Matematica Discreta (Elementi) - Matematica e Applicazioni

Matematica Discreta (Elementi) 1
Matematica Discreta (Elementi)
Calendario lezioni e esercitazioni corso “E–O”.
Orario:
lunedì 10.30/13.30 3 ore aula U3/05
venerdì 8.30/10.30 2 ore aula U3/03
ATTENZIONE:
gli argomenti svolti a lezione nel corso “E–O” possono in parte differire da quelli
svolti nei corsi paralleli.
Il programma d’esame, concordato dai docenti, consiste delle parti
effettivamente svolte in tutti e tre i corsi e sarà distribuito attraverso gli
organi preposti del Disco.
4 ottobre 2002 (2 ore) Introduzione al corso, bibliografia, statistiche risultati esami anni precedenti. lezione: 2
Cenni di logica proposizionale: esempi di proposizioni; definizione di congiunzione e disgiunzione di
due proposizioni, negazione di una proposizione tavole di verità relative. Esercizio: tavola di verità
di ¬(p ∧ q) e (¬p) ∧ q, necessità dell’uso delle parentesi.
7 ottobre 2002 (3 ore) Predicati e universo. Introduzione agli insiemi: N, Z, Q, R e C; notazio- lezione: 5
ne per indicare un insieme tramite predicati. Unione e intersezione (utilizzando ∧ e ∨). Diagrammi
di Eulero-Venn. Logica delle proposizioni: implicazione materiale, implicazione inversa,
contronominale. Equivalenza di proposizioni, tautologie e contraddizioni. Equivalenze logiche
fondamentali.
11 ottobre 2002 (2 ore) Esercizi vari. Tavole di verità, catene di equivalenze. Insiemi. esercit: 2
14 ottobre 2002 (3 ore) Quantificazione di un predicato: quantificatore universale e quantificatore lezione: 8
esistenziale. Negazione di un quantificatore. Uso di predicati e quantificatori per scrivere un insieme
(esempio {x | è il quadrato di un numero intero e x < 100} correggendo esercizi fatti da loro).
Definizione di sottoinsieme. Eguaglianza di due insiemi: verifica dell’eguaglianza tramite la
tecnica della doppia inclusione. Verifica della distributività di ∩ rispetto a ∪ sia come doppia inclusione
che sfruttando la distributività di ∧ rispetto a ∨. Esercizio: osservando la tavola delle
equivalenze logiche fondamentali ricavare una tavola di identità insiemistiche fondamentali. Definizione
di complemento di A in B e di complemento di A (nell’universo). Istruzioni per accedere a
WIMS (http://wims.matapp.unimib.it/). Definizione di prodotto cartesiano di due insiemi, di
corrispondenza e di applicazione.
18 ottobre 2002 (2 ore) Esercizi vari. Insiemi: Leggi di De Morgan. O esclusivo e differenza simme- esercit: 4
trica. Quantificatori multipli.
21 ottobre 2002 (3 ore) Applicazioni: iniettività, suriettività, biunivocità. Quantificatori multipli. lezione: 11
Tecniche di dimostrazione: regole di inferenza. Dimostrazione per induzione. Esempi.
25 ottobre 2002 (2 ore) Esercizi vari. Corrispondenze e applicazioni: iniettività, suriettività, biuni- esercit: 6
vocità. Induzione.
28 ottobre 2002 (3 ore) Cardinalità di insiemi: confronto di cardinalità tramite applicazioni. Insiemi lezione: 14
equipotenti, insiemi numerabili. L’insieme P(X) delle parti dell’insieme X: cardinalità di P(X) nel
caso finito e nel caso infinito (ovvero X e P(X) non hanno la stessa cardinalità). Insiemi non numerabili.
Dimostrazioni per assurdo. Numeri interi: esistenza di quoziente e resto, divisibilità, numeri
primi, teorema fondamentale dell’aritmetica, esistenza di infiniti numeri primi (senza dimostrazione).
4 novembre 2002 (3 ore) Principio di induzione (seconda forma). Divisione in Z: esistenza e unicità di lezione: 17
quoziente e resto (con dimostrazione). Divisibilità tra gli interi: proprietà elementari. Massimo Comun
Divisore (MCD): definizione, esistenza e calcolo (algoritmo Euclideo delle divisioni successive).
Identità di Bezout. Proprietà elementari del MCD.
8 novembre 2002 (2 ore) Induzione, calcolo di MCD e identità di Bezout. Tecniche di enumerazione: esercit: 8
numero di applicazioni, di applicazioni iniettive tra insiemi finiti.
