острая необходимость нахождения 

таких способов организации процессов 

ее жизненного цикла (проектирование, 

разработка, тестирование, эксплуатация и 

др.), чтобы свести к минимуму вероятность 

появления неприемлемых ошибок. 

Согласно российским и международным 

стандартам (ИСО 9126, ГОСТ 28195-89) 

качество программной системы характеризует 

ряд базовых показателей: 

- корректность, то есть соответствие 

программы спецификации; 

- надежность (отсутствие ошибок, восстанавливаемость 

и др.); 

- эффективность (в том числе временная 

эффективность); 

- сопровождаемость (в том числе удобство 

проведения анализа и простота внесения 

изменений). 

Как правило, оценка степени соответствия 

программы предъявляемым к ней требованиям 

производится на основании тестирования. 

В то же время в случае, когда какоелибо 

из свойств системы (в том числе из перечисленного 

выше списка) может быть записано 

на некотором формальном языке, анализ 

на соответствие этому свойству может 

быть произведен при условии наличия адекватной 

и соответствующей принимаемой 

формальной системе модели программы методами 

верификации программ. В ряде случаев 

путем использования строгих логических 

рассуждений удается гарантированно 

доказать тот факт, что программа имеет или 

не имеет то или иное важное интересующее 

исследователя свойство. Тестирование же, 

как правило, не дает подобной гарантии в 

связи с тем, что провести полную проверку 

функционирования на всех потенциальных 

наборах исходных данных и для всех вариантов 

(логических ветвей) не представляется 

возможным в силу размера современных 

программных комплексов. 

При использовании формальных методов 

доказательства свойств программ рассуждения 

обычно проводятся следующим образом. 

Сначала формулируется на некотором 

языке спецификация программы. Используемый 

язык должен: 

1) обладать полнотой и достаточной выразительной 

силой для записи всех функциональных 

требований и ограничений, накладываемых 

на программу; 

2) быть непротиворечивым; 

3) позволять записывать значимые свойства 

программ лаконично и удобно; 

4) быть понятным и удобным для человека. 

Далее, в рамках подхода Model 

Checking, для проведения верификации программа 

заменяется некоторой отражающей ее 

поведение в интересующих аспектах (семантику) 

моделью и доказывается или опровер- 

247


гается методами формального логического 

вывода наличие тех или иных свойств. Возможен 

также подход, когда каждый из операторов 

(базовых конструктов) программы характеризуется 

на языке так называемых преди 

постусловий [1, 2], а также описывается 

влияние композиции этих конструктов на 

истинность и ложность данных условий каждого 

оператора. В этом случае исследование 

свойств программы проводится путем логического 

вывода, прослеживающего последовательность 

операторов, в рамках полученного 

таким образом исчисления программ. 

Еще более привлекательной представляется 

возможность синтеза программы, гарантированно 

удовлетворяющей поставленным 

в спецификации требованиям, на основе 

некоторой формальной процедуры. В этом 

случае фактически процесс синтеза программы 

сродни процессу логического вывода в 

некоторой теории (очевидна параллель с конструктивизмом 

в математике). 

Логический подход к спецификации, 

верификации и синтезу программ 

Традиционный вычислительный алгоритм 

представляет собой преобразователь 

некоторых исходных данных, имеющихся в 

начальный момент до исполнения алгоритма, 

в выходные данные, получаемые по окончании 

работы. Данные хранятся в памяти 

компьютера. При этом в процессе работы 

исходные данные не меняются. В отличие от 

этого, если рассматривать управляющий алгоритм, 

выполняющийся, например, в бортовой 

вычислительной системе космического 

аппарата (КА), то он имеет дело с объектом 

управления – как правило, динамической системой, 

состояние которой постоянно изменяется. 

В ряде случае при этом вообще не 

подразумевается какого-то останова системы, 

и она должна функционировать непрерывно. 

Реакция системы управления должна укладываться 

в определяемые физическими характеристиками 

управляемых процессов временные 

рамки. 

Выполняя формальные спецификации 

и наблюдая за поведением описываемой системы, 

можно проверить, реализуют ли спецификации 

предполагаемые функциональные 

требования или нет. Например, можно 

проверить, не возникают ли определенные 

нежелательные последовательности событий 

при некоторых критических обстоятельствах. 

Таким образом, производится тестирование 

на ранней фазе процесса разработки. К сожалению, 

традиционная временная логика 

[3] плохо подходит для описания свойств систем 

управления реального времени. Неадекватность 

классической временной логики 

проблемам спецификации систем реального 

времени основана на том факте, что ее операторы 

обеспечивают только качественное 

представление времени, таким образом, обеспечивая 

способы выражения таких свойств, 

как предшествование, возможность или постоянство 

во времени. Только наличие оператора 

«следующий момент времени» приближает 

временную логику к количественному 

представлению времени: например, с его 

применением можно постулировать, что данное 

свойство будет сохраняться на протяжении 

k «тиков» (тактов) времени, начиная с 

текущего момента. 

Другой подход описывается интервальной 

логикой, которая предоставляет «прерывающийся» 

оператор для конкатенации интервалов 

и разрешает мгновенное описание 

последовательностей событий и свойств, сохраняющихся 

в различимых, смежных интервалах. 

