Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e ...

Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e sociale 1
Prova scritta di ammissione
Traccia n. 1
Si svolga la traccia tenendo presente che il punteggio pieno si raggiunge con 3 esercizi.
Esercizio 1 (Economia matematica). Una funzione f :]a, b[→ R è detta:
quasi convessa se per ogni t ∈ R l’insieme di livello L(f, t) = {x ∈]a, b[ tale chef(x) ≤
t} è un intervallo;
fortemente convessa se per ogni x, y ∈]a, b[ e per ogni t ∈]0, 1[ si ha
f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(x) − t(1 − t)|x − y| 2 .
1. Provare che f è quasi convessa se e solo se per ogni x, y ∈]a, b[ e per ogni t ∈ [0, 1]
si ha
f(tx + (1 − t)y) ≤ max{f(x), f(y)}.
2. Provare che f è fortemente convessa se e solo se f(x) − x 2 è convessa.
3. Confrontare tra loro i concetti di funzione convessa, quasi convessa e fortemente convessa,
fornendo per ciascuna implicazione la dimostrazione, o un controesempio
atto a confutarlo.
4. Se f è derivabile in ]a, b[ stabilire se l’implicazione f ′ (x o ) = 0 =⇒ x o = argminf
sussiste per funzioni fortemente convesse, convesse, quasi convesse.
Esercizio 2 (Statistica Descrittiva). Spesso i dati delle indagini ISTAT sulle grandi
imprese vengono pubblicati in forma aggregata e riportano, fra l’altro, la distribuzione
delle imprese di un certo settore per classi di investimenti fissi fornendo, per ciascuna
classe i, la frequenza n i , l’ammontare degli investimenti X i e quella del prodotto interno
lordo Y i . Supponendo di ritenere che, a livello di singola impresa, il prodotto interno
lordo y j , a meno di variazioni casuali, sia una funzione degli investimenti x j secondo
√
la funzione β 0 + β 1 xj , indicare come si possono determinare i parametri β 0 e β 1
della funzione interpolatrice a partire dai dati aggregati, commentando brevemente
circa la perdita di accuratezza dovuta all’uso dei dati aggregati. Indicare, inoltre,
con quale approssimazione si può determinare il grado di accostamento della funzione
interpolatrice.
Esercizio 3 (Inferenza Statistica). Si consideri un modello per una variabile risposta
binaria Y e due variabili esplicative X 1 e X 2 in cui:
• Y è pari a 1 se un soggetto ha acquistato un certo prodotto nell’ultimo mese e a
0 altrimenti;

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• X 1 è una variabile dummy per il sesso del soggetto (pari a 0 per i maschi e a 1
per le femmine);
• X 2 è il reddito del soggetto.
Il modello si basa sull’assunzione che per ogni soggetto i nel campione, con i = 1, . . . , n,
Y i ha distribuzione di Bernoulli con parametro
p i = exp(β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 )
1 + exp(β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 ) . (1)
1. Si fornisca un’interpretazione dei parametri β 0 , β 1 e β 2 (sugg.: si consideri l’-
effetto delle variabili esplicative sulla probabilità p i e sulla funzione log[p i /(1 −
p i )]);
2. si indichino i possibili vantaggi e svantaggi del modello di cui sopra rispetto a un
modello lineare basato sull’assunzione
p i = β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 , i = 1, . . . , n;
3. si consideri un modello semplificato in cui si ignora la variabile X 2 e si assume
quindi che
p i = exp(β 0 + β 1 x i1 )
1 + exp(β 0 + β 1 x i1 ) ;
per questo modello si ricavi lo stimatore di massima verosimiglianza di β 0 e β 1 ;
4. supponendo che il modello vero (da cui sono generati i dati) sia basato sull’assunzione
(1), si descriva il comportamento che ci si attende relativamente agli
stimatori di β 0 e β 1 di cui al punto precedente (è sufficiente fornire argomentazioni
puramente intuitive).
Esercizio 4 (Finanza Matematica). Si consideri un mercato costituito da due titoli
rischiosi con tassi di rendimento
( )
I1
I = .
I 2
Sia
Σ = cov(I) =
( 2 −2
−2 5
la matrice di varianza-covarianza di I e E 1 = E[I 1 ] = 10% e E 2 = E[I 2 ] = 15% i tassi
di rendimento attesi dei due titoli.
1. Verificare che Σ sia definita positiva.
2. Determinare rendimento atteso e varianza del rendimento di un portafoglio equipartito
tra i due titoli, composto cioé dal 50% del capitale investito sul primo titolo
e dal 50% investito sul secondo titolo.
)

