Formulario di Onde - INFN - Torino Personal pages

Formulario di Onde
O.1 Proprietà elastiche dei solidi (per piccole deformazioni)
Legge di Hooke: F = k|∆l|
Energia potenziale elastica:
U = 1 2 k(∆l)2
Carico specifico o sforzo: σ = F A , la forza F è applicata perpendicolarmente
alla superficie A
Allungamento lineare o deformazione specifica: ε = ∆l
l 0
Modulo di Young o modulo di elasticità: Y = σ ε = kl 0
A
∆l = εl 0 = σ Y l 0
(
l = l 0 + ∆l = l 0 1 + σ )
Y
l 0 = lunghezza a riposo
∆l = allungamento sotto l’effetto di σ
Un solido che, sottoposto alla forza F, subisce una deformazione longitudinale ∆l, subisce
anche una deformazione trasversale ∆r tale che: ∆r/r = −ν(∆l/l), dove ν è il coefficiente
di Poisson (0 < ν < 0.5, caratteristico di ogni materiale).
Modulo di rigidità o di taglio: G =
Deformazione per scorrimento:
Y
2(1 + ν)
σ = F A = Gθ
F è applicata tangenzialmente alla superficie A
θ = angolo di deformazione
Deformazione (di una sbarra cilindrica) per torsione:
M = kθ
k = π 2 Gr4 l
M = momento torcente
θ = angolo di torsione
r, l = raggio e lunghezza della sbarra
Modulo di compressibilità isoterma: β T =
Compressione uniforme (a temperatura costante):
Y
3(1 − 2ν)
∆V
V
= −∆p β T
O.2 Equazione delle onde (equazione di d’Alembert) in tre dimensioni
∂ 2 ξ
∂x 2 + ∂2 ξ
∂y 2 + ∂2 ξ
∂z 2 = 1 ∂ 2 ξ
v 2 ∂t 2
v è la velocità di propagazione.
Vale il principio di sovrapposizione: una qualsiasi combinazione lineare di soluzioni è, a sua
volta, una soluzione dell’equazione delle onde.
Soluzione generale in una dimensione:
ξ(x, t) = ξ 1 (x − vt) + ξ 2 (x + vt)
ξ 1 = onda progressiva
ξ 2 = onda regressiva
1

O.3 Propagazione delle onde nei mezzi materiali
Onde elastiche longitudinali in una sbarra solida sottile
√
Y Y = Modulo di Young
velocità di propagazione: v =
ρ ρ = densità di massa
Onde elastiche trasversali/torsionali in una sbarra solida
velocità di propagazione: v =
√
G
ρ
G = Modulo di rigidità
ρ = densità di massa
Onde elastiche in una corda tesa
velocità di propagazione: v =
Onde elastiche in una membrana tesa
√
T
velocità di propagazione: v =
ρ Σ
√
T
ρ l
T = Tensione
ρ l = densità lineare di massa
T = Tensione superficiale (forza per
unità di lunghezza)
ρ Σ = densità superficiale di massa
Onde in un gas
p 0 = pressione media
T = temperatura assoluta
R = costante dei gas
γ = costante adiabatica
Modulo di compressibilità:
Per un gas ideale (pV = nRT):
ρ 0 = densità di massa media
V = volume
A = massa molare
n = numero di moli
β = −V dp
dV = ρdp dρ
Modulo di compressibilità
{ isoterma: βT = p
adiabatica: β S = γp
√
β
velocità di propagazione dell’onda: v =
Nelle situazioni più comuni la propagazione di un’onda in un gas avviene in condizioni
adiabatiche, quindi β → β S :
√
√ √
β S γp0 γRT
v = = =
ρ 0 ρ 0 A
ρ 0
Onde sulla superficie di un liquido
velocità di propagazione:
v =
√ (gλ
2π + 2πτ
ρλ
)
tanh 2πh
λ
