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Esercizi <strong>di</strong> Meto<strong>di</strong> Statistici per la Biologia<br />
Francesco Caravenna<br />
<strong>Foglio</strong> 2. (7–11 maggio 2007)<br />
Richiamo delle formule più importanti:<br />
• Formule basilari:<br />
P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (E ∩ F )<br />
P (E c ) = 1 − P (E)<br />
• Formula delle probabilità totali:<br />
P (E) = P (E|F )P (F ) + P (E|F c )P (F c )<br />
• Formula <strong>di</strong> Bayes:<br />
P (F |E) =<br />
P (E|F )P (F )<br />
P (E)<br />
=<br />
P (E|F )P (F )<br />
P (E|F )P (F ) + P (E|F c )P (F c )<br />
Esercizio 1. Si lanciano due da<strong>di</strong> regolari a sei facce. Per tutti i valori <strong>di</strong> i ∈<br />
{1, . . . , 6} si calcoli il valore della probabilità con<strong>di</strong>zionata<br />
P (il primo dado dà come risultato i | la somma dei due da<strong>di</strong> vale 9) .<br />
[0 per i ∈ {1, 2} e 1 4<br />
per i ∈ {3, 4, 5, 6}]<br />
Esercizio 2. Si lancia per due volte una moneta equilibrata. Si considerino gli eventi<br />
A := “nel primo lancio esce testa”<br />
B := “nel secondo lancio esce testa”<br />
C := “nei due lanci, presi insieme, esce esattamente una testa” .<br />
Naturalmente gli eventi A e B sono in<strong>di</strong>pendenti.<br />
a) Si <strong>di</strong>mostri che gli eventi A e C sono in<strong>di</strong>pendenti, così come anche gli eventi<br />
B e C.<br />
b) Si <strong>di</strong>mostri che i tre eventi {A, B, C} non sono in<strong>di</strong>pendenti.<br />
Esercizio 3. Si lanciano due da<strong>di</strong> regolari a sei facce.<br />
a) Si <strong>di</strong>mostri che gli eventi A := “il primo dado dà come risultato 2” e B := “la<br />
somma dei due da<strong>di</strong> vale 7” sono in<strong>di</strong>pendenti.<br />
b) Si <strong>di</strong>mostri che gli eventi A := “il primo dado dà come risultato 2” e B := “la<br />
somma dei due da<strong>di</strong> vale 5” non sono in<strong>di</strong>pendenti.<br />
c) Si mostri che entrambe le precedenti affermazioni restano vere se, nella definizione<br />
dell’evento A, si sostituisce il valore 2 con qualunque altro valore i ∈ {1, . . . , 6}.<br />
Esercizio 4. Dati tre eventi in<strong>di</strong>pendenti A, B, C tali che P (A) = 1 2 , P (B) = 1 3 e<br />
P (C) = 1 4 , si calcoli il valore <strong>di</strong> P (A ∩ (B ∪ C)). [ 1 4 ]<br />
Suggerimento: si usi la formula A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).<br />
1
2<br />
Esercizio 5. Una coppia ha due figli(e). Assumiamo che il sesso dei due figli possa<br />
essere descritto dallo spazio campionario S = {(MM), (MF ), (F M), (F F )} (dove<br />
(ab) in<strong>di</strong>ca che il primogenito è <strong>di</strong> sesso a e il secondogenito <strong>di</strong> sesso b) munito della<br />
probabilità uniforme, cioè P (MM) = P (MF ) = P (F M) = P (F F ) = 1 4 .<br />
a) Se sappiamo che il primogenito è maschio, qual è la probabilità che il secondogenito<br />
sia maschio? [ 1 2 ]<br />
b) Se sappiamo che il secondogenito è maschio, qual è la probabilità che il primogenito<br />
sia maschio? [ 1 2 ]<br />
c) Se sappiamo che almeno un figlio è maschio, qual è la probabilità che anche<br />
l’altro sia maschio? [ 1 3 ]<br />
Esercizio 6 (Paradosso <strong>di</strong> Monty Hall). Vi propongo <strong>di</strong> scegliere tra tre buste<br />
chiuse, una delle quali contiene un premio mentre le altre due sono vuote. Una volta<br />
effettuata la scelta, io guardo <strong>di</strong> nascosto il contenuto delle due buste rimaste e ve<br />
ne mostro una vuota (tra le mie due buste ce n’è almeno una vuota, dunque lo posso<br />
sempre fare). A questo punto vi propongo <strong>di</strong> cambiare la busta che avete scelto con<br />
quella che mi è rimasta in mano. Vi conviene cambiare? [Sì, la prob. 1 3 → 2 3 ]<br />
Esercizio 7. Da un mazzo <strong>di</strong> 52 carte da poker si estraggono a caso una dopo l’altra<br />
5 carte.<br />
a) Qual è la probabilità <strong>di</strong> fare colore, cioè che tutte e cinque le carte siano dello<br />
stesso seme (5 cuori, oppure 5 quadri, ecc.)? [4 · (13 ) (<br />
5 / 52<br />
)<br />
5 ≈ 0.00198]<br />
b) Qual è la probabilità <strong>di</strong> fare poker, cioè che tra le 5 carte ce ne siano 4 dello<br />
stesso tipo (4 assi, oppure 4 re, ecc.)? [13 · 48/ ( )<br />
52<br />
5 ≈ 0.00024]<br />
Esercizio 8. Viene effettuato uno screening test a un in<strong>di</strong>viduo per rivelare la<br />
presenza <strong>di</strong> una malattia. Definiamo gli eventi<br />
A := “l’in<strong>di</strong>viduo risulta positivo allo screening test”<br />
B := “l’in<strong>di</strong>viduo è affetto dalla malattia” .<br />
La sensibilità del test è definita dai valori<br />
P (A|B) = 0.96 P (A|B c ) = 0.02 .<br />
In<strong>di</strong>chiamo col parametro p ∈ (0, 1) l’incidenza della malattia nella popolazione,<br />
cioè la frazione <strong>di</strong> persone affette dalla malattia, per cui vale p = P (B).<br />
Si determinino le probabilità con<strong>di</strong>zionate P (B|A) e P (B|A c ) (che descrivono la<br />
pred<strong>di</strong>ttività del test) in funzione <strong>di</strong> p e se ne calcoli il valore per p = 4%, p = 0.4%<br />
e p = 0.04%. [0.96p/(0.94p + 0.02) → 66.7%, 16.1%, 1.9%]<br />
Esercizio 9. Ho due monete <strong>di</strong>stinte, che in<strong>di</strong>co con α e β. La moneta α è regolare,<br />
mentre la moneta β è “truccata”: la probabilità <strong>di</strong> ottenere testa vale 0.7. Scelgo<br />
una delle due monete a caso e la lancio.<br />
a) Qual è la probabilità <strong>di</strong> ottenere testa? [0.6]<br />
b) Se ottengo testa, qual è la probabilità che la moneta lanciata sia stata α? [0.42]