Appunti di Meccanica Quantistica - INFN - Torino Personal pages

Appunti di Meccanica Quantistica
Contents
I. INTRODUZIONE 3
A. Cenni storici 3
B. Analisi dimensionale 5
C. Richiami sui fenomeni ondulatori 7
D. La radiazione di corpo nero 10
E. L’effetto fotoelettrico 16
F. L’effetto Compton 17
G. Il modello di Bohr 21
H. L’esperimento di Stern e Gerlach 21
I. Diffrazione di elettroni 21
J. L’esperimento della doppia fenditura 21
II. L’EQUAZIONE DI SCHROEDINGER 21
A. L’equazione di Schroedinger per una particella libera 21
B. Pacchetti d’onda 21
C. L’equazione di Schroedinger in presenza di forze conservative 21
D. Richiami sulle distribuzioni: la delta di Dirac 21
E. Calcolo di valori medi 21
F. Il teorema di Ehrenfest 21
G. L’equazione di continuità 21
H. Stati stazionari 21
1. Interpretazione probabilistica dell’espansione in stati stazionari 21
I. Buche di potenziale 21
1. La buca di potenziale simmetrica di altezza finita 21
2. La buca di potenziale simmetrica di altezza infinita 21
III. IL SISTEMA DELLE AUTOFUNZIONI 21
A. Richiami su spazi vettoriali e operatori 21

IV. POSTULATI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 21
A. Manipolazione formale degli operatori 21
B. Il commutatore fondamentale 21
C. Osservabili compatibili e principio di indeterminazione 21
V. L’OSCILLATORE ARMONICO 21
A. Stati coerenti 21
VI. PROBLEMI TRIDIMENSIONALI 21
A. Il gruppo delle rotazioni e gli operatori di momento angolare 21
B. L’equazione di Schroedinger per problemi con simmetria sferica 21
VII. SISTEMI DI PIÙ PARTICELLE 21
A. Sistemi a due corpi 21
B. L’atomo idrogenoide 21
C. Cenni sullo Spin 21
D. Sistemi di particelle identiche 21

I. INTRODUZIONE
A. Cenni storici
La Meccanica Quantistica (MQ) è la teoria fondamentale dei fenomeni fisici su scala atomica e
subatomica.
I dati sperimentali sui quali essa si basa derivano da eventi fisici che di solito (ma non sempre!)
sfuggono alla percezione umana. Non deve quindi sorprendere che la teoria contenga concetti estranei
all’esperienza quotidiana. Questi concetti tuttavia non comparvero nello sviluppo storico
della MQ prima che si fosse sviluppato un formalismo matematico completo. La necessità del
confronto tra i dati sperimentali e le predizioni della teoria, che è il test fondamentale di qualunque
teoria fisica da Galileo in poi, condusse in questo caso prima allo sviluppo del formalismo matematico
e poi alla sua interpetazione in termini fisici.
Fino all’inizio del 1900 la maggior parte dei fenomeni fisici osservati sperimentalmente trovavano
spiegazione in quella che oggi è nota come fisica teorica classica. Il moto degli oggetti veniva
spiegato con successo dalla meccanica newtoniana, tanto su scala terrestre (moto dei corpi) quanto
su scala celeste (moto dei pianeti). L’applicazione della meccanica newtoniana ai moti molecolari
produsse utili risultati nella teoria cinetica dei gas, che era in pieno svilupo all’inizio del ’900.
La scoperta dell’elettrone da parte di J.J. Thomson nel 1897 consistette proprio nel mostrare che
l’elettrone si comporta come una particella di Newton, ossia segue le leggi classiche della dinamica,
per cui gli allora cosiddetti “raggi catodici” non erano altro che fasci di elettroni. D’altra parte
la natura ondulatoria della luce, gia’ suggerita dagli esperimenti di diffrazione di Young nel 1803,
fu confermata dalla scoperta da parte di Maxwell (1864) della connessione tra fenomeni ottici e
fenomeni elettrici. Possiamo dire che alla fine del XIX secolo la fisica si basasse su due pilastri: la
meccanica newtoniana da un lato e le equazioni di Maxwell dall’altro.
Tuttavia un numero crescente di osservazioni sperimentali, legate soprattutto allo sviluppo di
modelli atomici e alla scoperta dei raggi X e della radioattività, rimaneva, all’inizio del ’900, difficile
da spiegare. Esistevano inoltre altri fenomeni che non erano facilmente comprensibili in termini
della meccanica classica. In particolare:
• la distribuzione spettrale della radiazione termica di corpo nero
• il calore specifico dei solidi a basse temperature
• il moto di una moleca biatomica a temperature ordinarie