Интервальная логика имеет, однако, те 

же самые ограничения, что и классическая 

временная логика. 

Впоследствии временные логики были 

развиты и сформулированы метрическая временная 

логика, временная интервальная логика 

реального времени, временная логика 

реального времени. При этом в качестве семантической 

модели часто применяются таймированные 

автоматы. 

Алгебраический подход 

(алгебры процессов) 

В основу алгебраического подхода были 

положены не программы, а процессы. При 

этом термин «процесс» определяет поведение 

некоторой системы. Существенным для характеристики 

исследуемых систем является 

факт, что, как правило, процессы в них носят 

параллельный и/или распределенный характер. 

В рамках рассматриваемого подхода 

для описания поведения используется алгеб- 

248


раический/аксиоматический подход. При 

этом становится возможным проведение рассуждений 

о таких системах, используя алгебру, 

то есть уравнения. Посредством операций 

с уравнениями можно производить верификацию, 

то есть проверку того, что система 

удовлетворяет требуемым свойствам. В [4] 

был сформулирован базовый набор аксиом 

относительно операций, производимых над 

процессами. 

Синтез логического и алгебраического 

подходов при проектировании 

алгоритмов управления КА 

При анализе бортовой аппаратуры (БА) 

современного КА можно выделить ряд функциональных 

систем, определяющих в совокупности 

его целевые свойства. Каждая из 

этих систем, в свою очередь, имеет достаточно 

сложную структуру и состоит из подсистем, 

приборов, агрегатов, датчиков и др. Элементы 

систем БА соединяются между собой 

и совместно должны функционировать в рамках 

решения поставленных перед КА целевых 

задач. 

При этом для современных КА характерным 

является применение бортовых цифровых 

вычислительных машин (БЦВМ) для 

решения задач управления БА [5]. Даже на 

микро- и наноспутниках использование управляющего 

бортового компьютера (с бортовой 

информационной системой) сейчас стало 

нормой [6]. 

При этом по ряду причин, включающих, 

в частности, простоту коррекции бортового 

программного обеспечения (БПО) и добавления 

в него дополнительных задач, возможность 

оперативного дистанционного изменения 

состава решаемых БПО задач, более эффективную 

загрузку вычислительных ресурсов 

для сложных многофункциональных комплексов 

БПО, в которых моменты начала и 

окончания решения задач могут меняться в 

широких пределах в зависимости от временных 

разбросов работы БА и исходных данных, 

передаваемых с Земли, предпочтительно 

использование приоритетной динамической 

асинхронной организации вычислительного 

процесса [5]. Данная дисциплина организации 

вычислительного процесса характеризуется 

тем, что управление работой бортовой 

вычислительной системы (БВС) осуществляется 

бортовой операционной системой 

(БОС) реального времени, которая обеспечивает 

параллельное исполнение ряда задач на 

одной или нескольких БЦВМ с поддержкой 

системы прерываний как по сигналам от БА, 

так и от специального устройства отсчета 

времени – таймера. 

КА создается для решения заданного 

набора целевых задач (ЦЗ) в зависимости от 

типа аппарата, параметров орбиты и т. д. При 

этом особенности космической баллистики, 

а также другие факторы обуславливают тот 

факт, что каждая из задач верхнего уровня 

(базовых ЦЗ) привязывается к опорным моментам 

времени. 

Обозначим набор базовых ЦЗ КА как 

γ 1 

, γ 2 

,..., γ N 

. 

Привязанные к опорным моментам 

шкалы времени T оп 

, целевые задачи образуют 

пары: 

(γ 1 

, T оп2 

), (γ 1 

, T оп2 

),…, (γ N 

, T опN 

). 

Обратим внимание на следующее обстоятельство: 

многие целевые задачи (например, 

работа двигательной установки для сообщения 

требуемого импульса) имеют определенную 

длительность выполнения. 

В свою очередь, реализация каждой ЦЗ 

верхнего уровня требует, как правило, согласованной 

работы нескольких систем, приборов, 

агрегатов, датчиков и других элементов 

БА, каждый из которых при этом должен 

обеспечить выполнение набора функциональных 

задач f 1 

, f 2 

,…, f N 

в некоторые моменты 

времени t 1 

, t 2 

,..., t N 

. Моменты времени зависят 

от времени выполнения основной ЦЗ 

и привязываются, таким образом, к Т оп 

. Аналогично 

основным ЦЗ функциональные задачи 

также имеют определенные длительности 

исполнения - τ 1 

, τ 2 

,…, τ N 

. 

С точки зрения БВС, выполнение функциональной 

задачи есть выдача некоторой 

команды или посылка сигнала той или иной 

системе, тому или иному прибору или агрегату 

БА или же выполнение некоторой программы 

из комплекса БПО, результаты работы 

которой (информационная связь) затем 

используются при выполнении иных функциональных 

задач. 

249


Для описания спецификации (требований 

к логике управления) на вербальном 

уровне часто применяются такие выражения, 

как «За 5 минут до X необходимо включить 

режим Р», «В момент срабатывания X подаются 

команды f 2 

, f 5 

», «Операции f 2 

, f 3 

должны 

завершиться к началу работы системы С», «В 

случае Y с интервалом в 1 с выдаются команды 

f 1 

, f 2 

, f 3 

», «Не менее чем через 7 мксек после 

X обмен данными может быть возобновлен 

путем выдачи команды f 10 

». 

