Analisi pseudostatica e dinamica di gallerie in aree sismiche - ReLUIS

Analisi pseudostatica e dinamica di gallerie in aree sismicheEmilio Bilotta, Giovanni Lanzano, Gianpiero RussoDIG, Università di Napoli Federico II, bilotta@unina.it, g.lanzano@unina.it, pierusso@unina.it .Filippo Santucci de MagistrisSAVA, sez. Ingegneria & Ambiente, Università del Molise, filippo.santucci@unimol.itVincenzo Aiello, Enrico Conte, Francesco Silvestri, Michele ValentinoDDS, Università della Calabria, v.aiello@dds.unical.it, conte@dds.unical.it, f.silvestri@unical.it, omegamiky@yahoo.itKeywords: strutture interrate, gallerie, azioni sismiche, analisi pseudo-statica, analisi dinamica.ABSTRACT:Gli effetti indotti da un evento sismico nel rivestimento di una galleria possono essere previsti con varie metodologie,a livello di complessità crescente, calcolando gli incrementi di carico a partire dalla risposta sismicadel sottosuolo in esame in condizioni di free-field, oppure in base alla soluzione di un problema di interazioneterreno-struttura in condizioni dinamiche. In questa nota vengono illustrate differenti procedure e nevengono confrontati i risultati. Il problema analizzato è quello di una galleria circolare di 6 m di diametro elunga 1000 m, con l’asse alla profondità di 15 m in uno strato di terreno di 30 m di ghiaia o sabbia mediamenteaddensata o argilla tenera, sovrastante un banco roccioso relativamente rigido. Sono state condotte analisipseudo-statiche e dinamiche semplificate e confrontate con l’analisi a elementi finiti dell’interazione completaterreno-struttura. I risultati mostrano che se il rivestimento è relativamente flessibile possono essere usati metodisemplificati per prevedere affidabilmente le sollecitazioni indotte dal sisma. Tuttavia la semplice analisipseudo-statica richiede un’attenta valutazione dell’accelerazione in superficie. In direzione longitudinale sonostate confrontate due procedure, che possono tenere conto, in maniera semplificata, sia dell’inclinazione delleonde sismiche che dell’asincronismo del moto.1 INTRODUZIONEE’ opinione comune che gli effetti di un terremotosulle strutture interrate non siano molto rilevanti,probabilmente perché durante molti eventi sismicitali strutture hanno subito un basso livello di dannoin confronto alle strutture in elevazione. Ciononostantealcune strutture interrate sono state significativamentedanneggiate durante recenti terremoti(Hashash et al., 2001). In conseguenza di ciò, ed anchea causa del maggior livello di protezione necessarioa costruire gallerie di grande diametro soprattuttoin area urbana, la risposta sismica di questestrutture è stata oggetto diversi studi negli ultimi anni(St.John e Zahrah, 1987; Wang 1993;Kawashima, 2000; Vanzi, 2000; Hashash, 2005; Pakbaze Yareevand, 2005).I danni da sisma sulle costruzioni in sotterraneosono causati dalla deformazione alternata (“scuotimento”)del sottosuolo o da fenomeni di rottura delterreno come la liquefazione di depositi granulari saturio l’instabilità di pendii. In particolare, la rispostadella galleria all’evento sismico si manifesta secondotre meccanismi deformativi: compressione ed e-stensione assiale, inflessione longitudinale e ovalizzazione/distorsione(Owen & Scholl, 1981). Ladeformazione assiale e l’inflessione sono generatedalle componenti dell’onda sismica che produconomoto delle particelle in direzione rispettivamente parallelao perpendicolare all’asse longitudinale dellagalleria. Ovalizzazione e distorsione, invece, sonoprevalentemente dovute alle onde di taglio che sipropagano perpendicolarmente all’asse della galleria,deformandone la sezione trasversale. Generalmentequeste tre forme di deformazione sono analizzateseparatamente e danno luogo a considerazioniprogettuali distinte lungo l’asse della galleria, per ledeformazioni assiali