เนื้อหาบทที่ 4 : หัวข้อ 4.7[.pdf]
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315 201 Physics of Matter<br />
4 19<br />
<strong>4.7</strong> กก<br />
- กก ก กก<br />
<strong>4.7</strong> (ก) ก M R () ก m ก<br />
m กก P ( <strong>4.7</strong> ก) <br />
กก m<br />
<br />
<br />
<br />
F<br />
G<br />
=<br />
GMm <br />
− er<br />
= WE<br />
+ FC<br />
= mg<br />
E<br />
− mΩ<br />
2<br />
R<br />
<br />
ˆ<br />
2<br />
GMm<br />
R<br />
R cosθ eˆ<br />
ρ<br />
2<br />
ก; W = mg = − eˆ<br />
+ m R cosθ eˆ<br />
ρ<br />
E<br />
<br />
E<br />
2 r<br />
Ω<br />
GM<br />
R<br />
2<br />
กก; g = − eˆ<br />
+ R cosθ eˆ<br />
ρ<br />
<br />
E<br />
2 r<br />
Ω<br />
W E<br />
กกก N<br />
g 2<br />
E<br />
กก m/s N/kg<br />
Ω <br />
กก rad/s<br />
θ (Latitude) m ก<br />
ê<br />
r<br />
ก กกกก<br />
ê ก กกกกก<br />
ρ<br />
(4.17)<br />
(4.18)<br />
(4.19)<br />
... . <br />
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th
315 201 Physics of Matter<br />
4 20<br />
กกก:<br />
- กกกก ()<br />
กก (ก) 21 ก<br />
กก ( R ) 6370<br />
ก<br />
24<br />
( M ) 5 .98× 10 กก<br />
- กก ( T ) 24 <br />
−5<br />
( Ω ) ก 7.27 × 10 rad/s<br />
ก:<br />
- กก ก ก<br />
( θ = 90 /) ก GM กก<br />
2<br />
R<br />
- กก ( θ = 0<br />
) ก<br />
GM 2<br />
Ω R<br />
2<br />
R<br />
− กก<br />
GM<br />
R<br />
2<br />
- θ 0 ก 90 − Ω R < g<br />
2<br />
E<br />
<<br />
2<br />
α ก<br />
<br />
<br />
g E<br />
GM e ˆ 2<br />
R<br />
− ( <strong>4.7</strong> ก) …<br />
r<br />
⎛ GM<br />
⎜<br />
⎝ R ⎠<br />
2<br />
⎞<br />
⎛ GM ⎞<br />
R<br />
2<br />
⎟<br />
⎜<br />
2<br />
⎟<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( θ ) = + ( Ω R cosθ<br />
) − 2 ( Ω cosθ<br />
) cosθ<br />
sinα<br />
2<br />
Ω R cosθ<br />
=<br />
sinθ<br />
<br />
g<br />
⇔<br />
α<br />
⎝<br />
R<br />
=<br />
( θ ) ⎜ ( ) ⎟ ⎝ 2 θ ⎠<br />
⎠<br />
sin<br />
−1<br />
⎛<br />
⎜<br />
1 Ω<br />
E<br />
g E<br />
GMm<br />
R<br />
2<br />
<br />
Rsin 2θ<br />
⎞<br />
<br />
GM<br />
R<br />
<br />
2<br />
ก…ก m Ω R cosθ
315 201 Physics of Matter<br />
4 21<br />
ก 4.6 ก ( F<br />
C<br />
) ก<br />
ก ( F<br />
G<br />
) …<br />
F<br />
F<br />
C<br />
−3<br />
: : ≤ 3.4 × 10<br />
G<br />
GMm <br />
2<br />
F m R θ e<br />
2<br />
C<br />
= − Ω cos ˆρ<br />
R<br />
<br />
F<br />
2<br />
2 3<br />
C mΩ<br />
R cosθ Ω R cosθ<br />
= =<br />
=<br />
F GMm<br />
GM<br />
G<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
2<br />
⎟<br />
⎝ R ⎠<br />
2<br />
⎧ ⎛ rad<br />
3<br />
⎫<br />
−5<br />
⎞<br />
6<br />
⎪ ⎜7.27<br />
× 10 ⎟ ( 6.37 × 10 m)<br />
⎪<br />
s<br />
=<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎨<br />
cosθ<br />
2<br />
⎬<br />
⎪⎛<br />
−11<br />
Nm ⎞<br />
24<br />
6.67 10 ( 5.98×<br />
10 kg)<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎜ ×<br />
2<br />
kg<br />
⎟<br />
⎪<br />
⎩⎝<br />
⎠<br />
⎭<br />
ก FG<br />
= − eˆ<br />
r<br />
<br />
F<br />
F<br />
C<br />
G<br />
−3<br />
−3<br />
( 3.4 × 10 ) cos ≤ 3.4 × 10<br />
= θ .<br />
…<br />
ก <strong>4.7</strong> <br />
<br />
g<br />
E<br />
≅<br />
GM<br />
−<br />
2<br />
R<br />
eˆ<br />
r<br />
:<br />
กก (4.19) …<br />
<br />
g<br />
E<br />
=<br />
GM<br />
− eˆ<br />
R<br />
2<br />
2 r<br />
+ Ω<br />
R cosθ eˆ<br />
ρ<br />
(E<strong>4.7</strong>_ก)<br />
2<br />
Ω R cosθ<br />
−3<br />
−3<br />
ก = ( 3.4×<br />
10 ) cosθ<br />
≤ ( 3.4 × 10 )<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
GM<br />
2<br />
R<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
ก (E<strong>4.7</strong>_ก) 0 .34%<br />
กก<br />
…<br />
<br />
g<br />
≅<br />
GM<br />
− ˆ<br />
R<br />
E<br />
e<br />
2 r<br />
...<br />
... . <br />
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th
315 201 Physics of Matter<br />
4 22<br />
- กก กกก<br />