Таким образом, для спецификации требований 

к времени выполнения может быть 

использована как временная (темпоральная) 

логика [3], а в процессе конструирования комплексного 

управляющего алгоритма - аппарат 

алгебры процессов реального времени 

[4]. 

При этом в процессе проектирования 

бортового комплекса управления и соответствующего 

БПО важно знать временные характеристики 

программ, начиная с самых 

ранних этапов проектирования БПО и КА в 

целом. 

Поэтому представляется целесообразным 

и наиболее эффективным синтез логического 

и алгебраического подходов. При 

этом, с одной стороны, на каждом шаге проектировщику 

предоставляется возможность 

самостоятельно, применяя алгебраические 

операции, конструировать все более и более 

сложные управляющие алгоритмы, а с другой 

стороны, рассуждать об их свойствах и 

степени соответствия спецификации с применением 

формальной логической теории. 

Более того, совмещение алгебраического и 

логического подходов позволяет строго утверждать 

на каждом шаге конструирования 

точное соответствие создаваемого программного 

продукта спецификации на основе выведенных 

свойств операций алгебры во временной 

логике. 

Предлагается адаптированная к проблематике 

проектирования управляющего БПО 

и расширенная по сравнению с имеющимися 

формальная система, обладающая свойствами 

временной логики, которая позволяет 

учитывать длительности процессов, происходящих 

на борту КА, и специфицировать 

на точно определенном языке логику управления 

подсистемой и системой на основе 

250 

логики управления отдельным прибором. 

В [7] предложена и исследована алгебра 

управляющих алгоритмов (УА) реального 

времени, включающая операции во временном 

пространстве: 

1. Операция совмещения по началу 

(СН), означающая задание общего (одинакового) 

времени запуска некоторых управляющих 

алгоритмов. 

2. Операция совмещения по концу (СК), 

означающая задание общего времени окончания 

выполнения управляющих алгоритмов. 

3. Операция следования →, означающая 

запуск некоторого УА сразу после окончания 

выполнения другого УА. 

Также введена операция в логическом 

пространстве =>, смысл которой заключается 

в обуславливании выполнения той или 

иной функциональной задачи истинностью 

или ложностью некоторого логического условия. 

Эта операция позволяет точно специфицировать 

альтернативную композицию в 

терминах текущей бортовой ситуации, то есть 

в данном случае она специфицирует теорему 

расширения алгебры процессов в понимании 

[4]. 

Отметим также, что с точки зрения 

классических алгебр процессов, операции 

СН и СК являются несущими физический 

смысл уточнениями операции параллельной 

композиции процессов, а операция → – последовательной 

композиции. При этом, естественно, 

сохраняются истинными все базовые 

аксиомы алгебр процессов. 

В качестве основного множества (носителя) 

алгебры предлагается набор кортежей 

следующего вида: 

УА РВ 

{ < f ,t , ,l > }, 

i = , N 

= τ , 

i i i i 

1 

где f i 

– функциональная программа (действие); 

t i 

- момент начала исполнения действия 

(целое неотрицательное число); τ i 

- длительность 

действия (целое неотрицательное 

число); i 

l - логический вектор, обуславливающий 

действие. Нетрудно видеть, что графическим 

образом (за исключением логического 

компонента) представленной математической 

модели будет циклограмма. 

Использование данного подхода позволяет 

уйти от проблемы сложности (числа со-

стояний) традиционно используемых в качестве 

модели семантик временных логик и 

алгебр процессов автоматов и систем переходов. 

Состояние системы в приведенной модели 

в некоторый момент времени описывается, 

с точки зрения вычислительного процесса: 

- выполняющимися в данный момент 

функциональными задачами; 

- признаками – завершены ли к данному 

моменту те или иные функциональные 

задачи. 

В конечном счете, все представление 

текущей ситуации может быть сведено к значениям 

логических переменных, образующих 

вектор. 

В качестве дополнительных компонент 

этого вектора могут использоваться определяемые 

для каждой f i 

два предиката – предикат 

(функция) выполнимости α fi 

(t), отражающий 

тот факт, что функциональная задача 

(ФЗ) fi выполняется в момент времени t, и 

предикат α zfi 

(t), говорящий о том, что к моменту 

времени t выполнение данной ФЗ было 

завершено. 

Расширенная модель алгебраической 

системы управляющих алгоритмов допускает 

истолкование присутствующих в алгебре 

[7] символов СН, СК, → как предикатов (утверждений) 

о соотношении управляющих 

процессов: 

1. f 1 

CH f 2 

означает, что управляющие 

алгоритмы начинаются в одно и то же время 

(t 1 

=t 2 

). 

2. f 1 

CК f 2 

означает, что управляющие 

алгоритмы заканчиваются в одно и то же время 

(t 1 

+t 1 

=t 2 

+t 2 

). 

3. f 1 

→ f 2 

означает, что момент старта 

алгоритма f 2 

совпадает (равен) моменту завершения 

выполнения алгоритма f 1 

(t 1 

+t 1 

=t 2 

). 

