Analisi dell'errore dei Polinomi interpolanti e applicazioni in 3D

1A.A. 2010/2011TESINA CALCOLO NUMERICO 2Analisi dell'errore dei Polinomi interpolanti eapplicazioni in 3DAtzei AlessioLittarru Gaia

Indice1 Introduzione 32 Approssimazione di funzioni 42.1 Interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Polinomio base canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Polinomio interpolante di Lagrange . . . . . . . . . . . . . 72.2.3 Polinomio interpolante di Newton . . . . . . . . . . . . . 92.2.4 Errore di interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.5 Osservazioni sull'errore e i tre teoremi fondamentali . . . 142.2.6 Polinomio di Chebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.7 Funzione di Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Applicazioni in Matlab con i polinomi interpolanti . . . . . . . . 172.3.1 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Interpolazione 3D 283.1 Interpolazione di Lagrange in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.1 Applicazione interpolazione di Lagrange in 3D . . . . . . 283.1.2 Funzione di Runge e polinomio interpolante in 3D . . . . 314 Approssimazione ai minimi quadrati 374.1 Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Applicazione in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

Capitolo 1IntroduzioneSi presenta frequentemente la necessità di dover approssimare una funzionef(x)con un'altra funzione Φ(x). Per esempio, supponiamo di avere una leggesica che dipende da un parametro x. Siamo interessati a conoscere l'andamentodella legge sica dopo aver misurato i valori in laboratorio. Risulta utiletrovare un'altra funzione passante per quei valori (x i , y i ) i=0,...,n tali che siabbia y i = f(x i ) che approssimi la funzione di partenza: si tratta di un problemadi interpolazione. Accade invece, che si conosca bene la funzione f(x)ma si vuole comunque approssimarla poichè si vuole risolvere un problema didicile risoluzione come per esempio il calcolo di un integrale o la risoluzione diun'equazione dierenziale. Si vuole pertanto sostituire la funzione con una suaapprossimazione che agevoli la risoluzione del problema. Un esempio è il calcolodi un integrale nel quale non si riesce a trovare la primitiva della funzione:ˆbaf(x)dx = F (b) − F (a) ≈ˆ baϕ(x)dx3

Capitolo 2Approssimazione di funzioni2.1 InterpolazioneConsideriamo le coppie di numeri sul piano reale(x i , y i ) i = 0, 1..., n (2.1)ossia si conosce una successione di n + 1 ascisse e n + 1 ordinatexyx 0 , x 1 , ..., x ny 0 , y 1 , ..., y nTabella 2.1: Coppie valoriSi cerca una funzione Φ = Φ(x) dipendente da x o , x 1 , ..., x n tale cheΦ(x i ) = y i per cui i=0,1,...,n (2.2)essendo y i dei valori assegnati. La funzione Φ interpola i valori {y i } nei nodi{x i }.A seconda del tipo di funzione interpolante si parla di approssimazione polinomiale(Φ è un polinomio algebrico), approssimazione trigonometrica(Φ è un polinomiotrigonometrico), approssimazione composita o mediantesplines (in questo casoΦ è localmente un polinomio).Si consideri il caso di dati provenienti dal campionamento di una funzione incognitaf(x). Si approssima f(x) tramite la combinazione lineare di n+1 funzioniϕ j (x), j = 0, ..., nΦ(x) =n∑a j ϕ j (x) (2.3)j=04

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 5Si devono trovare i coecienti a j imponendo le condizioni di interpolazione (2.2)ottendo così il sistema di equazioni linearin∑ϕ j (x i ) · a j = y i , i = 0, ..., n,j=0che in termini matriciali può essere visto così φa = y dove⎡⎤ϕ 0 (x 0 ) ϕ 1 (x 0 ) ... ϕ n (x 0 )ϕ 0 (x 1 ) ϕ 1 (x 1 ) ... ϕ n (x 0 )φ =. . .⎢ . . .⎥⎣ . . . ⎦ϕ 0 (x n ) ϕ 1 (x n ) ... ϕ n (x 0 )a =(a 0 , a 1 , ..., a n ) Ty = (y 0 , y 1 , ...y n ) T .La funzione che interpola i dati (2.1) esiste ed è unica se e solo det(φ) ≠ 0 chiamatodeterminante di Haar. L'insieme di funzioni che verica tale condizioneè detto sistema di Chebychev.2.2 Interpolazione polinomialeI polinomi sono utilizzati frequentemente per l'approssimazione di funzioni;a tal scopo si usa il polinomio di Taylor, ossia una serie di Taylor troncata,che ben approssima la funzione in prossimità di un valore iniziale x 0 . Però ilTeorema di Weierstraiss permette una migliore capacità di approssimazionedei polinomi ed aerma:Sia f ɛ C [a, b]. Per ogni ɛ > 0 esiste un intero n ed un polinomio P n tale che‖f − P n ‖ ∞< ɛ.Considerando che la norma innito di una funzione è denita comeSi ottiene la seguente espressione‖f‖ ∞= maxxɛ[a,b] |f(x)| .‖f − P n ‖ ∞= maxxɛ[a,b] |f(x) − p n(x)| < ɛ.

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 6Il polinomio oscilla intorno alla funzione f; ɛ è la massima distanza tra lafunzione e il polinomio approssimante.Si può dimostrare che tale polinomio di grado n che meglio approssima lafunzione f rispetto alla norma-∞ la interpola inoltre su n + 1 punti e che ilposizionamento di tali punti è dicile da determinare.Il problema dell'interpolazione polinomiale è così formulato: siano dati i punti(x i , y i ) i = 0, ..., n, si determinap n (x i ) = y ii=0,...,n.Teorema. Il polinomio interpolante esiste ed è unico se e solo se x i ≠ x j peri ≠ j. Tale teorema nasce come conseguenza della condizione det(φ) ≠ 0 chedetermina l'unicità dei polinomi interpolanti.Senza dare dimostrazione del teorema si analizza al paragrafo 2.2.1 che trattail problema dell'interpolazione usando la base canonica.2.2.1 Polinomio base canonicaData la base canonica { 1, x, x 2 , ..., x n} si esprime il polinomio interpolante comep n (x) =n∑a j x j . (2.4)Si impongono le condizioni di interpolazione p n (x i ) = y i ottenendo il sistemalineare Xa = y dato dacon matrice dei coecientij=0n∑a j x j i = y i, i = 0, ..., n (2.5)j=0⎡⎤1 x 0 x 2 0 ... x n 01 x 1 x 2 1 ... x n 1X =. . . .⎢. . . .. (2.6)⎥⎣. . . . ⎦1 x n x 2 n ... x n nTale matrice è detta di Vandermonde e si può dimostrare che il suo determinateha la seguente forma:det(X) =n∏i,j=0,i>j(x i − x j ).

