Il Teorema degli zeri di Hilbert e la geometria algebrica

Sia V ⊂ C n una varietà algebrica e definiamoI(V ) := {f ∈ C[x 1 , . . . , x n ] : f(a) = 0 ∀a ∈ V } (4)Allora, come conseguenza del Teorema degli zeri di Hilbert si dimostra il seguenteTeorema, che è in realtà la forma originale Teorema degli zeri di Hilbert.Theorem 2.0.13. Sia I ⊂ C[x 1 , . . . , x n ] un ideale. AlloraI(Z(I)) = √ IOsservazione 2.0.14. In particolare se I è un ideale radicale, I(Z(I)) = I. Abbiamoquindi una corrispondenza biunivoca tra varietà di C n e ideali radicali di C[x 1 , . . . , x n ].Dimostrazione. L’inclusione √ I ⊂ I(Z(I)) è facile: sia f ∈ √ I, ovvero f d ∈ I per qualcheintero d. Quindi per ogni a ∈ Z(I) abbiamo che f d (a) = 0. Abbiamo 0 = f d (a) = f(a) d ,il che implica che f(a) = 0 e quindi f ∈ I(Z(I)).Scegliamo ora per I un sistema finito di generatori: I = (f 1 . . . , f r ). Mostrare l’inclusioneopposta significa mostrare che se g ∈ C[x 1 , . . . , x n ] si annulla in ogni zero comunedi f 1 , . . . , f r , allora esiste un intero d tale che g d ∈ I. Nell’anello di polinomi in r + 1variabili C[x 1 , . . . , x n , y] consideriamo il polinomio g(x)y − 1; questi ovviamente non siannulla laddove g si annulla. Da ciò segue che i polinomi f 1 , . . . , f r , g(x)y − 1 non ammettonozeri comuni (in C r+1 ). Per 2.0.10 questo equivale a dire che esistono polinomih 1 (x, y), . . . , h r+1 (x, y) in C[x 1 , . . . , x n , y] tali che vale l’identità1 =r∑h 1 (x, y)f(x) + h r+1 (x, y)(g(x)y − 1)i=1Sostituendo in essa la funzione razionale g(x) −1 al posto di y otteniamo1 =r∑ 1h 1 (x,g(x) )f(x).i=1Questa è un’identità di funzioni razionali nelle x 1 , . . . , x n , con un (possibile) denominatorecomune di tipo g d . Moltiplicando entrambi i lati per tale g d si ottiene g d = ∑ r1 p if i conp i ∈ C[x 1 , . . . , x n ] e quindi la tesi.2.1 La topologia di Zariski su C n .La topologia di Zariski su C n è definita dall’avere come classe di insiemi chiusi la classe Cdi tutte le varietà in C n , ovveroC := {Z(T ), ∀T ⊂ C[x 1 , . . . , x n ]}Ricordiamo che per definire una topologia la classe C deve(1) contenere ∅ e C n ,(2) contenere l’unione di due suoi elementi qualsiasi;(3) contenere l’intersezione di una qualsiasi collezione di suoi elementi.Dimostriamo che valgono queste tre proprietà : Poiché Z(0) = C n e Z(1) = ∅ la (1) vale.7

La (2) segue dal fatto che Z(T 1 ) ∪ Z(T 2 ) = Z(T 1 · T 2 ) per ogni coppia di sottoinsiemiT 1 , T 2 di C[x 1 , . . . , x n ] (dove T 1 · T 2 := {t 1 t 2 , ∀t i ∈ T i }).Infatti, sia a ∈ Z(T 1 ), allora f(a) = 0 per ogni f ∈ T 1 , quindi per ogni g ∈ T 2 abbiamofg(a) = f(a)g(a) = 0 e quindi a ∈ Z(T 1 · T 2 ). Dunque Z(T 1 ) ⊂ Z(T 1 · T 2 ); analogamentesi mostra che Z(T 2 ) ⊂ Z(T 1 · T 2 ) e quindi Z(T 1 ) ∪ Z(T 2 ) ⊂ Z(T 1 · T 2 ).Per l’inclusione opposta, sia a ∈ Z(T 1 · T 2 ); se a ∈ Z(T 1 ) abbiamo finito. Altrimentiesiste f ∈ T 1 tale che f(a) ≠ 0. Allora per ogni g ∈ T 2 , poiché 0 = (fg)(a) = f(a)g(a),otteniamo g(a) = 0 e quindi a ∈ Z(T 2 ).La (3) segue osservando che, se J è una qualsiasi collezione di indici, allora per ogniT j ⊂ C[x 1 , . . . , x n ] abbiamo ∩ j∈J Z(T j ) = Z(∪ j∈J T j ). Quest’ultima verifica è banale.Esercizio 2.1.1. Si dimostri che la topologia di Zariski su C non è di Hausdorff, dimostrandoche ogni aperto non vuoto di C è denso in C.La topologia di Zariski induce