La sezione aurea - misura dell'armonia matematica

Storia di un nome...Conosciuto come rapporto almeno dai pitagorici ( 500 a.C) (pentagonoregolare e pentagramma)Euclide di Alessandria 300 a.C. : si dice che una retta è divisa in media edestrema ragione quando la lunghezza totale della linea sta alla sua partemaggiore come questa sta alla minoreLuca Pacioli 1509: Divina Proporzione (dedica interamente un opera alrapporto aureo) ha la pretesa di interpretare la geometria la filosofia le scienzealla luce del rapporto aureoMartin Ohm 1835 : riferisce del termine sezione aurea dicendo che datempo è discretamente diffuso (probabilmente ad introdurlo è stato Leonardo)Mark Barr inizio del 1900: introduce il simbolo φ dall'iniziale di FidiaLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Perchè divinaIl valore unico del rapporto aureo come l'unicità di DioIl rapporto aureo chiama in causa tre grandezze come la Trinità di DioIl rapporto aureo è un numero irrazionale e richiama l'impossibilitàdell'intelletto umano di arrivare a DioL'autosimilarità del rapporto aureo, indipendente dalla lunghezza delsegmento di partenza da dividere, ricorda l'invariabilità e l'onnipresenza di DioIl rapporto aureo generatore dei solidi platonici come lo Spirito Santodell'anima dell'uomoLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Media ed estrema ragione – Libro VI degli ElementiAF : AB = AB : AEper il teorema secante e tangente(AF – AB) : AB = (AB – AE) : AE proprietà dello scomporreAB = EF e AE = AG quindiAG : AB = GB : AG e dunqueAB : AG = AG : GBil tutto sta ad una parte come questa sta al rimanenteLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Decagoni e Pentagoni regolariAC : CD = AB : BDAC : AB = AB : (AC – AB)per il teorema della bisettriceAD = DC = AB , AC = BDAB 2 = AC( AC – AB), R 2 – L 2 – RL = 0 , (R/L) 2 – R/L – 1 = 0R /L = φLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Decagoni e Pentagoni regolariOgni angolo interno misura 108°Le diagonali uscenti da ciascun vertice dividono l'angolo in tre parti ugualiciascuna quindi di 36°ABD è quindi un triangolo isoscele di angoli 36° 72° 72° e quindi per quantovisto prima nel decagonod / L = φLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Giocando un po'... 2 −−1=0 2 =1 3 = 2 4 = 3 2 5 = 4 3 2 =1 3 = 2 =2 1 4 = 3 2 =2 11=3 2...Una potenza intera qualsiasi di φ è uguale alla somma delle due precedenti, da cuiφ 2 = 1 φ +1 φ 3 = 2 φ +1 φ 4 = 3 φ +2 φ 5 = 5 φ +3 φ 6 = 8 φ +5φ 7 = 13φ +8 …1 1 2 3 5 8 13 ... a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7… n =a na n−1LA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Giocando un po'...Consideriamo la seguente radice a struttura nidificata111111...=... 2 −−1=0 2 =1 =1=11 etc...Caratteristica importante autosomiglianza: dovunque mi fermo nella scritturaciò che “vedo” è esattamente identico a quello che ho precedentementescrittoLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Giocando un po'...FRAZIONE CONTINUA1111111 11...1a 11a 21a 3a 4 1a 5...[1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;...]=[a 1; a 2; a 3; a 4; a 5;...] 2 =1 dividendo per =1 1 =1 11 1 1=11 11 1 =...LA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Le frazioni continue e la sezione aurea1 111 =11 2 = 3 2 =1,51 11 1 2111 1......=1 1 321 1 2=1 2 3 = 5 3 =1,66666...