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Capitolo 2
Dati e calcoli numerici
In questo capitolo metteremo da parte l’approccio assiomatico-sistematico e ci
occuperemo dei diversi tipi di numeri da un punto di vista operativo.
Fin dalla scuola elementare impariamo a svolgere calcoli esatti, in situazioni
riconducibili a conteggio (numeri interi e, indirettamente, numeri razionali).
Calcoli del tipo
1681 + 187 = 1868
3
4 + 2 5 = 23
20
ci appaiono abbastanza semplici da svolgere. Tuttavia dobbiamo osservare
che già nell’ambiente dei numeri naturali possono presentarsi situazioni più
impegnative, del tipo
20 21 + 21 20 :
Si tratta di calcolare e sommare due numeri naturali che hanno rispettivamente
28 e 27 cifre: il calcolo non è impossibile, ma decisamente lungo.
Quando poi vogliamo parlare di numeri reali, diventa essenziale premettere
una distinzione tra il numero come ente astratto e la sua rappresentazione concreta,
rappresentazione di cui abbiamo bisogno per svolgere un minimo di calcoli.
Si scopre che non ha più senso parlare di calcolo esatto, poiché non esiste una
rappresentazione degli irrazionali con un numero …nito di cifre.
A questo punto dobbiamo chiederci come si interpretano scritture del tipo
= 3:14 (2.1a)
e = 2:718 (2.1b)
+ e = 5:858: (2.1c)
In realtà nelle scritture (2.1) il simbolo di uguaglianza non è del tutto appropriato.
Infatti quella che stiamo e¤ettuando è una approssimazione, cioè
sostituiamo il numero vero con un altro numero, ad esso opportunamente vicino.
Inoltre nella scrittura (2.1c), ottenuta dalle prime due, si sottintende che
per approssimare la somma + e possiamo utilizzare la somma delle approssimazioni
di e di e. A questo proposito vedremo in seguito che, al contrario di
quanto sembrerebbe, è più corretto scrivere
+ e = 5:85:
1

2 CAPITOLO 2. DATI E CALCOLI NUMERICI
Inoltre scopriremo che, e¤ettuando la somma, il margine di errore (tra il dato
vero + e e la sua approssimazione 5:85) è aumentato.
Lo trattazione di questi argomenti si articola in diversi passaggi.
Anzitutto dovremo richiamare la notazione decimale e introdurre gli allineamenti
decimali.
In secondo luogo spiegheremo quali limitazioni si presentino quando pre…ssiamo
il numero di cifre a nostra disposizione e introdurremo la notazione
in virgola mobile.
In terzo luogo costruiremo un esempio concreto di approssimazione a cifre
…ssate, in virgola mobile.
Dovremo dare qualche informazione sui diversi tipi di errore che si producono
nelle approssimazioni. In particolare potremo enunciare un teorema
riguardante il nostro esempio di approssimazione.
In…ne dovremo studiare la propagazione degli errori nelle operazioni.
A margine di tutto questo studieremo anche:
alcune proprietà delle moderne macchine calcolatrici;
alcune peculiarità dei dati provenienti da misurazioni; in questo caso il
ruolo degli errori di approssimazione viene rimpiazzato dalle incertezze
nelle misure.
2.1 Rappresentazione decimale
Per entrare in argomento consideriamo inizialmente gli interi naturali.
tabella seguente chiarisce la distinzione tra numero e rappresentazione.
La
rappresentazione decimale 5 14
rappresentazione “primitiva” IIIII IIIIIIIIIIIIII
rappresentazione romana V XIV
rappresentazione binaria 101 1110
Esaminiamo le diverse notazioni da un punto di vista tecnico.
La notazione di uso corrente, quella che impariamo …n dalla scuola elementare,
è posizionale decimale: ad esempio scriviamo
e intendiamo
ossia
1481 (2.2)
1 1000 + 4 100 + 8 10 + 1
1 10 3 + 4 10 2 + 8 10 + 1
Quindi con soli dieci simboli f0; 1; 2; : : : ; 9g possiamo rappresentare qualsiasi
numero; la posizione di ciascun simbolo determina il suo valore. Infatti
il simbolo 1 scritto a destra vale 1;