Расширенная модель также вводит дополнительные 

символы


COMPUTER-AIDED SPECIFICATION, VERIFICATION AND SYNSHESIS 

OF CONTROL PROGRAMMES ON THE BASIS OF LOGICAL 

AND ALGEBRAIC APPROACHES 

© 2007 A. A. Tugashev 


The paper deals with a complex of problems associated with real-time control program specification, verification 

and synthesis, carried out aboard a space vehicle. Approaches to solving these tasks on the basis of temporal logic and 

extended algebra of control processes are analysed. The structure of an instrumental programme complex of control 

programmes for space vehicles based on the approach proposed is described. 

252


УДК 519.7 

ОПТИМИЗАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ 

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЛЕННЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ МЕТОДОВ 

© 2007 М. А. Федорова 

Ульяновский государственный университет 

В работе исследуется применение эволюционных и численных методов для оптимизации сложных взаимосвязанных 

систем фильтрации и управления в условиях априорной неопределенности на примере стохастической 

следящей системы (для краткости, – трекера). Для сравнения различных подходов проведены серии 

экспериментов на специально разработанном программном продукте. При моделировании трекера обнаружение 

нарушений производится на основе метода взвешенных квадратов невязок, адаптация – на основе метода 

вспомогательного функционала качества, а в качестве алгоритмов идентификации использованы – для сравнения 

их возможностей – метод простой стохастической аппроксимации, метод наименьших квадратов и генетический 

алгоритм. В сравнительном аспекте исследуется применение эволюционных и численных методов для 

оптимизации сложных взаимосвязанных систем фильтрации и управления на примере стохастической следящей 


Постановка задачи 

Рассмотрим заданную в пространстве 

состояний линейную инвариантную во времени 

стохастическую систему с контуром 

управления: 

x 

n 

( ti+ 1) 

= Φθ x( 

ti 

) + Ψθ 

u( 

ti 

) + w( 

ti 

), x ∈ R , 

y( t ) = H v ), 

i 

(1) 

m 

θ 

x( 

ti 

) + ( ti 

y ∈ R , (2) 

− 

+ 

n 

xˆ 0 

( ti+ 1) 

= Φ xˆ 

0 0 

( ti 

) + Ψ0 

u( 

ti 

), xˆ 

0 

∈ R , (3) 

xˆ 

( t 

0 

ν ( t 

i 

+ 

i 

) = xˆ 

( t 

0 

) = y( 

t 

i 

− 

i 

) − H 

) + K ν ( t 

0 

xˆ 

( t 

0 

0 

− 

i 

i 

), 

), 

(4) 

+ 

⎪⎧f 

[ ˆ 

R 

x0 

( ti 

)], 

u ( ti 

) = ⎨ 

* + 

q 

(5) 

⎪⎩−G 

0 

xˆ0 

( ti 

), 

u ∈R 

. 

Здесь i ∈ Z ; (1) – объект и (2) – сенсор, параметризованные 

параметром неопределенности 

θ ; (3)-(4) – фильтр Калмана, спроектированный 

для некоторого номинального значения 

θ 

0 

параметра θ ; (5) – управление; 

{ w ( ⋅)} 

, { v ( ⋅)} 

считаются независимыми последовательностями 

независимых одинаково 

распределенных случайных величин с нулевым 

средним значением и ковариациями 

Q ≥ 0 и R > 0 соответственно. 

θ 

θ 

Матрицы, присутствующие в системе 

(1)-(5), заданы как Φ 

0 

, Ψ 

0 

, Q 

0 , H 

0 

и R 

0 

для 

номинального режима работы, т.е. для номинального 

значения θ ∈Θ 

параметра неопре- 

0 

деленности θ ∈ Θ , взятого из множества Θ 

возможных режимов. 

Предполагается, что параметр θ подвержен 

внезапным изменениям. Каждое изменение 

случается в неизвестный момент 

времени t > t c 0 

. Это событие можно рассматривать 

как переключение θ с θ 

0 

на некото-о- 

рое другое неизвестное значение θ 

1 

∈ Θ. Чтобы 

поддерживать обратную связь (ОС) близкой 

к оптимальной, для вновь возникшего 

режима (определенного параметром θ ) необходимо 

соответствующим образом ее пе- 

1 

ренастроить. Оптимальной перенастройкой 

является альтернативный фильтр Калмана 

( KF ), которому соответствует 

1 

θ с коэффи- 

1 

циентом K . Таким образом, ОС перенастра- 

1 

ивается и (отмечена нижним индексом 1 

) 

подставляется вместо начальной обратной 

связи (отмечена нижним индексом 0 

). 

Проблема заключается в том, что оптимальную 

перенастройку нельзя выполнить, 

253


потому что θ 

1 

и t c 

неизвестны и, таким образом, 

могут быть заменены только на оценки 

θ ˆ и 

1 ˆt c 

, полученные от некоторого практически 

применимого алгоритма оценки параметра 

для перенастройки. Можно выполнить 

только субоптимальную перенастройку 

и при этом необходимо решать две задачи: 

обнаружения и адаптации. 

