Studio Teorico dei Margini di Miglioramento della Corrente ... - diegm

UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI UDINEFacoltà di IngegneriaCorso di Laurea in Ingegneria ElettronicaDipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale eMeccanicaTesi di LaureaStudio Teorico dei Margini diMiglioramento della CorrenteMassima in Transistori MOSNanometriciRelatore:Prof. David EsseniLaureando:Marco De MichielisCorrelatori:Prof. Luca SelmiDott. Ing. Pierpaolo PalestriAnno Accademico 2003-04

Indice1 Introduzione 11.1 Il MOSFET come Interruttore Digitale . . . . . . . . . . . . . 11.2 Scaling dei MOSFET Nanometrici . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 MOSFET in Regime di Trasporto Balistico e Scopo della Tesi 42 Modelli per MOSFET Tradizionale e Balistico 72.1 Modello per MOSFET Tradizionale . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Modello per MOSFET Balistico . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Estensione del Modello per MOSFET Balistico 213.1 Struttura a Bande negli Strati d’Inversione . . . . . . . . . . 213.2 Generalizzazione per Ellissi Ruotate . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Velocità Elettronica e Densità degli Stati 2D . . . . . . . . . 283.4 Il Problema della Quantum Capacitance . . . . . . . . . . . . 303.5 Modello Analitico Approssimato per la Corrente Balistica:Caso Degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5.1 Dipendenza da m L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.2 Dipendenza da m W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.3 Dipendenza da n ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.4 Dipendenza da C ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 Modello Analitico Approssimato per la Corrente Balistica:Caso non Degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 Simulatore Schr1D 414.1 Funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Modifiche Apportate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Limiti del Simulatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 Simulazioni 495.1 Risultati per Piccole Masse di Quantizzazione e Singola BandaOccupata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.1 Confronto con il Modello Approssimato . . . . . . . . 535.2 Effetto del Caricamento di più Sottobande: Silicio (001) eSilicio (110) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53I

5.3 Effetto della Direzione del Trasporto nel Piano . . . . . . . . 585.3.1 Silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3.2 Germanio e Arseniuro di Gallio . . . . . . . . . . . . . 625.4 Confronto fra i Diversi Semiconduttori . . . . . . . . . . . . . 635.5 Scaling del T ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 Conclusioni 69A Porzione del File solution.c Modificata 77B Concentrazione Superficiale per Ellissi Ruotate 81C Programma per l’Analisi Automatica dei Dati 83II

Elenco delle figure1.1 Rappresentazione del MOSFET: (a) V DS = 0, (b) V DS > 0 . . 12.1 Tipi di trasporto: (a) lineare, (b) saturato . . . . . . . . . . . 82.2 Curve v-x: (a) regime lineare, (b) regime saturato . . . . . . 102.3 Caratteristiche I-V parametrizzate in µ eff . . . . . . . . . . . 112.4 Caratteristiche I-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Caratteristiche I-V con L parametro . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Caratteristiche I-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Trasporto balistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8 Stati riempiti nel caso balistico . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9 Curva v-x: regime balistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.10 Approssimazione di F 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.11 Caratteristiche I-m W2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.12 Caratteristiche I-m L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.13 Caratteristiche I-n ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1 Rappresentazione schematica degli ellissi equienergetici . . . . 233.2 Sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Dominio D in (k x, ′ k y) ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Dominio D in (ε, θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Rappresentazione della DOS 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.6 Curve v-θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7 Rappresentazione circuitale della C eff . . . . . . . . . . . . . 313.8 Curva C effC ox- V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.9 Curva C effC ox- V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.10 Curva √ m ID in funzione di θ r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.11 Curva I − m L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.12 Curva I − m W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.13 Curva I − n ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1 Flow Chart di main.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.1 Curva I D - m L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Curva I D - m L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50III

5.3 Curva I D - m W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4 Curva I D - m W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5 Curva I D - n ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.6 Curve I D - m W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.7 Curva I D - V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.8 Curva n INV - V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.9 Curva v inj - V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.10 Curva C eff - V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.11 Curva v inj - V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.12 Curva g m e I D in funzione di V g . . . . . . . . . . . . . . . . 575.13 Curva I D - V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.14 Grafico polare di I D in funzione di β . . . . . . . . . . . . . . 595.15 Curva I D - V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.16 Grafico polare di I D in funzione di β . . . . . . . . . . . . . . 605.17 Curva I D - V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.18 Grafico polare di I D in funzione di β . . . . . . . . . . . . . . 615.19 Grafico polare di I D in funzione di β . . . . . . . . . . . . . . 625.20 Curva I D - V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.21 I D - β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.22 Curva I D − V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.23 Curva n INV − V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.24 Curva v inj − V g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.25 Curva I DMAX - Tox −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.1 Curva I DMAX - T −1ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70IV

Elenco delle tabelle3.1 Masse efficaci per semiconduttori bulk . . . . . . . . . . . . . 223.2 Masse efficaci per semiconduttori con quantizzazione . . . . . 234.1 Masse, degenerazioni ed angoli per Si (solo valli ∆) . . . . . . 444.2 Masse, degenerazioni ed angoli per Ge . . . . . . . . . . . . . 44V

Capitolo 1Introduzione1.1 Il MOSFET come Interruttore DigitaleLo sviluppo che si è avuto nel campo della microelettronica negli ultimi30 anni è unico nel suo genere. Basti pensare come l’elettronica integratain complessi sistemi digitali sia penetrata progressivamente in ogni singoloaspetto della nostra vita e quali opportunità e benefici essa abbia procurato.Il MOSFET (Metal - Oxide - Semiconductor - Field - Effect - Transistor)è il dispositivo principale della moderna micro e nano-elettronica soprattuttoper quanto riguarda le applicazioni di tipo digitale. Infatti esso realizza lafunzione base di interruttore, indispensabile ad ogni sistema digitale.Il MOSFET può essere rappresentato come un condensatore in cui vieneindotta carica elettrica per accoppiamento capacitivo attraverso la tensioneapplicata all’elettrodo di gate (Fig. 1.1(a)). L’applicazione di una tensionetra gli elettrodi di source e drain produce poi un campo elettrico longitudinaleche, muovendo la carica indotta, produce una corrente lungo il canale(Fig. 1.1(b)). Dal punto di vista della massima corrente è quindi importanteVg>0Vg>0Vd¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¦¡¦¡¦¡¦¡¦¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¥¡¥¡¥¡¥¡¥Source¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¦¡¦¡¦¡¦¡¦¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¥¡¥¡¥¡¥¡¥§¡§¡§¡§¡§¨¡¨¡¨¡¨¡¨¨¡¨¡¨¡¨¡¨§¡§¡§¡§¡§Drain§¡§¡§¡§¡§¨¡¨¡¨¡¨¡¨¨¡¨¡¨¡¨¡¨§¡§¡§¡§¡§§¡§¡§¡§¡§¨¡¨¡¨¡¨¡¨¨¡¨¡¨¡¨¡¨§¡§¡§¡§¡§¨¡¨¡¨¡¨¡¨§¡§¡§¡§¡§¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ Source¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢v¤¡¤¡¤¡¤¡¤£¡£¡£¡£¡£Drain£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤£¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤£¡£¡£¡£¡£IStrato invertito(a)(b)Figura 1.1: Rappresentazione del MOSFET: (a) V DS = 0, (b) V DS > 01

indurre maggior carica di inversione ed aumentarne la velocità nel canale.Il processo di scaling, cioè di riduzione progressiva delle dimensioni fisiche,punta proprio a questo: attraverso la riduzione dello spessore dell’isolanteT ox viene aumentata la capacità C ox del dispositivo portando così ad un aumentodella carica d’inversione. Allo stesso modo riducendo la lunghezza digate L G (e quindi del canale L) si aumenta il campo elettrico longitudinaleincentivando così la velocità della carica d’inversione.A prescindere dall’effetto sul singolo dispositivo, lo scaling è stato determinanteper l’aumento del numero di dispositivi sul chip e per la complessitàdelle funzioni implementate. Tale possibilità di avere funzioni sempre piùcomplesse ha portato alla realizzazione di interi sistemi su un singolo chip.Nell’ambito dell’elettronica digitale la più naturale metrica di ritardo peruna porta logica è CV/I on , ovvero il rapporto tra la carica e la corrente dicanale. Tuttavia i parassiti legati alle capacità di giunzione dei transistorsed alle capacità delle interconnessioni non scalano come la carica indotta nelcanale e producono quindi dei ritardi inversamente proporzionali alla I on .Quindi anche la semplice I on è un’importante metrica di ritardo.In questa tesi l’attenzione è rivolta allo studio della massima I on ottenibileda transistors nano-metrici in regime di trasporto pressochè balistico.1.2 Scaling dei MOSFET NanometriciLa progressiva riduzione delle dimensioni dei transistors è regolata e programmatanella ITRS (International Technology Roadmap for Semiconductors)[1], che è un documento, pubblicato periodicamente, in cui si fissanoi termini temporali da rispettare, nel breve e nel lungo periodo, per la realizzazionedei nodi tecnologici. Le varie specifiche elettriche vengono differenziatein base alle applicazioni a cui sono rivolte: HP(High Performance),LOP(Low Operating Power), LSTP(Low STandby Power). In questa tesi,essendo l’attenzione concentrata sulla corrente massima dei transistors, sifarà riferimento alle specifiche dei dispositivi HP.La ITRS sta chiaramente spingendo la tecnologia CMOS al limite persoddisfare le crescenti richieste di prodotti ad alte prestazioni.In particolare, al fine di preservare un comportamento soddisfacente delMOSFET Bulk, il rapporto tra la lunghezza del gate L G e lo spessore dell’ossidoT ox non deve scendere approssimativamente sotto 50. Questo vincoloimpone spessori efficaci degli ossidi al di sotto di 1 nanometro per dispositiviHP dal 2006 in poi [1]. Tali spessori potrebbero soffrire di correnti di leakageeccessive e/o di problemi di affidabilità [2]. Anche se i dielettrici high-κ inun futuro sostituiranno l’ossido di silicio, lo scaling di T ox al di sotto di 1nm non è tutt’oggi realizzabile.Assieme allo scaling aggressivo dell’ossido, il MOSFET Bulk richiede ancheuna concentrazione di drogaggio maggiore di 10 18 cm −3 per ridurre gli2

effetti di canale corto (SCE) per L G sotto i 100 nm. Le fluttuazioni statistichedel doping nel canale introducono un’apprezzabile dispersione della tensionedi soglia (V T ) che è una limitazione fondamentale per la realizzazionedi lunghezze di canale estremamente corte nei MOSFET Bulk. In aggiunta,un pesante doping nel canale aumenta le capacità di giunzione source-draine riduce la mobilità efficace (µ eff ) comportando quindi un degrado delleperformance del dispositivo per un dato L G [3].Infine, nei MOSFETs Bulk lo scaling della profondità delle giunzioni disource e drain è un altro ingrediente essenziale per ridurre gli effetti di canalecorto [4]. Anche per questo problema non esistono ancora soluzioni noteper realizzare le specifiche suggerite dalla Roadmap. In un futuro non prossimoforse nuovi dispositivi elettronici basati su principi di funzionamentoquanto meccanici e caratterizzati da dimensioni nanometriche fornirannoun’alternativa ai transistori MOS.Rimanendo invece nel campo dei CMOS, una valida alternativa al MO-SFET Bulk è il transistor SOI (Silicon On Insulator) che, se realizzato constrati di silicio sottile (T Si < 10nm), rappresenta un dispositivo molto scalabileanche con canale praticamente non drogato [5] [6]. Il MOSFET SOIpuò funzionare con un singolo gate (SG) o con un gate doppio (DG). Simulazioninumeriche hanno mostrato che proprio il DG MOSFET con UTB(Ultra Thin Body) è probabilmente l’architettura con possibilità di scalingsuperiori [7]. In particolare gli UT-SOI MOSFET possono ridurre il rapportotra L G e T ox rilassando così il vincolo critico sullo scaling dell’ossidonei transistori Bulk. In aggiunta il sottile strato di silicio non drogato eliminail problema delle fluttuazioni statistiche del doping riducendo anche ilcampo elettrico efficace [8] data una certa densità d’inversione con possibilimiglioramenti delle µ eff rispetto ai MOSFET Bulk. Infine si ricorda che lariduzione dello spessore di silicio T Si limita la profondità delle giunzioni disource e drain comportando una riduzione delle loro capacità.Quindi l’introduzione di queste architetture di dispositivi su film di siliciosottile porta ad una ottima scalabilità ed ad una importante riduzionedelle capacità parassite, tuttavia nasce anche il problema di un eventuale degradodel trasporto e della mobilità nei film di semiconduttore molto sottili.Quest’ultima problematica è stata affrontata sia dal punto di vista sperimentale[9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] che modellistica attraverso simulazioninumeriche [16] [17].Grazie a questo straordinario e continuo scaling geometrico si è quindiarrivati a produrre capacità di gate che corrispondono a spessori efficaci diossido di silicio dell’ordine di 1 nm. Contestualmente anche le lunghezze dicanale hanno raggiunto le poche decine di nanometri. In questa situazione ilnumero di eventi di scattering è così ridotto che le relazioni tra campo elettricoe velocità elettronica sono profondamente diverse da quelle utilizzatenei dispositivi lunghi con trasporto uniforme. Inoltre anche la capacità digate non è semplicemente la capacità dell’ossido C ox perchè la capacità in3

serie dello strato d’inversione diventa comparabile alla C ox .1.3 MOSFET in Regime di Trasporto Balistico eScopo della TesiAnche per dispositivi con lunghezze intorno a 20 nm le simulazioni numericheindicano che lo scattering nel canale riduce ancora la I on del dispositivorispetto al valore teoricamente raggiungibile in un MOSFET realmentebalistico [18] [19] [17].Tuttavia la discussione delle prestazioni balistiche è importante perchèstudia la massima corrente ottenibile e consente di individuare quali elementisaranno importanti per la I on quando ci si avvicinerà a tale regime ditrasporto.In questo ambito si capisce che le massime I on in regime balistico sonolegate alle proprietà del materiale costituente il canale e quindi non sorprendeil recente interesse per semiconduttori di canale diversi dal silicio e lostudio della ottima orientazione del trasporto nel piano, fissato il materiale.In particolare le prime formulazioni analitiche per la corrente balisticasono state discusse in [20] [21] e più di recente lo studio della massima I onottenibile in transistori MOSFET con canale in silicio o germanio è statoaffrontato tramite complesse simulazioni numeriche [22] [23].Lo scopo di questa tesi è invece quello di sviluppare modelli semianaliticiper capire la dipendenza della I on dalla:• Orientazione del trasporto nel piano• Masse efficaci nel piano del trasporto• Degenerazione delle valliA questo scopo si generalizza il modello sviluppato da Lundstrom perellissi orientate arbitrariamente rispetto alla direzione del trasporto ottenendodelle espressioni compatte per la I on dipendenti soltanto dalla tensionedi gate e dalle proprietà del materiale [24]. Lo studio del materiale ottimoè condotto attraverso queste espressioni semianalitiche.Nel capitolo 2 della tesi si analizzano i modelli che descrivono il funzionamentodel MOSFET tradizionale e del MOSFET balistico, osservando ledifferenze tra i 2 tipi di funzionamento.Nel capitolo 3 si generalizza la teoria del MOSFET balistico per qualsiasiorientazione del trasporto. Questo conduce alla derivazione di un modelloanalitico semplificato della dipendenza della I on dalla orientazione deltrasporto nel piano.Nel capitolo 4 si presenta il simulatore Schr1D utilizzato per implementarela teoria sviluppata, riportando anche le modifiche apportate.4