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 7É immediato osservare che la tesi è vericata e che per x i ≠ x j con i ≠ j ildet(X) ≠ 0 e il polinomio interpolante esiste ed è unico.Questo approccio presenta diversi svantaggi:1. la matrice X risulta malcondizionata, k(X) >> 1, se alcuni dei nodi x isono molto vicini;2. costo computazionale elevato O(n 3 );3. la rappresentazione in forma canonica è molto instabile in quanto piccolierrori sui coecienti a j implicano grandi variazioni sui valori di p n (x).2.2.2 Polinomio interpolante di LagrangeIl polinomio interpolante è rappresentato utilizzando una base diversa da quellacanonica. La rappresentazione canonica (2.4) è la più semplice da utilizzare mada un lato richiede un alto costo computazionale per determinare i coecienti.Siano dati(x i , y i ), i = 0, ..., n,i polinomi caratteristici di Lagrange {L j (x)} n j=0espressi comeL j (x) =n∏k=0,k≠jx − x kx j − x 0= (x − x 0)...(x − x j−1 )(x − x j+1 )...(x − x n )(x j − x 0 )...(x j − x j−1 )(x j − x j+1 )...(x j − x n ) .(2.7)L j (x) sono tutti polinomi di grado n, invece nella base canonica i polinomi sonodi grado crescente. Il polinomio è ben denito in quanto il denominatore nonsi annulla poiché tutti i nodi sono distinti infatti deve vericare la seguenteproprietà di interpolazioneL j (x i ) = δ ij ={1 i = j0 i ≠ j .Signica che Φ ij = ϕ j (x i ) = δ ij ossia la matrice Φ ij = I. Di conseguenza ipolinomi di Lagrange costituiscono un sistema di Chebychev.É possibile osservare la proprietà appena enunciata dalla gura 2.1 la qualeriporta il graco delle funzioni L j (x) corrispondenti alle ascisse di interpolazione{1, 2, 3, 4, 5} (n = 4). Tali ascisse sono state ottenute campionando la funzionesin(2πx) nei punti {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 } .Il polinomio interpolante di Lagrange assume la formap n (x) =n∑y j L j (x). (2.8)j=0

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 8Figura 2.1: Polinomi caratteristici di LagrangeInterpola i dati assegnati poichép n (x i ) =n∑y j δ ij = y i , i = 0, ...n.j=0La valutazione in un punto del polinomio di Lagrange richiede una complessitàcomputazionale pari a O(n 2 ) mentre la base canonica O(n 3 ) per il calcolo deicoecienti e O(n) per ogni valutazione. La base di Lagrange è meno instabiledi quella canonica però se i nodi si avvicinano x i ≈ x j tende a destabilizzarsi.Si vuole ora eettuare una sperimentazione numerica sull'interpolazione utilizzandoil polinomio di Lagrange. A tal ne è stata creata una funzione in Matlabche costruisce il polinomio interpolante di Lagrange secondo la denizione 2.8.Tale funzione crea inoltre una matrice che memorizza in ogni colonna i puntinecessari per la costruzione dei polinomi caratteristici. L'applicazione del listatocon i parametri indicati più avanti ha prodotto la gura 2.2Listing 2.1: Funzione new_lagint. Polinomio interpolante di Lagrange%FUNZIONE PER LA COSTRUZIONE DEL POLINOMIO INTERPOLANTE DI LAGRANGEVALUTATO IN m PUNTIfunction [ p , L]= new_lagint ( x , t , f )%La f u n z i o n e f o r n i s c e l a v a l u t a z i o n e d e l polinomio i n t e r p o l a n t e%ed una matrice che c o n t i e n e g l i n polinomi c a r a t t e r i s t i c i

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 9m = length ( x ) ; %numero d e i p u n t i s c e l t i per v a l u t a r e l a f u n z i o n en= length ( t ) ; %numero d e i p u n t i d i i n t e r p o l a z i o n eL= zeros (m, n ) ; % i n i z i a l i z z a z i o n e d e l l a matrice mxnfor j =1:mp ( j ) =0;for k=1:nk_lr =[1: k−1 , k+1:n ] ;%u l t e r i o r e i n d i c e per e v i t a r e d i v i s i o n iper 0l r=prod( x ( j )−t ( k_lr ) ) /prod( t ( k )−t ( k_lr ) ) ;%polinomio d il a g r a n g e c a l c o l a t o in un punto O(n^2)L( j , k )=l r ;p ( j )=p ( j )+f ( k ) ∗ l r ; %combinazione l i n e a r e d e l l e f u n z i o n i l rendendL'algoritmo appena descritto nel listato è stato utilizzato impostando i seguentiparametri:• m = 201;• n = 4;• i nodi sono stati presi equispaziati• listato di riferimento : P rogramma 01.Figura 2.2: Polinomio interpolante di grado n = 42.2.3 Polinomio interpolante di NewtonIl polinomio p n (x) che interpola tutti i punti (x i , y i ) può essere scritto nellaseguente forma