2.1. RAPPRESENTAZIONE DECIMALE 3
il simbolo 1 scritto nella quarta posizione (partendo da destra) vale 1000 =
1 10 3 .
Nell’antico sistema romano (non posizionale), avremmo scritto
Ogni simbolo ha un valore diverso:
MCDLXXXI (2.3)
M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50
XXX = 3 10
I = 1
La scrittura (2.3) si interpreta come una somma (o di¤erenza) partendo dal
simbolo di valore più alto; C vale meno di D, scritto alla sinistra di D vuol
dire che da D va sottratto (e non aggiunto) C. Per numeri sempre più grandi
dovremo inventare sempre nuovi simboli di valore sempre più alto (oppure
iniziare a ripetere sempre lo stesso simbolo).
Le notazioni posizionali moderne (del tipo (2.2)) hanno grandi vantaggi dal
punto di vista della facilità di calcolo; dobbiamo ricordare che esse sono rese
possibili dal fatto che esiste un simbolo anche per 0, ereditato dalla matematica
araba.
La scelta della base 10 ha origini storiche. Le moderne tecnologie informatiche
usano la base 2: si usano due soli simboli f0; 1g ed il sistema di calcolo
è molto semplice. Tuttavia, come si vedeva già nella tabella, servono stringhe
più lunghe; ad esempio il numero 1481 si scrive
10111001001
da intendersi, analogamente a quanto detto sopra:
1 2 10 + 1 2 8 + 1 2 7 + 1 2 6 + 1 2 3 + 1:
Dunque la scelta della base 10 rappresenta una scelta del tutto ragionevole.
Osservazione 2.1 Indipendentemente dal sistema di rappresentazione, per ciascun
numero intero è su¢ ciente una stringa …nita.
Ovviamente è su¢ ciente una stringa …nita anche per i numeri razionali, in
quanto rappresentabili tramite una coppia di interi.
Una volta introdotta la notazione posizionale (decimale o in qualsiasi altra
base) si introducono solitamente i numeri “con la virgola”. Ad esempio
scriviamo
135:246 (2.4)
e intendiamo
1 10 2 + 3 10 + 5 + 2 10 1 + 4 10 2 + 6 10 3 :

4 CAPITOLO 2. DATI E CALCOLI NUMERICI
Si noti che seguendo la tradizione anglosassone stiamo utilizzando il punto al
posto della virgola.
Segue immediatamente dalla de…nizione che i numeri scritti nella forma (2.4)
sono razionali. Tuttavia, una volta …ssata una base, nel nostro caso 10, solo
alcuni numeri razionali sono rappresentabili nella forma “decimale”, si tratta
dei cosiddetti razionali decimali. Fin dalle scuole elementari impariamo a riconoscere
razionali decimali e non decimali. Come tipico esempio di razionale
non decimale possiamo considerare 1=3 o 2=7.
2.1.1 Allineamenti decimali
Ora …nalmente possiamo fornire qualche nozione sulla rappresentazione dei
numeri reali.
Teorema 2.2 A ciascun a 2 R si associa (tramite una funzione bigettiva) un
allineamento di in…nite cifre (decimali) per cui si scrive
dove c i ; d i 2 f0; 1; 2; : : : ; 9g.
a = c m c m 1 : : : c 1 c 0 : d 1 d 2 : : :
In analogia a quanto visto sopra, la precedente scrittura si può intendere
come
a = c m 10 m + + c 1 10 + c 0 + d 1 10 1 + d 2 10 2 + : : :
Ovviamente dovremmo precisare cosa intendiamo con quei puntini di sospensione
a destra: sembra trattarsi, infatti, di una somma di in…niti termini!!!
Mettendo da parte questo problema, si possono presentare tre situazioni:
allineamento decimale …nito
a 1 = 135:000 : : :
a 2 = 27:450 0 : : :
(da un certo punto in poi le cifre sono tutte uguali a 0, oppure a 9)
allineamento decimale periodico
a 3 = 12:515 151 51 : : :
allineamento decimale non periodico
a 4 = 2:123 423 423 4 : : :
a 5 = 3:141 692 653 589 : : :
a 6 = 2:718 281 845 904 : : :
Le prime due situazioni corrispondono a numeri razionali, rispettivamente
decimali e non decimali. Precisamente
a 1 = 135
a 2 = 549=20
a 3 = 413=33
a 4 = 2357=1110

2.2. NUMERI A CIFRE FISSATE 5
La terza situazione corrisponde a numeri irrazionali, ossia numeri reali non
razionali. Nell’esempio abbiamo riportato l’allineamento decimale corrispondente
a due costanti fondamentali
a 5 =
a 6 = e
Il Teorema 2.2 è di tipo costruttivo nel senso che de…nisce esattamente la
successione di cifre, quindi sarebbe possibile individuarle una alla volta. Tuttavia
vogliamo sottolineare che si tratta di “in…nite cifre” quindi non riusciremo
mai scriverle materialmente tutte. Dunque se il numero in questione è irrazionale,
dobbiamo rinunciare a rappresentarlo e manipolarlo come è possibile
fare, almeno in teoria, con i numeri interi e razionali.
Osservazione 2.3 La procedura di costruzione dell’allineamento decimale fornisce
inoltre una preziosa informazione: se arrestiamo il processo a k cifre dopo
il punto (come si suol dire, tronchiamo a k cifre dopo il punto), la di¤erenza
tra il numero a ed il numero che scriviamo è compresa tra 1=10 k e 1=10 k . Ad
esempio avremo
0 < 3:14 < 1=100;
0 < e 2:718 < 1=1000:
2.2 Numeri a cifre …ssate
Nelle situazioni reali si è costretti a lavorare con un numero limitato ed eventualmente
pre…ssato di cifre per ciascun numero. Le motivazioni di ciò dovrebbero
essere evidenti ma è opportuno richiamarle:
in assenza di sistemi automatici di calcolo, siamo obbligati a ricondurre i
tempi di calcolo a dimensione umana;
se utilizziamo sistemi automatici di calcolo, per ciascun numero viene
assegnata una ben delimitata porzione di memoria.
Questa limitazione sulle cifre avrà diverse conseguenze:
evidentemente sono esclusi dalla scrittura e dal calcolo tutti i numeri
irrazionali;
abbiamo una limitazione sull’estensione dell’intervallo di numeri che riusciamo
a scrivere;
non possiamo scrivere tutti i numeri compresi in questo intervallo.
Vediamo dunque quali numeri si riescono a scrivere (in base 10) pre…ssando il
numero di cifre. Per semplicità consideriamo soltanto numeri positivi e …ssiamo
il numero di cifre pari ad 8.
Con la notazione tradizionale il più piccolo ed il più grande numero scrivibile
sarebbero rispettivamente
x min = :000 000 01
x max = 99 999 999:

6 CAPITOLO 2. DATI E CALCOLI NUMERICI
E’ evidente che non riusciamo a scrivere nè un miliardo, nè un miliardesimo;
inoltre non possiamo scrivere
che pure veri…ca la condizione
x = 12345:6789
x min x x max :
Osservazione 2.4 Dobbiamo anche osservare che in questa scrittura le cifre
sono apparentemente 8, tuttavia vi è un’altra variabile, la posizione del punto,
quindi è come se stessimo utilizzando 8 cifre più una cifra aggiuntiva, che va da
0 a 8 per descrivere la posizione della virgola.
Per ampliare l’estensione dell’intervallo dei numeri scrivibili con 8 cifre possiamo
considerare utilizzare diversamente le cifre a nostra disposizione. Consideriamo
espressioni del tipo
E k
per indicare
dove
10 k :
è un numero a 6 cifre contenuto in [1=10; 1), quindi compreso tra :100 000
e :999 999;
k è un intero a 2 cifre, quindi compreso tra 99 e 99.
Le cifre totali sono davvero 8; tuttavia con questa scelta il più piccolo numero
ed il più grande numero scrivibili diventano rispettivamente
x min = :100 000 10 99
x max = :999 999 10 99
Evidentemente l’estensione dell’intervallo dei numeri scrivibili è molto maggiore.
In particolare possiamo scrivere
1 000 000 000 = :100 000 E 10
:000 000 001 = :100 000 E 8
Tuttavia rimane l’impossibilità di scrivere tutti i numeri razionali compresi tra
x min ed x max .
2.3 Fattorizzazioni con potenze di 10
Alla base delle espressioni E k che abbiamo introdotto sopra, sussiste il seguente
Teorema.
Teorema 2.5 Per ogni a 2 R, a > 0 esistono (e sono unici) p 2 Z e c 2
[1=10; 1) tali che
a = c E p

2.4. UNA PROCEDURA DI APPROSSIMAZIONE 7
Dimostrazione. Per ogni a > 0 consideriamo
p = blog 10 ac + 1
c = a=10 p
Rimane da provare che c 2 [1=10; 1).
Abbiamo
p 1 log 10 a < p
ossia
Pertanto
10 p 1 a < 10 p
1
10 a
10 p < 1
Questa fattorizzazione prende il nome di rappresentazione ‡oating point (in
virgola mobile).
Corollario 2.6 Per ogni a 2 R, a > 0 esistono p 1 2 Z e c 1 2 [1; 10) tali che
Infatti possiamo considerare
a = c 1 E p 1 (2.5)
c 1 = 10c;
p 1 = p 1:
La fattorizzazione (2.5) prende il nome di notazione scienti…ca.
La potenza 10 p1 prende il nome di ordine di grandezza di x.
Esiste anche la cosiddetta notazione ingegneristica
in cui p i è un intero multiplo di 3.
a = c i E p i
2.4 Una procedura di approssimazione
Con queste premesse possiamo illustrare una procedura di approssimazione. Per
una scelta di concretezza, come se si trattasse di un esempio, continuiamo ad
assegnare 6 cifre a e 2 cifre a k (non contando il segno davanti a e davanti
a k).
Sia assegnato a 2 R, per semplicità a > 0. Si fattorizza a come indicato nel
Teorema 2.5
a = c E p
con c 2 [1=10; 1); p 2 Z.
Se p < 99 siamo nel cosiddetto caso di Under‡ow, come approssimazione
si assume = 0.
Se p > 99 siamo nel cosiddetto caso di Over‡ow, più grave dell’Under-
‡ow: il numero non è approssimabile (una macchina ci restituirebbe un
messaggio di errore).