Nel capitolo 5 sono riportate le simulazioni, i grafici e le tabelle utilizzateper verificare e comprendere i comportamenti dei dispositivi.La tesi termina con il capitolo 6 relativo alle conclusioni traibili del lavorosvolto.5

Capitolo 2Modelli per MOSFETTradizionale e BalisticoA partire dagli anni settanta diversi modelli per lo studio e per la comprensionedel funzionamento del MOSFET sono stati sviluppati. In questocapitolo si analizzeranno i modelli tradizionali, anche usati per la simulazionecircuitale, ed inoltre i modelli più recentemente studiati per descrivere inano-MOSFET lunghi poche decine di nanometri in cui il trasporto di caricapuò avvicinarsi ad un regime balistico.2.1 Modello per MOSFET TradizionaleIl modello che descrive il funzionamento del MOSFET tradizionale si basasulla risoluzione approssimata della BTE (Boltzmann Transport Equation)tramite l’utilizzo del metodo dei momenti.Considerando solo i primi 2 momenti (di ordine 0 e 1) e sotto l’ipotesiche il gas elettronico sia sempre in equilibrio con il campo elettrico localesi giunge al modello drift-diffusion su cui si basano i modelli tradizionalidel MOSFET. La condizione di equilibrio tra energia cinetica fornita dalcampo elettrico locale e energia spesa negli eventi di scattering (figura 2.1(a)) implica che la velocità ed energia media dei portatori sono univocamentecorrelate al campo elettrico longitudinale E l .Si considera una struttura MOSFET orientata come segue: il canale (conlunghezza L) lungo l’asse x, la direzione ortogonale al piano del trasportolungo y e la direzione nella larghezza del dispositivo (W ) lungo z. L’espressionedella densità di corrente dovuta agli elettroni lungo il canale secondoil modello drift-diffusion è:J n = −qµ n n dφdx + qD dnn(2.1)dxdove µ n è la mobilità elettronica, φ è il potenziale, n la concentrazione dielettroni, q è la carica elettrica dell’elettrone e D n il coefficiente di diffusione7

EcEcEav(a)Figura 2.1: Tipi di trasporto: (a) lineare, (b) saturato(b)elettronica. Integrando lungo le direzioni y e z, facendo l’ipotesi che tuttala carica di inversione sia concentrata in un sottile strato all’interfaccia traossido e semiconduttore e ricordando la relazione di Einstein D n = µ n V th sipuò srivere che:∫ +∞∫dφ+∞I = −qW nµ n0 dx dy + qW V dnth µ n0 dx dydφ s= W µ effdx Q dQ n (x)n(x) − W V th µ eff (2.2)dxdove µ eff è la mobilità media dello strato d’inversione ottenuta pesandoµ n con la concentrazione di elettroni lungo y. La mobilità µ eff esprimela capacità degli elettroni di acquisire velocità tramite il campo elettricoed è legata alla frequenza di scattering (cioè agli eventi di interazione frai portatori e le deviazioni dalla idealità del cristallo che li ospita) e allaloro massa efficace nella direzione x del trasporto. Quindi la µ eff è legataai parametri fisici del materiale. Con φ s (x) viene indicato il potenzialesuperficiale. Per il secondo addendo si è portato fuori dal segno di integralel’operatore di derivazione parziale consentendo così di ritrovare l’espressionedi Q n . Si cerca ora di esprime la Q n (x) tramite φ s (x) per giungere ad unaQ n (φ s ). Procedendo con l’integrazione lungo x si ha:I = W [ ∫ ]φs(L)L µ eff Q n (φ s )dφ s − V th (Q n (φ s (L)) − Q n (φ s (0))) (2.3)φ s(0)che è essenzialmente costituita da 2 componenti: il primo addendo costituiscela parte ohmica mentre il secondo quella di diffusione. Facendo l’appros-8

simazione di Canale Graduale, cioè supponendo che lungo tutta l’estensionedel canale sia vero che il campo elettrico verticale sia molto più grande diquello longitudinale (F y ≫ F x ), si ottiene:(Q n (φ s ) = −C ox V GB − V F B − φ s + Q )B(φ s )C oxdove C ox è la capacità dell’ossido, V GB la tensione tra gate e bulk, V F B è latensione di flat band e Q B la carica di svuotamento nel bulk. Trascurandoil secondo addendo della relazione (2.3) si ha che:I ≃ W [ ∫ ]φs(L)L µ eff Q n (φ s )dφ sφ s(0)Assumendo condizioni di inversione dal source al drain, φ s varia da (2φ s +V SB ) a (2φ s + V DB ) e ipotizzando√la carica nel bulk costante per V GB >V T cioè Q B (φ s ) = −γC ox φs = Q B (2φ s + V SB ) (dove γ è il coefficientedi effetto body), si risolve l’integrale giungendo così al modello di primaapprossimazione del MOSFETI D = W L µ eff C ox[(V GS − V T )V DS − 1 2 V 2 DS](2.4)Per V DS piccoli il termine VDS 2stessa si riduce a:nella (2.4) può essere trascurato e quindi laI D = W L µ eff C ox [(V GS − V T )V DS ]In tal caso si dice che il MOSFET è in regione lineare. Per valori di V DS piùgrandi si ha che la corrente segue un andamento parabolico fino a raggiungereun valore massimo. Questa corrente è detta corrente di saturazione I Dsat evale:I D = I Dsat = W 2L µ eff C ox (V GS − V T ) 2 (2.5)Fino a quando si ipotizza un trasporto di tipo lineare, in cui la velocitàdegli elettroni è proporzionale al campo elettrico longitudinale (figura 2.2(a)), si può scrivere che:v = µ eff F xTuttavia per valori di F x maggiori di circa 10 4cm, misurazioni sperimentalievidenziano una dipendenza velocità-campo diversa dalla precedente. SeF x supera il campo critico F c , la velocità degli elettroni e la loro energiamedia (vedi figura 2.1 (b)) tende a crescere meno di quanto previsto dalmodello del trasporto lineare. Per valori di campo elettrico longitudinalisempre più alti gli elettroni tenderanno a raggiungere una velocità limitedetta di saturazione v sat (figura 2.2 (b)). In queste circostanze la relazione9V

vvvsatFx crescenteFx crescentexx(a)(b)Figura 2.2: Curve v-x: (a) regime lineare, (b) regime saturatogenerale tra velocità e campo elettrico assume una nuova espressione deltipo (Caughey and Thomas):v =µ eff F x[1 + ( FxF c) n ] 1 n(2.6)dove n=2 per gli elettroni e n=1 per le lacune. Questa espressione racchiudesia il caso di trasporto lineare v = µ eff F x (a bassi campi il denominatore ècirca 1) che quello di trasporto totalmente saturato in cui v = v sat = µ eff F c .Da qui si deduce che:F c = v satµ effCombinando la (2.6) con l’approssimazione di Canale Graduale si arriva adescrivere il trasporto in regime di velocità saturata; infatti si può dimostrareche in tale regime la densità di corrente assume l’espressione:I DsatW = C oxv sat (V GS − V T )√(V1 + 2µ GS −V T )eff v satL− 1√(V1 + 2µ GS −V T )eff v satL+ 1(2.7)Come è stato riportato in letteratura [3] [25], la mobilità negli stratiinvertiti dei MOSFET dipende da grandezze quali la temperatura e laconcentrazione di droganti nel semiconduttore. Altre grandezze, quali leorientazioni di quantizzazione e trasporto (come si evince dal grafico 2.3),modificano le masse efficaci, quindi di conseguenza la mobilità e dunque lacorrente.10

I Dsat/W [A/m]140012001000800600(100) µ eff=350 cm 2 /Vs T ox=20nm(110) µ eff=80 cm 2 /Vs(111) µ eff=120 cm 2 /Vs(100) T ox=15nm(110)(111)(100) T ox=10nm(110)(111)(100) T ox=5nm(110)(111)V DS=V DD=4 V V T=0.2V DDL=200 nm40020000 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5V GS−V TFigura 2.3: Caratteristiche I-V parametrizzate in µ effSi nota subito, anche osservando la figura 2.4, che la dipendenza dellarelazione (2.7) da C ox è di tipo lineare con C ox :C ox = ɛ oxT oxCome si vede questa variabile dipende sia da parametri fisici (ɛ ox ) relativial materiale che costituisce l’isolante sia dalla grandezza geometrica relativaal suo spessore (T ox ).Per quanto riguarda la dipendenza della corrente dalla lunghezza delcanale si può dimostrare che per L grande, cioè per canale lungo, la (2.7)si semplifica nell’espressione classica del MOSFET in regime di saturazione(2.5). Man mano che L diminuisce la corrente di saturazione è significativamenteinferiore a quella prevista nel caso di canale lungo. Nel limite diL → 0 la (2.7) diventa:I DsatW = C oxv sat (V GS − V T ) (2.8)Si nota che, diversamente dal caso del MOSFET a canale lungo aventeuna I Dsat con dipendenza quadratica da (V GS − V T ), la relazione (2.8)non dipende da L ed è funzione lineare dell’overdrive. Tale differenza dicomportamento è evidenziata nelle figure 2.5 e 2.6.11

80070060010nm < T ox< 50 nm V GS=V DS=V DD=4 V(100) L=500 nm(110)(111)(100) L=100 nm(110)(111)500I Dsat/W [A/m]40030020010000.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5C ox[F/m 2 ]x 10 −3Figura 2.4: Caratteristiche I-CNei dispositivi attuali le lunghezze di canale sono talmente corte da essereinferiori a quelle necessarie per l’equilibrio dinamico tra campo elettricoe eventi di scattering. Questo significa che gli elettroni tendono ad acquisireuna temperatura superiore a quella del reticolo cristallino andando cosìcontro l’ipotesi base del modello drift-diffusion. Infatti questo modello nonriesce a spiegare fenomeni come l’overshoot di velocità e la ionizzazione daimpatto che sono dovuti proprio a condizioni di forte non equilibrio.Quindi, per poter spiegare i fenomeni che avvengono in dispositivi chetendono a comportarsi in modo diverso dal classico, sono necessari altrimodelli basati su ipotesi differenti.12

3500V DS=V DD=4 V V T=0.2V DDT ox=3nmI Dsat/W [A/m]3000250020001500(100) L=1µm(110)(111)(100) L=500 nm(110)(111)(100) L=100 nm(110)(111)(100) L=10 nm(110)(111)100050000 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5V GS−V T[V]Figura 2.5: Caratteristiche I-V con L parametro22002000T ox=5 nmV GS=V DS=V DD=4 V(100)(110)(111)18001600I Dsat/W [A/m]1400120010008006004000 0.5 1 1.5L [m]2 2.5 3x 10 −7Figura 2.6: Caratteristiche I-L13

EcFigura 2.7: Trasporto balisticoE(k)Ef−qVdsEf+kEc(x)Figura 2.8: Stati riempiti nel caso balistico2.2 Modello per MOSFET BalisticoNel limite balistico, gli elettroni responsabili del trasporto nel MOSFETpercorrono il canale senza incorrere in eventi di scattering (con fononi, impurezzeo asperità dell’interfaccia semiconduttore-ossido) (vedi figura 2.7).Questo è possibile quando il libero cammino medio degli elettroni, cioè ladistanza media percorsa dell’elettrone tra due eventi consecutivi di scattering,è inferiore alla lunghezza del canale. Questo tipo di trasporto ècompletamente diverso da quello di tipo lineare e saturato: infatti in regimebalistico si ha una forte condizione di non equilibrio tra campo elettrico egas elettronico vista l’assenza di eventi di scattering.Fissata la differenza di potenziale tra drain e source, per bassi valori14

delle tensione di gate (per esempio sotto soglia), il profilo della banda diconduzione evidenzia una barriera di energia potenziale relativamente altalungo il canale che non consente il transito di una corrente apprezzabile. Unaumento della tensione di gate abbassa questa barriera di energia potenzialeconsentendo così il flusso di corrente. Tipicamente si analizza il MOSFETin termini di carica nel canale, ma in questo caso è la modulazione dellaaltezza della barriera di energia da parte della tensione di gate che consenteil fluire della carica dal source nel canale.La capacità e la tensione di gate determinano la carica in un punto dimassimo di energia potenziale lungo il canale in prossimità del source dettosource virtuale. Questa carica deriva dagli elettroni iniettati, all’interno delcanale, sia dal source che dal drain. In condizioni di balisticità si ha che glistati elettronici con k > 0 (nella direzione source - drain) sono occupati dauna funzione di Fermi d’equilibrio con livello di Fermi del source e che quellicon k < 0 (nella direzione drain - source) sono occupati in accordo con unafunzione di Fermi d’equilibrio ma con livello di Fermi del drain (figura 2.8).Si conclude così che la carica totale nel massimo del profilo della banda diconduzione ha due componenti: una con velocità positive e determinata dellivello di Fermi al source e l’altra con velocità negative e dipendente dallivello di Fermi del drain. In modo analogo si avranno due componenti dicorrente che sommate algebricamente andranno a comporre il flusso totale dicarica nel MOSFET: una positiva determinata dal livello di Fermi del sourcee una negativa determinata dal livello di Fermi del drain. La velocità deglielettroni all’uscita dal source viene definita velocità d’iniezione e per campilongitudinali sempre più alti aumenta e tende poi a saturare alla velocità diequilibrio termico [26]. Quindi per differenze di potenziali tra drain e sourcesufficientemente grandi la velocità d’iniezione non dipende più dal campolongitudinale.Una volta entrati nel canale gli elettroni, essendo sottoposti al campoelettrico longitudinale, sono progressivamente accelerati dal campo elettricofino al drain come rappresentato in figura 2.9.Per arrivare ad un modello per transistor balistico si procede considerandoun MOSFET (SG o DG) con direzione di quantizzazione lungo l’assez. Con il termine quantizzazione si indica che il campo elettrico ortogonaleal gate è tale da rendere il piegamento della banda di conduzione (nellazona dell’interfaccia tra silico e ossido) così accentuato da non poter esserepiù considerata vera l’ipotesi di un continuo di livelli energetici in quelladirezione; infatti si parlerà di sottobande energetiche. Si ha quindi unaquantizzazione del vettore d’onda k z che porta ad un gas elettronico di tipo2D.Si intende analizzare le dipendenze della corrente dalle varie grandezzefisiche. Per far ciò si indica l’espressione della corrente e della concentrazioneelettronica nel caso di transistore balistico. La corrente e la concentrazionedi elettroni per ogni sottobanda i-esima, derivate da [24] trascurando l’inie-15

