Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e ...

Dottorato in Metodi Matematici e statistici per la ricerca economica e sociale 7
dica per quali tipologie di comuni l’indicatore precedente porta ad una sovrastima del
tempo medio di percorrenza.
Esercizio 3 (Inferenza Statistica). Si consideri una variabile continua Y la cui distribuzione
segue un modello mistura di due normali con stessa varianza (modello 1).
La funzione di densità di questa distribuzione è pari a:
f(y; µ 1 , µ 2 , σ 2 ) = πφ(y; µ 1 , σ 2 ) + (1 − π)φ(y; µ 2 , σ 2 ), (3)
dove π è la probabilità della prima componente e φ(y; µ, σ 2 ) indica la funzione di
densità della distribuzione normale N(µ, σ 2 ).
Si consideri poi un modello (modello 2) per una variabile binaria Z e la variabile
continua Y basato sulle seguenti assunzioni: (i) Z ha distribuzione di Bernoulli con
parametro π; (ii) condizionatamente a Z = z, Y ha distribuzione N(µ 1 , σ 2 ) per z = 1
e N(µ 2 , σ 2 ) per z = 0.
1. Si dimostri che i due modelli sono equivalenti (per quanto riguarda la distribuzione
di Y );
2. alla luce del punto precedente si indichi un possibile contesto di applicazione
del modello mistura e un meccanismo di generazione di valori casuali di Y dalla
distribuzione con densità (3);
3. supponendo di conoscere i parametri µ 1 , µ 2 e σ 2 , si ricavi la distribuzione di Z
condizionatamente a Y e si indichi come questa distribuzione può essere utilizzata
per classificare un soggetto (ossia attribuire un soggetto alla prima o alla seconda
componente avente distribuzione normale);
4. supponendo di osservare sia Z che Y per un campione di n soggetti, si ricavi lo
stimatore di massima verosimiglianza di µ 1 , µ 2 e σ 2 .
Esercizio 4 (Finanza Matematica). Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in
cui valgono le usuali ipotesi di mercato perfetto. Ad ogni istante t sono trattati sul
mercato Zero Coupon Bond unitari (ZCB) (cioè con valore facciale pari a uno) con
maturity 1 o 2 anni, ai prezzi v(t, t + τ), con τ = 1, 2.
1. Si determini il portafoglio composto da ZCB che replica un titolo a cedola fissa,
emesso in t = 0, scadenza in t = 2 anni, cedola I a periodicità annuale. Si
determini di conseguenza il valore di non arbitraggio del titolo.
2. Si determini il portafoglio replicante di un titolo a cedola variabile indicizzata al
tasso di mercato i(t, t + 1), emesso in t = 0, scadenza in t = 2 anni, cedola a
periodicità annuale. Si sottolinei se il portafoglio replicante è statico o dinamico
e, nel caso sia dinamico, se è autofinanziante. Si determini di conseguenza il
valore di non arbitraggio del titolo.