λ = lunghezza d’onda
ρ = densità del liquido
h = profondità del liquido
τ = tensione superficiale
g = accelerazione di gravità
2

O.4 Onde armoniche
Onda piana armonica progressiva
ξ(x, t) = ξ 0 sin ( k(x − vt) + φ ) = ξ 0 sin(kx − ωt + φ)
ξ 0 = ampiezza (costante)
k = numero d’onda [unità di mis.: rad/m]
ω = pulsazione [unità di mis.: rad/s]
kx − ωt + φ = fase (φ = costante arbitraria)
f = frequenza
T = 1 f = periodo
ω = kv
λ = 2π k
T = 2π ω
ω = 2πf
λ = vT = v f
v = λ T = λf
Altre espressioni equivalenti:
ξ(x, t) = ξ 0 sin(kx − ωt + φ) = ξ 0 sin
=
[ ]
2π
ξ 0 sin
λ (x − vt) + φ = ξ 0 sin
[ ( x
2π
λ − t )
T
[ 2π
T
]
+ φ
=
]
( x
v − t )
+ φ
Le espressioni per un’onda armonica regressiva si ottengono dalle precedenti con la sostituzione
(x − vt) → (x + vt)
Onda armonica piana in tre dimensioni
ξ(⃗r, t) = ξ 0 sin( ⃗ k · ⃗r − ωt) ⃗ k · ⃗r = kx x + k y y + k z z λ = 2π
| ⃗ k|
Potenza di un’onda armonica
In una corda tesa:
spostamento: s = Asin(kx − ωt)
potenza istantanea (T = tensione) :
densità lineare di energia meccanica:
potenza media:
P = −T ∂s ∂s
∂x ∂t = TA2 ωk cos 2 (kx − ωt)
w l = dU mecc
dx
= 1 2 ρ lω 2 A 2
P m = 1 2 TωkA2 = 1 2 v2 ρ l ωkA 2 = 1 2 ρ lω 2 A 2 v = w l v
Intensità: I = P m = w l v [unità di mis.: W]
In una sbarra solida o in un gas (Σ = sezione della sbarra o del tubo di gas)
spostamento: s = Asin(kx − ωt)
potenza istantanea:
P = ρω 2 A 2 vΣ cos 2 (kx − ωt)
densità (volumica) di energia meccanica: w τ = 1 2 ρω2 A 2
potenza media: P m = 1 2 ρω2 A 2 vΣ = w τ vΣ
Intensità: I = 1 ( )
dUmecc
= P m
Σ dt Σ = w τv
m
Su una superficie (membrana elastica o superficie di un liquido)
[unità di mis.:
W
m 2 ]
potenza media: P m = w Σ vl (w Σ = densità superficiale di energia meccanica, l = sezione
lineare dell’onda)
Intensità: I = 1 ( )
dUmecc
= P m
W
= w Σ v [unità di mis.:
l dt l
m ]
m
3

Onda sonora in un gas
Onda di spostamento: s = Asin(kx − ωt)
potenza media:
Onda di pressione:
∆p = −β ∂s
∂x = ρ 0vωAsin
(∆p) max = ρ 0 vωA = 2πρ 0 fvA
Intensità:
P m = 1 2 βωkA2 Σ = 1 2 ρ 0ω 2 A 2 vΣ = w τ vΣ
(
kx − ωt − π )
= −ρ 0 vωAcos(kx − ωt)
2
I = w τ v = 1 2 ρ 0ω 2 A 2 v = (∆p)2 max
2ρ 0 v
livello sonoro: B = 10 log I I 0 = soglia di udibilità
I 0 log = logaritmo decimale.
Velocità del suono in aria (p = 1 atm, T = 20 ◦ C): c s = 343 m/s
Onde sferiche (armoniche)
ξ(r, t) = ξ 0
r
sin(kr − ωt)
Potenza media: P m = I(r)Σ(r) = 4πCξ 2 0
(onda progressiva)
C = costante, dipende
dalla natura dell’onda
Intensità: I(r) = P m
Σ(r) = P m
4πr 2 = I 0
r 2
Onda sferica sonora:
∆p = ρ 0vωA
cos(kr − ωt) I(r) = 1 r
2 ρω2A2 r 2 v
I 0 = P m
4π
Onde cilindriche (armoniche)
ξ(r, t) = ξ 0
√ r
sin(kr − ωt)
(onda progressiva)
Potenza media: P m = I(r)Σ(r) = Cξ 2 0 2πh
C = costante, dipende
dalla natura dell’onda
Intensità:
I(r) = P m
Σ(r) = I 0
r
O.5 Analisi di Fourier
Funzione di una variabile f(u) periodica con periodo U: f(u + U) = f(u).
