Analisi dell'errore dei Polinomi interpolanti e applicazioni in 3D

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 6Il polinomio oscilla intorno alla funzione f; ɛ è la massima distanza tra lafunzione e il polinomio approssimante.Si può dimostrare che tale polinomio di grado n che meglio approssima lafunzione f rispetto alla norma-∞ la interpola inoltre su n + 1 punti e che ilposizionamento di tali punti è dicile da determinare.Il problema dell'interpolazione polinomiale è così formulato: siano dati i punti(x i , y i ) i = 0, ..., n, si determinap n (x i ) = y ii=0,...,n.Teorema. Il polinomio interpolante esiste ed è unico se e solo se x i ≠ x j peri ≠ j. Tale teorema nasce come conseguenza della condizione det(φ) ≠ 0 chedetermina l'unicità dei polinomi interpolanti.Senza dare dimostrazione del teorema si analizza al paragrafo 2.2.1 che trattail problema dell'interpolazione usando la base canonica.2.2.1 Polinomio base canonicaData la base canonica { 1, x, x 2 , ..., x n} si esprime il polinomio interpolante comep n (x) =n∑a j x j . (2.4)Si impongono le condizioni di interpolazione p n (x i ) = y i ottenendo il sistemalineare Xa = y dato dacon matrice dei coecientij=0n∑a j x j i = y i, i = 0, ..., n (2.5)j=0⎡⎤1 x 0 x 2 0 ... x n 01 x 1 x 2 1 ... x n 1X =. . . .⎢. . . .. (2.6)⎥⎣. . . . ⎦1 x n x 2 n ... x n nTale matrice è detta di Vandermonde e si può dimostrare che il suo determinateha la seguente forma:det(X) =n∏i,j=0,i>j(x i − x j ).