8 CAPITOLO 2. DATI E CALCOLI NUMERICI
Nei casi rimanenti ( 99 p 99) la costruzione prosegue. Il numero c viene
troncato a 6 cifre decimali. Indichiamo con c t il numero dopo il troncamento.
Per tener conto delle cifre rimanenti (quelle che abbiamo cancellato), se la
settima cifra di c è 5; 6; 7; 8; 9, alla sesta cifra di c t aggiungiamo 1, altrimenti
lasciamo tutto immutato; questa operazione viene chiamata arrotondamento.
Indichiamo con il numero (a 6 cifre decimali) così ottenuto.
Come approssimazione scegliamo
= E p:
Alcuni esempi aiuteranno a fare chiarezza.
Esempio 2.7 Vogliamo approssimare
a = 1=23 = 0:043 478 260 869 56 : : :
Abbiamo
ossia
a = :434 782 608 695 6 : : : E 1
p = 1
c = :434 782 608 695 6 : : :
Tronchiamo c e otteniamo c t
c t = :434 782
Poichè la settima cifra di c è 6 abbiamo
= :434 783
In conclusione la nostra approssimazione è data da
= :434 783 E 1:
Esempio 2.8 Vogliamo approssimare
Abbiamo
a = 20 26 = 6 710 886 400 : : : 000
| {z }
26 zeri
p = 34
c = :671 088 64
Tronchiamo c e otteniamo c t
c t = :671 088
Poichè la settima cifra di c è 6 abbiamo
= :671 089
In conclusione la nostra approssimazione è data da
= :671 089 E 34

2.4. UNA PROCEDURA DI APPROSSIMAZIONE 9
Esempio 2.9 Vogliamo approssimare
a = p 129 = 11: 357 816 691 600 5 : : :
Abbiamo
ossia
a = :113 578 166 916 005 : : : E2
p = 2
c = :113 578 166 916 005 : : :
Tronchiamo c e otteniamo c t
c t = :113 578
Poichè la settima cifra di c è 1 abbiamo
= c t = :113 578
In conclusione la nostra approssimazione è data da
= :113 578 E 2
In questo caso possiamo anche tornare alla notazione tradizionale
= 11:1357 8
Osservazione 2.10 In generale se a 2 [1=10; 10 6 ) possiamo anche evitare il
ricorso alla notazione ‡oating point e vale una semplice regola. Si scrivono
almeno 7 cifre dell’allineamento decimale associato ad a, si tronca a 6 cifre e
si arrotonda in base alla settima. Ricordiamo che arrontondare vuol dire che
se la settima cifra di a è 5; 6; 7; 8; 9, alla sesta cifra aggiungiamo 1, altrimenti
lasciamo tutto immutato.
Vediamo in…ne alcuni casi particolari.
Esempio 2.11 Se abbiamo
scriveremo
a = 9:999997
p = 1
e quindi con la procedura esposta sopra
Dunque
c = :9999997
c t = :999999
= 1:000000
= 1 E 1
= :1 E 2
infatti abbiamo convenuto che, nella notazione “‡oating point”, il primo fattore
debba essere un numero c 2 [1=10; 1).

10 CAPITOLO 2. DATI E CALCOLI NUMERICI
Esempio 2.12 Come caso limite abbiamo
quindi
a = :9999995 E 99
p = 99
Dopo l’arrotondamento si ha Over‡ow.
c = :9999995
Esempio 2.13 Evidentemente due numeri diversi possono essere approssimati
e rappresentati allo stesso modo. In corrispondenza di
a 1 = 123:456 78
a 2 = 123:456 87
avremo sempre
= 123:457:
2.5 Approssimazioni ed errori
Sia assegnato un dato numerico a 2 R e sia una sua approssimazione.
Ricordiamo che l’approssimazione si dice per difetto (risp. per eccesso) se
< a (risp. a < ). La di¤erenza tra il dato originale e la sua approssimazione
= a
prende il nome di errore assoluto commesso nell’approssimazione.
Esempio 2.14 Con questa terminologia 3:14 è un’approssimazione per difetto
di con errore assoluto inferiore ad 1=100. Analogamente 2:718 è un’approssimazione
per difetto di e con errore assoluto inferiore ad 1=1000.
2.5.1 Errore relativo
In realtà l’errore assoluto, a dispetto del nome, potrebbe rivelarsi non signi…cativo:
se il dato è a = 20 21 (ricordiamo le 28 cifre), un errore assoluto pari a 10
(o anche a 10 9 ) è assolutamente trascurabile;
se abbiamo a = 2 2 [0; 10], un errore pari a 1 diventa rilevante.
La questione diventa più chiara con un esempio tratto dal mondo reale:
se stiamo pesando una cassetta di frutta, sicuramente non ci preoccupiamo
di essere precisi sui grammi;
se siamo in gioielleria, pretendiamo che il peso di una catenina d’oro sia
preciso …no al grammo.