1. Обнаружение. Необходимо с наименьшими 

затратами обнаружить каждый 

момент изменения t c 

с приемлемой задержкой 

и требуемой надежностью, т.е. необходим 

некоторый генератор решений DG. В 

момент тревоги t 

a 

генератор подтверждает 

внезапное изменение и задает 

t ˆ := c 

ta 

. 

Будем оценивать момент t c 

, используя 

номинальную ковариацию C 

0 

последовательности 

ν t ) в (4) и специально сконстру- 

( i 

ированную решающую функцию в форме 

кумулятивной суммы [1]: 

S 

k 

= 

m 

k 

T −1 

( 2k) 

∑[ 

ν ( ti 

) C0 ν ( ti 

) m −1] 

. 

i= 

1 

Задача состоит в обнаружении (за приемлемый 

промежуток времени) момента нарушения 

t c 

при помощи подходящего решающего 

правила d ( ) {0, 1} 

[1]. Ниже пред- 

0 

t k 

∈ 

ставлен один из вариантов такого правила. 

Решение принимается в конце интервала 

выборки номер l = 1, 

2, L, 

L , каждый размера 

N : 

⎧ 

⎪ 

0 if ∀k 

= 1, K, 

N : S 

d 

0 

( l) 

= ⎨ 

∃ = ⎪⎩ 

1 if k 1, K, 

N : S 

(0) 

N ( l−1) 

+ k 

(0) 

N ( l−1) 

+ k 

< h; 

отбой, 

≥ h; 

тревога. 

Если «тревога», то генератор подтверждает 

внезапное изменение и включает алгоритм 

адаптации. 

2. Адаптация. После того, как принято 

решение о том, что произошло нарушение 

(сигнал «тревога»), необходимо провести 

адаптацию системы к вновь возникшему режиму 

работы с θ . Для этого за основу взят 

1 

метод вспомогательного функционала качества. 

При этом в качестве возможных методов 

идентификации для сравнения выбирать 

будем из следующего списка: 

- простая стохастическая аппроксимация; 

- метод наименьших квадратов; 

- генетический алгоритм. 

Моделирование стохастической 

следящей системы 

Стохастическая следящая система (трекер) 

– система, состоящая из двух независимых 

подсистем: соответственно, замкнутого 

и разомкнутого типа. Таким образом, в трекере 

некоторый «управляемый объект» следит 

за некоторой «опорной моделью». Следящая 

система в обобщенном виде может 

быть представлена как система (1) - (5), где 

векторы и матрицы представлены в виде 

⎡x 

p ⎤ ⎡Φ 

p 

0 ⎤ ⎡Ψp 

⎤ 

x = ⎢ ⎥ , Φ = ⎢ , , 

0 

⎥ Ψ = ⎢ 

0 

⎥ 

⎣x 

⎣ Φ 

r ⎦ 

r ⎦ ⎣ ⎦ 

⎡wp 

⎤ ⎡Q 

p 

0 ⎤ 

w = ⎢ ⎥ , Q = ⎢ , 

0 

⎥ 

⎣w 

⎦ ⎣ Q 

r 

r ⎦ 

⎡y 

p ⎤ ⎡H 

p 

0 ⎤ 

y = ⎢ ⎥ , H = ⎢ , 

0 

⎥ 

⎣y 

⎦ ⎣ H 

r 

r ⎦ 

⎡v 

p ⎤ ⎡R 

p 

0 ⎤ 

v = ⎢ ⎥ , R = ⎢ , 

0 

⎥ 

⎣vr 

⎦ ⎣ Rr 

⎦ 

+ 

+ 

u( 

t ) = −G 

xˆ 

( t ) − G xˆ 

( t ). 

i 

p 

0 p 

i 

r 

Здесь индекс «p» обозначает «управляемый 

объект», а индекс «r» – «опорную модель». 

Для моделирования возьмем пример из 

[2] и конкретизируем следящую систему: 

⎡0.82 

0 ⎤ ⎡0.18⎤ 

x ( ti+ 

1) 

= ⎢ 

x( 

ti 

) + u( 

ti 

) + w( 

ti 

), 

0 0.61 

⎥ ⎢ 

0 

⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

⎡1 

0⎤ 

y ( ti 

) = ⎢ x( 

ti 

) + v( 

ti 

), 

0 1 

⎥ 

⎣ ⎦ 

0r 

− ⎡0.82 

0 ⎤ + ⎡0.18⎤ 

xˆ ( ) 

ˆ 

0 

ti+ 

1 

= ⎢ 

x0 

( ti 

) + u( 

ti 

), 

0 0.61 

⎥ ⎢ 

0 

⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

i 

254

Пуск 


⎛ ⎡1 

0⎤ 

− 

⎞ 

[ K K ] ⎜ y( 

t ) − xˆ 

( t ) , 

+ 

− 

xˆ 0( 

t ) = ˆ0 

( ) + 

0 0 ⎜ ⎢ 0 

0 1 

⎥ ⎟ i 

x ti 

p r i 

i 

⎝ ⎣ ⎦ ⎠ 

⎡ 0.36 ⎤ 

u( ti 

) = ⎢ ˆ0 

( 

0.19 

⎥ x ti 

⎣− 

⎦ 

+ 

). 

