XVI. Dimensione

Dimensione Introduzione 

S Sistemi di coordinate 

S Omeomorfismi 

S Connessione 

S Dimensione topologica 

S Spazi metrici 

S Flatlandia 

Dimensione 

Lezione 16.wpd 08/01/2011 XVI - 1 

Dimensione Sistemi di coordinate 

Esempio: 



Sistemi di coordinate 

La localizzazione d’un qualsiasi punto sulla retta reale rispetto 

all’origine è individuata tramite la distanza dall’origine considerando 

il verso, indicato con + o -. Essa è rappresentata come un multiplo 

della distanza tra l’origine stessa ed il punto unitario. 

Per individuare un punto su una linea si procede in modo analogo. 

Per localizzare un qualsiasi punto nel piano occorrono due 

coordinate, per esempio una distanza ed una direzione. 

Analogamente nel caso d’una superficie qualsiasi. 



Si consideri un qualunque punto nello spazio: la sua localizzazione, 

rispetto alla terra, è fatta in genere utilizzando le tre coordinate 

geografiche, basate sulla posizione d’una retta che unisce il punto 

con il centro della terra: 

1) latitudine: l'angolo formato dalla retta con il semipiano 

equatoriale; 

2) longitudine: l'angolo formato dalla retta con il piano che contiene 

il meridiano di Greenwich (Londra), 

3) altezza sul livello del mare: la lunghezza del segmento della retta 

fra il livello del mare ed il punto. 

Lezione 16.wpd 08/01/2011 XVI - 4




Anche nel caso del piano, al posto di due schiere di curve si 

preferiscono due schiere di rette (ortogonali). 



Per le rappresentazioni 

geometriche, anche se meno 

naturale, si preferisce un 

sistema omogeneo: si chiama 

sistema di coordinate 

cartesiane quello basato su 

schiere di rette, piani, varietà 

lineari parallele ortogonali. 



Con queste rappresentazioni: 

- il numero di schiere corrisponde alla dimensione dello spazio 

geometrico che si sta considerando. 

- ogni punto si trova esattamente su uno ed un solo elemento di 

ciascuna schiera, ed è pertanto definito da una n-pla di 

parametri, ciascuno associato ad un elemento della schiera 

corrispondente. 

... ma cos'è la dimensione? 

come si fa a dividere in due uno spazio? 


Dimensione Omeomorfismi 

Sottospazio topologico 

Omeomorfismi 

Sia A X dove (X,T ) è uno spazio topologico. 

Allora (A, T ') dove 

T '= {F | F = A T e T T } 

si chiama sottospazio topologico di X con la topologia indotta da 

(X,T). 



Definizione 

Siano X e Y spazi topologici. Una funzione f da X in Y è un 

omeomorfismo se f è biunivoca e f ed f -1 sono entrambe continue. 

Nota: Una biiezione fra due insiemi che conserva la struttura 

comune si chiama isomorfismo per quella struttura. Un 

omeomorfismo è quindi un isomorfismo per la struttura di spazio 

topologico. 



Esempio: 

Se i tondi blu 

sono degli 

aperti del 

piano, i 

segmenti sulla 

retta dentro i 

tondi sono 

aperti della 

retta come 

sottospazio 

del piano. 



Una proprietà P valida per uno spazio X è una proprietà topologica 

se è verificata da ogni spazio topologico omeomorfo ad X. 

La connessione è un esempio di proprietà topologica, giacché un 

omeomorfismo fa corrispondere aperti ad aperti e chiusi a chiusi. 



Esempi: 

Un segmento di retta ed una linea finita sono 

omeomorfi. 

Una superficie piana 

ed una superficie 

qualunque sono 

omeomorfe. 


Dimensione Connessione 

Connessione 

Definizione 

La chiusura d’un sottoinsieme A d’uno spazio topologico X è 

l’intersezione degli elementi della famiglia d’insiemi chiusi contenenti 

A. 

