เนื้อหาบทที่ 4 : หัวข้อ 4.7[.pdf]

315 201 Physics of Matter
4 19
4.7 กก
- กก ก กก
4.7 (ก) ก M R () ก m ก
m กก P ( 4.7 ก)
กก m
F
G
=
GMm
− er
= WE
+ FC
= mg
E
− mΩ
2
R
ˆ
2
GMm
R
R cosθ eˆ
ρ
2
ก; W = mg = − eˆ
+ m R cosθ eˆ
ρ
E
E
2 r
Ω
GM
R
2
กก; g = − eˆ
+ R cosθ eˆ
ρ
E
2 r
Ω
W E
กกก N
g 2
E
กก m/s N/kg
Ω
กก rad/s
θ (Latitude) m ก
ê
r
ก กกกก
ê ก กกกกก
ρ
(4.17)
(4.18)
(4.19)
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 20
กกก:
- กกกก ()
กก (ก) 21 ก
กก ( R ) 6370
ก
24
( M ) 5 .98× 10 กก
- กก ( T ) 24
−5
( Ω ) ก 7.27 × 10 rad/s
ก:
- กก ก ก
( θ = 90 /) ก GM กก
2
R
- กก ( θ = 0
) ก
GM 2
Ω R
2
R
− กก
GM
R
2
- θ 0 ก 90 − Ω R < g
2
E
<
2
α ก
g E
GM e ˆ 2
R
− ( 4.7 ก) …
r
⎛ GM
⎜
⎝ R ⎠
2
⎞
⎛ GM ⎞
R
2
⎟
⎜
2
⎟
2
2
2
( θ ) = + ( Ω R cosθ
) − 2 ( Ω cosθ
) cosθ
sinα
2
Ω R cosθ
=
sinθ
g
⇔
α
⎝
R
=
( θ ) ⎜ ( ) ⎟ ⎝ 2 θ ⎠
⎠
sin
−1
⎛
⎜
1 Ω
E
g E
GMm
R
2
Rsin 2θ
⎞
GM
R
2
ก…ก m Ω R cosθ

315 201 Physics of Matter
4 21
ก 4.6 ก ( F
C
) ก
ก ( F
G
) …
F
F
C
−3
: : ≤ 3.4 × 10
G
GMm
2
F m R θ e
2
C
= − Ω cos ˆρ
R
F
2
2 3
C mΩ
R cosθ Ω R cosθ
= =
=
F GMm
GM
G
⎛ ⎞
⎜
2
⎟
⎝ R ⎠
2
⎧ ⎛ rad
3
⎫
−5
⎞
6
⎪ ⎜7.27
× 10 ⎟ ( 6.37 × 10 m)
⎪
s
=
⎝
⎠
⎨
cosθ
2
⎬
⎪⎛
−11
Nm ⎞
24
6.67 10 ( 5.98×
10 kg)
⎪
⎪
⎜ ×
2
kg
⎟
⎪
⎩⎝
⎠
⎭
ก FG
= − eˆ
r
F
F
C
G
−3
−3
( 3.4 × 10 ) cos ≤ 3.4 × 10
= θ .
…
ก 4.7
g
E
≅
GM
−
2
R
eˆ
r
:
กก (4.19) …
g
E
=
GM
− eˆ
R
2
2 r
+ Ω
R cosθ eˆ
ρ
(E4.7_ก)
2
Ω R cosθ
−3
−3
ก = ( 3.4×
10 ) cosθ
≤ ( 3.4 × 10 )
⎛
⎜
⎝
GM
2
R
⎞
⎟
⎠
ก (E4.7_ก) 0 .34%
กก
…
g
≅
GM
− ˆ
R
E
e
2 r
...
