Capitolo 2 – Errori di misura: definizioni e trattamento
Capitolo 2 – Errori di misura: definizioni e trattamento
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<strong>Capitolo</strong> 2 <strong>–</strong> <strong>Errori</strong> <strong>di</strong> <strong>misura</strong>:<br />
1)Generalità<br />
<strong>definizioni</strong> e <strong>trattamento</strong><br />
I concetti <strong>di</strong> me<strong>di</strong>a, varianza e deviazione standard si utilizzano<br />
normalmente per ottenere informazioni sulla bontà <strong>di</strong> una <strong>misura</strong>. In<br />
generale, si assume come <strong>misura</strong> m della grandezza M espressa in<br />
unità U il numero<br />
m= M / U<br />
In realtà, una <strong>misura</strong> può essere ottenuta in due “mo<strong>di</strong>” <strong>di</strong>versi:<br />
1) <strong>misura</strong> <strong>di</strong>retta (visiva o strumentale)<br />
2) <strong>misura</strong> in<strong>di</strong>retta [y = f(x1, …., xn)]
1.a) <strong>Errori</strong> nelle misure <strong>di</strong>rette<br />
a) definizione <strong>di</strong> scarto, ξ, della <strong>misura</strong> i-esima<br />
Si definisce scarto, ξ i, della <strong>misura</strong> i-esima la <strong>di</strong>fferenza tra il risultato<br />
della <strong>misura</strong> e la me<strong>di</strong>a della quantità <strong>misura</strong>ta (determinata con i criteri<br />
statistici visti al capitolo precedente)<br />
b) definizione <strong>di</strong> errore (ε)<br />
ξi<br />
= mi − < m<br />
i = 1, …, N<br />
Differenza tra il valore <strong>misura</strong>to e il valore “vero” (in realtà<br />
inconoscibile, poiché perturbato dalla <strong>misura</strong> stessa). Se il valore vero<br />
della grandezza è µ, nella <strong>misura</strong> i-esima l’errore commesso è ε i<br />
ε i = m i − µ<br />
>
c) definizione <strong>di</strong> errore relativo (r m )<br />
r m<br />
ε<br />
=<br />
m<br />
× 100<br />
(%)<br />
Ricordando la definizione <strong>di</strong> me<strong>di</strong>a, si verifica imme<strong>di</strong>atamente che<br />
valgono i seguenti risultati<br />
< ε<br />
>=<br />
< ξ >=<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
εi<br />
N 1<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
ξi<br />
N 1<br />
=<<br />
=<br />
0<br />
m > −µ<br />
(già visto al capitolo 1)
2) Classificazione degli errori<br />
Se il valore vero <strong>di</strong> una grandezza è µ, nella <strong>misura</strong> i-esima<br />
commettiamo l’errore<br />
εi= mi − µ<br />
Tale errore può <strong>di</strong>pendere sia dallo strumento che dal processo <strong>di</strong><br />
<strong>misura</strong>, ossia dalla interazione tra oggetto, strumento e ambiente. In<br />
generale, classifichiamo gli errori in casuali e sistematici.<br />
a) Errore casuale<br />
• Errore <strong>di</strong> valutazione (<strong>di</strong>visioni della scala dello strumento <strong>di</strong> <strong>misura</strong>)<br />
• Fluttuazione <strong>di</strong> parametri sperimentali (temperatura, pressione…)<br />
• Disturbi (oscillazioni meccaniche, segnali ra<strong>di</strong>o spuri…)<br />
N.B. Sono a me<strong>di</strong>a nulla!
) Errore sistematico<br />
• Imperfetta taratura degli strumenti<br />
• Imperfetta descrizione fisica del fenomeno (Es.: h = ½ gt2 )<br />
N.B. Gli errori sistematici possono essere corretti quando se ne<br />
conosce l’origine, altrimenti non se ne può tenere conto. La<br />
soluzione, in questo caso, consiste nel cercare <strong>di</strong> ottenere la<br />
stessa informazioni con misure <strong>di</strong> tipo <strong>di</strong>fferente.