4.8 กก กก ก<br />
m Q กก h ( <strong>4.7</strong> ก) <br />
h กก R ก กก<br />
<br />
GMm<br />
2<br />
r<br />
กก m Q ; FG<br />
= − eˆ<br />
r<br />
<br />
(4.21)<br />
r = ( R + h) eˆ<br />
r<br />
กก Q กกก<br />
กกก 2 <br />
<br />
∑ F = ma<br />
= mr ɺ <br />
= mre ɺɺ ˆ r<br />
(4.22)<br />
<br />
m<br />
GMm<br />
r<br />
GMm<br />
r<br />
ɺ re<br />
ˆr = − eˆ<br />
2 r<br />
mrɺ<br />
= −<br />
2<br />
ɺ (4.23)<br />
กกก (4.23) m ก Q <br />
<br />
กกก P υ = −υ êr<br />
<br />
2 ⎛ 1 1 ⎞ 2GMh<br />
2<br />
= 2GM<br />
⎜ − ⎟ =<br />
⇔ υ =<br />
2<br />
⎝ R<br />
R + h ⎠<br />
Rh + R<br />
GMh<br />
Rh + R<br />
υ (4.24)<br />
2<br />
... . <br />
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315 201 Physics of Matter<br />
4 23<br />
กก m กก Q กกก ( h >> R)<br />
กก (4.24) <br />
2GMh<br />
2GM<br />
1 2GM<br />
υ<br />
∞<br />
= lim = lim ⋅ =<br />
(4.25)<br />
h→∞<br />
2<br />
Rh + R<br />
h→∞<br />
R R R<br />
1+<br />
h<br />
ก 4.8 ก กกก<br />
…?<br />
4<br />
: : υ escape<br />
≡ υ∞<br />
= 1.12×<br />
10 m/s = 11.2 km/s ≈ 6.95 mi/s<br />
กกก <br />
ก υ<br />
escape<br />
<br />
υ<br />
escape<br />
≡<br />
υ<br />
∞<br />
=<br />
2GM<br />
R<br />
=<br />
⎛<br />
2<br />
⎜6.67<br />
× 10<br />
⎝<br />
−11<br />
Nm<br />
2<br />
kg<br />
6<br />
( 6.37 × 10 m)<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
24<br />
( 5.98×<br />
10 kg)<br />
4<br />
= 1.12 × 10 m/s = 11.2 km/s ≈ 6.95 mi/s .<br />
ก 4.9 กกกก m ก ก<br />
2<br />
ก υ − u 2 = 2gh<br />
; u , υ <br />
, h กก g <br />
กก …<br />
: กก (4.23) …<br />
⎛ dr ⎞<br />
⎜rɺ<br />
⎟dt<br />
⎝ dt ⎠<br />
=<br />
⎛ GM dr ⎞<br />
− ⎜ ⎟dt<br />
2<br />
⎝ r dt ⎠<br />
GM<br />
− dr ⇔<br />
2<br />
r<br />
1 2<br />
1<br />
⎜<br />
⎝ r<br />
⎛ ⎞<br />
( ɺ rr ɺɺ) dt =<br />
drɺ<br />
= GMd ⎟ (E4.9_ก)<br />
⎠<br />
กกก (E4.9_ก) <br />
υ<br />
r=<br />
R<br />
1 2 ⎛ 1 ⎞<br />
2 2 ⎛ 1 1 ⎞ 2GMh<br />
∫<br />
drɺ<br />
= GMd<br />
u 2GM<br />
u 2 ∫ ⎜ ⎟ ⇔ υ − = ⎜ − ⎟ =<br />
r<br />
R R h Rh + R<br />
r R h ⎝ ⎠<br />
⎝ +<br />
= +<br />
⎠<br />
ก h
315 201 Physics of Matter<br />
4 24<br />
4.8 กกกกกก<br />
(Kators Pendulum)<br />
- กกกก (The Physical or Compound Pendulum)<br />
4.9 กกกก (ก) O (Center of Suspension) A<br />
กก (Center of Oscillation), () A <br />
O กก<br />
4.4 ก (Center of Suspension) กกก (Center of<br />
Oscillation)<br />
:<br />
... . <br />
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315 201 Physics of Matter<br />
4 25<br />
กก m ก O กก (Center<br />
of Mass; C ) l 4.9(ก) กก<br />
θ ก กก O <br />
τ = O<br />
mgl sinθ<br />
ก ( θɺ ɺ ) กก <br />
mgl sin θ = − I ɺ θ<br />
O<br />
(4.26)<br />
I<br />
O<br />
ก O<br />
ก sin θ ≈ θ ( rad ) <br />
ก (4.26) …<br />
⎛ mgl ⎞<br />
mglθ<br />
= − I ɺ θ<br />
⇔ ɺ θ<br />
+<br />
⎜<br />
⎟<br />
O<br />
θ = 0<br />
(4.27)<br />
⎝ I<br />
O ⎠<br />
ก (4.27) กกก (Simple Harmonic Motion; SHM) <br />
T …<br />
กก ( )<br />
O<br />
T<br />
O<br />
=<br />
I<br />
O<br />
mgl<br />
I<br />
.<br />
+ ml<br />
mgl<br />
m<br />
2 2<br />
2 2<br />
( κ + l ) ( κ + l )<br />
2<br />
C.<br />
M<br />
π = 2π<br />
= 2π<br />
= 2π<br />
(4.28)<br />
2<br />
κ (Radius of gyration) ก<br />
กก (Simple Pendulum) กกก T<br />
O<br />
กกก<br />
กกก กกกก ก l′ …<br />
mgl<br />
2 2<br />
2<br />
l′<br />
κ + l κ<br />
T O<br />
= 2 ⇔ l′<br />
= = + l<br />
g<br />
l l<br />
π (4.29)<br />
ก 4.10 กกกกกก 4.9() กกก<br />
กก 4.9(ก) ก T<br />
A<br />
= TO<br />
…<br />
: ก4.9() กก A ก …<br />
T<br />
A<br />
=<br />
2π<br />
I<br />
mg<br />
A<br />
( l′<br />
− l)<br />
=<br />
2π<br />
I<br />
C.<br />
M<br />
.<br />
+<br />
mg<br />
m( l′<br />
− l)<br />
( l′<br />
− l)<br />
2<br />
=<br />
2π<br />
2<br />
κ +<br />
g<br />
gl<br />
( l′<br />
− l)<br />
( l′<br />
− l)<br />