Un contributo fondamentale alla comprensione di questi fenomeni fu dato nel 1900 da Max
Planck, che riuscí a spiegare lo spettro del corpo nero assumendo che la radiazione elettromagnetica
(e.m.) venisse assorbita ed emessa in quanti discreti, ciascuno dei quali porta una quantità
di energia
E = hν , (1)
dove ν è la frequenza della radiazione e h è una constante universale, detta costante di Planck.
L’idea di Planck fu ripresa più tardi da Einstein (1905) per spiegare alcune osservazioni sperimentali
dell’effetto fotoelettrico, ossia l’emissione di elettroni da parte di una superficie colpita
da radiazione elettromagnetica. Così Einstein stabilì il carattere duale della radiazione elettromagnetica,
che si comporta a volte come un’onda e a volte come un insieme di quanti corpuscolari,
in seguito denominati fotoni. La teoria venne ulteriormente confermata da A. Compton
(1923) che spiegò l’effetto Compton in termini un urto elettrone-fotone: la radiazione fa “rimbalzare”
un elettrone (proprio come farebbe una particella, e non un’onda) e cosṕerde energia.
Negli stessi anni si stabilì l’esistenza di valori discreti di alcuni parametri misurabili dei sistemi
atomici, grazie alle teorie di Einstein e Debye per i calori spefici dei solidi, la classificazione di Ritz
delle righe spettrali, l’esperimento di Franck e Hertz sulla perdita discreta di energia da parte di
elettroni nel loro urto con gli atomi e, più tardi, l’esperimento di Stern e Gerlach, che mostrò che
la componente del momento magnetico di un atomo lungo la direzione di un campo magnetico
esterno assume valori discreti.
Riassumendo, la fisica teorica del primo quarto del ventesimo secolo conteneva due nuove importantissime
informazioni, basate sugli esperimenti e sulla loro interpretazione, che non esistevano
nel 1900:
1. il carattere duale della radiazione elettromagnetica, che si comporta a volte come
un’onda a volte come una particella
2. l’esistenza di valori discreti (quantizzazione) di diverse osservabili fisiche.
Un’ulteriore inferenza teorica apparve nel 1924 con il suggerimento di Louis de Broglie che
anche la materia, oltre alla radiazione elettromagnetica, abbia carattere duale - di particella e
di onda. Più precisamente de Broglie suppose che la relazione tra l’impulso p di una particella e la
lunghezza d’onda λ dell’onda corrispondente fosse
λ = h p . (2)

Prima di allora tutte le evidenze sperimentali indicavano che la materia fosse composta di particelle
newtoniane discrete. In particolare si osservavano tracce di particelle cariche (come elettroni o
nuclei di elio) nelle camere a bolle (Wilson, 1911). Tuttavia poco dopo Davisson e Germer (1927)
e G.P. Thomson (1928) osservarono indipendentemente la diffrazione degli elettroni da parte
di un cristallo, confermando così l’ipotesi di de Broglie.
La relazione tra i principali esperimenti che portarono alla formulazione della MQ e le corrispondenti
inferenze teoriche è riassunta schematicamente in Tab.1. Nel seguito esamineremo in dettaglio
Fenomeno sperimentale
TABLE I:
Inferenza teorica
Spettro della radiazione di corpo nero Energia quantizzata in termini di pacchetti elementari (quanti)
E = hν (Planck, 1900)
Effetto fotoelettrico e effetto Compton
Energia elettromagnetica assorbita in quanti
(Einstein, 1905 e Compton, 1923)
Spettri atomici di emissione e di assorbimento Gli stati atomici formano un insieme discreto
(“righe spettrali”) Rydberg e Ritz, 1908 con energie quantizzate (Niels Bohr, 1913)
Diffrazione di elettroni su cristalli
Natura ondulatoria della materia
(esperimento delle ”doppia fenditura”)
(de Broglie) p = h/λ
alcuni di questi fenomeni. Prima però è utile un breve richiamo sull’importanza dell’analisi dimensionale
in Fisica. Inoltre, poiché in questo corso si trattera’ molto spesso di onde e radiazione, nella
Sezione I C richiameremo alcvune nozioni fondamentali sui fenomeni ondulatori.
B. Analisi dimensionale
• Le grandezze fisiche fondamentali sono tre:
1. lunghezza (dimensione=[L], unità di misura=m)
2. tempo (dimensione=[t], unità di misura=s)
3. massa (dimensione=[M], unità di misura=Kg)
• Tutte le altre grandezze hanno dimensioni derivate. Per esempio:
1. velocità v = ∆r [L]
∆t
, [v] =
[t]
(per semplicità indicato spesso come Lt −1 )
2. accelerazione a = ∆v [v]
∆t
, [a] =
[t]
= [L]
[t] 2
= Lt −2