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3. Determinare la composizione, in termini di percentuale di capitale da investire
in ciascuno dei due titoli, del portafoglio con rendimento atteso pari al 12%.
4. Determinare la composizione, in termini di percentuale di capitale da investire
in ciascuno dei due titoli, del portafoglio a varianza minima.
5. Definiamo l’insieme A dei portafogli ottenibili tramite combinazione lineari dei
due titoli (A viene solitamente chiamato Insieme delle Opportunità). Disegnare
l’insieme A nel piano media-varianza (E, σ 2 ).
6. Cosa si intende per Frontiera Efficiente? Indicarla graficamente e scriverne
l’equazione nel piano media-varianza.
7. Si consideri ora la possibilità di investire anche al tasso privo di rischio I 3 =
i = 5%. Indicare, in tale caso, la Frontiera Efficiente. Dopo aver determinato
la matrice di varianza covarianza dei rendimenti dei tre titoli, si determini la
composizione del portafoglio efficiente che ha rendimento atteso ¯r = 12%.
Esercizio 5 (Economia).
1. Si consideri una generica funzione di produzione Cobb-Douglas f(x 1 , x 2 ) = Ax a 1 xb 2 .
Se a = 0.75 e b = 0.35, i rendimenti (produttività) marginali dei due fattori di
produzione (x 1 e x 2 ) sono crescenti o decrescenti? Cosa si può dire invece dei
rendimenti di scala?
2. Un monopolista si trova di fronte ad una curva di domanda definita dalla relazione
D(p) = 100 − 2p. Considerando che i costi di questa impresa sono c(y) = y 2
(dove y è il livello di output prodotto dall’impresa), si determini il livello ottimo
di output prodotto (ovvero quello che massimizza i profitti) e il corrispondente
livello dei prezzi praticati dall’impresa.

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Prova scritta di ammissione
Traccia n. 2
Si svolga la traccia tenendo presente che il punteggio pieno si raggiunge con 3 esercizi.
Esercizio 1 (Economia matematica). Sia f : R → R una funzione tale che |f| sia
integrabile in senso generalizzato, e poniamo g = arctan f.
1. Provare ∫
che il prodotto fg è integrabile in senso generalizzato e fornire una stima
+∞
di
∣ fgdt
∣ .
−∞
2. Se invece si scegliesse g = f sarebbe ancora vero che fg è integrabile in senso
generalizzato?
3. Se 0 ≤ ϕ ≤
∞∑
n=1
1
n(n + 1) χ [n,n+1[, mostrare che ϕ è integrabile in senso generalizzato,
e stabilire quale è il più grande tra i numeri π ∫ +∞
2 e ϕ arctan ϕdt.
Esercizio 2 (Statistica Descrittiva). Si supponga di dover determinare la curva di
concentrazione rispetto al fatturato all’interno di un certo settore utilizzando dati
aggregati che forniscono, per ciascuna classe di fatturato, la frequenza n i e l’ammontare
del fatturato. Si commenti brevemente sul confronto fra la curva di concentrazione
che si sarebbe ottenuto partendo dai dati disaggregati (unitari), quella basata sulla
distribuzione aggregata descritta sopra e quella che si sarebbe ottenuto supponendo
uniforme distribuzione all’interno delle classi.
Esercizio 3 (Inferenza Statistica). Si consideri il seguente modello lineare semplice:
1
Y = α + β 1 x 1 + ε (2)
con ε ∼ N(µ, σ 2 ). I parametri del modello α, β 1 , µ, σ 2 sono incogniti. Per la loro stima,
si dispone di un campione casuale di n osservazioni (y i , x i1 ), i = 1, . . . , n.
1. si verifichi che i parametri µ e α non sono stimabili dai dati, ma è stimabile
solamente la loro somma;
2. si derivi la stima di massima verosimiglianza del modello, sotto il vincolo µ = α.
Si supponga, ora, che la variabile Y non sia direttamente osservabile, ma sia osservabile
solo attraverso il segno. Sia Y ∗ = 1[Y > 0], in cui 1[A] è la funzione che vale 1 se
l’evento A si verifica e 0 altrimenti. Si supponga di avere osservato un campione casuale
di n osservazioni (y ∗ i , x i1), con i = 1, . . . , n.
3. Si derivi, in base al modello (2), la probabilità P (Y ∗ = 1 | x 1 ) (si ponga µ = 0);