zione di elettroni dal drain e quindi ipotizzando il riempimento dei soli statielettronici con k positivi, sono:I (i)DW =n (i)s√ q ( ) 3KT2¯h2π2n(i)ν√m (i)W F 1 2(η i ) (2.9)= n(i) ν m (i) ( )d KTπ¯h 2 ln(1 + e η i) (2.10)2con F 1 (η i ) integrale di Fermi completo di ordine 122F j (η) =definito come:∫1 +∞t jdt (2.11)Γ(1 + j) 0 1 + et−η con j = 1 2 .Nell’eq. (2.9) η i = E F −E iKTcon E F energia di Fermi e E i energia dell’autovalorei-esimo; n ν(i) è la degenerazione di ogni sottobanda; m (i)W è la massaefficace dell’elettrone dell’i-esima sottobanda nella direzione della larghezzadel canale mentre m (i)L è quella nella direzione del canale; infine con m(i)dsiindica la massa efficace della densità degli stati. Dal rapporto tra la (2.9)e la (2.10) si ricava l’espressione della velocità di iniezione (v inj ) per ognisottobanda. Tale velocità è espressa da:v (i)inj =I (i)DWqn (i)s=√2KT F 1 (η i )2πm L ln(1 + e η (2.12)i )L’origine fisica di questa velocità è totalmente diversa da quella della velocitàdi saturazione. Qui, come già detto, non si fa riferimento a condizionidi equilibrio tra energia acquisita dal campo e quella persa in eventi discattering ma si prende in considerazione solo la porzione della funzione dioccupazione d’equilibrio al source caratterizzata da una componente positivadella velocità nella direzione da source a drain. Quindi le relazioni (2.9),(2.10), (2.12) descrivono il comportamento dei transistors balistici servendosiin parte della teoria sviluppata per le emissioni di tipo termoionico.Nell’ipotesi di gas degenere (η i > 3÷4) la F 1 (η i ) può essere approssimata2con l’espressione derivata da [27] (vedi figura 2.10):ed inoltre la (2.10) si semplifica in:F 1 (η i ) ≈ 42 3 √ π (η i) 3 2 (2.13)n (i)s≈ n(i) ν m (i) ( )d KTπ¯h 2 η i216

vvinjLxFigura 2.9: Curva v-x: regime balisticoFigura 2.10: Approssimazione di F 12in quanto ln(1 + e η i) ≈ η i per η i grandi.Ecco che è possibile esprimere η i e quindi F 1 (η i ) in funzione di n (i)s :2( )η i ≈ 2n(i) s π¯h2KT n ν (i) m (i)ded elevando alla 3 2quest’ultima espressione e sostituendola nella (2.13) e poinella (2.9) si ha:I (i)(DW ≈ q KT√2¯h2π= 8q¯h3 √ π) 3(1√n ν(i)2n(i)ν√m (i)W1(m (i)L )3 m (i)W43 √ π 2√ 2( ) 3π 2¯h3 (n (i)s ) 3 2KT(n ν (i) ) 3 2 (m (i)L m(i) W ) 3 4) 14(n (i)s ) 3 2 (2.14)17

√dove è stata sostituita m (i)d= m (i)L m(i) W, definizione della massa efficacedegli stati.Per poter procedere nel ragionamento è necessario introdurre un’ ipotesisemplificativa: si fà l’ipotesi di singola sottobanda occupata. Questocomporta che:n INV =N∑subi=1n s (i) ≈ n (1)se che quindi tutte le concentrazioni delle altre siano trascurabili; in più siha che:NI subDW = ∑i=1I (i)DW ≈ I(1) DW(2.15)E’ ora necessario introdurre una relazione che leghi la n s alle grandezzemisurabili ai morsetti; la relazione più semplice che leghi la carica alla tensioneè quella relativa all’elettrostatica del condensatore MOS classico (percomodità non si indica la singola sottobanda ad apice):n INV = n s = 1 q C ox(V DD − V T )Sostituendo quest’ultima espressione nella (2.14) e poi nella (2.15) si ha:I DW ≈ 8q¯h3 √ π() 11 1( 4 1√nν (m L ) 3 m W q C ox(V DD − V T )) 32(2.16)Rispetto alle espressioni per I D ricordate al paragrafo 2.1 l’eq. (2.16)mette in evidenza la dipendenza da n ν , m L e m W le quali intervengonodirettamente nella determinazione della densità di corrente erogabile daldispositivo. Si nota subito che la corrente non ha più alcuna dipendenza dallamobilità efficace in quanto gli scattering non sono più presi in considerazionee quindi la definizione stessa di mobilità viene meno. Si nota anche la totaleassenza del parametro geometrico L.Analizzando le derivate rispetto m W , m L e n ν si nota una dipendenza ditipo monotono decrescente per la I DW(vedi figure 2.11, 2.12 e 2.13); quindiquesto modello implica che, per migliorare la corrente massima erogabiledal MOSFET, il materiale e/o l’orientazione del canale deve essere tale daridurre quanto più possibile n ν , m L e m W . Per quanto riguarda la dipendenzada C ox , si nota che la I D non ha un andamento di tipo lineare (comenel caso di MOSFET classico) ma del tipo C 3 2 ox .18

5500T ox=1 nm m L=0.19m 0n ν=2 V DD=0.5 V V T=0.2V DD500045004000I D/W [A/m]350030002500200015000 0.5 1 1.5m W[m 0]Figura 2.11: Caratteristiche I-m WT ox=1 nm m W=0.19m 0n ν=2 V DD=0.5 V V T=0.2V DD2.5 x 104 m L[m 0]21.5I D/W [A/m]10.500 0.5 1 1.5Figura 2.12: Caratteristiche I-m L19

12000T ox=1 nm m W=m L=0.19m 0V DD=0.5 V V T=0.2V DD100008000I D/W [A/m]60004000200000 1 2 3 4 5 6n νFigura 2.13: Caratteristiche I-n ν20

Capitolo 3Estensione del Modello perMOSFET BalisticoIn questo capitolo si estenderà il modello presentato nel paragrafo 2.2 generalizzandoloper qualsiasi orientazione del materiale costituente il canale.Da questo si estrarrà un modello analitico approssimato per correnti balisticheche consentirà di studiare le dipendenze della massima corrente dallecaratteristiche del materiale semiconduttore.3.1 Struttura a Bande negli Strati d’InversioneLa conoscenza della struttura a bande dei semiconduttori ha aperto la stradaai successivi studi sulle proprietà degli strati invertiti. Infatti la presenza diquantizzazione modifica la distribuzione energetica di tipo ellissoidale nellospazio k portando alla genesi di ellissi equienergetici nel piano ortogonalealla direzione quantizzata. Tali ellissi assumono nella zona di Brillouin formee posizioni che dipendono dalla direzione di quantizzazione.Fra i primi studi sugli strati d’inversione per diverse direzioni di quantizzazionesi ricorda quello di Stern and Howard [28]. In tale studio si cercanoi livelli energetici E e e le funzioni inviluppo ψ che soddisfano l’equazionedi massa efficace[T − qφ(z) − E]ψ = 0 (3.1)dove φ(z) è il potenziale elettrostatico e T è l’operatore energia-cineticadefinito cosìT = 1 ∑w ij p i p j (3.2)2i,jdove p j = −i¯h( ∂∂x j) e w ij è il tensore dei reciproci delle masse efficaci in unsistema di riferimento in cui l’interfaccia del dispositivo è nel piano z = 0.Tramite una trasformazione di coordinate da gli assi principali degli ellissoidiequienergetici ad un sistema di riferimento opportuno e la sostituzione di una21

funzione ξ(z) = f(ζ(z)) nella soluzione di prova ψ(x, y, z) = f(ξ(z)), si hache dall’equazione di Schrödinger si ottiene una relazione del tipo:d 2 ζ idz 2 + 2m z¯h 2[E′′ i + qφ(z)]ζ i (z) = 0 (3.3)che dipende dalla coordinata dell’asse di quantizzazione. Il moto lungo gliassi del sistema di riferimento solidale al dispositivo rientra solo attraversola seguente relazione:E i (k 1 , k 2 ) = E ′′i + 1 [ ( )2¯h2 w 11 − w2 13k1 2 +w 33(+ 2 w 12 − w )13w 23k 1 k 2 +w 33() ]w 22 − w2 23k22 w 33(3.4)Nella (3.3) con ζ i (z) si indica una soluzione della relazione dipendente dallafunzione inviluppo ψ che a sua volta soluzione della equazione di massaefficace (3.1). Nella (3.4) k 1 , k 2 sono le componenti dei vettori d’onda nelpiano mentre E ′′i è l’autovalore i-esimo indipendente da k 1 e k 2 . In talmodo 3 masse efficaci entrano nei livelli energetici degli elettroni nello stratoinvertito: m z = w33 −1 è la massa che determina il livello energetico per ilmoto ortogonale alla superficie attraverso la (3.3) mentre m long e m tr sono leprincipali masse efficaci degli ellissi equienergetici associate al moto paralleloalla superficie che possono essere dedotte dalla (3.4).Nella tabella 3.1 sono indicate le masse efficaci longitudinali m l e trasversalim t per i vari tipi di valli nei rispettivi semiconduttori bulk. UsandoMateriali m t−∆ [m 0] m l−∆ [m 0] m t−Λ [m 0] m l−Λ [m 0] m Γ [m 0]Si 0.19 0.916 0.12 1.7 -Ge 0.2 0.95 0.08 1.64 -GaAs - - - - 0.067Tabella 3.1: Masse efficaci per semiconduttori bulki valori della tabella 3.1 si è compilata la tabella 3.2 dove si sono indicate le3 masse efficaci per le sottobande a energia quantizzata derivate da valli ditipo ∆ nel Si e di tipo Λ nel Ge (il GaAs mantiene sempre la stessa massam tr = m long = m z = m Γ ) per 3 orientazioni superficiali ad alta simmetria(che diagonalizzano la 3.4), indicando anche la degenerazione n ν cioè il numerodi ellissoidi nel materiale bulk che hanno i set di valori equivalenti. Neicasi in cui sono indicate 2 masse di quantizzazione, quella a valore più alto(unprimed) rappresenta la sottobanda a energia più bassa mentre quella avalore più basso (primed) implica sottobanda a energia più alta.In figura 3.1 sono riportati gli ellissi equienergetici nella prima zona diBrillouin per le principali direzioni di quantizzazione per Ge e Si. Dove22

Orientazione Si GeSuperficiale m tr [m 0 ] m long [m 0 ] m z [m 0 ] n ν m tr [m 0 ] m long [m 0 ] m z [m 0 ] n ν∆Λ(001) 0.190 0.190 0.916 2 0.080 1.120 0.117 40.190 0.916 0.190 4(110) 0.190 0.553 0.315 4 0.080 0.600 0.219 20.190 0.916 0.190 2 0.080 1.640 0.080 2(111) 0.190 0.674 0.258 6 0.080 0.080 1.640 10.080 1.467 0.089 3Λ∆(001) 0.120 1.173 0.174 4 0.200 0.200 0.950 20.200 0.950 0.200 4(110) 0.120 0.647 0.315 2 0.200 0.575 0.330 40.120 1.700 0.120 2 0.200 0.950 0.200 2(111) 0.120 0.120 1.700 1 0.200 0.700 0.271 60.120 1.524 0.134 3Tabella 3.2: Masse efficaci per semiconduttori con quantizzazioneappaiono contemporaneamente le curve a tratto continuo e tratteggiato,quelle a tratto continuo rappresentano le sottobande a energia più bassa.Con gli ellissi concentrici si indicano i livelli doppiamente degeneri.kyky−kxkx−kySikxkx+ky−2kzkzkyky−kxkx−kyGekxkx+ky−2kzkz(001) (111)(110)Figura 3.1: Rappresentazione schematica degli ellissi equienergetici3.2 Generalizzazione per Ellissi RuotateSi affronta il calcolo della corrente balistica in un MOSFET nel caso in cui leellissi abbiano un’orientazione qualunque rispetto al sistema di riferimentosolidale al dispositivo. Si indicherà con (k ′ x, k ′ y) il sistema di riferimento dell’ellisse,mentre con (k x , k y ) quello del dispositivo; θ r sarà l’angolo da k ′ x ak x (vedi figura 3.2). Si indicheranno con m tr e m long rispettivamente la mas-23

k’ykykxθr0k’xFigura 3.2: Sistemi di riferimentosa efficace trasversale e longitudinale dell’elettrone lungo gli assi principalidell’ellisse. Per convenzione si impone m long ≥ m tr .Nel riferimento (k ′ x, k ′ y) la velocità di gruppo sarà:v ′ g =mentre per il calcolo della I D si ha che:I DW = q A¯h k ′ x + ¯h k ′ ym long m tr∑k ′ ,v x>0v x f L (E)dove v x è la velocità lungo k x (direzione del trasporto source-drain) e laf L (E) è la Fermi-Dirac. Si è trascurata l’iniezione di elettroni dal drain.L’espressione del modulo della velocità v x in (k ′ x, k ′ y) sarà:v x = v ′ g · ˆ i kx = v ′ x cos(θ r ) + v ′ y sin(θ r ) =¯hm longk ′ x cos(θ r ) +¯hm trk ′ y sin(θ r )Il vincolo sulla componente v x della velocità nella direzione source-drain sitraduce in:v x > 0 =⇒ ¯h k x ′ cos(θ r ) + ¯h k y ′ sin(θ r ) > 0m long m tr=⇒ 1m trk ′ y sin(θ r ) > − 1m longk ′ x cos(θ r )24