3. forza F = ma, [F ] = [M][a] = [M][L]
[t] 2 = MLt −2 (1 N = 1 Kg · m · s −2 )
4. frequenza ν = 1/periodo, [ν] = t −1
Esercizio: determinare le dimensioni di pressione, densità volumica di energia, potenza.
• Solo grandezze omogenee, cioè aventi le stesse dimensioni, possono essere sommate o comparate.
Anche le “costanti” che appaiono nelle formule fisiche devono, a volte, essere “dimensionali”.
– Esempio 1: la costante elastica di una molla, κ, che compare nella legge di Hooke
⃗F = −κ⃗x, ha dimensioni
[κ] = [F ]
[L] = [M][L]
[t] 2 1
[L] = [M]
[t] 2 .
– Esempio 2: la costante di gravitazione universale G, che compare nella legge
ha dimensioni
F = G M 1M 2
r 2
[G] = [F ] [L]2
[M] 2 = [M][L]
[t] 2 [L] 2
[M] 2 =
[L]3
[M][t] 2
• Le funzioni trascendenti (esponenziali, trigonometriche, logaritmiche, iperboliche) devono
avere come argomento solo combinazioni adimensionali (dette “numeri puri”) di grandezze
fisiche.
Esempio: una legge del moto della forma x(t) = e −t non ha senso!
sarebbe invece x(t) = x 0 e −t/t 0
.
Una legge possibile
• Per poter scrivere delle equazioni ”universali” che colleghino tra loro grandezze disomogenee
è necessario che in natura esitano delle costanti universali dimensionali.
Ad esempio, per poter stabilire una identificazione tra la massa m di un corpo e un’energia E
è necessario che esista una costante dimensionale con le dimensioni di una velocità (velocità
della luce):
E = mc 2 , (3)
come risulta dall’analisi dimensionale: [E] = ML 2 t −2 = [m][c] 2 .

Esercizio: per poter ipotizzare una relazione (universale) di proporzionalità tra l’energia E
trasportata da un’onda e.m.
universale avremmo bisogno
di frequenza ν e la frequenza stessa, di che tipo di costante
Soluzione: E = hν → [h] = [E]
[ν]
= MLt−2
t −1
Planck) deve avere le dimensioni di una azione, cioè energia×tempo.
= MLt −1 . Quindi la costante h (costante di
C. Richiami sui fenomeni ondulatori
Un’onda è una perturbazione che si propaga nello spazio e nel tempo trasportando energia o
quantità di moto, senza necessariamente comportare uno spostamento di materia.
• Equazione di d’Alembert
Un tipico esempio di fenomeno ondulatorio sono le vibrazioni di una corda tesa disposta
lungo l’asse x e libera di oscillare nella direzione trasversale y. Lo spostamento trasversale
si propaga lungo la corda secondo l’equazione di d’Alembert
∂ 2 y(x, t)
∂t 2 = T ρ l
∂ 2 y(x, t)
∂x 2 ≡ v 2 ∂2 y(x, t)
∂x 2 , (4)
dove T è la tensione della corda, ρ l è la sua densità lineare e v = √ T/ρ l è la velocità di fase.
L’equazione di d’Alembert si applica a moltissimi fenomeni in cui si ha trasporto di energia
senza trasporto di materia (onde nell’acqua, onde di pressione (sonore), onde elettromagnetiche,
etc.). La sua soluzione generale è la somma di due funzioni
y(x, t) = f(x − vt) + g(x + vt) , (5)
associate rispettivamente alla propagazione verso destra e verso sinistra.
• Onde armoniche
Supponiamo che al tempo t = 0 si abbia
( ) 2π
y(x, 0) = A sin
λ x
(6)
La propagazione dell’onda avviene secondo la legge
[ ]
2π
y(x, t) = A sin
λ (x ± vt)
. (7)

FIG. 1: Onda stazionaria.
Sia T il periodo necessario per percorrere la lunghezza λ (dopo il quale l’onda si ripresenta
nella stessa forma). Si ha:
λ = vT → v λ = 1 T
= ν frequenza (8)
da cui segue
y(x, t) = A sin (kx ± ωt) , (9)
con
• Sviluppi di Fourier
k = 2π λ “numero d′ onda ′′ , ω = 2π
T = 2πν “frequenza angolare′′ (10)
– Poiché le onde sono soluzione di un’equazione lineare, vale il principio di sovrapposizione:
la combinazione lineare di due soluzioni è ancora soluzione.
– Ogni moto ondulatorio periodico si può scrivere come sovrapposizione (somma discreta)
di onde armoniche (sviluppo in serie di Fourier).
– Se il moto non è periodico, si può ancora decomporre in onde armoniche tramite un
integrale (invece che una somma discreta): la trasformata di Fourier.
– In generale, quindi, ogni onda si potrà scrivere come
∫
y(x, t) ∼ dkỹ(k) sin [kx ± ω(k)t] . (11)
La notazione “sloppy” di questa equazione indica che tutti e due i tipi di onda, progressiva
e regressiva (±) contribuiscono.