e flettenti, e in sezione trasversale,per le deformazioni di ovalizzazione.In questa nota, le sollecitazioni indotte dallo scuotimentodel sottosuolo sul rivestimento della galleriavengono calcolate secondo procedure di calcolo adifferenti livelli di complessità, che ricadono nellaclasse dei metodi pseudo-statici e dinamici semplificati(Rampello, 2005). Sono inoltre mostrati i risultatiottenuti modellando l’interazione dinamica terreno-struttura.Il caso analizzato è quello di unagalleria circolare in uno strato deformabile poggiantesu un banco roccioso relativamente rigido. Vengonoconsiderati tre diversi modelli di sottosuolo:argilla tenera, sabbia o ghiaia mediamente addensa-

tale operazione si rende necessaria per ottenere risultaticonfrontabili con quelli forniti dagli altri metodi.In Fig. 4 i profili di r d (z) in accordo con l’Eq. (10),sono confrontati con i profili suggeriti dagli Autorisummenzionati. I valori calcolati si riferiscono a unterremoto di progetto con un’accelerazione a g variabileda 0.05g a 0.35g, corrispondente alle quattro categoriesismiche definite dalla normativa Italiana(OPCM 3274, 2003).Si osservi che i valori di r d ricavati dall’Eq. (10)sono spesso più grandi dell’unità all’interno del banco,così come l’accelerazione calcolata nelle analisiè generalmente più elevata di Sa g . Questo è in accordocon i recenti lavori di Pitilakis et al. (2006) eBouckovalas et al. (2006) che hanno ottenuto valoridi S più elevati di quelli suggeriti dall’OPCM 3274 edall’EC8.La Fig. (3), inoltre, mostra che r d cresce al decresceredi a g , che sta ad indicare un notevole effettodella non-linearità. Ciò è più evidente in corrispondenzadella superficie, dove la rigidezza a taglio subiscein maniera più significativa l’effetto della variazionecon la profondità. Nonostante l’elevatovalore rispetto a quelli previsti per la superficie, questometodo fornisce tensioni tangenziali generalmentepiù basse alla profondità della galleria, rispettandole relazioni presenti in letteratura, almeno per i profilidi sottosuolo considerati.z (m)0 0.5 1 1.5 rd051015202530(a)Iw asakietal.(1978)Liao &Whitmann(1986)Pow er etal.(1996)RSL-0.35gRSL-0.25gRSL-0.15gRSL-0.05gz (m)0 0.5 1 1.5 rd051015202530(b)z (m)0 0.5 1 1.5 rd051015202530(c)Tramite un’analisi di risposta sismica locale monodimensionalein condizioni di free-field, vengonocalcolati i valori dell’accelerazione, della tensione edella deformazione tangenziali massime indotte dalpassaggio delle onde sismiche alla profondità dellagalleria. In questa maniera possono essere tenute inconto sia le storie temporali delle accelerazioni chele caratteristiche del sito, mentre l’interazione cinematicaterreno-struttura viene ancora ignorata. Leanalisi di risposta sismica locale RSL sono statecondotte utilizzando il codice EERA (Bardet et al.,2000), che opera nel dominio delle frequenze. Le caratteristichedel sottosuolo, in termini di caratteristichestratigrafiche e proprietà fisiche e meccaniche,sono modellate in accordo con le Figg. 1 e 2. Le storietemporali delle accelerazioni sono state selezionateda un database di registrazioni di eventi sismiciitaliani, raccolti per il programma di ricerca ReLUIS(Lanzo, 2006). I segnali sismici sono stati scalati aun valore dell’accelerazione massima a g pari a0.05g, 0.15g, 0.25g e 0.35g (in accordo con la zonazionesismica stabilita dall’OPCM 3274, 2003), esono stati applicati alla base dei tre diversi modellidi sottosuolo.3.3 Analisi dinamica completaLe analisi con il metodo dinamico completo sonostate condotte con l’ausilio di Plaxis v8 (Brinkgreve,2002), che permette di effettuare anche analisi dinamichedi interazione fra terreno e struttura, incondizioni piane. Il codice permette di definire untensore dello smorzamento [C] attraverso la formulazionedi Rayleigh, come combinazione