1. Due sfere conduttrici identiche sono cariche la ... - francescopoli.net

ESERCIZI
−6
1. Due sfere conduttrici identiche sono cariche la prima con Q = 3×
10 C e la seconda con
−6
Q = −4×
10 C . Esse sono poste a contatto: che carica si deposita su ciascuna
2
1
Risposta:
i
Q = Q
Tot
1
+ Q
i
2
= 3×
10
−6
− 4×
10
−6
= −10
−6
C
1 6
f
−
10 6 1
+ f
f f
−
Q Q2
= − C ed essendo identiche Q1
= Q2
= QTot
= −0.5×
10 C
2
i
−6
2. Due sfere conduttrici identiche sono cariche la prima con Q
A
= 3×
10 C e la seconda con
i
un quantitativo Q
B
incognito. Esse sono poste a contatto e successivamente si misura che
f
−6
sulla sfera B si è depositata una carica Q
B
= −2
× 10 C . Che carica si è depositata su A
Qual era la carica inizialmente disposta su B
Risposta:
Essendo identiche: Q
E quindi anche all’inizio: Q
f f
−6
A
= QB
= −2×
10 C = QTot
i
B
= Q
Tot
− Q
i
A
1
−6
da cui Q
Tot
= −4
× 10 C .
2
−6
−6
−6
= −4×
10 − 3×
10 = −7×
10 C
i
−4
3. Due sfere conduttrici identiche A e B sono cariche la prima con Q
A
= 9×
10 C e la
i
−5
seconda con Q
B
= −25×
10 C e si trovano alla distanza r = 45 m . Esse sono poste a
contatto e poi di nuovo portate a 45 metri di distanza. Qual era l’intensità della forza che
agiva fra loro inizialmente. Quale l’intensità dopo il contatto
Risposta:
−4
−5
1 | QAQB
|
9 | 9.0 × 10 × ( −25×
10 ) | 9−4−5
Finiziale =
= 9.0 × 10
= 10 N = 1.0 N (attrattiva)
2
2
4πε
r
45
0
1 4
f
−4 −5
−
Carica finale uguale perché identiche: Q = Q
f = ( 9.0×
10 − 25×
10 ) = 3.3×
10 C
F
9 (3.3×
10
= 9.0×
10
2
45
−4
2
finale
=
)
0.5 N
A
B
2
4. Tre cariche puntiformi sono vincolate ai vertici di un
triangolo rettangolo i cui cateti misurano 3 cm ciascuno,
come in figura. I valori delle cariche sono
−6
−6
−6
Q
1
= 2.5×
10 C , Q
2
= −4.0
× 10 C , Q
3
= 5.2 × 10 C .
Calcolare l’intensità ed individuare la direzione della forza
che complessivamente le altre cariche esercitano su Q
2
.
Q 2
Q 1
Q 3

Risposta:
Per il principio di sovrapposizione la carica Q
2
subisce la forza F 12
attrattiva da parte di Q
1
come se Q
3
non ci fosse e la forza attrattiva F 32
di Q
3
come se Q
1
non ci fosse. Le loro
intensità valgono rispettivamente:
−6
−6
1 | Q1Q
2
|
9 | 2.5×
10 × ( −4.0×
10 ) |
9−6−6
| F
12
| =
= 9.0×
10
= 11111×
10 N = 0.11×
10
2
2
4πε
r
0.03
0
−6
−6
1 | Q2Q3
|
9 | −4.0
× 10 × 5.2 × 10 |
9−6−6
2
| F
32
| =
= 9.0 × 10
= 11556×
10 N = 0.12 × 10 N
2
2 2
4πε
0 r
(0.03 + 0.03 )
La forza risultante F
è rappresentata in direzione ed intensità dalla diagonale del
parallelogramma che ammette F 12
e F
32
come lati. Dal teorema
di Carnot si ricava quindi:
Q 2
2 2
2
| F | = | F12
| + | F32
| −2 | F12
|| F32
π
ed essendo α = otteniamo:
4
2
2 2
2
| F
| = | 0.11×
10 | + | 0.12×
10 |
− 2 | 0.11×
10
da cui | F
| = 213 N
2
| ⋅ | 0.12×
10
| cos(π
2
2
+
3
| cos
4
− α)
π
5. Due cariche puntiformi sono vincolate a stare ad una distanza di
−6
−6
0.1 m ed hanno valore Q
1
= 3.5×
10 C , Q
2
= 4.5×
10 C . Trovare la distanza x dalla
posizione di Q
1
alla quale deve essere posta una caricaQ 3
, positiva o negativa, affinché essa
stia in equilibrio.
Risposta:
E’ intuitivo che la soluzione non dipenda
né dal valore né dal segno di
3
Q , visto che una carica positiva viene respinta da entrambe le
altre due, mentre una negativa dello stesso valore assoluto ne viene attratta, ma ciò che
cambia è solo il verso delle interazioni e non la loro intensità. Aumentando o diminuendo il
suo valore l’effetto non varia perché le due forze variano proporzionalmente ad esso. Il
risultato è che alla stessa distanza x alla quale si annullano i due effetti attrattivi si annullano
anche i due effetti repulsivi. Qui supponiamo Q3
che sia positiva, ottenendo:
1 | Q1Q
3
|
| F 1 | Q2Q3
|
13
| =
, | F
2
23
| =
2
4πε
0
x
4πε
0 (0.1−
x)
L’equilibrio si ha quando le due interazioni sono uguali, quindi:
x
F
12
Q 1
α
F 32
2
π − α
N
Q 3
Q1
Q 3
2
F
Q
1 | Q1Q
3
| 1 | Q2Q3
|
=
⇒ Q
2
2
1(0.1−
x)
4πε
0
x 4πε
0
(0.1−
x)
Estraendo la radice da ambo i membri abbiamo:
2
= Q x
2
2