∗ se dω
dk
= 0, cioè ω è la stessa per ogni componente di frequenza, il mezzo si dice
non dispersivo
∗ se invece dω
dk
dispersione.
≠ 0, il mezzo è dispersivo e la funzione ω(k) è detta relazione di
• Intensità dell’onda
I = P/S è il rapporto tra la potenza irradiata dall’onda e la superficie perpendicolare alla
direzione di propagazione. L’intensità è proporzionale al quadrato dell’ampiezza dell’onda:
I ∝ A 2 .
• Interferenza
La sovrapposizione di onde armoniche diverse può dar luogo a onde “complesse”, con effetti a
volte molto particolari. L’ampiezza dell’onda risultante non è, in genere, uguale alla somma
delle ampiezze e si può avere interferenza distruttiva o costruttiva tra le onde.
Esempio: due onde con la stessa ampiezza, lunghezza d’onda e frequenza, ma con una certa
differenza di fase, o sfasamento φ:
si sommano per dare [ricordando che sin α + sin β = 2 sin
y 1 = A sin(kx − ωt − φ) (12)
y 2 = A sin(kx − ωt) (13)
( ) ( )
α+β
2
cos α−β
2
]
( ) ( φ
y 1 + y 2 = 2A cos sin kx − ωt − φ )
, (14)
2 2
( )
cioè un’onda di ampiezza risultante 2A cos φ
2
che è nulla se φ = π (interferenza distruttiva:
le due onde componenti si elidono).
• Onde stazionarie
Supponiamo di eccitare, in una corda tesa, due onde che si propagano in direzioni opposte:
y 1 = A sin(kx − ωt) (15)
y 2 = A sin(kx + ωt) (16)
La loro somma sarà
y 1 + y 2 = A [sin(kx − ωt) + sin(kx + ωt)] = 2A sin(kx) sin(ωt) (17)

che può essere vista come un’onda di ampiezza 2A sin(kx) che dipende dalla posizione e
di frequenza ω: il profilo dell’onda oscilla nel tempo ma i nodi e le posizioni di massimi
e minimi rimangono fissi, cioè non c’e’ propagazione lungo la direzione x (onda
stazionaria). Si può dimostrare che affinchè si formino onde stazionarie è necessario che
FIG. 2: Onda stazionaria a tre tempi diversi.
la lunghezza L della corda contenga un numero intero di mezze lunghezze d’onda:
L = n λ 2
, n intero (18)
ovvero che i due estremi della corda siano dei nodi.
D. La radiazione di corpo nero
Un corpo in equilibrio termico alla temperatura T emette radiazione elettromagnetica con uno
”spettro” (cioè una distribuzione delle frequenze - o, equivalentemente, delle lunghezze d’onda) che
dipende dalla temperatura (si pensi per esempio ad una sbarra di metallo che, riscaldata, cambia
colore).
• Consideriamo la quantità
E(ν, T )dν = energia emessa tramite radiazione dal corpo a temperatura T per unità di
superficie e di tempo (ossia la cosiddetta intensità di radiazione emessa) in un inetrvallo di
frequenze compreso tra ν e ν + dν.
Dimensionalmente [E] = EL −2 t −1 /[ν] = EL −2 (m · s −2 )
• Nel 1860 Kirchoff dimostrò, su basi termodinamiche molto generali, che il rapporto
I(ν, T ) = E(ν, T )
α(ν, T ) , (19)

