Risoluzione numerica dell'equazione scalare delle onde mediante ...

PDE Laboratory @ Crs4 4Il sistema (7) diviene:MU n+1 = c 2 k 2 (F n + KU n ) + H n , n = 0, . . . , m − 1conH = M ( 2U n − U n−1) (12)La matrice M, a seconda della formula di quadratura usata, è diagonale con elementi strettamentepositivi, o comunque può essere diagonalizzata. Nel nostro caso la matrice ha già formadiagonale. Il sistema (12) diviene:U n+1 = M [ −1 c 2 k 2 (F n + KU n ) + H n] , n = 1, . . . , m − 1che non richiede la risoluzione di un sistema lineare. Poiché il metodo richiede, ad ogni passo, laconoscenza della U nei due step precedenti, assegneremo ai primi due valori della U la soluzioneanalitica calcolata agli istanti 0 e dt.2 Problema 1Lo scopo è verificare quanto la soluzione numerica per i dati assegnati si discosta dalla soluzioneanalitica, che è la seguente:u(x, y, t) = sin(3πa(x − x 0 )) sin(2πb(y − y 0 )) sin(ωt)nel dominio rettangolare Ω = (x 0 , x 1 )×(y 0 , y 1 ), con a = 1/(x 1 −x 0 ), b = 1/(y 1 −y 0 ), ω = π/(2T ),x 0 = y 0 = 0, x 1 = y 1 = 1, T = 0.5s. In particolare, si vuol mettere in evidenza come l’erroredipenda dalla dimensione degli elementi finiti e dall’intervallo di discretizzazione temporale.2.1 Sviluppo dell’algoritmoIl programma a cui fare riferimento per il primo problema è wave analytic. La prima partedel listato comprende la lettura della griglia realizzata con il programma Easymesh [1] e l’allocazionedi tutti i parametri associati. Nella notazione degli elementi finiti, il tipico formatodi una griglia di triangoli è riportato in tabella 1. In generale, il dominio bidimensionale Ω èconsiderato immerso in uno spazio 3D, e quindi le coordinate dei nodi della griglia (grid-points)hanno tre componenti. E’ stato supposto, nel problema considerato, z i = 0, i = 1 . . . n nod .Le tre connettività del generico elemento rappresentano gli indici dei nodi che giacciono suivertici dell’elemento stesso. Ovviamente il numero delle connettività dipende dalla tipologiadell’elemento: per i nostri triangoli le connettività sono tre. La proprietà permette di associareal generico elemento una o più grandezze fisiche, ipotizzate costanti nell’elemento stesso: ad4 luglio 2005 Propagazione delle onde