3) Parametri che definiscono le caratteristiche<br />
degli strumenti<br />
Sensibilità o risoluzione<br />
Variazione δ nel valore della grandezza da <strong>misura</strong>re che provoca il<br />
minimo spostamento “avvertibile” nell’in<strong>di</strong>ce dello strumento (meglio<br />
analogico o <strong>di</strong>gitale?). Un medesimo strumento (es.: multimetro) ha<br />
spesso la possibilità <strong>di</strong> scegliere tra <strong>di</strong>verse scale <strong>di</strong> sensibilità.<br />
N.B. In generale, il risultato <strong>di</strong> una <strong>misura</strong> fornisce un valore m ∈ (m-δ,<br />
m+δ). Ripetendo n volte la stessa <strong>misura</strong> si ottengono m 1,…,m n risultati<br />
appartenenti a n intervalli, in generale non coincidenti.<br />
Se m 1 = m 2 =… = m, lo strumento ha sensibilità troppo bassa.<br />
Precisione<br />
Valore “tipico” dello scostamento dal valore me<strong>di</strong>o che caratterizza<br />
serie numerose <strong>di</strong> misure. Nei buoni strumenti, in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> <strong>misura</strong><br />
ideali, precisione e sensibilità coincidono.
Accuratezza<br />
Quantità legata allo scostamento tra la me<strong>di</strong>a (su molte misure) dei<br />
valori <strong>misura</strong>ti e il valore vero. Dipende <strong>di</strong> solito da errori <strong>di</strong> taratura<br />
(es.: termocoppia). Nei buoni strumenti tale scostamento è minore o<br />
uguale alla sensibilità.<br />
Prontezza<br />
Inverso del tempo richiesto per una <strong>misura</strong> (una volta raggiunta la<br />
posizione <strong>di</strong> equilibrio!!!).
4) Relazioni tra i parametri strumentali e le<br />
varie tipologie <strong>di</strong> errore<br />
• La sensibilità limitata introduce un errore <strong>di</strong> arrotondamento, o <strong>di</strong><br />
lettura, che possiamo generalmente considerare errore casuale,<br />
cioè avente me<strong>di</strong>a nulla.<br />
• La precisione limitata genera fluttuazioni <strong>di</strong> tipo casuale che<br />
vengono messe in evidenza da strumenti molto sensibili ma poco<br />
precisi.<br />
• L’accuratezza limitata genera errori sistematici a me<strong>di</strong>a <strong>di</strong>versa<br />
da zero. Se questi ultimi errori sono preponderanti, l’accuratezza<br />
dello strumento viene stimata tramite la me<strong>di</strong>a su N>>1 misure<br />
degli errori commessi <strong>misura</strong>ndo una grandezza nota µ.<br />
< ε >=<br />
N<br />
N<br />
1<br />
1<br />
∑(<br />
mi<br />
− µ ) = ∑ε<br />
i<br />
N = 1 N = 1<br />
i<br />
L’accuratezza relativa, espressa in percentuale, vale<br />
i<br />
< ε<br />
><br />
µ<br />
× 100
5) Trattamento degli errori casuali<br />
Anche se lo strumento è ben tarato, non conosciamo l’errore casuale<br />
che abbiamo compiuto in una certa <strong>misura</strong>. Supponendo che gli errori<br />
sistematici siano trascurabili, possiamo utilizzare i concetti della<br />
statistica. La me<strong>di</strong>a costituirà una stima del valore vero<br />
n<br />
< m >= ∑<br />
i=<br />
1<br />
mi<br />
n<br />
≅ µ<br />
Mentre l’errore quadratico me<strong>di</strong>o vero, definito come<br />
< ε<br />
2<br />
>=<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
( m − µ )<br />
i<br />
n<br />
2<br />
=<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
viene stimato me<strong>di</strong>ante la deviazione standard della <strong>misura</strong><br />
σ n−1<br />
( m)<br />
=<br />
n<br />
2<br />
∑ ( mi<br />
− < m > )<br />
i=<br />
1<br />
=<br />
n 1<br />
2<br />
< ε ><br />
−<br />
ε<br />
2<br />
i<br />
n
Per il caso <strong>di</strong> misure in<strong>di</strong>pendenti si possono ripetere i principali<br />