dove α(ν, T ) è un numero puro appartenente all’intervallo [0, 1], uguale alla frazione di radiazione
incidente assorbita, a dati ν e T , dal corpo stesso, è universale, cioè non dipende dal
corpo.
• Il corpo nero (ideale) é un corpo per cui α = 1: tutta la radiazione incidente su di esso
viene assorbita.
Un corpo nero perfetto è realizzato all’interno di una cavità, in cui tutta la radiazione emessa
viene riassorbita. Lo spettro, secondo Kirchoff, sarà universale.
Per analizzare lo spettro si può immaginare di praticare un piccolo foro nella cavità, in modo
tale da poter esaminare la radiazione senza modificare significativamente il valore di α (la
probabilità che .
• La radiazione presente all’interno della cavità sarà sostanzialmente costituita di onde
stazionarie.
• La quantità che vogliamo calcolare è
ρ(ν, T ) dν = densità di energia (cioè energia per unità di volume) contenuta in onde
stazionarie di frequenza compresa tra ν e ν + dν.
• Tale quantità è legata in modo semplice all’intensità emessa attraverso la relazione
I(ν, T ) = c ρ(ν, T ) , (20)
4
dove c (velocità della luce) è la velocità di propagazione delle onde stazionarie e 1/4 è un
fattore geometrico.
Esercizio: si ricavino le dimensioni di ρ e I.
• Qual è la predizione classica per ρ(ν, T )
Poichè il numero di onde stazionarie all’interno del corpo nero è enorme, possiamo applicare
argomenti di meccanica statistica e scrivere:
ρ(ν, T ) dν = N(ν)E(ν, T )dν , (21)
dove
N(ν) = numero di onde stazionarie di frequenza ∈ [ν, ν + dν] per unità di volume e di
frequenza ([N] = L −3 /t −1 = L −3 t)
E(ν, T ) = energia media di un’onda di frequenza ν a temperatura T .

• Si può mostrare (considerando ad esempio come cavità un cubo di lato L) che
(Controllo dimensionale: [N] = t −2 /(L/t) 3 = L −3 t)
N(ν) = 8πν2
c 3 (22)
• Secondo la descrizione classica, ogni energia E è ammissibile e l’energia è distribuita secondo
la distribuzione di Boltzmann: e −E/k BT (k B = 1.38 × 10 −23 J/K = costante di Boltzmann).
Il valor medio dell’energia rispetto a questa distribuzione sarà
E =
∫ ∞
0
dEE e −βE
∫ ∞ , (23)
0
dE e−βE con β = 1
k B T
. Si noti che si è fatto l’integrale perché tutti i valori dell’energia tra 0 e ∞ sono
permessi. Quindi:
(
d ∫ ∞
dβ 0
dE e −βE)
E = − ∫ ∞
0
dE e −βE = − d ∫ ∞
dβ ln
0
dE e −βE = − d ( ∫ 1 ∞ )
dβ ln dx e −x = 1 β 0
β = k BT
(24)
in accordo con il teorema di equipartizione dell’energia. Quindi, classicamente, ogni possibile
onda stazionaria ha, in media, la stessa energia, indipendentemente dalla frequenza:
E(ν, T ) ≡ E(T ).
Sostituendo ora (22) e (24) in (21) otteniamo la legge classica di Rayleigh-Jeans:
ρ(ν, T ) dν = 8πν2
c 3 k B T dν . (25)
• Il risultato (25) è completamente assurdo e porta alla cosiddetta catastrofe ultravioletta.
Consideriamo infatti la densità totale E (cioè corrispondente a tutte le possibili frequenze)
di energia presente nel corpo nero a temperatura T . Questa sarà data dalla intensità totale
di emissione:
E =
∫ ∞
0
dνI(ν, T ) = c 4
∫ ∞
0
dνρ(ν, T ) ∝
∫ ∞
0
dνν 2 , (26)
che diverge a causa dei contributi delle alte frequenze ν → ∞ (alte frequenze corrispondono
a piccole lunghezze d’onda, λ = c/ν, da cui il nome di catastrofe ”ultravioletta”).
• La radice di questo disastro sta nel fatto che E = k B T è indipendente da ν. La divergenza
verrebbe eliminata se E contenesse una dipendenza da ν che ”taglia” le alte frequenze.

FIG. 3: Radiazione di corpo nero.
• Ovviamente, i dati sperimentali sulla radiazione di corpo nero, che oggi sono estremamente
precisi ed erano già molto precisi al tempo di Planck, mostrano un andamento completamente
diverso dal risultato classico a grandi ν. Infatti:
– la distribuzione, rappresentata schematicamente in Fig. 3, ha un massimo in corrispondenza
di una certa frequenza ν max ;
– la posizione del massimo, ν max , aumenta con la temperatura (legge dello spostamento
di Wien) (o, equivalentemente, la lunghezza d’onda del massimo diminuisce
con T , come illustrato in Fig. 4).
FIG. 4: Legge degli spostamenti di Wien.
– l’intensitá totale di energia emessa E = ∫ ∞
0
dνI(ν, T ) non diverge, ma segue la legge

