Rappresentazione euleriana estesa delle soluzioni dell'equazione ...

. REND.SEM. MAT.
UNIVERS. POLITECN. TORINO
Vol. 44*, 2 (1986)
Aurelio Cannizzo (*)
RAPPRESENTAZIONE EULERIANA ESTESA
DELLE SOLUZIONI DELL'EQUAZIONE DI ARTIN
Summary. A class of solutions of the Artin's functional equation, in extended integral
Euler's form, is given. In this class a unicity theorem for the Euler's gamma function
is obtained.
§ 1. Introduzione.
In [1] si e studiata la possibility di dare soluzioni dell'equazione di Artin
(1) t(y+i)=/(y);t

294
Infine, nella ricerca di rappresentazioni (2) lg-convesse si perviene ad
un teorema di unicita per la funzione T di Eulero.
§ 2. Notazioni e richiami.
Sia UCJR e poniamo U- 1 = {u - 1, u E U}. Se YDUUU-1,
posto 7=(0,1] ed S = JR + xF indichiamo con K(S,U) l'insieme delle
V : S —• 1R + tali che
hj) esiste la derivata l a \p x in 5;
Vy E U
h 2 ) lim (p(x,y) = 0 ;
x •+ 0 +
h 3 ) time-P*+°°
In [1] si e provato il seguente generale
TEOREMA 1. Sia /: U —* IR + . Se ipEX(S,U) verified VyGU Vequazione
differo-funzionale
(3) vx(x,y)=f(y)

295
TEOREMA 2. Sia f-. U —+ 1R + . Posto per brevita oc(y)- 1 =/(l
tutte e sole le soluzioni

296
Nel presente lavoro vogliamo peraltro ottenere direttamente una classe
di rappresentazioni di tipo (4) in tutto IR + , mediante una diversa condizione
funzionale sulle funzioni y e di confrontarla con quella ottenuta in [1]. Studieremo
poi alcune proprieta di convessita semplice o logaritmica che consentiranno
di ottenere un teorema di unicita in questa classe di soluzioni.
Nel seguito, utilizzando le notazioni fin qui introdotte, si assumera
C/=1R + ed Y=UUU-1.= U-1.
TEOREMA 3. Sia f: U —• IR con f(\) = 1 ( 4 ). Tutte e soltanto le soluzioni
di(3)percui
n)

297
da cui
ip(x, 1) = x + a
con a E IR, costante.
Utilizzando la h 2 ) del § 2, si trae
La (6) diviene allora
ip(x,l) — x .
3 ,
— log 0, 0(1) = 1 e le r 2 ) e r 3 ). Le funzioni cosi ottenute verificano
evidentemente la (3). •
In virtu del teorema 1 (ed anche per verifica diretta) si ottiene che ogni
funzione
e-*xfW- l dx
y^U
con le condizioni sopraddette per la P(y) ed f(y)
tutto IR + ed anzi si ha identicamente
(7')
t(y) = fi(yyr(f(y)).
Nel seguito utilizzeremo le seguenti notazioni
e soluzione della (1) in
&= {f- U—*.U/f{l) = le verificano la r 2 )}
^(/,« = {*
U—• UI verificano r 3 ) e 7-3)}
U -+ U date dalla (7) con /E J^e j3 E^} .
Vogliamo adesso confrontare le rappresentazioni Euleriane t E ^"{/, j3)
con quelle t' E ^, nell'intento di determinare delle condizioni cui soddisfino
le funzioni k che compaiono in t x ), /E ^e j3E ^ affinche, per y E
E (0,1), sia £(y) = t'(y). Perche cio accada e sufficiente che la funzione

298
da cui
l/a(y)=/(y).
Tutto cio conduce al
TEOREMA 4. Se le funzioni f$E & ed /£ ^soddisfano in (0,1) le condizioni
Cj) e c 2 ), allora, posto nella t t )' k(y) = fi(y) r le conispondenti rappresentazioni
tG^(f,P) e t'E *T a vi coincidono.
§ 4. Un teorema di unicita per la funzione r.
Appare opportuno concludere mettendo in debita evidenza il seguente
teorema di unicita. In tutto il seguito {a) designera la parte intera di a.
TEOREMA 5. L r unica funzione tE^~(f,P) Ig-convessa e la funzione T.
Dimostrazione. Dalla (1), essendo t(y)>0,
si trae
log t(x + 1) - log t(x) = logf(x) ;
ma, essendo t lg-convessa, risulta Vy < x
log [f(x)/f(y)] = log [t(x + l)/t(y + 1)] - log [t(x)/t(y)] > 0
e quindi / risulta non-decrescente in U.
Dalla (7') si trae
logt(x)-logr(f(x)) = logp(x).
Sia x> 1, risulta f(x)> 1. Tenendo conto che K»€N- {0} /3(w) =1 e
quindi t{n) = T(f(n)) = T(n), si ha
t(» + l) r«/Q>g)> + ii +1) *(y + ») r(/») + »)
^log -7^T" /W ' log r«/w> + i.)

