Analisi dell'errore dei Polinomi interpolanti e applicazioni in 3D

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CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 12Listing 2.2: Funzione new_newton. Polinomio interpolante di Newton%COSTRUZIONE DEL POLINOMIO DI NEWTON VALUTATO IN m PUNTIfunction [ p ,N]=new_newton ( x , y , t )%output : p : polinomio newton v a l u t a t o in m p unti% N: matrice con c a l c o l o d e l l e d i f f e r e n z e f i n i t em = length ( x ) ; %numero d e i p u n t i s c e l t i per v a l u t a r e l a f u n z i o n en= length ( t ) ; %numero d e i p u n t i d i i n t e r p o l a z i o n eN=zeros (n , n ) ; %i n i z i a l i z z o l a matrice quadrataN( : , 1 )=y ; %l a prima colonna sono l e o r d i n a t e d i i n t e r p o l a z i o n efor j =2:nfor i =2:ni f ( j>i ) N( i , j ) =0;elseN( i , j )= (N( i , j −1)−N( i −1, j −1) ) /( t ( i )−t ( i −j +1) ) ;endendendp=zeros (m, 1 ) ; %polinomio i n t e r p o l a n t e newtonpr=zeros (n , 1 ) ;%c o e f f i c i e n t i d e l l a combinazione l i n e a r epr ( 1 ) =1;for l =1:mfor k_r=2:npr ( k_r )= pr ( k_r−1) ∗( x ( l )−t ( k_r−1) ) ; %c o s t r u z i o n e base potenzet r a s l a t eendfor k=1:np ( l )=p ( l )+(N( k , k ) ∗ pr ( k ) ) ; %v a l u t a z i o n e polinomio Newton in unpuntoendend2.2.4 Errore di interpolazioneCon l'utilizzo di un polinomio interpolante si compie un errore e risulta utilecalcolarlo. Se si usano dei dati sperimentali (x i, x j ) i = 0, ..., n si può ipotizzareche esiste una funzione (o una legge sica) che li abbia prodotti pertanto y i =f(x i ). Se calcolo il polinomio p n (x) nei dati forniti allora questo risulterà parialla funzione. É utile calcolare lo scarto tra i valori di f(x)e p n (x) per x ≠ x i .Sia f ɛ C n+1 [a, b] e sia p n il polinomio di grado n che interpola f sulle ascisse{x 0 , ..., x n }, cioèp n (x i ) = f(x i ), i = 0, ..., n.Per ogni x esiste un punto ξ x appartenente al più piccolo intervallo che contienei punti {x, x 0 , ..., x n } tale che la funzione errore denita daE n (x) = f(x) − p n (x) = f (n+1) (ξ x )ω n (x) (2.12)(n + 1)!
CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 13dove ω n (x) = (x − x 0 )(x − x 1 )...(x − x n ) è un polinomio di grado n + 1.Nella gura 2.3 è rappresentato l'errore calcolato come dierenza f(x) − p(x) intutti gli m punti usati per la rappresentazione, dove:• m = 201• listato di riferimento : P rogramma 01Figura 2.3: Errore polinomio interpolante di Lagrange con n=4Errore di interpolazione per il polinomio di NewtonIl formalismo di Newton consente di dare una rappresentazione alternativa perl'errore. Sia p(x) il polinomio che interpola la funzione f(x) in (n + 1) punti.Chiamiamo queste ascisse {x 0 , x 1 , ...., x n } . Supponiamo ora di voler aggiungereun punto di interpolazione x ∈ R di coordinate (x, f(x)) . Come noto dallateoria vista precedentemente non è necessario ricalcolare un nuovo polinomio,ma esprimiamo p n+1 (z) semplicemente comep n+1 (z) = p n (z) + f[x 0 , x 1 , ...., x n , x] ω(z)Imponendo la condizione di interpolazione in (x, f(x)) si hap n (x) + f[x 0 , x 1 , ...., x n , x]ω n (x) = f(x).
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