di Stefan-Boltzmann
E = σT 4 (27)
[Esercizio: determinare le dimensioni della costante σ]
• Per ottenere una descrizione teorica corretta di questi fatti sperimentali occorre che l’energia
media E dipenda non solo dalla temperatura T , come predetto classicamente, ma anche dalla
frequenza ν, in modo tale che i contributi delle frequenze alte siano ”tagliati” nell’integrale.
Per questo è necessario che esista una costante h con dimensioni tali che si possa scrivere
tale relazione.
Fu proprio l’ipotesi che esista una costante di natura h, avente le dimensioni di un’azione
[h] = [E · t] , (28)
che portó Planck a formulare, nel 1900, una predizione teorica dello spettro di corpo nero
che riproduce perfettamente i dati sperimentali!
• L’ipotesi di Planck è che l’energia elettromagnetica non possa assumere con continuità qualsiasi
valore, ma debba essere multipla di un ”quanto” fondamentale di energia hν, con
[hν] = [E]. I valori possibili dell’energia formeranno quindi un insieme discreto:
E n = nhν , con n = 0, 1, 2, · · · (29)
• In questa ipotesi, ciò che cambia rispetto alla derivazione di Rayleigh-Jeans è il calcolo del
valor medio dell’energia per un’onda stazionaria di frequenza ν, che diventa ora:
(
∑ ∞n=0
E n e −βEn d ∑∞n=0 )
dβ
e −βEn
E = ∑ ∞n=0 = − ∑
e −βEn
∞n=0 = − d
( ∞
)
e −βEn dβ ln ∑
e −βEn . (30)
Sommando ora la serie geometrica (si noti che questo è possibile grazie all’ipotesi (29))
n=0
si ottiene
∞∑
∞∑
∞∑
e −βEn = e −βnhν =
(e −βhν) n 1 =
1 − e
n=0
n=0
n=0
−βhv (31)
E = d
dβ ln (
1 − e −βhν) = hνe−βhν
1 − e −βhν = hν
e βhν − 1 . (32)
• Si noti che

– per ν → 0 l’Eq. (32) tende alla legge classica di Rayleigh-Jeans (provare per esercizio):
E ∼ ν→0 k B T (33)
– le grandi frequenze sono esponenzialmente soppresse:
E ∼ ν→∞ e −βhν . (34)
• Inserendo ora l’espressione di Planck per E nella densità di energia (21) si ottiene
ρ(ν, T ) = 8πν2
c 3
hν
e βhν − 1 , (35)
un’espressione che tende a quella di R-J per piccole frequenze, ma ne differisce completamente
per alte frequenze. Per ν → ∞ si ottiene ora:
ρ(ν, T ) ∼ ν→∞
8πhν 3
c 3 e −βhν , (36)
in accordo con l’osservazione sperimentale. Il fit della curva sperimentale fornisce il valore
numerico della costante di Planck:
h = 6.63 × 10 −34 J · s (37)
• Dall’espressione (32) si ottiene facilmente la legge degli spostamenti di Wien.
posizione del massimo si ottiene annullando la derivata di ρ rispetto a ν:
Infatti la
dρ
dν = 8πh
c 3
d
dν
ν 3
e βhν − 1 = 0 (38)
da cui segue
3ν 2
e βhν − 1 − ν3 βhe βhν
(e βhν − 1) 2 = 0 → 3(eβhν − 1) − βhνe βhν = 0 → e βhν (3 − βhν) = 3 , (39)
un’equazione trascendente risolta da βhν max ≃ 2.82, ovvero
ν max ≃ 2.82k B
T (40)
h
La frequenza del massimo cresce linearmente con la temperatura.