teoremi enunciati per me<strong>di</strong>e e varianze:<br />
1) se eseguiamo su una grandezza costante nel tempo n misure con<br />
errore sistematico trascurabile, la legge dei gran<strong>di</strong> numeri ci<br />
assicura che<br />
<<br />
m<br />
><br />
n<br />
n→∞<br />
⎯⎯⎯→µ<br />
2) la deviazione standard è una stima “corretta” della ra<strong>di</strong>ce<br />
quadrata della varianza della <strong>misura</strong><br />
2<br />
n−1<br />
⎯ ∞ → n<br />
2<br />
( ) ⎯ →σ<br />
m<br />
σ ⎯<br />
3) la varianza delle me<strong>di</strong>e su n misure ha come valore stimato<br />
( < > −µ<br />
)<br />
m n<br />
2<br />
2<br />
σ<br />
=<br />
n<br />
≅<br />
2<br />
σ<br />
n −1
Quando si fornisce il valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> una <strong>misura</strong> è consuetu<strong>di</strong>ne<br />
rappresentarlo come<br />
<<br />
m<br />
><br />
n<br />
σ<br />
±<br />
n−1<br />
La deviazione standard ottenuta da n misure <strong>di</strong> una grandezza<br />
costante avente valore vero µ caratterizza la precisione della <strong>misura</strong>.<br />
In assenza <strong>di</strong> errori sistematici questa deviazione standard ci fornisce<br />
una stima <strong>di</strong> quanto una singola <strong>misura</strong> <strong>di</strong>fferisca da µ.<br />
σ<br />
n−1 N.B. La grandezza prende il nome <strong>di</strong> “deviazione standard<br />
n<br />
della me<strong>di</strong>a” o “errore della me<strong>di</strong>a” e può essere in<strong>di</strong>cata con .<br />
n<br />
σ
6) Relazione tra parametri strumentali e<br />
propagazione degli errori<br />
Sia Y una qualsiasi grandezza fisica per la quale non è <strong>di</strong>sponibile un<br />
Y-metro. In ogni caso, si può ancora determinare Y e calcolare la<br />
precisione della <strong>misura</strong> se è nota la <strong>di</strong>pendenza funzionale<br />
Y = f(X 1, …, X n)<br />
<strong>di</strong> Y da altre grandezze fisiche X i che possono essere <strong>misura</strong>te<br />
<strong>di</strong>rettamente. Occorre anche che la funzione f sia continua con tutte le<br />
sue derivate prime parziali.<br />
Il risultato della <strong>misura</strong> <strong>di</strong>retta <strong>di</strong> ogni grandezza X i può essere<br />
espresso nella forma generale<br />
xi = xi ± σi<br />
dove il significato delle variabili <strong>di</strong>pende da tipo <strong>di</strong> <strong>misura</strong> effettuata.
Misure a bassa sensibilità<br />
x<br />
1) è il valore della singola <strong>misura</strong> (al limite, una sola) riproducibile;<br />
σ<br />
i<br />
2) i rappresenta la sensibilità dello strumento utilizzato.<br />
In questo caso, l’intervallo [ xi − σi<br />
; + σ i i]<br />
contiene con certezza il<br />
valore “vero” della grandezza in esame e tutti i punti all’interno<br />
dell’intervallo sono equiprobabili.<br />
x
Misure ad alta sensibilità<br />
1) Caso <strong>di</strong> una sola <strong>misura</strong><br />
xi<br />
è il valore della singola <strong>misura</strong>;<br />
σi<br />
rappresenta l’errore della <strong>misura</strong>, che deve essere noto a<br />
priori (ed esempio me<strong>di</strong>ante una valutazione ragionata)<br />
2) Caso <strong>di</strong> più misure<br />
xiè<br />
il valore della me<strong>di</strong>a, i;<br />
σirappresenta<br />
l’errore della me<strong>di</strong>a.<br />
In questo caso, se la <strong>di</strong>stribuzione degli errori è normale (ve<strong>di</strong><br />
<strong>Capitolo</strong> del calcolo delle probabilità), l’intervallo [ xi−3 σi;<br />
xi+3<br />
σi]<br />
contiene con certezza il valore “vero” della grandezza in esame e il<br />
punto xi<br />
ne rappresenta il valore più probabile.