f(u) = a 0 +
∞∑
m=1
(
)
a m cos(mwu) + b m sin(mwu)
w = 2π
U
a 0 = 1 U
∫ U
0
f(u)du
b m = 2 U
Funzione non periodica: f(u) =
a(w) = 1 π
∫ ∞
∫ U
0
∫ ∞
0
a m = 2 U
∫ U
0
f(u)sin(mwu)du
f(u)cos(mwu)du
[
]
a(w)cos(wu) + b(w)sin(wu) dw
−∞
f(u)cos(wu)du b(w) = 1 π
∫ ∞
−∞
f(u)sin(wu)du
4

O.6 Battimenti:
Sovrapposizione di due onde armoniche con diversa frequenza (stessa ampiezza)
s 1 = Asin(ω 1 t) s 2 = Asin(ω 2 t)
( ) ( )
ω1 − ω 2 ω1 + ω 2
s = s 1 + s 2 = 2Acos t sin t = 2Acos(Ωt)sin(ωt)
2 2
Frequenza di battimento (modulazione di ampiezza percepita da un osservatore quando le
frequenze sono molto simili tra loro):
f b = |f 1 − f 2 | = |ω 1 − ω 2 |
2π
O.7 Effetto Doppler
c s : velocità del suono nel mezzo
v T velocità del trasmettitore (sorgente), diretta verso destra
v R velocità del ricevitore (osservatore), diretta verso destra
Per v T < c s , v R < c s :
Se il ricevitore precede il trasmettitore:
c s − v R
f R = f T
c s − v T
⃗v
T
T
✲
⃗v
R
R
✲
Se il trasmettitore precede il ricevitore:
c s + v R
f R = f T
c s + v T
⃗v
R
R
✲
⃗v
T
T
✲
Per velocità dirette verso sinistra basta cambiare il segno nelle formule precedenti.
Se le velocità ⃗v R e ⃗v T non sono dirette lungo la congiungente trasmettitore-ricevitore, nelle
formule precedenti bisogna usare le componenti delle velocità lungo la congiungente stessa.
O.8 Onda d’urto
Per v T > c s , angolo di semiapertura del cono sonico:
numero di Mach = v T
c s
sinθ = c s
v T
O.9 Pacchetti d’onda
∆k∆x ≥ 2π ∆ω∆t ≥ 2π ∆f∆t ≥ 1
Si definisce la relazione di dispersione (relazione tra la frequenza angolare e la lunghezza
d’onda: ω(k) = v f (k)k
Velocita’ di fase: v f = ω/k.
Se v f è costante (cioè indipendente da k), il mezzo è non dispersivo: tutte le onde,
indipendentemente da λ, hanno la stessa velocità di propagazione.
Se v f dipende da k il mezzo è dispersivo. Il pacchetto si deforma e avanza con la velocità
di gruppo:
v g = dω
dk = v f + k dv f
dk = v f − λ dv f
dλ = v f + f dv f
df
In un mezzo non dispersivo v g = v f .
O.10 Interferenza
Nel punto P giungono due onde emesse (stessa frequenza e lunghezza d’onda), rispettivamente,
da una sorgente a distanza x 1 e da un’altra a distanza x 2 da P,
ξ 1 (P, t) = A 1 cos(ωt − kx 1 − φ 1 ) = A 1 cos(ωt + α 1 )
5

ξ 2 (P, t) = A 2 cos(ωt − kx 2 − φ 2 ) = A 2 cos(ωt + α 2 )
ξ(P, t) = ξ 1 (P, t) + ξ 2 (P, t) = Acos(ωt + α)
A =
√
A 2 1 + A2 2 + 2A 1A 2 cos(α 1 − α 2 ) =
√
A 2 1 + A1 2 + 2A 1A 2 cosδ
tan α = A 1 sin α 1 + A 2 sin α 2
A 1 cosα 1 + A 2 cosα 2
Interferenza costruttiva: δ = α 1 − α 2 = 2nπ n = 0, ±1, ±2, . . .