Se cos(θ r ) > 0 cioè θ r ∈ ] − π 2 , π 2[ si ha:Si ha quindi che:qA∑k ′ ,v x>0k x ′ > − m longtan(θ r )m} tr{{ }C Rv x f L (E) = q Ae passando dalle somme in k agli integrali:qA∑k ′ y ,k′ x >−C Rk ′ yv x f L (E) −→∑k ′ yk ′ y,k ′ x>−C R k ′ yv x f L (E)2q ∫ +∞ ∫ +∞(2π) 2 n ν dk y′ dk xv ′ x f L (E) (3.5)−∞ −C R k y′Ma indicando per comodità di notazione con Ξ l’integrale della 3.5 si ha:=∫ +∞ ∫ +∞dk y′ −∞ −C R k y′Ξ =[¯hm longk ′ x cos(θ r ) +∫ +∞ ∫ +∞dk y′ −∞ −C R k y′¯hm trk ′ y sin(θ r )dk ′ xv x f L (E) =]f L (E)dk ′ x (3.6)Per risolvere l’integrale, si esegue sul sistema di riferimento la seguentetrasformazione : (k ′ x, k ′ y) −→ (ε, θ) con ε = E − E i e:⎧⎪⎨⎪⎩k ′ x =k ′ y =√2mlong¯h√ 2mtr¯hcos(θ) √ εsin(θ) √ ε√ mtr m long=⇒ det(J) =¯h 2Invece per quanto concerne gli estremi del dominio di integrazione (figura3.3) si ha:D = {(k ′ x, k ′ y)| k ′ x > −C R k ′ y}Si considera il solo caso θ r > 0 in quanto per semplice simmetria si notache è equivalente al caso opposto. A seguito della trasformazione il dominoD sarà (vedi figura 3.4)(D = {(ε, θ)| ε > 0; arctan− 1 )C} {{ R}ASostituendo nella (3.6) si ha che:(< θ < arctan− 1 )+ π}C} {{ R}BΞ =√ ∫ mtr m +∞long √¯h 2 εfL (ε)dε ×025

k’y0k’x > -C Rk’yθ r > 0k’xFigura 3.3: Dominio D in (k ′ x, k ′ y)×∫ (√ B 2mlongA= √ 2×m longcos(θ) cos(θ r ) +√ mtr m long¯h 2 ∫ +∞√ εfL (ε)dε ×0} {{ }G[cos(θr )√ [sin(θ)] B A + sin(θ r)√ [− cos(θ)] B Amlong mtr= 2 √ √ mtr m long2×[cos(θr )√ mlongsin¯h 2 G ×(arctanSostituendo la (3.7) nella (3.5) si ha:I DW = 2q(2π) 2 n ν2 √ √ mtr m long2¯h 2 G ×[ (cos(θr )× √ sin arctanmlong√ )2mtrsin(θ) sin(θ r ) dθ =m tr]=( )) 1+ sin(θ ( ( ))r)] 1√ cos arctan (3.7)C R mtrC R( )) 1+ sin(θ r)√ cosC R mtr( ( )) ]1arctanC RRisolvendo G, ricordando la definizione di C R e la relazione tra cot e tancioè: ⎧ √⎪⎨ G = π2 (KT ) 3 2 F 1 ( E F −E i2 KT )⎪ C R = m long⎩ m trtan(θ r )cot(θ r ) = tan( π 2 − θ r)26

θπ + arctan(-1/C )R0εarctan(-1/C )RFigura 3.4: Dominio D in (ε, θ)si arriva a concludere che:I DW = qn ( ) 3 ( )ν KT 2 EF − E√ i2¯h2 F 1 ×π2 KT[ ( ( ( ) ) ) √mtr mtr π× cos(θ r ) sin arctan tanm long 2 − θ r ++ √ ( ( ( mtr πm long sin(θ r ) cos arctan tan r) ) )]m long 2 − θ= qn ( ) 3 ( )ν KT 2 EF − E√ i √mID2¯h2 F 1 (3.8)π2 KTQuest’ultima espressione può essere considerata una generalizzazione della(2.9) con √ m ID definita così:√mID = √ ( ( ( ) ) ) mtr πm tr cos(θ r ) sin arctan tanm long 2 − θ r ++ √ ( ( ( mtr πm long sin(θ r ) cos arctan tan r) ) )m long 2 − θ= m 3 2tr cos 2 (θ r ) + m 3 2longsin 2 (θ r )√m 2 tr cos2 (θ r ) + m 2 long sin2 (θ r )(3.9)Questa espressione consente il calcolo della corrente balistica in tutte ledirezioni tra 0 e π 2. Ovviamente, viste le simmetrie del reticolo reciproco,quest’analisi copre tutte le possibili orientazioni.27

3.3 Velocità Elettronica e Densità degli Stati 2DOra si vuole mettere in risalto le diverse dipendenze della velocità elettronicae della densità degli stati 2D dalle masse efficaci. La densità degli stati 2Dè così definita:DOS 2D (E) = ∑ n ν (i) m (i)diπ¯h 2 H(E − E i ) (3.10)(dove H(E) è la funzione a gradino) e quindi è direttamente proporzionalealla massa efficace della densità degli stati m d . All’aumentare della radicedel prodotto delle masse efficaci m L e m W aumenta la disponibilità distati elettronici (vedi figura 3.5) che possono essere riempiti dagli elettronicontribuendo così alla carica d’inversione.Altra dipendenza ha la velocità dello stato k dalle varie masse efficaci;infatti nell’ipotesi di bande paraboliche si ha:E(k x , k y ) = E i +¯h2 kx 2 + ¯h2 ky 2 (3.11)2m L 2m We dalla definizione di velocità con una trasformazione in coordinate polari siha:v x = 1¯h∂E= ¯hk x= ¯h k cos(θ) (3.12)∂k x m L m LRicavando il modulo di k dal’eq. (3.11) e sostituendolo nel’eq. (3.12), lavelocità può essere espressa così:v x = √E − E im L2+ m2 L2m Wtan 2 θ(3.13)Come si vede in figura 3.6 la dipendenza della velocità dalle masse efficaci ètale per cui sia ipotizzabile la presenza di una massa efficace ottima tale damantenere alta sia la velocità che la DOS 2D .28

DOS2D [1/(eV cm^2) ]Efmd2>md1proporz. a md1E0E [eV]E1Figura 3.5: Rappresentazione della DOS 2DE−E i=100 meV7 x 107 θ [rad]65v x[cm/s]4321m L=m W=0.19m 0m L=0.08m 0m W=0.19m 0m L=0.19m 0m W=0.08m 0m L=m W=0.08m 000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6Figura 3.6: Curve v-θ29

3.4 Il Problema della Quantum CapacitanceIl MOSFET può essere schematizzato come un condensatore nel quale vieneindotta carica che sottoposta ad un campo elettrico acquisisce velocità.Carica e velocità sono gli ingredienti che compongono la corrente.Per procedere alla scrittura del modello analitico semplificato, è necessariotenere in considerazione un fenomeno non più trascurabile nel caso diforte quantizzazione che influenza la capacità del MOSFET di accumularecarica. Infatti se si considera una struttura SOI (SG o DG) con spessoredell’ossido pari a T ox e spessore del silicio pari a T Si in regime di inversionecon tensione di gate pari a V G si avrà:conQ SCT ≃ Q INV + Q DEPQ DEP = qN A T Sivisto il regime di inversione. Si considera il MOSFET SOI come un condensatoree si può quindi scrivere che:dQ SCTdQ SCTC ox = −d(V G − V F B − ϕ s ) = − d(V G − ϕ s )dove l’ultimo passaggio è possibile in quanto V F B è una costante. Ma datoche Q DEP , in regime di forte inversione, è indipendente da (V G − V F B ) si hache:quindiSi può quindi scrivere che:dQ SCTdQ INV−d(V G − ϕ s ) ≈ − d(V G − ϕ s )(Cox −1 =dQ INVC ox = −d(V G − ϕ s )) −1− dQ INVdV} {{ G}C −1eff(−) −1− dQ INVdϕ} {{ s}C −1INVDa quest’ultima relazione si ricava che la Drive Capacitance è:C eff =(3.14)C oxC INVC ox + C INV(3.15)Per il MOSFET classico con C INV ≫ C ox si ha che C eff ≃ C ox .Nel caso di quantizzazione, la Q INV è così definita:N∑subQ INV = −q n (i)INV (E F − E i ) (3.16)} {{ }i=1η fi30

VgCoxQinvCqmVsFigura 3.7: Rappresentazione circuitale della C effSe si considera la derivata parziale di n (i)INVdove C (i)come:eQM∂n (i)) (INV=(− ∂n(i) INV− ∂E )i∂ϕ s ∂E i ∂ϕ srispetto ϕ s si può scrivere che:= C(i) QM α(i) sqè la Quantum Capacitance della sottobanda i-esima definita( )(i) ∂nQM = −q2 INV∂E iC (i)α (i)s= − 1 q(− ∂E )i∂ϕ sè un numero positivo minore di 1 che dà un indicazione di come l’autovalorei-esimo segua il potenziale superficiale ϕ s .Sostituendo nella (3.16) si ottiene:− ∂Q N∑subINV= α s(i) C (i)QM∂ϕ = C(eff) QMsSostituendo infine nella (3.14) si trova l’espressione per C eff :C eff =i=1C oxC (eff)QMC ox + C (eff)QManaloga alla (3.15).Per un dispositivo single-gate la C ox è la capacità dell’ossido C ox = ɛoxT oxmentre in un double-gate la presenza di due gate si traduce in C ox = 2 ɛoxT ox.Questo effetto può essere riassunto dicendo che la quantizzazione comportauna diminuzione del massimo della densità di carica di inversione rispettoal caso non quantizzato e un suo spostamento dall’interfaccia isolantesemiconduttoreverso l’interno del semiconduttore facendo così diminuire31

1DG TSi=3nm Tox=1.0nm Ioff=1uA/um0.90.8Si (110)Ge (110)GaAsCeff / Cox0.70.60.50.40.30.20.100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8Vg [V]Figura 3.8: Curva C effC ox- V g1DG TSi=3nm Tox=0.6nm Ioff=1uA/um0.90.8Si (110)Ge (110)GaAsCeff / Cox0.70.60.50.40.30.20.100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8Vg [V]Figura 3.9: Curva C effC ox- V gulteriormente la C QM e abbassando quindi la C eff (vedi figure 3.8 e 3.9).Quindi in tal modo diminuisce progressivamente l’attitudine del MOSFETa controllare l’induzione della carica d’inversione.In bande paraboliche:∫ +∞n (i)INV = n ν (i) m (i)dE i π¯h 2 F (η F )dEdove F (η F ) è la Fermi-Dirac e η F = E−E FKT. Se ne si considera la derivatasecondo E i si ha:∂n (i)INV∂E iν m (i)d= − n(i)π¯h 2F( Ei − E FKTQuesto passaggio si estende immediatamente alle bande non paraboliche. In32)

generale si ha:C (i)QMn(i) ν m (i)d= q2π¯h 2F( Ei − E FKTE’ da notare con attenzione che nel caso balistico con stati riempiti solo perk positivi nella direzione del canale si ha un fattore 1 2nel calcolo della n(i)INVe quindi nel calcolo della C (i)QM; infatti si ha:)C (i)QM = 1 2n(i) ν m (i)dq2π¯h 2F( Ei − E FKT)(3.17)Nel caso degenere (F ( E i−E FKT) ≈ 1) e tralasciando la scrittura dell’apicesi riduce a:C QM = 1 n νm d2 q2 π¯h 2 (3.18)3.5 Modello Analitico Approssimato per la CorrenteBalistica: Caso DegenerePossono essere applicate al modello generalizzato le stesse considerazionifatte nel paragrafo 2.2: partendo da un modello fisico in cui la corrente balisticaè espressa solo attraverso grandezze interne al dispositivo si continuaintroducendo nel modello anche gli aspetti legati alla capacità quanto meccanicadel semiconduttore. Aggiungendo la relazione che lega le grandezzefisiche a quelle ai morsetti si giunge ad un modello analitico semplificato perle correnti balistiche.La (3.8) può essere scritta così:I (i)DW =√ q ( ) 3KT2¯h2πPer gas degenere vale la semplificazione:2n(i)νF 1 (η i ) ≈ 42 3 √ π (η i) 3 2√m (i)ID F 1 2(η i )ed è poi possibile esprimere n s in funzione di η i tramite lan (i)s≈ n(i) ν m (i) ( )d KTπ¯h 2 η i2Si fa anche qui l’ipotesi di singola sottobanda occupata:n INV =N∑subi=133n s (i) ≈ n (1)s

NI subDW = ∑i=1I (i)DW ≈ I(1) DWe si utilizza come relazione per legare la n s alle grandezze ai morsetti la:n INV = n s = 1 q C eff (V DD − V T ) (3.19)dove è stata presa in considerazione anche la C QM a differenza del modellosviluppato nel capitolo precedente. Si giunge quindi alla seguenteespressione:I DW ≈ 8q¯h3 √ π⎛√1 mID√ ⎝ 1nν (m d ) 3 2 qC ox C (eff)QMC ox + C (eff)QM⎞(V DD − V T ) ⎠32(3.20)dove si è sostituita alla C eff la sua espressione in C ox e C (eff)QM . Infineper poter giungere ad un modello analitico si semplifica ulteriormenteimponendo:α s = 1 =⇒ C (eff)QM= C QMIn tal modo la (3.20) si semplifica in:I DW ≈ 8q¯h3 √ π√ (1 mID 1√nν (m d ) 3 2 q) 32C ox C QM(V DD − V T )C ox + C QMPer giungere all’espressione finale si sostituisce la definizione della C QMbalistica (3.18). Si arriva così a:() 3I DW ≈ An √ C ox2ν mIDC ox + Bn ν m dcon ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩A = 4q 5 2 (V DD −V T ) 3 23 √ 2¯h 2 π 2B =q22π¯h 2√mID =3 m 2tr cos 2 3(θ r)+m 2long sin2 (θ r)√ m 2tr cos 2 (θ r)+m 2 long sin2 (θ r)m d = √ m tr m longdove si è scelta questa scrittura per evidenziare le dipendenze da m long ,m tr , n ν e C ox . L’identificazione di m W e m L è chiara solo nei casi in cuiqueste coincidano con le due masse dell’ellisse (m tr , m long ): questi casi sonorappresentati da:{mW = mθ r = 0 =⇒trm L = m long34