lineare deltensore delle masse [M] e di quello delle rigidezze[K]:[C] = α [M] + β[K](11)I coefficienti α e β sono stati calcolati con il metododella doppia frequenza di controllo, assumendoche il fattore di smorzamento fosse costante in un intervallocompreso fra la prima frequenza naturale deldeposito e una frequenza n volte maggiore; n è ilprimo intero dispari che approssima per eccesso ilrapporto fra la frequenza fondamentale del segnalesismico e la prima frequenza naturale del deposito.Questo metodo evita che venga sovrastimato losmorzamento all’interno dell’intervallo di frequenzeconsiderate (Lanzo et al., 2004). Il bedrock è statoassunto come un contorno rigido, mentre le frontierelaterali della mesh, lontane 10 d dall’estremità lateraledella galleria, sono state modellate come smorzatorisecondo la formulazione di Lysmer &Kuhlmeyer (1969). In Fig. 4 è riportata la mesh utilizzatanelle analisi:Figura 3. Profili di r d (z) forniti dalla letteratura e calcolati conEERA per argilla (a), sabbia (b) e ghiaia (c)3.2 Analisi dinamica semplificataFigura 4 Mesh utilizzata nelle analisi dinamiche complete3.4 RisultatiLa Tabella 2 mostra un riepilogo dei metodi adottati,sintetizzando i criteri usati per valutare la massimaaccelerazione in superficie (a max,s ) e quella albedrock (a max,b ), la tensione tangenziale massimaτ max e la corrispondente deformazione massima γ max .In seguito sono riportati alcuni risultati rappresentativi,ottenuti dall’applicazione dei metodi sintetizzatinella Tabella 2. Nelle Figg. 5-6 vengono riporta-

ti i confronti fra i metodi pseudo-statici e dinamicisemplificati, in termini di profili di accelerazione,tensione tangenziale e deformazione massime. Questirisultati si riferiscono a un sottosuolo di tipo C(sabbia mediamente addensata), sotto un evento sismicocon a max = 0.35g. I risultati delle analisi di rispostasismica locale, condotte con sei differenti segnaliin ingresso, sono diagrammati lungo lospessore del banco (linee grigie) e mediati a ciascunaprofondità (linea nera).z (m)a max (g)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1051015z (m)a max (g)0 0.25 0.5 0.75 1051015Tabella 2. Descrizione sintetica dei metodi di analisi della sezionetrasversale.Analisi Metodi a max,b a max,s τ max AnalisilineareAnalisilineareequivalentePseudostaticaDinamicasemplificataDinamicacompletaMet. 1 a gMet. 2 a gMet. 3 (-)Met. 4 (-)EERAPlaxisa ga gS⋅ a gEq. (7)Eq.(8), (9)Eq.(8),(10)γ maxτ max /G 0 Eq. (4)Analisi di risposta sismica locale(free-field)Analisi dinamica di interazioneterreno-struttura202530051015(a)τ max (kPa)Metodo 2Metodo 3RSL media0 100 200 300 400Metodo 1Metodo 2Metodo 3Metodo 4RSL media202530(b)τ max (kPa)0 100 200 300 400051015E’ importante osservare che, in ipotesi di comportamentolineare del terreno (Fig. 5a, 5c, 5e), i valoriassunti per a max nei primi due metodi pseudo-staticisono più bassi di quelli calcolati con l’analisi di rispostasismica locale, almeno dalla superficie allaprofondità della galleria. Tuttavia, i valori di τ max risultanoconfrontabili, mentre quelli di distorsioneγ max , calcolati con i metodi 1 e 2 diventano significativamentepiù elevati. In ipotesi di comportamentonon-lineare (Fig. 5b, 5d, 5f), si osservano differenzepiù evidenti, poiché tutti i metodi pseudo-statici sovrastimanonotevolmente i valori di γ max .Nella Fig. 6 a-b è diagrammato il rapporto fra ladeformazione pseudo-statica mediata, γ ps , e il corrispondentevalore mediato ottenuto da un’analisi dirisposta sismica locale, γ ds , in funzione della massimaaccelerazione di riferimento a g . I valori della deformazioneconsiderati sono stati mediati in un campodi profondità comprese fra il concio di chiave el’arco rovescio della galleria.I diagrammi confermano che, in molti casi, i metodipseudo-statici forniscono generalmente un valoremediato della deformazione tangenziale massimamaggiore di quello ottenuto dalle analisi dinamichesemplificate; ciò si verifica in particolare per i depositiargillosi e nell’ipotesi di comportamento lineareequivalente.202530051015202530(c)γ max (%)0 0.1 0.2 0.3Metodo 1Metodo 2Metodo 3Metodo 4RSL media(e)(f)Figura 5. Profili di a max (z), τ max (z), γ max (z) per il sottosuolo disabbia con a g =0.35g: analisi lineari (a), (c), (e) e lineari equivalenti(b), (d), (f).202530051015202530(d)γ max (%)0 1 2 3