Interferenza distruttiva: δ = α 1 − α 2 = (2n + 1)π n = 0, ±1, ±2, . . .
Intensità:
I(P) = I 1 + I 2 + 2 √ I 1 I 2 cosδ
Nel caso particolare di due onde di uguale ampiezza A 1 = A 2 = A 0 :
A = 2A 0 cos δ 2
α = α 1 + α 2
2
I = 4I 0 cos 2 δ 2
O.11 Onde stazionarie
Onde stazionarie unidimensionali
s(x, t) = Asin kxcosωt
Corda tesa di lunghezza L con gli estremi entrambi fissi, colonna di gas chiusa ad
entrambe le estremità (o aperta ad entrambe le estremità):
Serie armonica: f m = m v
2L = mf 1, λ m = 2L m , k m = m π m = 1, 2, . . .
L
Se la corda (o colonna di gas) ha gli estremi in x = 0 e x = L:
posizione dei ventri: x = (2m ′ + 1) λ 4 = (2m′ + 1) π ⎫
⎪⎬
2k
posizione dei nodi: x = m ′ λ 2 = π ⎪⎭ m′ = 0, 1, 2, . . .
m′
k
Corda tesa di lunghezza L con un’estremità libera ed una fissa, colonna di gas con
un’estremità chiusa ed una aperta:
Serie armonica:
f m = (2m + 1) v
4L = (2m + 1)f 1, λ m = 4L , m = 0, 1, 2, . . .
2m + 1
Onde stazionarie in due dimensioni
Membrana rettangolare tesa, tensione T (forza per unità di lunghezza, [N/m]), densità
superficiale di massa σ. All’equilibrio la membrana è ferma sul piano xy (z = 0), investita
da un’onda vibra in direzione z.
La velocità di propagazione è v = √ T/σ
Onde stazionarie:
z(x, y, t) = Asin(k x x)sin(k y y)sin(ωt)
(L x e L y sono le lunghezze della membrana in direzione x e y)
√
√
Vettori d’onda: k nx,n y
= kx 2 + ky 2 n 2 x
= π
L 2 + n2 y
x L 2 = 2π
y λ nx,n y
√
Frequenze di vibrazione: f nx,n y
= v
2π k n x,n y
= v n 2 x
2 L 2 + n2 y
x L 2 y
π π
k x = n x , k y = n y
L x L y
n x , n y = 1, 2, 3 . . .
6

Formulario di Fluidi
F.1 Pressione
p = F F = forza perpendicolare alla superficie S.
S
∫
Lavoro della pressione: W = p dV V = Volume
Equilibrio statico di un fluido: ⃗ ∇p = ρ ⃗ f
ρ = densità di massa del fluido
⃗f = forza sull’unità di massa
Se la forza è conservativa: ⃗ f = − ⃗ ∇U1 U 1 = en. pot. dell’unità di massa
F.2 Legge di Stevino
Equilibrio in presenza della forza peso per un fluido incompressibile:
p(h) = p 0 + ρgh
dove: h =profondità (misurata dalla superficie, h crescente verso il basso)
p 0 = pressione sulla superficie (pressione esterna)
ρ = densità di massa del fluido, costante
g = accelerazione di gravità, costante
Pressione atmosferica isoterma (p/ρ =costante, g = costante):
p(z) = p 0 e −z/α α = p 0
gρ 0
z = altezza, crescente verso l’alto
p 0 , ρ 0 = pressione e densità a z = 0
Unità di misura: 1 atm = 101325 Pa = 760 Torr=760mmHg, 1 bar = 10 5 Pa
F.3 Spinta di Archimede o spinta idrostatica
⃗F A = −ρ fluido V corpo ⃗g
F.4 Liquido in rotazione
Superficie di equilibrio:
Gradienti di pressione:
z = ω2
2g r2 + h
∂p
∂z = −ρg
∂p
∂r = ρω2 r
ω = velocità angolare
r = distanza dall’asse di rotazione
h = profondità del liquido a r = 0
F.5 Forza di attrito interno
F = ηS dv
dn
η = viscosità [unità di mis.: 1 poise=0.1ms kg = 0.1 decapoise]
S = superficie di contatto
= gradiente di velocità in direzione ortogonale a S
dv
dn
Fluido ideale: η = 0
F.6 Portata
Portata in volume: Q = vS
Portata in massa: Q m = ρvS
Regime stazionario per un fluido ideale:
Q = vS = costante
v = velocità del fluido
S = sezione del tubo di flusso
7

F.7 Legge di Bernoulli (fluido ideale, incompressibile)
p + 1 2 ρv2 + ρgz = costante