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 22
- กก กกก
4.8 กก กก ก
m Q กก h ( 4.7 ก)
h กก R ก กก
GMm
2
r
กก m Q ; FG
= − eˆ
r
(4.21)
r = ( R + h) eˆ
r
กก Q กกก
กกก 2
∑ F = ma
= mr ɺ
= mre ɺɺ ˆ r
(4.22)
m
GMm
r
GMm
r
ɺ re
ˆr = − eˆ
2 r
mrɺ
= −
2
ɺ (4.23)
กกก (4.23) m ก Q
กกก P υ = −υ êr
2 ⎛ 1 1 ⎞ 2GMh
2
= 2GM
⎜ − ⎟ =
⇔ υ =
2
⎝ R
R + h ⎠
Rh + R
GMh
Rh + R
υ (4.24)
2
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 23
กก m กก Q กกก ( h >> R)
กก (4.24)
2GMh
2GM
1 2GM
υ
∞
= lim = lim ⋅ =
(4.25)
h→∞
2
Rh + R
h→∞
R R R
1+
h
ก 4.8 ก กกก
…?
4
: : υ escape
≡ υ∞
= 1.12×
10 m/s = 11.2 km/s ≈ 6.95 mi/s
กกก
ก υ
escape
υ
escape
≡
υ
∞
=
2GM
R
=
⎛
2
⎜6.67
× 10
⎝
−11
Nm
2
kg
6
( 6.37 × 10 m)
2
⎞
⎟
⎠
24
( 5.98×
10 kg)
4
= 1.12 × 10 m/s = 11.2 km/s ≈ 6.95 mi/s .
ก 4.9 กกกก m ก ก
2
ก υ − u 2 = 2gh
; u , υ
, h กก g
กก …
: กก (4.23) …
⎛ dr ⎞
⎜rɺ
⎟dt
⎝ dt ⎠
=
⎛ GM dr ⎞
− ⎜ ⎟dt
2
⎝ r dt ⎠
GM
− dr ⇔
2
r
1 2
1
⎜
⎝ r
⎛ ⎞
( ɺ rr ɺɺ) dt =
drɺ
= GMd ⎟ (E4.9_ก)
⎠
กกก (E4.9_ก)
υ
r=
R
1 2 ⎛ 1 ⎞
2 2 ⎛ 1 1 ⎞ 2GMh
∫
drɺ
= GMd
u 2GM
u 2 ∫ ⎜ ⎟ ⇔ υ − = ⎜ − ⎟ =
r
R R h Rh + R
r R h ⎝ ⎠
⎝ +
= +
⎠
ก h

315 201 Physics of Matter
4 24
4.8 กกกกกก
(Kators Pendulum)
- กกกก (The Physical or Compound Pendulum)
4.9 กกกก (ก) O (Center of Suspension) A
กก (Center of Oscillation), () A
O กก
4.4 ก (Center of Suspension) กกก (Center of
Oscillation)
:
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 25
กก m ก O กก (Center
of Mass; C ) l 4.9(ก) กก
θ ก กก O
τ = O
mgl sinθ
ก ( θɺ ɺ ) กก
mgl sin θ = − I ɺ θ
O
(4.26)
I
O
ก O
ก sin θ ≈ θ ( rad )
ก (4.26) …
⎛ mgl ⎞
mglθ
= − I ɺ θ
⇔ ɺ θ
+
⎜
⎟
O
θ = 0
(4.27)
⎝ I
O ⎠
ก (4.27) กกก (Simple Harmonic Motion; SHM)
T …
กก ( )
O
T
O
=
I
O
mgl
I
.
+ ml
mgl
m
2 2
2 2
( κ + l ) ( κ + l )
2
C.
M
π = 2π
= 2π
= 2π
(4.28)
2
κ (Radius of gyration) ก
กก (Simple Pendulum) กกก T
O
กกก
กกก กกกก ก l′ …
mgl
2 2
2
l′
κ + l κ
T O
= 2 ⇔ l′
= = + l
g
l l
π (4.29)
ก 4.10 กกกกกก 4.9() กกก
กก 4.9(ก) ก T
A
= TO
…
: ก4.9() กก A ก …
T
A
=
2π
I
mg
A
( l′
− l)
=
2π
I
C.