Valgono i seguenti risultati: 



Esempi: 

Si chiama l’insieme dei numeri reali 

positivi. è un gruppo commutativo rispetto al prodotto (non 

rispetto alla somma). 

La funzione è un isomorfismo fra gruppi ed un 

omeomorfismo fra spazi topologici: . 

Naturalmente, la funzione inversa è anch’essa 

un isomorfismo fra gruppi ed un omeomorfismo fra spazi topologici: 

. 



Proposizione 

e 

= A D(A) 

= A F(A) 

Nota: Poiché l’intersezione d’una qualsiasi famiglia di chiusi è un 

chiuso, è un chiuso. Precisamente è il più piccolo chiuso che 

contiene A. 



Definizione 

Due sottoinsiemi A e B d’uno spazio topologico sono separati se e 

solo se 

ovvero se in nessuno dei due cadono punti d’accumulazione per 

l’altro. 



Definizione 

Uno spazio topologico X è connesso se X non è unione di due 

sottoinsiemi non vuoti separati. Altrimenti si dice sconnesso. 

Nell’esempio precedente, A B è sconnesso, mentre E D non lo 

è: togliendo F, lo è C D. 



Esempio 

A e B sono separati: 

C e D aperti (senza F) sono separati, 

F = F(C) = F(D) 

è la frontiera comune, 

dunque, se è la 

chiusura di C 

allora E e D non sono separati, perché 

. 



Proposizione 

Se A e B sono separati ed A B = X, allora essi sono entrambi 

aperti e chiusi e viceversa. 

Infatti, da segue che e B è chiuso, dunque A è 

aperto e viceversa. 



Ad ogni punto di X si può associare il sottoinsieme di X connesso 

massimale che lo contiene. Esso si chiama la componente connessa 

di X contenente il punto considerato. 

Ogni spazio topologico X si scompone in componenti connesse 

disgiunte chiuse e a due a due separate. Esse sono una partizione di 

X. 

Uno spazio connesso possiede una sola componente connessa: sé 

stesso. 



Come si sconnette uno spazio 

topologico? 

Rimuovendo dallo spazio X la 

frontiera d’un sottoinsieme, 

quest’ultimo ed il suo complementare 

risultano separati. X pertanto viene 

sconnesso. 



Esempio: 

l’insieme I = [1,2] [3,4] unione di due insiemi chiusi è sconnesso: 

i due insiemi [1,2], [3,4] sono infatti reciprocamente complementari, 

dunque anche aperti. 


Dimensione Dimensione topologica 

Dimensione topologica 

S’osservi che: 

S un punto non può essere sconnesso; 

S una linea può esser sconnessa da un punto, che costituisce la 

frontiera delle due semilinee che rimangono; 

S una superficie può esser sconnessa da una linea, che costituisce 

la frontiera fra le due semisuperfici che rimangono; 

S ecc. 

Il modo di sconnettersi d’uno spazio topologico è un’indicazione 

della sua dimensione. 



Negli spazi topologici, la dimensione è un invariante topologico. 

Definizione 

Uno spazio X ha dimensione 0 in un punto p (dim (X in p) = 0) se 

esistono intorni aperti arbitrariamente piccoli di p con frontiera 

vuota. 

Si dice che X ha dimensione 0 (dim X = 0) se dim (X in p)= 0 per 

ogni p X. 



Dimensione locale 

Uno spazio X ha dimensione n (n 0) in un punto p (dim (X in 

p) n) se p appartiene ad intorni aperti arbitrariamente piccoli la 

cui frontiera ha dimensione (n-1). 

X ha dimensione n in p (dim (X in p) = n) se dim (X in p) n, ma 

dim (X in p) n-1 è falsa. 

Dimensione globale 

Lo spazio X ha dimensione n (dimX n) se dim (X in p) n per 

ogni punto p in X; infine X ha dimensione n (dimX = n) se dimX n, 

ma dimX (n-1) è falsa. 