p, v = pressione e velocità del liquido
ρ = densità del liquido (uniforme)
z = altezza, crescente verso l’alto
F.8 Fluido reale (η ≠ 0)
Moto laminare in regime stazionario:
Profilo di velocità del fluido in un condotto cilindrico di lunghezza L e raggio R:
v(r) = p 1 − p 2
4ηL (R2 − r 2 )
Legge di Hagen-Poiseuille: Q = πR4
8η
Velocità media sulla sezione del condotto:
Caduta di pressione per unità di lunghezza:
p 1 − p 2
L
p 1 = pressione del fluido in entrata
p 2 = pressione del fluido in uscita
r = distanza dall’asse del cilindro
v m = Q
πR 2 = R2 (p 1 − p 2 )
8ηL
∆p
L = p 1 − p 2
= 8η
L R 2 v m
Moto vorticoso
Numero di Reynolds: R = vdρ
η
Transizione da regime laminare a vorticoso: in generale dipende dalla geometria;
per condutture cilindriche: R c ∼ 2000
Caduta di pressione per unità di lunghezza (conduttura cilindrica, regime turbolento):
∆p
L = k ρ
2R v2 m
(k = coeff. di resistenza)
Moto di un corpo in un fluido
Resistenza del mezzo per un oggetto sferico (raggio R), in regime laminare:
Legge di Stokes:
Portanza:
F = 2Aρv∆v
F res = 6πηRv
A = superficie alare (parallela al moto)
v = velocità relativa media
v + ∆v = velocità del fluido sopra l’ala
v − ∆v = velocità del fluido sotto l’ala
F.9 Fenomeni di superficie (liquidi)
Tensione superficiale (energia per unità di superficie libera): τ, caratteristica del liquido
[unità: N/m]
Lavoro per modificare superficie libera di un liquido:
dW = τdS
Pressione di una superficie sferica (raggio R):
p τ = 2τ R
Bolla di sapone:
∆p = p int − p est = 4τ R
Altezza del liquido in un tubo capillare:
h =
2τ cosα
ρgR
R = raggio del tubo
α = angolo di contatto
(α = 0 se il liquido bagna le pareti)
8

Formulario di Termodinamica
Punto triplo dell’acqua: T triplo = 273.16 K.
Conversione tra gradi Celsius e gradi Kelvin (temperatura assoluta): t( ◦ C) = T(K)−273.15
Conversione tra Caloria e Joule: 1 cal = 4.186 J
T.1 Calorimetria
Capacità termica di un corpo: C = ¯dQ
dT
Calore specifico: c m = C m = 1 ¯dQ
m dT
Calore specifico molare: c = 1 ¯dQ
n dT
(capacità termica dell’unità di massa)
(capacità termica di una mole di sostanza)
m = massa che cambia fase
Cambiamenti di fase:
Q = mλ
λ = calore latente
NB: il simbolo ¯d indica un differenziale non esatto, infatti la quantità di calore scambiato
ed i calori specifici dipendono dal tipo di trasformazione.
T.2 Conduzione del calore
Legge di Fourier:
∆Q = −k dT
dx S∆t
Passaggio di calore da un solido ad un fluido
(Solido a temperatura T, fluido a temperatura T 0 )
Legge di Newton:
∆Q = h(T − T 0 )S∆t
k = conducibilità termica
dT/dx = gradiente di temperatura
S = superficie attraversata dal calore
∆t = intervallo di tempo
h = conducib. termica esterna
S = superficie di contatto
∆t = intervallo di tempo
Irraggiamento
Potere emissivo ε: energia emessa dall’unità di superficie nell’unità di tempo.
e = emissività (0 < e < 1)
Legge di Stefan-Boltzmann: ε = σeT 4 (e = 1: superficie nera)
σ = 5.67 · 10 −8 J/(m 2 sK 4 )
T = temperatura assoluta
T.3 Dilatazione termica di solidi e liquidi
Coefficiente di dilatazione lineare: λ = 1 l
∆l
∆T
∆l = λl∆T l = l 0
(
1 + λ(T − T0 ) )
Coefficiente di dilatazione volumica: α = 1 ∆V
V ∆T
(
∆V = αV ∆T V = V 0 1 + α(T − T0 ) )
Per materiali isotropi: α = 3λ.
