Analisi dell'errore dei Polinomi interpolanti e applicazioni in 3D

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CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 10p n (x) = p n−1 (x) + g n (x) (2.9)dove g n (x) è un polinomio di grado n, mentre p n−1 (x i ) = y i . Poichè si vuoleche g n (x) interpoli gli stessi punti interpolati da p n−1 allora si deve vericare lacondizionePertantog n (x i ) = 0, i = 0, ..., n − 1.n−1∏g n (x) = a n · ω n−1 (x) = a n (x − x i ).Dove a n è il coeciente del termine di grado massimo del polinimio g n , quindidi p n . Si determina a n imponendo che p n interpoli anche l'ultimo punto (x n , y n )ottenendo cosìi=0a n = y n − p n−1 (x n ).ω n−1 (x n )Risulta più utile rappresentare il coeciente di grado massimo di un polinomioche interpola una funzione f(x) nei punti di ascisse x 0 , ..., x n in questo modoa n = f[x 0 , ..., x n ],simbolo che indica le differenze divise di ordine n + 1.Si utilizza la formula ricorsiva di Neville ottenendo la seguente relazionef[x 0 , ..., x n ] = f[x 1, ..., x n ] − f[x 0 , ..., x n−1 ]x n − x 0, (2.10)tramite la quale si riesce a calcolare qualsiasi dierenza divisaf[x i ] = y i , i = 0, ..., n.Se si deve interpolare in un solo punto allora il polinomio interpolante è unacostante, se si vuole interpolare in due punti si haf[x i , x i+1 ] = f[x i+1] − f[x i ]x i+1 − x i.Si vuole trovare la relazione per interpolare in n punti e tal proposito si sfruttalo schema delle differenze divise indicato sotto.
CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 11x 0 y 0 = f[x 0 ]f[x 0 , x 1 ]x 1 y 1 = f[x 1 ] f[x 0 , x 1 , x 2 ].f[x 1, x 2 ]...x 2 y 2 = f[x 2 ] f[x 1 , x 2 , x 3 ] ..f[x 2 , x 3 ] f[x 0 , ..., x n ]... . ... . ... .. . f[x n−2 , x n−1 , x n ]f[x n−1 , x n ]x n y n = f[x n ]Si tiene in memoria la tabella e supponendo in seguito di voler inserire un nuovopunto di interpolazione (x n+1 , y n+1 ) è suciente inserire una nuova riga risparmiandocosì in calcoli aggiuntivi. Tramite le dierenze divise si può riscrivere ilpolinomiop n (x) = p n−1 (x) + f[x 0 , ..., x n ]ω n−1 (x)= p n−2 (x) + f[x 0 , ..., x n−1 ]ω n−2 (x) + f[x 0 , ..., x n ]ω n−1 (x)= . . .= f[x 0 ] + f[x 0 , x 1 ]ω 0 (x) + · · · + f[x 0 , ..., x n ]ω n−1 (x),trovando la forma di Newton del polinomio interpolantep n (x) = f[x 0 ] + f[x 0 , x 1 ](x − x 0 ) + f[x 0 , x 1 , x 2 ](x − x 0 )(x − x 1 ) + ·(2.11)· ·+ f[x 0 , ..., x n−1 ](x − x 0 ) · · · (x − x n−2 )+ f[x 0 , ..., x n ](x − x 0 ) · · · (x − x n−1 ).Dove è stata utilizzata la base di potenze traslateω j (x) = (x − x 0 )(x − x 1 ) · · · (x − x j ),che risulta simile alla base canonica. I coecienti hanno grado crescente comenella base canonica ma sono più semplici da calcolare.Si illustra la funzione in Matlab che costruisce il polinomio interpolante diNewton secondo la denizione 2.11. Tale funzione crea inoltre una matricetriangolare inferiore che memorizza le dierenze divise risultanti dall'espressione2.10.
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