Al contrario, per i terreni ghiaiosi alcuni rapportisono minori dell’unità, ciò indica che in alcuni casile analisi pseudo-statiche sottostimano le distorsionie, di conseguenza, le sollecitazioni sul rivestimento.Si può concludere inoltre che le analisi pseudostatichepossono risultare più cautelative nella stimadel livello deformativo, all’aumentaredell’accelerazione di picco e del grado di nonlinearitàdel terreno.I confronti in Fig. 6 confermano che i metodi 1 e 2sono in molti casi troppo cautelativi, mentre i metodi3 e 4, e in particolare l’ultimo, forniscono stime dellivello di deformazione vicine a quelle ottenute dalleanalisi dinamiche semplificate.100(a)γps/γds(b)γ ps /γ ds101010010Argilla - metodo 1 Argilla - metodo 2Argilla - metodo 3 Argilla - metodo 4Sabbia - metodo 1 Sabbia - metodo 2Sabbia - metodo 3 Sabbia - metodo 4Ghiaia - metodo 1 Ghiaia - metodo 2Ghiaia - metodo 3 Ghiaia - metodo 40 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4a g (g)a quella di free-field, per effetto dell’elevata flessibilitàdel rivestimento. La diminuzione di γ al di sopradella calotta può essere invece associata all’effetto dischermatura delle onde S prodotto dalla presenzadell’apertura circolare nell’analisi completa.z [m]z [m]a max [g]0 0.5 1 1.5051015202530(a)Sturno270 -EERATolmezzo00 -EERATolmezzo270 -EERASturno270 -PlaxisTolmezzo00 -PlaxisTolmezzo270 -Plaxis0 0.1 0.2051015γ max (%)z [m]z [m]τ max [kPa]0 100 200 300 400051015202530051015(b)γ max [%]0 0.05 0.1 0.15 0.2rivestimento12020Plaxis free-field(Sturno 270)00 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4a g (g)Figura 6. Rapporti fra la deformazione tangenziale calcolatacon i metodi pseudo-statici e quella calcolata con l’analisi dinamicasemplificata: lineare (a) e lineare equivalente (b)In Fig. 7 viene riportato un confronto fra le analisilineari free-field condotte nel dominio delle frequenze(EERA) e del tempo (Plaxis), in termini di profiliverticali di alcuni parametri significativi (a max (z),τ max (z), γ max (z)) per un sottosuolo sabbioso (terrenodi tipo C), soggetto a una storia di accelerazioni albedrock scalate a 0.35g. Si può osservare che, inmedia, le due analisi dinamiche forniscono risultaticonfrontabili in termini di ampiezza della deformazionetangenziale alla profondità della galleria. InFig. 7d si confrontano i profili di deformazione tangenzialecalcolati con Plaxis in free-field e in presenzadella galleria rivestita. Si osserva che i profilisono sostanzialmente simili; essi differiscono localmentein corrispondenza del baricentro della galleria(alla profondità di 15 m) dove la deformazione calcolatanell’analisi completa è leggermente superiore25302530Interazionegalleria-terreno(Sturno 270)(c)(d)Figura 7. Profili di a max (z), τ max (z), γ max (z) per una sabbia cona g =0.35g: confronto fra le analisi dinamiche semplificate diEERA e di PlaxisSia per le analisi pseudo-statiche che per quelledinamiche semplificate, è stato assunto che le sollecitazionisul rivestimento possano essere calcolateusando la distorsione massima mediata alla profonditàdella galleria e ignorando l’interazione cinematicatra il rivestimento e il mezzo. In questo lavoroper valutare le sollecitazioni vengono usate le e-spressioni analitiche di Penzien & Wu (1998), che siriferiscono a una galleria di diametro d, con un rivestimentodefinito da un momento d’inerzia pari a I t ,e da parametri elastici E t e ν t . La galleria è immersain un semispazio omogeneo e isotropo, con parametrielastici lineari E e ν. In ipotesi di perfetta aderenzafra rivestimento e terreno, la variazione dellosforzo normale (N), del taglio (T) e del momento

