Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e ...

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Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e sociale 4 Prova scritta di ammissione Traccia n. 2 Si svolga la traccia tenendo presente che il punteggio pieno si raggiunge con 3 esercizi. Esercizio 1 (Economia matematica). Sia f : R → R una funzione tale che |f| sia integrabile in senso generalizzato, e poniamo g = arctan f. 1. Provare ∫ che il prodotto fg è integrabile in senso generalizzato e fornire una stima +∞ di ∣ fgdt ∣ . −∞ 2. Se invece si scegliesse g = f sarebbe ancora vero che fg è integrabile in senso generalizzato? 3. Se 0 ≤ ϕ ≤ ∞∑ n=1 1 n(n + 1) χ [n,n+1[, mostrare che ϕ è integrabile in senso generalizzato, e stabilire quale è il più grande tra i numeri π ∫ +∞ 2 e ϕ arctan ϕdt. Esercizio 2 (Statistica Descrittiva). Si supponga di dover determinare la curva di concentrazione rispetto al fatturato all’interno di un certo settore utilizzando dati aggregati che forniscono, per ciascuna classe di fatturato, la frequenza n i e l’ammontare del fatturato. Si commenti brevemente sul confronto fra la curva di concentrazione che si sarebbe ottenuto partendo dai dati disaggregati (unitari), quella basata sulla distribuzione aggregata descritta sopra e quella che si sarebbe ottenuto supponendo uniforme distribuzione all’interno delle classi. Esercizio 3 (Inferenza Statistica). Si consideri il seguente modello lineare semplice: 1 Y = α + β 1 x 1 + ε (2) con ε ∼ N(µ, σ 2 ). I parametri del modello α, β 1 , µ, σ 2 sono incogniti. Per la loro stima, si dispone di un campione casuale di n osservazioni (y i , x i1 ), i = 1, . . . , n. 1. si verifichi che i parametri µ e α non sono stimabili dai dati, ma è stimabile solamente la loro somma; 2. si derivi la stima di massima verosimiglianza del modello, sotto il vincolo µ = α. Si supponga, ora, che la variabile Y non sia direttamente osservabile, ma sia osservabile solo attraverso il segno. Sia Y ∗ = 1[Y > 0], in cui 1[A] è la funzione che vale 1 se l’evento A si verifica e 0 altrimenti. Si supponga di avere osservato un campione casuale di n osservazioni (y ∗ i , x i1), con i = 1, . . . , n. 3. Si derivi, in base al modello (2), la probabilità P (Y ∗ = 1 | x 1 ) (si ponga µ = 0);
Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e sociale 5 4. si scriva la funzione di log-verosimiglianza del campione; 5. si dica se le stime di massima verosimiglianza dei coefficienti α e β 1 ottenute dal campione (y i , x i1 ) sono più o meno precise di quelle basate sul campione (y ∗ i , x i1) (è sufficiente fornire argomentazioni intuitive). Esercizio 4 (Finanza Matematica). Si consideri un modello di mercato binomiale su due periodi in cui valgono le usuali ipotesi di mercato perfetto e in cui sono trattati due titoli, uno rischioso e uno non rischioso. Il prezzo del titolo rischioso in t = 0 sia S 0 = 100. Il coefficiente di rialzo del titolo rischioso sul singolo periodo sia a = 1.1, quello di ribasso b = 0.9. Il fattore montante sul singolo periodo del titolo non rischioso sia m = 1.05. Sul mercato è trattata una opzione digitale scritta in t = 0 sul titolo rischioso, con scadenza in t = 2 e prezzo d’esercizio K = 100 (un’opzione digitale paga 1 se S 2 > K e 0 se S 2 ≤ K). 1. Si determinino le probabilità risk neutral di ribasso e di rialzo. 2. Che cosa rappresentano le probabilità risk-neutral? 3. Si determini il prezzo di non arbitraggio dell’opzione. 4. Si determini, in ogni nodo, la composizione e il valore della strategia replicante l’opzione. 5. Si dia la definizione di strategia autofinanziante e si verifichi, con i dati dell’esercizio, che la strategia replicante ottenuta al punto precedente sia autofinanziante. Esercizio 5 (Economia). 1. Si consideri una generica funzione di produzione Cobb-Douglas f(x 1 , x 2 ) = Ax a 1 xb 2 . Per quali valori di a e b i rendimenti di scala sono rispettivamente crescenti, costanti e decrescenti? Rendimenti di scala crescenti sono compatibili con rendimenti (produttività) marginali decrescenti dei due fattori di produzione (x 1 e x 2 )? 2. Un monopolista si trova di fronte ad una funzione inversa di domanda definita dalla relazione p = 100 − 2y. Considerando che i costi di questa impresa sono c(y) = y 2 (dove y è il livello di output prodotto dall’impresa), si determini il livello ottimo di output prodotto (ovvero quello che massimizza i profitti) e il corrispondente livello dei prezzi praticati dall’impresa.
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