una topologia sulle varietà algebriche di C n per restrizione.Ovvero, data V ⊂ C n , i chiusi di V sono tutti e soli quelli ottenuti intersecando Vcon i chiusi (cioè le varietà ) di C n .Da ora in poi quindi le nostre varietà saranno dotate di una struttura topologica.Possiamo quindi considerare il concetto di funzioni e applicazioni continue. Il terminefunzione è di norma usato per denotare un’applicazione a valori nel campo di numeri di“base (il campo C nel nostro caso).Sulle nostre varietà possiamo considerare le funzioni determinate da polinomi.Consideriamo il caso di C n ; sia p ∈ C[x 1 , . . . , x n ], allora p definisce la funzione seguenteC n −→ Ca ↦→ p(a)è ovvio che due polinomi diversi definiscono funzioni diverse. Dunque C[x 1 , . . . , x n ] puòesser visto come un insieme di particolari funzioni su C n , dette funzioni regolari.Sia ora V ⊂ C n una varietà; un polinomio p definisce anche una funzione su V . Duepolinomi p e p ′ definiscono su V la stessa funzione se e solo se per ogni a ∈ V risultap(a) = p ′ (a), ovvero se e solo se p − p ′ ∈ I(V ). Sia I = I(V ); da quanto detto segueche l’anello quoziente C[x 1 , . . . , x n ]/I definisce un insieme di funzioni su V , dette funzioniregolari. Dunque l’anello quoziente C[x 1 , . . . , x n ]/I ha una sua interpretazione geometrica;introduciamo la notazioneC[V ] := C[x 1, . . . , x n ].I(V )Per caratterizzare gli anelli di tipo C[V ] premettiamoOsservazione 2.1.2. Sia I ⊂ C[x 1 , . . . , x n ] un ideale. Allora I è un ideale radicale se esolo se C[x 1 , . . . , x n ]/I è un anello ridotto, ovvero, un anello privo di elementi nilpotenti. Ladimostrazione è lasciata per esercizio (ricordiamo che un elemento nilpotente è un elementonon nullo f tale che esiste d ∈ N per cui f d = 0.Dunque la corrispondenza biunivoca descritta in 2.0.14 tra varietà in C n e ideali radicaliin C[x 1 , . . . , x n ] induce una corrispondenza biunivoca tra l’insieme di tutte le varietà in C n el’insieme di tutti i quozienti di C[x 1 , . . . , x n ] che siano privi di nilpotenti. Più precisamente,tale corrispondenza è infatti un’equivalenza di categorie che inverte i morfismi. Questosignifica che ad ogni omomorfismo λ : C[V ] −→ C[V ′ ] corrisponde un unico morfismo divarietà Φ : V ′ −→ V tale che λ coincide con il pull-back di funzione tramite Φ.8(5)

3 Geometria algebrica su anelli commutativi arbitrari.Sia adesso R un anello commutativo qualsiasi, tale che 1 ∈ R. Vogliamo associare ad Run oggetto geometrico, estendendo quanto fatto nel caso in cui R è un anello di polinomia coefficienti in C o, più in generale, una C-algebra finitamente generata. Chiameremoschema tale oggetto geometricoIl primo passo è quello di associare a R uno spazio, che costituisca l’insieme di puntisoggiacente allo “schema che vogliamo definire. Sul modello di quanto studiato, ispiratidal teorema degli zeri di Hilbert, un candidato naturale per tale spazio è l’insieme di tuttigli ideali massimali di R. Denotiamo Max(R) l’insieme di tutti gli ideali massimali di R.L’obiettivo finale è quello di ottenere una equivalenza di categorie tra la categoria deglianelli commutativi unitari, con gli omomorfismi di anelli, e la categoria di questi schemi(da definire) con i loro morfismi (anch’essi da definire).Tale equivalenza, come nel caso delle varietà , deve invertire le frecce, ovvero ad