flettente (M) con l’anomalia θ è fornita dalle espressioni:24E t I tΔ(θ )N( θ ) =3 2d (1 −νt )24E tItΔ(θ ) ⎛ π ⎞T( θ ) =tan 2⎜θ+ ⎟3 2d (1 −ν) 4t ⎝ ⎠6E tItΔ(θ )M( θ ) =2 2d (1 −ν)tin cui la distorsione Δ è definita come segue:2dγm (1 −νt ) ⎛ π ⎞Δ(θ)=cos 2⎜θ+ ⎟1+α st ⎝ 4 ⎠48E tIt (1 + ν )(3 − 4ν)α st =3d E(1 −ν)t(12)(13)con γ m uguale a γ ps oppure a γ ds . I diagrammi dellesollecitazioni con l’anomalia θ sono stati confrontatiin Fig. 8 con le forze corrispondenti calcolate con leanalisi dinamiche complete lineari (registrazione diSturno), per un sottosuolo sabbioso eun’accelerazione di picco al bedrock a g =0.35g. Ilconfronto mostra in questo caso una certa coerenzafra i risultati ottenuti dai diversi tipi di analisi pertutti i metodi pseudo-statici. Rispetto alle analisi diinterazione dinamica terreno-struttura, i metodi dinamicisemplificati forniscono valori ragionevolmentecoerenti delle sollecitazioni di taglio T e delmomento flettente M, mentre sottostimano il valoredello sforzo normale N. Gli ultimi risultati confermanole conclusioni di uno studio di Hashash et al.(2005) circa l’utilizzo delle Eq. (12) per la valutazionedello sforzo normale N.4 ANALISI LUNGO L’ASSE DELLAGALLERIALe analisi sismiche delle struttura in direzionelongitudinale sono state condotte tramite due metodisemplificati, che modellano la galleria come una traveelastica lineare:1) soluzione alle differenze finite dell’equazionedell’equilibrio dinamico, presentate inKawashima (2000)2) soluzione approssimata proposta da Fu et al.(2004)Entrambi i metodi richiedono come dato di partenzaun campo di spostamenti alla profonditàdell’asse della galleria in condizioni di free-field. Atale scopo, viene considerato un profilo di spostamentiassociato al primo modo di vibrare di un bancoelastico, omogeneo e isotropo, di spessore H, sovrastanteun bedrock rigido (Kawashima, 2000).Una volta noto il massimo spostamento orizzontale,trasversale alla galleria e alla superficie del banco,u s , si può ricavare lo spostamento a una genericaquota z, u g (z), come:N (kN/m)T (kN/m)M (kNm/m)600400200θ00 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360-200Metodo 1Metodo 2Metodo 3-400Metodo 4EERA mediaPlaxis-60010050-50-100θ(°)(a)00 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 36015010050θθθ(°)(b)Metodo 1Metodo 2Metodo 3Metodo 4EERA mediaPlaxis00 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360-50Metodo 1Metodo 2Metodo 3-100Metodo 4EERA mediaPlaxis-150(c)Figura 8. Sollecitazioni sul rivestimento: sabbia, a g =0.35g, analisilineari⎛ π z ⎞u g (z) = cos⎜⎟ u s(14)⎝ 2H ⎠La variazione dello spostamento free-field lungol’asse della galleria y, u ff (y,z), sarà fornitodall’espressione:⎛ π 2π y ⎞u ff (y,z) = u g (z) ⋅ sen⎜ + cosθ⎟ (15)⎝ 2 λs⎠in cui λ s è la lunghezza d’onda S e θ l’angolo chedefinisce la direzione di propagazione rispettoall’asse y. L’Eq. (15) tiene conto, in maniera semplificata,sia dell’inclinazione dell’onda chedell’asincronismo del segnale lungo l’asse longitudinale.Per calcolare λ s può essere usata la seguenteespressione:2 L1L 2λ s =(16)L1+ L 2in cui le due lunghezze d’onda L 1 e L 2 sono:L = =(17)1 TsVsL 2 TsVressendo il periodo T s espresso dalla seguente formula:θ(°)

