Trave con carico trapezoidale - Sei

7 Studio delle travi inflesse isostatiche 7.1 Travi appoggiate agli estremi
Trave con carico trapezoidale
Il carico agli estremi della trave vale q 1 = 3,00 kN/m e
q 2 = 5,00 kN/m.
1. Calcolo delle componenti di reazione vincolare
S P x = 0
H A = 0
S P y = 0
R A + R B − q 1 + q 2
2
R A + R B = q 1 + q 2
2
⋅l = 0
⋅l =
3,00 + 5,00
2
× 6,00 = 24,00 kN
7.1.8 Trave con un momento applicato in una sezione generica
Per semplificare, si considera lo schema di carico trapezoidale
scomposto in uno rettangolare e uno triangolare:
S MB = 0
RA ⋅l − q1 ⋅l ⋅ l
2 − (q2 − q1)⋅ l l
⋅ = 0
2 3
da cui:
R A = q 1 ⋅ l
2 + (q 2 − q 1)⋅ l
6
e quindi:
R A = 3,00 × 6,00
2
S M A = 0
da cui:
R B = q 1 ⋅ l
2 + (q 2 − q 1)⋅ l
3
e quindi:
R B = 3, 00 ×
Verifica:
11,00 + 13,00 = 24 kN
24 kN = 24 kN
Le sole caratteristiche di sollecitazione presenti sono V ed M.
2. Calcolo della sollecitazione di sforzo di taglio
In una sezione generica X, l’ordinata qx della porzione di carico
triangolare vale:
(q 2 − q1):l = CD : x
da cui:
CD = q 2 − q 1
l
6, 00
2
⋅ x
e quindi per l’intero diagramma:
q x = q 1 + q 2 − q 1
l
Lo sforzo di taglio nella sezione X è dato da:
V X = R A − q 1 + q x
2
+ 2, 00 × 6, 00
6
−R B ⋅l + q1 ⋅l ⋅ l
2 + (q2 − q1)⋅ l 2
⋅ ⋅l = 0
2 3
+ 2,00 × 6,00
3
⋅ x
⋅x
= 11,00 kN
= 13,00 kN
1
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7 Studio delle travi inflesse isostatiche 7.1 Travi appoggiate agli estremi
Sostituendo e sviluppando si ottiene:
V X
= q 1 ⋅ l
2 + (q 2 − q 1)⋅ l
6 − 2 ⋅q 1 ⋅l ⋅ x + (q 2 − q 1)⋅ x 2
2 ⋅l
che è un’equazione di 2° grado per cui gli sforzi di taglio variano
con legge parabolica.
Per x = 0: VA = 0 V�A = RA = 11,00 kN
per x = 1,00 m: V1 = 7,83 kN
per x = 2,00 m: V2 = 4,33 kN
per x = 3,00 m: V3 = 0,50 kN
per x = 4,00 m: V4 =− 3,67 kN
per x = 5,00 m: V5 =−8,17 kN
per x = l = 6,00 m: VB =−13,00 kN
V�B = VB + RB = − 13,00 + 13,00 = 0
Lo sforzo di taglio si annulla fra le sezioni 3 e 4 a una distanza
dall’appoggio A che si ottiene uguagliando a zero l’equazione
del taglio:
V X = q 1 ⋅ l
2 + (q 2 − q 1)⋅ l
6 − 2 ⋅q1 ⋅l ⋅x + (q2 − q1)⋅x 2
2 ⋅l
2
2 × 3,00 × 6,00 ⋅ x + 2,00 ⋅ x
9,00 + 2,00 − = 0
2 × 6,00
x 2 + 18x − 66 = 0
= 0
e risolvendo:
x1 = − 9 − 12,12 =−21,12 (soluzione che non può essere
accettata)
x2 = − 9 + 12,12 = 3,12 m
7.1.8 Trave con un momento applicato in una sezione generica
3. Calcolo della sollecitazione di momento flettente
Nella sezione generica X il momento flettente vale:
M X = RA ⋅x − q1 ⋅x ⋅ x
2 − (qx − q1)⋅ x x
⋅
2 3
Sostituendo e sviluppando si ottiene:
MX = q1 ⋅
trattandosi di una equazione di 3° grado, il diagramma dei
momenti è una parabola cubica.
l
2 + (q 2 − q1)⋅ l
⎡
⎤
⎣⎢
6 ⎦⎥ ⋅ x − q 2 x
1 ⋅
2 − q 3
2 − q1 x
⋅
l 6
Sostituendo i valori numerici noti si ha:
+
11,00x −1,50x
per x = 0: MA = 0
per x = 1,00 m: M1 = 9,44 kN m
per x = 2,00 m: M2 = 15,56 kN m
per x = 3,00 m: M3 = 18,00 kN m
per x = 3,12 m: Mmax = 18,03 kN m
per x = 4,00 m: M4 = 16,44 kN m
per x = 5,00 m: M5 = 10,56 kN m
per x = l = 6,00 m: MB = 0
2 3 x
− −
18
2,00 3 x
⋅
6,00 6 =
M X = 3,00 × 6,00
2
⎛
6,00
+ 2,00 × ⎞ x
⎝ 2 6 ⎠
⋅ x − 3,00 ⋅
2
2
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