2<br />
=<br />
2π<br />
2<br />
2<br />
⎛ κ ⎞<br />
κ +<br />
⎜ + l − l<br />
l<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
⎛ κ ⎞<br />
g<br />
⎜ + l − l<br />
l<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
=<br />
2π<br />
2<br />
⎛ κ ⎞<br />
l +<br />
⎜<br />
l<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
g<br />
=<br />
2π<br />
l<br />
2<br />
2<br />
+ κ<br />
gl<br />
=<br />
T O<br />
...<br />
... . <br />
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th
315 201 Physics of Matter<br />
4 26<br />
ก (4.29) กก กกก l ก<br />
กก …<br />
2 2<br />
2 2<br />
l′<br />
∓ l′<br />
− 4κ<br />
l − l′<br />
l + κ = 0 ⇔ l =<br />
2<br />
(4.30)<br />
2 กกกกกกกก<br />
O …<br />
ก l′ O<br />
1<br />
ก<br />
2<br />
l′<br />
− l′<br />
2 − 4κ<br />
2<br />
O<br />
1C<br />
= l1<br />
=<br />
<br />
2<br />
ก 4.11 <br />
:<br />
T<br />
= T = 2π<br />
l′<br />
g<br />
O1 O2<br />
; <br />
O1<br />
l′<br />
+ l′<br />
2 − 4κ<br />
2<br />
O<br />
2C<br />
= l2<br />
=<br />
(4.31)<br />
2<br />
T T<br />
O2<br />
กกก<br />
กกกก O<br />
1<br />
O<br />
2<br />
…<br />
ก (4.28) …<br />
T<br />
O 1<br />
=<br />
=<br />
2π<br />
2π<br />
I<br />
O1<br />
mgl<br />
1<br />
=<br />
2<br />
4κ<br />
+ l′<br />
2<br />
m<br />
2π<br />
− 2l′<br />
2 2<br />
( κ + l )<br />
l′<br />
2<br />
mgl<br />
1<br />
1<br />
2<br />
− 4κ<br />
=<br />
+ l′<br />
2<br />
2π<br />
2<br />
− 4κ<br />
⎛<br />
2 ⎜ l′<br />
−<br />
κ +<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜ l′<br />
−<br />
g<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 2<br />
l′<br />
− 4κ<br />
⎞<br />
⎟<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
2 2<br />
l′<br />
− 4κ<br />
⎞<br />
⎟<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
2l′<br />
= 2π<br />
2 2<br />
2 2<br />
2g( l′<br />
− l′<br />
− 4κ<br />
) 2g( l′<br />
− l′<br />
− 4κ<br />
)<br />
2 2<br />
( l′<br />
− l′<br />
− 4κ<br />
) l<br />
=<br />
...<br />
2 2<br />
( l′<br />
− l′<br />
− 4κ<br />
) g<br />
= 2π 2l ′<br />
2π<br />
′<br />
2g<br />
ก…<br />
T<br />
O 2<br />
=<br />
2π<br />
I<br />
O2<br />
mgl<br />
l′<br />
g<br />
2<br />
=<br />
2π<br />
2 2<br />
( κ + l )<br />
m<br />
mgl<br />
2<br />
2<br />
=<br />
2π<br />
= π ...<br />
2 = TO1<br />
⎛<br />
2 ⎜ l′<br />
+<br />
κ +<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜ l′<br />
+<br />
g<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
− 2l′<br />
2<br />
l′<br />
2 2<br />
l′<br />
− 4κ<br />
⎞<br />
⎟<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
2 2<br />
l′<br />
− 4κ<br />
⎞<br />
⎟<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
2<br />
2<br />
2<br />
− 4κ<br />
... . <br />
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th
315 201 Physics of Matter<br />
4 27<br />
ก 4.12 ก ( T ) กกก ( l ) กก<br />
กกกกก …<br />
:<br />
E4-12 ( T ) กกก ( l ) กก<br />
กก ( O , A 1 ,2 1,2<br />
) ก<br />
( C .M.)<br />
กกกก<br />
กก (4.28) กก l dT O = 0 …<br />
dT O<br />
dl<br />
dl<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎛ 2 2 ⎞<br />
2<br />
d ⎜ κ + l ⎟ 2π<br />
1 ⎜ 1 ⎟ ⎡ 2l<br />
− +<br />
= 2π<br />
= ⋅ ⎜ ⎟ ⋅<br />
⎜<br />
⎟<br />
2 2<br />
⎢ 2<br />
dl<br />
⎝<br />
gl<br />
⎠ g 2<br />
⎜ κ + l ⎟ ⎣ l<br />
⎝ l ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 2<br />
2π<br />
1 ⎜ 1 ⎟ ⎡l<br />
− κ ⎤<br />
= ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎢ ⎥ = 0 ⇔ l<br />
g 2 2 2<br />
2<br />
⎜ κ + l ⎟ ⎣ l ⎦<br />
⎝ l ⎠<br />
2 2<br />
( κ l ) ⎤<br />
⎥⎦<br />
=<br />
κ<br />
... . <br />
e-mail: sompo_kh@kku.ac.th
315 201 Physics of Matter<br />
4 28<br />
2<br />
d TO ก < 0 กกกก<br />
dl<br />
2<br />
l=κ<br />
กก l = κ กกกกกก ( T<br />
min<br />
)<br />
…<br />
T<br />
2π 2κ<br />
g<br />