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 10p n (x) = p n−1 (x) + g n (x) (2.9)dove g n (x) è un polinomio di grado n, mentre p n−1 (x i ) = y i . Poichè si vuoleche g n (x) interpoli gli stessi punti interpolati da p n−1 allora si deve vericare lacondizionePertantog n (x i ) = 0, i = 0, ..., n − 1.n−1∏g n (x) = a n · ω n−1 (x) = a n (x − x i ).Dove a n è il coeciente del termine di grado massimo del polinimio g n , quindidi p n . Si determina a n imponendo che p n interpoli anche l'ultimo punto (x n , y n )ottenendo cosìi=0a n = y n − p n−1 (x n ).ω n−1 (x n )Risulta più utile rappresentare il coeciente di grado massimo di un polinomioche interpola una funzione f(x) nei punti di ascisse x 0 , ..., x n in questo modoa n = f[x 0 , ..., x n ],simbolo che indica le differenze divise di ordine n + 1.Si utilizza la formula ricorsiva di Neville ottenendo la seguente relazionef[x 0 , ..., x n ] = f[x 1, ..., x n ] − f[x 0 , ..., x n−1 ]x n − x 0, (2.10)tramite la quale si riesce a calcolare qualsiasi dierenza divisaf[x i ] = y i , i = 0, ..., n.Se si deve interpolare in un solo punto allora il polinomio interpolante è unacostante, se si vuole interpolare in due punti si haf[x i , x i+1 ] = f[x i+1] − f[x i ]x i+1 − x i.Si vuole trovare la relazione per interpolare in n punti e tal proposito si sfruttalo schema delle differenze divise indicato sotto.

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 11x 0 y 0 = f[x 0 ]f[x 0 , x 1 ]x 1 y 1 = f[x 1 ] f[x 0 , x 1 , x 2 ].f[x 1, x 2 ]...x 2 y 2 = f[x 2 ] f[x 1 , x 2 , x 3 ] ..f[x 2 , x 3 ] f[x 0 , ..., x n ]... . ... . ... .. . f[x n−2 , x n−1 , x n ]f[x n−1 , x n ]x n y n = f[x n ]Si tiene in memoria la tabella e supponendo in seguito di voler inserire un nuovopunto di interpolazione (x n+1 , y n+1 ) è suciente inserire una nuova riga risparmiandocosì in calcoli aggiuntivi. Tramite le dierenze divise si può riscrivere ilpolinomiop n (x) = p n−1 (x) + f[x 0 , ..., x n ]ω n−1 (x)= p n−2 (x) + f[x 0 , ..., x n−1 ]ω n−2 (x) + f[x 0 , ..., x n ]ω n−1 (x)= . . .= f[x 0 ] + f[x 0 , x 1 ]ω 0 (x) + · · · + f[x 0 , ..., x n ]ω n−1 (x),trovando la forma di Newton del polinomio interpolantep n (x) = f[x 0 ] + f[x 0 , x 1 ](x − x 0 ) + f[x 0 , x 1 , x 2 ](x − x 0 )(x − x 1 ) + ·(2.11)· ·+ f[x 0 , ..., x n−1 ](x − x 0 ) · · · (x − x n−2 )+ f[x 0 , ..., x n ](x − x 0 ) · · · (x − x n−1 ).Dove è stata utilizzata la base di potenze traslateω j (x) = (x − x 0 )(x − x 1 ) · · · (x − x j ),che risulta simile alla base canonica. I coecienti hanno grado crescente comenella base canonica ma sono più semplici da calcolare.Si illustra la funzione in Matlab che costruisce il polinomio interpolante diNewton secondo la denizione 2.11. Tale funzione crea inoltre una matricetriangolare inferiore che memorizza le dierenze divise risultanti dall'espressione2.10.

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 12Listing 2.2: Funzione new_newton. Polinomio interpolante di Newton%COSTRUZIONE DEL POLINOMIO DI NEWTON VALUTATO IN m PUNTIfunction [ p ,N]=new_newton ( x , y , t )%output : p : polinomio newton v a l u t a t o in m p unti% N: matrice con c a l c o l o d e l l e d i f f e r e n z e f i n i t em = length ( x ) ; %numero d e i p u n t i s c e l t i per v a l u t a r e l a f u n z i o n en= length ( t ) ; %numero d e i p u n t i d i i n t e r p o l a z i o n eN=zeros (n , n ) ; %i n i z i a l i z z o l a matrice quadrataN( : , 1 )=y ; %l a prima colonna sono l e o r d i n a t e d i i n t e r p o l a z i o n efor j =2:nfor i =2:ni f ( j>i ) N( i , j ) =0;elseN( i , j )= (N( i , j −1)−N( i −1, j −1) ) /( t ( i )−t ( i −j +1) ) ;endendendp=zeros (m, 1 ) ; %polinomio i n t e r p o l a n t e newtonpr=zeros (n , 1 ) ;%c o e f f i c i e n t i d e l l a combinazione l i n e a r epr ( 1 ) =1;for l =1:mfor k_r=2:npr ( k_r )= pr ( k_r−1) ∗( x ( l )−t ( k_r−1) ) ; %c o s t r u z i o n e base potenzet r a s l a t eendfor k=1:np ( l )=p ( l )+(N( k , k ) ∗ pr ( k ) ) ; %v a l u t a z i o n e polinomio Newton in unpuntoendend2.2.4 Errore di interpolazioneCon l'utilizzo di un polinomio interpolante si compie un errore e risulta utilecalcolarlo. Se si usano dei dati sperimentali (x i, x j ) i = 0, ..., n si può ipotizzareche esiste una funzione (o una legge sica) che li abbia prodotti pertanto y i =f(x i ). Se calcolo il polinomio p n (x) nei dati forniti allora questo risulterà parialla funzione. É utile calcolare lo scarto tra i valori di f(x)e p n (x) per x ≠ x i .Sia f ɛ C n+1 [a, b] e sia p n il polinomio di grado n che interpola f sulle ascisse{x 0 , ..., x n }, cioèp n (x i ) = f(x i ), i = 0, ..., n.Per ogni x esiste un punto ξ x appartenente al più piccolo intervallo che contienei punti {x, x 0 , ..., x n } tale che la funzione errore denita daE n (x) = f(x) − p n (x) = f (n+1) (ξ x )ω n (x) (2.12)(n + 1)!