T.4 I principio della Termodinamica
In un sistema che compie una trasformazione vale la relazione seguente tra: variazione di
energia interna ∆U, calore scambiato Q e lavoro scambiato W:
Q = ∆U + W
Q > 0 se ceduto dall’esterno al sistema
W > 0 se compiuto dal sistema sull’esterno
9

T.5 Energia interna U
• In una trasformazione A → B: ∆U non dipende dal tipo di trasformazione ma solo dagli
stati A e B: ∆U = U B − U A (funzione di stato).
• In una trasformazione in cui il sistema torna nello stato iniziale: ∆U = 0
• Trasformazione infinitesima: ¯dQ = dU + ¯dW
• Trasformazione adiabatica: ¯dQ = 0, Q = 0, ⇒ W = −∆U
• Trasformazione reversibile: in ogni stato intermedio il sistema è in equilibrio termico e
meccanico con l’esterno.
• Trasformazione irreversibile: il sistema passa attraverso stati di non equilibrio.
T.6 Gas ideali
Numero di Avogadro: N A = 6.02214 · 10 23 molecole/mol
Costante dei gas: R = 8.314 J/mol K
Costante di Boltzmann: k B = R N A
= 1.3807 · 10 −23 J/K
p = pressione del gas V = volume T = temperatura assoluta
n = numero di moli N = numero di molecole m = massa di una molecola
A = massa molare M = massa del gas ρ = densità del gas
A = mN A N = nN A M = mN ρ = mN
V
= M V
Equazione di stato dei gas ideali:
pV = nRT pV = Nk B T pA = ρRT
Lavoro compiuto dal gas in una trasformazione
∫
p
W = p est dV
est =pressione esterna, cioè la forza per unità
di superficie che si oppone dall’esterno al gas
Se la trasformazione è reversibile: p est = p(V ) = p gas
∫ ∫ nRT
W rev = p(V )dV =
V dV
Se la trasformazione è irreversibile ma la pressione esterna è nota e costante:
W = p est ∆V
Calore specifico molare di un gas ideale
volume costante (trasf. isocora): c V = 1 ( ) ¯dQ
n dT
V
pressione costante (trasf. isobara): c p = 1 ( ) ¯dQ
= 1 n dT
p
n
( ) dH
dT
p
gas ideali monoatomici: c V = 3 2 R = 12.47 J
mol K , c p = 5 2 R = 20.79 J
mol K
Relazione di Mayer:
gas ideali biatomici: c V = 5 2 R = 20.79 J
mol K , c p = 7 2 R = 29.10 J
mol K
Costante adiabatica:
R = c p − c V
γ = c p
c V
γ > 1 c V = R
γ − 1
10
c p = γR
γ − 1

gas ideali monoatomici: γ = 5 3
gas ideali biatomici: γ = 7 5
Coefficiente di compressibilità β:
1
β = − 1 dV
V dp
Compressibilità isoterma di un gas ideale: β T = p
Compressibilità adiabatica di un gas ideale: β S = γp
Energia interna di un gas ideale
dU = nc V dT
c V = 1 n
dU
dT
U = nc V T + cost.
Trasformazioni
• Trasformazione adiabatica dallo stato A allo stato B:
Q = 0 ⇒ W = −∆U = −nc V ∆T = −nc V (T B − T A ) = p AV A − p B V B
γ − 1
Trasformazione adiabatica reversibile:
TV γ−1 = cost. pV γ = cost. Tp 1−γ
γ
= cost.
