Analisi dell'errore dei Polinomi interpolanti e applicazioni in 3D

CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 5Si devono trovare i coecienti a j imponendo le condizioni di interpolazione (2.2)ottendo così il sistema di equazioni linearin∑ϕ j (x i ) · a j = y i , i = 0, ..., n,j=0che in termini matriciali può essere visto così φa = y dove⎡⎤ϕ 0 (x 0 ) ϕ 1 (x 0 ) ... ϕ n (x 0 )ϕ 0 (x 1 ) ϕ 1 (x 1 ) ... ϕ n (x 0 )φ =. . .⎢ . . .⎥⎣ . . . ⎦ϕ 0 (x n ) ϕ 1 (x n ) ... ϕ n (x 0 )a =(a 0 , a 1 , ..., a n ) Ty = (y 0 , y 1 , ...y n ) T .La funzione che interpola i dati (2.1) esiste ed è unica se e solo det(φ) ≠ 0 chiamatodeterminante di Haar. L'insieme di funzioni che verica tale condizioneè detto sistema di Chebychev.2.2 Interpolazione polinomialeI polinomi sono utilizzati frequentemente per l'approssimazione di funzioni;a tal scopo si usa il polinomio di Taylor, ossia una serie di Taylor troncata,che ben approssima la funzione in prossimità di un valore iniziale x 0 . Però ilTeorema di Weierstraiss permette una migliore capacità di approssimazionedei polinomi ed aerma:Sia f ɛ C [a, b]. Per ogni ɛ > 0 esiste un intero n ed un polinomio P n tale che‖f − P n ‖ ∞< ɛ.Considerando che la norma innito di una funzione è denita comeSi ottiene la seguente espressione‖f‖ ∞= maxxɛ[a,b] |f(x)| .‖f − P n ‖ ∞= maxxɛ[a,b] |f(x) − p n(x)| < ɛ.