4hiTs= 1 .25 ∑(18)Vi=1, ns iNell’Eq. (17) e (18), Vsè il valore medio della velocitàdelle onde di taglio lungo il banco, Vrè la velocitàdelle onde di taglio nel bedrock, n è il numerodei strati in cui il deposito è suddiviso, h i e Vsisonolo spessore e la velocità delle onde di taglio dell’iesimostrato del deposito.4.1 Calcolo degli spostamentiIn questo lavoro, lo spostamento superficiale u s ,presente nell’Eq. (14), è stato calcolato usando tredifferenti procedure pseudo-statiche (PS) e una proceduradinamica semplificata (DS).4.1.1 Metodo PS 1Lo spostamento orizzontale massimo in superficieè calcolato dalla velocità spettrale S v al bedrock edal periodo fondamentale del deposito T s , tramitel’espressione suggerita da Kawashima (2000):2Tsu s = Sv(Ts)(19)2πin cui T s è ottenuto dall’Eq. (18), e S v viene ricavatodallo spettro di progetto delle accelerazioni S a cosìcome viene definito nell’OPCM 3274 (2003), fissandoS=1.4.1.2 Metodo PS 2Anche il secondo metodo è basato sull’Eq. (19),ma in questo caso S v (T s ) è stato valutato come lospettro medio dedotto dalle storie temporali delle accelerazionidisponibili.4.1.3 Metodo PS 3In questo metodo lo spostamento massimo in superficie(in cm) è fornito dalla seguente equazione:us= 2.5⋅S⋅T ⋅ T ⋅ a(20)CDgin cui T C e T D sono i valori dei periodi definiti dallospettro di progetto contenuto nell’OPCM 3274(2003).4.1.4 Metodo DSQuesto metodo è basato su un’analisi dinamicasemplificata per la valutazione della risposta sismicadi un sito in condizioni di free-field, mirato al calcolodello spostamento massimo indotto dal sisma nelbanco nel campo di profondità in cui è posizionata lagalleria. In questo caso i valori di u g (z) possono essereottenuti facilmente dalla stessa analisi di rispostasismica locale adottata per lo studio della sezionetrasversale.La figura 9 mostra un confronto fra i 4 metodi, intermini di spostamento orizzontale ottenuto conl’Eq. (14) per ciascuno dei summenzionati metodipseudo-statici, u g,PS , rapportato allo spostamentocorrispondente calcolato dal valore mediato delleanalisi dinamiche semplificate lineari, u g,DS . Si puòosservare che i metodi pseudo-statici prevedonospostamenti sempre maggiori di quelli fornitidall’analisi di risposta sismica locale free-field: nellospecifico, il metodo PS3 appare troppo cautelativo,rispetto al metodo PS2, che fornisce valori più viciniai risultati delle analisi dinamiche semplificate.u g,PS /u g , DS100101Argilla - PS 1 Argilla - PS 2 Argilla - PS 3Sabbia - PS 1 Sabbia - PS 2 Sabbia - PS 3Ghiaia - PS 1 Ghiaia - PS 2 Ghiaia - PS 300 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4a g (g)Figura 9. Confronto fra i valori di u g previsti dalle analisipseudo-statiche e delle analisi dinamiche semplificate4.2 Soluzione alle differenze finiteLe sollecitazioni sul rivestimento devono esserecalcolate modellando la galleria come una trave elasticasu un letto di molle alla Winkler. Trascurandogli effetti inerziali (Okamoto et al., 1973),l’equazione differenziale che governa il comportamentoflessionale pseudo-statico della trave è(Kawashima, 2000):4∂ u(y)EI = K4∂yt[ u (y) − u(y) ]ff(21)L’Eq. (21) deve essere risolta insieme alle condizionial contorno, espresse in termini di spostamentoe delle sue derivate, che corrispondono a fissare unvalore nullo del taglio, T, e del momento flettente,M, all’estremità della trave. Nell’Eq. (21), u(y) è lospostamento della struttura, u ff (y) è lo spostamentoin condizioni free-field del terreno calcolato dall’Eq.(15), EI è la rigidezza flessionale della trave, e K t èla rigidezza delle molle rappresentative del mezzo.Quest’ultima grandezza può essere valutatadall’espressione (St.John & Zahrah, 1987):Kt16π=G m ( 1-νs ) ⎛ D( ) ⎟ ⎞⎜3 - 4νs ⎝ λs⎠(22)in cui G m è un valore medio del modulo di rigidezzaa taglio a piccole deformazioni, e ν s è il coefficientedi Poisson del mezzo. La soluzione dell’Eq. (21) èstata ottenuta numericamente usando un metodo alledifferenze finite (Valentino, 2006), in cui si può e-ventualmente tener conto della variabilità di K t lungol’asse della galleria.