• Trasformazione isoterma dallo stato A allo stato B:
T A = T B ⇒ ∆U = 0 Q = W p A V A = p B V B = nRT
Trasformazione isoterma reversibile:
W =
∫ B
A
pdV = nRT log V B
V A
• Trasformazione isocora dallo stato A allo stato B:
V A = V B ⇒ W = 0 Q = ∆U = nc V (T B − T A )
p A
= p B
= nR
T A T B V
• Trasformazione isobara dallo stato A allo stato B:
p A = p B ⇒ Q = nc p (T B − T A ) W = p A (V B − V A ) = nR(T B − T A )
∆U = Q − W = nc V (T B − T A )
V A
T A
= V B
T B
= nR p
Entalpia: H = U + pV dH = nc p dT H = funzione di stato.
• Trasformazione ciclica:
∆U ciclo = 0
Rendimento di una macchina termica:
Q ciclo = W ciclo
Q ciclo = Q assorbito + Q ceduto = Q assorbito − |Q ceduto |
W ciclo = W compiuto + W subito = W compiuto − |W subito |
η = W ciclo
Q assorb
= Q ciclo
Q assorb
= 1 − |Q ced|
Q assorb
0 < η < 1
Efficienza (o coefficiente di prestazione) di un ciclo frigorifero: ξ = Q assorb
|W ciclo|
NB: l’efficienza di un ciclo frigorifero è anche detta “coefficiente frigogeno” e indicata, oltre
che con la lettera ξ, anche con ε o K.
• Ciclo di Carnot ABCDA (T 2 > T 1 ):
AB: espansione isoterma reversibile a T = T 2 :
Q AB = W AB = nRT 2 log VB
V A
= Q assorb
11

BC: espansione adiabatica reversibile: Q BC = 0 , T 2 V γ−1
B
CD: compressione isoterma reversibile a T = T 1 :
DA: compressione adiabatica reversibile: Q DA = 0 , T 2 V γ−1
A
Rendimento: η Carnot = 1 − T 1
T 2
Efficienza a funzionamento inverso (frigorifero): ξ Carnot = T 1
T 2 − T 1
= T 1 V γ−1
C
Q CD = W CD = nRT 1 log VD
V C
= T 1 V γ−1
D
= Q ced
Teoria cinetica dei gas ideali
pressione:
p = Nm v 2
V 3 = 2 N
3 V E k
Energia cinetica media di una molecola:
E k = 1 2 m v2 = 3 2 k BT
Equipartizione dell’energia: ogni grado di libertà ha energia media = 1 2 k BT
Legge di Dalton per le miscele di gas:
p = ∑ i p i = RT
V
∑
i n i
Distribuzione delle velocità di Maxwell
N 0 = numero di molecole di gas, T = temperatura assoluta
Distribuzione di una componente della velocità:
√ m
dN(v x ) = N 0
2πk B T e−mv2 x /2kBT dv x
Distribuzione del modulo della velocità:
( ) 3/2 m
dN(v) = N 0 4πv 2 e −mv2 /2k BT dv
2πk B T
√
2kB T
Velocità più probabile: v p =
m
Velocità media: v m = √ 2
√
8kB T
v p = π πm
√
√ √
3
Velocità quadratica media: v q = v 2 =
2 v 3kB T
p =
m
Libero cammino medio:
(d = diametro delle molecole, n = N0
V
= num. di molec. nell’unità di volume)
λ =
1
√
2π n d
2 =
k BT
√
2π p d
2
Viscosità: η = 1 3 nmv qλ =
T.7 Gas reali
mv q
3 √ 2πd 2
Equazione di stato dei gas reali (Van der Waals)
) (p + a n2
n = numero di moli
V 2 (V − nb) = nRT
a, b = parametri tipici del gas
(p + a )
ν 2 (ν − b) = RT
ν = V = volume specifico molare
n
T c , p c , ν c = coordinate termodinamiche del punto critico
p c ν c = 3 8 RT c a = 3 ν 2 c p c b = ν c /3
Formula di Clapeyron :
12

(trasform. da stato 1 a stato 2, ν i = vol. spec. mol., λ = calore latente)
dT
dp = T(ν 2 − ν 1 )
λ
Teoria cinetica dei gas reali
a = αN 2 A,
b = 4 √ 2πN A r 3
dp
dT = λ
T(ν 2 − ν 1 )
α = coeff. dipendente da forze intermolecolari
r = raggio delle molecole
Energia interna di un gas reale:
dU = nc V dT + na
V 2 dV
U = nc V T − na
V + cost.
