Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e ...

Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e sociale 2
• X 1 è una variabile dummy per il sesso del soggetto (pari a 0 per i maschi e a 1
per le femmine);
• X 2 è il reddito del soggetto.
Il modello si basa sull’assunzione che per ogni soggetto i nel campione, con i = 1, . . . , n,
Y i ha distribuzione di Bernoulli con parametro
p i = exp(β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 )
1 + exp(β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 ) . (1)
1. Si fornisca un’interpretazione dei parametri β 0 , β 1 e β 2 (sugg.: si consideri l’-
effetto delle variabili esplicative sulla probabilità p i e sulla funzione log[p i /(1 −
p i )]);
2. si indichino i possibili vantaggi e svantaggi del modello di cui sopra rispetto a un
modello lineare basato sull’assunzione
p i = β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 , i = 1, . . . , n;
3. si consideri un modello semplificato in cui si ignora la variabile X 2 e si assume
quindi che
p i = exp(β 0 + β 1 x i1 )
1 + exp(β 0 + β 1 x i1 ) ;
per questo modello si ricavi lo stimatore di massima verosimiglianza di β 0 e β 1 ;
4. supponendo che il modello vero (da cui sono generati i dati) sia basato sull’assunzione
(1), si descriva il comportamento che ci si attende relativamente agli
stimatori di β 0 e β 1 di cui al punto precedente (è sufficiente fornire argomentazioni
puramente intuitive).
Esercizio 4 (Finanza Matematica). Si consideri un mercato costituito da due titoli
rischiosi con tassi di rendimento
( )
I1
I = .
I 2
Sia
Σ = cov(I) =
( 2 −2
−2 5
la matrice di varianza-covarianza di I e E 1 = E[I 1 ] = 10% e E 2 = E[I 2 ] = 15% i tassi
di rendimento attesi dei due titoli.
1. Verificare che Σ sia definita positiva.
2. Determinare rendimento atteso e varianza del rendimento di un portafoglio equipartito
tra i due titoli, composto cioé dal 50% del capitale investito sul primo titolo
e dal 50% investito sul secondo titolo.
)