M
.
+
mg
m( l′
− l)
( l′
− l)
2
=
2π
2
κ +
g
gl
( l′
− l)
( l′
− l)
2
=
2π
2
2
⎛ κ ⎞
κ +
⎜ + l − l
l
⎟
⎝ ⎠
2
⎛ κ ⎞
g
⎜ + l − l
l
⎟
⎝ ⎠
2
=
2π
2
⎛ κ ⎞
l +
⎜
l
⎟
⎝ ⎠
g
=
2π
l
2
2
+ κ
gl
=
T O
...
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 26
ก (4.29) กก กกก l ก
กก …
2 2
2 2
l′
∓ l′
− 4κ
l − l′
l + κ = 0 ⇔ l =
2
(4.30)
2 กกกกกกกก
O …
ก l′ O
1
ก
2
l′
− l′
2 − 4κ
2
O
1C
= l1
=
2
ก 4.11
:
T
= T = 2π
l′
g
O1 O2
;
O1
l′
+ l′
2 − 4κ
2
O
2C
= l2
=
(4.31)
2
T T
O2
กกก
กกกก O
1
O
2
…
ก (4.28) …
T
O 1
=
=
2π
2π
I
O1
mgl
1
=
2
4κ
+ l′
2
m
2π
− 2l′
2 2
( κ + l )
l′
2
mgl
1
1
2
− 4κ
=
+ l′
2
2π
2
− 4κ
⎛
2 ⎜ l′
−
κ +
⎜
⎝
⎛
⎜ l′
−
g
⎜
⎝
2 2
l′
− 4κ
⎞
⎟
2 ⎟
⎠
2 2
l′
− 4κ
⎞
⎟
2 ⎟
⎠
2l′
= 2π
2 2
2 2
2g( l′
− l′
− 4κ
) 2g( l′
− l′
− 4κ
)
2 2
( l′
− l′
− 4κ
) l
=
...
2 2
( l′
− l′
− 4κ
) g
= 2π 2l ′
2π
′
2g
ก…
T
O 2
=
2π
I
O2
mgl
l′
g
2
=
2π
2 2
( κ + l )
m
mgl
2
2
=
2π
= π ...
2 = TO1
⎛
2 ⎜ l′
+
κ +
⎜
⎝
⎛
⎜ l′
+
g
⎜
⎝
2
− 2l′
2
l′
2 2
l′
− 4κ
⎞
⎟
2 ⎟
⎠
2 2
l′
− 4κ
⎞
⎟
2 ⎟
⎠
2
2
2
− 4κ
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 27
ก 4.12 ก ( T ) กกก ( l ) กก
กกกกก …
:
E4-12 ( T ) กกก ( l ) กก
กก ( O , A 1 ,2 1,2
) ก
( C .M.)
กกกก
กก (4.28) กก l dT O = 0 …
dT O
dl
dl
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎛ 2 2 ⎞
2
d ⎜ κ + l ⎟ 2π
1 ⎜ 1 ⎟ ⎡ 2l
− +
= 2π
= ⋅ ⎜ ⎟ ⋅
⎜
⎟
2 2
⎢ 2
dl
⎝
gl
⎠ g 2
⎜ κ + l ⎟ ⎣ l
⎝ l ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
2 2
2π
1 ⎜ 1 ⎟ ⎡l
− κ ⎤
= ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎢ ⎥ = 0 ⇔ l
g 2 2 2
2
⎜ κ + l ⎟ ⎣ l ⎦
⎝ l ⎠
2 2
( κ l ) ⎤
⎥⎦
=
κ
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 28
2
d TO ก < 0 กกกก
dl
2
l=κ
กก l = κ กกกกกก ( T
min
)
…
T
2π 2κ
g
min
= (4.32)
กกกกกก
กกกก กกกก กก
กก l 1
ก l
2
กก (4.31)
κ = l l (4.33)
1 2
ก 4.13 κ = l l 1 2
: กก (4.31) …
l′
− l′
2 − 4κ
2
O
1C
= l1
=
2
O C
2
=
l
2
=
l′
+
l′
2 −
2
κ
4 2
l l
1 2
=
⎛
⎜ l′
−
⎜
⎝
2 2
l′
− 4κ
2
⎞⎛
⎟⎜
l′
−
⎟⎜
⎠⎝
2 2
l′
− 4κ
2
⎞
⎟
⎟
⎠
=
l′
2 − l
4
( ′
2 − 4κ
2 )
= κ
...