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 13dove ω n (x) = (x − x 0 )(x − x 1 )...(x − x n ) è un polinomio di grado n + 1.Nella gura 2.3 è rappresentato l'errore calcolato come dierenza f(x) − p(x) intutti gli m punti usati per la rappresentazione, dove:• m = 201• listato di riferimento : P rogramma 01Figura 2.3: Errore polinomio interpolante di Lagrange con n=4Errore di interpolazione per il polinomio di NewtonIl formalismo di Newton consente di dare una rappresentazione alternativa perl'errore. Sia p(x) il polinomio che interpola la funzione f(x) in (n + 1) punti.Chiamiamo queste ascisse {x 0 , x 1 , ...., x n } . Supponiamo ora di voler aggiungereun punto di interpolazione x ∈ R di coordinate (x, f(x)) . Come noto dallateoria vista precedentemente non è necessario ricalcolare un nuovo polinomio,ma esprimiamo p n+1 (z) semplicemente comep n+1 (z) = p n (z) + f[x 0 , x 1 , ...., x n , x] ω(z)Imponendo la condizione di interpolazione in (x, f(x)) si hap n (x) + f[x 0 , x 1 , ...., x n , x]ω n (x) = f(x).

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 14É possibile ottenere la valutazione dell'errore utilizzando l'espressione appenavistaE n (x) = f(x) − p n (x) = f[x 0 , x 1 , ...., x n , x]ω n (x).Questa espressione è analoga alla 2.12 ma risulta più generale in quanto nonrichiede la dierenziabilità e nemmeno la continuità della funzione f(x). Forniscedunque una espressione eettivamente calcolabile per l'errore in un punto xpoichè essa non dipende da un punto incognito ζ x .É inoltre evidente il legame tra le dierenze divise e la derivata di una funzione,per ogni x, esiste un punto ζ x ∈ I(x 0 .... x n , x) tale chef[x 0 , x 1 , ...., x n , x] = f (n+1) (ξ x )(n + 1)!se la funzione è derivabile (n + 1) volte le due valutazioni dell'errore dunquecoincidono.2.2.5 Osservazioni sull'errore e i tre teoremi fondamentaliIl teorema 2.12 non pone alcuna limitazione riguardo al posizionamento del puntox; pertanto tale teorema ben si presta anche nei problemi di estrapolazione,ossia quando servono delle valutazioni del polinomio interpolante al di fuoridell'intervallo che contiene i nodi.Risulta importante tenere conto delle seguenti informazioni fornite dal teorema:1. il fattore ∣ ∣f (n+1) (ξ x ) ∣ ∣ può essere maggiorato da una costante, infatti comeipotesi iniziale del teorema si è supposta la funzione f(x) derivabile (n+1)volte. Per un n sucientemente grande, il rapporto può essere dunque resopiccolo a piacere;2. il fattore ω n (x) è un polinomio di grado (n + 1) e dipende dalla disposizionedei nodi {x i }. Per cui il posizionamento delle ascisse di interpolazioneinuenza l'andamento dell'errore che al crescere di n ha oscillazioni semprepiù ampie.La conseguenza fondamentale è che l'errore di interpolazione non tende necessariamentea zero quando n tende all'innito ma il polinomio interpolante potrebbeanche non essere più una buona approssimazione della funzione continua.Teorema 1. Teorema di Faber. Per ogni distribuzione dei nodi esiste almenouna funzione f(x) ∈ C [a,b] tale che l'errore di interpolazione ‖E n (f)‖ ∞nonconverga a zero per n → ∞.Teorema 2. Per ogni funzione continua esiste comunque almeno una distribuzionedei nodi tale che l'errore di interpolazione converga a zero per n →∞.

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 15Teorema 3. Teorema di Berstein. Se f(x) ∈ C[a,b] 1 e se le ascisse di interpolazione{x i } n i=0sono gli zeri del polinomio di Chebychev di grado (n + 1) alloral'errore di interpolazione tende a zero per n → ∞.2.2.6 Polinomio di ChebychevFino ad ora sono state utilizzate ascisse di interpolazione equispaziate, siccometale posizionamento dei nodi non garantisce un errore di interpolazione tendentea zero al crescere del numero delle ascisse e dunque del grado del polinomiointerpolante, si è deciso di utilizzare anche i nodi di Chebychev e di proporrealcuni confronti con i nodi equispaziati.Il terzo dei tre teoremi presentati garantisce la convergenza dell'errore a zero se siutilizzano nodi di Chebychev. Ci saranno ovviamente dei limiti numerici anchea questo approccio che verranno trattati più avanti con degli esempi pratici; persemplicità si è partiti consideranto l'intervallo di riferimento [−1, 1].Si dimostra che i nodi cercati saranno gli zeri del polinomio di Chebychev digrado (n+1), T n+1 (x).Tale polinomio può essere denito in vari modi, utilizziamo quello più conveniente:T n+1 (x) = cos[(n + 1)ϑ]con x = cos(ϑ) dove ϑ è una variabile di comodo denita nell'intervallo [0, π].Si verica semplicemente comeT 0 (x) = cos(0) = 1T 0 (x) = cos(ϑ) = xT 0 (x) = cos(2ϑ) = 2 cos 2 ϑ − 1 = 2x 2 − 1.Risulta fondamentale che tale costruzione del polinomio T n+1 (x) rende semplicela valutazione degli zeri, infatti(n + 1)ϑ = π 2cos((n + 1)ϑ) = 0+ kπ =(2k + 1)π2da si ottiene ϑ = 2k+12n+2π per n = 0, ±1, ±2, ...Inne si sono trovati i valori delle ascisse di interpolazionex k = cos ϑ k = cos( 2k + 1 π) con k = 0, 1, 2.....n.2n + 2É stato già precisato che l'intervallo di riferimento è [−1, 1], quindi se si voglionoottenere i nodi di Chebychev in un intervallo qualsiasi [a, b] occorrerà applicarela trasformazione

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 16t = b − a22.2.7 Funzione di Rungex + b + a2 . (2.13)Tale funzione viene denita nell'intervallo [−1, 1] ed ha la seguente espressionef(x) =11 + 25x 2 .Essa è una funzione innitamente dierenziabile. L'errore di interpolazionecorrispondente ai nodi equispaziati tende all'innito, mentre l'errore di interpolazionecon i nodi di Chebychev tende a zero. La gura 2.4 rappresenta lafunzione di Runge e i polinomi interpolanti di Lagrange valutati sia coi nodiequispaziati sia che con quelli di Chebychev.• listato di riferimento : P rogramma 02Figura 2.4: Interpolazione con Lagrange della funzione di RungeLa funzione di Runge mette in evidenza che l'utilizzo di nodi equispaziati nongarantisce la convergenza dell'errore a zero e il polinomio interpolante non risultapiù una buona approssimazione della funzione di partenza.