θ r = π 2 =⇒ {mW = m longm L = m trEssendo stata fatta l’ipotesi di m long ≥ m tr si ha che l’angolo che assicurala massima corrente è θ r = π 2come si vede in figura 3.10. Quindi si sceglie1.21.11m =m =0.19m tr long 0m =0.19m tr 0m =0.916m long 0m =0.08m tr 0m =0.6m long 0m =0.08m tr 0m =1.12m long 00.90.8m ID1/2 [m0 ]0.70.60.50.40.30.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6θ r[rad]Figura 3.10: Curva √ m ID in funzione di θ rdi studiare quest’ultimo caso.Fatte le opportune sostituzioni si può scrivere:() 32I DW = An √ C oxν mW √C ox + Bn ν mW m L(3.21)Dall’eq. (3.21) si possono mettere in risalto i due ingredienti che compongonola corrente: la carica di inversione e la velocità di iniezione, espressi infunzione di n ν , m W e m L . Infatti, attraverso l’eq. (3.19) e la definizione dicapacità quanto meccanica balistica, la n INV può essere espressa così:n INV = B(V DD − V T )qn ν√mW m L()C ox√C ox + Bn ν mW m Lmentre sfruttando la definizione di velocità di iniezione si ha:() 12A 1C oxv inj =√ √B(V DD − V T ) mL C ox + Bn ν mW m L35

Da una semplice analisi qualitativa si osserva che la n INV è monotona crescentein n ν , m W e m L mentre la v inj è sempre monotona ma decrescente.Da qui si evince l’esistenza di un compromesso sulla corrente che verrà trattatopiù nel dettaglio analizzando il comportamento dell’eq. (3.21) in m L ,m W , n ν e C ox .3.5.1 Dipendenza da m LPer quanto riguarda la dipendenza da m L si ha un comportamento di tipomonotonico decrescente. Infatti ∀m L > 0:∂ I DW∂m L= − 3 4 An ν 2 m W3/2√C oxC ox + Bn ν√mW m LC ox B ×× (C ox + Bn ν√mW m L ) −2 1√mW m L< 010000T ox=1nm m W=0.19m 0n ν=2 V DD=0.5 V V T=0.2V DD900080007000I Dsat/W [A/m]600050004000300020001000010 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1m L[m 0]Figura 3.11: Curva I − m LDall’andamento in figura 3.11 si capisce che sono favorevoli quelle orientazionie/o materiali che esibiscono una massa efficace piccola nella direzionedel trasporto e quindi del canale. Questo andamento deriva dal fatto cheelettroni con massa efficace più leggera raggiungono velocità più alte e quindi36

aumentano il loro contributo alla corrente totale. L’andamento della correntein funzione di m L non si discosta di molto da quello trovato nel modelloprecedente.3.5.2 Dipendenza da m WIn questo caso si ha la possibilità di ottimizzare in m W . E’ necessarioprocedere con il calcolo della derivata parziale prima rispetto m W . Si ha:∂ I DW= 1 ∂m W 2 n ν√××(C oxC ox + Bn ν√mW m L) 3/21√mW− 3 4 An ν 2√ m W ×C ox√√ C ox Bm L (C ox + Bn ν mW m L ) −2 ×C ox + Bn ν mW m L1√ =mW m L√C ox= − 1 4 An ν√ C ox ×C ox + Bn ν mW m L2×(−2C √ ox m W m L − n ν m W C ox Bm L + n 2 ν m W B 2 √ )m L mW m L ×× (C ox + Bn ν√mW m L ) −3 1√mW1√mW m Lche si annulla per:m W =4C2 oxB 2 n 2 νm L(3.22)In figura 3.12 si ha la presenza di un punto di massimo relativo; si haquindi una sorta di compromesso sulla m W che è in netto contrasto conl’andamento monotonico previsto dal modello precedente.3.5.3 Dipendenza da n νAnche per quanto concerne la dipendenza da n ν si procede con la derivazionesecondo n ν ; si ha:∂ I DW= A √ () 3/2C oxm W √ − 3 ∂n ν C ox + Bn ν mW m L 2 An √ν mW ×√C ox×√ C ox B √ √m W m L (C ox + Bn ν mW m L ) −2 =C ox + Bn ν mW m L= 1 √2 A√ C oxm W √ C ox ×C ox + Bn ν mW m L×(2C 2 ox + n ν C ox B √ )m W m L − n 2 ν m W B 2 √m L (C ox + Bn ν mW m L ) −337

2000T ox=1nm m L=0.19m 0n ν=2 V DD=0.5 V V T=0.2V DD19001800I Dsat/W [A/m]1700160015001400130010 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1m W[m 0]Figura 3.12: Curva I − m Wche si annulla per:n ν =2C oxB √ m W m L(3.23)Anche nella figura 3.13 si ha un punto di massimo relativo che contrastanettamente con le previsioni di totale monotonicità del modello precedente.In aggiunta si nota che la (3.23) coincide con la (3.22) e che quindi rappresentala condizione per un punto di massimo assoluto per la I D (m W , n ν ). Questacondizione può essere espressa tramite la definizione di capacità quantomeccanica per il caso balistico. Infatti sostituendo la condizione di ottimoalla (3.18) si ha:C QM = 2C ox3.5.4 Dipendenza da C oxSalta subito all’occhio che il modello del paragrafo 2.2 e quello svolto inquesto capitolo prevedono dipendenze di I D da C ox fortemente diverse. Ladifferenza maggiormente importante è che:I DlimC ox→+∞ W = An √ν mW38

2000T ox=1nm m W=m L=0.19m 0V DD=0.5 VV T=0.2V DD180016001400I Dsat/W [A/m]1200100080060040020000 1 2 3 4 5 6n νFigura 3.13: Curva I − n νcioè la corrente balistica tende ad un valore limite costante mentre il modelloiniziale prevede che per C ox → +∞ =⇒ I DW→ +∞. Questa differenzaè fondamentale in quanto il nuovo modello indica una progressiva vanificazionedei miglioramenti derivanti da ogni successiva riduzione di T ox . Piùlo scaling sarà aggressivo, più la capacità quanto meccanica del dispositivopredominerà sulla C ox e quindi la corrente balistica verrà controllata daC QM e non dalla capacità dell’ossido.Questo fa presumere che sarà sempre più critica la scelta dell’orientazionee del tipo di materiale costituente il canale dei transistors balistici. Infatti èipotizzabile che orientazioni e materiali scartati per MOSFETs con trasportoclassico vengano rivalutati alla luce dei nuovi parametri principalmenteresponsabili delle performances dei dispositivi balistici.3.6 Modello Analitico Approssimato per la CorrenteBalistica: Caso non DegenereNel caso di gas elettronico non degenere cioè per η i < −4 si ha che F 1 (η i ) ≈2e η ie che ln(1+e η i) ≈ η i . Queste approssimazioni comportano che l’eq. (2.9)39

divenga:e la (2.10) si riduca a:I (i)DW =n (i)s√ q ( ) 3KT2¯h2πDi conseguenza la velocità di iniezione è:2n(i)ν√m (i)W eη i(3.24)= n(i) ν m (i) ( )d KTπ¯h 2 e η i(3.25)2v (i)inj =I (i)DWqn (i)s=√2KTπm L(3.26)Differentemente dal caso degenere qui la velocità di iniezione dipende solamentedalla massa efficace m L proprio perchè la I(i) DW∝ n(i) s . Nell’ipotesidi singola banda occupata e ricavando dall’eq. (3.25) il termine e η esostituendolo nell’eq. (3.24) si ha:I DW = q √2KTπ1√mLn INVSostituendo la (3.19) (relativa alla n INV ) all’ultima espressione ricavata siha:I D√2KTW = 1√ C eff (V DD − V T ) (3.27)π mLNel caso in cui si abbia che C QM ≫ C ox l’eq. (3.19) si riduce a:I DW = √2KTπ1√mLC ox (V DD − V T )Nel caso di gas non degenere e di drive capacitance non perturbata dallacapacità dello strato invertito si ha quindi che la corrente balistica dipendelinearmente da C ox differentemente da quello che accade nel caso degeneredove la dipendenza è del tipo C 3 2 ox .40

Capitolo 4Simulatore Schr1DIl modello analitico sviluppato nel precedente capitolo, è stato confrontatocon i risultati di un simulatore numerico.Si è utilizzato il simulatore Schr1D: esso rientra in quella classe di codicichiamata Self-consistent Schröedinger - Poisson Solver ed originalmente ilsuo scopo era quello di poter simulare le caratteristiche carica tensione equindi capacità tensione di un sistema MOS unidimensionale, cioè uniformee molto esteso nel piano normale all’interfaccia silicio ossido. Durante losvolgimento della presente tesi sono state aggiunte delle porzioni di codiceche rendono possibile il calcolo delle variabili relative al trasporto balisticonei transistori MOSFET.4.1 FunzionamentoIl simulatore Schr1D necessita di 2 file d’ingresso. Nel primo file vengonospecificate tutte le variabili geometriche unidimensionali del dispositivo(spessore degli ossidi), il tipo di dispositivo (SG, DG), il numero di nodinegli ossidi e nel silicio, il numero massimo di iterazioni del simulatore, iltipo di valli considerate (unprimed, primed), la loro degenerazione, le masseefficaci degli elettroni e delle lacune nelle varie direzioni (quantizzazione,trasporto e ortogonale alle due precedenti), le tensioni di gate iniziale e finalicon relativo step, il tipo di soluzione (balistica o classica) e la scelta dell’output(autovalori, autofunzioni, profili di potenziale, concentrazioni di carica,correnti balistiche, velocità di iniezione, capacità quanto meccaniche). Nelsecondo file viene specificato il profilo di drogaggio della zona del canale conil relativo spessore. Come si vede dalla figura 4.1 il main() del simulatoresi limita a chiamare in sequenza i blocchi costituenti il programma organizzandocosì il flusso di calcoli che generano la simulazione a partire dai file diinput fino ad arrivare a quelli di output.Dopo avere individuato le richieste per specificare i files di input, outputed error tramite la routine parCheck() e aver stampato l’intestazione41

STARTparCheck.ccontrollo parametriheader.cstampa intestazioneparInit.cinizializzazione parametriparse.cinterprete input filemeshInit.cinizializzazione meshsolution.ccalcola soluzionesimEnd.cfineENDFigura 4.1: Flow Chart di main.c(header.c) il programma è in grado di ricevere i dati d’ingresso e la routineparInit(), tramite la chiamata all’interprete contenuto nel file parse.c, inizializzai valori dei comandi e delle opzioni impartite. Queste informazionisono sufficienti per creare un modello ad elementi finiti del dispositivo cheviene generato automaticamente dal modulo meshInit.c, individuando cosìle porzioni principali costituenti il transistor: gate, ossido, e substrato.Inizializzata in tal modo la mesh, il simulatore procede nel calcolare lasoluzione. Il cuore dello Schr1D risiede nel file solution.c in cui il calcolocomplessivo è diviso in due flussi principali: uno si occupa di risolvere ilsingolo punto di bias mentre l’altro consente il passaggio da un punto dibias all’altro, fino al termine della simulazione. La soluzione del punto dibias richiede di risolvere l’equazione di Poisson con potenziale imposto dal42

precedente punto di bias. Trovata così la carica si ricalcola il potenziale inequilibrio con quest’ultima nelle nuove condizioni di bias. Se si è richiesto ilcalcolo di tipo quantistico, quest’ultimo potenziale è inserito nella equazionedi Schröedinger che fornisce in uscita le autofunzioni e gli autovalori pergli elettroni confinati nella buca di potenziale tra isolante e semiconduttore.Tramite questi è possibile calcolare le concentrazioni di elettroni e di lacuneche poi vengono nuovamente inserite nell’equazione di Poisson. Quest’ultimafornisce il nuovo potenziale che, se sufficientemente vicino a quello delciclo precedente determina la convergenza del processo di calcolo. A convergenzaavvenuta si hanno così carica, potenziali e autostati nel punto di biasconsiderato.Tramite aggiunte successive al file solution.c, il simulatore è stato dotatodi formule che, partendo dalle grandezze in un punto di bias, consentonoil calcolo delle correnti balistiche, delle concentrazioni di elettroni, delle velocitàdi iniezione e delle capacità quanto meccaniche per ogni sottobanda.Essenzialmente sono state implementate le relazioni (2.9), (2.10), (2.12) e(3.17) che vengono attivate se nel campo solve del file di input è presenteil flag ballistic. Ripetendo questa routine per ogni punto di bias fino alpotenziale finale vengono generanti in uscita i file che contengono i valoridelle variabili richieste.La routine simEnd() conclude la simulazione informando sul tempo diCPU occorso e sull’eventuale presenza di messaggi di warning. Gli eventualierrori e/o eccezioni vengono gestiti dal modulo except.c che risultatrasversale a tutto il programma.4.2 Modifiche ApportateNel file solution.c si è aggiunta una porzione di codice per simulare dispositiviin cui il materiale costituente il canale non si trovi con gli assi cristallograficiallineati con gli assi principali del dispositivo. Per far ciò si usa la generalizzazionesvolta nel capitolo 3 sfruttando l’eq. (3.9). Da questa discendeche il simulatore continuerà a servirsi della massa efficace nella direzionedi quantizzazione m z ma non accetterà più quelle degli elettroni nella direzionedel trasporto e quella lungo la larghezza del dispositivo. Infatti essorichiederà nel file di input le masse efficaci degli elettroni relative agli assiprincipali degli ellissi (m tr , m long ) che nel codice del programma verrannocosì identificate:EmStarX indica la massa efficace elettronica m long .EmStarY indica la massa efficace elettronica m tr .EmStarZ indica la massa efficace di quantizzazione m z .43