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 29
- กกก (Kators Pendulum)
4.10 กกก A B กก
กกก ก …
- m ก A B
( 4.10 ก) กกกก
A B ก
- ( D )
- ก ( E )
4.5 กก A B 4.10 …
: A ก B กกกก
กกกกกกกก
กกกกก กกกก
ก 2 . 00 A ก B ( l
A
+ l B
) 1 . 00 (
100 )
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 30
4.6 ( D ) กก ( E ) กกก
4.10 ก …
: A ก B กก กก
กกกก
กกกกก A ก (ก กก) ก
กกก B ก
( D ) กกก A ก B กก
กกกก ( E )
กกกกกก กก
ก
ก 4.14 กกก ( g )
กกก …
: ก κ
l
A
l
B
กก A B
T T กกกกก A B
A
B
2 2
κ + l
A
2
2 2 2
… T = π
⇔ T gl = 4π
( κ + l )
A
2
A A
A
gl
A
2 2
κ + lB
2
2 2 2
T = π
⇔ T gl = 4π
( κ + l )
g
B
2
2 2 2
( T l − T l ) = 4π
( l − l )
2
B B
B
glB
2 4
A A B B
A B
⇔
2
π
g
=
2 2
( TA
l
A
− TB
lB
)
2 2
( l − l )
A
B
…
2
4π
g
=
2 2
( T l − T l )
A
A
B
B
=
1 ⎛ T
⎜
+ T
T
+
− T
( l )( ) ⎜
⎟ A
+ lB
l
A
− lB
2 ⎝ l
A
+ lB
l
A
− lB
⎠
2
A
2
B
2
A
2
B
⎞
(E4.14_ก)
กก 3 ก…
- A ก B l
A
+ lB
- กกกกก A ก B T
A
ก
... .
T
B
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 31
ก: กกกก T
A
ก T
B
ก ก
ก (E4.14_ก)
2
4π
g = +
2
T
K
( l
A
lB
) ; T
A
≅ TB
= TK
(E4.14_)
ก g กก (E4.14_) ก กก T
K
กกกกกกกกก
กกกกก กก
ก ก กก
ก
กก กก
กก N กกกกก
N −1 กกกกก ( T ) กกกก
กก ( T
0
) …
T
0 K
N = ( N −1) 2
2
กกกกก 2 . 00 …
T
T ⎞
⎜
⎛ K N 1
1
1 1
= = = 1 − ⎟ = 1+
+ + ⋯ (E4.14_)
2
2 N −1
1
1−
⎝ N ⎠ N N
N
ก กกกกก
ก 552 กกกกก 551
ก (E4.14_) …
T K
552 1
= = ≅ 1+
2 551 1
1−
N
T = 2. 003638
K
1
552
+
−1
1
552
2
=
K
1.001819
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 32
ก 4.15 กกก กกก
กกกก A
B ก ก 99 . 8503 ก
กกกก กกกกก
กกก 2 . 00 กก
กกกก กกกกก
501 กกกก A กก 500
กก B กกก
กกก กกกกก
ก 10021
กกกกก 10000
กกกกกก
กก A B 45 .9cm
53 .9cm
ก
กก กก
: ก …
- กกกกกก A :
TA
2
501
= ⇔ TA
500
=
2 ×
501
500
=
2.004
- กกกกกก B :
TB
2
10021
= ⇔ TB
10000
- กก ( g ):
2
4π
g
exact
=
=
exact
=
10021
2 ×
10000
2 2 2 2
1 ⎛ T
⎞
B
+ TA
TB
− TA
⎜ +
⎟
2 ⎝ lB
+ l
A
lB
− l
A ⎠
2
2
2
1 ⎛ 2.0042 + 2.004 2.0042 − 2.004
2
⎜
+
⎝ 99.8503
8.0
2
4π
cm
cm
=
= 980.23
2
2
0.0403 s
s
g .
g ก…
g
approx.
