Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e ...

More documents

Recommendations

Info

Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e sociale 2 • X 1 è una variabile dummy per il sesso del soggetto (pari a 0 per i maschi e a 1 per le femmine); • X 2 è il reddito del soggetto. Il modello si basa sull’assunzione che per ogni soggetto i nel campione, con i = 1, . . . , n, Y i ha distribuzione di Bernoulli con parametro p i = exp(β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 ) 1 + exp(β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 ) . (1) 1. Si fornisca un’interpretazione dei parametri β 0 , β 1 e β 2 (sugg.: si consideri l’- effetto delle variabili esplicative sulla probabilità p i e sulla funzione log[p i /(1 − p i )]); 2. si indichino i possibili vantaggi e svantaggi del modello di cui sopra rispetto a un modello lineare basato sull’assunzione p i = β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 , i = 1, . . . , n; 3. si consideri un modello semplificato in cui si ignora la variabile X 2 e si assume quindi che p i = exp(β 0 + β 1 x i1 ) 1 + exp(β 0 + β 1 x i1 ) ; per questo modello si ricavi lo stimatore di massima verosimiglianza di β 0 e β 1 ; 4. supponendo che il modello vero (da cui sono generati i dati) sia basato sull’assunzione (1), si descriva il comportamento che ci si attende relativamente agli stimatori di β 0 e β 1 di cui al punto precedente (è sufficiente fornire argomentazioni puramente intuitive). Esercizio 4 (Finanza Matematica). Si consideri un mercato costituito da due titoli rischiosi con tassi di rendimento ( ) I1 I = . I 2 Sia Σ = cov(I) = ( 2 −2 −2 5 la matrice di varianza-covarianza di I e E 1 = E[I 1 ] = 10% e E 2 = E[I 2 ] = 15% i tassi di rendimento attesi dei due titoli. 1. Verificare che Σ sia definita positiva. 2. Determinare rendimento atteso e varianza del rendimento di un portafoglio equipartito tra i due titoli, composto cioé dal 50% del capitale investito sul primo titolo e dal 50% investito sul secondo titolo. )
Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e sociale 3 3. Determinare la composizione, in termini di percentuale di capitale da investire in ciascuno dei due titoli, del portafoglio con rendimento atteso pari al 12%. 4. Determinare la composizione, in termini di percentuale di capitale da investire in ciascuno dei due titoli, del portafoglio a varianza minima. 5. Definiamo l’insieme A dei portafogli ottenibili tramite combinazione lineari dei due titoli (A viene solitamente chiamato Insieme delle Opportunità). Disegnare l’insieme A nel piano media-varianza (E, σ 2 ). 6. Cosa si intende per Frontiera Efficiente? Indicarla graficamente e scriverne l’equazione nel piano media-varianza. 7. Si consideri ora la possibilità di investire anche al tasso privo di rischio I 3 = i = 5%. Indicare, in tale caso, la Frontiera Efficiente. Dopo aver determinato la matrice di varianza covarianza dei rendimenti dei tre titoli, si determini la composizione del portafoglio efficiente che ha rendimento atteso ¯r = 12%. Esercizio 5 (Economia). 1. Si consideri una generica funzione di produzione Cobb-Douglas f(x 1 , x 2 ) = Ax a 1 xb 2 . Se a = 0.75 e b = 0.35, i rendimenti (produttività) marginali dei due fattori di produzione (x 1 e x 2 ) sono crescenti o decrescenti? Cosa si può dire invece dei rendimenti di scala? 2. Un monopolista si trova di fronte ad una curva di domanda definita dalla relazione D(p) = 100 − 2p. Considerando che i costi di questa impresa sono c(y) = y 2 (dove y è il livello di output prodotto dall’impresa), si determini il livello ottimo di output prodotto (ovvero quello che massimizza i profitti) e il corrispondente livello dei prezzi praticati dall’impresa.
Page 1: Dottorato in Metodi Matematici e st
Page 5 and 6: Dottorato in Metodi Matematici e st
Page 7 and 8: Dottorato in Metodi Matematici e st

Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?