Моделирование неопределенности следящей 

системы ограничим первым, но достаточно 

типичным случаем, когда неизвестными 

или резко изменяющимися величинами 

могут быть лишь параметры (ковариации) 

шумов. 

Адаптивный фильтр и 

функция чувствительности 

Адаптивную модель построим для оценивания 

состояния объекта и для определения 

невязки, т. е. разности между состоянием 

адаптивной модели и состоянием объекта. 

Критерий качества зададим в виде функции 

от невязки [3]. При этом предполагаем, 

что невязка такова, что минимум критерия 

качества достигается только при таких значениях 

параметров модели, которые в точности 

совпадают с фактическими значениями 

соответствующих параметров объекта и/или 

оптимального установившегося фильтра. 

Присоединим к системе (1)-(5) адаптивную 

модель, совпадающую по своей структуре 

с фильтром Калмана. При этом получаем 

общую структуру моделируемого трекера 

с присоединенным блоком обнаружения нарушений 

и блоком адаптивного фильтра (рис. 1). 

Поскольку из-за априорной неопределенности 

критерий качества системы недоступен 

непосредственному измерению, то 

особый интерес для решения задачи идентификации 

представляет теория вспомогательного 

функционала качества (ВФК) [3]. Исходный 

функционал качества (ИФК) от недо- 

y 

r 

Опорная 

модель 

w 

r 

v r 

w 

p 

v 

p 

y 

r 

Фильтр 

Калмана для 

опорной 

модели 

^x r 

G 

* 

0r 

+ 

u 

Управляемый 

объект 

y 

P 

u 

Блок задержки 

Адаптивный 

фильтр для 

опорной 

модели 

^Kr 

G * 0p 

^x 

P 

Фильтр 

Калмана для 

управляемого 

объекта 

Y P 

Пуск 

Останов 

^Kp 

Адаптивный 

фильтр для 

управляемого 

объекта 

Блок обнаружения 

нарушений для 

опорной модели 

Останов 

Блок обнаружения 

нарушений 

управляемого объекта 

Рис. 1. Структура стохастического трекера с блоком обнаружения нарушений и адаптивным фильтром 

255


ступной ошибки e( t) 

= x( 

t) 

− xˆ( 

t) 

зададим 


{ F } 

( e( 

t ) 

J e 

( θ ) = E ),θ 

. 

Будем конструировать вспомогательный 

функционал качества, содержащий только 

известные величины (в зависимости от 

уровня неопределенности в понятие «доступная 

информация» вкладывается различный 

смысл). В основу ВФК положим такую величину 

ε (t) 

, которая является аналогом e (t) 

в 

ИФК: 

J 

ε 

( θ ) = E{ F θ }. 

( ε ( t), 

) 

Условием оптимальности адаптивного 

фильтра является достижение минимума функционалом 

качества, исходя из чего равенство 

нулю градиента 

∇ θ 

J 

ε 

( t) 

= 

T 

ε 

r 

( t) 

S( 

t) 

= 0 

будет необходимым условием оптимальности. 

Матрица S (t) 

определяется равенством 

⎡∂ε 

( t) 

S( 

t) 

= ⎢ 

⎣ ∂θ1 

K 

∂ε 

( t) 

⎤ 

= 

∂θ 

⎥ 

N ⎦ 

∇ θ 

ε ( t) 

, 

где N – размерность модельного параметра. 

Критерий оптимальности, выраженный 

в виде функции вектора параметров θ , 

J 

ε 

( t, 

θ) 

, в явной форме неизвестен. Это значит, 

что известны лишь реализации величи- 

T 

ны произведения ε ( t, 

θ) 

⋅ S( 

t, 

θ) 

, которые 

зависят от вектора θ . Задача состоит в опре- 

∗ 

делении оптимального значения θ вектора 

θ , доставляющего минимум функционалу 

качества. Очевидно, единственно возможный 

путь решения этой задачи связан с наблюдением 

текущей реализации и ее обработкой, 

поскольку минимизируемый ИФК содержит 

оператор математического ожидания по всему 

ансамблю реализаций. 

Отыскание оптимального вектора будем 

проводить численными и эволюционными 

методами. 

Численные и эволюционные методы 

Рассмотрим численные методы. 

1. Простая стохастическая аппроксимация. 

Данный алгоритм представляет собой 

стохастический аналог градиентного метода, 

который обычно записывают в виде 

ˆ[ 1] = ˆ 

T 

θ n + θ[ 

n] 

−λ[ 

n + 1] ε [ n] 

S[ 

n], 

1 

λ[ 

n + 1] = , 

n + 1 

n = 1,2, K,K . 

2. Метод наименьших квадратов. Запишем 

общий вид алгоритма 

ˆ[ 1] = ˆ 

T 

θ n + θ[ 

n] 

− Λ[ 

n + 1] ε [ n] 

S[ 

n], 

n =1,2, K,K. 

В частном случае – для метода наименьших 

квадратов – множитель определяется по 

формуле 

Λ[ 

n + 1]= Λ[ 

n] 

−Λ[ 

n] 

S 

T 

[ n]( 

S[ 

n] 

Λ[ 

n] 

S 

T 

[ n]) 

−1 

S[ 

n] 

Λ[ 

n]. 

