Un algoritmo per la regressione multipla con dati categoriali

UN ALGORITMO REGRESSIONE 7
Una volta ottenute z os ed x j os si applica successivamente una regressione multipla,
minimizzando la (1) rispetto ai b, con t # , y j # fissati, e così via, fino alla convergenza
dell’algoritmo che è assicurata (de Leeuw, 1973).
3. Osservazioni
a) Come la filosofia Als suggerisce (Young 1981), le stime trovate in uno stadio
per un sottinsieme di parametri, andrebbero sostituite nel passo successivo per
ottenere le stime dell’altro sottinsieme; la stima z os andrebbe sostituita nella (15) per
ricavare i pesi di scaling y j , ottenendo stime dei parametri di scaling probabilmente
differenti. (Lo stesso problema si presenta in Morals e Canals per la stima dei
punteggi delle variabili indipendenti ricavate dalla (4) in cui ogni variabile stimata
x os u
j andrebbe immediatamente sostituita nella (4) per ricavare le altre x i con i ≠j)
b) La (8) e la (16) per variabili nominali implicano che le quantificazioni delle
categorie (t) di z coincidono con la media dei valori previsti dal modello per z, in
∧
altre parole t a è la media dei valori z dei soggetti che rientrano nella categoria a,
mentre la quantificazione della categoria a della variabile x j (y ja ) è uguale alla media
dei valori di ∧ z j che corrispondono alla categoria a in x j .
La (os. 2) mostra che la stima di x j u coincide con la proiezione di ∧ z j sulle colonne di
G j . Se z è continua (o lo sono alcune variabili indipendenti) i punteggi di tali variabili
restano costanti durante tutto l’algoritmo, evitando la fase di optimal scaling (z os = z,
x os = x).
c) La metodologia per ottenere le stime di optimal scaling è coerente con il
problema di minimo del modello poichè le stime dei parametri di scaling y j u sono
ottenute riducendo ulteriormente la devianza residua (DR) che il modello di
regressione lascia dopo la stima dei pesi b del primo stadio:
DR = SSQ(z 0 - Σ j x j
0
b j ) = SSQ(z 0 - ∧ z ) ≥ SSQ(z os - ∧ z ) + Σ j SSQ( ∧ z j - x j os ) (19)
poiché nella (9) emerge che, sia nel passo di stima di z os sia di x j os :
SSQ(z os - ∧ z ) ≤ SSQ(z 0 - ∧ z ) & SSQ( ∧ z j - x j os ) ≤ SSQ( ∧ z j - x j 0 ) (20)
Mentre il residuo viene minimizzato nel passo di stima di z u ed x u j (e ulteriormente
per variabili ordinali nel passo di regressione monotona in z os ed x os j ), nell’algoritmo
Morals, invece, la riduzione del residuo avviene solo nel passo di normalizzazione di
x u i in x os i , dove le x u
j sono ricavate dall’identità (4) senza alcuna riduzione della
devianza residua.