min<br />
= (4.32)<br />
กกกกกก<br />
กกกก กกกก กก<br />
กก l 1<br />
ก l<br />
2<br />
กก (4.31) <br />
κ = l l (4.33)<br />
1 2<br />
ก 4.13 κ = l l 1 2<br />
: กก (4.31) …<br />
l′<br />
− l′<br />
2 − 4κ<br />
2<br />
O<br />
1C<br />
= l1<br />
=<br />
<br />
2<br />
O C<br />
2<br />
=<br />
l<br />
2<br />
=<br />
l′<br />
+<br />
l′<br />
2 −<br />
2<br />
κ<br />
4 2<br />
<br />
l l<br />
1 2<br />
=<br />
⎛<br />
⎜ l′<br />
−<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 2<br />
l′<br />
− 4κ<br />
2<br />
⎞⎛<br />
⎟⎜<br />
l′<br />
−<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝<br />
2 2<br />
l′<br />
− 4κ<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
=<br />
l′<br />
2 − l<br />
4<br />
( ′<br />
2 − 4κ<br />
2 )<br />
= κ<br />
...<br />
... . <br />
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315 201 Physics of Matter<br />
4 29<br />
- กกก (Kators Pendulum)<br />
4.10 กกก A B กก<br />
กกก ก …<br />
- m ก A B <br />
( 4.10 ก) กกกก<br />
A B ก<br />
- ( D ) <br />
- ก ( E ) <br />
4.5 กก A B 4.10 …<br />
: A ก B กกกก<br />
กกกกกกกก <br />
กกกกก กกกก<br />
ก 2 . 00 A ก B ( l<br />
A<br />
+ l B<br />
) 1 . 00 (<br />
100 ) <br />
... . <br />
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315 201 Physics of Matter<br />
4 30<br />
4.6 ( D ) กก ( E ) กกก <br />
4.10 ก …<br />
: A ก B กก กก<br />
กกกก<br />
กกกกก A ก (ก กก) ก<br />
กกก B ก<br />
( D ) กกก A ก B กก<br />
กกกก ( E ) <br />
กกกกกก กก<br />
ก<br />
ก 4.14 กกก ( g ) <br />
กกก …<br />
: ก κ <br />
l<br />
A<br />
l<br />
B<br />
กก A B <br />
T T กกกกก A B <br />
A<br />
B<br />
2 2<br />
κ + l<br />
A<br />
2<br />
2 2 2<br />
… T = π<br />
⇔ T gl = 4π<br />
( κ + l )<br />
A<br />
2<br />
A A<br />
A<br />
gl<br />
A<br />
2 2<br />
κ + lB<br />
2<br />
2 2 2<br />
T = π<br />
⇔ T gl = 4π<br />
( κ + l )<br />
g<br />
B<br />
2<br />
2 2 2<br />
( T l − T l ) = 4π<br />
( l − l )<br />
2<br />
B B<br />
B<br />
glB<br />
2 4<br />
A A B B<br />
A B<br />
⇔<br />
2<br />
π<br />
g<br />
=<br />
2 2<br />
( TA<br />
l<br />
A<br />
− TB<br />
lB<br />
)<br />
2 2<br />
( l − l )<br />
A<br />
B<br />
…<br />
2<br />
4π<br />
g<br />
=<br />
2 2<br />
( T l − T l )<br />
A<br />
A<br />
B<br />
B<br />
=<br />
1 ⎛ T<br />
⎜<br />
+ T<br />
T<br />
+<br />
− T<br />
( l )( ) ⎜<br />
⎟ A<br />
+ lB<br />
l<br />
A<br />
− lB<br />
2 ⎝ l<br />
A<br />
+ lB<br />
l<br />
A<br />
− lB<br />
⎠<br />
2<br />
A<br />
2<br />
B<br />
2<br />
A<br />
2<br />
B<br />
⎞<br />
(E4.14_ก)<br />
กก 3 ก…<br />
- A ก B l<br />
A<br />
+ lB<br />
- กกกกก A ก B T<br />
A<br />
ก<br />
... . <br />
T<br />
B<br />
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4 31<br />
ก: กกกก T<br />
A<br />
ก T<br />
B<br />
ก ก<br />
ก (E4.14_ก) <br />
2<br />
4π<br />
g = +<br />
2<br />
T<br />
K<br />
( l<br />
A<br />
lB<br />
) ; T<br />
A<br />
≅ TB<br />
= TK<br />
(E4.14_)<br />
ก g กก (E4.14_) ก กก T<br />
K<br />
<br />
กกกกกกกกก<br />
กกกกก กก<br />
ก ก กก<br />
ก<br />
กก กก<br />
กก N กกกกก<br />
N −1 กกกกก ( T ) กกกก<br />
กก ( T<br />
0<br />
) …<br />
T<br />
0 K<br />
N = ( N −1) 2<br />
2<br />
กกกกก 2 . 00 …<br />
T<br />
T ⎞<br />
⎜<br />
⎛ K N 1<br />
1<br />
1 1<br />
= = = 1 − ⎟ = 1+<br />
+ + ⋯ (E4.14_)<br />
2<br />
2 N −1<br />
1<br />
1−<br />
⎝ N ⎠ N N<br />
N<br />
ก กกกกก<br />
ก 552 กกกกก 551 <br />
ก (E4.14_) …<br />
T K<br />
552 1<br />
= = ≅ 1+<br />
2 551 1<br />
1−<br />
N<br />
T = 2. 003638<br />
K<br />
1<br />
552<br />
+<br />
<br />
−1<br />
1<br />
552<br />
2<br />
=<br />
K<br />
1.001819<br />
... . <br />
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4 32<br />
ก 4.15 กกก กกก<br />
กกกก A <br />
B ก ก 99 . 8503 ก<br />
กกกก กกกกก<br />
กกก 2 . 00 กก<br />