Эволюционные методы принадлежат 

направлению, которое описывает системы по 

типу вычислительных моделей эволюционных 

процессов. Эволюционные алгоритмы 

включают в себя три главных направления 

фундаментальных исследований: генетические 

алгоритмы, эволюционное моделирование 

(эволюционные стратегии) и эволюционное 

программирование [5]. Приведем названия 

генетических операторов, которые использовались 

при исследованиях. 

Оператор кодирования – оператор, при 

помощи которого осуществляется кодирование 

параметров и декодирование хромосом. 

При моделировании на выбор предлагаются 

следующие три разновидности оператора 

кодирования: двоичное кодирование, интервальное 

кодирование с бинарным кодом и 

интервальное кодирование с кодом Грея. 

Фитнес-функция – функция оценки 

приспособленности индивида. Данная функция 

построена на основе метода статисти- 

256


ческой ортогональности (реализуемого по 

схеме полярного коррелометра). Значение 

фитнес-функции сопоставляется каждой хромосоме 

в популяции, при этом чем больше 

значение функции, тем лучше приспособленность 

данного индивида. Для получения оценок 

всех индивидов в текущей популяции 

необходима выборка размера М. 

Отбор – оператор, посредством которого 

осуществляется копирование хромосом, 

согласно их приспособленности, в промежуточную 

популяцию для последующего применения 

операторов скрещивания и мутации 

и для формирования таким образом новой 

популяции. При моделировании на выбор 

предлагаются следующие два вида этого оператора: 

«колесо рулетки» и остаточный отбор. 

Скрещивание – оператор, который с 

определенной вероятностью применяется к 

хромосомам, выбранным оператором отбора. 

В результате действия этого оператора происходит 

появление новых индивидов в популяции. 

При этом скрещивание может быть: 

одноточечным, двуточечным и маскированным. 

Мутация – оператор, который применяется 

к каждому потомку индивидуально после 

скрещивания. Мутация случайно изменяет 

ген хромосомы с небольшой (задаваемой 

эмпирически) вероятностью. 

Элитизм – оператор, задаваемый коэффициентом 

элитизма. Коэффициент элитизма 

– это число хромосом, переходящих из 

текущей популяции в новую популяцию без 

применения каких-либо генетических операторов. 

Результаты вычислительных 

экспериментов 

Для проведения экспериментов предложенные 

алгоритмы полностью реализованы 

в специально разработанном программном 

продукте MASSS [6]. MASSS позволяет наблюдать 

за поведением различных процессов 

стохастической системы, обнаруживать нарушения 

в системе и проводить ее адаптацию 

к новым условиям. При моделировании 

в этом приложении доступны следующие 

функции: 

- выбор моделируемых систем (управляемый 

объект, опорная модель, управляемый 

объект и опорная модель); 

- выбор точки внезапного изменения; 

- выбор алгоритмов идентификации 

(простая стохастическая аппроксимация, метод 

наименьших квадратов, генетический 

алгоритм); 

- выбор типа сглаживания оценки градиента 

(экспоненциальное, с фиксированными 

отсчетами, скользяще среднее); 

- изменение параметров модели; 

- изменение параметров алгоритмов; 

- визуализация данных; 

- просмотр данных в табличном виде 

и т. д. 

Для тестирования алгоритмов проведены 

несколько серий экспериментов. Параметры 

одной из серий представлены ниже в таблице 

1. 

На рис. 2 представлено поведение генетического 

алгоритма в качестве метода 

идентификации. 

Для проведения сравнительного анализа 

различных алгоритмов идентификации 

использована интегральная относительная 

ошибка (IPE), усредненная по результатам 

серии экспериментов. Графики изменения 

относительной ошибки простой стохастической 

аппроксимации, метода наименьших 

квадратов и генетического алгоритма в зависимости 

от номера итерации представлены 

на рис. 3 

Как показывают результаты экспериментов, 

в большинстве случаев усредненное 

поведение генетического алгоритма дает 

меньший уровень относительной ошибки по 

сравнению с процедурой простой стохастической 

аппроксимации или методом наименьших 

квадратов. Однако следует отметить, что 

поведение генетического алгоритма более 

непостоянно, чем поведение стандартных 

численных методов. Численные методы последовательны 

в своих операциях, в то время 

как генетический алгоритм – параллелен и 

требует наличия множества индивидов, формирующих 

текущую популяцию адаптивных 

фильтров. 

257


Таблица 1. Параметры серии экспериментов 

Общие параметры 

Количество экспериментов в серии 100 

Максимальной количество итераций 5000 

Параметры и обозначения численных алгоритмов 

Простая стохастическая аппроксимация 

ПСА 

Метод наименьших квадратов 

МНК 

Параметр экспоненциального сглаживания 0.5 

Параметры и обозначения генетического алгоритма 

Генетический алгоритм 

ГА 

Длина хромосомы 7 

Мощность популяции 50 

Вероятность мутации 0.1 

Вероятность скрещивания 0.8 

Коэффициент элитизма 1 

Режим отбора 

остаточный отбор 

Режим скрещивания 

маскированный 

Кодирование 

интервальное с кодом Грея 

Параметры внезапного изменения и идентификации 

Итерация внезапного изменеия 300 

Истинное значение идентифицируемого параметра до 0.258 

изменения (опорная модель) 

