Risoluzione numerica dell'equazione scalare delle onde mediante ...

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PDE Laboratory @ Crs4 11returnend2.2 Risultati numericiDal momento che si vuole mettere in evidenza la dipendenza dell’errore dai parametri h ek, abbiamo eseguito due serie di test, variando solo un parametro alla volta. Nel primo testabbiamo fissato il parametro h, quindi la griglia, al valore h = 0.05 e, posto un tempo finalepari a T fin = 1.1s, si è fatto variare ∆t da 0.001s a 0.05s. Il metodo utilizzato è solocondizionatamente stabile (cfr. [4])al variare di ∆t. Il metodo è stabile solo se:( ) h∆t < γ · min = γ · ∆t CF L , 0 < γ < 1cdove γ è un fattore di sicurezza. Nel nostro caso h = 0.05, c = 1, t 0 = 0.05s e β = 100s −1/2 , percui ∆t CF L = 0.05s. In tabella 2 sono riportati i risultati delle diverse simulazioni, mentre infigura 2.2 e 1 sono rappresentati, rispettivamente, l’andamento dell’errore in scala logaritmicaed un ingrandimento nella zona di stabilità numerica. Si può notare come la soluzione numericadiverga per ∆t > 0.03s, corrispondente a γ = 0.6.∆t(s) Errore rel.0.001 0.110.002 0.120.003 0.130.008 0.170.01 0.190.02 0.270.03 0.310.035 2 · 10 30.04 4 · 10 110.05 2 · 10 14Tabella 2: Errore relativo al variare di ∆t (h = 0.05m)Nel secondo test abbiamo fissato il parametro ∆t = 10 −3 s e, posto il tempo finale pari aT fin = 0.1s, si è fatto variare h da 0.02m a 0.1m. Con questa scelta di ∆t l’errore associatoalla discretizzazione temporale è trascurabile. In figura 3 è mostrato l’andamento dell’errorerelativo al variare di h.4 luglio 2005 Propagazione delle onde
PDE Laboratory @ Crs4 12Figura 1: Andamento dell’errore al variare del parametro k. Si noti l’instabilità per ∆t > 0.03s3 Problema 2Figura 2: Andamento dell’errore al variare del parametro k (zoom)In questo caso non viene fornita la soluzione analitica, ma viene data solo la sollecitazione f,non nulla solo nelle coordinate (0,0) e con il seguente andamento temporale:h(t) = ( 1 − 2β(t − t 0 ) 2) exp ( −β(t − t 0 ) 2)dove t 0 = 0.05s e β = 100s −1/2 . La sua rappresentazione grafica è in figura 4. Il modulo dellatrasformata di Fourier, calcolata numericamente tramite Matlab, è riportata nel grafico di figura5 ed ha un andamento a campana. Analiticamente, è possibile dimostrare che la trasformata4 luglio 2005 Propagazione delle onde
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