299
Ricordando che p(x) > 0, analizzando tutti i casi possibili si trae che
affinche le due diseguaglianze possano coesistere Vn GN~{0} deve essere
e quindi
f(x) = x
«*)si.
Dalla (7') segue la tesi.
•
Osservazione
Non sara superfluo, a questo punto del lavoro, mettere in luce alcune
proprieta indotte dalla convessita (semplice o logaritmica) sui dati / del nostro
problema, sottoposti come si e visto alia r 2 ) ed alia /(l) = 1. Unabrevissima
analisi porta a rendersi conto di come vasta sia a priori la classe F e
di quanto irregolari possano essere i suoi elementi. Ha luogo tuttavia la seguente
proposizione
TEOREMA 6. L'unica funzione /£ Fche sia Ig-concava (Ig-convessa) o concava
(convessa) e la funzione identica di U.
Dimostrazione. Prima di dimostrare il teorema vogliamo osservare che esso,
a risultato acquisito, servira ad escludere che nella classe F vi siano funzioni
lg-convesse.
Dimostriamo il teorema dapprima nell'ipotesi che / sia lg-concava e
poi che sia convessa; con cio il risultato sara acquisito in generale.
Se / e lg-concava in I/, posto
R(x,y) = [log f(x)~ log
f(y)]/(x-y),
da y

300
e quindi Vn G N, n > 1
/I ; (ii)=/:(1) ed fl(n)=fl(l).
Tenuto conto di queste due ultime relazioni, della (8) e del fatto che da
r 2 ) si trae f(n) -n Vn G N si ha F»GN-{0}
e quindi, posto # = /l(l), si deduce
fi(l)> nfL(l)/(n + 1) > »/J 1 ed x ¥= (x), si ha
, v , log (1+/(*-)/)
a>R(x,{x))'
>a-

301
cate definitivamente, ossia per #>£ con £ E. U arbitrariamente fissato. Tenuto
conto di cio si riconosce immediatamente come il teorema ora provato
sia equivalents alia seguente proposizione
Sia kEU. L'unica funzione f definitivamente Ig-concava (Ig-convessa)
o concava (convessa) cbe soddisfiin U Vequazione funzionale
con la condizione
f(x + k)=f(x)
+ k
e la funzione
f{x) = k'x .
BIBLIOGRAFIA
[1] Amaducci, T. e Cannizzo, A.: Soluzioni integrali dell'equaziane funzionale t(y + 1) =
= f(y) t(y). Boll. Un. Mat. Ital., (6) 5.-A (1986), 39-45.
[2] Anastassiadis, J.: Definition des fonctions Euleriennes par des equations fonctionnelles.
Gauthier-Villars, Paris, 1964.
[3] Artin, E.: The gamma-function. Holt, Rinehart and Winston, New York, 1964.
[4] Bohr, H. e Mollerup, J.: Laerebog i matematisk Analyse. Vol. Ill, p. 149, Kopenaghen,
1922.
[5] Bourbaki, N.: Fonctions d'une variable reelle. V, 60, 70 et VII, 160, Paris, 1951.
[6] Jackson, F.H.: On q-definite integrals. Quart. J. Pure Appl. Math., 41, 1910.
[7] Krull, W.: Bemerkungen zur Differenzengleicbung g(x + \)~g(x) = y(x). Math.
Nachr., t. 1, 1948 and ibid. t. 2, 1949.
[8] Moak, D.S.: The q-gamma function for ^>1. AequationesMath., 20,1980.
[9] Valenti, S. e Albanese, B.: Convergenza e applicabilita di un algoritmo di tipo T.
Comunicaz. X Congresso Unione Matematica Italiana, Cagliari, 1975.
[10] Valenti, S.: Risultati recenti sulVequazione di Artin generalizzata. Rend. Circ.
Mat. Palermo, II, XXVI, p. 126, 1977. ;

302
[11] Whittaker, E.T. e Watson, G.N.: A Course of Modern Analysis. Cambridge University
Press, 1958.
AURELIO CANNIZZO - Istituto di Matematica - Via Archirafi, 34 - 90X23 Palermo
Lavoro pervenuto in redazione il 26/IX/1984