Ovviamente tutte le ellissi partecipano alla conduzione di corrente ma contribuisconoin modi diversi in base alla loro disposizione sul piano del trasporto.Comunque, data la simmetricità degli ellissi risultanti dalla quantizzazione,si è ritenuto sufficiente dotare il simulatore di 3 possibili gruppi di ellissicosì da specificare per ognuno di essi la molteplicità n νIDi e l’angolo θ rIDirispetto alla direzione del trasporto. Tali valori vengono indicati così nelcodice del simulatore:dell’el-EmultID1, EmultID2, EmultID3 indicano la molteplicità n νIDlisse di ogni set.tetaID1, tetaID2, tetaID3 indicano l’angolo θ rID tra l’asse maggiore dell’ellisse(di ogni set) e la direzione del trasporto.A titolo esemplificativo vengono riportate delle tabelle compilate conmolteplicità ed angoli per direzioni di quantizzazione e trasporto che comportinoalta simmetria spaziale tra gli ellissi equienergetici.OrientazioneSi - ∆Superf./Tras. m tr m long m z n ν n νID1 θ rID1 n νID2 θ rID2 n νID3 θ rID3(001)/[100] 0.19 0.19 0.916 2 2 [0 : π ] 0 0 0 02π(110)/[001] 0.19 0.553 0.315 4 40 0 0 02π(111)/[112] 0.19 0.674 0.258 6 2 0 40 03Tabella 4.1: Masse, degenerazioni ed angoli per Si (solo valli ∆)OrientazioneGe - ΛSuperf./Tras. m tr m long m z n ν n νID1 θ rID1 n νID2 θ rID2 n νID3 θ rID3π(001)/[100] 0.08 1.12 0.117 4 40 0 0 04(110)/[001] 0.08 0.6 0.219 2 2 0 0 0 0 0(111)/[112] 0.08 0.08 1.640 1 1 [0 : π ] 2 4 0 0 0OrientazioneGe - ∆Superf./Tras. m tr m long m z n ν n νID1 θ rID1 n νID2 θ rID2 n νID3 θ rID3(001)/[100] 0.2 0.2 0.95 2 2 [0 : π ] 0 0 0 02π(110)/[001] 0.2 0.575 0.33 4 40 0 0 02π(111)/[112] 0.2 0.7 0.271 6 2 0 40 03Tabella 4.2: Masse, degenerazioni ed angoli per GeDi seguito vengono riportati degli input files di esempio che sfruttano ivalori delle tabelle 4.1 e 4.2.44

title "Si(001)/[100]";control POISloops = 2000exitOnPoissonNotConverged;debug POISprint;meshtox=10 Sox=10oxideNodes = 300 SoxNodes = 300siliconNodes = 300 dopingFile = "doping"NHMASS = 2 NEMASS = 1Hmult0 = 1 Hmult1 = 1 Emult0 = 2 Emult1 = 0EmStarZ = 0.916 EmStarX = 0.19 EmStarY = 0.19HmStarZ = 0.49 HmStarX = 0.16 HmStarY = 0.16EmultID1 = 2 tetaID1 = 0.0EmultID2 = 0 tetaID2 = 0.0EmultID3 = 0 tetaID3 = 0.0;solution fromGateBias = -0.2 toGateBias = 1.4withGateBiasStep=0.05;solve doubleGate schrPoints = 600 howManyEigs = 100doCapacitancecapacitanceDeltaV = 0.03 ballistic;print poisFinalAllPrint WavesPrint subQMCprint = 10QM6columnsPrint;end;title "Ge(110)/[1-10]";control POISloops = 2000exitOnPoissonNotConverged;debug POISprint;mesh tox = 10 Sox = 10oxideNodes =300 SoxNodes = 300siliconNodes = 300 dopingFile = "doping"NHMASS = 2 NEMASS = 1Hmult0 = 1 Hmult1 = 1Emult0 = 2 Emult1 = 0EmStarZ = 0.219 EmStarX = 0.6 EmStarY = 0.080HmStarZ = 0.49 HmStarX = 0.16 HmStarY = 0.16EmultID1 = 2 tetaID1 = 1.57079EmultID2 = 0 tetaID2 = 0.0EmultID3 = 0 tetaID3 = 0.0;solution fromGateBias = -0.2 toGateBias = 1.4withGateBiasStep = 0.05;solve doubleGate schrPoints = 600 howManyEigs = 100doCapacitancecapacitanceDeltaV = 0.03 ballistic;print poisFinalAllPrint WavesPrint subQMCprint = 10QM6columnsPrint;end;Questo secondo input file è relativo al Ge(110)/[110] che non è presente intabella 4.2. L’unica modifica che lo contraddistingue del caso Ge(110)/[001]45

è una sua rotazione di π 2attorno all’asse di quantizzazione che viene specificatatramite il differente valore di tetaID1 rispetto a quello riportatoin tabella 4.2. I valori relativi alle lacune non influenzano le simulazioniconsiderate dato che è stato assunto un doping di canale molto basso.Si è poi aggiunta una porzione di codice che consente il calcolo di unam IDi , massa efficace di ogni singolo set di ellissi, analoga alla (3.9). Tramiteuna somma pesata delle √ m IDi con le n νi su ogni set di ellissi i si giungealla determinazione della √ m ID . La formula implementata è la seguente:dove√mID = 1 ∑ √(n νIDi mIDi ) (4.1)n νin ν = ∑ in νIDiIn tal modo è possibile inserire la (4.1) direttamente nella espressione (2.9),sommare le correnti di ogni sottobanda (vedi appendice per il listato) egiungere così al calcolo delle correnti totali nei MOSFET balistici aventimateriali di canale con le principali direzioni di quantizzazione ([001], [110]e [111]) e con ogni direzioni nel piano del trasporto.Non sono necessarie modifiche alla parte relativa al calcolo dell’elettrostaticadel dispositivo in quanto, a parità di direzione di quantizzazione, èindipendente dall’angolo di rotazione (dimostrazione in appendice).4.3 Limiti del SimulatoreTutta una serie di decisioni che hanno semplificato la realizzazione del simulatoreSchr1D ora vanno a scapito della sua flessibilità d’utilizzo.Si prevede che si avrà conduzione di tipo balistico già a lunghezze dicanale attorno a L=10 nm e che quindi saranno necessari simulatori di tipobi-dimensionale (nello spazio reale) per rappresentare in modo più adeguatoil trasporto degli elettroni, per considerare l’influenza del trasporto stessosull’elettrostatica del dispositivo e per simulare i fenomeni quantistici nelladirezione del trasporto come tunneling quantistico e band to band tunneling.E’ comunque vero che col continuo ridursi della lunghezza di canale le ipotesisu cui è fondato il modello implementato nel simulatore saranno via viasempre più vere e quindi i risultati forniti sempre più verosimili.Una causa di limitazioni all’utilizzo è il fatto che lo Schr1D sia statopensato per simulare principalmente dispositivi in Si. Nel Si, le valli chesono responsabili della conduzione di corrente, cioè quelle in cui si trovala carica elettronica sono quelle di tipo ∆. Solamente queste sono stateprese in considerazione ed il loro comportamento implementato nel codice.In altri semiconduttori, come ad esempio il Ge, sono 2 i tipi di valli checontribuiscono alla conduzione: prima quelle di tipo Λ e subito dopo quelle46

di tipo ∆. Solo in alcuni casi è possibile identificare un solo tipo di bandaprincipalmente responsabile della conduzione; in tutti gli altri casi lo statoattuale del simulatore Schr1D rende inaffidabile la simulazione.47

Capitolo 5SimulazioniIn questo capitolo vengono mostrati e commentati i risultati delle simulazioniche sono state effettuate a conferma della teoria sviluppata. Si confronterannogli andamenti della corrente in funzione delle masse e degenerazionidelle valli calcolate col modello analitico con quelli ottenuti dalle simulazioninumeriche. Si procederà quindi confrontando le I D ottenibili con diversisemiconduttori reali e al variare dell’orientazione.5.1 Risultati per Piccole Masse di Quantizzazionee Singola Banda OccupataSi sono simulati dispositivi DG con T Si = 3nm, aventi concentrazione di droganteaccettore pari a 10 15 cm −3 e con T ox uguali a 1.0nm, 0.8nm e 0.6nm.In questo gruppo di simulazioni si è impostato m z = 0.2m 0 in modo taleche gli autovalori derivanti dalla soluzione dell’equazione di Schrödingerrisultino fortemente separati in energia. In tal modo la carica indotta neldispositivo va a popolare unicamente la prima sottobanda verificando cosìl’ipotesi di singola banda occupata necessaria per il corretto confronto deidati numerici con quelli del modello analitico. Per una trattazione omogeneadei risultati si è impostata la stessa corrente di riposo I off grazie all’utilizzodi un programma creato opportunamente per eseguire traslazioni rigide inV G delle caratteristiche di tutte le grandezze elettriche d’interesse. In aggiuntaè stato realizzato anche un secondo programma che, partendo dallecaratteristiche I − V prodotte dal simulatore, genera in modo automatico lecorrispondenti caratteristiche I − m normalizzate alla stessa I off ed entroun range di tensioni V G impostabile (vedi listato in appendice). Si procedecon l’esposizione dei risultati ottenuti.49

22000Id_av - mLDG TSi=3nm mz=0.2m0 valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 VId_av [uA/um]2000018000160001400012000100008000600040002000nv=2Tox=0.6nmTox=0.8nmTox=1.0nmsimbolo vuoto: mW=0.19m0simbolo pieno: mW=0.553m000 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5mL [m0]Figura 5.1: Curva I D - m LId_av - mLDG TSi=3nm mz=0.2m0 valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 VId_av [uA/um]24000220002000018000160001400012000100008000600040002000nv=4Tox=0.6nmTox=0.8nmTox=1.0nmsimbolo vuoto: mW=0.19m0simbolo pieno: mW=0.553m00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5mL [m0]Figura 5.2: Curva I D - m L50

10000Id_av - mWDG TSi=3nm mz=0.2m0 valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V900080007000Id_av [uA/um]600050004000300020001000nv=2simbolo vuoto:simbolo pieno:Tox=0.6nmTox=0.8nmTox=1.0nmmL=0.08m0mL=0.19m000 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5mW [m0]Figura 5.3: Curva I D - m WCome si nota dalle figure 5.1 e 5.2 gli andamenti della I D in funzione dellamassa nella direzione del trasporto m L è di tipo monotonico decrescente. Siosserva che all’aumentare della molteplicità delle valli si ha l’accentuarsidella corrente balistica per valori piccoli di m L . Da notare anche come pervalori non troppo piccoli della m L si abbia una debole modulazione dellacorrente al variare della m W .Differenti sono gli andamenti I D − m W rappresentati in figura 5.3 e5.4. In questo caso gli andamenti non sono monotonici: infatti mostrano lapresenza di un punto di massimo che si sposta a valori di m W più piccoli pern ν crescente e a valori più grandi per C ox crescente. Gli andamenti hannouna forte sensibilità alla m L .Lo stesso tipo di comportamento non monotono della I D in funzione din ν è evidenziato in figura 5.5.51

10000Id_av - mWDG TSi=3nm mz=0.2m0 valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V900080007000Id_av [uA/um]600050004000300020001000nv=4simbolo vuoto:simbolo pieno:Tox=0.6nmTox=0.8nmTox=1.0nmmL=0.08m0mL=0.19m000 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5mW [m0]Figura 5.4: Curva I D - m W7000Id_av - nvDG TSi=3nm mz=0.2m0 valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V60005000Id_av [uA/um]400030002000mL=mW=0.19m0Tox=0.6 nmTox=0.8 nmTox=1.0 nm100001 2 3 4 5 6nvFigura 5.5: Curva I D - n ν52

DG TSi=3nm mz=0.2m0 valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V100008000Id_av [uA/um]600040002000Modello analiticoSimulazioninv=2simbolo vuoto:simbolo pieno:Tox=0.6nmTox=0.8nmTox=1.0nmmL=0.08m0mL=0.19m000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5mW [m0]Figura 5.6: Curve I D - m W5.1.1 Confronto con il Modello ApprossimatoSi può notare come, dal punto di vista qualitativo, gli andamenti evidenziatidal modello analitico sviluppato nel capitolo 3 vengano confermati da quellidelle simulazioni appena commentate.Però, come si vede dalla figura 5.6, dal punto di vista quantitativo il modelloanalitico non copre in modo sufficientemente accurato i risultati dellesimulazione numeriche. Ciò deriva dal non verificarsi (nelle simulazioni) diun’ipotesi(fatta ) nel modello analitico. Infatti si era supposto che il termineα s = − 1 q− ∂E i∂ϕ sfosse pari a 1 (e quindi indipendente dalle masse efficacidegli elettroni) in modo tale da consentire la scrittura compatta della condizionedi massimo per la I D . La dipendenza di α dalle masse efficaci rientranella condizione di massimo influenzandone così la posizione.5.2 Effetto del Caricamento di più Sottobande:Silicio (001) e Silicio (110)Vengono riportati gli andamenti delle grandezze fondamentali delle simulazioniper MOSFET DG in Si con T Si = 3nm, con T ox pari a 0.8 e 0.6nm aventi I off = 1 µAµm. Sono state prese in considerazione le direzioni diquantizzazione [001] e [110] con direzioni del trasporto [100] e [001] rispettivamente.In figura 5.7 si può notare nel caso di Si (110) come per bassivalori di V g la corrente balistica media sia pressochè uguale a quella delSi (110) mentre per alti valori della tensione di gate, quest’ultimo esibisca53

9000DG TSi=3nm valley 0Ioff=1 uA/um800070006000Si (001) mz=0.916m0 nv=2Si (110) mz=0.315m0 nv=4simbolo vuoto: Tox=0.8 nmsimbolo pieno: Tox=0.6 nmId [uA/um]5000400030002000100000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8Vg [V]Figura 5.7: Curva I D - V guna corrente più bassa. Dall’analisi delle figure 5.8 e 5.9 si nota come ilSi (001) abbia una carica di inversione inferiore al caso Si (110) ma unavelocità di iniezione media superiore. Si ha una flessione della velocità diiniezione nel caso di Si (001) perchè tale orientazione è caratterizzata dauna massa di quantizzazione m z = 0.916m 0 che risulta superiore a quelladel caso (110) (m z = 0.315m 0 ). Ciò si traduce (nel caso (001)) in un piùristretto salto energetico tra sottobande che rende più facile il caricamentodi ulteriori bande energetiche. Proprio il caricamento della seconda sottobandaè responsabile della flessione dell’andamento della velocità d’iniezionedel caso (001). Tale caricamento può essere evinto anche dalla figura 5.10dalla presenza di un netto aumento della drive capacitance.La seconda sottobanda caricandosi contribuisce così alla carica d’inversionema la velocità dei portatori che la popolano è funzione della differenzatra il livello di Fermi e l’autovalore della sottobanda. Ciò vuol dire che inizialmentela seconda sottobanda contribuirà con portatori caratterizzati dauna velocità ridotta rispetto a quella dei portatori della banda fondamentaleche andranno quindi a penalizzare la velocità di iniezione media, comemostrato in figura 5.11.Per definizione la transconduttanza è:g m = ∂I D∂V ged indicando in maniera semplice la densità di corrente come:I D = qn INV v inj54