กกกก กกกกก<br />
501 กกกก A กก 500<br />
กก B กกก<br />
กกก กกกกก<br />
ก 10021<br />
กกกกก 10000<br />
กกกกกก<br />
กก A B 45 .9cm<br />
53 .9cm<br />
ก<br />
กก กก<br />
: ก …<br />
- กกกกกก A :<br />
TA<br />
2<br />
501<br />
= ⇔ TA<br />
500<br />
=<br />
2 ×<br />
501<br />
500<br />
=<br />
2.004<br />
<br />
- กกกกกก B :<br />
TB<br />
2<br />
10021<br />
= ⇔ TB<br />
10000<br />
- กก ( g ):<br />
2<br />
4π<br />
g<br />
exact<br />
=<br />
=<br />
exact<br />
=<br />
10021<br />
2 ×<br />
10000<br />
2 2 2 2<br />
1 ⎛ T<br />
⎞<br />
B<br />
+ TA<br />
TB<br />
− TA<br />
⎜ +<br />
⎟<br />
2 ⎝ lB<br />
+ l<br />
A<br />
lB<br />
− l<br />
A ⎠<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 ⎛ 2.0042 + 2.004 2.0042 − 2.004<br />
2<br />
⎜<br />
+<br />
⎝ 99.8503<br />
8.0<br />
2<br />
4π<br />
cm<br />
cm<br />
=<br />
= 980.23<br />
2<br />
2<br />
0.0403 s<br />
s<br />
g .<br />
g ก…<br />
g<br />
approx.<br />
=<br />
2<br />
4π<br />
T<br />
2<br />
A<br />
( l + l )<br />
A<br />
B<br />
=<br />
2<br />
4π<br />
× 99.8503cm<br />
=<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2.0042<br />
2<br />
s<br />
cm<br />
981.55<br />
<br />
cm<br />
s<br />
2<br />
2<br />
( 2.004s) .<br />
=<br />
... . <br />
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4 33<br />
4.9 กก<br />
4.11 ก m M<br />
ก m M M >> m<br />
M m M <br />
m กก ก (Central Force) ก<br />
กก กก …<br />
…<br />
<br />
F<br />
=<br />
Mm<br />
− G ˆ<br />
r<br />
G<br />
e<br />
2 r<br />
<br />
2 <br />
d r<br />
dt<br />
F = ma = m<br />
2<br />
∑<br />
2 <br />
Mm d r<br />
2<br />
− G eˆ<br />
r<br />
= m = m( ɺɺ r − r ɺ θ ) eˆ<br />
r<br />
+ m( r ɺɺ θ + 2rɺ<br />
ɺ θ ) eˆ<br />
2<br />
2<br />
θ<br />
(4.34)<br />
r<br />
dt<br />
ก 4.16 ก 4.11 …<br />
2 <br />
d r<br />
2<br />
dt<br />
: ∵ r = reˆ<br />
r<br />
2 <br />
d r<br />
2<br />
dt<br />
=<br />
<br />
=<br />
2<br />
( ɺɺ r − r ɺ θ ) eˆ<br />
+ ( r ɺɺ θ + 2rɺ<br />
ɺ θ ) eˆ<br />
θ<br />
d<br />
dt<br />
<br />
dr<br />
dt<br />
r<br />
=<br />
<br />
dr<br />
dt<br />
d<br />
dt<br />
r<br />
= ( reˆ<br />
r<br />
) = re ɺˆr<br />
+ r = re ɺˆr<br />
+ r ˆθ<br />
d<br />
dt<br />
<br />
deˆ<br />
dt<br />
1×<br />
dθ e<br />
dt<br />
⎛ deˆ<br />
⎞ ⎡ d deˆ<br />
r<br />
θ ⎤<br />
( re ɺˆ<br />
+ r ɺ θeˆ<br />
) = ⎜ɺɺ<br />
reˆ<br />
+ rɺ<br />
⎟ + eˆ<br />
( r ɺ θ ) + r ɺ θ ⎥ ⎦<br />
r<br />
⎡<br />
⎛ 1×<br />
dθ<br />
⎞⎤<br />
( ɺ r<br />
eˆ<br />
+ rɺ<br />
ɺ θeˆ<br />
) + eˆ<br />
( rɺ<br />
ɺ θ + r ɺ θ ) + r ɺ θ ⎜−<br />
eˆ<br />
⎟⎥ ⎦<br />
=<br />
r θ θ<br />
r<br />
⎢<br />
⎣<br />
( ɺ r − r ɺ θ ) eˆ<br />
r<br />
( rθ<br />
2rθ<br />
) 2 + ɺ + ɺ ɺ eˆ<br />
θ<br />
= ...<br />
θ<br />
⎝<br />
⎝<br />
r<br />
dt<br />
dt<br />
⎠<br />
⎠<br />
⎢<br />
⎣<br />
θ<br />
dt<br />
dt<br />
... . <br />
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4 34<br />
4.2 xy ก ( r ,θ ) <br />
:<br />
5<br />
⎜<br />
⎝13<br />
⎛ ⎞<br />
ก r = 13 θ = arcsin ⎟ ก<br />
⎠<br />
ê<br />
r<br />
rɺ = 6 / ก ê<br />
θ<br />
r ɺ θ = 5<br />
/<br />
(ก) กก x ก y ( xɺ yɺ<br />
) <br />
<br />
() υ = rɺ<br />
eˆ<br />
r<br />
+ r ɺ θeˆ<br />
= xe ɺ ˆx<br />
+ yɺ<br />
eˆ<br />
θ<br />
y<br />
ก…<br />
2 2 2 2 2<br />
x ɺ + yɺ<br />
= rɺ<br />
+ r ɺ θ <br />
4.2<br />
<br />
() ก υ = xɺ eˆ + yɺ<br />
eˆ<br />
…<br />
x<br />
y<br />
(ก) ก…<br />
<br />
υ = υ<br />
sin β =<br />
sin θ =<br />
<br />
=<br />
5<br />
61<br />
5<br />
13<br />
2<br />
2<br />
( 6m/s) + ( 5m/s) = 61 m/s<br />
cos β =<br />
cos θ =<br />
6<br />
61<br />
12<br />
13<br />
∵ υ = xɺ<br />
eˆ<br />
x<br />
+ ye ɺ ˆ y<br />
= υ cos( β + θ ) eˆ<br />
x<br />
+ υ sin( β + θ ) eˆ<br />
y<br />
…<br />
xɺ<br />
yɺ<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