=
2
4π
T
2
A
( l + l )
A
B
=
2
4π
× 99.8503cm
=
2
⎞
⎟
⎠
2.0042
2
s
cm
981.55
cm
s
2
2
( 2.004s) .
=
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 33
4.9 กก
4.11 ก m M
ก m M M >> m
M m M
m กก ก (Central Force) ก
กก กก …
…
F
=
Mm
− G ˆ
r
G
e
2 r
2
d r
dt
F = ma = m
2
∑
2
Mm d r
2
− G eˆ
r
= m = m( ɺɺ r − r ɺ θ ) eˆ
r
+ m( r ɺɺ θ + 2rɺ
ɺ θ ) eˆ
2
2
θ
(4.34)
r
dt
ก 4.16 ก 4.11 …
2
d r
2
dt
: ∵ r = reˆ
r
2
d r
2
dt
=
=
2
( ɺɺ r − r ɺ θ ) eˆ
+ ( r ɺɺ θ + 2rɺ
ɺ θ ) eˆ
θ
d
dt
dr
dt
r
=
dr
dt
d
dt
r
= ( reˆ
r
) = re ɺˆr
+ r = re ɺˆr
+ r ˆθ
d
dt
deˆ
dt
1×
dθ e
dt
⎛ deˆ
⎞ ⎡ d deˆ
r
θ ⎤
( re ɺˆ
+ r ɺ θeˆ
) = ⎜ɺɺ
reˆ
+ rɺ
⎟ + eˆ
( r ɺ θ ) + r ɺ θ ⎥ ⎦
r
⎡
⎛ 1×
dθ
⎞⎤
( ɺ r
eˆ
+ rɺ
ɺ θeˆ
) + eˆ
( rɺ
ɺ θ + r ɺ θ ) + r ɺ θ ⎜−
eˆ
⎟⎥ ⎦
=
r θ θ
r
⎢
⎣
( ɺ r − r ɺ θ ) eˆ
r
( rθ
2rθ
) 2 + ɺ + ɺ ɺ eˆ
θ
= ...
θ
⎝
⎝
r
dt
dt
⎠
⎠
⎢
⎣
θ
dt
dt
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 34
4.2 xy ก ( r ,θ )
:
5
⎜
⎝13
⎛ ⎞
ก r = 13 θ = arcsin ⎟ ก
⎠
ê
r
rɺ = 6 / ก ê
θ
r ɺ θ = 5
/
(ก) กก x ก y ( xɺ yɺ
)
() υ = rɺ
eˆ
r
+ r ɺ θeˆ
= xe ɺ ˆx
+ yɺ
eˆ
θ
y
ก…
2 2 2 2 2
x ɺ + yɺ
= rɺ
+ r ɺ θ
4.2
() ก υ = xɺ eˆ + yɺ
eˆ
…
x
y
(ก) ก…
υ = υ
sin β =
sin θ =
=
5
61
5
13
2
2
( 6m/s) + ( 5m/s) = 61 m/s
cos β =
cos θ =
6
61
12
13
∵ υ = xɺ
eˆ
x
+ ye ɺ ˆ y
= υ cos( β + θ ) eˆ
x
+ υ sin( β + θ ) eˆ
y
…
xɺ
yɺ
=
=
=
=
υ cos
( β + θ ) = υ( cos β cosθ
− sin β sinθ
)
⎛ 6 12 5 5 ⎞
61 ⎜ ⋅ − ⋅ ⎟ m/s =
⎝ 61 13 61 13 ⎠
47
13
m/s
( β + θ ) = υ( sin β cosθ
cos β sinθ
)
υ sin +
⎛ 5 12 6 5 ⎞
61 ⎜ ⋅ + ⋅ ⎟ m/s =
⎝ 61 13 61 13 ⎠
90
13
m/s
υ
2
2
2 2 ⎛ 47 ⎞ ⎛ 90 ⎞
2
x ɺ + yɺ
= + =
= rɺ
+
( r ɺ θ ) 2
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 61 m/s
...
⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 35
4.3 กก กก 3216
ก-
24
ก ก 5 .98× 10 กก ก ก 6370
ก
:
N ⋅ m
kg
2
− 11
ก ก 6.673×
10
2
ก…
4.3
G , M , R h …
⎛
⎜6.673×
10
⎝
−11
Nm
2
kg
2
⎞
⎟
⎠
24
( 5.98×
10 kg)
υ =
≈ 6452 / .
6
( 6.370 + 3.216)
× 10 m
4.4 ( r ) ก 0 . 15 (θ ɺ 2
) ก 2π rad/s
( ɺ θ
0
) ก
π
2
rad/s
0 . 2
(ก) (θ ɺ ) (θ ) …?
() ( a ) …?
: (ก) (θ ɺ ) ก…
∵
ɺ θ ( t ) t
ɺɺ = 2π
⇒ d ɺ θ = 2π
dt ⇒ ɺ θ ( t) = ɺ θ
0
+ 2π
t rad/s
∫ɺ θ ∫0
θ
∴ 0 . 2
กกก:
Mm d r
− G
ɺ θ
2
r
dt
0
π
θ 9
2
( ɺɺ − r ) eˆ
r
2
2
eˆ r
= m = m r
2
กกก = 0
Mm
2
− G eˆ
r
= − mr ɺ θ eˆ
2
r
ɺ ( t = 0 .2 s) = + 2π
( 0.2) = 0. π rad/s .
r
=
2
mυ
−
r
ɺ rɺ ;
rɺ = 0
υ r = R + h
…
mυ
r
2
GMm
= ⇒ υ
2
r
=
GM
r
eˆ
r
=
GM
R + h
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 36
(θ ) ก…
θ ( t ) t
ɺ = ɺ θ
0
+ 2π
t ⇒ dθ
= ɺ θ + 2π
t dt ⇒ θ t −θ
0
0
= ɺ θ
0
t + π t rad
∫θ
∫0
∵ θ ( t)
∴ 0 . 2
0
( ) ( )
2
π
2
2
∆θ ( t = 0.2 s) = θ ( 0.2 s) −θ
= ( 0.2) + π ( 0.2) 0. 14π
rad .
() กก (4.34)
0
=
2
d r
a = =
ˆ
2
r
dt
2
( ɺɺ r − r ɺ θ ) eˆ
+ ( r ɺɺ θ + 2rɺ
ɺ θ ) e θ
กก ( r ) ก . 15
ɺ rɺ = 0 …
2
a − r ɺ θ eˆ
= + r ɺ θ
eˆ
r
θ
=
−
0 rɺ = 0
2
2
( 0.15m)( 0.9π
rad/s) eˆ
r
+ ( 0.15m)( 2π
rad/s ) eˆ
θ
−1 .20 ˆ + 0.94 ˆ
m/s
2
= e r
e θ
.