6.1 Calcolo della me<strong>di</strong>a e dell’errore<br />
della me<strong>di</strong>a nel caso <strong>di</strong> <strong>misura</strong> in<strong>di</strong>retta<br />
Il calcolo della me<strong>di</strong>a non comporta in generale alcuna <strong>di</strong>fficoltà; si<br />
ha<br />
= f( ,…, )<br />
Y 1<br />
x<br />
x n<br />
Viceversa, esistono sostanziali <strong>di</strong>fferenze nel calcolo della precisione i<br />
del valore Y e sul significato dell’intervallo [ Y ± σ i]<br />
a seconda che i dati<br />
sperimentali provengano tutti da misure ad alta sensibilità, a bassa<br />
sensibilità o da una combinazione qualunque dei due casi.<br />
N.B. Si tratta <strong>di</strong> una generalizzazione <strong>di</strong> quanto visto al capitolo<br />
precedente a proposito delle leggi <strong>di</strong> propagazione degli errori, nel<br />
senso che ora stiamo collegando l’incertezza sulla <strong>misura</strong> alle<br />
caratteristiche dello strumento <strong>di</strong> <strong>misura</strong> stesso.<br />
σ
In generale, definita δxi una piccola variazione <strong>di</strong> xi con<br />
⎜δxi⎜
dove A è una costante moltiplicativa e gli esponenti α i sono numeri<br />
razionali, si ottiene per lo sviluppo in serie<br />
ε<br />
Y<br />
=<br />
⎜⎛<br />
⎝<br />
α1<br />
−1 α<br />
x 2 α<br />
x n α α α n<br />
n ⎟⎞<br />
ε ⎜⎛<br />
−1<br />
1 2<br />
... 1 + ... + Aα1x<br />
1<br />
1<br />
x 2<br />
2<br />
... αn<br />
xn<br />
Aα x<br />
⎟⎞<br />
1<br />
ε<br />
⎠ ⎝<br />
⎠<br />
da cui, <strong>di</strong>videndo membro a membro per si ottiene l’errore relativo, rY, per la <strong>misura</strong> in<strong>di</strong>retta <strong>di</strong> Y in funzione degli errori relativi ri delle misure<br />
<strong>di</strong>rette<br />
= ∑<br />
=<br />
n<br />
rY<br />
αiri<br />
i 1<br />
Y<br />
n
a) Misure a bassa sensibilità<br />
La precisione σY del valore Y si calcola sostituendo agli errori εi la<br />
sensibilità σi<br />
dello strumento impiegato e prendendo il modulo delle<br />
derivate parziali (con<strong>di</strong>zione più sfavorevole)<br />
n ⎛ ∂f<br />
⎞<br />
σY = ∑ ⎜<br />
i= x ⎟<br />
1 ⎝ ∂ i ⎠ x<br />
{} i σ<br />
In questo caso, come già visto, l’intervallo contiene il valore vero e tutti<br />
i punti dell’intervallo Y − σ , + σ sono equiprobabili.<br />
[ ]<br />
Y Y<br />
Y<br />
Se la <strong>di</strong>pendenza funzionale <strong>di</strong> Y è data da un prodotto <strong>di</strong> potenze, la<br />
precisione relativa S della <strong>misura</strong> in<strong>di</strong>retta è data da<br />
Y<br />
S<br />
Y<br />
= n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
α S<br />
dove le Si<br />
sono le precisioni relative delle misure <strong>di</strong>rette.<br />
i<br />
i
) Misure ad alta sensibilità<br />
In questo caso, gli errori εi sono variabili casuali (<strong>di</strong>stribuite<br />
normalmente, ve<strong>di</strong> capitolo delle <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong> probabilità) e così pure<br />
si può <strong>di</strong>re per εY che è una loro combinazione lineare. Allora, se σi<br />
è<br />
l’errore della me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> xi , l’errore della me<strong>di</strong>a σY <strong>di</strong> Y risulta<br />
n<br />
2<br />
2 ⎛ ∂f<br />
⎞<br />
σY = ∑ ⎜<br />
i= 1 x ⎟<br />
⎝ ∂ i ⎠ x<br />
σi<br />
{}<br />
Riguardo al significato dell’intervallo Y Y , si può affermare<br />
che la <strong>di</strong>stribuzione dei valori attorno al valor me<strong>di</strong>o è normale<br />
(=gaussiana) se sono normali le <strong>di</strong>stribuzioni degli errori εi attorno alle<br />
variabili in<strong>di</strong>pendenti Xi. Nel caso <strong>di</strong> un prodotto <strong>di</strong> potenze si ottiene<br />
Y Y − σ , + σ<br />
= n<br />
2 2 2<br />
S α S<br />
G<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
i i<br />
xi i<br />
2<br />
[ ]<br />
A parità <strong>di</strong> funzione f e dei valori e σ<br />
, si nota che gli errori forniti<br />
dalle leggi <strong>di</strong> propagazione delle misure a bassa sensibilità sono<br />
sistematicamente maggiori rispetto a quelli forniti per le misure ad alta<br />
sensibilità.