Q (0.1−
x)
=
0.1
0.1
3.5×
10
−6
1
1
Q2
x ⇒ x =
=
=
−6
−6
Q1
+ Q2
3.5×
10 + 4.5×
10
cioè Q
3
va posta 4.7 cm a destra di Q
1
.
Q
0.047 m
6. Due palloncini sferici, di raggio r = 0.2 m , sono pieni di un gas
molto più leggero dell’aria. Le loro superfici vengono caricate
negativamente per strofinio su di un panno di lana, e poi sono
legati in terra come indicato in figura. Se su ciascuno di essi si
−7
deposita una carica di Q = −3.2×
10 C , e se i due fili
α
formano un angolo α tale che tan = 0. 3, calcolare la distanza
2
fra i centri dei due palloncini. Si assuma per la densità
3
dell’aria il valore ρ = 1.29Kg/m e si trascuri il peso dei
palloncini.
d
α
Risposta:
Vista la simmetria del problema, la forza elettrica F
E
fra i due palloncini deve essere diretta
orizzontalmente e all’equilibrio bilanciata dalla componente
orizzontale della tensione T del filo. Verticalmente avremo la
spinta di Archimede A
A
diretta verso l’alto, pari al peso
dell’aria spostata, e poi e l’altra parte della tensione del filo.
Direzione verticale:
3
α
A ρ
ariaVg
4 πr
gρaria
F
E
A − T cos = 0 ⇒ T = = =
2
cos(α 2) cos(α 2) 3 cos(α 2)
Direzione orizzontale:
2
α
1 Q 4
α
α
3
− F E
+ T sin = 0 ⇒ = πr
ρ
aria
g tan
T
2
2 4πε
0 d 3
2
2
α
e tenendo conto che tan = 0. 3 possiamo ricavare:
2
d =
=
2
Q
3
⋅
=
3
4πε
4πgr ρ tan(α / 2)
9 × 10
9
0
aria
−7
2
3×
(3.2 × 10 )
×
3
12.56 × 9.8×
0.2 × 1.29 × 0.3
≅ 0.09 m
a
α
Q 1
−3
7. Un palloncino sferico, pieno di aria, ha una massa di m = 4×
10 Kg
−6
ed è carico con una quantità Q
1
= 1.5×
10 C . Esso è appeso al soffitto
in modo in cui possa orbitare attorno ad una carica puntiforme negativa
Q2
ancorata al pavimento come in figura. Sapendo che l’angolo che il
filo forma con la verticale è α = 45°
, che il filo è lungo a = 2.5m
e
Q 2

che il palloncino compie 30 giri in un minuto, trovare il valore di Q
2
.
Risposta:
La forza elettrica F 12
che Q
2
esercita su Q
1
deve, assieme alla componente orizzontale della
tensione T del filo, fornire la forza centripeta affinché Q
1
compia 30 giri al minuto su di
un’orbita il cui raggio vale r = asin 45°
= 1.73 m .
Fotografando il moto sul piano del foglio, come in figura si ha
sull’asse verticale:
T cos α − mg = 0 da cui
mg
T = .
cosα
2
v
Sull’asse orizzontale abbiamo: T sin α + FE
= m .
r
T
α
Ricaviamo ora la velocità: sapendo che 30 giri al minuto sono 0.5 giri
in un secondo, il che corrisponde ad un periodo di 2 secondi, basterà
dividere la lunghezza 2πr
di un giro per 2 secondi ed avere che
2πr
v = = πr
m/s . Sostituendo abbiamo:
2
mg
sinα
cosα
1 | Q1Q
+
2
4πε
r
0
2
2
| π r
= m
r
che risolta rispetto a Q
2
produce:
2
mg
F E
| Q
2
2
2
4πε
0r
2 1.73
−3
2
| = ( mg tan α + mπ
r)
=
× 4×
10 (9.8 + 3.14 × 1.73) = 13.5×
10
9
− 6
Q
9×
10 × 1.5×
10
1
−6
C
e quindi
Q
2
= −13.5×
10
−6
C
8. Si hanno quattro sfere molto leggere, A, B, C e D
rivestite di una vernice conduttrice ed appese a dei fili
isolanti. La prima di esse, A, viene caricata
negativamente mentre lo stato di carica delle altre non è
noto. Si osserva che A attira B, C e D e che inoltre B e C
non mostrano alcun tipo di interazione fra loro. Da ultimo
abbiamo anche che B e C sono attratte da D. Dire quali
sono i rispettivi stati di carica.
Successivamente si accosta C ad A senza che vi sia
contatto, e, contemporaneamente la si tocca con il nostro
dito per un breve tempo. Una volta allontanata C da A
quale saranno le sue interazioni con le altre sfere
A B C D