- ก ก (Kepler’s Laws)
ก 15 (Ptolemaic Theory) ก ก
() ก ก 16
กกกก
ก (Copernicus) ก
(ก)
ก กกก
ก (Copernican Theory)
ก (Tycho Brahe) กก ก
ก ก (Kepler) กกก
กกก ( ) ก
20 ก กกก
ก (Kepler’s Laws) 3
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 37
1 ก:
ก
2 ก:
กกกก
3 กก:
กก กก
ก
ก: ก กกกกกกก
กก กก
กก ก (Empirical Laws) (Empirical
Formulae) กกก
ก …
(Newton) ก กก
ก (Newtonian Mechanics
Newtonian Theory) …
ก 4.17 กก…
: 1: กก 2
E4.17_ก ก m M
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 38
ก E4.17_ก dt FP ก
กก d θ FP กก
PF
ˆ 2
Q dA × × = × ( rdθ
) r = r dθ
กก (4.34) …
= 2
1
1
2
2
2
( r ɺ θ ) = 0 ⇒ r ɺ = constant ≡ k
ɺ
1
θ
+ 2 ɺ
d
r rɺ
θ = 0 ⇒
θ
r dt
กก ( FP ) …
dA
dt
=
1 2 k
2
r
2
dθ 1
= r ɺ θ = = (E4.17_ก)
dt 2 2
ก (E4.17_ก) กก ( FP )
ก ...
2: กก 1
2
กก (4.34) r ɺ θ = k …
r
1
u
=
( ɺ
− r )
Mm
G = m r ɺ θ 2
2
r
1 du
= − …
2
θ u dθ
dr
d
ก…
− (E4.17_)
dr dr dθ
1 du
= = − ɺ 1
θ = −
2
2
dt dθ
dt u dθ
u
du k
dθ
r
= 2
du
= −k
dθ
rɺ (E4.17_)
1
2
dr
= ɺ
dt
d du
dt ⎝ dθ
⎠
d du dθ
dθ
⎝ dθ
⎠ dt
d du k
dθ
dθ
r
d u
dθ
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 2
ɺ r
= −k
⎜ ⎟ = −k
⎜ ⎟ = −k
= −k
u
(E4.17_)
2
2
ก (E4.17_)
− GMu
2
=
− k
2
u
2
2
d u
2
dθ
2
k u
−
u
4
⇔
2
d u
2
dθ
− k
2
u
=
GM
−
2
k
(E4.17_)
ก ก…
GM
1
u = Acos
θ +
k
r
GM
k
( θ + θ
0
) + ⇔ = Acos( θ +
0
) (E4.17_)
2
2
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 39
A θ
0
กก (Integral arbitrary constants) กก
() θ + θ 0
= θ ′ ≡ θ …
1
r
GM
= Acosθ +
(E4.17_)
2
k
ก (E4.17_) กก (conic section) ก (ellipse),
(parabola) (hyperbola)
( E4.17_ ก) กกก 2 a , กก
2 b eccentricity ก e
…
2
⎛ b ⎞
e = 1−
⎜ ⎟ ก P
⎝ a ⎠
⎛ b ⎞
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
E4.17_ : r + r′
= 2a
e = 1−
< 1
ก F P ˆ F ′ ก (cosine law)
′
2
2
2
( 2ae) − 2r( 2ae) cos( π −θ
) = r + ( 2ae) 2r( 2ae) cosθ
2 2
r = r +
+
2
2 2 2
r + r′
= 2a
⇒ r′
= 2a
− r ⇒ r′
= r + 4a
− 4ar
ก…
4a
2
2
( 1−
e ) = 4ar( 1+
ecosθ
)
1
=
r
( 1+
ecosθ
)
a
=
ecosθ
+
1
⇔ =
r
ecosθ
2
2
2
( 1−
e ) a( 1−
e ) a( 1−
e )
( 1+
ecosθ
)
a
2
( 1−
e )
(E4.17_)
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 40
กก (E4.17_) ก (E4.17_) …
a
A
e
a 1 e
=
2
( − )
2
k
GM 1 e
=
2
( − )
e
GM
2
k
=
2
Ak
GM
a
1
2
( 1−
e )
= (E4.17_)
ก
...