υ cos<br />
( β + θ ) = υ( cos β cosθ<br />
− sin β sinθ<br />
)<br />
⎛ 6 12 5 5 ⎞<br />
61 ⎜ ⋅ − ⋅ ⎟ m/s =<br />
⎝ 61 13 61 13 ⎠<br />
47<br />
13<br />
m/s<br />
( β + θ ) = υ( sin β cosθ<br />
cos β sinθ<br />
)<br />
υ sin +<br />
⎛ 5 12 6 5 ⎞<br />
61 ⎜ ⋅ + ⋅ ⎟ m/s =<br />
⎝ 61 13 61 13 ⎠<br />
90<br />
13<br />
m/s<br />
<br />
υ<br />
2<br />
2<br />
2 2 ⎛ 47 ⎞ ⎛ 90 ⎞<br />
2<br />
x ɺ + yɺ<br />
= + =<br />
= rɺ<br />
+<br />
( r ɺ θ ) 2<br />
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 61 m/s<br />
...<br />
⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠<br />
... . <br />
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4 35<br />
4.3 กก กก 3216<br />
ก-<br />
24<br />
ก ก 5 .98× 10 กก ก ก 6370<br />
ก <br />
:<br />
N ⋅ m<br />
kg<br />
2<br />
− 11<br />
ก ก 6.673×<br />
10<br />
<br />
2<br />
ก…<br />
4.3<br />
G , M , R h …<br />
⎛<br />
⎜6.673×<br />
10<br />
⎝<br />
−11<br />
Nm<br />
2<br />
kg<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
24<br />
( 5.98×<br />
10 kg)<br />
υ =<br />
≈ 6452 / .<br />
6<br />
( 6.370 + 3.216)<br />
× 10 m<br />
4.4 ( r ) ก 0 . 15 (θ ɺ 2<br />
) ก 2π rad/s <br />
( ɺ θ<br />
0<br />
) ก<br />
π<br />
2<br />
rad/s<br />
0 . 2 <br />
(ก) (θ ɺ ) (θ ) …?<br />
() ( a ) …?<br />
: (ก) (θ ɺ ) ก…<br />
∵<br />
ɺ θ ( t ) t<br />
ɺɺ = 2π<br />
⇒ d ɺ θ = 2π<br />
dt ⇒ ɺ θ ( t) = ɺ θ<br />
0<br />
+ 2π<br />
t rad/s<br />
∫ɺ θ ∫0<br />
θ<br />
∴ 0 . 2 <br />
กกก:<br />
<br />
Mm d r<br />
− G<br />
ɺ θ<br />
2<br />
r<br />
dt<br />
0<br />
π<br />
θ 9<br />
2<br />
( ɺɺ − r ) eˆ<br />
r<br />
2<br />
2<br />
eˆ r<br />
= m = m r<br />
2<br />
กกก = 0<br />
Mm<br />
2<br />
− G eˆ<br />
r<br />
= − mr ɺ θ eˆ<br />
2<br />
r<br />
ɺ ( t = 0 .2 s) = + 2π<br />
( 0.2) = 0. π rad/s .<br />
r<br />
=<br />
2<br />
mυ<br />
−<br />
r<br />
ɺ rɺ ;<br />
rɺ = 0<br />
υ r = R + h <br />
…<br />
mυ<br />
r<br />
2<br />
GMm<br />
= ⇒ υ<br />
2<br />
r<br />
=<br />
GM<br />
r<br />
eˆ<br />
r<br />
=<br />
GM<br />
R + h<br />
... . <br />
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4 36<br />
(θ ) ก…<br />
θ ( t ) t<br />
ɺ = ɺ θ<br />
0<br />
+ 2π<br />
t ⇒ dθ<br />
= ɺ θ + 2π<br />
t dt ⇒ θ t −θ<br />
0<br />
0<br />
= ɺ θ<br />
0<br />
t + π t rad<br />
∫θ<br />
∫0<br />
∵ θ ( t)<br />
∴ 0 . 2 <br />
0<br />
( ) ( )<br />
2<br />
π<br />
2<br />
2<br />
∆θ ( t = 0.2 s) = θ ( 0.2 s) −θ<br />
= ( 0.2) + π ( 0.2) 0. 14π<br />
rad .<br />
() กก (4.34) <br />
0<br />
=<br />
2 <br />
d r<br />
a = =<br />
ˆ<br />
2<br />
r<br />
dt<br />
2<br />
( ɺɺ r − r ɺ θ ) eˆ<br />
+ ( r ɺɺ θ + 2rɺ<br />
ɺ θ ) e θ<br />
กก ( r ) ก . 15<br />
ɺ rɺ = 0 …<br />
<br />
2<br />
a − r ɺ θ eˆ<br />
= + r ɺ θ<br />
eˆ<br />
r<br />
θ<br />
=<br />
−<br />
0 rɺ = 0 <br />
2<br />
2<br />
( 0.15m)( 0.9π<br />
rad/s) eˆ<br />
r<br />
+ ( 0.15m)( 2π<br />
rad/s ) eˆ<br />
θ<br />
−1 .20 ˆ + 0.94 ˆ<br />
m/s<br />
2<br />
= e r<br />
e θ<br />
.<br />
- ก ก (Kepler’s Laws)<br />
ก 15 (Ptolemaic Theory) ก ก<br />
() ก ก 16<br />
กกกก <br />
ก (Copernicus) ก<br />
(ก) <br />
ก กกก <br />
ก (Copernican Theory)<br />
ก (Tycho Brahe) กก ก <br />
ก ก (Kepler) กกก<br />
กกก ( ) ก<br />
20 ก กกก<br />
ก (Kepler’s Laws) 3 <br />
... . <br />
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4 37<br />
1 ก:<br />
ก<br />
<br />
2 ก:<br />
กกกก<br />
3 กก:<br />
กก กก<br />
ก<br />
ก: ก กกกกกกก<br />
กก กก <br />
กก ก (Empirical Laws) (Empirical<br />
Formulae) กกก<br />
ก …<br />
(Newton) ก กก<br />
ก (Newtonian Mechanics<br />
Newtonian Theory) …<br />
ก 4.17 กก…<br />
: 1: กก 2<br />
E4.17_ก ก m M<br />
... . <br />
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4 38<br />
ก E4.17_ก dt FP ก<br />
กก d θ FP กก<br />
PF<br />
ˆ 2<br />
