Analisi dell'errore dei Polinomi interpolanti e applicazioni in 3D

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Indice1 Introduzione 32 Approssimazione di funzioni 42.1 Interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Polinomio base canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Polinomio interpolante di Lagrange . . . . . . . . . . . . . 72.2.3 Polinomio interpolante di Newton . . . . . . . . . . . . . 92.2.4 Errore di interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.5 Osservazioni sull'errore e i tre teoremi fondamentali . . . 142.2.6 Polinomio di Chebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.7 Funzione di Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Applicazioni in Matlab con i polinomi interpolanti . . . . . . . . 172.3.1 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Interpolazione 3D 283.1 Interpolazione di Lagrange in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.1 Applicazione interpolazione di Lagrange in 3D . . . . . . 283.1.2 Funzione di Runge e polinomio interpolante in 3D . . . . 314 Approssimazione ai minimi quadrati 374.1 Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Applicazione in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Capitolo 1IntroduzioneSi presenta frequentemente la necessità di dover approssimare una funzionef(x)con un'altra funzione Φ(x). Per esempio, supponiamo di avere una leggesica che dipende da un parametro x. Siamo interessati a conoscere l'andamentodella legge sica dopo aver misurato i valori in laboratorio. Risulta utiletrovare un'altra funzione passante per quei valori (x i , y i ) i=0,...,n tali che siabbia y i = f(x i ) che approssimi la funzione di partenza: si tratta di un problemadi interpolazione. Accade invece, che si conosca bene la funzione f(x)ma si vuole comunque approssimarla poichè si vuole risolvere un problema didicile risoluzione come per esempio il calcolo di un integrale o la risoluzione diun'equazione dierenziale. Si vuole pertanto sostituire la funzione con una suaapprossimazione che agevoli la risoluzione del problema. Un esempio è il calcolodi un integrale nel quale non si riesce a trovare la primitiva della funzione:ˆbaf(x)dx = F (b) − F (a) ≈ˆ baϕ(x)dx3
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