Esempio: 

Uno spazio topologico costituito da un solo punto ha dimensione 0. 

Infatti la frontiera del punto è vuota. 

Si fissa per convenzione: 

dim = -1 e dim X = -1 X = 



Pertanto: 

S un punto ha dimensione 0, 

S perché non si può sconnettere; 

S una linea ha dimensione 1, 

S perché è sconnessa da un punto; 

S una superficie ha dimensione 2, 

S perché è sconnessa da una linea; 

S lo spazio ha dimensione 3, 

S perché è sconnesso da una superficie; 

S ecc. 



Due spazi topologici omeomorfi hanno la stessa dimensione 

topologica. Non è vero il viceversa. 

Esempio: 

Una ciambella 

ed una palla 

h a n n o 

entrambe 

dimensione 

topologica 3, 

ma non sono 

omeomorfe. 


Dimensione Spazi metrici 

Esempi: 

Si chiama metrica L 2 o euclidea sul piano la distanza d tale che per 

ogni punto x, y si abbia 

Si chiama metrica L 1 o di Manhattan sul piano la distanza d tale che 

per ogni punto x, y si abbia 



Spazi metrici 

Definizione 

Uno spazio metrico è costituito da un insieme non vuoto X e da una 

funzione d : X × X R, detta metrica o distanza su X, verificante, 

per ogni x, y, z X, le condizioni seguenti: 

1) d (x, y) 0, d (x, y) = 0 se e solo se x = y; 

2) d (x, y) = d (y, x) (simmetria); 

3) d (x, y) d (x, z) + d (z, y) (disuguaglianza triangolare). 



Dato uno spazio metrico (X, d), sia x X e sia r un numero reale 

positivo. Si chiama disco aperto di centro x e raggio r l’insieme 

seguente: 

D r (x) = { y X : d (x, y) < r } 

Definizione 

Sia X uno spazio metrico. Un aperto in X è un sottoinsieme U di X 

tale che U = oppure U è unione di dischi aperti. 

Se X è uno spazio metrico, gli aperti di X formano una topologia su 

X, detta topologia indotta dalla metrica. 


Dimensione Flatlandia 

Flatlandia 

Quante dimensioni ha lo spazio in cui 

viviamo? 

Ognuno è pronto a rispondere «tre», 

ma in maniera più cauta si dovrebbe 

rispondere «almeno tre». 

Esiste dunque una quarta 

dimensione? 

Escher - Another World 



Tesseract o Ipercubo 



Esempio di diagramma con una dimensione tempo: 

Totale di incendi per anno. 



Dalì - Corpus 

hypercubus 



Per una casa a forma di ipercubo: 

Robert A. Heinlein (1940), «And He Built a Crooked House», 

Astounding Science Fiction Magazine, Street & Smith 

Publications, Inc. 

http://www.scifi.com/scifiction/classics/classics_archive/heinlein/heinlein1.html 

In italiano: 

La casa nuova, In: S. Solmi e C. Fruttero (eds.), 1981, Le 

meraviglie del possibile - Antologia della fantascienza, Torino, 

Einaudi: pp. 389-412. 



o addirittura SEI Dimensioni, 

in tal modo contribuendo 

all’arricchimento dell’IMMAGINAZIONE 

e al possibile sviluppo 

della MODESTIA, qualità rarissima ed eccellente 

fra le Razze Superiori 

dell’UMANITA’ SOLIDA. 

(Edwin A. Abbott, Flatlandia. 

Milano, Adelphi, 1995.) 



Agli 

Abitanti dello SPAZIO IN GENERALE 

è dedicata quest’opera 

da un umile nativo della Flatlandia 

nella speranza che, 

come egli fu iniziato a misteri 

delle TRE Dimensioni 

avendone sino ad allora conosciute 

SOLTANTO DUE, 

così anche i cittadini di quella Regione Celeste 

possano aspirare sempre più in alto 

ai segreti delle QUATTRO, CINQUE

XVI. Dimensione

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