Risposta:
L’evidenza sperimentale che B,C e D siano attratte da A negativa può significare due fatti: o
che siano tutte cariche positivamente oppure che siano neutre ed attratte per induzione.
Poiché però B e C non interagiscono se ne deduce che esse sono neutre, mentre D che attira
a sua volta due oggetti neutri, per induzione, ed un oggetto negativo, sarà carico
positivamente.
Quando accostiamo C neutro ad A negativo e tocchiamo con un dito C diventiamo tutto un
unico conduttore con esso e quindi verso il lato di C a ridosso di A si addensano cariche
positive mentre nel punto più lontano, cioè nei nostri piedi quelle negative. Quando
stacchiamo il dito C resterà carica positivamente, pertanto attirerà A, respingerà D ed attirerà
B per induzione.
9. Due sfere conduttrici identiche A e B sono vincolate a stare ferme molto lontano fra di loro,
in modo da poterle considerare puntiformi, e contengono un medesimo ammontare di carica
Q. Una terza sfera C scarica viene posta prima a contatto con A e poi senza scaricarla, con
B. Dopo che C viene allontanata come è variata la forza con la quale A e B interagiscono
rispetto alla forza iniziale F
Risposta:
Q
Quando C tocca A su entrambe si depositerà una carica pari a . Quando poi C tocca B, su
2
1 ⎛ Q ⎞ 3
ciascuna si depositerà la metà del totale di carica e cioè: QC
= QB
= ⎜ + Q⎟
= Q .
2 ⎝ 2 ⎠ 4
2
1 Q
Detta r la distanza fra A e B, la forza iniziale valeva F = , mentre quella finale
2
4πε
0 r
1 1 1 3 3
vale: Ffin = ⋅ Q ⋅ Q = F .
2
4πε
r 2 4 8
0
10. Due blocchi della stessa
massa sono uniformemente
carichi, il primo ha una carica
Q ed il secondo una carica 3Q
entrambe positive. La loro
distanza è tale che possiamo
considerarli puntiformi.
Sebbene i due blocchi si respingano per effetto della reciproca repulsione elettrica l’attrito
statico con il terreno, che ha un coefficiente µ
S
= 0. 8 , li costringe a stare fermi. Per ciascuno
dei due oggetti disegnare il diagramma di corpo libero che riporti le forze che agiscono su di
esso. Si faccia però attenzione alla lunghezza dei segmenti che si usano per raffigurare le

forze: si usi un criterio di proporzionalità in modo che una forza doppia sia rappresentata da
un segmento di lunghezza doppia e forze uguali da segmenti ugualmente lunghi.
Risposta:
forza vincolare
forza vincolare
forza elettrica
attrito attrito
forza elettrica
gravità
gravità
1. Su entrambi i corpi agisce la gravità, che a parità di massa avrà la stessa intensità, quindi i
due vettori della gravità hanno la stessa lunghezza.
2. Poiché non c’è accelerazione nella direzione verticale, il piano di appoggio deve esercitare
una forza vincolare diretta verticalmente ed uguale ed opposta alla gravità: anche in questo
caso i due vettori sono uguali per entrambi i blocchi ed uguali ai vettori della gravità.
3. Il blocco di sinistra è respinto dalla repulsione elettrica delle blocco di destra e viceversa. Le
due forze sono ovviamente uguali, come prevede il terzo principio della dinamica. Chi fosse
tentato di fare una delle due lunga il triplo dell’altra pensi che entrambe le intensità sono
1 | q1q2
|
ottenute dalla stessa formula: F = .
2
4πε
0 r
4. Il fatto che i blocchi siano fermi implica un attrito esattamente uguale alla forza elettrica e
quindi un attrito che è lo stesso per i due blocchi. Tuttavia è noto che l’attrito statico fra due
superfici varia da zero fino ad un valore massimo, pari al prodotto di µ
S
per la componente
normale al piano della forza vincolare. Non sappiamo se qui si sia in condizioni di massimo
attrito, tuttavia dato che µ
S
= 0.8 < 1 anche nel caso massimo, la forza di attrito deve essere
minore della forza normale, quindi disegneremo attrito e forza elettrica uguali fra loro ma
più corti della forza vincolare e della gravità.