6.2 Combinazione <strong>di</strong> misure aventi <strong>di</strong>versa<br />
precisione<br />
Tutti i risultati delle misure, ripetute nelle stesse con<strong>di</strong>zioni, <strong>di</strong> una<br />
grandezza fisica devono essere considerati a priori egualmente<br />
precisi. Consideriamo ora il caso in cui si devono combinare assieme<br />
misure delle stessa grandezza fisica affette da <strong>di</strong>versa precisione.<br />
Si assume come valore più atten<strong>di</strong>bile il valore me<strong>di</strong>o della<br />
serie caratterizzata da maggiore precisione, ma evidentemente<br />
l’insieme <strong>di</strong> tutti i dati a <strong>di</strong>sposizione contiene una quantità <strong>di</strong><br />
informazione maggiore rispetto a quello <strong>di</strong> una singola serie <strong>di</strong> misure.<br />
Misure <strong>di</strong> <strong>di</strong>fferente precisione si combinano con l’operazione <strong>di</strong> me<strong>di</strong>a<br />
pesata.
Si consideri il caso particolare in cui x 1,…, x m+n siano i risultati <strong>di</strong> m+n<br />
misure ripetute nelle medesime con<strong>di</strong>zioni sperimentali e sia σ 2 la<br />
varianza della <strong>di</strong>stribuzione. Da quanto visto in precedenza si ha<br />
x<br />
=<br />
1<br />
m + n<br />
∑ + m n<br />
xi<br />
i=<br />
1<br />
σ =<br />
σ<br />
m + n<br />
Se dalla serie <strong>di</strong> misure estraiamo le due sottoserie x 1,…, x m e x m+1,…,<br />
x m+n possiamo calcolare le relative me<strong>di</strong>e e precisioni<br />
x<br />
' 1<br />
=<br />
m<br />
σ =<br />
'<br />
m<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
σ<br />
m<br />
x<br />
i<br />
x<br />
∑ + m n<br />
" 1<br />
= xi<br />
n i=<br />
m+<br />
1<br />
"<br />
σ =<br />
L’espressione generale della me<strong>di</strong>a può essere riscritta nel modo<br />
seguente<br />
1<br />
m 1 m+<br />
n<br />
x = ∑ xi<br />
+ ∑ xi<br />
m + n i=<br />
1 m + n i=<br />
m+<br />
1<br />
σ<br />
n
che può essere espressa in termini della me<strong>di</strong>a delle sottoserie<br />
x<br />
=<br />
m<br />
m +<br />
e ancora, in termini delle varianze<br />
x<br />
=<br />
( ' ) −2<br />
σ<br />
( ' ) −2<br />
( " )<br />
σ + σ<br />
n<br />
−2<br />
x<br />
x<br />
'<br />
'<br />
n<br />
+<br />
m + n<br />
+<br />
x<br />
"<br />
( " ) −2<br />
σ<br />
( ' ) −2<br />
( " )<br />
σ + σ<br />
La varianza complessiva viene espressa, in termini delle varianze<br />
delle sottoserie, come<br />
2 1<br />
σ =<br />
'<br />
− 2<br />
"<br />
−<br />
σ + σ<br />
( ) ( ) 2<br />
Quin<strong>di</strong> il valore più atten<strong>di</strong>bile della <strong>misura</strong> viene calcolato senza<br />
utilizzare tutti gli m+n risultati, ma solo le me<strong>di</strong>e e le relative precisioni.<br />
Le me<strong>di</strong>e vengono combinate linearmente attraverso coefficienti<br />
inversamente proporzionali al quadrato delle relative precisioni.<br />
−2<br />
x<br />
"
Più in generale, se yi ± σ i con i = 1,…, N sono i risultati <strong>di</strong> misure <strong>di</strong><br />
una stessa grandezza fisica ottenute con <strong>di</strong>versa precisione (anche da<br />
<strong>di</strong>fferenti sperimentatori o in epoche <strong>di</strong>fferenti), il valore più atten<strong>di</strong>bile<br />
della grandezza in esame è la me<strong>di</strong>a pesata dei valori, definita come<br />
y<br />
p<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
p<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
=<br />
N<br />
∑ p<br />
dove il peso pi della i-esima vale pi = σ i e la precisione complessiva<br />
della <strong>misura</strong> è data da<br />
⎛ −<br />
=<br />
⎜ ∑ ⎟ ⎝ = 1 ⎠<br />
N<br />
σ<br />
σ i<br />
i<br />
y<br />
i<br />
i<br />
−2<br />
1/<br />
2<br />
2 −<br />
⎞