• La legge di Stefan-Boltzmann si ricava immediatamente dalla legge di Planck, che permette
anche di stabilire il valore numerico di σ. Infatti:
con
N ≡
=
= −
∫ ∞
E(T ) =
0
∞∑
∫ ∞
m=1 0
∞∑
∫ ∞
0
= 2π
c 2 1
h 2 ∫ ∞
I(ν, T ) dν = c 4
(
dx x
βh β
0
∫ ∞
∫
dx
x3 ∞
∫ ∞
e x − 1 = dxx 3
1 − e −x = dxx 3 e −x
m=1
0
dxx 3 e −mx =
d 3
d(m) 3 1
m = ∞ ∑
m=1
∞∑
m=1
ρ(ν, T ) dν = c ∫
8π 1 ∞
0
4 c 3 h 2 dν
(hν)3
0 e βhν − 1
) 3
1
e x − 1 = 2π 1
c 2 h 3 (k BT ) 4 N (41)
e −x
dove si è introdotta la funzione ζ di Riemann.
d 3
0
∫ ∞
d(−m) 3 dxe −mx = −
0
∞ ∑
n=0
∞∑
m=1
e −nx =
∫ ∞
0
d 3
d(m) 3 1
m
dxx 3
∫ ∞
0
∑ ∞ e −mx
m=1
dye −y
3!
= 6 ζ(4) = 6π4
m4 90 = π4
15 , (42)
La costante di Stefan-Boltzmann vale quindi
(Esercizio: controllare le dimensioni di σ.)
σ = 2π5 k 4 B
15c 2 h 3 ≃ 5.6710−8 Jm −2 s −1 K −4 . (43)
E. L’effetto fotoelettrico
L’esistenza della costante universale h, il suo valore numerico e la necessità di assumere la
quantizzazione dello scambio di energia elettromagnetica vennero confermate dalla spiegazione che
Einstein, nel 1905, riuscì a dare dell’effetto fotoelettrico (misurato per la prima volta da Hertz nel
1887). Questo consiste nell’emissione di elettroni da parte di un materiale (per esempio un metallo,
ma anche un solido non metallico, un liquido o un gas) colpito da radiazione elettromagnetica
di alta frequenza (piccola lunghezza d’onda), come ad esempio la radiazione ultravioletta. Con
un dispositivo che misura la corrente creata dagli elettroni emessi (“fotoelettroni”) in seguito
all’irradiazione di una superficie metallica, si osserva che:
1. al di sotto di una certa frequenza critica ν 0 - che dipende dal metallo - non vengono emessi
elettroni (corrente nulla);
2. la massima energia cinetica degli elettroni emessi non dipende dall’intensità della radiazione
incidente, ma solo dalla sua frequenza;

FIG. 5: Rappresentazione schematica dell’effetto fotoelettrico.
3. il numero di elettroni emessi (ovvero l’intensità della corrente emessa) è proporzionale
all’intensità della radiazione incidente.
Mentre l’ultima proprietà è attesa anche classicamente, le prime due non si possono spiegare se
si assume (come in fisica classica) che l’assorbimento della radiazione sia un fenomeno continuo e
cumulativo. Infatti se così fosse anche per bassissime frequenze incidenti gli elettroni potrebbero
assorbire energia sino a liberarsi dagli atomi. Invece si osserva una soglia minima di frequenza.
La spiegazione di Einstein (che gli valse il Premio Nobel nel 1921) è basata sui seguenti punti:
• gli elettroni sono legati al metallo e posseggono quindi un’energia negativa −V 0 (detta energia
di ionizzazione)
• essi assorbono energia in quanti di energia hν
• si liberano solo se hν > V 0 , con energia cinetica massima T max = hν − V 0 , indipendente
quindi dall’intensità della radiazione. In questo modo si spiega l’esistenza di una frequenza
di soglia: la minima frequenza per cui si possono liberare è
ν 0 = V 0
h
(Controllo dimensionale: [V 0 ]/[h] = E/(Et) = t −1 = [ν].)
(44)
Esaminiamo ora un altro importante fenomeno che mise in crisi la fisica classica, l’effetto Compton.
F. L’effetto Compton
• Nel 1922 Arthur Compton osservò per la prima volta che i raggi X (quindi radiazione elettromagnetica)
diffusi nell’urto contro elettroni liberi variano la loro frequenza in modo dipen-

FIG. 6: Effetto Compton
dente dall’angolo di diffusione θ.
• Classicamente la frequenza della radiazione elettromagnetica non dovrebbe cambiare.
• Se però la radiazione è composta da fotoni (cioè quanti del campo e.m., usualmente indicati
con γ) di energia E = hν, il processo può essere trattato come un urto elastico relativistico.
• Ricordiamo che una particdella relativistica di massa m è caratterizzata da un quadri-impulso
( ) E
p µ =
c , ⃗p
(45)
la cui “norma minkowskiana”
p µ p µ = E2
c 2 − |⃗p|2 = m 2 c 2 (46)
è un invariante relativistico, cioè è uguale in tutti i sistemi di riferimento collegati da trasformazioni
di Lorentz. In particolare nel sistema di riferimento (S.R.) in cui la particella è a
riposo si ha:
p µ =
( Erest
c
)
,⃗0
→
E2 rest
c 2 = m 2 c 2 → E rest = mc 2 (47)
• I fotoni hanno massa nulla m γ = 0 e quindi si muovono alla velocità della luce:
Eγ
2
c 2 − |⃗p γ| 2 = 0 → E2 γ
c 2 = |⃗p γ| 2 → |⃗p γ | = E γ
c
(48)
• Se assumiamo che essi siano quanti con energia E γ = hν abbiamo dunque
|⃗p γ | = hν
c , (49)
cioè anche l’impulso del fotone è legato alle caratteristiche ondulatorie della radiazione.