3: กก 3
กก (E4.17_ก)
…
dA
dt
=
1 2 k
2
r
2
dθ 1
= r ɺ θ = =
dt 2 2
A( T )
T k
k
∫
dA = dt
A T 0 T 0
ab
0 ∫
⇔ − = − ⇔ π
0 2
2
T
( ) ( ) = T
2 2
2 2
2πab
2πa
1−
e 2πa
1−
e 2πa
=
=
=
k
k
aGM
= (E4.17_)
4 3
2 3
2 π a
T = α a ; m

315 201 Physics of Matter
4 41
-
⎛ b ⎞
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
4.12 : r + r′
= 2a
e = 1−
< 1
ก m M ( 4.12
ก) ก M >> m ก ( F )
( P ) r + r′
= 2a
;
r r′ กก F F′ , 2 a กก
,
⎛ b ⎞
2 ae ก F F′ = 1−
⎜ ⎟ < 1
⎝ a ⎠
ก
(
E
total
) ก…
2
e eccentricity
2
E
total
=
E
ktrans.
+ E
krot.
+ E
pG
=
mrɺ
2
2
2
mr
+
ɺ θ
2
2
−
GmM
r
(4.36)
E
ktrans.
ก
E
krot.
ก
E ก
pG
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 42
ก 4.18 ( E ) กก
total
กก ( 2 a ) ก eccentricity ( e )
GmM
E total
= −
2a
: กก ก
กก P ก
ก ก θ = 0 ก r ≡ rmin
rɺ = min
0 ก
ก (E4.17_ก), (E4.17_) ก (E4.17_) …
2
2
( r ɺ θ ) = 0 ⇒ r ɺ = k
ɺ
1
θ
+ 2 ɺ
d
r rɺ
θ = 0 ⇒
θ
r dt
1
r
( 1+
ecos0)
2
( 1−
e )
( 1+
e)
1
GM
≡ =
=
= 1
2
r a
a
k
min
2
( 1−
e )
( + e)
ก (4.36) …
2
2
mk GmM GM ⎧mk
⎡GM
⎤ ⎫
E total
= − = ( 1+
e) ⎨ ⎢
( 1+
e)
⎥
− GmM
2
2
2
⎬
2rmin
rmin
k ⎩ 2 ⎣ k ⎦ ⎭
( + e)
2 2
G M m
E 1 2
⎧
⎫
2
total
=
2
2 ⎨ − ⎬
2
k ⎩ 2 ⎭ 2k
2
( 1−
e )
2 2
G M m
( 1+
e) = ( 1+
2e
+ e − 2 − e)
2 2
G M m
GMm
= −
= −
(E4.18_ก)
2
2k
2a
ก (E4.18_ก) ก
กกก ( a 2 ) ก eccentricity ( e ) ...
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th

315 201 Physics of Matter
4 43
ก 4.19 eccentricity ( e ) ก 0 . 4
กก ก
กก
: กก ก (Perihelion)
กก ก (Aphelion)
: ก θ = 0 rmin
r ≡ :
1
r
( 1+
ecos0)
2
( 1−
e )
( 1+
e)
1
GM
≡ =
=
= 1
2
r a
a
k
min
2
( 1−
e )
( + e)
ก r 2 ɺ θ = k …
k
r
⎡GM
⎢ 2
⎣ k
GM
k
υ ≡ r ɺ = = k ( 1+
e) = ( 1 e)
(E4.19_ก)
P minθ
⎥
+
min
⎦
ก θ = π rmax
⎤
r ≡ :
1
r
( 1+
ecosπ
)
2
( 1−
e )
( 1−
e)
1
GM
≡ =
=
= 1
2
r a
a
k
max
2
( 1−
e )
( − e)
ก…
k
r
⎡GM
⎢ 2
⎣ k
GM
k
υ ≡ r ɺ = = k ( 1−
e) = ( 1−
e)
(E4.19_)
A
maxθ
กก …
max
⎤
⎥
⎦
υ
P
υ
A
≡
GM
k
GM
k
( 1+
e)
=
1+
e
1+
0.4
1−
e 1−
0.4 3
( 1−
e) =
=
7
.
... .
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th