XVI. Dimensione

Dimensione Connessione
Ad ogni punto di X si può associare il sottoinsieme di X connesso
massimale che lo contiene. Esso si chiama la componente connessa
di X contenente il punto considerato.
Ogni spazio topologico X si scompone in componenti connesse
disgiunte chiuse e a due a due separate. Esse sono una partizione di
X.
Uno spazio connesso possiede una sola componente connessa: sé
stesso.
Lezione 16.wpd 08/01/2011 XVI - 21
Dimensione Connessione
Come si sconnette uno spazio
topologico?
Rimuovendo dallo spazio X la
frontiera d’un sottoinsieme,
quest’ultimo ed il suo complementare
risultano separati. X pertanto viene
sconnesso.
Lezione 16.wpd 08/01/2011 XVI - 23
Dimensione Connessione
Esempio:
l’insieme I = [1,2] [3,4] unione di due insiemi chiusi è sconnesso:
i due insiemi [1,2], [3,4] sono infatti reciprocamente complementari,
dunque anche aperti.
Lezione 16.wpd 08/01/2011 XVI - 22
Dimensione Dimensione topologica
Dimensione topologica
S’osservi che:
S un punto non può essere sconnesso;
S una linea può esser sconnessa da un punto, che costituisce la
frontiera delle due semilinee che rimangono;
S una superficie può esser sconnessa da una linea, che costituisce
la frontiera fra le due semisuperfici che rimangono;
S ecc.
Il modo di sconnettersi d’uno spazio topologico è un’indicazione
della sua dimensione.
Lezione 16.wpd 08/01/2011 XVI - 24