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 172.3 Applicazioni in Matlab con i polinomi interpolantiApplicazione 1 : Polinomi interpolanti di LagrangeLa prima applicazione mostra per una funzione f(x) i polinomi interpolantiottenuti variando il grado e la scelta dei nodi (equispaziati o di Chebychev).Una volta ssata la disposizione dei nodi, scegliamo il grado minimo a cui siamointeressati e il grado massimo, per semplicità rappresentiamo otto polinomi perotto gradi dierenti; i parametri scelti inizialmente sono:• f(x) = sin(2πx)• n = 3 : 10• 201 punti per la visualizzazione e valutazione dell ′ errore• listato di riferimento : P rogramma 04.Figura 2.5: Nodi Equispaziati: polinomi interpolanti Lagrange con gradovariabileL'intervallo di riferimento per la funzione in esame è [0, 1], quando si scelgonoi nodi di Chebychev è necesaria la trasformazione imponendo a = 0 e b = 1 eapplicando dunque la 2.13.Il graco dell'errore 2.7 è ottenuto calcolando la norma 2 del vettore erroreottenuto per ognuno dei 16 polinomi rappresentati nei graci 2.6e2.7. Si potràdunque apprezzare come al variare del grado varia l'errore nel caso di nodiequispaziati e di Chebychev.

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 18Figura 2.6: Nodi Chebychev:polinomi interpolanti Lagrange con grado variabileFigura 2.7: Confronto errore al variare del grado del polinomio interpolante diLagrange e dei nodi

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 19Applicazione 2 :Polinomi interpolanti di NewtonLa seconda applicazione realizzata mette a confronto per la funzione f(x) ipolinomi interpolanti di Newton ottenuti variando il grado e la scelta dei nodi(equispaziati o di Chebychev).Una volta ssata la disposizione dei nodi, si scelgono il grado minimo e il gradomassimo; per semplicità sono stati rappresentati ancora una volta otto polinomiper otto gradi dierenti; i parametri scelti inizialmente sono:• f(x) = sin(2πx)• n = 3 : 10• 201 punti per la visualizzazione e valutazione dell ′ errore• listato di riferimento : P rogramma 06.Figura 2.8: Nodi Equispaziati: polinomi interpolanti Newton con grado variabileUtilizzando la funzione ylim è stato ssato l'intervallo di riferimento nell'assey. L'intervallo scelto è stato [−2, 2].

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 20Figura 2.9: Nodi Chebychev:polinomi interpolanti Newton con grado variabileIl graco complessivo mostra ancora una volta come l'errore nel caso di nodi diChebychev sia minore di quello valutato nel caso di nodi equispaziati per ognipolinomio rappresentato.Figura 2.10: Confronto errore al variare del grado del polinomio interpolante diNewton e dei nodi

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 21Applicazione 3 : Funzione di Runge con Lagrange e NewtonPer la terza applicazione utilizziamo la funzione di Runge presentata alla sezione2.2.7.La costruzione dell'errore è stata fatta utilizzando sia i polinomi di Lagrangeche di Newton ma siccome i risultati sono pressochè gli stessi si presentanosolo i graci relativi al polinomio interpolante di Lagrange; i parametri sceltiinizialmente sono:• f(x) = 11+25x 2 nell'intervallo di riferimento [−1, 1]• n = 3 : 10• 201 punti per la visualizzazione e valutazione dell ′ errore• listati di riferimento : P rogramma 09, P rogramma 10 .Figura 2.11: Nodi Equispaziati: polinomi interpolanti Lagrange con gradovariabile

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 22Figura 2.12: Nodi Chebychev:polinomi interpolanti Lagrange con gradovariabileFigura 2.13: Confronto errore al variare del grado del polinomio interpolante diLagrange e dei nodiLe gure 2.11, 2.12, 2.13 sono state prodotte dal listato nel P rogramma 09allegato alla tesina.

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 23Applicazione 4 :presentateLimiti e osservazioni sulle applicazioniLe applicazioni precedenti dimostrano come l'errore ottenuto nel caso di nodi diChebychev sia sempre inferiore a quello ottenuto considerando nodi equispaziati,erano dei risultati prevedibili sostenuti anche dal 2.2.5.Aumentando ulteriormente il grado del polinomio di Lagrange, l'errore valutatocoi nodi equispaziati staziona a valori molto elevati, mentre quello valutato coinodi di Chebychev è praticamente nullo:• n = 68 : 75• listati di riferimento : P rogramma 07, P rogramma 08,• P rogramma 11, P rogramma 12.Figura 2.14: Funzione seno, confronto errore al variare del grado e dei nodi delpolinomio interpolante di LagrangeUtilizzando invece i polinomi di Newton, con la stessa funzione e lo stesso intervallodi variazione del grado si ha che nel caso di nodi di Chebychev laconvergenza non è garantita e l'errore diventa addirittura superiore al caso dinodi equispaziati.Inne la gura 2.16 mostra come approssimando la funzione di Runge con il polinomiodi Lagrange l'errore calcolato usando i nodi equispaziati è molto elevato,mentre quello coi nodi di Chebychev è praticamente nullo.