=1 1 =1 3 5 5 =8 5 =1,63Tenendo conto della solita successione di Fibonacci1 2 3 5 8 13 ... a 1a 2a 3a 4a 5a 6…si ha quindi che a 2n1 a 2nn=1,2, 3, 4,5,...a 2n a 2n−1LA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Fibonacci e la sezione aureaSuccessione di Fibonacci definita per ricorsionea 0=1 , a 1=1a n=a n−1a n−2Definizione costruttiva della successione numerica: per determinare un terminea ndevo determinare tutti gli n-1 termini precedenti .... molto scomodo!OBIETTIVO: determinare una funzione f(n) tale che a n= f(n)Abbiamo prima visto che n =a na n−1Analogamente si può verificare chela seconda soluzione dell'equazione1− n =a n1−a n−1x 2 =x1essendo1−e sottraendo membro a membro le due espressioni si ottiene n −1− n =a na n−1−a n1−−a n−1=2a n−a n=2−1a n=5a na n= n −1− n5FORMULA DI BINETLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Rettangoli2 13 4LA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Fibonacci Rettangolo e aureo la sezione aureaLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Rettangolo aureo e Fibonacci211332518LA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Triangolo aureoLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Pentagono stellatoLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Spirale logaritmica: ρ = a e kϑ (coordinate polari)PROPRIETAAutosomiglianza (spira mirabilis) : avvicinadosi o allontanandosi dall'originerimane simile a se stessa ( Eadem mutata resurgo – Epitaffio di Bernoulli)Equiangolarità: gli angoli formati dalla tangente ad un punto della curva ed unasemiretta uscente dal polo e passante per il punto stesso sono tutti congruentiMedia ed estrema ragione: Quando i tre raggi MA, MB e MC formano degliangoli uguali tra di loro, il raggio centrale MB è medio proporzionale tra il piùpiccolo MA ed il più grande MC: MA:MB=MB:MCLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Spirale logaritmica: ρ = a e kϑ (coordinate polari)PROPRIETASuccessione geometrica dei segmenti intercettati dalla spirale su di un raggiouscente dal poloAsintoticità del polo, ossia la curva percorre un numero infinito di spire che siaddensano intorno ad esso senza arrivarvi mai.LA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Spirale logaritmica e rettangolo aureoLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Spirale logaritmica e rettangolo aureoConfronto tra spirale logaritmica aurea (in verde) e la sua costruzionemediante il rettangolo aureo (in blu)LA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Spirale logaritmica e triangolo aureoLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Spirale logaritmica in naturaLa planata del falco pellegrinosulla predaDisposizione dei semi di girasoleIl nautilusLa galassia M51LA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Frattali e numero aureoFrattale = oggetto geometrico di dimensione non intera (fractus)introdotto nel 1975 dal francese Mandelbrot- FuTra le sue principali caratteristiche vi è l'autosimilarità: cambiando la scala sivede sempre la stessa forma geometricaIL MERLETTO DI KOCHOgni segmento viene diviso in tre parti di uguale ampiezza e quella centralesostituita con due lati di un triangolo equilateroLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Dimensione frattaleDato un oggetto di una certa dimensione quanti oggetti più piccoli simili ad essoed uguali tra loro servono per formarlo?Se dividiamo a metà (fattore di riduzione F = ½) un segmento ( dim = 1) siformano 2 segmenti ugualiSe dividiamo i lati di un quadrato (dim = 2) in due parti uguali si formano 4quadrati uguali (2 2 )Se dividiamo i lati di un cubo (dim =3) in due parti uguali si formano 8 cubi uguali(2 3 )Analogamente se procediamo con un fattore di riduzione F = 1/3 otterremorispettivamente 3 segmenti, 9 quadrati, 27 cubiDefiniamo D dimensione frattale quel valore che verifica la seguente relazione:N = (1/F) DEssendo N il numero di oggetti autosimili prodotti con un fattore di riduzione F.E operando con i logaritmiD= log Nlog 1/ FLA BELLEZZA DELLA MATEMATICA LA SEZIONE AUREA: MISURA DELL'ARMONIA

Albero aureoAlbero frattale: a partire dall'estremo di un segmento a si costruisconosimmetricamente ad esso, con apertura di 120°, due segmenti di lunghezza Facon 0 < F