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4. si scriva la funzione di log-verosimiglianza del campione;
5. si dica se le stime di massima verosimiglianza dei coefficienti α e β 1 ottenute dal
campione (y i , x i1 ) sono più o meno precise di quelle basate sul campione (y ∗ i , x i1)
(è sufficiente fornire argomentazioni intuitive).
Esercizio 4 (Finanza Matematica). Si consideri un modello di mercato binomiale su
due periodi in cui valgono le usuali ipotesi di mercato perfetto e in cui sono trattati
due titoli, uno rischioso e uno non rischioso. Il prezzo del titolo rischioso in t = 0 sia
S 0 = 100. Il coefficiente di rialzo del titolo rischioso sul singolo periodo sia a = 1.1,
quello di ribasso b = 0.9. Il fattore montante sul singolo periodo del titolo non rischioso
sia m = 1.05. Sul mercato è trattata una opzione digitale scritta in t = 0 sul titolo
rischioso, con scadenza in t = 2 e prezzo d’esercizio K = 100 (un’opzione digitale paga
1 se S 2 > K e 0 se S 2 ≤ K).
1. Si determinino le probabilità risk neutral di ribasso e di rialzo.
2. Che cosa rappresentano le probabilità risk-neutral?
3. Si determini il prezzo di non arbitraggio dell’opzione.
4. Si determini, in ogni nodo, la composizione e il valore della strategia replicante
l’opzione.
5. Si dia la definizione di strategia autofinanziante e si verifichi, con i dati dell’esercizio,
che la strategia replicante ottenuta al punto precedente sia autofinanziante.
Esercizio 5 (Economia).
1. Si consideri una generica funzione di produzione Cobb-Douglas f(x 1 , x 2 ) = Ax a 1 xb 2 .
Per quali valori di a e b i rendimenti di scala sono rispettivamente crescenti,
costanti e decrescenti? Rendimenti di scala crescenti sono compatibili con rendimenti
(produttività) marginali decrescenti dei due fattori di produzione (x 1 e
x 2 )?
2. Un monopolista si trova di fronte ad una funzione inversa di domanda definita
dalla relazione p = 100 − 2y. Considerando che i costi di questa impresa sono
c(y) = y 2 (dove y è il livello di output prodotto dall’impresa), si determini il
livello ottimo di output prodotto (ovvero quello che massimizza i profitti) e il
corrispondente livello dei prezzi praticati dall’impresa.

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Prova scritta di ammissione
Traccia n. 3
Si svolga la traccia tenendo presente che il punteggio pieno si raggiunge con 3 esercizi.
Esercizio 1 (Economia matematica). Dato un insieme H, una relazione ≽ è detta un
preordine se gode delle proprietà :
- riflessiva, cioè x ≽ x per ogni x ∈ H;
- transitiva, cioè se x ≽ y e y ≽ z, allora x ≽ z.
Un ordinamento è una relazione di preordine che gode anche della proprietà
- antisimmetrica, cioè se x ≽ y e y ≽ x, allora x = y.
Infine un ordinamento è totale se per ogni coppia di elementi x, y ∈ H risulta x ≽ y o
y ≽ x.
1. Se H = C([a, b]) è lo spazio delle funzioni continue nell’intervallo [a, b] stabilire tra
le seguenti relazioni quali sono preordini, quali sono ordinamenti e quali sono
ordinamenti totali:
- f ≽ 1 g ⇐⇒ max f ≥ max g;
- f ≽ 2 g ⇐⇒ max(g − f) ≤ 0;
- f ≽ 3 g ⇐⇒
- f ≽ 4 g ⇐⇒
∫ β
α
∫ β
α
fdt ≥
fdt ≥
∫ β
α
∫ β
α
gdt per ogni α, β ∈ [a, b];
gdt per ogni α, β ∈ [a, b], con α ≤ β.
2. Stabilire se, per una fissata g ∈ H, il sottoinsieme
F g = {f ∈ H : f è una primitiva di g}
è totalmente ordinato rispetto a ≽ 4 .
Esercizio 2 (Statistica Descrittiva). Per il collettivo dei comuni di una certa regione,
si deve calcolare un indicatore della distanza fra il comune e il capoluogo di regione. Si
decide di calcolare l’indicatore come una media del tempo di percorrenza in automobile
e in treno. Per ogni comune i si conosce: (1) il percorso stradale, in km, dal capoluogo,
distinto in percorso su strada statale Z i e su altre strade W i e (2) il tempo di percorrenza
in treno X i . Per convenzione, si decide che la velocità media di percorrenza su strada
statale è 90 km/h mentre la velocità media su altre strade è 30 km/h. Si proceda al
calcolo dell’indicatore di distanza attraverso una media opportuna delle informazioni
precedenti, mettendo in evidenza di quali proprietà dei valori medi gode la media da
voi scelta. Si supponga adesso che la velocità media su strada statale sia di 80 km/h
anziché 90 km/h, mentre quella su altre strade sia di 40 km/h anziché 30 km/h. Si