DG TSi=3nm valley 0Ioff=1 uA/um2e+13Si (001) mz=0.916m0 nv=2Si (110) mz=0.315m0 nv=4simbolo vuoto: Tox=0.8 nmsimbolo pieno: Tox=0.6 nmNinv [cm^-2]1e+1300 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8Vg [V]Figura 5.8: Curva n INV- V gsi ha che:g m = C eff v inj + qn INV∂v inj∂V gDa ciò si deduce che la transconduttanza contiene anche la dipendenza dellavelocità d’iniezione da V g e così si spiega la flessione di g m in funzione dellatensione di gate riportato in figura 5.12.55

2.5e+07DG TSi=3nm valley 0Ioff=1 uA/um2e+07Si (001) mz=0.916m0 nv=2Si (110) mz=0.315m0 nv=4simbolo vuoto: Tox=0.8 nmsimbolo pieno: Tox=0.6 nmvinj [cm/s]1.5e+071e+070 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8Vg [V]Figura 5.9: Curva v inj - V g7e-06DG TSi=3nm valley 0Ioff=1 uA/um6e-065e-06Ceff [F/cm^2]4e-063e-062e-061e-06Si (001) mz=0.916m0 nv=2Si (110) mz=0.315m0 nv=4simbolo vuoto: Tox=0.8 nmsimbolo pieno: Tox=0.6 nm00 0.2 0.4 0.6 0.8 1Vg [V]Figura 5.10: Curva C eff - V g56

Si (001) DG TSi=3nm Tox=0.6 nm Ioff=1 uA/um2.6e+072.4e+07vinj mediavinj I sottobandavinj II sottobanda2.2e+07v [cm/s]2e+071.8e+071.6e+071.4e+071.2e+071e+070 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8Vg [V]20000Si (001) TSi=3nm Tox=0.6nmIoff=1uA/um9000180008000160007000gm [uS/um]14000120001000080006000Figura 5.11: Curva v inj - V g0gmId_av6000500040003000Id_av [uA/um]400020002000100000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8Figura 5.12: Curva g m e I D in funzione di V g57

3500Si (001) DG TSi=3nm Tox=1.0nm Ioff=1uA/um30002500direzione del trasporto:[100][110][010]Id_av [uA/um]20001500100050000 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55Vg [V]Figura 5.13: Curva I D - V g5.3 Effetto della Direzione del Trasporto nel PianoFissati gli assi cristallografici, si andranno ad analizzare i risultati derivantidalle simulazioni di MOSFET DG eseguite con diverse direzioni del trasportoper diversi semiconduttori come Si, Ge e GaAs e nelle tre principali direzionidi quantizzazione: [001], [110], [111]. Si manterranno per tutta la sezione lemedesime condizioni: T Si = 3nm e T ox = 1.0nm e I off = 1µA/µm.5.3.1 SilicioNel Si la differenza di energia tra i minimi delle valli di tipo ∆ e Λ è cosìalta da far sì che solo le prime contribuiscono significativamente al trasportodi corrente. Infatti il minimo della valle ∆ è sotto a quello delle Λ di più di1 eV. Tale differenza è così grande che questa condizione continua a valereanche nei casi di forte quantizzazione.Il caso quantizzato (001) è caratterizzato da una banda circolare (conmolteplicità 2). Questo comporta che le masse efficaci nel piano siano indipendentidalla direzione scelta per il trasporto. Da ciò consegue la perfettaisotropia del trasporto, come si vede in figura 5.13 e in figura 5.14 dovecon β si è indicato l’angolo tra la direzione del trasporto e la direzione diriferimento [100].Si analizza ora il caso (110). Se la direzione di quantizzazione è la [110],il silicio mostra nel piano un trasporto fortemente anisotropo (figura 5.15).La direzione del trasporto per cui si ha un massimo è la [001]: infatti con taleorientazione gli assi minori degli ellissi (a più bassa energia e con molteplicità58

Si (001) DG Tox=1.0nm TSi=3nm Ioff=1 uA/um Vdd=0.5 V[010]90°Id_av/W [uA/um]50045°0[100]0°Figura 5.14: Grafico polare di I D in funzione di β4), che comportano masse efficaci minori, si trovano in direzione parallela aquella del trasporto massimizzando il valore della m ID e quindi della corrente.Lo stesso ragionamento vale per la direzione in cui si evidenzia unminimo della corrente balistica: nel caso di trasporto lungo la [110] sono gliassi maggiori ad essere paralleli alla direzione del trasporto andando così aridurre la velocità degli elettroni e quindi la corrente a causa della maggioremassa efficace. Per le direzioni intermedie (β ≠ 0, π 2) si ha una modulazionedella m ID che porta ad un grafico polare riportato in figura 5.16. In questocaso l’angolo β è l’angolo compreso tra la direzione del trasporto e la [001].Il silicio (111) è caratterizzato da un grafico polare del trasporto similea quello del caso (001) anche se la sua disposizione degli ellissi nel piano ètotalmente diversa. Infatti sul piano (111) si identificano 6 ellissi separatida angoli di π 3. Variando β, che in questo caso è l’angolo compreso tra ladirezione della conduzione e la [112], cambia profondamente il contributo altrasporto di ogni singolo ellisse (come succedeva nel caso (110)) ma la lorodisposizione simmetrica fa sì che la corrente balistica media dipenda moltopoco dalla direzione del trasporto, come si vede in figure 5.17 e 5.18.Confrontando le tre orientazioni si osserva che la corrente balistica massimasi ha nel caso di Si (001) anche se si hanno valori molto simili nel caso(110)/[001].59

3500Si (110) DG TSi=3nm Tox=1.0nm Ioff=1 uA/um30002500direzione del trasporto:[001][1-12][2-21][1-10]Id_av [uA/um]20001500100050000 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55Vg [V]Figura 5.15: Curva I D - V gSi (110) DG Tox=1.0nm TSi=3nm Ioff=1 uA/um Vdd=0.5 V[1-10]90°Id_av/W [uA/um]50045°0[001]0°Figura 5.16: Grafico polare di I D in funzione di β60

3000Si (111) DG TSi=3nm Tox=1.0nm Ioff=1 uA/um25002000direzione del trasporto:[11-2][13-4][-13-2][-110]Id_av [uA/um]1500100050000 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55Vg [V]Figura 5.17: Curva I D - V gSi (111) DG Tox=1.0nm TSi=3nm Ioff=1 uA/um Vdd=0.5 V[-110]90°Id_av/W [uA/um]50045°0[11-2]0°Figura 5.18: Grafico polare di I D in funzione di β61

GaAs DG Tox=1.0nm TSi=3nm Ioff=1 uA/um Vdd=0.5 V[010]90°Id_av/W [uA/um]100045°0[100]0°Figura 5.19: Grafico polare di I D in funzione di β5.3.2 Germanio e Arseniuro di GallioSi procede analizzando le dipendenze della corrente balistica dalla direzionedel trasporto per semiconduttori alternativi al silicio: arseniuro di gallio egermanio.Il GaAs è caratterizzato da una singola valle dominante di tipo Γ ageometria sferica centrata nella prima zona di Brillouin. Quindi per ognidirezione di quantizzazione si ha la formazione di bande circolari che sonocontraddistinte da masse efficaci uguali in tutte le direzioni del piano deltrasporto. Da ciò deriva il comportamento di tipo isotropo dell’arseniurodi gallio (vedi figura 5.19) per ogni direzione di quantizzazione e per ognidirezione del trasporto.A causa della sua particolare struttura a bande, il caso del Ge è il piùdelicato da trattare: generalmente, data l’esigua differenza energetica (173meV) tra i due sistemi di minimi ∆ e Λ, si ha che entrambe le due famigliedi ellissoidi contribuiscono al trasporto di corrente. Quindi, a rigore,entrambe le valli dovrebbero essere prese in considerazione: prima le Λ esuccessivamente le ∆. Nel caso di MOSFET DG con tensioni di gate pari aV DD =0.5 V e con spessori di canale T Si =3nm e di ossido T ox =1nm, il contributodelle valli ∆ risulta trascurabile per il Ge (111) mentre nel caso (110)tale contributo rappresenta il 15% della corrente totale erogabile. Invece nelcaso (001) quasi la totalità della corrente è dovuta al contributo delle valli ∆[22]. Quest’ultimo fatto è possibile dato che, nel caso di Ge (001) fortementequantizzato, la m z delle valli ∆ è maggiore della m z delle Λ. Ne consegueche gli autovalori delle Λ sono maggiormente distanziati tra di loro rispettoa quelli delle ∆. Quindi, all’aumentare dell’effetto di quantizzazione cioè alridursi della larghezza della buca di energia potenziale, si può giungere al62

Id_av/W [uA/um]600055005000450040003500300025002000DG TSi=3nm Tox=1.0nm valley 0 Ioff=1 uA/umGe (001)/[100] (valli ∆)Ge (110)/[001] (valli Λ)Ge (110)/[1-10] (valli Λ)Ge (111)/[11-2] (valli Λ)GaAs (valle Γ)1500100050000 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6Vg [V]Figura 5.20: Curva I D - V gpunto in cui la prima sottobanda delle ∆ risulti quella ad energia minimadivenendo così la sottobanda che contribuisce maggiormente alla conduzioneelettrica. Nel caso (001) si hanno quindi solo valli ∆ quantizzate con bandecircolari che implicano trasporto isotropo. Nel caso (110) dominano i 2ellissi derivanti dalla quantizzazione delle bande Λ. Le stesse considerazionifatte per il caso del Si(110) portando ad una diagramma polare anisotropoe caratterizzato da un massimo di corrente nella direzione [110] e da unminimo nella [001]. Per il caso (111) si ha una singola banda circolare cheporta a trasporto isotropo. Queste ultime considerazioni sono condensategraficamente in forma polare in figura 5.21, che evidenzia nettamente comeil caso (110)/[110] sia quello a corrente maggiore e quindi da preferire, comeconfermato in [22]. Tale vantaggio può essere apprezzato anche in figura5.20.5.4 Confronto fra i Diversi SemiconduttoriOra si vuole presentare un confronto generale tra i diversi semiconduttoripresi con la direzione del trasporto tale da massimizzare la corrente balistica.In figura 5.22 si nota come per T ox = 0.6nm il MOSFET che assicura unacorrente balistica più alta è quello con canale in Ge (110)/[110]. Ciò è dovutoalla sua relativamente alta densità degli stati 2D come si può notare in figura5.23 e alla sua altrettanto alta velocità di iniezione media (figura 5.24).Gli altri semiconduttori perdono nel confronto in quanto non possiedonocontemporaneamente grande carica di inversione e alta velocità di iniezione.63

[010](001) (110) (111)90°[1-10]Ge[-110]90° 90°Id_av/W [uA/um]45°45° 45°1000100010000°0°0°[100] [001] [11-2]0 0 0DG Tox=1.0nm TSi=3nm valley 0 Ioff=1 uA/um Vdd=0.5 VFigura 5.21: I D - βSi nota in figura 5.24 come per basse tensioni di gate V G , cioè nel casodi gas non degenere, le differenze tra le varie velocità di iniezione sianoindipendenti da V G e siano funzione esclusivamente delle masse efficaci elettronichenella direzione del trasporto. Infatti il semiconduttore a massaefficace più bassa è proprio il GaAs seguito dal Ge (110)/[110] e dal Si (001)e (110)/[001]. Quest’ultime due configurazioni del silicio possiedono massaefficace nella direzione del trasporto uguale e quindi le due velocità diiniezione sono praticamente identiche.In figura 5.23 si vede come l’ordine tra i materiali nella carica d’inversionesia opposto a quello riscontrato nella velocità di iniezione. Infatti i MOSFETche riescono a indurre una maggiore concentrazione di carica elettronica sonoquelli con semiconduttore a massa efficace della densità degli stati 2D piùalta.64

140001200010000DG T Si=3 nm T ox=0.6 nm I off=1 µA/µmSi (001)Si (110)/[001]Ge (110)/[110]GaAsI Dav[µA/µm]800060004000200000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8V G[V]Figura 5.22: Curva I D − V g2.5×10 132.0×10 13DG T Si=3 nm T ox=0.6 nm I off=1 µA/µmSi (001)Si (110)/[001]Ge (110)/[110]GaAsn INV[F/cm 2 ]1.5×10 131.0×10 135.0×10 120.00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8V G[V]Figura 5.23: Curva n INV − V g65

7×10 76×10 75×10 7DG T Si=3 nm T ox=0.6 nm I off=1 µA/µmSi (001)Si (110)/[001]Ge (110)/[110]GaAsv inj[cm/s]4×10 73×10 72×10 71×10 700 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8V G[V]Figura 5.24: Curva v inj − V g66

5.5 Scaling del T oxSi conclude il capitolo commentando le caratteristiche riportate in figura5.25 che sottolineano, per diversi tipi di materiale costituente il canale, gliandamenti delle correnti balistiche con direzione del trasporto ottima. Perconfronto è stato riportato anche il comune Si (001).Si nota come le correnti balistiche massime aumentino all’aumentaredi C ox in modo fortemente sub-lineare per T ox < 1nm, con tendenza asaturare verso una corrente balistica limite. Come previsto dal modello nelparagrafo 3.5 per il caso degenere, tutte le curve I − T −1 ox saturano a causadella limitata drive capacitance non più vicina alla capacità dell’ossido madeteriorata da quella dello strato invertito. Si evidenzia come il Si (001)e soprattutto il GaAs saturino all’aumentare di C ox in modo più decisorispetto agli altri, data la loro bassa C QM dovuta alle basse masse efficacinel piano del trasporto. Rimanendo nell’ambito del silicio, il Si (110)/[001]rimane sotto al silicio (001) per i T ox considerati ma continua ad avere unapendenza leggermente superiore a quella del Si (001) e del Ge (110)/[110].Proprio il Ge (110)/[110] risulta essere il migliore per i T ox più aggressivi conmargini di miglioramento del 40% rispetto le correnti massime del migliorconcorrente.Invece per T ox molto alti, essendoci condizioni di non degenerazione (V DDbassa), la dipendenza della corrente balistica massima da C ox è lineare comeprevisto dal modello sviluppato nel paragrafo 3.6 per il caso non degenere.Tale modello spiega anche il motivo per cui a C ox bassi le curve relative aivari semiconduttori si incrocino favorendo i materiali con masse efficaci piùpiccole e quindi con velocità di iniezione più alte.67

