Equazioni differenziali a variabili separabili

Equazioni differenziali a variabiliseparabiliSi tratta di equazioni del tipou ′ = f(t)g(u), (1)in cui f ∈ C 0 (I) e g ∈ C 0 (J) sono funzioni assegnatesu intervalli reali I e J.Il problema di Cauchy associato è{u ′ = f(t)g(u)u(t 0 ) = u 0 ,(2)con t 0 ∈ I e u 0 ∈ J.1. Per risolvere il problema (2), si segue un procedimentoformale (detto di separazione delle variabili)molto utile nelle applicazioni (esso può giustificarsipienamente anche da un punto di vista teorico, manon ce ne occuperemo): ponendo u ′ = dudt , riscriviamo1

l’equazione (1) nella formadudt = f(t)g(u),quindi, dividiamo ambo i membri per g(u) e“moltiplichiamo” ambo i membri per dt, ottenendodug(u)= f(t) dt.Integrando ambo i membri dell’ultima equazione, tenendoconto della condizione iniziale u(t 0 ) = u 0 , siha ∫ u ∫dv tu 0g(v) = f(s)ds. (3)t 01Se G(u) è una primitiva dig(u)(su un intervallo realeJ 0 ⊂ J contenente u 0 ) e F(t) è una primitiva di f(t)(su un intervallo reale I 0 ⊂ I contenente t 0 ), allora larelazione suddetta si riscrive nella formaG(u) − G(u 0 ) = F(t) − F(t 0 ) . (4)Questa relazione definisce, in forma implicita, la soluzioneu = u(t) del problema (2). Se la funzione G2

è invertibile (su J 0 ) allora l’equazione implicita (4) siriscrive in forma esplicita comeu = G −1 (F(t) − F(t 0 ) + G(u 0 )) . (5)2. Il metodo pone qualche difficoltà se g(u 0 ) = 0,perchè la formula (3) prevederebbe in questo caso diintegrare una funzione ( 1g(u)) con un asintoto verticalein u = u 0 ); in tal caso però si vede subito che il problema(2) ammette come soluzione la funzione costanteu(t) = u 0 .2. Se lasciamo u 0 generico in (3) (oppure in (4), (5)),cioè lo poniamo uguale ad una costante arbitraria c, otteniamoal variare di c tutte le soluzioni dell’equazione(1).Esempio 1. Risolviamo il problema di Cauchy{u ′ = e uu(2) = 7 .(6)3

L’equazione differenziale è del tipo (1), con f(t) = 1 eg(u) = e u .Si ha, ponendo u ′ = dudt (e notando che eu ≠ 0, ∀ u)due u = dtda cui ∫ u ∫dv t7 e = v 2Integrando, otteniamo:ds.quindi:[−e−v ] u7 = t − 2,e −u = e −7 + 2 − ted infine, dato che e −u è invertibile,u = − log ( e −7 + 2 − t ) .Esempio 2. Trovare tutte le soluzioni dell’equazionedifferenzialeu ′ = 2t √ 1 − u 2 . (7)4

L’equazione è del tipo (1), con f(t) = 2t e g(u) =√1 − u2 (in questo caso I = R e J = [−1, 1])Risolviamo il problema di Cauchy per l’equazione (7){u ′ = 2t √ 1 − u 2u(0) = c(8)con dato iniziale c ∈ [−1, 1] generico.Poichè g(±1) = 0, per c = −1 oppure c = +1, lasoluzione del problema (8) è data rispettivamente dau(t) = −1 oppure u(t) = 1.Per −1 < c < 1, la funzione g(u) = √ 1 − u 2 simantiene diversa da zero in un intervallo J 0 ⊂ [−1,1]contenente c; perciò la soluzione di (8) si ottiene perseparazione delle variabili. Si calcola:du√1 − u2= 2t dt,da cui, integrando,∫ uc∫dv t√ = 2 1 − v250sds;

quindied infinearcsinu − arcsinc = t 2u = sin(t 2 + arcsinc)Riassumendo, le soluzioni dell’equazione (7) sono tuttee sole le funzioniu(t) = 1 , u(t) = −1 ,u(t) = sin(t 2 + arcsinc) = sin(t 2 + d),con c costante arbitraria in (−1, 1) (oppure d =arcsinc costante arbitraria in (−π/2, π/2))6