• Studiamo ora l’urto elastico tra γ e e − ponendoci nel S.R. in cui l’elettrone, prima dell’urto,
è fermo: ⃗p e = 0.
Prima dell’urto:
per l’elettrone e
⃗p e = 0 (50)
E 2 e
c 2 − |⃗p e| 2 = m 2 e c2 → E e = m e c 2 (51)
E γ = hν (52)
|⃗p γ | = E (
γ
= h )
→ |⃗p γ | 2 c 2 = Eγ 2 (53)
c λ
per il fotone. Dopo l’urto l’impulso dell’elettrone sarà ⃗p ′ e e la sua energia E ′ e tale che:
mentre per il fotone avremo
E ′ 2
e
c 2 − |⃗p′ e |2 = m 2 e c2 → E ′ 2
e = |⃗p ′ e |2 c 2 + m 2 e c4 , (54)
E ′ 2
γ = |⃗p ′ γ| 2 c 2 . (55)
Imponiamo ora la conservazione di energia e impulso:
E γ + m e c 2 = E ′ γ + E ′ e (56)
⃗p γ + ⃗p e = ⃗p ′ γ + ⃗p ′ e → ⃗p ′ e = ⃗p γ − ⃗p ′ γ . (57)
Dalla conservazione dell’energia si ricava:
E γ − E ′ γ + m e c 2 = E ′ e → quadrando (58)
(E γ − E ′ γ) 2 + m 2 ec 4 + 2m e c 2 (E γ − E ′ γ) = E ′ 2
e (59)
Eγ 2 + 2
E′ γ − 2E γ E γ ′ + m2 e c4 + 2m e c 2 (E γ − E γ ′ ) = m2 c 4 + |⃗p ′ e |2 c 2 (60)
( )
Eγ 2 + 2
E′ γ − 2e γ E γ ′ + 2m ec 2 (E γ − E γ ′ ) = |⃗p γ − ⃗p ′ γ |2 c 2 = c 2 |⃗p γ | 2 + |⃗p ′ γ |2 − 2|⃗p γ ||⃗p ′ γ | cos θ
E 2 γ + E ′ 2
γ − 2E γ E ′ γ cos θ (61)
da cui segue
m e c 2 (E γ − E γ) ′ = E γ E γ(1 ′ − cos θ) → E γ − E γ
′
E γ E γ
′ = 1 (1 − cos θ)
m e c2 (62)
1
− 1 = 1 (1 − cos θ)
E γ m e c2 (63)
E ′ γ

ovvero, ricordando che E γ = hν e E ′ γ = hν ′ ,
o anche, usando λ = c/ν,
λ − λ ′ =
1
ν ′ − 1 ν =
h (1 − cos θ) (64)
m e c2 h
m e c 2 (1 − cos θ) ≡ λ c(1 − cos θ) . (65)
Nell’ultima equazione abbiamo introdotto la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone
λ c ≡
h
m e c
(66)
Si noti che per θ = 0 (il fotone prosegue in avanti) la lunghezza d’onda non cambia (“la luce
non cambia colore”), mentre per θ = π (luce riflessa all’indietro) si ha la massima variazione
di lunghezza d’onda: ∆λ = 2λ c .
Questa formula va perfettamente d’accordo con i dati sperimentali. Ció dimostra che la
radiazione elettromagnetico, in determinate corcostanze, si comporta come un fascio di particelle
relativistiche (fotoni) con energia E = hν, come ipotizzato da Panck per spiegare la
radiazione di corpo nero.

G. Il modello di Bohr
H. L’esperimento di Stern e Gerlach
I. Diffrazione di elettroni
J. L’esperimento della doppia fenditura
II.
L’EQUAZIONE DI SCHROEDINGER
A. L’equazione di Schroedinger per una particella libera
B. Pacchetti d’onda
C. L’equazione di Schroedinger in presenza di forze conservative
D. Richiami sulle distribuzioni: la delta di Dirac
E. Calcolo di valori medi
F. Il teorema di Ehrenfest
G. L’equazione di continuità
H. Stati stazionari
1. Interpretazione probabilistica dell’espansione in stati stazionari
I. Buche di potenziale
1. La buca di potenziale simmetrica di altezza finita
2. La buca di potenziale simmetrica di altezza infinita
III.
IL SISTEMA DELLE AUTOFUNZIONI
A. Richiami su spazi vettoriali e operatori
IV.
POSTULATI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
A. Manipolazione formale degli operatori
B. Il commutatore fondamentale
C. Osservabili compatibili e principio di indeterminazione
V. L’OSCILLATORE ARMONICO