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 24Figura 2.15: Funzione seno, confronto errore al variare del grado del polinomiointerpolante di Newtone dei nodiFigura 2.16: Confronto errore al variare del grado del polinomio interpolante diLagrange e dei nodi con la funzione di Runge

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 25Figura 2.17: Confronto errore al variare del grado del polinomio interpolante diNewton e dei nodi con la funzione di RungeApprossimando invece la funzione di Runge con il polinomio di Newton e mantenendola stessa variazione del grado del polinomio ottengo la gura 2.17 doveentrambi gli errori convergono a valori alti tanto da far perdere di signicatol'interpolazione stessa.Per concludere si noti come i nodi di Chebychev all'aumentare del grado, inprossimità del valore −1 siano talmente vicini, da causare un eetto analogoa quelli equispaziati, infatti i nodi di Chebychev a dierenza di quelli equispaziatisi dispongono molto più vicini agli estremi dell'intervallo tanto da risultarea parità di grado del polinomio interpolante più vicini di quelli equispaziati. La gura2.18 mostra questo eetto per n = 75 estrapolata dallistato di riferimento : P rogramma 12.2.3.1 ConclusioniCon le sezioni precedenti si è visto come applicare correttamente i polinomi diLagrange e di Newton, evidenziando per ognuno i limiti di applicazione.Si consideri il caso della funzione f(x) = sin(2πx) nell'intervallo di riferimento[0, 1], interpolata con il polinomio di Newton scelto con un grado molto elevato.É stata ottenuta la gura 2.19 imponendo i seguenti parametri:• n = 75;• 51 punti per visualizzare la funzione

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 26Figura 2.18: Polinomio interpolante di Newton con n=75 e nodi di Chebychev• escursione asse y limitata all ′ intervallo [−4, 4]• 76 nodi equispaziati• listato di riferimento : P rogramma 13Sia i polinomi di Lagrange che quelli di Newton per come sono deniti, sonoutilizzati principalmente quando il numero dei punti di interpolazione non ètroppo elevato. Si può notare, indipendentemente dal tipo di nodi scelti, chequando il grado cresce in maniera troppo elevata il polinomio diverge ( noninterpola nemmeno i punti in cui dovrebbe valere la condizione di appartenenza).Lo studio condotto fa emergere i problemi numerici che mostrano il limite diapplicazione di tali polinomi. Se si vuole approssimare una funzione con unnumero di punti di interpolazione elevato si ricorre ad un altra classe di funzioni,le funzioni SP LINE , che approssimano la funzione con polinomi di grado bassoraccordati adeguatamente per soddisfare un numero di punti interpolanti moltogrande.

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 27Figura 2.19: Funzione seno approssimata con un polinomio di Newton di gradon=75

Capitolo 3Interpolazione 3D3.1 Interpolazione di Lagrange in 3DIn questo caso si è trattato di eettuare un'interpolazione bidimensionale conproiezione lungo l'asse z. Siano date le coppie di punti (n x , n y ) che vanno aformare una griglia sul piano xy. Mentre nel paragrafo 2.2.2 si andavano acalcolare n polinomi interpolatori ora questi sono dati in questa formap nx,n y(x, y) =dove f i,j (x, y) = L i (x)L j (y).n∑x+1i=1n∑ y+1j=1z(x i , y j )f i,j (x, y), (3.1)3.1.1 Applicazione interpolazione di Lagrange in 3DÉ stata costruita una funzione per eettuare l'interpolazione in 3D in riferimentoal paragrafo 3.1.Sono stati impostati i seguenti parametri:• m = 41• n x = 4• n y = 4• nodi equispaziati sia per asse x che per asse y.• listati di riferimento : P rogramma 14, P rogramma 15La funzione errore è riportata in gura 3.2.28

CAPITOLO 3. INTERPOLAZIONE 3D 29Listing 3.1: Funzione new_lagint_3D%f u n c t i o n [ px , py , Lx , Ly ,P, Zf ]=new_lagint_3D ( x , y , t_x , t_y , fx , f y )function [ P, Zf ]=new_lagint_3D ( x , y , t_x , t_y , fx , f y )m = length ( x ) ;%numero d e i p u n t i s c e l t i per v a l u t a r e l a f u n z i o n en_x= length ( t_x ) −1;%numero d e i p u n t i d i i n t e r p o l a z i o n en_y= length ( t_y ) −1;%Si richiama l a f u n z i o n e new_lagint per l a c o s t r u z i o n e d e i polinomi%i n t e r p o l a n t i px , py e l e f u n z i o n i d i Lagrange Lx , Ly[ px , Lx]= new_lagint ( x , t_x , f x ) ;[ py , Ly]= new_lagint ( y , t_y , f y ) ;[ Xt , Yt]=meshgrid(t_x , t_y ) ;%Zt=z e r o s (n_y+1,n_x+1) ;Zf=(sin (2∗ pi ∗Xt ) . ∗ sin (2∗ pi ∗Yt ) ) ' ;P=zeros (m) ; %matrice quadrata contenente i l polinomio i n t e r p o l a n t efor k=1:m %k i n d i c e r i g a matrice Pfor l =1:m %l i n d i c e colonnafor i =1:n_x+1 %i n d i c e r i g a matrice Zf contenente l af u n z i o n e Z%c a l c o l a t a nei p u n t i d i i n t e r p o l a z i o n efor j =1:n_y+1 % i n d i c e colonnaP( k , l )=P( k , l )+(Zf ( i , j ) ∗(Lx ( k , i ) ∗Ly ( l , j ) ) ) ;endendendendFigura 3.1: Funzione da interpolare

CAPITOLO 3. INTERPOLAZIONE 3D 30Figura 3.2: Funzione errore con n x = 4, n y = 4Osservazioni gura 3.3Come si vede nel listato, la funzione new lagint 3D è stata implementata perpermettere un campionamento dei nodi diverso per i due assi. In particolarenella gura in esame la scelta è stata la seguente:• n x = 60• n y = 65ovvero 61 punti di interpolazioneovvero 66 punti di interpolazioneIl fenomeno che si osserva nella gura è analogo a quello che avviene nell'approssimazionedi funzioni in 2D. All'aumentare del grado i polinomi caratteristicidi Lagrange diventano sempre più instabili specialmente quando calcolati pervalori vicini agli estremi dell'intervallo. Infatti per come sono deniti (equazione2.7), il rapporto interno alla produttoria avrà un numeratore sempre piùgrande e un denominatore sempre più piccolo al crescere del grado dei polinomie dunque dell'indice k. Per valori molto elevati come quelli in esame il valoredei polinomi di Lagrange nei punti agli angoli della gura diventa estremamentegrande. L'eetto è stato tale da non permettere inizialmente la visualizzazionedella gura, per evitare questo sono stati introdotti dei cicli for per limitare ivalori della matrice contenente i punti utili per la visualizzazione del polinomiointerpolante nell'intervallo [−2, 2], in questo modo è stato possibile rendere visibilela gura. In realtà le oscillazioni agli angoli sono dunque molto più ampieed evidenziano ancora una volta i limiti dell'interpolazione di Lagrange quandoil numero dei nodi scelti è molto elevato.

