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3 Notazione matriciale ed equazione <strong>di</strong> statoUna Rete <strong>di</strong> <strong>Petri</strong> può anche essere rappresentata me<strong>di</strong>ante una notazione matriciale,al pari <strong>di</strong> come possono essere rappresentati i grafi me<strong>di</strong>ante matrici <strong>di</strong> a<strong>di</strong>acenza o<strong>di</strong> incidenza. In particolare una Rete <strong>di</strong> <strong>Petri</strong> può essere rappresentata me<strong>di</strong>ante duematrici, <strong>di</strong> ingresso I e <strong>di</strong> uscita O, definite rispettivamente ponendo I s,t = w(s,t) eO t,s = w(t,s), ∀t ∈ T e ∀s ∈ S; con w(u,v) si in<strong>di</strong>ca la capacità dello spigolo (u,v) ∈ E.In altri termini la colonna i-esima della matrice I rappresenta i pesi degli archi entrantinella transizione t i ∈ T , mentre la riga j-esima <strong>di</strong> O rappresenta i pesi degli spigoliuscenti dalla transizione t j ∈ T . Per convenzione si pone I s,t = 0 se (s,t) ∉ E e O t,s = 0se (t,s) ∉ E.La matrice <strong>di</strong> incidenza C <strong>di</strong> una rete è definita ponendo C = O − I. Il vettore <strong>di</strong>marcatura m <strong>di</strong> una rete è il vettore m = (m 1 ,m 2 ,...,m |S| ) le cui componenti m i ≥ 0sono il numero <strong>di</strong> token presenti nel posto i-esimo.Una sequenza <strong>di</strong> scatti s è una sequenza <strong>di</strong> transizioni t i ∈ T tali che t 1 è abilitatadalla marcatura iniziale e lo scatto <strong>di</strong> t i porta ad abilitare la transizione t i+1 ; in<strong>di</strong>cheremola transizione con s = t 1 t 2 ...t n .Il vettore delle occorrenze S associato ad una sequenza <strong>di</strong> scatti è un vettore colonna<strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione |T |, S = (s 1 ,s 2 ,...,s |T | ), in cui s i rappresenta il numero <strong>di</strong> volte in cuiavviene la transizione t i nella sequenza <strong>di</strong> scatti s.Sia M 0 la marcatura iniziale della rete e sia C la matrice <strong>di</strong> incidenza. Sia S il vettoredelle occorrenze <strong>di</strong> una sequenza <strong>di</strong> scatti s applicata alla rete e sia M 1 la marcaturaraggiunta dopo tale sequenza <strong>di</strong> scatti (M 0 [S〉M 1 ). Allora risultaNotazione matricialeMatrice <strong>di</strong> incidenzaSequenza <strong>di</strong> scattiVettore delle occorrenzeM 1 = M 0 +CSTale equazione è detta equazione <strong>di</strong> stato della rete: ci permette <strong>di</strong> calcolare lo stato (lamarcatura) successivo <strong>di</strong> una rete nota la marcatura precedente e l’evento (lo scatto <strong>di</strong>una transizione) avvenuto.Equazione <strong>di</strong> stato4 Tipi <strong>di</strong> <strong>Reti</strong> <strong>di</strong> <strong>Petri</strong>In base al significato assegnato ai no<strong>di</strong> del grafo bipartito che rappresenta la rete, possiamo<strong>di</strong>stinguere tipi <strong>di</strong> <strong>Reti</strong> <strong>di</strong> <strong>Petri</strong> <strong>di</strong>fferenti, il cui comportamento e deve essereinterpretato evidenziando alcune importanti <strong>di</strong>fferenze:<strong>Reti</strong> con<strong>di</strong>zioni/eventi In queste reti gli elementi <strong>di</strong> S rappresentano con<strong>di</strong>zioni, mentrei vertici <strong>di</strong> T rappresentano degli eventi; in pratica con questo tipo <strong>di</strong> reti vengonorappresentati sistemi e processi in cui gli eventi si realizzano solo quando tuttele con<strong>di</strong>zioni che li precedono <strong>di</strong>rettamente sono sod<strong>di</strong>sfatte; la realizzazione <strong>di</strong>un evento porta a sod<strong>di</strong>sfare delle con<strong>di</strong>zioni successive alla realizzazione <strong>di</strong> taleevento ed in questo modo la “<strong>di</strong>namica” della rete procede nella sua iterazione.<strong>Reti</strong> posti/transizioni Rispetto alle reti con<strong>di</strong>zioni/eventi le reti posti/transizioni ammettonola presenza <strong>di</strong> più <strong>di</strong> un token nei posti ed anche il numero <strong>di</strong> tokenche transitano sugli archi della rete sono stabiliti sulla base <strong>di</strong> una capacità nonnegativa assegnata agli archi stessi.<strong>Reti</strong> temporizzate e stocastiche In questo tipo <strong>di</strong> reti entra in gioco anche una variabiletempo nel determinare le con<strong>di</strong>zioni con cui si può realizzare una determinata4