Q dA × × = × ( rdθ<br />
) r = r dθ<br />
กก (4.34) …<br />
= 2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( r ɺ θ ) = 0 ⇒ r ɺ = constant ≡ k<br />
ɺ<br />
1<br />
θ<br />
+ 2 ɺ<br />
d<br />
r rɺ<br />
θ = 0 ⇒<br />
θ<br />
r dt<br />
กก ( FP ) …<br />
dA<br />
dt<br />
=<br />
1 2 k<br />
2<br />
r<br />
2<br />
dθ 1<br />
= r ɺ θ = = (E4.17_ก)<br />
dt 2 2<br />
ก (E4.17_ก) กก ( FP ) <br />
ก ...<br />
2: กก 1<br />
2<br />
กก (4.34) r ɺ θ = k …<br />
<br />
r<br />
1<br />
u<br />
= <br />
( ɺ<br />
− r )<br />
Mm<br />
G = m r ɺ θ 2<br />
2<br />
r<br />
1 du<br />
= − …<br />
2<br />
θ u dθ<br />
dr<br />
d<br />
ก…<br />
− (E4.17_)<br />
dr dr dθ<br />
1 du<br />
= = − ɺ 1<br />
θ = −<br />
2<br />
2<br />
dt dθ<br />
dt u dθ<br />
u<br />
du k<br />
dθ<br />
r<br />
= 2<br />
du<br />
= −k<br />
dθ<br />
rɺ (E4.17_)<br />
1<br />
2<br />
dr<br />
= ɺ<br />
dt<br />
d du<br />
dt ⎝ dθ<br />
⎠<br />
d du dθ<br />
dθ<br />
⎝ dθ<br />
⎠ dt<br />
d du k<br />
dθ<br />
dθ<br />
r<br />
d u<br />
dθ<br />
2<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
2 2<br />
ɺ r<br />
= −k<br />
⎜ ⎟ = −k<br />
⎜ ⎟ = −k<br />
= −k<br />
u<br />
(E4.17_)<br />
2<br />
2<br />
ก (E4.17_) <br />
− GMu<br />
2<br />
=<br />
− k<br />
2<br />
u<br />
2<br />
2<br />
d u<br />
2<br />
dθ<br />
2<br />
k u<br />
−<br />
u<br />
4<br />
⇔<br />
2<br />
d u<br />
2<br />
dθ<br />
− k<br />
2<br />
u<br />
=<br />
GM<br />
−<br />
2<br />
k<br />
(E4.17_)<br />
ก ก…<br />
GM<br />
1<br />
u = Acos<br />
θ +<br />
k<br />
r<br />
GM<br />
k<br />
( θ + θ<br />
0<br />
) + ⇔ = Acos( θ +<br />
0<br />
) (E4.17_)<br />
2<br />
2<br />
... . <br />
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315 201 Physics of Matter<br />
4 39<br />
A θ<br />
0<br />
กก (Integral arbitrary constants) กก<br />
() θ + θ 0<br />
= θ ′ ≡ θ …<br />
1<br />
r<br />
GM<br />
= Acosθ +<br />
(E4.17_)<br />
2<br />
k<br />
ก (E4.17_) กก (conic section) ก (ellipse), <br />
(parabola) (hyperbola)<br />
( E4.17_ ก) กกก 2 a , กก<br />
2 b eccentricity ก e <br />
…<br />
2<br />
⎛ b ⎞<br />
e = 1−<br />
⎜ ⎟ ก P <br />
⎝ a ⎠<br />
⎛ b ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
E4.17_ : r + r′<br />
= 2a<br />
e = 1−<br />
< 1<br />
ก F P ˆ F ′ ก (cosine law) <br />
′<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( 2ae) − 2r( 2ae) cos( π −θ<br />
) = r + ( 2ae) 2r( 2ae) cosθ<br />
2 2<br />
r = r +<br />
+<br />
2<br />
<br />
2 2 2<br />
r + r′<br />
= 2a<br />
⇒ r′<br />
= 2a<br />
− r ⇒ r′<br />
= r + 4a<br />
− 4ar<br />
ก…<br />
<br />
4a<br />
2<br />
2<br />
( 1−<br />
e ) = 4ar( 1+<br />
ecosθ<br />
)<br />
1<br />
=<br />
r<br />
( 1+<br />
ecosθ<br />
)<br />
a<br />
=<br />
ecosθ<br />
+<br />
1<br />
⇔ =<br />
r<br />
ecosθ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( 1−<br />
e ) a( 1−<br />
e ) a( 1−<br />
e )<br />
( 1+<br />
ecosθ<br />
)<br />
a<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
(E4.17_)<br />
... . <br />
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315 201 Physics of Matter<br />
4 40<br />
กก (E4.17_) ก (E4.17_) …<br />
<br />
a<br />
A<br />
e<br />
a 1 e<br />
= <br />
2<br />
( − )<br />
2<br />
k<br />
GM 1 e<br />
= <br />
2<br />
( − )<br />
e<br />
GM<br />
2<br />
k<br />
=<br />
2<br />
Ak<br />
GM<br />
a<br />
1<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
= (E4.17_)<br />
ก<br />
...<br />
3: กก 3<br />
กก (E4.17_ก) <br />
…<br />
<br />
<br />
dA<br />
dt<br />
=<br />
1 2 k<br />
2<br />
r<br />
2<br />
dθ 1<br />
= r ɺ θ = = <br />
dt 2 2<br />
A( T )<br />
T k<br />
k<br />
∫<br />
dA = dt<br />
A T 0 T 0<br />
ab<br />
0 ∫<br />
⇔ − = − ⇔ π<br />
0 2<br />
2<br />
T<br />
( ) ( ) = T<br />
2 2<br />
2 2<br />
2πab<br />
2πa<br />
1−<br />