4.3 Soluzioni approssimateLa procedura proposta da Fu et al. (2004) consentedi determinare la deformazione della galleria senzarisolvere l’Eq. (21). Infatti le deformazioni dellastruttura u(y) sono calcolate moltiplicando lo spostamentoin condizioni free-field alla profondità dellagalleria per un coefficiente riduttivo R, definitodall’espressione:u(y) 1R = =(23)4u ff (y) EIeq⎛ 2 π ⎞1+K⎜t λ⎟⎝ s ⎠in cui λ s e K t sono forniti dall’Eq. (15) e dalla (22)rispettivamente, e EI eq è la rigidezza flessionale dellatrave con una sezione rettangolare equivalente allareale sezione trasversale della galleria. I valori di Rper i casi in esame sono riportati in Tabella 3, insiemecon gli altri parametri di calcolo. Bisogna osservareche per tutti i modelli di sottosuolo, nonostantel’elevata variabilità di λ s e di K t , i valori calcolati diR sono molto prossimi all’unità. Questo significache la galleria è molto flessibile rispetto al mezzocircostante, in maniera che gli effetti dell’interazionecinematica terreno-struttura possano essere consideratitrascurabili.Tabella 3. Valori del fattore R e degli altri parametri del modello.Terreno ν sG m λ s K t[Mpa] [m] [MN/m]RArgilla 0.50 28.2 260 11.9 0.977Sabbia 0.30 115.5 231 54.8 0.992Ghiaia 0.23 344.2 200 188.9 0.997T(MN)M(MN*m)0,50,40,30,20,10-0,1-0,2-0,3-0,4-0,5Kawashima (2000)Fu et al. (2004)0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000y (m)(a)20Kawashima (2000)15Fu et al. (2004)1050-5-10-15(b)-200 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000y (m)(b)Figura 10. Taglio (a) e momento flettente (b) calcolati usandola procedura di Kawashima (2000) e di Fu et al. (2004).(a)4.4 RisultatiUn esempio di confronto fra le due procedure intermini di sollecitazioni è riportato in Fig. 10a-b. Irisultati si riferiscono a un deposito sabbioso sollecitatoda un segnale sismico con un’accelerazione dipicco pari a 0.35g; lo spostamento u g (z) è stato ottenutoda un’analisi di risposta sismica locale (metodoDS)Dai diagrammi del taglio e del momento flettentesi osserva che i valori delle forze differiscono unicamentein corrispondenza delle estremità della galleria.Bisogna osservare che la soluzione proposta daFu et al. (2004) non tiene conto delle condizioni alcontorno, che invece sono contemplate nella soluzionealle differenze finite. Nella restante parte dellastruttura i due metodi forniscono risultati praticamentecoincidenti.5 CONSIDERAZIONI CONCLUSIVELa determinazione ingegneristica degli incrementidi carico indotti da un terremoto sul rivestimento diuna galleria può essere conseguita mediante tre differentiapprocci progettuali, corrispondenti a crescentilivelli di complessità dei modelli analitici, caratterizzazionedel sottosuolo e descrizione delsegnale sismico:- Analisi pseudo-statiche, in cui il segnale di ingressoè ridotto a una forza d’inerzia equivalenteo a un valore massimo di deformazione, calcolatoattraverso un’analisi pseudo-statica in condizionedi free-field, e successivamente consideratoagente staticamente sul rivestimento dellagalleria.- Analisi dinamiche semplificate, in cui la deformazionedel mezzo è valutata tramite un’analisifree-field ed è applicata alla sezione della galleria(oppure lungo il suo asse) ancora in manierastatica, tenendo conto dell’interazione cinematicaterreno-struttura in maniera semplificata.