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dica per quali tipologie di comuni l’indicatore precedente porta ad una sovrastima del
tempo medio di percorrenza.
Esercizio 3 (Inferenza Statistica). Si consideri una variabile continua Y la cui distribuzione
segue un modello mistura di due normali con stessa varianza (modello 1).
La funzione di densità di questa distribuzione è pari a:
f(y; µ 1 , µ 2 , σ 2 ) = πφ(y; µ 1 , σ 2 ) + (1 − π)φ(y; µ 2 , σ 2 ), (3)
dove π è la probabilità della prima componente e φ(y; µ, σ 2 ) indica la funzione di
densità della distribuzione normale N(µ, σ 2 ).
Si consideri poi un modello (modello 2) per una variabile binaria Z e la variabile
continua Y basato sulle seguenti assunzioni: (i) Z ha distribuzione di Bernoulli con
parametro π; (ii) condizionatamente a Z = z, Y ha distribuzione N(µ 1 , σ 2 ) per z = 1
e N(µ 2 , σ 2 ) per z = 0.
1. Si dimostri che i due modelli sono equivalenti (per quanto riguarda la distribuzione
di Y );
2. alla luce del punto precedente si indichi un possibile contesto di applicazione
del modello mistura e un meccanismo di generazione di valori casuali di Y dalla
distribuzione con densità (3);
3. supponendo di conoscere i parametri µ 1 , µ 2 e σ 2 , si ricavi la distribuzione di Z
condizionatamente a Y e si indichi come questa distribuzione può essere utilizzata
per classificare un soggetto (ossia attribuire un soggetto alla prima o alla seconda
componente avente distribuzione normale);
4. supponendo di osservare sia Z che Y per un campione di n soggetti, si ricavi lo
stimatore di massima verosimiglianza di µ 1 , µ 2 e σ 2 .
Esercizio 4 (Finanza Matematica). Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in
cui valgono le usuali ipotesi di mercato perfetto. Ad ogni istante t sono trattati sul
mercato Zero Coupon Bond unitari (ZCB) (cioè con valore facciale pari a uno) con
maturity 1 o 2 anni, ai prezzi v(t, t + τ), con τ = 1, 2.
1. Si determini il portafoglio composto da ZCB che replica un titolo a cedola fissa,
emesso in t = 0, scadenza in t = 2 anni, cedola I a periodicità annuale. Si
determini di conseguenza il valore di non arbitraggio del titolo.
2. Si determini il portafoglio replicante di un titolo a cedola variabile indicizzata al
tasso di mercato i(t, t + 1), emesso in t = 0, scadenza in t = 2 anni, cedola a
periodicità annuale. Si sottolinei se il portafoglio replicante è statico o dinamico
e, nel caso sia dinamico, se è autofinanziante. Si determini di conseguenza il
valore di non arbitraggio del titolo.

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3. Si indichi con r k lo yield to maturity in t = 0 relativo alla maturity t k , cioè
v(0, t k ) = exp(−r k t k ).
Se la struttura dei tassi subisce uno spostamento parallelo di ampiezza h, il valore
attuale di un flusso di importi x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) sullo scadenzario (t 1 , t 2 , . . . , t n )
è dato da
n∑
V (h) = x k exp(−(r k + h)t k ).
k=1
Definire la Duration del flusso x, mostrare che relazione ha con V (h) e illustrarne
brevemente il significato.
4. Utilizzando la relazione mostrata al punto precedente, calcolare la Duration del
titolo a cedola variabile.
5. Si scriva l’espressione della Duration di un portafoglio composto da una percentuale
w 1 di capitale investita nel titolo a cedola fissa e da una percentuale w 2
di capitale investita nel titolo a cedola indicizzata in termini delle Duration dei
due titoli.
6. Si determini infine la percentuale ¯w 1 da investire nel titolo a cedola fissa (di
conseguenza la percentuale da investire nel titolo a cedola indicizzata è ¯w 2 =
1 − ¯w 1 ) in modo che il portafoglio abbia Duration pari a un valore fissato ¯D.
Esercizio 5 (Economia).
1. Si consideri una generica funzione di produzione Cobb-Douglas f(x 1 , x 2 ) = Ax a 1 xb 2 .
Se a = 1/3 e b = 3/4, i rendimenti (produttività) marginali dei due fattori di
produzione (x 1 e x 2 ) sono crescenti o decrescenti? Cosa si può dire invece dei
rendimenti di scala?
2. Un monopolista si trova di fronte ad una curva di domanda definita dalla relazione
D(p) = 100 − 2p. Considerando che i costi di questa impresa sono c(y) = F + cy
(dove y è il livello di output prodotto dall’impresa, c è il costo marginale e F è un
costo fisso, indipendente dalla quantità prodotta), si determini il livello ottimo
di output prodotto(ovvero quello che massimizza i profitti) e il corrispondente
livello dei prezzi praticati dall’impresa.