2.5. APPROSSIMAZIONI ED ERRORI 11
Un modo per tener conto di queste situazioni è introdurre un nuovo tipo di
errore, l’errore relativo de…nito da
a = a
a
In una qualsiasi approssimazione è ragionevole chiedere che l’errore relativo
sia inferiore ad un pre…ssato valore, generalmente indicato con EP S (iniziale di
“epsilon”).
Se a = 123457 e consideriamo = 123500, abbiamo
= 43
a = 0:00034:::
Se a = 341:5 e consideriamo = 300, abbiamo
= 41:5
a = 0:121:::
Se a = 2:1576 e consideriamo = 2:16, abbiamo
= 0:0024
a = 0:00111:::
Se a = 8:1576 e consideriamo = 8:15, abbiamo
= 0:0076
a = 0:0009:::
Teorema 2.15 L’errore relativo prodotto dalla procedura di approssimazione
descritta sopra veri…ca la condizione
a < 5 10 6
L’esponente 6 dipende dall’aver usato 6 cifre per ; dunque se aumentiamo
il numero di cifre otteniamo un’approssimazione via via migliore.
2.5.2 Dimostrazione del Teorema
Ora dobbiamo occuparci del troncamento di c = a=10 p .
Consideriamo N cifre decimali (dopo il punto).
Il semplice troncamento è dato da
c t = 1
10 N
10 N c
Il troncamento con arrotondamento è dato da
= 1 10 N
10 N c + 1
2
Ricordiamo che la nostra approssimazione di a è data da
= 10 p

12 CAPITOLO 2. DATI E CALCOLI NUMERICI
Rimane da valutare l’errore relativo (in valore assoluto)
jj
a
Dobbiamo distinguere due casi.
Se a = 10 m allora
=
ja j
a
p = m + 1
c = 1=10
In questo caso
quindi
= c t = c
= a
e dunque
jj
a
=
ja j
a
= 0
Se invece a non è una potenza di 10, allora avremo
10 p 1 < a < 10 p
Osserviamo che
ja j = jc j 10 p
Abbiamo
ossia
quindi
10 N c + 1
10 N c + 1
2
2 < 10 N c + 1
+ 1
2
10 N c
1
10 N 10 N c
1
10
2 < N c + 1
10 N c + 1 2
2
1
< 1 10 N
2 10 N c + 1
2
c
1 1
2 10 N < c + 1 1
2 10 N
D’altra parte
Pertanto
ja
j
=
a
j cj 1 1
2 10 N
1
a < 1
10 p 1
jc j 10p
a
< 1 10
2 10 N = 5
10 N

2.5. APPROSSIMAZIONI ED ERRORI 13
2.5.3 Alcune stime
Supponiamo ora di trovarci nella situazione più comune: conosciamo valore
approssimato di a e vogliamo determinare un intervallo entro il quale siamo certi
di trovare a.
Ovviamente per fare questo abbiamo bisogno di conoscere anche un’informazione
sull’errore. Ovviamente non si conosce l’errore (che equivale a conoscere
il valore a), ma conosciamo una maggiorazione dell’errore.
Se sappiamo che jj max allora
max a + max : (2.6)
Se sappiamo che j=aj EP S < 1 e 0 < a allora
1 + EP S a
1 EP S
(2.7)
Osserviamo in…ne che una stima sull’errore assoluto si può ricavare una stima
sull’errore relativo e viceversa.
Se sappiamo che jj max < allora
j=aj
Se sappiamo che j=aj EP S < 1 e 0 < a allora
max
max
: (2.8)
jj
EP S
1 EP S :
2.5.4 Manipolazione di numeri
Non appena si inizia a operare con approssimazioni, l’errore non solo si trasmette
al risultato ma addirittura si ampli…ca.
Proposizione 2.16 L’errore assoluto della somma è uguale alla somma degli
errori assoluti degli addendi.
Esempio 2.17 All’inizio del capitolo abbiamo scritto
= 3:14
e = 2:718
+ e = 5:858:
Sappiamo che su = 3:14 abbiamo un errore minore o uguale a 1=100, su
e = 2:718 abbiamo un errore minore o uguale a 1=1000. Pertanto sulla somma
abbiamo un errore minore o uguale a 11=1000. Applicando la (2.6) si conclude
5:847 = 5:858 11=1000 + e 5:858 + 11=1000 = 5:869
Ecco spiegato perché all’inizio del capitolo abbiamo detto che sarebbe più corretto
scrivere + e = 5:85. Non ha senso scrivere 3 cifre dopo il punto se già sulla
seconda abbiamo incertezza.