- Analisi dinamiche complete, in cui la risposta alsisma del mezzo e della struttura sono meccanicamenteaccoppiati e analizzati tramite una modellazionenumerica, come il metodo agli elementifiniti o alle differenze finite.In questo articolo, i differenti livelli di analisi sonostati sviluppati per una serie di casi ideali in terminidi geometria e condizioni del sottosuolo, consideratirappresentativi di classi di terreni presi comeriferimento dalla nuova normativa sismica nazionale.Le analisi lineari e non-lineari in direzione longitudinalee trasversale sono state condotte con differentimetodi, e i risultati sono stati descritti econfrontati.Gli incrementi delle sollecitazioni calcolati con ledifferenti procedure nella sezione trasversale sonostati confrontati tra loro, mostrando una buona ap-

prossimazione dei metodi disaccoppiati rispetto alleanalisi dinamiche complete, finchè il rivestimentodella galleria è ragionevolmente flessibile.In direzione longitudinale, le due procedure usatetengono conto, in maniera semplificata, dell’angolodi incidenza dell’onda sismica rispetto all’asse dellagalleria e del non-sincronismo del segnale. Un confrontoin termini di sollecitazioni taglianti e flettenticalcolate mostra che, nei casi esaminati, in cui il rivestimentodella galleria risulta flessibile rispetto alterreno circostante, i due approcci restituiscono praticamentelo stesso risultato a una certa distanza dalleestremità della galleria. Entrambi gli approccivanno opportunamente verificati su uno schema distruttura più rigida e confrontati con analisi dinamichecomplete.6 RINGRAZIAMENTIQuesto lavoro s’inserisce nel sottotema Scavi profondia cielo aperto in ambiente urbano e galleriemetropolitane di una linea di ricerca del ProgettoTriennale finanziato dal Dipartimento di ProtezioneCivile al Consorzio ReLUIS (Rete dei LaboratoriUniversitari di Ingegneria Sismica): Metodi innovativiper la progettazione di opere di sostegno e la valutazionedella stabilità dei pendii (linea 6, coordinamentoAGI). Gli Autori desiderano ringraziare ilcoordinatore, prof. Stefano Aversa, per il suo continuosupporto e le stimolanti discussioni.BIBLIOGRAFIABardet J. P., Ichii K., Lin C. H., 2000. EERA a Computer Programfor Equivalent-linear Earthquake site ResponseAnalyses of Layered Soil Deposits, Univ. of Southern California,Dep. of Civil Eng..Bilotta E., Aiello V., Conte E., Lanzano G., Russo G., Santuccide Magistris F., Silvestri F., 2006, Sollecitazioni indotte dasisma in gallerie circolari interrate, Atti del VI IARG, Pisa.Bouckovalas G.D., Papadimitriou A.G., and Karamitros D.,2006, Compatibility of EC-8 ground types and site effectswith 1-D wave propagation theory, Proceedings ETC-12Workshop, NTUA Athens.Brinkgreve R.B.J., 2002, Plaxis 2D version8. A.A. BalkemaPublisher, Lisse.d’Onofrio A., Silvestri F., 2001, Influence of micro-structureon small-strain stiffness and damping of fine grained soilsand effects on local site response, Proc. IV Int. Conf. on’Recent Advances in Geothecnical Earthquake Engineeringand Soil Dynamics’. San Diego, Paper 1.19.EN 1998-1, 2003, Eurocode 8: Design of structure for earthquakeresistance,. 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