e 2πa<br />
1−<br />
e 2πa<br />
=<br />
=<br />
=<br />
k<br />
k<br />
aGM<br />
= (E4.17_)<br />
4 3<br />
2 3<br />
2 π a<br />
T = α a ; m
315 201 Physics of Matter<br />
4 41<br />
- <br />
⎛ b ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
4.12 : r + r′<br />
= 2a<br />
e = 1−<br />
< 1<br />
ก m M ( 4.12<br />
ก) ก M >> m ก ( F ) <br />
( P ) r + r′<br />
= 2a<br />
; <br />
r r′ กก F F′ , 2 a กก<br />
,<br />
⎛ b ⎞<br />
2 ae ก F F′ = 1−<br />
⎜ ⎟ < 1<br />
⎝ a ⎠<br />
ก<br />
(<br />
E<br />
total<br />
) ก…<br />
2<br />
e eccentricity <br />
2<br />
E<br />
total<br />
=<br />
E<br />
ktrans.<br />
+ E<br />
krot.<br />
+ E<br />
pG<br />
=<br />
mrɺ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
mr<br />
+<br />
ɺ θ<br />
2<br />
2<br />
−<br />
GmM<br />
r<br />
(4.36)<br />
E<br />
ktrans.<br />
ก<br />
E<br />
krot.<br />
ก<br />
E ก<br />
pG<br />
... . <br />
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4 42<br />
ก 4.18 ( E ) กก<br />
total<br />
กก ( 2 a ) ก eccentricity ( e ) <br />
GmM<br />
E total<br />
= −<br />
2a<br />
: กก ก<br />
กก P ก<br />
ก ก θ = 0 ก r ≡ rmin<br />
rɺ = min<br />
0 ก<br />
ก (E4.17_ก), (E4.17_) ก (E4.17_) …<br />
<br />
2<br />
2<br />
( r ɺ θ ) = 0 ⇒ r ɺ = k<br />
ɺ<br />
1<br />
θ<br />
+ 2 ɺ<br />
d<br />
r rɺ<br />
θ = 0 ⇒<br />
θ<br />
r dt<br />
1<br />
r<br />
( 1+<br />
ecos0)<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
( 1+<br />
e)<br />
1<br />
GM<br />
≡ =<br />
=<br />
= 1<br />
2<br />
r a<br />
a<br />
k<br />
min<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
( + e)<br />
ก (4.36) …<br />
2<br />
2<br />
mk GmM GM ⎧mk<br />
⎡GM<br />
⎤ ⎫<br />
E total<br />
= − = ( 1+<br />
e) ⎨ ⎢<br />
( 1+<br />
e)<br />
⎥<br />
− GmM<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎬<br />
2rmin<br />
rmin<br />
k ⎩ 2 ⎣ k ⎦ ⎭<br />
( + e)<br />
2 2<br />
G M m<br />
E 1 2<br />
⎧<br />
⎫<br />
2<br />
total<br />
=<br />
2<br />
2 ⎨ − ⎬<br />
2<br />
k ⎩ 2 ⎭ 2k<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
2 2<br />
G M m<br />
( 1+<br />
e) = ( 1+<br />
2e<br />
+ e − 2 − e)<br />
2 2<br />
G M m<br />
GMm<br />
= −<br />
= −<br />
(E4.18_ก)<br />
2<br />
2k<br />
2a<br />
ก (E4.18_ก) ก<br />
กกก ( a 2 ) ก eccentricity ( e ) ...<br />
... . <br />
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4 43<br />
ก 4.19 eccentricity ( e ) ก 0 . 4 <br />
กก ก<br />
กก<br />
: กก ก (Perihelion)<br />
กก ก (Aphelion)<br />
: ก θ = 0 rmin<br />
r ≡ :<br />
1<br />
r<br />
( 1+<br />
ecos0)<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
( 1+<br />
e)<br />
1<br />
GM<br />
≡ =<br />
=<br />
= 1<br />
2<br />
r a<br />
a<br />
k<br />
min<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
( + e)<br />
ก r 2 ɺ θ = k …<br />
k<br />
r<br />
⎡GM<br />
⎢ 2<br />
⎣ k<br />
GM<br />
k<br />
υ ≡ r ɺ = = k ( 1+<br />
e) = ( 1 e)<br />
(E4.19_ก)<br />
P minθ<br />
⎥<br />
+<br />
min<br />
⎦<br />
ก θ = π rmax<br />
⎤<br />
r ≡ :<br />
1<br />
r<br />
( 1+<br />
ecosπ<br />
)<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
( 1−<br />
e)<br />
1<br />
GM<br />
≡ =<br />
=<br />
= 1<br />
2<br />
r a<br />
a<br />
k<br />
max<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
( − e)<br />
ก…<br />
k<br />
r<br />
⎡GM<br />
⎢ 2<br />
⎣ k<br />
GM<br />
k<br />
υ ≡ r ɺ = = k ( 1−<br />
e) = ( 1−<br />
e)<br />
(E4.19_)<br />
A<br />
maxθ<br />
กก …<br />
max<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
υ<br />
P<br />
υ<br />
A<br />
≡<br />
GM<br />
k<br />
GM<br />
k<br />
( 1+<br />
e)<br />
=<br />
1+<br />
e<br />
1+<br />
0.4<br />
1−<br />
e 1−<br />
0.4 3<br />
( 1−<br />
e) =<br />
=<br />
7<br />
.<br />
... . <br />
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