CAPITOLO 3. INTERPOLAZIONE 3D 31Figura 3.3: Polinomio interpolante n x = 60, n y = 653.1.2 Funzione di Runge e polinomio interpolante in 3DI graci precedenti sono riferiti alla funzione f(x, y) = sin(2πx) sin(2πy) che nelcaso di identico campionamento degli assi equivale al sin 2 (2πx). Si consideri1 1ora la funzione f(x, y) =1+25x 2 1+25ye per semplicità si utilizzi lo stesso2campionamento degli assi, e dunque lo stesso grado del polinomio interpolanteper le due dimensioni. Siccome i nodi equispaziati scelti per la funzione di Rungenon danno una buona approssimazione sono state sviluppate due applicazioni.Applicazione 1Sono stati scelti i seguenti parametri:• m = 41 punti in cui si valutano la funzione• n = 10• nodi Chebychev• listato di riferimento : P rogramma 16, P rogramma 17.L'errore è calcolato come dierenza della matrice Z rappresentativa della funzionedi Runge in due variabili e della matrice P rappresentativa del polinomiointerpolante. La matrice Z è ottenuta adoperando per prima cosa la funzionein matlab meshgrid(x, y) (dove x e y sono i due vettori di dimensione m) perottenere le matrici X e Y ; poi Z = (1./(1 + 25 ∗ X. 2 )). ∗ (1./(1 + 25 ∗ Y. 2 )).La funzione che si usa per rappresentare tali matrici in 3D è surf(X, Y, Z),tale graco è in gura 3.4, in gura 3.5 è invece rappresentato il polinomio

CAPITOLO 3. INTERPOLAZIONE 3D 32Figura 3.4: Funzione di Runge in due variabiliinterpolante di grado 10 che si ottiene con la sequenza di comandi presente nelP rogramma 16 allegato alla tesina; inne in gura3.6 è riportato l'errore.Applicazione 2 In analogia alle funzioni interpolanti sviluppate nel capitolo2, si propone un confronto fra la funzione di Runge (in due variabili) interpolatacon polinomi coi nodi equispaziati e con polinomi che utilizzano i nodidi Chebychev; il grado del polinomio sarà fatto variare nell'intervallo [5, 8] ritenutosuciente per mostrare come gli stessi fenomeni osservati nel capitolo2 si ripresentino anche nel caso 3D. La funzione di Runge è stata valutatanell'intervallo [−1, 1] e tutti gli assi sono stati settati utilizzando il comandoaxis([−1 1 − 1 1 − 1 1]).Nella gura 3.7 sono presentati quattro polinomi interpolanti della funzione diRunge in due variabili, nella gura 3.8 è rappresentato l'errore. Nelle gure3.9 e 3.10 sono rappresentati rispettivamente i polinomi interpolanti valutatiutilizzando i nodi di Chebychev e il relativo errore valutato come spiegato nellaprima applicazione presentata.Sono stati riscontrati gli stessi problemi incontrati nel capitolo 2, all'aumentaredel grado del polinomio interpolante e dunque del numero di nodi si presentanodue situazioni dierenti a seconda della disposizione di essi:• Nodi equispaziati: all'aumentare del grado si può notare come le oscillazionidel polinomio interpolante aumentino e di come l'errore diventi semprepiù grande. La scelta dei nodi equispaziati non garantisce la convergenzadell'errore a zero e con tale disposizione risulta inutile avere molti punti di

CAPITOLO 3. INTERPOLAZIONE 3D 33Figura 3.5: Polinomio interpolante con n = 10Figura 3.6: Funzione errore Z − P

CAPITOLO 3. INTERPOLAZIONE 3D 34Figura 3.7: Nodi Equispaziati: polinomi interpolanticampionamento. Pertanto conoscere meglio la funzione in termini di puntida interpolare non si traduce in una maggiore precisione del polinomiointerpolante.• Nodi Chebychev: all'aumentare del grado si evidenziano i problemi numericiincontrati nel capitolo 2 . Nonostante ciò la scelta dei nodi di Chebychevgarantisce ancora una volta una approssimazione migliore rispetto ainodi equispaziati.

CAPITOLO 3. INTERPOLAZIONE 3D 35Figura 3.8: Nodi Equispaziati:erroreFigura 3.9: Nodi Chebychev:Polinomi interpolanti

CAPITOLO 3. INTERPOLAZIONE 3D 36Figura 3.10: Nodi Chebychev: Errore

Capitolo 4Approssimazione ai minimiquadratiIl polinomio di migliore approssimazione per una funzione f è quel polinomiodi grado n che minimizza la norma dell'erroremin ‖p n − f‖ .p nɛ Π nDove utilizzando la norma innito si parla di migliore approssimazione uniformee l'espressione assume questa forma‖p n − f‖ ∞= maxxɛ [a,b] |p n(x) − f(x)| ,invece il polinomio che minimizza la norma di L 2 [a, b] è così dato(ˆ b‖p n − f‖ 2= [p n (x) − f(x)] 2 dxachiamato di migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati.Tra i due problemi quello più utilizzato, per l'approssimazione di funzioni, èl'ultimo in quanto richiede un minor costo computazionale.) 124.1 Caso discretoIn diversi problemi la funzione da approssimare è conosciuta tramite un certonumero di valori aetti da errore. Data la forte presenza di errori sui dati non hasenso interpolare ma si eettua un'approssimazione ai minimi quadrati tramiteuna discretizzazione della norma-2.37