10000DG T Si=3nmV DD=0.6 V I off=1 µA/µmT ox-1I Dav_MAX[µA/µm]1000Si (001)Si (110)/[001]Ge (110)/[110]GaAs0.1 1T ox-1[nm-1]Figura 5.25: Curva I DMAX - T −1ox68

Capitolo 6ConclusioniCon l’avanzare dell’innovazione tecnologica possono essere realizzati MO-SFETs sempre più corti in cui il trasporto di corrente si avvicina a quello ditipo balistico. Per poter sfruttare i vantaggi derivanti da tale tipo di trasportoè necessaria una ingegnerizzazione dei parametri del materiale costituenteil canale del dispositivo. Infatti si è messo in luce come i parametri dei semiconduttoricome le masse efficaci elettroniche m W e m L e la degenerazionedelle sottobande n ν influenzino il trasporto e come la direzione del trasportorispetto all’orientazione cristallografica del materiale sia fondamentale perconsentire al dispositivo la massima erogazione di corrente.In questa tesi si è sviluppato un modello analitico che esprime in formasemplice e compatta la dipendenza della corrente balistica dalla direzione deltrasporto e dalle masse efficaci m long e m tr relative agli ellissi che descrivonola relazione di dispersione del gas elettronico 2D vicino ai minimi energetici.L’equazione:conI DW =qn ( ) 3 (ν KT 2 EF − E√ i2¯h2 F 1π2 KT) √mID√mID = m 3 2tr cos 2 (θ r ) + m 3 2longsin 2 (θ r )√m 2 tr cos2 (θ r ) + m 2 long sin2 (θ r )è stata implementata nel simulatore numerico Schr1D.Si è poi passati all’analisi del compromesso esistente tra la densità deglistati 2D e la velocità di iniezione al fine di ottimizzare la corrente balisticaespressa così:I DW = qn INV v inj = An ν√mW() 32C ox√C ox + Bn ν mW m LSi sono analizzate le dipendenze della corrente balistica I D da m W , m L , en ν evidenziando come la I D abbia un comportamento monotono in m L ma69

presenti una massimo in m W e n ν . Tale massimo assoluto è individuatodalla condizione di ottimo:C QM = 2C oxIl modello sviluppato per lo studio di tale trade-off ha portato ad un confrontoqualitativo congruente con le simulazioni numeriche.In seguito si è passati a simulare dispositivi con materiali reali qualisilicio, germanio e arseniurio di gallio con varie direzioni del trasporto e perT ox molto scalati evidenziando come per tali T ox la capacità dello stratoinvertito assuma un peso rilevante sugli andamenti delle correnti massime.Dai risultati di queste simulazioni si è stabilito che il semiconduttore piùpromettente per il canale dei MOSFETs balistici è il Ge (110)/[110].10000DG T Si=3nm V DD=0.6 V I off=1 µA/µmT ox-1I Dav_MAX[µA/µm]1000Si (001)Si (110)/[001]Ge (110)/[110]GaAs0.1 1T ox-1[nm-1]Figura 6.1: Curva I DMAX - T −1oxSi conclude ribadendo come lo sviluppo di modelli analitici (anche seapprossimati) è molto importante tanto per la comprensione degli elementifisici quanto per il progetto e l’ottimizzazione dei dispositivi MOSFETnanometrici.70

RingraziamentiDesidero ringraziare tutti coloro che mi hanno indirizzato e seguito nel lavorodi tesi.Un grazie particolare va al professor David Esseni che durante questi lunghimesi di studio mi ha supportato e guidato in modo preciso nella stesuradella tesi. Assieme a lui ringrazio anche il professor Selmi, il professor Sangiorgie il Dott. Ing. Palestri per gli insegnamenti che mi hanno trasmessonei 5 anni trascorsi all’università di Udine.Ringrazio anche i dottorandi di microelettronica per le loro innumerevoli”dritte” su come risolvere i mille problemi connessi al lavoro da svolgere.Fondamentale è stato il supporto fornitomi dalla mia famiglia nei momentidi difficoltà e nelle decisioni importanti ed altrettanto basilare è statala presenza di tutti i miei amici, tra cui in particolare Zena, Carlo, Federico,Bistek, tutto il gruppo dei ”medici” di Udine, Andrea, Ilenia ed Anna.71

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Appendice APorzione del File solution.cModificataViene riportata di seguito la porzione del file solution.c modificato con leformule del trasporto balistico con direzione della conduzione arbitrariasviluppate nel capitolo 3..../* Calculation of the drain current, of the velocity and ofthe quantum capacitance */N_inv = 0.0;Id_av = 0.0;v_av = 0.0;nEigs = mesh->RenEigs;for(im = 0; im < NEMASS; im++) {mStar = *(mesh->EmStar + im);mDos = *(mesh->EmDos + im);ReEval = mesh->ReEval + im * nEigs;if (Gib % 2) fprintf(fqmc, "# valley %d \n", im);for (ie0 = 0; ie0 < nEigs; ie0++, ReEval++) {if (*ReEval == MAXDOUBLE) continue;fi = exp((nEfRight - *ReEval) / vT);if ((fabs(fi) > 2.1e-16) && FermiStatistics) fi = log(1.0 + fi);fi *= kT;if (ballistic) {n_E = 0.5 * ((double) *(mesh->Emult + im)) * mDos * 1e-4/ (PI * hbar * hbar) * fi;Cqm_E = 0.5 * cNorm * q * ((double) *(mesh->Emult + im))* mDos / (PI * hbar * hbar) /(1.0+ exp(-(nEfRight - *ReEval)/vT));m1 = EmStarY;m2 = EmStarX;if (!((EmultID1 == 0) && (EmultID2 == 0) && (EmultID3 == 0)))77

{if (tetaID1 == 0.0)temp = (EmultID1 / (double)Emult0) * pow(m1, 0.5);else if ((tetaID1 >= 1.5707 ) && (tetaID1 = 1.5707 ) && (tetaID2 = 1.5707 ) && (tetaID3 EmStar + 2);}else {Id_E = q / (sqrt(2.0) * hbar * hbar) *pow((kT/PI), 1.5) * ((double) *(mesh->Emult + im))* sqrt(m_ID) *fermi(((nEfRight - *ReEval) / vT),0.0);v_E = 1e-2 * Id_E / (q * n_E);n_E = ((double) *(mesh->Emult + im)) * mDos * 1e-4/ (PI * hbar * hbar) * fi;Cqm_E = cNorm * q * ((double)78

*(mesh->Emult + im))* mDos / (PI * hbar * hbar) /(1.0+ exp(-(nEfRight - *ReEval)/vT));Id_E = 0.0;v_E = 0.0;}alpha_E = -(*ReEval - *(prevReEval + ie0 + im * howManyEigs))/ (*(mesh->V + mesh->iSilicon) - prevV);if (!(Gib % 2)) {*(n_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = n_E;*(Cqm_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = Cqm_E;*(Id_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = Id_E;*(v_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = v_E;EV_saved++; /* per contare gli autovalori salvati}else *(alpha_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = alpha_E;if ((Gib % 2) && (ie0 < subQMCprint) && (ie0 < EV_saved)) {fprintf(fqmc, "%e %e %e %e %e %e\n",*(prevReEval + ie0 + im * howManyEigs),*(n_eigen + ie0 + im * howManyEigs),*(Id_eigen + ie0 + im * howManyEigs),*(v_eigen + ie0 + im * howManyEigs),*(Cqm_eigen + ie0 + im * howManyEigs),*(alpha_eigen + ie0 + im * howManyEigs));fflush(fqmc);if ((ie0 == 0) && (im == 0))alpha_1 = *(alpha_eigen + ie0 + im * howManyEigs);}N_inv += n_E;Id_av += Id_E;v_av += n_E * v_E;*(prevReEval + ie0 + im * howManyEigs) = *ReEval;}}v_av /= N_inv;...79

Appendice BConcentrazione Superficialeper Ellissi RuotateSi affronta il calcolo della concentrazione superficiale di un MOSFET nelcaso in cui le ellissi, derivanti dalla quantizzazione degli ellissoidi equienergetici,abbiano un orientazione qualunque rispetto al sistema di riferimentosolidale al dispositivo. Si indicherà con (k x, ′ k y) ′ il sistema di riferimento dell’ellisse,mentre con (k x , k y ) quello del dispositivo; θ r sarà l’angolo da k x ′ a k x .Si indicheranno con m tr e m long rispettivamente la massa efficace trasversalee longitudinale dell’elettrone. Nel riferimento (k x, ′ k y) ′ la concentrazionesuperficiale sarà:n s = 1 ∑f L (E)Ak ′ ,k x>0dove k x è la direzione del trasporto (source-drain) e la f L (E) è la Fermi-Dirac. Si è trascurata l’iniezione di elettroni dal drain. L’espressione delmodulo del vettore d’onda lungo x k x in (k ′ x, k ′ y) sarà:k x = k ′ · ˆ i kx = k ′ x cos(θ r ) + k ′ y sin(θ r )Il vincolo sulla concentrazione superficiale:k x > 0 =⇒ k ′ x cos(θ r ) + k ′ y sin(θ r ) > 0Se cos(θ r ) > 0 cioè θ r ∈ ] − π 2 , π 2[ si ha:Si ha quindi che:1A∑k ′ ,k x>0k x ′ > − tan(θ r )} {{ }C Rf L (E) = 1 A81k ′ y∑k ′ y,k ′ x>−C R k ′ yf L (E)

e passando da ∑ a ∫ si ha:1A∑k ′ y,k ′ x>−C R k ′ yf L (E) −→ 2 ∫ +∞ ∫ +∞(2π) 2 n ν dk y′ dk xf ′ L (E)−∞ −C R k y′(B.1)Per risolvere l’integrale, si esegue sul sistema di riferimento la seguentetrasformazione : (k ′ x, k ′ y) −→ (ε, θ) con ε = E − E i e:⎧⎪⎨⎪⎩k ′ x =k ′ y =√2mlong¯h√ 2mtr¯hcos(θ) √ εsin(θ) √ ε√ mtr m long=⇒ det(J) =¯h 2Invece per quanto concerne gli estremi del dominio di integrazione si ha:D = {(k ′ x, k ′ y)|k ′ x > −C R k ′ y}Si considera il solo caso θ r > 0 in quanto per semplice simmetria si nota cheè equivalente al caso opposto. A seguito della trasformazione si avrà:(D = {(ε, θ)| ε > 0; arctan − 1 )(< θ < arctan − 1 )+ π}C} {{ R C} } {{ R}ABSostituendo al doppio integrale si ha che:∫ +∞ ∫ +∞√ ∫dk y′ dk ′ mtr m +∞longxf L (E) =−∞ −C R k y′ ¯h 2 0√ mtr m long=¯h 2 π∫ +∞Sostituendo la (B.2) nella (B.1) si ha:√ ∫2 mtrn s =(2π) 2 n m +∞longν¯h 2 π f L (ε)dε0= n √ ∫ν m tr m +∞long dE2π¯h 2= KT2E in ν√ mtr m longπ¯h 2Questo significa che n s è indipendente da θ r .01 + e E−E FKT∫ Bf L (ε)dεf L (ε)dεAdθ(B.2)ln(1 + e E F −E iKT ) (B.3)82

Appendice CProgramma per l’AnalisiAutomatica dei DatiIl listato riportato fa riferimento ad un programma realizzato in linguaggioC per la generazione automatica di file di dati partendo dai file d’uscita delsimulatore Schr1D. Infatti partendo dalle tabelle delle grandezze elettrichein funzione della tensione di gate esso genera una famiglia di caratteristichein funzione della massa efficace prendendo come parametri i valori indicatia riga di comando. Essenzialmente sfrutta un interpolatore lineare pernormalizzare alla stessa I off le caratteristiche in V G stampando poi nel filed’uscita le grandezze in funzione della massa efficace d’interesse.#include#include#include#include#include#include "nrutil.h"#include"routine.h"#define nmax_sets 40#define nmax_points 500#define maxline 80int main(int argc, char ** argv) {FILE *Dout;double **Vg, **Id, **v_inj, **Ninv, **Cinv, **Ctot, **alpha_1;double *mx, *my;double Ioff;double Vg_start, Vg_stop, Vg_step, Vg_run;double Vg_off;double Id_intrp;double v_inj_intrp;double Ninv_intrp;double Cinv_intrp;double Ctot_intrp;83

double alpha_1_intrp;int Nsets;int nstep[nmax_sets];int cnt_sets;int status;int var;if(argc < 8){printf("\nusage: %s Source_file Mass_file Target_file Ioff[nA/um]Vg_start[V] Vg_stop[V] Vg_step[V] var\n", argv[0]);printf("if var=0 -> print mx else print my\n");exit(-1);};printf("\n********************************ATTENZIONE*************************************************\n");printf("Se si modifica i valori o il numero delle simulazionimodificare il file delle masse efficaci\n");printf("*********************************************************************************************\n\n");Dout = myfopen(argv[3],"w");Ioff = 1e-3 * atof(argv[4]);Vg_start = atof(argv[5]);Vg_stop = atof(argv[6]);Vg_step = atof(argv[7]);var = atoi(argv[8]);/* alloco spazio in mem*/Vg = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);Id = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);v_inj = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);Ninv = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);Cinv = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);Ctot = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);alpha_1 = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);mx = vector(1, nmax_sets);my = vector(1, nmax_sets);/* leggo il file dei dati */if(!(status = readXMGRACE_MULTsets_7columns(argv[1], Vg, Id, Ninv,v_inj, Cinv, Ctot, alpha_1, &Nsets, nstep))){fprintf(stderr,"\nError while reading %s\n",argv[1]);exit(-1);}/* leggo il file delle masse efficaci */if(!(status = readXVGR(argv[2], mx, my, nstep))){fprintf(stderr,"\nError while reading %s\n",argv[2]);84

exit(-1);}fprintf(Dout, "# Grandezze in funzione di mx e my \n");fprintf(Dout, "# Ioff=%e [uA/um] \n#\n", Ioff);for (Vg_run = Vg_start; Vg_run

free_matrix(alpha_1,1,nmax_sets,1,nmax_points);free_vector(mx, 1, nmax_sets);free_vector(my, 1, nmax_sets);fclose(Dout);return 1;}86