Il Teorema degli zeri di Hilbert e la geometria algebrica

Sia V ⊂ C n una varietà algebrica e definiamoI(V ) := {f ∈ C[x 1 , . . . , x n ] : f(a) = 0 ∀a ∈ V } (4)Allora, come conseguenza del Teorema degli zeri di Hilbert si dimostra il seguenteTeorema, che è in realtà la forma originale Teorema degli zeri di Hilbert.Theorem 2.0.13. Sia I ⊂ C[x 1 , . . . , x n ] un ideale. AlloraI(Z(I)) = √ IOsservazione 2.0.14. In particolare se I è un ideale radicale, I(Z(I)) = I. Abbiamoquindi una corrispondenza biunivoca tra varietà di C n e ideali radicali di C[x 1 , . . . , x n ].Dimostrazione. L’inclusione √ I ⊂ I(Z(I)) è facile: sia f ∈ √ I, ovvero f d ∈ I per qualcheintero d. Quindi per ogni a ∈ Z(I) abbiamo che f d (a) = 0. Abbiamo 0 = f d (a) = f(a) d ,il che implica che f(a) = 0 e quindi f ∈ I(Z(I)).Scegliamo ora per I un sistema finito di generatori: I = (f 1 . . . , f r ). Mostrare l’inclusioneopposta significa mostrare che se g ∈ C[x 1 , . . . , x n ] si annulla in ogni zero comunedi f 1 , . . . , f r , allora esiste un intero d tale che g d ∈ I. Nell’anello di polinomi in r + 1variabili C[x 1 , . . . , x n , y] consideriamo il polinomio g(x)y − 1; questi ovviamente non siannulla laddove g si annulla. Da ciò segue che i polinomi f 1 , . . . , f r , g(x)y − 1 non ammettonozeri comuni (in C r+1 ). Per 2.0.10 questo equivale a dire che esistono polinomih 1 (x, y), . . . , h r+1 (x, y) in C[x 1 , . . . , x n , y] tali che vale l’identità1 =r∑h 1 (x, y)f(x) + h r+1 (x, y)(g(x)y − 1)i=1Sostituendo in essa la funzione razionale g(x) −1 al posto di y otteniamo1 =r∑ 1h 1 (x,g(x) )f(x).i=1Questa è un’identità di funzioni razionali nelle x 1 , . . . , x n , con un (possibile) denominatorecomune di tipo g d . Moltiplicando entrambi i lati per tale g d si ottiene g d = ∑ r1 p if i conp i ∈ C[x 1 , . . . , x n ] e quindi la tesi.2.1 La topologia di Zariski su C n .La topologia di Zariski su C n è definita dall’avere come classe di insiemi chiusi la classe Cdi tutte le varietà in C n , ovveroC := {Z(T ), ∀T ⊂ C[x 1 , . . . , x n ]}Ricordiamo che per definire una topologia la classe C deve(1) contenere ∅ e C n ,(2) contenere l’unione di due suoi elementi qualsiasi;(3) contenere l’intersezione di una qualsiasi collezione di suoi elementi.Dimostriamo che valgono queste tre proprietà : Poiché Z(0) = C n e Z(1) = ∅ la (1) vale.7