T.8 II principio della Termodinamica
Teorema di Carnot: data una macchina termica che lavora scambiando calore con due
sorgenti termiche a temperatura T 1 e T 2 > T 1 :
η rev = η Carnot = 1 − T 1
T 2
η irrev < η Carnot
Teorema di Clausius: data una macchina termica che lavora scambiando calore con n
sorgenti termiche (sia Q i il calore scambiato con l’i-esima sorgente a temperatura T i ):
n∑ Q i
≤ 0 (l’uguaglianza vale per cicli reversibili)
T i
i=1
Nel limite in cui il numero di sorgenti diventa infinito:
∮ ¯dQ
T = 0 (rev.) ∮ ¯dQ
T < 0 (irrev.)
T.9 Entropia S
S = funzione di stato. In una trasformazione dallo stato A allo stato B:
∆S = S A − S B =
NB: qualunque sia la trasformazione tra lo stato A e lo stato B, l’integrale nella formula
precedente va calcolato lungo una trasformazione reversibile qualsiasi che lega i due
stati.
In una trasformazione adiabatica reversibile: ∆S = 0 (per l’universo od un sistema isolato).
∫ B
In una trasformazione ciclica il sistema torna nello stato iniziale:
l’ambiente esterno può avere ∆S (ciclo)
amb = 0 (trasf. rev.) oppure ∆S (ciclo)
amb
quindi
∆S (ciclo)
= universo ∆S(ciclo) + ∆S (ciclo)
= ∆S (ciclo)
sist amb amb
A
¯dQ
T
= 0, mentre
> 0 (trasf. irrev.),
∆S (ciclo)
sist
{
= 0 trasf. rev.
> 0 trasf. irrev.
Scambio di calore Q tra due sorgenti a temperature T 1 e T 2 > T 1 :
∆S 1 = Q T 1
∆S 2 = − Q T 2
∆S universo = ∆S 1 + ∆S 2 > 0
Corpo di massa m e calore specifico c m a temperatura iniziale T 1 messo a contatto con
sorgente di calore a temperatura T 2 :
∆S corpo = mc m
∫ T2
Cambiamento di fase:
T 1
dT
T = mc m log T 2
T 1
∆S sorgente = − mc m(T 2 − T 1 )
T 2
∆S universo = ∆S corpo + ∆S sorgente > 0
∆S = mλ
T
(λ = calore latente)
13

Entropia di un gas ideale: S = nc V log T + nR log V + cost.
Variazione di S in una trasformazione tra lo stato A e lo stato B (tutte le espressioni seguenti
sono equivalenti):
∫ B
) (¯dQ
∆S = S B − S A =
= nc V log T B
+ nR log V B
= nc V log T BV γ−1
B
T
T A V A T A V γ−1
A
rev
In particolare, per una trasformazione
= nc V log p B
p A
+ nc p log V B
V A
= nc V log p BV γ B
p A V γ A
= nc p log T B
− nR log p B
= nc p log T Bp (1−γ)/γ
B
T A p A T A p (1−γ)/γ
A
A
isoterma:
isocora:
isobara:
S B − S A = nR log V B
V A
= −nR log p B
p A
S B − S A = nc V log T B
T A
= nc V log p B
p A
S B − S A = nc p log T B
T A
= nc p log V B
V A
Entropia di un gas reale:
(b = parametro dell’eq. di Van der Waals)
S = nc V log T + nR log(V − b) + cost.
Energia inutilizzabile
E inut = T min ∆S universo
T min =
Temperatura minima delle sorgenti
coinvolte nel processo
Formula di Boltzmann
S = k B log N + cost.
N= numero di configurazioni del sistema
T.10 III principio della Termodinamica
lim ∆S rev = 0 S(T = 0) = 0
T →0
Calore specifico molare (c X = c V o c p ): c X = 1 ( ) ¯dQ
= 1 ( ) ∂S
n dT
X
n ∂ log T
X
lim c X(T) = 0
T →0
T.11 Potenziali termodinamici
Entalpia libera: G = U + pV − TS (equilibrio: G minima)
Energia libera: F = U − TS (equilibrio: F minima)
Entalpia: H = U + pV (equilibrio: H minima)
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