Истинное значение идентифицируемого параметра 0.736 

после изменения (опорная модель) 

Истинное значение идентифицируемого параметра до 0.900 

изменения (управляемый объект) 

Истинное значение идентифицируемого параметра 0.547 

после изменения (управляемый объект) 

1 

c 

) , c 

) 

1 2 

0.8 

0.6 

0.4 

Идентификация параметра опорной модели 

Идентификация параметра управляемого объекта 

Истинное значение параметра опорной модели 

Истинное значение параметра управляемого объекта 

0 1000 2000 3000 4000 5000 

N 

Рис. 2. Зависимости оценок параметров опорной модели ( 1 

от номера итерации N 

258 

c ) ) и управляемого объекта ( c ) 2 

)


ε 

70 

60 

Простая стохастическая аппроксимация 

Метод наименьших квадратов 

Генетический алгоритм 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

0 1000 2000 3000 4000 5000 

Рис. 3. Сравнительные зависимости относительных ошибок методов идентификации 

от номера итерации N 

N 

На основании проведенных экспериментов 

можно сделать вывод о пригодности 

эволюционных методов к решению указанной 

задачи оптимизации. 


1. Семушин И. В. Контроль оптимальности 

адаптивного фильтра Калмана по реализации 

скалярного процесса // Известия академии 

наук СССР. Техническая кибернетика, 

1979.– № 6. 

2. Maybeck P. S. Stochastic models, 

estimation and control. – New York: Academic 

Press, 1982, Vol.3. 

3. Семушин И. В. Адаптивное управление 

стохастическим линейным объектом в 

условиях неопределенности. // Нелинейные 

динамические системы: качественный анализ 

и управление / Сб. научных трудов. Инсти- 

тут системного анализа РАН. Под ред. акад. 

РАН С. В. Емельянова, чл.-корр. РАН С.К. Коровина. 

– М.: Изд-во МГУ. - 1994. Вып. 2. 

4. Semoushin I. V., Tsyganova J. V. Indirect 

Error Control for Adaptive Filtering. // 

Proceedings of the. Third European Conference 

on Numerical Mathematics and Applied 

Applications/ Eds. P. Neittaanmaki, T. Tiihonen 

and P. Tarvainen, World Scientific, 2000. 

5. Ярушкина Н. Г. Основы теории нечетких 

и гибридных систем: Учеб. пособие. 

– М.: Финансы и статистика, 2004. 

6. Федорова М. А. Моделирование адаптивной 

стохастической системы MASSS. // 

Москва: ВНТИЦ. Программное и информационное 

обеспечение поддержки научно исследовательских 

работ, 2007.– ЕСПД. 

03254577.01880-01. 

OPTIMIZATION OF A STOCHASTIC TRACKING SYSTEM USING 

NUMERICAL AND EVOLUTION METHODS 

© 2007 M. A. Fyodorova 

Ulianovsk State University 

The paper analyses the use of evolution and numerical methods for the optimization of complex interrelated 

screening and control systems under a priori uncertainty using a stochastic tracking system (a tracker, for short) as an 

example. To compare various approaches a series of experiments have been carried out on specially developed software. 

When modeling a tracker faults are discovered on the basis of the method of weighted squares of error of closure, 

adaptation is performed on the basis of the method of auxiliary quality functional. The method of simple stochastic 

approximation, the method of least squares and the genetic algorithm are used as identification algorithms to as to 

compare their possibilities. In the comparative aspect the use of evolution and numerical methods for the optimization 

of complex interrelated screening and control systems is analysed using a stochastic tracking system as an example. 

259


САМАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 

АЭРОКОСМИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 

имени академика С. П. КОРОЛЕВА 

№ 1 (12) 

2007 

Корректор Карпова Л. М. 

Компьютерная верстка Коломиец В. В. 

Переводчик Безрукова Е. И. 

Технолог Прилепский И. В. 

Формат 60×84 1/8. Бумага офсетная. Печать офсетная. 

Тираж 200. Заказ 28. 

Отпечатано в отделе интеллектуальной собственности и информационного обеспечения 

Самарского государственного аэрокосмического университета 

443086 Самара, Московское шоссе, 34

ÐÐ¾Ð»Ð½Ð°Ñ Ð²ÐµÑÑÐ¸Ñ - Ð¡Ð°Ð¼Ð°ÑÑÐºÐ¸Ð¹ Ð³Ð¾ÑÑÐ´Ð°ÑÑÑÐ²ÐµÐ½Ð½ÑÐ¹ Ð°ÑÑÐ¾ÐºÐ¾ÑÐ¼Ð¸ÑÐµÑÐºÐ¸Ð¹ ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

ÐÐ¾Ð»Ð½Ð°Ñ Ð²ÐµÑÑÐ¸Ñ - Ð¡Ð°Ð¼Ð°ÑÑÐºÐ¸Ð¹ Ð³Ð¾ÑÑÐ´Ð°ÑÑÑÐ²ÐµÐ½Ð½ÑÐ¹ Ð°ÑÑÐ¾ÐºÐ¾ÑÐ¼Ð¸ÑÐµÑÐºÐ¸Ð¹ ...