14 CAPITOLO 2. DATI E CALCOLI NUMERICI
Proposizione 2.18 L’errore relativo del prodotto è uguale alla somma degli
errori relativi dei fattori.
Esempio 2.19 Se e sono rispettivamente approssimazioni di a e b con
errore relativo minore di 5=1000, allora è un’approssimazione di ab con errore
relativo minore di 10=1000.
Torneremo su questi problemi quando parleremo di cifre signi…cative. Per
il momento ci basti di concludere che se un dato è a¤etto da un certo errore
(assoluto o relativo) non si può sperare di avere un risultato a¤etto da un errore
minore (vedi Esempio 2.28).
Osservazione 2.20 Utilizzando le derivate vedremo come si stima l’errore trasmesso
attraverso una funzione.
2.6 Calcolatrici
In questo paragrafo vogliamo illustrare alcune caratteristiche dei sistemi automatici
di calcolo. Per sempli…care l’esposizione ci riferiremo a due situazioni
estreme: nella realtà le prestazioni o¤erte dalle calcolatrici e dai computer sono
in continua evoluzione e cambiano da modello a modello.
2.6.1 Calcolatrice primitiva
Indipendentemente dal modo in cui si rappresentano, tutti i dati vengono trattati
con la procedura vista sopra:
scrittura in virgola mobile;
troncamento ed arrotondamento.
Anche un’operazione elementare viene svolta in questo modo.
Esempio 2.21 Consideriamo
1
= :166 666 666 : : :
6
= :166 667
1
= 0:038 461 538 :::
26
= :384 615 E 1
1
6 + 1 = :166 667 + :038 461 5
26
= :205 1285
= :205 129

2.6. CALCOLATRICI 15
Esempio 2.22 Come secondo esempio vogliamo calcolare
p
2 +
p
3
2
Abbiamo
p
2 = 1:414 213 56 : : :
= :141421
p
3 = 1:732 05 : : :
= :173 205
p
2 +
p
3 = :314 626
p
2 +
p
3
2
= 9:898 951 987 6
= 9:898 95
Possono anche riscontrarsi fenomeni interpretabili come di¤ormità rispetto
alle proprietà teoriche delle operazioni.
Consideriamo ancora un troncamento/arrotondamento a 6 cifre (più due
cifre per l’esponente).
Esempio 2.23 Se abbiamo
risulta
a 1 = 123 456
a 2 = : 456 789
a 1 + a 2 = 123 456: 456 789 =
= 123 456 = a 1
In altri termini un addendo è irrilevante nella somma.
Esempio 2.24 Se abbiamo
risulta evidentemente
a 1 = 123:456
a 2 = 3:45678
a 1 + a 2 = 126:91278
= 126:913
dove evidentemente l’ultimo valore è quello ottenuto per troncamento/arrotondamento.
Ora sommiamo
a 3 = 0:00855543
e otteniamo
(a 1 + a 2 ) + a 3 = 126:921 555 43
= 126:922

16 CAPITOLO 2. DATI E CALCOLI NUMERICI
Possiamo anche sommare
e quindi
a 2 + a 3 = 3:46533543
= 3:46534
a 1 + (a 2 + a 3 ) = 126:921 34
= 126:921
Dunque il risultato cambia a seconda dell’ordine di sommazione. Dal punto
di vista assiomatico dovremmo concludere che non vale la proprietà associativa
della somma.
Osservazione 2.25 I precedenti esempi sono, per così dire, arti…ciali. Essi
indendono semplicemente mostrare i possibili e¤etti di una procedura di trocamento/arrotondamento.
Nella pratica, come si diceva all’inizio, ogni calcolatrice
ha i suoi standard di calcolo, quindi non possiamo escludere che, provando per
conto proprio, si osservino risultati alquanto diversi.
2.6.2 Computer Algebra System
I diversi tipi di dati e di operazioni vengono riconosciuti e trattati in modo
opportuno, del tutto simile a quello “naturale”.
Ad esempio
1
6 + 1
26 = 8
39
A richiesta possiamo passare alla rappresentazione decimale
8
= 0:205 128 205 128 205 : : :
39
Se tronchiamo e arrotondiamo a 6 cifre riscontriamo una piccola di¤erenza
rispetto al risultato calcolato in precedenza con la “calcolatrice primitiva”.
Il secondo esempio è ancora più signi…cativo.
p
2 +
p
3
2
= 2 + 2
p
2
p
3 + 3
Se ci interessa possiamo anche vedere
= 5 + 2 p 6
5 + 2 p 6 = 9:898 979 485 566 36 : : :
Anche qui possiamo troncare e arrotondare a 6 cifre: riscontriamo una di¤erenza
rispetto al risultato calcolato in precedenza.
La vera prestazione aggiuntiva dei CAS è la capacità di e¤ettuare calcolo
letterale. In questo modo le eventuali operazioni numeriche, con le relative
trasmissioni di errori, vengono svolte alla …ne e si riducono sensibilmente le
problematiche evidenziate sopra nelle calcolatrici tradizionali.