CAPITOLO 4. APPROSSIMAZIONE AI MINIMI QUADRATI 38Si considerino la ascisse {x 0 , x 1 , ..., x m } degli m + 1 punti per i quali sono notii valori {y 0 , y 1 , ..., y m } pertanto y i = f(x i ). Fissato un numero naturale n ≤ mper ogni p n ɛ Π n si considera la norma‖p n − f‖ 2=( m∑i=0[p n (x) − f(x)] 2 ) 12. (4.1)Si vuole determinare il polinomio p ∗ n(x) di grado n che risolva il problema diminimominp nɛ Π n‖p n − f‖ 2 2 , (4.2)poichè i problemi sono equivalenti si minimizza il quadrato della norma.Se m = n la soluzione coincide con il polinomio interpolante, se m > n invecefornisce la miglior approssimazione nel senso dei minimi quadrati rispetto allanorma discreta (4.1).Si esprime la formula e poi la si minimizza; usando la base canonica si ottienep n (x i ) =n∑a j x j i = (Xa) i, i = 0, ..., m,j=0dove a = (a 0 , ..., a n ) T ɛ R n+1 è il vettore dei coecienti del polinomio e X è lamatrice di Vandermonde rettangolare di dimensione (m + 1) × (n + 1)Quindi si può scrivere⎡⎤m‖p n − f‖ 2 2 = ∑ n∑⎣ a j x j i − y ⎦ii=0⎡⎤1 x 0 x 2 0 · · · x n 01 x 1 x 2 1 · · · x n 1X = ⎢⎣...⎥. ⎦ .1 x m x 2 m · · · x n mj=02=m∑[(Xa) i − y i ] 2 = ‖Xa − y‖ 2 2 ,pertanto il problema (4.2) è equivalente alla risoluzione del problemai=0min ‖Xa −a ɛ R y‖2 n 2 ,cioè alla risoluzione nel senso dei minimi quadrati del sistema lineare sovradeterminatoX T Xa = X T y (4.3)oppure usando la fattorizzazione Cholesky della matrice X T X o la fattorizzazioneQR della matrice X.

CAPITOLO 4. APPROSSIMAZIONE AI MINIMI QUADRATI 39Figura 4.1: Approssimazione ai minimi quadrati per alcuni valori di n4.2 Applicazione in MatlabQuesto capitolo aggiuntivo ha l' obiettivo di esplorare alcune funzioni matlabutili per risolvere dei problemi ai minimi quadrati. Supponiamo di avere lafunzione f(x) = sin(πx) e di disturbarla in N = 50 punti con delle variazionirandom, in modo da avere non più un sin(πx) ma una funzione simile disturbata.L'obiettivo è quello di approssimare tale funzione disturbata non piùconsiderando i punti di interpolazione ma nel senso dei minimi quadrati.In particolare sono state utilizzate le due funzioni: polyt e polyval.• polyfit(t, b, n): crea il polinomio di grado n che approssima il polinomionel senso dei minimi quadrati.• polyval(a, x): calcola il valore del polinomio negli m punti scelti per lavisualizzazione.Il programma matlab di riferimento è il P rogramma 18.É stato possibile implementare l'algoritmo soprastante tramite l'uso di funzionifornite da Matlab. In particolare sono state utilizzate le due funzioni: polyt epolyval.• Polyt: generalmente è usata per costruire il polinomio interpolante main questo caso il risultato non è un polinomio che passa per i punti dati,ma un polinomio che cerca di ricostruire l'insieme dei dati.• Polyval: permette di determinare il polinomio in determinati punti.

CAPITOLO 4. APPROSSIMAZIONE AI MINIMI QUADRATI 40Figura 4.2: Graco dell' errore al variare del gradoLa gura 4.1 mostra la valutazione del polinomio interpolante per diversi valoridel grado n , l'errore associato a tali polinomi è riportato in scala logaritmicanella gura 4.2.

Elenco delle gure2.1 Polinomi caratteristici di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Polinomio interpolante di grado n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Errore polinomio interpolante di Lagrange con n=4 . . . . . . . . 132.4 Interpolazione con Lagrange della funzione di Runge . . . . . . . 162.5 Nodi Equispaziati: polinomi interpolanti Lagrange con gradovariabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Nodi Chebychev:polinomi interpolanti Lagrange con grado variabile 182.7 Confronto errore al variare del grado del polinomio interpolantedi Lagrange e dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8 Nodi Equispaziati: polinomi interpolanti Newton con grado variabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.9 Nodi Chebychev:polinomi interpolanti Newton con grado variabile 202.10 Confronto errore al variare del grado del polinomio interpolantedi Newton e dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.11 Nodi Equispaziati: polinomi interpolanti Lagrange con gradovariabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.12 Nodi Chebychev:polinomi interpolanti Lagrange con grado variabile 222.13 Confronto errore al variare del grado del polinomio interpolantedi Lagrange e dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.14 Funzione seno, confronto errore al variare del grado e dei nodi delpolinomio interpolante di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 232.15 Funzione seno, confronto errore al variare del grado del polinomiointerpolante di Newtone dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.16 Confronto errore al variare del grado del polinomio interpolantedi Lagrange e dei nodi con la funzione di Runge . . . . . . . . . . 242.17 Confronto errore al variare del grado del polinomio interpolantedi Newton e dei nodi con la funzione di Runge . . . . . . . . . . 252.18 Polinomio interpolante di Newton con n=75 e nodi di Chebychev 262.19 Funzione seno approssimata con un polinomio di Newton di gradon=75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2741

ELENCO DELLE FIGURE 423.1 Funzione da interpolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Funzione errore con n x = 4, n y = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Polinomio interpolante n x = 60, n y = 65 . . . . . . . . . . . . . 313.4 Funzione di Runge in due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Polinomio interpolante con n = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6 Funzione errore Z − P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.7 Nodi Equispaziati: polinomi interpolanti . . . . . . . . . . . . . . 343.8 Nodi Equispaziati:errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.9 Nodi Chebychev:Polinomi interpolanti . . . . . . . . . . . . . . . 353.10 Nodi Chebychev: Errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1 Approssimazione ai minimi quadrati per alcuni valori di n . . . . 394.2 Graco dell' errore al variare del grado . . . . . . . . . . . . . . 40