11 novembre 2002 (3 ore) Equazioni diofantee: condizione di esistenza di soluzioni intere e calcolo lezione: 20
esplicito delle soluzioni. Relazioni su un insieme: definizioni ed esempi. Grafo (orientato) associato
ad una relazione su un insieme finito. Proprietà delle relazioni: riflessività, simmetria, transitività,
antisimmetria. Esempi. Congruenza modulo n: definizione.
Matematica Discreta (el.), gruppo “E–O” (Marina Cazzola, A.A. 2002-03) 17 novembre 2004

Matematica Discreta (Elementi) 2
15 novembre 2002 (2 ore) Calcolo di MCD e identità di Bezout. Relazioni: esempi e verifica pro- esercit: 10
prietà riflessiva, simmetrica, transitiva e antisimmetrica. Congruenza modulo n: verifica proprietà
riflessiva, simmetrica, transitiva e antisimmetrica.
18 novembre 2002 (3 ore) Congruenza modulo n: interpretazione in termini di resti della divisione lezione: 23
per n. Eguaglianza di relazioni. Relazioni d’ordine e relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza.
Partizioni. Classi di resto modulo n.
22 novembre 2002 Compitino di esonero dallo scritto
25 novembre 2002 (3 ore) Commenti al compitino. Classi di equivalenza e insieme quoziente. De- lezione: 26
finizione di Z n . Scelta di un sistema completo di rappresentanti per gli elementi di Z n . Strutture
algebriche: leggi di composizione binaria (o operazioni) in un insieme. Proprietà associativa e commutativa;
esistenza di unità (o elemento neutro); elementi invertibili. Esempi. Definizione di somma
e prodotto in Z n : “buona” definizione, associatività.
29 novembre 2002 (2 ore) Equazioni diofantee, congruenze lineari, elementi invertibili in Z n . esercit: 12
2 dicembre 2002 (3 ore) Strutture algebriche: semigruppi, monoidi e gruppi. Definizione ed esempi. lezione: 29
Composizione di applicazioni. Elementi invertibili (rispetto al prodotto) di Z n e divisori dello zero.
6 dicembre 2002 (2 ore) Elementi invertibili e divisori dello zero di Z n . Equazioni in Z n , ovvero esercit: 14
congruenze lineari. Sistemi di congruenze: teorema cinese del resto (enunciato).
9 dicembre 2002 (3 ore) Strutture algebriche: anelli e campi. Notazione additiva, elementi invertibili. lezione: 32
Numero degli elementi invertibili di Z n , funzione Φ di Eulero e (piccolo) Teorema di Fermat. Insiemi
(parzialmente) ordinati. Esempi. Ordinamenti totali. Diagramma semplificato rappresentativo di
una relazione d’ordine. Minimo, massimo, elementi minimali, elementi massimali, maggioranti,
minoranti, estremo superiore, estremo inferiore.
13 dicembre 2002 (2 ore) Numero dei sottoinsiemi di ordine k di un insieme finito di n elementi. esercitt: 2
Permutazioni di un insieme finito di n elementi, fattoriale. Coefficiente binomiale ( n
k)
ovvero numero
di combinazioni di n elementi presi a gruppi di k. Proprietà di ( n
k)
, triangolo di Tartaglia, formula
della potenza del binomio.
16 dicembre 2002 (3 ore) Esercizi su corrispondenze, applicazioni e relazioni, gruppi e sottogruppi esercitt: 5
[concomitanza sciopero mezzi di trasporto]
20 dicembre 2002 (2 ore) Reticoli: definizione come struttura algebrica e definizione come insieme lezione: 34
ordinato. Equivalenza delle due definizioni. Esempi (tra cui MCD in N). Principio di dualità per i
reticoli. Reticoli distributivi.
10 gennaio 2003 (2 ore) Omomorfismi e isomorfismi di strutture algebriche. Sottoreticoli. Caratte- lezione: 36
rizzazione dei reticoli distributivi. Esempi. Reticoli limitati e complementati. Reticoli di Boole.
13 gennaio 2003 (3 ore) Grafi semplici e (multi)grafi. Isomorfismi di grafi. Proprietà invarianti per lezione: 39
isomorfismi: gradi dei vertici. Cammini e circuiti. Connessione e componenti connesse. Il problema
dei ponti di Knigsberg, circuiti e cammini Euleriani. Teorema di Eulero. Cammini Hamiltoniani.
Alberi: definizione e caratterizzazione.
17 gennaio 2003 (2 ore) Esercizi tratti da temi d’esame. esercitt: 7
Matematica Discreta (el.), gruppo “E–O” (Marina Cazzola, A.A. 2002-03) 17 novembre 2004