2.7. DATI PROVENIENTI DA MISURAZIONI 17
2.7 Dati provenienti da misurazioni
Molte delle considerazioni svolte sui dati numerici si possono applicare anche alle
misurazioni. In termini semplicistici misurare vuol dire attribuire un numero
(reale) ad una grandezza (altezza, peso, ...). Da una parte abbiamo il dato a 2 R
che corrisponderebbe alla misurazione ideale, dall’altra abbiamo il dato 2 Q,
con un numero …nito di cifre, ottenuto in una nostra misurazione concreta,
a¤etta da errori e imprecisioni. Dunque tra a ed si è riprodotta una situazione
analoga a quella che avevamo tra un numero reale e la sua approssimazione a
cifre …ssate.
Anzitutto osserviamo che se un dato numerico proviene da una misurazione,
il modo in cui viene riportato è indicativo dello strumento (o del
metodo) utilizzato per la misurazione e quindi della precisione del dato stesso:
si segnano tutte e sole le cifre riportate dallo strumento (o ottenute dalla
procedura).
Consegue che, a di¤erenza di quanto accade con i numeri “senza unità di
misura”, tra le scritture
vi è una profonda di¤erenza:
l = 3:284 m
l = 3:28400 m
nel secondo caso abbiamo utilizzato uno strumento ad alta precisione che
segna anche i centesimi di millimetro;
nel primo caso utilizzato un metro comune che segna centimetri e millimetri.
Le cifre lette nello strumento e riportate nella misura sono le cosiddette cifre
signi…cative, intendendo che l’ultima cifra riportata è incerta. Per evidenziare
le ragioni di incertezza dell’ultima cifra può essere utile un esempio.
Esempio 2.26 Per le misurazioni di intevalli di tempo, supponiamo di disporre
di cronometro che segna anche i centesimi di secondo. Se il nostro cronometro
viene azionato manualmente, si deve tener conto dei tempi di reazione, quindi i
centesimi di secondo segnati dal cronometro non sono assolutamente a¢ dabili.
Le regole sulla trasmissione dell’errore si traducono in regole sulle cifre
signi…cative:
in una somma i dati devono essere omogenei nella precisione, adeguandosi
alla precisione minima;
in un prodotto (o in un rapporto) il numero delle cifre signi…cative del
risultato è pari al numero delle cifre signi…cative del fattore che ne contiene
meno.
Osservando queste regole rimane chiara la precisione dei risultati. Vediamo
alcuni esempi.

18 CAPITOLO 2. DATI E CALCOLI NUMERICI
Esempio 2.27 Supponiamo di voler misurare l’area di un trapezio
A = 1 2 (b 1 + b 2 )h
Misuriamo la base corta ed otteniamo b 2 = 5:34 m; la base lunga la misuriamo
con uno strumento meno preciso ed otteniamo b 1 = 11:2 m; cambiando ancora
strumento misuriamo l’altezza h = 3:869 m.
La procedura corretta consiste nell’arrotondare
b 2 = 5:3 m
per poi ottenere
Quindi abbiamo
b 1 + b 2 = 16:5 m:
A = 1 16:5 3:869
2
= 1 63: 838 5
2
= 31: 919 25
= 31:9 m 2
Abbiamo applicato la regola pratica sul prodotto: il primo fattore ha 3 cifre, il
secondo fattore ha 4 cifre, quindi del prodotto si considerano solo 3 cifre (con la
solita procedura di troncamento e arrotondamento).
Sarebbe scorretto dire che
b 1 + b 2 = 11:2 + 5:34 = 16:54 m
Infatti da questa scrittura si desume che entrambe le basi sono state misurate
con uno strumento che segna i cm. L’errore si trasmetterebbe al risultato …nale,
infatti avremmo:
A = 1 16:54 3:869
2
= 1 63: 993 26
2
= 31: 996 63
= 32:00 m 2
Oltre che il risultato, notiamo che è diversa anche la precisione.
Esempio 2.28 Vogliamo calcolare la diagonale di un quadrato utilizzando la
ben nota relazione d = p 2 l.
L’operatore che ha provveduto alla misurazione del lato ci comunica l =
10:50 m con un incertezza di 2 cm, ossia jj 2 cm. In base alla (2.8) abbiamo
l
2
1050 2 = 1
524
Come sappiamo, p 2 è un numero irrazionale. Se approssimiamo
p
2 = 1:414