unomomorfismo λ : R −→ R ′ deve corrispondere un morfismo di schemi che vada dalloschema associato ad R ′ a quello associato ad R.Se i nostri schemi fossero supportati sull’insieme degli ideali massimali, dovremmo avereun morfismo φ : Max(R ′ ) −→ Max(R) associato a λ in modo funtoriale. In particolaredovremmo avere che φ(M ′ ) = λ −1 (M ′ ). C’è però un problema: se M ⊂ R ′ è un idealemassimale in R ′ , l’ideale λ −1 (M ′ ) non è necessariamente un ideale massimale di R.Per esempio, nell’inclusione λ : Z ↩→ Q[x] la preimmagine dell’ideale massimale (x) èl’ideale 0 in Z che certo non è massimale.Questo ci dice che Max(R) non è lo spazio giusto. Osserviamo ora che per ogni omomorfismoλ : R −→ R ′ , la preimmagine di un ideale primo di R ′ è un ideale primo diR. Il modo giusto di procedere è infatti proprio quello di considerare non solo gli idealimassimali (che ovviamente sono anche primi) ma tutti gli ideali primi di R. DefiniamoSpec R := {P R : P è un ideale primo }.(Ricordiamo che un ideale primo di un anello R è un ideale proprio P ⊂ R tale che l’anelloquoziente R/P è privo di divisori dello 0).Consideriamo questa definizione nel caso R = C[x], e confrontiamola con C, la varietàassociata ad R precedentemente. Notiamo che, come insiemi di punti, Spec C[x] contieneesattamente un punto in più rispetto a C. Sia infatti P ⊂ C[x] un ideale primo, allora cisono due possibilità , o P è l’ideale (0) oppure P è un ideale massimale. Sappiamo che gliideali massimali di C[x] sono in corrispondenza biunivoca con i punti di C; concludiamoquindi che, come insieme, Spec C[x] è come C con l’aggiunta del punto (0). Vedremo trapoco che questo comporta un’importante differenza geometrica (anzi, topologica).3.1 Spec R come spazio topologicoProcedendo in modo analogo a quanto fatto per le varietà , definiremo ora su Spec R unastruttura di spazio topologico, basata sulla definizione seguente: sia T ⊂ R,V (T ) := {P ∈ Spec R : T ⊂ P } ⊂ Spec ROvvero: V (T ) è il luogo di tutti gli ideali primi contenenti T . Definiamo ora su Spec R latopologia di Zariski, che ha come classe di insiemi chiusi la classe C definita qua sotto in9

due modi equivalentiC = {V (T ), ∀T ⊂ R} = {V (I), ∀I ideale di R}. (6)Va verificato che la classe C definisce una topologia, e che le due definizioni sono equivalenti.Questa seconda verifica è banale e lasciata per esercizio. Dimostriamo invece che (1) Ccontiene l’insieme vuoto e tutto Spec R, e che C è chiusa (2) rispetto all’unione finita e (3)rispetto all’intersezione qualsiasi.Per (1), osserviamo che ∅ = V (1) e Spec R = V (0).Per (2) abbiamo che V (I 1 ) ∪ V (I 2 ) = V (I 1 · I 2 ).Infatti, l’inclusione V (I 1 ) ∪ V (I 2 ) ⊂ V (I 1 · I 2 ) è ovvia, poichè I j ⊃ I 1 · I 2 .Viceversa, se P ∈ V (I 1 · I 2 ) e, diciamo, P non contiene I 1 , allora esiste f ∈ I 1 noncontenuto in P . Poiché P ⊃ I 1·I 2 , per ogni g ∈ I 2 abbiamo che fg ∈ P e quindi, poiché P èprimo e non contiene f, ogni elemento g di I 2 sta in P . Quindi P ∈ V (I 2 ) ⊂ V (I 1 )∪V (I 2 ).Per (3) si mostra facilmente che ∩ i V (T i ) = V (∪ i T i ) per i in qualsiasi insieme di indici.Riferimenti bibliografici[1] Michael Artin Algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1991[2] M.F.Atiyah, I.G. Macdonald Introduzione all’algebra commutativa Feltrinelli[3] D. Mumford The red book of Varieties and Schemes Springer LNM 135810