2.7. DATI PROVENIENTI DA MISURAZIONI 19
l’errore relativo è inferiore a 5=10000 = 1=2000.
Dunque per la diagonale otteniamo la misura approssimata
1 = 10:5 1:414 = 14: 847 m
con la seguente stima sull’errore relativo
d 1
d 1
524 + 1
2000 = 631
262 000
= 2:4 E 3:
Applicando la formula (2.7) per stimare l’intervallo di variabilità della misura
esatta d otteniamo
14:811 4 m d 14:882 8 m
Dunque l’intervallo di variabilità misura all’incirca 7 cm.
Se invece consideriamo
p
2 = 1:414 21
abbiamo un errore relativo minore di 5=10 6 = 1=200 000. Con questa assunzione
otteniamo il valore
2 = 10:5 1:414 21 = 14:849 205 m
con un errore relativo tale che
d 2
d 1
524 + 1
200 000
= 1:9 E 3
Applicando la formula (2.7) otteniamo la stima
=
50 131
26 200 000
14: 820 9 m d 14:877 6 m
Dunque l’intervallo di variabilità si è ristretto di appena 1:5 cm.
Questo esempio ci mostra che aver aumentato la precisione sul fattore p 2
non ha modi…cato di molto il valore di d e la teoria sull’errore ci dice che il
nuovo valore non è molto più preciso del precedente (nel senso che l’intervallo
di variabilità, ossia l’errore assoluto, si è ridotto di poco).
Dovendo riportare un dato possiamo scrivere che la diagonale misura 14:84 m;
stante l’incertezza di 3 cm è inutile scrivere altre cifre decimali; in altri termini,
l’incertezza era sui centimetri e sui centimetri rimane.
I calcoli nell’esempio precedente confermano le regole sulle cifre signi…cative.
Le cifre signi…cative della misura di l sono 4. Dunque conviene scrivere p 2 con
non meno (e non più) di quattro cifre e del prodotto dobbiamo considerare solo
le prime quattro cifre; in particolare la quarta cifra del prodotto (quella dei
centimetri) dovrà essere considerata “incerta”.

20 CAPITOLO 2. DATI E CALCOLI NUMERICI
2.7.1 Stime con attendibilità pre…ssata
Il modo più corretto per ottenere e riportare un dato ottenuto da misurazione
è il seguente
l min l l max (2.9)
ove si intende che noi stimiamo che l sia compreso nell’intervallo [l min ; l max ] con
una probabilità P …ssata in precedenza.
Generalmente non si usa la scrittura (2.9) ma si scrive
l = ;
con > 0, intendendo
l + : (2.10)
Tale , dunque, è una stima sull’errore assoluto se approssimiamo l con :
Vediamo come si perviene ad una stima di tipo (2.10), con attendibilità
pre…ssata. Premesso che che non basta sicuramente una sola misurazione, quindi
si sottintende che la misurazione sia ripetibile, si può dimostrare quanto segue
(vedi libro di Taylor).
Supponiamo di aver e¤ettuato N misurazioni con esito 1 ; 2 ; : : : ; N . Calcoliamo
la media e la deviazione standard
NX
= 1 N
v
uX
= t N
k=1
k=1
i
i
2
N 1
Se vogliamo una stima attendibile con probabilità del 68% poniamo
= = p N:
Se vogliamo una stima attendibile con probabilità del 95% poniamo
= 2= p N:
Se vogliamo una stima attendibile con probabilità del 99% poniamo
= 3= p N
Osservazione 2.29 Evidentemente i tre valori di legati alle probabilità 68%,
95%, 99% sono legati alla distribuzione normale.
A parità di N (numero di misurazioni) il legame tra ampiezza dell’intervallo
e attendibilità della stima è del tutto plausibile: se vogliamo una stima più
attendibile (nel senso che aumenta la probabilità che sia vera), dobbiamo necessariamente
accontentarci di una stima meno precisa (nel senso che l’intervallo è
più ampio). E viceversa un intervallo più stretto (apparentemente più preciso)
viene pagato in termini di stima meno attendibile.
Dunque, immaginando che rimanga più o meno stabile, l’unico modo per
dimezzare la stima sull’errore assoluto, conservando l’attendibilità pre…ssata, è
quello di quadruplicare il numero di misurazioni.

2.7. DATI PROVENIENTI DA MISURAZIONI 21
Esempio 2.30 Vogliamo misurare una lunghezza l. Abbiamo tre misurazioni
con un comune metro (precisione …no al mm)
1 = 1:010 m
2 = 1:031 m
3 = 0:978 m
Calcoliamo media e deviazione standard
= 1:006 333 333 m =
= 1:006 m
= 0:026 689 573 m
e quindi, per avere un’attendibilità al 95% poniamo
= 2 p
3
= 2 p
3
0:026 689 573 m =
= 0:033 081 846 m = 0:033 m
E dunque scriveremo
Osserviamo che i valori
l = 1:006 0:033 m:
l max = 1:006 + 0:033 m = 1:039 m
l min = 1:006 + 0:033 m = 0:973 m
sforano il più grande ed il più piccolo valore da noi osservati.
In realtà tre sole misurazioni forniscono un risultato assolutamente inaf-
…dabile (lo si potrebbe dimostrare in maniera rigorosa). Dunque è necessario
e¤ettuare altre misurazioni.
1 = 1:010 m 4 = 0:994 m 7 = 1:011 m 10 = 1:036 m
2 = 1:031 m 5 = 1:028 m 8 = 1:028 m 11 = 1:002 m
3 = 0:978 m 6 = 1:013 m 9 = 0:959 m 12 = 0:964 m
Ripetendo calcoli analoghi a quelli visti sopra otteniamo, con attendibilità al
95%
l = 1:005 0:015 m.
Il valore medio non è cambiato di molto, ma l’intervallo di variabilità è più che
dimezzato.